Para el elemento anular de radio, r, de la figura 6.3.1 es más conveniente usar coordenadas cilíndricas, con lo que la ecuación (6.3.1) se puede escribir como: QP =
1 dP 3 (2π r ) H 12η dr
(6.3.2) 2
Si la placa superior de la prensa baja una distancia, dH, el volumen desplazado es πr dH y el flujo 2 de volumen es πr (dH/dt) Por tanto:
π r2
1 dP dH 3 = (2π r ) H dt 12η dr
(6.3.3)
12η dH 2 dP = r dr H 3 dt
(6.3.4)
y reordenando esta ecuación:
Esta ecuación diferencial se puede resolver del modo siguiente: 2 dP =A r dr
donde : A = f ( H )
(6.3.5)
y separando variables: dP =
A rdr 2
e integrando: r
∫0
dP =
A r rdr 2 ∫R
o bien: P =
(
A 2 r − R2 4
)
(6.3.6)
La fuerza sobre el elemento es 2πrdr(P), con lo que la fuerza total, F, se obtiene integrando: R
R
0
0
F = ∫ PdA = ∫
(
)
A 2 π AR 4 r − R 2 2π rdr = − 4 8
Reordenando:
A=−
8F 8π FH 2 = − V2 π R4
donde : V = π R 2 H
Sustituyendo el valor de A en la ecuación (6.3.5) y teniendo en cuenta (6.3.4):
12η dH 8π FH 2 = − H 3 dt V2
(6.3.7)
Separando variables e integrando: H dH 2π F dt = ∫ 0 3ηV 2 H H5 0
−∫
t
o bien: 2π F t= 3ηV 2
1 1 1 4 − 4 4 H H0
(6.3.8) 75