ﻓﺼﻞ اول
ﺗﺎﺑﻊ
www.fanavari-it.ir
(١) ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ
٢
42 ﺗﻤﺮﯾﻦ ﺻﻔﺤﻪ .( داﻣﻨﻪ ﻫﺮ ﯾﮏ از ﺗﻮاﺑﻊ زﯾﺮ را ﺗﻌﯿﯿﻦ ﮐﻨﯿﺪ1) 1)
f ( x ) = x2 + 1
:ﺣﻞ
D f = R x2 + 1 ≥ o ⇒ 2)
f( x) =
2
1
x − 5 x + 21
x2 − 5 x + 21 = x2 − 5 x + 3)
25 59 5 59 + = ( x − )2 + > 0 ⇒ D f = R 4 4 2 4
x x
f( x) =
D f = (o, +∞)
4) f ( x) =
1 x − 7x + 12 2
x2 − 7x + 12= 0⇒ x1 = 4, x2 = 3
⇒ D f = ( −∞ ,3 ) U ( 4 ,+∞ ) 5)
:ﺣﻞ
f( x) =
1 7 ⇒ x2 − x + 2 = x2 − x + + 4 4 x − x+2 2
1
1 7 = ( x − )2 + > 0⇒ D f = R 2 4 6)
x2 f ( x) = ⇒ D f = R − {o} x
7)
f ( x ) = x ⇒ D f = ( o ,+∞ )
8)
f( x) =
www.fanavari-it.ir
( x2 + 2 x + 1 )( − x2 + x − 1 ) x2 − 5 x + 6
:ﺣﻞ
٣
ﻓﺼﻞ دوم :ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ
) ( x + 1 )2 ( − x2 + x − 1 = )⇒ f( x ) ( x − 2 )( x − 3 ≤ oﺻﻮرت ﮐﺴﺮ ⇒
− x2 + x − 1 < o
( x + 1 )2 ≥ 0
,
ﺑﺎﯾﺪ ﻣﺨﺮج ﮐﺴﺮ ﻫﻤﺮاه ﻣﻨﻔﯽ ﺑﺎﺷﺪ و ﻣﺨﺎﻟﻒ ﺻﻔﺮ ﯾﻌﻨﯽ . 2 < x < 3
)⇒ D f = (2,3
f ( x ) = 4 x2 − 5 + 6
)⇒ x2 − 5x + 6 = ( x − 2)( x − 3
)9
) ∞⇒ D f = ( −∞ ,2 ) U ( 3 ,+ }⇒ D f = R − {− 1 ) ⇒ D f = ( −∞ ,o
x2 + 2x + 1 x +1
= )f( x
) 10
= )f( x
) 11
f ( x ) = 1 − x2
) 12
1 | x− | x
⇒ x≠ x ⇒ x<o ]⇒ D f = [− 1,1
3
(2داﻣﻨﻪ و ﺑﺮد ﻫﺮ ﯾﮏ از ﺗﻮاﺑﻊ زﯾﺮ را ﺗﻌﯿﯿﻦ ﮐﻨﯿﺪ: ) ∞⇒ D f = ( −∞ ,o ) U ( o,+ }R f = {− 1,1
x>o x< o
}⇒ D f = R − {0 }⇒ x ∈ D f ⇒ f ( x) = x ⇒ Rf = R − {0 }{ ⇒ D f = R − }{ = 1 , R f 1 )∞x>1 ⇒ D f = (−∞,+
1 f( x) = − 1 x2 x x −1 x −1
= )f ( x
)1
)2
= )f( x
)3
f ( x ) = {−x + 3
)4
ﭼﻮن ﺗﺎﺑﻊ روي ] [− ∞,1ﺻﻌﻮدي اﺳﺖ ﺑﺮد در اﯾﻦ ﻗﺴﻤﺖ ﺑﺮاﺑﺮ ] [− ∞,1اﺳﺖ و
www.fanavari-it.ir
٤
ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )(١
و ﭼﻮن ﺗﺎﺑﻊ روي )∞ (1,+ﻧﺰوﻟﯽ اﺳﺖ ﺑﺮد در اﯾﻦ ﻗﺴﻤﺖ ﺑﺮاﺑﺮ )(−∞,−1+ 3) = (−∞,2
اﺳﺖ .ﭘﺲ ﺑﺮد ﺗﺎﺑﻊ اﺟﺘﻤﺎع اﯾﻦ دو ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ اﺳﺖ ﮐﻪ ﺑﺮاﺑﺮ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ زﯾﺮ اﺳﺖ: )R f = (−∞,2 1 }{ ⇒ D f = R −
x<1 x >1
x 5 ) f( x) = x + 1
) ∞R f = ( −∞ ,1 ) U ( 2,+ }⇒ D f = R − {2
x2 − 4 = )f( x x−2
)6
⇒ x∈ Df ⇒ f ( x ) = x + 2 }R f = R − { 4
}⇒ D f = R − {4
x>4 −4 < x < 4 x ≤ −4
− x + 5 7 ) f ( x ) = − 16 − x2 x + 5
)f1 = − x + 5 , x > 4 ⇒ R f1 = (−∞,1 ]−4 < x < 4 ⇒ R f = [− 4 ,o
]x ≤ −4 ⇒ R f = [o −∞ ,1
f1 = − 16 − x2 f3 = x + 5
) ⇒ Rf = Rf1 U R f2 U R f3 = ( −∞ ,1 )U [− 4 ,o] = ( −∞ ,1 f( x) = x− x
)8
ﭼﻮن ﻫﻤﻮاره دارﯾﻢ x ≤ xدر ﻧﺘﯿﺠﻪ x − x ≤ 0ﭘﺲ ﺟﺎﻫـﺎﯾﯽ ﮐـﻪ x = xاﺳـﺖ ﻗﺎﺑـﻞ ﻗﺒﻮل اﺳﺖ ﯾﻌﻨﯽ ]∞. D f = [0,+ }⇒ Rf = {o
x ∈ D f ⇒ f ( x) = x − x = o
(3از ﺟﻔﺖ ﺗﻮاﺑﻊ زﯾﺮ ﮐﺪام ﯾﮏ ﻣﺴﺎوي ﻫﺴﺘﻨﺪ؟
www.fanavari-it.ir
٥
ﻓﺼﻞ دوم :ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ x f ( x) = , g ( x) = 1 (1 x
ﻣﺴﺎوي ﻧﯿﺴﺘﻨﺪ ﭼﻮن D g = Rو } D f = R − {oﺑﺎ ﻫﻢ ﺑﺮاﺑﺮ ﻧﯿﺴﺘﻨﺪ. g ( x) = x (2و f ( x) = ( x )2
ﻣﺴﺎوي ﻧﯿﺴﺘﻨﺪ ﭼﻮن Dg = Rو )∞ D f = [o, +ﺑﺎ ﻫﻢ ﺑﺮاﺑﺮ ﻧﯿﺴﺘﻨﺪ. x2 − 4 g ( x ) = x + 2 (3و x−2
= ) f ( xﺑﺎ ﻫﻢ ﺑﺮاﺑﺮ ﻧﯿﺴﺘﻨﺪ.
(4ﻓــﺮض ﮐﻨﯿــﺪ f ( x) = x − 1ﻣﻄﻠــﻮب اﺳــﺖ f ( x + 1) ، f (1) .و ) f ( x2 − 1و )). f ( f (2 f (1) = 1− 1 = o f ( x + 1) = x + 1 − 1 = x 1 −1 x
1 =) x
(f
f ( x2 − 1) = x2 − 1− 1 = x2 − 2 f ( f (2)) = f ( 2 − 1) = f (1) = o
(5اﮔﺮ fﺗﺎﺑﻌﯽ ﺑﺎﺷﺪ ﮐﻪ ﺑﻪ ازاي ﻫﺮ xو . f ( x + y) = f ( x) + f ( y) .y )f ( n اﮔﺮ nﻋﺪد ﻃﺒﯿﻌﯽ ﺑﺎﺷﺪ و f (1) ≠ oﺑﺎﺷﺪ .ﻣﻘﺪار )f (1
را ﺑﯿﺎﺑﯿﺪ.
ﺣﻞ :
)f ( n ) = f (1 + 1 + 1 + ... + 1) = f (1) + f (1) + ... + f (1 )= n f (1 )f ( n ) nf (1 ⇒ = =n )f (1 )f (1 f (6در ﻫﺮ ﯾﮏ از ﻣﻮارد gog ، fof ، gof ، fog ، ، f + gرا ﺗﻌﯿﯿﻦ ﮐﻨﯿﺪ. g
www.fanavari-it.ir
(١) ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ
. g (n) = x2 + 1 ,
٦ f ( x) = x (اﻟﻒ
f + g ( x) = x + x2 + 1 f x ( x) = 2 g x +1 fog ( x) = f ( g ( x)) = x2 + 1 got ( x) = g ( f ( x)) = ( x )2 + 1 = x + 1 fof ( x) = f ( f (m)) =
x =4
x
gog ( x) = g ( g ( x)) = ( x2 + 1)2 + 1 = x4 + 2x2 + 2 f ( x) = x
,
g ( x) = 4 − x2 (ب
f + g ( x) = x + 4 − x2 f x ( x) = g 4 − x2 fog ( x) = 4 − x2 gof ( x) = 4 − ( x )2 = 4 − x fof ( x) =
x =4
x
gog ( x) = 4 − (4 − x2 )2 = 4 − (16 − 8 x2 + x4 ) = −4 + 8 x2 − x4
www.fanavari-it.ir
٧
ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ:ﻓﺼﻞ دوم . f ( x) =
f + g( x ) = f ( x ) + g( x ) = x +1 x2 + x f 1 x − = ( x) = 1 x −1 g x gof ( x ) = f ( g ( x )) =
x +1 1 , g ( x) = (ج x −1 x
x+1 1 + x−1 x
x−1 1 = x+1 x+1 x −1
1 +1 x +1 x fog( x ) = = 1 1− x −1 x
x +1 x+2 +1 x+2 fof ( x ) = x − 1 = x − 1 = 2 x +1 2 −1 x −1 x −1 1 gog ( x ) = = x 1 x . f ( x) = x2
1 f + g ( x) = x2 + 1 1x gof ( x ) = = 2 f x 2 ( x) = x = x21x1x gfof ( x) = (1x2 )2 = x4 x 1 1 gog ( x) = = 1= 4 x 1 fog ( x) = f ( g1(n)) = 1( )2 = x 4 xx x
www.fanavari-it.ir
,
g ( x) =
1 (د x
(١) ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ
٨
. را ﺑﯿﺎﺑﯿﺪf − g وfg ( در ﻫﺮ ﻣﻮرد7 x2 f( x) = 4
x<o , x≥o
x g( x ) = 4
x<o (اﻟﻒ x≥o
:ﺣﻞ x3 fg ( x) = 16
x2 − x f − g ( x) = o
x<o x≥o
x f ( x) = 4
x2 g ( x) = − x 4x
x<o , x≥o
2
x2 : دارﯾﻢ، ﻣﯽﻧﻮﯾﺴﯿﻢf ( x) = 4 4 x4 fg( x ) = − 4 x 16 x
1< x
x<o o≤x 1< x x<o x≥o
o
www.fanavari-it.ir
o ≤ x < 1 (ب
o ≤ x ≤ 1 را ﺑﻪ ﺻﻮرتf (x) اﺑﺘﺪا:ﺣﻞ 1< x
x2 − x
x f ( x) = 4
x<o
x<o
وf − g ( x) = 2
x<o x≥o
x<o , x≥o
x2 g ( x) = − x 4x
x<o o ≤ x<1 1< x
(ب
٩
ﻓﺼﻞ دوم :ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ x2 f ( x) = 4ﻣﯽﻧﻮﯾﺴﯿﻢ ،دارﯾﻢ: 4
x<o ﺣﻞ :اﺑﺘﺪا ) f (xرا ﺑﻪ ﺻﻮرت o ≤ x ≤ 1
1< x
x<o o ≤ x<1 1< X
x4 fg( x ) = − 4 x 16 x {S
ج( x < −1 −1 ≤ x < 2 2< x
1 x g ( x ) = x2 + 1 x+2
x<o , x≥1
x − 1 f( x) = 4 2
ﺣﻞ :داﻣﻨﻪ ﻣﺸﺘﺮك دو ﺗﺎﺑﻊ ﺑﺮاﺑﺮ )∞ (−∞,−1) ∪ (2,+اﺳﺖ ﭘﺲ دارﯾﻢ: x < −1 x>2 x < −1 x>2
1 2 x − 1 − x f − g( x ) = 4 − x + 2 ) ( x2 − 1 fg( x ) = x 4 x + 2
(8ﺗﻮاﺑﻊ fو gﺑﻪ ﺻﻮرت زﯾﺮ داده ﺷﺪهاﻧﺪ. }{ g : R − 1 →R 3 − 8x 3 1− x 3
اوﻻً :ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ fﯾﮏ ﺑﻪ ﯾﮏ اﺳﺖ.
f : R − {3} → R = )g ( x
x+ 3 x−3
f ( x) = 3
www.fanavari-it.ir
ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )(١
١٠
ﺣﻞ: x2 + 3 x2 − 3
=3
x1 + 3 x1 − 3
f ( x1) = f ( x2 ) ⇒ 3
x1 + 3 x2 + 3 6 6 ⇒ 1+ = 1+ = x1 − 3 x2 − 3 x1 − 3 x2 − 3
⇒
1 1 = ⇒ x1 − 3 = x2 − 3 x1 − 3 x2 − 3
⇒
⇒ x1 = x2
ﭘﺲ fﯾﮏ ﺑﻪ ﯾﮏ اﺳﺖ. ﺛﺎﻧﯿﺎً آﯾﺎ fو gوارون ﯾﮑﺪﯾﮕﺮﻧﺪ. ﺣﻞ :ﺑﺎﯾﺪ D f = Rgو D g = R fﺑﺎﺷﺪ. x+ 3 6 = 1+ x− 3 x− 3
= y3
⇒
x+ 3 x−3
6 6 ⇒ x−3= 3 x− 3 y −1
y = f ( x) = 3
=⇒ y3 − 1
6 3 y3 − 3 + 6 = y3 − 1 y3 − 1 3x 3 + 3 x3 − 1
= )f −1( x
⇒ x = 3+
3 y3 + 3 ⇒ y3 − 1
=⇒ x
ﺑﺎ اﯾﻦ ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﻣﺸﺨﺺ اﺳﺖ ﮐﻪ ) g ( x) ≠ f −1( xاﺳﺖ. (9ﮐﺪام ﯾﮏ از ﺗﻮاﺑﻊ زﯾﺮ ﯾﮏ ﺑﻪ ﯾﮏ و ﭘﻮﺷﺎ اﺳﺖ؟ x +1 (1 x
= )f ( x
www.fanavari-it.ir
ﻓﺼﻞ دوم :ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ
ﺣﻞ( اﯾﻦ ﺗﺎﺑﻊ ﺑﻪ ﺻﻮرت
١١
x+1 f ( x ) = xاﺳﺖ. − x + 1 x
x>o
ﻫﺮ ﺟﺰء اﯾﻦ ﺗﺎﺑﻊ ﯾﮏ ﺑﻪ ﯾﮏ و ﭘﻮﺷﺎﺳﺖ ،ﭼﻮن ﺗﺎﺑﻊ ﻫﻤﻮﮔﺮاﻓﯿﮏ اﺳﺖ. f ( x) = x + 1 (2
f : R+ → R
,
ﺣﻞ :اﯾﻦ ﺗﺎﺑﻪ ﺑﻪ ﺻﻮرت f ( x) = x + 1اﺳﺖ ﮐﻪ ﯾﮏ ﺑﻪ ﯾﮏ اﺳﺖ. وﻟﯽ ﭘﻮﺷﺎ ﻧﯿﺴﺖ ﭼﻮن R f = (1,+∞) ≠ Rاﺳﺖ. x + 2 (3
f ( x) = 3
f :R→ R
,
ﺣﻞ :اﯾﻦ ﺗﺎﺑﻊ ﯾﮏ ﺑﻪ ﯾﮏ اﺳﺖ ﭼﻮن: ) f ( x1 ) = f ( x2 x1 = 3 x2 = x2
3
⇒
⇒ x1
x1 + 2 = 3
x2 + 2
3
⇒
اﯾﻦ ﺗﺎﺑﻊ ﭘﻮﺷﺎ ﻧﯿﺰ اﺳﺖ ﭼﻮن: x = ( y − 2 )3 Rf = R 2x + 1 (4 x −1
= )f ( x
ax + b ﺣﻞ :ﺗﺎﺑﻊ ﺑﻪ ﺻﻮرت cx + d
,
⇒ x ⇒
3
= y−2
⇒
x +2
y =3
}{ f : R − 1 →R
= ) f ( xروي داﻣﻨﻪاش ﺣﺘﻤﺎً ﯾﮏ ﺑﻪ ﯾﮏ اﺳﺖ.
اﯾﻦ ﺗﺎﺑﻊ ﭘﻮﺷﺎ ﻧﯿﺴﺖ .ﭼﻮن:
www.fanavari-it.ir
١٢
ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )(١ 3 2x + 1 2x − 2 + 3 = = 2+ x −1 x −1 x −1 3 3 ⇒ = = y − 2 ⇒ x −1 x −1 y −2 y +1 3 ⇒ x = 1+ = y−2 y−2 R f = R − {2}≠ R. =y
}{ f : R −ﺑﺎ ﺿﺎﺑﻄﻪ زﯾﺮ داده ﺷﺪه اﺳﺖ: (10ﺗﺎﺑﻊ } 1 → R − {a
2x − 1 x −1
= )f ( x
اوﻻً :ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ fﯾﮏ ﺑﻪ ﯾﮏ اﺳﺖ. ﺣﻞ: 2x − 2 + 1 1 =2+ x −1 x1 − 1 1 1 = 2+ x1 − 1 x2 − 1 x1 − 1 = x2 − 1
⇒
x1 = x2
⇒
= )f ( x
f ( x) = f ( x2 ) ⇒ 2+ 1 1 = x1 − 1 x2 − 1
⇒
ﭘﺲ fﯾﮏ ﺑﻪ ﯾﮏ اﺳﺖ. ﺛﺎﻧﯿﺎً aرا ﻃﻮري ﺑﯿﺎﺑﯿﺪ ﮐﻪ fﭘﻮﺷﺎ ﺑﺎﺷﺪ. ﺣﻞ :ﺑﺎﯾﺪ } R f = R − {aرا در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﯿﺮﯾﻢ .اﺑﺘﺪا R fرا ﺑﻪ ﺻﻮرت زﯾﺮ ﻣﯽﯾﺎﺑﯿﻢ: 2x − 1 1 1 = 2+ ⇒ = y −2 x −1 x −1 x −1 1 1 =⇒ x − 1 ⇒ x = 1+ y −2 y−2 }⇒ R f = R − {2 ⇒ a =2 =y
www.fanavari-it.ir
١٣
ﻓﺼﻞ دوم :ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ
(11وارون ﺗﻮاﺑﻊ زﯾﺮ را در ﺻﻮرت وﺟﻮد ﺑﻪ دﺳﺖ آورﯾﺪ: اﻟﻒ(
3x + 2 x −1
= )f ( x
ﺣﻞ :اﯾﻦ ﺗﺎﺑﻊ ﯾﮏ ﺑﻪ ﯾﮏ اﺳﺖ .ﭘﺲ وارون دارد و دارﯾﻢ: 3x + 2 ⇒ yx − y = 3x + 2 ⇒ x( y − 3) = y + 2 x −1 x+2 y+2 = )⇒ f −1( x =⇒ x x− 3 y− 3
=y
ب( . f ( x ) = x − 4
ﺣﻞ :اﯾﻦ ﺗﺎﺑﻊ ﯾﮏ ﺑﻪ ﯾﮏ و در ﻧﺘﯿﺠﻪ وارونﭘﺬﯾﺮ اﺳﺖ و دارﯾﻢ: y = x − 4 ⇒ x − 4 = y2 ⇒ x = y2 + 4 ⇒ f −1( x) = x2 + 4 x>1
ج(
x f ( x ) = x2 27 x
1≤ x ≤ 9 9< x
ﺣﻞ( ﭼﻮن ﻫﺮ ﺿﺎﺑﻄﻪ ﯾﮏ ﺑﻪ ﯾﮏ اﺳﺖ ،ﺗﺎﺑﻊ ﯾﮏ ﺑﻪ ﯾﮏ و وارونﭘﺬﯾﺮ اﺳﺖ: x>1
−1
−1
⇒ f1 ( x ) = x
f2 ( x ) = x 1 ≤ x ≤ 81 x〉 81
x2 ( 27 )2
⇒ −1
= ) f3 ( x x>1
1 ≤ x ≤ 81 x > 81
f1 ( x ) = x , x > 1
, 1≤ x ≤ 9 ⇒
f2 ( x ) = x 2
f 3 ( x ) = 27 x x〉 9 x ⇒ f −1 ( x ) = x x ( )2 27
www.fanavari-it.ir
ﻓﺼﻞ دوم ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ
www.fanavari-it.ir
٢
ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )(١
.1ﻫﻤﺴﺎﯾﮕﯽﻫﺎي زﯾﺮ را ﺑﻪ ﺻﻮرت ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﺑﻨﻮﯾﺴﯿﺪ .ﭘـﺲ آﻧﻬـﺎ را روي ﯾـﮏ ﺧـﻂ ﻧﺸـﺎن دﻫﯿﺪ.
1 2
1 2
) N (1, ) = x x − 1 < اﻟﻒ
{ } }N ′(1, 3 ) = {x x − 1 ≤ 3 }N ′(1,5) = {x x − 1 ≤ 5
N (o ,3 ) = x x < 3
)ب )ج )د
(2ﻣﺠﻤﻮﻋﮥ } A = {x ∈ 2 x + 3 < 1ﯾﮏ ﻫﻤﺴﺎﯾﮕﯽ ﻣﺘﻘﺎرن aﺑﻪ ﺷﻌﺎع rاﺳـﺖ a .و rرا ﺗﻌﯿﯿﻦ ﮐﻨﯿﺪ. ﺣﻞ: 3 3 = 2 x − (− ) < 1 2 2
2x + 3 = 2 x +
3 1 3 1 = ⇒ x − (− ) < ⇒ a = − , r 2 2 2 2
ﻣﺠﻤﻮﻋﮥ } A = {x ∈ R 13 x − 1 < 1x + 1ﯾﮏ ﻫﻤﺴـﺎﯾﮕﯽ ﻣﺘﻘـﺎرن ﺑـﻪ ﻣﺮﮐـﺰ aو ﺑـﻪ ﺷﻌﺎع rاﺳﺖ a .و rرا ﺗﻌﯿﯿﻦ ﮐﻨﯿﺪ: ﺣﻞ: <1
3x − 1 x +1
3x −1 <1 x +1
< −1
⇒
3x − 1 < x + 1
⇒
3x − 1 <1 x +1
⇒
www.fanavari-it.ir
ﻓﺼﻞ دوم :ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ 4 <1 x +1 2 1− x <1 <⇒ o x+1 x +1 3−
1 <1 x +1
⇒
−4 <1 x +1
⇒
٣ ⇒ −1< 3
4 ⇒ x +1 ⇒ −1< x < 1 4 −4 −1< 3 − <−4 x +1 x +1 <⇒ 2
−x 1 ⇒ −1 < o <o ⇒ −1< x < o x +1 x +1
⇒
)(−1 , 1) U (−1 , o) = (−1 , 1 r =1
,
a =o
=ﺟﻮاب
اﮔﺮ ) (2a − 4 , a + 2ﯾﮏ ﻫﻤﺴﺎﯾﮕﯽ ﻣﺘﻘﺎرن 5ﺑﺎﺷﺪ .ﺷﻌﺎع ﻫﻤﺴﺎﯾﮕﯽ را ﺗﻌﯿﯿﻦ ﮐﻨﯿﺪ: ﺣﻞ: )N (5 , 7) = (2a − 4 , a + 2 )⇒ (5 − 7 , 5 + r ) = (2a − 4 , a + 2 5 − r = 2a − 4 ⇒ 10 = 3a − 2 ⇒ a = 4 5 + r = a + 2 r =1
}
(5ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ 2x + 3 < 6
⇒
A = { x ∈ Rﯾﮏ ﻫﻤﺴﺎﯾﮕﯽ aﺑﻪ ﺷﻌﺎع 4اﺳﺖ.
aو rرا ﺗﻌﯿﯿﻦ ﮐﻨﯿﺪ: 3 <3 2 3 a =− , r =3 2 x+
⇒
3 <6 2
2x + 3 < 6 ⇒ 2 x +
⇒
www.fanavari-it.ir
ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )(١
٤
ﺗﻤﺮﯾﻦ 6-2-2 .ﺻﻔﺤﮥ 63 ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﺗﻌﺮﯾﻒ ﺣﺪ ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ: 5x + 4 − 9 = 5 x − 1 < 4 4 5 ε ﭘﺲ ﻗﺮار ﻣﯽدﻫﯿﻢ 5
1) lim (5 x + 4) = 9 x →1
< ⇒ x −1
≤δ lim ( 3 x + 2) = − 4
x → −2
4 3 ε ﻗﺮار ﻣﯽدﻫﯿﻢ 3
)2
< 3x + 2 + 4 = 3 x + 2 < 4 ⇒ x + 2
≤δ 3 ) lim x2 = 4 x→2
x2 − 4 = x + 2 x − 2
ﻣﺎﮐﺰﯾﻤﻢ x + 2را در ﻫﻤﺴﺎﯾﮕﯽ − 1 < x − 2 < 1ﺑﻪ دﺳﺖ ﻣﯽآورﯾﻢ. max( x + 2) = 5
⇒
1< x < 3
⇒ −1 < x − 2 < 1 ⇒ x2 − 4 ≤ 5 x − 2 < 4
ε ﮐﺎﻓﯽ اﺳﺖ δ ≤ min 1, را در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﯿﺮﯾﻢ. 5
x2 − 4 = x − 2 x + 2
ﻣﺎﮐﺰﯾﻤﻢ x − 2را در ﻫﻤﺴﺎﯾﮕﯽ زﯾﺮ ﻣﯽﯾﺎﺑﯿﻢ.
lim x2 = 4
x → −2
)4
www.fanavari-it.ir
ﻓﺼﻞ دوم :ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ −3 < x < −1 ⇒ max x − 2 = 3
٥
⇒ −1 < x + 2 < 1
ε ﮐﺎﻓﯽ اﺳﺖ δ ≤ min 1, را در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﯿﺮﯾﻢ. 3
3x +1 4 = x+2 3 3x + 1 4 9x + 3 − 4x − 8 5 x − 1 = == − x+2 3 x+2 x+2
5) lim
5 5 = x+2 2
max
⇒
⇒
o< x<2
−1 < x −1 < 1
ε ﮐﺎﻓﯽ اﺳﺖ δ ≤ min 1, را در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﯿﺮﯾﻢ. 5
x2 + 2 =3 4) lim x →2 5 x − 8 x − 13 x − 2 x2 + 2 x2 + 2 − 15 x + 24 = −3 = 5x − 8 5x − 8 5x − 8
x − 13 ﻣﺎﮐﺰﯾﻤﻢ 5x − 8
−1 < x − 2 < 1 1 < x < 3
روي اﯾﻦ ﺑﺎزه ﺑﻪ ﻋﻠﺖ ﺻﻌﻮدي ﺑﻮدن ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ: 10 7
=
−10 3 − 13 = 15 − 8 7
ε ﭘﺲ ﮐﺎﻓﯽ اﺳﺖ δ ≤ min 1, .در ﻧﻈﺮ ﮔﺮﻓﺘﻪ ﺷﻮد. 10
www.fanavari-it.ir
(١) ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ
٦
x2 − 3 7) lim 2 =1 x →2 x − 3 x + 3 x2 − 3 x2 − 3 − x2 + 3 x − 3 3 = 2 x−2 = 2 2 x − 3x+ 3 x − 3x+ 3 x − 3x+ 3 −1 < x − 2 < 1
⇒1< x < 3
: درﯾﺎﻓﺖ ﻣﯽﮐﻨﺪ ﭘﺲx = max
3 ﻣﯽﺑﯿﻨﯿﻢ ﺧﻮد را درx2 − 3x + 3 ﺗﺎﺑﻊ 2
3 3 3 3 = = = =4 3 3 9 18 3 x − 3x+ 3 ( )2 − 3( ) + 3 − +3 2 2 4 4 4 ε . در ﻧﻈﺮ ﮔﺮﻓﺘﻪ ﺷﻮدδ ≤ min 1, ﭘﺲ ﮐﺎﻓﯽ اﺳﺖ 4 2
1 lim x = 1 x→o x 1 1 1 1 ⇒ 1 − x〈 x ≤ 1 ⇒ − 1< ≤ x x x x
8)
1 x < o ⇒ − x < x − 1 ≤ o x
1 1 x〈 o ⇒ 1 ≤ x < 1 − x ⇒ x − 1 < − x ⇒ x x
1 x − 1 < x x . ﺑﺎﺷﺪ ﻣﺴﺄﻟﻪ ﺣﻞ اﺳﺖδ ≤ ε اﮔﺮ
x2 − 9 =o x→ 3 x2 + 3 [x] x+ 3 ( x − 3)( x + 3) (−1) = 2 x− 3 2 x +3 x +3
9) lim (−1)[ x]
−1 < x − 3 < 1 ⇒
2< x<4
7 x+ 3 =1 max 2 = x + 3 4 + 3
www.fanavari-it.ir
. در ﻧﻈﺮ ﮔﺮﻓﺘﻪ ﺷﻮدδ ≤ min {1, ε } ﭘﺲ ﮐﺎﻓﯽ اﺳﺖ
٧
ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ:ﻓﺼﻞ دوم 10) lim ( x2 − 10x) = −21 x→ 3
2
x − 10x + 21 = x − 7 x − 3 − 1〈 x − 3〈1
⇒
2〈 x〈 4
⇒ max x − 7 = 4 − 7 = 3
ε . در ﻧﻈﺮ ﮔﺮﻓﺘﻪ ﺷﻮدδ ≤ min 1, ﮐﺎﻓﯽ اﺳﺖ 3
x2 − 2 =7 x→4 x − 2 x−4 x− 3 x2 − 2 x2 − 2 − 7 x + 14 = −7 = x−2 x−2 x−2
11) lim
−1 < x − 4 < 1 ⇒ max
3 < x<5
5−3 2 x− 3 = = 5−2 3 x−2
3 δ ≤ min 1, ε ﭘﺲ ﻗﺮار ﻣﯽدﻫﯿﻢ 2
4x −1 3 = x →1 5 x − 3 2 4x −1 3 8 x − 2 − 15 x + 9 7 − = = x−1 5x − 3 2 5x − 3 5x − 3
12) lim
−1 < x −1 < 1 ⇒ o< x<2 7 7 7 max = − 5x − 3 o −3 3
13)
www.fanavari-it.ir
lim (−1)[ x] x→ 2
(−1)[ x]
x2 − 4 =o x+2
x2 − 4 − o = x−2 x+2
3 7
. را در ﻧﻈﺮ ﻣﯽﮔﯿﺮﯾﻢδ ≤ min 1 , ε ﭘﺲ
٨
ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )(١
ﮐﺎﻓﯽ اﺳﺖ δ = εدر ﻧﻈﺮ ﮔﺮﻓﺘﻪ ﺷﻮد. x−3 1 = x−9 6 1 3− x = 6 x+3
−
1 x+3
=
lim
x→ 9
)14
x−3 1 − 6 x−9 x−9
=
( x + 3)2 ⇒ −1 < x − 9 < 1 8 < x < 10 1 1 = max ( x + 3)2 ( 8 + 10)2
ﮐﺎﻓﯽ اﺳﺖ } δ ≤ min {1 , ( 8 + 10) 2 εدر ﻧﻈﺮ ﮔﺮﻓﺘﻪ ﺷﻮد.
2 =2 x→ 4 x − 3 2 2 − 2x + 6 2 x − 4 = −2 = x− 3 x− 3 x− 3
15) lim
1 1 7 9 → < − < x−4 << x 2 2 2 2 2 2 Max = =4 7 x− 3 −3 2
www.fanavari-it.ir
٩
ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ:ﻓﺼﻞ دوم
2x + 1 =3 x→1 2 x − 1 2x + 1 2x + 1 − 6 x + 3 4 x−1 −3 = = 2x − 1 2x − 1 2x − 1
1 δ ≤ min , ε ﭘﺲ 2
16) lim
1 1 < x −1 < 4 4 4 ⇒ max = 2x − 1 −
3 5 < x< 4 4 4 4 = =8 1 3 2( ) − 1 2 4 ⇒
ε 1 δ ≤ min , ﭘﺲ 8 4 x =2 x →6 x − 3 x x − 2x + 6 −2 = = x− 3 x− 3
17) lim
x−6
x− 3
−1 < x − 6 < 1 ⇒ 5< x< 7 1 1 1 max ⇒ = = x− 3 5−3 2
www.fanavari-it.ir
(١) ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ
١٠
δ ≤ min {1, 2ε } ﭘﺲ 1 = −1 x+ 3 x+4 1 x+4 +1 = = x+ 3 x+ 3 x+ 3
18) lim
x→ −4
1 9 7 1 − 〈 x + 4〈 ⇒ − 〈 x〈− 2 2 2 2 1 1 2 = = max 9 3 x+ 3 − +3 2
19) lim x→1
1
5− x =
−
1 3 δ ≤ min , ε ﭘﺲ 2 2
1 1 = 5−x 2
1 2
=
x −1
2− 5− x 5− x
=
(2 − 5 − x )(2 + 5 − x ) 2 5 − x (2 + 5 − x )
2 5 − x (2 + 5 − x ) o< x<2 −1 < x −1 < 1 ⇒ 1 1 max = 2 5 − x (2 + 5 − x ) 2 5 − 2 (2 + 5 − 2 )
{
δ ≤ min 1 , (2 3 (2 + 3 ))ε ) ﭘﺲ x2 − 16 = −8 x → −4 x + 4 x2 − 16 x2 − 16 + 8 x + 32 ( x + 4) 2 +8 = = x+ 4 x+ 4 x+4
20) lim
= x+4
www.fanavari-it.ir
١١
ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ:ﻓﺼﻞ دوم
. δ = ε ﮐﺎﻓﯽ اﺳﺖ .80 ﺻﻔﺤﻪ29-3-2 ﺗﻤﺮﯾﻦ .ﺣﺪﻫﺎي زﯾﺮ را ﺣﺴﺎب ﮐﻨﯿﺪ 1) lim x→1
x2 − 1 ( x − 1)( x + 1) x+1 2 = = lim = lim 2 ( x − 1)( x + 4) x+ 4 5 x + 3x − 4
x+ x+2 ( x2 − x − 2) ( x + 1)( x − 2) = lim = lim x → −1 x+1 ( x + 1)( x − x + 2 ) ( x + 1)( x − x + 2 )
2) lim
= lim
3 ) lim x →4
−1− 2 −3 3 x−2 = = = x − x + 2 −1− −1+ 2 − 2 2
x −2 x −2 x −2 = lim = lim ( x + 1)( x − 4) x − 3x − 4 ( x + 1)( x − 2)( x + 2) 1 1 1 = lim = = ( x + 1)( x + 2) 5 × 4 20 2
x2 − 9 x − 10 ( x − 10)( x + 1) x − 10 − 11 = lim = lim = 2 x → −1 x + 3 x + 2 ( x + 2)( x + 1) x+2 1
4) lim
5) lim x→1
www.fanavari-it.ir
x2 + 19 x − 20 ( x − 1)( x + 20) x + 20 21 = = lim = lim 2 x −1 ( x − 1)( x + 1) x +1 2
(١) ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ
6)
١٢
( x − 9 )( x + 9 ) ( x − 3 )( 3 + 3 )( x + 9) x2 − 81 = lim = lim x→ 9 x − 3 x−3 x−3 lim
= lim ( x + 3 )( x + 9 ) = 108 {
7) lim
x→ 3
x − 2 −1 ( x − 2 − 1)( x − 2 ) + 1) x− 3 = lim = lim x − x−6 ( x + 2)( x − 3)( x − 2 + 1) ( x + 2)( x − 3 )( x − 2 + 1) 1 1 1 = lim = = x→ 3 ( x + 2)( x − 2 + 1) 5 × 2 10 2
( x + 2)( x2 − x + 2) x 3 + x2 + 4 lim = x→ −2 ( xo − 2)( x + 2) x2 − 4
8) lim
x2 − x + 2 8 = lim = = −2 x→ −2 x−2 −4
9) lim x→1
www.fanavari-it.ir
3 x2 − 2 x − 1 3x +1 ( 3 x + 1)( x − 1) = lim = lim =2 2 1 x → ( x − 1)( x + 1) x+1 x −1
١٣
ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ:ﻓﺼﻞ دوم
x20 − 4 x + 3 x20 − x − 3 x + 3 = lim x→1 x15 − 5 x + 4 x15 − x − 4 x + 4 ( x − 1)( x( x18 + x17 + ... + x + 1 − 3) x( x19 − 1) − 3 ( x − 1) = lim = lim ( x − 1)( x( x13 + x12 + ... + x + 1 − 4) x( x14 − 1) − 4( x − 1) 19 − 3 16 8 = = = 14 − 4 10 5
10) lim
11) lim x→1
x4 + x 3 − x − 1 x4 − 1 + x( x2 − 1) = lim x 3 + 3 x2 − x − 3 x→1 x( x2 − 1) + 3 ( x2 − 1) ( x2 − 1)( x2 + 1 + x) 3 = x→1 ( x2 − 1)( x + 3 ) 4
= lim
1− x − x +1 − 2x −2 = lim = = −1 x 2 x( 1 − x + 1 + x
12) lim x→o
13) lim
x→o 3
14) lim x→o
3
2 x( 1+ x − 1− x = lim 1+ x −3 1− x
3
(1 + x) 2 + 3 1 − x2 + 3
2 x( 1 + x + 1 − x )
(1 − x) 2
=
3 2
2 x +1 −1 x( x + 1 + 1) = lim = 3 2 3 x + 1 − 1 x→o x( ( x + 1) + x + 1 + 1) 3
106 ﺗﻤﺮﯾﻦ ﺻﻔﺤﻪ .ﺣﺪ ﻫﺮ ﯾﮏ از ﺗﻮاﺑﻊ زﯾﺮ را ﺑﯿﺎﺑﯿﺪ
www.fanavari-it.ir
(١) ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ
١٤
1) lim [x] x→ 3
lim [ x] = 3
x→ 3+
lim [ x] = 2
⇒ .ﺗﺎﺑﻊ ﺣﺪ ﻧﺪارد
x→ 3−
2) lim [2 x + 1] x→1
lim+ [2 x + 1] = 3 x→1
lim− [2x + 1] = 2 x→1
3 ) lim [3 − 2 x] = 3 + lim [− 2 x] x→1
4) lim x →5
x→1
x−5
5− x
⇒ .ﺣﺪ ﻧﺪارد
⇒ .ﺣﺪ ﻧﺪارد
(−1) [ x] (−1)1 − 1 = = =1 x→1 x − 2 1− 2 −1 (−1) [ x ] (−1) o 1 6) lim− = = = −1 x→1 x−2 1− 2 − 2 5) lim+
7) lim− x→2
8) lim
www.fanavari-it.ir
x− 2− x −2 x−2
= lim− x→2
x − (2 − x) − 2 2x − 4 = lim =2 x−2 x−2
sin x sin x 2x 1 1 1 = lim × × = 1× 1× = sin 2 x x sin 2 x 2 2 2
⇒ .ﺗﺎﺑﻊ ﺣﺪ ﻧﺪارد
١٥
ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ:ﻓﺼﻞ دوم sin( x2 − 1) sin( x2 − 1) =2 = lim ( x + 1) x→1 x→1 x −1 x2 − 1
9) lim
( x − 2)2 sin 10) 10) lim x→2
11)
lim( x − [ x]) x→2
lim
12)
3
x→o
4x[ x] 2x + x
1 =o x−2
⇒ .ﺣﺪ وﺟﻮد ﻧﺪارد lim+
x →o
lim−
x→o
12) lim
x→o
lim−
x→o
sin x x sin x x
14) lim
www.fanavari-it.ir
4x [ x] 2x + x 4x [ x] 2x + x
= =
o =o 2x + x −4x = −4 2x − x
⇒ .ﺣﺪ ﻧﺪارد
sin x
x→o
lim+
()ﮐﺮاﻧﺪار در ﺣﺪ ﺻﻔﺮ
x = lim+
sin x =1 x
= lim−
− sin x = −1 x
x→o
x→o
3 4
⇒
x( 4 ( x + 1) 3 + 4 ( x + 1) 2 + 4 ( x + 1) + 1 4 x +1 −1 = lim = 3 x + 1 − 1 x→o x( 3 ( x + 1) 2 + 3 x + 1 + 1)
(١) ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ
15) lim x→o
1 − cos x 1 − cos x = lim = lim 2 2 x x (1 + cos x
cos x − 3 cos x 16) lim = lim sin 2 x = lim
3
6
sin 2 2
x 2
x 2.
1 1 = 1 + cos x 8
cos 3 x − 6 cos2 x sin 2 x
(cos x − 1) cos x (6 cos x − 1) = lim 2 2 6 sin x sin x( cos o x + ... + 6
x→o
x 2 2
1 1 − 2 sin × =− 2 sin x 6 6 sin(1 − x) sin(1 − x) 17) lim = lim ( x + 1) = −2 x→1 x→1 x −1 x −1
lim
Π x 2 ⇒ x = 1− t ⇒
18) lim (1 − x)tg x→1
1− x =
π (1 − t ) t →o 2 π = lim t cot t t →o 2 = lim t tg
= lim
π 2 t . cos t = π 2 π sin t 2
π 19) limπ tg (2 x) tg ( − x) = o × −1 = o 4 x→ 2
www.fanavari-it.ir
١٦
cos x + 1)
١٧
ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ:ﻓﺼﻞ دوم
20) lim x→ o
2
2
( 1 + X + x) − ( 1 + x − x) = lim x→o x n
n
(1 +
x2 x2 + x) n − (1 + − x)n 2 2 x
(1 + x) n − (1 − x)n = 2n x→ o x
= lim
21) lim
x→1
x + 2 x + 2
x2 x3 1 − −1 − 2 3 = 2 =1 1 x2 x4 − −1 − 2 2 2
2 x 22) lim+ ( x + − 2) = 2 − 2 = o x→ o x 2
23) lim x→ o
1+ x − 1− x 2x 2 = lim = =1 x → o x x( 1 + x + 1 − x ) 2
24) lim ((−1)[ x] x →1
25) lim− x→ o
x −1 =o x
()ﺗﺎﺑﻊ ﮐﺮاﻧﺪار در ﺗﺎﺑﻊ ﺑﺎ ﺣﺪ ﺻﻔﺮ ﺿﺮب ﺷﺪه
1 1 = = −1 [x] − 1
x− 8 ( 3 x ) 3 − 23 ( 3 x − 2)( 3 x2 + 23 x + 4) 26) lim 3 = lim = lim 3 x→ 8 x − 2 x→ 8 3 x − 2 x −2 =3
www.fanavari-it.ir
64 + 23 8 + 4 = 4 + 4 + 4 = 12
(١) ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ
١٨
127 ﺻﻔﺤﻪ x2 − (a + 1) x + a a −1 ( x − 1)( x − a ) 27) (a ≠ 1) lim = = lim 3 3 2 2 x→a x a → x −a ( x − a )( x + ax + a ) 3 a 2 28) lim
x 3 − 1 + 3 (1 − x2 )[x − 1]
`
29) lim x→o
= lim
.ﺣﺪ وﺟﻮد ﻧﺪارد
x −1
x→1
x2 x2 ( 1 + x sin x + cos x = lim 1 + x sin x − cos x 1 + x sin x − cos x x→o 2 x2
2 sin 2
x x x + 2 x sin cos 2 2 2
x2
= lim 2
x
sin 2 x2 ( 2 + x
x 2 , cos x ) x 2
sin
x2 x2 sin 2 1 − cos x 2 = lim 2 = 1 × 30) lim = lim x→ o 1 − cos x x x 2 2 sin 2 2 sin 2 2 2
=
1
1 1 + 4 2
=
1 2 = 2 = 2 1 2 4 2 x 2 sin 1 − cos x 1 − cos x 2 .1 = o 31) lim = lim = lim 1 − cos x x x 2 2 sin 2 (1 + cos x ) 2 sin 2 2 2 2x − 2 2( x − 1) 2 = lim = 32) lim x→−2 x − 2 + [x − 2] − ( x − 2) − 1 − 1 2
2 sin 2
= −2
33) lim+ x→o
sin x sin x = lim+ x =o x x x→o
34) lim− Arcty x →1
www.fanavari-it.ir
1 1 π = lim Arcty + = lim Arcty(+∞ ) = 1− x o 2
4 3
١٩
ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ:ﻓﺼﻞ دوم
35) lim+ Arcty x →1
1 1 π = lim Arcty − = lim Arctg (−∞) = − 1− x o 2
Arc cos(1 − x) = lim x→1 x x x x 1− −1 − − 1− x −1 1 2 37) lim = lim = lim 2 = lim 2 = − x→o x→o sin 2 x sin 2x sin 2 x sin 2 x 4
36) lim−
108 ﺗﻤﺮﯾﻦ ﺻﻔﺤﻪ32-4-2 lim f ( x) = o آﻧﮕﺎهlim f ( x) = o ( ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ ﮐﻪ اﮔﺮ1) x→a
x→a
و ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﻗﻀﯿﻪ ﻓﺸﺮدﮔﯽ− f ( x) ≤ f ( x) ≤ f ( x) ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﻧﺎﻣﺴﺎوي:ﺣﻞ lim f ( x) = o اﺳﺖ ﭘﺲo = lim − f ( x) = lim | f (o) | ﭼﻮن x→ a
x→ a
. داراي ﺣﺪ ﺑﺎﺷﺪx=1 درf را ﻃﻮري ﺗﻌﯿﯿﻦ ﮐﻨﯿﺪ ﮐﻪ ﺗﺎﺑﻊa ( ﻣﻘﺪار2 3x + 4 , x〈1 f ( x) = x〉1 [x] − a
: ﺣﻞ
lim f ( x) = lim ( 3 x + 4) = 7 x→1−
x→1−
lim+
f ( x) lim+ ([x] − a ) = 1 − a
⇒
1 − a = 7 a = −6
x→1
x→1
ax + b
x〈−1
x − b
x〉 − 1
را ﻃﻮري ﺗﻌﯿﯿﻦ ﮐﻨﯿﺪb وa ﻣﻘﺎدﯾﺮ، f ( x) =
www.fanavari-it.ir
2
( ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ3
(١) ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ
٢٠
lim f ( x) = 2 ﮐﻪ x→−1
(ﺣﻞ lim+ f ( x) = lim+ ( x2 − b) = 1 − b = 2
x→−1
lim
x→−1−
x→−1
f ( x) = lim− (ax + b) = − a + b = 2 x→ −1
⇒ b = −1
⇒
a = −3
x < −3 2x − a را ﻃــﻮري ﺗﻌﯿــﯿﻦ ﮐﻨﯿــﺪ ﮐــﻪb وa f ( x) = ax + 2b − 3 ≤ x〈 3 :( ﻓــﺮض ﮐﻨﯿــﺪ4 b − θ x 3 < x
. ﻣﻮﺟﻮد ﺑﺎﺷﻨﺪlim f ( x) وlim f ( x) a + b = −5 3 a + 3b = −15 ⇒ 2b = −8 ⇒ ⇒ − a + b = −3 − 2a + 2b = −6 ⇒ b = −4 a = −1 x2 + 3 , x ≤ 1 x2 F ( x) = , g ( x) = x + 1 , x > 1 x
, x≤1 ( ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ5 ,x>1
. ﺣﺪ داردx = 1 درf ( x) g ( x) ﺣﺪ ﻧﺪارﻧﺪ وﻟﯽ ﺗﺎﺑﻊx = 1 اﯾﻦ ﺗﻮاﺑﻊ در،ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ .ﺣﻞ lim− f ( x) = lim− ( x2 + 3) = 4 x→1
x→1
lim+ f ( x) = lim+ ( x + 1) = 2
x→1
www.fanavari-it.ir
x→1
⇒ ﺣﺪ ﻧﺪاردf
٢١
ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ:ﻓﺼﻞ دوم
lim g ( x) = lim− x2 = 1
x→1−
x→1
⇒ ﺣﺪ ﻧﺪاردg
lim+ g ( x) = lim 2 =
x→1
: را در ﻧﻈﺮ ﻣﯽﮔﯿﺮﯾﻢf ( x) g ( x) ﺗﺎﺑﻊ x2 ( x2 + 3 ) f ( x).g ( x) = 2( x + 1)
, x≤1 , x>1
lim− f ( x).g ( x) = lim x2 ( x2 + 3 ) = 4 x→1
⇒ .ﺗﺎﺑﻊ ﺣﺪ دارد
lim+ f ( x).g ( x) = lim 2( x + 1) = 4 x→1
1 lim + x x − 2 ﻣﻘﺪار، f ( x) = o x→ 2 1
(
2
)
( (
))
, , ,
(
x>o x = o ( ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ6) x>o
)
.را ﺣﺴﺎب ﮐﻨﯿﺪ
ﭘﺲ. اﺳﺖf x2 − 2 = 1 ﺣﻞ( ﭼﻮن
lim x f x2 − 2 = 2 × 1 = 2
.( ﺣﺪود زﯾﺮ را ﺣﺴﺎب ﮐﻨﯿﺪ7) x lim [x] − (اﻟﻒ x→4 4
(ﺣﻞ x lim [x ] − = 4 − 1 = 3 4
x→ 4 +
x lim [x ] − = 3 − o = 3 4 x→ 4 −
www.fanavari-it.ir
⇒
٢٢
ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )(١
=3ﺣﺪ ب( )]lim ([3 x] + [− 3 x
ﺣﻞ( ﺗﻮﺟﻪ ﮐﻨﯿﺪ اﮔﺮ 3 x ∉ zآﻧﮕﺎه [3 x] + [− 3 x] = −1ﭘﺲ ﺣﺪ ﺑﺮاﺑﺮ − 1اﺳﺖ. ) (8در ﻣﻮرد ﺗﺎﺑﻊ f : R → Rﻣﯽداﻧﯿﻢ: x , y∉ R
)f ( x + y) = f ( x) + f ( y
ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ ﮐﻪ اﮔﺮ fدر ﻧﻘﻄﻪ ﺻﻔﺮ ﺣﺪ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ آﻧﮕﺎه در ﻫﺮ ﻧﻘﻄﻪ دﯾﮕﺮ ﻫﻢ ﺣﺪ دارد. ﻫﻤﭽﻨﯿﻦ ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ ﮐﻪ اﮔﺮ ) lim f (xوﺟﻮد داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ .ﺑﺮاﺑﺮ ﺻﻔﺮ اﺳﺖ. x→o
ﺣﻞ :ﻧﻘﻄﻪ دﻟﺨﻮاه xoرا در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﯿﺮﯾﺪ و ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ t > oﺑﺎﺷﺪ. lim f ( x) = lim+ f ( xo + t ) = lim+ ( f ( xo ) + f (t )) = f ( xo ) + o t →o
x→ xo+
t →o
ﭘﺲ ) lim f (x) = f (xoﯾﻌﻨﯽ ﺗﺎﺑﻊ در ﻫﺮ ﻧﻘﻄﻪ ﺣﺪ دارد. limﻣﯽﺷﻮد زﯾﺮا: در ﻓﻮق از اﯾﻦ ﻧﮑﺘﻪ اﺳﺘﻔﺎده ﮐﺮدهاﯾﻢ ﮐﻪ f ( x) = o →oط x f 2
x f + lim 2
x x lim f ( x) = lim f + = lim x→o x→o 2 2 x→o )= lim f ( x) + lim f ( x x→o
x→o
lim f ( x) = o x→o
⇒
(9ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ lim f ( x) = Aاﮔﺮ A ≠ oﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ ﻋـﺪدي ﻣﺜﺒـﺖ ﻣﺎﻧﻨـﺪ δوﺟـﻮد x→ a
دارد ﮐﻪ ﻫﺮﮔﺎه ، o < x − a < δ oآﻧﮕﺎه δوﺟﻮد دارد ﮐﻪ
www.fanavari-it.ir
ﻓﺼﻞ دوم :ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ A 2
< f ( x) − A
⇒ A 2
٢٣ o < x− a < δ
< f ( x ) − A ≤ f ( x) − A A < f ( x) − A 2 A )< f ( x 2
−
)(10
ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ
⇒ ⇒
x − x
، f (x) = ﻫﻤﻪ ﻧﻘﺎﻃﯽ را ﺑﯿﺎﺑﯿـﺪ ﮐـﻪ fدر
x
,
x
x − x + 1 ,
آﻧﻬﺎ ﺣﺪ دارد. ﺣﻞ( ﺗﺎﺑﻊ fﺑﻪ ﺻﻮرت زﯾﺮ ﻗﺎﺑﻞ ﺑﯿﺎن اﺳﺖ. x x
x − x f ( x) = x − x + 1 − 1
اﯾﻦ ﺗﺎﺑﻊ در اﻋﺪاد ﺻﺤﯿﺢ ﺣﺪ دارد .ﯾﺮا اﮔﺮ xo = xﻋﺪد ﺻﺤﯿﺢ ﺑﺎﺷﺪ .اﮔﺮ nزوج ﺑﺎﺷﺪ ⇒ ﻓﺮد
[x] = n
⇒
⇒ lim f (x) = n − (n −1) −1 = oﻓﺮد
[x] = n − 1
⇒
lim f ( x) = n − n = o
x→ xo+
−
x→xo
+
x → xo
+
x → xo
ﻣﺸﺎﺑﻬﺎً اﮔﺮ nﻓﺮد ﺑﺎﺷﺪ .ﺣﺪ ﻣﻮﺟﻮد اﺳﺖ. در اﻋﺪاد ﻏﯿﺮ ﺻﺤﯿﺢ ﻧﯿﺰ اﯾﻦ ﺗﺎﺑﻊ ﺣﺪ دارد .ﭼﻮن در ﺳﻤﺖ راﺳﺖ ﯾﺎ ﭼﭗ [x] ، xm oزوج ﯾﺎ ﻓﺮد ﺑﺎﻗﯽ ﻣﯽﻣﺎﻧﺪ. ﭘﺲ اﯾﻦ ﺗﺎﺑﻊ روي Rﺣﺪ دارد.
