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Sección 3.2 Ecuaciones no lineales
Ya vimos la ecuación (4) en la ecuación (9) de la sección 1.3, donde tenía la forma aWdr = kx(n + 1 -x), k > 0. Esta ecuación diferencial es un modelo razonable para describir la difusión de una epidemia que comienza cuando un individuo infectado se introduce en una población estática. La solución x(l) representa la cantidad de sujetos que contraen la enfermedad en cualquier momento.
Crecimiento
logístico
Suponga que un alumno es portador del virus de la gripe y regresa a su 1000 estudiantes. Si se supone que la razón con que se propaga el virus sólo a la cantidad x de alumnos infectados, sino también a la cantidad de tados, determine la cantidad de alumnos infectados seis días después, si se cuatro días ~(4) = 50. Suponiendo que nadie sale del campus el problema de valor inicial
SOLUCIÓN
dx
-jy = kx(1000 - x),
escuela, donde hay es proporcional no alumnos no infecobserva que a los
durante la epidemia, debemos resolver
x(O) = 1.
Sustituimos a = 1 OOOk y b = k en la ecuación (5) y vemos de inmediato que x(t) =
1000k k + 999ke-lmk’
1000 = 1 + 999e-lwk”
Usamos la condición ~(4) = 50 y calculamos k con 50 =
1000 1 + 999emmk’
Esto da como resultado -1 OOOk = a ln s = -0.9906. Entonces x(t) =
La respuesta es
~(6) =
1000 1 + 999e-O.‘M”
1000 = 276 alumnos 1 + 999e-5.9436
En la tabla de la figura 3. ll b) hay otros valores calculados de x(t).
n
Curvas de Gompertz Otra ecuación que tiene la forma de la ecuación (2) es una modikación
de la ecuación logística $ = P(a - b In P),
(6)