Issuu on Google+

‫ﻓﺼﻞ اول‬

‫ﺗﺎﺑﻊ‬

www.fanavari-it.ir


(١) ‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ‬

٢

42 ‫ﺗﻤﺮﯾﻦ ﺻﻔﺤﻪ‬ .‫( داﻣﻨﻪ ﻫﺮ ﯾﮏ از ﺗﻮاﺑﻊ زﯾﺮ را ﺗﻌﯿﯿﻦ ﮐﻨﯿﺪ‬1) 1)

f ( x ) = x2 + 1

:‫ﺣﻞ‬

D f = R x2 + 1 ≥ o ⇒ 2)

f( x) =

2

1

x − 5 x + 21

x2 − 5 x + 21 = x2 − 5 x + 3)

25 59 5 59 + = ( x − )2 + > 0 ⇒ D f = R 4 4 2 4

x x

f( x) =

D f = (o, +∞)

4) f ( x) =

1 x − 7x + 12 2

x2 − 7x + 12= 0⇒ x1 = 4, x2 = 3

⇒ D f = ( −∞ ,3 ) U ( 4 ,+∞ ) 5)

:‫ﺣﻞ‬

f( x) =

1 7 ⇒ x2 − x + 2 = x2 − x + + 4 4 x − x+2 2

1

1 7 = ( x − )2 + > 0⇒ D f = R 2 4 6)

x2 f ( x) = ⇒ D f = R − {o} x

7)

f ( x ) = x ⇒ D f = ( o ,+∞ )

8)

f( x) =

www.fanavari-it.ir

( x2 + 2 x + 1 )( − x2 + x − 1 ) x2 − 5 x + 6

:‫ﺣﻞ‬


‫‪٣‬‬

‫ﻓﺼﻞ دوم‪ :‬ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ‬

‫) ‪( x + 1 )2 ( − x2 + x − 1‬‬ ‫= )‪⇒ f( x‬‬ ‫) ‪( x − 2 )( x − 3‬‬ ‫‪ ≤ o‬ﺻﻮرت ﮐﺴﺮ ⇒‬

‫‪− x2 + x − 1 < o‬‬

‫‪( x + 1 )2 ≥ 0‬‬

‫‪,‬‬

‫ﺑﺎﯾﺪ ﻣﺨﺮج ﮐﺴﺮ ﻫﻤﺮاه ﻣﻨﻔﯽ ﺑﺎﺷﺪ و ﻣﺨﺎﻟﻒ ﺻﻔﺮ ﯾﻌﻨﯽ ‪. 2 < x < 3‬‬

‫)‪⇒ D f = (2,3‬‬

‫‪f ( x ) = 4 x2 − 5 + 6‬‬

‫)‪⇒ x2 − 5x + 6 = ( x − 2)( x − 3‬‬

‫)‪9‬‬

‫) ∞‪⇒ D f = ( −∞ ,2 ) U ( 3 ,+‬‬ ‫}‪⇒ D f = R − {− 1‬‬ ‫) ‪⇒ D f = ( −∞ ,o‬‬

‫‪x2 + 2x + 1‬‬ ‫‪x +1‬‬

‫= )‪f( x‬‬

‫) ‪10‬‬

‫= )‪f( x‬‬

‫) ‪11‬‬

‫‪f ( x ) = 1 − x2‬‬

‫) ‪12‬‬

‫‪1‬‬ ‫| ‪x− | x‬‬

‫‪⇒ x≠ x ⇒ x<o‬‬ ‫]‪⇒ D f = [− 1,1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪ (2‬داﻣﻨﻪ و ﺑﺮد ﻫﺮ ﯾﮏ از ﺗﻮاﺑﻊ زﯾﺮ را ﺗﻌﯿﯿﻦ ﮐﻨﯿﺪ‪:‬‬ ‫) ∞‪⇒ D f = ( −∞ ,o ) U ( o,+‬‬ ‫}‪R f = {− 1,1‬‬

‫‪x>o‬‬ ‫‪x< o‬‬

‫}‪⇒ D f = R − {0‬‬ ‫}‪⇒ x ∈ D f ⇒ f ( x) = x ⇒ Rf = R − {0‬‬ ‫}{ ‪⇒ D f = R −‬‬ ‫}{ = ‪1 , R f‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)∞‪x>1 ⇒ D f = (−∞,+‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪f( x) = ‬‬ ‫‪− 1‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x −1‬‬ ‫‪x −1‬‬

‫= )‪f ( x‬‬

‫)‪1‬‬

‫)‪2‬‬

‫= )‪f( x‬‬

‫)‪3‬‬

‫‪f ( x ) = {−x + 3‬‬

‫)‪4‬‬

‫ﭼﻮن ﺗﺎﺑﻊ روي ]‪ [− ∞,1‬ﺻﻌﻮدي اﺳﺖ ﺑﺮد در اﯾﻦ ﻗﺴﻤﺖ ﺑﺮاﺑﺮ ]‪ [− ∞,1‬اﺳﺖ و‬

‫‪www.fanavari-it.ir‬‬


‫‪٤‬‬

‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )‪(١‬‬

‫و ﭼﻮن ﺗﺎﺑﻊ روي )∞‪ (1,+‬ﻧﺰوﻟﯽ اﺳﺖ ﺑﺮد در اﯾﻦ ﻗﺴﻤﺖ ﺑﺮاﺑﺮ‬ ‫)‪(−∞,−1+ 3) = (−∞,2‬‬

‫اﺳﺖ‪ .‬ﭘﺲ ﺑﺮد ﺗﺎﺑﻊ اﺟﺘﻤﺎع اﯾﻦ دو ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ اﺳﺖ ﮐﻪ ﺑﺮاﺑﺮ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ زﯾﺮ اﺳﺖ‪:‬‬ ‫)‪R f = (−∞,2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫}{ ‪⇒ D f = R −‬‬

‫‪x<1‬‬ ‫‪x >1‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪5 ) f( x) = ‬‬ ‫‪x + 1‬‬

‫) ∞‪R f = ( −∞ ,1 ) U ( 2,+‬‬ ‫}‪⇒ D f = R − {2‬‬

‫‪x2 − 4‬‬ ‫= )‪f( x‬‬ ‫‪x−2‬‬

‫)‪6‬‬

‫‪⇒ x∈ Df ⇒ f ( x ) = x + 2‬‬ ‫}‪R f = R − { 4‬‬

‫}‪⇒ D f = R − {4‬‬

‫‪x>4‬‬ ‫‪−4 < x < 4‬‬ ‫‪x ≤ −4‬‬

‫‪− x + 5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪7 ) f ( x ) = − 16 − x2‬‬ ‫‪x + 5‬‬ ‫‪‬‬

‫)‪f1 = − x + 5 , x > 4 ⇒ R f1 = (−∞,1‬‬ ‫]‪−4 < x < 4 ⇒ R f = [− 4 ,o‬‬

‫]‪x ≤ −4 ⇒ R f = [o −∞ ,1‬‬

‫‪f1 = − 16 − x2‬‬ ‫‪f3 = x + 5‬‬

‫) ‪⇒ Rf = Rf1 U R f2 U R f3 = ( −∞ ,1 )U [− 4 ,o] = ( −∞ ,1‬‬ ‫‪f( x) = x− x‬‬

‫)‪8‬‬

‫ﭼﻮن ﻫﻤﻮاره دارﯾﻢ ‪ x ≤ x‬در ﻧﺘﯿﺠﻪ ‪ x − x ≤ 0‬ﭘﺲ ﺟﺎﻫـﺎﯾﯽ ﮐـﻪ ‪ x = x‬اﺳـﺖ ﻗﺎﺑـﻞ‬ ‫ﻗﺒﻮل اﺳﺖ ﯾﻌﻨﯽ ]∞‪. D f = [0,+‬‬ ‫}‪⇒ Rf = {o‬‬

‫‪x ∈ D f ⇒ f ( x) = x − x = o‬‬

‫‪ (3‬از ﺟﻔﺖ ﺗﻮاﺑﻊ زﯾﺮ ﮐﺪام ﯾﮏ ﻣﺴﺎوي ﻫﺴﺘﻨﺪ؟‬

‫‪www.fanavari-it.ir‬‬


‫‪٥‬‬

‫ﻓﺼﻞ دوم‪ :‬ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ‬ ‫‪x‬‬ ‫‪f ( x) = , g ( x) = 1 (1‬‬ ‫‪x‬‬

‫ﻣﺴﺎوي ﻧﯿﺴﺘﻨﺪ ﭼﻮن ‪ D g = R‬و }‪ D f = R − {o‬ﺑﺎ ﻫﻢ ﺑﺮاﺑﺮ ﻧﯿﺴﺘﻨﺪ‪.‬‬ ‫‪ g ( x) = x (2‬و ‪f ( x) = ( x )2‬‬

‫ﻣﺴﺎوي ﻧﯿﺴﺘﻨﺪ ﭼﻮن ‪ Dg = R‬و )∞‪ D f = [o, +‬ﺑﺎ ﻫﻢ ﺑﺮاﺑﺮ ﻧﯿﺴﺘﻨﺪ‪.‬‬ ‫‪x2 − 4‬‬ ‫‪ g ( x ) = x + 2 (3‬و‬ ‫‪x−2‬‬

‫= ) ‪ f ( x‬ﺑﺎ ﻫﻢ ﺑﺮاﺑﺮ ﻧﯿﺴﺘﻨﺪ‪.‬‬

‫‪ (4‬ﻓــﺮض ﮐﻨﯿــﺪ ‪ f ( x) = x − 1‬ﻣﻄﻠــﻮب اﺳــﺖ‪ f ( x + 1) ، f (1) .‬و )‪ f ( x2 − 1‬و‬ ‫))‪. f ( f (2‬‬ ‫‪f (1) = 1− 1 = o‬‬ ‫‪f ( x + 1) = x + 1 − 1 = x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪1‬‬ ‫=)‬ ‫‪x‬‬

‫(‪f‬‬

‫‪f ( x2 − 1) = x2 − 1− 1 = x2 − 2‬‬ ‫‪f ( f (2)) = f ( 2 − 1) = f (1) = o‬‬

‫‪ (5‬اﮔﺮ ‪ f‬ﺗﺎﺑﻌﯽ ﺑﺎﺷﺪ ﮐﻪ ﺑﻪ ازاي ﻫﺮ ‪ x‬و ‪. f ( x + y) = f ( x) + f ( y) .y‬‬ ‫)‪f ( n‬‬ ‫اﮔﺮ ‪ n‬ﻋﺪد ﻃﺒﯿﻌﯽ ﺑﺎﺷﺪ و ‪ f (1) ≠ o‬ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﻣﻘﺪار‬ ‫)‪f (1‬‬

‫را ﺑﯿﺎﺑﯿﺪ‪.‬‬

‫ﺣﻞ ‪:‬‬

‫)‪f ( n ) = f (1 + 1 + 1 + ... + 1) = f (1) + f (1) + ... + f (1‬‬ ‫)‪= n f (1‬‬ ‫)‪f ( n ) nf (1‬‬ ‫⇒‬ ‫=‬ ‫‪=n‬‬ ‫)‪f (1‬‬ ‫)‪f (1‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪ (6‬در ﻫﺮ ﯾﮏ از ﻣﻮارد ‪ gog ، fof ، gof ، fog ، ، f + g‬را ﺗﻌﯿﯿﻦ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬ ‫‪g‬‬

‫‪www.fanavari-it.ir‬‬


(١) ‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ‬

. g (n) = x2 + 1 ,

٦ f ( x) = x (‫اﻟﻒ‬

f + g ( x) = x + x2 + 1 f x ( x) = 2 g x +1 fog ( x) = f ( g ( x)) = x2 + 1 got ( x) = g ( f ( x)) = ( x )2 + 1 = x + 1 fof ( x) = f ( f (m)) =

x =4

x

gog ( x) = g ( g ( x)) = ( x2 + 1)2 + 1 = x4 + 2x2 + 2 f ( x) = x

,

g ( x) = 4 − x2 (‫ب‬

f + g ( x) = x + 4 − x2 f x ( x) = g 4 − x2 fog ( x) = 4 − x2 gof ( x) = 4 − ( x )2 = 4 − x fof ( x) =

x =4

x

gog ( x) = 4 − (4 − x2 )2 = 4 − (16 − 8 x2 + x4 ) = −4 + 8 x2 − x4

www.fanavari-it.ir


٧

‫ ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ‬:‫ﻓﺼﻞ دوم‬ . f ( x) =

f + g( x ) = f ( x ) + g( x ) = x +1 x2 + x f 1 x − = ( x) = 1 x −1 g x gof ( x ) = f ( g ( x )) =

x +1 1 , g ( x) = (‫ج‬ x −1 x

x+1 1 + x−1 x

x−1 1 = x+1 x+1 x −1

1 +1 x +1 x fog( x ) = = 1 1− x −1 x

x +1 x+2 +1 x+2 fof ( x ) = x − 1 = x − 1 = 2 x +1 2 −1 x −1 x −1 1 gog ( x ) = = x 1 x . f ( x) = x2

1 f + g ( x) = x2 + 1 1x gof ( x ) = = 2 f x 2 ( x) = x = x21x1x gfof ( x) = (1x2 )2 = x4 x 1 1 gog ( x) = = 1= 4 x 1 fog ( x) = f ( g1(n)) = 1( )2 = x 4 xx x

www.fanavari-it.ir

,

g ( x) =

1 (‫د‬ x


(١) ‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ‬

٨

.‫ را ﺑﯿﺎﺑﯿﺪ‬f − g ‫ و‬fg ‫( در ﻫﺮ ﻣﻮرد‬7  x2 f( x) =  4

x<o , x≥o

x g( x ) =  4

x<o (‫اﻟﻒ‬ x≥o

:‫ﺣﻞ‬  x3 fg ( x) =  16

 x2 − x f − g ( x) =  o

x<o x≥o

x f ( x) =  4

 x2  g ( x) = − x 4x 

x<o , x≥o

2

 x2  :‫ دارﯾﻢ‬،‫ ﻣﯽﻧﻮﯾﺴﯿﻢ‬f ( x) = 4 4   x4  fg( x ) = − 4 x 16 x 

1< x

x<o o≤x 1< x x<o x≥o

o

www.fanavari-it.ir

o ≤ x < 1 (‫ب‬

o ≤ x ≤ 1 ‫ را ﺑﻪ ﺻﻮرت‬f (x) ‫ اﺑﺘﺪا‬:‫ﺣﻞ‬ 1< x

 x2 − x

x f ( x) =  4

x<o

x<o

‫ و‬f − g ( x) =  2

x<o x≥o

x<o , x≥o

 x2  g ( x) = − x 4x 

x<o o ≤ x<1 1< x

(‫ب‬


‫‪٩‬‬

‫ﻓﺼﻞ دوم‪ :‬ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ‬ ‫‪ x2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ f ( x) = 4‬ﻣﯽﻧﻮﯾﺴﯿﻢ‪ ،‬دارﯾﻢ‪:‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪‬‬

‫‪x<o‬‬ ‫ﺣﻞ‪ :‬اﺑﺘﺪا )‪ f (x‬را ﺑﻪ ﺻﻮرت ‪o ≤ x ≤ 1‬‬

‫‪1< x‬‬

‫‪x<o‬‬ ‫‪o ≤ x<1‬‬ ‫‪1< X‬‬

‫‪ x4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪fg( x ) = − 4 x‬‬ ‫‪16 x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪{S‬‬

‫ج(‬ ‫‪x < −1‬‬ ‫‪−1 ≤ x < 2‬‬ ‫‪2< x‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪g ( x ) =  x2 + 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ x+2‬‬ ‫‪‬‬

‫‪x<o‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪x≥1‬‬

‫‪x − 1‬‬ ‫‪f( x) = ‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﺣﻞ‪ :‬داﻣﻨﻪ ﻣﺸﺘﺮك دو ﺗﺎﺑﻊ ﺑﺮاﺑﺮ )∞‪ (−∞,−1) ∪ (2,+‬اﺳﺖ ﭘﺲ دارﯾﻢ‪:‬‬ ‫‪x < −1‬‬ ‫‪x>2‬‬ ‫‪x < −1‬‬ ‫‪x>2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪x − 1 −‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪f − g( x ) = ‬‬ ‫‪4 − x + 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫) ‪ ( x2 − 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪fg( x ) =  x‬‬ ‫‪4 x + 2‬‬ ‫‪‬‬

‫‪ (8‬ﺗﻮاﺑﻊ ‪ f‬و ‪ g‬ﺑﻪ ﺻﻮرت زﯾﺮ داده ﺷﺪهاﻧﺪ‪.‬‬ ‫}{ ‪g : R −‬‬ ‫‪1 →R‬‬ ‫‪3 − 8x 3‬‬ ‫‪1− x 3‬‬

‫اوﻻً‪ :‬ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ ‪ f‬ﯾﮏ ﺑﻪ ﯾﮏ اﺳﺖ‪.‬‬

‫‪f : R − {3} → R‬‬ ‫= )‪g ( x‬‬

‫‪x+ 3‬‬ ‫‪x−3‬‬

‫‪f ( x) = 3‬‬

‫‪www.fanavari-it.ir‬‬


‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )‪(١‬‬

‫‪١٠‬‬

‫ﺣﻞ‪:‬‬ ‫‪x2 + 3‬‬ ‫‪x2 − 3‬‬

‫‪=3‬‬

‫‪x1 + 3‬‬ ‫‪x1 − 3‬‬

‫‪f ( x1) = f ( x2 ) ⇒ 3‬‬

‫‪x1 + 3 x2 + 3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪⇒ 1+‬‬ ‫‪= 1+‬‬ ‫=‬ ‫‪x1 − 3 x2 − 3‬‬ ‫‪x1 − 3‬‬ ‫‪x2 − 3‬‬

‫⇒‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪⇒ x1 − 3 = x2 − 3‬‬ ‫‪x1 − 3 x2 − 3‬‬

‫⇒‬

‫‪⇒ x1 = x2‬‬

‫ﭘﺲ ‪ f‬ﯾﮏ ﺑﻪ ﯾﮏ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﺛﺎﻧﯿﺎً آﯾﺎ ‪ f‬و ‪ g‬وارون ﯾﮑﺪﯾﮕﺮﻧﺪ‪.‬‬ ‫ﺣﻞ‪ :‬ﺑﺎﯾﺪ ‪ D f = Rg‬و ‪ D g = R f‬ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬ ‫‪x+ 3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪= 1+‬‬ ‫‪x− 3‬‬ ‫‪x− 3‬‬

‫= ‪y3‬‬

‫⇒‬

‫‪x+ 3‬‬ ‫‪x−3‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪⇒ x−3= 3‬‬ ‫‪x− 3‬‬ ‫‪y −1‬‬

‫‪y = f ( x) = 3‬‬

‫=‪⇒ y3 − 1‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪3 y3 − 3 + 6‬‬ ‫=‬ ‫‪y3 − 1‬‬ ‫‪y3 − 1‬‬ ‫‪3x 3 + 3‬‬ ‫‪x3 − 1‬‬

‫= )‪f −1( x‬‬

‫‪⇒ x = 3+‬‬

‫‪3 y3 + 3‬‬ ‫⇒‬ ‫‪y3 − 1‬‬

‫=‪⇒ x‬‬

‫ﺑﺎ اﯾﻦ ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﻣﺸﺨﺺ اﺳﺖ ﮐﻪ )‪ g ( x) ≠ f −1( x‬اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪ (9‬ﮐﺪام ﯾﮏ از ﺗﻮاﺑﻊ زﯾﺮ ﯾﮏ ﺑﻪ ﯾﮏ و ﭘﻮﺷﺎ اﺳﺖ؟‬ ‫‪x +1‬‬ ‫‪(1‬‬ ‫‪x‬‬

‫= )‪f ( x‬‬

‫‪www.fanavari-it.ir‬‬


‫ﻓﺼﻞ دوم‪ :‬ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ‬

‫ﺣﻞ( اﯾﻦ ﺗﺎﺑﻊ ﺑﻪ ﺻﻮرت‬

‫‪١١‬‬

‫‪x+1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ f ( x ) =  x‬اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪− x + 1‬‬ ‫‪ x‬‬

‫‪x>o‬‬

‫ﻫﺮ ﺟﺰء اﯾﻦ ﺗﺎﺑﻊ ﯾﮏ ﺑﻪ ﯾﮏ و ﭘﻮﺷﺎﺳﺖ‪ ،‬ﭼﻮن ﺗﺎﺑﻊ ﻫﻤﻮﮔﺮاﻓﯿﮏ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪f ( x) = x + 1 (2‬‬

‫‪f : R+ → R‬‬

‫‪,‬‬

‫ﺣﻞ‪ :‬اﯾﻦ ﺗﺎﺑﻪ ﺑﻪ ﺻﻮرت ‪ f ( x) = x + 1‬اﺳﺖ ﮐﻪ ﯾﮏ ﺑﻪ ﯾﮏ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫وﻟﯽ ﭘﻮﺷﺎ ﻧﯿﺴﺖ ﭼﻮن ‪ R f = (1,+∞) ≠ R‬اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪x + 2 (3‬‬

‫‪f ( x) = 3‬‬

‫‪f :R→ R‬‬

‫‪,‬‬

‫ﺣﻞ‪ :‬اﯾﻦ ﺗﺎﺑﻊ ﯾﮏ ﺑﻪ ﯾﮏ اﺳﺖ ﭼﻮن‪:‬‬ ‫) ‪f ( x1 ) = f ( x2‬‬ ‫‪x1 = 3 x2‬‬ ‫‪= x2‬‬

‫‪3‬‬

‫⇒‬

‫‪⇒ x1‬‬

‫‪x1 + 2 = 3‬‬

‫‪x2 + 2‬‬

‫‪3‬‬

‫⇒‬

‫اﯾﻦ ﺗﺎﺑﻊ ﭘﻮﺷﺎ ﻧﯿﺰ اﺳﺖ ﭼﻮن‪:‬‬ ‫‪x = ( y − 2 )3‬‬ ‫‪Rf = R‬‬ ‫‪2x + 1‬‬ ‫‪(4‬‬ ‫‪x −1‬‬

‫= )‪f ( x‬‬

‫‪ax + b‬‬ ‫ﺣﻞ‪ :‬ﺗﺎﺑﻊ ﺑﻪ ﺻﻮرت‬ ‫‪cx + d‬‬

‫‪,‬‬

‫⇒ ‪x‬‬ ‫⇒‬

‫‪3‬‬

‫= ‪y−2‬‬

‫⇒‬

‫‪x +2‬‬

‫‪y =3‬‬

‫}{ ‪f : R −‬‬ ‫‪1 →R‬‬

‫= ) ‪ f ( x‬روي داﻣﻨﻪاش ﺣﺘﻤﺎً ﯾﮏ ﺑﻪ ﯾﮏ اﺳﺖ‪.‬‬

‫اﯾﻦ ﺗﺎﺑﻊ ﭘﻮﺷﺎ ﻧﯿﺴﺖ‪ .‬ﭼﻮن‪:‬‬

‫‪www.fanavari-it.ir‬‬


‫‪١٢‬‬

‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )‪(١‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2x + 1 2x − 2 + 3‬‬ ‫=‬ ‫‪= 2+‬‬ ‫‪x −1‬‬ ‫‪x −1‬‬ ‫‪x −1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫⇒‬ ‫= ‪= y − 2 ⇒ x −1‬‬ ‫‪x −1‬‬ ‫‪y −2‬‬ ‫‪y +1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪⇒ x = 1+‬‬ ‫=‬ ‫‪y−2 y−2‬‬ ‫‪R f = R − {2}≠ R.‬‬ ‫=‪y‬‬

‫}{ ‪ f : R −‬ﺑﺎ ﺿﺎﺑﻄﻪ زﯾﺮ داده ﺷﺪه اﺳﺖ‪:‬‬ ‫‪ (10‬ﺗﺎﺑﻊ } ‪1 → R − {a‬‬

‫‪2x − 1‬‬ ‫‪x −1‬‬

‫= )‪f ( x‬‬

‫اوﻻً‪ :‬ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ ‪ f‬ﯾﮏ ﺑﻪ ﯾﮏ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﺣﻞ‪:‬‬ ‫‪2x − 2 + 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪=2+‬‬ ‫‪x −1‬‬ ‫‪x1 − 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪= 2+‬‬ ‫‪x1 − 1‬‬ ‫‪x2 − 1‬‬ ‫‪x1 − 1 = x2 − 1‬‬

‫⇒‬

‫‪x1 = x2‬‬

‫⇒‬

‫= )‪f ( x‬‬

‫‪f ( x) = f ( x2 ) ⇒ 2+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪x1 − 1 x2 − 1‬‬

‫⇒‬

‫ﭘﺲ ‪ f‬ﯾﮏ ﺑﻪ ﯾﮏ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﺛﺎﻧﯿﺎً ‪ a‬را ﻃﻮري ﺑﯿﺎﺑﯿﺪ ﮐﻪ ‪ f‬ﭘﻮﺷﺎ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬ ‫ﺣﻞ‪ :‬ﺑﺎﯾﺪ } ‪ R f = R − {a‬را در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﯿﺮﯾﻢ‪ .‬اﺑﺘﺪا ‪ R f‬را ﺑﻪ ﺻﻮرت زﯾﺮ ﻣﯽﯾﺎﺑﯿﻢ‪:‬‬ ‫‪2x − 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪= 2+‬‬ ‫⇒‬ ‫‪= y −2‬‬ ‫‪x −1‬‬ ‫‪x −1‬‬ ‫‪x −1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‪⇒ x − 1‬‬ ‫‪⇒ x = 1+‬‬ ‫‪y −2‬‬ ‫‪y−2‬‬ ‫}‪⇒ R f = R − {2‬‬ ‫‪⇒ a =2‬‬ ‫=‪y‬‬

‫‪www.fanavari-it.ir‬‬


‫‪١٣‬‬

‫ﻓﺼﻞ دوم‪ :‬ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ‬

‫‪ (11‬وارون ﺗﻮاﺑﻊ زﯾﺮ را در ﺻﻮرت وﺟﻮد ﺑﻪ دﺳﺖ آورﯾﺪ‪:‬‬ ‫اﻟﻒ(‬

‫‪3x + 2‬‬ ‫‪x −1‬‬

‫= )‪f ( x‬‬

‫ﺣﻞ‪ :‬اﯾﻦ ﺗﺎﺑﻊ ﯾﮏ ﺑﻪ ﯾﮏ اﺳﺖ‪ .‬ﭘﺲ وارون دارد و دارﯾﻢ‪:‬‬ ‫‪3x + 2‬‬ ‫‪⇒ yx − y = 3x + 2 ⇒ x( y − 3) = y + 2‬‬ ‫‪x −1‬‬ ‫‪x+2‬‬ ‫‪y+2‬‬ ‫= )‪⇒ f −1( x‬‬ ‫=‪⇒ x‬‬ ‫‪x− 3‬‬ ���‪y− 3‬‬

‫=‪y‬‬

‫ب( ‪. f ( x ) = x − 4‬‬

‫ﺣﻞ‪ :‬اﯾﻦ ﺗﺎﺑﻊ ﯾﮏ ﺑﻪ ﯾﮏ و در ﻧﺘﯿﺠﻪ وارونﭘﺬﯾﺮ اﺳﺖ و دارﯾﻢ‪:‬‬ ‫‪y = x − 4 ⇒ x − 4 = y2 ⇒ x = y2 + 4‬‬ ‫‪⇒ f −1( x) = x2 + 4‬‬ ‫‪x>1‬‬

‫ج(‬

‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪f ( x ) =  x2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪27 x‬‬

‫‪1≤ x ≤ 9‬‬ ‫‪9< x‬‬

‫ﺣﻞ( ﭼﻮن ﻫﺮ ﺿﺎﺑﻄﻪ ﯾﮏ ﺑﻪ ﯾﮏ اﺳﺖ‪ ،‬ﺗﺎﺑﻊ ﯾﮏ ﺑﻪ ﯾﮏ و وارونﭘﺬﯾﺮ اﺳﺖ‪:‬‬ ‫‪x>1‬‬

‫‪−1‬‬

‫‪−1‬‬

‫‪⇒ f1 ( x ) = x‬‬

‫‪f2 ( x ) = x 1 ≤ x ≤ 81‬‬ ‫‪x〉 81‬‬

‫‪x2‬‬ ‫‪( 27 )2‬‬

‫⇒‬ ‫‪−1‬‬

‫= ) ‪f3 ( x‬‬ ‫‪x>1‬‬

‫‪1 ≤ x ≤ 81‬‬ ‫‪x > 81‬‬

‫‪f1 ( x ) = x , x > 1‬‬

‫‪, 1≤ x ≤ 9‬‬ ‫⇒‬

‫‪f2 ( x ) = x 2‬‬

‫‪f 3 ( x ) = 27 x x〉 9‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪⇒ f −1 ( x ) =  x‬‬ ‫‪ x‬‬ ‫‪( )2‬‬ ‫‪ 27‬‬

‫‪www.fanavari-it.ir‬‬


‫ﻓﺼﻞ دوم‬ ‫ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ‬

‫‪www.fanavari-it.ir‬‬


‫‪٢‬‬

‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )‪(١‬‬

‫‪ .1‬ﻫﻤﺴﺎﯾﮕﯽﻫﺎي زﯾﺮ را ﺑﻪ ﺻﻮرت ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﺑﻨﻮﯾﺴﯿﺪ‪ .‬ﭘـﺲ آﻧﻬـﺎ را روي ﯾـﮏ ﺧـﻂ ﻧﺸـﺎن‬ ‫دﻫﯿﺪ‪.‬‬ ‫‪‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪) N (1, ) =  x x − 1 < ‬اﻟﻒ‬ ‫‪‬‬

‫{‬ ‫}‬ ‫}‪N ′(1, 3 ) = {x x − 1 ≤ 3‬‬ ‫}‪N ′(1,5) = {x x − 1 ≤ 5‬‬

‫‪N (o ,3 ) = x x < 3‬‬

‫)ب‬ ‫)ج‬ ‫)د‬

‫‪ (2‬ﻣﺠﻤﻮﻋﮥ }‪ A = {x ∈ 2 x + 3 < 1‬ﯾﮏ ﻫﻤﺴﺎﯾﮕﯽ ﻣﺘﻘﺎرن ‪ a‬ﺑﻪ ﺷﻌﺎع ‪ r‬اﺳـﺖ‪ a .‬و ‪ r‬را‬ ‫ﺗﻌﯿﯿﻦ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬ ‫ﺣﻞ‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪= 2 x − (− ) < 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2x + 3 = 2 x +‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ‪⇒ x − (− ) < ⇒ a = − , r‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﻣﺠﻤﻮﻋﮥ }‪ A = {x ∈ R 13 x − 1 < 1x + 1‬ﯾﮏ ﻫﻤﺴـﺎﯾﮕﯽ ﻣﺘﻘـﺎرن ﺑـﻪ ﻣﺮﮐـﺰ ‪ a‬و ﺑـﻪ‬ ‫ﺷﻌﺎع ‪ r‬اﺳﺖ‪ a .‬و ‪ r‬را ﺗﻌﯿﯿﻦ ﮐﻨﯿﺪ‪:‬‬ ‫ﺣﻞ‪:‬‬ ‫‪<1‬‬

‫‪3x − 1‬‬ ‫‪x +1‬‬

‫‪3x −1‬‬ ‫‪<1‬‬ ‫‪x +1‬‬

‫< ‪−1‬‬

‫⇒‬

‫‪3x − 1 < x + 1‬‬

‫⇒‬

‫‪3x − 1‬‬ ‫‪<1‬‬ ‫‪x +1‬‬

‫⇒‬

‫‪www.fanavari-it.ir‬‬


‫ﻓﺼﻞ دوم‪ :‬ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ‬ ‫‪4‬‬ ‫‪<1‬‬ ‫‪x +1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1− x‬‬ ‫<‪1‬‬ ‫<‪⇒ o‬‬ ‫‪x+1‬‬ ‫‪x +1‬‬ ‫‪3−‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪<1‬‬ ‫‪x +1‬‬

‫⇒‬

‫‪−4‬‬ ‫‪<1‬‬ ‫‪x +1‬‬

‫⇒‬

‫‪٣‬‬ ‫‪⇒ −1< 3‬‬

‫‪4‬‬ ‫⇒‬ ‫‪x +1‬‬ ‫‪⇒ −1< x < 1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪−4‬‬ ‫‪−1< 3 −‬‬ ‫<‪−4‬‬ ‫‪x +1‬‬ ‫‪x +1‬‬ ‫<‪⇒ 2‬‬

‫‪−x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫⇒ ‪−1 < o‬‬ ‫‪<o ⇒ −1< x < o‬‬ ‫‪x +1‬‬ ‫‪x +1‬‬

‫⇒‬

‫)‪(−1 , 1) U (−1 , o) = (−1 , 1‬‬ ‫‪r =1‬‬

‫‪,‬‬

‫‪a =o‬‬

‫=ﺟﻮاب‬

‫اﮔﺮ )‪ (2a − 4 , a + 2‬ﯾﮏ ﻫﻤﺴﺎﯾﮕﯽ ﻣﺘﻘﺎرن ‪ 5‬ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﺷﻌﺎع ﻫﻤﺴﺎﯾﮕﯽ را ﺗﻌﯿﯿﻦ ﮐﻨﯿﺪ‪:‬‬ ‫ﺣﻞ‪:‬‬ ‫)‪N (5 , 7) = (2a − 4 , a + 2‬‬ ‫)‪⇒ (5 − 7 , 5 + r ) = (2a − 4 , a + 2‬‬ ‫‪5 − r = 2a − 4‬‬ ‫‪⇒ 10 = 3a − 2 ⇒ a = 4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5 + r = a + 2‬‬ ‫‪r =1‬‬

‫}‬

‫‪ (5‬ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ‪2x + 3 < 6‬‬

‫⇒‬

‫‪ A = { x ∈ R‬ﯾﮏ ﻫﻤﺴﺎﯾﮕﯽ ‪ a‬ﺑﻪ ﺷﻌﺎع ‪ 4‬اﺳﺖ‪.‬‬

‫‪ a‬و ‪ r‬را ﺗﻌﯿﯿﻦ ﮐﻨﯿﺪ‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪<3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪a =− , r =3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x+‬‬

‫⇒‬

‫‪3‬‬ ‫‪<6‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2x + 3 < 6 ⇒ 2 x +‬‬

‫⇒‬

‫‪www.fanavari-it.ir‬‬


‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )‪(١‬‬

‫‪٤‬‬

‫ﺗﻤﺮﯾﻦ‪ 6-2-2 .‬ﺻﻔﺤﮥ ‪63‬‬ ‫ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﺗﻌﺮﯾﻒ ﺣﺪ ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ‪:‬‬ ‫‪5x + 4 − 9 = 5 x − 1 < 4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ε‬‬ ‫ﭘﺲ ﻗﺮار ﻣﯽدﻫﯿﻢ‬ ‫‪5‬‬

‫‪1) lim (5 x + 4) = 9‬‬ ‫‪x →1‬‬

‫< ‪⇒ x −1‬‬

‫≤‪δ‬‬ ‫‪lim ( 3 x + 2) = − 4‬‬

‫‪x → −2‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ε‬‬ ‫ﻗﺮار ﻣﯽدﻫﯿﻢ‬ ‫‪3‬‬

‫)‪2‬‬

‫< ‪3x + 2 + 4 = 3 x + 2 < 4 ⇒ x + 2‬‬

‫≤‪δ‬‬ ‫‪3 ) lim x2 = 4‬‬ ‫‪x→2‬‬

‫‪x2 − 4 = x + 2 x − 2‬‬

‫ﻣﺎﮐﺰﯾﻤﻢ ‪ x + 2‬را در ﻫﻤﺴﺎﯾﮕﯽ ‪ − 1 < x − 2 < 1‬ﺑﻪ دﺳﺖ ﻣﯽآورﯾﻢ‪.‬‬ ‫‪max( x + 2) = 5‬‬

‫⇒‬

‫‪1< x < 3‬‬

‫⇒ ‪−1 < x − 2 < 1‬‬ ‫‪⇒ x2 − 4 ≤ 5 x − 2 < 4‬‬

‫‪ε‬‬ ‫ﮐﺎﻓﯽ اﺳﺖ ‪ δ ≤ min 1, ‬را در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﯿﺮﯾﻢ‪.‬‬ ‫‪ 5‬‬

‫‪x2 − 4 = x − 2 x + 2‬‬

‫ﻣﺎﮐﺰﯾﻤﻢ ‪ x − 2‬را در ﻫﻤﺴﺎﯾﮕﯽ زﯾﺮ ﻣﯽﯾﺎﺑﯿﻢ‪.‬‬

‫‪lim x2 = 4‬‬

‫‪x → −2‬‬

‫)‪4‬‬

‫‪www.fanavari-it.ir‬‬


‫ﻓﺼﻞ دوم‪ :‬ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ‬ ‫‪−3 < x < −1 ⇒ max x − 2 = 3‬‬

‫‪٥‬‬

‫⇒ ‪−1 < x + 2 < 1‬‬

‫‪ε‬‬ ‫ﮐﺎﻓﯽ اﺳﺖ ‪ δ ≤ min 1, ‬را در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﯿﺮﯾﻢ‪.‬‬ ‫‪ 3‬‬

‫‪3x +1 4‬‬ ‫=‬ ‫‪x+2 3‬‬ ‫‪3x + 1 4‬‬ ‫‪9x + 3 − 4x − 8 5 x − 1‬‬ ‫=‬ ‫== ‪−‬‬ ‫‪x+2 3‬‬ ‫‪x+2‬‬ ‫‪x+2‬‬

‫‪5) lim‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫=‬ ‫‪x+2 2‬‬

‫‪max‬‬

‫⇒‬

‫⇒‬

‫‪o< x<2‬‬

‫‪−1 < x −1 < 1‬‬

‫‪ε‬‬ ‫ﮐﺎﻓﯽ اﺳﺖ ‪ δ ≤ min 1, ‬را در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﯿﺮﯾﻢ‪.‬‬ ‫‪ 5‬‬

‫‪x2 + 2‬‬ ‫‪=3‬‬ ‫‪4) lim‬‬ ‫‪x →2 5 x − 8‬‬ ‫‪x − 13 x − 2‬‬ ‫‪x2 + 2‬‬ ‫‪x2 + 2 − 15 x + 24‬‬ ‫= ‪−3‬‬ ‫=‬ ‫‪5x − 8‬‬ ‫‪5x − 8‬‬ ‫‪5x − 8‬‬

‫‪x − 13‬‬ ‫ﻣﺎﮐﺰﯾﻤﻢ‬ ‫‪5x − 8‬‬

‫‪−1 < x − 2 < 1 1 < x < 3‬‬

‫روي اﯾﻦ ﺑﺎزه ﺑﻪ ﻋﻠﺖ ﺻﻌﻮدي ﺑﻮدن ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ‪:‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪7‬‬

‫=‬

‫‪−10‬‬ ‫‪3 − 13‬‬ ‫=‬ ‫‪15 − 8‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪ε‬‬ ‫ﭘﺲ ﮐﺎﻓﯽ اﺳﺖ‪ δ ≤ min 1,  .‬در ﻧﻈﺮ ﮔﺮﻓﺘﻪ ﺷﻮد‪.‬‬ ‫‪ 10‬‬

‫‪www.fanavari-it.ir‬‬


(١) ‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ‬

٦

x2 − 3 7) lim 2 =1 x →2 x − 3 x + 3 x2 − 3 x2 − 3 − x2 + 3 x − 3 3 = 2 x−2 = 2 2 x − 3x+ 3 x − 3x+ 3 x − 3x+ 3 −1 < x − 2 < 1

