Guía 3 cuadrilátero

GEOMETRÍA 4°

ESCUELA DE TALENTOS

Cuadriláteros Al cuadrilátero no convexo se le denomina cóncavo.

Objetivos 1) Definir el cuadrilátero.

2) Conocer la clasificación de los cuadriláteros.

3) Aplicardiversaspropiedades de cada cuadrilátero.

Tipos de Trapecio

Clasificación Los cuadriláteros se clasifican atendiendo al paralelismo de sus lados.

Introducción En la antigüedad, el hombre construyó monumentos de forma cuadrangular. Los mesopotámicos emplearon generalmente ladrillos rectangulares que formaban plataformas superpuestas en grandes construcciones, en especial en edificios de 7 pisos escalonados.

Trapecio escaleno

- TRAPEZOIDE: Es aquel cuadrilátero que no tiene lados paralelos.

θ

Trapecio isósceles

Trapezoide asimétrico

Definición

Trapecio rectángulo

El cuadrilátero es un polígono de cuatro lados; puede ser convexo o no convexo.

Propiedades del Trapecio

*

C

β

A

φ

α

β

Trapezoide simétrico o bisósceles

θ

B

D

convexo

θ

TRAPECIO: Es aquel cuadrilátero que sólo tiene un par de lados opuestos paralelos denominados bases.

B

B β

C

α

α + β = 180° a

*

h

M

N

θ α A

D no convexo

α + β + θ + φ = 360º / GEOMETRÍA / 4TO. AÑO 156

A

φ C

D

Elementos: Bases: BC y AD Altura: h

BC // AD

b MN : base media MN =

a+b 2

ESCUELA DE TALENTOS

*

GEOMETRÍA 4°

a

P

- PARALELOGRAMO.- Es aquel cuadrilátero que tiene dos pares de lados paralelos.

B

Q

x

α

β β

α A

b

x=

C

D

AB // CD BC // AD

b-a 2

α + β = 180°

Ejemplos: 1) Calcula “x” si AB = BC, AM = 8 y NC = 2.

M

Tipos de Paralelogramos

Rectángulo áureo Un rectángulo especial es el llamado rectángulo áureo. Se trata de un rectángulo armonioso en sus dimensiones.

Dibujamos un cuadrado y marcamos el punto medio de uno de sus lados. Lo unimos con uno de los vértices del lado opuesto y llevamos esa distancia sobre el lado inicial, de esta manera obtenemos el lado mayor del rectángulo.

Romboide

R. áureo A

P

x

B

C

C

A

C

Si el lado del cuadrado vale 2 unidades, es claro que el lado mayor del rectángulo vale 1+ 5, por lo que la proporción entre los dos lados es: 1 + 5

N

A

B

2

Rombo

5

Resolución:

1

2

2 1

1+ 5

Por la propiedad: x=

AM+NC ⇒ x= 2

x= 5

2) Calcula ‘‘θ’’.

B

A este número se le llama número de oro, se representa por el símbolo Ø y su valor es 1,61803..., lo obtuvieron los griegos al hallar la relación entre la diagonal de un pentágono y su lado. El nombre de “número de oro”se debe a Leonardo da Vinci.

8+2 2

=5

θ

Rectángulo C

En “El hombre ideal” de Leonardo, el cociente entre el lado del cuadrado y el radio de la circunferencia que tiene por centro el ombligo, es el número de oro.

70° A

D

Cuadrado

Resolución: como m = 70° ⇒ m + mB = 180° 70° + mB = 180°

mB = 110° Pero: θ + mB = 180° θ + 110° = 180°

θ = 70°

45° 45°

45° 45°

45°

45° 45°

O tra propiedad de este rectángulo es que si se colocan dos iguales como en la figura de abajo, se forma otro rectángulo áureo más grande.

45°

GEOMETRÍA / 4TO. AÑO 157

GEOMETRÍA 4°

ESCUELA DE TALENTOS * CH es bisectriz:

Demostración 1)

En un trapecio ABCD (BC//AD), la mediana es igual a la semisuma de las bases.

B

m ECH=m HCD=15° 1)

Se tiene un cuadrilátero ABCD en el cual m BAD=30°,m ABC=150°, m BCD=120°, BC=10 y CD=12. Halla AD.

C N

M A

a) 34 d) 28

D

MN ⇒ mediana

b) 32 e) 26

c) 30

* El AHD es notable (30° y 60°), si HD=n.

