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C´alculo I - Rodrigo Vargas
Sin embargo, Bernoulli, durante su estanc´ıa en Par´ıs, firm´o un contrato con el m´arquez de L’Hˆopital, seg´ un el cual, a cambio de un salario regular, se compromet´ıa a enviar a L’Hˆopital sus descubrimientos. Esta regla es conocida por el nombre de L’Hˆopital, porque ´este la incorpor´o en un texto de c´alculo diferencial que apareci´o publicado en Par´ıs en 1696. x sin + cos x 2 6.12. Calcular l´ım . x→π 1 + sin2 x + cos x Soluci´ on: La expresi´on sin
x
+ cos x 2 1 + sin2 x + cos x 0 evaluada en x = π da una forma indeterminada del tipo . Aplicando 0 la regla de L’Hˆopital se tiene: 1 x cos − sin x 2 l´ım f (x) = l´ım 2 . x→π x→π 2 sin x cos x − sin x 0 Esta espresi´on tambi´en es una forma indeterminada del tipo , por lo 0 cual nuevamente debe aplicarse la regla de L’Hˆopital. − 14 + 1 − 41 sin x2 − cos x 1 = = . l´ım f (x) = l´ım x→π x→π 2 cos(2x) − cos x 2 − (−1) 4 1 6.13. Calcular l´ım cotan x − . x→0 x Soluci´ on: Este l´ımite corresponde a una forma indeterminada del tipo ∞ − ∞. 1 cos x 1 x cos x − sin x − = cotan x − = x sin x x x sin x 0 esta u ´ ltima expresi´on es una forma del tipo aplicando la regla de 0 L’Hˆopital se obtiene f ′ (x) −x sin x −x = = . x ′ g (x) sin x + x cos x 1+ cos x sin x Por lo tanto,
1 l´ım cotan x − =0. x→π x