⇒1< x < 3

:‫ درﯾﺎﻓﺖ ﻣﯽﮐﻨﺪ ﭘﺲ‬x = max

3 ‫ ﻣﯽﺑﯿﻨﯿﻢ ﺧﻮد را در‬x2 − 3x + 3 ‫ﺗﺎﺑﻊ‬ 2

3 3 3 3 = = = =4 3 3 9 18 3 x − 3x+ 3 ( )2 − 3( ) + 3 − +3 2 2 4 4 4 ε .‫ در ﻧﻈﺮ ﮔﺮﻓﺘﻪ ﺷﻮد‬δ ≤ min 1,  ‫ﭘﺲ ﮐﺎﻓﯽ اﺳﺖ‬  4 2

1 lim x  = 1 x→o  x 1 1 1 1 ⇒ 1 − x〈 x  ≤ 1 ⇒ − 1<   ≤ x  x  x x

8)

1 x < o ⇒ − x < x  − 1 ≤ o  x

1 1 x〈 o ⇒ 1 ≤ x  < 1 − x ⇒ x  − 1 < − x ⇒  x  x

1 x  − 1 < x  x .‫ ﺑﺎﺷﺪ ﻣﺴﺄﻟﻪ ﺣﻞ اﺳﺖ‬δ ≤ ε ‫اﮔﺮ‬

x2 − 9 =o x→ 3 x2 + 3 [x] x+ 3 ( x − 3)( x + 3) (−1) = 2 x− 3 2 x +3 x +3

9) lim (−1)[ x]

−1 < x − 3 < 1 ⇒

2< x<4

7  x+ 3  =1 max  2 = x + 3 4 + 3

www.fanavari-it.ir

.‫ در ﻧﻈﺮ ﮔﺮﻓﺘﻪ ﺷﻮد‬δ ≤ min {1, ε } ‫ﭘﺲ ﮐﺎﻓﯽ اﺳﺖ‬


٧

‫ ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ‬:‫ﻓﺼﻞ دوم‬ 10) lim ( x2 − 10x) = −21 x→ 3

2

x − 10x + 21 = x − 7 x − 3 − 1〈 x − 3〈1

2〈 x〈 4

⇒ max x − 7 = 4 − 7 = 3

ε .‫ در ﻧﻈﺮ ﮔﺮﻓﺘﻪ ﺷﻮد‬δ ≤ min 1,  ‫ﮐﺎﻓﯽ اﺳﺖ‬  3

x2 − 2 =7 x→4 x − 2 x−4 x− 3 x2 − 2 x2 − 2 − 7 x + 14 = −7 = x−2 x−2 x−2

11) lim

−1 < x − 4 < 1 ⇒ max

3 < x<5

5−3 2 x− 3 = = 5−2 3 x−2

 3  δ ≤ min 1, ε  ‫ﭘﺲ ﻗﺮار ﻣﯽدﻫﯿﻢ‬  2 

4x −1 3 = x →1 5 x − 3 2 4x −1 3 8 x − 2 − 15 x + 9 7 − = = x−1 5x − 3 2 5x − 3 5x − 3

12) lim

−1 < x −1 < 1 ⇒ o< x<2 7 7 7 max = − 5x − 3 o −3 3

13)

www.fanavari-it.ir

lim (−1)[ x] x→ 2

(−1)[ x]

x2 − 4 =o x+2

x2 − 4 − o = x−2 x+2

3 7 

.‫ را در ﻧﻈﺮ ﻣﯽﮔﯿﺮﯾﻢ‬δ ≤ min 1 , ε  ‫ﭘﺲ‬


‫‪٨‬‬

‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )‪(١‬‬

‫ﮐﺎﻓﯽ اﺳﺖ ‪ δ = ε‬در ﻧﻈﺮ ﮔﺮﻓﺘﻪ ﺷﻮد‪.‬‬ ‫‪x−3 1‬‬ ‫=‬ ‫‪x−9‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3− x‬‬ ‫=‬ ‫‪6‬‬ ‫‪x+3‬‬

‫‪−‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪x+3‬‬

‫=‬

‫‪lim‬‬

‫‪x→ 9‬‬

‫)‪14‬‬

‫‪x−3 1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪x−9‬‬ ‫‪x−9‬‬

‫=‬

‫‪( x + 3)2‬‬ ‫⇒ ‪−1 < x − 9 < 1‬‬ ‫‪8 < x < 10‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪max‬‬ ‫‪( x + 3)2‬‬ ‫‪( 8 + 10)2‬‬

‫ﮐﺎﻓﯽ اﺳﺖ } ‪ δ ≤ min {1 , ( 8 + 10) 2 ε‬در ﻧﻈﺮ ﮔﺮﻓﺘﻪ ﺷﻮد‪.‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪=2‬‬ ‫‪x→ 4 x − 3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 − 2x + 6 2 x − 4‬‬ ‫= ‪−2‬‬ ‫=‬ ‫‪x− 3‬‬ ‫‪x− 3‬‬ ‫‪x− 3‬‬

‫‪15) lim‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪9‬‬ ‫→ < ‪− < x−4‬‬ ‫<‪< x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪Max‬‬ ‫=‬ ‫‪=4‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪x− 3‬‬ ‫‪−3‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪www.fanavari-it.ir‬‬


٩

‫ ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ‬:‫ﻓﺼﻞ دوم‬

2x + 1 =3 x→1 2 x − 1 2x + 1 2x + 1 − 6 x + 3 4 x−1 −3 = = 2x − 1 2x − 1 2x − 1

1  δ ≤ min  , ε  ‫ﭘﺲ‬ 2 

16) lim

1 1 < x −1 < 4 4 4 ⇒ max = 2x − 1 −

3 5 < x< 4 4 4 4 = =8 1 3 2( ) − 1 2 4 ⇒

ε 1 δ ≤ min  ,  ‫ﭘﺲ‬ 8 4 x =2 x →6 x − 3 x x − 2x + 6 −2 = = x− 3 x− 3

17) lim

x−6

x− 3

−1 < x − 6 < 1 ⇒ 5< x< 7 1 1 1 max ⇒ = = x− 3 5−3 2

www.fanavari-it.ir


(١) ‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ‬

١٠

δ ≤ min {1, 2ε } ‫ﭘﺲ‬ 1 = −1 x+ 3 x+4 1 x+4 +1 = = x+ 3 x+ 3 x+ 3

18) lim

x→ −4

1 9 7 1 − 〈 x + 4〈 ⇒ − 〈 x〈− 2 2 2 2 1 1 2 = = max 9 3 x+ 3 − +3 2

19) lim x→1

1

5− x =

1 3  δ ≤ min  , ε  ‫ﭘﺲ‬ 2 2 

1 1 = 5−x 2

1 2

=

x −1

2− 5− x 5− x

=

(2 − 5 − x )(2 + 5 − x ) 2 5 − x (2 + 5 − x )

2 5 − x (2 + 5 − x ) o< x<2 −1 < x −1 < 1 ⇒ 1 1 max = 2 5 − x (2 + 5 − x ) 2 5 − 2 (2 + 5 − 2 )

{

δ ≤ min 1 , (2 3 (2 + 3 ))ε ) ‫ﭘﺲ‬ x2 − 16 = −8 x → −4 x + 4 x2 − 16 x2 − 16 + 8 x + 32 ( x + 4) 2 +8 = = x+ 4 x+ 4 x+4

20) lim

= x+4

www.fanavari-it.ir


١١

‫ ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ‬:‫ﻓﺼﻞ دوم‬

. δ = ε ‫ﮐﺎﻓﯽ اﺳﺖ‬ .80 ‫ ﺻﻔﺤﻪ‬29-3-2 ‫ﺗﻤﺮﯾﻦ‬ .‫ﺣﺪﻫﺎي زﯾﺮ را ﺣﺴﺎب ﮐﻨﯿﺪ‬ 1) lim x→1

x2 − 1 ( x − 1)( x + 1) x+1 2 = = lim = lim 2 ( x − 1)( x + 4) x+ 4 5 x + 3x − 4

x+ x+2 ( x2 − x − 2) ( x + 1)( x − 2) = lim = lim x → −1 x+1 ( x + 1)( x − x + 2 ) ( x + 1)( x − x + 2 )

2) lim

= lim

3 ) lim x →4

−1− 2 −3 3 x−2 = = = x − x + 2 −1− −1+ 2 − 2 2

x −2 x −2 x −2 = lim = lim ( x + 1)( x − 4) x − 3x − 4 ( x + 1)( x − 2)( x + 2) 1 1 1 = lim = = ( x + 1)( x + 2) 5 × 4 20 2

x2 − 9 x − 10 ( x − 10)( x + 1) x − 10 − 11 = lim = lim = 2 x → −1 x + 3 x + 2 ( x + 2)( x + 1) x+2 1

4) lim

5) lim x→1

www.fanavari-it.ir

x2 + 19 x − 20 ( x − 1)( x + 20) x + 20 21 = = lim = lim 2 x −1 ( x − 1)( x + 1) x +1 2


(١) ‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ‬

6)

١٢

( x − 9 )( x + 9 ) ( x − 3 )( 3 + 3 )( x + 9) x2 − 81 = lim = lim x→ 9 x − 3 x−3 x−3 lim

= lim ( x + 3 )( x + 9 ) = 108 {

7) lim

x→ 3

x − 2 −1 ( x − 2 − 1)( x − 2 ) + 1) x− 3 = lim = lim x − x−6 ( x + 2)( x − 3)( x − 2 + 1) ( x + 2)( x − 3 )( x − 2 + 1) 1 1 1 = lim = = x→ 3 ( x + 2)( x − 2 + 1) 5 × 2 10 2

( x + 2)( x2 − x + 2) x 3 + x2 + 4 lim = x→ −2 ( xo − 2)( x + 2) x2 − 4

8) lim

x2 − x + 2 8 = lim = = −2 x→ −2 x−2 −4

9) lim x→1

www.fanavari-it.ir

3 x2 − 2 x − 1 3x +1 ( 3 x + 1)( x − 1) = lim = lim =2 2 1 x → ( x − 1)( x + 1) x+1 x −1


١٣

‫ ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ‬:‫ﻓﺼﻞ دوم‬

x20 − 4 x + 3 x20 − x − 3 x + 3 = lim x→1 x15 − 5 x + 4 x15 − x − 4 x + 4 ( x − 1)( x( x18 + x17 + ... + x + 1 − 3) x( x19 − 1) − 3 ( x − 1) = lim = lim ( x − 1)( x( x13 + x12 + ... + x + 1 − 4) x( x14 − 1) − 4( x − 1) 19 − 3 16 8 = = = 14 − 4 10 5

10) lim

11) lim x→1

x4 + x 3 − x − 1 x4 − 1 + x( x2 − 1) = lim x 3 + 3 x2 − x − 3 x→1 x( x2 − 1) + 3 ( x2 − 1) ( x2 − 1)( x2 + 1 + x) 3 = x→1 ( x2 − 1)( x + 3 ) 4

= lim

1− x − x +1 − 2x −2 = lim = = −1 x 2 x( 1 − x + 1 + x

12) lim x→o

13) lim

x→o 3

14) lim x→o

3

2 x( 1+ x − 1− x = lim 1+ x −3 1− x

3

(1 + x) 2 + 3 1 − x2 + 3

2 x( 1 + x + 1 − x )

(1 − x) 2

=

3 2

2 x +1 −1 x( x + 1 + 1) = lim = 3 2 3 x + 1 − 1 x→o x( ( x + 1) + x + 1 + 1) 3

106 ‫ﺗﻤﺮﯾﻦ ﺻﻔﺤﻪ‬ .‫ﺣﺪ ﻫﺮ ﯾﮏ از ﺗﻮاﺑﻊ زﯾﺮ را ﺑﯿﺎﺑﯿﺪ‬

www.fanavari-it.ir


(١) ‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ‬

١٤

1) lim [x] x→ 3

lim [ x] = 3

x→ 3+

lim [ x] = 2

⇒ .‫ﺗﺎﺑﻊ ﺣﺪ ﻧﺪارد‬

x→ 3−

2) lim [2 x + 1] x→1

lim+ [2 x + 1] = 3 x→1

lim− [2x + 1] = 2 x→1

3 ) lim [3 − 2 x] = 3 + lim [− 2 x] x→1

4) lim x →5

x→1

x−5

5− x

⇒ .‫ﺣﺪ ﻧﺪارد‬

⇒ .‫ﺣﺪ ﻧﺪارد‬

(−1) [ x] (−1)1 − 1 = = =1 x→1 x − 2 1− 2 −1 (−1) [ x ] (−1) o 1 6) lim− = = = −1 x→1 x−2 1− 2 − 2 5) lim+

7) lim− x→2

8) lim

www.fanavari-it.ir

x− 2− x −2 x−2

= lim− x→2

x − (2 − x) − 2 2x − 4 = lim =2 x−2 x−2

sin x sin x 2x 1 1 1 = lim × × = 1× 1× = sin 2 x x sin 2 x 2 2 2

⇒ .‫ﺗﺎﺑﻊ ﺣﺪ ﻧﺪارد‬


١٥

‫ ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ‬:‫ﻓﺼﻞ دوم‬ sin( x2 − 1) sin( x2 − 1) =2 = lim ( x + 1) x→1 x→1 x −1 x2 − 1

9) lim

( x − 2)2 sin 10) 10) lim x→2

11)

lim( x − [ x]) x→2

lim

12)

3

x→o

4x[ x] 2x + x

1 =o x−2

⇒ .‫ﺣﺪ وﺟﻮد ﻧﺪارد‬ lim+

x →o

lim−

x→o

12) lim

x→o

lim−

x→o

sin x x sin x x

14) lim

www.fanavari-it.ir

4x [ x] 2x + x 4x [ x] 2x + x

= =

o =o 2x + x −4x = −4 2x − x

⇒ .‫ﺣﺪ ﻧﺪارد‬

sin x

x→o

lim+

(‫)ﮐﺮاﻧﺪار در ﺣﺪ ﺻﻔﺮ‬

x = lim+

sin x =1 x

= lim−

− sin x = −1 x

x→o

x→o

3 4

x( 4 ( x + 1) 3 + 4 ( x + 1) 2 + 4 ( x + 1) + 1 4 x +1 −1 = lim = 3 x + 1 − 1 x→o x( 3 ( x + 1) 2 + 3 x + 1 + 1)


(١) ‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ‬

15) lim x→o

1 − cos x 1 − cos x = lim = lim 2 2 x x (1 + cos x

cos x − 3 cos x 16) lim = lim sin 2 x = lim

3

6

sin 2 2

x 2

x 2.

1 1 = 1 + cos x 8

cos 3 x − 6 cos2 x sin 2 x

(cos x − 1) cos x (6 cos x − 1) = lim 2 2 6 sin x sin x( cos o x + ... + 6

x→o

x 2 2

1 1 − 2 sin × =− 2 sin x 6 6 sin(1 − x) sin(1 − x) 17) lim = lim ( x + 1) = −2 x→1 x→1 x −1 x −1

lim

Π x 2 ⇒ x = 1− t ⇒

18) lim (1 − x)tg x→1

1− x =

π (1 − t ) t →o 2 π = lim t cot t t →o 2 = lim t tg

= lim

π 2 t . cos t = π 2 π sin t 2

π 19) limπ tg (2 x) tg ( − x) = o × −1 = o 4 x→ 2

www.fanavari-it.ir

١٦

cos x + 1)


١٧

‫ ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ‬:‫ﻓﺼﻞ دوم‬

20) lim x→ o

2

2

( 1 + X + x) − ( 1 + x − x) = lim x→o x n

n

(1 +

x2 x2 + x) n − (1 + − x)n 2 2 x

(1 + x) n − (1 − x)n = 2n x→ o x

= lim

21) lim

x→1

x + 2 x + 2

x2 x3 1 − −1 − 2 3 = 2 =1 1 x2 x4 − −1 − 2 2 2

2 x 22) lim+ ( x  + − 2) = 2 − 2 = o x→ o  x 2

23) lim x→ o

1+ x − 1− x 2x 2 = lim = =1 x → o x x( 1 + x + 1 − x ) 2

24) lim ((−1)[ x] x →1

25) lim− x→ o

x −1 =o x

(‫)ﺗﺎﺑﻊ ﮐﺮاﻧﺪار در ﺗﺎﺑﻊ ﺑﺎ ﺣﺪ ﺻﻔﺮ ﺿﺮب ﺷﺪه‬

1 1 = = −1 [x] − 1

x− 8 ( 3 x ) 3 − 23 ( 3 x − 2)( 3 x2 + 23 x + 4) 26) lim 3 = lim = lim 3 x→ 8 x − 2 x→ 8 3 x − 2 x −2 =3

www.fanavari-it.ir

64 + 23 8 + 4 = 4 + 4 + 4 = 12


(١) ‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ‬

١٨

127 ‫ﺻﻔﺤﻪ‬ x2 − (a + 1) x + a a −1 ( x − 1)( x − a ) 27) (a ≠ 1) lim = = lim 3 3 2 2 x→a x a → x −a ( x − a )( x + ax + a ) 3 a 2 28) lim

x 3 − 1 + 3 (1 − x2 )[x − 1]

`

29) lim x→o

= lim

.‫ﺣﺪ وﺟﻮد ﻧﺪارد‬

x −1

x→1

x2 x2 ( 1 + x sin x + cos x = lim 1 + x sin x − cos x 1 + x sin x − cos x x→o 2 x2

2 sin 2

x x x + 2 x sin cos 2 2 2

x2

= lim 2

x

sin 2 x2 ( 2 + x

x 2 , cos x ) x 2

sin

x2 x2 sin 2 1 − cos x 2 = lim 2 = 1 × 30) lim = lim x→ o 1 − cos x x x 2 2 sin 2 2 sin 2 2 2

=

1

1 1 + 4 2

=

1 2 = 2 = 2 1 2 4 2 x 2 sin 1 − cos x 1 − cos x 2 .1 = o 31) lim = lim = lim 1 − cos x x x 2 2 sin 2 (1 + cos x ) 2 sin 2 2 2 2x − 2 2( x − 1) 2 = lim = 32) lim x→−2 x − 2 + [x − 2] − ( x − 2) − 1 − 1 2

2 sin 2

= −2

33) lim+ x→o

sin x sin x = lim+ x =o x x x→o

34) lim− Arcty x →1

www.fanavari-it.ir

1 1 π = lim Arcty + = lim Arcty(+∞ ) = 1− x o 2

4 3


١٩

‫ ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ‬:‫ﻓﺼﻞ دوم‬

35) lim+ Arcty x →1

1 1 π = lim Arcty − = lim Arctg (−∞) = − 1− x o 2

Arc cos(1 − x) = lim x→1 x x x x 1− −1 − − 1− x −1 1 2 37) lim = lim = lim 2 = lim 2 = − x→o x→o sin 2 x sin 2x sin 2 x sin 2 x 4

36) lim−

108 ‫ ﺗﻤﺮﯾﻦ ﺻﻔﺤﻪ‬32-4-2 lim f ( x) = o ‫ آﻧﮕﺎه‬lim f ( x) = o ‫( ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ ﮐﻪ اﮔﺮ‬1) x→a

x→a

‫ و ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﻗﻀﯿﻪ ﻓﺸﺮدﮔﯽ‬− f ( x) ≤ f ( x) ≤ f ( x) ‫ ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﻧﺎﻣﺴﺎوي‬:‫ﺣﻞ‬ lim f ( x) = o ‫ اﺳﺖ ﭘﺲ‬o = lim − f ( x) = lim | f (o) | ‫ﭼﻮن‬ x→ a

x→ a

.‫ داراي ﺣﺪ ﺑﺎﺷﺪ‬x=1 ‫ در‬f ‫ را ﻃﻮري ﺗﻌﯿﯿﻦ ﮐﻨﯿﺪ ﮐﻪ ﺗﺎﺑﻊ‬a ‫( ﻣﻘﺪار‬2 3x + 4 , x〈1 f ( x) =  x〉1 [x] − a

: ‫ﺣﻞ‬

lim f ( x) = lim ( 3 x + 4) = 7 x→1−

x→1−

lim+

f ( x) lim+ ([x] − a ) = 1 − a

1 − a = 7 a = −6

x→1

x→1

ax + b

x〈−1

x − b

x〉 − 1

‫ را ﻃﻮري ﺗﻌﯿﯿﻦ ﮐﻨﯿﺪ‬b ‫ و‬a ‫ ﻣﻘﺎدﯾﺮ‬، f ( x) = 

www.fanavari-it.ir

2

‫( ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ‬3


(١) ‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ‬

٢٠

lim f ( x) = 2 ‫ﮐﻪ‬ x→−1

(‫ﺣﻞ‬ lim+ f ( x) = lim+ ( x2 − b) = 1 − b = 2

x→−1

lim

x→−1−

x→−1

f ( x) = lim− (ax + b) = − a + b = 2 x→ −1

⇒ b = −1

a = −3

x < −3 2x − a  ‫ را ﻃــﻮري ﺗﻌﯿــﯿﻦ ﮐﻨﯿــﺪ ﮐــﻪ‬b ‫ و‬a f ( x) = ax + 2b − 3 ≤ x〈 3 :‫( ﻓــﺮض ﮐﻨﯿــﺪ‬4 b − θ x 3 < x 

.‫ ﻣﻮﺟﻮد ﺑﺎﺷﻨﺪ‬lim f ( x) ‫ و‬lim f ( x) a + b = −5 3 a + 3b = −15 ⇒ 2b = −8 ⇒ ⇒ − a + b = −3 − 2a + 2b = −6 ⇒ b = −4 a = −1  x2 + 3 , x ≤ 1  x2 F ( x) =  , g ( x) =  x + 1 , x > 1 x

, x≤1 ‫( ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ‬5 ,x>1

.‫ ﺣﺪ دارد‬x = 1 ‫ در‬f ( x) g ( x) ‫ ﺣﺪ ﻧﺪارﻧﺪ وﻟﯽ ﺗﺎﺑﻊ‬x = 1 ‫ اﯾﻦ ﺗﻮاﺑﻊ در‬،‫ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ‬ .‫ﺣﻞ‬ lim− f ( x) = lim− ( x2 + 3) = 4 x→1

x→1

lim+ f ( x) = lim+ ( x + 1) = 2

x→1

www.fanavari-it.ir

x→1

⇒ ‫ ﺣﺪ ﻧﺪارد‬f


٢١

‫ ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ‬:‫ﻓﺼﻞ دوم‬

lim g ( x) = lim− x2 = 1

x→1−

x→1

⇒ ‫ ﺣﺪ ﻧﺪارد‬g

lim+ g ( x) = lim 2 =

x→1

:‫ را در ﻧﻈﺮ ﻣﯽﮔﯿﺮﯾﻢ‬f ( x) g ( x) ‫ﺗﺎﺑﻊ‬  x2 ( x2 + 3 ) f ( x).g ( x) =  2( x + 1)

, x≤1 , x>1

lim− f ( x).g ( x) = lim x2 ( x2 + 3 ) = 4 x→1

⇒ .‫ﺗﺎﺑﻊ ﺣﺪ دارد‬

lim+ f ( x).g ( x) = lim 2( x + 1) = 4 x→1

1  lim + x x − 2 ‫ ﻣﻘﺪار‬، f ( x) = o x→ 2 1 

(

2

)

( (

))

, , ,

(

x>o x = o ‫( ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ‬6) x>o

)

.‫را ﺣﺴﺎب ﮐﻨﯿﺪ‬

‫ ﭘﺲ‬.‫ اﺳﺖ‬f x2 − 2 = 1 ‫ﺣﻞ( ﭼﻮن‬

lim x f x2 − 2 = 2 × 1 = 2

.‫( ﺣﺪود زﯾﺮ را ﺣﺴﺎب ﮐﻨﯿﺪ‬7)   x  lim  [x] −    (‫اﻟﻒ‬ x→4 4  

(‫ﺣﻞ‬   x lim  [x ] −    = 4 − 1 = 3 4 

x→ 4 +

  x lim  [x ] −    = 3 − o = 3 4  x→ 4 − 

www.fanavari-it.ir


‫‪٢٢‬‬

‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )‪(١‬‬

‫‪ =3‬ﺣﺪ‬ ‫ب( )]‪lim ([3 x] + [− 3 x‬‬

‫ﺣﻞ( ﺗﻮﺟﻪ ﮐﻨﯿﺪ اﮔﺮ ‪ 3 x ∉ z‬آﻧﮕﺎه ‪ [3 x] + [− 3 x] = −1‬ﭘﺲ ﺣﺪ ﺑﺮاﺑﺮ ‪ − 1‬اﺳﺖ‪.‬‬ ‫)‪ (8‬در ﻣﻮرد ﺗﺎﺑﻊ ‪ f : R → R‬ﻣﯽداﻧﯿﻢ‪:‬‬ ‫‪x , y∉ R‬‬

‫)‪f ( x + y) = f ( x) + f ( y‬‬

‫ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ ﮐﻪ اﮔﺮ ‪ f‬در ﻧﻘﻄﻪ ﺻﻔﺮ ﺣﺪ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ آﻧﮕﺎه در ﻫﺮ ﻧﻘﻄﻪ دﯾﮕﺮ ﻫﻢ ﺣﺪ دارد‪.‬‬ ‫ﻫﻤﭽﻨﯿﻦ ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ ﮐﻪ اﮔﺮ )‪ lim f (x‬وﺟﻮد داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﺑﺮاﺑﺮ ﺻﻔﺮ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪x→o‬‬

‫ﺣﻞ‪ :‬ﻧﻘﻄﻪ دﻟﺨﻮاه ‪ xo‬را در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﯿﺮﯾﺪ و ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ‪ t > o‬ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬ ‫‪lim f ( x) = lim+ f ( xo + t ) = lim+ ( f ( xo ) + f (t )) = f ( xo ) + o‬‬ ‫‪t →o‬‬

‫‪x→ xo+‬‬

‫‪t →o‬‬

‫ﭘﺲ ) ‪ lim f (x) = f (xo‬ﯾﻌﻨﯽ ﺗﺎﺑﻊ در ﻫﺮ ﻧﻘﻄﻪ ﺣﺪ دارد‪.‬‬ ‫‪ lim‬ﻣﯽﺷﻮد زﯾﺮا‪:‬‬ ‫در ﻓﻮق از اﯾﻦ ﻧﮑﺘﻪ اﺳﺘﻔﺎده ﮐﺮدهاﯾﻢ ﮐﻪ ‪f ( x) = o‬‬ ‫‪ →o‬ط‬ ‫‪ x‬‬ ‫‪f ‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ x‬‬ ‫‪f   + lim‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ x x‬‬ ‫‪lim f ( x) = lim f  +  = lim‬‬ ‫‪x→o‬‬ ‫‪x→o‬‬ ‫‪ 2 2  x→o‬‬ ‫)‪= lim f ( x) + lim f ( x‬‬ ‫‪x→o‬‬

‫‪x→o‬‬

‫‪lim f ( x) = o‬‬ ‫‪x→o‬‬

‫⇒‬

‫‪ (9‬ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ‪ lim f ( x) = A‬اﮔﺮ ‪ A ≠ o‬ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ ﻋـﺪدي ﻣﺜﺒـﺖ ﻣﺎﻧﻨـﺪ ‪ δ‬وﺟـﻮد‬ ‫‪x→ a‬‬

‫دارد ﮐﻪ ﻫﺮﮔﺎه ‪ ، o < x − a < δ o‬آﻧﮕﺎه ‪ δ‬وﺟﻮد دارد ﮐﻪ‬

‫‪www.fanavari-it.ir‬‬


‫ﻓﺼﻞ دوم‪ :‬ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ‬ ‫‪A‬‬ ‫‪2‬‬

‫< ‪f ( x) − A‬‬

‫⇒‬ ‫‪A‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪٢٣‬‬ ‫‪o < x− a < δ‬‬

‫< ‪f ( x ) − A ≤ f ( x) − A‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪< f ( x) − A‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪A‬‬ ‫)‪< f ( x‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪−‬‬

‫)‪(10‬‬

‫ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ‬

‫⇒‬ ‫⇒‬

‫‪x − x‬‬

‫‪ ، f (x) = ‬ﻫﻤﻪ ﻧﻘﺎﻃﯽ را ﺑﯿﺎﺑﯿـﺪ ﮐـﻪ ‪ f‬در‬

‫‪x‬‬

‫‪,‬‬

‫‪x‬‬

‫‪ x − x + 1 ,‬‬

‫آﻧﻬﺎ ﺣﺪ دارد‪.‬‬ ‫ﺣﻞ( ﺗﺎﺑﻊ ‪ f‬ﺑﻪ ﺻﻮرت زﯾﺮ ﻗﺎﺑﻞ ﺑﯿﺎن اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪ x − x‬‬ ‫‪f ( x) = ‬‬ ‫‪ x − x + 1 − 1‬‬

‫اﯾﻦ ﺗﺎﺑﻊ در اﻋﺪاد ﺻﺤﯿﺢ ﺣﺪ دارد‪ .‬ﯾﺮا اﮔﺮ ‪ xo = x‬ﻋﺪد ﺻﺤﯿﺢ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬اﮔﺮ ‪ n‬زوج ﺑﺎﺷﺪ‬ ‫⇒ ﻓﺮد‬

‫‪[x] = n‬‬

‫⇒‬

‫‪ ⇒ lim f (x) = n − (n −1) −1 = o‬ﻓﺮد‬

‫‪[x] = n − 1‬‬

‫⇒‬

‫‪lim f ( x) = n − n = o‬‬

‫‪x→ xo+‬‬

‫‪−‬‬

‫‪x→xo‬‬

‫‪+‬‬

‫‪x → xo‬‬

‫‪+‬‬

‫‪x → xo‬‬

‫ﻣﺸﺎﺑﻬﺎً اﮔﺮ ‪ n‬ﻓﺮد ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﺣﺪ ﻣﻮﺟﻮد اﺳﺖ‪.‬‬ ‫در اﻋﺪاد ﻏﯿﺮ ﺻﺤﯿﺢ ﻧﯿﺰ اﯾﻦ ﺗﺎﺑﻊ ﺣﺪ دارد‪ .‬ﭼﻮن در ﺳﻤﺖ راﺳﺖ ﯾﺎ ﭼﭗ ‪ [x] ، xm o‬زوج ﯾﺎ‬ ‫ﻓﺮد ﺑﺎﻗﯽ ﻣﯽﻣﺎﻧﺪ‪.‬‬ ‫ﭘﺲ اﯾﻦ ﺗﺎﺑﻊ روي ‪ R‬ﺣﺪ دارد‪.‬‬

‫‪www.fanavari-it.ir‬‬


‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )‪(١‬‬

‫‪٢٤‬‬

‫)‪(11‬‬

‫ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ‪ lim f ( x) = A .‬و ‪ B‬ﻋﺪدي ﺣﻘﯿﻘﯽ ﺑﺎﺷﺪ ﮐﻪ ‪ . A > B‬پ‬ ‫‪x→a‬‬

‫ﺛﺎﺑــﺖ ﮐﻨﯿــﺪ ﻋــﺪدي ﻣﺜﺒــﺖ ﻣﺎﻧﻨــﺪ وﺟــﻮد دارد ﮐــﻪ اﮔــﺮ ‪ ، o < x − a < δ‬آﻧﮕــﺎه‬ ‫‪A+ B‬‬ ‫‪2‬‬

‫> )‪. f (x‬‬

‫‪A− B‬‬ ‫ﺣﻞ( ﭼﻮن ‪ A > B‬ﭘﺲ ‪ A > B‬ﭘﺲ ‪ A − B > o‬اﮔﺮ ﻗﺮار دﻫﯿﻢ‬ ‫‪2‬‬

‫= ‪ ε‬ﭼﻮن‬

‫ﺣﺪود وﺟﻮد دارد‪ .‬ﭘﺲ ‪ δ > o‬وﺟﻮد دارد ﮐﻪ‪:‬‬

‫‪A− B‬‬

‫)‪(12‬‬

‫‪A− B‬‬ ‫‪2‬‬

‫< ‪f ( x) − A‬‬

‫‪< f ( x) − A < f‬‬

‫‪A− B‬‬

‫‪−‬‬

‫⇒‬

‫‪A− B‬‬ ‫‪A+ B‬‬ ‫⇒ )‪< f ( x‬‬ ‫)‪< f ( x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫⇒‬

‫ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ‪1 + x2 ≤ f ( x) ≤ 1 + x‬‬

‫ﺣﻞ( دارﯾﻢ‪:‬‬

‫⇒‬

‫‪.‬‬

‫‪o < x− a‬‬

‫)‪ lim f (x‬را ﺣﺴﺎب ﮐﻨﯿﺪ‬

‫‪lim 1 + x2 = lim (1 + x ) = 1‬‬ ‫‪x→o‬‬

‫‪x→o‬‬

‫ﭘﺲ ﻃﺒﻖ ﻗﻀﯿﻪ ﻓﺸﺮدﮔﯽ ‪lim f ( x) = 1‬‬ ‫‪x→o‬‬

‫‪ 7-5-2‬ﺗﻤﺮﯾﻦ ﺻﻔﺤﻪ ‪115‬‬ ‫ب( اﺳﺘﻔﺎده از ﺗﻌﺮﯾﻒ ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ‪:‬‬ ‫‪(1‬‬

‫‪2 2‬‬ ‫∞‪= +‬‬ ‫‪( x + 1)2‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪M‬‬

‫‪4‬‬

‫< ‪x +1‬‬

‫‪lim x‬‬

‫‪x → −1‬‬

‫‪(x + 1)2 < 2‬‬

‫‪2‬‬ ‫⇒‬ ‫‪M‬‬

‫⇒‬

‫‪>M‬‬

‫‪2 2‬‬

‫)‪(x + 1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪www.fanavari-it.ir‬‬


٢٥

‫ ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ‬:‫ﻓﺼﻞ دوم‬ 4

8 M

.‫ﭘﺲ ﮐﺎﻓﯽ اﺳﺖ‬

−3 = −2 ( x + 2)4

(2

δ≤

lim

x → −2

−3

( x + 2)

4

< −M

−3

( x + 2)

4

>M

(x + 2)4 <

3 M

x+2 < 4

3 M

δ ≤4 2x + 3 5 =2+ >M x−2 x+2

lim+

x→1

1 − 4 x 15 + 16 − 4 x 15 = = −4 − >M x−4 x− 4 x− 4 ⇒ −

www.fanavari-it.ir

(4

15 > x−4 M +4

6 < −(3 + M ) x−2

6 3 < x−2 ⇒ δ = x+ M 3+M

.‫ﮐﺎﻓﯽ اﺳﺖ‬

15 > M +4 x− 4

⇒ −

x→ 2

⇒ −

5 M −2

−2 = −∞ x −1

lim−

.‫ﭘﺲ ﮐﺎﻓﯽ اﺳﺖ‬

5 5 > M −2 ⇒ x−2< x−2 M −2 δ≤

3x 6 =3+ < −M x−2 x−2

3 M

3x = −∞ x−2

(6


(١) ‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ‬

٢٦

4 x2 − 5 lim x→ +∞ 2 x2 − 1 4 x2 − 5 2 x2 − 1

−2 = ⇒

4 x2 − 5 − 4 x2 + 2 2 x2 − 1

3 < 2 x2 − 1 ⇒ ε ⇒

=

3

2x2 − 1

3 +ε < x2 2ε 1− ε <x ε M>

3 +ε ‫ﮐﺎﻓﯽ اﺳﺖ‬ 2ε

2x2 + 1 =2 x→ +∞ x2 + 1 lim

2x2 + 1 2

x +1

−2 =

2

1

x +1

(7

(8

1 < x2 + 1 ε

1− ε <x ε 1− ε <M ε

(

)

lim x2 + 8 x = +∞

x → +∞

x2 + 8 x = (x + 4 )2 − 16 > M

.‫ﮐﺎﻓﯽ اﺳﺖ‬ (9

⇒ x > M + 16 − 4 N > M + 16 − 4 ‫ﮐﺎﻓﯽ اﺳﺖ‬

(

)

lim − x2 + 4 x = −∞

x → +∞

www.fanavari-it.ir

(10


٢٧

‫ ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ‬:‫ﻓﺼﻞ دوم‬

− x2 + 4 x = −( x − 2)2 + < − m

⇒ M + 4 < ( x − 2)2 ⇒ 2 + m+ 4 < x N > 2 + M + 4 ‫ﭘﺲ‬ lim x → −∞

x2 + 1 2

x −1

=

2

2

x −1

<ε ⇒

x2 + 1 =1 x2 + 1

(11

M

2+ε ‫ﭘﺲ‬ ε

2 < x2 − 1 ε

2+ε < ⇒ 4ε

2+ε <x ε

x2 = +∞ x → −∞ 2 − x lim

x2 >M 2− x

www.fanavari-it.ir

x2 > 2M − Mx

x2 > Mx +

M M   x +  > 2M + 2  2 

x > 2M +

M2 M2 > 2M + ε ε

2

M2 M − ε 2

2

(12


(١) ‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ‬

٢٨

M2 M N < 2M + − ‫ﮐﺎﻓﯽ اﺳﺖ‬ ε 2

(

)

lim x5 − 3 = +∞

x → +∞

x5 − 3 > M

x5 > M + 3

x>5 M +3

(

)

N > 5 M + 3 ‫ﭘﺲ‬

lim x5 + x = +∞

x → +∞

x5 + x > M

(13

(14

.‫ را ﻣﯽﺗﻮان ﻧﺎدﯾﺪه ﮔﺮﻓﺖ‬x ‫ ﭘﺲ‬x → +∞ ‫ﺑﻪ ﻋﻠﺖ اﯾﻨﮑﻪ‬ x5 x > x5 + 1 > M

x > 5 M −1

N ≥ 5 M −1

x+ 5 1 = x → +∞ 2 x − 4 2 lim

x+5

2( x + 1)

3 2

=

2

x+1 ⇒

< ε 4

ε

−2 < x

M ≥ lim

x → +∞

x2 + 1 > N

⇒ x2 > N − 1 ⇒ x > N − 1

4

ε

−2

x2 + 1 = +∞

lim − x2 − 6 x + 2 = +∞

− x2 + 1 > N ⇒

(x − 3 )2 − 7 > N 2

x > N2 + 7 + 3

(17

⇒ M ≥ N −1

x → −∞

www.fanavari-it.ir

(15

M ≥ N2 + 7 + 3

(18


٢٩

‫ ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ‬:‫ﻓﺼﻞ دوم‬ lim − x2 − 6 x + 2 = +∞

x → −∞

− x2 − 4 < − N

x2 − 4 > N 2

x > N2 + 4

M ≥ N2 − 4

lim − x2 − 2 x − 2 = +∞

x → −∞

− x2 − 2x − 2 < N

(x − 1)2 − 3 > N 2

x − 1 > N2 + 3

x > 1 + N2 − 3

lim − x2 − x = −∞

− x − x > −N

(20

x → −∞

2

(19

(21

2

1 1  2 x−  − > N 2 4 

x>

1 + N2 + 1 4 M≥

1 + N 2 + 1 ‫ﭘﺲ‬ 4

136 ‫ ﺗﻤﺮﯾﻦ ﺻﻔﺤﻪ‬25-5-2 .‫ﺣﺪود زﯾﺮ را ﺣﺴﺎب ﮐﻨﯿﺪ‬ 1)

www.fanavari-it.ir

lim

x x2 + 4 −x = −1 = lim = lim x→ −∞ x − 2 x−2 x

lim

x x2 + 4 −x = lim = lim =1 x → +∞ x+2 x+2 x

x→ −∞

2)

x→ +∞

3)

lim+

x →2

x −1 2 −1 = lim o − = +∞ x −x


(١) ‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ‬ 4)

lim

x→ +∞

5)

lim

3

x2 − x

x→ 3

lim x→ o

lim

(

3

12)

x→ 8

x −1

3 x − x2 − 1

=o

x 1+

1 x + 2 x x =1 x

=o

3+x 6 6 = 1×o − = − = −∞ o x − 5x + 6 2

x2 + 4 = 2 = + = +∞ o x2 x+1− 3

7+3 x −3

)

