Matemática I by Samuel Gonzalez

UNIDAD I Objetivo general. Al finalizar la unidad el estudiante deberá resolver inecuaciones lineales, cuadráticas y racionales; reconocer el plano cartesiano e identificar las diferentes ecuaciones de la recta y de la circunferencia con sus respectivas gráficas, así como hallar sus ecuaciones en problemas específicos. El tema preliminar de los números reales y sus propiedades básicas puede consultarse el la dirección http://huitoto.udea.edu.co/Matematicas/sisnum.html 1. Inecuaciones Entre los números reales y los puntos de una recta l existe una correspondencia biunívoca, en el sentido de que a cada número real

c le corresponde uno y sólo un punto P en l , y

viceversa, a cada punto P le corresponde un único número real. Denotemos con O el punto de la recta correspondiente al número 0. Ubicaremos a la derecha del punto O a los número reales positivos, y a la izquierda los negativos. Si a y b son números reales y a - b es positivo, se dice que a es mayor que b y se escribe a > b. Esto es equivalente a decir que b es menor que a ( b < a ). Los símbolos > y < se llaman signos de desigualdad y expresiones como a > b y a < b se denominan desigualdades. De esta forma afirmamos que 6 es mayor que 2, es decir 6 > 2, pues 6-2 = 4, que es un número positivo. Análogamente podemos concluir que 12 es mayor que 5, en símbolos tenemos que 12 > 5, puesto que 12-5 = 7, y 7 es un número positivo. La expresión a ≤ b se lee a es menor que b o bien a es igual a b. El símbolo ≥ se interpreta de manera análoga. Las propiedades que se enuncian a continuación le ayudarán a resolver las inecuaciones que serán planteadas en este curso. Propiedades de las desigualdades i ) Si a < b y b < c entonces ii ) Si a < b y

a<c

c es un número real cualquiera, entonces

iii ) Si a < b y c > 0 entonces ac < bc iv ) Si a < b y c < 0 entonces ac > bc v ) Si ab > 0 entonces a > 0 y b > 0

o a<0 y b<0

a+c <b+c

vi ) Si ab < 0 entonces a > 0 y b < 0 o a < 0 y b > 0

Similares propiedades se cumplen si empleamos los símbolos ≥ o ≤ Una inecuación es una desigualdad en la que intervienen variables y números con las operaciones aritméticas usuales. Ejemplos de inecuaciones 1. 4 x − 1 < 3 2. x 2 -3x ≥ 2-x 3. 6 x + 5 > 2 x − 9 4. xy + 2 ≤ 3 Solución de una inecuación La solución de una inecuación está conformada por todos los números reales para los que la inecuación cierta. 1.1 Intervalos en la recta real Como es sabido de todos, resolver la ecuación x 2 − 3x + 2 = 0 sobre ℜ , significa encontrar todos los números reales tales que al sustituir en la ecuación la incógnita

x por

dichos números, se satisface la igualdad, es decir el resultado es cero. Así 1 y 2 conforman la solución de la ecuación, pues sólo ellos la satisfacen. Verifiquemos a continuación esta afirmación. Reemplazando la

x primero por 1 y luego por 2, resulta:

12 − 3.1 + 2 = 1 − 3 + 2 = 3 − 3 = 0

y 2 2 − 3.2 + 2 = 4 − 6 + 2 = 6 − 6 = 0

Con las inecuaciones en general sucede algo completamente diferente, en el sentido de que en buena parte de los casos, la solución está conformada por infinitos números reales, por lo que nos resulta imposible nombrarlos uno por uno. Por ejemplo, si queremos resolver una inecuación tan sencilla como x > 1 , por simple inspección nos damos cuenta de que 2 forma parte de la solución pues 2 > 1, podemos decir lo mismo de los números 3,4,5,6,…, ya que 3 >1, 4 > 1, 5 > 1, 6 > 1,…. Como se observa la solución de la inecuación x > 1 consta de infinitos elementos. Debido a la imposibilidad de mencionarlos a todos,

expresaremos la solución en términos de ciertos conjuntos(esta palabra se coloca subrayada porque establecerá un vínculo con otras páginas que tratarán sobre teoría de conjuntos) denominados intervalos de la recta real y que son definidos a continuación. Definición 1.1. Sean a y b números reales tales que a < b . En la siguiente tabla se definen los diferentes intervalos de la recta real.

Tipo de Intervalo

Conjunto de

Notación

Abierto Cerrado Semiabierto por la

{ x ∈ ℜ : a < x < b} { x ∈ ℜ : a ≤ x ≤ b} { x ∈ ℜ : a ≤ x < b}

( a, b ) [a, b] [a, b )

derecha Semiabierto por la

{ x ∈ ℜ : a < x ≤ b}

(a, b ]

izquierda Infinito Infinito Infinito Infinito Infinito

{ x ∈ ℜ : x ≤ b} { x ∈ ℜ : x < b} { x ∈ ℜ : x ≥ a} { x ∈ ℜ : x > a}

(−∞, b] ( − ∞, b ) [a,+∞) ( a,+∞) ( −∞,+∞)

números reales

Los números

a y

ℜ

b se denominan extremos del intervalo.

Obsérvese que si el extremo de un intervalo va acompañado de un paréntesis, dicho extremo no está incluido en el intervalo. Si, por el contrario, un extremo del intervalo lleva un corchete, dicho extremo si forma parte del intervalo. Según esto, el intervalo semiabierto por la derecha [−4,3) , no contiene al número 3, pero si contiene al 4. Tipos de inecuaciones Las inecuaciones se clasifican de acuerdo al número de incógnitas y al grado de la expresión algebraica que interviene en la inecuación. 1.2 Inecuaciones lineales con una incógnita Son inecuaciones de la forma ax + b > 0 , ax + b ≥ 0 , ax + b < 0 y ax + b ≤ 0

Ejemplo 1.2.1 Resolver la inecuación 6 x + 4 ≤ 0 Solución. Para resolver la inecuación planteada se despeja la variable

x haciendo uso de

las propiedades enunciadas. En primer lugar sumamos -4 a ambos lados de la inecuación, obteniéndose 6 x + 4 + ( −4) ≤ 0 + ( −4)

6 x ≤ −4

A continuación multiplicamos cada miembro de la inecuación por 1 , resultando

4 2 1  1 6x  ≤ −4  . Entonces x ≤ − , es decir x ≤ − . 6 3 6 6

(

Luego la solución está constituida por todos los números reales del intervalo − ∞,− 2

]

Ejemplo 1.2.2 Resolver 3 x − 2 ≥ 4 x + 5 Solución. Para resolver esta inecuación se agruparán de un sólo lado de ella los múltiplos de la incógnita

x. Es irrelevante el lado que se elija para tal fin. Para ello sumemos - 3 x y 2

ambos lados de la inecuación 3x − 2 − 3x + 2 ≥ 4 x + 5 − 3 x + 2

Resultando 0≥ x+7

de donde sumando - 7 a ambos miembros de la inecuación 0 + ( −7) ≥ x + 7 + ( −7)

x ≤ −7

Por lo tanto la solución es (−∞,−7 ] . 1.3 Doble inecuación lineal Son inecuaciones en las que están presentes dos signos de inecuación. Ejemplo 1.3.1 Resolver la inecuación − 3 ≤ 5 x + 4 < 6 . Solución. Despejaremos la incógnita

x en el miembro central de la inecuación. Con este

fin sumamos -4 a cada término. − 3 + ( −4) ≤ 5 x + 4 + ( −4) < 6 + ( −4)

− 7 ≤ 5x < 2

x , multiplicamos los tres miembros por el

A continuación, para completar e despeje de número real positivo

1 : 5 ( −7)

1 1 1 ≤ (5 x ) < 2 5 5 5 −

Despejada la incógnita

7 2 ≤x< 5 5

x en la parte central de la doble inecuación, podemos decir cual es

la solución.

[

Así la solución de la inecuación es − 7 , 2

)

5 .

Observación. El procedimiento seguido para resolver el ejemplo anterior fue posible por el hecho de que la incógnita sólo aparecía en la parte central de la inecuación, lo que permitió su despeje con relativa facilidad. Si este no fuera el caso, el procedimiento a seguir se muestra en el ejemplo 1.3.2. Ejemplo 1.3.2 Resuelva la inecuación 2 x + 3 < 4 x − 1 ≤ 6 x − 3 . Solución. Para determinar la solución

se resolverán separadamente las inecuaciones

2 x + 3 < 4 x − 1 y 4 x − 1 ≤ 6 x − 3 , según el procedimiento seguido en el ejemplo 1.1.2 y

luego se intersectan (vínculo con el apéndice de TC) ambas soluciones. i) 2x + 3 < 4x −1

Para resolver esta inecuación agruparemos los términos con

x de un lado de la

desigualdad y los que no dependen de la incógnita, del otro lado. Para ello sumamos − 2 x a ambos miembros y luego sumamos 1. 2x + 3 + ( − 2x ) < 4x −1 + ( − 2x )

3 < 2 x −1

3 + 1 < 2x −1 + 1 4 < 2x

Para completar el despeje de la

x , multiplicamos la inecuación por 4

1 1 < (2 x) 2 2

1 2

2<x

Es decir la solución de la inecuación es el conjunto de todos los números reales mayores que 2, es decir el intervalo ( 2,+∞) . Ejercicios propuestos (vínculo para los ejercicios)

1.4 Inecuaciones cuadráticas con una incógnita Son inecuaciones en las que intervienen polinomios de grado 2: ax 2 + bx + c , con a ≠ 0. Ejemplo 1.4.1 Halle la solución de la inecuación x 2 − 7 x + 12 > 0 . Solución. Existen diversos métodos para hallar la solución de este tipo de inecuaciones, nosotros elegimos el que describimos en los pasos mostrados a continuación. a) Se calculan las raíces del polinomio x 2 − 7 x + 12 . Esto puede hacerse por el método de Ruffuni(vínculo para ver el método) o aplicando la fórmula resolvente x=

− b ± b 2 − 4ac , que permite hallar las raíces de todo polinomio como el 2a

considerado en 1.3. Si aplicamos la fórmula resolvente para hallar las raíces del polinomio de segundo grado x 2 − 7 x + 12 , recordemos lo siguiente: La letra

a en la fórmula representa el coeficiente de

x 2 , por lo que en nuestro caso

x , por lo tanto b = −7 en este ejemplo. Finalmente la letra c es el término independiente de la x , así c = 12 . a = 1 . La letra b representa el coeficiente de la incógnita

Sustituyendo estos valores en la resolvente, obtenemos x=

− b ± b 2 − 4ac − ( − 7 ) ± = 2a

( − 7 ) 2 − 4.1.12 2 .1

7 ± 49 − 48 7 ± 1 7 ± 1 = = 2 2 2

de donde tenemos que una de las raíces es x1 =

7 +1 8 = =4 2 2

x2 =

7 −1 6 = =3 2 2

y la otra raíz es

Representamos las raíces calculadas en la recta real y con ellas la dividimos en tres intervalos: ( −∞,3) , ( 3,4) y ( 4,+∞) como se ve en la siguiente gráfica.

Figura 1.1 b) En cada intervalo se elige un número de manera arbitraria y se evalúa la expresión cuadrática en cada uno de estos valores, para determinar el signo de dicha expresión en el respectivo intervalo. De esta forma, tomemos 0 del intervalo ( −∞,3) y sustituyámoslo en x 2 − 7 x + 12 . Tenemos 0 2 − 7.0 + 12 = +12

Obsérvese que al ser positivo el signo de la cantidad resultante, también será positivo el signo de cualquier número obtenido mediante la evaluación de este polinomio de segundo grado en cualquier elemento del intervalo ( −∞,3) . A continuación evaluamos x 2 − 7 x + 12 en

7 , número perteneciente a (3,4) , para obtener 2

49 49 49 − 98 + 48 97 − 98 1 7 7 − + 12 = = =−   − 7  + 12 = 4 2 4 4 4 2 2

Este resultado implica que la función cuadrática mantendrá constante el signo negativo en el intervalo ( 3,4) . Reiterando el procedimiento para el número 5 en el intervalo ( 4,+∞) , se tiene 5 2 − 7.5 + 12 = 25 − 35 + 12 = +2

Como en los dos intervalos precedentes, el signo positivo del número resultante indica que x 2 − 7 x + 12 se mantiene positiva en el intervalo ( 4,+∞) .

Representamos los resultados obtenidos con respecto a los signos, en la gráfica siguiente

Figura 1.2

Los intervalos solución de la inecuación planteada, serán aquellos en los que la evaluación de la expresión cuadrática dio como resultado un número positivo. Por lo tanto la solución es ( −∞,3)  ( 4,+∞) . Observemos que los extremos 3 y 4 de los intervalos no forman parte de la solución porque son las raíces de la expresión cuadrática y consecuentemente no satisfacen la desigualdad estricta. Otro procedimiento para hallar la solución de la desigualdad cuadrática Dado que x1 = 3 y x 2 = 4 son las raíces de x 2 − 7 x + 12 , entonces podemos factorizar el polinomio como sigue: x 2 − 7 x + 12 = ( x − 3)( x − 4 ) . Ahora, para que ( x − 3)( x − 4 ) > 0 se requiere que el producto de los dos factores sea positivo, por lo que ambos factores deben tener el mismo signo, es decir x − 3 > 0 y x − 4 > 0 o bien x − 3 < 0 y x − 4 < 0 . Caso 1. Si x − 3 > 0 y x − 4 > 0 , entonces x > 3 y x > 4 , por lo que x ∈( 3,+∞) y x ∈( 4,+∞) simultáneamente. En consecuencia x ∈( 3,+∞)  ( 4,+∞) , así la solución parcial dada por este primer caso es sol1 = ( 4,+∞) . Caso 2. Si x − 3 < 0 y x − 4 < 0 , entonces x < 3 y x < 4 , de donde x ∈( − ∞,3) y x ∈( − ∞,4 ) simultáneamente, lo cual quiere decir que x ∈( − ∞,3)  ( − ∞,4 ) = ( −∞,3) . Así la solución obtenida para el caso 2 es sol2 = ( −∞,3) . Finalmente la solución de la inecuación es la unión de las soluciones parciales 1 y 2. SolT = sol1  sol2= ( −∞,3)  ( 4,+∞) . Si en una inecuación cuadrática ninguno de los miembros es cero, se aplicarán las propiedades de las desigualdades de forma conveniente para anular uno de sus “lados”, y luego seguir el método descrito. Ejemplo 1.4.2 Encuentre la solución de la inecuación 5 x 2 − 2 x − 1 ≤ 2 x 2 − x + 3 . Solución. Primeramente transformaremos en cero uno de los lados de la inecuación empleando las propiedades adecuadas. Convertiremos en 0 el lado derecho de la inecuación. 5x 2 − 2 x − 1 ≤ 2 x 2 − x + 3 5x 2 − 2 x − 1 − 2x 2 ≤ 2 x 2 − x + 3 − 2x 2

3x 2 − 2 x − 1 ≤ −x + 3 3x 2 − 2 x − 1 + x ≤ − x + 3 + x 3x 2 − x − 1 ≤ 3 3 x 2 − x − 1 + ( − 3) ≤ 3 + ( − 3)

3x 2 − x − 4 ≤ 0

La inecuación resultante es similar a la resuelta en el ejemplo 1.3.1, así que podemos seguir el procedimiento allí empleado. a) Calculemos las raíces de 3 x 2 − x − 4 . Utilizaremos con esta finalidad la resolvente x=

− b ± b 2 − 4ac , siendo en este ejemplo a = 3, b = −1 2a

c = −4 .

Sustituyendo estos valores en la fórmula, resulta x=

− ( −1) ±

( −1) 2 − 4.3.( − 4) 2.3

Así una raíz es x1 =

1+ 7 8 4 = = 6 6 3

1 ±7 1 ± 1 − ( −48) 1 ± 49 == = 6 6 6

y la otra x 2 =

1−7 −6 = = −1 6 6

b) Representamos las raíces calculadas en la recta real, dividiendo con ellas a la recta en tres intervalos ( −∞,−1) ,

(− 1, 4 3 ) y ( 4 3 ,+∞ ) .

Tomemos ahora cualquier número en el intervalo ( −∞,−1) , por ejemplo -2. Entonces 3( − 2 ) − ( − 2 ) − 4 = 3.4 + 2 − 4 = +10 2

En el intervalo

(− 1, 4 3 ) elijamos 0; sustituyendo en la fórmula cuadrática obtenemos 3.0 2 − 0 − 4 = −4

Por último, haciendo x = 2 en

( 4 3 ,+∞ ) , tenemos

3.2 2 − 2 − 4 = 3.4 − 6 = 12 − 6 = +6

Representamos estos resultados en la recta real con la siguiente figura

Figura 1.3 En consecuencia la solución de la inecuación es

[− 1, 4 3 ]

, pues en este intervalo la

evaluación del polinomio 3 x 2 − x − 4 arrojó como resultados números reales negativos o cero, por lo que se satisface la inecuación 3 x 2 − x − 4 ≤ 0 . Ejercicios propuestos (vínculo) 1.5 Inecuaciones de tipo racional con una incógnita Son

inecuaciones

forma

P( x ) P( x ) P( x ) P( x ) > 0, ≥ 0, <0 o ≤ 0, Q( x ) Q( x ) Q( x ) Q( x )

donde

P ( x ) y Q ( x ) son polinomios.

Ejemplo1.5.1 Resolver

7 x −1 ≤0 4x + 3

Solución. Un método para resolver esta clase de inecuaciones está definido mediante los pasos que se describen a continuación. i. Se determinan las raíces del numerador y del denominador de la fracción. Con este fin se resulten las ecuaciones 7 x −1 = 0 y 4 x + 3 = 0, cuyas soluciones son x =

1 3 y x =− 7 4

respectivamente. ii. Se construye la gráfica que muestra los signos de la fracción sobre la recta real. Procediendo como en el ejemplo anterior, se divide la recta real

en los intervalos

(− ∞ ,− 3 4 ), (− 3 4 , 17 ) y ( 17 ,+∞ ) . Seleccionamos un número en cada intervalo y evaluamos

7 x −1 4x +3

(1) en cada uno de ellos para conocer el signo de expresión racional

en cada uno de los intervalos mencionados. Eligiendo -1 en

(− ∞,− 3 4 ) y sustituyéndolo

en (1), obtenemos

7( − 1) − 1 − 7 − 1 − 8 = = = +8, por lo que el signo de la expresión 4( − 1) + 3 − 4 + 3 − 1

racional es positivo sobre el intervalo considerado. A continuación tomemos 0 en

(− 3 4 , 17 ) , sustituimos de nuevo para obtener (1) es negativa en

la fracción la

( 17 ,+∞ ). ,

7.0 −1 1 = − . Este resultado indica que 4 .0 + 3 3

(− 3 4 , 17 ) . Finalmente escogemos 1 en ( 17 ,+∞ ). . Reemplazando en

x por 1, resulta

7(1) − 1 7 − 1 6 = = + . Esto dice que en el intervalo 4(1) + 3 4 + 3 7

7 x −1 es positiva. Expresamos estos resultados en la siguiente gráfica: 4x + 3

Por lo tanto, la solución de la inecuación está constituida por el intervalo en el que la sustitución dio como resultado un número negativo, es decir el intervalo

( − 3 4 , 17 )

Algunas inecuaciones pueden parecer diferentes de los cuatro tipos especificados al comienzo de esta sección, sin embargo pueden, mediante las adecuadas operaciones algebraicas, transformarse en inecuaciones similares a las que hemos llamado del tipo racional. Un ejemplo lo mostramos a continuación. Ejemplo 1.5.2 Halle la solución de la inecuación

6 − 5x >2 2 x −1

Solución. Para hallar la solución, en primer lugar debemos transformar la inecuación en una equivalente que tenga la forma

P( x ) > 0 ; para ello sumemos -2 a sus dos miembros. Q( x ) 6 − 5x + ( − 2 ) > 2 + ( − 2) 2x −1

Luego

6 − 5x −2 >0 2 x −1

6 − 5 x − 2( 2 x − 1) >0 2x −1 6 − 5x − 4x + 2 >0 2x −1 − 9x + 8 >0 2x −1

Una vez que se ha logrado expresar la inecuación inicial como uno de los tipos señalados en el inicio de la sección, seguimos el procedimiento del ejemplo 1.4.1. Determinamos la raíz del numerador − 9 x + 8 = 0 , luego − 9 x = −8 de donde

x= 8

Hallamos ahora la raíz del denominador de la fracción 2 x − 1 = 0 , por lo que 2 x = 1 y

x= 1

Con las raíces obtenidas, dividimos la recta real en tres subintervalos:

(

( − ∞ , 1 2 ), ( 1 2 , 8 9 )

)

y 8 9 ,+∞ . Ahora estudiamos el signo de la fracción en cada uno de estos intervalos. Tomamos 0 en el intervalo

(− ∞, 12)

y evaluamos la fracción en él.

