Propósito de la sesión. Los alumnos justificarán formalmente la relación que encontraron entre las medidas de los ángulos central e inscrito que subtienden el mismo arco.
secuencia 4 pRObEMOS qUE UNO DE LOS ÁNGULOS ES LA MItAD DEL OtRO
SESIóN 3
Para empezar
Propósito del programa. Demostrar que para cualesquiera dos ángulos, central e inscrito, que subtienden el mismo arco, la medida del primero es el doble de la medida del segundo.
En la sesión 2 se afirmó que cuando un ángulo inscrito y uno central subienden el mismo arco, la medida del primero es la mitad de la medida del segundo, a partir de comprobar que la relación se cumplía en varios ejemplos. Sin embargo, aunque la relación se cumple en los ejemplos vistos no se puede garantizar que se cumpla siempre. En esta sesión probarás que esta relación se cumple para cualquier pareja de ángulos central e inscrito que subtiendan el mismo arco.
Se transmite por la red satelital Edusat. Consultar la cartelera para saber horario y días de transmisión.
Un ángulo inscrito y un ángulo central que subtienden el mismo arco pueden corresponder a tres casos diferentes: e
a
Propósito del interactivo. Descubrir mediante mediciones en una figura dinámica que:
c V
• Todos los ángulos inscritos que subtienden el mismo arco tienen la misma medida.
El procedimiento que se va a seguir consiste en identificar que el triángulo VOA es isósceles, debido a que dos de sus lados son radios de la circunferencia. Entonces los ángulos iguales del triángulo son OVA = VAO. Además hay dos ángulos que suman 180°. AOV + BOA = 180° (forman un ángulo llano alrededor de O). Por la suma de los ángulos interiores del triángulo isósceles se sabe que: AOV +
OVA +
D
W
Caso II
Caso III
Comenten en qué se distingue cada caso.
Manos a la obra i. caso i. Observa que VB , además de ser un lado del ángulo inscrito, es un diámetro de la circunferencia. Otra característica es que el lado OB está sobre el lado VB. Elije una de las opciones para completar el siguiente texto y justifica tu elección.
central
El BOa es un ángulo
a
. El BVa es un ángulo
(central / inscrito)
El VOa es
isósceles
V
O
B
de ahí que los ángulos
aOV + BOa =
180° (90° / 180°)
aOV + OVa + VaO =
Caso I
y
VAO
sean iguales.
son suplementarios
porque
180°
.
tiene dos lados iguales
porque
OVA
inscrito (central / inscrito)
(isósceles / equilátero)
porque son los ángulos interiores de un triángulo
(180° / 360°)
Comparando las dos igualdades anteriores se observa que BOa =
Comente a los alumnos que lo que se va a hacer en la sesión es justificar que, en todos los casos, el ángulo central mide el doble que el ángulo inscrito y, por lo tanto, el ángulo inscrito mide la mitad del ángulo central. Sugerencia didáctica. Comete a los alumnos que este dibujo representa a todos los ángulos inscritos y centrales que están el caso I.
O
u
Caso I
• La medida de un ángulo inscrito es la mitad de la medida de un ángulo central cuando subtienden el mismo arco. Sugerencia didáctica. Si lo considera pertinente, pida a algunos alumnos que pasen al pizarrón a dibujar ejemplos de cada uno de los casos presentados, para otros ángulos centrales. Pregunte al grupo si están de acuerdo en que son todos los casos posibles. En particular, algún alumno podría mencionar que hace falta el caso en el que la medida del ángulo central es mayor o igual que 180°. Este caso está incluido en el caso II, lo cual lo puede analizar con el grupo al final de la sesión.
O
B
O
F
( aOV +
ya que aOV + BOa = aOV + OVa + VaO porque De esta igualdad se obtiene que el BOa es
OVA + VAO OVa /
OVa +
VaO)
son iguales a 180°
el doble
.
del BVa .
(el doble / la mitad)
Lo que se puede escribir como: La medida del ángulo central BOa es el doble de la medida del ángulo BVa . 54
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Se resta BOA = Y como
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AOV de ambos lados: OVA + OVA =
VAO. VAO, entonces:
BOA = 2 OVA. Pero como OVA es el mismo ángulo que BVA, se obtiene la conclusión de que: BOA = 2 BVA, y entonces del BOA.
Posibles dificultades. Si observa que los alumnos tienen dificultades para establecer esta relación escriba la igualdad AOV +
BOA =
AOV +
OVA +
VAO
en el pizarrón y pregúnteles qué ocurre si se resta AOV en ambos lados.
BVA es la mitad
Es decir que el ángulo inscrito es la mitad del ángulo central.
VAO = 180°.
Entonces, como las dos expresiones son iguales a 180°: AOV +
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BOA =
AOV +
OVA +
VAO
L ib ro pa ra e l m a e st r o
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