www.fanavari-it.ir
ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )(١
٢٤
)(11
ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ lim f ( x) = A .و Bﻋﺪدي ﺣﻘﯿﻘﯽ ﺑﺎﺷﺪ ﮐﻪ . A > Bپ x→a
ﺛﺎﺑــﺖ ﮐﻨﯿــﺪ ﻋــﺪدي ﻣﺜﺒــﺖ ﻣﺎﻧﻨــﺪ وﺟــﻮد دارد ﮐــﻪ اﮔــﺮ ، o < x − a < δآﻧﮕــﺎه A+ B 2
> ). f (x
A− B ﺣﻞ( ﭼﻮن A > Bﭘﺲ A > Bﭘﺲ A − B > oاﮔﺮ ﻗﺮار دﻫﯿﻢ 2
= εﭼﻮن
ﺣﺪود وﺟﻮد دارد .ﭘﺲ δ > oوﺟﻮد دارد ﮐﻪ:
A− B
)(12
A− B 2
< f ( x) − A
< f ( x) − A < f
A− B
−
⇒
A− B A+ B ⇒ )< f ( x )< f ( x 2 2
⇒
ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ 1 + x2 ≤ f ( x) ≤ 1 + x
ﺣﻞ( دارﯾﻢ:
⇒
.
o < x− a
) lim f (xرا ﺣﺴﺎب ﮐﻨﯿﺪ
lim 1 + x2 = lim (1 + x ) = 1 x→o
x→o
ﭘﺲ ﻃﺒﻖ ﻗﻀﯿﻪ ﻓﺸﺮدﮔﯽ lim f ( x) = 1 x→o
7-5-2ﺗﻤﺮﯾﻦ ﺻﻔﺤﻪ 115 ب( اﺳﺘﻔﺎده از ﺗﻌﺮﯾﻒ ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ: (1
2 2 ∞= + ( x + 1)2 8 M
4
< x +1
lim x
x → −1
(x + 1)2 < 2
2 ⇒ M
⇒
>M
2 2
)(x + 1
2
www.fanavari-it.ir
٢٥
ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ:ﻓﺼﻞ دوم 4
8 M
.ﭘﺲ ﮐﺎﻓﯽ اﺳﺖ
−3 = −2 ( x + 2)4
(2
δ≤
lim
x → −2
−3
( x + 2)
4
< −M
⇒
−3
( x + 2)
4
>M
⇒
(x + 2)4 <
3 M
⇒
x+2 < 4
3 M
δ ≤4 2x + 3 5 =2+ >M x−2 x+2
⇒
lim+
x→1
1 − 4 x 15 + 16 − 4 x 15 = = −4 − >M x−4 x− 4 x− 4 ⇒ −
www.fanavari-it.ir
(4
15 > x−4 M +4
6 < −(3 + M ) x−2
6 3 < x−2 ⇒ δ = x+ M 3+M
.ﮐﺎﻓﯽ اﺳﺖ
15 > M +4 x− 4
⇒ −
x→ 2
⇒ −
5 M −2
−2 = −∞ x −1
lim−
⇒
.ﭘﺲ ﮐﺎﻓﯽ اﺳﺖ
5 5 > M −2 ⇒ x−2< x−2 M −2 δ≤
3x 6 =3+ < −M x−2 x−2
3 M
3x = −∞ x−2
(6
(١) ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ
٢٦
4 x2 − 5 lim x→ +∞ 2 x2 − 1 4 x2 − 5 2 x2 − 1
−2 = ⇒
4 x2 − 5 − 4 x2 + 2 2 x2 − 1
3 < 2 x2 − 1 ⇒ ε ⇒
=
3
2x2 − 1
<ε
3 +ε < x2 2ε 1− ε <x ε M>
3 +ε ﮐﺎﻓﯽ اﺳﺖ 2ε
2x2 + 1 =2 x→ +∞ x2 + 1 lim
2x2 + 1 2
x +1
−2 =
2
1
x +1
<ε
⇒
⇒
(7
(8
1 < x2 + 1 ε
1− ε <x ε 1− ε <M ε
(
)
lim x2 + 8 x = +∞
x → +∞
x2 + 8 x = (x + 4 )2 − 16 > M
.ﮐﺎﻓﯽ اﺳﺖ (9
⇒ x > M + 16 − 4 N > M + 16 − 4 ﮐﺎﻓﯽ اﺳﺖ
(
)
lim − x2 + 4 x = −∞
x → +∞
www.fanavari-it.ir
(10
٢٧
ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ:ﻓﺼﻞ دوم
− x2 + 4 x = −( x − 2)2 + < − m
⇒ M + 4 < ( x − 2)2 ⇒ 2 + m+ 4 < x N > 2 + M + 4 ﭘﺲ lim x → −∞
x2 + 1 2
x −1
=
2
2
x −1
⇒
<ε ⇒
x2 + 1 =1 x2 + 1
(11
M
2+ε ﭘﺲ ε
2 < x2 − 1 ε
2+ε < ⇒ 4ε
2+ε <x ε
x2 = +∞ x → −∞ 2 − x lim
x2 >M 2− x
www.fanavari-it.ir
⇒
x2 > 2M − Mx
⇒
x2 > Mx +
⇒
M M x + > 2M + 2 2
⇒
x > 2M +
M2 M2 > 2M + ε ε
2
M2 M − ε 2
2
(12
(١) ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ
٢٨
M2 M N < 2M + − ﮐﺎﻓﯽ اﺳﺖ ε 2
(
)
lim x5 − 3 = +∞
x → +∞
x5 − 3 > M
x5 > M + 3
⇒
x>5 M +3
⇒
(
)
N > 5 M + 3 ﭘﺲ
lim x5 + x = +∞
x → +∞
x5 + x > M
(13
(14
⇒
. را ﻣﯽﺗﻮان ﻧﺎدﯾﺪه ﮔﺮﻓﺖx ﭘﺲx → +∞ ﺑﻪ ﻋﻠﺖ اﯾﻨﮑﻪ x5 x > x5 + 1 > M
⇒
x > 5 M −1
N ≥ 5 M −1
⇒
x+ 5 1 = x → +∞ 2 x − 4 2 lim
x+5
2( x + 1)
−
3 2
=
2
x+1 ⇒
< ε 4
ε
−2 < x
⇒
M ≥ lim
x → +∞
x2 + 1 > N
⇒ x2 > N − 1 ⇒ x > N − 1
4
ε
−2
x2 + 1 = +∞
lim − x2 − 6 x + 2 = +∞
− x2 + 1 > N ⇒
(x − 3 )2 − 7 > N 2
⇒
x > N2 + 7 + 3
(17
⇒ M ≥ N −1
x → −∞
www.fanavari-it.ir
(15
M ≥ N2 + 7 + 3
(18
٢٩
ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ:ﻓﺼﻞ دوم lim − x2 − 6 x + 2 = +∞
x → −∞
− x2 − 4 < − N
⇒
x2 − 4 > N 2
⇒
x > N2 + 4
⇒
M ≥ N2 − 4
lim − x2 − 2 x − 2 = +∞
x → −∞
− x2 − 2x − 2 < N
⇒
(x − 1)2 − 3 > N 2
x − 1 > N2 + 3
⇒
x > 1 + N2 − 3
lim − x2 − x = −∞
− x − x > −N
(20
⇒
x → −∞
2
(19
(21
2
⇒
1 1 2 x− − > N 2 4
⇒
x>
1 + N2 + 1 4 M≥
1 + N 2 + 1 ﭘﺲ 4
136 ﺗﻤﺮﯾﻦ ﺻﻔﺤﻪ25-5-2 .ﺣﺪود زﯾﺮ را ﺣﺴﺎب ﮐﻨﯿﺪ 1)
www.fanavari-it.ir
lim
x x2 + 4 −x = −1 = lim = lim x→ −∞ x − 2 x−2 x
lim
x x2 + 4 −x = lim = lim =1 x → +∞ x+2 x+2 x
x→ −∞
2)
x→ +∞
3)
lim+
x →2
x −1 2 −1 = lim o − = +∞ x −x
(١) ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ 4)
lim
x→ +∞
5)
lim
3
x2 − x
x→ 3
lim x→ o
lim
(
3
12)
x→ 8
x −1
3 x − x2 − 1
=o
x 1+
1 x + 2 x x =1 x
=o
3+x 6 6 = 1×o − = − = −∞ o x − 5x + 6 2
x2 + 4 = 2 = + = +∞ o x2 x+1− 3
7+3 x −3
)
= lim x→8
( x − 8 )
7 + 3 x + 3 = 6 lim x − 8 = 3 6 x x +1 + 3 x −2
( )( 3
)
x→27
3 x+6 − 3 x−3 = = lim 3 (x − 27 ) ( x − 27)(x − 27 )2 3 x + 6 + 3
3
lim 3 x2 + 23 x + 4
www.fanavari-it.ir
n2 − 1
=o
x2 + 23 x + 4 = 4 + 4 + 4 = 12 lim
(
x → +∞
x 5 + x2 1 −x = lim = lim =− 2 x 2x 2x 2
lim−
11)
n2 − n2
lim
lim
10)
x3 + 1 + 2 3 x3 + 1 + 2
x+ x+ x = lim x
x→1−
9)
= lim
3
1
lim
x→ −∞
8)
2
x2 − 1
x→ +∞
7)
x→ 8
3
x→ +∞
6)
lim
( x + 1 − x) = lim
٣٠
)
ﻓﺼﻞ دوم :ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ x+ x+ x x
٣١
lim ( x + x + x + x − x ) = lim ∞ →x
x+ x+ x x+
1 2
)
=
1 x + 2 x x
1+
1 x )+ 2 + 1 x x
x
= lim
(x
2[cos x] 2 − 1 ∞= − = − x o
(
12 3 12 3 x−3 x x − 12 x4 x 1 − 12 x = lim = lim x→1 x −1 x −1 x −1
1− −1 = 12 6
=
)( x − 1)( x + 1 11
12
)( x − 1)( x + x10 + ... + x + 1 12
x4 x2 −1− 2 4 2 = lim( x − 1 ) = − 1 x2 4 2 2
12
1+
= lim x→ o
)
+1
2
) 13
lim−
3
x→ o
)14 )15
lim
x→1
= − lim
4
( x4 + 1 − x x→ o x2
lim
)16
28-6-2ﺗﻤﺮﯾﻦ ﺻﻔﺤﻪ 163 ) (1در ﻣﻮرد ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ ﻫﺮ ﯾﮏ از ﺗﻮاﺑﻊ زﯾﺮ ﺳﺴﺴﺮوي ﺑﺎزده داده ﺷﺪه ﺗﺤﻘﯿﻖ ﮐﻨﯿﺪ. 7 اﻟﻒ( x− 3
= ) f ( xروي ﺑﺎزه ﻫﺎي ] (−∞ , 2] , [2 , + ∞) , ( x) , [o , 3
ب( ﺗﻨﻬـــــﺎ ﻧﻘﻄـــــﻪ ﻧﺎﭘﯿﻮﺳـــــﺘﮕﯽ x = 3اﺳـــــﺖ ،ﭘـــــﺲ ﺗـــــﺎﺑﻊ ﻓﻘـــــﻂ روي )∞ . (−2 , 2) [o , 2) , [o , 2] , (−∞ , 2] [2 , + ﺣﻞ( ﻧﻘـــﺎط x = ±2ﻧﻘـــﺎط ﻧﺎﭘﯿﻮﺳـــﺘﮕﯽ ﺗـــﺎﺑﻊ اﺳـــﺖ .ﭘـــﺲ ﺑـــﺎزهﻫـــﺎي ) (−2 , 2) [o , 2) , (−∞ , − 2ﺑﺎزهﻫﺎي ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽاﻧﺪ.
www.fanavari-it.ir
ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )(١
٣٢ 2+ x ج( 25 − x2
= ) f ( xروي ﺑــﺎزه ﻫــﺎي ) (−∞ , − 5و ] [− 5,−2] , [− ∞,−5و
](5, +∞) , [5, ∞), (−2,5), (−2,5
ﺣﻞ( اﺑﺘﺪا داﻣﻨﻪ ﺗﺎﺑﻊ را ﺑﻪ دﺳﺖ ﻣﯽ آورﯾﻢ. )D f = (−∞,−5) ∪ [−2,5
-5 -2 5 + + -
-
25 − x2
- + +
-
2+ x
ﻃﺒﻖ داﻣﻨﻪ :ﺗﺎﺑﻊ روي ] (5,+∞), [5,+∞), (−2,5], [−5,−2ﻧﺎﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﺳﺖ. ﺗﺎﺑﻊ روي ) (−2,5) , [−2,5) , (−∞,−5ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﺳﺖ. ) (2ﻓﻮاﺻﻠﯽ را ﺗﻌﯿﯿﻦ ﮐﻨﯿﺪ ﮐﻪ ﺗﺎﺑﻊ داده ﺷﺪه روي آﻧﻬﺎ ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ. x2 − x − 12 (1
ﺣﻞ(
= )f ( x
داﻣﻨﻪ ﺗﺎﺑﻊ ﺑﺮاﺑﺮ )∞ D f = (−∞,−3 ) ∪ [4,+اﺳﺖ .اﯾﻦ ﺑﺎزهﻫﺎ ﻓﻮاﺻـﻞ
ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ اﻧﺪ. 7 (2 x −9 2
= ). f ( x
ﺣﻞ(
)∞ D f = R − {± 3} = (−∞,−3) ∪ (−3,3 ) ∪ (3,+اﯾﻦ ﻓﻮاﺻـﻞ
ﻓﻮاﺻﻞ ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ اﻧﺪ. x 2 + x − 1 (3
. f ( x) = 3
www.fanavari-it.ir
ﻓﺼﻞ دوم :ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ
ﺣﻞ(
٣٣
ﭼﻮن ﻓﺮﺟﻪ رادﯾﮑﺎل ﻓﺮد و زﯾﺮ رادﯾﮑﺎل ﻫﻤﻪ ﺟـﺎ ﭘﯿﻮﺳـﺘﻪ اﺳـﺖ .ﻓﺎﺻـﻠﻪ
ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ Rاﺳﺖ. x2 − 3 x + 2 (4 x− 4
= )f ( x
)∞D f = [1,2] ∪ (4,+
١ ٢ ۴ - +
- -
+ - + +
x-4 x2 − 3 x + 2
) (3ﻧﻘﺎط ﻧﺎﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ ﺗﻮاﺑﻊ زﯾﺮ را ﺗﻌﯿﯿﻦ ﮐﻨﯿﺪ. x2 − 4 (1 x−2
(2
x−1 x−1
x (3 x
= )f ( x
.ﺣﻞ( x=2ﻧﻘﻄﻪ ﻧﺎﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ اﺳﺖ.
= )f ( x
.ﺣﻞ( x=1ﻧﻘﻄﻪ ﻧﺎﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ اﺳﺖ. .ﺣﻞ( x=1ﻧﻘﻄﻪ ﻧﺎﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ اﺳﺖ.
= )f ( x
) ( x − 1)( x2 − 5 x + 6 = ). f ( x (4 x2 − 3 x + 2
ﺣﻞ(
x = 1,2ﻧﻘﺎط ﻧﺎﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ اﻧﺪ.
x ≤ −1 −1 < x < 1 (5 1< x
ﺣﻞ(
− 2 x + 1 f ( x) = 1 − x2 2x + 1
ﺗﺎﺑﻊ در x=-1و x=1ﻧﺎﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ دارد .ﭼﻮن ﺗﺎﺑﻊ در x=1ﺗﻌﺮﯾﻒ ﻧﺸﺪه
و در x=-1ﺣﺪ ﻧﺪارد.
www.fanavari-it.ir
ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )(١
٣٤
][x f ( x) = ] x − [x
−2 < x < o (6 o≤ x<2
ﺣﻞ(
ﺗﺎﺑﻊ در ﻧﻘﺎط x=-1و x=1از داﻣﻨﻪ اش ﻧﺎﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﺳﺖ.
اﯾﻦ ﺗﺎﺑﻊ در = o xﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﺳﺖ ﭼﻮن lim+ f ( x) = lim f ( x) = f (o) = o x→o
x→o
(4ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ ﺗﺎﺑﻊ داده ﺷﺪه را در ﻧﻘﻄﻪ ﯾﺎ ﻓﺎﺻﻠﻪ داده ﺷﺪه ﺑﺮرﺳﯽ ﮐﻨﯿﺪ. xo = 2 (1
ﺣﻞ( (2
xo = 1
]f ( x) = x − [x
xo = 1 ,
ﺗﺎﺑﻊ در ﻫﺮ دو ﻋﺪد ﺻﺤﯿﺢ داده ﺷﺪه ﻧﺎﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﺳﺖ. x −1 x + f ( x) = x −1 o
x ≠1 x =1
اﯾﻦ ﺗﺎﺑﻊ در xo = 1ﻧﺎﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﺳﺖ ﭼﻮن )lim+ f ( x) = 2 ≠ 1 = f (1
x→1
(3
xo = o
x≠o
,
x=o
2 2x x + x f ( x) = 2
اﯾﻦ ﺗﺎﺑﻊ در xo = oﻧﺎﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﺳﺖ ﭼﻮن )lim f ( x) = −2 ≠ 2 = f (o
x→ o−
(4ﻓﺎﺻﻠﻪ ) (4 , 6و
5 2 − x2
= ). f ( x
داﻣﻨﻪ ﺗﺎﺑﻊ ﺑﺮاﺑﺮ ) (− 2 , + 2اﺳﺖ ﭘﺲ ﺗﺎﺑﻊ fروي ) (4 , 6ﻧﺎﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﺳﺖ. (5در ﻓﺎﺻﻠﻪ ) ∞ . f ( x) = x2 − 1 , [1 , +
www.fanavari-it.ir
٣٥
ﻓﺼﻞ دوم :ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ
داﻣﻨﻪ ﺗﺎﺑﻊ ﺑﺮاﺑﺮ ) ∞ (−∞ , o − 1] ∪ [1 , +اﺳﺖ ﭘﺲ ﺗـﺎﺑﻊ روي ) ∞ [1 , +ﭘﯿﻮﺳـﺘﻪ اﺳﺖ. (6در ﻓﺎﺻﻠﻪ ]. f ( x) = 2 − x , (−∞,2 ﭼﻮن ] D f = (−∞,2اﺳﺖ ﭘﺲ ﺗﺎﺑﻊ روي ] (−∞,2ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﺳﺖ. (7در ﻓﺎﺻﻠﻪ ]. f ( x) = 25 − x2 , [−5,5 داﻣﻨﻪ ﺗﺎﺑﻊ ﺑﺮاﺑﺮ ] [− 5,5اﺳﺖ ﮐﻪ ﺗﺎﺑﻊ روي آن ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﺳﺖ. xo = 1 (8
x >1 x<1
4 f ( x) = x 2[2 x] + 1
ﺗﺎﺑﻊ در xo = 1ﺗﻌﺮﯾﻒ ﻧﺸﺪه اﺳﺖ ﭘﺲ در اﯾﻦ ﻧﻘﻄﻪ ﻧﺎﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﺳﺖ. 3 x2 − 12 ) (5اﮔﺮ ﺗﺎﺑﻊ fﺑﺎ ﺿﺎﺑﻄﻪ x−2
ﺣﻞ(
= ) f ( xﭘﯿﻮﺳﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ f (2) .را ﺣﺴﺎب ﮐﻨﯿﺪ.
)3 ( x − 2)( x + 2 = 12 x−2 x→2
) (6ﺗــﺎﺑﻊ fﺑــﺎ ﺿــﺎﺑﻄﻪ
f (2) = lim f ( x) = lim
x≠o x=o
x→2
x− x , f ( x) = xدر ﻧﻘﻄــﻪ x=0ﭼــﻪ ﻧــﻮع 2 ,
ﻧﺎﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ دارد؟ ﺣﻞ( ﻧﺎﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ اﺳﺎﺳﯽ ﭼﻮن ﺣﺪ وﺟﻮد ﻧﺪارد زﯾﺮا:
f ( x) = o 2x =2 x
lim
x→o +
lim− f ( x) = lim
x→o
www.fanavari-it.ir
ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )(١
٣٦
) (7ﺑﻪ ازاء ﭼﻪ ﻣﻘﺪار aﺗﺎﺑﻊ fﺑﺎ ﺿـﺎﺑﻄﻪ
x≠ o
,
x=o
,
1 2 x cos f ( x) = در x a
x=0ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﺳﺖ اﺳﺖ. 1 ﺣﻞ( = o ⇒ a = o x
π 2 π π )(8 <− < x 2 2 π ≤ x≤π 2 −π ≤ x ≤ −
a +b = o
⇒
⇒ −a + b = 2 a = −1
lim f ( x) = lim 2 x cos x→o
x→o
− 2 sin f ( x) = a sin x + bﻣﻘﺪار aو bرا ﺑﯿﺎﺑﯿﺪ. cos x π lim f ( x) = a + b = f ( ) = o 2 π− π f ( x) = − a + b = f (− ) = 2 2 ,
⇒ b =1
2
→x
lim
π+ x→− 2
x + 1 x − 1 + ) (99ﺗﺎﺑﻊ ﺑﺎ ﺿﺎﺑﻄﻪ 2 2
f ( x) = در x = 1ﭼﻪ ﻧﻮع ﺑﺴﺘﮕﯽ دارد؟
ﺣﻞ( دارﯾــــﻢ f (1) = 1 :ﺗﻌﺮﯾــــﻒ ﺷــــﺪه اﺳــــﺖ .ﻧﺎﭘﯿﻮﺳــــﺘﮕﯽ اﺳﺎﺳــــﯽ lim f ( x) = 1
اﺳﺖ.
x→1+
⇒ lim f ( x) = − 1
x→1−
www.fanavari-it.ir
ﻓﺼﻞ دوم :ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ
اﮔﺮ
)(10
x>2
2 x + ax ,
x≤ 2
2 ax + 1 ,
٣٧
f ( x) = در Rﭘﯿﻮﺳﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ ﻣﻘـﺪار aرا ﺣﺴـﺎب
ﮐﻨﯿﺪ. ﺣﻞ( ﭼﻮن ﺿﺎﺑﻄﻪ ﻫﺎ روي Rﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﻧﺪ ﮐﺎﻓﯽ اﺳﺖ ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ در x=2ﺑﺮرﺳﯽ ﺷﻮد. f ( x) = lim (2 x + ax) = 4 + 2a = f (2) = 4a + 1 3 2
x→2+
lim
x→2+
= ⇒ 4 + 2a = 4 a + 1 ⇒ 2a = 3 ⇒ a
x∉ z (11ﺑﻪ ازاء ﭼﻪ ﻣﻘﺪار aﺗﺎﺑﻊ fﺑﺎ ﺿﺎﺑﻄﻪ x∈ z
[[x] − x] , , a
f ( x) = ﻫﻤـﻮاره
ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﺳﺖ؟ ﺣــﻞ( ﺑــﺎ ﺗﻮﺟــﻪ ﺑــﻪ ﺧــﻮاص ﺟــﺰء ﺻــﺤﯿﺢ ﻫﻤــﻮاره o ≤ x − [x] < 1ﭘــﺲ − 1 < [x] − x ≤ oﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ﺑﺮاي x∉ zﻫﻤـﻮاره دارﯾـﻢ [[x] − x] = −1ﭘـﺲ ﺑﺎﯾـﺪ a = −1ﺑﺎﺷﺪ. (12اﮔﺮ ﺗﺎﺑﻊ
x >1 x =1 x<1
2 x + a , f ( x) = 3 , bx − 1 ,
در
x=1
ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ aو bرا ﺣﺴﺎب ﮐﻨﯿﺪ. f ( x) = f (1) ⇒ lim (2x + a ) = 3 ⇒ 1 + a = 3
ﺣﻞ(
x→1+
lim
x→1+
lim f ( x) = f (1) ⇒ lim (bx − 1) = 3 ⇒ b − 1 = 3 b=4
x→1−
a =2 ,
x→1−
⇒
e x + e − x , x ≥ o f ( x) = در ﻧﻘﻄـﻪ x=0ﭘﯿﻮﺳـﺘﻪ (13ﺑﻪ ازاء ﭼﻪ ﻣﻘﺪار aﺗـﺎﺑﻊ 2a − x , x < o
www.fanavari-it.ir
ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )(١
٣٨
اﺳﺖ. lim f ( x) = lim (2a − x) = 2a = f (o) = 1 + 1 = 2 x→o −
ﺣﻞ(
x→o −
⇒ a =1
a (14و bرا ﭼﻨﺎن ﺗﻌﯿﯿﻦ ﮐﻨﯿﺪ ﮐﻪ ﺗﺎﺑﻊ زﯾﺮ در ﻧﻘﻄﻪ xo = 4ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ. x<4
,
x=4
,
x>4
,
a [x − 2] + b x f ( x) = + b 3 x2 − 16 x−4
x2 − 16 = 8 = f (4 ) = 1 + b x→ 4 + x→ 4 + x − 4 ﺣﻞ( lim− f ( x) = lim− (a [x − 2] + b) = 5a + b = f (4) = 1 + b lim f ( x) = lim
1 5
x→4
= 5a = 1 ⇒ a
⇒b=7
x→ 4
1+ b = 8
x (15اﮔﺮ ﺗﺎﺑﻊ ﺑﺎ ﺿﺎﺑﻄﻪ ] f ( x) = (a 2 − 4a )[x] + 3[xدر ٍ Rﭘﯿﻮﺳﺘﻪ ﺑﺎﺷـﺪ x +1 2
+
ﻣﻘﺪارﻫﺎي aرا ﭘﯿﺪا ﮐﻨﯿﺪ. ﺣﻞ( ﻧﻘﻄﻪ xo = oرا در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﯿﺮﯾﺪ دارﯾﻢ f (o) = o :و 2 lim f ( x) = − (a − 4 a ) − 3 = f (o) = o
x→o −
a=3
a =1
⇒
⇒ a 2 − 4a + 3 = o
(16ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ ﺗﺎﺑﻊ ]] f ( x) = [x + [x]].[1 − x + [xرا در X=0ﺑﺮرﺳﯽ ﮐﻨﯿﺪ. ﺣﻞ( واﺿﺢ اﺳﺖ ﮐﻪ f (o) = oاﺳﺖ.
www.fanavari-it.ir
٣٩
ﻓﺼﻞ دوم :ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ
ﻓــــــﺮض ﮐﻨﯿــــــﺪ x = 0/ 1از راﺳــــــﺖ ﻧﺰدﯾــــــﮏ ﺻــــــﻔﺮ ﺑﺎﺷــــــﺪ .و f (0 / 1) = [0 / 1 + o][. 1 − 0 / 1 + o] = oاﮔﺮ x = −0/ 1را از ﭼﭗ ﻧﺰدﯾﮏ ﺻـﻔﺮ در ﻧﻈـﺮ ﺑﮕﯿﺮﯾﻢ. f (− o / 1) = [− o / 1 − 1][1 + o / 1 + 1] = o
ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ:
⇒ lim f ( x) = f ( x) = f (o) = o x → o+
x→o
ﭘﺲ ﺗﺎﺑﻊ در xo = oﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﺳﺖ. x∈ z (17ﺗﺎﺑﻊ ﺑﺎ ﺿﺎﺑﻄﻪ x∉z
4 x 3 − 9 x2 + 5 x + 1 , 1 ,
f ( x) = ﻣﻔﺮوض اﺳﺖ .اﯾﻦ
5 ﺗﺎﺑﻊ در ﭼﻨﺪ ﻧﻘﻄﻪ ﺻﺤﯿﺢ ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﺳﺖ .آﯾﺎ اﯾـﻦ ﺗـﺎﺑﻊ در 4 7 3
= xoو xo = 2و
= xoﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﺳﺖ.
ﺣﻞ( ﭼﻮن ﺑﺮاي ، x∉ zدارﯾﻢ ، f (x) = 1اﮔﺮ xoﻋﺪدي ﺻـﺤﯿﺢ ﺑﺎﺷـﺪ آن ﮔـﺎه lim f ( x) = 1 x → xo
5 4
⇒ x(4 x2 − 9 x + 5) = o
.ﭘﺲ ﺑﺎﯾﺪ اﻋﺪاد ﺻﺤﯿﺤﯽ را ﺑﯿﺎﺑﯿﻢ ﮐﻪ f ( xo ) = 1ﺑﺎﺷﺪ. 4 x 3 − 9 x2 + 5 x = o
⇒ 4 x 3 x − 9 x2 + 5 x + 1 = 1
= ⇒ xo = o , xo = 1 , xo
اﯾﻦ ﺗﺎﺑﻊ در اﻋﺪاد ﺻﺤﯿﺢ xo = oو xo = 1ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﺳﺖ. 7 5 اﯾﻦ ﺗﺎﺑﻊ در ﻧﻘﺎط = , xo = 2 , xo 3 4
= xoﭘﯿﻮﺳـﺘﻪ اﺳـﺖ زﯾـﺮا اﯾـﻦ اﻋـﺪاد
www.fanavari-it.ir
ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )(١
٤٠
ﺻﺤﯿﺢ ﻧﯿﺴﺘﻨﺪ و ﺑﺮاي ﻫﻤﻪ آﻧﻬﺎ
f ( x) = f ( xo ) = 1
lim
x → xo
اﺳﺖ.
(18ﻣﻘﺎدﯾﺮ aو bرا ﻃﻮري ﺗﻌﯿﯿﻦ ﮐﻨﯿﺪ ﮐﻪ ﺗﺎﺑﻊ زﯾﺮ در xo = −2ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ. x2 − 4 , x < −2 2 x + 4 x + 4 f ( x) = a , x = −2 + 2 , x > −2 b x
] [
ﺣﻞ(
f ( x) = b + 4 = f (−2) = a
lim
x → −2 +
x2 − 4 )( x − 2)( x + 2 = lim − =4=a x + 2 x→−2− )( x + 2 b=o
(19
,
f ( x) = lim
x→ −2−
⇒a =4
lim
x→ −2−
aو bرا ﻃﻮري ﭘﯿﺪا ﮐﻨﯿﺪ ﮐﻪ ﺗﺎﺑﻊ زﯾﺮ ﻫﻤﻮاره ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ. x<1
,
1≤ x< 2 x≥ 2
, ,
2ax2 + bx − 3 f ( x) = x3 − x + 4 a 5 x − 2b
ﺣﻞ( ﭼﻮن ﺿﺎﺑﻄﻪ ﻫﺎ ﭼﻨﺪ ﺟﻤﻠﻪ اي اﻧﺪ ﻫﺮ ﮐﺪام ﻫﻤﻮاره ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﻧﺪ ﺑﺎﯾﺪ ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ در xo = 1و xo = 2ﺑﺮﻗﺮار ﺑﺎﺷﺪ.
www.fanavari-it.ir
٤١
ﻓﺼﻞ دوم :ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ f ( x) = lim (2ax2 + bx + 3 ) = 2a + b + 3
lim
f ( x) = lim ( x 3 − x + 4 a ) = 8 − 2 + 4a
lim
x→1−
f (2) = 10 − 2b
− 2a + b = −3 4 a + 2b = 4 5 4
=a
x→2−
−
x→1
−
x→2
f (1) = 1 − 1 + 4 a = 4 a , ⇒
1 b=− , 2
2a + b + 3 = 4 a ⇒ 6 + 4 a = 10 = 2b ⇒
⇒ 4b = −2
32-6-2ﺗﻤﺮﯾﻦ ﺻﻔﺤﻪ 170. (1ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ﺗﺎﺑﻊ gدر ﻧﻘﻄﻪ oﭘﯿﻮﺳﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ f , g (o) = oﺗﺎﺑﻌﯽ ﺑﺎﺷﺪ ﮐﻪ در ﯾﮏ ﻫﻤﺴﺎﯾﮕﯽ ﻧﻘﻄﻪ ﺻﻔﺮ در ﻧﺎﻣﺴﺎوي ) f ( x) ≤ g ( xﺻـﺪق ﮐﻨـﺪ .ﺛﺎﺑـﺖ ﮐﻨﯿـﺪ fدر ﻧﻘﻄﻪ oﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﺳﺖ. ﺣــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــﻞ( ⇒
f (o) ≤ g (o) = o
f (o) = o
⇒ f (o) = o
o ≤ f (o) ≤ o
⇒
)f ( x) ≤ g ( x
⇒ − f ( x) ≤ f ( x) ≤ x
ﺣﺎل ﭼﻮن gﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﺳﺖ ﭘﺲ lim g ( x) = oاز ﻃﺮﻓﯽ دارﯾﻢ: x→o
)− g ( x) ≤ f ( x) ≤ g ( x
ﭼﻮن lim g ( x) = lim − g ( x) = o f (o) = lim f ( x) = oدر ﻧﺘﯿﺠﻪ ﭘـﺲ fدر ﺻﻔﺮ ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﺳﺖ. (2ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ﺗﺎﺑﻊ fدر ﻧﻘﻄﻪ aﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﺳﺖ.
www.fanavari-it.ir
ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )(١
٤٢
اﻟﻒ( ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ﺗﺎﺑﻊ fدر ﻧﻘﻄﻪ aﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﺳﺖ. اﻟﻒ( اﮔﺮ f (a ) > oﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ fدر ﯾﮏ ﻫﻤﺴﺎﯾﮕﯽ aﻣﺜﺒﺖ اﺳﺖ. ﺣﻞ( ) f (a ﭼﻮن f (a ) > oاﺳﺖ اﮔﺮ 2
= εرا در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﯿﺮﯾﻢ o < δ :ﻣﻮﺟﻮد اﺳﺖ ﺑـﻪ
ﻃﻮري ﮐﻪ ) f (a 2
< ) f ( x) − f (a
⇒
x− a < 4
) f (a ) f (a < ) < f ( x) − f (a 2 2 3 ) f (a ) < f ( x) < f (a 2 2
⇒ − ⇒
ﭼﻮن f (a ) > oﭘﺲ fدر ﻫﻤﺴﺎﯾﮕﯽ δاز ، aﻣﺜﺒﺖ اﺳﺖ. ب( اﮔﺮ f (a ) < oﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ fدر ﯾﮏ ﻫﻤﺴﺎﯾﮕﯽ aﻣﻨﻔﯽ اﺳﺖ. ﺣﻞ( ) f (a ﭼﻮن f (a ) < oﭘﺲ − f (a ) > oاﮔﺮ ﻗﺮار دﻫـﯿﻢ 2
ε = −ﭼـﻮن fدر aﭘﯿﻮﺳـﺘﻪ
اﺳــــــــﺖ 4 > o .ﻣﻮﺟــــــــﻮد اﺳــــــــﺖ ﺑــــــــﻪ ﻃــــــــﻮري ﮐــــــــﻪ ) f (a 2
f ( x) − f (a ) < −
⇒
) f (a ) f (a < f ( x) < f (a ) − 2 2
x−a <4 ⇒ f (a ) +
3 ) f (a < )f (a ) < f ( x ﭘﺲ 2 2
www.fanavari-it.ir
٤٣
ﻓﺼﻞ دوم :ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ
ﺣﺎل ﭼﻮن f (a ) < oﭘﺲ در ﻫﻤﺴﺎﯾﮕﯽ δاز f ، aﻣﻨﻔﯽ اﺳﺖ. (3ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ﺗﺎﺑﻊ fدر xoﭘﯿﻮﺳﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ و در ﻫﺮ ﻫﻤﺴﺎﯾﮕﯽ xﻧﻘـﺎﻃﯽ ﻣﺎﻧﻨـﺪ x2 , x1
وﺟﻮد داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ ﮐﻪ . f ( x1 ) < o , f ( x2 ) > oﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ . f (xo ) = o ﺣﻞ( اﮔﺮ f (xo ) ≠ oﻃﺒﻖ ﻣﺴﺄﻟﻪ ) (2ﻫﻤﺴﺎﯾﮕﯽ ﻫﺎﯾﯽ ﺣﻮل xoوﺟـﻮد دارد ﮐـﻪ روي آﻧﻬﺎ f (x) > oﯾﺎ . f (x) < oﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ﻧﻘﺎط x2 , x1ﺑﺎ ﺷﺮاﯾﻂ ﻓﻮق وﺟﻮد ﻧﺪارد ﭘﺲ f (xo ) = oاﺳﺖ. x = oﭘﯿﻮﺳﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ.
(4ﻣﻘﺪار aرا ﻃﻮري ﺗﻌﯿﯿﻦ ﮐﻨﯿﺪ ﮐﻪ ﺗﺎﺑﻊ زﯾﺮ در ﻧﻘﻄﻪ x≠o
,
x=o
,
x +1 −1 f ( x) = 3 x + 1 − 1 a x −1 x +1 −1 3 2 = lim = lim f ( x) = lim 3 x→o x→o x + 1 − 1 x→o 1 + x − 1 2 3 3 = ⇒a 2 1+
ﺣﻞ(
(5ﻓـــــــــــــﺮض ﮐﻨﯿـــــــــــــﺪ در ﻧﻘـــــــــــــﺎط دﯾﮕـــــــــــــﺮ )x ∈ (−1,o) ∪ (o,1
,
x=o
,
ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ fدر ﻧﻘﻄﻪ ﻫﺎي ﺣﻞ(
1 [x + 1]sin f ( x) = x o
1 , oﺑﺮرﺳﯽ ﮐﻨﯿﺪ.
1 =o×k =o x
lim [x + 1]sin
o→ −
,
xo = o
www.fanavari-it.ir
ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )(١
٤٤
ﺣﺪ راﺳﺖ اﯾﻦ ﺗﺎﺑﻊ وﺟﻮد ﻧﺪارد ﭘﺲ ﺗﺎﺑﻊ در ﺻﻔﺮ ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ ﻧﯿﺴﺖ. ﺑﺮاي xo = 1ﺣﺪ راﺳﺖ ﺑﺮاﺑﺮ 0اﺳﺖ زﯾﺮا: lim f ( x) = o
x→1+
⇒
x>1
f ( x) = o
⇒
1 × sin 1 = sin 1 ≠ o
=
⇒ x → 1+ )f ( x
lim
x→1−
ﭘﺲ ﺗﺎﺑﻊ در ﻧﻘﻄﻪ 1ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ ﻧﯿﺴﺖ. x>o x = o (6 x<o
, , ,
1 f ( x) = o − 1
ﻧﺎﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ ﺗﺎﺑﻊ ﻫﺎي fogو gofرا ﺗﻌﯿﯿﻦ ﮐﻨﯿﺪ. ﺣـــﻞ :ﭼـــﻮن ﻫﻤـــﻮاره o ≤ x − [x] < 1ﭘـــﺲ g (x) > oاﺳـــﺖ ﻟـــﺬا fog ( x) = f ( g ( x)) = 1اﯾﻦ ﺗﺎﺑﻊ ﻫﻤﻮاره ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﺳﺖ. ﺑﺮاي gofدارﯾﻢ: x>o x=o x<o
1 gof ( x) = 1 1
ﭘﺲ gof (x) = 1ﻫﻤﻮاره ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﺳﺖ. ﺗﻮﺟﻪ :اﯾﻦ ﻣﺜﺎل ﻧﺸﺎن ﻣﯽ دﻫﺪ ﻣﻤﮑﻦ اﺳﺖ دو ﺗﺎﺑﻊ ﻧﺎﭘﯿﻮﺳﺘﻪ ﺑﺎﺷﻨﺪ وﻟﯽ ﺗﺮﮐﯿﺐ آﻧﻬﺎ ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ. (7ﺛﺎﺑــﺖ ﮐﻨﯿــﺪ ﺗــﺎﺑﻌﯽ ﻣﺎﻧﻨــﺪ fدر ﻧﻘﻄــﻪ aﭘﯿﻮﺳــﺘﻪ اﺳــﺖ اﮔــﺮ و ﻓﻘــﻂ اﮔــﺮ ) lim f ( x + a ) = f (a x→o
www.fanavari-it.ir
٤٥
ﻓﺼﻞ دوم :ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ
ﺣﻞ( اﮔﺮ fدر aﭘﯿﻮﺳـﺘﻪ ﺑﺎﺷـﺪ .ﺑـﻪ ازاي ε > oداده ﺷـﺪه δ > oﻣﻮﺟـﻮد اﺳﺖ ﮐﻪ f ( x) − f (a ) < ε
⇒
x− a <δ
اﮔﺮ ﺑﻪ ﺟﺎي x + a , xﻗﺮار دﻫﯿﻢ دارﯾﻢ: ⇒ x − o = (x + a ) − a < δ
f ( x + a ) − f (a ) < ε
و اﯾﻦ ﯾﻌﻨﯽ ) lim f ( x + a ) = f (a x→o
ﺣﺎل ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪlim f ( x + a ) = f (a ) : x→o
اﮔﺮ ﺑﻪ ﺟﺎي xﻗﺮار دﻫﯿﻢ t-aﻫﺮﮔﺎه x → oآن ﮔﺎه . t → a ) lim f (t ) = f (a ﭘﺲ t→a
ﭘﺲ fدر aﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﺳﺖ.
(8ﻧﻘﺎط ﻧﺎﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ ﻫﺮ ﯾﮏ از ﺗﻮاﺑﻊ زﯾﺮ را ﺗﻌﯿﯿﻦ ﮐﻨﯿﺪ. (1
x ≤1 x >1
ﺣﻞ(
x f ( x) = 1 دارﯾﻢf (1) = f (−1) = 1 :
ﺗﺎﺑﻊ در 1ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﺳﺖ. lim f ( x) = lim− x = 1 x→ 1
x→ 1−
x→1
x→1+
⇒ lim f ( x) = lim+ 1 = 1
ﺗﺎﺑﻊ در x = −1ﻧﺎﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﺳﺖ.
www.fanavari-it.ir
ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )(١
٤٦
f ( x) = lim x = −1 + x→−1
⇒
lim
x→−1+
lim f ( x) = lim 1 = 1
x→−1−
π cos x , x ≤ 1 2 (2 f ( x) = x −1 , x >1
ﺣﻞ( دارﯾﻢ . f (−1) = f (1) = o
ﺗﺎﺑﻊ در -1ﻧﺎﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﺳﺖ.
π x=o 2
lim + f ( x) = lim + cos x→ −1
⇒
f ( x) = lim x − 1 = 2 x→−1−
x→ −1
lim
x→ −1−
f ( x) = x[x] (3
ﺣﻞ( ﺗﺎﺑﻊ در اﻋﺪاد ﺻﺤﯿﺢ ﺑﻪ ﻏﯿﺮ از ﺻﻔﺮ ﻧﺎﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﺳﺖ .در ﺻﻔﺮ: )lim x[x] = o × Q = o = f (o x→o
f ( x) = x − [x] (4
ﺣﻞ( ﺗﺎﺑﻊ در ﺗﻤﺎم اﻋﺪاد ﺻﺤﯿﺢ ﻧﺎﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﺳﺖ. 1 f ( x) = (5 x
,
}x ∈ R − {o
1 اﯾﻦ ﺗﺎﺑﻊ در ﻧﻘﺎط ﺑﻪ ﺻﻮرت n
[ x ] (6
ﮐﻪ n ∈ Ζاﺳﺖ ﻧﺎﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﺳﺖ.
f ( x) = x −اﯾﻦ ﺗﺎﺑﻊ در ﺗﻤﺎم ﻧﻘﺎﻃﯽ ﮐـﻪ x = n
و nﻋـﺪدي ﻃﺒﯿﻌـﯽ ﯾـﺎ
ﺻﻔﺮ اﺳﺖ ﻧﺎﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﺳﺖ.
www.fanavari-it.ir
ﻓﺼﻞ دوم :ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ
(7
x∈Q
,
x∉Q
,
٤٧
x2 f ( x) = 2 − x
ﺣﻞ( اﯾﻦ ﺗﺎﺑﻊ ﻓﻘﻂ در ﺻﻔﺮ ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﺳﺖ ﭼﻮن ﻫﺮ دﻧﺒﺎﻟﻪ } {a nﮔﻮﯾﺎ ﯾـﺎ اﺳـﻢ ﮐـﻪ ﺑـﻪ ﺻﻔﺮ ﻣﯿﻞ ﮐﻨﺪ − a n 2 , a n 2ﻧﯿﺰ ﺑﻪ ﺻﻔﺮ ﻣﯿﻞ ﻣﯽ ﮐﻨﺪ. 1 ﺑﺮاي ﺳﺎﯾﺮ ﻧﻘﺎط :اﮔﺮ xo ∈ Qﺑﺎﺷﺪ n
a n = xo +در ً Qﻗﺮار دارد و
1 )f (a n ) = ( xo + ) 2 → xo 2 = f ( xo n 1 و n
bn = xo +در Qﻗﺮار ﻧﺪارد و ) ) 2 → − x ≠ f ( xo
1 n
f (bn ) = −( xo +
ﻣﺸﺎﺑﻪ اﯾﻦ ﺗﺎﺑﻊ در اﻋﺪاد اﺻﻢ ﻧﯿﺰ ﻧﺎﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﺳﺖ. ]x ∈ [o , 1 (8 ) x ∈ (1,3
x4 f ( x) = x + 1
ﺣﻞ( اﯾﻦ ﺗﺎﺑﻊ در xo = 1ﻧﺎﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﺳﺖ ﭼﻮن ﺗﺎﺑﻊ ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ ﻧﯿﺴﺖ
⇒ f ( x) = lim ( x + 1) = 2 + x→1
lim
x→1+
f (1) = 1
ﺗﻮﺟﻪ ﮐﻨﯿﺪ داﻣﻨﻪ ﺗﺎﺑﻊ ﺑﺮاﺑﺮ ] [o,3اﺳﺖ ﮐﻪ در xo = 1ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ ﻧﯿﺴﺖ. 1 1 1 x ∈ [o,1] , f ( x) = − x + [2 x] − [1 − 2 x] (9 2 2 2
ﺣﻞ( دارﯾﻢ
www.fanavari-it.ir
ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )(١
٤٨ )f ( o
,
1 1 , =) (f f (1) = 1 2 2 1 1 1 1 ]f ( x) = − x + [2 x] − − [− 2 x 2 2 2 2 1 )]= − x + ([2 x] − [− 2 x 2 −1 1 =) 2 2 x→o 1 1 = lim− f ( x) = o + 2 2 x→o 1 5 lim f ( x) = − 1 + (2 − (−3 )) = −1 + 2 2 x→1+ ( f ( x) = o −
ﺗﺎﺑﻊ در ﺻﻔﺮ ﻧﺎﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﺳﺖ.
lim
+
ﺗﺎﺑﻊ در 1ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ ﻧﯿﺴﺖ ⇒ 1 1 3 1 f ( x) = − + (1 − (−2)) = − = 1 2 2 2 2 1 ﺗﺎﺑﻊ در 2
lim
1+ 2
→x
ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ ﻧﯿﺴﺖ ⇒
(9ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ f ( x) = x − 4ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ fروي ﺑﺎزه ] [4,10ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﺳﺖ. ﺣﻞ( ﭼــﻮن ﺑــﺮاي ﻫــﺮ ]x ∈ [4,10
,
x − ε ≥ oاﺳــﺖ و ﺗــﺎﺑﻊ x − 4
ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﺳﺖ ﭘﺲ fروي اﯾﻦ ﺑﺎزه ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﺳﺖ. (10
ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ f : [o,+∞] → Rﺗـﺎﺑﻌﯽ دﻟﺨـﻮاه ﺑﺎﺷـﺪ و ) , g ( x) = f ( xﺛﺎﺑـﺖ ﮐﻨﯿﺪ fدر ﻧﻘﻄﻪ oاز راﺳﺖ ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﺳﺖ اﮔﺮ و ﻓﻘﻂ اﮔﺮ gدر ﻧﻘﻄﻪ oﭘﯿﻮﺳﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ.
اﺳــﺖ ﭘــﺲ x ≥ oاز راﺳــﺖ ﭘﯿﻮﺳــﺘﻪ ﺑﺎﺷــﺪ .ﭼــﻮن oدر fﻓــﺮض ﮐﻨﯿــﺪ ﺣﻞ( )g ( x) = lim f ( x ) = f (o) = g (o x→o
lim
x→o
www.fanavari-it.ir
ﻓﺼﻞ دوم :ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ
٤٩
ﭘﺲ gدر ﺻﻔﺮ ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﺳﺖ. اﮔﺮ gدر ﺻﻔﺮ ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ .آن ﮔﺎه )f ( x) = lim f ( x ) = lim g ( x) = g (o) = f (o x→o
x→o
lim
x→o+
ﭘﺲ fاز راﺳﺖ در oﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﺳﺖ. (11
آﯾﺎ ﻣﻌﺎدﻟﻪ x5 − 18 x + 2 = oرﯾﺸﻪ اي در ﺑﺎزه ] [− 1 , 1دارد؟ ﺣﻞ( ﺑﻠﻪ اﮔﺮ f ( x) = x5 − 18 x + 2در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﯿﺮﯾﻢ:
ﺗﺎﺑﻊ داراي رﯾﺸﻪ اﺳﺖ (12
⇒
f (o) f (1) < o
f (o) = 2 f (1) = −15
⇒
ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ ﻣﻌﺎدﻟﻪ x5 − 3 x2 − x + 1 = oﺣﺪاﻗﻞ ﯾﮏ رﯾﺸﻪ درﺑﺎره ) (o,2دارد. ﺣﻞ( f ( x) = x5 − 3 x2 − x + 1را در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﯿﺮﯾﺪ.
ﺣـــــــــــــــــــــﺪاﻗﻞ ﯾـــــــــــــــــــــﮏ رﯾﺸـــــــــــــــــــــﻪ دارد. ⇒
(13
f (o) f (1) < o
⇒
f (o) = 1 f (1) = 1 − 3 − +1 = −2
ﻓـﺮض ﮐﻨﯿـﺪ ﺗـﺎﺑﻊ ] f : [1,2] → [o, 3ﭘﯿﻮﺳـﺘﻪ ﺑﺎﺷـﺪ و f (2) = 3و f (1) = o
ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ ﻋﺪدي ﻣﺎﻧﻨﺪ xoدر ﺑﺎزه ) (1,2ﻣﻮﺟﻮد اﺳﺖ ﮐﻪ . f ( xo ) = xo ﺣﻞ( اﮔﺮ ﺗﺎﺑﻊ h( x) = f ( x) − xرا در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﯿﺮﯾﺪ .دارﯾﻢ: h(1) = f (1) − 1 = o − 1 = −1 h(2) = f (2) − 2 = 3 − 2 = 1
ﭼــﻮن h(1)h(2) < oاﺳــﺖ .ﭘــﺲ xدر )2و (1ﻣﻮﺟــﻮد اﺳــﺖ ﮐــﻪ h(xo ) = oﭘــﺲ f ( xo ) = xo
www.fanavari-it.ir
ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )(١
٥٠
x3 ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ . f ( x) = − sin( πx) + 3آﯾﺎ ﻋﺪدي ﻣﺎﻧﻨﺪ xoدر ﺑﺎزه ) 2و (-2 4
(14
7 وﺟﻮد دارد ﮐﻪ 3
= ) f ( xo؟
ﺣﻞ( ﭼــﻮن f (−2) = −2 + 3 = 1 , f (2) = 2 + 3 = 5و ﺗــﺎﺑﻊ fروي ) 2و (-2 7 3
ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﺳﺖ و 1 < < 5ﭘﺲ xoوﺟﻮد دارد. ﻓــــــﺮض ﮐﻨﯿــــــﺪ ﺗــــــﺎﺑﻊ f : [− 1,1] → Rﭘﯿﻮﺳــــــﺘﻪ ﺑﺎﺷــــــﺪ,
(15
. f ( x) ≠ 2 , x ∈ [− 1,1] , f (o) = o ﺣﻞ( اﮔﺮ ﺑﻪ ازاي f ( xo ) > 2 , xoﺷﻮد ,ﻃﺒﻖ ﻗﻀﯿﻪ ﻣﻘﺪار ﻣﯿﺎﻧﯽ ﺗـﺎﺑﻊ ﻫـﺮ ﻣﻘـﺪار ﺑﯿﻦ f ( xo ) , f (o) = oرا ﺧﺼﻮﺻﺎ ﻣﻘﺪار 2را ﻣﯽ ﮔﯿﺮد ﯾﻌﻨﯽ xي وﺟـﻮد دارد ﮐﻪ . f (x) = 2و اﯾﻦ ﺗﻨﺎﻗﺾ اﺳﺖ .ﭘﺲ ﻫﻤﻮاره f (x) < 2اﺳﺖ. ﻓـــــــﺮض ﮐﻨﯿـــــــﺪ ﺗـــــــﺎﺑﻊ f : [3,5] → Rﭘﯿﻮﺳـــــــﺘﻪ ﺑﺎﺷـــــــﺪ.