− 9.0 + 8 8 = = −8 2.0 −1 −1

Este resultado quiere decir que en el intervalo considerado, la expresión racional sólo toma valores negativos. Seleccionemos x = 4

(

)

1 ,8 5 del intervalo 2 9 . Sustituyendo resulta 4 36 − 36 + 40 4 − 9. + 8 − +8 4 5 5 = 5 = = 5 =+ 4 8 8−5 3 3 2. − 1 −1 5 5 5 5

Del resultado se tiene que la fracción sólo toma valores positivos en el intervalo

( 12 , 8 9 ) .

Finalmente escojamos x = 1 en el intervalo

( 8 9 ,+∞ ) .

Al evaluar obtenemos − 9.1 + 8 − 9 + 8 1 = = = +1 2.1 − 1 2 −1 1

Estos resultados con respecto a los signos de la fracción, quedan representados en el siguiente gráfico

Figura 1.4 Así la solución de la inecuación está dada por aquellos intervalos en los que la evaluación de la expresión racional que interviene en la inecuación, dio como resultados números positivos, es decir Sol =

( − ∞ ,1 2 ) 

( 8 9 ,+∞ )

Vínculo para los ejercicios propuestos 2. Inecuaciones con valor absoluto Para comenzar definamos que se entiende por el valor absoluto de un número real. Definición 2.1. El valor absoluto de un número real

a se denota

 a si a ≥ 0 a=   − a si a < 0 Ejemplos. 2.1.1)

3 =3

pues 3 ≥ 0

2.1.2) 2 3 = 2 3 pues 2 ≥ 0 3 2.1.3) 2.1.4)

0 =0 2 = 2

porque

2.1.5) π =π pues π ≥ 0

2 ≥0

y se define como:

2.1.6)

−6 = −( −6 ) = 6

2.1.7) − 5 2.1.8)

− 3

debido a que − 6 < 0

( )

= − − 5 = 5 ya que − 5 3 < 0 3 3 =−(− 3 ) = 3 puesto que − 3 < 0

Propiedades del valor absoluto

a y

Sean 1) 2)

b números reales.

a ≥0

para todo número real

−a = a

Ejemplo 2.1.9. Si a = −3 , entonces

−a = −( −3) = 3 = 3 .

resultando que

, como lo afirma la propiedad.

−a = a

Por otra parte

a = −3 = −( −3) = 3 ,

ab = a b

Ejemplo 2.1.10. Sean a = 4 y b = −7 , entonces ab = 4.( − 7 ) = − 28 = −( − 28) = 28 . Calculando ahora resulta

a b

4.(−7 ) = 4 −7

a b = 4 − 7 = 4.( − ( − 7 ) ) = 4.7 = 28 .Así

cumple

igualdad

, como debía suceder según la propiedad.

4) Si b ≠ 0, entonces

a a = b b

Ejemplo 2.1.11. Si a b

a = −9

−9 5

b =5,

−( −9) 9 = 5 5

tiene

que

. En consecuencia

5) Desigualdad Triangular:

a +b ≤ a + b

a −9  9 9 = = − −  = . b 5  5 5

−9 −9 = 5 5

Por

otro

lado

, tal como queríamos verificar.

Ejemplo 2.1.12. Tomemos a = 12 y b = −8 . Calculemos Primeramente

a +b = 12 +( −8) = 4 = 4 .

a +b

, y comparemos los resultados.

Además a + b = 12 + − 8 = 12 + ( − ( − 8) ) = 12 + 8 = 20 . 12 +( −8 ) = 4 ≤ 20 = 12 + −8

a =

conclusión

, como lo garantizaba la desigualdad triangular.

Ejemplo 2.1.13. Sea a = −8 . Entonces 7)

− 8

= − ( − 8) = 8 y

( − 8) 2

= 64 = 8. Luego

−8 =

( −8) 2

=8 .

a ≤ b ⇔a 2 ≤ b 2 .

8) Sea b ≥ 0 . a < b si y sólo si − b < a < b Ejemplo 2.1.14. El conjunto de números reales

x tales que

x <4 ,

está integrado por aquellos números

que satisfacen la desigualdad − 4 < x < 4 , es decir por los elementos del intervalo abierto

( − 4,4 ). 9) Sea b ≥ 0.

a ≤b

si y sólo si − b ≤ a ≤ b .

Ejemplo 2.1.15. La solución de la inecuación x ≤ 6

−6 ≤ x≤ 6 7 la constituyen los números tales que 7 7

en otras palabras, el intervalo cerrado

[− 6 7 , 6 7 ]

10) Si b ≥ 0 , tenemos que x > b si y sólo si x < −b o x > b . La propiedad quiere decir que x > b si x ∈ ( − ∞,−b ) o x ∈( b,+∞) , por lo tanto si x ∈( − ∞,−b )  ( b,+∞) .

Ejemplo 2.1.16. Según la propiedad 10, la solución de la inecuación

x >9

está formada por los números

x tales que x < −9 o x > 9 . Como los números menores que -9 pertenecen al intervalo ( −∞,−9 ) , y los mayores que 9 pertenecen al intervalo ( 9,+∞) , se concluye que reales

la solución es ( − ∞,−9 )  ( 9,+∞) . 11) Sea b ≥ 0 . Entonces

x ≥b

si y sólo si x ≤ −b o x ≥ b ; escrita con notación de

intervalo, la solución es ( −∞,−b]  [b,+∞) .

A continuación se presentan algunos ejemplos de resolución de inecuaciones con valor absoluto. Ejemplo 2.1.17. Resolver

x 2 −x −5 <1

Solución. Lo primero que debe hacerse para resolver la inecuación es aplicar una propiedad que sea adecuada para eliminar el valor absoluto. Con este fin emplearemos la propiedad 8. De esta forma resulta − 1 < x 2 − x − 5 < 1 , obteniéndose una inecuación sin valor absoluto, la cual puede resolverse utilizando los métodos desarrollados para este tipo de inecuaciones al comienzo de la unidad. Descomponemos la doble desigualdad en dos inecuaciones: i) − 1 < x 2 − x − 5 y

ii ) x 2 − x − 5 < 1

i) − 1 < x 2 − x − 5

Sumamos 1 a ambos miembros de la inecuación −1 +1 < x 2 − x − 5 + 1

0 < x2 − x − 4 Calculamos las raíces de la expresión cuadrática, es decir hallamos la solución de x2 − x − 4 = 0 , x=

− b ± b 2 − 4ac 2a

donde a = 1, b = −1 y c = −4 . 2 Entonces x = − ( −1) ± ( −1) − 4.1.( − 4) = 1 ± 1 − ( −16) = 1 ± 17

2.1

x1 =

1 + 17 2

y x2 =

1 − 17 2

Con estas raíces dividimos la recta real en tres intervalos:

 1 − 17 1 + 17   1 + 17       2 , 2  y  2 ,+∞  .    

 1 − 17   − ∞, ,  2  

A continuación determinaremos el signo de x 2 − x − 4 en cada uno de estos intervalos.  1 − 17  . Para ello evaluemos la fórmula cuadrática en x = −2 , tomado de  − ∞,  2  

( − 2 ) 2 − ( − 2 ) − 4 = 4 + 2 − 4 = +2 







1 − 17 1 + 17 Evaluando en 0, número perteneciente a  2 , 2  , resulta

0 2 − 0 − 4 = −4

 1 + 17  ,+∞  , obtenemos Por último seleccionando 3 de   2  3 2 − 3 − 4 = 9 − 7 = +2

De esta forma se han determinado los signos de la expresión cuadrática en cada uno de los tres intervalos considerados. Los resultados se reflejan en el siguiente gráfico

1 − 17 2

1 + 17 2

  1 − 17   1 + 17   ,+∞ La solución de la inecuación (i ) es sol i =  − ∞,   2   2   Resolveremos en lo que sigue la inecuación: ii ) x 2 − x − 5 < 1

El procedimiento es análogo al seguido para hallar la solución de la anterior inecuación. x2 − x − 5 −1 < 1 −1 x2 − x − 6 < 0 Aplicamos la fórmula resolvente para encontrar las raíces de la expresión cuadrática.

− b ± b 2 − 4ac , donde a =1, b = −1 y c = −6 . Sustituyendo estos valores en la 2a

resolvente, tenemos x=

− ( − 1) ±

( − 1) 2 − 4.1.( − 6) 2 .1

x1 =

1+ 5 6 = =3 y 2 2

1 ± 1 − ( − 24) 1 ± 25 1 ± 5 = = 2 2 2

x2 =

1−5 − 4 = = −2 2 2

Con estas raíces dividimos la recta real en tres intervalos: ( −∞,−2 ), ( − 2,3) y (3,+∞) . Luego evaluemos el polinomio x 2 − x − 6 en un número de cada uno de los tres intervalos mencionados, con el objeto de determinar el signo que toma dicho polinomio en cada intervalo. Escojamos -3 de ( −∞,−2 ) . Entonces ( − 3) 2 − ( − 3) − 6 = 9 + 3 − 6 = +6 Seleccionamos 0 en ( − 2,3) . Evaluando resulta 0 2 − 0 − 6 = −6 Por último tomamos 4 en (3,+∞) . Así 4 2 − 4 − 6 = 16 − 10 = +6 Estos resultados tienen la siguiente interpretación: El primero implica que el polinomio cuadrático da un valor positivo no sólo al ser evaluado en -3, sino en todos y cada uno de los números de ( −∞,−2 ) ; similar interpretación tiene el resultado con respecto a (3,+∞) . Por otra parte, al ser -6 el número obtenido al sustituir x por 0 en el polinomio de segundo grado, se concluye que el mismo sólo toma valores negativos en el intervalo ( − 2,3) . Resumimos este análisis en el siguiente gráfico.

Figura 1.5 2 Como la inecuación que se está resolviendo, x − x − 6 < 0 ,dice que se quieren hallar

todos los números reales que al sustituirlos por x , el resultado es menor que 0, la solución

(ii ) es solii = ( − 2,3) . Finalmente como la solución de la inecuación inicial, está formada por números que satisfacen simultáneamente las inecuaciones (i ) y (ii ) , entonces ella se obtiene

intersectando (vínculo con la sección de TC), es decir determinando los elementos que tienen en común las soluciones obtenidas de forma independiente.   1 − 17   1 + 17   ,+∞ SolT = soli  solii=  − ∞,    ( − 2,3)  2 2     Representemos en un mismo gráfico, ambas soluciones. La intersección será la parte en común de las gráficas de las soluciones.

-2

1 − 17 2

1 + 17 2

Figura 1.6



Así SolT =  − 2,



1 − 17   2 

1 + 17   ,3   . 2  

5 x −1

Ejemplo 2.1.18. Resolver 9 − 7 x ≥ 2 Solución. Por la propiedad 11 del valor absoluto, tenemos que 5 x −1 ≥2 9 −7 x

si y sólo si i )

5 x −1 ≤ −2 9 − 7x

ii )

5 x −1 ≥2 9 −7x

Por lo tanto para resolver la inecuación planteada debemos hallar las soluciones de i ) y ii ) y luego unirlas. Ambas desigualdades se resuelven según el procedimiento empleado en los ejemplos 1.4.1 y 1.4.2. Se deja al estudiante comprobar que la solución de la inecuación i )

(

]

es: soli = 9 7 ,17 9 . Observe que el extremo 9 7 del intervalo no se incluye en la solución porque es raíz del denominador de la fracción y no existe la división entre cero, mientras

que el extremo mayor 17

9 se incluye porque es raíz del numerador y al sustituirlo el

cociente es cero, así que para x = 17

9 es cierta la desigualdad..

[ )

Verifique que la solución de la inecuación ii ) es solii = 1, 9 7 . Explique por qué 1 forma parte de la solución y por qué 9

7 no forma parte de ella.

Finalmente la propiedad 11 nos dice que la solución de la inecuación con valor absoluto es está dada por la unión de las dos soluciones parciales obtenidas.

[

SolT = soli  solii = 1, 9

) ( 9 7 ,17 9 ] . 

Ejercicios propuestos (vínculo para acceder a los ejercicios) 3. Sistema de coordenadas cartesianas El sistema de coordenadas cartesianas es un sistema de referencia en el plano que permite localizar puntos en él, mediante pares ordenados de números reales. Dicho sistema se construye a partir de dos rectas perpendiculares que se intersectan en un punto denominado origen. Una de las rectas es horizontal y se denomina eje X o eje de las abscisas y la recta vertical es denominada eje Y o de las ordenadas. Se establece una escala numérica a lo largo del eje X , de manera que los números reales positivos estén ubicados a la derecha del origen y los negativos a la izquierda. Similarmente se adopta una escala numérica a lo largo del eje Y , con la cual los números positivos se encuentran encima del origen y los negativos debajo de él. Un punto en el plano se representará de forma única en este sistema de coordenadas mediante un par ordenado de números reales, de la siguiente manera: dado un par ordenado de números reales ( a, b ) , se trazan rectas paralelas a cada uno de los ejes coordenados de tal forma que una de ellas intersecte al eje X en

a , y la otra al eje Y en

b . El punto del

plano que se obtiene por la intersección de ambas rectas tiene coordenadas

( a, b ) .

Recíprocamente, dado un punto P en el plano, si se trazan rectas paralelas a los ejes X e

Y que pasen por este punto, y cuyos cortes con tales ejes resulten ser respectivamente, el punto P del plano tendrá coordenadas ( r, s ) .

** En este lugar va un gráfico en el que se muestra como representar un punto ( x, y ) en el plano. Este gráfico debe realizarse con una animación de la siguiente forma: en un cuadro en el que aparezca un sistema de coordenadas, el estudiante, activando la escena con un control, debe ver como se trazan las líneas paralelas a los ejes por los puntos x e y, líneas que al encontrarse determinan el punto P dado, el cual debe ser resaltado. También debe poder observar, activando otro control, el proceso en sentido inverso, es decir: como escogiendo al azar un punto P del plano, en el sistema de coordenadas, trazando rectas paralelas a los ejes por este punto, se determinan sus coordenadas ** A continuación se va formando en pantalla una recta horizontal que pase por el punto resaltado y que atraviese el eje vertical Y. Cuando en la animación la recta entre en contacto con el eje Y, ese punto de contacto debe ser resaltado con un color. Inmediatamente aparecerá la letra s minúscula al lado de este punto, para indicar su coordenada en este eje. Luego se irá formando una recta vertical que pase por el punto P , de tal forma que atraviese el eje horizontal X, Los ejes coordenados dividen al plano en cuatro cuadrantes de tal forma que los signos de las coordenadas de los puntos que se hallan en cada uno de los cuadrantes son los que se indican en la siguiente figura. ** En este espacio debe ir un gráfico del plano cartesiano en el los cuadrantes estén enumerados y se indique el signo de las coordenadas de los puntos en cada cuadrante.** Ejemplo 3.1.1. Representar los puntos dados a continuación en el sistema de coordenadas cartesianas.

( 3,1) , ( 4,2) , ( - 3,4) , ( 0,0) , ( 2,-1) , ( 5,0) , ( 0,-5) , ( - 3 4 ,− 1 2 ), ( - 5 4 ,1)

** Aquí debemos tener un cuadro con un sistema de coordenadas, con una escala establecida. El estudiante deberá marcar en ese sistema cada una de las coordenadas de los puntos dados. Una vez que haya hecho esto deberán ir formándose en el plano, las rectas que determinan estos puntos, cada uno de los cuales deberá ser resaltado **

4. Fórmula de la distancia entre dos puntos Sean P( x1 , y1 )

y Q( x 2 , y 2 ) puntos en el sistema de coordenadas cartesianas. La

distancia d ( P, Q ) entre los puntos P y Q es por definición, la longitud del segmento de recta que une a dichos puntos, cual se calcula mediante la siguiente fórmula, obtenida a partir del Teorema de Pitágoras, como se observa en la figura**

d ( P, Q ) =

( x 2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2

**Dibujo de un sistema de coordenadas en el que se representen los puntos P y Q, con sus respectivas coordenadas en los ejes X e Y, y un triángulo rectángulo en el que el cateto opuesto sea la diferencia de las ordenadas de los puntos dados, el cateto adyacente sea la diferencia de las abscisas, siendo la hipotenusa d ( P, Q ) .

Ejemplo 4.1. Calcular la distancia entre los puntos P(5,1) y

(

Q 7 , −6 4

Solución. Al sustituir las coordenadas de los puntos dados, en la fórmula de la distancia, resulta d ( P, Q ) =

( 7 4 − 5)

+ ( − 6 − 1)

169 = + 49 = 16 5

 7 − 20   − 13  2 =   + ( − 7) =   + 49  4   4 

784 16.7 2 = =7 16 16

Fórmula del punto medio de un segmento

El punto medio de un segmento de recta con extremos P( x1 , y1 ) y Q( x 2 , y 2 ) es el punto  x + x 2 y1 + y 2  M ( x, y ) =  1 ,  2   2 Ejemplo 5.1. Hallar el punto medio del segmento de recta de extremos Q (5,−8) .

(

P − 2 ,4 3

)

Solución.  x + x 2 y1 + y 2  M ( x, y ) =  1 , = 2   2

 − 2 + 3 .5   − 2 +15   − 2 + 5 4 + ( −8)      − 4   3 3 3   =  , = , , − 2   2 2 2 2   2              

13  ,−2  6 

=

 13  ,−2  . 6  

Por lo tanto M ( x, y ) = 

6. Rectas en el plano cartesiano En esta sección estudiaremos las diferentes formas de la ecuación de la recta, el concepto de pendiente y diferentes formas de determinarla. Para iniciar este estudio se presentan algunos conceptos preliminares como lo son el de distancia entre dos puntos del plano cartesiano, punto medio de un segmento de recta. 6.1 Ángulo de inclinación de una recta El ángulo de inclinación de una recta l es el menor ángulo φ , 0 ≤ φ < π , que forma la recta con la dirección positiva del eje X , medido en sentido contrario a la marcha de las agujas del reloj. 6.2 Pendiente de una recta Sean l una recta no paralela el eje Y y P( x1 , y1 ) y Q( x 2 , y 2 ) puntos distintos sobre ella. El número

m dado por la igualdad m=

y 2 − y1 x 2 − x1

Se denomina pendiente de l . Mostramos a continuación otra forma de calcular la pendiente de una recta. Sea φ el ángulo de inclinación de una recta l , con φ ≠

π , entonces m = tan φ . 2

La siguiente figura explica esta igualdad. **GÁRAFICA** 6.3 Posiciones relativas de dos rectas Teorema 6.3.1 Dos rectas l1 y l 2 de pendientes m1 y m2 respectivamente, son paralelas si y sólo si m1 = m2 , es decir si sus pendientes son iguales.

**GÁFICA** Teorema 6.3.2 Dos rectas l1 y l 2 de pendientes m1 y m2 respectivamente, son perpendiculares si y sólo si m1 . m2 = −1 o equivalentemente m2 = −

1 . m1

Si una recta l es paralela al eje X , entonces φ =0 y m = 0 ; si l es paralela al eje Y entonces φ =

π 2

y no está definida la pendiente.

Observación. Toda recta horizontal, dado que m = 0 , tiene por ecuación y = b donde

( 0, b ) es el punto de corte con el eje Y. Por otra parte toda recta vertical está dada por la ecuación siendo x = a, donde (a, 0) es el punto de corte con el eje X.