AD=2n

Resolución: H

MN = BC+AD

Resolución: B

Q

A

D

El triángulo rectángulo AHD es notable (30° y 60°), si HD=5+12=17

AD=34

⇒ MQ = BC = AP PD 2

MQ + QN = BC + MN = BC + ⇒ MN =

D

x

PD 2

AD - BC 2 BC + AD 2

2)

a) 30° d) 60°

a) 10° d) 25°

b) 15° e) 30°

c) 20°

C

n x A

30°

2n

H

2n

n

15° 15°

45° D

Se traza DH perpendicular a AC; cuya prolongación intersecta a la prolongación de CB en E. El ∆ ECD es isósceles.

b) 48° e) 72°

c) 54°

Resolución: B

a

En un cuadrilátero ABCD, m ADB=90°, m BCA= m ACD=15° y m CAD=30°.

Halla m BAC.

B E 75° 75°

158

En un cuadrilátero ABCD si m= C AB=BC=CD, m A= 2 6x y m D= 4x.

Halla m A.

AD=x=34

Resolución:

/ GEOMETRÍA / 4TO. AÑO

3)

Se prolonga AB y DC, los cuales son perpendiculares en H. El triángulo rectángulo BHC es notable

(30°y 60°), si BC=10

HC=5.

Trazamos por C una paralela a AB QN =

12

N

P

60° C 120°

30°

A

C

M

Luego: x+30°=45°

x=15°

5

2

30° B 10 150°

* C H e s m e d i a t r i z d e E D : EH=HD=n.

El ∆ EDB es isósceles. * m E=m EBD=75° ED=BD=2n

a

M

6x A

6x

C

6x

(4x-30°)

a 30° 4x

H

D

Se traza BH AD y CM BD. En el ∆ BCD isósceles. * CM es bisectriz del BCD: m BCM=m MCD=6x. * C M e s m e d i a t r i z d e B D : BM=MD=a Ahora: CMD AHB (ALA)

MD=BH=a En el BHD, si BD=2.BH=2a m BDH=30° Finalmente en el CMD:

6x+4x-30°=90°

10x=120°

x=12°

m A=6x=72°

ESCUELA DE TALENTOS

GEOMETRÍA 4°

4) En un cuadrilátero ABCD, se traza la diagonal AC, tal que, 2m BAC=120° - 2m ACD, m ADC=2m ACD y AB=AD. Halla la m ACB. a) 30° d) 60°

b) 40° e) 15°

(120°-2β)

θ β

2β

A

D

Se traza AE, de modo que la m CAE =β.

En el ∆ ACE, por teorema del ángulo exterior: m AED=2θ.

El ∆ AED es isósceles AE=AD.

a) 45° d) 72°

c) 70°

Nivel I 1) Si ABCD es un trapecio isósceles y PCD es un triángulo equilátero, calcula ‘‘x’’.

B

2 a

A

15°

a 2

M

N

b) 10 e) 8

5) En un trapecio ABCD, (BC// AD). Si se sabe que AB = 4,

CD = 6 y AD = 8, calcula PQ.

B C β

θ

β

H 60°45° 45° D

θ

a) 10º d) 120º

A

D

P

b) 80º e) 150º

θ

B

P

a)3 d) 4

c) 60º

2) Calcula x, si BD es bisectriz y AB//MC.

8

Q

D

b) 6 e) 5

c) 2

6) Calcula x, si ABCD es un trapecio (BC // AD), BC = 4, AB = 8, CD = 10 y AD = 20.

B

θ

θ

C α

θ

α

x

θ

2a M a

c) 5

C

A

a

θ D

6

a 2

45°

C

x

B

a

B

a) 6 d) 4

Resolución: 45° 45° 15°

c) 13

A

A

b) 60° e) 90°

b) 14 e) 12

θ

x=30°

5) ABCD, es un cuadrilátero tal que m ABD=m BDA=60°, m DBC=45°, m B C A = 3 0 ° .

Halla m BDC.

D

4) Calcula MN si ABCD es un paralelogramo y DC = 8.

CE=AE=AD. Por dato: θ+β=60°, pero AB=AE, entonces el ∆ ABE es equilátero.

Finalmente en el ∆ BCE isósceles: 2(x+β)+120°-2β=180° 2x+2β - 2β =180°-120°

2x=60°

α

a) 10 d) 16

m MDC=m C=45° En consecuencia: m BDC=45°+45°

m BDC=90°

2β

N

A

* DM=MC=a

E

60°

C

α

* BD= a 2 BM=MD=a El DMC es isósceles:

x+β 60°

P

M

* BH=a BC=2a En el BMD isósceles:

x β

B

* AB= a 2 AH=BH=a.

El BHC es notable (30° y 60°):

C

3) Calcula MN si ABCD es un romboide, AM = MB y PN = ND. Además AD = 16 y DC = 4.

En el ABH isósceles:

c) 50°

Resolución:

B

Se traza BH y DM perpendiculares a AC y BC respectivamente.

