19
C´alculo I - Rodrigo Vargas Soluci´ on: Sea y = f (x), entonces √ 1 − 1 + 4x √ 1− √ 1−y 1 + 1 + 4x √ = = 1 + 4x . 1+y 1 − 1 + 4x √ 1+ 1 + 1 + 4x Por tanto, 1 + 4x =
1−y 1+y
2
, lo que nos da
1 (1 − y)2 1 (1 − y)2 − (1 + y)2 y x= −1 = =− . 2 2 4 (1 + y) 4 (1 + y) (1 + y)2 Intercambiando las variables tenemos: f −1 (x) = −
x . (1 + x)2
x−3 una funci´on. Hallar el dominio, recorrido, analizar 2x + 1 inyectividad y sobreyectividad y una f´ormula para f −1 .
1.34. Sea f (x) =
Soluci´ on: El dominio de esta funci´on queda determinado por la prohibici´on del que el denomirador no sea cero, es decir, Dom(f ) = R \ {− 12 }. Para hallar el recorrido, se observa que si y = f (x) entonces y(2x+1) = x−3 ⇒ 2xy+y = x−3 ⇒ x(2y−1) = −y−3 ⇒ x =
y+3 . 1 − 2y
Se deduce que Rec(f ) = R \ { 12 }. Nos proponemos demostrar que f es inyectiva. Por demostrar que si f (x) = f (y) entonces x = y. En efecto, si f (x) = f (y) entonces x−3 y−3 = ⇒ 2x + 1 2y + 1 ⇒ ⇒ ⇒
(x − 3)(2y + 1) = (y − 3)(2x + 1) 2xy + x − 6y − 3 = 2xy + y − 6x − 3 x − 6y = y − 6x 7x = 7y ⇒ x = y .
Por lo tanto, f es inyectiva. Para demostrar la sobreyectividad, debemos probar que, para cada y ∈ Rec(f ) existe x ∈ Dom(f ) tal que f (x) = y.