(16
f ( x) ≠ 4 , x ∈ [3,5] , f (3 ) = 30ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ . f (5) < 4 ﺣﻞ( اﮔﺮ f (5) > 4ﺑﺎﺷﺪ ,ﭼﻮن ﺗﺎﺑﻊ ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﺳﺖ ﻣﻘﺎدﯾﺮ ﺑﯿﻦ f (3) = 3و ) f (5را ﺧﺼﻮﺻﺎ ﻣﻘﺪار 4را ﻣﯽ ﮔﯿﺮد ,ﯾﻌﻨﯽ xوﺟﻮد دارد ﮐـﻪ f (x) = 4ﮐـﻪ ﺗﻨـﺎﻗﺾ ﺑـﺎ ﻓﺮض اﺳﺖ .ﭘﺲ f (5) < 4اﺳﺖ. )(17
ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ﺗﺎﺑﻊ f : [o, 3 ] → Rﭘﯿﻮﺳﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ f (o) = 1 ،و ﻣﻌﺎدﻟـﻪ f (x) = o
ﻫﯿﭻ رﯾﺸﻪ اي درﺑﺎزه ] [o, 3ﻧﺪاﺷـﺘﻪ ﺑﺎﺷـﺪ ﺛﺎﺑـﺖ ﮐﻨﯿـﺪ ﺑـﺮاي ﻫـﺮ ] ، x ∈ [o,3دارﯾـﻢ f (x) > o
ﺣﻞ( ﺑﺮاي ] [o, x] x ∈ [o,3را در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﯿﺮﯾﺪ f ,روي اﯾﻦ ﺑﺎزه ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﺳـﺖ .ﭼـﻮن , f (0) = 1اﮔﺮ f (x) < oﺑﺎﺷﺪ ,ﺣﺘﻤﺎً fروي اﯾﻦ ﺑﺎزه رﯾﺸﻪ داردﮐﻪ ﺗﻨﺎﻗﺾ اﺳﺖ،
www.fanavari-it.ir
ﻓﺼﻞ دوم :ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ
٥١
ﭘﺲ ﻫﻤﻮاره . f (x) > o )(18
ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ f (o) = o , f : R → R
f ( x + y) ≤ f ( x) + f ( y) , x, y ∈ R
ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ اﮔﺮ fدر ﻧﻘﻄﻪ oﭘﯿﻮﺳﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ در ﻫﺮ ﻧﻘﻄﻪ دﯾﮕﺮ ﻫﻢ ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﺳﺖ ) lim f ( x + a ) = f (a x→o ﺣﻞ( ﻧﻘﻄﻪ دﻟﺨﻮاه aرا در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﯿﺮﯾﺪ ﻧﺸﺎن ﻣﯽ دﻫﯿﻢ
ﺑﺮاي ε > 0داده ﺷﺪه δ > 0 ,وﺟﻮد دارد ﮐﻪ ⇒ f (x) < ε
x <δ
)f ( x + a ) ≤ f ( x) + f ( x )⇒ f ( x + a ) − f (a ) ≤ f ( x ⇒ x < δ ⇒ f ( x + a ) − f (a ) ≤ f (a ) < ε
و اﯾﻦ ﯾﻌﻨﯽ ) lim f ( x + a ) = f (aﭘﺲ fدر aﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﺳﺖ. x→o
)(19
ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ Iﺑﺎزه اي ﺑﺎز ﺑﺎﺷﺪ ،ﺗﺎﺑﻊﻫﺎي f , g : I → Rﭘﯿﻮﺳﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ .و:
s ( x) = Min{ f ( x), g ( x)} x ∈ I t ( x) = Max{ f (a ), g ( x)} x ∈ I
ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ sو tﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﻧﺪ: ﺣﻞ( ﺗﻮاﺑﻊ sو tرا ﻣﯽ ﺗﻮان ﺑﻪ ﺻﻮرت زﯾﺮ ﻧﻮﺷﺖ:
www.fanavari-it.ir
ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )(١
٥٢
)f ( x) + g ( x) f ( x) − g ( x − 2 2
= )s ( x
)f ( x) + g ( x) f ( x) − g ( x − 2 2
= )t ( x
ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﻓﺮض ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ fو gﻫﻤﻪ ﺗﻮاﺑﻊ ﺳﻤﺖ راﺳﺖ ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﻧﺪ. )(20
دو ﺗﺎﺑﻊ ﻣﺎﻧﻨﺪ fو gدر ﻧﻈﺮ ﺑﮕﯿﺮﯾﺪ .آﯾﺎ ﻣﻤﮑﻦ اﺳﺖ؟
اﻟﻒ( fدر ﻧﻘﻄﻪ aﭘﯿﻮﺳـﺘﻪ ﺑﺎﺷـﺪ و gدر ﻧﻘﻄـﻪ aﭘﯿﻮﺳـﺘﻪ ﻧﺒﺎﺷـﺪ اﻣـﺎ fogدر ﻧﻘﻄـﻪ a
ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ. ﺣﻞ(
x>o ﺗﺎﺑﻊ f ( x) = x2و x < o
1 g ( x) = − 1 را در ﻧﻈﺮ ﻣﯽﮔﯿﺮﯾﻢ
fدر a = oﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﺳﺖ وﻟﯽ gدر a = oﭘﯿﻮﺳﺘﻪ ﻧﯿﺴﺖ اﻣﺎ: fog ( x) = 1
ﻫﻤﻪ ﺟﺎ ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﺳﺖ. ب( fدر aﭘﯿﻮﺳﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ و gدر aﭘﯿﻮﺳﺘﻪ ﻧﺒﺎﺷﺪ اﻣﺎ fogدر aﭘﯿﻮﺳﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ. ﺣﻞ( ﻣﺜﺎل ﻗﺴﻤﺖ اﻟﻒ را در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﯿﺮﯾﺪ اﯾﻨﺒﺎر . gof (x) = 1 ج( ﻧﻪ fدر aﭘﯿﻮﺳﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ وﻧﻪ gاﻣﺎ fogدر aﭘﯿﻮﺳﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ. ﺣﻞ( ﺗﻤﺮﯾﻦ ) (6ﻣﺜﺎل ﻣﻮرد ﻧﻈﺮ اﺳﺖ ) )21اﻟﻒ( ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ ﻫﺮ ﭼﻨﺪ ﺟﻤﻠﻪ اي از درﺟﻪ ﻓﺮد ﺣﺪ اﻗﻞ ﯾﮏ رﯾﺸﻪ ﺣﻘﯿﻘﯽ دارد. ﺣﻞ( اﮔﺮ ) f(xﭼﻨﺪ ﺟﻤﻠﻪ اي درﺟﻪ ﻓﺮد ﺑﺎﺷﺪ آﻧﮕﺎه ﺣﺪاﻗﻞ ﯾﮏ رﯾﺸﻪ دارد.
www.fanavari-it.ir
٥٣
ﻓﺼﻞ دوم :ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ
4 3 2 ب( ﻓــﺮض ﮐﻨﯿــﺪ p( x) = x + ax + bx + cx + dو d < oﺛﺎﺑــﺖ ﮐﻨﯿــﺪ ﻣﻌﺎدﻟــﻪ
p(x) = 0ﺣﺪ اﻗﻞ دو رﯾﺸﻪ ﻣﺘﻤﺎﯾﺰ دارد.
∞ lim f ( x) = + ∞x→+
⇒
∞ lim f ( x) = − ∞x→ −
ﺣﻞ( ﭼــــــــــــــــــــــــــﻮن f (o) = d < oو f ( x) = ∞ > o
lim
∞ x→ +
lim f ( x) = +∞ > o
∞ x→ −
و
و.
ﭘﺲ ﺣﺪ اﻗﻞ رﯾﺸﻪ در ﺑﺎزه ) (−∞,oو ﯾﮏ رﯾﺸﻪ در ﺑﺎزه )∞ (o , +دارد. (22
ﻓــــــــــــﺮض ﮐﻨﯿــــــــــــﺪ nﻋــــــــــــﺪدي زوج ﺑﺎﺷــــــــــــﺪ n n −1 f ( x) = a n x + a n −1x + ..... + a1x + a oو . a n a o ≠ oﺛﺎﺑــﺖ ﮐﻨﯿــﺪ ﻣﻌﺎدﻟــﻪ
f (x) = oﺣﺪاﻗﻞ دو رﯾﺸﻊ ﺣﻘﯿﻘﯽ دارد. ﺣﻞ( ﭼــﻮن a n a o < oﻓــﺮض ﮐﻨﯿــﺪ a o < oو . a n > oﭼــﻮن nزوج اﺳــﺖ و a n > oﭘﺲ ∞a n xn = +
f ( x) = lim
lim
= ) f (a
lim
∞ x→ +
n ∞lim a n x = +
∞ x→ +
∞ x→ +
∞ x→ +
از ﻃﺮﻓﯽ f (o) = a :< oﭘﺲ ﺣﺪ اﻗـﻞ ﯾـﮏ رﯾﺸـﻪ ﺣﻘﯿﻘـﯽ در ) (−∞ , oو ﯾـﮏ رﯾﺸـﻪ ﺣﻘﯿﻘﯽ در )∞ (o , +وﺟﻮد دارد.
www.fanavari-it.ir
٥٤
ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )(١
www.fanavari-it.ir
ﻓﺼﻞ ﺳﻮم
ﻣﺸﺘﻖ
www.fanavari-it.ir
(١) ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ
٢
192 ﺗﻤﺮﯾﻦ ﺻﻔﺤﻪ17-1-3 .( ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﺗﻌﺮﯾﻒ ﻣﺸﺘﻖ ﻫﺮ ﯾﮏ را ﺣﺴﺎب ﮐﻨﯿﺪ1) f ( x) = 3 x + 1 f ' ( x) = lim
3 ( x + h) + 1 − 3 x − 1 3h = lim =3 h h f ( x) = 3 x + 4
(2
3 ( x + h) + 4 − 3 x + 4 3 ( x + h) + 4 − ( 3 x + 4 ) = lim =3 h h 3 ( x + h) + 4 + x + 4
f ' ( x) = lim
h→ o
= lim
(1
3h 3 = h 3 ( x + h) + 4 + x + 4 2 3 x + 4 f ( x) = 2x
2
−
2x o
3x
x2 + 1
(3
x + 1 xo2 + 1 2 x xo2 + 2 x − 2 xo x2 − 2xo = lim lim x→o x − xo ( x − xo ) ( x2 + 1) ( xo2 )
= lim
lim
2 x xo2 + 2 x − 2 xo x2 − 2 xo
( x − xo ) ( x2 + 1) ( xo 2 + 1) 2(1 − xo 2 )
( xo 2 + 1) 2
= f ' ( xo ) f ( x) =
www.fanavari-it.ir
x x +1
(4
٣
ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ:ﻓﺼﻞ دوم
lim
x xo − x +1 xo + 1 x xo + 1 − xo x + 1 = x − xo ( x − xo ) x + 1 xo + 1
= lim
x − xo 1 = ( x − xo ) x + 1 xo + 1 ( x xo + 1 + xo x + 1 2( xo + 1) xo + 1
.( ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﺗﻌﺮﯾﺐ ﻣﺸﺘﻖ ﻫﺮ ﯾﮏ را در ﻧﻘﻄﻪ داده ﺷﺪه ﺣﺴﺎب ﮐﻨﯿﺪ2) f ( x) = 5 x2 + x f ' (1) = lim
(1
5 x2 + x − 6 (5 x + 6 ) ( x − 1) = lim = 11 x −1 x −1 x =1
f ' (2) = lim
x →2
,
f ( x) = x2 + 5
(2
4 2 x2 + 5 − 3 x2 − 4 = ` lim = = x →2 ( x − 1) ( x2 + 5 + 3 ) 6 3 x−2 x =1
,
f ( x) =
x+2 2x + 1
(3
x+2 −1 1− x 1 f ' (1) = lim 2 x + 1 = lim =− x→ 2 x →2 ( x − 1) (2 x + 1) x −1 3 x=1
www.fanavari-it.ir
,
f ( x) =
x x2 + 1
(4
ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )(١
٤
1 2 ( x + 1)2 2 =o f ' (1) = lim x + 1 = lim x→ 2 )x → 2 ( x + 1) (2 x + 1 )( x + 1 +
x
) (3در ﺗﻮاﺑﻊ زﯾﺮ اوﻻً ،ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ ﺗـﺎﺑﻊ را در ﻧﻘﻄـﻪ داده ﺷـﺪه ﺑﺮرﺳـﯽ ﮐﻨﯿـﺪ ) ( x = aﺛﺎﻧﯿـﺎً ) f +' (aو ) f −' (aرا در ﺻﻮرت وﺟﻮد ﺗﻌﯿﯿﻦ ﮐﻨﯿﺪ. x ≤ −4 x > −4
(1
x + 2 , f ( x) = − x − 6 ,
،x=a =4
x=a =4 ﺣﻞ( اوﻻً ﺗﺎﺑﻊ در a = −4ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﺳﺖ .ﺛﺎﻧﯿﺎً f + ' (−4) = −1و f − ' (−4) = 1
)(2
x2 − 4 , x < 2 f ( x) = x − 2 , x ≥ 2
,
a =2
ﺣﻞ( اوﻻً ﺗﺎﺑﻊ در a = 2ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﺳﺖ .ﺛﺎﻧﯿﺎً ∞ f + ' (2) = +و f −' (2) = 4 3 x2 − 4 , x < 1 a = 2 , f ( x) = ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﺳﺖ و f + ' (1) = 1و f −' (1) = 6 ) (3 x − 2 , x ≥ 1
) (4اوﻻً ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ f ( x) = xدر x = oﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﺳﺖ وﻟﯽ ﻣﺸﺘﻖ ﭘﺬﯾﺮ ﻧﯿﺴﺖ. ﺣﻞ( f (o) = lim f ( x) = lim x = oﭘﺲ fﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﺳﺖ. x−o x = lim x →2 x x−o
lim
x →2
www.fanavari-it.ir
٥
ﻓﺼﻞ دوم :ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ
ﭘﺲ f +' (o) = 1و f −' (o) = −1اﺳﺖ .ﻟﺬا ﺗﺎﺑﻊ ﺻﻔﺮ ﻣﺸﺘﻖ ﻧﺪارد x ﺛﺎﻧﯿﺎً ﻫﻤﭽﻨﯿﻦ ﺑﺮاي ﻫﺮ x ≠ oدارﯾﻢ: x
= )f ' ( x
) a (5و bرا ﻃﻮري ﺗﻌﯿﯿﻦ ﮐﻨﯿﺪ ﮐﻪ ﻫﺮ ﯾﮏ از ﺗﻮاﺑﻊ زﯾﺮ در ﻧﻘﻄﻪ داده ﺷـﺪه ﻣﺸـﺘﻖ ﭘـﺬﯾﺮ ﺑﺎﺷﺪ. )(1
x2 − 4 f ( x) = ax − b
x<1 x ≥1
x =1
,
ﺣﻞ( ﺑﺎﯾﺪ ﺗﺎﺑﻊ در x = 1ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ .ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ )f ( x) = f (1 a +b =1 x <1 از ﻃﺮﻓﯽ دارﯾﻢ: x ≥1 ⇒ a =2 b = −1 )(2
x< 3 x≥ 3
lim
x→1−
⇒
2x f ' ( x) = a f −' (1) = 2
= f + ' (1) = a
ax2 − 3 f ( x) = bx − 6
ﺣﻞ( ﺷﺮط ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ را ﻧﺪارﯾﻢf ( x) = f ( 3 ) :
در
⇒
x= 3
lim
x→ 3 −
9a + 3 = 3b + 6
⇒
www.fanavari-it.ir
٦
ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )(١
x<3 از ﻃﺮﻓﯽ دارﯾﻢ: x≤3
2ax b
f ( x) = ﭘﺲ دارﯾﻢ
f −' ( 3 ) = 6 a ⇒ b = 6a ⇒ 9a = 18a + 3 f +' ( 3 ) = b ⇒ −9a = 3 1 ⇒a =− 3 b = −2
) (6ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ و ﻣﺸﺘﻖ ﭘﺬﯾﺮي ﺗﺎﺑﻊ fرا در x = 2ﺗﺤﻘﯿﻖ ﮐﻨﯿﺪ اﮔﺮ: 2x2 − 3 f ( x) = 8 x − 11
x≤2 x>2
ﺣﻞ( ﺗﺎﺑﻊ ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﺳﺖ f (2) = 8 − 3 = 5 x≤2 از ﻃﺮﻓﯽ x>2
⇒ lim f ( x) = lim+ ( 8 x − 11) = 5
x→2+
x→2
4 x f ' ( x) = ﭘﺲ f + ' (2) = f −' (2) = 8 8
ﭘﺲ ﺗﺎﺑﻊ در 2ﻣﺸﺘﻖ ﭘﺬﯾﺮ اﺳﺖ. x ) (7در ﭼﻪ ﻧﻘﻄﻪ اي از ﻣﺨﻔﯽ ، y = x3 − 3 x + 5ﺧﻂ ﻣﻤﺎس ﻋﻤﻮد ﺑﺮ 9
y = −اﺳﺖ.
ﺣﻞ( ﺑﺎﯾﺪ y' ( x) = 9ﺑﺎﺷﺪ ﭘﺲ: 1 3
x=±
⇒
3 x2 = 1
⇒
3 x2 − 3 = −2
www.fanavari-it.ir
٧
ﻓﺼﻞ دوم :ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ x ) (8در ﭼﻪ ﻧﻘﻄﻪاي از ﻣﻨﺤﻨﯽ ، y = x3 − 3 x + 5ﺧﻂ ﻣﻤﺎس ﻋﻤﻮد ﺑﺮ 9
y = −اﺳﺖ.
ﺣﻞ( ﺑﺎﯾﺪ y' ( x) = 9ﺑﺎﺷﺪ ﭘﺲ: x = ±2
⇒ x2 = 4
⇒
3 x2 = 12
⇒
) (9ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺧﻂ ﻣﻤﺎس ﺑﺮ ﻣﻨﺤﻨﯽ y = 3 x − 2را در ﻧﻘﻄﻪ ) A(2 , oﺑﯿﺎﺑﯿﺪ. ﺣﻞ(
∞(2) = +
1
3 3 ( x − 2)2
3 x2 − 3 + 9
= )m = y' (2
ﭘﺲ x = 2ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺧﻂ ﻣﻤﺎس اﺳﺖ.
www.fanavari-it.ir
ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )(١
٨
18-1-3ﺗﻤﺮﯾﻦ ﺻﻔﺤﻪ 193 ) (1ﻣﺸﺘﻖ ﭘﺬﯾﺮي ﻫﺮ ﯾﮏ از ﺗﻮاﺑﻊ داده ﺷﺪه را ﺑﺮرﺳﯽ ﮐﻨﯿﺪ. xo = 1
(1
f ( x) = x2 − 1
,
1 − x2 f ( x) = x2 −1
x<1
ﺣﻞ(
x≥1
در ﻧﺘﯿﺠــــــــــــــﻪ
f + ' (1) = 2
و f −' (1) = −2ﭘﺲ ﺗﺎﺑﻊ ﻣﺸﺘﻖ ﭘﺬﯾﺮ ﻧﯿﺴﺖ. )(2
ﺣﻞ(
f ( xo ) = 4x + 1+ x − 2
,
ﻣﺸﻖ ﭘﺬﯾﺮ ﻧﯿﺴﺖ ﭼﻮن f + ' (2) = 5 f −' (2) = 3
) (3
xo = 2
x<2 x≥2
⇒
f ( x) = x3 + x2
,
3 x + 3 f ( x) = 5 x − 1
xo = o
ﺣﻞ( x≥o x<o
ﺗﺎﺑﻊ ﻣﺸﺘﻖ ﭘﺬﯾﺮ ﻧﯿﺴﺖ
) (4
xo = 1
x x + 1 f ( x) = x x + 1 = x x + 1
f + ' (o) = 1 ⇒ f − ' (o) = −1 )f ( x) = ( x − 1)2 ( x + 1
www.fanavari-it.ir
ﻓﺼﻞ دوم :ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ
٩
ﺣﻞ( x≥1
ﺗﺎﺑﻊ ﻣﺸﺘﻖ ﭘﺬﯾﺮ ﻧﯿﺴﺖx < 1 . x<1 x≥1
xo = 1 (5
( x − 1) x + 2 f ( x) = 1x − 11 x + 2 = (1 − x) x + 2 ⇒ ⇒ f+ ' (1) = 1 , f − ' (1) = −1
2 x + 1 f ( x) = 4 x − 1
ﺣﻞ( ﺗﺎﺑﻊ ﻣﺸﺘﻖ ﭘﺬﯾﺮ ﻧﯿﺴﺖ ﭼﻮن f ' − (1) = 2 , f ' + (1) = 4اﺳﺖ. (6
. f ( x) = 3 x − 1 x = 1
ﺗﺎﺑﻊ ﻣﺸﺘﻖﭘﺬﯾﺮ ﻧﯿﺴﺖ⇒ f ′(1) = + ∞ ⇒ .
)(2ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ
x>o x≤o
1
)( x − 1
2
3
3
= )f ( x
1 . f (x) = 1 + xﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ fدر ﻧﻘﻄﻪ x = oﻣﺸﺘﻖ 1 + x 1 − x
ﭘﺬﯾﺮ ﻧﯿﺴﺖ. ﺣﻞ(
www.fanavari-it.ir
ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )(١
١٠
⇒ f ′ (o ) = −1 + ﺗﺎﺑﻊ ﻣﺸﺘﻖﭘﺬﯾﺮ ﻧﯿﺴﺖ⇒ . ⇒ f−′ (o ) = −2 x≥1
) (3ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ
x<1
−1
( x + 1)2 −2
(1 − x)2
= )⇒ f ′( x
= )⇒ f ′( x
x>o
x<o
2 x . f (x) = 2ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿـﺪ fدر ﻧﻘﻄـﻪ
x + 1
x = 1ﻣﺸﺘﻖ ﭘﺬﯾﺮ اﺳﺖ و ) f ′(1را ﺣﺴﺎب ﮐﻨﯿﺪ. ﺣﻞ(
x > o ⇒ f ′ ( x) = 2 f+′ (1) = 2 ﭘﺲ ﺗﺎﺑﻊ ﻣﺸﺘﻖ ﭘﺬﯾﺮ اﺳﺖ و f ′(1) = 2اﺳﺖ. x < o ⇒ f ′ ( x) = 2 x f−′ (1) = 2 x −1 x ≠ o ] . f (x) = (− 1)[ xآﯾـﺎ fدر ﻧﻘﻄـﻪ ي x = oﻣﺸـﺘﻖ ، ) (4ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ x
ﭘﺬﯾﺮ اﺳﺖ؟ ﺣﻞ( زﯾﺮا اﯾﻦ ﻧﻘﻄﻪ در داﻣﻨﻪ ي ﺗﺎﺑﻊ ﻗﺮار ﻧﺪارد .ﺗﺎﺑﻊ ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ ﻧﯿﺴﺖ ،ﭘﺲ ﻣﺸﺘﻖ ﭘﺬﯾﺮ ﻧﯿﺴﺖ. ) (5درﺑﺎره ي ﻣﺸﺘﻖ ﭘﺬﯾﺮي ﺗﺎﺑﻊ x∈ Rو ] f (x) = x[xﺑﺤﺚ ﮐﻨﯿﺪ. ﺣﻞ( اﯾﻦ ﺗﺎﺑﻊ در اﻋﺪاد ﺻﺤﯿﺢ ﻣﺸﺘﻖ ﭘﺬﯾﺮ ﻧﯿﺴﺖ ،ﭼﻮن در اﯾﻦ ﻧﻘﺎط ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ ﻧﯿﺴﺖ. در ﻧﻘﻄﻪ ي ﺻﻔﺮ ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﺳﺖ وﻟﯽ دارﯾﻢ: x[ x] − o ]= lim [ x x→o x − o x=o lim
ﮐﻪ ﺣﺪ اﺧﯿﺮ وﺟﻮد ﻧﺪارد. در ﺳﺎﯾﺮ ﻧﻘﺎط اﮔﺮ xo = n + aﺑﺎﺷﺪ ﮐﻪ o < a < 1اﺳﺖ.
www.fanavari-it.ir
١١
ﻓﺼﻞ دوم :ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ
در ﻫﻤﺴﺎﯾﮕﯽ xoدارﯾﻢ f (x) = nxﭘﺲ f ′( x) = nﮐﻪ ﻣﺸﺘﻖ ﭘﺬﯾﺮ اﺳﺖ. ) (6ﻓــﺮض ﮐﻨﯿــﺪ ﺗــﺎﺑﻊ fدر ﻧﻘﻄــﻪي aﭘﯿﻮﺳــﺘﻪ ﺑﺎﺷــﺪ و . f (a ) ≠ oﺛﺎﺑــﺖ ﮐﻨﯿــﺪ. ) g (x) = [ x − 1] f (nدر ﻧﻘﻄﻪي aﻣﺸﺘﻖ ﭘﺬﯾﺮ ﻧﯿﺴﺖ. ﺣﻞ(
) f ( x) − f (a 1x − alf ( x) − o ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ) f ′ + (a ) = f (aو ) f ′ − (a ) = − f (aﭘﺲ ﺗﺎﺑﻊ= lim ﻧﯿﺴﺖ. ﭘﺬﯾﺮ ﻣﺸﺘﻖ x−a x−a x→ a 1x − al ﺗﺎﺑﻊf (a ) (7ﻣﻘﺎدﯾﺮ aو bرا ﻃﻮري ﺗﻌﯿﯿﻦ ﮐﻨﯿﺪ ﮐﻪ ) زﯾﺮ ﻫﺮ ﻧﻘﻄﻪ lim ﻣﺸﺘﻖ=ﭘﺬﯾﺮ ﺑﺎﺷﺪ. x→ a x − a
lim
x→ a
1 f ( x) = x ax2 + b
x ≥1 x <1
ﺣﻞ( اﺑﺘﺪا ﺷﺮط ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ را ﺑﺮرﺳﯽ ﻣﯽ ﮐﻨﯿﻢ. 1 x≥1 x 1 x ≤ −1 f ( x) = − x ax2 + b − 1 < x < 1 3 2 x ) (8ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ x+1
=⇒ b
f ( x) = x + ( x − 1) arcsin
lim f ( x) = a + b = f (1) = 1 x→1′
f ′ + (1) = −1 = f ′ − (1) = 2a 1 2 .
a=−
⇒
) f ′(1را ﺣﺴﺎب ﮐﻨﯿﺪ.
ﺣﻞ(
www.fanavari-it.ir
(١) ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ
f ′ (1) = lim
x −1 x +1
x + ( x − 1) arcsin
x→1
١٢
x −1
1 x 1 = lim 1 + arcsin = + arcsin x→1 x + 1 2 π = 1+ 4
. راﺣﺴﺎب ﮐﻨﯿﺪf ′(o ) , f (x) = x(x − 1)(x − 2)....(x − 100) ( ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ9) . دارﯾﻢf (o ) = o ﺣﻞ( ﭼﻮن x(x − 1)..... (x − 100) = (− 1)(− 2 ).... (− 100) x x→o = 100!
f ′(o ) = lim
π . را ﺣﺴﺎب ﮐﻨﯿﺪf ′ ﻣﻘﺪار، f (x) = [ x] sin x ( اﮔﺮ10) 2
π f + h − 2 π f ′ = lim o h → h 2
π π π f + h sin + h − 2 2 = 2 2 h h →o
π sin + h − 1 2 = (sin x)′ π = o = lim h →o h 2
. را ﺣﺴﺎب ﮐﻨﯿﺪf ′(o ) ﻣﻘﺪار، x ≤ f (x) ≤ x = x2 ,
ﺣﻞ( دارﯾﻢ
x < 1 ( اﮔﺮ ﺑﺮاي11)
. اﺳﺖf (o ) = o ﭘﺲo ≤ f (o ) ≤ o ﺣﻞ( واﺿﺢ اﺳﺖ ﮐﻪ
www.fanavari-it.ir
١٣
ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ:ﻓﺼﻞ دوم
x>o
f ( x) ≤ 1+ x x ⇒ f +′ (o ) = 1
x<o
⇒ 1 + x≤
⇒ 1≤
f ( x) ≤1 x f ′ − (o ) = 1
⇒
. اﺳﺖf ′(o ) = 1 ﭘﺲ . را در ﺻﻔﺮ ﺑﺪﺳﺖ آورﯾﺪf (x) = x x
( ﻣﻘﺪار ﻣﺸﺘﻖ ﺗﺎﺑﻊ12)
وf (o ) = o :ﺣﻞ( دارﯾﻢ lim
xx −o x−o
= lim x = o
⇒
f ′(o ) = o
247 ﺗﻤﺮﯾﻦ ﺻﻔﺤﻪ ي11-4-3 .( ﻣﺸﺘﻖ ﺗﻮاﺑﻊ زﯾﺮ را ﺣﺴﺎب ﮐﻨﯿﺪ1
1) y = sin 5 x
2) y = (tgx + cos x)
→
y′ = 5 cos x sin 4 x
(
)
3 ) y = tg (sin x)
→
y′ = 3 sec 2 x − sin x (tyx + cos x) y′ = cos x.sec2 (sin x)
4) y = sin (sin x)
→
y′ = cos x. cos(sin x)
3
→
5) y = cos2 (sin 3 x)
→
y′ − 6 sin 3 x. sin (sin 2 x0)cos(sin 3 x)
6) y = 5 sin(cos 4 x)
→
y′ = −20sin 4 x cos (cos 4 x)
www.fanavari-it.ir
(١) ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ 7)
y=
2 cos x − 1 cos x + 3
→ y′ = =
8) y =
− 2 sin x(cos x + 3 ) + sin x(2 cos x − 1)
(cos x + 3 )2
− 7 sin x
(cos x + 3 )2
sin x cos x(cos x − sin x) + sin x(sin x + cos x) ⇒ y′ = cos x − sin x (cos x − sin x)2 =
9)
١٤
y=
1 + sin x 1 − sin x
(cos x − sin x)2
⇒ y′ =
tan x − 1 tan x + 1
(1 − sin x)2
(1 − sin x)2 → y′ =
=
cos x(1 − sin x) + cos x(1 + sin x)
2 cos x
=
10) y =
1
sec2 x(tan x + 1) − sec2 x(tan x − 1)
2 sec2 x
(tan x + 1)2
(1 + tan x)2 . را ﺑﯿﺎﺑﯿﺪy′ =
1) x sin y + y sin x = xy
www.fanavari-it.ir
y′ = −
sin y + y cos x − y x cos y + sin x − x
dy ( در ﻫﺮ ﻣﻮرد2 dx
١٥
ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ:ﻓﺼﻞ دوم
3 2) y = x2 + 3 y2 = 3 16
3) y x − x x = 5
4) x2 y + sin 2 y = y
3 23 x
y′ = −
= −3
3 23 y
y x
y 3 x − y − 3x 2 x 2 y′ = − = 4x x
y=
2 xy
x2 + sin 2 y − 1
.( ﻣﺸﺘﻖ ﻫﺮ ﯾﮏ از ﺗﻮاﺑﻊ زﯾﺮ را ﺑﯿﺎﺑﯿﺪ3) 14 x 1 − 49 x4
1) y = cos − 1 7 x2
y′ = −
2) y = sin − 1 (cos 2 x)
y′ = −
3 ) y = sin − 1(cos 2 x)
y′ =
4) y = tan − 1 x5
5 x4 y′ = 1 + x10
5) y = tan − 1(cos x)
y′ =
www.fanavari-it.ir
3 x2 + 2
2 1 − x2 + 2 x
− 2 sin 2 x =−2 2 1 − cos 2 x
− sin x 1 + cos2 x
(١) ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ 5
− 6) y = cos 5 cos − 1 x
7) y = tg − 1
(
x+1
١٦
1 − x2
y′ =
1 − 25 cos − 1x
)
y′ =
1 2 x+1 1+
(
x+1
8) y = sin − 1 x + cos − 1 x 9) y = cos − 1(sin x)
1 10) y = tan − 1 x
11) x sin y + x2 = tan − 1 y
)
2
=
2
1 2 x + 1 ( x + 2)
y=
π 2
⇒ y′ = o
y′ = − y′ =
1+
y′ = −
cos x =1 2 1 − sin x 1 x2
1 x2
=−
1 x2 + 1
sin y + 2x 1 x cos y + 1 + y2
12) y sin − 1( xy) = cos − 1( x + y) y2 1 + 1 + ( x + y)2 1 − x2 y2 y′ = − xy 1 + sin − 1( xy) + 1 − x2 y2 1 + ( x + y)2 ′
. ( f −1 ) (2) ﻣﻄﻠﻮب اﺳﺖ ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ، f (x) = x 3 + x ( ﻫﺮﮔﺎه4)
www.fanavari-it.ir
١٧
ﻓﺼﻞ دوم :ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ
ﺣﻞ( x3 + x − 2 = o
(x − 1)(x2 + x + 2) = o x=1
⇒ x3 + x = 2
⇒
y=2
⇒ ⇒
( f −1 )′ (2) = f 1′(1) = 41
f ′( x) = 3 x2 + 1
⇒
) (5اﮔﺮ fﻣﺴﺎﻓﺘﯽ ﺑﺎﺷﺪﮐﻪ ﻣﺘﺤﺮك درزﻣـﺎن tﻃـﯽ ﻣـﯽ ﮐﻨـﺪ،ﻣﻄﻠﻮب اﺳـﺖ ﻣﺤﺎﺳـﺒﻪ d 2s ﺷﺘﺎب ، a = 2اﮔﺮ s = 50 + 80t + 16tﺑﺎﺷﺪ. dt 2
ﺣﻞ(
a = 32
d 2 y dy را در b = 1ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﮐﻨﯿﺪ. و ) (6اﮔﺮ x = t + t 2و ، y = t + t 3ﻣﻘﺪار 2 dx dx
ﺣﻞ( f ' ' (t ) = 2
,
f ′(t ) = 1 + 2t ⇒
) x = t + t 2 = f (t
g ' ' (t ) = 6t
,
g ′(t ) = 1 + 3t 2
) y = t + t 3 = g (t
′ dy (1) = g (1) = 3 dx f ′(1) 4 2y ′′ ′ ′′ ′ d (1) = g (1) f (1) − f (1)g (1) = 18 − 8 = 10 9 9 ( f ′(1))3 dx2
⇒
www.fanavari-it.ir
ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )(١
١٨
) (7اﮔـــﺮ y = 3 x2 + 4 x + 1
آﻧﮕـــﺎه ∆yو dyرا ﺑـــﻪ ازاي x = 3و ∆x = o / 1
ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﮐﻨﯿﺪ. ) ∆y = f (x + ∆x) − f ( x) = f (3 + o / 1) − f (3
ﺣﻞ( = 3 (3 / 1)2 + 4(3 / 1) + 1 − 27 − 12 − 1 = 3 (9 / 61) + 12 / 4 − 39 = 28 / 83 + 12 / 4 − 39 = 2 / 23 dy = 22 × 0 / 1 = 2 / 2 f ′(3 ) = 22
⇒ ⇒
dy = f ′( x)∆x f ′( x) = 6 x + 4
) (8اﮔﺮ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ي ﺣﺮﮐﺖ ﯾﮏ ذره s = 20 + 30t + 3t 2ﺑﺎﺷﺪ ،ﺳـﺮﻋﺖ و ﺷـﺘﺎب ذره را در t = 2ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﮐﻨﯿﺪ. ⇒ v(2) = 42 ⇒a = 6 dy ) (9اﮔﺮ ، f ( x) = x2 + xآﻧﮕﺎه = y′ dx
ds = 30 + 6t dt d 2s a = 2 =6 dt
=v
را در ﻫﺮ ﻣﻮرد ﺑﯿﺎﺑﯿﺪ
www.fanavari-it.ir
١٩
ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ:ﻓﺼﻞ دوم
(
1) y = f x + x
)
f ′( x) =
(
) ) (
1 2 x + x +1 y′ = 1 + 2 x 2 x+ x 2 + x+ x
(
2) y = f (cos x + cot x)
(
(
y′ = − sin x − 1 + cot 2 x
))
4x
(x + 1) 2
2
2 x2 + x
)
2(cos x + cot x) + 1
2 (cos x + cot x) + (cos x + cot x) 2
x2 − 1 3 ) y = f 2 x +1 y′ =
2x + 1
2 ⇒ y = f 1 − 2 x + 1 2 21 − 2 x +1 2
2 2 1 − 2 + 1 − 2 x +1 x +1
4) y = f f x2 ⇒ y′ = 2 x.
⇒ y′ = 2xf ′ x2 f ′ f x2 2 x2 + 1 2 x4 + x2 + 1 . f 2 x + x2 4 2 x + x + x4 + x2
( ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﻫﺎي ﺧﻄﻬﺎي ﻣﻤﺎس و ﻗﺎﺋﻢ ﺑﺮ ﻣﻨﺤﻨﯽ ﻫﺮ ﯾﮏ از ﺗﺎﺑﻊ ﻫـﺎي ﺑـﻪ ﻣﻌﺎدﻟـﻪ ي10)
www.fanavari-it.ir
(١) ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ
٢٠
.زﯾﺮ در ﻧﻘﻄﻪ اي ﺑﻪ ﻃﻮل ﯾﮏ واﻗﻊ ﺑﺮ ﻣﻨﺤﻨﯽ را ﺑﻨﻮﯾﺴﯿﺪ 1)
3 f ( x) = x2 − 4 x
y = (1 − 4 ) = 9 3
(
)
y′ = 3 (2 x − 4 ) x2 − 4 x ⇒ y′(1) = 3 (− 2)(− 3 ) = 18 y − 9 = 18( x − 1) ⇒ y = 18 x − 9 x2 + 1 2) f ( x ) = 2 2x − 1 1+1 =2 y= 2 −1 3 − 6x −6 x 2 x2 − 1 − 4 x x2 + 1 = ⇒ y′(1) = =− y′ = 2 2 2 4 2 x2 + 1 x2 + 1 3 3 7 ⇒ y = − x+ y−2 = − 2( x − 1) 2 2
(
3)
)
(
)
(
f ( x) = 3 x2 − 2
(
)
(
)
(
)
)
2
y = 3 (1 − 2) = 1 2
(
)
2 × 2 x x2 − 2 3 4 ⇒ y′(1) = − 3 4 4 7 y − 1 = − ( x − 1) ⇒ y = − x + 3 3 3 y = x2 − 2
2 3
www.fanavari-it.ir
⇒ y′ =
−
1 3
ﻓﺼﻞ دوم :ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ 1 x y′(1) = o ⇒ y = 2
(11در ﺗﺎﺑﻊ ﺑﻪ ﻣﻌﺎدﻟﻪ
1
⇒
٢١ x+
= )f ( x
)4
y = f (1) = 1 + 1 = 2 1 1 = )y′( x − 2 x 2x x
= yاﮔﺮ y′و y′′ﻣﺸﻘﺎت ﻣﺮﺗﺒﻪ اول و دوم ﻻ ﺑﺎﺷـﻨﺪ،
x2 + 1
ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ راﺑﻄﻪ 2 y′2 − yy′′ = y 4ﺑﺮﻗﺮار اﺳﺖ. ﺣﻞ( 1 2x 1 = ⇒ y2 = ⇒ 2 yy′ 2 x2 + 1 x2 + 1 x2 + 1 y′ ⇒ yy′ = − xy4 ⇒ = −x y3 ⇒ y′′y − 3 ( y′)2 = − y4
y 3 − 3 ( y′)2 y2 = −1 y6
=y
⇒y
⇒ 3 ( y′) − yy′′ = y4 2
x2 + 1 ) (12در ﺗﺎﺑﻊ ﺑﻪ ﻣﻌﺎدﻟﻪ x
= yﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ xy′′ + 2 y′ = 2
ﺣﻞ(
www.fanavari-it.ir
(١) ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ 1 x2 + 1 y= = x+ x x 1 1 y′ = 1 − 2 ⇒ 2 = 1 − y′ x x 2 1 y′′ = 3 ⇒ xy′′ = 2 2 = 2(1 − y′ ) x x
٢٢
⇒ xy′′ + 2 y′ = 2
وg ′(o ) ≠ o ﺗــﺎﺑﻊ ﻫــﺎي ﻣﺸــﺘﻖ ﭘــﺬﯾﺮ ﺑﺎﺷــﻨﺪ وf , g : R → R ( ﻓــﺮض ﮐﻨﯿــﺪ13) . ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪf (o ) = g (o ) = o lim
x→o
f ( x) f ′(o ) = g ′(o ) g ( x)
(ﺣﻞ f ( x) − o f ( x) f ' (o) = lim x − o = lim g ' (o) x→o g ( x) x→o g ( x) − o x−o
.ﺗﺎﺑﻊ ﻣﺸﺘﻖ ﺗﺎﺑﻊ را ﭘﯿﺪا ﮐﻨﯿﺪ
x3 f ( x) = 3 5 x2 − 4 x 2
x≤o
( ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ14)
x>o
(ﺣﻞ x2 f ′( x) = 5 x − 4
www.fanavari-it.ir
x≤o x>o
٢٣
ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ:ﻓﺼﻞ دوم
ﺗﺎﺑﻊ ﻣﺸﺘﻖ ﺗﺎﺑﻊ را
1 − x f ( x) = (1 − x)(2 − x) − (2 − x)
x<1 1≤ x≤2 x>2
.( ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ15) .ﺑﯿﺎﺑﯿﺪ
(ﺣﻞ x <1 − 1 f ′( x) = 2 − x − (1 − x) 1 ≤ x ≤ 2 + 1 x>2
.( ﻣﺸﺘﻖ ﻫﺮ ﯾﮏ را ﺗﻌﯿﯿﻦ ﮐﻨﯿﺪ16 1) y =
tan x 3
x2
⇒ y = tan x. x
−
⇒ y′ = sec x.x 2
cos x 2) y = 1 + sin x
⇒ y′ = =
www.fanavari-it.ir
2 3
−
2 3
5
2 − − x 3 . tan x 3
− sin x(1 + sin x) − cos 2 x − sin x − 1 = 2 (1 + sin x) (1 + sin x)2
−1 1 + sin x
(١) ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ
1 2 x2 1+ 4
٢٤
−
3) y =
Arc cot
x 2
⇒ y′ 2
Arc cot
⇒ y′ =
(4 + x ) 2
(
4 ) y = Arc tan x − 1 + x2 y′ =
x 2 −1 Arc cot
x 2
)
x
( 1 + x − x) 1 + (x − 1 + x ) 1 + x 1 + (x − 1 + x ) 1−
1 + x2
2
1 5) y = Arc sin x 1 − 2 x 1 1− 2 x y′ = 1 x2 1− 1 x2
www.fanavari-it.ir
=
=
2
2
=
2
⇒ y'=
−1 2
x x −1 1
x x2 − 1
2
1 Arc sin x − Arc sin 1 x x>o
x<o
2
x>o x<o
٢٥
ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ:ﻓﺼﻞ دوم y cos xy − y sin xy y =− 6) sin xy + cos xy = o ⇒ y′ = − x cos xy − x sin xy
7 ) x y = Arctg
x
⇒ y tan ( xy) − x = o
x y
⇒ y′ = −
y2 sec 2 ( xy) − 1 tan( xy) + xy sec 2 ( xy)
8) x − y = Arc sin x − Arc cos y Arc sin x − Arc cos y − x + y = o 1 −1 2 1 − x y′ = − 1 +1 1 − y2
. ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ. f (x) = sin (n Arc sin x) ( ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ17)
(1 − x ) f ′′(x) − x f ′(x) + n f (x) = o 2
2
: را دو ﻃﺮف اﺛﺮ ﻣﯽ دﻫﯿﻢArc sin (ﺣﻞ Arc sin f ( x) = n Arc sin x
⇒
( f ′( x))2 2 1 − ( f ( x))
=
ﻣﺸﺘﻖ
www.fanavari-it.ir
n2 1 − x2
⇒ ﻣﺸﺘﻖ
(
)
f ′( x)
1 − ( f ( x))
2
(
=
n 1 − x2
)
⇒ 1 − x2 ( f ′( x)) = n 2 1 − f 2 ( x)
(
)
2
⇒ 2 1 − x2 f ′′( x) f ′( x) − 2x( f ′( x)) = −2n 2 f ′( x) f ( x) 2
ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )(١
٢٦
)
(
⇒ 1 − x2 f ′′( x) − x( f ′( x)) + n 2 f ( x) = o
. f (x) = [x]sin 2 πxﺗﺎﺑﻊ ﻣﺸﺘﻖ fراﺑﯿﺎﺑﯿﺪ.
) (18ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ x ∈ R
ﺣﻞ( ﭼﻮن
2 lim sin πx = o
x→n
) (19ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ
ﺑﺮاي ﻫﺮ nﺻﺤﯿﺢ در ﺗﻤﺎم ﻧﻘﺎط ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﺳﺖ.
2 f (x) = x2 − 1 (x + 1)3ﺗﺎﺑﻊ ﻣﺸﺘﻖ fراﺑﯿﺎﺑﯿﺪ.
ﺣﻞ( 2 )f ( x) = x2 − 1 ( x + 1)2 ( x + 1 2 2 2 2 = x − 1 ( x + 1) ( x + 1) | x + 1 2 | )⇒ f ′( x) = 2 2 x( x + 1) + x − 1 x2 − 1 ( x + 1) | ( x + 1 || x + 1 )+ x2 − 1 ( x + 1 x+1
)
)
(())
( )
( ((
)
) (20ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ n ، f : R → Rﻣﺮﺗﺒﻪ ﻣﺸﺘﻖ ﭘﺬﯾﺮ ﺑﺎﺷﺪ .ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ.
)[ f (ax + b)](n ) = a n f (n ) (ax + b ﺣﻞ( ﺑﺎ اﺳﺘﻘﺮا روي nاﯾﻦ ﻣﻄﻠﺐ را ﻧﺸﺎن ﻣﯽ دﻫﯿﻢ: ) ⇒ ( f (ax + b ))′ = a f ′(ax + b )( ) ⇒ ( f (ax + b ))(n ) = a n f n (ax + b
n =1 k=n
www.fanavari-it.ir
٢٧
ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ:ﻓﺼﻞ دوم
:ﺑﺎ ﻣﺸﺘﻖ ﮔﯿﺮي از دو ﻃﺮف ﻓﺮض دارﯾﻢ
[ f (ax + b)](n+1)
= a n +1 f ( n+1) (ax + b )
.ﭘﺲ ﺣﮑﻢ ﺑﺮﻗﺮار اﺳﺖ . ام ﺗﺎﺑﻊ داده ﺷﺪه را ﺑﻪ دﺳﺖ آورﯾﺪn ( در ﻫﺮ ﻣﻮرد ﻣﺸﺘﻖ ﻣﺮﺗﺒﻪ20) 1)
y = sin x
π ⇒ y (n ) = sin x + n 2
2)
y = cos x
π ⇒ y (n ) = cos x + n 2
π π 3) y = sin 2 x ⇒ y (n ) = sin 2 x x + n ⇒ y(n ) = 2n−1 sin 2x + n
4) y = cos 2 x
5)
y=
1+ x 1− x
2
2
1 1 ⇒ y = + cos 2 x 2 2 1 π ⇒ y = × 2 n cos 2 x + n 2 2 π = 2 n −1 cos 2 x + n 2 −2 (1 − x)2 − 12 y′′′ = (1 − x)4
y′ =
y′′ =
, ,
........ y( n ) = (− 1)
n
y( 4 )
2n! (1 − x)n +1
4 (1 − x)3 48 = (1 − x)5
ﺑـﺮA(1,1) در ﻧﻘﻄﻪy = x2 + bx + c را ﻃﻮري ﺗﻌﯿﯿﻦ ﮐﻨﯿﺪ ﮐﻪ ﻧﻤﻮدارc, b (ﻣﻘﺎدﯾﺮ22) . ﻣﻤﺎس ﺑﺎﺷﺪy = x
www.fanavari-it.ir
ﺧﻂ
٢٨
ﺣﻞ(
ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )(١ ) (1 , 1روي ﻧﻤﻮدار ﻗﺮار داردﭘﺲ 1 = 1 + b + c
از ﻃﺮﻓﯽ ﺷﯿﺐ ﺑﺮاﺑﺮ
1اﺳﺖ ﭘﺲ دارﯾﻢ 1 = 2 + b → c =1
b + c = o ⇒ b = −1
(23در ﭼﻪ ﻧﻘـﺎﻃﯽ از ﻣﻨﺤﻨـﯽ y = x 3 + x − 2ﺧـﻂ ﻣﻤـﺎس ﺑـﺮ ﻣﻨﺤﻨـﯽ ﻣـﻮازي ﺣـﻂ y = 4 x − 1اﺳﺖ؟ ﺣﻞ( ﺑﺎﯾﺪ y′(x) = 4ﺑﺎﺷﺪ ﭘﺲ ⇒ x2 = 1⇒ x = ±1
⇒ 3 x2 = 3
3 x2 + 1 = 4
(24ﻣﻌﺎدﻟــﻪ ي ﻣﻤــﺎس ﺑــﺮ ﻣﻨﺤﻨــﯽ y = x 3 + 3 x2 − 5را ﺑﻨﻮﯾﺴــﯿﺪ ﮐــﻪ ﺑــﺮ ﺧــﻂ 2 x − 6 y + 1 = oﻋﻤﻮد ﺑﺎﺷﺪ. ﺣﻞ(
1 1 x+ 3 6
=⇒ y
1 ﭘﺲ ﺷﯿﺐ ﺧﻂ داده ﺷﺪ ﺑﺮاﺑﺮ 3
6 y = 2x + 1
اﺳﺖ ﻟﺬا ﺷﯿﺐ ﺧﻂ ﻣﻤﺎس ﺑﺮاﺑﺮ − 3اﺳﺖ ﭘﺲ 3 x2 + 6 x = − 3 ⇒ x2 + 2 x + 1 = o
y = −3 x − 6
( x + 1)2 = o ⇒ x = − 1 ⇒ y = −3 ⇒ )y′(− 1) = 3 − 6 = − 3 ⇒ y + 3 = −3 ( x + 1
) (25در ﻣﻮرد ﺗﺎﺑﻊ f : R → Rﻣﯿﺪاﻧﯿﻢ | f (x) |≤ x2 , x ∈ Rﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ fدر x = o
ﻣﺸﺘﻖ ﭘﺬﯾﺮ اﺳﺖ ) f ′(oراﺑﯿﺎﺑﯿﺪ.
www.fanavari-it.ir
٢٩
ﻓﺼﻞ دوم :ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ
ﺣﻞ( )f ( x ≤ x x
≤ f ( x) |≤ x2 ⇒ | f ( x) ≤| x |2 ⇒ − x )f ( x | ≤| x x
| ⇒
از ﻃﺮﻓﯽ دارﯾﻢ lim (− 1x1) = lim 1x1 = o :ﭘﺲ )f ( x f − ( x) − o = lim = f ′(o ) = o x x−o x→o
lim
)f ( x ≤ x x
آﯾـﺎ
)f ( x (26در ﻣﻮرد ﺗﺎﺑﻊ f : R → Rﻣﯽ داﻧﯿﻢ ≤ x x
≤ ⇒ −1x1
x→o
ﻣﯽ ﺗﻮاﻧﯿﻢ ﻧﺘﯿﺠﻪ ﺑﮕﯿﺮﯾﻢ ﮐﻪ fدر ﻧﻘﻄﻪ x = oﻣﺸﺘﻖ ﭘﺬﯾﺮ اﺳﺖ؟ ﺣﻞ( ﺧﯿﺮ؛ ﻣﺜﻼً f (x) = xرا در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﯿﺮﯾﺪ اﯾﻦ ﺗﺎﺑﻊ در x = oﻣﺸﺘﻖ ﻧﺪارد. π (27اﮔﺮ f (x) = [x]sin xﻣﻘﺪار f ′ را ﺣﺴﺎب ﮐﻨﯿﺪ. 4
π π ﺣﻞ( ﭼﻮن o < < 1اﺳﺖ ﭘﺲ f = o 4 4 π f ( x) − f [x]sin x = o π =4 f ′ = lim lim π π π 4 x→ π →x x− x− 4 4 4 4
)(28اﮔـــــﺮ f : R → Rﯾـــــﮏ ﺗـــــﺎﺑﻊ و ) f ′(aﻣﻮﺟـــــﻮد ﺑﺎﺷـــــﺪ ،ﺣﺎﺻـــــﻞ
www.fanavari-it.ir
(١) ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ
.را ﺣﺴﺎب ﮐﻨﯿﺪ
lim h→ o
٣٠
f (a + 2h ) − f (a − h ) h
(ﺣﻞ lim
f (a + 2h ) − f (a − h ) f (a + 2h ) − f (a ) f (a ) − f (a − h ) = 2 lim + lim h 2h h h→o h→o h→o = 2 f ′(a ) + f ′(a ) = 3 f ′(a )
. را ﺣﺴﺎب ﮐﻨﯿﺪf ′(o ) ﻣﻘﺪارx ≤ f (x) ≤ x + x2 , x < 1 ( اﮔﺮ ﺑﻪ ازاي29 . f (o) = o ﭘﺲo < f (o) ≤ o :ﺣﻞ( ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﻧﺎ ﻣﺴﺎوي دارﯾﻢ f ′(o ) = lim
x→o
f ( x) − f (o ) f ( x) = lim =1 x−o x→o x 1≤
را
lim h →o
f (a + 2h ) − f (a ) 5h
,
f ′(a ) = 4
,
f ( x) ≤ 1 + x زﯾﺮا x f (a ) = o
( اﮔﺮ30)
.ﺣﺴﺎب ﮐﻨﯿﺪ (ﺣﻞ lim
h→o
f (a + 2h ) − f (a ) 2 f ( a + 2h ) − f (a ) = lim 5h 5 h→o 5h 2 = f ′(a ) = 4 ⇒ f ′(a ) = 10 5
راg ′′(o ) آﻧﮕـﺎهg (x) = f (xf (x)) دو ﻣﺮﺗﺒـﻪ ﻣﺸـﺘﻖ ﭘـﺬﯾﺮ ﺑﺎﺷـﺪ وR ﺑـﺮf ( اﮔﺮ31)
www.fanavari-it.ir
٣١
ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ:ﻓﺼﻞ دوم
.ﺣﺴﺎب ﮐﻨﯿﺪ
:ﺣﻞ(ﻗﺮار دﻫﯿﺪ u ( x) = xf ( x) ⇒ u (o ) = o u ′( x) = f ( x) + xf ′( x) ⇒ u ′(o ) = f (o ) g ( x) = f (u ) ⇒ g ′( x) = u ′ f ′(u ) g ′′( x) = u ′′f ′(u ) + (u ′ ) f ′′(u ) 2
2 ⇒ g ′′(o ) = 2 f ′(o ) f ′(o ) + ( f (o )) f ′′(o )
⇒ g ′′(o ) = 2( f ′(o )) + ( f (o )) f ′′(o ) 2
2
ﻣﺸﺘﻖ ﭘﺬﯾﺮ ﺑﺎﺷﻨﺪ وR ﺑﺮg وf (اﮔﺮ ﺗﻮاﺑﻊ٣٢ 2 g ′(− 2) = f (a ) = f ′(a ) = −2
.( را ﺣﺴﺎب ﮐﻨﯿﺪg o f )′ (a ) ﻣﻘﺪار (ﺣﻞ
( g o f )′ (a ) = g ′( f (a )). f ′ (a ) = g ′(− 2)( . − 2) = (− 1)(− 2) = 2 x = (t + 2)2 dy . ﺣﺴﺎب ﮐﻨﯿﺪt = 3 را ﺑﻪ ازاي ﻣﻘﺪار ( اﮔﺮ33) dx y = t 3
(ﺣﻞ
www.fanavari-it.ir
٣٢
ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )(١ 27 27 3t 2 dy = ⇒ = )(3 = 2× 5 1o )2(t + 2 dx
dy dt dx dt
dy = dx
) (34اﮔﺮ f ' (1) = f (1) = −2و ، g ' (−2) = 3ﺣﺎﺻﻞ ) ( g o f )' (1را ﺣﺴﺎب ﮐﻨﯿﺪ. ﺣﻞ( )( g o f )' (1) = g ' ( f (1)) ⋅ f ' (1 = g ' (−2) ⋅ (−2) = 3 × (−2) = −6 )xf (a ) − af ( x ) (35اﮔﺮ fﺗﺎﺑﻌﯽ ﻣﺸﺘﻖ ﭘﺬﯾﺮ در aﺑﺎﺷﺪ .ﻣﻘﺪار x → a x− a
limرا ﺣﺴﺎب ﮐﻨﯿﺪ.
