MATEMÁTICAS
III
Respuestas. Hay dos posibles respuestas: la pareja 23 y 24, y la pareja –23 y –24. Para encontrar esos números, los alumnos pueden seguir varios procedimientos, como el ensayo y error. Una manera más rápida es obtener la raíz cuadrada de 552; como el número que se obtiene está entre 23 y 24, ésos son los dos números consecutivos que se buscan.
II. El producto de dos números enteros consecutivos es 552. ¿Cuáles son esos números? y Comparen sus soluciones y verifíquenlas. Comenten: a) Para resolver este tipo de problemas es necesario, frecuentemente, encontrar la ecuación primero la ecuación correspondiente. Si se representa con la letra x el número menor de los dos, ¿cuál de las siguientes ecuaciones corresponde al problema anterior? • (x ) (x ) = 552
Propósito de la actividad. El propósito es que los alumnos se vayan familiarizando con la traducción de problemas a expresiones algebraicas, en este caso, de ecuaciones de segundo grado.
• (x ) (552) = y • x (x + 1) = 552 • (x ) (x ) + 1 = 552 • x 2 + 1 = 552 b) Hay una pareja de números enteros negativos consecutivos cuyo producto es igual a 552. Completen la siguiente tabla para encontrarla.
x –23 –25
x + 1 x (x + 1)
Recuerden que:
506 –24 (–25) (–24) = 600
(–23) + 1 = –22
–22
(–23) (–22) =
(–25) + 1 = –24
c) ¿Cuáles son los números enteros negativos consecutivos que multiplicados dan 552?
–24
y
–23
A lo que llegamos Una ecuación cuadrática es una ecuación en la cual hay un término que tiene la incógnita elevada al cuadrado. Por ejemplo, las siguientes son ecuaciones cuadráticas: 2x 2 = 18
x 2 + 3x – 2 = 0
x (x + 3) = –9
Término cuadrático
Término cuadrático
Producto que da un término cuadrático
Las ecuaciones cuadráticas pueden tener dos soluciones. Por ejemplo: 2x 2 = 18, tiene dos soluciones: +3 y –3, porque al sustituir estos valores en la ecuación y efectuar las operaciones se obtiene 18. Ecuación:
2x 2 = 18
Para x = +3:
2 (+3)2 = 2 (+9) = 18
Para x = -3:
2 (–3)2 = 2 (+9) = 18 91
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Propósitos de la secuencia Utilizar ecuaciones no lineales para modelar situaciones y resolverlas utilizando procedimientos personales u operaciones inversas.
Sesión
Propósitos de la sesión
Recursos
1
El número secreto Descubrir que una ecuación de segundo grado puede tener hasta dos soluciones.
Programa 13 Aula de medios Ecuaciones con más de una solución I (Calculadora)
2
Cubos, cuadrados y aristas Conocer y analizar diversos procedimientos para resolver ecuaciones no lineales.
3
Menú de problemas Resolver e inventar problemas que puedan modelarse con ecuaciones de segundo y tercer grado.
Programa 14 Interactivo
Posibles dificultades. Algunos alumnos podrían cometer errores como los siguientes: • Multiplicar un número por sí mismo (olvidando que deben ser números consecutivos), que es el caso que se presenta en la primera ecuación. • Primero elevar al cuadrado un número y luego sumarle 1 (porque son consecutivos), que es el caso que se presenta en la última ecuación. Si sus alumnos cometen alguno de estos errores u otros, revisen juntos el enunciado haciendo énfasis en que son dos números consecutivos cuyo producto es 552. Si se representa con x al número menor, el mayor tiene que ser x + 1, entonces la expresión correcta es x (x + 1) = 552. Propósito de la actividad. Es posible que los alumnos en el primer paso descubran que la pareja de números negativos que se busca tiene que ser –24 y –23 porque 552 se encuentra entre 506 y 600. Sin embargo, en la tabla hay más renglones por si algunos alumnos no lo logran en el primer paso. Posibles dificultades. Aunque los alumnos ya han sumado y restado números enteros desde el primer grado de secundaria, es probable que algunos tengan dificultades al tratar de sumarle 1 a la expresión x + 1 cuando x es un número negativo. Recuérdeles que si x = –23, entonces x + 1 = –22 (y no –24). Sugerencia didáctica. Es posible que algunos alumnos intenten resolver el problema utilizando la ecuación que seleccionaron en el inciso a); sin embargo, puede resultarles difícil porque todavía no han aprendido a hacerlo. Si logran plantear x 2 + x = 552, sugiérales que la resuelvan por ensayo y error probando con varias parejas de números. Podrán justificar su respuesta llenando la tabla del inciso b). Esta ecuación puede resolverse igualando a cero y factorizando, como se muestra enseguida. Los alumnos estudiarán ese método en la secuencia 9, por lo que ahora no es conveniente que se explique.
x (x + 1) = 552 x 2 + x = 552 x 2 + x – 552 = 0 (x + 24) (x – 23) = 0 x 1 = –24 x 2 = 23 La ecuación tiene dos soluciones: x puede valer –24 (su consecutivo sería –23), y también puede valer 23 (su consecutivo sería 24). Ambas soluciones son pertinentes para resolver el problema. Li b r o p ara el maestro
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