Pero el ∆ ABD es equilátero AB=BD=AD= a 2

M

a 30°

a 2

C

a) 10 d) 7

D x

b) 8 e) 14

C

c) 12

A

M

a) 3 d) 4

N

b) 1 e) 5

D

c) 2

GEOMETRÍA / 4TO. AÑO 159

GEOMETRÍA 4°

ESCUELA DE TALENTOS

7) C a l c u l a θ s i P C = 3 ( A P ) , AM=MD, AB = 6 y BC = 8.

B

11) Calcula x si ABCD es un trapecio isósceles y BD=AQ=QC.

C

B

A

P A

M

D

b) 53° e) 45°

c) 60°

B

A

B

D A

D

9) Si AD = 6 y CH = 2, halla α.

B

13) C a l c u l a θ si ABCD es un romboide y HC = 2(AH).

C

B

2α

A

D

a) 60° b) 37° c) 53°/2 d) 30° e) 45° 10) Calcula θ si BC = 5 y AD = 9.

B

C

D

b) 37° e) 30°

c) 45°

B

C

H θ

P D

a) 45°/2 b) 13°/2 c) 60° d) 37°/2 e) 15° / GEOMETRÍA / 4TO. AÑO 160

A

a) 4 d) 8

C

α α

M

Q

A

14) Si ABCD es un romboide, PC=3(AP) y BP = 6,

calcula BH.

2θ

A

B

θ

A

a) 60° d) 53°

c) 15°

17) A B C D e s u n c u a d r a d o y PBCQ es un paralelogramo.

Calcula PM si AB = 10 y PB= 6.

P

H

α

D

b) 60° e) 53°

C

2θ H

Q

a)45° d)30°

a) 30° b)10° c)50° d) 40° e) 20°

a) 100° b) 90° c) 106° d) 53° e) 108°

C

θ θ

P M

P x

X

A

c) 45°

16) Calcula x si BP = 2(PQ) y ABCD es un paralelogramo.

C 100°

x

b) 60° e) 30°

Nivel II

12) Calcula x si ABCD es un trapecio isósceles y BD = AP = PC. B

D

a) 15° d) 80°

a) 30° b) 20° c) 60 d) 50° e) 40°

C

C

x

Q

8) Si AB=8, BC=6, AM=MD y AQ= 1/3(QC), calcula x.

Q

D

M

A

θ

a) 37° d) 30°

B

C 80º

x

15) C a l c u l a x s i A B C D e s u n rombo y BM = MC.

H

D

b) 3 e) 6

c) 10

a)3 d)4

D

b) 8 e) 6

c) 5

ESCUELA DE TALENTOS

GEOMETRÍA 4°

18) S i Q e s e l c e n t r o d e l cuadrado ABCD y PBCQ es paralelogramo, calcula MQ. B

12

22) Calcula β.

B C

C 60º

P

M

Q β A

A

a) 4 d) 5

D

b) 6 e) 7

D

a) 65° b) 70° c) 45° d) 55° e) 80°

c) 8

19) Si AP = PB, AD + CN = 10 y BC = DN, halla PQ. B

3θ

θ

23) Si ABCD es un trapecio (BC// AD), halla m ADC.

C

B

4

Cuadriláteros en la realidad

C

2α N P

8

α

Q

A A

b) 6 e) 10

14

D

a) 60° b) 37° c) 53°/2 d) 30° e) 53°

D

a) 5 d) 8

¿Qué clase de cuadriláteros observas en las siguientes imágenes?

6

c)4

24) Calcula x si AB = 5, AD = 17 y AD//BC.

20) Calcula MN si AB = OC y

DC + BO = 12.

x

B

C

B

A 2θ

O θ

M

53°

N

A

D

D

a) 7 d) 10

C

a) 5 d) 4

b) 10 e) 8

45°

c) 6

21) Según la figura, calcula el valor de θ.

b) 5 e) 15

c) 8

25) Calcula x si PM = 1 y AE = 6. Además ABCD es un paralelogramo.

B

M

C

C

B

θ A

α

N

P

x 75º

3α

α

θ

α D M

D

a) 60° b) 53° c) 70° d) 80° e) 45°

P

x

θ

A

26) Sabiendo que MNPQ es un rombo, calcula “x” si MN = NQ.

Q

E

a) 8 d) 3

b) 4 e) 5

c) 6

a) 30° d) 60°

b) 45° e) 15°

c) 75°

GEOMETRÍA / 4TO. AÑO 161

GEOMETRÍA 4°

ESCUELA DE TALENTOS

27) Si ABCD es un paralelogramo, calcula “x”.

B

34) Si ABCD es un cuadrado y APD es un triángulo equilátero, calcula “x”.