ﺣﻞ( ﻣﻘﺪار ) xf (xرا ﺑﻪ ﺻﻮرت اﺿﺎﻓﻪ و ﮐﻢ ﮐﻨﯿﺪ: )xf (a ) − xf ( x) + xf ( x) − af ( x x−a x→a x− a ) f ( x) − f (a )= lim f ( x −x x− a x− a x→a x→ a ) = f (a ) − af ' (a
lim
x = t 2 − 1 در ) (36ﺿﺮﯾﺐ زاوﯾﻪ ﺧﻂ ﻣﻤﺎس ﺑﺮ ﻧﻤﻮدار ﻣﻨﺤﻨﯽ ﭘـﺎراﻣﺘﺮي ﺑـﻪ ﻣﻌﺎدﻟـﻪ y = t 2 + 1
t = 2را ﺣﺴﺎب ﮐﻨﯿﺪ. ﺣﻞ(
dy dy d t 2t = = t dx d x t 2 +1 dt dy 4× 5 = )(2 =2 5 dx 2
⇒
www.fanavari-it.ir
ﻓﺼﻞ ﭼﻬﺎرم
ﻛﺎرﺑﺮد ﻣﺸﺘﻖ
www.fanavari-IT.ir
ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )(١
٢
14-2-4ﺗﻤﺮﯾﻦ ﺻﻔﺤﻪ 290 ) (1اﺑﺘﺪا ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ ﮐﻪ ﻫﺮﯾﮏ از ﺗﻮاﺑﻊ زﯾﺮ درﺑﺎزه داده ﺷﺪه در ﺷﺮاﯾﻂ ﻗﻀﯿﻪ رل ﺻﺪق ﻣـﯽ ﮐﻨﺪ .ﭘﺲ ﻣﻘﺪار cﻣﺮﺑﻮﻃﻪ را ﺑﺪﺳﺖ آورﯾﺪ. 2] (1وx ∈ [− 1و f ( x) = x 3 − 2x2 − x + 2
ﺣﻞ( ﭼﻨﺪ ﺟﻤﻠﻪ اي ﻫﺎ روي ﻫﺮ ﺑﺎزه ﺷﺮاﯾﻂ ﻗﻀﯿﻪ رل را دارﻧﺪ .ﭼﻮن ﻣﺸﺘﻖ ﭘﺬﯾﺮﻧﺪ و ﻣﺸـﺘﻖ آﻧﻬﺎ ﻧﯿﺰ ﭼﻨﺪ ﺟﻤﻠﻪ اي اﺳﺖ. f (2) = f (−1) = o
f ' (c ) = o ⇒ 3 c 2 − 4 c − 1 = o 4 ± 28 2 ± 7 = 6 3
f ( x) = x 3 − 16 x (2و] oو x ∈ [− 4
=c
ﺣﻞ : 4 3
)f (−4) = −64 + 64 = o = f (o f ' (c ) = 3c 2 − 16 = o ⇒ c = ±
1 − 3 x3
(3
4 x3
= )x ∈ [o , 4 ] , f ( x 2
1
− 4 f ' ( x) = x 3 − x 3 3
ﭘﺲ ﺗﺎﺑﻊ روي ] 3و [oﭘﯿﻮﺳﺘﻪ و روي ) 3و (oﻣﺸﺘﻖ ﭘﺬﯾﺮ اﺳﺖ.
www.fanavari-IT.ir
٣
ﻓﺼﻞ ﭼﻬﺎرم :ﮐﺎرﺑﺮد ﻣﺸﺘﻖ f (o) = o = f ( 3) = 3 3 3 − 3 3 3 = o 1
4 1 4c − 3 ⇒ c3 − = =o 2 2 3 c 3c 3 3 3 =⇒c 4 , x ∈ [o , 4 ] (4
1 − 2x 4
3 x4
= )f ( x
ﺣﻞ : 3
1
3 − 1 − f ' ( x) = x 4 − x 4 4 2
ﭘﺲ ﺗﺎﺑﻊ fروي ] 4و [oﭘﯿﻮﺳﺘﻪ و روي ) 4و (oﻣﺸﺘﻖ ﭘﺬﯾﺮ اﺳﺖ. 1
3
3 −4 1 − 4 c − c =o 4 2 =o
−2
1 3c 2
3 4c 4
=
1
3 2c 4
4 9
−
3
1 4 4c
=⇒c
x + 3 → x ≤ 2 x ∈ [− 3 , 7 ] , f ( x) = 7 − x → x > 2 (5 1 → x ≤ 2 f ' ( x) = ﺣﻞ( اﯾﻦ ﺗﺎﺑﻊ در 2ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﺳﺖ ،ﭘﺲ ﻫﻤﻪ ﺟﺎ ﭘﯿﻮﺳـﺘﻪ اﺳـﺖ و − 1 → x > 2
ﭘﺲ در 2ﻣﺸﺘﻖ ﭘﺬﯾﺮ ﻧﯿﺴﺖ .ﻟﺬا ﺷﺮاﯾﻂ را ﻧﺪارد.
www.fanavari-IT.ir
ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )(١
٤ x2 − x − 12 x− 3 (6
= )x ∈ [− 3 , 4] , f ( x
ﺣﻞ( ﺗﺎﺑﻊ در ] 3 ∈ [− 3 , 4ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ ﻧﯿﺴﺖ ،ﭘﺲ ﺷﺮاﯾﻂ ﻗﻀﯿﻪ را ﻧﺪارد. f ( x) = x3 − 6 x2 + 11x − 6 , x ∈ [2 , 3 ] (7
ﺣﻞ( f (2) = 8 − 24 + 22 − 6 = o f ( 3) = 27 − 54 + 33 − 6 = o f ' (c ) = 3c 2 − 12c + 11 = o 12 ± 12 1 3 = ± 24 2 12
f ( x) = ( x − π ) sin x , ∈ [o , π ] (8
=c
ﺣﻞ( ﭼﻨﺪ ﺟﻤﻠﻪ اي و sin xﻫﻤﻪ ﺟﺎ ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ و ﻣﺸﺘﻖ ﭘﺬﯾﺮﻧﺪ. ) f (o) = o = f (π f ' (c ) = sin c + (c − π ) cos c = o ⇒ sin c = (π − c ) cos c ⇒ tan c = π − c ⇒ c + tan c = π
واﺿﺢ اﺳﺖ ﮐﻪ c = πﺟﻮاب دراﯾﻦ ﺑﺎزه اﺳﺖ. (9
x2 − 9 → x < 2 ] → x ∈ [− 3 , 4 f ( x) = 5 x − 4 → x ≥ 2
ﺣـــــــﻞ( اﯾـــــــﻦ ﺗـــــــﺎﺑﻊ در ] 4و 2 ∈ [− 3ﭘﯿﻮﺳـــــــﺘﻪ ﻧﯿﺴـــــــﺖ ﭼـــــــﻮن
www.fanavari-IT.ir
٥
ﻓﺼﻞ ﭼﻬﺎرم :ﮐﺎرﺑﺮد ﻣﺸﺘﻖ
lim f ( x) = lim( x2 − 9) = −5 ≠ f (2) = 6 x → 2−
ﭘﺲ ﺷﺮاﯾﻂ ﻗﻀﯿﻪ ﺑﺮﻗﺮار ﻧﯿﺴﺖ. x2 − 2 x + 5 ], x ∈ [− 2 , 4 x −1 (10
= )f ( x
.
ﺣﻞ( اﯾﻦ ﺗﺎﺑﻊ در ] 4و 1 ∈ [− 2ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ ﻧﯿﺴﺖ ،ﭘﺲ ﺷﺮاﯾﻂ ﻗﻀﯿﻪ ﺑﺮﻗﺮار ﻧﯿﺴﺖ. 4 3 2 ) (2اﮔﺮ f ( x) = x − 2 x + 2 x − xﺑﺎﺷﺪ ،ﺑﻪ ﮐﻤﮏ ﻗﻀﯿﻪ رل ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ ﮐـﻪ ﻣﻌﺎدﻟـﻪ 3 2 4 x − 6 x + 4 x − 1 = oدر ﺑﺎزه )1و (oﺣﺪاﻗﻞ ﯾﮏ رﯾﺸﻪ دارد.
f (o) = o ﺣﻞ( f (1) = 1 − 2 + 2 − 1 = o
ﺗﺎﺑﻊ ﭼﻨﺪ ﺟﻤﻠﻪ اي در ﻗﻀﯿﻪ رل ﺻﺪق ﻣﯽ ﮐﻨﺪ ،ﭘﺲ در )1و (oﺣﺪاﻗﻞ ﯾـﮏ cوﺟـﻮد دارد ﮐﻪ f ' (c ) = 4 c 3 − 6 c 2 + 4 c − 1 = o 3 ) (3ﺑﻪ ﮐﻤﮏ ﻗﻀﯿﻪ رل ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ ﮐﻪ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ، x + 2 x + c = oﮐﻪ در آن cﯾﮏ ﺛﺎﺑـﺖ
دﻟﺨﻮاه اﺳﺖ ،ﻧﻤﯽ ﺗﻮاﻧﺪ ﺑﯿﺶ از ﯾﮏ رﯾﺸﻪ ﺣﻘﯿﻘﯽ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ. ﺣﻞ( اﮔﺮ f ( x) = x 3 + 2x + cﺑـﯿﺶ از ﯾـﮏ رﯾﺸـﻪ داﺷـﺘﻪ ﺑﺎﺷـﺪ f ' ( x) = 3 x2 + 2
ﺣﺪاﻗﻞ ﯾﮏ رﯾﺸﻪ دارد ﮐﻪ ﺗﻨﺎﻗﺾ اﺳﺖ. (4ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﻗﻀﯿﻪ رل ﺛﺎﺑـﺖ ﮐﻨﯿـﺪ ﻣﻌﺎدﻟـﻪ f ( x) = oو f ( x) = x5 + x 3 + 2 x − 3
دﻗﯿﻘﺎ ﯾﮏ رﯾﺸﻪ در ﺑﺎزه )1و (oدارد.
www.fanavari-IT.ir
ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )(١
٦
ﺣﻞ( f (o) f (1) < oﭘﺲ f (o) = −3و f (1) = 1ﻃﺒﻖ ﻗﻀﯿﻪ ﻣﻘﺪار ﻣﯿﺎﻧﯽ ﺣـﺪاﻗﻞ ﯾـﮏ 4 2 رﯾﺸﻪ در )1و (oدارد .از ﻃﺮﻓﯽ . f ' ( x) = 5 x + 3 x + 2 > o
ﭼﻮن ) f ' ( xﻫﯿﭻ رﯾﺸﻪ اي ﻧﺪارد ﭘﺲ ) f (xدﻗﯿﻘﺎ ﯾﮏ رﯾﺸﻪ دارد. (5اﺑﺘﺪا ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ ﺗﻮاﺑﻊ داده ﺷﺪه در ﺷﺮاﯾﻂ ﻗﻀﯿﻪ ﻣﻘﺪار ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ ﺻﺪق ﻣﯽ ﮐﻨﻨـﺪ .ﺳـﭙﺲ ﻣﻘﺪار cﻣﺮﺑﻮﻃﻪ را ﺑﺪﺳﺖ آورﯾﺪ. , x ∈ [o , 1] (1
2 x3
= ). f ( x
1
2 − f ' ( x) = x 3 3 ﺣﻞ(
ﭘﺲ fروي ] [o , 1ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ و روي ) (o , 1ﻣﺸﺘﻖ ﭘﺬﯾﺮ اﺳﺖ. 2 1 )f (1) − f (o = ⋅3 =1 3 c 1− o 8 =⇒c 27
(2 1 3 , x∈ , 3 x −1 2
f ( x) = x − 1 +
3 3 , 3 , 3 2ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ روي ﺣﻞ( ﺗﺎﺑﻊ داده ﺷﺪه روي 2ﻣﺸﺘﻖ ﭘﺬﯾﺮ اﺳﺖ،
www.fanavari-IT.ir
٧
ﻓﺼﻞ ﭼﻬﺎرم :ﮐﺎرﺑﺮد ﻣﺸﺘﻖ 1
(c − 1) 2
f ' (c ) = −
3 ) ( f ( 3) − f 1 2 ⇒ 1− = 2 3 )(c − 1 3− 2 = o ⇒ (c − 1) 2 = 1
5−5 2 2
3 2
=
2
1
)(c − 1
1−
⇒c=o
(3 ] 5وx ∈ [− 1
2 x + 3, x < 3 15 − 2, x ≥ 3
ﺣﻞ( ﺗﺎﺑﻊ در 3ﻣﺸﺘﻖ ﭘﺬﯾﺮ ﻧﯿﺴﺖ ،ﭼـﻮن f ' − ( 3 ) = 2و ، f ' + ( 3) = −2ﭘـﺲ ﺷـﺮاﯾﻂ ﻗﻀﯿﻪ را ﻧﺪارد. 2
3 . x ∈ [− 4 , 5] , f ( x) = 3( x − 4) (4
ﺣﻞ(
1 3
−
) f ، f ' ( x) = 2( x − 4در ] 5و 4 ∈ [− 4ﻣﺸـﺘﻖ ﭘـﺬﯾﺮ ﻧﯿﺴـﺖ ،ﭘـﺲ ﺷـﺮاﯾﻂ
ﺑﺮﻗﺮار ﻧﯿﺴﺖ. x2 − 3 = )x ∈ [− 5 , o] , f ( x x + 3 (5 .
ﺗﺎﺑﻊ در ] − 3 ∈ [− 5 , oﭘﯿﻮﺳﺘﻪ ﻧﯿﺴﺖ ﭘﺲ ﺷﺮاﯾﻂ ﻗﻀﯿﻪ ﺑﺮﻗﺮار ﻧﯿﺴﺖ. 2 . x ∈ [− 1 , 5] , f ( x) = x + 7 x − 1 (6
www.fanavari-IT.ir
٨
ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )(١
ﺣﻞ( ﭼﻮن fﭼﻨﺪ ﺟﻤﻠﻪ اي اﺳﺖ ،ﺷﺮاﯾﻂ ﺑﺮﻗﺮار اﺳﺖ .ﭘﺲ f (5) − f (−1) 49 − 7 = =7 6 6
= 2c + 7 ⇒c=o
) (6ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ ﻫﺮ ﭼﻨﺪ ﺟﻤﻠﻪ اي از درﺟﻪ 3ﺣﺪاﮐﺜﺮ 3رﯾﺸﻪ ﺣﻘﯿﻘﯽ دارد. ﺣﻞ( ﭼﻮن ﻣﺸﺘﻖ ﭼﻨﺪﺟﻤﻠﻪ اي درﺟﻪ ،3ﭼﻨﺪﺟﻤﻠﻪ اي درﺟﻪ 2اﺳﺖ و ﺣﺪاﮐﺜﺮ 2رﯾﺸـﻪ دارد ﭘﺲ ﭼﻨﺪﺟﻤﻠﻪ اي درﺟﻪ 3ﺣﺪاﮐﺜﺮ 3رﯾﺸﻪ دارد. 5 3 ) (7ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ ﻣﻌﺎدﻟﻪ x + 3 x + x + 13 = oداراي ﺑﯿﺶ از ﯾﮏ رﯾﺸﻪ ﺣﻘﯿﻘﯽ ﻧﯿﺴﺖ.
ﺣﻞ( ﭼﻮن درﺟﻪ ﭼﻨﺪ ﺟﻤﻠﻪ اي ﻓﺮد اﺳﺖ ،ﺣﺪاﻗﻞ ﯾﮏ رﯾﺸﻪ ﺣﻘﯿﻘﯽ دارد. 4 2 از ﻃﺮﻓﯽ f ' ( x) = 5 x + 9 x + 1ﻫﯿﭻ رﯾﺸﻪ اي ﻧﺪارد ،ﭘﺲ ﭼﻨـﺪ ﺟﻤﻠـﻪ اي داده ﺷـﺪه،
دﻗﯿﻘﺎ ﯾﮏ رﯾﺸﻪ دارد. 2n +1 ) (8ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ ﻣﻌﺎدﻟﻪ x + ax + b = oﺑﺮاي n ∈ N , a > oدﻗﯿﻘﺎ ﯾﮏ رﯾﺸﻪ دارد.
ﺣﻞ( ﭼﻮن ﭼﻨﺪﺟﻤﻠﻪ اي از درﺟﻪ ﻓﺮد اﺳﺖ ،ﺣﺪاﻗﻞ ﯾﮏ رﯾﺸﻪ دارد. 2n از ﻃﺮﻓﯽ f ' ( x) = (2n + 1) x + aو ، a > oﭘﺲ ) f ' ( xﻫﯿﭻ رﯾﺸﻪ اي ﻧﺪارد ،ﭘـﺲ
ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﻗﯿﻘﺎ ﯾﮏ رﯾﺸﻪ دارد. 5 3 ) (9ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ x + x + x + 1 = oدﻗﯿﻘﺎ ﯾﮏ رﯾﺸﻪ دارد. 4 2 از ﻃﺮﻓﯽ f ' ( x) = 5 x + 3 x + 1ﻫﯿﭻ رﯾﺸﻪ اي ﻧﺪارد ﭘﺲ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﻗﯿﻘﺎ ﯾﮏ رﯾﺸﻪ دارد.
) (10ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ x < Ln(1 + x) < x 1+ x
و )( x > o
.
ﺣﻞ( ﺗﺎﺑﻊ ) f (t ) = Ln(1 + nرا روي ﺑﺎزه ] xو [oدر ﻧﻈﺮ ﺑﮕﯿﺮﯾﺪ اﯾﻦ ﺗﺎﺑﻊ ﺷﺮاﯾﻂ ﻗﻀـﯿﻪ
www.fanavari-IT.ir
ﻓﺼﻞ ﭼﻬﺎرم :ﮐﺎرﺑﺮد ﻣﺸﺘﻖ
٩
ﻣﻘﺪار ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ را دارد .ﭘﺲ: )f ( x) − f (o x−o
= ) f ' (c
o<c< x )Ln(1 + x 1 ⇒ = x 1+ c )Ln(1 + x 1 1 1 ⇒c < x < = ⇒ )< Ln(1 + x x 1+ x 1+ c 1+ x 1 )Ln(1 + x 1 >=1 = ⇒o<c 1+ c x 1+ o x ⇒ < Ln(1 + x) < x 1+ x
) (11ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ. 1 1 1 < ) < Ln(1 + 1+ x x x
( x > o),
1 ﺣﻞ( ﮐﺎﻓﯽ اﺳﺖ در ﺗﻤﺮﯾﻦ ﻗﺒﻞ ﺑﻪ ﺟﺎي xﻗﺮار دﻫﯿﻢ xدارﯾﻢ: 1 ) < Ln(1 + x 1 1 1 < ) < Ln(1 + 1+ x x x
1 x
1 1+ x
⇒
) (12اﮔﺮ fﺑﺮ ﺑﺎزه ﺑﺴﺘﻪ ]1و [oﭘﯿﻮﺳﺘﻪ و f (o) = oو اﮔﺮ ) f ' ( xﺑـﺮ ﺑـﺎزه ﺑﺴـﺘﻪ ﺑـﺎز )f ( x )1و (oﻣﻮﺟﻮد و ﺻﻌﻮدي ﺑﺎﺷﺪ ،ﻧﺸـﺎن دﻫﯿـﺪ ﮐـﻪ x
= )g ( x
ﻧﯿـﺰ ﺑـﺮ ﺑـﺎزه )1و (o
ﺻﻌﻮدي اﺳﺖ. ﺣﻞ( ﺑﺮاي o < x < 1ﻃﺒﻖ ﻗﻀﯿﻪ ﻣﻘﺪار ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ دارﯾﻢ:
www.fanavari-IT.ir
ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )(١
١٠
)f ( x) − f (o )= f ' (cx x−o o < x1 < x2 < 1 ⇒ cx1 ≤ cx2 = )g ( x
' fﺻﻌﻮدي اﺳﺖ ) f ' ⇒ f ' (cx1 ) ≤ f ' (cx2 gﺻﻌﻮدي اﺳﺖ ⇒ g ( x1 ) ≤ g ( x2 ) ⇒ g x ) (13ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ 1 + x2
= )f ' ( x
.ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ ﺑﻪ ازاي ﻫﺮ aو bﻣﺘﻤﺎﯾﺰ دارﯾﻢ:
1 f (b) − f (a ) ≤ b − a 2
ﺣﻞ( x2 (1 + x2 ) 2
≤ 1−
1 − x2
(1 + x2 ) 2
=
2 2 2 از ﻃﺮﻓﯽ ) 2 x ≤ (1 + xﭘﺲ
1 + x2 − 2 x2 (1 + x2 ) 2
1 2
≥
= )f ' ( x
x2 2 2 ) . (1 + xﻟﺬا
1 1 = f ' ( x) ≤ 1 − 2 2
ﺣﺎل اﮔﺮ aو bﻣﺘﻤﺎﯾﺰ و دﻟﺨﻮاه ﺑﺎﺷﺪ. 1 ) f (b) − f (a ≤ ) = f ' (c 2 b−a
1 ⇒ f (b) − f (a ) ≤ b − a 2
π ) (14اﮔﺮ 2
< o < β ≤α
ﺑﺎﺷﺪ ،ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ ﮐﻪ:
www.fanavari-IT.ir
ﻓﺼﻞ ﭼﻬﺎرم :ﮐﺎرﺑﺮد ﻣﺸﺘﻖ α−β cos 2 α
≤ ≤ tan α − tan β
١١
α −β 2
cos β
ﺣﻞ( ﺗﺎﺑﻊ f ( x) = tan xرا روي ﺑﺎزه ] αو [βدر ﻧﻈﺮ ﺑﮕﯿﺮﯾﺪ. اﯾﻦ ﺗﺎﺑﻊ ﺷﺮاﯾﻂ ﻗﻀﯿﻪ ﻣﻘﺪار ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ را داراﺳﺖ .ﭘﺲ: tan α − tan β 1 = α −β cos 2 c 1
2 ﭼﻮن β < c < αو cos xﺗﺎﺑﻌﯽ ﺻﻌﻮدي اﺳﺖ .ﭘﺲ
1
cos2 α
≤
1
2
cos c
≤
1
2
cos β
ﻟﺬا 1 tan α − tan β ≤ α −β cos 2 α
≤
1
2
cos β
) (15درﺳﺘﯽ ﻗﻀﯿﻪ ﻣﻘﺪار ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ را ﺑﺮاي ﺗﺎﺑﻊ زﯾﺮ در ﻓﺎﺻﻠﻪ ]2و [oﺑﺮرﺳﯽ ﮐﻨﯿﺪ. 3 − x2 ,o ≤ x ≤ 1 2 f ( x) = 1 , x > 1 x lim f ( x) = f (1) = 1 x → 1ﭘﺲ ﺗﺎﺑﻊ ﻫﻤﻪ ﺟﺎ ﺧﺼﻮﺻـﺎ روي ] [o , 2ﭘﯿﻮﺳـﺘﻪ اﺳـﺖ .از ﺣﻞ(
ﻃﺮﻓﯽ:
www.fanavari-IT.ir
١٢
ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )(١
− x,o ≤ x ≤ 1 f '− (1) = f '+ (1) = 1 , f ' ( x) = 1 − x2 , x > 1
ﭘﺲ ﻣﺸﺘﻖ fﻫﻤﻪ ﺟﺎ ﺧﺼﻮﺻﺎ روي ) (o , 2ﻣﻮﺟـﻮد اﺳـﺖ .ﻟـﺬا ﺷـﺮاﯾﻂ ﻗﻀـﯿﻪ ﻣﻘـﺪار ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ ﺑﺮﻗﺮار اﺳﺖ. −x ) (16ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ ﮐﻪ ﻣﻌﺎدﻟﻪ x = 2ﯾﮏ و ﺗﻨﻬﺎ رﯾﺸﻪ در ﺑﺎزه ) (o , 1دارد.
ﺣﻞ( از x = 2 − xﻧﺘﯿﺠﻪ ﻣﯽ ﮔﯿﺮﯾﻢ Log 2 x = − x x ﺣﺎل ﺗﺎﺑﻊ f ( x) = Log 2 + xرا روي ﻓﺎﺻﻠﻪ ) (o , 1در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﯿﺮﯾﺪ.
f (1) = 1 > o 1 1 1 1 , 1 ⇒ f ( ) = −1 + = − < o 2 2 2 fرﯾﺸﻪ اي در 2 دارد. 1 1 ⋅ +1 Ln2 x از ﻃﺮﻓﯽ
= )f ' ( x
ﻫﯿﭻ رﯾﺸﻪ اي ﻧﺪارد .ﭘﺲ Log 2x = x
−x دﻗﯿﻘﺎ ﯾﮏ رﯾﺸﻪ دارد ،ﻟﺬا x = 2دﻗﯿﻘﺎ ﯾﮏ رﯾﺸﻪ در ) (o , 1دارد. 3 ) (17ﻗﻀﯿﻪ رل را ﺑﯿﺎن ﮐﺮده ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از آن ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ ﮐﻪ ﻣﻌﺎدﻟﻪ x + x − 1 = oﯾـﮏ
و ﻓﻘﻂ ﯾﮏ رﯾﺸﻪ ﺣﻘﯿﻘﯽ دارد. ﺣﻞ( اﮔـﺮ fروي ] [a, bﭘﯿﻮﺳـﺘﻪ و روي ) (a, bﻣﺸـﺘﻖ ﭘـﺬﯾﺮ ﺑﺎﺷـﺪ و )f (a ) = f (b
آﻧﮕﺎه ) c ∈ (a , bﻣﻮﺟﻮد اﺳﺖ ﮐﻪ . f ' (c ) = o ﭼﻮن ﻣﻌﺎدﻟﻪ داده ﺷﺪه از درﺟﻪ ﻓﺮد اﺳﺖ ﭘﺲ ﺣﺪاﻗﻞ ﯾﮏ رﯾﺸﻪ دارد. 2 از ﻃﺮﻓﯽ f ' ( x) = 3 x + 1ﻫﯿﭻ رﯾﺸﻪ اي ﻧﺪارد ،ﭘﺲ ﻃﺒﻖ ﻗﻀﯿﻪ رل ) f (xﻧﻤﯽ ﺗﻮاﻧـﺪ
ﺑﯿﺶ از ﯾﮏ رﯾﺸﻪ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ.
www.fanavari-IT.ir
١٣
ﻓﺼﻞ ﭼﻬﺎرم :ﮐﺎرﺑﺮد ﻣﺸﺘﻖ
) (18ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﻗﻀﯿﻪ رل ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ ﺑـﯿﻦ ﻫـﺮ دو رﯾﺸـﻪ ﺣﻘﯿﻘـﯽ ﻣﻌﺎدﻟـﻪ e x sin x = 1 x ﺣﺪاﻗﻞ ﯾﮏ رﯾﺸﻪ e cos x = −1ﻗﺮار دارد. x −x x ﺣﻞ( e sin x = 1ﻣﻌﺎدل اﺳﺖ ﺑـﺎ . sin x = eو e cos x = −1ﻣﻌـﺎدل اﺳـﺖ ﺑـﺎ −x . cos x = −e −x ﺣﺎل ﺗﺎﺑﻊ f ( x) = sin x − eرا در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﯿﺮﯾﺪ .اﯾﻦ ﺗﺎﺑﻊ ﺷﺮاﯾﻂ ﻗﻀﯿﻪ رل را داراﺳﺖ و −x . f ' ( x) = cos x + e
ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ﺑﯿﻦ ﻫﺮ دو رﯾﺸﻪ ) f ' ( xوﺟﻮد دارد. −x −x ﯾﻌﻨﯽ ﺑﯿﻦ ﻫﺮ دو رﯾﺸﻪ sin x = eﯾﮏ رﯾﺸﻪ از cos x = −eوﺟﻮد دارد.
x +1 1 ≥) x ) (19ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﻗﻀﯿﻪ ﻣﻘﺪار ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪa + 1 . x+1 x >) x ﺣﻞ( ﻃﺒﻖ ﺗﻤﺮﯾﻦ ) (11ﺑﺮاي x > oدارﯾﻢ x + 1
(Ln
(o < x ≤ 1 Ln
.
اﺳﺖ.
x 1 ≤ ﺣﺎل اﮔﺮ o < x ≤ 1آﻧﮕﺎه x + 1 1 + xﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ: x x+1 (≤ Ln ) x+1 x
) (20ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﻗﻀﯿﻪ ﻣﻘﺪار ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ ﮐﻪ ﺑـﻪ ازاي ﻫـﺮ ﻋـﺪد ﺣﻘﯿﻘـﯽ α ≥ 1
راﺑﻄﻪ زﯾﺮ ﺑﺮﻗﺮار اﺳﺖ) .ﺑﻪ ﺷﺮط آﻧﮑﻪ (z + 1) > oﺑﺎﺷﺪ(. اﮔﺮ
α z ≥ o (1 + z) ≥ 1 + αz
α ﺣﻞ( ﺗﺎﺑﻊ f ( x) = (1 + x) − αxرا روي ﻓﺎﺻﻠﻪ ] zو [oدر ﻧﻈﺮ ﺑﮕﯿﺮﯾﺪ
www.fanavari-IT.ir
ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )(١
١٤
اﯾــﻦ ﺗــﺎﺑﻊ ﺷــﺮاﯾﻂ ﻗﻀــﯿﻪ ﻣﻘــﺪار ﻣﯿــﺎﻧﮕﯿﻦ را داراﺳــﺖ .ﭘــﺲ o < c < zﻣﻮﺟــﻮدات ﮐــﻪ )f ( z) − f (o (1 + z)α − αz − 1 ⇒ ) = f ' (c = α (1 + c)α −1 − α ≥ o z−o z ﭼﻮن c > oاﺳﺖ ﭘﺲ (1 + z)α ≥ 1 + αz α اﮔﺮ z < oﺗﺎﺑﻊ f ( x) = (1 + x) − αxرا روي ] oو [zدر ﻧﻈﺮ ﻣﯽ ﮔﯿﺮﯾﻢ
)f (o) − f ( z ) = f ' (c o −z
1 − (1 + z)α + αz = (1 + c)α − α ≤ o o −z ⇒ 1 + αz ≤ (1 + z)α 4 2 ) (21ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﻗﻀﯿﻪ رل ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ ﮐﻪ ﻣﺸﺘﻖ ﺗﺎﺑﻊ f ( x) = x − 8 x − 12xﻓﻘـﻂ
ﯾﮏ رﯾﺸﻪ در ]1و [− 1دارد. ﺣﻞ( f ' ( x) = 4 x 3 − 16 x − 12 16 4 ⇒ x=±2 12 3
f ' ' ( x) = 12x2 − 16
= f ' ' ( x) = o ⇒ x2
رﯾﺸﻪ ﻫﺎي ) f ' ' ( xﺧﺎرج ]1و [− 1ﻗﺮار دارﻧﺪ ﭘﺲ )f ' ( x
ﺣﺪاﮐﺜﺮ ﯾﮏ رﯾﺸـﻪ در ]1و[− 1
دارد. از ﻃﺮﻓﯽ f ' (−1) = −4 + 16 − 12 = oو اﯾﻦ ﺗﻨﻬﺎ رﯾﺸﻪ ﺗﺎﺑﻊ ﻣﺸﺘﻖ اﺳﺖ. 5 3 ) (22ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ ﮐﻪ ﺗـﺎﺑﻊ f ( x) = 4 x + 3 x + 3 x − 2در ﻓﺎﺻـﻠﻪ ] [o , 1ﺗﻨﻬـﺎ ﯾـﮏ
رﯾﺸﻪ دارد.
www.fanavari-IT.ir
ﻓﺼﻞ ﭼﻬﺎرم :ﮐﺎرﺑﺮد ﻣﺸﺘﻖ
١٥
ﺣــﻞ( f (1) = 8 > o , f (o) = −2 < oﭘــﺲ ﺣــﺪاﻗﻞ ﯾــﮏ رﯾﺸــﻪ در ] [o , 1دارد .از ﻃﺮﻓﯽ: f ' ( x) = 2 o x4 + 9 x2 + 3 > o
) f ' ( xﻫﯿﭻ رﯾﺸﻪ اي ﻧﺪارد ﭘﺲ ) f (xدﻗﯿﻘﺎ ﯾﮏ رﯾﺸﻪ دارد. ) (23ﻓــﺮض ﮐﻨﯿــﺪ ) f (xروي ] [o , 1ﻣﺸــﺘﻖ ﭘــﺬﯾﺮ ﺑﺎﺷــﺪ .ﺛﺎﺑــﺖ ﮐﻨﯿــﺪ ﻋــﺪدي ﻣﺎﻧﻨــﺪ o < c < 1 , cوﺟﻮد دارد ﺑﻪ ﻃﻮري ﮐﻪ )c 2 f ' (c) + 2cf (c ) = f (1 2 ﺣﻞ( ﺗﺎﺑﻊ ) h( x) = x f ( xرا روي ﻓﺎﺻﻠﻪ ]1و [oدر ﻧﻈﺮ ﺑﮕﯿﺮﯾﺪ اﯾﻦ ﺗﺎﺑﻊ ﺷـﺮاﯾﻂ ﻗﻀـﯿﻪ
ﻣﻘﺪار ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ را داراﺳﺖ ﭘﺲ: )h(1) − h(o ) = h' ( c 1− o f (1) − o ) = c 2 f ' (c ) + 2cf (c o < c <1 , 1 o < c <1 ,
)⇒ c 2 f ' (c ) + 2cf (c ) = f (1
8-3-4ﺗﻤﺮﯾﻦ ﺻﻔﺤﻪ . 300 ) (1ﺗﻌﯿﯿﻦ ﮐﻨﯿﺪ ﺗﻮاﺑﻊ زﯾﺮ روي ﭼﻪ ﺑﺎزه ﻫﺎﯾﯽ ﺻﻌﻮدي ﯾﺎ ﻧﺰوﻟﯽ ﻫﺴﺘﻨﺪ. f ( x) = − x5 − 4 x + 2
)1
f ' ( x) = 5 x4 − 4 = −(5 x4 + 4) < o
fﻫﻤﻮاره ﻧﺰوﻟﯽ اﺳﺖ. f ( x) = x4 − 2x2
)f ' ( x) = 4 x3 − 4 x = 4 x( x2 − 1
)2
ﺗﺎﺑﻊ روي ) ∞ [1 +ﺗﺎﺑﻊ ﺻﻌﻮدي روي ] [o , 1ﻧﺰوﻟﯽ
www.fanavari-IT.ir
ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )(١
١٦
روي ] [− 1 , oﺗﺎﺑﻊ ﺻﻌﻮدي و روي ] (− ∞ , − 1ﻧﺰوﻟﯽ اﺳﺖ. − x+2
( x − 1)2
)( x − 3
=
( x − 1) 3
)( x − 1)(− x + 1 + 2x − 4 ( x − 1)4
=
)− ( x − 1)2 − 2( x − 1)(− x + 2 ( x − 1)4
= )f ( x
)3
= )f ' ( x
ﺗﺎﺑﻊ روي ) (1 , 3ﻧﺰوﻟﯽ و روي ) ∞ (3 , +و ) (− ∞ , 1ﺻﻌﻮدي اﺳﺖ.
=o⇒ x= ± 2
)
ﺗﺎﺑﻊ روي 2
4 − 2x2
2
4−x
=
x2 2
(
4−x
f ( x) = x 4 − x2 f ' ( x) = 4 − x2 −
( )
)
− 2 ,ﺻﻌﻮدي و روي − 2 , − 2و 2 , 2
]f ( x) = [x
)4
(
ﻧﺰوﻟﯽ اﺳﺖ.
)5
ﺗﺎﺑﻊ ﺟﺰء ﺻﺤﯿﺢ ﻫﻤﻪ ﺟﺎ ﺻﻌﻮدي اﺳﺖ. f ( x) = x − x + 1
)6
1 → x < −1 f ( x) = − 2 x − 1 → −1 ≤ x < o − 1 → o ≤ x f ( x) = x + cos x f ' ( x) = 1 − sin x ≥ o
)7
ﻫﻤﻮاره ﺻﻌﻮدي اﺳﺖ. x 2
x +1
2
1 − x2
)(1 + x2
= )f ( x
)8
= )f ' ( x
www.fanavari-IT.ir
١٧
ﻓﺼﻞ ﭼﻬﺎرم :ﮐﺎرﺑﺮد ﻣﺸﺘﻖ
ﺗﺎﺑﻊ روي ) (− 1 , 1ﺻﻌﻮدي و روي ) (− ∞ , − 1و ) ∞ (1 , +ﺻﻌﻮدي اﺳﺖ. f ( x) = x + 1 − x
1 1 1 1 1 − ( = − )<o 2 x +1 2 x 2 x +1 x 1 ﺗﺎﺑﻊ ﻫﻤﻮاره ﻧﺰوﻟﯽ اﺳﺖ .ﭼﻮن x
4 x2 − 1 2x2
1 2x =
f ( x) = 2 x +
1
≤
= )f ' ( x
1
x +1
.
)10
f ' ( x) = 2 −
2x2
1 1 1 , + ∞ − , 2 ﺗﺎﺑﻊ روي 2 2 ﻧﺰوﻟﯽ و روي 5 − 2 x2
5 − x2
=
ﺗـــﺎﺑﻊ روي
)9
f ( x) = x 5 − x2
x2 5 − x2 5 2
1 − ∞ , − و 2 ﺻﻌﻮدي اﺳﺖ. )11
f ' ( x) = 5 − x2 −
5 − , 2
5 − 5 , − 2 ﺻـــﻌﻮدي و روي
5 و
5 2 ,
ﻧﺰوﻟﯽ اﺳﺖ. 1 = 2 − ( x − 1) 3
)f ( x
ﻫﻤﻮاره ﻧﺰوﻟﯽ اﺳﺖ ⇒ < o
)12 2 3
−
)f ' ( x) = −( x − 1 f ( x) = x3 ( x − 2)2
)f ' ( x) = 3 x2 ( x − 2)2 + 2 x3 ( x − 2) = x2 ( x − 2)(3 x − 6 + 2x) = x2 ( x − 2)(5 x − 6
)13
www.fanavari-IT.ir
ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )(١
١٨
6 6 2 و و∞ − ﺗﺎﺑﻊ روي 5 و ) ∞ +و (2ﺻﻌﻮدي و روي 5 ﻧﺰوﻟﯽ اﺳﺖ. f ( x) = cos 2 x + cos x − 2 )f ' ( x) = − sin 2 x − cos x = − cos x(2 sin x + 1 1 ) = −2 cos x(sin x + 2 (14 π ⇒ ⇒ f ' ( x) < o 2 ﺗﺎﺑﻊ ﻧﺰوﻟﯽ
<o< x
π ⇒ < x < π ⇒ f ' ( x) > o 2 ﺗﺎﺑﻊ ﺻﻌﻮدي 7π ⇒ ⇒ f ' ( x) < o 6 ﺗﺎﺑﻊ ﻧﺰوﻟﯽ
<π < x
7π 3π << x ⇒ ⇒ f ' ( x) > o 6 2 ﺗﺎﺑﻊ ﺻﻌﻮدي 3π 11π << x ⇒ ⇒ f ' ( x) < o 2 6 ﺗﺎﺑﻊ ﻧﺰوﻟﯽ 11π ⇒ < x < 2π ⇒ f ' (m) > o 6 ﺗﺎﺑﻊ ﺻﻌﻮدي π ) (2ﺑﺎ ﻓﺮض 2
<o< x
،ﻧﺎﻣﺴﺎوي ﻫﺎي زﯾﺮ را ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ.
اﻟﻒ( . sin x < x ﺣﻞ( ﺗﺎﺑﻊ
f (t ) = sin tرا روي ] [o , xدر ﻧﻈﺮ ﺑﮕﯿﺮﯾﺪ
ﺷﺮاﯾﻂ ﻗﻀﯿﻪ ﻣﻘﺪار ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ را دارد ﭘﺲ.
www.fanavari-IT.ir
١٩
ﻓﺼﻞ ﭼﻬﺎرم :ﮐﺎرﺑﺮد ﻣﺸﺘﻖ sin x )f ( x) − f (o ⇒ ) = f ' (c = cos c < 1 ⇒ sin x < x x−o x x3 x− < sin x 6 ب( t3 ﺣﻞ( ﺗﺎﺑﻊ 6
f (t ) = sin t +
را روي ﻓﺎﺻﻠﻪ ] [o , xدر ﻧﻈﺮ ﺑﮕﯿﺮﯾﺪ
ﺷﺮاﯾﻂ ﻗﻀﯿﻪ ﻣﻘﺪار ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ را دارد .ﭘﺲ دارﯾﻢ x3 2 3 6 = cos c + c > 1 ⇒ sin x > x − x x 3 6
sin x +
)f ( x) − f (o ⇒ ) = f ' (c x−o
) (3ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ. )( x > o x < Αrc tan t < x 1 + x2
ﺣﻞ( ﺗﺎﺑﻊ f (t ) = Αrc tan tرا روي ﺑﺎزه ] [o , xدر ﻧﻈﺮ ﺑﮕﯿﺮﯾﺪ ﺷﺮاﯾﻂ ﻗﻀﯿﻪ ﻣﻘﺪار ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ را دارد .ﭘﺲ دارﯾﻢ: )f ( x) − f (o Αrc tan x − o 1 = ⇒ ) = f ' (c x−o x 1 + c2
ﭼﻮن o < c < xﭘﺲ < Αrc tan x < x
<1 x
1 + x2
1
1 + c2 ⇒
<
2
1
1 + xﻟﺬا دارﯾﻢ:
Αrc tan x <1 x
<
2
1
1+ x
) (4ﺑﺎ ﻓﺮض ) f ( x) = x − Ln(1 + xو o < x < 1ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ.
www.fanavari-IT.ir
ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )(١
٢٠
x2 x2 < )< x − Ln(1 + x 4 2
2 ﺣــﻞ( ﺗــﺎﺑﻊ ) f (t ) = t − Ln(1 + tو g (t ) = tروي ] xو [oﺷــﺮاﯾﻂ ﻗﻀــﯿﻪ ﻣﻘــﺪار
ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ را دارﻧﺪ ،ﭘﺲ دارﯾﻢ: 1 1 + c ⇒ x − Ln(1 + x) = c / 2c 2c 1+ c x2
1−
)f ( x) − f (o) f ' (c )x − Ln(1 + x = ⇒ = )g ( x) − g (o) g ' (c x2 )x − Ln(1 + x 1 = 2 ) 2(1 + c x
از ﻃﺮﻓﯽ ﭼﻮن o < c < x < 1ﻟﺬا دارﯾﻢ: 1 1 1 < < 4 2(1 + c ) 2
ﭘﺲ دارﯾﻢ: 1 x − Ln(1 + x) 1 x2 x2 < < ⇒ < − ( + ) < x Ln x 1 4 2 4 2 x2 x < Ln(1 + x) < x 1+ x ) (5ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ:
)( x > o
ﺣﻞ( ﺑﻪ ﺗﻤﺮﯾﻦ ﺻﻔﺤﻪ 292ﻣﺮاﺟﻌﻪ ﮐﻨﯿﺪ. ) (6ﻧﺎﻣﺴﺎوي زﯾﺮ را ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ:
2 π < x < sin x < x,o < x π 2
ﺣﻞ( ﻧﺎﻣﺴﺎوي sin x < xدر ﺗﻤﺮﯾﻦ 2ﻗﺴﻤﺖ اﻟﻒ ﻧﺸﺎن داده ﺷﺪ. π 2 f (t ) = sin t − t x, 2 ﺑﺮاي x > oﺗﺎﺑﻊ π در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﯿﺮﯾﺪ ،اﯾﻦ ﺗـﺎﺑﻊ را روي ﻓﺎﺻﻠﻪ
www.fanavari-IT.ir
٢١
ﻓﺼﻞ ﭼﻬﺎرم :ﮐﺎرﺑﺮد ﻣﺸﺘﻖ
ﺷﺮاﯾﻂ ﻗﻀﯿﻪ ﻣﻘﺪار ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ را دارد. 2 2 π )o −(sin x − x sin x − x )f ( ) − f ( x 2 π 2 π = 2 − cos c ⇒ )f ' ( c ⇒ = cos c − π π π π π −x −x −x 2 2 2 π ) (7اﮔﺮ 2
<o< x
ﺑﺎﺷﺪ ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ:
. tan x + sin x > 2x
) (8ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ﺗﺎﺑﻊ fدر ﺑﺎزه ] [a, bﭘﯿﻮﺳﺘﻪ و ' ' fدر ﻓﺎﺻﻠﻪ ) (a, bﻫﻤـﻮاره ﻣﻮﺟـﻮد و ﻣﺜﺒﺖ ﺑﺎﺷﺪ .ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ. 1 x+ y ))) ≤ ( f ( x) + f ( y 2 2
( ∀x, y ∈ [a , b ] : f
) (9اﮔﺮ fدر ﺑﺎزه ]1و [oﭘﯿﻮﺳـﺘﻪ و f (o) = oو اﮔـﺮ ) f ' ( xﺑـﺮ ﺑـﺎزه ) (o,1ﻣﻮﺟـﻮد و )f ( x ﺻﻌﻮدي ﺑﺎﺷﺪ .ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ ﮐﻪ x
= )g ( x
ﻧﯿﺰ ﺑﺮ ﺑﺎزه ) (o,1ﺻﻌﻮدي اﺳﺖ.
ﺣﻞ( ﺑﻪ ﺗﻤﺮﯾﻦ 12ﺻﻔﺤﻪ 292ﻣﺮاﺟﻌﻪ ﮐﻨﯿﺪ.
www.fanavari-IT.ir
ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )(١
٢٢
ﻧﻘﺎط ﺑﺤﺮاﻧﯽ ﻫﺮ ﯾﮏ از ﺗﻮاﺑﻊ زﯾﺮ را ﺗﻌﯿﯿﻦ ﮐﻨﯿﺪ. f ( x) = 4 x4 + 4 x3
)1
f ' ( x) = 16 x3 + 12x2 = 4 x2 (4 x + 3 ) = o 3 ⇒ = o, − 4 ﻧﻘﺎط ﺑﺤﺮاﻧﯽ −x =o
x2 − 4
( x2 + 4)2
x2 + 4
=
− x2 − 4 + 2x2 ( x2 + 4)2
= )f ( x
)2
= )f ' ( x
⇒ } = {− 2,2ﻧﻘﺎط ﺑﺤﺮاﻧﯽ
f ( x) = sin 2 x − sin x f ' ( x) = sin 2 x − cos x = o ⇒ cos x = o 1 = sin x 2
)3
π π 5π ⇒ = kπ + ,2kπ + ,2kπ + 2 6 6 ﻧﻘﺎط ﺑﺤﺮاﻧﯽ 3 ≤ x<2 2 2≤ x≤ 5
−
3 − ≤ x<2 2 2≤ x≤5
2 x − 3 f ( x) = − x + 3 2x − 3 f ' ( x) = − 1
)4
ﺗﺎﺑﻊ در x = 2ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﺳﺖ وﻟﯽ ﻣﺸﺘﻖ ﭘﺬﯾﺮ ﻧﯿﺴﺖ .ﭘﺲ x = 2ﻧﻘﻄﻪ ﺑﺤﺮاﻧﯽ اﺳﺖ.