Ejemplo 6.3.1. Calcular la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos P ( 7,0 ) y Q (8, 3 ) . Solución. La pendiente de la recta que pasa por los puntos dados, es m=

3 −0 3 = = 3 8−7 1

Como vimos, si φ es el ángulo de inclinación de la recta, entonces tan φ = consecuencia φ =

π 3

La pendiente de una recta puede ser positiva, negativa o cero, según el ángulo de inclinación de la recta, así: Si φ= 0o entonces m= 0 **GRÁFICA DE UNA RECTA HORIZONTAL** Si 0o <

φ < 90o entonces m > 0 y su gráfica es ascendente **GRÁFICA DE UNA RECTA CRECIENTE**

Si 90º <

φ < 180o entonces m < 0 y su gráfica es descendente

**GRÁFICA DE UNA RECTA DECRECIENTE**

6.4 Formas de la ecuación de la recta Si bien por dos puntos del plano pasa una única recta, ésta puede representarse mediante ecuaciones en apariencia diferentes. Veamos cuáles son estas ecuaciones. 6.4.1 Ecuación punto-pendiente Si una recta pasa por el punto P ( x 0 , y 0 ) y tiene pendiente

m , entonces su ecuación tiene

la forma y − y 0 = m( x − x 0 )

(

)

Ejemplo 6.4.1.1. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P . − 11 4 ,−2 y cuyo ángulo de inclinación es φ =

π 6

Solución. Para formar la ecuación 4.4.1 se requiere conocer la pendiente y las coordenadas de un punto que pertenezca a la recta. Ahora bien, conocido el ángulo de inclinación, se puede determinar la pendiente de la recta calculando la tangente de este ángulo. Así m = tan

π 6

3 . Por lo tanto la ecuación de la recta es 3

y − y 0 = m( x − x 0 ) y − ( − 2) =

3  11    x −  −   3   4 

y +2 =

3 11  x +  3  4

y +2 =

3 11 3 x+ 3 12

Multiplicando ambos lados de la igualdad por 12, resulta  3 11 3  12( y + 2 ) = 12 x+ 12   3 12 y + 24 = 4 3 x + 11 3

Igualando la ecuación a cero, tenemos 4 3 x −12 y +11 3 −24 = 0

6.4.2. Ecuación pendiente-ordenada en el origen Si una recta de pendiente

m corta al eje de las ordenadas en el punto de coordenadas ( 0, b )

, tiene por ecuación y = mx + b

Esta ecuación puede deducirse sustituyendo el punto de coordenadas ( 0, b ) en la ecuación punto-pendiente 4.4.1. Ejemplo 6.4.2.1. Determinar la ecuación de la recta cuyo punto de corte con el eje Y es

(0,−6 ) y de pendiente -3. Solución. Como m = −3 y la ordenada en el origen de la recta es b = −6 , su ecuación será y = mx + b = −3 x − 6 ,

es decir y = −3 x − 6 . Rescribiendo la ecuación resulta 3x + y + 6 = 0

. 6.4.3. Ecuación simétrica de la recta La recta cuya intersección con los ejes X e Y, son los puntos ( a, o ) y ( 0, b ) , con a ≠0 y b ≠0,

tiene por ecuación x y + =1 a b

Ejemplo 6.4.3.1. Hallar la ecuación de la recta que corta al eje X en el punto ( 7,0 ) y al eje Y en el punto (0,−4 ) . Solución. Los puntos de corte de la recta con los ejes X e Y, nos indican que a = 7 y b = −4 ,

luego su ecuación es

x y x y + = 1 , de donde − = 1 . Multiplicando 7 4 7 −4

  ambos lados de la igualdad por 28, se obtiene 28 −  = 28.1 , resultando 4 x − 7 y = 28 . x 7

Finalmente la ecuación buscada es 4 x − 7 y − 28 = 0 . 6.4.4. Ecuación general de la recta La ecuación

y 4

Ax + By + C = 0 donde A, B y C son constantes, con A y B no simultáneamente iguales a cero, se denomina ecuación general de la recta. Cabe destacar que las ecuaciones finales en cada uno de los ejemplos anteriores, tienen esta forma. Note que en la ecuación general, si x = 0 , la ordenada del punto de corte con el eje Y es A.0 + By + C = 0 By + C = 0 By = −C de donde y =−

C , B

si B ≠ 0 . Si A ≠ 0 , haciendo y = 0 se obtiene la abscisa del punto de corte de la recta con el eje X. Ax + B.0 + C = 0 Ax + C = 0

Ax = −C x =−

C A

Por otra parte para determinar la pendiente de la recta a partir de la ecuación general, de ésta se despeja y , para obtener la ecuación pendiente-ordenada en el origen. En esta ecuación el coeficiente de

x es precisamente la pendiente de dicha recta. Veámoslo. Ax + By + C = 0 By = −Ax −C

y =−

Entonces la pendiente es −

A C x− B B

A , si B ≠ 0 . B

Ejemplo 6.4.4.1. Hallar la ecuación de recta que pasa por el punto ( − 4,−5) y es paralela a la recta que pasa por los puntos (1,1) y ( − 9,2 ) .

Solución. Sea R la recta que pasa por el punto ( −4,−5) y cuya ecuación se quiera determinar. Como R es paralela a la recta L que contiene los puntos (1,1) y ( − 9,2 ) , las pendientes de R y L son iguales. Sean m R la pendiente de R y m L la de L, entonces mR = mL =

2 −1 1 =− . − 9 −1 10

Sustituyendo este valor en la ecuación punto- pendiente, tenemos y − ( − 5) = −

y+5= −

1 ( x − ( − 4) ) 10

1 ( x + 4) 10

Multiplicando ambos miembros de la igualdad por 10 para eliminar el denominador, resulta  1  10( y + 5) = 10 − ( x + 4 )  10  

10 y + 50 = −( x + 4 ) 10 y + 50 = −x − 4

Así la ecuación pedida es x +10 y + 54 = 0

1  Ejemplo 6.4.4.2. Hallar la ecuación de una recta que pasa por el punto  − 3,  y es 2  perpendicular a la recta 4 x + 8 y −16 = 0 .  

1 2

Solución. Sea R recta que pasa por el punto  − 3,  y cuya ecuación queremos hallar. Sean m R la pendiente de R y

m la de la recta dada. Como las rectas son perpendiculares,

sus pendientes satisfacen la relación m R = −

1 , por lo que debemos calcular m

m para

obtener m R . Con este fin, recordemos que cuando se introdujo la ecuación general de la recta Ax + By + C = 0 , vimos que la pendiente estaba dada por m = −

A . Dado que en este B

1 mR = − 4 1  1  = 2. ejemplo A = 4 y B = 8 , entonces m = − = − . Consecuentemente −  8 2  2

Luego la ecuación de la recta buscada es y−

1 = 2( x − ( − 3) ) 2

y−

1 = 2( x + 3) 2

y−

1 = 2x + 6 2

Multiplicando por 2 ambos lados de la ecuación 2 y −1 = 4 x +12

Por lo que la ecuación de la recta es 4 x − 2 y +13 = 0

Ejercicios propuestos (vínculo) 7. La circunferencia En esta sección estudiaremos el concepto de circunferencia y sus ecuaciones canónica y general. Se considerarán las posiciones relativas entre una circunferencia y ciertas rectas y se propondrán problemas que contemplen en este contexto. Definición 7.1. Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo del mismo. Este punto fijo, denotado por ( h, k ) , se denomina centro de la circunferencia. La distancia constante

r , se llama radio.

Elementos de la circunferencia (Tomado de Wikipedia) Existen varias rectas y puntos especiales en la circunferencia. Un segmento que une dos puntos de la circunferencia se llama cuerda. A las cuerdas de longitud máxima (aquellas que pasan por el centro) se les llama diámetros. Se conoce como radio del círculo a cualquier segmento que une el centro con la circunferencia, así como a la longitud de los mismos. Una línea que atraviesa la circunferencia, cortándolo en dos puntos, se llama secante, mientras que una línea que toca a la circunferencia en un sólo punto se denomina tangente. El punto de contacto de la tangente con la circunferencia se llama punto de tangencia. El radio que une el centro con el punto de tangencia es perpendicular a la tangente.

Secantes, cuerdas y tangentes.

7.1. Ecuaciones de la circunferencia 7.1.1 Ecuación ordinaria o canónica. La circunferencia de centro el punto ( h, k ) y de radio r , tiene por ecuación

( x − h) 2 + ( y − k ) 2

= r2

Esta ecuación se obtiene como resultado de la aplicación de la fórmula que permite calcular la distancia entre dos puntos del plano. **GRÁFICA** Ejemplo 7.1.1.1. Hallar la ecuación de la circunferencia que contiene el punto

( −2,−3) y cuyo centro es el punto ( −4,−1) . Solución. Conociendo el centro de la circunferencia y un punto de ella, se puede determinar el radio

r , sustituyendo las coordenadas de ambos puntos en la ecuación

canónica.

( x − h) 2 + ( y − k ) 2

= r2

( − 2 − ( − 4) ) 2 + ( − 3 − ( − 1) ) 2 = r 2 ( − 2 + 4) 2 + ( − 3 + 1) 2 ( 2) 2 + ( − 2) 2

= r2

4 + 4 = r2 8 = r2

Entonces

r = 8 =2 2 .

= r2

La ecuación de la circunferencia es

( x − ( − 4) ) 2 + ( y − ( − 1) ) 2 = 8 ( x + 4) 2 + ( y + 1) 2

Ejemplo 7.1.1.2 Hallar la ecuación de la circunferencia en la que una de las cuerdas que contiene el centro, tiene por extremos los puntos (8,−3) y ( 2,−7 ) . Solución. Como la cuerda contiene el centro de la circunferencia, éste coincide con el punto medio de la cuerda. Por lo tanto las coordenadas del centro son las siguientes

( h, k ) =  8 + 2 , − 3 + ( − 7 )  =  10 , − 10  = ( 5,−5)  2



2

2 

Halladas las coordenadas del centro de la circunferencia, podemos calcular el radio como se hizo en el ejemplo 5.1.1.1, para ello podemos utilizar cualquiera de los dos puntos dados r 2 = ( 8 − 5) + ( − 3 − ( − 5) ) 2

r 2 = ( 3) + ( − 3 + 5) 2

r 2 = ( 3) + ( 2 ) 2

r2 = 9 + 4 r 2 = 13

Podemos dar la ecuación canónica de la circunferencia

( x − 5) 2 + ( y − ( − 5) ) 2 = 13 ( x − 5) 2 + ( y + 5) 2

= 13

7.1.2. Ecuación general de la circunferencia La expresión Ax 2 + Ay 2 + D0 x + E 0 y + F0 = 0 2

F D  E  donde A ≠ 0 , representa una circunferencia si  0  +  0  − 4 0 > 0 , y se denomina A  A   A

ecuación general de la circunferencia. Dado que A ≠ 0 , dividiendo la ecuación entre esta cantidad, se obtiene la ecuación equivalente x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 .

A partir de esta última ecuación podemos calcular las coordenadas del centro están  

representadas por  −

D E 1 ,−  y el radio está dado por D 2 + E 2 − 4F . 2 2 2

Observe que al desarrollar los productos notables en la ecuación canónica se obtiene las expresiones anteriores. Ejemplo 7.1.2.1. Reducir la siguiente ecuación a la forma ordinaria de la circunferencia. Determinar su centro y su radio. 2 x 2 + 2 y 2 −10 x + 6 y −15 = 0

Solución. Para llevar la ecuación a la forma ordinaria se siguen los pasos indicados a continuación. a) Si los coeficientes de x 2 e

son diferentes de 1 e iguales, se divide cada

término de la ecuación dada por tal coeficiente2. En este caso dividimos cada término de la ecuación entre 2 y se obtiene x 2 + y 2 − 5x + 3 y −

15 =0 2

b) Se ubica el término constante en el lado derecho de la ecuación. Para ello se debe sumar a ambos lados de la ecuación

15 . De esta operación resulta la ecuación 2

equivalente siguiente, agrupando los términos que dependen de la misma variable

− 5x) + ( y 2 + 3 y ) =

15 2

c) Completación de cuadrados. Se suma el cuadrado de la mitad del coeficiente de x , y el cuadrado de la mitad del coeficiente de y en ambos lados de la ecuación obtenida en el paso anterior. Esto da 25   2 9  15 25 9  2 +  x − 5x +  +  y + 3 y +  = + 4  4 2 4 4 

d) Rescribir los polinomios en cada paréntesis usando la factorización por trinomio cuadrado perfecto, con lo que se obtiene 2

5 3    x −  +  y +  = 16 2 2  

De donde podemos decir que la ecuación dada representa una circunferencia cuyo 5 3 2 2

centro es el punto  ,  y su radio es 4. En la dirección http://descartes.cnice.mecd.es/Geometria/circunferencia/inicio_circunferencia.htm encontrará ejercicios que complementan los temas discutidos en esta sección, por lo que sugerimos su consulta. Ejercicios propuestos (vínculo) UNIDAD II Objetivos Definir con precisión el concepto de función Hallar el dominio y el rango de una función y construir su gráfica Identificar los diferentes tipos de funciones Efectuar correctamente la suma, resta, multiplicación, división y composición de Funciones, precisando sus respectivos dominios. Determinar si una función es inyectiva, sobreyectiva, biyectiva, par o impar. Hallar la función inversa 1. FUNCIONES En esta unidad se establece uno de los conceptos fundamentales de las matemáticas como lo es el de función. Nos enfocaremos exclusivamente en las funciones reales de una variable real, aunque la definición se dará en su sentido más amplio. Se estudia el dominio, rango y gráfica de una función. Las operaciones básicas con funciones son abordadas: suma, diferencia, producto, división, composición, cálculo de la función inversa. Algunas clases especiales de funciones son consideradas. Definición 1.1. Dados dos conjuntos X e Y , una función f definida en X con valores en Y , es una regla o correspondencia que asocia a cada elemento x del conjunto X , un único elemento y del conjunto Y , el cual se denomina imagen de x , hecho que simbólicamente representaremos por y = f ( x ) . Denotaremos a la función así definida por f : X →Y

El conjunto X se denomina dominio de f y se denotará por Domf El conjunto Y se llama conjunto de llegada de la función. El conjunto

{ y ∈Y / y = f ( x)

para algún x ∈ Domf } , o sea el conjunto de todas las

imágenes de la función, de denomina rango, imagen o recorrido de f . Se denota por Rgf

**EN ESTE ESPACIO DIBUJAR DOS DIAGRAMAS VENN: UNO QUE NO DEFINA UNA FUNCIÓN Y EL OTRO SI** A

x se le llama variable independiente y a y se le llamará variable dependiente.

Si X e Y son conjuntos de números reales, se dice que f es una función real de una variable real. Nuestro estudio se dedicará a este tipo de funciones. Si una función real de una variable real está definida mediante una fórmula, su dominio será, a menos que se especifique otra cosa, el más grande conjunto de números reales para los que la fórmula tenga sentido. 1.1 Cálculo del dominio de una función. Ejemplo 1.1.1 La función real

f ( x) =

, está definida solamente si x ≥ 0 . Use este

hecho para hallar el dominio de f ( x ) = 64 − x 2 . Solución. La sugerencia del ejercicio nos dice que el dominio de f está constituido por todos aquellos número reales

x para los que la cantidad subradical es no negativa, es decir

{

}

Domf = x ∈ ℜ / 64 − x 2 ≥ 0

Luego, para determinar el dominio debemos resolver la inecuación 0 ≤ 64 − x 2 x 2 ≤ 64 x 2 ≤ 64 x ≤8

Según las propiedades del valor absoluto, la solución de esta inecuación es el conjunto de

x tales que

− 8 ≤ x ≤ 8 , es decir el intervalo [−8,8] .

Entonces Domf = [ − 8,8] . Ejemplo 1.1.2. Determinar el dominio de f ( x ) =

x . x −1 2

Solución. Dado que no existe la división entre cero, el dominio de f es Domf = { x ∈ ℜ / x − 12 ≠ 0}

Pero x 2 − 1 = 0 ⇔ x 2 = 1 ⇔ x = −1 o x = 1 . Por lo tanto Domf = ℜ\ {−1,1} . Ejemplo 1.1.3. Hallar el dominio de la función f ( x ) =

3x 2 − 4 1 − 5x

Solución. Combinando los argumentos de los anteriores ejemplos, tenemos que Domf = { x ∈ ℜ / 1 − 5 x > 0}

Luego 1 − 5x > 0

1 > 5x

1 >x 5 Por lo tanto el dominio de la función dada es

(

Domf = − ∞ , 1

1.2 Rango de una función. Ejemplo 1.2.1. Determinar el rango de la función f ( x ) =

1 . x

Solución. Primeramente observemos que el dominio de f ( x ) es ℜ\ {0} . Por otra parte, sea y ∈ Rgf , entonces existe x ∈Domf tal que y = f ( x ) , es decir y=

Despejando de esta ecuación

1 x

x en función de y tenemos x=

1 y

Como para ningún valor de y la última fracción puede valer cero, entonces el rango lo 1

conforman aquellos números reales para los que el cociente y esté definido, es decir el rango de f ( x ) es Rgf = ℜ\ {0}

Ejemplo 1.2.2 Hallar el rango de la función f ( x ) =

10 x − 3 . 2x − 7

Solución. Comencemos hallando el dominio de la función. Como el denominador de la fracción debe ser diferente de cero, tendremos

{

} { }.

Domf = { x ∈ ℜ / 2 x − 7 ≠ 0} = x ∈ ℜ / x ≠ 7 = ℜ \ 7 2 2 Sea y ∈Rgf , entonces existe x ∈Domf tal que y = f ( x ) , es decir y=

A continuación despejamos

10 x − 3 2x − 7

x en términos de y para obtener y ( 2 x − 7 ) = 10 x − 3 2 xy −17 x = −3

x ( 2 y −17 ) = −3 2 xy − 7 x =10 x − 3 2 xy − 7 x −10 x = −3

Consecuentemente x=

−3 2 y −17

El rango es entonces

{

} { }.

Rgf = { y ∈ ℜ / 2 y − 17 ≠ 0} = y ∈ ℜ / y ≠ 17 = ℜ \ 17 2 2

1.3 Gráfico de una función. El gráfico de una función está conformado por todos los pares ordenados ( x, f ( x ) ) , donde

x pertenece al dominio de

. El gráfico de una función real

de una variable real, puede ser representado en el plano cartesiano, representando en él cada uno de los pares ordenados de números reales ( x, f ( x ) ) . **A

continuación

f ( x ) = x, f ( x ) = x 2 , f ( x ) =

muestran

los

gráficos

las

funciones

x , f ( x ) = x 3 . **

Cortes con los ejes coordenados. Si el 0 está en el dominio de f y f ( 0 ) = b , entonces el punto ( 0, b ) es la intersección de el gráfico de f con el eje Y . Si para algún

a en el dominio de

se tiene que

f ( a ) = 0 , el punto ( a,0 ) se denomina intersección del gráfico de f con el eje X .

Para construir la representación gráfica de una función hallaremos el dominio de la función, construiremos una tabla de valores y, cuando sea posible, determinaremos loas puntos de corte con los ejes coordenados. Ejemplo 1.3.1 Construir el gráfico de la función f ( x ) = x 2 + 1 . Solución. Para graficar la función dada seguiremos los pasos que se muestran a continuación. El dominio de la función es el conjunto de los números reales ℜ. Punto de corte con el eje Y Para hallar este punto se considera x = 0 y se calcula su imagen: f ( 0 ) = 0 2 +1 = 1 , por lo tanto ( 0,1) es el puno de corte del gráfico de

f ( x ) = x 2 + 1 , con el eje Y .

Puntos de corte con el eje X Estos puntos se obtienen haciendo y = 0 , por lo que x 2 + 1 = 0 , de donde x 2 = −1 . Como esta ecuación no tiene solución en el conjunto de los números reales, el gráfico de la función no tiene puntos de intersección con el eje X. Tabla de valores x

y = x 2 +1

(x,y)

-2 -1 1 2

5 2 2 5

( − 2,5) ( −1,2 ) (1,2 ) ( 2,5)

Seguidamente representaremos en el plano cartesiano los puntos obtenidos del gráfico de f ( x ) , incluyendo el punto de corte con el eje Y : ( 0,1) .

** En este punto se dibuja el sistema de coordenadas cartesianas, representando en él los puntos obtenidos en la tabla ** La distribución de los puntos en la figura anterior, define un patrón que permite completar el gráfico de la función dada. ** Aquí se dibuja la gráfica completa de la función ** Ejemplo 1.3.2. Graficar la función f ( x ) = x 2 −1 .