= lim x→8

( x − 8 )

7 + 3 x + 3    = 6 lim x − 8 = 3 6 x x +1 + 3 x −2

( )( 3

)

x→27

3 x+6 − 3 x−3 = = lim 3 (x − 27 ) ( x − 27)(x − 27 )2  3 x + 6 + 3   

3

lim 3 x2 + 23 x + 4

www.fanavari-it.ir

n2 − 1

=o

x2 + 23 x + 4 = 4 + 4 + 4 = 12 lim

(

x → +∞

x 5 + x2 1 −x = lim = lim =− 2 x 2x 2x 2

lim−

11)

n2 − n2

lim

lim

10)

x3 + 1 + 2 3 x3 + 1 + 2

x+ x+ x = lim x

x→1−

9)

= lim

3

1

lim

x→ −∞

8)

2

x2 − 1

x→ +∞

7)

x→ 8

3

x→ +∞

6)

lim

( x + 1 − x) = lim

٣٠

)


‫ﻓﺼﻞ دوم‪ :‬ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ‬ ‫‪x+ x+ x‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪٣١‬‬

‫‪lim ( x + x + x + x − x ) = lim‬‬ ‫∞ →‪x‬‬

‫‪x+ x+ x x+‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫)‬

‫=‬

‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+ 2‬‬ ‫‪x x‬‬

‫‪1+‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫)‪+ 2 + 1‬‬ ‫‪x x‬‬

‫‪x‬‬

‫‪= lim‬‬

‫(‪x‬‬

‫‪2[cos x] 2 − 1‬‬ ‫∞‪= − = −‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪o‬‬

‫(‬

‫‪12 3‬‬ ‫‪12 3‬‬ ‫‪x−3 x‬‬ ‫‪x − 12 x4‬‬ ‫‪x 1 − 12 x‬‬ ‫‪= lim‬‬ ‫‪= lim‬‬ ‫‪x→1‬‬ ‫‪x −1‬‬ ‫‪x −1‬‬ ‫‪x −1‬‬

‫‪1− −1‬‬ ‫=‬ ‫‪12 6‬‬

‫=‬

‫)‪( x − 1)( x + 1‬‬ ‫‪11‬‬

‫‪12‬‬

‫)‪( x − 1)( x + x10 + ... + x + 1‬‬ ‫‪12‬‬

‫‪x4‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪−1−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2 = lim( x − 1 ) = − 1‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪4 2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪12‬‬

‫‪1+‬‬

‫‪= lim‬‬ ‫‪x→ o‬‬

‫)‬

‫‪+1‬‬

‫‪2‬‬

‫) ‪13‬‬

‫‪lim−‬‬

‫‪3‬‬

‫‪x→ o‬‬

‫)‪14‬‬ ‫)‪15‬‬

‫‪lim‬‬

‫‪x→1‬‬

‫‪= − lim‬‬

‫‪4‬‬

‫‪( x4 + 1 − x‬‬ ‫‪x→ o‬‬ ‫‪x2‬‬

‫‪lim‬‬

‫)‪16‬‬

‫‪ 28-6-2‬ﺗﻤﺮﯾﻦ ﺻﻔﺤﻪ ‪163‬‬ ‫)‪ (1‬در ﻣﻮرد ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ ﻫﺮ ﯾﮏ از ﺗﻮاﺑﻊ زﯾﺮ ﺳﺴﺴﺮوي ﺑﺎزده داده ﺷﺪه ﺗﺤﻘﯿﻖ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬ ‫‪7‬‬ ‫اﻟﻒ(‬ ‫‪x− 3‬‬

‫= )‪ f ( x‬روي ﺑﺎزه ﻫﺎي ] ‪(−∞ , 2] , [2 , + ∞) , ( x) , [o , 3‬‬

‫ب( ﺗﻨﻬـــــﺎ ﻧﻘﻄـــــﻪ ﻧﺎﭘﯿﻮﺳـــــﺘﮕﯽ ‪ x = 3‬اﺳـــــﺖ‪ ،‬ﭘـــــﺲ ﺗـــــﺎﺑﻊ ﻓﻘـــــﻂ روي‬ ‫)∞ ‪. (−2 , 2) [o , 2) , [o , 2] , (−∞ , 2] [2 , +‬‬ ‫ﺣﻞ( ﻧﻘـــﺎط ‪ x = ±2‬ﻧﻘـــﺎط ﻧﺎﭘﯿﻮﺳـــﺘﮕﯽ ﺗـــﺎﺑﻊ اﺳـــﺖ‪ .‬ﭘـــﺲ ﺑـــﺎزهﻫـــﺎي‬ ‫)‪ (−2 , 2) [o , 2) , (−∞ , − 2‬ﺑﺎزهﻫﺎي ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽاﻧﺪ‪.‬‬

‫‪www.fanavari-it.ir‬‬


‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )‪(١‬‬

‫‪٣٢‬‬ ‫‪2+ x‬‬ ‫ج(‬ ‫‪25 − x2‬‬

‫= )‪ f ( x‬روي ﺑــﺎزه ﻫــﺎي )‪ (−∞ , − 5‬و ]‪ [− 5,−2] , [− ∞,−5‬و‬

‫]‪(5, +∞) , [5, ∞), (−2,5), (−2,5‬‬

‫ﺣﻞ( اﺑﺘﺪا داﻣﻨﻪ ﺗﺎﺑﻊ را ﺑﻪ دﺳﺖ ﻣﯽ آورﯾﻢ‪.‬‬ ‫)‪D f = (−∞,−5) ∪ [−2,5‬‬

‫‪-5 -2 5‬‬ ‫‪+ + -‬‬

‫‪-‬‬

‫‪25 − x2‬‬

‫‪- + +‬‬

‫‪-‬‬

‫‪2+ x‬‬

‫ﻃﺒﻖ داﻣﻨﻪ‪ :‬ﺗﺎﺑﻊ روي ]‪ (5,+∞), [5,+∞), (−2,5], [−5,−2‬ﻧﺎﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﺗﺎﺑﻊ روي )‪ (−2,5) , [−2,5) , (−∞,−5‬ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫)‪ (2‬ﻓﻮاﺻﻠﯽ را ﺗﻌﯿﯿﻦ ﮐﻨﯿﺪ ﮐﻪ ﺗﺎﺑﻊ داده ﺷﺪه روي آﻧﻬﺎ ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬ ‫‪x2 − x − 12 (1‬‬

‫ﺣﻞ(‬

‫= )‪f ( x‬‬

‫داﻣﻨﻪ ﺗﺎﺑﻊ ﺑﺮاﺑﺮ )∞‪ D f = (−∞,−3 ) ∪ [4,+‬اﺳﺖ‪ .‬اﯾﻦ ﺑﺎزهﻫﺎ ﻓﻮاﺻـﻞ‬

‫ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ اﻧﺪ‪.‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪(2‬‬ ‫‪x −9‬‬ ‫‪2‬‬

‫= )‪. f ( x‬‬

‫ﺣﻞ(‬

‫)∞‪ D f = R − {± 3} = (−∞,−3) ∪ (−3,3 ) ∪ (3,+‬اﯾﻦ ﻓﻮاﺻـﻞ‬

‫ﻓﻮاﺻﻞ ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ اﻧﺪ‪.‬‬ ‫‪x 2 + x − 1 (3‬‬

‫‪. f ( x) = 3‬‬

‫‪www.fanavari-it.ir‬‬


‫ﻓﺼﻞ دوم‪ :‬ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ‬

‫ﺣﻞ(‬

‫‪٣٣‬‬

‫ﭼﻮن ﻓﺮﺟﻪ رادﯾﮑﺎل ﻓﺮد و زﯾﺮ رادﯾﮑﺎل ﻫﻤﻪ ﺟـﺎ ﭘﯿﻮﺳـﺘﻪ اﺳـﺖ‪ .‬ﻓﺎﺻـﻠﻪ‬

‫ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ ‪ R‬اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪x2 − 3 x + 2‬‬ ‫‪(4‬‬ ‫‪x− 4‬‬

‫= )‪f ( x‬‬

‫)∞‪D f = [1,2] ∪ (4,+‬‬

‫‪١ ٢ ۴‬‬ ‫‪- +‬‬

‫‪- -‬‬

‫‪+ - + +‬‬

‫‪x-4‬‬ ‫‪x2 − 3 x + 2‬‬

‫)‪ (3‬ﻧﻘﺎط ﻧﺎﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ ﺗﻮاﺑﻊ زﯾﺮ را ﺗﻌﯿﯿﻦ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬ ‫‪x2 − 4‬‬ ‫‪(1‬‬ ‫‪x−2‬‬

‫‪(2‬‬

‫‪x−1‬‬ ‫‪x−1‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪(3‬‬ ‫‪x‬‬

‫= )‪f ( x‬‬

‫‪ .‬ﺣﻞ( ‪ x=2‬ﻧﻘﻄﻪ ﻧﺎﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ اﺳﺖ‪.‬‬

‫= )‪f ( x‬‬

‫‪ .‬ﺣﻞ( ‪ x=1‬ﻧﻘﻄﻪ ﻧﺎﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪ .‬ﺣﻞ( ‪ x=1‬ﻧﻘﻄﻪ ﻧﺎﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ اﺳﺖ‪.‬‬

‫= )‪f ( x‬‬

‫) ‪( x − 1)( x2 − 5 x + 6‬‬ ‫= )‪. f ( x‬‬ ‫‪(4‬‬ ‫‪x2 − 3 x + 2‬‬

‫ﺣﻞ(‬

‫‪ x = 1,2‬ﻧﻘﺎط ﻧﺎﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ اﻧﺪ‪.‬‬

‫‪x ≤ −1‬‬ ‫‪−1 < x < 1 (5‬‬ ‫‪1< x‬‬

‫ﺣﻞ(‬

‫‪− 2 x + 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪f ( x) =  1 − x2‬‬ ‫‪2x + 1‬‬ ‫‪‬‬

‫ﺗﺎﺑﻊ در ‪ x=-1‬و ‪ x=1‬ﻧﺎﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ دارد‪ .‬ﭼﻮن ﺗﺎﺑﻊ در ‪ x=1‬ﺗﻌﺮﯾﻒ ﻧﺸﺪه‬

‫و در ‪ x=-1‬ﺣﺪ ﻧﺪارد‪.‬‬

‫‪www.fanavari-it.ir‬‬


‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )‪(١‬‬

‫‪٣٤‬‬

‫]‪[x‬‬ ‫‪f ( x) = ‬‬ ‫]‪ x − [x‬‬

‫‪−2 < x < o‬‬ ‫‪(6‬‬ ‫‪o≤ x<2‬‬

‫ﺣﻞ(‬

‫ﺗﺎﺑﻊ در ﻧﻘﺎط ‪ x=-1‬و ‪ x=1‬از داﻣﻨﻪ اش ﻧﺎﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﺳﺖ‪.‬‬

‫اﯾﻦ ﺗﺎﺑﻊ در =‪ o x‬ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﺳﺖ ﭼﻮن‬ ‫‪lim+ f ( x) = lim f ( x) = f (o) = o‬‬ ‫‪x→o‬‬

‫‪x→o‬‬

‫‪ (4‬ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ ﺗﺎﺑﻊ داده ﺷﺪه را در ﻧﻘﻄﻪ ﯾﺎ ﻓﺎﺻﻠﻪ داده ﺷﺪه ﺑﺮرﺳﯽ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬ ‫‪xo = 2 (1‬‬

‫ﺣﻞ(‬ ‫‪(2‬‬

‫‪xo = 1‬‬

‫]‪f ( x) = x − [x‬‬

‫‪xo = 1 ,‬‬

‫ﺗﺎﺑﻊ در ﻫﺮ دو ﻋﺪد ﺻﺤﯿﺢ داده ﺷﺪه ﻧﺎﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x −1‬‬ ‫‪x +‬‬ ‫‪f ( x) = ‬‬ ‫‪x −1‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪‬‬

‫‪x ≠1‬‬ ‫‪x =1‬‬

‫اﯾﻦ ﺗﺎﺑﻊ در ‪ xo = 1‬ﻧﺎﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﺳﺖ ﭼﻮن )‪lim+ f ( x) = 2 ≠ 1 = f (1‬‬

‫‪x→1‬‬

‫‪(3‬‬

‫‪xo = o‬‬

‫‪x≠o‬‬

‫‪,‬‬

‫‪x=o‬‬

‫‪ 2 2x‬‬ ‫‪x + x‬‬ ‫‪f ( x) = ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬

‫اﯾﻦ ﺗﺎﺑﻊ در ‪ xo = o‬ﻧﺎﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﺳﺖ ﭼﻮن )‪lim f ( x) = −2 ≠ 2 = f (o‬‬

‫‪x→ o−‬‬

‫‪ (4‬ﻓﺎﺻﻠﻪ ) ‪ (4 , 6‬و‬

‫‪5‬‬ ‫‪2 − x2‬‬

‫= )‪. f ( x‬‬

‫داﻣﻨﻪ ﺗﺎﺑﻊ ﺑﺮاﺑﺮ )‪ (− 2 , + 2‬اﺳﺖ ﭘﺲ ﺗﺎﺑﻊ ‪ f‬روي ) ‪ (4 , 6‬ﻧﺎﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪ (5‬در ﻓﺎﺻﻠﻪ ) ∞ ‪. f ( x) = x2 − 1 , [1 , +‬‬

‫‪www.fanavari-it.ir‬‬


‫‪٣٥‬‬

‫ﻓﺼﻞ دوم‪ :‬ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ‬

‫داﻣﻨﻪ ﺗﺎﺑﻊ ﺑﺮاﺑﺮ ) ∞ ‪ (−∞ , o − 1] ∪ [1 , +‬اﺳﺖ ﭘﺲ ﺗـﺎﺑﻊ روي ) ∞ ‪ [1 , +‬ﭘﯿﻮﺳـﺘﻪ‬ ‫اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪ (6‬در ﻓﺎﺻﻠﻪ ]‪. f ( x) = 2 − x , (−∞,2‬‬ ‫ﭼﻮن ]‪ D f = (−∞,2‬اﺳﺖ ﭘﺲ ﺗﺎﺑﻊ روي ]‪ (−∞,2‬ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪ (7‬در ﻓﺎﺻﻠﻪ ]‪. f ( x) = 25 − x2 , [−5,5‬‬ ‫داﻣﻨﻪ ﺗﺎﺑﻊ ﺑﺮاﺑﺮ ]‪ [− 5,5‬اﺳﺖ ﮐﻪ ﺗﺎﺑﻊ روي آن ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪xo = 1 (8‬‬

‫‪x >1‬‬ ‫‪x<1‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪f ( x) =  x‬‬ ‫‪2[2 x] + 1‬‬ ‫‪‬‬

‫ﺗﺎﺑﻊ در ‪ xo = 1‬ﺗﻌﺮﯾﻒ ﻧﺸﺪه اﺳﺖ ﭘﺲ در اﯾﻦ ﻧﻘﻄﻪ ﻧﺎﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪3 x2 − 12‬‬ ‫)‪ (5‬اﮔﺮ ﺗﺎﺑﻊ ‪ f‬ﺑﺎ ﺿﺎﺑﻄﻪ‬ ‫‪x−2‬‬

‫ﺣﻞ(‬

‫= )‪ f ( x‬ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ‪ f (2) .‬را ﺣﺴﺎب ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬

‫)‪3 ( x − 2)( x + 2‬‬ ‫‪= 12‬‬ ‫‪x−2‬‬ ‫‪x→2‬‬

‫)‪ (6‬ﺗــﺎﺑﻊ ‪ f‬ﺑــﺎ ﺿــﺎﺑﻄﻪ‬

‫‪f (2) = lim f ( x) = lim‬‬

‫‪x≠o‬‬ ‫‪x=o‬‬

‫‪x→2‬‬

‫‪x− x‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪ f ( x) =  x‬در ﻧﻘﻄــﻪ ‪ x=0‬ﭼــﻪ ﻧــﻮع‬ ‫‪2‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪‬‬

‫ﻧﺎﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ دارد؟‬ ‫ﺣﻞ( ﻧﺎﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ اﺳﺎﺳﯽ ﭼﻮن ﺣﺪ وﺟﻮد ﻧﺪارد زﯾﺮا‪:‬‬

‫‪f ( x) = o‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪=2‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪lim‬‬

‫‪x→o +‬‬

‫‪lim− f ( x) = lim‬‬

‫‪x→o‬‬

‫‪www.fanavari-it.ir‬‬


‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )‪(١‬‬

‫‪٣٦‬‬

‫)‪ (7‬ﺑﻪ ازاء ﭼﻪ ﻣﻘﺪار ‪ a‬ﺗﺎﺑﻊ ‪ f‬ﺑﺎ ﺿـﺎﺑﻄﻪ‬

‫‪x≠ o‬‬

‫‪,‬‬

‫‪x=o‬‬

‫‪,‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 x cos‬‬ ‫‪ f ( x) = ‬در‬ ‫‪x‬‬ ‫‪a‬‬

‫‪ x=0‬ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﺳﺖ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺣﻞ( ‪= o ⇒ a = o‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪π‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪π‬‬ ‫)‪(8‬‬ ‫<‪− < x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪≤ x≤π‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪−π ≤ x ≤ −‬‬

‫‪a +b = o‬‬

‫⇒‬

‫‪⇒ −a + b = 2‬‬ ‫‪a = −1‬‬

‫‪lim f ( x) = lim 2 x cos‬‬ ‫‪x→o‬‬

‫‪x→o‬‬

‫‪‬‬ ‫‪− 2 sin‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ f ( x) = a sin x + b‬ﻣﻘﺪار ‪ a‬و ‪ b‬را ﺑﯿﺎﺑﯿﺪ‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪cos x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪lim f ( x) = a + b = f ( ) = o‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪π−‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪f ( x) = − a + b = f (− ) = 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪,‬‬

‫‪⇒ b =1‬‬

‫‪2‬‬

‫→‪x‬‬

‫‪lim‬‬

‫‪π+‬‬ ‫‪x→−‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪x + 1   x − 1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫)‪ (99‬ﺗﺎﺑﻊ ﺑﺎ ﺿﺎﺑﻄﻪ‬ ‫‪ 2   2 ‬‬

‫‪ f ( x) = ‬در ‪ x = 1‬ﭼﻪ ﻧﻮع ﺑﺴﺘﮕﯽ دارد؟‬

‫ﺣﻞ( دارﯾــــﻢ‪ f (1) = 1 :‬ﺗﻌﺮﯾــــﻒ ﺷــــﺪه اﺳــــﺖ‪ .‬ﻧﺎﭘﯿﻮﺳــــﺘﮕﯽ اﺳﺎﺳــــﯽ‬ ‫‪lim f ( x) = 1‬‬

‫اﺳﺖ‪.‬‬

‫‪x→1+‬‬

‫⇒‬ ‫‪lim f ( x) = − 1‬‬

‫‪x→1−‬‬

‫‪www.fanavari-it.ir‬‬


‫ﻓﺼﻞ دوم‪ :‬ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ‬

‫اﮔﺮ‬

‫)‪(10‬‬

‫‪x>2‬‬

‫‪2 x + ax ,‬‬

‫‪x≤ 2‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪ax + 1 ,‬‬

‫‪٣٧‬‬

‫‪ f ( x) = ‬در ‪ R‬ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ ﻣﻘـﺪار ‪ a‬را ﺣﺴـﺎب‬

‫ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬ ‫ﺣﻞ( ﭼﻮن ﺿﺎﺑﻄﻪ ﻫﺎ روي ‪ R‬ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﻧﺪ ﮐﺎﻓﯽ اﺳﺖ ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ در ‪ x=2‬ﺑﺮرﺳﯽ ﺷﻮد‪.‬‬ ‫‪f ( x) = lim (2 x + ax) = 4 + 2a = f (2) = 4a + 1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪x→2+‬‬

‫‪lim‬‬

‫‪x→2+‬‬

‫= ‪⇒ 4 + 2a = 4 a + 1 ⇒ 2a = 3 ⇒ a‬‬

‫‪x∉ z‬‬ ‫‪ (11‬ﺑﻪ ازاء ﭼﻪ ﻣﻘﺪار ‪ a‬ﺗﺎﺑﻊ ‪ f‬ﺑﺎ ﺿﺎﺑﻄﻪ‬ ‫‪x∈ z‬‬

‫‪[[x] − x] ,‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪a‬‬

‫‪ f ( x) = ‬ﻫﻤـﻮاره‬

‫ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﺳﺖ؟‬ ‫ﺣــﻞ( ﺑــﺎ ﺗﻮﺟــﻪ ﺑــﻪ ﺧــﻮاص ﺟــﺰء ﺻــﺤﯿﺢ ﻫﻤــﻮاره ‪ o ≤ x − [x] < 1‬ﭘــﺲ‬ ‫‪ − 1 < [x] − x ≤ o‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ﺑﺮاي ‪ x∉ z‬ﻫﻤـﻮاره دارﯾـﻢ ‪ [[x] − x] = −1‬ﭘـﺲ ﺑﺎﯾـﺪ‬ ‫‪ a = −1‬ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬ ‫‪ (12‬اﮔﺮ ﺗﺎﺑﻊ‬

‫‪x >1‬‬ ‫‪x =1‬‬ ‫‪x<1‬‬

‫‪2 x + a ,‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪f ( x) = 3‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪bx − 1 ,‬‬ ‫‪‬‬

‫در‬

‫‪x=1‬‬

‫ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ ‪ a‬و ‪ b‬را ﺣﺴﺎب ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬ ‫‪f ( x) = f (1) ⇒ lim (2x + a ) = 3 ⇒ 1 + a = 3‬‬

‫ﺣﻞ(‬

‫‪x→1+‬‬

‫‪lim‬‬

‫‪x→1+‬‬

‫‪lim f ( x) = f (1) ⇒ lim (bx − 1) = 3 ⇒ b − 1 = 3‬‬ ‫‪b=4‬‬

‫‪x→1−‬‬

‫‪a =2 ,‬‬

‫‪x→1−‬‬

‫⇒‬

‫‪e x + e − x , x ≥ o‬‬ ‫‪ f ( x) = ‬در ﻧﻘﻄـﻪ ‪ x=0‬ﭘﯿﻮﺳـﺘﻪ‬ ‫‪ (13‬ﺑﻪ ازاء ﭼﻪ ﻣﻘﺪار ‪ a‬ﺗـﺎﺑﻊ‬ ‫‪2a − x , x < o‬‬

‫‪www.fanavari-it.ir‬‬


‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )‪(١‬‬

‫‪٣٨‬‬

‫اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪lim f ( x) = lim (2a − x) = 2a = f (o) = 1 + 1 = 2‬‬ ‫‪x→o −‬‬

‫ﺣﻞ(‬

‫‪x→o −‬‬

‫‪⇒ a =1‬‬

‫‪ a (14‬و ‪ b‬را ﭼﻨﺎن ﺗﻌﯿﯿﻦ ﮐﻨﯿﺪ ﮐﻪ ﺗﺎﺑﻊ زﯾﺮ در ﻧﻘﻄﻪ ‪ xo = 4‬ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬ ‫‪x<4‬‬

‫‪,‬‬

‫‪x=4‬‬

‫‪,‬‬

‫‪x>4‬‬

‫‪,‬‬

‫‪‬‬ ‫‪a [x − 2] + b‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ x ‬‬ ‫‪f ( x) =   + b‬‬ ‫‪ 3 ‬‬ ‫‪ x2 − 16‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ x−4‬‬

‫‪x2 − 16‬‬ ‫‪= 8 = f (4 ) = 1 + b‬‬ ‫‪x→ 4 +‬‬ ‫‪x→ 4 + x − 4‬‬ ‫ﺣﻞ( ‪lim− f ( x) = lim− (a [x − 2] + b) = 5a + b = f (4) = 1 + b‬‬ ‫‪lim f ( x) = lim‬‬

���‪1‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪x→4‬‬

‫= ‪5a = 1 ⇒ a‬‬

‫‪⇒b=7‬‬

‫‪x→ 4‬‬

‫‪1+ b = 8‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪ (15‬اﮔﺮ ﺗﺎﺑﻊ ﺑﺎ ﺿﺎﺑﻄﻪ ]‪ f ( x) = (a 2 − 4a )[x] + 3[x‬در ٍ‪ R‬ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ ﺑﺎﺷـﺪ‬ ‫‪x +1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪+‬‬

‫ﻣﻘﺪارﻫﺎي ‪ a‬را ﭘﯿﺪا ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬ ‫ﺣﻞ( ﻧﻘﻄﻪ ‪ xo = o‬را در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﯿﺮﯾﺪ دارﯾﻢ‪ f (o) = o :‬و‬ ‫‪2‬‬ ‫‪lim f ( x) = − (a − 4 a ) − 3 = f (o) = o‬‬

‫‪x→o −‬‬

‫‪a=3‬‬

‫‪a =1‬‬

‫⇒‬

‫‪⇒ a 2 − 4a + 3 = o‬‬

‫‪ (16‬ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ ﺗﺎﺑﻊ ]]‪ f ( x) = [x + [x]].[1 − x + [x‬را در ‪ X=0‬ﺑﺮرﺳﯽ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬ ‫ﺣﻞ( واﺿﺢ اﺳﺖ ﮐﻪ ‪ f (o) = o‬اﺳﺖ‪.‬‬

‫‪www.fanavari-it.ir‬‬


‫‪٣٩‬‬

‫ﻓﺼﻞ دوم‪ :‬ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ‬

‫ﻓــــــﺮض ﮐﻨﯿــــــﺪ ‪ x = 0/ 1‬از راﺳــــــﺖ ﻧﺰدﯾــــــﮏ ﺻــــــﻔﺮ ﺑﺎﺷــــــﺪ‪ .‬و‬ ‫‪ f (0 / 1) = [0 / 1 + o][. 1 − 0 / 1 + o] = o‬اﮔﺮ ‪ x = −0/ 1‬را از ﭼﭗ ﻧﺰدﯾﮏ ﺻـﻔﺮ در ﻧﻈـﺮ‬ ‫ﺑﮕﯿﺮﯾﻢ‪.‬‬ ‫‪f (− o / 1) = [− o / 1 − 1][1 + o / 1 + 1] = o‬‬

‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ‪:‬‬

‫‪⇒ lim f ( x) = f ( x) = f (o) = o‬‬ ‫‪x → o+‬‬

‫‪x→o‬‬

‫ﭘﺲ ﺗﺎﺑﻊ در ‪ xo = o‬ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪x∈ z‬‬ ‫‪ (17‬ﺗﺎﺑﻊ ﺑﺎ ﺿﺎﺑﻄﻪ‬ ‫‪x∉z‬‬

‫‪4 x 3 − 9 x2 + 5 x + 1 ,‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪,‬‬

‫‪ f ( x) = ‬ﻣﻔﺮوض اﺳﺖ‪ .‬اﯾﻦ‬

‫‪5‬‬ ‫ﺗﺎﺑﻊ در ﭼﻨﺪ ﻧﻘﻄﻪ ﺻﺤﯿﺢ ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﺳﺖ‪ .‬آﯾﺎ اﯾـﻦ ﺗـﺎﺑﻊ در‬ ‫‪4‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪3‬‬

‫= ‪ xo‬و ‪ xo = 2‬و‬

‫= ‪ xo‬ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﺳﺖ‪.‬‬

‫ﺣﻞ( ﭼﻮن ﺑﺮاي ‪ ، x∉ z‬دارﯾﻢ ‪ ، f (x) = 1‬اﮔﺮ ‪ xo‬ﻋﺪدي ﺻـﺤﯿﺢ ﺑﺎﺷـﺪ آن ﮔـﺎه‬ ‫‪lim f ( x) = 1‬‬ ‫‪x → xo‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪⇒ x(4 x2 − 9 x + 5) = o‬‬

‫‪ .‬ﭘﺲ ﺑﺎﯾﺪ اﻋﺪاد ﺻﺤﯿﺤﯽ را ﺑﯿﺎﺑﯿﻢ ﮐﻪ ‪ f ( xo ) = 1‬ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬ ‫‪4 x 3 − 9 x2 + 5 x = o‬‬

‫⇒ ‪4 x 3 x − 9 x2 + 5 x + 1 = 1‬‬

‫= ‪⇒ xo = o , xo = 1 , xo‬‬

‫اﯾﻦ ﺗﺎﺑﻊ در اﻋﺪاد ﺻﺤﯿﺢ ‪ xo = o‬و ‪ xo = 1‬ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪5‬‬ ‫اﯾﻦ ﺗﺎﺑﻊ در ﻧﻘﺎط = ‪, xo = 2 , xo‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬

‫= ‪ xo‬ﭘﯿﻮﺳـﺘﻪ اﺳـﺖ زﯾـﺮا اﯾـﻦ اﻋـﺪاد‬

‫‪www.fanavari-it.ir‬‬


‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )‪(١‬‬

‫‪٤٠‬‬

‫ﺻﺤﯿﺢ ﻧﯿﺴﺘﻨﺪ و ﺑﺮاي ﻫﻤﻪ آﻧﻬﺎ‬

‫‪f ( x) = f ( xo ) = 1‬‬

‫‪lim‬‬

‫‪x → xo‬‬

‫اﺳﺖ‪.‬‬

‫‪ (18‬ﻣﻘﺎدﯾﺮ ‪ a‬و ‪ b‬را ﻃﻮري ﺗﻌﯿﯿﻦ ﮐﻨﯿﺪ ﮐﻪ ﺗﺎﺑﻊ زﯾﺮ در ‪ xo = −2‬ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬ ‫‪ x2 − 4‬‬ ‫‪, x < −2‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪f ( x) = a‬‬ ‫‪, x = −2‬‬ ‫‪ + 2‬‬ ‫‪, x > −2‬‬ ‫‪b x‬‬ ‫‪‬‬

‫] [‬

‫ﺣﻞ(‬

‫‪f ( x) = b + 4 = f (−2) = a‬‬

‫‪lim‬‬

‫‪x → −2 +‬‬

‫‪x2 − 4‬‬ ‫)‪( x − 2)( x + 2‬‬ ‫‪= lim −‬‬ ‫‪=4=a‬‬ ‫‪x + 2 x→−2−‬‬ ‫)‪( x + 2‬‬ ‫‪b=o‬‬

‫‪(19‬‬

‫‪,‬‬

‫‪f ( x) = lim‬‬

‫‪x→ −2−‬‬

‫‪⇒a =4‬‬

‫‪lim‬‬

‫‪x→ −2−‬‬

‫‪ a‬و ‪ b‬را ﻃﻮري ﭘﯿﺪا ﮐﻨﯿﺪ ﮐﻪ ﺗﺎﺑﻊ زﯾﺮ ﻫﻤﻮاره ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬ ‫‪x<1‬‬

‫‪,‬‬

‫‪1≤ x< 2‬‬ ‫‪x≥ 2‬‬

‫‪,‬‬ ‫‪,‬‬

‫‪2ax2 + bx − 3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪f ( x) =  x3 − x + 4 a‬‬ ‫‪5 x − 2b‬‬ ‫‪‬‬

‫ﺣﻞ( ﭼﻮن ﺿﺎﺑﻄﻪ ﻫﺎ ﭼﻨﺪ ﺟﻤﻠﻪ اي اﻧﺪ ﻫﺮ ﮐﺪام ﻫﻤﻮاره ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﻧﺪ ﺑﺎﯾﺪ ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ در‬ ‫‪ xo = 1‬و ‪ xo = 2‬ﺑﺮﻗﺮار ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬

‫‪www.fanavari-it.ir‬‬


‫‪٤١‬‬

‫ﻓﺼﻞ دوم‪ :‬ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ‬ ‫‪f ( x) = lim (2ax2 + bx + 3 ) = 2a + b + 3‬‬

‫‪lim‬‬

‫‪f ( x) = lim ( x 3 − x + 4 a ) = 8 − 2 + 4a‬‬

‫‪lim‬‬

‫‪x→1−‬‬

‫‪f (2) = 10 − 2b‬‬

‫‪− 2a + b = −3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4 a + 2b = 4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬

‫=‪a‬‬

‫‪x→2−‬‬

‫‪−‬‬

‫‪x→1‬‬

‫‪−‬‬

‫‪x→2‬‬

‫‪f (1) = 1 − 1 + 4 a = 4 a ,‬‬ ‫⇒‬

‫‪1‬‬ ‫‪b=− ,‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2a + b + 3 = 4 a‬‬ ‫‪⇒‬‬ ‫‪6 + 4 a = 10 = 2b‬‬ ‫⇒‬

‫‪⇒ 4b = −2‬‬

‫‪ 32-6-2‬ﺗﻤﺮﯾﻦ ﺻﻔﺤﻪ ‪170.‬‬ ‫‪ (1‬ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ﺗﺎﺑﻊ ‪ g‬در ﻧﻘﻄﻪ ‪ o‬ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ ‪ f , g (o) = o‬ﺗﺎﺑﻌﯽ ﺑﺎﺷﺪ ﮐﻪ در ﯾﮏ‬ ‫ﻫﻤﺴﺎﯾﮕﯽ ﻧﻘﻄﻪ ﺻﻔﺮ در ﻧﺎﻣﺴﺎوي )‪ f ( x) ≤ g ( x‬ﺻـﺪق ﮐﻨـﺪ‪ .‬ﺛﺎﺑـﺖ ﮐﻨﯿـﺪ ‪ f‬در‬ ‫ﻧﻘﻄﻪ ‪ o‬ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﺣــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــﻞ(‬ ‫⇒‬

‫‪f (o) ≤ g (o) = o‬‬

‫‪f (o) = o‬‬

‫‪⇒ f (o) = o‬‬

‫‪o ≤ f (o) ≤ o‬‬

‫⇒‬

‫)‪f ( x) ≤ g ( x‬‬

‫⇒ ‪− f ( x) ≤ f ( x) ≤ x‬‬

‫ﺣﺎل ﭼﻮن ‪ g‬ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﺳﺖ ﭘﺲ ‪ lim g ( x) = o‬از ﻃﺮﻓﯽ دارﯾﻢ‪:‬‬ ‫‪x→o‬‬

‫)‪− g ( x) ≤ f ( x) ≤ g ( x‬‬

‫ﭼﻮن ‪ lim g ( x) = lim − g ( x) = o f (o) = lim f ( x) = o‬در ﻧﺘﯿﺠﻪ ﭘـﺲ ‪ f‬در‬ ‫ﺻﻔﺮ ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪ (2‬ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ﺗﺎﺑﻊ ‪ f‬در ﻧﻘﻄﻪ ‪ a‬ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﺳﺖ‪.‬‬

‫‪www.fanavari-it.ir‬‬


‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )‪(١‬‬

‫‪٤٢‬‬

‫اﻟﻒ( ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ﺗﺎﺑﻊ ‪ f‬در ﻧﻘﻄﻪ ‪ a‬ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫اﻟﻒ( اﮔﺮ ‪ f (a ) > o‬ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ ‪ f‬در ﯾﮏ ﻫﻤﺴﺎﯾﮕﯽ ‪ a‬ﻣﺜﺒﺖ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﺣﻞ(‬ ‫) ‪f (a‬‬ ‫ﭼﻮن ‪ f (a ) > o‬اﺳﺖ اﮔﺮ‬ ‫‪2‬‬

‫= ‪ ε‬را در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﯿﺮﯾﻢ ‪ o < δ :‬ﻣﻮﺟﻮد اﺳﺖ ﺑـﻪ‬

‫ﻃﻮري ﮐﻪ‬ ‫) ‪f (a‬‬ ‫‪2‬‬

‫< ) ‪f ( x) − f (a‬‬

‫⇒‬

‫‪x− a < 4‬‬

‫) ‪f (a‬‬ ‫) ‪f (a‬‬ ‫< ) ‪< f ( x) − f (a‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫) ‪f (a‬‬ ‫) ‪< f ( x) < f (a‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪⇒ −‬‬ ‫⇒‬

‫ﭼﻮن ‪ f (a ) > o‬ﭘﺲ ‪ f‬در ﻫﻤﺴﺎﯾﮕﯽ ‪ δ‬از ‪ ، a‬ﻣﺜﺒﺖ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ب( اﮔﺮ ‪ f (a ) < o‬ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ ‪ f‬در ﯾﮏ ﻫﻤﺴﺎﯾﮕﯽ ‪ a‬ﻣﻨﻔﯽ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﺣﻞ(‬ ‫) ‪f (a‬‬ ‫ﭼﻮن ‪ f (a ) < o‬ﭘﺲ ‪ − f (a ) > o‬اﮔﺮ ﻗﺮار دﻫـﯿﻢ‬ ‫‪2‬‬

‫‪ ε = −‬ﭼـﻮن ‪ f‬در ‪ a‬ﭘﯿﻮﺳـﺘﻪ‬

‫اﺳــــــــﺖ‪ 4 > o .‬ﻣﻮﺟــــــــﻮد اﺳــــــــﺖ ﺑــــــــﻪ ﻃــــــــﻮري ﮐــــــــﻪ‬ ‫) ‪f (a‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪f ( x) − f (a ) < −‬‬

‫⇒‬

‫) ‪f (a‬‬ ‫) ‪f (a‬‬ ‫‪< f ( x) < f (a ) −‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪x−a <4‬‬ ‫‪⇒ f (a ) +‬‬

‫‪3‬‬ ‫) ‪f (a‬‬ ‫< )‪f (a ) < f ( x‬‬ ‫ﭘﺲ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪www.fanavari-it.ir‬‬


‫‪٤٣‬‬

‫ﻓﺼﻞ دوم‪ :‬ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ‬

‫ﺣﺎل ﭼﻮن ‪ f (a ) < o‬ﭘﺲ در ﻫﻤﺴﺎﯾﮕﯽ ‪ δ‬از ‪ f ، a‬ﻣﻨﻔﯽ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪ (3‬ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ﺗﺎﺑﻊ ‪ f‬در ‪ xo‬ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ و در ﻫﺮ ﻫﻤﺴﺎﯾﮕﯽ ‪ x‬ﻧﻘـﺎﻃﯽ ﻣﺎﻧﻨـﺪ ‪x2 , x1‬‬

‫وﺟﻮد داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ ﮐﻪ ‪ . f ( x1 ) < o , f ( x2 ) > o‬ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ ‪. f (xo ) = o‬‬ ‫ﺣﻞ( اﮔﺮ ‪ f (xo ) ≠ o‬ﻃﺒﻖ ﻣﺴﺄﻟﻪ )‪ (2‬ﻫﻤﺴﺎﯾﮕﯽ ﻫﺎﯾﯽ ﺣﻮل ‪ xo‬وﺟـﻮد دارد ﮐـﻪ روي‬ ‫آﻧﻬﺎ ‪ f (x) > o‬ﯾﺎ ‪ . f (x) < o‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ﻧﻘﺎط ‪ x2 , x1‬ﺑﺎ ﺷﺮاﯾﻂ ﻓﻮق وﺟﻮد ﻧﺪارد‬ ‫ﭘﺲ ‪ f (xo ) = o‬اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪ x = o‬ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬

