MATEMÁTICAS
III
Propósito de los interactivos. Calcular la medida de arcos y el área de sectores circulares en circunferencias que tienen su centro en un vértice de un polígono regular y su radio es igual a la medida del lado del polígono.
2. En el esquema siguiente el lado del cuadrado mide 3 cm. El punto P se mueve manteniendo una distancia de 2 cm con respecto al vértice A.
Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que dibujen la figura que se forma al mover el punto P. El área pedida es la parte del círculo que queda fuera del cuadrado. Verifique que los alumnos pongan las unidades correspondientes en cada respuesta. Recuerde a los alumnos que 3.14 es una aproximación al valor de π. Les puede pedir que anoten las expresiones dejando el símbolo π y que después anoten el valor obtenido utilizando la aproximación de π.
PP
AA
a) ¿Qué figura determina el punto P? b) ¿Cuánto mide el perímetro de dicha figura? c) Toma en cuenta sólo la parte de la figura que es externa al cuadrado, ¿cuánto mide el área de esa parte de la figura? d) Considera un hexágono regular de 2 m de lado en lugar de un cuadrado, ¿cuánto mediría el área de la figura que determina el punto P fuera del hexágono?
240º
3. En el siguiente dibujo el hexágono regular mide de lado 2 cm y de apotema 1.73 cm. Reprodúcelo en tu cuaderno.
Recuerda que: Un hexágono regular se puede dividir en 6 triángulos equiláteros congruentes.
a) ¿Cuánto mide el perímetro de la flor? b) ¿Cuánto mide el área de la flor?
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Respuestas. a) Cada arco es la tercera parte del perímetro de una circunferencia de radio 2 cm (lo subtiende un ángulo central de 120°). La flor se forma con seis arcos, que equivalen a 6 del perímetro de la circunferencia, 3 es decir que el perímetro es equivalente a dos veces el perímetro de la circunferencia. Es igual a 2(4π) = 8π = 25.12 cm. b) El área de una circunferencia de radio de 2 cm es de 4π. El área del hexágono es de 6(1.73). Al restarle al área de la circunferencia el área del hexágono se obtiene el área de tres pétalos. 4π – 6(1.73) = 2.18. Los seis pétalos tienen un área de 4.36 cm2 .
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• Que completen dos de las circunferencias en vértices consecutivos del hexágono, tracen una circunferencia de radio 2 cm con centro en el centro del hexágono (el hexágono queda inscrito en esa circunferencia) y tracen los seis triángulos equiláteros que dividen al hexágono. Esto puede ayudarlos a visualizar mejor el área que se les pide ya que cada sección que se forma entre la circunferencia y el hexágono es igual a la mitad de un pétalo de la flor. Las seis secciones entre las figuras forman tres pétalos de la flor. Entonces al restarle al área de la circunferencia el área del hexágono se obtiene el área de tres pétalos.
Respuestas. a) Es una circunferencia con centro en A y radio de 2 cm. b) El perímetro es 3 partes del perímetro de la 4 circunferencia. 3 (4π) = 3π = 9.42 cm. 4 c) El área es igual a 3 partes del área de la 4 circunferencia. Como el área de la circunferencia es 4π la respuesta es: 3 (4π) = 3π = 9.42 cm2 . 4 d) El área es igual a 2 partes del área de la 3 circunferencia. Como el área de la circunferencia es 4π la respuesta es: 2 (4π) = 8 π = 8.37 m2 . 3 3 Sugerencia didáctica. Si observa que tienen dificultades, pida a los alumnos que marquen el ángulo central que subtiende la parte de la circunferencia que queda afuera del hexágono. Pregúnteles cuánto mide ese ángulo. Esto puede ayudarlos a encontrar el área.
• Que coloreen tres de los sectores circulares con colores distintos. Esto puede ayudarlos, ya que cada sector circular equivale a un tercio de una circunferencia; al juntarlos se obtiene el hexágono y tres pétalos que se repiten (los que se enciman). Es decir que el área de una circunferencia completa es igual al área del hexágono más tres pétalos de la flor.
Sugerencia didáctica. Si observa que tienen dificultades para encontrar el área de la flor, hay dos posibles ayudas o pistas que puede darles (cada pista lleva a un procedimiento distinto, escoja la que le parezca más conveniente): Li b r o p ara e l maestro
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