Solución. Como el índice de la raíz es par, para que la función esté definida en ℜ, la cantidad subradical no puede ser negativa, por lo que el dominio de la función está dado por aquellos números reales que satisfagan la inecuación cuadrática

x 2 −1 ≥ 0 .

Resolviendo la inecuación, se obtiene Domf = ( −∞,−1] ∪[1, ∞) . Punto de corte con el eje Y Como 0 no está en el dominio de la función, su gráfico no posee punto de corte con el eje Y. Puntos de corte con el eje X Como se mostró en el ejemplo 1.3.1, para hallar estos puntos igualamos y a cero, y despejamos

x . Entonces y =0 x 2 −1 = 0 x 2 −1 = 0 x 2 =1 x2 = 1 x =1

Las soluciones de esta ecuación son x = −1 y x = 1 . Por lo tanto los puntos de corte con el eje X, son ( −1,0 ) y (1,0 ) . Tabla de valores x -

( x, y )

8=2 2

(−3,2 2 )

(− 2, 3 )

3 2 1 1 2 3

x 2 −1

( −1,0 )

(1,0 )

8=2 2

(2, 3 ) (3,2 2 )

Ubicando estos puntos en el plano cartesiano resulta la siguiente gráfica. ** GRÁFICA DE LA FUNCIÓN** **Para otros ejemplos se establecerá un vínculo con la página: http://descartes.cnice.mecd.es/index.htm

Tipos de Funciones Funciones Algebraicas y Funciones Trascendentes. Funciones algebraicas. Son aquellas que pueden expresarse mediante un número finito de sumas, diferencias, productos, cocientes y raíces de potencias de la variable independiente

x. Las funciones que no son algebraicas se denominan trascendentes. Las funciones algebraicas y las trascendentes conforman el conjunto de las funciones elementales.

  Polinómicas   Racionales  Funciones Alg ebraicas  Radicales    Combinaciones finitas de las anteriorres   Funciones Elementales   Tigonométricas ∗   Inversas de las funciones trigonométricas   Funci o nes Trascenden t e s    Logarítmicas ∗ ∗   Exponenciales ∗ ∗ ∗   ∗ En

la siguiente dirección podrá encontrar un estudio completo de las funciones

trigonométricas, que el cursante de esta materia debe consultar y resolver los problemas allí planteados. http://usuarios.lycos.es/calculo21/id19.htm La página http://huitoto.udea.edu.co/Matematicas/ContenidoUnidad2.html es de consulta obligatoria para este curso. En ella se desarrolla el tema de las funciones logarítmicas y exponenciales, con ejercicios propuestos. Estos temas también pueden ser estudiados en las páginas que se mencionan a continuación.

∗∗

En la página web señalada a continuación se encuentra el desarrollo del tema de la

función logarítmica, acorde con los contenidos programáticos de esta asignatura. El estudiante debe estudiar este contenido y resolver los ejercicios allí sugeridos. http://descartes.cnice.mecd.es/Bach_HCS_1/Funcion_logarimica/Indice_funcion_log.htm

∗∗∗

En la página web señalada a continuación se encuentra el desarrollo del tema de la

función exponencial, acorde con los contenidos programáticos de esta asignatura. El estudiante debe estudiar este contenido y resolver los ejercicios allí sugeridos. http://descartes.cnice.mecd.es/Bach_CNST_1/Funcion_exponencial/Indice_funcion_expon encial.htm En la dirección que sigue usted encontrará una interesante aplicación de las funciones logarítmicas y exponenciales, en la que se muestran algunos procedimientos para resolver ecuaciones que involucran este tipo de funciones. Usted debe analizar lo que allí se expone y realizar los ejercicios propuestos. http://descartes.cnice.mecd.es/Bach_HCS_1/Ecuaciones_exponenciales_y_logaritmicas/Ind ice_ecuaciones.htm Funciones polinómicas. Son funciones de la forma f ( x ) = a n x n + a n −1 x n −1 + ... + a1 x + a 0 , donde

n es un número entero no negativo, y

el entero

a n , a n −1 ,..., a1 , a 0 son constantes. Si a n ≠ 0

n se denomina grado del polinomio.

Evidentemente el dominio de cualquier función polinómica es el conjunto de los números reales ℜ. i) Si el grado es cero, entonces f ( x ) = a 0 es una función constante, de rango el conjunto

{ a0 }

y cuyo gráfico es una recta horizontal: **GRÁFICA DE LAFUNCIÓN**

ii) Si el grado es 1, entonces f ( x ) = a1 x + a 0 y, de acuerdo con o estudiado en la sección , su representación gráfica es una recta y la función se denomina afín, la cual corta al eje Y en a 0 y al eje X en −

a1 . El rango de este tipo de funciones es ℜ.

**GRÁFICA EN UN MISMO SISTEMA DE COORDENADAS DE UNA FUNCIÓN AFÍN CON PENDIENTE POSITIVA Y OTRA CON PENDIENTE NEGATIVA**

iii) Si el grado es 2, la función toma la forma f ( x ) = a 2 x 2 + a1 x + a 0 y se dice que f es una función cuadrática, siendo su gráfica la de una parábola. En caso de que la parábola intersecte al eje X, las abscisas de los puntos de corte están dadas por la fórmula

− a1 ± a12 − 4a 2 a 0 2a 2

(1). Para determinar su rango es útil conocer las coordenadas del

vértice de la parábola, las cuales pueden calcularse por completación de cuadrados. Haciendo esto último se logra rescribir la función cuadrática de la siguiente manera 2 f ( x ) = a 2 ( x − h ) + k , donde h = −

a1 a12 y k = a0 − . Los valores de h y k obtenidos 2a 2 4a 2

a partir de la completación de cuadrados corresponden respectivamente a la abscisa y ordenada del vértice de la parábola. Representación gráfica de las funciones cuadráticas. Sean x1 y x 2 las raíces de f ( x ) = a 2 x 2 + a1 x + a 0 , obtenidas a partir de la fórmula (1), y ∆ = a12 − 4a 2 a 0 , su discriminante.

Las gráficas de las funciones cuadráticas, dependiendo del signo de a 2 y del valor de ∆, son las siguientes: a) Supongamos que a 2 > 0 Bajo esta condición la gráfica de la parábola abre hacia arriba, y se tienen tres casos de acuerdo con el valor del discriminante ∆. Primer caso. Si ∆>0, de la fórmula x =

− a1 ± a12 − 4a 2 a 0 2a 2

se obtienen dos valores reales, que

representan los puntos de corte de la parábola con el eje X . En este caso la gráfica de la función cuadrática es la siguiente. **GRÁFICA** Segundo caso.

Si ∆=0, la fórmula resolvente produce un único número real, este es x = −

a1 , 2a 2

indicando a la vez el único punto de corte de la gráfica con el eje X . Mostramos la gráfica a continuación. **GRÁFICA** Tercer caso. Por último, si ∆<0, la fórmula resolvente no tiene raíces reales, por lo que la gráfica de la parábola abre hacia arriba y no tiene puntos de contacto con el eje X , resultando su gráfica la mostrada en la figura dad a continuación. **GRÁFICA** b) Si a 2 < 0 , la gráfica es una parábola que abre en la dirección negativa del eje Y . Un análisis análogo al realizado en el apartado ( a ) , muestra que sólo hay tres posibles gráficas con esta condición. Éstas son: **GRÁFICA** ** SE DIBUJAN DE NUEVO TRES PARÁBOLAS: UNA QUE REPRESENTE EL CASO EN EL QUE ∆<0, OTRA EN EL QUE ∆=0 Y LA ÚLTIMA EN QUE ∆>0** Funciones radicales Una

función

radical

f ( x ) = a n x n + a n −1 x n −1 + ... + a1 x + a 0 y

fo2rma

g( x) = m f ( x) ,

donde

m es un número entero positivo. Si m es impar el

dominio de g ( x ) es ℜ. Por otra parte, si

m es par, el dominio de

g ( x ) lo conforman

los x ∈ ℜ tales que f ( x ) ≥ 0 . Funciones racionales Una función racional es una función de la forma f ( x ) =

P( x ) , donde P ( x ) y Q( x ) son Q( x )

funciones polinómicas. El dominio de este tipo de funciones está constituido por los números reales

x tales que Q( x ) ≠ 0 .

Funciones definidas a trozos. Una función de la forma

 f1 ( x )  f ( x)  2  . F ( x) =  . .   f n ( x )

si x ∈ I1 si x ∈ I 2 .

. . . . si x ∈ I n

donde f 1 ( x ), f 2 ( x ),..., f n ( x ) son funciones reales, se denomina función a trozos. El dominio de F ( x ) es claramente la unión de los conjuntos de números reales I i , en los que están definidas cada una de las funciones

f i ( x ) , con 1 ≤ i ≤ n . Es decir

DomF =  I i . Naturalmente el rango de F ( x ) es la unión de los rangos de cada una de i =1

las funciones f i ( x ) , con x ∈ I i . Simbólicamente RgF =  Rgf i . n

i =1

Ejemplo 1.5.1.3

Sea

 x + 2 si x < 1  f ( x) =  x 2 si 1 ≤ x ≤ 2  4 si x > 2 

Hallar: a) El dominio de f ( x ) b) El gráfico de f ( x ) c) El rango de f ( x ) Solución. a) Como afirmamos en la definición de función a trozos, el dominio de esta función es la unión (vínculo con el apéndice de TC) de los intervalos en los que son válidas cada una de las funciones cada una de las fórmulas mediante las que se define f ( x ) . Es decir Domf = ( − ∞,1]  (1,2]  ( 2,+∞) = ℜ.

b) El gráfico de f ( x ) se construye por intervalos. En el intervalo ( −∞,1) se dibuja la parte del gráfico de la recta y = x + 2 correspondiente a este intervalo, para lo cual se construye la siguiente tabla. Tabla de valores

y = x +2

( x, y )

-2 0,99

0 2,99

( − 2,0 )

(0,99,2,99)

** SE DIBUJA EN EL SISTEMA DE COORDENADAS SOLO LA PARTE DE LA RECTA Y=X+2, QUE CORREPONDE AL INTERVALO ( −∞,1) ** A continuación de la semi-recta dibujada en el intervalo ( −∞,1) ( −∞,1) , se traza el gráfico de la función cuadrática y = x 2 en su parte correspondiente al intervalo

[1,2] , como se ve a continuación Tabla de valores

y = x2

( x, y ) (1,1)

( 4 3 ,16 9 ) ( 2,4)

** SE DIBUJA EN EL SISTEMA DE COORDENADAS, QUE YA CONTENÍA LA SEMIRECTA, LA PARTE DE LA PARÁBOLA Y=X 2, QUE CORREPONDE AL INTERVALO [1,2] ** Finalmente, para completar el gráfico de la función a trozos a partir de los dos tramos culminados hasta ahora, se dibuja en el intervalo ( 2,+∞) la recta horizontal de ecuación y = 4 . **GRÁFICA CON LOS DOS TRAMOS DIBUJADOS, AGREGÁNDOLE AHORA LA SIMI RECTA HORIZONTAL Y=4 EN EL INTERVALO ( 2,+∞) ** c) El

rango

f ( x) ,

según

definición

dada,

Rgf = ( − ∞,3]  (1,4]  {4} = ( − ∞,4] .

Ejemplo 1.5.1.4

Sea

 x 3 si - 2 ≤ x ≤ 0  f ( x ) =  x 2 si 1 ≤ x ≤ 2  x si x > 4 

Hallar: a) El dominio de f ( x ) b) El gráfico de f ( x ) c) El rango de f ( x ) Solución. a) El dominio de f ( x ) es Domf = [ − 2,0]  [1,2]  ( 4,+∞) b) Como en el anterior ejemplo, el gráfico será construido por intervalos. En el intervalo [− 2,0] se dibuja la parte del gráfico de y = x 3 correspondiente a este intervalo. Con esta finalidad construyamos una tabla de valores. Tabla de valores

y = x3

-2 -1

-8 -1

- 12

−1

( x, y ) ( −2,−8) ( −1,−1)

( − 1 2 , − 18 ) ( 0,0)

**GRÁFICO SÓLO CON LA PARTE DE Y=X 3 QUE CORRESPONDE A ESTE INTERVALO** A continuación del segmento de curva dibujado en el intervalo [− 2,0] , se traza el gráfico de la función cuadrática y = x 2 en su parte correspondiente al intervalo [1,2] . Tabla de valores

y = x2

( x, y ) (1,1)

( 4 3 ,16 9 ) ( 2,4)

** GRÁFICO CON LOS SEGMENTOS DE LAS CURVAS Y=X 3 Y Y=X2 EN LOS INTERVALOS [− 2,0] Y (1,2] RESPECTIVAMENTE.** Por último, el gráfico de la función a trozos se completa agregándole al dibujo del gráfico anterior, el de la recta y = x en el intervalo ( 4,+∞) . Recuerde que para graficar una recta es suficiente con conocer dos puntos de ella. Tabla de valores

y =x

( x, y )

5 6

(5,5) ( 6,6 )

c) Como puede deducirse de el gráfico de f ( x ) , el rango de la restricción de la función y = x 3 al intervalo [− 2,0] , es [−8,0] ; el recorrido de la restricción de y = x 2 al intervalo

(1,2] , es el intervalo (1,4] , y el de y = x en el intervalo

( 4,+∞) es ( 4,+∞) . Así la unión de estos recorridos es el recorrido completo de f ( x ) , esto es Rgf = [ − 8,0]  (1,4]  ( 4,+∞) = [ −8,0]  (1,+∞) .

Álgebra de Funciones. A continuación enfocaremos nuestra atención en las operaciones de suma, resta, multiplicación y composición de funciones. Sean f y g dos funciones reales de una variable real con dominios D f y D g respectivamente. Se definen las siguientes nuevas funciones, con dominios D f +g = D f −g = D f . g = D f ∩ D g :

de la siguiente manera. a) ( f + g )( x ) = f ( x ) + g ( x ) Ejemplo 1.6.1 Sean f ( x ) =

4x + 3 2 y g( x) = . Hallar ( f + g )( x ) con su dominio. 2 − 7x 2 − 7x

Solución. En primer lugar observe que D f = D g = { x ∈ ℜ / 2 − 7 x ≠ 0} = ℜ \

D f +g = D f ∩ D g = ( ℜ\

{ 2 7} )

 ( ℜ\

{2 7} )= \ {2 7} . ℜ

Por otra parte, como ( f + g )( x ) = f ( x ) + g ( x ) , tenemos ( f + g )( x ) = .

{2 7} , luego

4x + 3 2 4x + 5 + = 2 − 7x 2 − 7x 2 − 7x

b) ( f − g )( x ) = f ( x ) − g ( x ) Ejemplo 1.6.2 Si f ( x ) =

2 1 y g ( x ) = , calcular x +1 x

− g )( x ) y su dominio.

Solución. Primeramente determinemos los dominios de las funciones dadas. D f = { x ∈ ℜ / x + 1 ≠ 0} = ℜ\ {−1} y D g = { x ∈ ℜ / x ≠ 0} = ℜ\ {0} . Por lo tanto D f −g = D f ∩ D g = ( ℜ\ {−1} ) ∩

( ℜ\ {0} )= ℜ\ {−1,0} . Además ( f − g )( x ) = f ( x ) − g ( x ) =

2 1 2 x − ( x + 1) x −1 − = = 2 . x +1 x x( x + 1) x +x

c) ( f .g )( x ) = f ( x ) g ( x ) Ejemplo 1.6.3 Sean Solución.

f ( x ) = 4 x 3 −1 y g ( x ) = 3 x + 2 , hallar

D f = Dg = ℜ ,

( f .g )( x ) y su dominio.

D f .g = D f ∩ Dg = ℜ ∩ℜ = ℜ .

luego

Sobre este dominio

definimos ( f .g )( x ) = f ( x ) g ( x ) = ( 4 x 3 − 1)( 3x + 2) = 12 x 4 + 8 x 3 − 3x − 2 . y por último f g

d) 

f ( x)  D = D f ∩ Dg \ x ∈ D / g ( x ) = 0  g ( x ) = g ( x ) , con dominio f g 

Ejemplo 1.6.4 Dadas f ( x ) =

{

4 x 2 +1 y g ( x) = 2 . Calcular x −1 x −1

}

f  g 

  ( x ) con su dominio. 

Solución. Como sabemos D f g = D f ∩ D g \ { x ∈ D g / g ( x ) = 0} . Así para calcular el dominio de la función cociente, debemos calcular primero los dominios de las funciones f y g . D f = { x ∈ ℜ / x − 1 ≠ 0} = ℜ\ {1}

D g = { x ∈ ℜ / x 2 − 1 ≠ 0} = { x ∈ ℜ / x 2 ≠ 1} = ℜ \ {−1,1} .

Por lo que D f ∩ D g = ( ℜ\ {1} ) ∩ ( ℜ\ {−1,1} )=. ℜ\ {−1,1} . Además como

4 ≠0 x −1 2

para todo x ∈D g , entonces { x ∈ D g / g ( x ) = 0} = ∅, en consecuencia D f g = ( ℜ\ {−1,1} )\ ∅= ℜ\ {−1,1} . f  Conociendo D f g , hallamos  ( x ) g 

f  g 

x 2 +1 x −1 = 4 2 x −1

f ( x)   ( x ) = g ( x ) = 

)(

) (

)

(

)

+1 x2 −1 x 2 + 1 ( x + 1)( x − 1) x 2 + 1 ( x + 1) x 3 + x 2 + x + 1 = = = . 4( x − 1) 4( x − 1) 4 4

A continuación se definirá una operación fundamental entre funciones, denominada composición de funciones. 1.7 Composición de funciones Sean f y g funciones. La función definida por

 g )( x ) = f ( g ( x ) ) se denomina

función compuesta de f con g . El dominio de f  g está conformado por el conjunto de todos los elementos

x en el dominio de g , tales que g ( x ) pertenezca al dominio de

en símbolos: Dom( f  g ) = { x ∈ Domg / g ( x ) ∈ Domf } . **EN ESTE LUGAR SE HACE UNA REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LA COMPOSICIÓN DE FUNCIONES, MEDIANTE DIAGRAMAS DE VENN** Ejemplo 1.7.1 Sean f ( x ) =

1 y g( x) = x −4 2

1 . Hallar x −1

 g )( x ) y ( g  f

)( x ) con

sus respectivos dominios. Solución.

•

Analicemos en primer lugar f  g a) Determinemos los dominios de las funciones f y g . D f = { x ∈ ℜ / x 2 − 4 ≠ 0} = { x ∈ ℜ / x 2 ≠ 4} = ℜ \ {− 2,2} . D g = { x ∈ ℜ / x − 1 > 0} = (1,+∞) .

b) El dominio de f  g está constituido por los

x en el dominio de g , es decir los

x > 1,

tales que sus imágenes g ( x ) = 1 ≠ −2 y x −1

valor de

x es

1 pertenecen al dominio de f , en otras palabras x −1

1 ≠ 2 . Dado que x −1

1 > 0 , restaría determinar para que x −1

1 = 2 . Con este fin observe que x −1

 1  2   = ( 2 ) , de donde x − 1  

(

1 x −1

)

= 4 , en consecuencia

1 = 4 , así 1 = 4( x −1) = 4 x − 4 , por lo tanto x −1

4x = 5

y x=

5 . 4

5 ∈(1,+∞) , se concluye que Como D g = (1,+∞) y 4

(

) (

)

5  Dom( f  g ) = (1,+∞) \   = 1, 5 ∪ 5 ,+∞ . 4 4 4 

Por otro lado, se tiene

(

•

 1  1 1 1 x −1 f   = = = = 2 1 1 − 4x + 4 5 − 4x f  g )( x ) = f ( g ( x ) ) =  x − 1   1    − 4 x − 1 − 4 x −1  x −1 

Estudiemos a continuación g  f

Como ya hemos determinado los dominios de las funciones dadas, pasemos a calcular el de la función compuesta. Según la definición, el domino de g  f está conformado por los números reales

x en el dominio de la función

sus imágenes f ( x ) =

, es decir los x ≠ −2 y x ≠ 2 , tales que

1 1 > 1 . Empleando pertenecen al dominio de g , esto es 2 x −4 x −4 2

los métodos vistos en la Unidad I, para resolver inecuaciones del tipo cociente, se obtiene la solución de la aquí planteada, esta es: (− 5 ,−2) ∪(2, 5 ) . Dado que -2 y 2 no pertenecen a dicha solución, se tiene que Dom( g  f ) = (− 5 ,−2) ∪(2, 5 ) . Hallemos ahora la fórmula para g  f .