www.fanavari-IT.ir
٢٣
ﮐﺎرﺑﺮد ﻣﺸﺘﻖ:ﻓﺼﻞ ﭼﻬﺎرم
f ( x) =
5)
7 x3
+
4 x3
4
1 3 − 3x 1
2
− 7 4 f ' ( x) = x 3 + x 3 − x 3 3 3
=
7 x2 + 4 x − 3
= o → 7 x2 + 4 x − 3 = o
2 3 x3
3 o,−1, ⇒ 7 ﭘﺲ ﻧﻘﺎط ﺑﺤﺮاﻧﯽ f ( x) = 3 ( x3 − 3 x2 + 4)
6)
f ' ( x) =
3 x2 − 6 x
3 3 ( x3 − 3 x2 + 4)2
3 x2 − 6 x = o
⇒ x = o,2
x3 − 3 x2 + 4 = o ⇒
( x − 2)2 ( x + 1) = o
⇒
= 2,−1
ﻣﺸﺘﻖ ﻣﻮﺟﻮد اﺳﺖ ﭘﺲx = 2 ﺑﻪ ازاي { ﻧﻘﺎط ﺑﺤﺮاﻧﯽo,−1} ⇒ 7)
f ( x) =
2
( x + 1)
( x − 5 x + 4)
(ﺣﻞ D f = R − {1,4} f ' ( x) = ⇒
( x2 − 5 x + 4)2
− x2 − 2 x + 9 = o x=
www.fanavari-IT.ir
x2 − 5 x + 4 − 2 x2 − 2 x + 5 x + 5 ⇒
2
+ 2x − 9 = o
−2± 4o = −1 ± 1 o ⇒ 2 ﻧﻘﺎط ﺑﺤﺮاﻧﯽ
٢٤ +2
ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )(١ 1 − 4 x2
4 ⇒ 3
=
3 x2
= )f ( x
)8 1
] ∞D f = [o,+ 1
− 3x − 4 3 ⇒ = f ' ( x) = x 2 − 2x 2 1 2 2x 2
ﻧﻘﻄﻪ ﺑﺤﺮاﻧﯽ
21-3-4ﺗﻤﺮﯾﻦ ﺻﻔﺤﻪ 313 ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از آزﻣﻮن ﻣﺸﺘﻖ دوم ﻧﻘﺎط ﻣﺎﮐﺰﯾﻤﻢ ﻧﺴﺒﯽ و ﻣﯿﻨﯿﻤﻢ ﻧﺴﺒﯽ ﻫﺮ ﯾﮏ از ﺗﻮاﺑﻊ زﯾـﺮ را ﺗﻌﯿﯿﻦ ﮐﻨﯿﺪ. f ( x) = x 3 − 3 x2 + 4
f ' ( x) = 3 x2 − 6 x = o ⇒ x = o, x = 2 (1 ﻣﺎﮐﺰﯾﻤﻢ ﻧﺴﺒﯽ ⇒ x = o ⇒ f ' ' (o) = −6 ﻣﯿﻨﯿﻤﻢ ﻧﺴﺒﯽ ⇒ x = 2 ⇒ f ' ' (2) = 6
2 x + cos x 2 2 2 π 3π = )f ' ( x = − sin x = o ⇒ sin x ⇒ x= , 2 2 4 4 f ' ' ( x) = − cos x (2 = )f ( x
π π π 2 ⇒ f ' ' ( ) − cos( ) = − ⇒ 4 4 4 2 ﻣﺎﮐﺰﯾﻤﻢ ﻧﺴﺒﯽ 3π 3π 2 = ) ('' ⇒ f ⇒ 4 4 2 ﻣﯿﻨﯿﻤﻢ ﻧﺴﺒﯽ
=x
=x
www.fanavari-IT.ir
٢٥
ﮐﺎرﺑﺮد ﻣﺸﺘﻖ:ﻓﺼﻞ ﭼﻬﺎرم f ( x) = −4 x 3 + 3 x2 + 18 x
f ' ( x) = −12x2 + 6 x + 18 = −6(2x2 − x − 6) = o 1± 7 3 ⇒ x= ⇒ x = 2, x = − 4 2
(3
f ' ' ( x) = −24 x + 6 x = 2 ⇒ f ' ' (2) < o ⇒ ﻣﺎﮐﺰﯾﻤﻢ ﻧﺴﺒﯽ x=−
3 3 ⇒ f ' ' (− ) > o ⇒ 2 2 ﻣﯿﻨﯿﻤﻢ ﻧﺴﺒﯽ
f ( x) = 2 x 3 − 9 x2 + 27
f ' ( x) = 6 x2 − 18 x = 6 x( x − 3 ) ⇒ x = o, x = 3 f ' ' ( x) = 12x − 18 (4 x = o ⇒ f ' ' (o) = −18 < o ⇒ ﻣﺎﮐﺰﯾﻤﻢ ﻧﺴﺒﯽ x = 3 ⇒ f ' ' (o) = 18 > o ⇒ ﻣﯿﻨﯿﻤﻢ ﻧﺴﺒﯽ f ( x) =
1 4 x2
f ' ( x) = 2x
−
+ 4x
1 2
f ' ' ( x) = − x
−
−
1 2
− 2x 3 2
−
3 2
+ 3x
−
= 2( 5 2
1 1 x −1 − ) = 2( ) = o⇒ x=1 x x x x x
(5 f ' ' (1) = 2 > o ⇒ ﻣﯿﻨﯿﻤﻢ ﻧﺴﺒﯽ
f ( x) = ( x − 3) 4 ⇒ . ﻣﯿﻨﯿﻤﻢ ﻧﺴﺒﯽ داردx = 3 درf (6
(7
www.fanavari-IT.ir
(١) ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ
٢٦
f ( x) = ( x − 4)2 x ⇒ D f = [o,+∞ ] f ' ( x) = 2( x − 4) x + ( x − 4) 2 =
( x − 4)(5 x − 4) 2 x
f ' ' ( x) =
1
2 x
= o ⇒ x = 4, x =
2 x (1 o x − 24) −
1
x 2 x
=
4 x( x − 4) + ( x − 4) 2 2 x
4 5
( x − 4)(5 x − 4)
f ' ' (4) =
=
2x(1 o x − 24) − ( x − 4)(5 x − 4) 2x
8 × 16 = 16 > o ⇒ 8 ﻣﯿﻨﯿﻤﻢ ﻧﺴﺒﯽ4 درf
8 × (−4) 4 f ''( ) = 5 <o⇒ 4 8 5 5 ﻣﺎﮐﺰﯾﻤﻢ ﻧﺴﺒﯽ5 درf f ( x) =
9 x2 + x 9
f ' ( x) = −
9
x2
+
2 x − 81 + 2x 3 81 81 = = o ⇒ x3 = ⇒ x = 3 2 9 2 2 (8 9x
ﻣﯿﻨﯿﻤﻢ ﻧﺴﺒﯽ f ' ' ( x) =
www.fanavari-IT.ir
18
2 81 3 + ⇒ f ' ' ( )>o⇒ 2 x3 9
ﻓﺼﻞ ﭼﻬﺎرم :ﮐﺎرﺑﺮد ﻣﺸﺘﻖ
٢٧
www.fanavari-IT.ir
ﻓﺼﻞ ﭘﻨﺠﻢ
ﺿﺪ ﻣﺸﺘﻖ
www.fanavari-IT.ir
٢٩
ﺿﺪ ﻣﺸﺘﻖ:ﻓﺼﻞ ﭘﻨﺠﻢ
350 ﺗﻤﺮﯾﻦ ﺻﻔﺤﻪ9-2-5 :( ﻫﺮ ﯾﮏ از اﻧﺘﮕﺮال ﻫﺎي زﯾﺮ را ﺣﻞ ﮐﻨﯿﺪ1)
∫
( 3 x − 2) 4 dx =
∫2 ∫x
2
x+1
x+1
dx =
1 1 ( 3 x − 2) 5 (3 x − 2) 4 3 dx = ⋅ +c 3 3 5
∫
1 2
∫
1 2 x + 1dx = × ( x + 1) x + 1 + c 2 3
1 + xdx
(اﻟﻒ (ب (ج
2udu = dx ﭘﺲu 2 = 1 + x ﻗﺮار دﻫﯿﺪ
∫ (u = 2( = 2(
∫x
3
2
∫
− 1)2 2u 2 du = 2 (u 6 − 2u 4 + u 2 )du
u 7 2u 5 u 3 − + )+c 7 5 3 7 ( x + 1) 2
7
−
5 2( x + 1) 2
5
+
3 ( x + 1) 2
3
)+c
x2 − 1dx
u 2 = x2 − 1 ⇒ 2udu = 2 xdx ⇒ udu = xdx
∫ ∫
(u 2 + 1)udu =
( x − 1) 2 x
u4 u2 ( x2 − 1) 2 x2 − 1 + +c = + +c 4 2 4 2
(د
dx
(ه
www.fanavari-IT.ir
(١) ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ u = x ⇒ 2du = 2 = ( x − 1) 3 + c 3 x5 dx
∫
=−
1 6
∫
1 − x6 1 = − 1 − x6 + c 3
∫
٣٠
2 ⇒ 2 (u − 1) 2 du = (u − 1) 3 + c 3 x
dx
∫
− 6 x5
1 dx = − × 2 1 − x6 + c 6 1 − x6
(و
xdx 1 + x2 (1 + x2 ) 3
=
∫
xdx 1 + x2 (1 + x2 ) 1 + x2
u 2 = 1 + x2 ⇒ udu = xdx udu udu = 2 3 1 + (u − 1)u 1− u3 + u5
∫
∫
( x + 1)dx
(ز
( x + 1)dx
∫ ( x2 + 2x + 2) 3 = ∫ ((x + 1)2 + 1) 3 u = ( x + 1) 2 + 1 ⇒ 4 − x2
∫
x4
1 1 1 1 = × − × + = − +c c 2 u2 u3 2 4(( x + 1) 2 + 1) 2 du
(ح
dx; u = 2 sin x ⇒ du = 2 cos xdx
1 cos 2 x 1 1 cot 2 x ⋅ csc 2 xdx = − cot 3 x + c dx = 4 4 sin x 4 12
∫
www.fanavari-IT.ir
∫
(ط
٣١
ﺿﺪ ﻣﺸﺘﻖ:ﻓﺼﻞ ﭘﻨﺠﻢ x2 + 1
∫ 3 x3 + 3 x + 1 dx du = ( x2 + 1)dx 3
u = x3 + 3 x + 1 ⇒ 1 3
2
∫3
2
1 3 1 = × u 3 + c = ( x 3 + 3 x + 1) 3 + c 2 u 3 2
du
(ي
∫ x 3 1 − xdx 2
u 3 = 1 − x ⇒ −3u 2 du = dx
∫
∫
− 3 (1 − u 3 ) 2 u 3 du = −3 (u 3 − 2u 6 + u 9 )du
= −3 ( = −3 (
∫3 ∫x
5
u 4 2u 7 u 1o − + )+c 4 7 1o 4 x) 3
(1 − 4
−
2(1 − 7
x2
1 dx = 3 x3 + 1 5 − x2 dx = −
7 x) 3
+
1o x) 3
(1 − 1o
)+c
3 x2
(ك 2
∫3
1 3 dx = × ( x 3 + 1) 3 + c 3 2 x3 + 1
1 2
5 − x2 (−2x)dx
∫
5
(ل
6
1 5 = − × (5 − x2 ) 5 + c 2 6
(م
: ﺑﻪ ﺻﻮرت زﯾﺮ ﺗﻌﺮﯾﻒ ﺷﺪه ﺑﺎﺷﺪF و ﺗﺎﺑﻊf ( x) = x ( ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ2) 1 2 − x , x < o F ( x) = 2 1 x2 , x ≥ o 2
www.fanavari-IT.ir
(١) ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ
٣٢
.( اﺳﺖ− ∞,+∞ ) رويf ﻣﺸﺘﻖ ﯾﮏ ﺿﺪF ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ − x , x < o F ' ( x) = = f ( x) x , x ≥ o (ﺣﻞ
. 355 ﺗﻤﺮﯾﻦ ﺻﻔﺤﻪ13-3-5 dx
∫ 2 4 . را ﺣﻞ ﮐﻨﯿﺪsin x cos x اﻧﺘﮕﺮال dx
sin 2 x + cos 2 x
dx
dx
∫ sin 2 x cos 4 x ∫ sin 2 x ⋅ cos 4 x dx = ∫ cos 4 x + ∫ (sin x cos x)2 =
∫
= sec 4 xdx + 4 = tan x +
dx
∫ (sin 2x)2 = ∫ sec
2
∫
x(1 + tan 2 x)dx + 4 csc 2 2 x
tan 3 x − 2 cot 2 x + c 3
(ﺣﻞ . 357 ﺗﻤﺮﯾﻦ ﺻﻔﺤﻪ20-3-5 .( ﻫﺮ ﯾﮏ از اﻧﺘﮕﺮال ﻫﺎي زﯾﺮ را ﺣﺴﺎب ﮐﻨﯿﺪ1)
∫ tan xdx =∫ tan x(sec x − 1)dx = ∫ tan 2 x sec 2 xdx − ∫ (tan 2 x + 1)dx + ∫ dx 4
2
2
tan 3 x = − tan x + x + c 3
∫ tan xdx = ∫ tan x ⋅ tan xdx = ∫ (sec = ∫ tan 4 x ⋅ sec 2 xdx − ∫ tan 4 xdx 6
=
www.fanavari-IT.ir
2
4
tan 5 x tan 3 x − + tan x − x + c 5 3
(1 2
x − 1) tan 4 xdx
(2
٣٣
ﺿﺪ ﻣﺸﺘﻖ:ﻓﺼﻞ ﭘﻨﺠﻢ cos 3 x
∫ sin 9 x dx =
∫
=−
∫
cos x(1 − sin 2 x) 9
sin x 1
8 sin 8 x
+
sec 4 x ⋅ cot 6 xdx =
=
www.fanavari-IT.ir
sec 2 x
dx =
1
6 sin 6 x sec 4 x
∫ tan 6 x
sec 2 x
cos x
cos x
∫ sin 9 x dx − ∫ sin 7 x dx
+c
dx =
(3
∫ 1
sec 2 x(1 + tan 2 x) tan 6 x
dx
1
∫ tan 6 x dx + ∫ tan 4 x dx = − 5 tan 5 x − 3 tan 3 x + c
(4
(١) ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ
sin 3 x
∫ cos9 x
5)
=
∫
=
sin x(1 − cos2 x)
1
8 cos 8 x
−
cos 9 x 1
6 cos 6 x
٣٤
sin x
∫ cos9 x
dx =
dx −
sin x
∫ cos9 x dx
+c
csc 4 x . cot 7 xdx − csc2 x(cot2 x − 1) cot 7
6)
∫
∫
= cot 9 x . cse2 xdx − cot 7 x . cse2 xd x =−
∫ cos xsec (sin x)dx = ∫ 2
7)
= 8)
=− 9)
∫
∫ sin
cot10 x cot 8 x + +c 10 8
3
sin x cot x cos2 x
dx
1 2 sin x cos x 1 dx = − +c 2 2 2 cos x cos x
∫
∫ sin 2x(1 − cos 2x) cos 2x dx = ∫ cos 5 2x.sin 2 x dx − ∫ cos 7 2 x.sin 2 x dx
2 x. cos 5 2 x dx =
2
5
1 1 cos 6 2 x + cos 8 2 x + c 12 16
tan x(1 + tan x)10 2
dx = u (1 + u ) du 10
cos x dx u = tan x ⇒ du = cos2 x
( tan x + 1)12 (tan x + 1)11 = ∫ ((u + 1) − (u + 1) )du = − 11
www.fanavari-IT.ir
10
12
11
٣٥
ﺿﺪ ﻣﺸﺘﻖ:ﻓﺼﻞ ﭘﻨﺠﻢ 10)
sin x dx
sin x dx
∫ cos2 x + 2 cos+ 1 = ∫ (cos x + 1)2
(u = cos x + 1 =−
− du = sin x dx)
⇒
1
du
∫ u 2 = cos x + 1 + c
In = tan n x dx I 4 In ( ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ2) و, ﯾﮏ ﻓﺮﻣﻮل ﺑﺎزﮔﺸﺘﯽ ﺑﺮاي ﻣﺤﺎﺳـﺒﻪ ﺑﯿﺎﺑﯿـﺪ.
. را ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﮐﻨﯿﺪI 6 (ﺣﻞ
∫
∫
(
)
In = tan n − 2 x . tan 2 x dx = tan n x sec 2 x − 1 dx = tan x
∫
∫
(
)
= tan n −1 x . tan 2 x dx − tan n − 2 x sec n − 2 x − 1 dx =
tan n −1 − I n −2 6 + c n −1
⇒
In + I n − 2 =
tan n −1 +c n −1
∫
I 2 = tan 3 x dx = I4 = I6 =
∫ (sec
2
)
x − 1 dx = tan x − x
tan 3 x − tan x + x + c 3
tan 5 x tan 3 x − + tan x − x + c 5 3
(x, y) ( ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﺳﺘﻪ ﻣﻨﺤﻨﯽ ﻫﺎﯾﯽ راﺑﯿﺎﺑﯿﺪ ﮐﻪ ﺿﺮﯾﺐ زاوﯾﻬﺨﻄﻮط ﻣﻤﺎس در ﻫﺮ ﻧﻘﻄـﻪ3)
www.fanavari-IT.ir
ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )(١
٣٦ x از آن ﺑﺮاﺑﺮ y
−
ﺑﺎﺷﺪ.
ﺣﻞ( ydy = − xdx
⇒
ydy = − xdx + c
⇒
x2 + y2 = 2c
dy x =− dx y
y2 x2 =− =c 2 2
⇒
ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﺳﺘﻪ ﻣﺨﻔﯽﻫﺎ ،دواﯾﺮ ﺑﺮ ﻣﺮﮐﺰ ﻣﺒﺪأ ﻣﺨﺘﺼﺎت اﺳﺖ. ) (4ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﻣﺨﻔﯽ را ﺑﯿﺎﺑﯿﺪ ﮐﻪ از ﻧﻘﻄﻪ ) (2 , 9ﮔﺬﺷﺘﻪ و ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺿﺮﯾﺐ زاوﯾﻪ ﻣﻤﺎس ﺑﺮﺧﯽ 2 3 xﺑﺎﺷﺪ.
∫
y = 3 x2 dx + c c =1
⇒
y = 3 x2
y = x3 + c 9= 8+c
⇒
y = x3 + 1
ﺣﻞ( ) (5ﻣﻌﺎدﻟﻪ y'−2 x = oرا ﺣﻞ ﮐﻨﯿﺪ.
∫
y = 2x + c
ﺣﻞ(
= x2 + c
⇒ y' = 2x ⇒
) (6ﻣﺸﺘﻖ ﺗﺎﺑﻌﯽ ﺑﺮاﺑﺮ x + 3اﺳﺖ .ﻫﺮﮔﺎه ﻣﻘﺪار ﺑﻪ ازاي x = 1ﺑﺮاﺑـﺮ 1ﺑﺎﺷـﺪ ,ﺗـﺎﺑﻊ را ﺑﯿﺎﺑﯿﺪ.
www.fanavari-IT.ir
٣٧
ﺿﺪ ﻣﺸﺘﻖ:ﻓﺼﻞ ﭘﻨﺠﻢ ⇒
(1 , 1)
2 (x + 3 ) x + 3 + c 3 13 2 1 = × 4 × 2× c ⇒ c=− 3 3 2 13 y = (x + 3 ) x + 3 − 3 3 ⇒
⇒
y=
∫
y' = x + 3
x+ 3 +c
y=
(ﺣﻞ
.( ﻫﺮ ﯾﮏ از اﻧﺘﺮاﻟﻬﺎي زﯾﺮ را ﺣﻞ ﮐﻨﯿﺪ7)
∫ cos 2)
1
sin x dx
∫ (1 + cos x)2 = − 1 + cos x + c
1)
∫(
6
x dx =
1 8
∫ (1 + cos 2 x)
3
dx
)
1 1 + 3 cos 2 x + 3 cos2 2 x + cos 3 2 x dx 8 1 3 (1 + cos 4 x)dx + cos 2 x 1 − sin 2 2x dx = dx + 3 cos 2 x dx + 8 2 sin 3 2 x 1 3 3 3 1 = x + sin 2 x + x + sin 4 x + sin 2 x − +c 8 2 2 8 2 6
=
∫
3)
∫
∫
∫
(
∫
(
∫
)
)
2
sin 5 x cos2 x dx = sin x 1 − cos2 x cos2 xdx
∫
∫
∫
= sin x . cos2 x dx − 2 sin x . cos 4 x dx + sin x . cos 6 x dx =−
cos 3 x 2 cos 7 x + cos 5 x − +c 3 5 7
www.fanavari-IT.ir
(١) ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ 4)
∫
(
٣٨
1
)
− cos 3 3 x 2 3 3 x dx dx = cos 3 x 1 − sin 3 x sin 3 sin 3 x
∫
∫
= sin
− 2
1 3
∫
3 x . cos 3 x dx −
x . cos 3 x dx
8
1 1 = sin 3 3 x + sin 3 3 x + c 2 8 5)
5 sin 3
1
∫ sin 3 y cos 3 y dy = 6 sin
2
3y+c
1
∫ cos t . cos 3t dt = 2 ∫ (cos 2t + cos t ) dt
6)
1 1 = sin 2t + sin t + c 4 2
7)
1
∫ sin x . sin 3 x . sin 5 x = ∫ 2 (cos 2x − cos x)sin 5 x dx 1 1 sin 5 x . cos 2 x dx − sin 5 x . cos x dx 2 2 1 7 3 1 (sin 3 x + sin 2 x)dx = sin x + sin x dx − 2 2 2 2 −1 7 1 3 1 1 = cos x − cos x + cos 3 x + cos 2 x + c 7 2 3 2 6 4 =
∫
∫
www.fanavari-IT.ir
∫
∫
٣٩
ﺿﺪ ﻣﺸﺘﻖ:ﻓﺼﻞ ﭘﻨﺠﻢ 8)
1 (2 sin x cos x)4 dx 16 1 1 (1 − cos 4 x)2 sin 4 2x dx = = 32 16
∫ sin
4
∫
x cos 4 x dx =
∫
∫
∫(
)
1 1 − 2 cos 4 x + cos2 4 x dx 32 1 1 1 1 = x − sin 4 x + x + sin 8 x + c 32 2 2 16 =
∫
9)
1 + sin 2 ( x − 1) . sin ( x − 1) cos( x − 1)dx 2 u = 1 + sin ( x − 1)
I=
1 2
∫
u du =
⇒
(
du = sin ( x − 1)cos( x − 1) dx 2
)
1 1 u u +c = 1 + sin 2 ( x − 1) 1 + sin 2( x −1) + c 3 3
dx
dx
dx
∫ cos2 x . sin 2 x = 4∫ (2 sin x cos x)2 = 4∫ sin 2 2x = −2 cot 2x + c
10)
11)
∫
− + sin 2 ( x − 1) =
. sin ( x − 1) cos( x − 1) dx
1 1 13 7 11 9 cos x + cos x + cos x + cos x dx 2 2 4 4 4 4
∫
1 4 13 4 7 4 11 4 9 I = sin + sin x + sin x + sin x + c 2 13 4 7 4 11 4 9 4
www.fanavari-IT.ir
(١) ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ 1 + sin 3 x
(sin x + cos x)
14)
∫
sin 3 x
1 1 1 = tan 3 x − . +c 3 3 cos 3 x
u = sin x − cos x ⇒ du = (cos x + sin x)dx
∫ 3 (sin x − cos x) =
1
∫ cos2 3 x dx = ∫ cos2 3 x dx + ∫ cos2 x dx
12)
13)
٤٠
1
2
2 − dy 3 du = 2 u 3 + c = 2 (sin x − cos x) + c u = 3 3 3 3 u
∫x
∫
n −1
u = xn
sin xn dx =
⇒
du = xn −1 dx n
1 1 sin u du = − cos xn + c n n
∫
sin 3 x
∫ 5 cos 3 x
15)
∫
= cos
−
3 5
∫
= sin x x . sin x dx −
2
∫
1 − cos xn x 5
13 cos 5
sin x
du
1
1
∫ (1 + cos x)2 dx = − ∫ u 2 = u + c = 1 + cos x + c
16)
∫
dx x sin
I =2
www.fanavari-IT.ir
x . sin x dx
18
5 5 = − cos 5 x + cos 5 x + c 2 18
17)
dx
cos 3 x
2
x
,
u = x ⇒ 2du =
du ∫ sin 2 u = −2 cot( x )+ c
dx x
٤١
ﺿﺪ ﻣﺸﺘﻖ:ﻓﺼﻞ ﭘﻨﺠﻢ 18)
x dx
∫ cos2 x2 , I=
19) 20)
∫ sin 2x
www.fanavari-IT.ir
u = x2 ⇒
1 du 1 = tan x2 + c 2 2 cos u 2
∫
∫ sin x(1 + cos x) dx = − ∫ u 5
2 + sin 2 x dx =
∫
du = x dx 2
u du =
(
5
( 1 + cos x)6 du = − +c
)
6
2 1 + sin 2 x 1 + sin 2 x + c 3
ﻓﺼﻞ ﺷﺸﻢ
اﻧﺘﮕﺮال ﻣﻌﲔ
www.fanavari-IT.ir
٤٣
ﻓﺼﻞ ﺷﺸﻢ :اﻧﺘﮕﺮال ﻣﻌﯿﻦ
7-1-6ﻧﮑﺮﯾﻢ ﺻﻔﺤﻪ 364 2 ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده ﺗﻌﺮﯾﻒ ﺣﺪ ,اﻧﺘﮕﺮال ﺗﺎﺑﻊ f (x) = xرا در ﻓﺎﻟﻪ ] [0 , 1ﺑﯿﺎﯾﯿﺪ.
n
∑ i2 i =1
2 1 = 6 3
ﺣﻞ(
2
n
1 1 = lim 3 n n i =1 =
∑
)n(n + 1)(2n + 1 3
6n
x2dx = lim
1
∫ o
= lim
2-2-6ﺗﻤﺮﯾﻦ ﺻﻔﺤﻪ .366 در ﺷﯽ ﺗﺴﺎويﻫﺎي زﯾﺮ ﺛﺎﻟﺚ ﮐﻨﯿﺪ.
∫b f (x) dx a
اﻟﻒ(
f ( x) dx = −
b
∫a
ﺣــﻞ( اﮔــﺮ } {xo , x1 , ... , x8اﻓــﺮازي از ] [a , bﺑﺎﺷــﺪآﻧﮕﺎه ∆yi = ∆xiﺑــﺮاي ﺑــﺎزه ] [b , aﺑﻪ ﮐﺎر ﻣﯽرود ﭘﺲ n
∑ f (D i )∆yi
f (D i )∆xi = − lim
i =1
n
∑
f ( x) dx = lim
i =1
∫b f (x) dx a
b
∫a
=
∫b f (x) dx = o a
ب(
ﺣﻞ( ﻃﺒﻖ ﺧﺎﺻﯿﺖ اﻟﻒ(
∫a f (x) dx a
∫b f (x) dx = o a
⇒
f ( x) dx = −
∫b f (x) dx = o a
a
∫a
⇒2
5-2-6ﺗﻤﺮﯾﻦ ﺻﻔﺤﻪ 368
www.fanavari-IT.ir
ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )(١
٤٤
ﻗﻀﯿﻪ . 4 − 2 − 6ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ fدر ﺑﺎزهاي ﺷﺎﻣﻞ ﻧﻘﺎط c , b , aﭘﯿﻮﺳـﺘﻪ ﺑﺎﺷـﺪ در اﯾـﻦ ﺻﻮرت:
∫c f (x) dx b
f ( x) dx +
= f ( x) dx
c
∫a
b
∫a
اﺛﺒﺎت( اﮔﺮ ، a < c < bاﺛﺒﺎت ﺗﺴﺎوي از ﻗﻔﻀﯿﻪ 3 − 2 − 6ﺣﺎﺻﻞ ﻣﯽﺷﻮد. ﺑﺪون از دﺳﺖ رﻓﺘﻦ ﮐﻠﯿﺖ ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ . a < c < b
∫b f (x) dx c
f ( x) dx +
∫b f (x) dx c
b
∫a
f ( x) dx −
c
∫a
∫a f (x) dx + ∫c f (x) dx b
= f ( x) dx
c
c
= f ( x) dx
∫a
⇒
b
⇒
∫a
=
.7-2-6ﺗﻤﺮﯾﻦ ﺻﻔﺤﻪ 369 ﻗﻀــﯿﻪ .6-2-4اﮔــﺮ fو gﺑــﺮ ] [a , bﭘﯿﻮﺳــﺘﻪ ﺑﺎﺷــﺪ و ﺑــﺮاي ره ]، x∈[a , b ) f (x) ≥ g (xآﻧﮕﺎه
∫a g (x) fx b
≥ f ( x) fx
b
∫a
اﺛﺒﺎت. ≥ g (D i ) ∆ xi
f (D i ) ∆xi
⇒
) g (D i
≥ ) f (D i
n
n
i =1
i =1
∑ f (ℑi )∆xi ≥ ∑ g (ℑi )∆xi n
∑ g (ℑi )∆xi
≥ f (ℑi )∆xi
i =1
n
∑
lim
⇒ ⇒
i =1
∫a f (x) dx ≥ ∫a g (x) dx b
b
⇒
) (2اﮔـﺮ fﺑـﺮ ] [a , bاﻧﺘﮕــﺮال ﭘـﺬﯾﺮ ﺑﺎﺷـﺪ و ﺑــﺮاي ﻫـﺮ xدر ﻓﺎﺻــﻠﻪ ] ، [a , b
www.fanavari-IT.ir
ﻓﺼﻞ ﺷﺸﻢ :اﻧﺘﮕﺮال ﻣﻌﯿﻦ f (x) ≥ o
٤٥
اﻧﮕﺎه ∫a f (x)bx ≥ o b
∫a f (x) dx ≥ ∫a o dx = o b
اﺛﺒﺎت :ﻃﺒﻖ ﻗﻀﯿﻪ 6 − 2 − 4دارﯾﻢ
b
) (3اﮔﺮ fروي ] [a , bﭘﯿﻮﺳﺘﻪ ﺑﺎﺷـﺪ و ﺑـﺮاي ﻫـﺮ ] f (x) < o ، x∈[a , bاﻧﮕـﺎه:
∫a f (x) dx ≥ o b
ﺣﻞ( b
∫a o dx = o
≤ f ( x) dx
b
∫a
12-2-6ﺗﻤﺮﯾﻦ ﺻﻔﺤﻪ .371
) (1ﺣﺪ
12 22 n2 lim 8 3 + 3 + .... + 3 n n n ∞ n → +را ﺑﻪ ﺻﻮرت ﯾﮏ اﻧﺘﮕﺮال ﻣﻌﯿﻦ ﺑﻨﻮﯾﺴﯿﺪ.
ﺣﻞ( 2
1 2 1i = 8 x dx o nn
∫
) (2ﺣﺪ
∑ i =n
= 8 lim
ﺣﺪ
n
∑ i2 n
n
i =1
lim
∞ n → +را ﺑﻪ ﺻﻮرت اﻧﺘﮕﺮال ﻣﻌﯿﻦ ﺑﻨﻮﯾﺴﯿﺪ.
ﺣﻞ(
www.fanavari-IT.ir
٤٦ n i ) ( n
ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )(١ n
1
∑ n. i =1
1
1
∫o x2 dx
1 n2 n • 2 = lim 2 = lim n i i
n
∑
= lim
i =1
n
∑ i2 n
lim
i =1
=
) (3ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﺗﻌﺮﯾﻒ اﻧﺘﮕﺮالﻫﺎي زﯾﺮ را ﺣﺴﺎب ﮐﻨﯿﺪ. اﻟﻒ( 1
∫−1 x dx ﺣﻞ( n
1i 1 = 2 lim 2 nn n
∑i i =1
n
∑ i =1
=1
dx = 2 lim )n(n + 1 2n2
1
1
∫−1 x dx = 2∫o
= 2 lim
ب( 5
∫3 [x] dx
=J
) kdx = k (b − a ∫aﭘﺲ ﻣﯽداﻧﯿﻢ b
ﺣﻞ(
5
5
4
4
∫3 [x] dx + ∫4 [x] dx = ∫3 3 dx + ∫4 4 dx = 3 (4 − 3 ) + 4(5 − 4 ) = 3 + 4 = 70 ) (4اﮔﺮ ﺗﺎﺑﻊ fروي ] [a , bاﻧﺘﮕﺮال ﭘﺬﯾﺮ ﺑﺎﺷﺪ .ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ ﮐﻪ: f ( x) dx
b
∫a
≤ f ( x) dx
=J
b
∫a
ﺣــﻞ( ﭼــﻮن ﺑــﺮاي ﻫــﺮ ] x∈ [a , bدارﯾــﻢ − f (x) ≤ f (x)≤ f (x) :ﻃﺒــﻖ ﻗﻀــﯿﻪ
www.fanavari-IT.ir
٤٧
ﻓﺼﻞ ﺷﺸﻢ :اﻧﺘﮕﺮال ﻣﻌﯿﻦ
6 − 2 − 6دارﯾﻢ: f ( x) dx
b
∫a
≤ )f ( x
b
∫a
≤ f ( x) dx
b
∫a
−
∫a f (x) dx ≤ ∫a f (x) dx b
ﭘﺲ
a
) (5ﻓﺎﺻﻠﻪﻫﺎﯾﯽ را ﻣﻌﯿﻦ ﮐﻨﯿﺪ ﮐﻪ ﻣﻘﺪار اﻧﺘﮕﺮالﻫﺎي داده ﺷﺪه در آن ﻓﺎﺻﻠﻪ ﻗﺮار ﮔﯿﺮد. اﻟﻒ( 3
(x + 1) 2 dx ﺣﻞ(
1
∫− 2 3
ﺗﺎﺑﻊ f (x)= (x + 1) 2روي ] [− 1 , 1ﺻﻌﻮدي اﺳﺖ ﭘﺲ max f ( x) = f (1) = 2 2 max f ( x) = f (− 1) = o
))2 (2 − (− 1
1
∫−2 f (x) dx ≤ 2
≤
o 2
⇒ 3
(x + 1) 2 dx ≤ 6
1
∫−2
≤ o
⇒
ب( 1 1 + sin 2 x dx 2
" 2 o
∫
" 1 f ( x) = 1 + sin 2 x o , 2 2 روي اﺳﺖ ،ﭼﻮن ﺗﺮﮐﯿـﺐ دو ﺗـﺎﺑﻊ ﺻـﻌﻮدي ﺣﻞ( ﺗﺎﺑﻊ
اﺳﺖ ﭘﺲ
www.fanavari-IT.ir
(١) ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ
٤٨
max f ( x) = 1 min f ( x) =
3 2
3 π ⇒ × ≤ 2 2
" 2 o
f ( x) dx ≤
∫
" 2
(ج 4
. ∫1
x − 2 dx
max x − 2 = 4 − 2 = 2 min x − 2 = 2 − 2 = o ⇒
o≤
4
∫1
x − 2 dx ≤ 6
(د 2
x+ 5
∫− 5 x − 3 dx ﻧﺰوﻟﯽ اﺳﺖ ﭘﺲ
f (x) =
x+5 x − 3 (ﺣﻞ
max f ( x) = f (− 5 ) = o min f ( x) = f (2) = −7 ⇒ 1
2
∫o x dx ≤ ∫1
x2 dx
1
و
−49 ≤
2
∫− 5 f (x) dx ≤ o
1 2
∫o x dx ≥ ∫o x dx ( ﺑﺪوﻧﻪ ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ اﻧﺘﮕﺮال ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ6) 2 : را در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﯿﺮﯾﺪ دارﯾﻢf (x) = x − x ﺣﻞ( ﺗﺎﺑﻊ
www.fanavari-IT.ir
ﻓﺼﻞ ﺷﺸﻢ :اﻧﺘﮕﺮال ﻣﻌﯿﻦ
dx
1
∫o
⇒ f ( x) ≥ o ⇒ x ≥ x2
⇒ o ≤ x ≤1
∫o x dx ≤ ∫o
⇒ f ( x) ≤ o ⇒ x ≤ x2
o ≥1
∫o x
2
x2 dx
1
٤٩
≥ x dx
2
2
⇒
) (7اﮔﺮ fروي ] [− 1 , 2ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ: −1
∫1 f (x) dx = o
f ( x) dx +
1
∫o
f ( x) dx +
o
∫−1
2
f ( x) dx +
∫−1
ﺣﻞ( دارﯾﻢ: 2
2
∫o f (x)dx
f ( x) dx +
o
∫1
1
o
f ( x) dx + f (x) dx = o
1
∫o f (x)dx
f ( x) +
f ( x) dx +
1
∫−1
o
∫−1
= f ( x) dx
∫1
) (8اﮔﺮ fﺑﺮ ] , b
∫o
∫−1
= 2
2
∫−1 f (x)dx − ∫o f (x)dx − ∫1 f (x)dx − ∫−1 f (x)dx = o −1
2
o
f ( x) dx + f ( x) dx +
∫2
[aﭘﯿﻮﺳﺘﻪ و ∫a f (x) dx = o
2
∫−1
⇒ ⇒
b
،ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ ﺣـﺪاﻗﻞ ﻋـﺪدي ﻧﻈﯿـﺮ
αدر ﻓﺎﺻﻠﻪ ] [a , bﻗﺮار دارد ﺑﻪ ﻃﻮري ﮐﻪ . f (x) = o ﺣﻞ( ﻃﺒﻖ ﻗﻀﯿﻪ ﻣﻘﺪار ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ ﺑﺮاي اﻧﺘﮕﺮال دارﯾﻢ:
∫a f (x) dx b
)≤ max f ( x
ﭘﺲ
)←≤ max f ( x
≤ )min f ( x
b−a →≤ )min f (x •
ﺣﺎل ﻃﺒﻖ ﻗﻀﯿﻪ ﻣﻘﺪار ﻣﯿﺎﻧﯽ αوﺟﻮد دارد ﮐﻪ f (α ) = oﺑﺎﺷﺪ. ) (9ﻣﺜﺎﻟﯽ از ﯾﮏ ﺗﺎﺑﻊ ﭼﻨﺎن اراﺋﻪ دﻫﯿﺪ ﮐﻪ ﻧﺎﭘﯿﻮﺳﺘﻪ و ﻗﻀﯿﻪ ﻣﻘﺪار ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ ﺑﺮاي اﻧﺘﮕﺮال ﻣﺎ
www.fanavari-IT.ir
ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )(١
٥٠
ب( ﺑﺮﻗﺮار ﺑﺎﺷﺪ.
اﻟﻒ( ﺑﺮﻗﺮار ﻧﺒﺎﺷﺪ.
− 1 f ( x) = 1 را در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﯿﺮﯾﺪ .دارﯾﻢ:
x<o ﺣﻞ ب( ﺗﺎﺑﻊ x ≥ o 1
)∫−1 f (x) dx = o = f (o 2
f ( x) dx = o
⇒
1
∫−1
) (10اﮔﺮ fروي ] [− 1 , 4اﻧﺘﮕﺮالﭘﺬﯾﺮ ﺑﺎﺷﺪ و ﻣﻘﺪار ﻣﺘﻮﺳﻂ ﺗـﺎﺑﻊ fروي ], 4
[− 1
4
ﺑﺮاﺑﺮ 3ﺑﺎﺷﺪ ،ﻣﻘﺪار ∫−1 f (x) dx
را ﺑﺪﺳﺖ آورﯾﺪ.
ﺣﻞ( 4
4
∫−1 f (x) dx = 15
∫−1 f (x) dx = 3
⇒
5
13 − 3 − 6ﺗﻤﺮﯾﻦ ﺻﻔﺤﻪ 378
ﺑﺮ ] [− a , aﭘﯿﻮﺳﺘﻪ و ﻓﺮد ﺑﺎﺷﺪو ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ∫− a f (x) dx = o :. a
(1ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ f
ﺣﻞ( o
f ( x) dx + f ( x) dx a
∫o
∫o f (x) dx a
∫−a
= f ( x) dx
f (− x) (− dx) +
o
∫a
=
f (− x) dx +
a
=
∫o f (x) dx a
∫o
a
∫−a
= − f ( x) dx + f ( x) dx = o a
∫o
a
∫o
(2در ﺗﻤﺮﯾﻦ 1اﮔﺮ fزوج ﺑﺎﺷﺪ ,ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ ﮐﻪ:
www.fanavari-IT.ir
٥١
اﻧﺘﮕﺮال ﻣﻌﯿﻦ:ﻓﺼﻞ ﺷﺸﻢ a
f ( x) dx = 2 f ( x) dx
a
f ( x) dx =
∫−a ∫−a
a
∫o
= =
o
∫−a
f ( x) dx +
∫o f (x) dx a
o
∫a f (− x) dx + ∫o f (x) dx a
∫o
a
f ( x) dx +
f ( x) dx = 2 f ( x) dx
a
a
∫o
∫o
:( اﻧﺘﮕﺮاﻟﻬﺎي زﯾﺮ را ﺣﻞ ﮐﻨﯿﺪ3 I=
" 2 o
cos x dx cos x + sin x
∫
(اﻟﻒ
و دارﯾﻢdu = −dx ﭘﺲ I= I + I = 2I = =
π 2 o
∫
∫
sin (− du ) = sin u + cos u
cos u du + cos u + sin u
∫
π 2 o
o π 2
du =
I=
π 2 o
∫
π 2
π 2 o
∫
sin m x + cos m x
∫
I=
dx
: و دارﯾﻢdu = −dx ﭘﺲ
www.fanavari-IT.ir
π 2 o
π −x 2 اﮔﺮ ﻗﺮا دﻫﯿﻢ
sin u du cos u + sin u
cos u du cos u + sin u
⇒ sin m x
u=
π 2
(ب u=
π −x 2 ﺣﻞ( اﮔﺮ ﻗﺮار دﻫﯿﻢ
(١) ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ I =−
o π 2
∫
cos m u cos m u + sin m u π 2 o
I + I = 2I =
∫
⇒
π 4
I=
π 2 o
cos m u
∫
dx =
sin m u sin m u + cos m u
cos m u + sin m u
du +
π 2 o
∫
٥٢
du
cos m u cos m u + sin m u
du =
π 2 o
∫
π 2
du =
.( ﻣﺸﺘﻖ ﺗﻮاﺑﻊ زﯾﺮ را ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﮐﻨﯿﺪ4) F (t ) =
F ' (t ) =
)اﻟﻒ
t
∫−2 1 + 1
x
∫− x t ∫o
g
∫a
f ( x) dx
⇒
F ' ( x) = 2 x
dt
x
∫− x 3 + t 4
F ( x) = 2
.
dt
F ( x) = 2 tdt x
F ( x) =
1+ x
dx
F ' (t ) = g ' (t ) f ( g (t ))
)ب
)ج
2
sin t 2 t 1+ 1+ t
F (t ) =
F (t ) =
sin x
x
∫o
dt
3+t
4
⇒
F ' ( x) =
2
3 + t 4 )د
.( ﺣﺪ زﯾﺮ را ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﮐﻨﯿﺪ5)
∫
x2
sin t 2x sin x 2 sin x 2 lim o 3 = lim = lim = 2 3 x 3 3x x→o x x→o
www.fanavari-IT.ir
٥٣
اﻧﺘﮕﺮال ﻣﻌﯿﻦ:ﻓﺼﻞ ﺷﺸﻢ dy . را ﺣﺴﺎب ﮐﻨﯿﺪdx ( در ﺗﻮاﺑﻊ ﺿﻤﻨﯽ زﯾﺮ6) y
∫o d dy = − dx d dx dx x π 2
∫
cos2 tdt + x2
x
∫o sin
2
tdt = o
(اﻟﻒ
∫o sin tdt = − 2x sin 2 x2 y 2 cos2 y tdt cos ∫o 2
3 − 2 sin 2 z dz +
(ﺣﻞ
y
∫o cos tdt = o
(ب (ﺣﻞ
dy =− dx
d dx
x π 2
∫
3 − 2 sin 2 z dz
d dy
y
∫o cos tdt
=−
3 − 2 sin 2 x cos y
:( اﻧﺘﮕﺮال زﯾﺮ را ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﮐﻨﯿﺪ7) I=
π
∫o
x sin x 1 + cos2 x
dx
وdu = dx ﭘﺲ I=
π 2 π − 2
∫
π 2 :ﺣﻞ( ﻗﺮار ﻣﯽدﻫﯿﻢ
π u + cos u 2 du 1 + sin 2 u =
www.fanavari-IT.ir
u = x−
π 2 π − 2
∫
π du + 2 2 1 + sin u u cos u
π 2 π − 2
∫
cos u 1 + sin 2 u
du
(١) ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ =π
π 2 o
∫
π du = π Arc tan(sin u ) 2 1 + sin 2 u o cos u
=
www.fanavari-IT.ir
٥٤
π2 4
ﻓﺼﻞ ﺷﺸﻢ :اﻧﺘﮕﺮال ﻣﻌﯿﻦ sin 2kx = dx = o sin x
) (8ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ Kﻋﺪدي ﺻﺤﯿﺢ ﺑﺎﺷﺪ ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ: π 2
ﺣﻞ( ﻗﺮار ﻣﯽ دﻫﯿﻢ π 2 π − 2
) sin( 2ku + π du cos u
∫
u = x−
ﭘﺲ
π ) sin 2k(u + = 2 du π ) sin( u + 2
sin 2ku du = o cos
π 2 π − 2
∫
٥٥
π 2 π − 2
∫
π
∫=I
o
du=dxو =I
=−
ﭼﻮن ﺗﺎﺑﻊ زﯾﺮ اﻧﺘﮕﺮال ﻓﺮد اﺳﺖ. dx ) (9اﮔﺮ در اﻧﺘﮕﺮال 5 − 2 cos =o
2dt
1 + t2 (1 + t )(5 − ) 1 − t2 2
2π
∫=I
o
ﺗﻐﯿﯿﺮ ﻣﺘﻐﯿﺮ x=2tرا ﺑﻪ ﮐﺎر ﺑﺒﺮﯾﻢ دارﯾﻢ
o dx ∫= 5 − 2 cos o
2π
∫=I
o
1 >o ، 5 − 2 cosﻣﻮرد اﺷﺘﺒﺎه را ﺑﯿﺎﺑﯿﺪ. واﺿﺢ اﺳﺖ ﮐﻪ ﻧﺘﯿﺠﻪ درﺳﺖ ﻧﯿﺴﺖ زﯾﺮا π ] o, 2 [o,2π ﺣﻞ( ﺑﺎ ﺗﻐﯿﯿﺮ x=2tﺑﺎزة ﺑﺮده ﻣﯽ ﺷﻮد ﮐﻪ در ﺣﻞ ﻣﻮرد اﺳـﺘﻔﺎده ﻗـﺮار ﺑﻪ
ﻧﮕﺮﻓﺘﻪ اﺳﺖ.
) (10ﻓﺮض ﮐﯿﻨﺪ ) f(xدﻟﺨﻮاه ﺑﺎﺷﺪ ،ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ∫−a f ( x)dx = ∫o[ f ( x) + f (− x)]dx : a
a
)f ( x) − f (− x) f ( x) − f (− x = 2 2 ﺣﻞ( ﺗﺎﺑﻊ ) f(xرا ﻣﯽ ﺗـﻮان ﺑـﻪ ﺻـﻮرت
= )f ( x
www.fanavari-IT.ir
(١) ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ
٥٦
f ( x) − f (− x) f ( x) + f (− x) 2 2 ﭘــــﺲ.ﻓــــﺮد اﺳــــﺖ زوج و ﻧﻮﺷــــﺖ ﮐــــﻪ
∫
a
f ( x)dx = ∫
−a
a
−a
= 2∫
a
o
f ( x) + f (− x) dx + 2
∫
a
−a
f ( x) − f (− x) dx 2
a f ( x) + f (− x) dx + o = ∫ ( f ( x) + f (− x))dx o 2 2π
I = ∫ f ( x) cos xdx
. ﺗﻐﯿﯿﺮ دﻫﯿﺪt=sinx را ﺑﺎ ﺗﻐﯿﯿﺮ ﻣﺘﻐﯿﺮ
o
(اﻧﺘﮕﺮال11)
t = sin x ⇒ x = Arc sin t ⇒ dx = cos x = 1 − t 2 I=
1
−1
o
dt 1− t2
o
∫o f ( Arc sin t )dt + ∫1 f ( Arc sin t )dt + ∫o f ( Arc sin t )dt + ∫−1 f ( Arc sin t )dt .( درﺳﺘﯽ اﺗﺤﺎدﻫﺎي زﯾﺮ را ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ12)
∫
b
a
b
f ( x)dx = ∫ f (a + b − x)dx a
(اﻟﻒ
: ﭘﺲ دارﯾﻢ، اﺳﺖu(b)=a , u(a)=b وdu=-dx آﻧﮕﺎهu=a+b-x ﺣﻞ( اﮔﺮ ﻗﺮار دﻫﯿﻢ
∫
b
a
a
b
b
b
a
a
f (a + b − x)dx = − ∫ f (u )du = ∫ f (u )du = ∫ f ( x)dx
∫
t
o
t
f ( x) g (t − x)dx = ∫ g ( x) f (t − x)dx o
(ب
: ﭘﺲ دارﯾﻢu(t)=0 , u(0)=t وdu=-dx ﭘﺲu=t-x ﺣﻞ( ﻗﺮار دﻫﯿﺪ
∫
t
o
o
f ( x) g (t − x)dx = − ∫ f (t − u ) g (u )du t
t
t
o
o
= ∫ g (u ) f (t − u )du = ∫ g ( x) f (t − x)dx
www.fanavari-IT.ir
٥٧
اﻧﺘﮕﺮال ﻣﻌﯿﻦ:ﻓﺼﻞ ﺷﺸﻢ π 2 o
∫
π
sin m xdx = ∫ 2 cosm xdx o
(ج
π π π u ( ) = o , u (o) = , du = − dx u= −x 2 2 ﺣـﻞ( اﮔـﺮ ﻗـﺮار دﻫـﯿﻢ ﻟـﺬا2 ﭘـﺲ
:دارﯾﻢ π 2 o
∫ π 2 o
∫ را ﻣﺤﺎﺳـﺒﻪ
π
π
π sin xdx = − ∫π sin ( − u )du = ∫ 2 cos m udu = ∫ 2 cosm xdx o o 2 2 o
m
sin 2 xdx
π 2 o
∫و
m
cos2 xdx
)ج( اﻧﺘﮕﺮال ﻫـﺎي12 ( ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﻣﺴﺄﻟﻪ13) .ﮐﻨﯿﺪ :ﺣﻞ( ﻃﺒﻖ ﻣﺴﺄﻟﻪ ﻗﺒﻞ دارﯾﻢ
π 2 o
∫
π 2 o
π 2 o
π 2 o
π 2 o
π 2 o
sin xdx + ∫ cos xdx = ∫ (sin + cos x)dx = ∫ dx = 2 ∫ sin xdx = 2∫ cos 2 xdx 2
π
2
π
2
⇒ ∫ 2 sin 2 xdx = ∫ 2 cos 2 xdx = o
o
2
2
π 2
.( درﺳﺘﯽ ﻫﺎي زﯾﺮ را ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ14)
∫
π
o
π
f (sin x)dx = 2∫ 2 f (sin x)dx o
(اﻟﻒ (ﺣﻞ
ﭘﺲ
∫
π
o
u (π ) = −
π π π , u (o) = , du = − dx u= −x 2 2 2 آﻧﮕﺎه اﮔﺮ ﻗﺮار دﻫﯿﻢ −
π
π
π
f (sin x)dx = − ∫π 2 f (cos u )du = ∫ 2π f (cos u )du = 2∫ 2 f (cos x)dx
www.fanavari-IT.ir
2
−
2
o
(١) ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ
٥٨
. ﺗﺎﺑﻌﯽ زوج اﺳﺖf(cosu) ﻋﻠﺖ آﺧﺮي اﯾﻦ اﺳﺖ ﮐﻪ
∫
π
xf (sin x ) dx =
o
π 2
∫
π
o
f (sin x ) dx
(ب (ﺣﻞ
ﻟــﺬا،
u (π ) = −
π π π , u (o) = , du = − dx u= −x 2 2 2 دارﯾــﻢ اﮔــﺮ ﻗــﺮار دﻫــﯿﻢ
:دارﯾﻢ
∫
π
o
−
π
xf (sin x)dx = − ∫π 2 ( 2
π 2 π − 2
π
π π π − u ) f (sin( − u ) = ∫ 2π f (cos u ))du − 2 2 2 2
π 2 o
= ∫ uf (cos u )du = π ∫ f (cos x)dx
. زوج اﺳﺖf (cos u ) ﻓﺮد و ﺗﺎﺑﻊf (cos a ) ﭼﻮن ﺗﺎﺑﻊ :( اﻧﺘﮕﺮال زﯾﺮ را ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﮐﻨﯿﺪ15) I=∫
π
o
1 + cos 2x dx 2
(ﺣﻞ I=
π
∫o
= − cos
sin 2 xdx =
π
∫o
sin xdx
π =2 o
.( ﻫﺮ ﯾﮏ از اﻧﺘﮕﺮال ﻫﺎي زﯾﺮ را ﺣﺴﺎب ﮐﻨﯿﺪ16)
)اﻟﻒ
∫
L
−L
cos
L mπ mπ 2L mπ L xdx = 2∫ cos x dx = sin x =o o L L mπ L o
www.fanavari-IT.ir
٥٩
اﻧﺘﮕﺮال ﻣﻌﯿﻦ:ﻓﺼﻞ ﺷﺸﻢ
∫
)ب
∫
)ج
−L
L
cos
−L
F ( x) − G ( x) =
L
sin
mπ xdx = o L
ﺗﺎﺑﻊ ﻓﺮد اﺳﺖ
mπ mπ x = sin xdx = o L L .ﭼﻮن ﺗﺎﺑﻊ ﻓﺮد اﺳﺖ
1 x x G ( x) = ∫ tdt , F ( x) = ∫ udu 2 ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ 1 o ( اﮔﺮ17)
(ﺣﻞ x
F ( x) = ∫ udu o
1
⇒ F ( x) − G ( x) = ∫ udu = o
u2 1 1 = 2 o 2 x
G ( x) = ∫ udu 1
.( درﺳﺘﯽ ﻫﺎي زﯾﺮ را ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ18) lim n → +∞ (
1 2 n −1 1 + 2 + ... + 2 ) = 2 n n n 2 (اﻟﻒ
(ﺣﻞ 1 1 2 n −1 = ﺣﺪlim n → +∞ ( + + ... + ) n n n n n −1 1 1 i x2 1 1 = lim n → +∞ ∑ ( ) = ∫ xdx = = o 2 o 2 i =o n n 1
dx
∫ 1+ x o
2
= lim n → +∞ (
n n n + 2 2 + ... 2 2 n +1 n + 2 n + n2 2
(ب (ﺣﻞ
www.fanavari-IT.ir
(١) ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ
٦٠
1 1 1 1 = ﺣﺪlim n →∞ ( + + ... + ) n 2 n 1 + ( 1 )2 1 + ( 2 )2 1+ ( ) n n n n 1 dx 1 1 π = lim ∑ =∫ = 2 o 1+ x i 4 i =1 n 1 + ( ) 2 n 2 1 π 2π (n − 1)π = lim (sin + sin + ... + sin ) π n n n n n→∞
(ج (ﺣﻞ
= ﺣﺪ
n i 1 π 1 lim ∑ sin π ( ) = n π π i =1 n
∫
π
o
sin xdx = −
π 2 1 cos x = o π π
1
را ﺛﺎﺑـﺖB(m,n)=Bn,m) اوﻻً ﺗﺴﺎوي.
B(m, n) = ∫ xm (1 − x)n dx o
( ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ19)
ﺛﺎﻧﯿﺎً ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ ﮐﻪ،ﮐﻨﯿﺪ π
.
B(m, n) = 2∫ 2 sin 2 m+1 x. cos2 n +1 xdx o
: ﭘﺲ دارﯾﻢu (1) = o , u (o) = 1 , du = −dx ﭘﺲu=1-x ﺣﻞ( اوﻻً اﮔﺮ ﻗﺮار دﻫﯿﻢ 1
1
o
o
B(m, n) = − ∫ (1 − u ) m u n du = ∫ xn (1 − x)m dx = (n, m) 2 2 و ﮐﺮاﻧﻬﺎ ﺑﻪdx = 2 sin t cos dt , (1 − x) = cos t آﻧﮕﺎهx = sin t اﮔﺮ ﻗﺮار دﻫﯿﻢ:ًﺛﺎﻧﯿﺎ
π o, 2 : ﭘﺲ دارﯾﻢ.ﺗﺒﺪﯾﻞ ﻣﯽ ﺷﻮد 1
π
π
B(m, n) = ∫ xm (1 − x) n dx = ∫ 2 sin 2m t. cos2 n t.2 sin t cos dt = 2∫ 2 sin 2 m+1 t . cos2n +1 tdt o
www.fanavari-IT.ir
o
o
٦١
اﻧﺘﮕﺮال ﻣﻌﯿﻦ:ﻓﺼﻞ ﺷﺸﻢ 6
I = ∫ xy dx 3
ﻣﺤﺎﺳﺒﮥ، ﻣﻄﻠﻮب اﺳﺖ، y = 2 sin θ , x = 6 cosθ ( ﺑﺎ ﻓﺮض20) θ=
π آﻧﮕﺎه 6
x = 3 اﮔﺮ
، dx = −6 sin θ dθ
θ = oآﻧﮕﺎه ⇒I =∫
(ﺣﻞ
x = 6 اﮔﺮ
π 72 3 π 24 6 cos θ .2 sin θ .(−6 sin θ )dθ = 72∫ sin θ . cos θdθ = sin θ 6 = 24(sin 3 − o) = = 3 3 6 8 o
www.fanavari-IT.ir
2
ﻓﺼﻞ ﻫﻔﺘﻢ
ﺗﻮاﺑﻊ ﻏﲑ ﺟﱪی
www.fanavari-IT.ir
٦٣
ﻓﺼﻞ ﻫﻔﺘﻢ :ﺗﻮاﺑﻊ ﻏﯿﺮ ﺟﱪی
27ـ 7ﺗﻤﺮﯾﻦ ﺻﻔﺤﮥ387 −1 −1 ﻣﺸﺎﺑﻪ آﻧﭽﻪ در ﺗﻌﺮﯾﻒ sinﺑﯿﺎن ﺷﺪ ،ﺗﺎﺑﻊ cosرا ﺗﻌﺮﯾﻒ و ﺳﭙﺲ ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ
d −1 = cos −1 x dx 1 − x2
ﺣﻞ( ﺗﺎﺑﻊ y=cosxروي ] [o, πﻧﺰوﻟﯽ اﺳﺖ ﭘﺲ واروﻧﻪ ﭘﺬﯾﺮ اﺳﺖ ]Cosx :[o, π ] → [− 1,1 ] Cos −1 x:[− 1,1] → [o, π ﺑﺮاي ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﻣﺸﺘﻖ دارﯾﻢy = cos −1 x ⇔ x = cos y : 1 1 1 1 dy d = = cos −1 x = =− =− 2 dx − sin y dx dx 1 − cos y 1 − x2 dy
7ـ2ـ .25ﺗﻤﺮﯾﻦ ﺻﻔﺤﮥ394. π , o ≤ x ≤1 2 1ـــ ﺛﺎﺑــﺖ ﮐﻨﯿــﺪ ﻫﺮﮔــﺎه
= sin −1 x + cos −1 x
در ﻣــﻮرد − 1 ≤ x ≤ o
ﺗﺴﺎوي ﺑﺎﻻ ﭼﮕﻮﻧﻪ ﺑﯿﺎن ﻣﯽ ﺷﻮد؟ ﺣﻞ( π π − y) ⇒ cos −1 x = − y 2 2 π π = ⇒ y + cos −1 x = ⇒ sin −1 x + cos−1 2 2 اﯾﻦ ﺗﺴﺎوي ﺑﺮاي ﻫﺮ − 1 ≤ x ≤ 1ﺑﺮﻗﺮار اﺳﺖ. (y = sin −1 x ⇒ x = sin y = cos
1 2ـ 2
y = sin −1
ﻣﻔﺮوض اﺳﺖ ،ﻣﻄﻠﻮب اﺳﺖ:
Cscy , secy , coty , tany , cosy
www.fanavari-IT.ir
(١) ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ
y =
٦٤
π 6
ﺣﻞ( ﺗﻮﺟﻪ ﮐﻨﯿﺪ
3 3 π π = , tan y = tan = 6 2 6 3 1 2 π = cot y = cot = 3 , sec y = 6 cos y 3 1 =2 csc y = sin y cos y = cos
.( در ﺗﻤﺮﯾﻦ ﻫﺎي زﯾﺮ ﻣﻘﺪار دﻗﯿﻖ ﮐﻤﯿﺖ داده ﺷﺪه را ﭘﯿﺪا ﮐﻨﯿﺪ3) )اﻟﻒ 3 12 sin(cos −1 ( ) − sin −1 (− )) 5 13 3 12 13 5 tg (sec −1 ( ) + csc −1 (− )) = tg (cos−1 ( ) − sin −1 (− )) = 3 12 3 12 5 13 cos(cos−1 ( ) − sin −1 (− )) 5 13 3 3 12 12 sin(cos −1 ( ) cos(cos−1 ( )) − cos(sin −1 ( )) sin(sin −1 (− )) 5 5 13 13 = 3 12 3 12 cos(cos−1 ( )) − cos(sin −1 ( )) + sin(cos −1 ( )) sin(sin −1 (− )) 5 13 5 13 4 3 5 12 12 60 × − × − 5 5 13 13 25 169 = = 3 5 4 12 15 48 × − × − 5 13 5 13 65 65
)ب 2 1 2 1 2 1 sin(cos −1 (− ) + 2 sin −1 (− )) = sin( π − cos −1 ( ) − 2 sin −1 ( )) = sin(cos −1 ( ) + 2 sin −1 ( )) 3 3 3 3 3 3 2 1 2 1 = sin(cos −1 ( )) cos(2 sin −1 ( )) + cos(cos−1 ( )) sin( 2 sin −1 ( )) 3 3 3 3 4 1 2 1 1 5 16 4 2 2 = 1 − × (2( 1 − )2 + 1) + × 2 × × 1 − = × ( + 1) + × 9 9 3 3 9 3 9 9 3
www.fanavari-IT.ir
٦٥
ﺗﻮاﺑﻊ ﻏﯿﺮ ﺟﱪی:ﻓﺼﻞ ﻫﻔﺘﻢ
)ج 1 −1 π 1 π 1 cos(sin −1 (− ) + sin −1 ( )) = cos(− − sin −1 ( )) = cos cos(sin −1 ( )) 2 4 6 4 6 4 3 1 1 1 3 15 1 3 5 − 1 = × 1− − × = × − = 2 16 2 4 2 4 8 8
.( ﻣﺸﺘﻖ ﺗﻮاﺑﻊ زﯾﺮ را ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﮐﻨﯿﺪ4) )اﻟﻒ f ( x) = x2 sin −1 ( x2 ) f ′( x) = 2 x sin −1 ( x2 ) +
2 x2
1 − x4
)ب f ( x) = sin −1 (cos x) − sin x f ′( x) = = −1 1 − cos2 x
)د f ( x) = x cos−1 x2 + sin −1 x f ′( x) =
1
2 x
cos−1 x2 +
− 2x x 1− x
4
+
1
2 x
.
