MATEMÁTICAS
III
Respuesta. Esto fue importante porque de esta manera se sabe que AOV y BOA son suplementarios.
Comparen sus respuestas y comenten: ¿Para completar el texto fue importante tomar en cuenta que uno de los lados del ángulo inscrito es también diámetro de la circunferencia y que un lado del ángulo central también está sobre el diámetro? ¿Por qué? II. Caso II. Se observa que ninguno de los lados del ángulo inscrito es diámetro de la circunferencia, por esta razón se debe dar una justificación de que en este caso también se cumple la relación entre las medidas de los ángulos inscrito y central que subtienden el mismo arco. Traza el diámetro determinado por OU y denota el otro extremo del diámetro con X.
C O U
a) El diámetro UX dividió a los ángulos dados en dos ángulos cada uno. Expresa cada ángulo señalado como suma de los ángulos que formaste al trazar UX. DOC =
DOX + XOC
DUC =
DUX + XUC
Sugerencia didáctica. Pregunte a los alumnos por qué esta justificación es válida para cualesquiera ángulos inscrito y central que estén en el caso I.
Sugerencia didáctica. Comete a los alumnos que este dibujo representa a todos los ángulos inscritos y centrales que están en el caso II.
D Caso II
El procedimiento que se sigue consiste en trazar el diámetro determinado por OU. De esta manera el ángulo central DOC queda dividido en dos ángulos centrales, XOC y DOX y el ángulo inscrito DUC queda dividido en dos ángulos inscritos, XUC y DUX. Se obtienen dos parejas de ángulos central e inscrito que están en el caso I, XOC y XUC, DOX y DUX, para las que se utiliza la relación que se justificó en la actividad anterior.
b) Observa que al trazar el diámetro UX de la pareja de ángulos del caso II, se formaron dos parejas de ángulos como la del caso I. Utiliza el resultado obtenido en el caso I para responder: ¿Qué relación hay entre las medidas de los ángulos XUC y XOC? ¿Qué relación hay entre las medidas de los ángulos DUX y DOX?
XOC = 2 XUC DOX = 2 DUX
c) Utiliza tus respuestas al inciso anterior y formula una justificación de que la medida del DUC es la mitad de la medida del DOC?
Comparen sus justificaciones.
DOC = DOX + XOC = 2 DUX + 2 XUC = 2 ( DUX + XUC) = 2 DUC
XOC = 2 XUC E
III. Da una justificación de que para el caso III también se cumple la relación entre las medidas de un ángulo inscrito y uno central que subtienden el mismo arco.
DOX = 2 DUX. F
Traza el diámetro determinado por WO y denota el otro extremo del diámetro con Y. Al trazar WY, se identifican dos nuevas parejas de ángulos que, cada una, satisface el caso I
O
Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que escriban las dos parejas de ángulos que están en el caso I.
W
a) La primera pareja consta de los ángulos FWY y FOY, la segunda de los ángulos EWY y EOY.
Caso III
Expresa cada ángulo original como la diferencia de dos de los nuevos. FWE =
FWY – EWY
FOE =
FOY – EOY 55
MAT3 B1 S04.indd 55
El procedimiento que se sigue consiste en trazar el diámetro determinado por WO. De esta manera se obtienen dos parejas de ángulos central e inscrito que están en el caso I, FOY y FWY, EOY y EWY, para las que se utiliza la relación que se justificó en la actividad I. FOY = 2 FWY EOY = 2 EWY.
Sugerencia didáctica. Comete a los alumnos que este dibujo representa a todos los ángulos inscritos y centrales que están en el caso III.
6/20/08 4:59:03 PM
El ángulo central mayor ( FOY) y el ángulo inscrito mayor ( FWY) pueden expresarse como suma de otros dos ángulos: FWY =
FWE +
FOY =
FOE +
EWY EOY
Con estas igualdades se establece la expresión de los ángulos señalados como resta de los ángulos nuevos.
Li b r o p ara e l maestro
MAT3 B1 S04 maestro.indd 89
89
6/20/08 5:13:28 PM