‫‪ (4‬ﻣﻘﺪار ‪ a‬را ﻃﻮري ﺗﻌﯿﯿﻦ ﮐﻨﯿﺪ ﮐﻪ ﺗﺎﺑﻊ زﯾﺮ در ﻧﻘﻄﻪ‬ ‫‪x≠o‬‬

‫‪,‬‬

‫‪x=o‬‬

‫‪,‬‬

‫‪ x +1 −1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪f ( x) =  3 x + 1 − 1‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪x +1 −1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪= lim‬‬ ‫=‬ ‫‪lim f ( x) = lim 3‬‬ ‫‪x→o‬‬ ‫‪x→o‬‬ ‫‪x + 1 − 1 x→o 1 + x − 1 2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫= ‪⇒a‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1+‬‬

‫ﺣﻞ(‬

‫‪ (5‬ﻓـــــــــــــﺮض ﮐﻨﯿـــــــــــــﺪ در ﻧﻘـــــــــــــﺎط دﯾﮕـــــــــــــﺮ‬ ‫)‪x ∈ (−1,o) ∪ (o,1‬‬

‫‪,‬‬

‫‪x=o‬‬

‫‪,‬‬

‫ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ ‪ f‬در ﻧﻘﻄﻪ ﻫﺎي‬ ‫ﺣﻞ(‬

‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪[x + 1]sin‬‬ ‫‪f ( x) = ‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪o‬‬

‫‪ 1 , o‬ﺑﺮرﺳﯽ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪=o×k =o‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪lim [x + 1]sin‬‬

‫‪o→ −‬‬

‫‪,‬‬

‫‪xo = o‬‬

‫‪www.fanavari-it.ir‬‬


‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )‪(١‬‬

‫‪٤٤‬‬

‫ﺣﺪ راﺳﺖ اﯾﻦ ﺗﺎﺑﻊ وﺟﻮد ﻧﺪارد ﭘﺲ ﺗﺎﺑﻊ در ﺻﻔﺮ ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ ﻧﯿﺴﺖ‪.‬‬ ‫ﺑﺮاي ‪ xo = 1‬ﺣﺪ راﺳﺖ ﺑﺮاﺑﺮ ‪ 0‬اﺳﺖ زﯾﺮا‪:‬‬ ‫‪lim f ( x) = o‬‬

‫‪x→1+‬‬

‫⇒‬

‫‪x>1‬‬

‫‪f ( x) = o‬‬

‫⇒‬

‫‪1 × sin 1 = sin 1 ≠ o‬‬

‫=‬

‫⇒ ‪x → 1+‬‬ ‫)‪f ( x‬‬

‫‪lim‬‬

‫‪x→1−‬‬

‫ﭘﺲ ﺗﺎﺑﻊ در ﻧﻘﻄﻪ ‪ 1‬ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ ﻧﯿﺴﺖ‪.‬‬ ‫‪x>o‬‬ ‫‪x = o (6‬‬ ‫‪x<o‬‬

‫‪,‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪,‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪f ( x) = o‬‬ ‫‪− 1‬‬ ‫‪‬‬

‫ﻧﺎﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ ﺗﺎﺑﻊ ﻫﺎي ‪ fog‬و ‪ gof‬را ﺗﻌﯿﯿﻦ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬ ‫ﺣـــﻞ‪ :‬ﭼـــﻮن ﻫﻤـــﻮاره ‪ o ≤ x − [x] < 1‬ﭘـــﺲ ‪ g (x) > o‬اﺳـــﺖ ﻟـــﺬا‬ ‫‪ fog ( x) = f ( g ( x)) = 1‬اﯾﻦ ﺗﺎﺑﻊ ﻫﻤﻮاره ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﺑﺮاي ‪ gof‬دارﯾﻢ‪:‬‬ ‫‪x>o‬‬ ‫‪x=o‬‬ ‫‪x<o‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪gof ( x) = 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬

‫ﭘﺲ ‪ gof (x) = 1‬ﻫﻤﻮاره ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﺗﻮﺟﻪ‪ :‬اﯾﻦ ﻣﺜﺎل ﻧﺸﺎن ﻣﯽ دﻫﺪ ﻣﻤﮑﻦ اﺳﺖ دو ﺗﺎﺑﻊ ﻧﺎﭘﯿﻮﺳﺘﻪ ﺑﺎﺷﻨﺪ وﻟﯽ ﺗﺮﮐﯿﺐ آﻧﻬﺎ ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ‬ ‫ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬ ‫‪ (7‬ﺛﺎﺑــﺖ ﮐﻨﯿــﺪ ﺗــﺎﺑﻌﯽ ﻣﺎﻧﻨــﺪ ‪ f‬در ﻧﻘﻄــﻪ ‪ a‬ﭘﯿﻮﺳــﺘﻪ اﺳــﺖ اﮔــﺮ و ﻓﻘــﻂ اﮔــﺮ‬ ‫) ‪lim f ( x + a ) = f (a‬‬ ‫‪x→o‬‬

‫‪www.fanavari-it.ir‬‬


‫‪٤٥‬‬

‫ﻓﺼﻞ دوم‪ :‬ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ‬

‫ﺣﻞ( اﮔﺮ ‪ f‬در ‪ a‬ﭘﯿﻮﺳـﺘﻪ ﺑﺎﺷـﺪ‪ .‬ﺑـﻪ ازاي ‪ ε > o‬داده ﺷـﺪه ‪ δ > o‬ﻣﻮﺟـﻮد‬ ‫اﺳﺖ ﮐﻪ‬ ‫‪f ( x) − f (a ) < ε‬‬

‫⇒‬

‫‪x− a <δ‬‬

‫اﮔﺮ ﺑﻪ ﺟﺎي ‪ x + a , x‬ﻗﺮار دﻫﯿﻢ دارﯾﻢ‪:‬‬ ‫⇒ ‪x − o = (x + a ) − a < δ‬‬

‫‪f ( x + a ) − f (a ) < ε‬‬

‫و اﯾﻦ ﯾﻌﻨﯽ ) ‪lim f ( x + a ) = f (a‬‬ ‫‪x→o‬‬

‫ﺣﺎل ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ‪lim f ( x + a ) = f (a ) :‬‬ ‫‪x→o‬‬

‫اﮔﺮ ﺑﻪ ﺟﺎي ‪ x‬ﻗﺮار دﻫﯿﻢ ‪ t-a‬ﻫﺮﮔﺎه ‪ x → o‬آن ﮔﺎه ‪. t → a‬‬ ‫) ‪lim f (t ) = f (a‬‬ ‫ﭘﺲ‬ ‫‪t→a‬‬

‫ﭘﺲ ‪ f‬در ‪ a‬ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﺳﺖ‪.‬‬

‫‪ (8‬ﻧﻘﺎط ﻧﺎﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ ﻫﺮ ﯾﮏ از ﺗﻮاﺑﻊ زﯾﺮ را ﺗﻌﯿﯿﻦ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬ ‫‪(1‬‬

‫‪x ≤1‬‬ ‫‪x >1‬‬

‫ﺣﻞ(‬

‫‪ x‬‬ ‫‪f ( x) = ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫دارﯾﻢ‪f (1) = f (−1) = 1 :‬‬

‫ﺗﺎﺑﻊ در ‪ 1‬ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪lim f ( x) = lim− x = 1‬‬ ‫‪x→ 1‬‬

‫‪x→ 1−‬‬

‫‪x→1‬‬

‫‪x→1+‬‬

‫⇒ ‪lim f ( x) = lim+ 1 = 1‬‬

‫ﺗﺎﺑﻊ در ‪ x = −1‬ﻧﺎﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﺳﺖ‪.‬‬

‫‪www.fanavari-it.ir‬‬


‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )‪(١‬‬

‫‪٤٦‬‬

‫‪f ( x) = lim x = −1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪x→−1‬‬

‫⇒‬

‫‪lim‬‬

‫‪x→−1+‬‬

‫‪lim f ( x) = lim 1 = 1‬‬

‫‪x→−1−‬‬

‫‪ π‬‬ ‫‪cos x , x ≤ 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪(2‬‬ ‫‪f ( x) = ‬‬ ‫‪ x −1‬‬ ‫‪, x >1‬‬ ‫‪‬‬

‫ﺣﻞ( دارﯾﻢ ‪. f (−1) = f (1) = o‬‬

‫ﺗﺎﺑﻊ در ‪ -1‬ﻧﺎﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﺳﺖ‪.‬‬

‫‪π‬‬ ‫‪x=o‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪lim + f ( x) = lim + cos‬‬ ‫‪x→ −1‬‬

‫⇒‬

‫‪f ( x) = lim x − 1 = 2‬‬ ‫‪x→−1−‬‬

‫‪x→ −1‬‬

‫‪lim‬‬

‫‪x→ −1−‬‬

‫‪f ( x) = x[x] (3‬‬

‫ﺣﻞ( ﺗﺎﺑﻊ در اﻋﺪاد ﺻﺤﯿﺢ ﺑﻪ ﻏﯿﺮ از ﺻﻔﺮ ﻧﺎﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﺳﺖ‪ .‬در ﺻﻔﺮ‪:‬‬ ‫)‪lim x[x] = o × Q = o = f (o‬‬ ‫‪x→o‬‬

‫‪f ( x) = x − [x] (4‬‬

‫ﺣﻞ( ﺗﺎﺑﻊ در ﺗﻤﺎم اﻋﺪاد ﺻﺤﯿﺢ ﻧﺎﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪f ( x) =   (5‬‬ ‫‪ x‬‬

‫‪,‬‬

‫}‪x ∈ R − {o‬‬

‫‪1‬‬ ‫اﯾﻦ ﺗﺎﺑﻊ در ﻧﻘﺎط ﺑﻪ ﺻﻮرت‬ ‫‪n‬‬

‫‪[ x ] (6‬‬

‫ﮐﻪ ‪ n ∈ Ζ‬اﺳﺖ ﻧﺎﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﺳﺖ‪.‬‬

‫‪ f ( x) = x −‬اﯾﻦ ﺗﺎﺑﻊ در ﺗﻤﺎم ﻧﻘﺎﻃﯽ ﮐـﻪ ‪x = n‬‬

‫و ‪ n‬ﻋـﺪدي ﻃﺒﯿﻌـﯽ ﯾـﺎ‬

‫ﺻﻔﺮ اﺳﺖ ﻧﺎﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﺳﺖ‪.‬‬

‫‪www.fanavari-it.ir‬‬


‫ﻓﺼﻞ دوم‪ :‬ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ‬

‫‪(7‬‬

‫‪x∈Q‬‬

‫‪,‬‬

‫‪x∉Q‬‬

‫‪,‬‬

‫‪٤٧‬‬

‫‪ x2‬‬ ‫‪f ( x) =  2‬‬ ‫‪− x‬‬

‫ﺣﻞ( اﯾﻦ ﺗﺎﺑﻊ ﻓﻘﻂ در ﺻﻔﺮ ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﺳﺖ ﭼﻮن ﻫﺮ دﻧﺒﺎﻟﻪ } ‪ {a n‬ﮔﻮﯾﺎ ﯾـﺎ اﺳـﻢ ﮐـﻪ ﺑـﻪ‬ ‫ﺻﻔﺮ ﻣﯿﻞ ﮐﻨﺪ ‪ − a n 2 , a n 2‬ﻧﯿﺰ ﺑﻪ ﺻﻔﺮ ﻣﯿﻞ ﻣﯽ ﮐﻨﺪ‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺑﺮاي ﺳﺎﯾﺮ ﻧﻘﺎط‪ :‬اﮔﺮ ‪ xo ∈ Q‬ﺑﺎﺷﺪ‬ ‫‪n‬‬

‫‪ a n = xo +‬در ً‪ Q‬ﻗﺮار دارد و‬

‫‪1‬‬ ‫)‪f (a n ) = ( xo + ) 2 → xo 2 = f ( xo‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫و‬ ‫‪n‬‬

‫‪ bn = xo +‬در ‪ Q‬ﻗﺮار ﻧﺪارد و‬ ‫) ‪) 2 → − x ≠ f ( xo‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪f (bn ) = −( xo +‬‬

‫ﻣﺸﺎﺑﻪ اﯾﻦ ﺗﺎﺑﻊ در اﻋﺪاد اﺻﻢ ﻧﯿﺰ ﻧﺎﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫]‪x ∈ [o , 1‬‬ ‫‪(8‬‬ ‫) ‪x ∈ (1,3‬‬

‫‪ x4‬‬ ‫‪f ( x) = ‬‬ ‫‪x + 1‬‬

‫ﺣﻞ( اﯾﻦ ﺗﺎﺑﻊ در ‪ xo = 1‬ﻧﺎﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﺳﺖ ﭼﻮن‬ ‫ﺗﺎﺑﻊ ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ ﻧﯿﺴﺖ‬

‫⇒ ‪f ( x) = lim ( x + 1) = 2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪x→1‬‬

‫‪lim‬‬

‫‪x→1+‬‬

‫‪f (1) = 1‬‬

‫ﺗﻮﺟﻪ ﮐﻨﯿﺪ داﻣﻨﻪ ﺗﺎﺑﻊ ﺑﺮاﺑﺮ ] ‪ [o,3‬اﺳﺖ ﮐﻪ در ‪ xo = 1‬ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ ﻧﯿﺴﺖ‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x ∈ [o,1] , f ( x) = − x + [2 x] − [1 − 2 x] (9‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﺣﻞ( دارﯾﻢ‬

‫‪www.fanavari-it.ir‬‬


‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )‪(١‬‬

‫‪٤٨‬‬ ‫)‪f ( o‬‬

‫‪,‬‬

‫‪1 1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫=) (‪f‬‬ ‫‪f (1) = 1‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫]‪f ( x) = − x + [2 x] − − [− 2 x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)]‪= − x + ([2 x] − [− 2 x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪−1 1‬‬ ‫=)‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x→o‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫= ‪lim− f ( x) = o +‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫‪x→o‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪lim f ( x) = − 1 + (2 − (−3 )) = −1 +‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x→1+‬‬ ‫( ‪f ( x) = o −‬‬

‫ﺗﺎﺑﻊ در ﺻﻔﺮ ﻧﺎﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﺳﺖ‪.‬‬

‫‪lim‬‬

‫‪+‬‬

‫ﺗﺎﺑﻊ در ‪ 1‬ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ ﻧﯿﺴﺖ‬ ‫⇒‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪3 1‬‬ ‫‪f ( x) = − + (1 − (−2)) = − = 1‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺗﺎﺑﻊ در‬ ‫‪2‬‬

‫‪lim‬‬

‫‪1+‬‬ ‫‪2‬‬

‫→‪x‬‬

‫ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ ﻧﯿﺴﺖ ⇒‬

‫‪ (9‬ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ‪ f ( x) = x − 4‬ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ ‪ f‬روي ﺑﺎزه ]‪ [4,10‬ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﺣﻞ( ﭼــﻮن ﺑــﺮاي ﻫــﺮ ]‪x ∈ [4,10‬‬

‫‪,‬‬

‫‪ x − ε ≥ o‬اﺳــﺖ و ﺗــﺎﺑﻊ ‪x − 4‬‬

‫ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﺳﺖ ﭘﺲ ‪ f‬روي اﯾﻦ ﺑﺎزه ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪(10‬‬

‫ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ‪ f : [o,+∞] → R‬ﺗـﺎﺑﻌﯽ دﻟﺨـﻮاه ﺑﺎﺷـﺪ و ) ‪ , g ( x) = f ( x‬ﺛﺎﺑـﺖ‬ ‫ﮐﻨﯿﺪ ‪ f‬در ﻧﻘﻄﻪ ‪ o‬از راﺳﺖ ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﺳﺖ اﮔﺮ و ﻓﻘﻂ اﮔﺮ ‪ g‬در ﻧﻘﻄﻪ ‪ o‬ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬

‫اﺳــﺖ ﭘــﺲ ‪ x ≥ o‬از راﺳــﺖ ﭘﯿﻮﺳــﺘﻪ ﺑﺎﺷــﺪ‪ .‬ﭼــﻮن ‪ o‬در ‪f‬ﻓــﺮض ﮐﻨﯿــﺪ ﺣﻞ(‬ ‫)‪g ( x) = lim f ( x ) = f (o) = g (o‬‬ ‫‪x→o‬‬

‫‪lim‬‬

‫‪x→o‬‬

‫‪www.fanavari-it.ir‬‬


‫ﻓﺼﻞ دوم‪ :‬ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ‬

‫‪٤٩‬‬

‫ﭘﺲ ‪ g‬در ﺻﻔﺮ ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫اﮔﺮ ‪ g‬در ﺻﻔﺮ ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬آن ﮔﺎه‬ ‫)‪f ( x) = lim f ( x ) = lim g ( x) = g (o) = f (o‬‬ ‫‪x→o‬‬

‫‪x→o‬‬

‫‪lim‬‬

‫‪x→o+‬‬

‫ﭘﺲ ‪ f‬از راﺳﺖ در ‪ o‬ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪(11‬‬

‫آﯾﺎ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ‪ x5 − 18 x + 2 = o‬رﯾﺸﻪ اي در ﺑﺎزه ]‪ [− 1 , 1‬دارد؟‬ ‫ﺣﻞ( ﺑﻠﻪ اﮔﺮ ‪ f ( x) = x5 − 18 x + 2‬در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﯿﺮﯾﻢ‪:‬‬

‫ﺗﺎﺑﻊ داراي رﯾﺸﻪ اﺳﺖ‬ ‫‪(12‬‬

‫⇒‬

‫‪f (o) f (1) < o‬‬

‫‪f (o) = 2‬‬ ‫‪f (1) = −15‬‬

‫⇒‬

‫ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ‪ x5 − 3 x2 − x + 1 = o‬ﺣﺪاﻗﻞ ﯾﮏ رﯾﺸﻪ درﺑﺎره )‪ (o,2‬دارد‪.‬‬ ‫ﺣﻞ( ‪ f ( x) = x5 − 3 x2 − x + 1‬را در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﯿﺮﯾﺪ‪.‬‬

‫ﺣـــــــــــــــــــــﺪاﻗﻞ ﯾـــــــــــــــــــــﮏ رﯾﺸـــــــــــــــــــــﻪ دارد‪.‬‬ ‫⇒‬

‫‪(13‬‬

‫‪f (o) f (1) < o‬‬

‫⇒‬

‫‪f (o) = 1‬‬ ‫‪f (1) = 1 − 3 − +1 = −2‬‬

‫ﻓـﺮض ﮐﻨﯿـﺪ ﺗـﺎﺑﻊ ] ‪ f : [1,2] → [o, 3‬ﭘﯿﻮﺳـﺘﻪ ﺑﺎﺷـﺪ و ‪ f (2) = 3‬و ‪f (1) = o‬‬

‫ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ ﻋﺪدي ﻣﺎﻧﻨﺪ ‪ xo‬در ﺑﺎزه )‪ (1,2‬ﻣﻮﺟﻮد اﺳﺖ ﮐﻪ ‪. f ( xo ) = xo‬‬ ‫ﺣﻞ( اﮔﺮ ﺗﺎﺑﻊ ‪ h( x) = f ( x) − x‬را در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﯿﺮﯾﺪ‪ .‬دارﯾﻢ‪:‬‬ ‫‪h(1) = f (1) − 1 = o − 1 = −1‬‬ ‫‪h(2) = f (2) − 2 = 3 − 2 = 1‬‬

‫ﭼــﻮن ‪ h(1)h(2) < o‬اﺳــﺖ‪ .‬ﭘــﺲ ‪ x‬در )‪2‬و‪ (1‬ﻣﻮﺟــﻮد اﺳــﺖ ﮐــﻪ ‪ h(xo ) = o‬ﭘــﺲ‬ ‫‪f ( xo ) = xo‬‬

‫‪www.fanavari-it.ir‬‬


‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )‪(١‬‬

‫‪٥٠‬‬

‫‪x3‬‬ ‫ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ‪ . f ( x) = − sin( πx) + 3‬آﯾﺎ ﻋﺪدي ﻣﺎﻧﻨﺪ ‪ xo‬در ﺑﺎزه )‪ 2‬و ‪(-2‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪(14‬‬

‫‪7‬‬ ‫وﺟﻮد دارد ﮐﻪ‬ ‫‪3‬‬

‫= ) ‪ f ( xo‬؟‬

‫ﺣﻞ( ﭼــﻮن ‪ f (−2) = −2 + 3 = 1 , f (2) = 2 + 3 = 5‬و ﺗــﺎﺑﻊ ‪ f‬روي )‪ 2‬و ‪(-2‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪3‬‬

‫ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﺳﺖ و ‪ 1 < < 5‬ﭘﺲ ‪ xo‬وﺟﻮد دارد‪.‬‬ ‫ﻓــــــﺮض ﮐﻨﯿــــــﺪ ﺗــــــﺎﺑﻊ ‪ f : [− 1,1] → R‬ﭘﯿﻮﺳــــــﺘﻪ ﺑﺎﺷــــــﺪ‪,‬‬

‫‪(15‬‬

‫‪. f ( x) ≠ 2 , x ∈ [− 1,1] , f (o) = o‬‬ ‫ﺣﻞ( اﮔﺮ ﺑﻪ ازاي ‪ f ( xo ) > 2 , xo‬ﺷﻮد‪ ,‬ﻃﺒﻖ ﻗﻀﯿﻪ ﻣﻘﺪار ﻣﯿﺎﻧﯽ ﺗـﺎﺑﻊ ﻫـﺮ ﻣﻘـﺪار‬ ‫ﺑﯿﻦ ‪ f ( xo ) , f (o) = o‬را ﺧﺼﻮﺻﺎ ﻣﻘﺪار ‪ 2‬را ﻣﯽ ﮔﯿﺮد ﯾﻌﻨﯽ ‪ x‬ي وﺟـﻮد دارد‬ ‫ﮐﻪ ‪ . f (x) = 2‬و اﯾﻦ ﺗﻨﺎﻗﺾ اﺳﺖ‪ .‬ﭘﺲ ﻫﻤﻮاره ‪ f (x) < 2‬اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﻓـــــــﺮض ﮐﻨﯿـــــــﺪ ﺗـــــــﺎﺑﻊ ‪ f : [3,5] → R‬ﭘﯿﻮﺳـــــــﺘﻪ ﺑﺎﺷـــــــﺪ‪.‬‬

‫‪(16‬‬

‫‪ f ( x) ≠ 4 , x ∈ [3,5] , f (3 ) = 30‬ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ ‪. f (5) < 4‬‬ ‫ﺣﻞ( اﮔﺮ ‪ f (5) > 4‬ﺑﺎﺷﺪ‪ ,‬ﭼﻮن ﺗﺎﺑﻊ ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﺳﺖ ﻣﻘﺎدﯾﺮ ﺑﯿﻦ ‪ f (3) = 3‬و )‪ f (5‬را‬ ‫ﺧﺼﻮﺻﺎ ﻣﻘﺪار ‪ 4‬را ﻣﯽ ﮔﯿﺮد ‪ ,‬ﯾﻌﻨﯽ ‪ x‬وﺟﻮد دارد ﮐـﻪ ‪ f (x) = 4‬ﮐـﻪ ﺗﻨـﺎﻗﺾ ﺑـﺎ‬ ‫ﻓﺮض اﺳﺖ‪ .‬ﭘﺲ ‪ f (5) < 4‬اﺳﺖ‪.‬‬ ‫)‪(17‬‬

‫ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ﺗﺎﺑﻊ ‪ f : [o, 3 ] → R‬ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ‪ f (o) = 1 ،‬و ﻣﻌﺎدﻟـﻪ ‪f (x) = o‬‬

‫ﻫﯿﭻ رﯾﺸﻪ اي درﺑﺎزه ] ‪ [o, 3‬ﻧﺪاﺷـﺘﻪ ﺑﺎﺷـﺪ ﺛﺎﺑـﺖ ﮐﻨﯿـﺪ ﺑـﺮاي ﻫـﺮ ] ‪ ، x ∈ [o,3‬دارﯾـﻢ‬ ‫‪f (x) > o‬‬

‫ﺣﻞ( ﺑﺮاي ] ‪ [o, x] x ∈ [o,3‬را در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﯿﺮﯾﺪ‪ f ,‬روي اﯾﻦ ﺑﺎزه ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﺳـﺖ‪ .‬ﭼـﻮن‬ ‫‪ , f (0) = 1‬اﮔﺮ ‪ f (x) < o‬ﺑﺎﺷﺪ‪ ,‬ﺣﺘﻤﺎً ‪ f‬روي اﯾﻦ ﺑﺎزه رﯾﺸﻪ داردﮐﻪ ﺗﻨﺎﻗﺾ اﺳﺖ‪،‬‬

‫‪www.fanavari-it.ir‬‬


‫ﻓﺼﻞ دوم‪ :‬ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ‬

‫‪٥١‬‬

‫ﭘﺲ ﻫﻤﻮاره ‪. f (x) > o‬‬ ‫)‪(18‬‬

‫ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ‪f (o) = o , f : R → R‬‬

‫‪f ( x + y) ≤ f ( x) + f ( y) , x, y ∈ R‬‬

‫ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ اﮔﺮ ‪ f‬در ﻧﻘﻄﻪ ‪ o‬ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ در ﻫﺮ ﻧﻘﻄﻪ دﯾﮕﺮ ﻫﻢ ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﺳﺖ‬ ‫) ‪lim f ( x + a ) = f (a‬‬ ‫‪x→o‬‬ ‫ﺣﻞ( ﻧﻘﻄﻪ دﻟﺨﻮاه ‪ a‬را در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﯿﺮﯾﺪ ﻧﺸﺎن ﻣﯽ دﻫﯿﻢ‬

‫ﺑﺮاي ‪ ε > 0‬داده ﺷﺪه ‪ δ > 0 ,‬وﺟﻮد دارد ﮐﻪ‬ ‫‪⇒ f (x) < ε‬‬

‫‪x <δ‬‬

‫)‪f ( x + a ) ≤ f ( x) + f ( x‬‬ ‫)‪⇒ f ( x + a ) − f (a ) ≤ f ( x‬‬ ‫‪⇒ x < δ ⇒ f ( x + a ) − f (a ) ≤ f (a ) < ε‬‬

‫و اﯾﻦ ﯾﻌﻨﯽ ) ‪ lim f ( x + a ) = f (a‬ﭘﺲ ‪ f‬در ‪ a‬ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪x→o‬‬

‫)‪(19‬‬

‫ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ‪ I‬ﺑﺎزه اي ﺑﺎز ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﺗﺎﺑﻊﻫﺎي ‪ f , g : I → R‬ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬و‪:‬‬

‫‪s ( x) = Min{ f ( x), g ( x)} x ∈ I‬‬ ‫‪t ( x) = Max{ f (a ), g ( x)} x ∈ I‬‬

‫ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ ‪ s‬و ‪ t‬ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﻧﺪ‪:‬‬ ‫ﺣﻞ( ﺗﻮاﺑﻊ ‪ s‬و ‪ t‬را ﻣﯽ ﺗﻮان ﺑﻪ ﺻﻮرت زﯾﺮ ﻧﻮﺷﺖ‪:‬‬

‫‪www.fanavari-it.ir‬‬


‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )‪(١‬‬

‫‪٥٢‬‬

‫)‪f ( x) + g ( x) f ( x) − g ( x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫= )‪s ( x‬‬

‫)‪f ( x) + g ( x) f ( x) − g ( x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫= )‪t ( x‬‬

‫ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﻓﺮض ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ ‪ f‬و ‪ g‬ﻫﻤﻪ ﺗﻮاﺑﻊ ﺳﻤﺖ راﺳﺖ ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﻧﺪ‪.‬‬ ‫)‪(20‬‬

‫دو ﺗﺎﺑﻊ ﻣﺎﻧﻨﺪ ‪ f‬و ‪ g‬در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﯿﺮﯾﺪ‪ .‬آﯾﺎ ﻣﻤﮑﻦ اﺳﺖ؟‬

‫اﻟﻒ( ‪ f‬در ﻧﻘﻄﻪ ‪ a‬ﭘﯿﻮﺳـﺘﻪ ﺑﺎﺷـﺪ و ‪ g‬در ﻧﻘﻄـﻪ ‪ a‬ﭘﯿﻮﺳـﺘﻪ ﻧﺒﺎﺷـﺪ اﻣـﺎ ‪ fog‬در ﻧﻘﻄـﻪ ‪a‬‬

‫ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬ ‫ﺣﻞ(‬

‫‪x>o‬‬ ‫ﺗﺎﺑﻊ ‪ f ( x) = x2‬و ‪x < o‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪g ( x) = ‬‬ ‫‪− 1‬‬ ‫را در ﻧﻈﺮ ﻣﯽﮔﯿﺮﯾﻢ‬

‫‪ f‬در ‪ a = o‬ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﺳﺖ وﻟﯽ ‪ g‬در ‪ a = o‬ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ ﻧﯿﺴﺖ اﻣﺎ‪:‬‬ ‫‪fog ( x) = 1‬‬

‫ﻫﻤﻪ ﺟﺎ ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ب( ‪ f‬در ‪ a‬ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ و ‪ g‬در ‪ a‬ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ ﻧﺒﺎﺷﺪ اﻣﺎ ‪ fog‬در ‪ a‬ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬ ‫ﺣﻞ( ﻣﺜﺎل ﻗﺴﻤﺖ اﻟﻒ را در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﯿﺮﯾﺪ اﯾﻨﺒﺎر ‪. gof (x) = 1‬‬ ‫ج( ﻧﻪ ‪ f‬در ‪ a‬ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ وﻧﻪ ‪ g‬اﻣﺎ ‪ fog‬در ‪ a‬ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬ ‫ﺣﻞ( ﺗﻤﺮﯾﻦ )‪ (6‬ﻣﺜﺎل ﻣﻮرد ﻧﻈﺮ اﺳﺖ‬ ‫)‪ )21‬اﻟﻒ( ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ ﻫﺮ ﭼﻨﺪ ﺟﻤﻠﻪ اي از درﺟﻪ ﻓﺮد ﺣﺪ اﻗﻞ ﯾﮏ رﯾﺸﻪ ﺣﻘﯿﻘﯽ دارد‪.‬‬ ‫ﺣﻞ( اﮔﺮ )‪ f(x‬ﭼﻨﺪ ﺟﻤﻠﻪ اي درﺟﻪ ﻓﺮد ﺑﺎﺷﺪ آﻧﮕﺎه‬ ‫ﺣﺪاﻗﻞ ﯾﮏ رﯾﺸﻪ دارد‪.‬‬

‫‪www.fanavari-it.ir‬‬


‫‪٥٣‬‬

‫ﻓﺼﻞ دوم‪ :‬ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ‬

‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ب( ﻓــﺮض ﮐﻨﯿــﺪ ‪ p( x) = x + ax + bx + cx + d‬و ‪ d < o‬ﺛﺎﺑــﺖ ﮐﻨﯿــﺪ ﻣﻌﺎدﻟــﻪ‬

‫‪ p(x) = 0‬ﺣﺪ اﻗﻞ دو رﯾﺸﻪ ﻣﺘﻤﺎﯾﺰ دارد‪.‬‬

‫∞ ‪lim f ( x) = +‬‬ ‫∞‪x→+‬‬

‫⇒‬

‫∞ ‪lim f ( x) = −‬‬ ‫∞‪x→ −‬‬

‫ﺣﻞ( ﭼــــــــــــــــــــــــــﻮن ‪ f (o) = d < o‬و‬ ‫‪f ( x) = ∞ > o‬‬

‫‪lim‬‬

‫∞ ‪x→ +‬‬

‫‪lim f ( x) = +∞ > o‬‬

‫∞ ‪x→ −‬‬

‫و‬

‫و‪.‬‬

‫ﭘﺲ ﺣﺪ اﻗﻞ رﯾﺸﻪ در ﺑﺎزه )‪ (−∞,o‬و ﯾﮏ رﯾﺸﻪ در ﺑﺎزه )∞ ‪ (o , +‬دارد‪.‬‬ ‫‪(22‬‬

‫ﻓــــــــــــﺮض ﮐﻨﯿــــــــــــﺪ ‪ n‬ﻋــــــــــــﺪدي زوج ﺑﺎﺷــــــــــــﺪ‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n −1‬‬ ‫‪ f ( x) = a n x + a n −1x + ..... + a1x + a o‬و ‪ . a n a o ≠ o‬ﺛﺎﺑــﺖ ﮐﻨﯿــﺪ ﻣﻌﺎدﻟــﻪ‬

‫‪ f (x) = o‬ﺣﺪاﻗﻞ دو رﯾﺸﻊ ﺣﻘﯿﻘﯽ دارد‪.‬‬ ‫ﺣﻞ( ﭼــﻮن ‪ a n a o < o‬ﻓــﺮض ﮐﻨﯿــﺪ ‪ a o < o‬و ‪ . a n > o‬ﭼــﻮن ‪ n‬زوج اﺳــﺖ و‬ ‫‪ a n > o‬ﭘﺲ‬ ‫∞‪a n xn = +‬‬

‫‪f ( x) = lim‬‬

‫‪lim‬‬

‫= ) ‪f (a‬‬

‫‪lim‬‬

‫∞ ‪x→ +‬‬

‫‪n‬‬ ‫∞‪lim a n x = +‬‬

‫∞ ‪x→ +‬‬

‫∞ ‪x→ +‬‬

‫∞ ‪x→ +‬‬

‫از ﻃﺮﻓﯽ ‪ f (o) = a :< o‬ﭘﺲ ﺣﺪ اﻗـﻞ ﯾـﮏ رﯾﺸـﻪ ﺣﻘﯿﻘـﯽ در )‪ (−∞ , o‬و ﯾـﮏ رﯾﺸـﻪ‬ ‫ﺣﻘﯿﻘﯽ در )∞ ‪ (o , +‬وﺟﻮد دارد‪.‬‬

‫‪www.fanavari-it.ir‬‬


‫‪٥٤‬‬

‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )‪(١‬‬

‫‪www.fanavari-it.ir‬‬


‫ﻓﺼﻞ ﺳﻮم‬

‫ﻣﺸﺘﻖ‬

www.fanavari-it.ir


(١) ‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ‬

٢

192 ‫ ﺗﻤﺮﯾﻦ ﺻﻔﺤﻪ‬17-1-3 .‫( ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﺗﻌﺮﯾﻒ ﻣﺸﺘﻖ ﻫﺮ ﯾﮏ را ﺣﺴﺎب ﮐﻨﯿﺪ‬1) f ( x) = 3 x + 1 f ' ( x) = lim

3 ( x + h) + 1 − 3 x − 1 3h = lim =3 h h f ( x) = 3 x + 4

(2

3 ( x + h) + 4 − 3 x + 4 3 ( x + h) + 4 − ( 3 x + 4 ) = lim =3 h h 3 ( x + h) + 4 + x + 4

f ' ( x) = lim

h→ o

= lim

(1

3h 3 = h 3 ( x + h) + 4 + x + 4 2 3 x + 4 f ( x) = 2x

2

2x o

3x

x2 + 1

(3

x + 1 xo2 + 1 2 x xo2 + 2 x − 2 xo x2 − 2xo = lim lim x→o x − xo ( x − xo ) ( x2 + 1) ( xo2 )

= lim

lim

2 x xo2 + 2 x − 2 xo x2 − 2 xo

( x − xo ) ( x2 + 1) ( xo 2 + 1) 2(1 − xo 2 )

( xo 2 + 1) 2

= f ' ( xo ) f ( x) =

www.fanavari-it.ir

x x +1

(4


٣

‫ ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ‬:‫ﻓﺼﻞ دوم‬

lim

x xo − x +1 xo + 1 x xo + 1 − xo x + 1 = x − xo ( x − xo ) x + 1 xo + 1

= lim

x − xo 1 = ( x − xo ) x + 1 xo + 1 ( x xo + 1 + xo x + 1 2( xo + 1) xo + 1

.‫( ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﺗﻌﺮﯾﺐ ﻣﺸﺘﻖ ﻫﺮ ﯾﮏ را در ﻧﻘﻄﻪ داده ﺷﺪه ﺣﺴﺎب ﮐﻨﯿﺪ‬2) f ( x) = 5 x2 + x f ' (1) = lim

(1

5 x2 + x − 6 (5 x + 6 ) ( x − 1) = lim = 11 x −1 x −1 x =1

f ' (2) = lim

x →2

,

f ( x) = x2 + 5

(2

4 2 x2 + 5 − 3 x2 − 4 = ` lim = = x →2 ( x − 1) ( x2 + 5 + 3 ) 6 3 x−2 x =1

,

f ( x) =

x+2 2x + 1

(3

x+2 −1 1− x 1 f ' (1) = lim 2 x + 1 = lim =− x→ 2 x →2 ( x − 1) (2 x + 1) x −1 3 x=1

www.fanavari-it.ir

,

f ( x) =

x x2 + 1

(4


‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )‪(١‬‬

‫‪٤‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪( x + 1)2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪=o‬‬ ‫‪f ' (1) = lim x + 1‬‬ ‫‪= lim‬‬ ‫‪x→ 2‬‬ ‫)‪x → 2 ( x + 1) (2 x + 1‬‬ ‫)‪( x + 1‬‬ ‫‪+‬‬

‫‪x‬‬

‫)‪ (3‬در ﺗﻮاﺑﻊ زﯾﺮ اوﻻً‪ ،‬ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ ﺗـﺎﺑﻊ را در ﻧﻘﻄـﻪ داده ﺷـﺪه ﺑﺮرﺳـﯽ ﮐﻨﯿـﺪ ) ‪ ( x = a‬ﺛﺎﻧﯿـﺎً‬ ‫) ‪ f +' (a‬و ) ‪ f −' (a‬را در ﺻﻮرت وﺟﻮد ﺗﻌﯿﯿﻦ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬ ‫‪x ≤ −4‬‬ ‫‪x > −4‬‬

‫‪(1‬‬

‫‪x + 2 ,‬‬ ‫‪f ( x) = ‬‬ ‫‪− x − 6 ,‬‬

‫‪،x=a =4‬‬

‫‪x=a =4‬‬ ‫ﺣﻞ( اوﻻً ﺗﺎﺑﻊ در ‪ a = −4‬ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﺳﺖ‪ .‬ﺛﺎﻧﯿﺎً ‪ f + ' (−4) = −1‬و ‪f − ' (−4) = 1‬‬

‫)‪(2‬‬

‫‪ x2 − 4 , x < 2‬‬ ‫‪f ( x) = ‬‬ ‫‪ x − 2 , x ≥ 2‬‬

‫‪,‬‬

‫‪a =2‬‬

‫ﺣﻞ( اوﻻً ﺗﺎﺑﻊ در ‪ a = 2‬ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﺳﺖ‪ .‬ﺛﺎﻧﯿﺎً ∞‪ f + ' (2) = +‬و ‪f −' (2) = 4‬‬ ‫‪ 3 x2 − 4 , x < 1‬‬ ‫‪ a = 2 , f ( x) = ‬ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﺳﺖ و ‪ f + ' (1) = 1‬و ‪f −' (1) = 6‬‬ ‫) ‪(3‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪x‬‬ ‫≥‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬

‫)‪ (4‬اوﻻً ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ ‪ f ( x) = x‬در ‪ x = o‬ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﺳﺖ وﻟﯽ ﻣﺸﺘﻖ ﭘﺬﯾﺮ ﻧﯿﺴﺖ‪.‬‬ ‫ﺣﻞ( ‪ f (o) = lim f ( x) = lim x = o‬ﭘﺲ ‪ f‬ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪x−o‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪= lim‬‬ ‫‪x →2 x‬‬ ‫‪x−o‬‬

