91
C´alculo I - Rodrigo Vargas Soluci´ on: (a) Notemos que log f (x) = log(xx )x = x log xx = x2 log x .
Entonces derivando a ambos lados de la igualdad obtenemos que 1 1 f ′ (x) = 2x log x + x2 · = 2x log x + x . f (x) x Por lo tanto, f ′ (x) =
2x log x + x 2x log x + x . = x f (x) xx
(b) Notemos que 2 log g(x) = log xsin x = sin2 x log x .
Derivando a ambos lados de la igualdad obtenemos que 1 1 · f ′ (x) = 2 sin x cos x log x + sin2 x · . f (x) x Por lo tanto, f ′ (x) =
2x sin x cos x log x + sin2 x . 2 x · xsin x
(c) Notemos que
(3x − 2)(2x − 3) cos x log h(x) = log (5x + 7) log x = log((3x − 2)(2x − 3) cos x) − log((5x + 7) log x) = log(3x − 2) + log(2x − 3) + log(cos x) − log(5x + 7) − log(log x) . Derivando a ambos lados de la igualdad obtenemos 1 3 2 − sin x 5 1/x · h ′ (x) = + + − − . h(x) 3x − 2 2x − 3 cos x 5x + 7 log x Por lo tanto, (3x − 2)(2x − 3) cos x h (x) = (5x + 7) log x ′
3 2 sin x 5 1 + − − − . 3x − 2 2x − 3 cos x 5x + 7 x log x