1
1 − x2
)ج
www.fanavari-IT.ir
(١) ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ
٦٦
2 + csc −1 2 x x x 1 f ( x) = 3 cos −1 + sin −1 2 2x 1 1 3 −1 f ′( x) = . + 2 x2 2 1 − 4 x2 1− 4
f ( x) = 3 sec −1
)ﻫـ f ( x) = x(sec −1 2 x)2 ⇒ f ( x) = x(cos−1 f ′( x) = (cos−1 (
1 2 −1 )) − 2 x( 2 ) 2x 2x
1 1−
1 2 ) 2x
1 4 x2
= (cos−1 (
1 2 2 )) + 2x 4 x2 − 1
)و f ( x) = csc −1 x2 + 1 ⇒ f ( x) = sin −1 −x f ′( x) =
1 2
x +1
)2
1 x2 + 1 = − 1 ( x2 + 1) x2 + 1 1− 2 x +1
.( ﺗﺴﺎوي ﻫﺎي زﯾﺮ را ﺗﺤﻘﯿﻖ ﮐﻨﯿﺪ5) A = sin −1 x + sin −1 y = sin −1 ( x 1 − y2 + y 1 − x2 ) sin −1 x + sin −1 y ≤
π 2 ﮐﻪ در آن
(ﺣﻞ
www.fanavari-IT.ir
٦٧
ﺗﻮاﺑﻊ ﻏﯿﺮ ﺟﱪی:ﻓﺼﻞ ﻫﻔﺘﻢ
sin A = sin(sin −1 y) = sin(sin −1 x) cos(sin −1 y) + sin(sin −1 y) cos(sin −1 x) = x 1 − y2 + y 1 − x2 ⇒ A = sin −1 ( x 1 − y2 + y 1 − x2 )
tg
−1
x + tg
−1
y = tg
−1
x+ y 1 − xy (ب
(ﺣﻞ tg (tg −1x + tg −1 y) =
tg (tg −1 x) + tg (tg −1 y) −1
−1
1 − tg (tg x).tg (tg y)
=
x+ y x+ y ⇒ tg −1x = tg −1 y + tg −1 . 1 − xy 1 − xy
. ﺗﻌﯿﯿﻦ ﮐﻨﯿﺪ5 ( ﻣﻘﺎدﯾﺮ زﯾﺮ را ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﺗﻤﺮﯾﻦ6) 4 3 sin −1 − sin −1 5 5 اﻟﻒ
(ﺣﻞ 4 3 4 9 3 16 16 9 7 sin −1 + sin −1 (− ) = sin −1 ( 1 − − 1 − = sin −1 ( − ) = sin −1 ( ) 5 5 5 25 5 25 25 25 25 1 1 2 A = tg −1 + tg −1 + tg −1 3 4 9 (ب
(ﺣﻞ 1 1 7 2 + + 2 7 2 85 π A = tg −1 3 4 + tg −1 = tg −1 + tg −1 = tg −1 11 9 = tg −1 = 1 14 9 11 9 85 4 1− 1− 12 99
:( ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ7)
www.fanavari-IT.ir
ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )(١
٦٨ x > −1 x < −1
π 1 − x 4 tg −1 x + tg −1 = x − 3π 4
ﺣﻞ( ﻃﺒﻖ؟؟؟ sin x + cos x ) ) (8ﻋﺒﺎرت sin x − cos x
( A = cot −1
را ﺳﺎده ﮐﻨﯿﺪ.
ﺣﻞ( π ) sin x + cos x = 2 cos( x − 4
π ) 2 cos( x − π 4 ) = cot −1 (cot(x − π )) = x − π ( sin x − cos x = 2 sin( x − ) ⇒ A = cot −1 π 4 4 4 ) 2 sin( x − 4
)) (9ﺗــﺎﺑﻊ (sin x
−1
f ( x ) = sinرا رﺳــﻢ و ﻧﺸــﺎن دﻫﯿــﺪ دورة ﺗﻨــﺎوب آن
2πاﺳﺖ. π π ≤≤ x 2دارﯾﻢ − 1 ≤ sin x ≤ 1 :و sin (sin x) = x ﺣﻞ( ﺑﻪ ازاي 2 π π 3 − س 2 2 π 2 −
−1
π 2
−3
ﻃﺒﻖ ﺷﮑﻞ دو ﻓﺎﺻﻠﻪ ﻫﺎي ﺑﻪ ﻃﻮل 2πﻣﻨﺤﻨﯽ ﺗﮑﺮار ﻣﯽ ﺷﻮد. ) (10اﻧﺘﮕﺮال ﻫﺎي زﯾﺮ را ﺣﻞ ﮐﻨﯿﺪ.
www.fanavari-IT.ir
٦٩
ﺗﻮاﺑﻊ ﻏﯿﺮ ﺟﱪی:ﻓﺼﻞ ﻫﻔﺘﻢ
1) ∫
−
2)
10 3 5 2 3
∫
o 1 1 −1 7 x −1 1 π = sin ( ) 3 = − sin −1 ( ) = × 7 2 7 6 6 − 36 − 49x2 7 7 dx
o 3 7
10 dx 1 3x 3 = sec −1 ( ) 2 5 5 2 x 9 x − 25 3 3
1 1 1 1 1 2 π π π = sec −1 (2) − sec −1 ( 2) = cos −1 ( ) − cos −1 ( ) = − = 3 3 3 2 3 2 9 12 36 3)∫
3 dx 2
( x + 2) x + 4 x + 3
=∫
3 dx
( x + 2) ( x + 2)2 − 1
= 3 sec −1 ( x + 2) + c س 4)∫ 5) ∫
2 3 2
sec 2 dx 1 −1 tgx = tg ( ) + c 9 + tg 2 x 3 3
2 3 2 = sec ( x) 3 = cos −1 ( ) − cos −1 ( ) 2 2 x x2 − 1 2 dx
−1
=
π π − 6 4
: ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪx > −1 ( ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ11) tg −1 (
x −1 π ) = tg −1 x − x +1 4
: دارﯾﻢ6 ﺣﻞ( ﻃﺒﻖ ﻓﺮﻣﻮل ﺗﻤﺮﯾﻦ
www.fanavari-IT.ir
(١) ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ
٧٠
x −1 ) x +1 1 + x2 1− x x+ 1 + x = tg −1 1 + x = tg −11 = π = tg −1 1− x 1 + x2 4 1− x 1+ x 1+ x
tg −1 x − tg −1 (
x <1
:آﻧﮕﺎه
( ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ ﮐﻪ ﻫﺮ ﮔﺎه12)
sin −1 x = tg −1 (
x x2 − 1
)
sin(sin −1 x) x = −1 cos(sin x) 1 − x2 x ⇒ sin −1 x = tg −1 ( ) 1 − x2 tg (sin −1 ) =
tg −1 x = sin −1 (
x 1 + x2
(ﺣﻞ
)
( ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ ﮐﻪ13) −1
tg (sin (
sin(sin −1 (
x 1 + x2
)=
cos(sin −1 (
x
x
x 1 + x2 x 1 + x2
) )
1 + x = 1 + x2 = x 1 x2 1− 2 1 + x2 1+ x x ) ⇒ tg −1 x = sin −1 ( 1 + x2 =
2
404 ﺗﻤﺮﯾﻦ ﺻﻔﺤﮥ :ـ اﻧﺘﮕﺮال زﯾﺮ را ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﮐﻨﯿﺪ1
www.fanavari-IT.ir
ﻓﺼﻞ ﻫﻔﺘﻢ :ﺗﻮاﺑﻊ ﻏﯿﺮ ﺟﱪی ln( x + 1 + x2 )dx = o
2
٧١
∫
−2
ﭼﻮن ﺗﺎﺑﻊ زﯾﺮ اﻧﺘﮕﺮال ﻓﺮد اﺳﺖ: )= − ln( x = x2 + 1) = − f ( x
2
1
x + x +1
f (− x) ln( − x + x2 + 1) = ln
2 .2ﻣﺸﺘﻖ ﭼﻬﺎرم f ( x) = x ln xرا ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﮐﻨﯿﺪ.
2 x2
f ( 4 ) ( x) = −
f ′( x) = 2 x ln x + x f ′′( x) = 2 ln x + 3 2 = )f ′′′( x , x
ln x .3ﻣﺸﺘﻖ ﭘﻨﺠﻢ x
= )f ( x
را ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﮐﻨﯿﺪ.
1 − x ln x 1 ln x = 2− x2 x x 2 1 ln x f ′′( x) = − 3 − ( 2 − ) x x x 6 2 1 ln x f ′′′( x) = 4 + 3 + 2 − x x x x − ln x 24 6 2 1 ) f (4) = 5 − 4 − 3 − ( 2 − x x x x x 12 o 24 6 2 1 ln x f (5) = 6 + 5 + 4 + 3 + 2 − x x x x x x = )f ′( x
ﺣﻞ(
.4ﺑﺎ ﺑﻪ ﮐﺎر ﮔﯿﺮي ﻗﻀﯿﻪ ﻣﻘﺪار ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ در ﻣﺸﺘﻖ ﻧﺸﺎن دﻫﯿـﺪ ﮐـﻪ اﮔـﺮ o < a < bآﻧﮕـﺎه b−a b b−a < < ln b a b
ﺣﻞ( ﺗﺎﺑﻊ f(x)=lnxروي ﺑﺎزة ] [a, bﺷﺮاﯾﻂ ﻗﻀﯿﻪ ﻣﻘﺪار ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ را داراﺳﺖ .ﭘﺲ دارﯾﻢ:
www.fanavari-IT.ir
٧٢
ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )(١
ln b − ln a 1 ) f (b) − f (a ⇒ ) = f ′(c , a <c<b = b−a b−a c 1 1 1 < < ﭼﻮن a < c < bﭘﺲ b c aدر ﻧﺘﯿﺠﻪ: b 1 1 b−a b b−a ⇒ < < a < < ln b b−a a b a a ln
.5ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ ﺑﻪ ازاي ﻫﺮ x > oﻧﺎﻣﺴﺎوي زﯾﺮ ﺑﺮﻗﺮار اﺳﺖ: 1 x − x2 < ln(1 + x) < x 2
ﺣﻞ( ﺗﺎﺑﻊ f (t ) = ln(1 + t ) − tروي ﻓﺎﺻﻠﮥ ] [o, xﺷﺮاﯾﻂ ﻗﻀﯿﻪ ﻣﻘﺪار ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ را داراﺳﺖ ﭘﺲ: )f ( x) − f (o x −c ln(1 + x) − x 1 ⇒ = = −1 x 1+ c 1+ c = )f ′(c
o<c< x ,
x −c < <o 1+ x 1+ c ﭼﻮن o < c < xﭘﺲ
−
اﮔﺮ
1 −x <− x 2 x < 1آﻧﮕﺎه 1 + x
اﮔﺮ
1 −x <− x 2 x > 1آﻧﮕﺎه 1 + x
ﭘﺲ
1 ln(1 + x) − x <− x <o 2 x
ﻟﺬا:
1 x − x2 < ln(1 + x) < x 2
www.fanavari-IT.ir
٧٣
ﺗﻮاﺑﻊ ﻏﯿﺮ ﺟﱪی:ﻓﺼﻞ ﻫﻔﺘﻢ
. اﻧﺘﮕﺮال ﻫﺎي ﻣﻌﯿﻦ زﯾﺮ را ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﮐﻨﯿﺪ.6 e4
1) I = ∫ 2 e
dx x ln x(ln(ln x))
dx x ln x ln 4 du ln 4 ⇒ I =∫ = ln u = ln(ln(ln 4) − ln(ln 2) ln 2 u ln 2
u = ln(ln x) ⇒ du =
π
2) ∫
o
π π cos x dx = ln(2 + sin x) 2 + ln(2 + sin x) π 2 + sin x o 2 3 2 = ln + ln = o 2 3
3)∫
9
4
dx )1 + x) x
u = 1 + x ⇒ 2du = = 2∫
5
3
4)∫
o
−3
dx x
5 du 5 = 2 ln u = 2 ln 3 u 3
o 1 o 1 1 dy dy =∫ = ∫ ( − )du y + 3 y − 4 − 3 ( y + 4)( y − 1) 5 − 3 y − 1 y + 4 2
1 y −1 o 1 1 = ln = (ln − ln 4) 5 y+4 − 3 5 4
1 1 = ln 5 16
1 1 dx dx 1 1 = = ∫o ( x − 2)( x − 3 ) ∫o ( x − 3 − x − 2 )dx o x2 − 5 x + 6 1
5) ∫
= ln
www.fanavari-IT.ir
x− 3 1 3 4 = ln 2 − ln = ln x−2 o 2 3
(١) ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ
٧٤
. اﻧﺘﮕﺮال ﻫﺎي ﻧﺎﻣﻌﯿﻦ داده ﺷﺪه را ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﮐﻨﯿﺪ.7 1) ∫
1 + ln x dx 5 + x ln x
u = 5 + x ln x ⇒ du = (1 + ln x)dx
⇒ I =∫
du = ln( 5 + x ln x) + c u
4 ln 3 x + 3 2) J = ∫ dx x(ln 4 x + 3 ln x) u = ln 4 x + 3 ln x ⇒ du = ⇒J =∫ 3)∫
1 (4 ln 3 x + 3 )dx x
du = ln(ln 4 x + 3 ln x) + c u
2 x3 dx x2 − 4 u = x2 − 4 ⇒ du = 2 xdx , x2 = u + 4 4 (u + 4 ) I =∫ du = ∫ (1 + )du = u + 4 ln u + c u u 2 2 ( x − 4) + 4 ln( x − 4) + c
: دارﯾﻢx ≠ 1 , x > o ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ ﺑﻪ ازاي ﻫﺮ.8 x − 1 − ln x > o , 1 − ln x −
1 <o x
: آﻧﮕﺎهg ( x) = x − 1 , f ( x) = ln x ﺣﻞ( اﮔﺮ ﻗﺮار دﻫﯿﻢ x>1 x <1
www.fanavari-IT.ir
g (1) = f (1) = o 1 ⇒ f ( x) < g ( x) g ′( x) = 1 > = f ′( x) x 1 g ′( x) = 1 < = f ′( x) ⇒ f ( x) < g ( x) x ln x < x − 1 درﻧﺘﯿﺠﮫ
٧٥
ﻓﺼﻞ ﻫﻔﺘﻢ :ﺗﻮاﺑﻊ ﻏﯿﺮ ﺟﱪی 1 , x xﻗﺮار دﻫﯿﻢ ،دارﯾﻢ: ﺣﺎل اﮔﺮ ﺑﻪ ﺟﺎي 1 1 1 < − 1 ⇒ − ln x < − 1 x x x 1 ⇒ 1 − ln x − < o x
ln
و از آﻧﺠﺎ ﻧﺘﯿﺠﻪ ﺑﮕﯿﺮﯾﺪ :ﮐﻪ 1 < ln x < x − 1 x
1−
1 < ln x x ﻧﺎﻣﺴﺎوي اول دارﯾﻢ ln x < x − 1و از ﻧﺎﻣﺴﺎوي دوم دارﯾﻢ:
ﭘﺲ :
1 < ln x < x − 1 x
)ln(1 + x =1 x .9ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ
1−
1−
lim x→o
)ﺑﺪون اﺳﺘﻔﺎده از ﻗﺎﻋﺪه ﻫﻮﭘﯿﺘﺎل(
ﺣﻞ( ﻃﺒﻖ ﻣﺴﺄﻟﻪ ﻗﺒﻞ اﮔﺮ ﺑﻪ ﺟﺎي ،xﻗﺮار دﻫﯿﻢ ،x+1دارﯾﻢ: x < ln(1 + x) < x +1
ﭘﺲ
1 )ln(1 + x < <1 x +1 x
1 = lim 1 = 1 x +1 ﭼﻮن دارﯾﻢ: )ln(1 + x =1 x
lim
،ﻃﺒﻖ ﻗﻀﯿﻪ ﻓﺸﺮدﮔﯽ
lim x→o
www.fanavari-IT.ir
٧٦
ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )(١
ln x =o x .10ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ
∞lim x→+
)ﺑﺪون اﺳﺘﻔﺎده از ﻫﻮﭘﯿﺘﺎل(
x −1 < ln x < x − 1 x ﺣﻞ( ﻃﺒﻖ ﺗﻤﺮﯾﻦ 8دارﯾﻢ: x − 1 ln x x − 1 < < 2 x دو ﻃﺮف را ﺑﺮ xﺗﻘﺴﯿﻢ ﻣﯽ ﮐﻨﯿﻢx . ، xاز ﻃﺮﻓﯽ دارﯾﻢ: x −1 x −1 = lim x→+∞ 2 = o x x
ﻃﺒﻖ ﻗﻀﯿﻪ ﻓﺸﺮدﮔﯽ دارﯾﻢ:
∞lim x→+ ln x =o x
∞lim x→+
www.fanavari-IT.ir
www.FANAVARI-IT.ir
ﻓﺼﻞ ﻫﺸﺘﻢ ـﺎى روشﻫــــــــــ اﻧﺘﮕﺮالﮔﯿﺮی
www.FANAVARI-IT.ir
(١) ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ
٢
. 436 ﺗﻤﺮﯾﻦ ﺻﻔﺤﻪ
∫x
.را ﺣﻞ ﮐﻨﯿﺪ : دارﯾﻢdv = x n dx , u = Lnx v=
n
Lnx dx اﻧﺘﮕﺮال
.ﺣﻞ( اﮔﺮ ﻓﺮض ﮐﻨﯿﻢ
xn +1 dx , du = n +1 x
Ιn =
xn +1 xn xn +1 xn +1 Lnx − ∫ dx = Lnx − +c n +1 n +1 n +1 (n + 1)2
ﭘﺲ
. 436 ﺗﻤﺮﯾﻦ ﺻﻔﺤﻪ
∫
( ﭘﯿـﺪاn > 1) , Ιn = cos n xdx ﯾﮏ ﻓﺮﻣـﻮل ﺑﺎزﮔﺸـﺘﯽ ﺑـﺮای .را ﳏﺎﺳﺒﻪ ﮐﻨﯿﺪ
∫ cos
4
x dx ﮐﻨﯿﺪ و ﺑﻪ ﮐﻤﮏ آن
∫
. ﻣﯽ ﻧﻮﯾﺴﯿﻢΙn = cos n −1 x. cos xdx را ﺑﻪ ﺻﻮرتΙn (ﺣﻞ دارﯾﻢdv = cos x dx , u = cos n −1 x اﮔﺮ ﻓﺮض ﮐﻨﯿﻢ : در ﻧﺘﯿﺠﻪV = sin x وdu = −(n − 1) cos n−2 x. sin xdx Ιn = sin x.cos n −1 x + (n − 1) ∫ cos n−2 x.sin 2 xdx ⇒ Ι n = sin x.cos n−1 x + (n − 1)
I
n −2
− (n − 1) Ι n
⇒ nΙ n = sin x.cos n −1 x + (n − 1) Ι n −2 n = 2 → 2Ι 2 = sin x.cos x + x
n = 4 → 4Ι 4 = sin x.cos 3 x + 3Ι 2 1 3 ⇒ Ι 4 = (sin x.cos 3 x + (sin x.cos x + x)) 4 2 . ۴٣٩ ﲤﺮﯾﻦ ﺻﻔﺤﻪ
www.FANAVARI-IT.ir
ﻓﺼﻞ ﻫﻔﺘﻢ :ﺗﻮاﺑﻊ ﻏﯿﺮ ﺟﱪی ) (١ﻫﺮ ﯾﮏ از اﻧﺘﮕﺮال ﻫﺎی زﯾﺮ را ﳏﺎﺳﺒﻪ ﮐﻨﯿﺪ.
٣
www.FANAVARI-IT.ir
(١) ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ 1)
∫e
2)
x ex ex ∫ (1+ x)2 dx = x + 1 + c
3)
∫ Ln(a
x
٤
( f ( x) + f '( x)) dx = f ( x). e x + c
+ x2 ) dx = x Ln(a 2 + x2 ) − ∫
2
⇒ x Ln(a 2 + x2 ) −
x dx a + x2 2
1 Ln(a 2 + x2 ) + c 2
2 1 1 u eu du = − (− x2 − 1) e − x + c ∫ 2 2
4)
∫x
5)
∫x
6)
Ι = ∫ sin( Lnx) dx
3
e − x dx = −
5
e x dx = ( x5 − 5 x4 + 2 o x3 − 6 o x2 + 12 o x − 12o) e x
2
u = sin( Lnx)
, dv = dx ⇒ du =
1 cos( Lnx) , v = x x
Ι = x sin( Lnx) − ∫ cos( Lnx) dx 1 u = cos( Lnx) , dv = dx ⇒ du = − sin( Lnx) , v = x x Ι = x sin( Lnx) − x cos( Lnx) − Ι x Ι = (sin( Lnx) − cos( Lnx)) + c 2 7)
Ι = ∫ x tg −1 x dx x2 1 dx , v = 2 1 + x2 x2 x2 1 x2 1 1 dx = tg −1 x − x + tg −1 x + c Ι = tg −1 x − ∫ 2 2 2 x +1 2 2 2
u = tg −1 x , dv = x dx ⇒ dv =
8)
∫ sin
−1
t 2 = x ⇒ 2tdt = dx
x dx
Ι = 2∫ t sin −1 tdt = t 2 sin −1 t − ∫ = t 2 sin −1 t + ∫
1− t 2 + 1 1− t 2
t2 1− t 2
dt
dt
= t 2 sin −1 t + sin −1 t + ∫ 1 − t 2 dt
∫
1 1 t + cos 2θ 2 4 1 1 x + cos −1 x + cos 2(cos −1 x ) 2 4
1 − t 2 dt = ∫ cos 2 θ d θ =
⇒ Ι = x sin −1 x + sin −1
www.FANAVARI-IT.ir
٥ 9)
ﺗﻮاﺑﻊ ﻏﯿﺮ ﺟﱪی:ﻓﺼﻞ ﻫﻔﺘﻢ
∫
Ι = ( x 3 + x) chx dx Ι = ( x 3 + x) shx − ( 3 x2 + 1) chx + 6 x shx − 6chx
10)
∫
Ι = Ln( x + 1 + x2 ) dx 1
u = Ln( x + 1 + x2 ) , dv = dx ⇒ du = Ι = x Ln( x + 1 + x2 ) − 11)
∫
x 1+ x
1+ x
2
,v = x
= x Ln( x + 1 + x2 ) − 1 + x2 + c
2
1+ x ) dx 1− x 1+ x 2 u = Ln( ) , dv = dx ⇒ du = dx ,v = x 1− x 1 − x2 1+ x 2x 1+ x )− dx = x Ln( ) + Ln(1 − x2 ) + c Ι = x Ln( 2 1− x 1 x − 1− x 1 x + ) dx Ι = x2 Ln( 1− x
∫
Ι = x Ln(
∫
12)
∫
u = Ln( Ι= =
1− x ) , 1+ x
dv = x2 dx
⇒ du = −
x3 1− x 1 3 Ln( x 1 − x2 dx )+ 3 1+ x 3
2
1 − x2
∫
x3 1− x 1 x Lx( )− ( x + 2 ) dx 3 1+ x 3 x −1
∫
x3 1− x 1 2 1 Lx( ) − x − Ln( x2 − 1) + c = 3 1+ x 3 6 13 )
∫
Ι= e
x
dx
u 2 = x ⇒ 2udu = dx
∫
Ι = 2 u e u du = 2(u − 1) e u + c = 2( x − 1) e 14 )
Ι=
∫
tg −1 e x ex
u = tg Ι=− =−
, dv =
e
e
x
tg −1 e x e
x
+c
dx
−1 x
tg −1 e x
x
+
dx e
dx
x
∫ 1 + e2 x
+ Ln e x +
⇒ du = =
ex 1+ e
tg −1 e x e
x
+
2x
dx , v = − du
∫ u(1 + u 2 )
1 Ln(1 + e 2 x ) − 2tg −1 e x + c 2
1
ex
dx
,v =
x3 dx 3
www.FANAVARI-IT.ir
٦
ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )(١
www.FANAVARI-IT.ir
٧ 15 )
ﺗﻮاﺑﻊ ﻏﯿﺮ ﺟﱪی:ﻓﺼﻞ ﻫﻔﺘﻢ
∫
Ι = (sin −1 x) 2 dx u = (sin −1 x) 2 , dv = dx Ι = x (sin −1 x) 2 −
16 )
2
∫
1 − x2
⇒ du =
2
2
1− x
sin −1 x dx , v = x
sin −1 x dx
= x (sin −1 x)2 + 2( 1 − x2 ) sin −1 x − 2x + c Lnx 2 ) dx Ι= ( x Lnx 2 1 − Lnx Lnx ) , )( ) dx , v = x u=( dv = dx ⇒ du = 2( x x x2
∫
Lnx 2 Lnx − ( Lnx)2 2 ) −2 x dx x Lnx 2 Lnx Lnx 2 ) −2 ) dx dx + 2 ( = x( 2 x x x Lnx 2 1 − Lnx − 1 2 ) +2 x dx −Ι = x ( x Lnx 2 Lnx 1 ) − 2( ( )' dx − 2 dx) + c Ι = −x( x x x Lnx 2 Lnx 1 ) − 2( )+ +c = −x( x x x Ln (1 + x) 1 Ι= dx = u du 2 (1 + x) 2 1 = ( Ln(1 + x))2 + c 4
∫
Ι = x(
∫
∫
∫
∫
17 )
18 )
∫
Ι=
∫
π2 2 o
∫
cos 2 x dx
u = 2x
19 )
∫
⇒
2udu = 2dx
π
Ι=
∫o u cos u du = u sin u + cos u + c
Ι=
∫1 sec
4
−1
x dx
u= x
,
2u du = dx 2 2 1 Ι = 2 u sec −1 u du = 2 u cos −1 ( ) du 1 1 u −1 1 1 1 t = cos −1 ( ) ⇒ dt = − 2 . du = du 2 u 1 u u u − 1 1− 2 u
∫
∫
www.FANAVARI-IT.ir
(١) ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ
Ι = 2(
u2 1 cos −1 ( )) − 2 u
∫
٨
u
du u2 −1 2 π 1 = u 2 cos −1 ( ) − u 2 − 1 = 4 × − 3 1 3 u
20)
Ι=
∫
3π 4 π 4
x . cot x . csc x dx = −
∫
3π 4 π 4
x (csc x)' dx
u = x , dv = (csc x)' dx ⇒ du = dx , v = csc x 3π 3π 4 Ι = x csc x − π 4 csc x dx π 4 4 sin x 1 1 − cos x dx = csc x dx = dx = Ln 2 sin x 2 1 + cos x 1 − cos x
∫
∫
∫
Ι=( 21)
Ι=
π 3π 1 × 2 − × 2 ) − ( Ln 4 4 2 π2 4 o
∫
Ι=2
∫
π 2 o
∫
sin x dx
2 +1 2 −1
− Ln
2 −1 2 +1
)
u 2 = x ⇒ 2u du = dx
π u sin u du = 2(−u cos u + sin u ) 2 o . ۴۴۴ ﲤﺮﯾﻦ ﺻﻔﺤﻪ
.ﻫﺮ ﯾﮏ از اﻧﺘﮕﺮال ﻫﺎی زﯾﺮ را ﺣﻞ ﮐﻨﯿﺪ
www.FANAVARI-IT.ir
٩
1)
ﺗﻮاﺑﻊ ﻏﯿﺮ ﺟﱪی:ﻓﺼﻞ ﻫﻔﺘﻢ
∫
x 5 − x 4 + 4 x 3 − 4 x2 + 8 x − 4
dx ( x2 + 2) 3 Αx + Β Cx + D Ex + F + 2 + 2 f ( x) = 2 2 x + 1 ( x + 1) ( x + 1)2
⇒ ( Ax + B) ( x4 + 2 x2 + 1) + (Cx + D ) ( x2 + 1) + Ex + F ⇒ A= 1 2B
2)
∫
= x 5 − x 4 + 4 x 3 − 4 x2 + 8 x − 4 B = −1 , 2A+ C = 4 ⇒ C = 2
,
(sec 2 x + 1).sec 2 x 1 + tg 2 x
u = tgx ⇒ du = sec 2 xdx , u 2 = sec 2 x − 1 I=
∫
(u 2 + 2)du
u2 + 2
1+ u
3
1+ u3
=
A Bu + c + 1 + u 1 + u + u2
⇒ ( A + B)u 2 + ( A + B + C )u + A + C = u 2 + 2 A+ B = 1 A + B + C = o ⇒ C = −1 , A = 3 , B = −2 A+ C = 2 3 2u + 1 ⇒I= du − 2 du = 3 ln(u + 1) − ln( u 2 + u + 1) + c u +1 u + u +1
∫
∫
I = 3 ln(tgx + 1) − ln( tg 2 x + tgx + 1) + c
www.FANAVARI-IT.ir
(١) ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ 3)
I=
∫
x2 + 2 x − 1 27 x 3 − 1
١٠
dx
x2 + 2 x − 1
( 3 x − 1)(9 x2 + 3 x + 1)
=
A Bx + C + 2 3 x − 1 9x + 3 x + 1
⇒ (9 A + 3 B) x2 + (3 A − B + 3C ) x + A = x2 + 2x − 1 ⇒ 9 A + 3 B = 1 , 3 A − +3C = 2 , A − C = −1 A = C − 1 , 9C − 9 + 3 B = 1 3C − 3 − B + 3C = 2
9C + 3 B = 10 25 ⇒ ⇒ 27C = 25 ⇒ C = 27 6C − B = 5 75 45 10 −2 , B= − = A= 27 9 9 3 2 dx 2 ⇒− = − ln( 3 x − 1) 27 3 x − 1 81 10 25 x− 3 27 = 1 . 90x − 25 9 x2 + 3 x + 1 27 9 x2 + 3 x + 1 2 1 90x − 25 dx I = − ln( 3 x − 1) + 81 27 9 x2 + 3 x + 1
∫
∫
4)
I=
dx
dx
∫ x3 + x2 + x =∫ x( x2 + x + 1) 2
1
x( x + x + 1) A=1 ,
=
A Bx + C + x x2 + x + 1 B = −1 , C = −1
1 (x + ) dx x+1 1 2 2 ) I= tg −1 ( − 2 = ln x − ln( x2 + x + 1) + x 2 3 3 x + x+1 2
∫
∫
www.FANAVARI-IT.ir
١١
5)
ﺗﻮاﺑﻊ ﻏﯿﺮ ﺟﱪی:ﻓﺼﻞ ﻫﻔﺘﻢ
dθ
∫ cosθ (1 + sin θ ) du = dθ cos θ du du I= = 2 (1 − u ) (1 + u ) (1 + u ) 2 (1 − u ) 1 A B C = + + 2 2 (1 + u ) (1 − u ) 1 + u (1 + u ) 1 − u 1 1 1 C= , B= A= , 4 2 4 1 du 1 du 1 du I= + − 4 1 + u 2 (1 + u ) 2 4 u − 1
u = sin θ ⇒
∫
∫
∫
∫
∫
1 1 1 I = ln(1 + sin θ ) − − ln(sin θ − 1) + C 4 2(1 + sin θ ) 4
6)
dθ
dθ
dθ
∫ sin(1 + sin θ ) = ∫ sin θ − ∫ 1 + sin θ
1 sin θ − 1 1 − sin θ dθ = ln − 2 sin θ + 1 cos 2 θ 1 sin θ − 1 1 = ln − tgθ = +C 2 sin θ + 1 cosθ
∫
www.FANAVARI-IT.ir
(١) ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ 7)
١٢
dt
∫ (1 + t )(1 + t 2 )2
1
2 2
(1 + t )(1 + t )
=
A Bt + C Dt + E + 2 + 1+ t t + 1 (t 2 + 1) 2
A(t 2 + 1) 2 + ( Bt + C )(t 2 + 1) + dt + E = 1 1 1 A= , B=− 4 4 3 A+ C + E = 1 ⇒ C+E= 4
8)
x2 + 1
∫ x3 + 8 dx x2 + 1
x3 + 8
=
x2 + 1
( x2 + 2)( x2 + 2x + 4)
=
A Bx + C + 2 x + 2 x + 2x + 4
⇒ ( A + B) x2 + (2 A + 2B + 2C ) x + 4 A + 2C = x2 + 1 A+ B = 1 ⇒ C = −1
,
A=
3 , 4
B=
1 4
A+ B + C = o 4 A + 2C = 1 1 dx 1 3x +1 I= dx + 4 x + 2 4 x2 + 2 x + 4 1 1 2 x + 2 + ( x − 1) = ln( x + 2) + dx 4 4 x2 + 2x + 4 1 1 1 ( x − 1) = ln( x + 2) + ln( x2 + 2 x + 4) + 4 4 4 x2 + 2x + 4 x +1 ( x − 1) 1 2 dx = ln(( x + 1)2 + 3 ) − tg −1 ( ) 2 2 3 3 ( x + 1) + 3
∫
∫
∫
∫
∫
www.FANAVARI-IT.ir
١٣
ﺗﻮاﺑﻊ ﻏﯿﺮ ﺟﱪی:ﻓﺼﻞ ﻫﻔﺘﻢ dx
dx
∫ x4 − 3 x 3 = ∫ x 3 ( x − 3 )
9)
dx 3
x ( x − 3) 1 C=− 3
=
A B C D + 2+ 3 + x x x− 3 x D =1 ,
,
A = −1 ,
4 1 1 1 I = − ln x − . − . 2 + ln( x − 3 ) + C 3 x 6 x x2 + 2
x2 + 2
x(2 x2 + 1)2 A= 2 ,
=
x2 + 2
A Bx + C Dx + E + 2 + x 2x + 1 (2 x2 + 1) 2 B = −4 , ...
=
xdx
∫ ( x2 − x + 1)2
11)
x
=
Ax + B
( x2 − x + 1)2 x2 − x + 1 A=1 , B+ D = o 3B + D = 2 ⇒ B = 1 ,
13) 14)
4 3
∫ 4 x5 + 4 x3 + x ∫ x(2x2 + 1)2
10)
12)
B=
∫
1
o
=
Cx + D ( x2 − x + 1) 2 C =o , D = −1
dx x + 2x2 + x + 2 3
4
x2 dx
∫o 2x3 + 9x2 + 12x + 4 o
x2 dx
∫−1 (2x2 + 2x + 1)2 .449 ﺗﻤﺮﯾﻦ ﺻﻔﺤﮥ .ﻫﺮ ﯾﮏ از اﻧﺘﮕﺮال ﻫﺎي زﯾﺮ را ﺣﻞ ﮐﻨﯿﺪ
www.FANAVARI-IT.ir
(١) ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ 1)
2)
1 = sin −1 (2 x) + C 1 − 4 x2 2 dx
∫
x2 dx
∫
9 − x2 x = 3 sin θ
I= 3)
∫
⇒ dx = 3 cos θ dθ
9 sin 2 θ .3 cos θdθ 9 9 = θ − sin 2θ 3 cos θ 2 4
x 3 dx
∫
∫
∫
= 27 sin 3 θdθ = 27 sin θ − cos 2 θ sin θ
9 − x2
= −27 cos θ + 9 cos 3 θ + c dx
4)
∫x
5)
∫x
9 − x2 2
=
1 dθ 1 sin θ + 1 = − ln +2 3 sin θ 6 sin θ − 1
∫
9 − x2 dx
∫
x = 3 sin θ ⇒ I = 81 sin 2 θ . cos 2 θdθ I= 6) 7)
∫ ∫
81 81 81 sin 2 2θ dθ = θ − sin 4θ + C 4 8 32
∫
x+1
2
9− x x3
2
9+ x
∫
∫
dx = (sin θ + 1)dθ = − cos θ + θ x = 3tgθ ⇒ dx = 3 sec 2 θdθ
dx
∫
I = 27 tg 3θ dθ = 27 tgθ (sec 2 θ − 1)dθ =
27 2 tg θ + 27 ln(cos θ ) + C 2
١٤
www.FANAVARI-IT.ir
١٥
ﺗﻮاﺑﻊ ﻏﯿﺮ ﺟﱪی:ﻓﺼﻞ ﻫﻔﺘﻢ
8)
I=
9)
I=
1 − x2
∫
x2
o x
∫−lne 2
u=e
dx =
∫ sin 2 θ dθ = − cot θ − θ + C
1 − e 2 x dx 1 1 2
∫
⇒ I=
x
cos2 θ
2
1 − u du =
π 2 cos 2 θ π 6
∫
dθ
π 3 π 1 1 2 π ) = ( θ + sin 2θ ) = − ( + π 4 12 8 2 4 6
10)
dx
dx
sec 2 θ
∫ sec 4 θ dθ = ∫ cos 11)
du
∫ ( x2 + 2x + 2)2 = ∫ (( x + 1)2 + 1)2 =∫ (u 2 + 1)2 ∫
dx 5 2 2 (1 + 2 x )
I=
1
sec 2 θ
2
1 1 θdθ = θ + sin 2θ + C 2 4 2 x = tgθ
,
2 ∫ sec 5 θ
dθ =
1
cos 2∫
3
θ dθ
1 1 sin 3 θ 2 = (cosθ − sin θ cosθ )dθ = sin θ − +C 2 2 3 2
∫
www.FANAVARI-IT.ir
(١) ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ
12)
13)
dθ = 2 + sin θ
2dt
dt 1 + t 2 dt = 2 2t t + t +1 2+ 2 1+ t 1 t+ 2 = tg −1 ( 2 ) + C 3 3 2
∫
π 2 o
∫
∫
∫
dθ = 1 + sin θ + cos θ
1 = ln(1 + t ) = ln 2 o
14)
dθ = 3 + 2 cos θ
2dt
1+ t2 = o 2t 1− t2 + 1+ 1+ t2 1+ t2 1
∫
2dt
1 + t2 dt 1− t2 3 +2+ 1 + t2 2dt 2 −1 t = 2 = tg ( ) + C 5 5 t +5
∫
∫
∫
2dt o 2 + 2t 1
∫
١٦
www.FANAVARI-IT.ir
١٧ 15)
ﺗﻮاﺑﻊ ﻏﯿﺮ ﺟﱪی:ﻓﺼﻞ ﻫﻔﺘﻢ
∫ sec
3
xdx =
dx
du
∫ cos2 x = ∫ (1 − u 2 )2
du cos x 1 A B C D = + + + 2 2 2 u + 1 (u + 1) u − 1 (u − 1) 2 (1 − u ) (1 + u ) 1 1 1 , D= , B= , A+ C = o A− C = − 4 4 2 1 1 , A= − C= 4 4 1 1 1 1 1 1 I = − ln sin x + 1 − . + ln sin x − 1 − . 4 2 1 + sin x 4 4 sin x − 1
u = sin x ⇒ dx =
dx
dt
16)
∫ csc xdx = ∫ sin x = ∫ t
17)
I = x sin −1 xdx =
∫
2
= ln tg
x +C 2
x2 1 sin −1 x − 2 2
∫
x2 2
1− x
dx
x 1 sin −1 x − sin 2 θ dθ 2 2 2 x 1 1 = sin −1 x − (sin −1 x) + sin 2(sin −1 x) + C 2 4 8 =
18)
∫
∫
dx = 1 − sin x + cos x
= − ln tg
x −1 + C 2
2dt
∫
dt 1 + t2 = 2 1− t 2t 1− t 1− + 1+ t2 1+ t2
∫
www.FANAVARI-IT.ir
(١) ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ π
sin x
19)
∫o
20)
∫ x4
2
4 + cos x dx x2−1
=
dx = −
−1
∫1
1 1 1 π π = tg −1u = × = −1 2 2 4 2 4+u du
2
sec θ .tgθ
∫ sec 4 θ .tgθ dθ = ∫ cos
∫
= (1 − sin 2 θ ) cos θdθ = sin θ − 21) 22)
∫
dx 2x − x
2
dx
=
∫
dx 1 − ( x − 1)
∫ 4 x2 + 12x + 13 ∫ =
2
3
θdθ
sin 3 θ +C 3
= sin −1 ( x − 1) + C
1 −1 2x + 3 = ) tg ( 2 (2x + 3 ) 2 + 4 4 dx
١٨
www.FANAVARI-IT.ir
ﻓﺼﻞ ﻧﻬﻢ ﳐﺘﺼﺎت ﻗﻄﱮ و ﻣﻨﺤﲎﻫﺎى ﻗﻄﱮ
www.FANAVARI-IT.ir
٢
ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )(١
ﺗﻤﺮﯾﻦ ﺻﻔﺤﻪ 456 .1ﺑﺮاي ﻫـﺮ ﯾـﮏ از ﻧﻘـﺎط زﯾـﺮ ،دو ﻣﺠﻤﻮﻋـﻪ دﯾﮕـﺮ از ﻣﺨﺘﺼـﺎت ﻗﻄﺒـﯽ ﻫﻤـﺎن ﻧﻘﻄﻪ را ﭘﯿﺪا ﮐﻨﯿﺪ ﮐﻪ در ﯾﮑﯽ r > oو دﯾﮕﺮي r > oﺑﺎﺷﺪ. π 3π 7π ) ( 2 , − ) : (− , ) , ( 2 , 4 4 4
)اﻟﻒ
(−2 ,
)ب
) 3 , πـ ( (−3 , −π ) : (3 , o) ,
)ج
4π 7π 10π 2 ,ـ ( ) : (2 , ) , ) 3 3 3
-2ﻣﺨﺘﺼــﺎت ﻗﻄﺒــﯽ ﻧﻘــﺎط زﯾــﺮ را ﺑــﺎ ﺷــﺮاﯾﻂ r > oو o ≤ θ ≤ 2πﺗﻌــﯿﻦ ﮐﻨﯿﺪ 7π ) 4 4π ) 3
(2 , 2) : (2 2 ,
)اﻟﻒ
1 , − 3 ) : (2 ,ـ (
)ب
π ) (1 , 3) : (2 , 3
)ج
-3ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﻗﻄﺒﯽ ﻣﻌﺎدﻻت زﯾﺮ را ﺑﻨﻮﯾﺴﯿﺪ. 4 sin 2 θ cos 3 θ
= ) x3 = 4 y2 : r 3 cos 3 θ = 4r 2 sin 2 θ ⇒ rاﻟﻒ xy = 1 : r 2 sin θ cos θ = 1
)ب
www.FANAVARI-IT.ir
٣
ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ:ﻓﺼﻞ دوم x2 − 4 x + y2 = o ⇒ x2 + y2 = 4 x
⇒ r 2 = 4 r cos θ
)ج
⇒ r = 4 cos θ
. ﻣﻌﺎدﻻت دﮐﺎرﺗﯽ ﻣﻌﺎدﻻت زﯾﺮ را ﺑﻨﻮﯾﺴﯿﺪ-4 ﻒ
) اﻟr = 2 sin 3θ = 2(3 sin θ cos 2θ − sin 3 θ )
r 4 = 6r sin θ (r cos θ )2 − 2(r sin θ )3 ( x2 + y2 )2 = 6 yx2 − 2 y2
بr)
=
4 ⇒ r 3 r− 2 cos θ = 4 3 − 2 cos θ
3 x2 + y2 − 2x = 4 ⇒ 3( x2 + y2 ) = (2x + 4)2 3 x2 + 3 y2 = 4x2 + 16 x + 16
جr)
2
= θ x⇒ 2y+ 2tg=
ـ1
y ( ) x
⇒ y = xtg ( x2 + y2 )
462 ﺗﻤﺮﯾﻦ ﺻﻔﺤﻪ . ﻧﻤﻮدار ﻫﺮ ﯾﮏ از ﺗﻮاﺑﻊ زﯾﺮ را رﺳﻢ ﮐﻨﯿﺪ.1 1) r 2 = 9 sin 2θ
2) r 2 = 16 cos 2θ
www.FANAVARI-IT.ir
(١) ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ
3) r = 3 cos 3θ
5) r = 3 sin 3θ
٤
4) r = 4 sin 2θ
6) r = 1 + 2 sin θ 1 r = 2( + sin θ ) 2
www.FANAVARI-IT.ir
٥
ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ:ﻓﺼﻞ دوم
8) r = 3 (1 − sin θ )
7) r = 4(1 − cos θ )
9) r = ae kθ
www.FANAVARI-IT.ir
ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )(١
٦
.2ﻓــﺮض ﮐﻨﯿــﺪ ﺧﻄــﯽ از ﻣﺒــﺪأ ﺑــﺮ ﺧــﻂ dx + by − c = oﻋﻤــﻮد ﺑﺎﺷــﺪ. ﻣﺨﺘﺼﺎت ﺗﻘﺎﻃﻊ آﻧﻬﺎ را در ﻣﺨﺘﺼﺎت ﻗﻄﺒﯽ ﺗﻌﯿﻦ ﮐﻨﯿﺪ. d c x+ b b d ﺧــﻂ ﻣــﻮرد ﻧﻈــﺮ ﺑــﻪ ﺻــﻮرت x b
y = x−
= yاﺳــﺖ .ﮐــﻪ در ﻣﺨﺘﺼــﺎت ﻗﻄﺒــﯽ ﺑــﻪ
d b
ﺻﻮرت ) ( θ = tg −1ﻣﻄﺮح ﻣﯽ ﺷﻮد. d c r cos θ + b b c c =r = ) 1 ( bـ 1 ( b )) + d cos(tgـ b sin θ + d cos θ b sin( tg d d c =r 2 b d2 + b2 + d 2 b2 + d 2 c =r 2 b + d2 ـ = r sin θ
.3ﻣﺴﺄﻟﻪ 2را در ﻣﻮرد ﺧﻂ 3 x + y = 6ﺣﻞ ﮐﻨﯿﺪ. 1 π =) 6 3
( 1ـ θ = tg
6 =3 4
=r
www.FANAVARI-IT.ir
٧
ﻓﺼﻞ دوم :ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ
.4ﻧﻤﻮدار ﺗﻮاﺑﻊ زﯾﺮ را رﺳﻢ ﮐﻨﯿﺪ. اﻟﻒ( r = 2 sin θ r = 2 sin θ ⇒ r 2 = 2r sin θ ⇒ x2 + y2 = 2 y 1)2 = 1ـ⇒ x2 + ( y
ب(
)r = 2 sin(θ + 45°
ﮐﺎﻓﯽ اﺳﺖ ﻧﻤﻮدار ﻗﺒﻠﯽ را ﺑﻪ اﻧﺪازه ْ 45در ﺟﻬﺖ ﺳﺎﻋﺖ دوران دﻫﯿﻢ. .5ﻧﺎﺣﯿﻪ ﻫﺎي زﯾﺮ را در ﻣﺨﺘﺼﺎت ﻗﻄﺒﯽ ﻧﻤﺎﯾﺶ دﻫﯿﺪ. π } 2
≤ ) D = {( r ,θ )1 ≤ r ≤ 2 , o ≤ θ
اﻟﻒ
1 2
π 2
≤ ) R = {( r ,θ )r ≥ o , o ≤ θب
www.FANAVARI-IT.ir
(١) ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ
) جP = {(r ,θ ) o ≤ r ≤ 2 cosθ , ـ 2
π π ≤θ ≤ } 2 2
o ≤ r ≤ 2 cosθ ⇒ o ≤ r ≤ 2r cos θ o ≤ x2 + y2 ≤ 2x ( x − 1)2 + y2 ≤ 1
) دT = {(r ,θ ) ـ3 ≤ r ≤ 2 , θ =
) هK = {(r ,θ )r ≤ o ,θ =
π } 4
π } 4
٨
www.FANAVARI-IT.ir
ﻓﺼﻞ دوم :ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ
ﺗﻤﺮﯾﻦ ﺻﻔﺤﻪ 446 .1ﻧﻘﺎط ﺗﻘﺎﻃﻊ ﻧﻤﻮدارﻫﺎي داده ﺷﺪه را ﭘﯿﺪا ﮐﻨﯿﺪ. اﻟﻒ(
ﺣﻞ(
) r = 1 − sin θ , r = cos(2θ
π π ⇒ r = cos(2 × ) = o 4 4 π π θ = ⇒ r = 1 − sin = o 2 2 =θ
دو ﻣﻨﺤﻨﯽ از ﻗﻄﺐ ﻣﯽ ﮔﺬرﻧﺪ. 2
2
cos(2θ ) = 1 − sin θ ⇒ 1 − 2 sin θ = 1 − sin θ ⇒ 2 sin θ = sin θ π 5π و = ⇒θ = o , π , θ 6 6
٩
www.FANAVARI-IT.ir
(١) ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ
١٠
r = 2 cos θ , r = 2 sin θ θ = o → r = 2 sin o = o " π π θ = → r = 2 cos = o 4 2
(ب
ﻗﻄﺐ روي دو ﻣﻨﺤﻨﯽ اﺳﺖ
π π cos 2θ = sin θ = cos(θ − ) ⇒ 2θ = 2Kπ ± (θ − ) 2 2 π π 3π ⇒ θ = 2Kπ − ⇒ θ = − , 2 2 2 2kπ π π 2π π θ= + ⇒θ , + 3 2 2 3 2
2
r = 1 , r = 2 cos θ (ج
. از ﻗﻄﺐ ﻧﻤﯽ ﮔﺬردr = 1 1 π 1 = 2 cos θ ⇒ cos θ = ⇒ θ = ± 2 3 1 2π 4π ـ1 = 2 cosθ ⇒ cosθ − ⇒ θ = , 2 3 3
r (1 − sin θ ) = 3 , r = 4(1 + sin θ ) (د θ=ـ
π π ⇒ r = 4(1 + sin( − ) = o 2 2
.ﻣﻨﺤﻨﯽ دوم از ﻗﻄﺐ ﻧﻤﯽ ﮔﺬرد
www.FANAVARI-IT.ir
ﻓﺼﻞ دوم :ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ
١١
3 3 ± 3 = = 4(1 + sin θ ) ⇒ cos2 θ = ⇒ cos θ 4 2 1 − sin θ π 5π 7π θ =± , , 6 6 6 3 2
.2ﻧﻤــﻮدار ، r = sin θﺧــﻮدش را ﻗﻄــﻊ ﻣــﯽ ﮐﻨــﺪ .ﻧﻘــﺎط ﺗﻘــﺎﻃﻊ را ﺗﻌــﯿﻦ ﮐﻨﯿﺪ.
ﺗﻤﺮﯾﻦ ﺻﻔﺤﻪ 469 .1ﺿـــﺮﯾﺐ زاوﯾـــﻪ ﺧـــﻂ ﻣﻤـــﺎس ﺑـــﺮ ﻣﻨﺤﻨـــﯽ r = 1 + sin θرا در ﻧﻘﻄـــﻪ 3 π ) و 2 3
(1 +ﺑﺪﺳﺖ آورﯾﺪ.