‫‪lim‬‬

‫‪x →2‬‬

‫‪www.fanavari-it.ir‬‬


‫‪٥‬‬

‫ﻓﺼﻞ دوم‪ :‬ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ‬

‫ﭘﺲ ‪ f +' (o) = 1‬و ‪ f −' (o) = −1‬اﺳﺖ‪ .‬ﻟﺬا ﺗﺎﺑﻊ ﺻﻔﺮ ﻣﺸﺘﻖ ﻧﺪارد‬ ‫‪x‬‬ ‫ﺛﺎﻧﯿﺎً ﻫﻤﭽﻨﯿﻦ ﺑﺮاي ﻫﺮ ‪ x ≠ o‬دارﯾﻢ‪:‬‬ ‫‪x‬‬

‫= )‪f ' ( x‬‬

‫)‪ a (5‬و ‪ b‬را ﻃﻮري ﺗﻌﯿﯿﻦ ﮐﻨﯿﺪ ﮐﻪ ﻫﺮ ﯾﮏ از ﺗﻮاﺑﻊ زﯾﺮ در ﻧﻘﻄﻪ داده ﺷـﺪه ﻣﺸـﺘﻖ ﭘـﺬﯾﺮ‬ ‫ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬ ‫)‪(1‬‬

‫‪ x2 − 4‬‬ ‫‪f ( x) = ‬‬ ‫‪ax − b‬‬

‫‪x<1‬‬ ‫‪x ≥1‬‬

‫‪x =1‬‬

‫‪,‬‬

‫ﺣﻞ( ﺑﺎﯾﺪ ﺗﺎﺑﻊ در ‪ x = 1‬ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ )‪f ( x) = f (1‬‬ ‫‪a +b =1‬‬ ‫‪x <1‬‬ ‫از ﻃﺮﻓﯽ دارﯾﻢ‪:‬‬ ‫‪x ≥1‬‬ ‫‪⇒ a =2‬‬ ‫‪b = −1‬‬ ‫)‪(2‬‬

‫‪x< 3‬‬ ‫‪x≥ 3‬‬

‫‪lim‬‬

‫‪x→1−‬‬

‫⇒‬

‫‪2x‬‬ ‫‪f ' ( x) = ‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪f −' (1) = 2‬‬

‫‪= f + ' (1) = a‬‬

‫‪ax2 − 3‬‬ ‫‪f ( x) = ‬‬ ‫‪bx − 6‬‬

‫ﺣﻞ( ﺷﺮط ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ را ﻧﺪارﯾﻢ‪f ( x) = f ( 3 ) :‬‬

‫در‬

‫⇒‬

‫‪x= 3‬‬

‫‪lim‬‬

‫‪x→ 3 −‬‬

‫‪9a + 3 = 3b + 6‬‬

‫⇒‬

‫‪www.fanavari-it.ir‬‬


‫‪٦‬‬

‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )‪(١‬‬

‫‪x<3‬‬ ‫از ﻃﺮﻓﯽ دارﯾﻢ‪:‬‬ ‫‪x≤3‬‬

‫‪2ax‬‬ ‫‪b‬‬

‫‪ f ( x) = ‬ﭘﺲ دارﯾﻢ‬

‫‪f −' ( 3 ) = 6 a‬‬ ‫‪⇒ b = 6a‬‬ ‫‪⇒ 9a = 18a + 3‬‬ ‫‪f +' ( 3 ) = b‬‬ ‫‪⇒ −9a = 3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪⇒a =−‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪b = −2‬‬

‫)‪ (6‬ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ و ﻣﺸﺘﻖ ﭘﺬﯾﺮي ﺗﺎﺑﻊ ‪ f‬را در ‪ x = 2‬ﺗﺤﻘﯿﻖ ﮐﻨﯿﺪ اﮔﺮ‪:‬‬ ‫‪2x2 − 3‬‬ ‫‪f ( x) = ‬‬ ‫‪8 x − 11‬‬

‫‪x≤2‬‬ ‫‪x>2‬‬

‫ﺣﻞ(‬ ‫ﺗﺎﺑﻊ ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﺳﺖ ‪f (2) = 8 − 3 = 5‬‬ ‫‪x≤2‬‬ ‫از ﻃﺮﻓﯽ‬ ‫‪x>2‬‬

‫⇒ ‪lim f ( x) = lim+ ( 8 x − 11) = 5‬‬

‫‪x→2+‬‬

‫‪x→2‬‬

‫‪4 x‬‬ ‫‪ f ' ( x) = ‬ﭘﺲ ‪f + ' (2) = f −' (2) = 8‬‬ ‫‪8‬‬

‫ﭘﺲ ﺗﺎﺑﻊ در ‪ 2‬ﻣﺸﺘﻖ ﭘﺬﯾﺮ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪x‬‬ ‫)‪ (7‬در ﭼﻪ ﻧﻘﻄﻪ اي از ﻣﺨﻔﯽ ‪ ، y = x3 − 3 x + 5‬ﺧﻂ ﻣﻤﺎس ﻋﻤﻮد ﺑﺮ‬ ‫‪9‬‬

‫‪ y = −‬اﺳﺖ‪.‬‬

‫ﺣﻞ( ﺑﺎﯾﺪ ‪ y' ( x) = 9‬ﺑﺎﺷﺪ ﭘﺲ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪x=±‬‬

‫⇒‬

‫‪3 x2 = 1‬‬

‫⇒‬

‫‪3 x2 − 3 = −2‬‬

‫‪www.fanavari-it.ir‬‬


‫‪٧‬‬

‫ﻓﺼﻞ دوم‪ :‬ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ‬ ‫‪x‬‬ ‫)‪ (8‬در ﭼﻪ ﻧﻘﻄﻪاي از ﻣﻨﺤﻨﯽ ‪ ، y = x3 − 3 x + 5‬ﺧﻂ ﻣﻤﺎس ﻋﻤﻮد ﺑﺮ‬ ‫‪9‬‬

‫‪ y = −‬اﺳﺖ‪.‬‬

‫ﺣﻞ( ﺑﺎﯾﺪ ‪ y' ( x) = 9‬ﺑﺎﺷﺪ ﭘﺲ‪:‬‬ ‫‪x = ±2‬‬

‫⇒ ‪x2 = 4‬‬

‫⇒‬

‫‪3 x2 = 12‬‬

‫⇒‬

‫)‪ (9‬ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺧﻂ ﻣﻤﺎس ﺑﺮ ﻣﻨﺤﻨﯽ ‪ y = 3 x − 2‬را در ﻧﻘﻄﻪ )‪ A(2 , o‬ﺑﯿﺎﺑﯿﺪ‪.‬‬ ‫ﺣﻞ(‬

‫∞‪(2) = +‬‬

‫‪1‬‬

‫‪3 3 ( x − 2)2‬‬

‫‪3 x2 − 3 + 9‬‬

‫= )‪m = y' (2‬‬

‫ﭘﺲ ‪ x = 2‬ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺧﻂ ﻣﻤﺎس اﺳﺖ‪.‬‬

‫‪www.fanavari-it.ir‬‬


‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )‪(١‬‬

‫‪٨‬‬

‫‪ 18-1-3‬ﺗﻤﺮﯾﻦ ﺻﻔﺤﻪ ‪193‬‬ ‫)‪ (1‬ﻣﺸﺘﻖ ﭘﺬﯾﺮي ﻫﺮ ﯾﮏ از ﺗﻮاﺑﻊ داده ﺷﺪه را ﺑﺮرﺳﯽ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬ ‫‪xo = 1‬‬

‫‪(1‬‬

‫‪f ( x) = x2 − 1‬‬

‫‪,‬‬

‫‪1 − x2‬‬ ‫‪f ( x) = ‬‬ ‫‪ x2 −1‬‬

‫‪x<1‬‬

‫ﺣﻞ(‬

‫‪x≥1‬‬

‫در ﻧﺘﯿﺠــــــــــــــﻪ‬

‫‪f + ' (1) = 2‬‬

‫و ‪ f −' (1) = −2‬ﭘﺲ ﺗﺎﺑﻊ ﻣﺸﺘﻖ ﭘﺬﯾﺮ ﻧﯿﺴﺖ‪.‬‬ ‫)‪(2‬‬

‫ﺣﻞ(‬

‫‪f ( xo ) = 4x + 1+ x − 2‬‬

‫‪,‬‬

‫ﻣﺸﻖ ﭘﺬﯾﺮ ﻧﯿﺴﺖ ﭼﻮن‬ ‫‪f + ' (2) = 5‬‬ ‫‪f −' (2) = 3‬‬

‫) ‪(3‬‬

‫‪xo = 2‬‬

‫‪x<2‬‬ ‫‪x≥2‬‬

‫⇒‬

‫‪f ( x) = x3 + x2‬‬

‫‪,‬‬

‫‪3 x + 3‬‬ ‫‪f ( x) = ‬‬ ‫‪5 x − 1‬‬

‫‪xo = o‬‬

‫ﺣﻞ(‬ ‫‪x≥o‬‬ ‫‪x<o‬‬

‫ﺗﺎﺑﻊ ﻣﺸﺘﻖ ﭘﺬﯾﺮ ﻧﯿﺴﺖ‬

‫) ‪(4‬‬

‫‪xo = 1‬‬

‫‪ x x + 1‬‬ ‫‪f ( x) = x x + 1 = ‬‬ ‫‪ x x + 1‬‬

‫‪f + ' (o) = 1‬‬ ‫⇒‬ ‫‪f − ' (o) = −1‬‬ ‫)‪f ( x) = ( x − 1)2 ( x + 1‬‬

‫‪www.fanavari-it.ir‬‬


‫ﻓﺼﻞ دوم‪ :‬ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ‬

‫‪٩‬‬

‫ﺣﻞ(‬ ‫‪x≥1‬‬

‫ﺗﺎﺑﻊ ﻣﺸﺘﻖ ﭘﺬﯾﺮ ﻧﯿﺴﺖ‪x < 1 .‬‬ ‫‪x<1‬‬ ‫‪x≥1‬‬

‫‪xo = 1 (5‬‬

‫‪( x − 1) x + 2‬‬ ‫‪f ( x) = 1x − 11 x + 2 = ‬‬ ‫‪(1 − x) x + 2‬‬ ‫⇒ ‪⇒ f+ ' (1) = 1 , f − ' (1) = −1‬‬

‫‪2 x + 1‬‬ ‫‪f ( x) = ‬‬ ‫‪4 x − 1‬‬

‫ﺣﻞ(‬ ‫ﺗﺎﺑﻊ ﻣﺸﺘﻖ ﭘﺬﯾﺮ ﻧﯿﺴﺖ ﭼﻮن ‪ f ' − (1) = 2 , f ' + (1) = 4‬اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪(6‬‬

‫‪. f ( x) = 3 x − 1 x = 1‬‬

‫ﺗﺎﺑﻊ ﻣﺸﺘﻖﭘﺬﯾﺮ ﻧﯿﺴﺖ‪⇒ f ′(1) = + ∞ ⇒ .‬‬

‫)‪(2‬ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ‬

‫‪x>o‬‬ ‫‪x≤o‬‬

‫‪1‬‬

‫)‪( x − 1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫= )‪f ( x‬‬

‫‪ 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ . f (x) = 1 + x‬ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ ‪ f‬در ﻧﻘﻄﻪ ‪ x = o‬ﻣﺸﺘﻖ‬ ‫‪1 + x‬‬ ‫‪1 − x‬‬

‫ﭘﺬﯾﺮ ﻧﯿﺴﺖ‪.‬‬ ‫ﺣﻞ(‬

‫‪www.fanavari-it.ir‬‬


‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )‪(١‬‬

‫‪١٠‬‬

‫‪⇒ f ′ (o ) = −1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫ﺗﺎﺑﻊ ﻣﺸﺘﻖﭘﺬﯾﺮ ﻧﯿﺴﺖ‪⇒ .‬‬ ‫‪⇒ f−′ (o ) = −2‬‬ ‫‪x≥1‬‬

‫)‪ (3‬ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ‬

‫‪x<1‬‬

‫‪−1‬‬

‫‪( x + 1)2‬‬ ‫‪−2‬‬

‫‪(1 − x)2‬‬

‫= )‪⇒ f ′( x‬‬

‫= )‪⇒ f ′( x‬‬

‫‪x>o‬‬

‫‪x<o‬‬

‫‪2 x‬‬ ‫‪ . f (x) =  2‬ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿـﺪ ‪ f‬در ﻧﻘﻄـﻪ‬

‫‪ x + 1‬‬

‫‪ x = 1‬ﻣﺸﺘﻖ ﭘﺬﯾﺮ اﺳﺖ و )‪ f ′(1‬را ﺣﺴﺎب ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬ ‫ﺣﻞ(‬

‫‪x > o ⇒ f ′ ( x) = 2‬‬ ‫‪f+′ (1) = 2‬‬ ‫ﭘﺲ ﺗﺎﺑﻊ ﻣﺸﺘﻖ ﭘﺬﯾﺮ اﺳﺖ و ‪ f ′(1) = 2‬اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪x < o ⇒ f ′ ( x) = 2 x‬‬ ‫‪f−′ (1) = 2‬‬ ‫‪x −1 x ≠ o‬‬ ‫]‪ . f (x) = (− 1)[ x‬آﯾـﺎ ‪ f‬در ﻧﻘﻄـﻪ ي ‪ x = o‬ﻣﺸـﺘﻖ‬ ‫‪،‬‬ ‫)‪ (4‬ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ‬ ‫‪x‬‬

‫ﭘﺬﯾﺮ اﺳﺖ؟‬ ‫ﺣﻞ( زﯾﺮا اﯾﻦ ﻧﻘﻄﻪ در داﻣﻨﻪ ي ﺗﺎﺑﻊ ﻗﺮار ﻧﺪارد‪ .‬ﺗﺎﺑﻊ ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ ﻧﯿﺴﺖ‪ ،‬ﭘﺲ ﻣﺸﺘﻖ ﭘﺬﯾﺮ ﻧﯿﺴﺖ‪.‬‬ ‫)‪ (5‬درﺑﺎره ي ﻣﺸﺘﻖ ﭘﺬﯾﺮي ﺗﺎﺑﻊ ‪ x∈ R‬و ]‪ f (x) = x[x‬ﺑﺤﺚ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬ ‫ﺣﻞ( اﯾﻦ ﺗﺎﺑﻊ در اﻋﺪاد ﺻﺤﯿﺢ ﻣﺸﺘﻖ ﭘﺬﯾﺮ ﻧﯿﺴﺖ‪ ،‬ﭼﻮن در اﯾﻦ ﻧﻘﺎط ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ ﻧﯿﺴﺖ‪.‬‬ ‫در ﻧﻘﻄﻪ ي ﺻﻔﺮ ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﺳﺖ وﻟﯽ دارﯾﻢ‪:‬‬ ‫‪x[ x] − o‬‬ ‫]‪= lim [ x‬‬ ‫‪x→o x − o‬‬ ‫‪x=o‬‬ ‫‪lim‬‬

‫ﮐﻪ ﺣﺪ اﺧﯿﺮ وﺟﻮد ﻧﺪارد‪.‬‬ ‫در ﺳﺎﯾﺮ ﻧﻘﺎط اﮔﺮ ‪ xo = n + a‬ﺑﺎﺷﺪ ﮐﻪ ‪ o < a < 1‬اﺳﺖ‪.‬‬

‫‪www.fanavari-it.ir‬‬


‫‪١١‬‬

‫ﻓﺼﻞ دوم‪ :‬ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ‬

‫در ﻫﻤﺴﺎﯾﮕﯽ ‪ xo‬دارﯾﻢ ‪ f (x) = nx‬ﭘﺲ ‪ f ′( x) = n‬ﮐﻪ ﻣﺸﺘﻖ ﭘﺬﯾﺮ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫)‪ (6‬ﻓــﺮض ﮐﻨﯿــﺪ ﺗــﺎﺑﻊ ‪ f‬در ﻧﻘﻄــﻪي ‪ a‬ﭘﯿﻮﺳــﺘﻪ ﺑﺎﺷــﺪ و ‪ . f (a ) ≠ o‬ﺛﺎﺑــﺖ ﮐﻨﯿــﺪ‪.‬‬ ‫) ‪ g (x) = [ x − 1] f (n‬در ﻧﻘﻄﻪي ‪ a‬ﻣﺸﺘﻖ ﭘﺬﯾﺮ ﻧﯿﺴﺖ‪.‬‬ ‫ﺣﻞ(‬

‫) ‪f ( x) − f (a‬‬ ‫‪1x − alf ( x) − o‬‬ ‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ) ‪ f ′ + (a ) = f (a‬و ) ‪ f ′ − (a ) = − f (a‬ﭘﺲ ﺗﺎﺑﻊ‪= lim‬‬ ‫ﻧﯿﺴﺖ‪.‬‬ ‫ﭘﺬﯾﺮ‬ ‫ﻣﺸﺘﻖ‬ ‫‪x−a‬‬ ‫‪x−a‬‬ ‫‪x→ a‬‬ ‫‪1x − al‬‬ ‫ﺗﺎﺑﻊ‪f (a‬‬ ‫)‪ (7‬ﻣﻘﺎدﯾﺮ ‪ a‬و ‪ b‬را ﻃﻮري ﺗﻌﯿﯿﻦ ﮐﻨﯿﺪ ﮐﻪ )‬ ‫زﯾﺮ ﻫﺮ ﻧﻘﻄﻪ ‪lim‬‬ ‫ﻣﺸﺘﻖ=ﭘﺬﯾﺮ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬ ‫‪x→ a x − a‬‬

‫‪lim‬‬

‫‪x→ a‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪f ( x) =  x‬‬ ‫‪ax2 + b‬‬ ‫‪‬‬

‫‪x ≥1‬‬ ‫‪x <1‬‬

‫ﺣﻞ( اﺑﺘﺪا ﺷﺮط ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ را ﺑﺮرﺳﯽ ﻣﯽ ﮐﻨﯿﻢ‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x≥1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪x ≤ −1‬‬ ‫‪f ( x) = −‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ax2 + b − 1 < x < 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫)‪ (8‬ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ‬ ‫‪x+1‬‬

‫=‪⇒ b‬‬

‫‪f ( x) = x + ( x − 1) arcsin‬‬

‫‪lim f ( x) = a + b = f (1) = 1‬‬ ‫‪x→1′‬‬

‫‪f ′ + (1) = −1 = f ′ − (1) = 2a‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪a=−‬‬

‫⇒‬

‫)‪ f ′(1‬را ﺣﺴﺎب ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬

‫ﺣﻞ(‬

‫‪www.fanavari-it.ir‬‬


(١) ‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ‬

f ′ (1) = lim

x −1 x +1

x + ( x − 1) arcsin

x→1

١٢

x −1

 1 x  1 = lim 1 + arcsin = + arcsin  x→1 x + 1  2  π = 1+ 4

.‫ راﺣﺴﺎب ﮐﻨﯿﺪ‬f ′(o ) , f (x) = x(x − 1)(x − 2)....(x − 100) ‫( ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ‬9) .‫ دارﯾﻢ‬f (o ) = o ‫ﺣﻞ( ﭼﻮن‬ x(x − 1)..... (x − 100) = (− 1)(− 2 ).... (− 100) x x→o = 100!

f ′(o ) = lim

π .‫ را ﺣﺴﺎب ﮐﻨﯿﺪ‬f ′  ‫ ﻣﻘﺪار‬، f (x) = [ x] sin x ‫( اﮔﺮ‬10) 2

π  f  + h − 2 π   f ′  = lim  o h → h 2

  π  π  π f    + h sin  + h  − 2   2  = 2  2 h h →o

π  sin  + h  − 1 2  = (sin x)′  π  = o = lim   h →o h 2

.‫ را ﺣﺴﺎب ﮐﻨﯿﺪ‬f ′(o ) ‫ ﻣﻘﺪار‬، x ≤ f (x) ≤ x = x2 ,

‫ﺣﻞ( دارﯾﻢ‬

x < 1 ‫( اﮔﺮ ﺑﺮاي‬11)

.‫ اﺳﺖ‬f (o ) = o ‫ ﭘﺲ‬o ≤ f (o ) ≤ o ‫ﺣﻞ( واﺿﺢ اﺳﺖ ﮐﻪ‬

www.fanavari-it.ir


١٣

‫ ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ‬:‫ﻓﺼﻞ دوم‬

x>o

f ( x) ≤ 1+ x x ⇒ f +′ (o ) = 1

x<o

⇒ 1 + x≤

⇒ 1≤

f ( x) ≤1 x f ′ − (o ) = 1

.‫ اﺳﺖ‬f ′(o ) = 1 ‫ﭘﺲ‬ .‫ را در ﺻﻔﺮ ﺑﺪﺳﺖ آورﯾﺪ‬f (x) = x x

‫( ﻣﻘﺪار ﻣﺸﺘﻖ ﺗﺎﺑﻊ‬12)

‫ و‬f (o ) = o :‫ﺣﻞ( دارﯾﻢ‬ lim

xx −o x−o

= lim x = o

f ′(o ) = o

247 ‫ ﺗﻤﺮﯾﻦ ﺻﻔﺤﻪ ي‬11-4-3 .‫( ﻣﺸﺘﻖ ﺗﻮاﺑﻊ زﯾﺮ را ﺣﺴﺎب ﮐﻨﯿﺪ‬1

1) y = sin 5 x

2) y = (tgx + cos x)

y′ = 5 cos x sin 4 x

(

)

3 ) y = tg (sin x)

y′ = 3 sec 2 x − sin x (tyx + cos x) y′ = cos x.sec2 (sin x)

4) y = sin (sin x)

y′ = cos x. cos(sin x)

3

5) y = cos2 (sin 3 x)

y′ − 6 sin 3 x. sin (sin 2 x0)cos(sin 3 x)

6) y = 5 sin(cos 4 x)

y′ = −20sin 4 x cos (cos 4 x)

www.fanavari-it.ir


(١) ‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ‬ 7)

y=

2 cos x − 1 cos x + 3

→ y′ = =

8) y =

− 2 sin x(cos x + 3 ) + sin x(2 cos x − 1)

(cos x + 3 )2

− 7 sin x

(cos x + 3 )2

sin x cos x(cos x − sin x) + sin x(sin x + cos x) ⇒ y′ = cos x − sin x (cos x − sin x)2 =

9)

��٤

y=

1 + sin x 1 − sin x

(cos x − sin x)2

⇒ y′ =

tan x − 1 tan x + 1

(1 − sin x)2

(1 − sin x)2 → y′ =

=

cos x(1 − sin x) + cos x(1 + sin x)

2 cos x

=

10) y =

1

sec2 x(tan x + 1) − sec2 x(tan x − 1)

2 sec2 x

(tan x + 1)2

(1 + tan x)2 .‫ را ﺑﯿﺎﺑﯿﺪ‬y′ =

1) x sin y + y sin x = xy

www.fanavari-it.ir

y′ = −

sin y + y cos x − y x cos y + sin x − x

dy ‫( در ﻫﺮ ﻣﻮرد‬2 dx


١٥

‫ ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ‬:‫ﻓﺼﻞ دوم‬

3 2) y = x2 + 3 y2 = 3 16

3) y x − x x = 5

4) x2 y + sin 2 y = y

3 23 x

y′ = −

= −3

3 23 y

y x

y 3 x − y − 3x 2 x 2 y′ = − = 4x x

y=

2 xy

x2 + sin 2 y − 1

.‫( ﻣﺸﺘﻖ ﻫﺮ ﯾﮏ از ﺗﻮاﺑﻊ زﯾﺮ را ﺑﯿﺎﺑﯿﺪ‬3) 14 x 1 − 49 x4

1) y = cos − 1 7 x2   

y′ = −

2) y = sin − 1 (cos 2 x)

y′ = −

3 ) y = sin − 1(cos 2 x)

y′ =

4) y = tan − 1 x5   

5 x4 y′ = 1 + x10

5) y = tan − 1(cos x)

y′ =

www.fanavari-it.ir

3 x2 + 2

2 1 −  x2 + 2 x   

− 2 sin 2 x =−2 2 1 − cos 2 x

− sin x 1 + cos2 x


(١) ‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ‬ 5

− 6) y = cos 5 cos − 1 x   

7) y = tg − 1

(

x+1

١٦

1 − x2

y′ =

1 − 25 cos − 1x   

)

y′ =

1 2 x+1 1+

(

x+1

8) y = sin − 1 x + cos − 1 x 9) y = cos − 1(sin x)

1 10) y = tan − 1   x

11) x sin y + x2 = tan − 1 y

)

2

=

2

1 2 x + 1 ( x + 2)

y=

π 2

⇒ y′ = o

y′ = − y′ =

1+

y′ = −

cos x =1 2 1 − sin x 1 x2

1 x2

=−

1 x2 + 1

sin y + 2x 1 x cos y + 1 + y2

12) y sin − 1( xy) = cos − 1( x + y) y2 1 + 1 + ( x + y)2 1 − x2 y2 y′ = − xy 1 + sin − 1( xy) + 1 − x2 y2 1 + ( x + y)2 ′

. ( f −1 ) (2) ‫ ﻣﻄﻠﻮب اﺳﺖ ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ‬، f (x) = x 3 + x ‫( ﻫﺮﮔﺎه‬4)

www.fanavari-it.ir


‫‪١٧‬‬

‫ﻓﺼﻞ دوم‪ :‬ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ‬

‫ﺣﻞ(‬ ‫‪x3 + x − 2 = o‬‬

‫‪(x − 1)(x2 + x + 2) = o‬‬ ‫‪x=1‬‬

‫‪⇒ x3 + x = 2‬‬

‫⇒‬

‫‪y=2‬‬

‫⇒‬ ‫⇒‬

‫‪( f −1 )′ (2) = f 1′(1) = 41‬‬

‫‪f ′( x) = 3 x2 + 1‬‬

‫⇒‬

‫)‪ (5‬اﮔﺮ ‪ f‬ﻣﺴﺎﻓﺘﯽ ﺑﺎﺷﺪﮐﻪ ﻣﺘﺤﺮك درزﻣـﺎن ‪ t‬ﻃـﯽ ﻣـﯽ ﮐﻨـﺪ‪،‬ﻣﻄﻠﻮب اﺳـﺖ ﻣﺤﺎﺳـﺒﻪ‬ ‫‪d 2s‬‬ ‫ﺷﺘﺎب ‪ ، a = 2‬اﮔﺮ ‪ s = 50 + 80t + 16t‬ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﺣﻞ(‬

‫‪a = 32‬‬

‫‪d 2 y dy‬‬ ‫را در ‪ b = 1‬ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬ ‫و‬ ‫)‪ (6‬اﮔﺮ ‪ x = t + t 2‬و ‪ ، y = t + t 3‬ﻣﻘﺪار‬ ‫‪2‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪dx‬‬

‫ﺣﻞ(‬ ‫‪f ' ' (t ) = 2‬‬

‫‪,‬‬

‫‪f ′(t ) = 1 + 2t‬‬ ‫⇒‬

‫) ‪x = t + t 2 = f (t‬‬

‫‪g ' ' (t ) = 6t‬‬

‫‪,‬‬

‫‪g ′(t ) = 1 + 3t 2‬‬

‫) ‪y = t + t 3 = g (t‬‬

‫‪′‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫‪(1) = g (1) = 3‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪f ′(1) 4‬‬ ‫‪2y‬‬ ‫‪′′‬‬ ‫‪′‬‬ ‫‪′′ ′‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪(1) = g (1) f (1) − f (1)g (1) = 18 − 8 = 10‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪( f ′(1))3‬‬ ‫‪dx2‬‬

‫⇒‬

‫‪www.fanavari-it.ir‬‬


‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )‪(١‬‬

‫‪١٨‬‬

‫)‪ (7‬اﮔـــﺮ ‪y = 3 x2 + 4 x + 1‬‬

‫آﻧﮕـــﺎه ‪ ∆y‬و ‪ dy‬را ﺑـــﻪ ازاي ‪ x = 3‬و ‪∆x = o / 1‬‬

‫ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬ ‫) ‪∆y = f (x + ∆x) − f ( x) = f (3 + o / 1) − f (3‬‬

‫ﺣﻞ(‬ ‫‪= 3 (3 / 1)2 + 4(3 / 1) + 1 − 27 − 12 − 1‬‬ ‫‪= 3 (9 / 61) + 12 / 4 − 39‬‬ ‫‪= 28 / 83 + 12 / 4 − 39 = 2 / 23‬‬ ‫‪dy = 22 × 0 / 1 = 2 / 2‬‬ ‫‪f ′(3 ) = 22‬‬

‫⇒‬ ‫⇒‬

‫‪dy = f ′( x)∆x‬‬ ‫‪f ′( x) = 6 x + 4‬‬

‫)‪ (8‬اﮔﺮ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ي ﺣﺮﮐﺖ ﯾﮏ ذره ‪ s = 20 + 30t + 3t 2‬ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﺳـﺮﻋﺖ و ﺷـﺘﺎب ذره را در‬ ‫‪ t = 2‬ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬ ‫‪⇒ v(2) = 42‬‬ ‫‪⇒a = 6‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫)‪ (9‬اﮔﺮ ‪ ، f ( x) = x2 + x‬آﻧﮕﺎه ‪= y′‬‬ ‫‪dx‬‬

‫‪ds‬‬ ‫‪= 30 + 6t‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪d 2s‬‬ ‫‪a = 2 =6‬‬ ‫‪dt‬‬

‫=‪v‬‬

‫را در ﻫﺮ ﻣﻮرد ﺑﯿﺎﺑﯿﺪ‬

‫‪www.fanavari-it.ir‬‬


١٩

‫ ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ‬:‫ﻓﺼﻞ دوم‬

(

1) y = f x + x

)

f ′( x) =

(

) ) (

1  2 x + x +1  y′ = 1 +   2 x 2 x+ x 2 + x+ x

(

2) y = f (cos x + cot x)

(

(

y′ = − sin x − 1 + cot 2 x

))

4x

(x + 1) 2

2

2 x2 + x

)

2(cos x + cot x) + 1

2 (cos x + cot x) + (cos x + cot x) 2

 x2 − 1  3 ) y = f  2   x +1 y′ =

2x + 1

2   ⇒ y = f 1 − 2   x + 1 2   21 − 2   x +1 2

2   2   1 − 2  +  1 − 2   x +1  x +1

4) y = f  f  x2      ⇒ y′ = 2 x.

⇒ y′ = 2xf ′ x2  f ′ f  x2        2 x2 + 1 2 x4 + x2 + 1 . f 2 x + x2  4  2  x + x  + x4 + x2  

‫( ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﻫﺎي ﺧﻄﻬﺎي ﻣﻤﺎس و ﻗﺎﺋﻢ ﺑﺮ ﻣﻨﺤﻨﯽ ﻫﺮ ﯾﮏ از ﺗﺎﺑﻊ ﻫـﺎي ﺑـﻪ ﻣﻌﺎدﻟـﻪ ي‬10)

www.fanavari-it.ir


(١) ‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ‬

٢٠

.‫زﯾﺮ در ﻧﻘﻄﻪ اي ﺑﻪ ﻃﻮل ﯾﮏ واﻗﻊ ﺑﺮ ﻣﻨﺤﻨﯽ را ﺑﻨﻮﯾﺴﯿﺪ‬ 1)

3 f ( x) =  x2 − 4 x   

y = (1 − 4 ) = 9 3

(

)

y′ = 3 (2 x − 4 ) x2 − 4 x ⇒ y′(1) = 3 (− 2)(− 3 ) = 18 y − 9 = 18( x − 1) ⇒ y = 18 x − 9 x2 + 1 2) f ( x ) = 2 2x − 1 1+1 =2 y= 2 −1 3 − 6x −6 x 2 x2 − 1 − 4 x x2 + 1 = ⇒ y′(1) = =− y′ = 2 2 2 4 2 x2 + 1 x2 + 1 3 3 7 ⇒ y = − x+ y−2 = − 2( x − 1) 2 2

(

3)

)

(

)

(

f ( x) = 3 x2 − 2

(

)

(

)

(

)

)

2

y = 3 (1 − 2) = 1 2

(

)

2 × 2 x x2 − 2 3 4 ⇒ y′(1) = − 3 4 4 7 y − 1 = − ( x − 1) ⇒ y = − x + 3 3 3 y = x2 − 2

2 3

www.fanavari-it.ir

⇒ y′ =

1 3


‫ﻓﺼﻞ دوم‪ :‬ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y′(1) = o ⇒ y = 2‬‬

‫‪ (11‬در ﺗﺎﺑﻊ ﺑﻪ ﻣﻌﺎدﻟﻪ‬

‫‪1‬‬

‫⇒‬

‫‪٢١‬‬ ‫‪x+‬‬

‫= )‪f ( x‬‬

‫)‪4‬‬

‫‪y = f (1) = 1 + 1 = 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= )‪y′( x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2 x 2x x‬‬

‫= ‪ y‬اﮔﺮ ‪ y′‬و ‪ y′′‬ﻣﺸﻘﺎت ﻣﺮﺗﺒﻪ اول و دوم ﻻ ﺑﺎﺷـﻨﺪ‪،‬‬

‫‪x2 + 1‬‬

‫ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ راﺑﻄﻪ ‪ 2 y′2 − yy′′ = y 4‬ﺑﺮﻗﺮار اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﺣﻞ(‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ‪⇒ y2‬‬ ‫= ‪⇒ 2 yy′‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x2 + 1‬‬ ‫‪ x2 + 1‬‬ ‫‪x2 + 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪y′‬‬ ‫‪⇒ yy′ = − xy4‬‬ ‫⇒‬ ‫‪= −x‬‬ ‫‪y3‬‬ ‫‪⇒ y′′y − 3 ( y′)2 = − y4‬‬

‫‪y 3 − 3 ( y′)2 y2‬‬ ‫‪= −1‬‬ ‫‪y6‬‬

‫=‪y‬‬

‫‪⇒y‬‬

‫‪⇒ 3 ( y′) − yy′′ = y4‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪x2 + 1‬‬ ‫)‪ (12‬در ﺗﺎﺑﻊ ﺑﻪ ﻣﻌﺎدﻟﻪ‬ ‫‪x‬‬

‫= ‪ y‬ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ ‪xy′′ + 2 y′ = 2‬‬

‫ﺣﻞ(‬

‫‪www.fanavari-it.ir‬‬


(١) ‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ‬ 1 x2 + 1 y= = x+ x x 1 1 y′ = 1 − 2 ⇒ 2 = 1 − y′ x x 2  1  y′′ = 3 ⇒ xy′′ = 2 2  = 2(1 − y′ ) x x 

٢٢

⇒ xy′′ + 2 y′ = 2

‫ و‬g ′(o ) ≠ o ‫ ﺗــﺎﺑﻊ ﻫــﺎي ﻣﺸــﺘﻖ ﭘــﺬﯾﺮ ﺑﺎﺷــﻨﺪ و‬f , g : R → R ‫( ﻓــﺮض ﮐﻨﯿــﺪ‬13) .‫ ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ‬f (o ) = g (o ) = o lim

x→o

f ( x) f ′(o ) = g ′(o ) g ( x)

(‫ﺣﻞ‬ f ( x) − o f ( x) f ' (o) = lim x − o = lim g ' (o) x→o g ( x) x→o g ( x) − o x−o

.‫ﺗﺎﺑﻊ ﻣﺸﺘﻖ ﺗﺎﺑﻊ را ﭘﯿﺪا ﮐﻨﯿﺪ‬

 x3   f ( x) =  3  5 x2 − 4 x  2

x≤o

‫( ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ‬14)

x>o

(‫ﺣﻞ‬  x2  f ′( x) =  5 x − 4 

www.fanavari-it.ir

x≤o x>o


٢٣

‫ ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ‬:‫ﻓﺼﻞ دوم‬

‫ﺗﺎﺑﻊ ﻣﺸﺘﻖ ﺗﺎﺑﻊ را‬

1 − x  f ( x) = (1 − x)(2 − x) − (2 − x) 

x<1 1≤ x≤2 x>2

.‫( ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ‬15) .‫ﺑﯿﺎﺑﯿﺪ‬

(‫ﺣﻞ‬ x <1 − 1  f ′( x) = 2 − x − (1 − x) 1 ≤ x ≤ 2 + 1 x>2 

.‫( ﻣﺸﺘﻖ ﻫﺮ ﯾﮏ را ﺗﻌﯿﯿﻦ ﮐﻨﯿﺪ‬16 1) y =

tan x 3

x2

⇒ y = tan x. x

⇒ y′ = sec x.x 2

cos x 2) y = 1 + sin x

⇒ y′ = =

www.fanavari-it.ir

2 3

2 3

5

2 − − x 3 . tan x 3

− sin x(1 + sin x) − cos 2 x − sin x − 1 = 2 (1 + sin x) (1 + sin x)2

−1 1 + sin x


(١) ‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ‬

1 2 x2 1+ 4

٢٤

3) y =

Arc cot

x 2

⇒ y′ 2

Arc cot

⇒ y′ =

(4 + x ) 2

(

4 ) y = Arc tan x − 1 + x2 y′ =

x 2 −1 Arc cot

x 2

)

x

( 1 + x − x) 1 + (x − 1 + x ) 1 + x 1 + (x − 1 + x )    1−

1 + x2

2

1 5) y = Arc sin x 1   − 2 x  1   1− 2 x  y′ =   1  x2   1− 1  x2

www.fanavari-it.ir

=

=

2

2

=

2

⇒ y'=

−1 2

x x −1 1

x x2 − 1

2

1   Arc sin x  − Arc sin 1  x x>o

x<o

2

x>o x<o


٢٥

‫ ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ‬:‫ﻓﺼﻞ دوم‬ y cos xy − y sin xy y =− 6) sin xy + cos xy = o ⇒ y′ = − x cos xy − x sin xy

7 ) x y = Arctg

x

⇒ y tan ( xy) − x = o

x y

⇒ y′ = −

y2 sec 2 ( xy) − 1 tan( xy) + xy sec 2 ( xy)

8) x − y = Arc sin x − Arc cos y Arc sin x − Arc cos y − x + y = o 1 −1 2 1 − x y′ = − 1 +1 1 − y2

.‫ ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ‬. f (x) = sin (n Arc sin x) ‫( ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ‬17)

(1 − x ) f ′′(x) − x f ′(x) + n f (x) = o 2

2

:‫ را دو ﻃﺮف اﺛﺮ ﻣﯽ دﻫﯿﻢ‬Arc sin (‫ﺣﻞ‬ Arc sin f ( x) = n Arc sin x

( f ′( x))2 2 1 − ( f ( x))

=

‫ﻣﺸﺘﻖ‬

www.fanavari-it.ir

n2 1 − x2

‫⇒ ﻣﺸﺘﻖ‬

(

)

f ′( x)

1 − ( f ( x))

2

(

=

n 1 − x2

)

⇒ 1 − x2 ( f ′( x)) = n 2 1 − f 2 ( x)

(

)

2

⇒ 2 1 − x2 f ′′( x) f ′( x) − 2x( f ′( x)) = −2n 2 f ′( x) f ( x) 2


‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )‪(١‬‬

‫‪٢٦‬‬

‫)‬

‫(‬

‫‪⇒ 1 − x2 f ′′( x) − x( f ′( x)) + n 2 f ( x) = o‬‬

‫‪ . f (x) = [x]sin 2 πx‬ﺗﺎﺑﻊ ﻣﺸﺘﻖ ‪ f‬راﺑﯿﺎﺑﯿﺪ‪.‬‬

‫)‪ (18‬ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ‪x ∈ R‬‬

‫ﺣﻞ( ﭼﻮن‬

‫‪2‬‬ ‫‪lim sin πx = o‬‬

‫‪x→n‬‬

‫)‪ (19‬ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ‬

‫ﺑﺮاي ﻫﺮ ‪ n‬ﺻﺤﯿﺢ در ﺗﻤﺎم ﻧﻘﺎط ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﺳﺖ‪.‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪ f (x) =  x2 − 1  (x + 1)3‬ﺗﺎﺑﻊ ﻣﺸﺘﻖ ‪ f‬راﺑﯿﺎﺑﯿﺪ‪.‬‬ ‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫ﺣﻞ(‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪f ( x) =  x2 − 1 ( x + 1)2 ( x + 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪  2 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪=  x − 1 ( x + 1) ( x + 1) | x + 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫| )‪⇒ f ′( x) = 2 2 x( x + 1) + x − 1 x2 − 1 ( x + 1) | ( x + 1‬‬ ‫|‪| x + 1‬‬ ‫)‪+ x2 − 1 ( x + 1‬‬ ‫‪x+1‬‬