( g  f )( x ) = g ( f ( x ) ) = g  2 1  =  x − 4

1 = 5 − x2 x2 − 4

= 1− x2 − 4 1 − 1 x2 − 4 x2 − 4

x2 − 4 5 − x2

De esta forma ( g  f )( x ) = g ( f ( x ) ) =

(

x2 − 4 . 5 − x2

)

1 5 − x2 x2 − 4

La página http://huitoto.udea.edu.co/Matematicas/7.3.html complemente apropiadamente el contenido sobre composición de funciones aquí desarrollado, por lo que el estudiante debe consultarla y realizar las actividades allí propuestas. Ejercicio propuesto. Sean

f ( x) =

x + 2 y g( x) =

2 . Hallar x

f  g, g  f

f  f

, con sus respectivos

dominios. 1.8 Funciones inyectivas Definición 1.8.1 Sea f : A → B. Se dice que f es una función inyectiva si para todo par de elementos x1 y x 2 en el dominio de f , con x1 ≠ x 2 , se tiene que f ( x1 ) ≠ f ( x 2 ) . La definición dada es equivalente a afirmar que f ( x1 ) = f ( x 2 ) si y sólo si x1 = x 2 . Que una función sea inyectiva quiere decir que TODOS los elementos del dominio tienen imágenes diferentes. Gráficamente puede determinarse que una función es inyectiva, si al trazar cualquier recta paralela al eje X, ésta corta a la curva a lo sumo en un punto. **GRÁFICAS CON Y=X3 Y CON Y= X2 PARA MOSTRAR EL CRITERIO** Ejemplo 1.8.1 Demostrar que la función f ( x ) = 7 x + 3 es inyectiva. Demostración. Para probar esto, supongamos que

f ( x1 ) = f ( x 2 ) . Si comprobamos a partir de esta

suposición que x1 = x 2 , habremos demostrado la inyectividad de la función.

f ( x1 ) = f ( x 2 ) Entonces Luego Por lo tanto

7 x1 + 3 = 7 x 2 + 3 7 x1 = 7 x 2

x1 = x 2

Consecuentemente f es inyectiva. Ejemplo 1.8.2 Determinar si la función f ( x ) =

4 − 3x es inyectiva. 6x + 5

Demostración. Supongamos que

f ( x1 ) = f ( x 2 )

4 − 3 x1 = 6 x1 + 5

4 − 3x2 6 x2 + 5

 4 − 3 x1   4 − 3x2       6x + 5  =  6x + 5  1 2    

4 − 3 x1 4 − 3 x 2 = 6 x1 + 5 6 x 2 + 5

( 4 − 3x1 )( 6 x2 + 5) = ( 4 − 3x2 )( 6 x1 + 5) 24 x 2 + 20 − 18 x1 x 2 − 15 x1 = 24 x1 + 20 − 18 x 2 x1 − 15 x 2

24 x 2 −15 x1 = 24 x1 −15 x 2 24 x 2 + 15 x 2 = 24 x1 + 15 x1

39 x 2 = 39 x1 x1 = x 2

Por lo tanto f es una función inyectiva. Ejemplo 1.8. 3 Determinar si la función f ( x ) = 9 x 2 − 7 es inyectiva. Respuesta. Obviamente el dominio de f es el conjunto de los números reales. Evaluando f en x1 = -1 y en x 2 = 1, resulta 2 f ( x1 ) = f ( − 1) = 9( − 1) − 7 = 9 − 7 = 2 y

f ( x 2 ) = f (1) = 9(1) − 7 = 9 − 7 = 2 2

Entonces tenemos que x1 ≠ x 2 pero f ( x1 ) = f ( x 2 ) , es decir encontramos dos elementos diferentes en el dominio de la función que tienen la misma imagen, por lo tanto la función no es inyectiva. ** EN ESTE PUNTO HACER LA GRÁFICA DE LA FUNCIÓN, TRAZANDO ADEMÁS UNA RECTA HORIZONTAL QUE CORTE AL EJE Y EN 2, SEÑALANDO LOS PUNTOS DE CORTE DE LA RECTA CON LA CURVA Y LAS ABSCISAS DE LOS MISMOS** 1.9 Funciones sobreyectivas.

Definición 1.9.1 Sea f : A → B. Se dice que f es una función es sobreyectiva, si para todo y ∈B existe x ∈ A tal que y = f ( x ) . En otras palabras una función

sobreyectiva si su rango coincide con B , es decir si Rgf = B . Gráficamente puede comprobarse que una función f : D ⊆ ℜ → ℜ es sobreyectiva viendo que toda recta horizontal corta al gráfico de la función en al menos un punto. **GRÁFICAS DE Y=X3, Y=X, Y=X2 CON RECTAS HORIZONTALEZ TRAZADAS A DIFERENTES ALTURAS DEL EJE Y** 1.10 Funciones biyectivas Definición 1.10.1 Sea f : A → B. Se dice que f es una función es biyectiva, si es inyectiva y sobreyectiva a la vez. Son ejemplos de funciones biyectivas, las funciones afines f ( x ) = ax + b , con a ≠ 0 , es decir las funciones afines cuyas gráficas no son rectas horizontales, f ( x ) = x 3 , f ( x ) = log a x .

1.11 Función inversa Definición 1.11.1 Sea f : A → B una función inyectiva. Definamos una nueva función f

−1

: Rgf → A (del rango de f en su dominio), mediante la siguiente relación: para cada

y ∈ Rgf

, f

−1

( y ) = x si y sólo si

y = f ( x ) . Denominaremos a la función así definida

función inversa de f . Es importante resaltar que esta relación es una función gracias a que f es inyectiva. **EN ESTE PUNTO DEBE IR UNA FUNCIÓN INYECTIVA DEFINIDA MEDIANTE DIAGRAMAS DE VENN Y SU FUNCIÓN INVERSA DEFINIDA DE IGUAL FORMA. LUEGO, ACTIVANDO ALGÚN CONTROL, SE LE OFRECERÁN AL ESTUDIANTE OTRAS OPCIONES PARA QUE RESPONDA (EN EL CUADRO) SOBRE LA INYECTIVIDAD DE LAS MISMAS** Es claro de la definición que la función inversa f a) f

−1

( f ( x ) ) = x para todo

b) f ( f

−1

( x) ) = x

−1

, posee las propiedades:

x ∈Domf

para todo x ∈Rgf

Ejemplo 1.11.1 En caso de ser posible hallar la inversa de la función f ( x ) = ( x 3 − 8) . 3

Solución. a) Probemos que es inyectiva

f ( x1 ) = f ( x 2 )

) ( 3

− 8 = x 23 − 8

3 1

)

− 8) = 3 ( x 23 − 8) 3

x13 − 8 = x 23 − 8

x13 = x 23 3

x13 = 3 x 23

x1 = x 2

Por lo que f es inyectiva b) Calculemos la función inversa Sea y ∈Rgf , entonces existe x ∈Domf tal que y = f ( x ) . A partir de esta ecuación se despejará

x en términos de y para obtener la fórmula de la función inversa, es

decir

(

y = x3 −8 3

)

y = 3 ( x 3 − 8) 3

y = x 3 −8

x3 = 3 y +8 3

x3 = 3 x =3

Entonces f

−1

( y) =

3 3

y +8

. Cambiando la variable y por 3 3

x , obtenemos

x +8

Ejemplo 1.11.2 Hallar de ser posible la función inversa de f ( x ) = Solución. a) Probemos que la función es inyectiva

2 1 − 3x − 4 4

−1

( x) =

f ( x1 ) = f ( x 2 ) 2 3 x1 − 4

−

1 = 4

2 3x 2 − 4

3x2 − 4 1

3 x1 − 4

1 4

3 x1 − 4

−

3x2 − 4

3 x 2 − 4 = 3 x1 − 4

(

3x2 − 4

) =( 2

3x1 − 4

)

3 x 2 − 4 = 3 x1 − 4

3 x 2 = 3 x1 x1 = x 2

De esta forma probamos que f es inyectiva. b) Hallemos la función inversa Sea y ∈Rgf , entonces existe x ∈Domf tal que y = f ( x ) . A partir de esta ecuación se despejará

x en términos de y para obtener la fórmula de la función inversa. 2 1 − 3x − 4 4

y= y+

1 = 4

2 3x − 4

1 = 4

2 3x − 4

4 y +1 = 4

2 3x − 4

( 4 y +1)

(( 4 y +1)

3x − 4 = 8

3x − 4

)

= 82

( 4 y + 1) 2 ( 3x − 4) = 64 3 x( 4 y + 1) − 4( 4 y + 1) = 64 2

3 x( 4 y + 1) = 64 + 4( 4 y + 1) 2

(

) ( + 8 y + 1) = 64 + 64 y

)

3 x 16 y 2 + 8 y + 1 = 64 + 4 16 y 2 + 8 y + 1

3x (16 y 2

+ 32 y + 4

−1 Entonces f ( y ) =

−1

3x =

64 y 2 + 32 y + 68 16 y 2 + 8 y + 1

64 y 2 + 32 y + 68 48 y 2 + 24 y + 3

64 y 2 + 32 y + 68 . Cambiando la variable 48 y 2 + 24 y + 3

y por x , obtenemos

2 ( x ) = 64 x 2 + 32 x + 68 .

48 x + 24 x + 3

El gráfico de la función inversa f

−1

se obtiene a partir del de la función

reflejando este último con respecto a la recta y = x como si se tratara de un espejo. Es decir son gráficos simétrico con respecto a la recta mencionada. ** FIGURA EN LA QUE SE REPRESENTAN EN UN MISMO SISTEMA DE COORDENADAS LA GRÁRICA DE LA FUNCIÓN F(X) Y LA DE SU INVERSA, SIMÉTRICAS CON RESPECT A LA RECTA Y=X** 1.12 Funciones pares e impares Sea f una función tal que si

x está en su dominio, también - x lo está.

Definición 1.12.1 Una función f se dice que es par si f ( − x ) = f ( x ) para todo

x ∈Domf

El gráfico de una función par es simétrico con respecto al eje Y. Como f ( − x ) = f ( x ) , el punto ( x, y ) estará en la gráfica si y sólo si el punto ( − x, y ) lo está. Ejemplo 1.12.1 Determinar si la función f ( x ) = x 4 − 2x 2 es par. Respuesta. 4 2 f ( − x ) = ( − x ) − 2( − x ) = x 4 − 2 x 2 = f ( x ) . Por lo tanto f es par.

** GÁFICA DE LA FUNCIÓN** Definición 1.12.2 Una función f se dice que es impar si f ( − x ) = − f ( x ) para todo

x ∈Domf

El gráfico de una función impar es simétrico con respecto al origen del sistema de coordenadas, pues al ser f ( − x ) = − f ( x ) , el punto ( x, y ) estará en la gráfica si y sólo si el punto ( − x,−y ) lo está.

Ejemplo 1.12.1 Determinar si la función f ( x ) = x 3 − x es impar. Respuesta.

(

)

3 f ( − x ) = ( − x ) − ( − x ) = −x 3 + x = − x 3 − x − f ( x ) , en consecuencia f es impar.

** GÁFICA DE LA FUNCIÓN** Ejemplo 1.12.3 Determinar si la función f ( x ) =

x es par, impar o ninguna de las dos. x −1

Respuesta. f ( − x) =

−x −x x x = = ≠ = f ( x ) , por lo que − x − 1 − ( x + 1) x + 1 x − 1

− f ( x) = −

no es par. Además

x x ≠ = f ( − x ) , consecuentemente f no es impar. x −1 x +1

** GÁFICA DE LA FUNCIÓN** UNIDAD III LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES En esta unidad estudiaremos el concepto de límite de una función real de una variable real, en un punto, sus propiedades, diversas técnicas para su cálculo, algunos tipos de indeterminaciones, límites en el infinito y, por último el concepto de continuidad. Objetivos Afianzar el concepto de límite como un proceso de aproximación Calcular los límites laterales de una función en un punto Resolver los diferentes tipos de indeterminaciones utilizando los procedimientos apropiados para cada caso Estudiar los límites infinitos Estudiar los límites al infinito Determinar la continuidad de una función en un punto y en un conjunto Estudiar los tipos fundamentales de discontinuidad de una función en un punto 1.Límites

Antes de formular la definición de límite de una función, estudiaremos el comportamiento de las imágenes de una función particular, cuando los elementos de su dominio se acercan indefinidamente a un número real dado. Estimación del límite de una función en un punto usando tablas de valores. A continuación construiremos tablas de valores de funciones con el fin de que, mediante ellas, podamos reconocer la tendencia que muestran las imágenes de una función, al evaluarla en elementos de su dominio muy cercanos a un punto dado

a , y así darnos una

idea intuitiva de cuál es, en caso de que exista, el límite de la función en el punto considerado. Ejemplo 1.1 Estudiar el comportamiento de la función f ( x ) = 2 x −1 para valores de

próximos a 2. x>2

2 x −1

3 5/2 21/10 201/100 2001/1000

5 4 3,2 3,02 3,002

x<2

2 x −1

3/2

19/10

2,8

199/100

2,98

1999/1000

2,998

Observe que si x > 2 y está suficientemente cerca de 2, entonces su imagen f ( x ) es un número muy cercano a 3 y, por otra parte si x < 2 y es muy próximo a 2, entonces f ( x ) también se mantiene muy cerca de 3. Así basándonos en los resultados arrojados por ambas tablas de valores, afirmamos que 3 es la tendencia que muestran las imágenes de la función f ( x ) = 2 x −1 , cuando la variable independiente

x toma valores arbitrariamente próximos a 2. Diremos entonces que 3 es el límite de f ( x ) = 2 x −1 cuando x tiende a 2.

** AQUÍ ES CONVENIENTE UNA VENTANA CON UN SISTEMA DE COORDENADAS DIBUJADO CON LA GRÁFICA DE LA FUNCIÓN. EN EL EJE Y DEBE ESTAR REPRESENTADO EL LÍMITE DE LA FUNCIÓN QUE ES 3, Y EN EL EJE X, DEBE ESTAR MARCADO EL NÚMERO 2. LA LETRA x DEBE ESTAR MARACADA EN ESTE MISMO EJE, ALGUNAS UNIDADES DESPUES DEL 2. EL ESTUDIANTE CON EL RATÓN DEBE PODER DESPLAZAR LA x HACIA EL NÚMERO 2 Y, SIMÚLTANEAMENTE EN LA GRÁFICA DE LA FUNCIÓN DEBEN IR RESALTÁDOSE LOS PUNTOS DE LA GRÁFICA CORRESPONDIENTES A LOS VALORES QUE VA TOMANDO LA x A MEDIDA QUE SE DESPLAZA SOBRES EL EJE. AL MISMO TIEMPO EN EL EJE Y, DEBEN IR APARECEINDO LAS IMÁGENES DE LOS VALORES DE LA VARIABLE x, PARA QUE EL ESTUDIANTE LITERALMETE VEA QUE ESTAS IMÁGENES SE ACERCAN AL NÚMERO 3 EN EL EJE Y. SE DEBE PROCEDER DE FORMA ANÁLOGA ACERCANDO LA x AL NÚMERO 2 EN EL EJE X, PERO POR SU IZQUIERDA.** Ejemplo 1.2 Estimar el límite de la función f ( x ) =

1 cuando x +1

x tiende a 0.

Tablas de valores x >0

1 x +1

1/2 0,66 1/10 0,909 1/100 0,99 1/1000 0,999 1/10000 0,9999

x<0

1 x +1

-1/2

-1/10

1,11

- 1/100

1,01

-1/1000

1,001

-1/10000 1,0001

Vemos que si x > 0 y suficientemente cerca de 0, entonces f ( x ) se aproxima a 1 y si x < 0 y está muy cerca de 0, entonces f ( x ) también se aproxima a 1. Una vez que se ha

determinado con claridad que 1 es la tendencia que muestra la función cuando a la variable independiente x se le asignan valores alrededor de 0, arbitrariamente próximos pero

diferentes de él, diremos que 1 es el límite de la función f ( x ) =

1 cuando x +1

x tiende a

0. Definición de límite 1.1 Sean f : D ⊆ ℜ → ℜ y a ∈ ℜ. Diremos que la función f tiene por límite el número real

L cuando x tiende al número real a , si los valores f se pueden aproximar a L tanto como se quiera, eligiendo la izquierda de

x suficientemente próximo a a , tanto por la derecha como por

a , pero distinto de él. Esto lo escribiremos simbólicamente lim f ( x ) = L x →a

Esta notación se lee: el límite cuando

f ( x ) es L .

x tiende a a de

Definición formal de límite 1.2 Sean f : D ⊆ ℜ → ℜ y a ∈ ℜ. Diremos que la función f tiene por límite el número real

L cuando x tiende al número real a , si y sólo si, dado ε > 0 existe δ > 0 , dependiente de

ε , tal que si 0 < x −a

<δ

entonces

f ( x ) −L <ε .

**GRÁFICA EN LA QUE EXPLIQUE EL SIGNIFICADO DE CADA SÍMBOLO EN LA DEFINICIÓN DE LÍMITE** Propiedades de los límites.

f ( x ) = L y lim g ( x ) = M , entonces: Si k es una constante y lim x →a x→a 1.

lim k = k x →a

[ f ( x ) ± g ( x ) ] = lim f ( x ) ± lim g ( x ) = L ± M 2. Si 2.1 lim x→ a x→ a x→ a [ f ( x ) g ( x ) ] = lim f ( x ). lim g ( x ) = L.M 3. lim x→a x→a x→ a 4. lim x→ a

f ( x) L f ( x ) lim = x→ a = , si M ≠ 0 g ( x ) lim g ( x ) M x→ a

kf ( x ) = k lim f ( x ) = kM , siendo k una constante 5. lim x→ a x→ a 6. Si

(

)

n ( f ( x ) ) n = lim f ( x ) = Ln n es un entero positivo, lim x→ a x→ a

7. Si

n f ( x ) = n lim f ( x ) = n L n es un entero positivo, lim x→ a x→ a

8. Si f ( x ) es una función racional y

a es un punto de su dominio,

lim f ( x ) = f ( a ) . Esta propiedad afirma que para hallar el límite de una x →a

a en la función, si

función racional, basta con sustituir el valor de

a pertenece al dominio de ella. Ejemplos

(

)

x 3 + 1 = 23 + 1 = 8 + 1 = 9 1.1 lim x→ 2 2x − 5 2.1 − 5 2−5 −3 3 = 2 = = = x + 4 x − 12 1 + 4.1 − 12 1 + 4 − 12 − 7 7

1.2 lim x →1

2 3 5 x 2 − 2 x + 3 = 3 lim ( 5 x 2 − 2 x + 3) = 3 5( − 2) − 2( − 2 ) + 3 = 3 5.4 + 4 + 3 1.3 xlim → −2 x → −2

= 3 27 = 3

(

)

4 x − 3 = 4 0 − 3 = 1 − 3 = −2 1.4 lim x→ 0

(

)

4 x + 3 x + 2 x = lim 4 x + lim 3 x + lim 2 x = 4 3 + 33 + 2 3 = 64 + 27 + 8 = 99 1.5 lim x→ 3 x→ 3 x→ 3 x→ 3

[

]

( 5x − 8) = lim ( 5 x − 8) = [ 5.2 − 8] = [10 − 8] = 2 = 32 1.6 lim x→ 2 x→ 2 5

1.7

(

)(

lim ( 3x + 4) ( 2 x + 1) 3 = lim ( 3x + 4) lim ( 2 x + 1) 3 = lim ( 3x + 4) lim ( 2 x + 1) 3

x→ − 1

( 3( − 1) + 4) 3 ( 2( − 1) + 1)

x→ − 1

)

= ( − 3 + 4) ( − 2 + 1) 3 = ( 1) ( − 1) 3 = − 1 3

1.2 Límites laterales A continuación estudiaremos el comportamiento de una función alrededor de un número

a , considerando valores en el dominio de la función que estén arbitrariamente cerca de a sólo a su derecha o sólo a su izquierda. real

Definición de límite por la derecha 1.2.1 Una función f ( x ) se dice que tiene por límite el número real L cuando derecha al número real 0 < x − a < δ entonces

a , si dado ε

x tiende por la existe δ > 0 , dependiente de ε , tal que si

f ( x ) −L <ε .