ﺣﻞ( dr π = cos θ , tg = 3 dθ 3 3 3 3. +1+ 2 2 = m = tgd 3 3 ) 3 − (1 + 2 2 5 3 + m= 2 2 3 3 − 3− 2 2
www.FANAVARI-IT.ir
ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )(١
١٢
.2زاوﯾــﻪ ﺑــﯿﻦ ﺷــﻌﺎع ﺣﺎﻣــﻞ و ﺧــﻂ ﻣﻤــﺎس ﺑــﺮ ﻣﻨﺤﻨــﯽ ﻫــﺎي زﯾــﺮ را در ﻧﻘــﺎط ﻣﻔﺮوض ﺑﺪﺳﺖ آورﯾﺪ. اﻟﻒ( ﺣﻞ(
ب(
π ) , r 2 = 4 cos 2θ 6
و p( 2
r 2 2 4 = = =− dr − sin 2θ 3 3 − jθ 4 cos 2θ 2 2
= tgβ
) p( 3, π ) , r = 3 (1 − sin θ 3 π r = = =1 ⇒ β dr cos θـ 4 dθ
= tgβ
.3ﻣﻄﻠــﻮب اﺳــﺖ اﻧــﺪازه زاوﯾــﻪ ﮐــﻮﭼﮑﺘﺮﯾﻦ ﺧﻄﻬــﺎي ﻣﻤــﺎس ﺑــﺮ ﻧﻘﻄــﻪ ﺗﻘــﺎﻃﻊ داده ﺷﺪه در ﻣﻨﺤﻨﯽ 2 2π ) , r = 4 cos θ − 3 , r = 4 cosθ 3
p ( −2 ,
3 3 × .(−4 )−2 2−2 3 2 = =o = m1 = tgd1 3 3 3 3 ×−4 + 2 × (− ×) − 4 + 2 × (− ) 2 3 2 2 −
www.FANAVARI-IT.ir
ﻓﺼﻞ دوم :ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ
١٣
2π 2π 3 cos × (− ) −2 3 3 3 = m2 = tgd 2 − 3 2π 2π − 8 sin (cos + 2 ) 3 3 3 3 3 × (− ×4 )−2 2 3 = = 3 2 3 ×4 − 2 3 − 8 sin
θ .4دﻟﻨﻤﺎي ) r = 2(1 − cosθﻣﻔﺮوض اﺳﺖ .ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ 2
tgβ = tg
ﺣﻞ( dr r 1 − cos θ = = 2 sin θ ⇒ tgβ = dr dθ sin θ dθ θ θ 2 sin 2 sin = 2 2 = tg θ = ⇒ tgβ θ θ θ 2 2 cos sin cos 2 2 2
.5ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ .ﺑـﻪ ازاي ﻫـﺮ ، a , bﺧﻄـﻮط ﻣﻤـﺎس در ﻫـﺮ ﯾـﮏ از ﻧﻘـﺎط ﺗﻘـﺎﻃﻊ دﻟﻨﻤﺎي زﯾﺮ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪﻧﺪ.
www.FANAVARI-IT.ir
(١) ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ
١٤
r = a (1 + sin θ ) , r = b(1 − sin θ )
www.FANAVARI-IT.ir
ﻓﺼﻞ دﻫﻢ
ﮐﺎرﺑﺮدﻫﺎى اﻧﺘﮕﺮال
www.FANAVARI-IT.ir
ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )(١
١٦
5-1-10ﺗﻤﺮﯾﻦ ﺻﻔﺤﻪ 476 .1ﺳــﻄﺢ ﻣﺤﺼــﻮر ﺑــﻪ ﻧﻤــﻮدار ﺗﻮاﺑــﻊ x = 2 y2 − y − 2 , x = y2را ﻣﺤﺎﺳــﺒﻪ ﮐﻨﯿﺪ. ﺣﻞ( 2
2
2
y = 2 y − y − 2 ⇒ y − y − 2 = o ⇒ y = −1 , y = 2 2
3
2
2
y y )( y − y − 2)dy = ( − − 2 y 3 2
∫
=S
−1
8 −1 1 − 1o 7 = )= ( − 2 − 4) − ( − + 2 − 3 3 2 3 6 27 9 = = 6 2
2
.2ﺳـــﻄﺢ ﻣﺤﺼـــﻮر ﺑـــﻪ ﻧﻤـــﻮدار ﺗﻮاﺑـــﻊ 2 y − y + 3 − x = o , x − y = vرا ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﮐﻨﯿﺪ ﺣﻞ(
www.FANAVARI-IT.ir
١٧
ﻓﺼﻞ دوم :ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ x = v + y , x = 2 y2 − y + 3
v + y = 2 y2 − y + 3 ⇒ 2 y2 − 2 y − 4 = o ⇒ y2 − y − 2 = o y = −1 , y = 2 2 2 )s = ∫ (2 y2 − 2 y − 4)dy = ( y 3 − y2 − 4 y 3 −1
16 −2 − 12) − ( − 1 − 4) = 6 − 12 + 5 = 1 3 3
(=
.3ﺳــﻄﺢ ﻣﺤﺼــﻮر ﺑــﻪ ﻧﻤــﻮدار ﺗﻮاﺑــﻊ y = sin x , y = cos xرا در ﻓﺎﺻــﻠﻪ o ≤ x ≤ 2πﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﮐﻨﯿﺪ. (sin x − cos x)dx
3π 4 π 4
∫
(cos x − sin x)dx +
π 4 o
(sin x − cos x)dx
∫
=s
2π 3π 4
∫
+
s=3
2
2
.4ﺳــﻄﺢ ﻣﺤﺼــﻮر ﺑــﻪ ﻧﻤــﻮدار ﺗﻮاﺑــﻊ y = 4 − x , y = x − 2 xرا ﻣﺤﺎﺳــﺒﻪ ﮐﻨﯿﺪ. ﺣﻞ(
www.FANAVARI-IT.ir
١٨
ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )(١ 2
2
2
x − 2 x = 4 − x ⇒ 2x − 2 x − 4 = o 2
⇒ x − x − 2 = o ⇒ x = −1 , x = 2
2 2 2 3 ) (4 − 2x + 2 x)dx = (4 x − x + x −1 3 1
16 2 16 29 = + 4 + 4 − − 1 = 15 − 3 3 3 3
∫
=s
=8−
.5ﻣﻄﻠﻮب اﺳﺖ ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﻣﺴﺎﺣﺖ ﻧﺎﺣﯿﻪ ﻣﺤﺪود ﺑﻪ ﺧﻄﻮط x = 2 , x = oو ﻣﻨﺤﻨﯽ ﻫﺎي
2
y = 2x , y = 2 x − x
3
2
x 8 s = (2 x − x − 2 x)dx = − = o 3 3
2
2
2
∫
.6ﺳـــﻄﺢ ﻣﺤﺼـــﻮر ﺑـــﻪ ﻧﻤـــﻮدار ﺗﻮاﺑـــﻊ x = 2 y , x = 1 − 3 yرا ﻣﺤﺎﺳـــﺒﻪ ﮐﻨﯿﺪ. ﺣﻞ(
www.FANAVARI-IT.ir
ﻓﺼﻞ دوم :ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ 1 1 ⇒ y=± 5 5 1
(1 − 3 y2 − 2 y2 )dy
)
2 15 5
−
1 5 5
5
١٩
= 2 y2 = 1 − 3 y2 ⇒ y2 1
∫(1− 3 y2 − 2 y2 )dy = 2
o
−
1 5
1 (5 = 2
∫=s
5 1
−
5
2 ) = 2 ( y − y − y3 3 3
o
2
.7ﻣﻄﻠﻮب اﺳﺖ ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﻣﺴﺎﺣﺖ ﻧﺎﺣﯿﻪ ﻣﺤﺪود ﺑﻪ ﺳﻬﻤﯽ , x = 4 y
8
2
=y
x +4
ﺣﻞ( 8 x2 = 2 ⇒ x4 + 4x2 − 32 = o 4 x +4 ⇒ ( x2 + 8)( x2 − 4) = o ⇒ x = ±2 2 2 2 x 8 8 x2 )dx = 2∫ 2 s = ∫ (− + 2 ∫dx − 2 dx −2 o x +4 o 4 4 x +4 2
4 3
2
2
x x3 = 8tg ( ) − 2 o 6 −1
= 2π − o
.8ﻣﺴﺎﺣﺖ ﻗﺴﻤﺘﯽ از رﺑـﻊ اول را ﮐـﻪ داﺧـﻞ داﯾـﺮه x2 + y2 = 3و ﻣﺤـﺪود ﺑـﻪ 2
2
ﺳﻬﻤﯽ ﻫﺎي x = 2 y , y = 2 xﻣﯽ ﺑﺎﺷﺪ ،ﺣﺴﺎب ﮐﻨﯿﺪ.
www.FANAVARI-IT.ir
٢٠
ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )(١
ﺣﻞ( اﯾﻦ ﻣﺴﺎﺣﺖ ﺑﺎ اﻧﺘﮕﺮال دوﮔﺎﻧﻪ در رﯾﺎﺿﯽ 2ﺣﻞ ﻣﯽ ﺷﻮد. .9ﻣﺴﺎﺣﺖ ﻧﺎﺣﯿﻪ اي را ﺣﺴـﺎب ﮐﻨﯿـﺪ ﮐـﻪ ﺑـﻪ ﺧﻄـﻮط y = x + 1 , y = cos xو ﻣﺤﻮر xﻫﺎ ﻣﺤﺪود اﺳﺖ. ﺣﻞ( ﺻﻮرت ﺳﺆال اﺷﺘﺒﺎه اﺳﺖ. 2
3
2
.10ﻣﻄﻠﻮب اﺳﺖ ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﻣﺴﺎﺣﺖ ﺑﯿﻦ ﻣﻨﺤﻨﯽ x = 2 , y = x − x
ﺣﻞ( x = 2 ⇒ y2 = 8 − 4 = 4 ⇒ y = ±2 2
2
x3 − x2 dx = 2∫ x 1 − x o
∫s = 2
o
1 − x = u ⇒ dx = −2udu 2
1
u3 u5 ) s = −4∫ u (1 − u )du = −4 ( − 3 5 o 2
2
1 1 16 = ) = 8( − 3 5 15
2
2
.11ﻣﺴﺎﺣﺖ ﺑـﯿﻦ ﻣﻨﺤﻨـﯽ ﻫـﺎي y = ( x − 4) , y = 16 − xو ﻣﺤـﻮر xﻫـﺎ را ﺗﻌﯿﻦ ﮐﻨﯿﺪ. ﺣﻞ(
www.FANAVARI-IT.ir
٢١
ﻓﺼﻞ دوم :ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ
16 − x2 = ( x − 4)2 16 − x2 = x2 − 8 x + 16 ⇒ 2x2 − 8 x = o ⇒ x = o , 4 4
x3 ( x − 4)3 (16 − x − ( x − 4) )dx = 16 x − − 3 3 2
o
2
64 64 )+ = 64 3 3
4
∫=s
o
= (64 −
.12ﻣﻄﻠﻮب اﺳﺖ ﻣﺴﺎﺣﺖ ﻣﺤﺪود ﺑﻪ ﻣﻨﺤﻨﯽ y = x4 − 2x2 + 3و ﻣﺤﻮر xﻫﺎ ﮐﻪ ﺑﯿﻦ ﻋﺮض ﻫﺎي ﻧﻘﺎط ﻣﯽ ﻧﯿﻤﻢ ) y(xواﻗﻊ اﺳﺖ. ﺣﻞ( 2
3
)y′ = 4 x − 6 x + 2x = x( x − 1)(4 x − 2 1 = ⇒ x = o , x =1 , x 2 49 =y=3 , y=3 , y 16 2
2
.13ﻣﺴﺎﺣﺖ ﻣﺤﺪود ﺑﻪ ﻧﻤﻮدار ﺗﺎﺑﻊ ) ( y − 1) = x − 1 , x = 2( y − 1را ﻣﺤﺎﺳـﺒﻪ ﮐﻨﯿﺪ. ﺣﻞ(
www.FANAVARI-IT.ir
٢٢
ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )(١ x = 2( x − 1) ⇒ X = 2 ( y − 1)2 = 1 ⇒ y = o , y = 2 2
2
s = ∫ (1 + ( y − 1)2 − 2( y − 1)2 )dy = ∫ (1 − ( y − 1)2 dy o
o
1 1 4 = = (2 − ) − 3 3 3
2
o
( y − 1) 3 ) 3
= (y −
.14ﺳﻄﺢ ﻣﺤﺼﻮر ﺑﻪ ﻧﻤﻮدار y = chxو ﺧﻂ x = 1و ﻣﺤـﻮر xﻫـﺎ را ﺣﺴـﺎب ﮐﻨﯿﺪ ﺣﻞ( ﻣﺴﺎﺣﺘﯽ وﺟﻮد ﻧﺪارد.
1 .15ﻣﺴﺎﺣﺖ ﻫﺎي دو ﻧﺎﺣﯿﻪ اي را ﮐﻪ ﺳﻬﻤﯽ y = x2درون داﯾـﺮه x2 + y2 = 8 2
ﺗﻘﺴﯿﻢ ﻣﯽ ﮐﻨﺪ ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﮐﻨﯿﺪ. ﺣﻞ( 2
4
2 4 2 x x =y ⇒x + = 8 ⇒ x + 4 x − 32 = o 2 4 2
2
⇒ ( x + 8)( x − 4) = o ⇒ x = ±2
ﻣﺴﺎﺣﺖ ﻧﯿﻢ داﯾﺮه ﺑﺎﻻﯾﯽ ﺑﺮاﺑﺮ ﻧﺼﻒ 8π = π (2 2 )2اﺳﺖ ﯾﻌﻨﯽ 4πاﺳﺖ. .16ﻣﺮاﮐﺰ دو ﻗﺮص ﻣﺴﺘﺪﯾﺮ ﺑـﻪ ﺷـﻌﺎع واﺣـﺪ در ﻓﺎﺻـﻠﻪ 2aاز ﻫـﻢ ﻗـﺮار دارﻧـﺪ
www.FANAVARI-IT.ir
٢٣
ﻓﺼﻞ دوم :ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ
) (o < a < 1ﻣﺴﺎﺣﺖ ﻧﺎﺣﯿﻪ اي را ﺑﯿﺎﺑﯿﺪﮐﻪ ﻣﺤﺪود ﺑﻪ دو ﻗﺮص اﺳﺖ. 2
2
2
2
ﺣﻞ( داﯾﺮه ﻫﺎي ( x + 1) + y = 1 , ( x − 1) + y = 1را در ﻧﻈﺮ ﻣـﯽ ﮔﯿـﺮﯾﻢ ﺧـﻂ x = 1 − aوﺗــﺮ ﻣﺸــﺘﺮك دوداﯾــﺮه اﺳــﺖ .ﺑــﻪ ﻋﻠــﺖ ﺗﻘــﺎرن ﻣﺴــﺎﺣﺖ ﺑــﯿﻦ ( x − 1)2 + y2 = 1و ﺧﻂ را ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ و دو ﺑﺮاﺑﺮ ﻣﯽ ﮐﻨﯿﻢ x = 1 − a ⇒ (1 − a − 1)2 + y2 = 1 ⇒ y = ± 1− a 2 (1 − a − (1− 1− y2 )dy
1− a 2
∫s = 2
− 1− a 2
)adv
1− a 2
∫ cos2 θ dθ −
o
sin −1 1− a 2
∫ (( 1− y2 − a )dy = 4
o
1− a 2
∫= 4
o
1 1 ) = 4( sin −1 ( 1 − a 2 ) + sin 2(sin −1 1 − a 2 ) − a 1− a 2 2 4
3
(18اﮔﺮ α > o) g ( x) = x , f ( x) = αxﺛﺎﺑﺖ( اﻧﮕﺎه ﻣﺴﺎﺣﺖ ﻣﺤﺼـﻮر ﺑـﻪ دو ﻣﻨﺤﻨﯽ را ﺣﺴﺎب ﮐﻨﯿﺪ. ﺣﻞ(
www.FANAVARI-IT.ir
٢٤
ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )(١ α x = x3 ⇒ x = o , x = α , x = − α )( x3 − α x α
α
∫
o
(α x − x3 )dx +
o
∫
− α
x4 x2 ) ( x − α x)dx = 2 ( − α 4 2 o 3
α
=s
∫=2
o
α2 α2 α2 − = 4 2 2
(=2
2
(19ﻣﺴــﺎﺣﺖ ﻣﺤﺼــﻮر ﺑــﻪ ﻧﻤــﻮدار x y + 4 y − 12 = oو ﻣﺤــﻮر ﻣﺨﺘﺼــﺎت و ﺧﻂ x = 2را ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﮐﻨﯿﺪ. 12 4 + x2
= y( x2 + 4) = 12 ⇒ y
2
12 x π 3π = dx = 6tg −1 ( ) = 6 4+ x 2 o 4 2
3
2
∫ =s
o
3
.20ﻣﺴــﺎﺣﺖ ﻣﺤﺼــﻮر ﺑــﻪ ﻧﻤــﻮدار ﺗﻮاﺑــﻊ x = y , y = x , x + y = 2را ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﮐﻨﯿﺪ. 1
s1 = ∫ (2 − y − 3 y )dy 0
1
s2 = ∫ (2 − y − 3 y )dx 0
1
4
y2 3 3 1 3 3 = − y ) = 2− − s1 = s2 = (2 y − 2 4 4 4 4 o
www.FANAVARI-IT.ir
٢٥
ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ:ﻓﺼﻞ دوم
480 ﺗﻤﺮﯾﻦ ﺻﻔﺤﻪ .ﻣﺴﺎﺣﺖ ﺳﻄﺢ ﻣﺤﺼﻮر را ﺑﯿﺎﺑﯿﺪ .1 x = t2 −1 −1 ≤ t ≤ 1 , c : 3 y = t − t g (t ) = t 3 − t ⇒ g (−1) = −2, g (1) = o f (t ) = t 2 − 1 ⇒ f ′(t ) = 2t o
s = ∫ (t 3 − t )(2t )dt = −2
2 5 2 3 t − t 5 3
o
−2
64 16 192 − 18 o 112 − = = 5 3 15 15 x = cos t o≤t ≤2 , c: 2 y = sin t cos t =
x4 + y2 = x2
" .ﺷﮑﻞ ﮐﺎﻣﻼً ﻣﺘﻘﺎرن اﺳﺖ
www.FANAVARI-IT.ir
(١) ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ
٢٦
π 4 o
s = 4∫ cos t (cos 3 t − 2 sin 2 t cos t )dt π 2 o
π 2 o
= 4∫ cos tdt − 8∫ sin 2 t cos2 tdt π 2 o
∫
4
π
1 cos tdt = ∫ 2 (1+ 2 cos 2t + cos2 2t )dt 4 o 4
π 2 1 1 1 = (t + sin 2t + t + sin 4t ) 4 2 8 o
1 π π 3π = ( + )= 4 2 4 16
.را ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﮐﻨﯿﺪ x = a cos t y = b sin t s=4
π 2 o
∫
= 2ab ×
o ≤ t ≤ 2π
x2 y2 + = 1 ( ﻣﺴﺎﺣﺖ ﺑﯿﻀﯽ3 a 2 b2
:ﺣﻞ( ﺑﯿﻀﯽ را ﺑﻪ ﺻﻮرت زﯾﺮ ﭘﺎراﻣﺘﺮي ﻣﯽ ﮐﻨﯿﻢ
− b sin t (a sin t )dt = − 2ab
π 2 o
∫
(1 − cos 2t )dt
π = πab 2 2 3
2 3
. را ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﮐﻨﯿﺪx + y = a
2 3
( ﻣﺴﺎﺣﺖ ﻣﺤﺪود ﺑﻪ4
. ﻣﺴﺎﺣﺖ ﻣﺤﺪود ﺑﻪ ﯾﮏ ﻗﻮس ﺳﯿﮑﻠﻮﺋﯿﺪ زﯾﺮ را ﺑﺪﺳﺖ آورﯾﺪ.5 c:
x = a (t − sin t ) y = a (1 − cos t )
www.FANAVARI-IT.ir
٢٧
ﻓﺼﻞ دوم :ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ π
π
s = ∫ 2 a (1 − cos t )2 dt = a ∫ 2 (1− 2 cos t + cos 2 )dt o
o
π
2 1 1 3π = ) = (t − 2 sin t + t + sin 2t −2 2 4 4 o
ﺗﻤﺮﯾﻦ ﺻﻔﺤﻪ 483 .1ﻣﺴﺎﺣﺖ ﻧﺎﺣﯿﻪ اي از ﺻﻔﺤﻪ را ﮐﻪ ﺑﯿﻦ اوﻟﯿﻦ و دوﻣـﯿﻦ دور از ﭘـﯿﭻ ارﺷـﻤﯿﺪس r = a θواﻗﻊ اﺳﺖ (a > o) .ﭘﯿﺪا ﮐﻨﯿﺪ. 4π
1a 3 16 4 3 = (aθ )dθ θ = aπ 23 o 2 3 2
4π
∫
o
1 =s 2
.2ﻣﻄﻠﻮب اﺳﺖ ﺳﻄﺢ ﻣﺤﺪود ﺑﻪ r = sin 2θ
ﺣﻞ( ﺑﻪ ﻋﻠﺖ ﺗﻘﺎرن ﮐﺎﻣﻞ دارﯾﻢ: π 2
= (1 − cos 4θ )dθ
π 2 o
∫
2
= (sin 2θ ) dθ
π 2 o
∫
1 s = ×4 2
.3ﻣﺴﺎﺣﺖ داﺧﻞ داﯾﺮه r = 3 cosθو ﺧﺎرج دﻟﻨﻤﺎي r = 1 + cosθرا ﺑﯿﺎﺑﯿﺪ ﺣﻞ(
www.FANAVARI-IT.ir
ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )(١
٢٨
1 π ⇒θ = ± 2 3
= 3 cos θ = 1+ cos θ ⇒ cos θ π
1 s = ∫ 3π ((3 cos θ )2 − (1 + cos)2 )dθ 2 −3 π 3 1 ) (2 cos 2 θ − 2 cos θ − 1)dθ = (θ + sin 2θ − 2 sin θ − θ 2 o
π 3 o
∫=
3 3 3 = =− 3⇒s 4 4
.4ﻣﺴﺎﺣﺖ ﻣﺤﺼﻮر ﺑﻪ r = e2θو ﺧﻄﻮط . θ = 2π , θ = o 1 4π )(e − 1 8
2π
1 e dθ = e2π 8 4θ
= o
2π
∫
o
1 =s 2
.5ﻣﻄﻠﻮب اﺳﺖ ﻣﺴﺎﺣﺖ داﺧﻞ داﯾﺮه r = 1و ﺧﺎرج دﻟﻨﻤﺎي . r = 1 − cosθ 3π π ﺣﻞ( دو ﻧﻤﻮدار ﻫﻤﺪﯾﮕﺮ را در = , θ 2 2 π ﺑﻪ ﻋﻠﺖ ﺗﻘﺎرن ،ﻣﺴﺎﺣﺖ در ﻓﺎﺻﻠﻪ 2
= θﻗﻄﻊ ﻣﯽ ﮐﻨﻨﺪ.
≤ o ≤ θرا ﺣﺴﺎب ﮐﺮده ،دو ﺑﺮاﺑﺮ ﻣﯽ ﮐﻨﯿﻢ. 2
(1 − (1 − cos θ )) dθ π 4
=2−
π 2 o
∫
2
π 2 o
∫
1 ×s = 2 2
1 1 ) (2 cos θ − cos θ )dθ = (2 sin θ − θ − sin 2θ 2 4
π 2 o
∫
=
.6ﻣﻄﻠﻮب اﺳﺖ ﻣﺴﺎﺣﺖ ﻧﺎﺣﯿﻪ ﻣﺸﺘﺮك ﺑﻪ دو ﻣﻨﺤﻨﯽ . r = sin 2θ , r = cos 2θ ﺣﻞ( ﺑﻪ ﻋﻠﺖ ﺗﻘﺎرن ،ﻣﺴﺎﺣﺖ را در رﺑﻊ اول ﺣﺴﺎب ﮐﺮده ،ﭼﻬﺎر ﺑﺮاﺑﺮ ﻣﯽ ﮐﻨﯿﻢ.
www.FANAVARI-IT.ir
٢٩
ﻓﺼﻞ دوم :ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ
.7ﻣﺴﺎﺣﺖ ﻧﺎﺣﯿﻪ ﺑﯿﻦ r = 6 sin θ , r = 6 cosθرا ﺣﺴﺎب ﮐﻨﯿﺪ. 2
) (6 sin θ
π 4 o
(1 − cos 2θ )dθ π 4 o
∫
∫
S=2
π 4 o
∫
=6
) = 6(θ − 2 sin 2θ π )− 2 4
(= 6
.8ﻣﺴﺎﺣﺖ ﻧﺎﺣﯿﻪ داﺧﻞ r 2 = a 2 cos 2θرا ﺑﺪﺳﺖ آورﯾﺪ. ﺣﻞ( π
π 4 o
S = 4∫ a 2 cos 2θ = 4a 2 s in 2θ o4 = 4a 2
.9ﻣﺴﺎﺣﺖ ﻧﺎﺣﯿﻪ r = 1 + sin θرا ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﮐﻨﯿﺪ. 3 2
ﺣﻞ ﻃﺒﻖ ﻣﺜﺎل 3-3-10ﺑﺮاﺑﺮ πاﺳﺖ. .10ﻣﺴــﺎﺣﺖ ﻣﺤــﺪود ﺑــﻪ درون r 2 = sin 2θو داﯾــﺮه r = 2 sin θرا ﻣﺤﺎﺳــﺒﻪ ﮐﻨﯿﺪ.
www.FANAVARI-IT.ir
(١) ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ 1 s= 2
π 2 o
∫
2 sin 2 θ − sin 2θ )dθ
1 1 1 1 = ( θ − sin 2θ + cos 2θ ) 2 2 4 2 =
٣٠
π 2 o
1 π 1 1 1 π ( − − ) = ( − 1) 2 4 2 2 2 4
. 489 ﺗﻤﺮﯾﻦ ﺻﻔﺤﻪ . ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﮐﻨﯿﺪo ≤ θ ≤ π را در ﻓﺎﺻﻠﻪr = a sin 3
θ ﻃﻮل ﻣﻨﺤﻨﯽ.1 3
(ﺣﻞ s=
π
∫o
2
2
(dr ) + r (dθ ) =
∫o
2
a sin
4
2θ 2 6 θ θ cos + a sin 3 3 2
2 θ a π θ dθ = (1 − cos )dθ o 3 2 o 3 a 3 2θ π a 3 3 ) = (θ − sin ) = (π − 2 2 3 o 2 4
=
∫
π
a sin
2
π
. ﺑﯿﺎﺑﯿﺪo ≤ θ ≤
∫
π را در ﻓﺎﺻﻠﻪr = 2a cos2 θ ﻣﻄﻠﻮب اﺳﺖ ﻃﻮل ﻗﻮس.2 4
(ﺣﻞ
www.FANAVARI-IT.ir
٣١
ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ:ﻓﺼﻞ دوم
d = −2a sin 2θ dθ π s= 4 o π = 2a 4 o
∫
∫
2
2
2
4
4 a sin 2θ + 4a cos θ dθ = 2a 2
cos θ 3 sin θ + 1dθ = 2a
3u = tgt =
∫
2
1 + 3u du =
∫o
1
2
π 4 o
∫
2
2
cosθ 4 sin θ + cos θ dθ 2
1 + 3u du
3 1 sec θdθ 3
∫
. را ﺑﯿﺎﺑﯿﺪr = a (1 − cosθ ) ﻃﻮل دﻟﻮار.3 2 2 2 2 2 dr dr 2 2 = a sin θ ⇒ ( ) + r = a sin θ + a cos θ + a dθ dθ
s =2
π
∫o
2
2a dθ = 2 2a π
(ﺣﻞ
. ﻃﻮل ﻣﻨﺤﻨﯽ ﻫﺎي زﯾﺮ را در ﺑﺎزه داده ﺷﺪه ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﮐﻨﯿﺪ.4 o ≤ t ≤ 2π , y = sin 2t , x = cos 2t (اﻟﻒ
(ﺣﻞ s=4
π 2 o
∫
2
2
sin 2t + cos 2t dt = 2π 3
3
o ≤ θ ≤ 2π , y = a sin θ , x = a cos θ
(ب (ﺣﻞ
www.FANAVARI-IT.ir
(١) ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ
٣٢
dx dy = −3a cos 2 θ sin θ , = 3a sin 2 θ cos θ dθ dt π 2 o
s = 4∫
sin 2 θ 3a sin θ cos θ dθ = 12a 2
π 2
= 6a
o
،( واﻗﻊ اﺳﺖ4 , 8) ( وo , o) را ﮐﻪ ﺑﯿﻦ ﻧﻘﺎطy2 = x3 ﻃﻮل ﻗﺴﻤﺘﯽ از ﻣﻨﺤﻨﯽ.5 .ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﮐﻨﯿﺪ y = x ⇒ 2 yy′ = 3 x2 ⇒ y′ = 2
3
⇒ 1 + ( y′)2 = 1 +
3 x2 9x4 2 ′ ⇒ (y ) = 2 2y 4y
9 x 4 4
s=∫
4
o
=
9 2 4 9 9 1 + xdx = × (1 + x ) 1 + x 4 3 9 4 4 o
8 (1o 1o − 1) 27
. ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﮐﻨﯿﺪo ≤ x ≤
π را در ﻓﺎﺻﻠﻪy = ln cos x ﻃﻮل ﻣﻨﺤﻨﯽ.6 4
(ﺣﻞ
π
y′ = −tgx ⇒ s = ∫ 4 sec xdx o
⇒ s = ln sec x + tgx 1 2
π 4 o
= ln
2 +1 1 2
را ﻣﺤﺎﺳـﺒﻪB (1 , ) ﺗﺎ ﻧﻘﻄﻪA(o , o) از ﻧﻘﻄﻪy = x2 ﻃﻮل ﻗﻮس ﻣﻨﺤﻨﯽ.7
www.FANAVARI-IT.ir
٣٣
ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ:ﻓﺼﻞ دوم
.ﮐﻨﯿﺪ (ﺣﻞ y′ = x ⇒ s = ∫
−1
o
∫ sec
3
π 4 o
1+ x dx = ∫ sec3 θ dθ 2
θ dθ = ∫ sec2 θ .sec θ dθ = tgθ .sec θ − ∫ tg 2θ .sec θ dθ
= tgθ . sec θ − ∫ sec 3 θ dθ + ∫ sec θ dθ
∫ sec
3
1 1 θ dθ = tgθ . sec θ + ln sec θ + tgθ 2 2 π
4 1 1 s = ( tgθ sec θ + ln sec θ + tgθ ) 2 2 o
=(
2 1 + ln 2 ) 4 2
( را ﺑـﻪ دﺳـﺖ27 , 18) ( ﺗﺎ ﻧﻘﻄـﻪ1 , 2) از ﻧﻘﻄﻪy 3 = 8x2 ﻃﻮل ﻗﻮس ﻣﻨﺤﻨﯽ.8 .آورﯾﺪ (ﺣﻞ
www.FANAVARI-IT.ir
٣٤
ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )(١ 16 x 3 y2
= 3 y2 y′ = 16 x ⇒ y′
dx 3 y2 dx 9 y4 9× 8 y = = ⇒ ( )2 = 2 2 dy 16 x dy (16) x (16)2 9 dx 1 + ( )2 = 1+ y 32 dy 18
9 2 32 9 ydy = × (1 + y 1+ 32 3 9 32 2
18
∫=s
2
64 9 9 9 ) × 18 − (1 + ) 1+ ((1+ 27 32 16 16
=
.9ﻃﻮل ﻗﻮس ﻣﻨﺤﻨﯽ 6 xy = y4 + 3را در ﻓﺎﺻﻠﻪ 1 ≤ y ≤ 2ﺑﻪ دﺳﺖ آورﯾﺪ. 1 1 y3 dx y2 + ⇒ = − 2 6 2y dy 2 2 y
=x
1 dx 2 y2 1 + ( ) = ( + 2 )2 2 2y dy 2
1 8 1 1 1 7 1 y2 y3 1 ( + 2 )dy = ( + ) = ( − ) − ( − ) = + 2 2y 6 2y 1 6 4 6 2 6 4
2
∫=s
1
.10ﻃﻮل ﻗﻮس ﻗﺴﻤﺘﯽ از ﻣﻨﺤﻨﯽ 9 y2 = 4(1 + x2 ) 3ﮐـﻪ در رﺑـﻊ اول از x = oﺗـﺎ x = 2 2واﻗﻊ اﺳﺖ ﺗﻌﯿﻦ ﮐﻨﯿﺪ.
www.FANAVARI-IT.ir
٣٥
ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ:ﻓﺼﻞ دوم 2 2
2 2
4 x(1 + x ) 18 yy′ = 24 x(1 + x ) ⇒ y′ = 3y 2
2
( y′) =
2 4
16 x (1 + x ) 2
9y s=
2 2
∫o
2
2
= 4 x (1 + x )
2
2
1 + 4 x (1 + x )dx
ﻃﻮل ﻗﻮس ﻣﻨﺤﻨﯽ ﻣﻘﺎﺑـﻞ را.11 dx dy = et (cos t − sin t ), = et (sin t + cos t ) dt dt s=∫
4
o
2e dt = 2e t
t
4 o
= 2(e − 1) 4
:.ﺑﯿﺎﺑﯿــــــــــــــــــــــــــﺪ t
C:
x = e cos t t
y = e sin t
, o≤t ≤4
(ﺣﻞ
: را ﺑﻪ دﺳﺖ آورﯾﺪc ﻃﻮل ﻗﻮس ﻣﻨﺤﻨﯽ.12 2
C : x = ln 1 + t , o ≤ t ≤ 1 −1
y = tg t
(ﺣﻞ
www.FANAVARI-IT.ir
(١) ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ
٣٦
dx t dy 1 , = = 2 dt 1 + t dt 1+ t 2 S=∫
1
o
1
1 t2 1 dt + dt = ∫ = ln (t + 1 + t 2 ) 2 2 2 o 2 (1 + t ) (1 + t ) 1+ t
o
1+ 2 = ln (1 + 2) − ln 2 = ln ( ) 2 3
1 . ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﮐﻨﯿﺪo ≤ x ≤ 3 را در ﻓﺎﺻﻠﻪy = ( x2 + 2) 2 ﻃﻮل ﻗﻮس.13 3
(ﺣﻞ 1 2
2
2
2
2
y′ = x( x + 2) ⇒ 1 + ( y′) = 1 + x ( x + 2) s=
3
∫o
2
2
1 + x ( x + 2) =
3
∫o
2
2
( x + 1) dx =
3
∫o
2
3
3 x ( x + 1) dx = + x = 12 o 3
. ﺗﻌﯿﻦ ﮐﻨﯿﺪ2 ≤ x ≤ 3 را در ﻓﺎﺻﻠﻪy = ln
ex −1 ﻃﻮل ﻗﻮس.14 ex + 1
(ﺣﻞ y = ln (e x − 1) ln (e x + 1) ex ex 2e x − = e x − 1 e x + 1 e2 x − 1 4e2 x (e2 x + 1)2 = 1 + ( y′)2 = 1 + 2 x (e − 1)2 (e2 x − 1)2 y′ =
3
s=∫
3
2
= ln
−x x 3e +e e2 x + 1 dx = dx = ln(e x − e − x ) ∫ x −x 2x 2 e −1 e −e 2
e3 − e −3 e 2 − e −2
www.FANAVARI-IT.ir
ﻓﺼﻞ دوم :ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ 3 2
٣٧
2
1 1 .15ﻃـﻮل ﻗـﻮس ﻣﻨﺤﻨـﯽ ) y = t + t , x = (2t + 3را در ﻓﺎﺻـﻠﻪ o ≤ t ≤ 3 3 3
ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﮐﻨﯿﺪ. 1 2
ﺣﻞ(
2
(2t + 9) − 78 dt 1 .16ﻃﻮل ﻣﻨﺤﻨﯽ 32x2
dy 2 dx = (2t + 3) , = t dt 3 dt
3
∫o
4 2 1 = 2t + 3 + t 9 3
3
∫o
=s
y = x4 +را در ﻓﺎﺻﻠﻪ 1 ≤ x ≤ 1oﺣﺴﺎب ﮐﻨﯿﺪ. 1 64x6 − 1 = 16 x3 16 x3 1 2 1 + ( y′)2 = (4x3 + ) 16 x3 y′ = 4x3 −
10
1 1 (4x + )dx = x4 − 3 16 x 32x2 3
1
1 1 ) ) − (1− 32 o o 32
ﺗﻤﺮﯾﻦ ﺻﻔﺤﻪ . 495 .1ﺣﺠﻢ ﺣﺎدث از دوران ﻧﺎﺣﯿﻪ OBCﺣﻮل ﺧﻂ BCرا ﭘﯿﺪا ﮐﻨﯿﺪ. ﺣﻞ(
1o
∫=s
1
= (1o4 −
www.FANAVARI-IT.ir
ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )(١
٣٨
3 2
4
4
V = π ∫ ( y − 8) dx = π ∫ ( x − 8)2 dx 2
o
4
5
o
3 2
x4 32 2 ( x − 16 x + 64)dx = ( − )x + 64x 4 5 o 3
4
∫=π
o
.2ﺣﺠﻢ ﺟﺴﻢ ﺣﺎﺻﻞ از دوران ﻧﺎﺣﯿﻪ ﺑﯿﻦ ﺳﻬﻤﯽ y2 = 4 xو ﺧﻂ y = x
ﺣﻮل ﺧﻂ x = 4را ﺑﯿﺎﺑﯿﺪ. .3ﺣﺠﻢ ﻣﺨﺮوط ﻣﺴﺘﺪﯾﺮي ﺑﻪ ﺷﻌﺎع ﻗﺎﻋﺪه aو ارﺗﻔﺎع hرا ﺗﻌﯿﻦ ﮐﻨﯿﺪ. ﺣﻞ( a x h 2 1 2 x dx = πa h 3
2
a
2
h
h
∫o
=y
V =π
.5ﻣﻄﻠﻮب اﺳﺖ ﺣﺠﻢ ﺣﺎﺻﻞ از دوران ﻧﺎﺣﯿﻪ ﺑﯿﻦ ﺳـﻬﻤﯽ y2 = xو ﻣﺤـﻮر yﻫﺎ و ﺧﻂ ، y = 1ﺣﻮل ﺧﻂ . y = 2
ﺣﻞ( 1
V = ∫ ((2 − x )2 − (2 − 1)2 )dx o
1
8 x2 8 1 ) = π ∫ (3 − 4 x + x)dx = π (3 x − x x + ) = π (3 − + o 3 2 o 3 2 1
www.FANAVARI-IT.ir
٣٩
ﻓﺼﻞ دوم :ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ
ﺣﺠﻢ ﺣﺎدث از دوران ﻧﺎﺣﯿﻪ ﻣﺤﺪود ﺑﻪ x = 2 y − y2ﺣـﻮل ﻣﺤـﻮر yﻫـﺎ را ﺗﻌﯿﻦ ﮐﻨﯿﺪ. 2
2
V = π ∫ (2 y − y2 )2 dy = π ∫ (4 y2 − 4 y3 + y4 )dy o
o
2
4 32 32 y5 ) = π ( y3 − y4 + ) = π ( − 16 + 3 5 o 3 5 2
.7ﻧﺎﺣﯿﻪ Aﻣﺤﺼﻮر ﺑﻪ ﻣﻨﺤﻨﯽ y = xو x = o , y = 4 , y = 1ﺣﻮل ﻣﺤﻮر xﻫﺎ دوراﻧﻪ ﻣﯽ ﮐﻨﺪ .ﺣﺠﻢ ﺟﺴﻢ ﺣﺎدث ﭼﻘﺪر اﺳﺖ؟ 1
2
−1
−2
V = 2π ∫ (42 − x4 )dx − π ∫ (1 − x4 )dx 2
1
V = 2π ∫ (16 − x4 )dx − 2π ∫ (1 − x4 )dx −1
2
o
2
x5 x5 ) = 2π (16 x − ) − 2π ( x − 5 o 5 o
32 1 ) ) − 2π (1− 5 5 x2 y2 + .8ﻣﻨﺤﻨﯽ = 1 a 2 b2
ﭼﻘﺪر اﺳﺖ. ﺣﻞ(
⇒ V = 2π (32 −
را ﺣﻮل ﻣﺤﻮر xﻫﺎ دوران ﻣﯽ دﻫﯿﻢ ،ﺣﺠﻢ ﺣﺎﺻـﻞ
www.FANAVARI-IT.ir
ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )(١
٤٠
2
) 2
)dx
x
2
a
2 a
∫o (1 −
2
)dx = 2πb
x
2
a
x
2
2
2
y = b (1 −
a 2
a
∫− a b (1 −
V =π
2 2 a 4 = 2π b (a − ) = π b a 3 3 2
2
ﺣﺠﻢ ﺣﺎﺻﻞ از دوران ﺳﻄﺢ ﻣﺤﺼﻮر ﺑﯿﻦ ﻣﻨﺤﻨﯽ ﻫﺎي y = 8 x , y = x
ﺣﻮل ﻣﺤﻮر xﻫﺎ را ﺣﺴﺎب ﮐﻨﯿﺪ. x4 = 8 x ⇒ x = o , x = 2 2
x5 ) (8 x − x )dx = π (4x − 5 o 2
4
32 ) 5
2
∫V =π
o
= π (8 −
.10ﻧﺎﺣﯿﻪ واﻗﻊ ﺑﯿﻦ ﻣﺤﻮرﻫﺎي ﻣﺨﺘﺼﺎت و ﺳﻬﻤﯽ x + y = a
ﻣﺤﻮر xﻫﺎ دوران ﻣﯽ دﻫﯿﻢ .ﺣﺠﻢ ﺟﺴﻢ ﺣﺎﺻﻞ را ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﮐﻨﯿﺪ. ﺣﻞ(
را ﺣﻮل
www.FANAVARI-IT.ir
٤١
ﻓﺼﻞ دوم :ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ y = a − x ⇒ y = a + x − 2 ax y2 = (a + x)2 − 4(a + x) ax + 4ax a
V = π ∫ ((a + x)2 − 4(a + x) ax + 4ax)dx o
a
(a + x)3 8 4 2 ( = ⇒V − ax ax − 2 × (ax) 2 + 2ax2 3 3 5 a o 5
8a 3 8 3 8 3 8 3 a π = ) − a − a + 2a 3 3 3 5 15
(=π
.11ﻧﺎﺣﯿﻪ ﺑﯿﻦ ﯾﮏ ﻗﻮس از ﻣﻨﺤﻨـﯽ y = sin xو ﻣﺤـﻮر ﻋـﺮض ﻫـﺎ و ﺧـﻂ y = 1را ﺣﻮل ﻣﺤﻮر yﻫﺎ دوران ﻣﯽ دﻫﯿﻢ ﺣﺠﻢ ﺣﺎﺻﻞ را ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﮐﻨﯿﺪ. π
2
2 x2 π )− 1 ( x(1 − sin x)dx = 2π ( + x cos x − sin x − sin x) = 2π 2 8 o
π 2 o
∫ V = 2π
1 4
.12ﺣﺠــﻢ ﺣﺎﺻــﻞ از دوران ﻧﺎﺣﯿــﻪ ﻣﺤــﺪود ﺑــﻪ ﺳــﻬﻤﯽ y = x2 + 2و ﺧــﻂ 5 x − 8 y + 14 = oﺣﻮل ﻣﺤﻮر xﻫﺎ را ﺑﻪ دﺳﺖ آورﯾﺪ. ﺣﻞ(
www.FANAVARI-IT.ir
٤٢
ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )(١ 8 y = 2x2 + 4 ⇒ 5 x + 14 = 2x2 + 4 ⇒ 2x2 − 5 x − 1o = o 5 + 1o 5 5 − 1o 5 =, x 4 2
=x
5 + 1o 5
1 5 x + 14 2 ( V = π ∫5 − 21o5 ( x2 + 2)2 − ) dx 4 8 2
ﺗﻤﺮﯾﻦ ﺻﻔﺤﻪ . 498 .1در ﯾﮏ ﺟﺴﻢ ﮐﺮوي ﺷﮑﻞ ﺑﻪ ﺷﻌﺎع 5ﺳﺎﻧﺘﯽ ﻣﺘﺮ ،ﺣﻔﺮه اي ﺑﻪ ﺷـﻌﺎع 2ﺳـﺎﻧﺘﯽ ﻣﺘﺮ اﯾﺠﺎد ﻣﯽ ﮐﻨﯿﻢ ﻣﺤﻮر ﺣﻔﺮه ﯾﮏ ﻗﻄﺮ ﮐﺮده اﺳﺖ .ﺣﺠﻢ ﻗﺴﻤﺖ ﺑﺎﻗﯿﻤﺎﻧﺪه ﺟﺴﻢ را ﺑﺪﺳﺖ آورﯾﺪ. 4 4 4 )π (125) − π = π (125 − 8 3 3 3
=V
4 )π (117 3
.2ﻣﻄﻠﻮب اﺳﺖ ﺣﺠﻢ ﺟﺴﻢ ﺣﺎدث از دوران ﻧﺎﺣﯿﻪ OBCﻣﺤﺼﻮر ﺑﻪ ﻣﺤﻮر xﻫﺎ و ﺧﻄﻮط ، y = 8 , y = oﺣﻮل ﻣﺤﻮر xﻫﺎ .
3
2
=
y =x
www.FANAVARI-IT.ir
٤٣
ﻓﺼﻞ دوم :ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ 4
x4 ) (64 − x )dx = π (64x − 4 o 3
4
∫V =π
o
V = π (256 − 64) = 192π .3ﻣﻄﻠﻮب اﺳﺖ ﺣﺠﻢ ﺣﺎدث از دوران ﻧﺎﺣﯿﻪ OACﻣﺤﺼﻮر ﺑﻪ ﻣﻨﺤﻨـﯽ y2 = x3
و ﺧﻂ x = 4و ﻣﺤﻮر xﻫﺎ ﺣﻮل ﺧﻂ . ac 3
4
V = π ∫ ((8 − x 2 )2 − 64)dx o
3
4
V = π ∫ ((16 − x 2 + x3 )dx o
4
5
x4 32 2 (32)2 V =π( − x ) = π (64 − ) 4 5 5 o
.4ﻣﻄﻠــﻮب اﺳــﺖ ﺣﺠــﻢ ﺣــﺎدث از دوران ﻧﺎﺣﯿــﻪ ﻣﺤﺼــﻮر ﺑــﻪ ﻣﻨﺤﻨــﯽ ﻫــﺎي 2
2
y = x , y = xﺣﻮل ﺧﻂ
. x = −2
ﺣﻞ( o ≤ y ≤1, o ≤ x ≤1 1
V = π ∫ ( y + 2)2 − ( y2 + 2)2 dy o
1
V = π ∫ ( y + 2 y + 4) − ( y4 + 4 y2 − 4)dy o
1
y2 4 y5 4 y 3 V =π( + y y − + ) 2 3 5 3 o
1 4 1 4 15 + 8 o −6 89 (+ − + ) = π =) 2 3 5 3 3o 3o
V =π
www.FANAVARI-IT.ir
٤٤
ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )(١
.5ﻧﺎﺣﯿﻪ اي ﮐﻪ ﺑﻪ ﺳـﻬﻤﯽ y = x2و ﺧـﻂ y = 2 xﻣﺤـﺪود و در رﺑـﻊ اول اﺳـﺖ .ﺣـﻮل ﻣﺤﻮر yﻫﺎ دوران ﻣﯽ ﮐﻨﺪ ﺣﺠﻢ ﺟﺴﻢ ﺣﺎﺻﻞ را ﺗﻌﯿﻦ ﮐﻨﯿﺪ. 2
x4 2 ) x(2x − x )dx = 2π ( x3 − 3 4 o 2
2
∫ V = 2π
o
16 8 V = 2π ( − 4) = π 3 3
.6ﺣﺠﻢ ﺟﺴﻤﯽ را ﺑﯿﺎﺑﯿﺪ ﮐﻪ از دوران ﻧﺎﺣﯿﻪ ﺑـﯿﻦ ﺳـﻬﻤﯽ y = x2و ﺧـﻂ y = 2 xﺣـﻮل ﺧﻂ x = 2اﯾﺠﺎد ﻣﯽ ﺷﻮد . ﺣﻞ( 4 y V = π ∫ ((2 − )2 − (2 − y )2 )dy o 2 4 y2 V = π ∫ (−2 y + + 2 y − y)dy o 4 4
y3 4 3 64 32 V = π ( + y y − y2 ) = π ( + )− 24 12 3 2 12 3 o 48 72 − ) = 8π 3 3
(V = π
.7ﯾﮏ دﯾﺴﮏ ﺑﻪ ﺷﻌﺎع و ﺑﻪ ﻣﺮﮐﺰ ) (b , oﮐﻪ b ≤ a ≤ oﺣﻮل ﻣﺤﻮر yﻫﺎ دوران ﻣـﯽ ﮐﻨﺪ و ﯾﮏ ﭼﻨﺒﺮه ﺗﻮﻟﯿﺪ ﻣﯽ ﮐﻨﺪ ﺣﺠﻢ ﺟﺴﻢ آن را ﺗﻌﯿﻦ ﮐﻨﯿﺪ. ﺣﻞ(
www.FANAVARI-IT.ir
٤٥
ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ:ﻓﺼﻞ دوم
( x − b)2 + y2 = a 2 ⇒ y = ± a 2 − ( x − b)2 V = 4π ∫
b+ a
b −a
a
x a 2 − ( x − b)2 dx = 4π ∫ ( x + b) a 2 − x2 dx −a
a
a
−a
−a
= 4π ∫ x a 2 − x2 dx + 4π ∫ b a 2 − x2 dx a
= 8π b ∫
o
a 2 − x2 dx = 8π ×
π a2 = 2π 2 a 2b. 4
دوران ﻣـﯽ ﮐﻨـﺪ وx = b > a ﺣـﻮل ﺧـﻂx = a > o , y = o , y = x ﻧﺎﺣﯿﻪ ﻣﺜﻠﺜﯽ.8 . ﺣﺠﻢ ﺟﺴﻢ ﺑﻪ دﺳﺖ آﻣﺪه را ﺣﺴﺎب ﮐﻨﯿﺪ.ﺟﺴﻤﯽ ﭘﺪﯾﺪ ﻣﯽ آورد (ﺣﻞ
a
V = π ∫ ((b − y)2 − (b −a )2 dy 0
a
( y − b) 3 ( a − b) 3 V= π( − (b − a )2 y) = π ( − a (b − a )2 ) 3 3 o
www.FANAVARI-IT.ir 1 ﺻﻔﺤﻪ/ﻓﺼﻞ ﯾﺎزدﻫﻢ ﺻﻮرتﻫﺎي ﻣﺒﻬﻢ اﻧﺘﮕﺮال
ﻓﺼﻞ ﯾﺎزدﻫﻢ ﺻــﻮرﲥﺎی ﻣﺒــﻬﻢ و اﻧﺘﮕــﺮال ﻫﺎی ﻧﺎﺳﺮه . ۵١٩ ﲤﺮﯾﻦ ﺻﻔﺤﻪ . ﺣﺪﻫﺎی زﯾﺮ را ﳏﺎﺳﺒﻪ ﮐﻨﯿﺪ.١ 1 1)
2)
3)
4)
lim
x →o
sin −1 x 1 − x2 = lim =1 1 tg −1 x 1 + x2
sin 2 t sin 2t = lim =o 1 t −π t →π t →π 3 cos 3 x −3 sin 3 x lim = lim =− 2 −2 π − 2x π π x→ x→ 2 2 2 2 cos 2x sin x sin 2x = lim+ = lim+ = +∞ lim+ 2 x→o tgx − x x→o sec x − 1 x→o 2 sec2 x . tgx lim
2 2 2tg x − π = lim 1 + x = −2 lim x (2tg −1 x − π ) = lim x→∞ x→∞ x→∞ 1 1 − 2 x x at at 1 1 e −1 ae lim ( − at ) = lim = lim at =a at at t →o t t →o t e t →o e + a t e te −1
5)
6) 7) 8)
lim+ (csc x)sin
x →o
2
x
= lim+ e − sin x→o
2
x Lnx
= eo = 1
3 sin t − sin 3t 3 cos t − 3 cos 3t = lim o x → 3tg t − tg 3t 3 sec2 t − 3 sec2 3t − sin t + 3 sin 3t 8 = lim =− 2 2 x→o 2 sec t . tg t − 6 sec 3t . tg 3t 16 lim
x →o
www.FANAVARI-IT.ir 2 ﺻﻔﺤﻪ/ﻓﺼﻞ ﯾﺎزدﻫﻢ ﺻﻮرتﻫﺎي ﻣﺒﻬﻢ اﻧﺘﮕﺮال 2
1 −3 x x −1 1 3 = lim = lim 2 1 x→1 x→1 2 −3 2 x3 − 1 x 3 1 3
9)
10) 11)
1 Ln (e x) − 1 Ln e + Ln x − 1 −1 x lim = lim = lim = x→1 x→1 x→1 π cos π x sin π x sin π x π Ln sin r cot r limπ = limπ =o cos r r→ r → − sin r 2
2
1 x −1
Lnx 1
12)
lim x x→o
13)
x
= lim e
+
x→o
x Lnx +
x→o
x +
= lim e x x→o
x
=1
+
1 1 Lnx + 1− x ) = lim+ − x→1 x − 1 x→1 ( x − 1) Lnx Lnx 1 1 − 2 −1 x x = −1 = lim+ = lim x→1 x −1 1 1 2 Lnx + + 2 x x x lim+ (
1
14)
= lim e
lim (cos 2t ) t = lim e t →o t →o 2
Ln cos 2t t2
−2tg 2 t
= lim e t →o
2t
= e −2
دو ﺑﺎر ﻣﺸﺘﻖf ﻣﺸﺮوط ﺑﺮ اﯾﻨﮑﻪ
f ( x + h) − 2 f ( x) + f ( x − h) h2 h→o
lim
.١۵
.ﭘﺬﯾﺮ ﺑﺎﺷﺪ ( ﺣﻞ = ﺣﺪlim
f ' ( x + h) − 2 f ' ( x) − f ' ( x − h) f ' ' ( x + h) − 2 f ' ' ( x) + f ' ' ( x − h) = lim =o 2h 2
www.FANAVARI-IT.ir 3 ﺻﻔﺤﻪ/ﻓﺼﻞ ﯾﺎزدﻫﻢ ﺻﻮرتﻫﺎي ﻣﺒﻬﻢ اﻧﺘﮕﺮال n
∑x
k
16)
lim
−n
k =1
x −1 x →1
1 − xn −n 1 − x = lim x −1 x →1 x
x ( xn − 1) − n( x − 1) (n + 1) xn − 1− n = lim = 2( x − 1) ( x − 1)2 x →1 n (n + 1) xn −1 n (n + 1) = 2 2 x x −x e x Lnx − x lim = lim 1 − x + L o gx 1− x − L o gx = lim
17)
x → 1+ = lim
x → 1+
(1 + Lnx) e x Lnx − 1 =o 1 1 −1 + . Ln1o x 2 −1
18)
19)
−1
−
2
sin 2x − 2 sin x 1− 4x2 1 − x2 lim = x3 3 x2 x→o x→o 1 1 2 × (− ) (−8 x) 2 × (− ) (−2x) 2 2 − 3 1 x2 ) 3 2 ( − 2 2 (1 − 4x ) lim 6x x→o 8−2 = =1 6 lim
lim
1
x x x → o+
(a tg −1
x x − b tg −1 ) a b
1
1
2 x − 2 x x x 1 1 1+ 2 1+ 2 x( 2 − 2 ) a b = lim b a = lim 1 3x 3 2 x 2 + x→o x → o+ =
1 1 1 ( 2 − 2) 3 b a
www.FANAVARI-IT.ir ﻓﺼﻞ ﯾﺎزدﻫﻢ ﺻﻮرتﻫﺎي ﻣﺒﻬﻢ اﻧﺘﮕﺮال /ﺻﻔﺤﻪ 4 1 2 x−a x
+
1
2 x
= lim
x − a + x− a
lim
x2 − a 2
x2 − a 2 x→a
)20
x→a x− a + x
1 1 = = 2 a 2 a 2a
2 x x x+ a
= lim x→a
.٢ﺛﺎﺑﺖ ﻫﺎی aو bرا ﻃﻮری ﺗﻌﯿﯿﻦ ﮐﻨﯿﺪ ﮐﻪ: t2 dt = 1 a +t
x
∫o
1 bx − sin x x→o
lim
x2 a =4
b =1 ,
a+x =1 b − cos x x→o
= limﺣﺪ
⇒
ﲤﺮﯾﻦ ﺻﻔﺤﻪ . ۵٢٨ .١ﺗﺎﺑﻊ fدر ﺑﺎزه
] [− 1, 1ﺑﻪ ﺻﻮرت زﯾﺮ ﺗﻌﺮﯾﻒ ﻣﯽ ﮐﻨﯿﻢ: x=o
1 f ( x) = 2 x
x≠o ﻧﻮع و ﻣﻘﺪار اﻧﺘﮕﺮال
1
∫−1 f ( x) dx
را ﺗﻌﯿﯿﻦ ﮐﻨﯿﺪ.