‫)‬

‫)‬

‫(())‬

‫(‬ ‫)‬

‫(‬ ‫((‬

‫)‬

‫)‪ (20‬ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ‪ n ، f : R → R‬ﻣﺮﺗﺒﻪ ﻣﺸﺘﻖ ﭘﺬﯾﺮ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬

‫)‪[ f (ax + b)](n ) = a n f (n ) (ax + b‬‬ ‫ﺣﻞ( ﺑﺎ اﺳﺘﻘﺮا روي ‪ n‬اﯾﻦ ﻣﻄﻠﺐ را ﻧﺸﺎن ﻣﯽ دﻫﯿﻢ‪:‬‬ ‫) ‪⇒ ( f (ax + b ))′ = a f ′(ax + b‬‬ ‫)(‬ ‫) ‪⇒ ( f (ax + b ))(n ) = a n f n (ax + b‬‬

‫‪n =1‬‬ ‫‪k=n‬‬

‫‪www.fanavari-it.ir‬‬


٢٧

‫ ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ‬:‫ﻓﺼﻞ دوم‬

:‫ﺑﺎ ﻣﺸﺘﻖ ﮔﯿﺮي از دو ﻃﺮف ﻓﺮض دارﯾﻢ‬

[ f (ax + b)](n+1)

= a n +1 f ( n+1) (ax + b )

.‫ﭘﺲ ﺣﮑﻢ ﺑﺮﻗﺮار اﺳﺖ‬ .‫ ام ﺗﺎﺑﻊ داده ﺷﺪه را ﺑﻪ دﺳﺖ آورﯾﺪ‬n ‫( در ﻫﺮ ﻣﻮرد ﻣﺸﺘﻖ ﻣﺮﺗﺒﻪ‬20) 1)

y = sin x

π  ⇒ y (n ) = sin  x + n  2 

2)

y = cos x

π  ⇒ y (n ) = cos x + n  2 

π π 3) y = sin 2 x ⇒ y (n ) = sin 2 x x + n  ⇒ y(n ) = 2n−1 sin  2x + n  

4) y = cos 2 x

5)

y=

1+ x 1− x

2

2

1 1 ⇒ y = + cos 2 x 2 2 1 π  ⇒ y = × 2 n cos 2 x + n  2 2  π  = 2 n −1 cos 2 x + n  2  −2 (1 − x)2 − 12 y′′′ = (1 − x)4

y′ =

y′′ =

, ,

........ y( n ) = (− 1)

n

y( 4 )

2n! (1 − x)n +1

4 (1 − x)3 48 = (1 − x)5

‫ ﺑـﺮ‬A(1,1) ‫ در ﻧﻘﻄﻪ‬y = x2 + bx + c ‫ را ﻃﻮري ﺗﻌﯿﯿﻦ ﮐﻨﯿﺪ ﮐﻪ ﻧﻤﻮدار‬c, b ‫(ﻣﻘﺎدﯾﺮ‬22) .‫ ﻣﻤﺎس ﺑﺎﺷﺪ‬y = x

www.fanavari-it.ir

‫ﺧﻂ‬


‫‪٢٨‬‬

‫ﺣﻞ(‬

‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )‪(١‬‬ ‫)‪ (1 , 1‬روي ﻧﻤﻮدار ﻗﺮار داردﭘﺲ ‪1 = 1 + b + c‬‬

‫از ﻃﺮﻓﯽ ﺷﯿﺐ ﺑﺮاﺑﺮ‬

‫‪ 1‬اﺳﺖ ﭘﺲ دارﯾﻢ ‪1 = 2 + b‬‬ ‫‪→ c =1‬‬

‫‪b + c = o‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪⇒ ‬‬ ‫‪b = −1‬‬ ‫‪‬‬

‫‪ (23‬در ﭼﻪ ﻧﻘـﺎﻃﯽ از ﻣﻨﺤﻨـﯽ ‪ y = x 3 + x − 2‬ﺧـﻂ ﻣﻤـﺎس ﺑـﺮ ﻣﻨﺤﻨـﯽ ﻣـﻮازي ﺣـﻂ‬ ‫‪ y = 4 x − 1‬اﺳﺖ؟‬ ‫ﺣﻞ( ﺑﺎﯾﺪ ‪ y′(x) = 4‬ﺑﺎﺷﺪ ﭘﺲ‬ ‫‪⇒ x2 = 1⇒ x = ±1‬‬

‫‪⇒ 3 x2 = 3‬‬

‫‪3 x2 + 1 = 4‬‬

‫‪ (24‬ﻣﻌﺎدﻟــﻪ ي ﻣﻤــﺎس ﺑــﺮ ﻣﻨﺤﻨــﯽ ‪ y = x 3 + 3 x2 − 5‬را ﺑﻨﻮﯾﺴــﯿﺪ ﮐــﻪ ﺑــﺮ ﺧــﻂ‬ ‫‪ 2 x − 6 y + 1 = o‬ﻋﻤﻮد ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬ ‫ﺣﻞ(‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x+‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪6‬‬

‫=‪⇒ y‬‬

‫‪1‬‬ ‫ﭘﺲ ﺷﯿﺐ ﺧﻂ داده ﺷﺪ ﺑﺮاﺑﺮ‬ ‫‪3‬‬

‫‪6 y = 2x + 1‬‬

‫اﺳﺖ ﻟﺬا ﺷﯿﺐ ﺧﻂ ﻣﻤﺎس ﺑﺮاﺑﺮ ‪ − 3‬اﺳﺖ ﭘﺲ‬ ‫‪3 x2 + 6 x = − 3 ⇒ x2 + 2 x + 1 = o‬‬

‫‪y = −3 x − 6‬‬

‫‪( x + 1)2 = o ⇒ x = − 1 ⇒ y = −3‬‬ ‫⇒ )‪y′(− 1) = 3 − 6 = − 3 ⇒ y + 3 = −3 ( x + 1‬‬

‫)‪ (25‬در ﻣﻮرد ﺗﺎﺑﻊ ‪ f : R → R‬ﻣﯿﺪاﻧﯿﻢ ‪ | f (x) |≤ x2 , x ∈ R‬ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ ‪ f‬در ‪x = o‬‬

‫ﻣﺸﺘﻖ ﭘﺬﯾﺮ اﺳﺖ ) ‪ f ′(o‬راﺑﯿﺎﺑﯿﺪ‪.‬‬

‫‪www.fanavari-it.ir‬‬


‫‪٢٩‬‬

‫ﻓﺼﻞ دوم‪ :‬ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ‬

‫ﺣﻞ(‬ ‫)‪f ( x‬‬ ‫‪≤ x‬‬ ‫‪x‬‬

‫≤ ‪f ( x) |≤ x2 ��� | f ( x) ≤| x |2 ⇒ − x‬‬ ‫)‪f ( x‬‬ ‫| ‪≤| x‬‬ ‫‪x‬‬

‫| ⇒‬

‫از ﻃﺮﻓﯽ دارﯾﻢ‪ lim (− 1x1) = lim 1x1 = o :‬ﭘﺲ‬ ‫)‪f ( x‬‬ ‫‪f − ( x) − o‬‬ ‫‪= lim‬‬ ‫‪= f ′(o ) = o‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x−o‬‬ ‫‪x→o‬‬

‫‪lim‬‬

‫)‪f ( x‬‬ ‫‪≤ x‬‬ ‫‪x‬‬

‫آﯾـﺎ‬

‫)‪f ( x‬‬ ‫‪ (26‬در ﻣﻮرد ﺗﺎﺑﻊ ‪ f : R → R‬ﻣﯽ داﻧﯿﻢ ‪≤ x‬‬ ‫‪x‬‬

‫≤ ‪⇒ −1x1‬‬

‫‪x→o‬‬

‫ﻣﯽ ﺗﻮاﻧﯿﻢ ﻧﺘﯿﺠﻪ ﺑﮕﯿﺮﯾﻢ ﮐﻪ ‪ f‬در ﻧﻘﻄﻪ ‪ x = o‬ﻣﺸﺘﻖ ﭘﺬﯾﺮ اﺳﺖ؟‬ ‫ﺣﻞ( ﺧﯿﺮ؛ ﻣﺜﻼً ‪ f (x) = x‬را در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﯿﺮﯾﺪ اﯾﻦ ﺗﺎﺑﻊ در ‪ x = o‬ﻣﺸﺘﻖ ﻧﺪارد‪.‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪(27‬اﮔﺮ ‪ f (x) = [x]sin x‬ﻣﻘﺪار ‪ f ′ ‬را ﺣﺴﺎب ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪π‬‬ ‫‪π ‬‬ ‫ﺣﻞ( ﭼﻮن ‪ o < < 1‬اﺳﺖ ﭘﺲ ‪f   = o‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪π ‬‬ ‫‪f ( x) − f  ‬‬ ‫‪[x]sin x = o‬‬ ‫‪π ‬‬ ‫=‪4‬‬ ‫‪f ′  = lim‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪ 4  x→ π‬‬ ‫→‪x‬‬ ‫‪x−‬‬ ‫‪x−‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬

‫)‪(28‬اﮔـــــﺮ ‪ f : R → R‬ﯾـــــﮏ ﺗـــــﺎﺑﻊ و ) ‪ f ′(a‬ﻣﻮﺟـــــﻮد ﺑﺎﺷـــــﺪ‪ ،‬ﺣﺎﺻـــــﻞ‬

‫‪www.fanavari-it.ir‬‬


(١) ‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ‬

.‫را ﺣﺴﺎب ﮐﻨﯿﺪ‬

lim h→ o

٣٠

f (a + 2h ) − f (a − h ) h

(‫ﺣﻞ‬ lim

f (a + 2h ) − f (a − h ) f (a + 2h ) − f (a ) f (a ) − f (a − h ) = 2 lim + lim h 2h h h→o h→o h→o = 2 f ′(a ) + f ′(a ) = 3 f ′(a )

.‫ را ﺣﺴﺎب ﮐﻨﯿﺪ‬f ′(o ) ‫ ﻣﻘﺪار‬x ≤ f (x) ≤ x + x2 , x < 1 ‫( اﮔﺮ ﺑﻪ ازاي‬29 . f (o) = o ‫ ﭘﺲ‬o < f (o) ≤ o :‫ﺣﻞ( ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﻧﺎ ﻣﺴﺎوي دارﯾﻢ‬ f ′(o ) = lim

x→o

f ( x) − f (o ) f ( x) = lim =1 x−o x→o x 1≤

‫را‬

lim h →o

f (a + 2h ) − f (a ) 5h

,

f ′(a ) = 4

,

f ( x) ≤ 1 + x ‫زﯾﺮا‬ x f (a ) = o

‫( اﮔﺮ‬30)

.‫ﺣﺴﺎب ﮐﻨﯿﺪ‬ (‫ﺣﻞ‬ lim

h→o

f (a + 2h ) − f (a ) 2 f ( a + 2h ) − f (a ) = lim 5h 5 h→o 5h 2 = f ′(a ) = 4 ⇒ f ′(a ) = 10 5

‫ را‬g ′′(o ) ‫ آﻧﮕـﺎه‬g (x) = f (xf (x)) ‫ دو ﻣﺮﺗﺒـﻪ ﻣﺸـﺘﻖ ﭘـﺬﯾﺮ ﺑﺎﺷـﺪ و‬R ‫ ﺑـﺮ‬f ‫( اﮔﺮ‬31)

www.fanavari-it.ir


٣١

‫ ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ‬:‫ﻓﺼﻞ دوم‬

.‫ﺣﺴﺎب ﮐﻨﯿﺪ‬

:‫ﺣﻞ(ﻗﺮار دﻫﯿﺪ‬ u ( x) = xf ( x) ⇒ u (o ) = o u ′( x) = f ( x) + xf ′( x) ⇒ u ′(o ) = f (o ) g ( x) = f (u ) ⇒ g ′( x) = u ′ f ′(u ) g ′′( x) = u ′′f ′(u ) + (u ′ ) f ′′(u ) 2

2 ⇒ g ′′(o ) = 2 f ′(o ) f ′(o ) + ( f (o )) f ′′(o )

⇒ g ′′(o ) = 2( f ′(o )) + ( f (o )) f ′′(o ) 2

2

‫ ﻣﺸﺘﻖ ﭘﺬﯾﺮ ﺑﺎﺷﻨﺪ و‬R ‫ ﺑﺮ‬g ‫ و‬f ‫(اﮔﺮ ﺗﻮاﺑﻊ‬٣٢ 2 g ′(− 2) = f (a ) = f ′(a ) = −2

.‫( را ﺣﺴﺎب ﮐﻨﯿﺪ‬g o f )′ (a ) ‫ﻣﻘﺪار‬ (‫ﺣﻞ‬

( g o f )′ (a ) = g ′( f (a )). f ′ (a ) = g ′(− 2)( . − 2) = (− 1)(− 2) = 2  x = (t + 2)2 dy .‫ ﺣﺴﺎب ﮐﻨﯿﺪ‬t = 3 ‫را ﺑﻪ ازاي‬ ‫ ﻣﻘﺪار‬ ‫( اﮔﺮ‬33) dx  y = t 3

(‫ﺣﻞ‬

www.fanavari-it.ir


‫‪٣٢‬‬

‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )‪(١‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪3t 2‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫=‬ ‫⇒‬ ‫= )‪(3‬‬ ‫=‬ ‫‪2× 5 1o‬‬ ‫)‪2(t + 2‬‬ ‫‪dx‬‬

‫‪dy‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪dt‬‬

‫‪dy‬‬ ‫=‬ ‫‪dx‬‬

‫)‪ (34‬اﮔﺮ ‪ f ' (1) = f (1) = −2‬و ‪ ، g ' (−2) = 3‬ﺣﺎﺻﻞ )‪ ( g o f )' (1‬را ﺣﺴﺎب ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬ ‫ﺣﻞ(‬ ‫)‪( g o f )' (1) = g ' ( f (1)) ⋅ f ' (1‬‬ ‫‪= g ' (−2) ⋅ (−2) = 3 × (−2) = −6‬‬ ‫)‪xf (a ) − af ( x‬‬ ‫)‪ (35‬اﮔﺮ ‪ f‬ﺗﺎﺑﻌﯽ ﻣﺸﺘﻖ ﭘﺬﯾﺮ در ‪ a‬ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﻣﻘﺪار‬ ‫‪x → a x− a‬‬

‫‪ lim‬را ﺣﺴﺎب ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬

‫ﺣﻞ( ﻣﻘﺪار )‪ xf (x‬را ﺑﻪ ﺻﻮرت اﺿﺎﻓﻪ و ﮐﻢ ﮐﻨﯿﺪ‪:‬‬ ‫)‪xf (a ) − xf ( x) + xf ( x) − af ( x‬‬ ‫‪x−a‬‬ ‫‪x→a‬‬ ‫‪x− a‬‬ ‫) ‪f ( x) − f (a‬‬ ‫)‪= lim f ( x‬‬ ‫‪−x‬‬ ‫‪x− a‬‬ ‫‪x− a‬‬ ‫‪x→a‬‬ ‫‪x→ a‬‬ ‫) ‪= f (a ) − af ' (a‬‬

‫‪lim‬‬

‫‪ x = t 2 − 1‬‬ ‫‪ ‬در‬ ‫)‪ (36‬ﺿﺮﯾﺐ زاوﯾﻪ ﺧﻂ ﻣﻤﺎس ﺑﺮ ﻧﻤﻮدار ﻣﻨﺤﻨﯽ ﭘـﺎراﻣﺘﺮي ﺑـﻪ ﻣﻌﺎدﻟـﻪ‬ ‫‪ y = t 2 + 1‬‬

‫‪ t = 2‬را ﺣﺴﺎب ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬ ‫ﺣﻞ(‬

‫‪dy‬‬ ‫‪dy d t‬‬ ‫‪2t‬‬ ‫=‬ ‫‪= t‬‬ ‫‪dx d x‬‬ ‫‪t 2 +1‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫‪4× 5‬‬ ‫= )‪(2‬‬ ‫‪=2 5‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪2‬‬

‫⇒‬

‫‪www.fanavari-it.ir‬‬


‫ﻓﺼﻞ ﭼﻬﺎرم‬

‫ﻛﺎرﺑﺮد ﻣﺸﺘﻖ‬

‫‪www.fanavari-IT.ir‬‬


‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )‪(١‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪ 14-2-4‬ﺗﻤﺮﯾﻦ ﺻﻔﺤﻪ ‪290‬‬ ‫)‪ (1‬اﺑﺘﺪا ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ ﮐﻪ ﻫﺮﯾﮏ از ﺗﻮاﺑﻊ زﯾﺮ درﺑﺎزه داده ﺷﺪه در ﺷﺮاﯾﻂ ﻗﻀﯿﻪ رل ﺻﺪق ﻣـﯽ‬ ‫ﮐﻨﺪ‪ .‬ﭘﺲ ﻣﻘﺪار ‪ c‬ﻣﺮﺑﻮﻃﻪ را ﺑﺪﺳﺖ آورﯾﺪ‪.‬‬ ‫‪2] (1‬و‪x ∈ [− 1‬و ‪f ( x) = x 3 − 2x2 − x + 2‬‬

‫ﺣﻞ( ﭼﻨﺪ ﺟﻤﻠﻪ اي ﻫﺎ روي ﻫﺮ ﺑﺎزه ﺷﺮاﯾﻂ ﻗﻀﯿﻪ رل را دارﻧﺪ‪ .‬ﭼﻮن ﻣﺸﺘﻖ ﭘﺬﯾﺮﻧﺪ و ﻣﺸـﺘﻖ‬ ‫آﻧﻬﺎ ﻧﯿﺰ ﭼﻨﺪ ﺟﻤﻠﻪ اي اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪f (2) = f (−1) = o‬‬

‫‪f ' (c ) = o ⇒ 3 c 2 − 4 c − 1 = o‬‬ ‫‪4 ± 28 2 ± 7‬‬ ‫=‬ ‫‪6‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪f ( x) = x 3 − 16 x (2‬و]‪ o‬و ‪x ∈ [− 4‬‬

‫=‪c‬‬

‫ﺣﻞ ‪:‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬

‫)‪f (−4) = −64 + 64 = o = f (o‬‬ ‫‪f ' (c ) = 3c 2 − 16 = o ⇒ c = ±‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪− 3 x3‬‬

‫‪(3‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪x3‬‬

‫= )‪x ∈ [o , 4 ] , f ( x‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪−‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪f ' ( x) = x 3 − x 3‬‬ ‫‪3‬‬

‫ﭘﺲ ﺗﺎﺑﻊ روي ] ‪ 3‬و ‪ [o‬ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ و روي ) ‪ 3‬و ‪ (o‬ﻣﺸﺘﻖ ﭘﺬﯾﺮ اﺳﺖ‪.‬‬

‫‪www.fanavari-IT.ir‬‬


‫‪٣‬‬

‫ﻓﺼﻞ ﭼﻬﺎرم‪ :‬ﮐﺎرﺑﺮد ﻣﺸﺘﻖ‬ ‫‪f (o) = o = f ( 3) = 3 3 3 − 3 3 3 = o‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4c − 3‬‬ ‫‪⇒ c3 −‬‬ ‫=‬ ‫‪=o‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪3c‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‪⇒c‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪, x ∈ [o , 4 ] (4‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪− 2x 4‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪x4‬‬

‫= )‪f ( x‬‬

‫ﺣﻞ ‪:‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪3 −‬‬ ‫‪1 −‬‬ ‫‪f ' ( x) = x 4 − x 4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﭘﺲ ﺗﺎﺑﻊ ‪ f‬روي ]‪ 4‬و ‪ [o‬ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ و روي ) ‪ 4‬و ‪ (o‬ﻣﺸﺘﻖ ﭘﺬﯾﺮ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪3 −4 1 − 4‬‬ ‫‪c − c =o‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪=o‬‬

‫‪−2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪3c 2‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪4c 4‬‬

‫=‬

‫‪1‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪2c 4‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪−‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4c‬‬

‫=‪⇒c‬‬

‫‪x + 3 → x ≤ 2‬‬ ‫‪x ∈ [− 3 , 7 ] , f ( x) = ‬‬ ‫‪ 7 − x → x > 2 (5‬‬ ‫‪1 → x ≤ 2‬‬ ‫‪f ' ( x) = ‬‬ ‫ﺣﻞ( اﯾﻦ ﺗﺎﺑﻊ در ‪ 2‬ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﺳﺖ‪ ،‬ﭘﺲ ﻫﻤﻪ ﺟﺎ ﭘﯿﻮﺳـﺘﻪ اﺳـﺖ و ‪− 1 → x > 2‬‬

‫ﭘﺲ در ‪ 2‬ﻣﺸﺘﻖ ﭘﺬﯾﺮ ﻧﯿﺴﺖ‪ .‬ﻟﺬا ﺷﺮاﯾﻂ را ﻧﺪارد‪.‬‬

‫‪www.fanavari-IT.ir‬‬


‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )‪(١‬‬

‫‪٤‬‬ ‫‪x2 − x − 12‬‬ ‫‪x− 3‬‬ ‫‪(6‬‬

‫= )‪x ∈ [− 3 , 4] , f ( x‬‬

‫ﺣﻞ( ﺗﺎﺑﻊ در ]‪ 3 ∈ [− 3 , 4‬ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ ﻧﯿﺴﺖ‪ ،‬ﭘﺲ ﺷﺮاﯾﻂ ﻗﻀﯿﻪ را ﻧﺪارد‪.‬‬ ‫‪f ( x) = x3 − 6 x2 + 11x − 6 , x ∈ [2 , 3 ] (7‬‬

‫ﺣﻞ(‬ ‫‪f (2) = 8 − 24 + 22 − 6 = o‬‬ ‫‪f ( 3) = 27 − 54 + 33 − 6 = o‬‬ ‫‪f ' (c ) = 3c 2 − 12c + 11 = o‬‬ ‫‪12 ± 12 1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪= ±‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪2 12‬‬

‫‪f ( x) = ( x − π ) sin x , ∈ [o , π ] (8‬‬

‫=‪c‬‬

‫ﺣﻞ( ﭼﻨﺪ ﺟﻤﻠﻪ اي و ‪ sin x‬ﻫﻤﻪ ﺟﺎ ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ و ﻣﺸﺘﻖ ﭘﺬﯾﺮﻧﺪ‪.‬‬ ‫) ‪f (o) = o = f (π‬‬ ‫‪f ' (c ) = sin c + (c − π ) cos c = o‬‬ ‫‪⇒ sin c = (π − c ) cos c‬‬ ‫‪⇒ tan c = π − c‬‬ ‫‪⇒ c + tan c = π‬‬

‫واﺿﺢ اﺳﺖ ﮐﻪ ‪ c = π‬ﺟﻮاب دراﯾﻦ ﺑﺎزه اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪(9‬‬

‫‪ x2 − 9 → x < 2‬‬ ‫] ‪→ x ∈ [− 3 , 4‬‬ ‫‪f ( x) = ‬‬ ‫‪5 x − 4 → x ≥ 2‬‬

‫ﺣـــــــﻞ( اﯾـــــــﻦ ﺗـــــــﺎﺑﻊ در ] ‪ 4‬و ‪ 2 ∈ [− 3‬ﭘﯿﻮﺳـــــــﺘﻪ ﻧﯿﺴـــــــﺖ ﭼـــــــﻮن‬

‫‪www.fanavari-IT.ir‬‬


‫‪٥‬‬

‫ﻓﺼﻞ ﭼﻬﺎرم‪ :‬ﮐﺎرﺑﺮد ﻣﺸﺘﻖ‬

‫‪lim f ( x) = lim( x2 − 9) = −5 ≠ f (2) = 6‬‬ ‫‪x → 2−‬‬

‫ﭘﺲ ﺷﺮاﯾﻂ ﻗﻀﯿﻪ ﺑﺮﻗﺮار ﻧﯿﺴﺖ‪.‬‬ ‫‪x2 − 2 x + 5‬‬ ‫]‪, x ∈ [− 2 , 4‬‬ ‫‪x −1‬‬ ‫‪(10‬‬

‫= )‪f ( x‬‬

‫‪.‬‬

‫ﺣﻞ( اﯾﻦ ﺗﺎﺑﻊ در ]‪ 4‬و ‪ 1 ∈ [− 2‬ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ ﻧﯿﺴﺖ‪ ،‬ﭘﺲ ﺷﺮاﯾﻂ ﻗﻀﯿﻪ ﺑﺮﻗﺮار ﻧﯿﺴﺖ‪.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪ (2‬اﮔﺮ ‪ f ( x) = x − 2 x + 2 x − x‬ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﺑﻪ ﮐﻤﮏ ﻗﻀﯿﻪ رل ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ ﮐـﻪ ﻣﻌﺎدﻟـﻪ‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 4 x − 6 x + 4 x − 1 = o‬در ﺑﺎزه )‪1‬و ‪ (o‬ﺣﺪاﻗﻞ ﯾﮏ رﯾﺸﻪ دارد‪.‬‬

‫‪f (o) = o‬‬ ‫ﺣﻞ( ‪f (1) = 1 − 2 + 2 − 1 = o‬‬

‫ﺗﺎﺑﻊ ﭼﻨﺪ ﺟﻤﻠﻪ اي در ﻗﻀﯿﻪ رل ﺻﺪق ﻣﯽ ﮐﻨﺪ‪ ،‬ﭘﺲ در )‪1‬و ‪ (o‬ﺣﺪاﻗﻞ ﯾـﮏ ‪ c‬وﺟـﻮد دارد‬ ‫ﮐﻪ‬ ‫‪f ' (c ) = 4 c 3 − 6 c 2 + 4 c − 1 = o‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪ (3‬ﺑﻪ ﮐﻤﮏ ﻗﻀﯿﻪ رل ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ ﮐﻪ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ‪ ، x + 2 x + c = o‬ﮐﻪ در آن ‪ c‬ﯾﮏ ﺛﺎﺑـﺖ‬

‫دﻟﺨﻮاه اﺳﺖ‪ ،‬ﻧﻤﯽ ﺗﻮاﻧﺪ ﺑﯿﺶ از ﯾﮏ رﯾﺸﻪ ﺣﻘﯿﻘﯽ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬ ‫ﺣﻞ( اﮔﺮ ‪ f ( x) = x 3 + 2x + c‬ﺑـﯿﺶ از ﯾـﮏ رﯾﺸـﻪ داﺷـﺘﻪ ﺑﺎﺷـﺪ ‪f ' ( x) = 3 x2 + 2‬‬

‫ﺣﺪاﻗﻞ ﯾﮏ رﯾﺸﻪ دارد ﮐﻪ ﺗﻨﺎﻗﺾ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪ (4‬ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﻗﻀﯿﻪ ر‪‬ل ﺛﺎﺑـﺖ ﮐﻨﯿـﺪ ﻣﻌﺎدﻟـﻪ ‪f ( x) = o‬و ‪f ( x) = x5 + x 3 + 2 x − 3‬‬

‫دﻗﯿﻘﺎ ﯾﮏ رﯾﺸﻪ در ﺑﺎزه )‪1‬و ‪ (o‬دارد‪.‬‬

‫‪www.fanavari-IT.ir‬‬


‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )‪(١‬‬

‫‪٦‬‬

‫ﺣﻞ( ‪ f (o) f (1) < o‬ﭘﺲ ‪f (o) = −3‬و‪ f (1) = 1‬ﻃﺒﻖ ﻗﻀﯿﻪ ﻣﻘﺪار ﻣﯿﺎﻧﯽ ﺣـﺪاﻗﻞ ﯾـﮏ‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫رﯾﺸﻪ در )‪1‬و ‪ (o‬دارد‪ .‬از ﻃﺮﻓﯽ ‪. f ' ( x) = 5 x + 3 x + 2 > o‬‬

‫ﭼﻮن )‪ f ' ( x‬ﻫﯿﭻ رﯾﺸﻪ اي ﻧﺪارد ﭘﺲ )‪ f (x‬دﻗﯿﻘﺎ ﯾﮏ رﯾﺸﻪ دارد‪.‬‬ ‫‪ (5‬اﺑﺘﺪا ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ ﺗﻮاﺑﻊ داده ﺷﺪه در ﺷﺮاﯾﻂ ﻗﻀﯿﻪ ﻣﻘﺪار ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ ﺻﺪق ﻣﯽ ﮐﻨﻨـﺪ‪ .‬ﺳـﭙﺲ‬ ‫ﻣﻘﺪار ‪ c‬ﻣﺮﺑﻮﻃﻪ را ﺑﺪﺳﺖ آورﯾﺪ‪.‬‬ ‫‪, x ∈ [o , 1] (1‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪x3‬‬

‫= )‪. f ( x‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2 −‬‬ ‫‪f ' ( x) = x 3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﺣﻞ(‬

‫ﭘﺲ ‪ f‬روي ]‪ [o , 1‬ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ و روي )‪ (o , 1‬ﻣﺸﺘﻖ ﭘﺬﯾﺮ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪2 1‬‬ ‫)‪f (1) − f (o‬‬ ‫= ‪⋅3‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫‪3 c‬‬ ‫‪1− o‬‬ ‫‪8‬‬ ‫=‪⇒c‬‬ ‫‪27‬‬

‫‪(2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪, x∈  , 3‬‬ ‫‪x −1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬

‫‪f ( x) = x − 1 +‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪, 3‬‬ ‫‪ , 3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  2‬ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ روي ‪‬‬ ‫ﺣﻞ( ﺗﺎﺑﻊ داده ﺷﺪه روي ‪‬‬ ‫‪  2‬ﻣﺸﺘﻖ ﭘﺬﯾﺮ اﺳﺖ‪،‬‬

‫‪www.fanavari-IT.ir‬‬


‫‪٧‬‬

‫ﻓﺼﻞ ﭼﻬﺎرم‪ :‬ﮐﺎرﺑﺮد ﻣﺸﺘﻖ‬ ‫‪1‬‬

‫‪(c − 1) 2‬‬

‫‪f ' (c ) = −‬‬

‫‪3‬‬ ‫) ( ‪f ( 3) − f‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪⇒ 1−‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪(c − 1‬‬ ‫‪3−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪= o ⇒ (c − 1) 2 = 1‬‬

‫‪5−5‬‬ ‫‪2 2‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬

‫=‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫)‪(c − 1‬‬

‫‪1−‬‬

‫‪⇒c=o‬‬

‫‪(3‬‬ ‫]‪ 5‬و‪x ∈ [− 1‬‬

‫‪2 x + 3, x < 3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪15 − 2, x ≥ 3‬‬

‫ﺣﻞ( ﺗﺎﺑﻊ در ‪ 3‬ﻣﺸﺘﻖ ﭘﺬﯾﺮ ﻧﯿﺴﺖ‪ ،‬ﭼـﻮن ‪ f ' − ( 3 ) = 2‬و ‪ ، f ' + ( 3) = −2‬ﭘـﺲ ﺷـﺮاﯾﻂ‬ ‫ﻗﻀﯿﻪ را ﻧﺪارد‪.‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪. x ∈ [− 4 , 5] , f ( x) = 3( x − 4) (4‬‬

‫ﺣﻞ(‬

‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪−‬‬

‫)‪ f ، f ' ( x) = 2( x − 4‬در ]‪ 5‬و ‪ 4 ∈ [− 4‬ﻣﺸـﺘﻖ ﭘـﺬﯾﺮ ﻧﯿﺴـﺖ‪ ،‬ﭘـﺲ ﺷـﺮاﯾﻂ‬

‫ﺑﺮﻗﺮار ﻧﯿﺴﺖ‪.‬‬ ‫‪x2 − 3‬‬ ‫= )‪x ∈ [− 5 , o] , f ( x‬‬ ‫‪x + 3 (5‬‬ ‫‪.‬‬

‫ﺗﺎﺑﻊ در ]‪ − 3 ∈ [− 5 , o‬ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ ﻧﯿﺴﺖ ﭘﺲ ﺷﺮاﯾﻂ ﻗﻀﯿﻪ ﺑﺮﻗﺮار ﻧﯿﺴﺖ‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪. x ∈ [− 1 , 5] , f ( x) = x + 7 x − 1 (6‬‬

‫‪www.fanavari-IT.ir‬‬


‫‪٨‬‬

‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )‪(١‬‬

‫���ﻞ( ﭼﻮن ‪ f‬ﭼﻨﺪ ﺟﻤﻠﻪ اي اﺳﺖ‪ ،‬ﺷﺮاﯾﻂ ﺑﺮﻗﺮار اﺳﺖ‪ .‬ﭘﺲ‬ ‫‪f (5) − f (−1) 49 − 7‬‬ ‫=‬ ‫‪=7‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬

‫= ‪2c + 7‬‬ ‫‪⇒c=o‬‬

‫)‪ (6‬ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ ﻫﺮ ﭼﻨﺪ ﺟﻤﻠﻪ اي از درﺟﻪ ‪ 3‬ﺣﺪاﮐﺜﺮ ‪ 3‬رﯾﺸﻪ ﺣﻘﯿﻘﯽ دارد‪.‬‬ ‫ﺣﻞ( ﭼﻮن ﻣﺸﺘﻖ ﭼﻨﺪﺟﻤﻠﻪ اي درﺟﻪ ‪ ،3‬ﭼﻨﺪﺟﻤﻠﻪ اي درﺟﻪ ‪ 2‬اﺳﺖ و ﺣﺪاﮐﺜﺮ ‪ 2‬رﯾﺸـﻪ دارد‬ ‫ﭘﺲ ﭼﻨﺪﺟﻤﻠﻪ اي درﺟﻪ ‪ 3‬ﺣﺪاﮐﺜﺮ ‪ 3‬رﯾﺸﻪ دارد‪.‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪ (7‬ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ‪ x + 3 x + x + 13 = o‬داراي ﺑﯿﺶ از ﯾﮏ رﯾﺸﻪ ﺣﻘﯿﻘﯽ ﻧﯿﺴﺖ‪.‬‬

‫ﺣﻞ( ﭼﻮن درﺟﻪ ﭼﻨﺪ ﺟﻤﻠﻪ اي ﻓﺮد اﺳﺖ‪ ،‬ﺣﺪاﻗﻞ ﯾﮏ رﯾﺸﻪ ﺣﻘﯿﻘﯽ دارد‪.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫از ﻃﺮﻓﯽ ‪ f ' ( x) = 5 x + 9 x + 1‬ﻫﯿﭻ رﯾﺸﻪ اي ﻧﺪارد‪ ،‬ﭘﺲ ﭼﻨـﺪ ﺟﻤﻠـﻪ اي داده ﺷـﺪه‪،‬‬

‫دﻗﯿﻘﺎ ﯾﮏ رﯾﺸﻪ دارد‪.‬‬ ‫‪2n +1‬‬ ‫)‪ (8‬ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ‪ x + ax + b = o‬ﺑﺮاي ‪ n ∈ N , a > o‬دﻗﯿﻘﺎ ﯾﮏ رﯾﺸﻪ دارد‪.‬‬

‫ﺣﻞ( ﭼﻮن ﭼﻨﺪﺟﻤﻠﻪ اي از درﺟﻪ ﻓﺮد اﺳﺖ‪ ،‬ﺣﺪاﻗﻞ ﯾﮏ رﯾﺸﻪ دارد‪.‬‬ ‫‪2n‬‬ ‫از ﻃﺮﻓﯽ ‪ f ' ( x) = (2n + 1) x + a‬و ‪ ، a > o‬ﭘﺲ )‪ f ' ( x‬ﻫﯿﭻ رﯾﺸﻪ اي ﻧﺪارد‪ ،‬ﭘـﺲ‬

‫ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﻗﯿﻘﺎ ﯾﮏ رﯾﺸﻪ دارد‪.‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪ (9‬ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ ‪ x + x + x + 1 = o‬دﻗﯿﻘﺎ ﯾﮏ رﯾﺸﻪ دارد‪.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫از ﻃﺮﻓﯽ ‪ f ' ( x) = 5 x + 3 x + 1‬ﻫﯿﭻ رﯾﺸﻪ اي ﻧﺪارد ﭘﺲ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﻗﯿﻘﺎ ﯾﮏ رﯾﺸﻪ دارد‪.‬‬

‫)‪ (10‬ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ‬ ‫‪x‬‬ ‫‪< Ln(1 + x) < x‬‬ ‫‪1+ x‬‬

‫و )‪( x > o‬‬

‫‪.‬‬

‫ﺣﻞ( ﺗﺎﺑﻊ )‪ f (t ) = Ln(1 + n‬را روي ﺑﺎزه ] ‪x‬و ‪ [o‬در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﯿﺮﯾﺪ اﯾﻦ ﺗﺎﺑﻊ ﺷﺮاﯾﻂ ﻗﻀـﯿﻪ‬

‫‪www.fanavari-IT.ir‬‬


‫ﻓﺼﻞ ﭼﻬﺎرم‪ :‬ﮐﺎرﺑﺮد ﻣﺸﺘﻖ‬

‫‪٩‬‬

‫ﻣﻘﺪار ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ را دارد‪ .‬ﭘﺲ‪:‬‬ ‫)‪f ( x) − f (o‬‬ ‫‪x−o‬‬

‫= ) ‪f ' (c‬‬

‫‪o<c< x‬‬ ‫)‪Ln(1 + x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫⇒‬ ‫=‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1+ c‬‬ ‫)‪Ln(1 + x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫⇒‪c < x‬‬ ‫<‬ ‫=‬ ‫⇒‬ ‫)‪< Ln(1 + x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1+ x 1+ c‬‬ ‫‪1+ x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪Ln(1 + x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫>‪=1‬‬ ‫=‬ ‫⇒‪o<c‬‬ ‫‪1+ c‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1+ o‬‬ ‫‪x‬‬ ‫⇒‬ ‫‪< Ln(1 + x) < x‬‬ ‫‪1+ x‬‬

‫)‪ (11‬ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫< ) ‪< Ln(1 +‬‬ ‫‪1+ x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪( x > o),‬‬

‫‪1‬‬ ‫ﺣﻞ( ﮐﺎﻓﯽ اﺳﺖ در ﺗﻤﺮﯾﻦ ﻗﺒﻞ ﺑﻪ ﺟﺎي ‪ x‬ﻗﺮار دﻫﯿﻢ ‪ x‬دارﯾﻢ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫) ‪< Ln(1 +‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫< ) ‪< Ln(1 +‬‬ ‫‪1+ x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1+‬‬ ‫‪x‬‬

‫⇒‬

‫)‪ (12‬اﮔﺮ ‪ f‬ﺑﺮ ﺑﺎزه ﺑﺴﺘﻪ ]‪1‬و ‪ [o‬ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ و ‪ f (o) = o‬و اﮔﺮ )‪ f ' ( x‬ﺑـﺮ ﺑـﺎزه ﺑﺴـﺘﻪ ﺑـﺎز‬ ‫)‪f ( x‬‬ ‫)‪1‬و ‪ (o‬ﻣﻮﺟﻮد و ﺻﻌﻮدي ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﻧﺸـﺎن دﻫﯿـﺪ ﮐـﻪ ‪x‬‬