.Denotaremos este límite por:

lim f ( x ) = L

x→ a+

**GRÁFICA CON UNA FUNCIÓN DIBUJADA SOLO PARA LOS x MAYORES QUE a, CON ESTE NÚMERO Y CON L REPRESENTADOS EN LOS RESPECTIVOS EJES COORDENADOS** Definición de límite por la izquierda 1.2.2 Una función f ( x ) se dice que tiene por límite el número real M cuando izquierda al número real 0 < a − x < δ entonces

a , si dado ε

x tiende por la existe δ > 0 , dependiente de ε , tal que si

f ( x ) −M <ε .

.Denotaremos este límite por:

lim f ( x ) = M

x→ a −

**GRÁFICA CON UNA FUNCIÓN DIBUJADA SOLO PARA LOS x MENORES QUE a, CON ESTE NÚMERO Y CON M REPRESENTADOS EN LOS RESPECTIVOS EJES COORDENADOS** La proposición que se enuncia a continuación proporciona un criterio que permite determinar cuando existe el límite de una función en un punto. Proposición 1.2.1 El límite de una función f ( x ) en un punto

a existe y es igual a L , si

y sólo si ambos límites laterales existen y son iguales a L . Ejemplo 1.2.1 Calcule los límites laterales de la función f ( x ) =

x x

cuando

x tiende a 0,

y decir si existe el límite de la función en este punto. Solución. Recordemos antes de calcular los límites laterales, la definición de valor absoluto de un número real: Luego

x =x

si x ≥ 0 y

x =− x

si x < 0 .

lim+

x →0

lim−

x →0

x x x x

= lim+

x = lim (1) = 1 x x →0 +

= lim−

−x = lim− ( −1) = −1 x →0 x

x →0

Luego, los límites laterales existe, pero como son diferentes, no existe el límite de la función en 0. **GRÁFICA DE LA FUNCIÓN**

Ejemplo 1.2.2 Calcule los límites laterales de la función

 x 2 si x ≤ − 3 cuando f ( x) =   3 − 2x si x > -3

tiende a -3, y decir si existe el límite de la función en este punto. Solución.

lim f ( x ) = lim+ ( 3 − 2 x ) = 9

x → − 3+

x→ −3

lim− f ( x ) = lim− x 2 = ( − 3) = 9 2

x → −3

Como los límites laterales existen y son iguales a 9, entonces existe el límite de la función

f ( x) = 9 en -3 y es 9, es decir xlim →−3 **GRÁFICA DE LA FUNCIÓN**

Ejemplo 1.2.3 Calcule los límites laterales de la función

1  x si 0 < x ≤ 4 f ( x) =   x − 3 si x > 4  4

tiende a 4, y decir si existe el límite de la función en este punto. Solución. lim+ f ( x ) = lim+

x−3 4−3 1 = = 4 4 4

lim− f ( x ) = lim−

1 1 = x 4

x →4

cuando

Como lim+ f ( x ) = lim− f ( x ) = x →4

x →4

1 1 f ( x) = , entonces lim x →4 4 4

**GRÁFICA DE LA FUNCIÓN** 1.3 Límites infinitos Comenzaremos el estudio de los límites infinitos, analizando el comportamiento de una función particular alrededor un punto en ℜ, con la finalidad de dar una idea intuitiva de este concepto. Estudiaremos el comportamiento de las imágenes de la función f ( x ) = variable

1 , cuando la x2

x toma valores muy cercanos a 0. Obsérvese que 0 no pertenece al dominio de la

función. Para hacer nuestro estudio construyamos una tabla de valores, seleccionando números en un pequeño entorno de 0. Como f ( − x ) =

( − x)

1 = f ( x ) entonces f ( x ) es una función x2

par, por lo que, debido a la simetría de función con respecto al eje Y, basta hacer la tabla sólo con valores positivitos de la variable independiente x >0

1/10

100

1/100

10000

1/1000

1000000

1/10000 100000000

Como puede observarse en la tabla de valores, a medida que

x toma valores cada vez más

cercanos a 0, tanto por la derecha como por la izquierda de 0 debido a la paridad de la función, las respectivas imágenes aumentan indefinidamente. Esto puede observarse en la siguiente figura. **GRÁFICO DE LA FUNCIÓN** La tendencia observada de las imágenes de la función f ( x ) = conforme

1 a crecer indefinidamente x2

x se aproxima a 0, la expresaremos diciendo que “ f ( x ) tiende a + ∞ cuando

x tiende a 0”. Este comportamiento intuitivamente nos dice que dado cualquier número real C > 0 , por más grande que éste sea, siempre existirán imágenes de la función f arbitrariamente mayores que C , si

x se toma suficientemente próximo a 0. Esto queda expresado en la

definición dada a continuación. Definición 1.3.1

+ ∞ cuando x tiende a un número real a si para cualquier número real C > 0 , existe un δ > 0 tal que si 0 < x −a <δ entonces f ( x ) > C . Una función f tiende a

Para señalar este hecho emplearemos la notación

lim f ( x ) = +∞ x →a

**GRÁFICO EN EL QUE SE EXPLIQUE LA DEFINICIÓN** Por otra parte, si analizamos en la figura ** el comportamiento de las imágenes de la función f ( x ) = − f

1 , cuando x2

x es muy próximo a 0, se observa que dichas imágenes de

disminuyen indefinidamente. **GRÁFICO DE LA FUNCIÓN**

Resumiremos esta situación diciendo que f ( x ) = −

1 tiende a x2

−∞

cuando

x tiende a 0.

Este comportamiento de la función entorno a un número real, nos lleva a la siguiente definición, análoga a la 1.3.1

Definición 1.3.2 Una función f tiende a

−∞

x tiende a un número real a si para cualquier tal que si 0 < x −a <δ entonces f ( x ) < −C .

cuando

número real C > 0 , existe un δ > 0

Para señalar este hecho emplearemos la notación

lim f ( x ) = −∞ x →a

**GRÁFICO EN EL QUE SE EXPLIQUE LA DEFINICIÓN** Observación. Cuando se habla de límite infinito se está incurriendo en un abuso de lenguaje, pues

−∞

+ ∞ no son números reales y, como lo hemos afirmado

reiteradamente, los límites de las funciones reales si lo son. Entonces los símbolos

lim f ( x ) = −∞ y lim f ( x ) = +∞ , no significan que existe el límite de f ( x ) cuando x x →a x →a tiende al número real a , sino que las imágenes de la función disminuyen o aumentan indefinidamente, sin dirigirse a ningún número real fijo, cuando

Consideremos la función f ( x ) =

x está próximo a a .

1 y su gráfico. x −2

**GRÁFICO DE LA FUNCIÓN** Analizando el comportamiento de la función alrededor de 2, debemos distinguir la tendencia de las imágenes de la función si x → 2 − de la tendencia de las imágenes si x → 2 + . En el primer caso, las imágenes disminuyen indefinidamente, y en el segundo caso

aumentan sin detener su crecimiento. Las definiciones que siguen contemplan estas posibilidades. Definición 1.3.3 Límite infinito por la derecha Sean f : D ⊆ ℜ → ℜ y a ∈ ℜ. Diremos que la función f tiende a

a por la derecha, si para cualquier número real que si 0 < x − a < δ entonces f ( x ) > C . a un número real

En símbolos escribimos

lim f ( x ) = +∞

x→ a +

+ ∞ cuando x tiende

C > 0 , existe un δ > 0 tal

** AQUÍ DEBE HABER UN GRÁFICO DE UNA FUNCIÓN CON UNA ASÍNTOTA VERTICAL QUE CORTE AL EJE X EN a , Y LA FUNCIÓN DEBE ESTAR DIBUJADA SOLAMENTE A LA DERECHA DE LA ASÍNTOTA Y TENDER A +INFINITO** Definición 1.3.4 Límite menos infinito por la derecha Sean f : D ⊆ ℜ → ℜ y a ∈ ℜ. Diremos que la función f tiende a a un número real

a por la derecha, si para cualquier número real

−∞

cuando

x tiende

C > 0 , existe un δ > 0 tal

que si 0 < x − a < δ entonces f ( x ) < −C . En este caso escribimos

lim f ( x ) = −∞

x→ a +

** AQUÍ DEBE HABER UN GRÁFICO DE UNA FUNCIÓN CON UNA ASÍNTOTA VERTICAL QUE CORTE AL EJE X EN a , Y LA FUNCIÓN DEBE ESTAR DIBUJADA SOLAMENTE A LA DERECHA DE LA ASÍNTOTA Y TENDER A -INFINITO**

f ( x ) = +∞ y lim− f ( x ) = −∞ . Análogamente se definen los símbolos xlim → a− x→ a Siguiendo las definiciones dadas en esta sección, el lector deberá escribir las dos últimas definiciones. Según las definiciones establecidas tenemos que lim−

x →2

1 1 = −∞ y lim+ = +∞ x →2 x − 2 x−2

Teorema 1.3.1 Sea a) lim+ x →0

un entero positivo. Entonces

1 = +∞ xr

1  + ∞ si r es par lim− r =  x→ 0 x - ∞ si r es impar 

Teorema 1.3.2

f ( x ) ≠ 0 y lim g ( x ) = 0 , entonces En general, si lim x →a x →a

f ( x)  − ∞ si signo( f ( x) ≠ signo( g( x) a) lim = x→ a g ( x) + ∞ si signo( f ( x) = signo( g ( x)  o b) xlim →a −

f ( x) = ±∞ y g( x)

lim

x →a +

f ( x) = ∞ g( x)

Ejemplo 1.3.1 Decidir si existe lim x →2

x+2 y obtener su valor en caso afirmativo. x −x−2 2

Solución. Veamos si es posible obtener el límite por sustitución directa. Si sustituimos en la fracción la variable

x por 2, obtendríamos como resultado en el

numerador 2+2 = 4, mientras que en el denominador resultaría 2 2-2-2 = 0. Según el teorema 1.3.2, este límite es infinito. Analicemos los límites laterales. Para facilitar este análisis, factorizamos el polinomio del denominador. Entonces lim x →2

x+2 x+2 = lim x → 2 ( x − 2)( x + 1) x − x −2 2

x +2 ( x − 2)( x + 1)

i) xlim →2

( x + 2) = 4 por valores positivos. Si x → 2 + , entonces x > 2 , por lo tanto x + 2 > 0 y xlim → 2+ Por otra parte, como

x > 2 , entonces

x − 2 >0

x + 1 > 0 , por lo tanto

lim ( x − 2)( x + 1) = 0 , por valores positivos, en consecuencia lim

x→ 2+

x →2 +

ii) xlim →2

−

x +2 ( x − 2 )( x + 1)

x +2 ( x − 2)( x + 1)

= +∞ .

Si x → 2 − , entonces x < 2 , por lo tanto x + 2 > 0 (se puede suponer x > 1 pues se quieren

( x + 2) = 4 por valores positivos. valores muy cercanos a 2) y de esta forma xlim → 2+ Por otra parte, como x < 2 , entonces x − 2 <0 y x + 1 > 0 , por lo tanto ( x − 2 )( x + 1) < 0

( x − 2)( x + 1) = 0 , por valores negativos, en consecuencia xlim resultando xlim →2 → 2+

x +2 ( x − 2)( x + 1)

= −∞ . Ejemplo 1.3.2 Estudiar lim x →0

x +1 x3 − x

Solución.

( x + 1) = 1 Como lim x →0

lim( x 3 − x ) = 0 , el teorema 1.3.2, dice que este es un límite x→ 0

infinito. Factoricemos el polinomio x 3 − x = x ( x 2 − 1) = x( x − 1)( x + 1) Luego lim x →0

x +1 x +1 1 = lim = lim x 3 − x x →0 x( x − 1)( x + 1) x →0 x( x − 1)

Estudiemos los límites laterales. 1 = −∞ , ya que en este caso el factor x( x −1)

i) xlim →0

x →0

x −1 es

x es un número muy pequeño, menor que 1. En consecuencia

negativa porque lim+

x es positivo y la diferencia

x +1 = −∞ . x3 − x

ii) xlim →0

−

1 = +∞ , ya que el factor x( x −1)

negativa porque

Solución.

x x + x −6 2

x −1 también es

x es un número negativo. En consecuencia lim x3 + 1 = +∞ . x →0

Ejemplo 1.3.3 Estudiar xlim →−3

x es negativo y la diferencia

x −x

(

)

x = −3 y lim x 2 + x − 2 = ( − 3) 2 + ( − 3) − 6 = 9 − 3 − 6 = 9 − 9 = 0 , es un Puesto que xlim →−3 x→ −3 límite infinito. Factoricemos el denominador x 2 + x − 6 = ( x + 3)( x − 2 )

Calculemos los límites laterales. x

i) xlim →−3

( x + 3)( x − 2)

Estudiamos el signo de cada factor en la fracción.

x es mayor que -3 pero muy cercano a este número, x es negativo. Por otra parte, al ser x > −3 , se tiene que x + 3 > 0 y x − 2 < 0 , consecuentemente ( x + 3)( x − 2 ) < 0 . Así Como

lim+

x →−3

x x = lim+ = +∞ . x + x − 6 x →−3 ( x + 3)( x − 2 ) 2

ii) xlim →−3

−

( x + 3)( x − 2)

Nuevamente estudiamos el signo de cada factor. Evidentemente

x es negativo.

Como x → −3 − , entonces x < −3 , de donde x + 3 < 0 ; además x − 2 es negativo, por lo tanto ( x + 3)( x − 2 ) > 0 . Se concluye que xlim →−3

−

x x = lim− = −∞ x + x − 6 x →−3 ( x + 3)( x − 2 ) 2

Ejemplo 1.3.4 Determinar lim x →0

x2 + 4 . x

Solución. lim x 2 + 4 = 0 2 + 4 = 4 = 2 x→ 0

lim x = 0 x →0

En consecuencia este límite es del tipo infinito. Calculemos los límites laterales. i) lim

x →0 +

x2 + 4 = +∞ , pues numerador y denominador son positivos. x

ii) lim

x →0 −

x2 + 4 = −∞ , porque el numerador es positivo y el denominador es negativo. x

1.4 Límites al infinito Para conocer el comportamiento de una función a medida que nos alejamos del origen, ya sea hacia la derecha o hacia la izquierda, estudiamos los límites al infinito, es decir determinamos el límite de una función cuando Consideremos la función

f ( x) =

1 x

x aumenta o disminuye indefinidamente.

. Analicemos el comportamiento de las imágenes cuando

es positivo y aumenta indefinidamente. Tabla de valores

100 1000 10000 100000 100000

0,01 0,001 0,0001 0,00001 0,000001

Como puede observarse en la tabla de valores, a medida que

x aumenta, las respectivas

imágenes se hacen cada vez menores. Si continuáramos asignándole valores a la variable independiente en forma creciente, podemos intuir debido a los resultados obtenidos, que las imágenes continuarían reduciéndose, es decir acercándose a 0, de manera indefinida. En

otras palabras: para valores arbitrariamente grandes de

x , la función

1 x

f ( x) =

está cerca de 0.

Expresamos simbólicamente la situación descrita mediante 1 =0. x →+∞ x lim

**GRÁFICO DE LA FUNCIÓN, RESALTANDO CON ALGÚN COLOR LA PARTE CORRESPONDIENTE AL INTERVALO ESTUDIADO**

Definición 1.4.1 Sea f : D ⊆ ℜ → ℜ . Diremos que la función f tiende al número real L cuando tiende a

+ ∞ , si dado ε

> 0 existe N > 0 , dependiente de

ε , tal que si

x > N entonces

f ( x ) −L <ε .

En este caso escribimos

lim f ( x ) = L

x →+∞

El anterior símbolo se lee “el límite de f ( x ) cuando Es claro en el ejemplo dado con la función

f ( x) =

1 x

x tiende a + ∞ , es L .

, que si se consideran valores de

negativos, de magnitud arbitrariamente grande, también f ( x ) tenderá a 0. Entonces escribiremos en símbolos xlim →−∞

1 =0. x

Definición 1.4.2 Sea f : D ⊆ ℜ → ℜ . Diremos que la función f tiende al número real M cuando tiende a

− ∞ , si dado ε > 0

existe N > 0 , dependiente de

ε , tal que si

x < −N entonces

f ( x ) −M <ε .

En este caso escribimos

lim f ( x ) = M

x →−∞

El anterior símbolo se lee “el límite de f ( x ) cuando

x tiende a − ∞ , es M .

**GRÁFICO REPRESENTANDO LA SITUACIÓN, INTERPRETANDO EL SIGNIFICADO DE ε Y SU RELACIÓN CON N > 0 ** Teorema 1.4.1 Si

es un número racional positivo, entonces

1 =0 x →+∞ x r lim

Más aún, si x r está definida para x < 0 , entonces lim

x →−∞

1 =0 xr

1.5 Límites infinitos cuando x → ±∞ Definición 1.5.1 Decimos que

(

)

f ( x ) = +∞ lim f ( x ) = −∞ , si dado C > 0 existe N > 0 tal que si x > N , i) xlim → +∞ x → +∞ entonces f ( x ) > C ( respectivamente, f ( x ) < −C ) .

(

)

f ( x ) = +∞ lim f ( x ) = −∞ , si dado C > 0 existe N > 0 tal que si x > N , ii) xlim → −∞ x → −∞ entonces f ( x ) > C ( respectivamente, f ( x ) < −C ) . La parte a) del teorema 1.3.1 de la sección de límites infinitos sigue siendo válida si se toma a = ±∞ . Proposición 1.5.1 Sea Pn ( x ) = a n x n + a n −1 x n −1 + ... + a1 x + a 0 , con n ≥ 1 y a n ≠ 0 . Entonces

 + ∞ si an > 0 i) lim P ( x ) = n  x→ + ∞  − ∞ si an < 0 ii) Si

 + ∞ si a n > 0 n es par, entonces lim P ( x ) = n  x→ − ∞  − ∞ si an < 0

iii) Si

 + ∞ si a n < 0 n es impar, entonces lim P ( x ) = n  x→ − ∞  − ∞ si an > 0

Ejemplos 1.5.1 1) Calcular xlim →+∞

1 x +10

Solución. Es claro que si x → +∞ , también x + 10 → +∞ , por lo que tenemos una fracción cuyo numerador es constante y el denominador es una expresión que crece indefinidamente, lo que implica que el cociente decrece indefinidamente a 0, esto es xlim →+∞ 2) Calcular xlim →+∞

1 = 0. x + 10

6 x +x 2

Solución. Cuando x → +∞ tenemos que x 2 + x → +∞ , en consecuencia xlim →+∞

1.6 Indeterminaciones de la forma Sea c ∈ ℜ o c = ±∞ . Si f ( x ) =

0 . 0

g ( x) g ( x ) = 0 y lim h( x ) = 0 , es una función tal que lim x→c x →c h( x )

se dice que f ( x ) presenta una indeterminación de la forma Estudiaremos algunos casos de este tipo de indeterminación. Caso I

6 =0 x +x 2

0 . 0

Sea

f ( x)

una función racional, es decir

f ( x) =

P( x ) , donde P ( x ) y Q( x ) son Q( x )

funciones polinómicas, que presenta una indeterminación de la forma

0 en algún punto 0

c ∈ ℜ . Entonces para eliminar esta indeterminación se factorizan P ( x ) y Q ( x ) y luego

se simplifican los factores comunes al numerador y al denominador. 5x 2 − 2 x x →0 x 3 −x

Ejemplo 1.6.1 Calcular lim Solución.

Verifiquemos en primer lugar que estamos en presencia de una indeterminación de la forma 0 . Para ello calculemos el límite con 0

x tendiendo a 0, tanto del numerado como del

denominador.

lim( 5 x 2 − 2 x ) = 5.0 2 − 2.0 = 0 y lim( x 3 − x ) = 0 3 − 0 = 0 x→ 0 x→ 0 De esta forma se ha verificado la existencia de una indeterminación de la forma

0 . 0

Para eliminar esta indeterminación se factorizan tanto el numerador como el denominador.