C B

C

P α

P

x β

α

A

x

β D A

a) 50° b) 60° c) 80° d) 100° e) 90°

a) 30° d) 45°

28) Si PQRS es un paralelogramo, calcula “x”.

Q α

10

R

α

x

M

b) 60° e) 75°

c) 15°

Nivel III 31) Si ABCD es un paralelogramo, calcula “x”.

B

6 P

D

35) Halla m BEF si ABCD es un cuadrado y BF = 3 AF. E

C

B

C

60°

x

S

10 F

a) 6 d) 8

b) 2 e) 1

A

c) 4

D

a) 2 3 d) 3

29) En el cuadrilátero ABCD, calcula “x”.

B

b) 5 c) 5 3 e) 10 3 3 32) Si PQRS es un paralelogramo, calcula “x”.

C

Q

80°

2x

R 50°

x

x

x

A

H

b) 55° e) 70°

c) 65°

30) H a l l a “ x ” s i A B C D e s u n cuadrado.

B

C

x

c) 53°

D

b) 37° e) 75°

a) 36 dm b) 40 dm c) 48 dm d) 42 dm e) 50 dm

a) 30° d) 60°

b) 10° e) 50°

c) 40°

33) Si ABCD es un cuadrado de perímetro 32, halla AE. B

C

37) Halla el ángulo “x” si AB = BC= 4 y AD = 8.

B

C

x

A

c) 60°

/ GEOMETRÍA / 4TO. AÑO 162

b) 37° e) 60°

36) Las diagonales de un rombo miden 12 dm y 16 dm. Calcula su perímetro.

S

x

53°

a) 45° d) 53°

a) 30° d) 45°

D

D P

a) 45° d) 75°

A

A

a) 1 d) 4

E

D

b) 2 e) 5

c) 3

A

D

a) 15° d) 45°

b) 30° e) 60°

c) 37°

ESCUELA DE TALENTOS

GEOMETRÍA 4°

38) Halla el valor de “x”.

42) En la figura, halla “x”.

4 α

α

θ

x

46) En un trapezoide ABCD, la diferencia de dos ángulos opuestos es 80º. Halla la medida del ángulo que forman las bisectrices de los otros dos ángulos.

θ

x 80°

53°

a) 80° b) 120° c) 60° d) 160° e) 140°

70°

10

a) 8 d) 11

b) 9 e) 12

a) 65° b) 75° c) 85° d) 90° e) 80°

c) 10

39) Halla “MN” si BC=x, AD=13 y MN= x+5.

43) Si AC = 8 y EO = 3 halla “ED”.

A

B

B

a) 3 2 cm b) 3 cm c) 6 2 cm d) 3 3 cm e) 4 2 cm

C E

M

48) En un trapecio rectángulo ABCD ( Â= B = 90º ), se trazan las bisectrices exteriores de los ángulos “C” y “D”, las cuales se intersecan en “P”. Halla la distancia desde “P” hasta AB si BC = 3; AD = 6 y CD = 5.

O

N

x A

D

a) 3 d) 8

b) 5 e) 10

c) 6

D

a) 4 d) 7

40) Halla el segmento que une los puntos medios de MC y AN si AC= 32.

B

c) 6

a) 6 d) 8

44) Calcula la altura del trapecio rectángulo ABCD. B

M

C

b) 5 e) 8

N

α α 4 P

C

C

β A

a) 8 d) 12

b) 4 e) 10

D

c) 16

41) En la figura, halla “x”.

2x 3x

x

a) 30° b) 50° c) 35° d) 40° e) 45°

a) 6 d) 12

b) 8 e) 16

b) 9 e) 12

c) 7

49) Grafica el romboide ABCD y traza la bisectriz del ABC, que corta a DA en “E”.

Si CD = 5 2 dm, calcula el valor de AF. a) 5 dm b) 4 dm c) 10 dm d) 10 2 dm e) 5 2 dm

β A

47) En un cuadrado ABCD cuyo perímetro es 48 cm, se dibuja el triángulo equilátero AMD interior. Calcula la distancia desde el vértice “A” hasta la prolongación de CM.

c) 10

50) Dos ángulos opuestos de un cuadrilátero miden 90° y 40°. Si los otros dos miden 5x y 130°, calcula el complemento de de x. a) 40° b) 20° c) 70° d) 50° e) 60°

45) En un rectángulo ABCD, las bisectrices interiores de “B” y “C” se intersecan en un punto “M” de AD. Si el perímetro del rectángulo es 36, calcula la mediana del trapecio BMDC. a) 18 b) 12 c) 10 d) 9 e) 8 GEOMETRÍA / 4TO. AÑO 163