‫= )‪g ( x‬‬

‫ﻧﯿـﺰ ﺑـﺮ ﺑـﺎزه )‪1‬و ‪(o‬‬

‫ﺻﻌﻮدي اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﺣﻞ( ﺑﺮاي ‪ o < x < 1‬ﻃﺒﻖ ﻗﻀﯿﻪ ﻣﻘﺪار ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ دارﯾﻢ‪:‬‬

‫‪www.fanavari-IT.ir‬‬


‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )‪(١‬‬

‫‪١٠‬‬

‫)‪f ( x) − f (o‬‬ ‫)‪= f ' (cx‬‬ ‫‪x−o‬‬ ‫‪o < x1 < x2 < 1 ⇒ cx1 ≤ cx2‬‬ ‫= )‪g ( x‬‬

‫' ‪ f‬ﺻﻌﻮدي اﺳﺖ ) ‪f ' ⇒ f ' (cx1 ) ≤ f ' (cx2‬‬ ‫‪ g‬ﺻﻌﻮدي اﺳﺖ ‪⇒ g ( x1 ) ≤ g ( x2 ) ⇒ g‬‬ ‫‪x‬‬ ‫)‪ (13‬ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ‪1 + x2‬‬

‫= )‪f ' ( x‬‬

‫‪ .‬ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ ﺑﻪ ازاي ﻫﺮ ‪ a‬و ‪ b‬ﻣﺘﻤﺎﯾﺰ دارﯾﻢ‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪f (b) − f (a ) ≤ b − a‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﺣﻞ(‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪(1 + x2 ) 2‬‬

‫‪≤ 1−‬‬

‫‪1 − x2‬‬

‫‪(1 + x2 ) 2‬‬

‫=‬

‫‪2‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫از ﻃﺮﻓﯽ ) ‪ 2 x ≤ (1 + x‬ﭘﺲ‬

‫‪1 + x2 − 2 x2‬‬ ‫‪(1 + x2 ) 2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫≥‬

‫= )‪f ' ( x‬‬

‫‪x2‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫) ‪ . (1 + x‬ﻟﺬا‬

‫‪1 1‬‬ ‫= ‪f ' ( x) ≤ 1 −‬‬ ‫‪2 2‬‬

‫ﺣﺎل اﮔﺮ ‪ a‬و ‪ b‬ﻣﺘﻤﺎﯾﺰ و دﻟﺨﻮاه ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫) ‪f (b) − f (a‬‬ ‫≤ ) ‪= f ' (c‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪b−a‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪⇒ f (b) − f (a ) ≤ b − a‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪π‬‬ ‫)‪ (14‬اﮔﺮ ‪2‬‬

‫< ‪o < β ≤α‬‬

‫ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ ﮐﻪ‪:‬‬

‫‪www.fanavari-IT.ir‬‬


‫ﻓﺼﻞ ﭼﻬﺎرم‪ :‬ﮐﺎرﺑﺮد ﻣﺸﺘﻖ‬ ‫‪α−β‬‬ ‫‪cos 2 α‬‬

‫≤ ‪≤ tan α − tan β‬‬

‫‪١١‬‬

‫‪α −β‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪cos β‬‬

‫ﺣﻞ( ﺗﺎﺑﻊ ‪ f ( x) = tan x‬را روي ﺑﺎزه ] ‪ α‬و‪ [β‬در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﯿﺮﯾﺪ‪.‬‬ ‫اﯾﻦ ﺗﺎﺑﻊ ﺷﺮاﯾﻂ ﻗﻀﯿﻪ ﻣﻘﺪار ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ را داراﺳﺖ‪ .‬ﭘﺲ‪:‬‬ ‫‪tan α − tan β‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪α −β‬‬ ‫‪cos 2 c‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪2‬‬ ‫ﭼﻮن ‪ β < c < α‬و ‪ cos x‬ﺗﺎﺑﻌﯽ ﺻﻌﻮدي اﺳﺖ‪ .‬ﭘﺲ‬

‫‪1‬‬

‫‪cos2 α‬‬

‫≤‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪cos c‬‬

‫≤‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪cos β‬‬

‫ﻟﺬا‬ ‫‪1‬‬ ‫‪tan α − tan β‬‬ ‫≤‬ ‫‪α −β‬‬ ‫‪cos 2 α‬‬

‫≤‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪cos β‬‬

‫)‪ (15‬درﺳﺘﯽ ﻗﻀﯿﻪ ﻣﻘﺪار ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ را ﺑﺮاي ﺗﺎﺑﻊ زﯾﺮ در ﻓﺎﺻﻠﻪ ]‪2‬و ‪ [o‬ﺑﺮرﺳﯽ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬ ‫‪ 3 − x2‬‬ ‫‪,o ≤ x ≤ 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪f ( x) = ‬‬ ‫‪1 , x > 1‬‬ ‫‪ x‬‬ ‫‪lim f ( x) = f (1) = 1‬‬ ‫‪ x → 1‬ﭘﺲ ﺗﺎﺑﻊ ﻫﻤﻪ ﺟﺎ ﺧﺼﻮﺻـﺎ روي ]‪ [o , 2‬ﭘﯿﻮﺳـﺘﻪ اﺳـﺖ‪ .‬از‬ ‫ﺣﻞ(‬

‫ﻃﺮﻓﯽ‪:‬‬

‫‪www.fanavari-IT.ir‬‬


‫‪١٢‬‬

‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )‪(١‬‬

‫‪− x,o ≤ x ≤ 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪f '− (1) = f '+ (1) = 1 , f ' ( x) =  1‬‬ ‫‪− x2 , x > 1‬‬ ‫‪‬‬

‫ﭘﺲ ﻣﺸﺘﻖ ‪ f‬ﻫﻤﻪ ﺟﺎ ﺧﺼﻮﺻﺎ روي )‪ (o , 2‬ﻣﻮﺟـﻮد اﺳـﺖ‪ .‬ﻟـﺬا ﺷـﺮاﯾﻂ ﻗﻀـﯿﻪ ﻣﻘـﺪار‬ ‫ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ ﺑﺮﻗﺮار اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪−x‬‬ ‫)‪ (16‬ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ ﮐﻪ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ‪ x = 2‬ﯾﮏ و ﺗﻨﻬﺎ رﯾﺸﻪ در ﺑﺎزه )‪ (o , 1‬دارد‪.‬‬

‫ﺣﻞ( از ‪ x = 2 − x‬ﻧﺘﯿﺠﻪ ﻣﯽ ﮔﯿﺮﯾﻢ ‪Log 2 x = − x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﺣﺎل ﺗﺎﺑﻊ ‪ f ( x) = Log 2 + x‬را روي ﻓﺎﺻﻠﻪ )‪ (o , 1‬در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﯿﺮﯾﺪ‪.‬‬

‫‪f (1) = 1 > o‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ , 1‬‬ ‫⇒ ‪f ( ) = −1 + = − < o‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ f‬رﯾﺸﻪ اي در ‪  2 ‬دارد‪.‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪⋅ +1‬‬ ‫‪Ln2 x‬‬ ‫از ﻃﺮﻓﯽ‬

‫= )‪f ' ( x‬‬

‫ﻫﯿﭻ رﯾﺸﻪ اي ﻧﺪارد‪ .‬ﭘﺲ ‪Log 2x = x‬‬

‫‪−x‬‬ ‫دﻗﯿﻘﺎ ﯾﮏ رﯾﺸﻪ دارد‪ ،‬ﻟﺬا ‪ x = 2‬دﻗﯿﻘﺎ ﯾﮏ رﯾﺸﻪ در )‪ (o , 1‬دارد‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪ (17‬ﻗﻀﯿﻪ رل را ﺑﯿﺎن ﮐﺮده ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از آن ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ ﮐﻪ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ‪ x + x − 1 = o‬ﯾـﮏ‬

‫و ﻓﻘﻂ ﯾﮏ رﯾﺸﻪ ﺣﻘﯿﻘﯽ دارد‪.‬‬ ‫ﺣﻞ( اﮔـﺮ ‪ f‬روي ]‪ [a, b‬ﭘﯿﻮﺳـﺘﻪ و روي ) ‪ (a, b‬ﻣﺸـﺘﻖ ﭘـﺬﯾﺮ ﺑﺎﺷـﺪ و )‪f (a ) = f (b‬‬

‫آﻧﮕﺎه )‪ c ∈ (a , b‬ﻣﻮﺟﻮد اﺳﺖ ﮐﻪ ‪. f ' (c ) = o‬‬ ‫ﭼﻮن ﻣﻌﺎدﻟﻪ داده ﺷﺪه از درﺟﻪ ﻓﺮد اﺳﺖ ﭘﺲ ﺣﺪاﻗﻞ ﯾﮏ رﯾﺸﻪ دارد‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫از ﻃﺮﻓﯽ ‪ f ' ( x) = 3 x + 1‬ﻫﯿﭻ رﯾﺸﻪ اي ﻧﺪارد‪ ،‬ﭘﺲ ﻃﺒﻖ ﻗﻀﯿﻪ رل )‪ f (x‬ﻧﻤﯽ ﺗﻮاﻧـﺪ‬

‫ﺑﯿﺶ از ﯾﮏ رﯾﺸﻪ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬

‫‪www.fanavari-IT.ir‬‬


‫‪١٣‬‬

‫ﻓﺼﻞ ﭼﻬﺎرم‪ :‬ﮐﺎرﺑﺮد ﻣﺸﺘﻖ‬

‫)‪ (18‬ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﻗﻀﯿﻪ رل ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ ﺑـﯿﻦ ﻫـﺮ دو رﯾﺸـﻪ ﺣﻘﯿﻘـﯽ ﻣﻌﺎدﻟـﻪ ‪e x sin x = 1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﺣﺪاﻗﻞ ﯾﮏ رﯾﺸﻪ ‪ e cos x = −1‬ﻗﺮار دارد‪.‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﺣﻞ( ‪ e sin x = 1‬ﻣﻌﺎدل اﺳﺖ ﺑـﺎ ‪ . sin x = e‬و ‪ e cos x = −1‬ﻣﻌـﺎدل اﺳـﺖ ﺑـﺎ‬ ‫‪−x‬‬ ‫‪. cos x = −e‬‬ ‫‪−x‬‬ ‫ﺣﺎل ﺗﺎﺑﻊ ‪ f ( x) = sin x − e‬را در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﯿﺮﯾﺪ‪ .‬اﯾﻦ ﺗﺎﺑﻊ ﺷﺮاﯾﻂ ﻗﻀﯿﻪ رل را داراﺳﺖ و‬ ‫‪−x‬‬ ‫‪. f ' ( x) = cos x + e‬‬

‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ﺑﯿﻦ ﻫﺮ دو رﯾﺸﻪ )‪ f ' ( x‬وﺟﻮد دارد‪.‬‬ ‫‪−x‬‬ ‫‪−x‬‬ ‫ﯾﻌﻨﯽ ﺑﯿﻦ ﻫﺮ دو رﯾﺸﻪ ‪ sin x = e‬ﯾﮏ رﯾﺸﻪ از ‪ cos x = −e‬وﺟﻮد دارد‪.‬‬

‫‪x +1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫≥)‬ ‫‪x‬‬ ‫)‪ (19‬ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﻗﻀﯿﻪ ﻣﻘﺪار ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ‪a + 1 .‬‬ ‫‪x+1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫>)‬ ‫‪x‬‬ ‫ﺣﻞ( ﻃﺒﻖ ﺗﻤﺮﯾﻦ )‪ (11‬ﺑﺮاي ‪ x > o‬دارﯾﻢ ‪x + 1‬‬

‫(‪Ln‬‬

‫(‪o < x ≤ 1 Ln‬‬

‫‪.‬‬

‫اﺳﺖ‪.‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫≤‬ ‫ﺣﺎل اﮔﺮ ‪ o < x ≤ 1‬آﻧﮕﺎه ‪ x + 1 1 + x‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x+1‬‬ ‫(‪≤ Ln‬‬ ‫)‬ ‫‪x+1‬‬ ‫‪x‬‬

‫)‪ (20‬ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﻗﻀﯿﻪ ﻣﻘﺪار ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ ﮐﻪ ﺑـﻪ ازاي ﻫـﺮ ﻋـﺪد ﺣﻘﯿﻘـﯽ ‪α ≥ 1‬‬

‫راﺑﻄﻪ زﯾﺮ ﺑﺮﻗﺮار اﺳﺖ‪) .‬ﺑﻪ ﺷﺮط آﻧﮑﻪ ‪ (z + 1) > o‬ﺑﺎﺷﺪ(‪.‬‬ ‫اﮔﺮ‬

‫‪α‬‬ ‫‪z ≥ o (1 + z) ≥ 1 + αz‬‬

‫‪α‬‬ ‫ﺣﻞ( ﺗﺎﺑﻊ ‪ f ( x) = (1 + x) − αx‬را روي ﻓﺎﺻﻠﻪ ] ‪z‬و ‪ [o‬در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﯿﺮﯾﺪ‬

‫‪www.fanavari-IT.ir‬‬


‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )‪(١‬‬

‫‪١٤‬‬

‫اﯾــﻦ ﺗــﺎﺑﻊ ﺷــﺮاﯾﻂ ﻗﻀــﯿﻪ ﻣﻘــﺪار ﻣﯿــﺎﻧﮕﯿﻦ را داراﺳــﺖ‪ .‬ﭘــﺲ ‪ o < c < z‬ﻣﻮﺟــﻮدات ﮐــﻪ‬ ‫)‪f ( z) − f (o‬‬ ‫‪(1 + z)α − αz − 1‬‬ ‫⇒ ) ‪= f ' (c‬‬ ‫‪= α (1 + c)α −1 − α ≥ o‬‬ ‫‪z−o‬‬ ‫‪z‬‬ ‫ﭼﻮن ‪ c > o‬اﺳﺖ ﭘﺲ ‪(1 + z)α ≥ 1 + αz‬‬ ‫‪α‬‬ ‫اﮔﺮ ‪ z < o‬ﺗﺎﺑﻊ ‪ f ( x) = (1 + x) − αx‬را روي ]‪ o‬و‪ [z‬در ﻧﻈﺮ ﻣﯽ ﮔﯿﺮﯾﻢ‬

‫)‪f (o) − f ( z‬‬ ‫) ‪= f ' (c‬‬ ‫‪o −z‬‬

‫‪1 − (1 + z)α + αz‬‬ ‫‪= (1 + c)α − α ≤ o‬‬ ‫‪o −z‬‬ ‫‪⇒ 1 + αz ≤ (1 + z)α‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪ (21‬ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﻗﻀﯿﻪ رل ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ ﮐﻪ ﻣﺸﺘﻖ ﺗﺎﺑﻊ ‪ f ( x) = x − 8 x − 12x‬ﻓﻘـﻂ‬

‫ﯾﮏ رﯾﺸﻪ در ]‪1‬و‪ [− 1‬دارد‪.‬‬ ‫ﺣﻞ(‬ ‫‪f ' ( x) = 4 x 3 − 16 x − 12‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪⇒ x=±2‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪f ' ' ( x) = 12x2 − 16‬‬

‫= ‪f ' ' ( x) = o ⇒ x2‬‬

‫رﯾﺸﻪ ﻫﺎي )‪ f ' ' ( x‬ﺧﺎرج ]‪1‬و‪ [− 1‬ﻗﺮار دارﻧﺪ ﭘﺲ )‪f ' ( x‬‬

‫ﺣﺪاﮐﺜﺮ ﯾﮏ رﯾﺸـﻪ در ]‪1‬و‪[− 1‬‬

‫دارد‪.‬‬ ‫از ﻃﺮﻓﯽ ‪ f ' (−1) = −4 + 16 − 12 = o‬و اﯾﻦ ﺗﻨﻬﺎ رﯾﺸﻪ ﺗﺎﺑﻊ ﻣﺸﺘﻖ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪ (22‬ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ ﮐﻪ ﺗـﺎﺑﻊ ‪ f ( x) = 4 x + 3 x + 3 x − 2‬در ﻓﺎﺻـﻠﻪ ]‪ [o , 1‬ﺗﻨﻬـﺎ ﯾـﮏ‬

‫رﯾﺸﻪ دارد‪.‬‬

‫‪www.fanavari-IT.ir‬‬


‫ﻓﺼﻞ ﭼﻬﺎرم‪ :‬ﮐﺎرﺑﺮد ﻣﺸﺘﻖ‬

‫‪١٥‬‬

‫ﺣــﻞ( ‪ f (1) = 8 > o , f (o) = −2 < o‬ﭘــﺲ ﺣــﺪاﻗﻞ ﯾــﮏ رﯾﺸــﻪ در ]‪ [o , 1‬دارد‪ .‬از‬ ‫ﻃﺮﻓﯽ‪:‬‬ ‫‪f ' ( x) = 2 o x4 + 9 x2 + 3 > o‬‬

‫)‪ f ' ( x‬ﻫﯿﭻ رﯾﺸﻪ اي ﻧﺪارد ﭘﺲ )‪ f (x‬دﻗﯿﻘﺎ ﯾﮏ رﯾﺸﻪ دارد‪.‬‬ ‫)‪ (23‬ﻓــﺮض ﮐﻨﯿــﺪ )‪ f (x‬روي ]‪ [o , 1‬ﻣﺸــﺘﻖ ﭘــﺬﯾﺮ ﺑﺎﺷــﺪ‪ .‬ﺛﺎﺑــﺖ ﮐﻨﯿــﺪ ﻋــﺪدي ﻣﺎﻧﻨــﺪ‬ ‫‪ o < c < 1 , c‬وﺟﻮد دارد ﺑﻪ ﻃﻮري ﮐﻪ )‪c 2 f ' (c) + 2cf (c ) = f (1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺣﻞ( ﺗﺎﺑﻊ )‪ h( x) = x f ( x‬را روي ﻓﺎﺻﻠﻪ ]‪1‬و ‪ [o‬در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﯿﺮﯾﺪ اﯾﻦ ﺗﺎﺑﻊ ﺷـﺮاﯾﻂ ﻗﻀـﯿﻪ‬

‫ﻣﻘﺪار ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ را داراﺳﺖ ﭘﺲ‪:‬‬ ‫)‪h(1) − h(o‬‬ ‫) ‪= h' ( c‬‬ ‫‪1− o‬‬ ‫‪f (1) − o‬‬ ‫) ‪= c 2 f ' (c ) + 2cf (c‬‬ ‫‪o < c <1 ,‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪o < c <1 ,‬‬

‫)‪⇒ c 2 f ' (c ) + 2cf (c ) = f (1‬‬

‫‪ 8-3-4‬ﺗﻤﺮﯾﻦ ﺻﻔﺤﻪ ‪. 300‬‬ ‫)‪ (1‬ﺗﻌﯿﯿﻦ ﮐﻨﯿﺪ ﺗﻮاﺑﻊ زﯾﺮ روي ﭼﻪ ﺑﺎزه ﻫﺎﯾﯽ ﺻﻌﻮدي ﯾﺎ ﻧﺰوﻟﯽ ﻫﺴﺘﻨﺪ‪.‬‬ ‫‪f ( x) = − x5 − 4 x + 2‬‬

‫)‪1‬‬

‫‪f ' ( x) = 5 x4 − 4 = −(5 x4 + 4) < o‬‬

‫‪ f‬ﻫﻤﻮاره ﻧﺰوﻟﯽ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪f ( x) = x4 − 2x2‬‬

‫)‪f ' ( x) = 4 x3 − 4 x = 4 x( x2 − 1‬‬

‫)‪2‬‬

‫ﺗﺎﺑﻊ روي ) ∞ ‪ [1 +‬ﺗﺎﺑﻊ ﺻﻌﻮدي روي ]‪ [o , 1‬ﻧﺰوﻟﯽ‬

‫‪www.fanavari-IT.ir‬‬


‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )‪(١‬‬

‫‪١٦‬‬

‫روي ]‪ [− 1 , o‬ﺗﺎﺑﻊ ﺻﻌﻮدي و روي ]‪ (− ∞ , − 1‬ﻧﺰوﻟﯽ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪− x+2‬‬

‫‪( x − 1)2‬‬

‫)‪( x − 3‬‬

‫=‬

‫‪( x − 1) 3‬‬

‫)‪( x − 1)(− x + 1 + 2x − 4‬‬ ‫‪( x − 1)4‬‬

‫=‬

‫)‪− ( x − 1)2 − 2( x − 1)(− x + 2‬‬ ‫‪( x − 1)4‬‬

‫= )‪f ( x‬‬

‫)‪3‬‬

‫= )‪f ' ( x‬‬

‫ﺗﺎﺑﻊ روي ) ‪ (1 , 3‬ﻧﺰوﻟﯽ و روي ) ∞ ‪ (3 , +‬و )‪ (− ∞ , 1‬ﺻﻌﻮدي اﺳﺖ‪.‬‬

‫‪=o⇒ x= ± 2‬‬

‫)‬

‫ﺗﺎﺑﻊ روي ‪2‬‬

‫‪4 − 2x2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪4−x‬‬

‫=‬

‫‪x2‬‬ ‫‪2‬‬

‫(‬

‫‪4−x‬‬

‫‪f ( x) = x 4 − x2‬‬ ‫‪f ' ( x) = 4 − x2 −‬‬

‫( )‬

‫)‬

‫‪ − 2 ,‬ﺻﻌﻮدي و روي ‪ − 2 , − 2‬و ‪2 , 2‬‬

‫]‪f ( x) = [x‬‬

‫)‪4‬‬

‫(‬

‫ﻧﺰوﻟﯽ اﺳﺖ‪.‬‬

‫)‪5‬‬

‫ﺗﺎﺑﻊ ﺟﺰء ﺻﺤﯿﺢ ﻫﻤﻪ ﺟﺎ ﺻﻌﻮدي اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪f ( x) = x − x + 1‬‬

‫)‪6‬‬

‫‪1 → x < −1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪f ( x) = − 2 x − 1 → −1 ≤ x < o‬‬ ‫‪− 1 → o ≤ x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪f ( x) = x + cos x‬‬ ‫‪f ' ( x) = 1 − sin x ≥ o‬‬

‫)‪7‬‬

‫ﻫﻤﻮاره ﺻﻌﻮدي اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪x +1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1 − x2‬‬

‫)‪(1 + x2‬‬

‫= )‪f ( x‬‬

‫)‪8‬‬

‫= )‪f ' ( x‬‬

‫‪www.fanavari-IT.ir‬‬


‫‪١٧‬‬

‫ﻓﺼﻞ ﭼﻬﺎرم‪ :‬ﮐﺎرﺑﺮد ﻣﺸﺘﻖ‬

‫ﺗﺎﺑﻊ روي )‪ (− 1 , 1‬ﺻﻌﻮدي و روي )‪ (− ∞ , − 1‬و ) ∞ ‪ (1 , +‬ﺻﻌﻮدي اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪f ( x) = x + 1 − x‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫( =‬ ‫‪−‬‬ ‫‪)<o‬‬ ‫‪2 x +1 2 x 2 x +1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺗﺎﺑﻊ ﻫﻤﻮاره ﻧﺰوﻟﯽ اﺳﺖ‪ .‬ﭼﻮن ‪x‬‬

‫‪4 x2 − 1‬‬ ‫‪2x2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫=‬

‫‪f ( x) = 2 x +‬‬

‫‪1‬‬

‫≤‬

‫= )‪f ' ( x‬‬

‫‪1‬‬

‫‪x +1‬‬

‫‪.‬‬

‫)‪10‬‬

‫‪f ' ( x) = 2 −‬‬

‫‪2x2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 1 1‬‬ ‫‪ , + ∞‬‬ ‫‪− , ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺗﺎﺑﻊ روي ‪  2 2 ‬ﻧﺰوﻟﯽ و روي ‪‬‬ ‫‪5 − 2 x2‬‬

‫‪5 − x2‬‬

‫=‬

‫ﺗـــﺎﺑﻊ روي‬

‫)‪9‬‬

‫‪f ( x) = x 5 − x2‬‬

‫‪x2‬‬ ‫‪5 − x2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 ‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪− ∞ , − ‬‬ ‫و ‪2‬‬ ‫‪ ‬ﺻﻌﻮدي اﺳﺖ‪.‬‬ ‫)‪11‬‬

‫‪f ' ( x) = 5 − x2 −‬‬

‫‪‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬

‫‪‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪− 5 , −‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺻـــﻌﻮدي و روي ‪‬‬

‫‪‬‬ ‫‪5 ‬‬ ‫و ‪‬‬

‫‪ 5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2 ,‬‬ ‫‪‬‬

‫ﻧﺰوﻟﯽ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪= 2 − ( x − 1) 3‬‬

‫)‪f ( x‬‬

‫ﻫﻤﻮاره ﻧﺰوﻟﯽ اﺳﺖ ⇒ ‪< o‬‬

‫)‪12‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪−‬‬

‫)‪f ' ( x) = −( x − 1‬‬ ‫‪f ( x) = x3 ( x − 2)2‬‬

‫)‪f ' ( x) = 3 x2 ( x − 2)2 + 2 x3 ( x − 2) = x2 ( x − 2)(3 x − 6 + 2x) = x2 ( x − 2)(5 x − 6‬‬

‫)‪13‬‬

‫‪www.fanavari-IT.ir‬‬


‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )‪(١‬‬

‫‪١٨‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪6 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 ‬و ‪‬‬ ‫‪ ‬و∞ ‪ −‬‬ ‫ﺗﺎﺑﻊ روي ‪5 ‬‬ ‫‪ ‬و ) ∞ ‪ +‬و ‪ (2‬ﺻﻌﻮدي و روي ‪  5 ‬ﻧﺰوﻟﯽ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪f ( x) = cos 2 x + cos x − 2‬‬ ‫)‪f ' ( x) = − sin 2 x − cos x = − cos x(2 sin x + 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫) ‪= −2 cos x(sin x +‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪(14‬‬ ‫‪π‬‬ ‫⇒ ‪⇒ f ' ( x) < o‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺗﺎﺑﻊ ﻧﺰوﻟﯽ‬

‫<‪o< x‬‬

‫‪π‬‬ ‫⇒ ‪< x < π ⇒ f ' ( x) > o‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺗﺎﺑﻊ ﺻﻌﻮدي‬ ‫‪7π‬‬ ‫⇒ ‪⇒ f ' ( x) < o‬‬ ‫‪6‬‬ ‫ﺗﺎﺑﻊ ﻧﺰوﻟﯽ‬

‫<‪π < x‬‬

‫‪7π‬‬ ‫‪3π‬‬ ‫<‪< x‬‬ ‫⇒ ‪⇒ f ' ( x) > o‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺗﺎﺑﻊ ﺻﻌﻮدي‬ ‫‪3π‬‬ ‫‪11π‬‬ ‫<‪< x‬‬ ‫⇒ ‪⇒ f ' ( x) < o‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫ﺗﺎﺑﻊ ﻧﺰوﻟﯽ‬ ‫‪11π‬‬ ‫⇒ ‪< x < 2π ⇒ f ' (m) > o‬‬ ‫‪6‬‬ ‫ﺗﺎﺑﻊ ﺻﻌﻮدي‬ ‫‪π‬‬ ‫)‪ (2‬ﺑﺎ ﻓﺮض ‪2‬‬

‫<‪o< x‬‬

‫‪ ،‬ﻧﺎﻣﺴﺎوي ﻫﺎي زﯾﺮ را ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬

‫اﻟﻒ( ‪. sin x < x‬‬ ‫ﺣﻞ( ﺗﺎﺑﻊ‬

‫‪ f (t ) = sin t‬را روي ]‪ [o , x‬در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﯿﺮﯾﺪ‬

‫ﺷﺮاﯾﻂ ﻗﻀﯿﻪ ﻣﻘﺪار ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ را دارد ﭘﺲ‪.‬‬

‫‪www.fanavari-IT.ir‬‬


‫‪١٩‬‬

‫ﻓﺼﻞ ﭼﻬﺎرم‪ :‬ﮐﺎرﺑﺮد ﻣﺸﺘﻖ‬ ‫‪sin x‬‬ ‫)‪f ( x) − f (o‬‬ ‫⇒ ) ‪= f ' (c‬‬ ‫‪= cos c < 1 ⇒ sin x < x‬‬ ‫‪x−o‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x3‬‬ ‫‪x−‬‬ ‫‪< sin x‬‬ ‫‪6‬‬ ‫ب(‬ ‫‪t3‬‬ ‫ﺣﻞ( ﺗﺎﺑﻊ ‪6‬‬

‫‪f (t ) = sin t +‬‬

‫را روي ﻓﺎﺻﻠﻪ ]‪ [o , x‬در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﯿﺮﯾﺪ‬

‫ﺷﺮاﯾﻂ ﻗﻀﯿﻪ ﻣﻘﺪار ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ را دارد‪ .‬ﭘﺲ دارﯾﻢ‬ ‫‪x3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪6 = cos c + c > 1 ⇒ sin x > x − x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪sin x +‬‬

‫)‪f ( x) − f (o‬‬ ‫⇒ ) ‪= f ' (c‬‬ ‫‪x−o‬‬

‫)‪ (3‬ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ‪.‬‬ ‫)‪( x > o‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪< Αrc tan t < x‬‬ ‫‪1 + x2‬‬

‫ﺣﻞ( ﺗﺎﺑﻊ ‪ f (t ) = Αrc tan t‬را روي ﺑﺎزه ]‪ [o , x‬در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﯿﺮﯾﺪ‬ ‫ﺷﺮاﯾﻂ ﻗﻀﯿﻪ ﻣﻘﺪار ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ را دارد‪ .‬ﭘﺲ دارﯾﻢ‪:‬‬ ‫)‪f ( x) − f (o‬‬ ‫‪Αrc tan x − o‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫⇒ ) ‪= f ' (c‬‬ ‫‪x−o‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1 + c2‬‬

‫ﭼﻮن ‪ o < c < x‬ﭘﺲ‬ ‫‪< Αrc tan x < x‬‬

‫‪<1‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪1 + x2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1 + c2‬‬ ‫⇒‬

‫<‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪ 1 + x‬ﻟﺬا دارﯾﻢ‪:‬‬

‫‪Αrc tan x‬‬ ‫‪<1‬‬ ‫‪x‬‬

‫<‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1+ x‬‬

‫)‪ (4‬ﺑﺎ ﻓﺮض )‪ f ( x) = x − Ln(1 + x‬و ‪ o < x < 1‬ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ‪.‬‬

‫‪www.fanavari-IT.ir‬‬


‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )‪(١‬‬

‫‪٢٠‬‬

‫‪x2‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫< )‪< x − Ln(1 + x‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬ ‫ﺣــﻞ( ﺗــﺎﺑﻊ ) ‪ f (t ) = t − Ln(1 + t‬و ‪ g (t ) = t‬روي ] ‪x‬و ‪ [o‬ﺷــﺮاﯾﻂ ﻗﻀــﯿﻪ ﻣﻘــﺪار‬

‫ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ را دارﻧﺪ‪ ،‬ﭘﺲ دارﯾﻢ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 + c ⇒ x − Ln(1 + x) = c / 2c‬‬ ‫‪2c‬‬ ‫‪1+ c‬‬ ‫‪x2‬‬

‫‪1−‬‬

‫)‪f ( x) − f (o) f ' (c‬‬ ‫)‪x − Ln(1 + x‬‬ ‫=‬ ‫⇒‬ ‫=‬ ‫)‪g ( x) − g (o) g ' (c‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫)‪x − Ln(1 + x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫) ‪2(1 + c‬‬ ‫‪x‬‬

‫از ﻃﺮﻓﯽ ﭼﻮن ‪ o < c < x < 1‬ﻟﺬا دارﯾﻢ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫<‬ ‫<‬ ‫‪4 2(1 + c ) 2‬‬

‫ﭘﺲ دارﯾﻢ‪:‬‬ ‫‪1 x − Ln(1 + x) 1‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫<‬ ‫<‬ ‫⇒‬ ‫<‬ ‫‪−‬‬ ‫(‬ ‫‪+‬‬ ‫)‬ ‫<‬ ‫‪x‬‬ ‫‪Ln‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪< Ln(1 + x) < x‬‬ ‫‪1+ x‬‬ ‫)‪ (5‬ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ‪:‬‬

‫)‪( x > o‬‬

‫ﺣﻞ( ﺑﻪ ﺗﻤﺮﯾﻦ ﺻﻔﺤﻪ ‪ 292‬ﻣﺮاﺟﻌﻪ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬ ‫)‪ (6‬ﻧﺎﻣﺴﺎوي زﯾﺮ را ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ‪:‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪π‬‬ ‫< ‪x < sin x < x,o < x‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﺣﻞ( ﻧﺎﻣﺴﺎوي ‪ sin x < x‬در ﺗﻤﺮﯾﻦ ‪ 2‬ﻗﺴﻤﺖ اﻟﻒ ﻧﺸﺎن داده ﺷﺪ‪.‬‬ ‫‪ π‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪f (t ) = sin t − t‬‬ ‫‪ x, 2 ‬‬ ‫ﺑﺮاي ‪ x > o‬ﺗﺎﺑﻊ ‪π‬‬ ‫در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﯿﺮﯾﺪ‪ ،‬اﯾﻦ ﺗـﺎﺑﻊ‬ ‫را روي ﻓﺎﺻﻠﻪ‬

‫‪www.fanavari-IT.ir‬‬


‫‪٢١‬‬

‫ﻓﺼﻞ ﭼﻬﺎرم‪ :‬ﮐﺎرﺑﺮد ﻣﺸﺘﻖ‬

‫ﺷﺮاﯾﻂ ﻗﻀﯿﻪ ﻣﻘﺪار ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ را دارد‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪π‬‬ ‫)‪o −(sin x − x‬‬ ‫‪sin x − x‬‬ ‫)‪f ( ) − f ( x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪π = 2 − cos c‬‬ ‫⇒ )‪f ' ( c‬‬ ‫⇒ ‪= cos c −‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪−x‬‬ ‫‪−x‬‬ ‫‪−x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪π‬‬ ‫)‪ (7‬اﮔﺮ ‪2‬‬

‫<‪o< x‬‬

‫ﺑﺎﺷﺪ ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ‪:‬‬

‫‪. tan x + sin x > 2x‬‬

‫)‪ (8‬ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ﺗﺎﺑﻊ ‪ f‬در ﺑﺎزه ]‪ [a, b‬ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ و ' ' ‪ f‬در ﻓﺎﺻﻠﻪ ) ‪ (a, b‬ﻫﻤـﻮاره ﻣﻮﺟـﻮد و‬ ‫ﻣﺜﺒﺖ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x+ y‬‬ ‫))‪) ≤ ( f ( x) + f ( y‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫( ‪∀x, y ∈ [a , b ] : f‬‬

‫)‪ (9‬اﮔﺮ ‪ f‬در ﺑﺎزه ]‪1‬و ‪ [o‬ﭘﯿﻮﺳـﺘﻪ و ‪ f (o) = o‬و اﮔـﺮ )‪ f ' ( x‬ﺑـﺮ ﺑـﺎزه )‪ (o,1‬ﻣﻮﺟـﻮد و‬ ‫)‪f ( x‬‬ ‫ﺻﻌﻮدي ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ ﮐﻪ ‪x‬‬

‫= )‪g ( x‬‬

‫ﻧﯿﺰ ﺑﺮ ﺑﺎزه )‪ (o,1‬ﺻﻌﻮدي اﺳﺖ‪.‬‬

‫ﺣﻞ( ﺑﻪ ﺗﻤﺮﯾﻦ ‪ 12‬ﺻﻔﺤﻪ ‪ 292‬ﻣﺮاﺟﻌﻪ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬

‫‪www.fanavari-IT.ir‬‬


‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )‪(١‬‬

‫‪٢٢‬‬

‫ﻧﻘﺎط ﺑﺤﺮاﻧﯽ ﻫﺮ ﯾﮏ از ﺗﻮاﺑﻊ زﯾﺮ را ﺗﻌﯿﯿﻦ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬ ‫‪f ( x) = 4 x4 + 4 x3‬‬

‫)‪1‬‬

‫‪f ' ( x) = 16 x3 + 12x2 = 4 x2 (4 x + 3 ) = o‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫⇒ ‪= o, − ‬‬ ‫‪  4 ‬ﻧﻘﺎط ﺑﺤﺮاﻧﯽ‬ ‫‪−x‬‬ ‫‪=o‬‬

‫‪x2 − 4‬‬

‫‪( x2 + 4)2‬‬

‫‪x2 + 4‬‬

‫=‬

‫‪− x2 − 4 + 2x2‬‬ ‫‪( x2 + 4)2‬‬

‫= )‪f ( x‬‬

‫)‪2‬‬

‫= )‪f ' ( x‬‬

‫⇒ }‪ = {− 2,2‬ﻧﻘﺎط ﺑﺤﺮاﻧﯽ‬

‫‪f ( x) = sin 2 x − sin x‬‬ ‫‪f ' ( x) = sin 2 x − cos x = o‬‬ ‫‪⇒ cos x = o‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ‪sin x‬‬ ‫‪2‬‬

‫)‪3‬‬

‫‪π‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪5π ‬‬ ‫‪‬‬ ‫⇒ ‪= kπ + ,2kπ + ,2kπ + ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6 ‬‬ ‫‪ ‬ﻧﻘﺎط ﺑﺤﺮاﻧﯽ‬ ‫‪3‬‬ ‫‪≤ x<2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2≤ x≤ 5‬‬

‫‪−‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪− ≤ x<2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2≤ x≤5‬‬

‫‪ 2‬‬ ‫‪x − 3‬‬ ‫‪f ( x) = ‬‬ ‫‪− x + 3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2x − 3‬‬ ‫‪f ' ( x) = ‬‬ ‫‪− 1‬‬

‫)‪4‬‬

‫ﺗﺎﺑﻊ در ‪ x = 2‬ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﺳﺖ وﻟﯽ ﻣﺸﺘﻖ ﭘﺬﯾﺮ ﻧﯿﺴﺖ‪ .‬ﭘﺲ ‪ x = 2‬ﻧﻘﻄﻪ ﺑﺤﺮاﻧﯽ اﺳﺖ‪.‬‬

‫‪www.fanavari-IT.ir‬‬


٢٣

‫ ﮐﺎرﺑﺮد ﻣﺸﺘﻖ‬:‫ﻓﺼﻞ ﭼﻬﺎرم‬

f ( x) =

5)

7 x3

+

4 x3

4

1 3 − 3x 1

2

− 7 4 f ' ( x) = x 3 + x 3 − x 3 3 3

=

7 x2 + 4 x − 3

= o → 7 x2 + 4 x − 3 = o

2 3 x3

3  o,−1,  ⇒ 7 ‫ ﭘﺲ ﻧﻘﺎط ﺑﺤﺮاﻧﯽ‬ f ( x) = 3 ( x3 − 3 x2 + 4)

6)

f ' ( x) =

3 x2 − 6 x

3 3 ( x3 − 3 x2 + 4)2

3 x2 − 6 x = o

⇒ x = o,2

x3 − 3 x2 + 4 = o ⇒

( x − 2)2 ( x + 1) = o

= 2,−1

‫ ﻣﺸﺘﻖ ﻣﻮﺟﻮد اﺳﺖ ﭘﺲ‬x = 2 ‫ﺑﻪ ازاي‬ ‫{ ﻧﻘﺎط ﺑﺤﺮاﻧﯽ‬o,−1} ⇒ 7)

f ( x) =

2

( x + 1)

( x − 5 x + 4)