( )

5 x 2 − 2 x = x( 5 x − 2 ) y x 3 − x = x x 2 1 = x( x − 1)( x + 1)

Sustituyendo en la fracción y cancelando los términos semejantes, tenemos 5x 2 − 2 x x( 5 x − 2) 5x − 2 5.0 − 2 0−2 −2 = lim = lim = = = = 2. 3 x →0 x → 0 x → 0 ( x − 1)( x + 1) ( 0 − 1)( 0 + 1) ( − 1).1 − 1 x ( x − 1)( x + 1) x −x

lim

x2 + x − 2 x →−2 4 − x2

Ejemplo 1.6.2 Calcular lim Solución.

Para comenzar comprobemos que la función presenta una indeterminación

0 . Con este fin 0

calculemos:

lim ( x 2 + x − 2) = ( − 2) + ( − 2 ) − 2 = 4 − 4 = 0 y lim ( 4 − x 2 ) = 4 − ( − 2) = 4 − 4 = 0 . x → −2 2

x → −2

Una vez comprobada la existencia de la indeterminación, procedemos a factorizar el numerador y el denominador de la función.

x 2 + x − 2 = ( x − 1)( x + 2 ) y 4 − x 2 = ( 2 − x )( 2 + x )

A continuación se sustituye la factorización en la fracción y se cancelan los factores semejantes x2 + x − 2 ( x − 1)( x + 2) = lim x − 1 = − 2 + 1 = − 1 = − 1 = lim . 2 x →−2 x → − 2 ( 2 − x )( 2 + x ) x→−2 2 − x 2 − ( − 2) 2 + 2 4 4−x lim

Ejemplo 1.6.3 Calcular lim x →1

x 4 − 2x 3 + 2x 2 + 1 x 3 + x 2 − 5x + 3

Solución. Como

lim( x 4 − 2 x 3 + 2 x 2 − 2 x + 1) = 14 − 2.13 + 212 − 2.1 + 1 = 1 − 2 + 2 − 2 + 1 = 4 − 4 = 0 x →1

lim( x 3 + x 2 − 5 x + 3) = 13 + 12 − 5.1 + 3 = 1 + 1 − 5 + 3 = 5 − 5 = 0 , x→1

la función presenta una indeterminación de la forma

0 en 1. 0

Al igual que en los ejercicios previos, procedemos a factorizar los polinomios involucrados en el cociente. Se empleará el método de Ruffini para efectuar la factorización de los polinomios. Factoricemos x 4 − 2 x 3 + 2 x 2 − 2 x + 1 AQUÍ DEBE IR EL MÉTODO DE RUFFINI, PERO NO SE COMO DIBUJAR EL DIGRAMA EN WORD Por lo tanto x 4 − 2 x 3 + 2 x 2 − 2 x + 1 = ( x − 1)( x − 1) ( x 2 + 1) = ( x − 1) 2 ( x 2 + 1) Ahora se factoriza x 3 + x 2 − 5 x + 3 NUEVAMENTE NO SE COMO USAR WORD PARA APLICAR EL MÉTODO Por lo tanto x 3 + x 2 − 5 x + 3 = ( x − 1)( x − 1)( x + 3) = ( x −1) 2 ( x + 3) Así resulta x 4 − 2x 3 + 2x 2 + 1 ( x − 1) ( x 2 + 1) = lim x 2 + 1 = 12 + 1 = 1 + 1 = 2 = 1 lim 3 = lim x →1 x + x 2 − 5 x + 3 x →1 ( x − 1) 2 ( x + 3) x →1 x + 3 1+ 3 4 4 2 2

Caso II

f ( x) =

g ( x) es una función donde al menos una de la funciones g ( x ) o h( x ) es del tipo h( x )

P( x ) − Q( x )

P ( x ) −Q ( x )

P( x ) − Q( x )

En este caso para eliminar la indeterminación, se racionaliza el numerador o el denominador o ambos, dependiendo de cuál de las funciones g ( x ) y h( x ) tiene uno de los tipos arriba descritos. Luego se simplifica la fracción resultante de esta operación. Ejemplo 1.6.4 Hallar en caso de que exista lim x →4

x −2 x −4

Solución. Verificamos que hay una indeterminación

(

)

0 en 4. 0

lim x − 2 = 4 − 2 = 2 − 2 = 0 y lim( x − 4 ) = 4 − 4 = 0 . x→ 4 x→ 4 Racionalizaremos el numerador de la función. Para ello multiplicamos y dividimos la fracción dada por la conjugada del numerador.

( )

x −2 x −2 x +2 x − 22 x −4 = lim . = lim = lim = lim x →4 x − 4 x → 4 x → 4 x−4 x +2 ( x − 4) x + 2 ( x − 4) x + 2 x→4 1 1 = = 2+2 4

lim x →4

Ejemplo 1.6.5 Calcular lim x →2

(

)

(

)

1 x +2

1 4 +2

x 2 + 6x − 4 x + 2 − 2x

Solución. Comprobación de la indeterminación

(

)

0 en 2: 0

lim x 2 + 6 x − 4 = 2 2 + 6.2 − 4 = 4 + 12 − 4 = 16 − 4 = 4 − 4 = 0 x→ 2

(

)

lim x + 2 − 2 x = 2 + 2 − 2.2 = 4 − 4 = 0 x→ 2

Una vez probado que la fracción presenta la indeterminación

0 en 2, se procede a 0

racionalizar tanto el numerador como el denominador de la fracción .

x 2 + 6x − 4

lim

x + 2 − 2x

x →2

(

x 2 + 6x − 4

= lim

x + 2 − 2x

x →2

)

(

x 2 + 6x + 4

x + 6x + 4 2

)

 x 2 +6 x 2 −4 2  x + 2 + 2 x    = lim  2 2 x →2   x +2 − 2 x   x 2 +6 x + 4  

(

= lim

)

x →2

= lim− x →2

) (

(

+ 6 x − 16 )

( 2 − x) (

(

x + 2 + 2x

x + 6x + 4 2

)

= lim

x + 2 + 2x

+ 6 x − 16

) = lim ( x − 2)( x + 8) ( ( 2 − x)(

x →2

( x − 2)( x + 8) ( x + 2 + 2 x ) ( x − 2) ( x 2 + 6 x + 4)

)(

( x + 2 − 2x)(

x →2

x + 2 + 2x x + 6x + 4 2

x + 2 + 2x

x + 6x + 4 2

)

Cancelando términos semejantes = lim−

( x + 8) (

(

x →2

=−

x + 2 + 2x

x + 6x + 4 2

)

) = − ( 2 + 8) (

2 + 2 + 2.2

) = −10(

4+ 4

)

4 +12 + 4

2 + 6.2 + 4 2

10.4 40 40 =− =− = −5 4 + 4 8 16 + 4

Ejemplo 1.6.6 Calcular lim x →4

x x −8 x 2 −16

Solución Verificamos la indeterminación

(

)

0 en 4. 0

lim x x − 8 = 4 4 − 8 = 4.2 − 8 = 4 − 4 = 0 x →4

lim( x 2 − 16 ) = 4 2 − 16 = 16 − 16 = 0 x→ 4

Racionalizamos el numerador multiplicando y dividiendo por su conjugada. lim x →4

lim x →4

(

) )(

( ) )(

x x −8 x x −8 x x +8 x x − 82 x 2 x − 16 = lim . = lim = lim x →4 x 2 − 16 x x + 8 x →4 x 2 − 16 x x + 8 x →4 x 2 − 16 x x + 8 x 2 − 16

(

x 2 x − 64 2

)(

− 16 x x + 8

)

= lim x →4

x 3 − 64 2

)(

− 16 x x + 8

)

(

)

Factorizando y simplificando, se obtiene

( x − 4) ( x 2 + 4 x + 16) = lim x 2 + 4 x + 16 = 4 2 + 4.4 + 16 = 16 + 16 + 16 = 48 = 1 x →4 ( 8( 4.2 + 8) 144 3 x − 4 )( x + 4 ) ( x x + 8) x →4 ( x + 4 ) ( x x + 8) ( 4 + 4 ) ( 4 4 + 8)

lim

Caso III

Algunas indeterminaciones de la forma

0 son el resultado de la combinación de diferentes 0

tipos de funciones, combinación para la cual los métodos descritos no son tan apropiados. Parte de estas indeterminaciones pueden ser enfrentadas con un método que consiste en sustituir la variable de la cual depende el límite a calcular, por una nueva variable de tal forma que la expresión resultante del cambio, adquiera una apariencia más sencilla para el cálculo. 1− x

Ejemplo 1.6.7 Calcular lim x →1 3

x −1

Solución. Este límite podría calcularse racionalizando tanto el numerador como el denominador de la función, recurriendo al método descrito en el caso II; sin embargo esta operación podría resultar complicada, sobre todo en lo que respecta a la racionalización del denominador. Por lo tanto, en lugar de este procedimiento se hará un cambio de variable. El objeto de este cambio será eliminar ambas raíces, la cuadrada y la cúbica. Para ello se sustituirá la variable

x por una nueva variable z , con un exponente que permita la eliminación

requerida. Con este fin sea x = z 6 , donde el exponente 6 es el mínimo común múltiplo de los índices 2 y 3 de as raíces. Una vez efectuado el cambio de variable, antes de continuar con el cálculo del límite, debe determinarse hacia que valor tenderá la nueva variable. Obsérvese que como x = z 6 , se tiene

6 x = 6 z 6 , por lo que z = x . Ahora, si

x tiende a 1, también

tiende a 1. Esto

implica, recordando la definición de valor absoluto, que z → 1 o z → −1 . Por la simetría de la curva x = z 6 , cualquiera de las dos posibles tendencias de

puede emplearse para el

cálculo del límite planteado. Entonces tendremos 1− x

lim 3 x →1

x −1

= lim

1− z6

z →1 3

z 6 −1

= lim z →1

1− z

z 2 −1

1− z3 z →1 z 2 − 1

= lim

Al llegar a este punto se nos presenta el cálculo del límite de un cociente de polinomios, que presenta una indeterminación de la forma

0 en 1, la cual según el caso I, se resuelve 0

factorizando ambos polinomios y cancelando luego los factores semejantes.

(1 − z ) (1 + z + z 2 ) = lim − ( z − 1) (1 + z + z 2 ) = lim − (1 + z + z 2 ) = − 1 + 1 + 12 = − 3 1− z3 = lim z →1 z 2 − 1 z →1 z →1 z →1 ( z − 1)( z + 1) ( z − 1)( z + 1) z +1 1+1 2

lim

1− x

Es decir lim x →1 3

3 =− . 2 x −1

1.7 Indeterminaciones de la forma Sea c ∈ ℜ o c = ±∞ . Si

f ( x) =

∞ ∞

g ( x) h( x )

g( x) = ∞ es una función tal que lim x →c

lim h( x ) = ∞ , dice que f ( x ) presenta una indeterminación d a forma x →c

∞ ∞

Nos concentraremos en la resolución de algunos casos de esta indeterminación. Caso I Indeterminaciones de la forma

∞ ∞

en la que tanto el denominador como el numerador de

la función considerada, son funciones polinómicas. Para calcular este tipo de límites se divide cada término en la fracción por la mayor potencia de

x que intervenga en ella, luego se simplifica y se halla el límite. 3 x 2 − x + 10 x → +∞ 4 x 5 + 2 x 2 − x + 2

Ejemplo 1.7.1 Hallar en caso de que exista, lim Solución.

(

)

3x 2 − x + 10 = +∞ Claramente xlim → +∞

(

)

4 x 5 + 2 x 2 − x + 2 = +∞ y xlim → +∞

Habiendo comprobado la indeterminación

∞ ∞

, pasamos a calcular el límite dividiendo

cada término de la fracción por la mayor potencia de

x que interviene en ella, que en

este ejemplo es x 5 .

3x 2 x 10 3 1 10 − 5+ 5 − 4+ 5 2 5 3 3 x − x + 10 x x x x x x = 0+ 0+ 0 = 0 = 0 lim = lim 5 = lim 2 x → +∞ 4 x 5 + 2 x 2 − x + 2 x → +∞ 4 x x → +∞ 2 1 2 4+ 0+ 0+ 0 4 2x x 2 4+ 3 − 4 + 5 + 5 − 5+ 5 5 x x x x x x x 5x 3 + 4x 2 − x + 3 x →−∞ 2x3 − 6x 2

Ejemplo 1.7.2 Calcular lim Solución.

Verifiquemos que la función estudiada presenta una indeterminación de la forma

lim ( 5 x 3 + 4 x 2 − x + 3) = −∞ y lim ( 2 x 3 − 6 x 2 ) = −∞ x → −∞

x → −∞

∞ ∞

Comprobada la existencia de la indeterminación, calcularemos el límite dividiendo cada término en la fracción entre x 3 , que es la mayor potencia de

5x 3 4x 2 x 3 4 1 3 + 3 − 3+ 3 5+ − 2 + 3 3 2 3 5x + 4x − x + 3 x x x x x = lim x = 5+ 0+ 0+ 0 = 5 lim = lim x . 3 2 3 2 x → −∞ x → −∞ x → −∞ 6 2−0 2 2x − 6x 2x 6x 2− − 3 x x3 x 9x 4 − 4x + 8 x →+∞ − 2 x 2 + 5 x + 1

Ejemplo 1.7.3 Calcular lim Solución.

Comprobación de la indeterminación

∞ ∞

lim ( 9 x 4 − 4 x + 8) = +∞ y lim ( − 2 x 2 + 5 x + 1) = −∞ x → +∞ x → +∞ Luego

9x 4 4x 8 4 8 − 4+ 4 9− 3 + 4 4 9x 4 − 4x + 8 x = lim x x lim = lim x 2 x x → +∞ − 2 x 2 + 5 x + 1 x → +∞ − 2 x x → +∞ − 2 5 1 5x 1 + + + + 2 3 x x x4 x4 x4 x4 denominador a 0, cuando

Como el numerador de la fracción tiende a 9 y el

x tiende a + ∞ , el límite de la función es del tipo infinito.

Además al verificar la indeterminación, mostramos que el numerador toma valores positivos y el denominador negativos cuando

x es muy grande, por lo que se concluye

que 9x 4 − 4x + 8 = −∞ x →+∞ − 2 x 2 + 5 x + 1 lim

Los resultados de los tres ejemplos anteriores se pueden generalizar de la siguiente forma. i)

Si el grado del polinomio del numerador es menor que el grado del polinomio del denominador, el límite de la función racional cuando

ii)

x tiende a infinito, es 0.

Si el grado del numerador es igual al del denominador, el límite de la función racional cuando potencia de

x tiende a infinito, es el cociente de los coeficientes de la mayor

x en el numerador y de la mayor potencia del denominador.

iii)

Si el grado de numerador es mayor que el grado del denominador, el límite de la función racional cuando

x tiende a infinito, es infinito.

Caso II En este caso consideraremos fraccione sen las que el numerador o el denominador, o ambos, contienen radicales. Se explicará el procedimiento mediante un ejemplo. Ejemplo 1.7.4 Hallar xlim →+∞

4x −3 9x 2 − x

Solución. Verificación de la indeterminación

∞ ∞

lim ( 4 x − 3) = +∞

x → +∞

(

)

9 x 2 − x = +∞ , entonces claramente lim 9 x 2 − x = +∞ . Como xlim → +∞ x →+∞ Por lo tanto la función

4x − 3 9x − x 2

presenta una indeterminación de la forma

∞ ∞

en el

infinito. Para salvar la indeterminación, procederemos como se explica a continuación. a) se tomará el exponente de la mayor potencia de

x del polinomio que se encuentra en

la raíz cuadrada, en nuestro ejemplo tal exponente es 2 b) El valor obtenido en a) se dividirá entre el índice de la raíz, que también es 2, por lo tanto el cociente es 1 c) se comparan los números obtenidos en los pasos a) y b); el que resulte mayor será el exponente de la potencia de

x por la que se dividirá tanto el numerador como el

denominador de la fracción. Como los resultados de los dos primeros pasos son iguales a 1, la potencia que se empleará es lim

x →+∞

4x − 3 9x 2 − x

= lim

x →+∞

4x − 3 4x 3 3 3 − 4− 4− x x = lim x = lim x x = lim 2 2 2 2 x →+∞ x →+∞ x →+∞ 9x − x 9x − x 9x − x 9x x − 2 2 2 2 x x x x x

3 x = 4−0 = 4 = 4 1 9−0 9 3 9− x

4− lim

x →+∞

Es decir xlim →+∞

4x − 3 9x − x 2

4 . 3

Ejemplo 1.7.5 Calcular lim

x →−∞

x 2 +1 x +2

Solución. En primer lugar verificamos la existencia de la indeterminación

(

)

∞ ∞

x 2 + 1 = +∞ , entonces lim x 2 + 1 = +∞ Como xlim → −∞ x →−∞

( x + 2) = −∞ . Evidentemente xlim →−∞ x 2 +1 x x+2 x

x +1 = lim x →−∞ x+2 2

lim

x →−∞

Por ser

x negativo se tiene

x 2 = x = −x ,

luego despejando x resulta x = − x 2 , por

lo tanto

x2 +1 lim

x →−∞

− x2 = lim x →−∞ x 2 + x x

Otras

−

x2 +1 x2 1 1 − + 2 − 1+ 2 2 2 − 1 + 0 −1 x x x x = lim = lim = = = −1 x →−∞ x →−∞ 2 2 1 1+ 0 1 1+ 1+ 1+ x x x

indeterminaciones

aparte

las

estudiadas

0 0

∞ ∞

son:

0 0 ,1±∞, ( ± ∞) ,0.( ± ∞), ( + ∞) −( + ∞), 0

Veamos un ejemplo de una indeterminación de la forma ( + ∞) − ( + ∞) . Ejemplo 1.7.6 Calcular xlim → +∞

(

x+4 − x−2

)

Solución. Para eliminar la indeterminación de la forma ( + ∞) − ( + ∞) , multiplicamos y dividimos por x +4 + x −2 .

lim

x →+∞

(

)

x + 4 − x − 2 = lim

x →+∞

(

)

x +4 − x −2 .

x + 4 − ( x − 2)

= lim

x+4 + x−2

x → +∞

(

x +4 + x −2 x +4 + x −2

= lim

x → +∞

= lim

x →+∞

x+4− x+2 x+4 + x−2

(

x+4

) −( 2

x −2

x +4 + x −2

= lim

x → +∞

)

6 x+4 + x−2

)

x + 4 + x − 2 = +∞ . resultado debido a que xlim → +∞

1.8 Funciones continuas En matemáticas el término continuidad tiene casi el mismo significado que en su uso cotidiano. Dicho de manera informal, una función f ( x ) es continua en un punto gráfico de la función en

c , si el

c no presenta interrupciones, huecos o saltos.

Definición 1.8.1 Continuidad de una función en un punto. Se dice que una función f ( x ) es continua en un punto c de ℜ, si satisface las condiciones siguientes: 1) f ( x ) está definida en

c , es decir c pertenece al dominio de

f ( x) .

f ( x ) existe 2) lim x→c f ( x) = f ( c) 3) lim x →c En la figura ** , se muestran los gráficos de tres funciones discontinuas en un punto c , por tres razones diferentes. **GRÁFICO DE UNA FUNCIÓN QUE NO ES CONTINUA EN c PORQUE NO ESTÁ DEFINIDA EN ESTE PUNTO, OTRO GRÁFICO EN EL QUE FALLA LA CONTINUIDAD PORQUE NO EXISTE EL LÍMITE, Y OTRO GRÁFICO EN EL QUE LA CONTINUIDAD FALLA PORQUE EL LÍMITE NO COINCIDE CON EL VALOR DE LA IMAGEN EN c** Definición 1.8.2 Una función se dice que es continua en un conjunto A de números reales si es continua en cada punto del conjunto.

