MATEMÁTICAS 2. Las circunferencias con centros O1 y O2 tienen radios iguales y cada una pasa por el centro de la otra. La recta m es tangente en T a la circunferencia con centro O1 y es secante a la circunferencia con centro en O2. Además, los puntos O1, O2 y P son colineales. ¿Qué tipo de triángulo es el PO1T? ¿Cuánto mide el ángulo TO1P? ¿Cuánto mide TPO2?
Posibles procedimientos. O1TP mide 90° porque la recta m es tangente. O1TO2 mide 60° (se obtiene al calcular las medidas de los ángulos interiores del rombo). O2TP mide 30° (es complementario de O1TO2) y como el triángulo O2TP es isósceles, TPO2 mide también 30°.
m T
Rectángulo 60°
III
O1
120º
P O2
También puede obtenerse al prolongar la recta PO2 hacia O1 y observar que esa recta es un eje de simetría del rombo, por lo que TO1P mide 60°. Entonces, en el triángulo PO1T, el ángulo en el vértice P mide 30° (por la suma de los ángulos interiores de un triángulo).
30°
Justifica tu respuesta.
3. Sean C1 y C2 circunferencias con centros O1 y O2, respectivamente, tangentes en T. Traza la recta tangente a la circunferencia C1 por T y la tangente a C2 por T.
Toma en cuenta que en las circunferencias tangentes se cumple que la recta determinada por los centros pasa por el punto de tangencia de las circunferencias.
¿Qué tienen en común las rectas tangentes que trazaste?
Respuesta. Son la misma recta. La recta es perpendicular al radio O1T por ser tangente a C1. Pero entonces también es perpendicular al radio TO2 ya que los tres puntos, O1,T, O2 son colineales. Entonces también es la tangente a C2. Si lo considera conveniente, comente con los alumnos que las circunferencias pueden ser tangentes internas o tangentes externas.
Justifica tu respuesta.
Ahora sabes que una recta y una circunferencia pueden tener distintas posiciones entre sí. Además conociste algunas propiedades que permiten resolver diversos problemas.
Para saber más Sobre la construcción de una recta tangente a una circunferencia y de circunferencias tangentes, consulta: http://www.educacionplastica.net/tangen.htm Ruta 1: Construcción paso a paso Ruta 2: Ejercicios para practicar la construcción [Fecha de consulta: 1 de abril de 2008].
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Propósito del programa. Se muestran ejemplos de figuras semejantes y se destacan algunas características que permitirán después deducir cuáles son las condiciones que deben tener dos figuras para que sean semejantes. Plantear y resolver problemas que involucren las distintas posiciones relativas entre rectas y circunferencias en el plano vistas a lo largo de la secuencia. Se transmite por la red satelital Edusat. Consultar la cartelera para saber horario y días de transmisión.
Li b r o p ara e l maestro
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