MATEMÁTICAS
III
Posibles dificultades. Si los alumnos no logran encontrar las expresiones generales usted puede darles varias pistas: escriba en el pizarrón la sucesión de los números cuadrados (1, 4, 9, 16, …) y pregunte a los alumnos cuál es la relación de estos números con los de la primera sucesión (cada uno de los cuadrados se multiplica por 4 para obtenerlos).
a) ¿Para cuáles expresiones generales la constante en las diferencias es 6?
Para 3 n 2 + 2 y 3 n 2 + n b) ¿Qué constante apareció en los casos donde las expresiones generales son −2n 2 así como −2n 2 + 4?
–4
III. Encuentren las diferencias de cada una de las siguientes sucesiones numéricas.
4,
Nivel 1
16, 36, 64, …
12
Nivel 2
20 8
28
2,
8
14, 34, 62, …
12
Nivel 1
Nivel 2
20 8
28 8
Nivel 1
5,
17, 37, 65, …
12
Nivel 2
20 8
Para las siguientes sucesiones puede preguntarles cómo se obtiene cada término de estas sucesiones a partir de los términos de la primera sucesión: si a los términos de la primera sucesión les restan 2 obtienen los términos de la segunda sucesión, pero si les aumentan 1 encuentran la tercera sucesión. De esta manera pueden obtener el término independiente que debe acompañar al término cuadrático 4 n 2 .
28 8
Completen la tabla siguiente. Sucesión
Constante de las diferencias (diferente de cero)
Nivel donde aparece
Expresión general del enésimo término
4, 16, 36, 64, …
8
Nivel 2
4n 2
2, 14, 34, 62, …
8
Nivel 2
4 n 2 – 2
5, 17, 37, 65, …
8
Nivel 2
4 n 2 + 1
Comparen sus respuestas y compartan los procedimientos que usaron para encontrar las expresiones generales.
A lo que llegamos Al obtener las diferencias de una sucesión numérica, en general sucede que: • Si en el nivel 2 de las diferencias aparece una constante diferente de cero, la expresión general es cuadrática. • Cuando la expresión general de la secuencia es cuadrática, la constante que aparece en el nivel 2 de las diferencias es el doble del coeficiente del término cuadrático de la expresión.
Es importante que los alumnos identifiquen en este momento que la constante del nivel 2 de las diferencias es el doble del coeficiente del término cuadrático en la expresión general. Para ello, puede pedirles que se fijen en las diferencias del nivel 2 para todas las sucesiones de la sesión que tienen una expresión cuadrática.
A partir de la información anterior, contesten: a) ¿Qué valor tendrá la constante de las diferencias de nivel 2 cuando la expresión general del término enésimo es 3n 2 ?
Sugerencia didáctica. En caso de que los alumnos no se pongan de acuerdo en cuáles son las expresiones correctas, puede pedirles que evalúen esas expresiones para verificar sus respuestas.
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b) ¿Qué valor tendrá la constante de las diferencias de nivel 2 cuando la expresión general del término enésimo es 1.5n 2 + 2?
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Sugerencia didáctica. Escriba las siguientes sucesiones en el pizarrón (de una en una) y luego pase a un alumno para que encuentre los cinco términos que siguen. Se espera que utilicen las diferencias para encontrar el patrón, pero también se puede hacer si se determina primero la expresión algebraica.
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Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que obtengan los primeros 5 términos de cada sucesión y que verifiquen sus respuestas.
3, 12, 27, 48, … −4, 2, 12, 26, … −11, −20, −35, −56, … Las expresiones para estas sucesiones son: 3 n 2 , 2 n 2 – 6 y −3 n 2 −8.
Li b r o p ara e l maestro
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