Ejemplo 1.8.1 Determinar si la función f ( x ) =

1 es continua en 0. x +1 4

Solución. Verifiquemos las condiciones que garantizan la continuidad de la función en un punto. 1) El dominio de f ( x ) =

1 es ℜ porque el denominador de la función no tiene raíces x +1 4

reales, por lo tanto está definida en 0.

f ( x) 2) Estudiemos la existencia de lim x →0 lim x →0

1 1 1 = 4 = =1 x +1 0 +1 1 4

3) Calculamos

f ( 0) =

1 =1 0 +1 4

y como

lim f ( x ) = 1 , entonces se tiene que x →0

lim f ( x ) = f ( 0 ) , por lo tanto f ( x ) es continua en 0. x →0 ** GRÁFICO DE LA FUNCIÓN** Son funciones continuas en su dominio: las funciones polinómicas, las racionales, las logarítmicas, las exponenciales, las trigonométricas y sus inversas. Propiedades de las funciones continuas Sean f ( x ) y g ( x ) funciones continuas en un punto c , entonces: i) f ( x ) ± g ( x ) es continua en

ii) f ( x ).g ( x ) es continua en

iii)

f ( x) es continua en g ( x)

c , siempre que g ( c ) ≠ 0

Definición 1.8.3 Si una función no es continua en un punto, se dice que es discontinua en él.

 x + 2 si x ≤ 2 Ejemplo 1.8.2 Sea f ( x ) =  , estudiar la continuidad de la función en x = 2 . 2  x si x > 2 Solución. Verifiquemos las tres condiciones de continuidad 1) Domf = ( − ∞,2] ∪ ( 2,+∞) = ℜ, por lo tanto f ( x ) está definida en 2.

f ( x ) , estudiaremos los límites laterales en 2. 2) Para determinar si existe lim x →2

lim f ( x ) = lim− ( x + 2) = 2 + 2 = 4

x→ 2 −

x→ 2

lim f ( x ) = lim+ x 2 = 4

x→ 2+

x→ 2

Como los límites laterales existen y ambos son iguales a 4, entonces existe el límite de la

f ( x) = 4 . función en 2 y se tiene lim x→2 3) Para calcular la imagen de f ( x ) en x = 2 , debemos tomar en consideración que 2 ∈( −∞,2] , lo que implica que la fórmula que debe aplicarse para hallar su imagen es

f ( x ) = 4 , tenemos x + 2 . Entonces f ( 2) = 2 + 2 = 4 . Como vimos en la parte (2), que lim x→2 f ( x ) = f ( 2) . la igualdad lim x →2 En consecuencia f ( x ) es continua en x = 2 . **GRÁFICO DE LA FUNCIÓN**

 1 − x si x ≤ 1 Ejemplo 1.8.3 Estudiar la continuidad de la función f ( x ) =  en x = 1 . 2  x si x > 1 Solución. Verifiquemos las tres condiciones de continuidad 1) Domf = ( − ∞,1] ∪(1,+∞) = ℜ , por lo tanto f ( x ) está definida en 1

f ( x ) , estudiaremos los límites laterales en 1. 2) Para determinar si existe lim x →1

lim f ( x ) = lim− (1 − x ) = 1 − 1 = 0

x →1−

x →1

(

)

lim+ f ( x ) = lim+ x 2 − 2 x = 1 − 2 = − 1

x→1

x →1

Los límites laterales existen pero son diferentes, entonces no existe el límite de la función en 1, por lo que la función es discontinua en este punto. **GRÁFICO DE LA FUNCIÓN**

Ejemplo 1.8.4 Estudiar la continuidad de la función

 12 − x 2 si x < -2  f ( x) =  - 3 si x = − 2  2 si x > − 2  2x

en x = −2 .

Solución. 1) Domf = ( − ∞,−2 ) ∪{ − 2} ∪ ( − 2,+∞) = ℜ , por lo tanto f ( x ) está definida en -2.

f ( x ) , estudiaremos los límites laterales en -2. 2) Para determinar si existe xlim →−2

(

)

lim− f ( x ) = lim− 12 − x 2 = 12 − 4 = 8

x→ −2

( )

lim+ f ( x ) = lim+ 2 x 2 = 8

x→ −2

Los límites laterales existen y son iguales a 8, entonces existe el límite de la función en -2

f ( x) = 8 . con xlim →−2 3) El valor de la función en -2 es f ( − 2 ) = −3 , según la definición de f ( x ) en este punto.

f ( x ) = 8 ≠ f ( − 2) = −3 , no se cumple la tercera condición de continuidad, Como xlim →−2 consecuentemente f ( x ) es discontinua en x = −2 . ** GRÁFICO DE LA FUNCIÓN** Tipos de discontinuidad Las discontinuidades de una función en un punto pueden agruparse bajo dos clasificaciones: discontinuidades evitables y discontinuidades no evitables o esenciales. a) Discontinuidades evitables. Una función f ( x ) se dice que tiene una discontinuidad evitable en un punto límite de la función existe en

f ( x) ≠ f ( c) o c , pero lim x →c

c , si el

f ( c ) no existe.

b) Discontinuidades no evitables o esenciales. Una función f ( x ) se dice que tiene una discontinuidad no evitable o esencial en un punto

c , si el límite de la función no existe en c . En caso de que la discontinuidad de la función sea evitable, se puede redefinir la función en

f ( x ) = L , la forma de c , para obtener una función que sea continua en este punto. Si lim x →c redefinir la función dada es la siguiente:

 f ( x) si x ∈ Domf y x ≠ c F ( x) =   L si x = c Ejemplo 1.8.5 Determinar si la función

 x 3 + 1 si - 6 ≤ x < 1  f ( x ) =  4 si x = 1 es continua en  2x si 1 < x < 9 

x =1 .

Solución. 1) Domf = [ − 6,1) ∪{1} ∪ (1,9 ) = [ − 6,9 ) , entonces 1 pertenece al dominio de f ( x ) .

f ( x ) , estudiaremos los límites laterales en 1. 2) Para determinar si existe lim x →1

(

)

lim− f ( x ) = lim− x 3 + 1 = 1 + 1 = 2

x→ −1

lim f ( x ) = lim+ ( 2 x ) = 2

x → −1+

x→ −1

Los límites laterales existen y son iguales a 2, entonces existe el límite de la función en 1

f ( x) = 2 . con xlim →−2 3) El valor de la función en 1 es f (1) = 4 , según la definición de f ( x ) en este punto.

f ( x ) = 2 ≠ f (1) = 4 , no se cumple la tercera condición de continuidad, Como xlim →−2 consecuentemente

f ( x)

es discontinua en x = 1 . Al existir el límite en 1, la

discontinuidad es evitable, por lo tanto se redefinirá la función dada en 1, para obtener una función F ( x ) que sea continua en este punto. Para efectuar la redefinición, se sustituye 4, que era la imagen de la función original en 1, por 2 que es el valor del límite calculado.

 x 3 + 1 si - 6 ≤ x < 1  F ( x ) =  2 si x = 1  2 x si 1 < x < 9  **GRÁFICOS DE LA FUNCIÓN ORIGIAL Y DE LA NUEVA FUNCIÓN** Ejemplo 1.8.6 Estudiar la continuidad de la función f ( x ) =

x 2 − 16 en x = −4 . x+4

Solución. 1) Domf = ℜ\ {− 4} . Como -4 no está en el dominio de la función, es discontinua en este punto. Verificada la discontinuidad, veamos si es evitable. Para ello comprobemos que existe el límite en -4. Como una sola fórmula define a la función tanto a la derecha como a la izquierda de -4, no es necesario estudiar los límites laterales, como en el caso de las funciones definidas a trozos. Entonces calculemos lim

x →−4

(

x 2 −16 . x +4

)

2 x 2 − 16 = ( − 4) − 16 = 16 − 16 = 0 y lim ( x + 4) = −4 + 4 = 0 Obsérvese que xlim x → −4 → −4

Por lo que la función racional presenta una indeterminación de la forma

0 . Para eliminar 0

esta indeterminación factorizamos el numerador y cancelamos los factores semejantes x 2 − 16 ( x − 4)( x + 4) = lim ( x − 4) = −4 − 4 = −8 . = lim x →−4 x + 4 x →−4 x →−4 x+4 lim

Dado que existe el límite en -4, es posible definirla en este punto para obtener otra función que sea continua allí. Con este fin a -4 se le asigna como imagen el valor del límite, que es -8. Así resulta

 x 2 − 16 si x ≠ − 4  F ( x) =  x + 4  − 8 si x = − 4  **GRÁFICOS DE LA FUNCIÓN ORIGIAL Y DE LA NUEVA FUNCIÓN**

Ejemplo 1.8.7 Estudiar la continuidad de la función

en 2. Solución.

 4 x + 1 si − 1 ≤ x ≤ 2 4   f ( x) =  x> 2  x + 2 si  

[

]

[

Domf = − 1 ,2  ( 2,+∞ ) = − 1 4 ,+∞ 4

) , por lo tanto la función está definida en 2

f ( x ) . Estudiemos los límites laterales. 2) Calculemos, si existe, lim x →2

lim f ( x ) = lim− 4 x + 1 = lim− ( 4 x + 1) = 4.2 + 1 = 9 = 3

x→ 2−

x→ 2

lim f ( x ) = lim+ ( x + 2) = 2 + 2 = 4

x→ 2+

x→ 2

Como los límites laterales son diferentes, no existe el límite de la función en 2, por lo tanto no es continua en 2. La discontinuidad es inevitable por no existir el límite en el punto considerado. ** GRÁFICO DE LA FUNCIÓN**

APÉNDICE TEORÍA DE CONJUNTOS Por un conjunto entendemos cualquier colección de objetos. Son ejemplos de conjuntos: (i) (ii) (iii)

el conjunto de todos los números reales positivos el conjunto de todos los estudiantes de la Sede del Litoral de la USB el conjunto de todos los países cuyas selecciones nacionales han sido campeonas mundiales de fútbol

Los objetos que integran un conjunto, se denominan elementos del conjunto.

Notación Por lo general se usan letras mayúsculas para representar a los conjuntos, y letras minúsculas para representar sus elementos. Si A es un conjunto y a, b, c, d , e son sus elementos, escribimos A = {a, b, c, d , e} para definir al conjunto A . Esta manera de definir al conjunto, nombrando explícitamente cada uno de sus elementos, se denomina definición por extensión. Si un conjunto A está definido mediante una propiedad P( x ) que deben cumplir sus elementos x , escribimos A = { x : P( x )} , donde “: “ se lee “tal que”. Esta forma de definir un conjunto se denomina definición por comprensión. Así, por ejemplo, el conjunto A = {1,2,3,4,5} puede definirse por comprensión como A = { x : 1 ≤ x ≤ 5, x ∈ N } , siendo N el conjunto de los enteros positivos. Pertenencia, inclusión e igualdad de conjuntos Para señalar el hecho de que un objeto notación Indicaremos que el objeto

x es miembro de un conjunto A , se empleará la x ∈ A.

x no es miembro de A , escribiendo

x ∉ A.

Ejemplos 1. 2 ∈{1,2,3} 2. Brasil ∈{ x : x es campeón mundial de fútbol} 3. 4 ∉ { x : x 2 − x − 2 = 0} Dos conjuntos A y B son iguales si contienen los mismos elementos, denotándose este hecho por A = B, es decir x ∈ A si y solamente si x ∈ B. Esto significa que la igualdad de conjuntos no depende de cómo estén definidos los conjuntos, sino de si tienen o no los mismos elementos. Otra importante noción es la de inclusión de conjuntos. Sean A y B conjuntos. Decimos que A está incluido en B si y solamente si cada elemento de A es elemento de B , es decir, si x ∈ A entonces x ∈ B . Usaremos la notación A ⊆ B para referirnos a esta situación y diremos que A es un subconjunto de B. Obsérvese que todo conjunto A es subconjunto de si mismo. Cualquier subconjunto de A que sea diferente de A , es llamado subconjunto propio de A . Así, si B es un subconjunto propio de A , escribiremos A ⊂ B. Ejemplos

1. {1,2,3} ⊂ {0,1,2,3,4,5,6,7.8} 2. { x : x vive en Caracas} ⊂ { x : x vive en Venezuela} 3. { x : x es un entero} ⊂ { x : x es un número racional} La relación A ⊆ B no excluye la posibilidad de que B ⊆ A . Si ambas relaciones se dan simultáneamente, los conjuntos tienen los mismos elementos y se dice que son iguales, lo cual se denota por A = B . Es decir

A = B si y solamente si A ⊆ B y B ⊆ A El conjunto vacío Consideremos el conjunto { x : x ≠ x} , es obvio que este conjunto carece de elementos. Un conjunto como el anterior que no contiene elementos es llamado conjunto vacío, y es . Observe que el conjunto ∅es subconjunto de cualquier conjunto. denotado por ∅ Ejemplos 1. { x : x = 1 y x ≠ 1} = ∅ 2. { x : x es un entero y 0 < x < 1} = ∅ 3. { x : x es un número real y x 2 + 1 = 0 } = ∅

Unión e Intersección de Conjuntos Consideremos dos conjuntos cualesquiera A y B . Denotamos por A ∩ B al conjunto de todos los objetos que pertenecen simultáneamente a A y a B . Entonces

A ∩ B = { x : x ∈ A y x ∈ B}

A ∩ B es llamado intersección de A y B . Ejemplos 1. {1,2,4} ∩{ 2,3,4} = { 2,4} 2. {0,1,2,3,4,5,...} ∩{0,−1,−2,−3,−4,−5,...} = {0}

3. {1,5,6} ∩{ 2,3,4} = ∅ 4. { x ∈ ℜ : x ≥ 1} ∩ { x ∈ ℜ : x ≤ 8} = { x ∈ ℜ : 1 ≤ x ≤ 8} 5. { x ∈ ℜ : x ≥ −3} ∩ { x ∈ ℜ : x ≥ 4} = { x ∈ ℜ : x ≥ 4} Cuando A ∩ B = ∅ , como en el ejemplo 3, se dice que los conjuntos A y B son disjuntos. Recuerde los siguientes hechos obvios acerca de la intersección de conjuntos: i. A ∩ A = A ii. Ley conmutativa de la intersección de conjuntos: A ∩ B = B ∩ A iii. A ∩ ∅ = ∅ iv. Si B ⊂ A entonces A ∩ B = B Sean A y B dos conjuntos cualesquiera. Se define A ∪ B como el conjunto conformado por todos los elementos que pertenecen al conjunto A y todos los que pertenecen al conjunto B . El nuevo conjunto A ∪ B es llamado unión de A y B .

Ejemplos 1. {1,2,3,5,6} ∪{2,3,4,8} = {1,2,3,4,5,6,8} 2. { x ∈ ℜ : x ≥ −2} ∩ { x ∈ ℜ : x ≤ −8} = ℜ  1  2

 

 1  2

 

3. − ,0,1,2  ∅ = − ,0,1,2

Evidentemente se tienen los siguientes hechos sobre la unión de conjuntos: i. A ∪ A = A ii. Ley conmutativa de la unión de conjuntos: A ∪ B = B ∪ A iii. A ∪ ∅ = A iv. Si B ⊂ A entonces A ∪ B = A

Otras propiedades importantes de la unión e intersección de conjuntos i. A ∩ B ⊆ A y A ∩ B ⊆ B ii. A ⊆ A ∪ B y B ⊆ A ∪ B iii. Leyes asociativas:

( A ∪ B) ∪ C = A ∪ ( B ∪ C )

( A ∩ B) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C ) iv. A ⊆ B si y solamente si A ∩ B = A v. A ⊆ B si y solamente si A ∪ B = B vi. A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ) vii. A ∩ B = A ∪ B si y solamente si A = B

Diferencia y complemento Consideremos dos conjuntos cualesquiera A y B . Definimos A - B como el conjunto de todos los elementos que están en A y no están en B . Esto es

A - B = { x : x ∈ A y x ∉ B}

A - B es llamado diferencia de A y B . Ejemplos 1. {1,2,3} − {1,4} = {2,3} 2. {1,2,3} − {4,5,6} = {1,2,3} 3. {1,2} − {1,2,4,5} = ∅ 4. { x : x es un entero} − { x : x es un entero par} = { x : x es un entero impar} Nótense los siguientes hechos evidentes:

i. A - B ⊆ A ii. A − ∅ = A Llamamos conjunto universal U al conjunto que contiene a todos los elementos de un espacio particular. Por ejemplo si un conjunto es el de los números racionales, el conjunto universal correspondiente es el conjunto de números reales. Si consideramos separadamente a los estudiantes de las diferentes carreras de TSU de la Sede del Litoral de la USB, el conjunto universal en este caso será la totalidad de los estudiantes de dicha sede. Si A es un subconjunto del conjunto universal U , se define el complemento de A , denotado por A c , de la siguiente forma:

A c = { x : x ∈U y x ∉ A} Ejemplos 1. Sea U el conjunto de todos los enteros. Sean A y B los conjuntos de los enteros pares y de los enteros impares, respectivamente. Entonces A c = B y B c = A . 2. Sean A = { x : x es un entero positivo} y B = { x : x es un entero negativo} . Entonces

Ac =

{ 0} ∪ B .

Producto Cartesiano Sean A y B conjuntos. El producto cartesiano AxB es el conjunto de todos los pares ordenados ( a, b ) tales que a ∈ A y b ∈B . Entonces AxB = { ( a, b ) : a ∈ A y b ∈ B}

Ejemplo Sean A = {1,2,3,4,5} y B = {a, b, c} . Entonces AxB = {(1, a ), (1, b ), (1, c ), ( 2, a ), ( 2, b ), ( 2, c )( 3, a ), ( 3, b ), ( 3, c ), ( 4, a ), ( 4, b ), ( 4, c ), ( 5, a ), ( 5, b ), ( 5, c )}

Ya que el producto cartesiano está formado por pares ordenados, se tendrá que AxB = BxA si y solo si A = B

Ejercicios Propuestos 1. Expresar por extensión los siguientes conjuntos de números reales i. A = { x : x 2 − 1 = 0}

{

iv. D = { x : x 3 − 2 x 2 + x = 2}

}

{

}

ii. B = x : ( x − 1) 2 = 0

v. E = x : ( x + 8) 2 = 9 2

iii. C = { x : x + 8 = 9}

vi. F = x : ( x 2 + 16 x ) = 17 2

{

}

2. Para los conjuntos dados en el ejercicio 1, obsérvese que B ⊆ A . Citar todas las relaciones de inclusión ⊆ que son válidas entre los conjuntos A, B, C , D, E y F. 3. Sean A = {1}, B = {1,2} . Discutir la validez de las afirmaciones siguientes (probar que unas son ciertas y explicar por qué las otras son falsas). i. A ⊂ B

iv. 1 ∈ A

ii. A ⊆ B

v. 1 ⊆ A

iii. A ∈ B

vi. 1 ⊂ B

4. Resolver el ejercicio 3 si A = {1} y B = {1, {1}} . 5. Dado el conjunto S = {1,2,3,4} , determinar todos los subconjuntos de S . 6. Dados los cuatro conjuntos A = {1,2}, B = {{1}, { 2}}, C = {{1}, {1,2}}, D = {{1}, { 2}, {1,2}}

Discutir la validez de las afirmaciones siguientes (probar que unas son ciertas y explicar por qué las otras son falsas). i. A = B

iv. A ∈ C

vii. B ⊂ D

ii. A ⊆ B

v. A ⊂ D

viii. B ∈ D

iii. A ⊂ C

vi. B ⊂ C

ix. A ∈ D

7. Sean A = { x : x > −2} y B = { x : x ≤ 18} . Hallar: i. A ∩ B ii. A ∪ B 8. Dados los conjuntos A = { x : −4 ≤ x < 5} y B = { x : −2 < x ≤ 10} . Hallar: i. A ∩ B ii. A ∪ B 9.

Sean A = { x : x > −6} , B = { x : x ≤ 9} y C = { x : −1 ≤ x < 4} Hallar:

i. A ∩ B

iv. A ∩ B ∩ C

vii. A ∩ ( B ∪ C )

ii. A ∩ C

v. ( A ∩ B ) ∪ C

viii. B ∩ ( A ∪ C )

iii. B ∩ C

vi. ( A ∪ C ) ∩ ( B ∪ C )

ix. C ∩ ( A ∪ B )

10. Considere

los

conjuntos

{

A= x:− 1 < x ≤ 4 2

C = { x : 0 ≤ x ≤ 8} . Determinar ( A ∪ B ) ∩ C .

B = { x : 6 < x ≤ 15}

11. Sean A = { x : x ≤ 4} , B = { x : 6 < x} y C = { x : 4 ≤ x ≤ 6} . Hallar ( A ∪ B ) ∩ C 12. Dados los conjuntos A = { x :≤ −24 x ≤ 4} y B = { x : 6 < x ≤ 11} . Determinar: i. A ∩ B ii. A ∪ B

Otras actividades del estudiante Después de cada tema, el estudiante tendrá en la página web conjuntos de alrededor de 10 ejercicios que irá respondiendo en la misma página. A medida que vaya introduciendo sus resultados, se le indicará si el ejercicio lo resolvió correctamente.