ﺣﻞ( اﻧﺘﮕﺮال ﻧﺎﺳﺮه ﻧﻮع دوم اﺳﺖ و ﻣﻘﺪار آن ﺑﺮاﺑﺮ زﯾﺮ اﺳﺖ 2 3 .٢ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ اﻧﺘﮕﺮال ﻧﺎﺳﺮه
dx xp
∞+
∫1
1
∫o
= x2 dx = 2 x2 dx
1
∫−1
p >1
ﳘﮕﺮاﺳﺖ ،اﮔﺮ
ﺑﺎﺷﺪ t 1− p 1 dx = lim − 1− p 1− p ∞t → + اﮔﺮ
−p
t
∫1 x
= lim
dx
∞+
xp
∫1
∞t → +
، p > 1ﺗﻮان xدر ﺻﻮرت ﻣﻨﻔﯽ اﺳﺖ ﭘﺲ در اﯾﻦ ﺣﺎﻟﺖ 1 1− p
=−
dx p
x
∞+
∫1
www.FANAVARI-IT.ir ﻓﺼﻞ ﯾﺎزدﻫﻢ ﺻﻮرتﻫﺎي ﻣﺒﻬﻢ اﻧﺘﮕﺮال /ﺻﻔﺤﻪ 5 .٣ﻣﻘــﺪاری ﺑــﺮای nﭘﯿــﺪا ﮐﻨﯿــﺪ ﮐــﻪ ﺑــﻪ ازای آن اﻧﺘﮕــﺮال n 3x − 2 ) x + 1 2x + n
(
∞+
∫1
ﳘﮕﺮا ﺑﺎﺷﺪ.
ﺑﻪ ازای ﻣﻘﺪار nﺑﺪﺳﺖ آﻣﺪه اﻧﺘﮕﺮال را ﺣﺴﺎب ﮐﻨﯿﺪ. ± 3x 3x n n ( ) dx = lim ) dx − 2 − 2 1 1 x + 1 2x + n x + 1 2x + n ∞t → + 3 = lim( Ln (t + 1) n − Ln (2t 2 + n)) − A 4 ∞t → +
∫
(
(t + 1) n
−A
3 2 (2t + n) 4
3 3 = 4 2
8
7 3 ) ( 2 4 (۴ﻧﻮع اﻧﺘﮕﺮال
∞+
dx
∫o
(1 + x2 ) 3
− Ln
∞+
∫
= lim Ln ∞t → + ×⇒ n = 2 1
8
Ι = Ln 4
را ﺗﻌﯿﯿﻦ ﮐﻨﯿﺪ.
ﺣﻞ( اﯾﻦ اﻧﺘﮕﺮال ﳘﮕﺮاﺳﺖ ﭼﻮن
1
1 + x2
≤
2 3
1
) (1 + x
,
dx 2
1+ x
∞+
∫o
ﳘﮕﺮاﺳﺖ ،ﻃﺒﻖ آزﻣﻮن ﻣﻘﺎﯾﺴﻪ اﻧﺘﮕﺮال داده ﺷﺪه ﳘﮕﺮاﺳﺖ. (۵ﻧﻮع اﻧﺘﮕﺮال
π 2 sec x dx π 4
∫
را ﺗﻌﯿﯿﻦ ﮐﻨﯿﺪ.
sec x dx = lim Ln sec t + tg t − A π− 2 ∞= +
→t
π− 2
t π 4
∫
lim
π = 2 sec x dx π 4
∫
→t
اﻧﺘﮕﺮال واﮔﺮاﺳﺖ. .۶ﺑﻪ ازای ﻣﻘﺎدﯾﺮ ﳐﺘﻠﻒ nﻧﻮع اﻧﺘﮕـﺮال ﻫـﺎی زﯾـﺮ را ﺑﺮرﺳـﯽ ﮐﻨﯿﺪ: اﻟﻒ( dx
1 n
∫o x
= Ιﺑﺮای
n > −1ﳘﮕﺮا و ﺑﺮای
n ≤ −1واﮔﺮاﺳﺖ.
www.FANAVARI-IT.ir ﻓﺼﻞ ﯾﺎزدﻫﻢ ﺻﻮرتﻫﺎي ﻣﺒﻬﻢ اﻧﺘﮕﺮال /ﺻﻔﺤﻪ 6 1 n
∫o x
ب(
Ln 2 x dx
=Ι
.٧ﻧﻮع اﻧﺘﮕﺮال ﻫﺎی زﯾﺮ را ﺗﻌﯿﯿﻦ ﮐﻨﯿﺪ. ∞+
اﻟﻒ(
dx x2 + x
dx
داﻧﯿﻢ
ب(
∫1
واﮔﺮاﺳﺖ ﭼﻮن
∞+
∫1
x
x2 + x
∫o x cos x
1
x2 + x2
واﮔﺮاﺳﺖ.
1 x cos x lim =1 1 واﮔﺮاﺳﺖ ﭼﻮن x
1
dx
1
≤
1 = 2 x
و ﻣـــﯽ
1 dx
و
∫o
x
x → o+ واﮔﺮاﺳﺖ ،ﻃﺒﻖ آزﻣﻮن ﻣﻘﺎﯾﺴﻪ ﺣﺪی اﻧﺘﮕﺮال داده ﺷﺪه واﮔﺮاﺳﺖ. ج(
∞+
dx
∫1
2
x + Lnx
،ﳘﮕﺮاﺳﺖ ،زﯾﺮا دارﯾﻢ:
+ ∞ dx
اﻧﺘﮕﺮال
x2
∫1
1
2
x
≤
1
2
x + Lnx
و
ﳘﮕﺮاﺳﺖ ﭘﺲ ﻃﺒﻖ آزﻣﻮن ﻣﻘﺎﯾﺴـﻪ اﻧﺘﮕـﺮال داده
ﺷﺪه ﳘﮕﺮاﺳﺖ. د(
1
dx
∫o
1 − x3
ﺑﺮای o < x < 1
. x 3 < x2
دارﯾﻢ
اﻣﺎ اﻧﺘﮕﺮال
dx 2
1− x
1
∫o
ﭘﺲ
1
1 − x2
≤
1
1 − x3
ﳘﮕﺮاﺳﺖ ،ﻃﺒـﻖ آزﻣـﻮن ﻣﻘﺎﯾﺴـﻪ
اﻧﺘﮕﺮال داده ﺷﺪه ﳘﮕﺮاﺳﺖ. sin x ه(
sin x 2 x3
dx x
π 2 o
∫
ﳘﮕﺮاﺳﺖ ،ﭼﻮن
lim x x = 1 1 x
اﻣـــﺎ اﻧﺘﮕـــﺮال
x → o+ π 2 o
∫
ﳘﮕﺮاﺳﺖ ،ﭘﺲ اﻧﺘﮕﺮال داده ﺷﺪه ﳘﮕﺮاﺳﺖ.
www.FANAVARI-IT.ir ﻓﺼﻞ ﯾﺎزدﻫﻢ ﺻﻮرتﻫﺎي ﻣﺒﻬﻢ اﻧﺘﮕﺮال /ﺻﻔﺤﻪ 7
و(
π 2
cos x dx x
∫o
cos x lim x = 1 1 x
واﮔﺮاﺳﺖ .ﭼﻮن
اﻣـــﺎ اﻧﺘﮕـــﺮال
x → o+ dx x
π 2 o
∫
واﮔﺮاﺳـﺖ ،ﭘـﺲ ﻃﺒـﻖ آزﻣـﻮن ﻣﻘﺎﯾﺴـﻪ ﺣـﺪی اﻧﺘﮕـﺮال
واﮔﺮاﺳﺖ. π 2
.٨ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ اﻟﻒ( dx = π
+ ∞ e− x
x
= dx
+ ∞ − x2
e
∫o
∫o
،در اﯾﻦ ﺻﻮرت ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ. π 4
ب(
= dx
+ ∞ 2 − x2 x e o
∫
ﺣﻞ( اﻟﻒ(
u = x ⇒ x = u 2 ⇒ dx = 2u du π = π 2
× du = 2
+ ∞ −u2 e o
∫
dx = 2
+ ∞ e−x
∫o
x
ب( از روش ﺟﺰ ﺑﻪ ﺟﺰ اﺳﺘﻔﺎده ﻣﯽ ﮐﻨﯿﻢ. ∞ − x − x2 + e o 2
2
= x . x e − x dx
∞+
∫o
2
= x e − x dx
π π 1 × = dx = 2 2 4 .٩ﺗﺎﺑﻌﯽ ﻧﻈﯿﺮ fﻃﻮری ﻣﺜﺎل ﺑﺰﻧﯿﺪ t
∫−t f ( x) dx = o
∞+
ﮐﻪ ∫− ∞ f ( x) dx
+ ∞ − x2
e
∫o
∫o
1 2
+
واﮔـــﺮا وﻟـــﯽ
. lim 1
ﺣﻞ( ﺗﺎﺑﻊ
+∞ 2
x3
= ) f ( xرا در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﯿﺮﯾﺪ. xt dx
.١٠ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ اﻧﺘﮕﺮال
+∞ −x
e
∫1
ﺑــﻪ ازای ﻫــﺮ tﺣﻘﯿﻘــﯽ
ﳘﮕﺮاﺳﺖ. ﺣﻞ( ﭼﻮن
=o
xt e − x
lim
e −2 x ∞x →+
و اﻧﺘﮕﺮال
اﻧﺘﮕﺮال داده ﺷﺪه ﳘﮕﺮاﺳﺖ.
dx
+ ∞ −2 x
e
∫1
ﳘﮕﺮاﺳــﺖ .ﭘــﺲ
www.FANAVARI-IT.ir ﻓﺼﻞ ﯾﺎزدﻫﻢ ﺻﻮرتﻫﺎي ﻣﺒﻬﻢ اﻧﺘﮕﺮال /ﺻﻔﺤﻪ 8 + ∞ −t
.١١ﺗﺎﺑﻊ ﮔﺎﻣﺎe . t s −1 dt .
∫o
= ) Γ ( sﺗﺎﺑﻊ ﮔﺎﻣﺎ اﺳﺖ.
ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ. اﻟﻒ( ﺗﺎﺑﻊ ) Γ (sﺑﻪ ازای ﻫﺮ s > oﳘﮕﺮاﺳﺖ. ﺣﻞ( ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﲤﺮﯾﻦ ١٠اﯾﻦ ﺗﺎﺑﻊ ﺑﺮای ﻫﺮ sﳘﮕﺮاﺳﺖ. ). Γ ( x + 1) = x Γ ( x
ب( ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ
)x t x−1 e −t dt = o + Γ ( x ج(
∞+
∫o
∞+ + o
+ ∞ −t
∫o
e . t x dt = −t x e −t
= )Γ ( x + 1
! . Γ (n + 1) = n
ﺣﻞ( ﻃﺒﻖ ﻗﺴﻤﺖ ب دارﯾﻢ: ! Γ (n + 1) = n Γ (n) = n Γ (n − 1 + 1) = n (n − 1) Γ (n − 1) = n (n − 1) (n − 2) ...1 = n د(
π 2
= dx
+ ∞ − x2 e o
∫
،ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ
,
2 π = ) (Γ 3 2
1 Γ( ) = π 2 ﺣﻞ(
π 2
= dt
+ ∞ e −t
∫o
t
= dt
1 2 . e −t
+∞ −
t
∫o
1 = ) (Γ 2
ﺗﺴﺎوی اﺧﯿﺮ از ﲤﺮﯾﻦ ٨ﺑﺪﺳﺖ ﻣﯽ آﯾﺪ. 2 1 1 1 1 = ) ( Γ ( ) = Γ ( + 1) = Γ π 3 2 2 2 2 .١٢ﻧﻮع اﻧﺘﮕﺮال ﻫﺎی زﯾﺮ را ﻣﻌﻠﻮم ﮐﻨﯿﺪ. اﻟﻒ( dx
+ ∞ 2 + cos x
∫1
x
اﯾﻦ اﻧﺘﮕﺮال واﮔﺮاﺳﺖ ﭼﻮن
ﻃﺒﻖ آزﻣﻮن ﻣﻘﺎﯾﺴﻪ ﭼﻮن اﻧﺘﮕﺮال
dx x
∞+
∫1
2 + cos x x
≤
1 x
واﮔﺮاﺳــﺖ ،اﻧﺘﮕــﺮال
ﺑﺰرﮔﱰ واﮔﺮاﺳﺖ. ب(
+ ∞ 1 − 4 sin 2 x
x3 + 3 x
و اﻧﺘﮕﺮال
dx x3
ﺷﺪه ﳘﮕﺮاﺳﺖ.
∫1
∞+
∫1
اﻧﺘﮕﺮال ﳘﮕﺮاﺳﺖ ﭼﻮن
1
x3
≤
1 − 4 sin 2 x x3 + 3 x
ﳘﮕﺮاﺳﺖ .ﻃﺒﻖ آزﻣﻮن ﻣﻘﺎﯾﺴـﻪ اﻧﺘﮕـﺮال داده
www.FANAVARI-IT.ir
ﻓﺼﻞ دوازدﻫﻢ
اﻋﺪاد ﳐﺘﻠﻂ
www.FANAVARI-IT.ir
ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )(١
٢
ﻓﺼﻞ دوازدﻫﻢ اﻋﺪاد ﳐﺘﻠﻂ ﲤﺮﯾﻦ ﺻﻔﺤﻪ . ۵٣۵ .١ﺟﻮاﲠﺎی ﺣﻘﯿﻘﯽ ﻣﻌﺎدﻟﻪ زﯾﺮ را ﺑﯿﺎﺑﯿﺪ. ﺣﻞ( (4 + 2i) x + (5 − 3i ) y = 13 + i (4 x + 5 y) + (2x − 3 y) i = 13 + i x=2
,
y =1
4 x + 5 y = 13 ⇒ 2 x − 3 y = 1
.٢ﺣﺎﺻﻞ ﻋﺒﺎرات زﯾﺮ را ﺑﺪﺳﺖ آورﯾﺪ: ) (5 + 5i ) (4 + 3i ) + 2 o (3 − 4i 5 + 5i 2o + = ) ( 3 − 4i ) 4 + 3 i 3 − 4i 4 + 3 i 5 + 35i + 6 o −8 o i 65 − 45i = = 24 − 7i 24 − 7i
= ) Zاﻟﻒ
) (1 + i ) (1 + 2i ) (4i (1 + i − 1 + 3i + 1 + i 4i =+i = = = −2 + 2i 1− i 1−i 1− i 2
)ب
3i 3o − i 19 3 (i 2 )15 − (i 2 ) 9 i − 3 + i − 3 1 = = = − i 2i − 1 2i − 1 2i − 1 5 5
)ج
.٣ﺟﻮاب دﺳﺘﮕﺎه زﯾﺮ را ﺑﺪﺳﺖ آورﯾﺪ. (1 + i) Z1 − i Z2 = 2 + i (2 + i ) Z1 + (2 − i ) Z2 = 2i ﺣﻞ( از روش ﮐﺮاﻣﺮ اﺳﺘﻔﺎده ﻣﯽ ﮐﻨﯿﻢ.
www.FANAVARI-IT.ir
ﻓﺼﻞ دوازدﻫﻢ :اﻋﺪاد ﳐﺘﻠﻒ
5−2 3 = 3 + i − 1 + 2i 3i − 2
=
−i 2−i
2+i 2i
2i − 2 − 3 − 4i − 5 − 2i = 3i − 2 3i − 2
=
2+i 2i
1+ i 2+i
−i 2−i
1+ i 2+i
3i − 2
٣
= Z1
= Z2
ﲤﺮﯾﻦ ﺻﻔﺤﻪ . ۵٣٧ ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ
+ ... + a Z + a o = o
n −1
n
a Z + a Zﮐــــﻪ در آن n n− 1
ﺑﺮای ، a i ∈ R , o ≤ i ≤ nﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ
Zرﯾﺸــﻪ ﻣﻌﺎدﻟــﻪ
ﻓﻮق اﺳﺖ. ﺣﻞ( a n Z n + a n −1 Z n −1 + ... + a1Z + a o = o a n Z n + a n −1 Z n −1 + ... + a1 Z + a o = o a n Z n + a n −1 Z n −1 + ... + a1 Z + ao = o ﭘﺲ Zرﯾﺸﻪ ﻣﻌﺎدﻟﻪ اﺳﺖ. ﲤﺮﯾﻦ ﺻﻔﺤﻪ . ۵٣٨ Z1 , Z2 ∈ R
.١ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ Z1 Z )= 1 Z2 Z2 ﺣﻞ(
(
Z2 ≠ o ,ﺛﺎﺑـــﺖ ﮐﻨﯿـــﺪ
www.FANAVARI-IT.ir
(١) ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ (
٤
Z1 ) = ( Z1 Z2 −1 ) = Z1 Z2 −1 Z2
= Z1 Z2 −1 =
Z1 Z2 . ﻋﺒﺎرات زﯾﺮ را ﺳﺎده ﮐﻨﯿﺪ.٢
)اﻟﻒ
)ب
)ج
(2 + i ) ( 3 − 2i) (1 + 2i)
(1 − i )2 15 ( 8 − i) (1 + 2i ) 1 o +15i = − + 5i = = 2 2 − 2i 1 − 2i + i
i 4 + i 9 + i 16 2 − i 5 + i 1o − i 15 3(
=
1+ i +1 =2+i 2 − i −1+ i
1+ i 2 1− i 3 2i 2i 1 − i ) − 2( ) = 3( ) − 2( )( ) 1− i 1+ i − 2i − 2i 1 + i 1− i = −3 + ( ) = −3 − i 1+ i . درﺳﺘﯽ ﻫﺎی زﯾﺮ را ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ.٣ Z + Z = 2 Re(Z ) (اﻟﻒ (Re(Z ) + Im(Z )i) + (Re( Z ) − Im( Z )i ) = 2 Re( Z )
(ﺣﻞ
Z − Z = 2 Im( Z )i
(ب
(Re(Z ) + Im Z i) − (Re Z − Im Z i) = 2 Im( Z )i 1 1 را رﺳــﻢRe( ) = Z 2
ﳕﻮدارZ = x + yi ≠ o ﺑﺎ ﻓﺮض.۴ .ﮐﻨﯿﺪ (ﺣﻞ
www.FANAVARI-IT.ir
ﻓﺼﻞ دوازدﻫﻢ :اﻋﺪاد ﳐﺘﻠﻒ
i
y 2
x
−
2
2
x +y
2
2
x +y
1 ⇒ 2
x + y = 2x
2
2
=
.۵در ﲤﺮﯾﻦ ۴
1 = ) (Re Z
2
x +y
2
( x − 1) + y = 1
ﳕﻮدار I m (Z ) = 1
1 1 = = Z x + yi
x 2
٥
⇒
را رﺳﻢ ﮐﻨﯿﺪ.
I m ( x + y i) = y = 1
ﺣﻞ(
.۶ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ
1oo
∑ ik = x + yi
١
،در اﯾــــﻦ ﺻــــﻮرت
k =o
y, x
را ﳏﺎﺳﺒﻪ ﮐﻨﯿﺪ.
ﺣﻞ( ﻃﺒﻖ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻫﻨﺪﺳﯽ دارﯾﻢ: y=o .٧اﮔﺮ ﺑﯿﺎﺑﯿﺪ. ﺣﻞ(
⇒ x =1 ,
1 − i1o1 1 − i = = 1 = x + yi 1− i 1− i
x + yi = x − yi x − yi
ﻣﻘﺎدﯾﺮ ﺣﻘﯿﻘـﯽ
1oo
= ∑ ik k =o
x
و yرا
www.FANAVARI-IT.ir
ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )(١
٦
x + yi = ( x − yi )2 = x2 + (− yi )2 − 2 x yi = ( x2 − y2 ) − 2 x yi
x = o , x =1 1 3 x=− , y=± 2 2 .٨اﮔﺮ
⇒
x2 − y2 = x ⇒ − 2 xy = y
y=o
⇒ y≠o
ﯾﮏ ﭼﻨﺪ ﲨﻠﻪ ای ﺑﺎ ﺿﺮاﯾﺐ ﺣﻘﯿﻘﯽ ﺑﺎﺷـﺪ؛
f
) f (Z ) = f ( Z
ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ.
f ( Z ) = a n Z n + a n −1 Z n−1 + ... + a1Z + a o f ( Z ) = a n Z n + a n −1 Z n −1 + ... + a1Z + a o = a n Z n + a n −1 Z n −1 + ... + a1Z + a o ) = a n Z n + a n −1 Z n−1 + ... + a1 Z + a o = f ( Z ﲤﺮﯾﻦ ﺻﻔﺤﻪ . ۵۴٠ ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ
Z2 = a2 + b2i , Z1 = a1 + b1iﺑﺎ در ﻧﻈﺮ ﮔﺮﻓﱳ
ﳕﺎﯾﺶ ﻫﻨﺪﺳﯽ اﻋﺪاد
، Z1 , Z2ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ Z1 + Z2 = (a 1 + a 2 ) + (b1 + b2 )i
ﺣﻞ( اﮔﺮ
Z2 , Z1را ﺑـــــﻪ ﺻـــــﻮرت ﺑـــــﺮدار
) (a 2 , b2 ) , (a 1 , b1در ﻧﻈـــﺮ ﺑﮕﯿـــﺮﯾﻢ ،آﻧﮕـــﺎه ) . Z1 + Z2 = (a 1 + a 2 , b1 + b2 و اﯾﻦ ﺧﺎﺻﯿﺖ از ﲨﻊ ﺑﺮدارﻫﺎ در R 2ﻧﺘﯿﺠﻪ ﻣﯽ ﺷﻮد. ﲤﺮﯾﻦ ﺻﻔﺤﻪ . ۵۴٣ .١ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ
Z1 , Z2 , ... , Z nاﻋﺪاد ﳐﺘﻠﻂ ﺑﺎﺷـﻨﺪ .در
اﯾﻦ ﺻﻮرت ﺧﻮاص زﯾﺮ ﺑﺮﻗﺮارﻧﺪ.
www.FANAVARI-IT.ir
ﻓﺼﻞ دوازدﻫﻢ :اﻋﺪاد ﳐﺘﻠﻒ اﻟﻒ(
٧
Z1 Z2 ...Z n = Z1 Z2 ... Z n
ِ دارﯾﻢ: ﺣﻞ( ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از اﺳﺘﻘﺮاء Z1 Z2 ... Z n = Z1 ( Z2 Z 3 ...Z n ) = Z1 Z2 Z 3 ...Z n = Z1 Z2 ... Z n ب(
n
Zn = Z
ﺣــﻞ( ﮐــﺎﻓﯽ اﺳــﺖ در ﻗﺴــﻤﺖ ﻗﺒــﻞ ﻗــﺮار دﻫــﯿﻢ: Z1 = Z2 = ... = Z n = Z ج(
Re( Z ) ≤ Z
ﺣﻞ( ⇒ Re( Z ) ≤ Z
2
2
Z = x + yi
⇒ x≤ x ≤ x + y = Z
Z = Z
د(
ﺣــــــــﻞ( اﮔــــــــﺮ ﻗــــــــﺮار دﻫــــــــﯿﻢ: Z = x + yi Z = Z ه( ﺣﻞ( اﮔﺮ
⇒
x + yi = x2 + y2 = x − yi = x2 + (− y)2
Z1 + Z2 ≤ Z1 + Z2 Z2 , Z1را ﺑﻪ ﻋﻨـﻮان دو ﺑـﺮدار در
R 2در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﯿﺮﯾﻢ دارﯾﻢ: 2
2
2
Z1 + Z2 = Z1 + Z2 + 2 Z1 Z2 cosθ 2
2
2
⇒ Z1 + Z2 ≤ Z1 + Z2 + 2 Z1 Z2 = ( Z1 + Z2 ) 2 ⇒ Z1 + Z2 ≤ Z1 + Z2
و(
Z1 + Z2 + ... + Z n ≤ Z1 + ... + Z n
www.FANAVARI-IT.ir
ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )(١
٨
ِ و اﺳﺘﻔﺎده از ﻗﺴﻤﺖ )ه( ﻣﻄﻠﺐ ﺛﺎﺑـﺖ ﺣﻞ( ﺑﺎ اﺳﺘﻘﺮاء ﻣﯽ ﺷﻮد. ) Z1 + Z2 + ... + Z n = Z1 + ( Z2 + ... + Z n
≤ Z1 + Z2 + ... + Z n ≤ Z1 + Z2 + ... + Z n ز(
Z1 + Z2 ≥ Z1 − Z2ﯾﺎ
Z1 − Z2 ≥ Z1 − Z2
ﺣﻞ( Z1 = (Z1 + Z2 ) + (− Z2 ) ≤ Z1 + Z2 + Z2 ≤ Z1 + Z2 + Z2 Z1 − Z2 ≤ Z1 + Z2 اﮔﺮ
⇒
Z2را ﺑﻪ − Z2ﺗﺒﺪﯾﻞ ﮐﻨﯿﻢ دارﯾﻢ: Z1 − Z2 ≤ Z1 − Z2 1 3 Z 3 = − +اﻋﺪاد Z1 = 2 + iو Z2 = 3 − 2iو i 2 2
.٢اﮔﺮ
ﳐﺘﻠﻂ ﺑﺎﺷﻨﺪ؛ ﻫﺮ ﯾﮏ از ﻋﺒﺎرات زﯾﺮ را ﺣﺴﺎب ﮐﻨﯿﺪ: اﻟﻒ(
3 Z1 − 4 Z2
ﺣﻞ(
3Z1 − 4Z2 = −6 + 11i ⇒ 3Z1 − 4Z2 = 157 3
ب(
2Z2 + Z2 − 5 − i 2Z1 − Z2 + 3 − i
=Α
ﺣﻞ( 2Z2 + Z1 − 5 − i = 3 − 4i
3
=1
2Z1 − Z2 + 3 − i = 4 + 3i ) ( 25
3
25
=
3 3
3 − 4i 4 + 3i
=Α
⇒
www.FANAVARI-IT.ir
٩
ﻓﺼﻞ دوازدﻫﻢ :اﻋﺪاد ﳐﺘﻠﻒ .٣آرﮔﻮﻣﺎن اﺻﻠﯽ و ﻃﻮل اﻋﺪاد زﯾﺮ را ﺗﻌﯿﯿﻦ ﮐﻨﯿﺪ. π 4
Αrg (1 − i) = −
,
1− i = 2
3π 4
= ) Arg (−1 + i
,
−1+ i = 2
π 2
⇒
) 1 − iاﻟﻒ
⇒ −1+ i
)ب
Arg (1) = o
,
1 =1
⇒
1
)ج
= )Arg (2i
2i = 2 ,
⇒
2i
)د
ـﺎن Zرا Z = x + y iو ، Z − 1 + i = 1ﻣﮑـ
.۴ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ﺗﻌﯿﯿﻦ ﮐﻨﯿﺪ. ﺣﻞ(
Z − 1+ i = ( x − 1) + ( y + 1) i Z − 1+ i = ( x − 1)2 + ( y + 1)2 = 1
⇒
⇒ ( x − 1)2 + ( y + 1)2 = 1 ﻣﮑﺎن داﯾﺮه ای ﺑﻪ ﻣﺮﮐﺰ
) C (1 , − 1و ﺷﻌﺎع R = 1
اﺳﺖ. .۵ﻣﮑﺎن ﻫﻨﺪﺳﯽ ﻧﻘﺎط
Z = x + y iرا در ﺣـــﺎﻻت زﯾـــﺮ
ﺗﻌﯿﯿﻦ ﮐﻨﯿﺪ. اﻟﻒ( Z + 1 = Z − 1 ﺣﻞ( ( x + 1) + y i = ( x − 1) + y i ⇒ ( x + 1) 2 = ( x − 1) 2 ⇒ x=o
( x + 1) 2 + y2 = ( x − 1) 2 + y 2
www.FANAVARI-IT.ir
١٠
ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )(١
ب(
Z + i = Z −1
ﺣﻞ( x + ( y + 1) i = ( x − 1) 2 + y 2 ⇒ x2 + ( y + 1) 2 = ( x − 1) 2 + y2
x2 + y 2 + 2 y + 1 = x2 − 2 x + 1 + y2 ⇒ 2 y = −2 x y = −x
⇒ ⇒
.۶ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ ﮐﻪ 2
2
2
2
) Z1 + Z2 + Z1 − Z2 = 2 ( Z1 + Z2 ﺣﻞ( 2
2
2
2
Z1 + Z2 + 2 Z1 Z2 cos θ + Z1 + Z2 − 2 Z1 Z2 cos θ 2
2
) = 2 ( Z1 + Z2 Z 3 , Z2 , Z1ﺳﻪ ﻋـﺪد ﳐـﺘﻠﻂ ﻧـﺎ ﺻـﻔﺮ
.٧ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ
ﺑﺎﺷﻨﺪ ﺑﻪ ﻃﻮری ﮐﻪ: Z1 = Z2 = Z 3
,
Z1 + Z2 + Z 3 = o
ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ. 1 1 1 + + اﻟﻒ( = o Z1 Z2 Z3 ﺣﻞ( اﻟﻒ( راﺑﻄﻪ
2
Z12 + Z22 + Z 32 = o
ب(
Z i Zi = Z iرا در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﯿﺮﯾﺪدارﯾﻢ 2
Zi Zi
= Zi
www.FANAVARI-IT.ir
ﻓﺼﻞ دوازدﻫﻢ :اﻋﺪاد ﳐﺘﻠﻒ Z1 + Z2 + Z3 = o 2
=o
Z3 Z3
2
+
Z2 Z2
⇒ 2
+
Z1
Z1
١١
Z1 + Z2 + Z3 = o
⇒
1 1 2 1 ⇒ Z1 + + =o Z Z Z 2 3 1 1 1 1 ⇒ + + =o Z Z Z 1 2 3 ﮔﯿﺮی دارﯾﻢ:
ب( ﻃﺒﻖ ﻗﺴﻤﺖ اﻟﻒ ،ﺑﺎ ﳐﺮج ﻣﺸﱰک
Z2 Z 3 Z1 Z 3 Z1 Z2 + + =o Z1 Z2 Z 3 Z1 Z2 Z 3 Z1 Z2 Z 3 Z1 Z2 + Z1 Z3 + Z2 Z3 = o ⇒ ( Z1 + Z2 + Z3 )2 = o ⇒ Z12 + Z22 + Z33 + 2 ( Z1 Z2 + Z1 Z3 + Z2 Z3 ) = o ⇒ Z12 + Z22 + Z32 = o .٨ﻣﻌﺎدﻟﻪ زﯾﺮ را ﺑﺮ ﺣﺴﺐ ﺗﺎﺑﻊ ﻣﺰدوج ﺑﯿﺎن ﮐﻨﯿﺪ. 2x + y = 5 ⇒ Z + Z = 2x , Z − Z = 2 yi
, Z = x − yi Z−Z =5 2i
Z = x + yi ⇒
(Z + Z ) +
.٩ﻫﺮ ﻋﺪد ﮐﻪ رﯾﺸﻪ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ای ﺑﻪ ﻓﺮم زﯾﺮ ﺑﺎﺷﺪ: + ... + a1 Z + a o = o ﮐﻪ در آن
، a i ∈ Rﯾﮏ ﻋﺪد ﺟﱪی ﻧﺎم دارد.
ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ Z = 3 4 − 2 iﺟﱪی اﺳﺖ. ﺣﻞ(
n −1
n
a n Z + a n −1 Z
⇒
Z1 + Z2 + Z3 = o
www.FANAVARI-IT.ir
(١) ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ Z + 2i = 3 4
⇒
( Z + 2 i) 3 = 4
⇒
Z 3 + 6Z 2 i − 12Z − 8 i = 4
⇒
Z 3 − 12Z − 4 = (8 − 6Z 2 ) i
⇒
(Z 3 − 12Z − 4)2 = 6Z 2 − 8
١٢
Z 6 + 144Z 2 + 16 − 24Z 4 − 8Z 3 + 96Z − 6Z 2 + 8 = o . ﻋﺪد ﺟﱪی اﺳﺖZ ﭘﺲ آﻧﮕﺎه ﺑـﺮای ﻫـﺮ، Z = 1
ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ ﮐﻪ اﮔﺮ.١٠
ـﺎ ﳐـﺎﻟﻒ ﺻـﻔﺮ ﮐﻪ ﺣﺪاﻗﻞ ﯾﮑﯽ از آb , a دو ﻋﺪد ﳐﺘﻠﻂ :اﺳﺖ دارﯾﻢ a Z +b =1 bZ+a a Z + b = Z (a +
b bZ ) = Z a+ 2 Z Z
= a +bZ = a +b Z = a +b Z ⇒
a Z +b a +b Z
=
(ﺣﻞ
a Z +b =1 a +b Z
: ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ ﮐﻪZ = x + y i
اﮔﺮ.١١
Re ( Z ) + Im ( Z ) ≤ 2 Z ( ﺣﻞ 2 | Z |2 = 2( | Re( Z ) |2 + | Im( Z ) |2 )2 = 2(| Re(Z ) |2 + | Im( Z ) |2 ) ≥ (| Re( Z ) | + | Im( Z ) | )2 ⇒
| Re( Z ) | + | Im(Z ) |≤ 2 | Z |
www.FANAVARI-IT.ir
١٣
ﻓﺼﻞ دوازدﻫﻢ :اﻋﺪاد ﳐﺘﻠﻒ
ـﺮ ـﻬﺎ اﮔـ Z1 − Z2 = 1 − Z1 Z2اﮔـﺮ و ﺗﻨـ
.١٢ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ Z2 = 1 , Z1 = 1
Z1 = Z2 = 1ﺑﺎﺷﺪ آﻧﮕﺎه
ﺣﻞ( ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ
Z Z Z2 = Z1 1 − 2 1 = 1 − Z2 Z1 2 Z1 Z1
Z1 − Z2 = Z1 (1 −
Z1 − Z2 = 1 − Z1 Z2ﺑﺎﺷﺪ.ﺗﺴﺎوی ﺑﺎﻻ را
ﺣﺎل ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ
ﺑﻪ ﺻﻮرت ﺑﺮﻋﮑﺲ اداﻣﻪ دﻫﯿﺪ . Z ≠ oﻋﺪد ﳐﺘﻠﻂ ﺑﺎﺷـﺪ .ﺛﺎﺑـﺖ ﮐﻨﯿـﺪ
.١٣ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ
1 Z = 1اﮔﺮ و ﺗﻨﻬﺎ اﮔﺮ Z ﺣﻞ( اﮔﺮ اﮔﺮ
= Zآﻧﮕﺎه
.١۴ﻣﮑﺎن ﻋﺪد ﳐﺘﻠﻂ
Z Z = Z = 1ﭘﺲ
1 Z
Z = Z Z = 1ﭘﺲ
. Z =1
2
Z = 1آﻧﮕﺎه 1 Z
=Z
2
Zرا ﭼﻨﺎن ﭘﯿﺪا ﮐﻨﯿﺪ ﮐﻪ اﻋﺪاد
ﳐﺘﻠﻂ i , i Z , Zﳘﻮاره ﺑﺮ ﯾﮏ اﺳﺘﻘﺎﻣﺖ ﺑﺎﺷﻨﺪ. ﺣﻞ( 2 z−iZ iZ −i = )⇒ − ( Z − i Z ) = i (Z − 1) ( Z − i Z −i iZ−Z 2
2
2
2
⇒ −z + 2i Z + Z = i Z = Z = 1 − i Z iZ =1 y = −1 ﭘﺲ
=. Z
2
i (Z + Z) = Z + 1 ⇒ x=o , −y = 1 ,
Z = o , Z = i , Z = −iﺑﺮ ﯾﮏ اﺳﺘﻘﺎﻣﺘﻨﺪ.
www.FANAVARI-IT.ir
ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )(١
١٤ .١۵اﮔﺮ
C , Aاﻋﺪاد ﺣﻘﯿﻘﯽ و
A Z Z + D Z + DZ + C = o , Z = x + y i , D = α + i β , AC < o α β ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ ﻣﮑﺎن Zداﯾﺮه ای ﺑﻪ ﻣﺮﮐﺰ ) , A A
(−
و
ﺷﻌﺎع آن ﺑﻪ ﺻﻮرت زﯾﺮ اﺳﺖ. α2 β 2 C =R + − A2 A2 A ﺣﻞ( ) AZ Z = A( x2 + y2 )D Z + D Z = 2 Re ( D Z ) = 2 (α x − β y ⇒ Ax2 + Ay2 + 2α x − 2 β y + C = o α 2 β α2 β2 ) + A( y − )2 − 2 − 2 + C = o A A A A 2 2 α β α β C ⇒ ( x + )2 + ( y − )2 = 3 + 3 − A A A A A ⇒ A( x +
ﻣﺮﮐﺰ داﯾﺮه α β ) , A A
C , A
(−
.١۶ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺧﻂ
−
β2 3
A
+
α2 3
A
=. R
A x + B y + C = oرا ﺑــﻪ ﺷــﮑﻞ ﳐــﺘﻠﻂ
ﺑﻨﻮﯾﺴﯿﺪ. ﺣﻞ(
Z+Z Z−Z +B +C =o 2 2i
.١٧ﻣﻌﺎدﻟﻪ داﯾﺮه
x2 + y 2 + 2 x + 2 y = oرا ﺑــﻪ
A
ﻓﺮم ﳐﺘﻠﻂ ﺑﻨﻮﯾﺴﯿﺪ. ﺣﻞ(
Z Z + Z + Z + i (Z − Z ) = o
www.FANAVARI-IT.ir
ﻓﺼﻞ دوازدﻫﻢ :اﻋﺪاد ﳐﺘﻠﻒ .١٨اﮔﺮ
١٥
Z2 , Z1دو ﻋﺪد ﳐﺘﻠﻂ ﺑﺎﺷﻨﺪ ،ﺑﻪ ﻃﻮری ﮐـﻪ
Z1 − Z2 = Z1 + Z2 Z2 , Z1ﺑﺮاﺑﺮ
ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ اﺧﺘﻼف آرﻣﺎﮔﻮن ﻫﺎی π 2
اﺳﺖ.
ﺣﻞ( 2
2
2
2
Z1 − Z2 = Z1 + Z2 ⇒ Z1 + Z2 + 2 Z1 Z2 cos θ 2
2
= Z1 + Z2 − 2 Z1 Z2 cos α π 2
=θ
.١٩ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ
⇒ ⇒ 4 Z1 Z2 cos θ = o ـﺎﺑﺮاﺑﺮ ـﯽ ﻧـ ـﺪد ﺣﻘﯿﻘـ b a , Z ∈ Cدو ﻋـ
ﺑﺎﺷﻨﺪ. ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ اﮔﺮ
Z + a i = Z + b iآﻧﮕـــــــــــــــﺎه
Z − Z = − ( a + b) i ﺣﻞ( ⇒ x2 + ( y + a )2 = x2 + ( y + b)2
Z = x + yi
⇒ a 2 + 2 a y = 2 b y + b2 a +b (2 a − 2 b) y = b2 − a 2 ⇒ y = − 2 Z − Z = 2 yi = − (a + b) i ﲤﺮﯾﻦ ﺻﻔﺤﻪ . ٥٤٦ اﻋﺪاد زﯾﺮ را ﺑﻪ ﺻﻮرت ﻣﺜﻠﺜﺎﺗﯽ ﳕﺎﯾﺶ دﻫﯿﺪ:
www.FANAVARI-IT.ir
ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )(١
١٦
5π 5π ) + i sin 6 6
) Z1 = −3 + 3 i = 2 3 (cosاﻟﻒ
(i − 1) 2 − 2 i = ) = −2 = 2 (cos π + i sin π i i
= Z2
)ب
π π )) Z 3 = −1 − 3 i = 2 (cos (− ) + i sin (− 3 3
)ج
ﲤﺮﯾﻦ ﺻﻔﺤﻪ . ۵۴٧ ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ دﺳﺘﻮر دﻣﻮ آور ﺑﺮای
n < oﺻـــﺤﯿﺢ ﻧﯿـــﺰ
ﺑﺮﻗﺮار اﺳﺖ. ﺣﻞ( اﮔﺮ ﻗﺮار دﻫﯿﻢ
n = − m , e i θ = cos θ + i sin θﺑﺎﺷـــﺪ
آﻧﮕﺎه ) Z = e i θ ⇒ Z − m = e −i mθ = cos (− mθ ) + i sin (− mθ ) ⇒ (cos θ + i sin θ ) n = cos (n θ ) + i sin (n θ
⇒n<o
ﲤﺮﯾﻦ ﺻﻔﺤﻪ . ۵۴٧ اﮔﺮ
Z2 , Z1دو ﻋﺪد ﳐﺘﻠﻂ ﺑﺎﺷﻨﺪ و
، Z2 ≠ oﺛﺎﺑﺖ
ﮐﻨﯿﺪ Z1 Z2 ﺣﻞ(
=
Z1
Z2
www.FANAVARI-IT.ir
١٧
اﻋﺪاد ﳐﺘﻠﻒ:ﻓﺼﻞ دوازدﻫﻢ Z1 = Z1 (cos θ1 + i sin θ1 ) Z1
Z2 Z1
Z2
=
=
Z1 (cos θ1 + i sin θ1 )
Z2 (cos θ2 + i sin θ2 ) Z1 Z2
Z2
=
Z1 Z2
=
Z1 Z2
(cos θ1 + i sin θ2 ) (cos θ2 + i sin θ2 )
(cos (θ1 − θ 2 ) + i sin (θ1 − θ2 ))
⇒ Arg ( Z1
Z2 = Z2 (cos θ 2 + i sin θ2 )
,
Z1
Z2
) =1 − 2 = Arg Z1 − Arg Z2
cos (θ1 − θ 2 ) + i sin (θ1 − θ2 ) =
Z1 Z2 . ۵۴٩ ﲤﺮﯾﻦ ﺻﻔﺤﻪ : ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ.١
(
1 + i tgα n 1 + i tgn α ) = 1 − i tgα 1 − i tgn α (ﺣﻞ
sin α 1 + i tg α n cos α ) n = ( cos α + i sin α )) n ( ) =( sin α 1 − i tg α cos α − i sin α 1− i cos α cos α + i sin nα 1 + i tgnα )= =( cos nα − i sin nα 1 − i tgnα 1+ i
ﺣﺎﺻـﻞ، ﻋـﺪد ﺻـﺤﯿﺢ و ﻣﺜﺒـﺖ ﺑﺎﺷـﺪn ﻓﺮض ﮐﻨﯿـﺪ.٢ . را ﳏﺎﺳﺒﻪ ﮐﻨﯿﺪI =
(1 + i) n
(1 − i ) n −2 (ﺣﻞ
www.FANAVARI-IT.ir
(١) ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ I = (1 + i) n (1 − i ) 2− n = 2 (cos n =22
n 2
١٨
π π π π + i sin ) n 2 (cos − i sin ) 2− n 4 4 4 4
nπ nπ (2 − n)π (2 − n)π + i sin − i sin ) (cos ) 2 4 4 4 nπ nπ = 2 (cos + i sin ) 2 2 1−
×2
(cos
( را ﺑــﻪ دو ﻃﺮﯾــﻖ ﳏﺎﺳــﺒﻪ و1 + i) n
ﻋﺪد ﳐﺘﻠﻂ.٣
.ﻧﺘﯿﺠﻪ را ﻣﻘﺎﯾﺴﻪ ﮐﻨﯿﺪ (ﺣﻞ (1 + i) 2 = 2 i
⇒ n = 2k
n = 2k +1
⇒ (1 + i ) n = (2 i ) k
⇒ (1 + i ) n = (2 i ) k (1 + i ) . ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ.۵ sin 4θ = 2 cos 3θ + 6 cos θ − 4 sin θ (ﺣﻞ
Z = cos+ i sin θ
⇒ Z 4 = cos 4θ + i sin 4θ
((cos2 θ − sin 2 θ ) + 2 sin θ cos θ i) 2 = cos 4θ + i sin 4θ (cos 2θ + sin 2θ i ) 2 =
. ۵۵۶ ﲤﺮﯾﻦ ﺻﻔﺤﻪ 2
. را ﺣﻞ ﮐﻨﯿﺪZ + (2i − 3 ) Z + 5 − i = o ﻣﻌﺎدﻟﻪ-١ (ﺣﻞ
www.FANAVARI-IT.ir
١٩
ﻓﺼﻞ دوازدﻫﻢ :اﻋﺪاد ﳐﺘﻠﻒ 2i − 3 2 (2i − 3)2 ) = i −5− 2 4 2i − 3 2 4i − 2 o +4 + 6i − 9 1o i − 25 = (Z + = ) 2 4 4 3 − 2i ± 1o i − 25 =Z 2 (Z +
) . ( Z ≠ 1در اﯾﻦ ﺻﻮرت ﻣﻌﺎدﻟـﻪ زﯾـﺮ
-٢ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ را ﺣﻞ ﮐﻨﯿﺪ:
5
4
3
2
1+ Z + Z + Z + Z + Z = o ﺣﻞ( دو ﻃﺮف را در
) (1 − Zﺿﺮب ﻣﯽ ﮐﻨﯿﻢ. 6
6
1− Z = o
⇒ Z =1 kπ kπ ) (Wi = cos( ) + i sin 3 3 1 3 Wo = 1 , W1 = + i 2 2 1 3 , W2 = − + i W3 = −1 2 2 −1 3 1 3 − , = W4 i W5 = − i 2 2 2 2 رﯾﺸﻪ Z = 1ﻗﺎﺑﻞ ﻗﺒﻮل ﻧﯿﺴﺖ .ﭼﻮن ﺑﺎ ﺿﺮب
1− Z
ﺗﻮﻟﯿﺪ ﺷﺪه اﺳﺖ. .٣اﮔﺮ Wﯾﮑﯽ از رﯾﺸﻪ ﻫـﺎی ﻣﻮﻫـﻮﻣﯽ n ،ام واﺣـﺪ ﺑﺎﺷﺪ .ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ: 1 + W + W 2 + ... + W n −1 = o ﺣﻞ(
www.FANAVARI-IT.ir
(١) ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ W ≠1
,
Wn = 1
٢٠
⇒ Wn −1 = o
⇒ (W − 1) (W n −1 + W n −2 + ... + W + 1) = o 1 + W + W 2 + ... + W n −1 = o
W ≠1 ⇒
: ﻣﻌﺎدﻟﻪ زﯾﺮ را ﺣﻞ ﮐﻨﯿﺪ.۴ 3
. iZ +8 =o ( ﺣﻞ 3
3
− Z + 8i = o ⇒ Z = 8i π r =8 , θ= 2 π π 2kπ + 2kπ + 2 + i sin 2 Wk = 3 8 (cos 3 3 3 1 Wo = 2 ( +i )= 3 +i 2 2 3 1 W1 = 2 (− +i ) = − 3 +i 2 2 W3 = − 2 i . رﯾﺸﻪ ﻫﺎی ﻫﺮ ﯾﮏ از اﻋﺪاد زﯾﺮ را ﺑﺪﺳﺖ آورﯾﺪ.۵ ( )اﻟﻒ−1 + i)
1 3
,
r= 2 ,
θ=
3π 4
www.FANAVARI-IT.ir
٢١
اﻋﺪاد ﳐﺘﻠﻒ:ﻓﺼﻞ دوازدﻫﻢ 3π 3π 2kπ + 4 + i sin 4 ) Wk = 6 2 (cos 3 3 2 2 Wo = 6 2 ( +i ) 2 2 11π 11π W1 = 6 2 (cos + i sin ) 12 12 19π 19π W2 = 6 2 cos + i siin ) 12 12 2kπ +
(−2 3 − 2 i)
)ب
1 3
,
r =4
,
θ=
7π 6
7π 7π 2kπ + 6 + i sin 6 ) Wk = 4 4 (cos 3 3 7π 7π W = 4 4 (cos + i sin ) o 24 24 19π 19π W = 4 4 (cos + i sin ) 1 24 24 31π 31π W = 4 4 (cos + i sin ) 2 24 24 43π 43π W = 4 4 (cos + i sin ) 3 24 24 2kπ +
. را ﺣﻞ ﮐﻨﯿﺪ6Z 4 − 25Z 3 + 32Z 2 + 3Z − 1o = o ﻣﻌﺎدﻟﻪ.٧ و و
±2 ±2
و و
±1 ±1
ﺑﺮاﺑـﺮ ﺑﺮاﺑـﺮ
−1o 6
ﻣﻘﺴﻮم ﻋﻠﯿﻪ ﻫﺎی
(ﺣﻞ
.اﺳﺖ
±5
ﻣﻘﺴﻮم ﻋﻠﯿـﻪ ﻫـﺎی .اﺳﺖ
.را ﺣﻞ ﮐﻨﯿﺪ
5
(1 + Z ) = (1 − Z )
5
±3
ﻣﻌﺎدﻟﻪ.١٠
www.FANAVARI-IT.ir
(١) ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ
٢٢ (ﺣﻞ
(
1+ Z 5 ) =1 1− Z
5
W =1 ,
,
1+ Z =1 1− Z
W =1 ⇒ o
⇒
W=
Z +1 Z −1
Z =o o
2π 2π 1 + Z1 + i sin = 5 5 1− Z
W1 = cos
1
1+ Z
W2 = cos
4π 4π 2 + i sin = 5 5 1− Z
W3 = cos
6π 6π 1 + Z3 + i sin = 5 5 1− Z
W4 = cos
8π 8π 1 + Z4 + i sin = 5 5 1− Z
2
3
4
. ﻫﺮ ﯾﮏ از ﻋﺒﺎرات زﯾﺮ را ﺳﺎده ﮐﻨﯿﺪ.١١ ( اﻟﻒ 6
1− i
1+ i 3 1− i
1+ i 3
Zk = 6
=
=(
1− i
1+ i 3
2 e 2e
−i
−i
2 (cos 2
π 4
π 3
1 6 )
= 7π
2 − 12 = e 2
7π 7π 2kπ − 12 + i sin 12 ) 6 6
2kπ −
www.FANAVARI-IT.ir
٢٣
ﻓﺼﻞ دوازدﻫﻢ :اﻋﺪاد ﳐﺘﻠﻒ 1−i
5π
2 −i 12 = e 2
5π 5π 2kπ − (12 ) + i sin )) 12 6 6
π 4
( x + i) n − ( x − i) n = o
.١٢ﻣﻌﺎدﻟﻪ در آن
ﺣﻞ(
x
3 +i −i π 6
2kπ −
6
2 e
i
=
2e
2 ((cos 2
1−i
)ب
3 +i
Zk = 6
را ﺣﻞ ﮐﻨﯿـﺪ ﮐـﻪ
ﻋﺪد ﺣﻘﯿﻘﯽ اﺳﺖ. ( x + i) n − ( x − i) n = o ⇒ ( x + i ) n − ( x − i ) n x+i n (⇒ ) =1 x−i x+i ⇒ =Z Zn =1 x−i 2kπ 2kπ + i sin Z k = cos , k = o , 1, 2 , ... , n − 1 8 8 x+i ⇒ = Zk x Z k − i Zk = x + i x−i )x ( Z k − 1) = i ( Z k + 1 Zk + 1 Zk − 1
k = o , 1, 2 , ... , n − 1
x=i
(١٣ﻣﻨﺤﻨــــﯽ ای ﺑﯿﺎﺑﯿــــﺪ ﮐــــﻪ ﻣﻌﺎدﻟــــﻪ اش Z + c + Z − c = 2a
ﺑﺎﺷﺪ ﮐﻪ در آن
ﺣﻘﯿﻘﯽ ﻣﺜﺒﺖ اﻧﺪ ﺑﻪ ﻃﻮری ﮐﻪ
a>c
a ,c
اﻋــﺪاد
.
ﺣﻞ( ﻃﺒﻖ ﺗﻌﺮﯾﻒ ،ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﻓﻮق ،ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﯾﮏ ﺑﯿﻀﯽ اﺳﺖ.
www.FANAVARI-IT.ir
ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )(١
٢٤
x2 y2 + =1 a 2 b2
,
2
b = a −c 2
Ax + B y + C = o
.١۴ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺧﻂ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ
2
را ﺑــــﻪ
ﺷﮑﻞ ﳐﺘﻠﻂ ﺑﻨﻮﯾﺴﯿﺪ. Z+Z Z−Z () + B )+C =o 2 2i
ﺣﻞ(
(A
.١۵ﻣﻌﺎدﻟﻪ داﯾﺮه ای را ﺑﻨﻮﯾﺴﯿﺪ ﮐـﻪ از ﺳـﻪ ﻧﻘﻄـﻪ 1 + i , 2i , 1 − i ﺣﻞ( ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ
ﻣﯽ ﮔﺬرد. Z o = xo + yo i
ﻣﺮﮐﺰ داﯾﺮه ﺑﺎﺷﺪ ﭘﺲ:
Zo − (1 − i ) = Z o − (1 + i ) = Zo − 2i ⇒ ( xo − 1) 2 + ( yo + 1) 2 = ( xo − 1) 2 + ( yo + 1) 2 ⇒ yo = o
x o2 − 2xo + 2 = x o2 + 4
⇒
)C (−1 , o
ﻣﺮﮐﺰ داﯾﺮه
⇒ ( xo − 1) 2 + 1 = x o2 + 4
اﺳﺖ.
R = (−1 + o) − (1 − i ) = − 2 + i = 5 ﺷﻌﺎع داﯾﺮه ﺑﺮاﺑﺮ (١۶ﻣﮑﺎن
در ﻫﺮ ﺣﺎﻟﺖ ﺗﻌﯿﯿﻦ ﮐﻨﯿﺪ.
Z
اﻟﻒ( Z − i = 1
ب(
داﯾﺮه ﺑﻪ ﻣﺮﮐﺰ
)(o , + 1
و
.
Z −1− i = 1 R=1
ج(
:
R=1
ﺷﻌﺎع
R= 5
اﺳﺖ.
:
داﯾﺮه ﺑﻪ ﻣﺮﮐﺰ
)(1, 1
و ﺷﻌﺎع
.
1 2
= Z − 2i
1 2
=R
.
:
داﯾﺮه ﺑﻪ ﻣﺮﮐﺰ
)(o , 2
و ﺷﻌﺎع