(‫ﺣﻞ‬ D f = R − {1,4} f ' ( x) = ⇒

( x2 − 5 x + 4)2

− x2 − 2 x + 9 = o x=

www.fanavari-IT.ir

x2 − 5 x + 4 − 2 x2 − 2 x + 5 x + 5 ⇒

2

+ 2x − 9 = o

−2± 4o = −1 ± 1 o ⇒ 2 ‫ﻧﻘﺎط ﺑﺤﺮاﻧﯽ‬


‫‪٢٤‬‬ ‫‪+2‬‬

‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )‪(١‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪− 4 x2‬‬

‫‪4‬‬ ‫⇒‬ ‫‪3‬‬

‫=‬

‫‪3‬‬ ‫‪x2‬‬

‫= )‪f ( x‬‬

‫)‪8‬‬ ‫‪1‬‬

‫] ∞‪D f = [o,+‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪−‬‬ ‫‪3x − 4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫⇒‬ ‫= ‪f ' ( x) = x 2 − 2x 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2x 2‬‬

‫ﻧﻘﻄﻪ ﺑﺤﺮاﻧﯽ‬

‫‪ 21-3-4‬ﺗﻤﺮﯾﻦ ﺻﻔﺤﻪ ‪313‬‬ ‫ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از آزﻣﻮن ﻣﺸﺘﻖ دوم ﻧﻘﺎط ﻣﺎﮐﺰﯾﻤﻢ ﻧﺴﺒﯽ و ﻣﯿﻨﯿﻤﻢ ﻧﺴﺒﯽ ﻫﺮ ﯾﮏ از ﺗﻮاﺑﻊ زﯾـﺮ را‬ ‫ﺗﻌﯿﯿﻦ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬ ‫‪f ( x) = x 3 − 3 x2 + 4‬‬

‫‪f ' ( x) = 3 x2 − 6 x = o ⇒ x = o, x = 2 (1‬‬ ‫ﻣﺎﮐﺰﯾﻤﻢ ﻧﺴﺒﯽ ⇒ ‪x = o ⇒ f ' ' (o) = −6‬‬ ‫ﻣﯿﻨﯿﻤﻢ ﻧﺴﺒﯽ ⇒ ‪x = 2 ⇒ f ' ' (2) = 6‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪x + cos x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪π 3π‬‬ ‫= )‪f ' ( x‬‬ ‫= ‪− sin x = o ⇒ sin x‬‬ ‫‪⇒ x= ,‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4 4‬‬ ‫‪f ' ' ( x) = − cos x‬‬ ‫‪(2‬‬ ‫= )‪f ( x‬‬

‫‪π‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪⇒ f ' ' ( ) − cos( ) = −‬‬ ‫⇒‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻣﺎﮐﺰﯾﻤﻢ ﻧﺴﺒﯽ‬ ‫‪3π‬‬ ‫‪3π‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ) ('' ‪⇒ f‬‬ ‫⇒‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻣﯿﻨﯿﻤﻢ ﻧﺴﺒﯽ‬

‫=‪x‬‬

‫=‪x‬‬

‫‪www.fanavari-IT.ir‬‬


٢٥

‫ ﮐﺎرﺑﺮد ﻣﺸﺘﻖ‬:‫ﻓﺼﻞ ﭼﻬﺎرم‬ f ( x) = −4 x 3 + 3 x2 + 18 x

f ' ( x) = −12x2 + 6 x + 18 = −6(2x2 − x − 6) = o 1± 7 3 ⇒ x= ⇒ x = 2, x = − 4 2

(3

f ' ' ( x) = −24 x + 6 x = 2 ⇒ f ' ' (2) < o ⇒ ‫ﻣﺎﮐﺰﯾﻤﻢ ﻧﺴﺒﯽ‬ x=−

3 3 ⇒ f ' ' (− ) > o ⇒ 2 2 ‫ﻣﯿﻨﯿﻤﻢ ﻧﺴﺒﯽ‬

f ( x) = 2 x 3 − 9 x2 + 27

f ' ( x) = 6 x2 − 18 x = 6 x( x − 3 ) ⇒ x = o, x = 3 f ' ' ( x) = 12x − 18 (4 x = o ⇒ f ' ' (o) = −18 < o ⇒ ‫ﻣﺎﮐﺰﯾﻤﻢ ﻧﺴﺒﯽ‬ x = 3 ⇒ f ' ' (o) = 18 > o ⇒ ‫ﻣﯿﻨﯿﻤﻢ ﻧﺴﺒﯽ‬ f ( x) =

1 4 x2

f ' ( x) = 2x

+ 4x

1 2

f ' ' ( x) = − x

1 2

− 2x 3 2

3 2

+ 3x

= 2( 5 2

1 1 x −1 − ) = 2( ) = o⇒ x=1 x x x x x

(5 f ' ' (1) = 2 > o ⇒ ‫ﻣﯿﻨﯿﻤﻢ ﻧﺴﺒﯽ‬

f ( x) = ( x − 3) 4 ⇒ .‫ ﻣﯿﻨﯿﻤﻢ ﻧﺴﺒﯽ دارد‬x = 3 ‫ در‬f (6

(7

www.fanavari-IT.ir


(١) ‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ‬

٢٦

f ( x) = ( x − 4)2 x ⇒ D f = [o,+∞ ] f ' ( x) = 2( x − 4) x + ( x − 4) 2 =

( x − 4)(5 x − 4) 2 x

f ' ' ( x) =

1

2 x

= o ⇒ x = 4, x =

2 x (1 o x − 24) −

1

x 2 x

=

4 x( x − 4) + ( x − 4) 2 2 x

4 5

( x − 4)(5 x − 4)

f ' ' (4) =

=

2x(1 o x − 24) − ( x − 4)(5 x − 4) 2x

8 × 16 = 16 > o ⇒ 8 ‫ ﻣﯿﻨﯿﻤﻢ ﻧﺴﺒﯽ‬4 ‫ در‬f

8 × (−4) 4 f ''( ) = 5 <o⇒ 4 8 5 5 ‫ ﻣﺎﮐﺰﯾﻤﻢ ﻧﺴﺒﯽ‬5 ‫ در‬f f ( x) =

9 x2 + x 9

f ' ( x) = −

9

x2

+

2 x − 81 + 2x 3 81 81 = = o ⇒ x3 = ⇒ x = 3 2 9 2 2 (8 9x

‫ﻣﯿﻨﯿﻤﻢ ﻧﺴﺒﯽ‬ f ' ' ( x) =

www.fanavari-IT.ir

18

2 81 3 + ⇒ f ' ' ( )>o⇒ 2 x3 9


‫ﻓﺼﻞ ﭼﻬﺎرم‪ :‬ﮐﺎرﺑﺮد ﻣﺸﺘﻖ‬

‫‪٢٧‬‬

‫‪www.fanavari-IT.ir‬‬


‫ﻓﺼﻞ ﭘﻨﺠﻢ‬

‫ﺿﺪ ﻣﺸﺘﻖ‬

www.fanavari-IT.ir


٢٩

‫ ﺿﺪ ﻣﺸﺘﻖ‬:‫ﻓﺼﻞ ﭘﻨﺠﻢ‬

350 ‫ ﺗﻤﺮﯾﻦ ﺻﻔﺤﻪ‬9-2-5 :‫( ﻫﺮ ﯾﮏ از اﻧﺘﮕﺮال ﻫﺎي زﯾﺮ را ﺣﻞ ﮐﻨﯿﺪ‬1)

( 3 x − 2) 4 dx =

∫2 ∫x

2

x+1

x+1

dx =

1 1 ( 3 x − 2) 5 (3 x − 2) 4 3 dx = ⋅ +c 3 3 5

1 2

1 2 x + 1dx = × ( x + 1) x + 1 + c 2 3

1 + xdx

(‫اﻟﻒ‬ (‫ب‬ (‫ج‬

2udu = dx ‫ ﭘﺲ‬u 2 = 1 + x ‫ﻗﺮار دﻫﯿﺪ‬

∫ (u = 2( = 2(

∫x

3

2

− 1)2 2u 2 du = 2 (u 6 − 2u 4 + u 2 )du

u 7 2u 5 u 3 − + )+c 7 5 3 7 ( x + 1) 2

7

5 2( x + 1) 2

5

+

3 ( x + 1) 2

3

)+c

x2 − 1dx

u 2 = x2 − 1 ⇒ 2udu = 2 xdx ⇒ udu = xdx

∫ ∫

(u 2 + 1)udu =

( x − 1) 2 x

u4 u2 ( x2 − 1) 2 x2 − 1 + +c = + +c 4 2 4 2

(‫د‬

dx

(‫ه‬

www.fanavari-IT.ir


(١) ‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ‬ u = x ⇒ 2du = 2 = ( x − 1) 3 + c 3 x5 dx

=−

1 6

1 − x6 1 = − 1 − x6 + c 3

٣٠

2 ⇒ 2 (u − 1) 2 du = (u − 1) 3 + c 3 x

dx

− 6 x5

1 dx = − × 2 1 − x6 + c 6 1 − x6

(‫و‬

xdx 1 + x2 (1 + x2 ) 3

=

xdx 1 + x2 (1 + x2 ) 1 + x2

u 2 = 1 + x2 ⇒ udu = xdx udu udu = 2 3 1 + (u − 1)u 1− u3 + u5

( x + 1)dx

(‫ز‬

( x + 1)dx

∫ ( x2 + 2x + 2) 3 = ∫ ((x + 1)2 + 1) 3 u = ( x + 1) 2 + 1 ⇒ 4 − x2

x4

1 1 1 1 = × − × + = − +c c 2 u2 u3 2 4(( x + 1) 2 + 1) 2 du

(‫ح‬

dx; u = 2 sin x ⇒ du = 2 cos xdx

1 cos 2 x 1 1 cot 2 x ⋅ csc 2 xdx = − cot 3 x + c dx = 4 4 sin x 4 12

www.fanavari-IT.ir

(‫ط‬


٣١

‫ ﺿﺪ ﻣﺸﺘﻖ‬:‫ﻓﺼﻞ ﭘﻨﺠﻢ‬ x2 + 1

∫ 3 x3 + 3 x + 1 dx du = ( x2 + 1)dx 3

u = x3 + 3 x + 1 ⇒ 1 3

2

∫3

2

1 3 1 = × u 3 + c = ( x 3 + 3 x + 1) 3 + c 2 u 3 2

du

(‫ي‬

∫ x 3 1 − xdx 2

u 3 = 1 − x ⇒ −3u 2 du = dx

− 3 (1 − u 3 ) 2 u 3 du = −3 (u 3 − 2u 6 + u 9 )du

= −3 ( = −3 (

∫3 ∫x

5

u 4 2u 7 u 1o − + )+c 4 7 1o 4 x) 3

(1 − 4

2(1 − 7

x2

1 dx = 3 x3 + 1 5 − x2 dx = −

7 x) 3

+

1o x) 3

(1 − 1o

)+c

3 x2

(‫ك‬ 2

∫3

1 3 dx = × ( x 3 + 1) 3 + c 3 2 x3 + 1

1 2

5 − x2 (−2x)dx

5

(‫ل‬

6

1 5 = − × (5 − x2 ) 5 + c 2 6

(‫م‬

:‫ ﺑﻪ ﺻﻮرت زﯾﺮ ﺗﻌﺮﯾﻒ ﺷﺪه ﺑﺎﺷﺪ‬F ‫ و ﺗﺎﺑﻊ‬f ( x) = x ‫( ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ‬2)  1 2 − x , x < o F ( x) =  2  1 x2 , x ≥ o  2

www.fanavari-IT.ir


(١) ‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ‬

٣٢

.‫( اﺳﺖ‬− ∞,+∞ ) ‫ روي‬f ‫ ﻣﺸﺘﻖ‬‫ ﯾﮏ ﺿﺪ‬F ‫ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ‬ − x , x < o F ' ( x) =  = f ( x) x , x ≥ o (‫ﺣﻞ‬

. 355 ‫ ﺗﻤﺮﯾﻦ ﺻﻔﺤﻪ‬13-3-5 dx

∫ 2 4 .‫ را ﺣﻞ ﮐﻨﯿﺪ‬sin x cos x ‫اﻧﺘﮕﺮال‬ dx

sin 2 x + cos 2 x

dx

dx

∫ sin 2 x cos 4 x ∫ sin 2 x ⋅ cos 4 x dx = ∫ cos 4 x + ∫ (sin x cos x)2 =

= sec 4 xdx + 4 = tan x +

dx

∫ (sin 2x)2 = ∫ sec

2

x(1 + tan 2 x)dx + 4 csc 2 2 x

tan 3 x − 2 cot 2 x + c 3

(‫ﺣﻞ‬ . 357 ‫ ﺗﻤﺮﯾﻦ ﺻﻔﺤﻪ‬20-3-5 .‫( ﻫﺮ ﯾﮏ از اﻧﺘﮕﺮال ﻫﺎي زﯾﺮ را ﺣﺴﺎب ﮐﻨﯿﺪ‬1)

∫ tan xdx =∫ tan x(sec x − 1)dx = ∫ tan 2 x sec 2 xdx − ∫ (tan 2 x + 1)dx + ∫ dx 4

2

2

tan 3 x = − tan x + x + c 3

∫ tan xdx = ∫ tan x ⋅ tan xdx = ∫ (sec = ∫ tan 4 x ⋅ sec 2 xdx − ∫ tan 4 xdx 6

=

www.fanavari-IT.ir

2

4

tan 5 x tan 3 x − + tan x − x + c 5 3

(1 2

x − 1) tan 4 xdx

(2


٣٣

‫ ﺿﺪ ﻣﺸﺘﻖ‬:‫ﻓﺼﻞ ﭘﻨﺠﻢ‬ cos 3 x

∫ sin 9 x dx =

=−

cos x(1 − sin 2 x) 9

sin x 1

8 sin 8 x

+

sec 4 x ⋅ cot 6 xdx =

=

www.fanavari-IT.ir

sec 2 x

dx =

1

6 sin 6 x sec 4 x

∫ tan 6 x

sec 2 x

cos x

cos x

∫ sin 9 x dx − ∫ sin 7 x dx

+c

dx =

(3

∫ 1

sec 2 x(1 + tan 2 x) tan 6 x

dx

1

∫ tan 6 x dx + ∫ tan 4 x dx = − 5 tan 5 x − 3 tan 3 x + c

(4


(١) ‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ‬

sin 3 x

∫ cos9 x

5)

=

=

sin x(1 − cos2 x)

1

8 cos 8 x

cos 9 x 1

6 cos 6 x

٣٤

sin x

∫ cos9 x

dx =

dx −

sin x

∫ cos9 x dx

+c

csc 4 x . cot 7 xdx − csc2 x(cot2 x − 1) cot 7

6)

= cot 9 x . cse2 xdx − cot 7 x . cse2 xd x =−

∫ cos xsec (sin x)dx = ∫ 2

7)

= 8)

=− 9)

∫ sin

cot10 x cot 8 x + +c 10 8

3

sin x cot x cos2 x

dx

1 2 sin x cos x 1 dx = − +c 2 2 2 cos x cos x

∫ sin 2x(1 − cos 2x) cos 2x dx = ∫ cos 5 2x.sin 2 x dx − ∫ cos 7 2 x.sin 2 x dx

2 x. cos 5 2 x dx =

2

5

1 1 cos 6 2 x + cos 8 2 x + c 12 16

tan x(1 + tan x)10 2

dx = u (1 + u ) du 10

cos x dx    u = tan x ⇒ du =  cos2 x  

( tan x + 1)12 (tan x + 1)11 = ∫ ((u + 1) − (u + 1) )du = − 11

www.fanavari-IT.ir

10

12

11


٣٥

‫ ﺿﺪ ﻣﺸﺘﻖ‬:‫ﻓﺼﻞ ﭘﻨﺠﻢ‬ 10)

sin x dx

sin x dx

∫ cos2 x + 2 cos+ 1 = ∫ (cos x + 1)2

(u = cos x + 1 =−

− du = sin x dx)

1

du

∫ u 2 = cos x + 1 + c

In = tan n x dx I 4 In ‫( ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ‬2) ‫ و‬,‫ ﯾﮏ ﻓﺮﻣﻮل ﺑﺎزﮔﺸﺘﯽ ﺑﺮاي ﻣﺤﺎﺳـﺒﻪ ﺑﯿﺎﺑﯿـﺪ‬.

.‫ را ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﮐﻨﯿﺪ‬I 6 (‫ﺣﻞ‬

(

)

In = tan n − 2 x . tan 2 x dx = tan n x sec 2 x − 1 dx = tan x

(

)

= tan n −1 x . tan 2 x dx − tan n − 2 x sec n − 2 x − 1 dx =

tan n −1 − I n −2 6 + c n −1

In + I n − 2 =

tan n −1 +c n −1

I 2 = tan 3 x dx = I4 = I6 =

∫ (sec

2

)

x − 1 dx = tan x − x

tan 3 x − tan x + x + c 3

tan 5 x tan 3 x − + tan x − x + c 5 3

(x, y) ‫( ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﺳﺘﻪ ﻣﻨﺤﻨﯽ ﻫﺎﯾﯽ راﺑﯿﺎﺑﯿﺪ ﮐﻪ ﺿﺮﯾﺐ زاوﯾﻬﺨﻄﻮط ﻣﻤﺎس در ﻫﺮ ﻧﻘﻄـﻪ‬3)

www.fanavari-IT.ir


‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )‪(١‬‬

‫‪٣٦‬‬ ‫‪x‬‬ ‫از آن ﺑﺮاﺑﺮ ‪y‬‬

‫‪−‬‬

‫ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬

‫ﺣﻞ(‬ ‫‪ydy = − xdx‬‬

‫⇒‬

‫‪ydy = − xdx + c‬‬

‫⇒‬

‫‪x2 + y2 = 2c‬‬

‫‪dy‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪=−‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪y‬‬

‫‪y2‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪=− =c‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫⇒‬

‫ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﺳﺘﻪ ﻣﺨﻔﯽﻫﺎ‪ ،‬دواﯾﺮ ﺑﺮ ﻣﺮﮐﺰ ﻣﺒﺪأ ﻣﺨﺘﺼﺎت اﺳﺖ‪.‬‬ ‫)‪ (4‬ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﻣﺨﻔﯽ را ﺑﯿﺎﺑﯿﺪ ﮐﻪ از ﻧﻘﻄﻪ )‪ (2 , 9‬ﮔﺬﺷﺘﻪ و ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺿﺮﯾﺐ زاوﯾﻪ ﻣﻤﺎس ﺑﺮﺧﯽ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 3 x‬ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬

‫∫‬

‫‪y = 3 x2 dx + c‬‬ ‫‪c =1‬‬

‫⇒‬

‫‪y = 3 x2‬‬

‫‪y = x3 + c‬‬ ‫‪9= 8+c‬‬

‫⇒‬

‫‪y = x3 + 1‬‬

‫ﺣﻞ(‬ ‫)‪ (5‬ﻣﻌﺎدﻟﻪ ‪ y'−2 x = o‬را ﺣﻞ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬

‫∫‬

‫‪y = 2x + c‬‬

‫ﺣﻞ(‬

‫‪= x2 + c‬‬

‫⇒ ‪y' = 2x‬‬ ‫⇒‬

‫)‪ (6‬ﻣﺸﺘﻖ ﺗﺎﺑﻌﯽ ﺑﺮاﺑﺮ ‪ x + 3‬اﺳﺖ‪ .‬ﻫﺮﮔﺎه ﻣﻘﺪار ﺑﻪ ازاي ‪ x = 1‬ﺑﺮاﺑـﺮ ‪ 1‬ﺑﺎﺷـﺪ‪ ,‬ﺗـﺎﺑﻊ را‬ ‫ﺑﯿﺎﺑﯿﺪ‪.‬‬

‫‪www.fanavari-IT.ir‬‬


٣٧

‫ ﺿﺪ ﻣﺸﺘﻖ‬:‫ﻓﺼﻞ ﭘﻨﺠﻢ‬ ⇒

(1 , 1)

2 (x + 3 ) x + 3 + c 3 13 2 1 = × 4 × 2× c ⇒ c=− 3 3 2 13 y = (x + 3 ) x + 3 − 3 3 ⇒

y=

y' = x + 3

x+ 3 +c

y=

(‫ﺣﻞ‬

.‫( ﻫﺮ ﯾﮏ از اﻧﺘﺮاﻟﻬﺎي زﯾﺮ را ﺣﻞ ﮐﻨﯿﺪ‬7)

∫ cos 2)

1

sin x dx

∫ (1 + cos x)2 = − 1 + cos x + c

1)

∫(

6

x dx =

1 8

∫ (1 + cos 2 x)

3

dx

)

1 1 + 3 cos 2 x + 3 cos2 2 x + cos 3 2 x dx 8 1 3 (1 + cos 4 x)dx + cos 2 x 1 − sin 2 2x dx  =  dx + 3 cos 2 x dx + 8 2  sin 3 2 x  1 3 3 3 1 =  x + sin 2 x + x + sin 4 x + sin 2 x − +c 8 2 2 8 2 6 

=

3)

(

(

)

)

2

sin 5 x cos2 x dx = sin x 1 − cos2 x cos2 xdx

= sin x . cos2 x dx − 2 sin x . cos 4 x dx + sin x . cos 6 x dx =−

cos 3 x 2 cos 7 x + cos 5 x − +c 3 5 7

www.fanavari-IT.ir


(١) ‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ‬ 4)

(

٣٨

1

)

− cos 3 3 x 2 3 3 x dx dx = cos 3 x 1 − sin 3 x sin 3 sin 3 x

= sin

− 2

1 3

3 x . cos 3 x dx −

x . cos 3 x dx

8

1 1 = sin 3 3 x + sin 3 3 x + c 2 8 5)

5 sin 3

1

∫ sin 3 y cos 3 y dy = 6 sin

2

3y+c

1

∫ cos t . cos 3t dt = 2 ∫ (cos 2t + cos t ) dt

6)

1 1 = sin 2t + sin t + c 4 2

7)

1

∫ sin x . sin 3 x . sin 5 x = ∫ 2 (cos 2x − cos x)sin 5 x dx 1 1 sin 5 x . cos 2 x dx − sin 5 x . cos x dx 2 2 1  7 3  1 (sin 3 x + sin 2 x)dx =  sin x + sin x  dx − 2  2 2  2 −1 7 1 3 1 1 = cos x − cos x + cos 3 x + cos 2 x + c 7 2 3 2 6 4 =

www.fanavari-IT.ir


٣٩

‫ ﺿﺪ ﻣﺸﺘﻖ‬:‫ﻓﺼﻞ ﭘﻨﺠﻢ‬ 8)

1 (2 sin x cos x)4 dx 16 1 1 (1 − cos 4 x)2 sin 4 2x dx = = 32 16

∫ sin

4

x cos 4 x dx =

∫(

)

1 1 − 2 cos 4 x + cos2 4 x dx 32 1 1 1 1  =  x − sin 4 x + x + sin 8 x  + c 32  2 2 16  =

9)

1 + sin 2 ( x − 1) . sin ( x − 1) cos( x − 1)dx  2  u = 1 + sin ( x − 1) 

I=

1 2

u du =

(

du  = sin ( x − 1)cos( x − 1) dx  2 

)

1 1 u u +c = 1 + sin 2 ( x − 1) 1 + sin 2( x −1) + c 3 3

dx

dx

dx

∫ cos2 x . sin 2 x = 4∫ (2 sin x cos x)2 = 4∫ sin 2 2x = −2 cot 2x + c

10)

11)

− + sin 2 ( x − 1) =

. sin ( x − 1) cos( x − 1) dx

1 1 13 7 11 9   cos x + cos x + cos x + cos x  dx 2 2 4 4 4 4 

1 4 13 4 7 4 11 4 9  I =  sin + sin x + sin x + sin x  + c 2  13 4 7 4 11 4 9 4 

www.fanavari-IT.ir


(١) ‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ‬ 1 + sin 3 x

(sin x + cos x)

14)

sin 3 x

1 1 1 = tan 3 x − . +c 3 3 cos 3 x

u = sin x − cos x ⇒ du = (cos x + sin x)dx

∫ 3 (sin x − cos x) =

1

∫ cos2 3 x dx = ∫ cos2 3 x dx + ∫ cos2 x dx

12)

13)

٤٠

1

2

2 − dy 3 du = 2 u 3 + c = 2 (sin x − cos x) + c u = 3 3 3 3 u

∫x

n −1

u = xn

sin xn dx =

du = xn −1 dx n

1 1 sin u du = − cos xn + c n n

sin 3 x

∫ 5 cos 3 x

15)

= cos

3 5

= sin x x . sin x dx −

2

1 − cos xn x 5

13 cos 5

sin x

du

1

1

∫ (1 + cos x)2 dx = − ∫ u 2 = u + c = 1 + cos x + c

16)

dx x sin

I =2

www.fanavari-IT.ir

x . sin x dx

18

5 5 = − cos 5 x + cos 5 x + c 2 18

17)

dx

cos 3 x

2

x

,

u = x ⇒ 2du =

du ∫ sin 2 u = −2 cot( x )+ c

dx x


٤١

‫ ﺿﺪ ﻣﺸﺘﻖ‬:‫ﻓﺼﻞ ﭘﻨﺠﻢ‬ 18)

x dx

∫ cos2 x2 , I=

19) 20)

∫ sin 2x

www.fanavari-IT.ir

u = x2 ⇒

1 du 1 = tan x2 + c 2 2 cos u 2

∫ sin x(1 + cos x) dx = − ∫ u 5

2 + sin 2 x dx =

du = x dx 2

u du =

(

5

( 1 + cos x)6 du = − +c

)

6

2 1 + sin 2 x 1 + sin 2 x + c 3


‫ﻓﺼﻞ ﺷﺸﻢ‬

‫اﻧﺘﮕﺮال ﻣﻌﲔ‬

‫‪www.fanavari-IT.ir‬‬


‫‪٤٣‬‬

‫ﻓﺼﻞ ﺷﺸﻢ‪ :‬اﻧﺘﮕﺮال ﻣﻌﯿﻦ‬

‫‪ 7-1-6‬ﻧﮑﺮﯾﻢ ﺻﻔﺤﻪ ‪364‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده ﺗﻌﺮﯾﻒ ﺣﺪ‪ ,‬اﻧﺘﮕﺮال ﺗﺎﺑﻊ ‪ f (x) = x‬را در ﻓﺎﻟﻪ ]‪ [0 , 1‬ﺑﯿﺎﯾﯿﺪ‪.‬‬

‫‪n‬‬

‫‪∑ i2‬‬ ‫‪i =1‬‬

‫‪2 1‬‬ ‫=‬ ‫‪6 3‬‬

‫ﺣﻞ(‬

‫‪2‬‬

‫‪n‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪  = lim 3‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪i =1  ‬‬ ‫=‬

‫∑‬

‫)‪n(n + 1)(2n + 1‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪6n‬‬

‫‪x2dx = lim‬‬

‫‪1‬‬

‫∫‬ ‫‪o‬‬

‫‪= lim‬‬

‫‪ 2-2-6‬ﺗﻤﺮﯾﻦ ﺻﻔﺤﻪ ‪.366‬‬ ‫در ﺷﯽ ﺗﺴﺎويﻫﺎي زﯾﺮ ﺛﺎﻟﺚ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬

‫‪∫b f (x) dx‬‬ ‫‪a‬‬

‫اﻟﻒ(‬

‫‪f ( x) dx = −‬‬

‫‪b‬‬

‫‪∫a‬‬

‫ﺣــﻞ( اﮔــﺮ } ‪ {xo , x1 , ... , x8‬اﻓــﺮازي از ]‪ [a , b‬ﺑﺎﺷــﺪآﻧﮕﺎه ‪ ∆yi = ∆xi‬ﺑــﺮاي ﺑــﺎزه‬ ‫] ‪ [b , a‬ﺑﻪ ﮐﺎر ﻣﯽرود ﭘﺲ‬ ‫‪n‬‬

‫‪∑ f (D i )∆yi‬‬

‫‪f (D i )∆xi = − lim‬‬

‫‪i =1‬‬

‫‪n‬‬

‫∑‬

‫‪f ( x) dx = lim‬‬

‫‪i =1‬‬

‫‪∫b f (x) dx‬‬ ‫‪a‬‬

‫‪b‬‬

‫‪∫a‬‬

‫=‬

‫‪∫b f (x) dx = o‬‬ ‫‪a‬‬

‫ب(‬

‫ﺣﻞ( ﻃﺒﻖ ﺧﺎﺻﯿﺖ اﻟﻒ(‬

‫‪∫a f (x) dx‬‬ ‫‪a‬‬

‫‪∫b f (x) dx = o‬‬ ‫‪a‬‬

‫⇒‬

‫‪f ( x) dx = −‬‬

‫‪∫b f (x) dx = o‬‬ ‫‪a‬‬

‫‪a‬‬

‫‪∫a‬‬

‫‪⇒2‬‬

‫‪ 5-2-6‬ﺗﻤﺮﯾﻦ ﺻﻔﺤﻪ ‪368‬‬

‫‪www.fanavari-IT.ir‬‬


‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )‪(١‬‬

‫‪٤٤‬‬

‫ﻗﻀﯿﻪ ‪ . 4 − 2 − 6‬ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ‪ f‬در ﺑﺎزهاي ﺷﺎﻣﻞ ﻧﻘﺎط ‪ c , b , a‬ﭘﯿﻮﺳـﺘﻪ ﺑﺎﺷـﺪ در اﯾـﻦ‬ ‫ﺻﻮرت‪:‬‬

‫‪∫c f (x) dx‬‬ ‫‪b‬‬

‫‪f ( x) dx +‬‬

‫= ‪f ( x) dx‬‬

‫‪c‬‬

‫‪∫a‬‬

‫‪b‬‬

‫‪∫a‬‬

‫اﺛﺒﺎت( اﮔﺮ ‪ ، a < c < b‬اﺛﺒﺎت ﺗﺴﺎوي از ﻗﻔﻀﯿﻪ ‪ 3 − 2 − 6‬ﺣﺎﺻﻞ ﻣﯽﺷﻮد‪.‬‬ ‫ﺑﺪون از دﺳﺖ رﻓﺘﻦ ﮐﻠﯿﺖ ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ‪. a < c < b‬‬

‫‪∫b f (x) dx‬‬ ‫‪c‬‬

‫‪f ( x) dx +‬‬

‫‪∫b f (x) dx‬‬ ‫‪c‬‬

‫‪b‬‬

‫‪∫a‬‬

‫‪f ( x) dx −‬‬

‫‪c‬‬

‫‪∫a‬‬

‫‪∫a f (x) dx + ∫c f (x) dx‬‬ ‫‪b‬‬

‫= ‪f ( x) dx‬‬

‫‪c‬‬

‫‪c‬‬

‫= ‪f ( x) dx‬‬

‫‪∫a‬‬

‫⇒‬

‫‪b‬‬

‫⇒‬

‫‪∫a‬‬

‫=‬

‫‪ .7-2-6‬ﺗﻤﺮﯾﻦ ﺻﻔﺤﻪ ‪369‬‬ ‫ﻗﻀــﯿﻪ ‪ .6-2-4‬اﮔــﺮ ‪ f‬و ‪ g‬ﺑــﺮ ]‪ [a , b‬ﭘﯿﻮﺳــﺘﻪ ﺑﺎﺷــﺪ و ���ــﺮاي ره ]‪، x∈[a , b‬‬ ‫)‪ f (x) ≥ g (x‬آﻧﮕﺎه‬

‫‪∫a g (x) fx‬‬ ‫‪b‬‬

‫≥ ‪f ( x) fx‬‬

‫‪b‬‬

‫‪∫a‬‬

‫اﺛﺒﺎت‪.‬‬ ‫‪≥ g (D i ) ∆ xi‬‬

‫‪f (D i ) ∆xi‬‬

‫⇒‬

‫) ‪g (D i‬‬

‫≥ ) ‪f (D i‬‬

‫‪n‬‬

‫‪n‬‬

‫‪i =1‬‬

‫‪i =1‬‬

‫‪∑ f (ℑi )∆xi ≥ ∑ g (ℑi )∆xi‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪∑ g (ℑi )∆xi‬‬

‫≥ ‪f (ℑi )∆xi‬‬

‫‪i =1‬‬

‫‪n‬‬

‫∑‬

‫‪lim‬‬

‫⇒‬ ‫⇒‬

‫‪i =1‬‬

‫‪∫a f (x) dx ≥ ∫a g (x) dx‬‬ ‫‪b‬‬

‫‪b‬‬

‫⇒‬

‫)‪ (2‬اﮔـﺮ ‪ f‬ﺑـﺮ ]‪ [a , b‬اﻧﺘﮕــﺮال ﭘـﺬﯾﺮ ﺑﺎﺷـﺪ و ﺑــﺮاي ﻫـﺮ ‪ x‬در ﻓﺎﺻــﻠﻪ ] ‪، [a , b‬‬

‫‪www.fanavari-IT.ir‬‬


‫ﻓﺼﻞ ﺷﺸﻢ‪ :‬اﻧﺘﮕﺮال ﻣﻌﯿﻦ‬ ‫‪f (x) ≥ o‬‬

‫‪٤٥‬‬

‫اﻧﮕﺎه ‪∫a f (x)bx ≥ o‬‬ ‫‪b‬‬

‫‪∫a f (x) dx ≥ ∫a o dx = o‬‬ ‫‪b‬‬

‫اﺛﺒﺎت ‪ :‬ﻃﺒﻖ ﻗﻀﯿﻪ ‪ 6 − 2 − 4‬دارﯾﻢ‬

‫‪b‬‬

‫)‪ (3‬اﮔﺮ ‪ f‬روي ]‪ [a , b‬ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ ﺑﺎﺷـﺪ و ﺑـﺮاي ﻫـﺮ ]‪ f (x) < o ، x∈[a , b‬اﻧﮕـﺎه‪:‬‬

‫‪∫a f (x) dx ≥ o‬‬ ‫‪b‬‬

‫ﺣﻞ(‬ ‫‪b‬‬

‫‪∫a o dx = o‬‬

‫≤ ‪f ( x) dx‬‬

‫‪b‬‬

‫‪∫a‬‬

‫‪ 12-2-6‬ﺗﻤﺮﯾﻦ ﺻﻔﺤﻪ ‪.371‬‬

‫)‪ (1‬ﺣﺪ‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪ 12 22‬‬ ‫‪n2‬‬ ‫‪lim 8 3 + 3 + .... + 3‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫∞‪ n → +‬را ﺑﻪ ﺻﻮرت ﯾﮏ اﻧﺘﮕﺮال ﻣﻌﯿﻦ ﺑﻨﻮﯾﺴﯿﺪ‪.‬‬

‫ﺣﻞ(‬ ‫‪2‬‬

‫‪1 2‬‬ ‫‪1i ‬‬ ‫‪  = 8 x dx‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪nn‬‬

‫∫‬

‫)‪ (2‬ﺣﺪ‬

‫∑‬ ‫‪i =n‬‬

‫‪= 8 lim‬‬

‫ﺣﺪ‬

‫‪n‬‬

‫‪∑ i2‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪n‬‬

‫‪i =1‬‬

‫‪lim‬‬

‫∞‪ n → +‬را ﺑﻪ ﺻﻮرت اﻧﺘﮕﺮال ﻣﻌﯿﻦ ﺑﻨﻮﯾﺴﯿﺪ‪.‬‬

‫ﺣﻞ(‬

‫‪www.fanavari-IT.ir‬‬


‫‪٤٦‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪i‬‬ ‫) (‬ ‫‪n‬‬

‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )‪(١‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪1‬‬

‫‪∑ n.‬‬ ‫‪i =1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪∫o x2 dx‬‬

‫‪1 n2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪• 2 = lim 2 = lim‬‬ ‫‪n i‬‬ ‫‪i‬‬

‫‪n‬‬

‫∑‬

‫‪= lim‬‬

‫‪i =1‬‬

‫‪n‬‬

‫‪∑ i2‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪lim‬‬

‫‪i =1‬‬

‫=‬

‫)‪ (3‬ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﺗﻌﺮﯾﻒ اﻧﺘﮕﺮالﻫﺎي زﯾﺮ را ﺣﺴﺎب ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬ ‫اﻟﻒ(‬ ‫‪1‬‬

‫‪∫−1 x dx‬‬ ‫ﺣﻞ(‬ ‫‪n‬‬

‫‪1i ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪  = 2 lim 2‬‬ ‫‪nn‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪∑i‬‬ ‫‪i =1‬‬

‫‪n‬‬

‫∑‬ ‫‪i =1‬‬

‫‪=1‬‬

‫‪dx = 2 lim‬‬ ‫)‪n(n + 1‬‬ ‫‪2n2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪∫−1 x dx = 2∫o‬‬

‫‪= 2 lim‬‬

‫ب(‬ ‫‪5‬‬

‫‪∫3 [x] dx‬‬

‫=‪J‬‬

‫) ‪kdx = k (b − a‬‬ ‫‪ ∫a‬ﭘﺲ‬ ‫ﻣﯽداﻧﯿﻢ‬ ‫‪b‬‬

‫ﺣﻞ(‬

‫‪5‬‬

‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪4‬‬

‫‪∫3 [x] dx + ∫4 [x] dx = ∫3 3 dx + ∫4 4 dx‬‬ ‫‪= 3 (4 − 3 ) + 4(5 − 4 ) = 3 + 4 = 70‬‬ ‫)‪ (4‬اﮔﺮ ﺗﺎﺑﻊ ‪ f‬روي ] ‪ [a , b‬اﻧﺘﮕﺮال ﭘﺬﯾﺮ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ ﮐﻪ‪:‬‬ ‫‪f ( x) dx‬‬

‫‪b‬‬

‫‪∫a‬‬

‫≤ ‪f ( x) dx‬‬

‫=‪J‬‬

‫‪b‬‬

‫‪∫a‬‬

‫ﺣــﻞ( ﭼــﻮن ﺑــﺮاي ﻫــﺮ ]‪ x∈ [a , b‬دارﯾــﻢ‪ − f (x) ≤ f (x)≤ f (x) :‬ﻃﺒــﻖ ﻗﻀــﯿﻪ‬

‫‪www.fanavari-IT.ir‬‬


‫‪٤٧‬‬

‫ﻓﺼﻞ ﺷﺸﻢ‪ :‬اﻧﺘﮕﺮال ﻣﻌﯿﻦ‬

‫‪ 6 − 2 − 6‬دارﯾﻢ‪:‬‬ ‫‪f ( x) dx‬‬

‫‪b‬‬

‫‪∫a‬‬

‫≤ )‪f ( x‬‬

‫‪b‬‬

‫‪∫a‬‬

‫≤ ‪f ( x) dx‬‬

‫‪b‬‬

‫‪∫a‬‬

‫‪−‬‬

‫‪∫a f (x) dx ≤ ∫a f (x) dx‬‬ ‫‪b‬‬

‫ﭘﺲ‬

‫‪a‬‬

‫)‪ (5‬ﻓﺎﺻﻠﻪﻫﺎﯾﯽ را ﻣﻌﯿﻦ ﮐﻨﯿﺪ ﮐﻪ ﻣﻘﺪار اﻧﺘﮕﺮالﻫﺎي داده ﺷﺪه در آن ﻓﺎﺻﻠﻪ ﻗﺮار ﮔﯿﺮد‪.‬‬ ‫اﻟﻒ(‬ ‫‪3‬‬

‫‪(x + 1) 2 dx‬‬ ‫ﺣﻞ(‬

‫‪1‬‬

‫‪∫− 2‬‬ ‫‪3‬‬

‫ﺗﺎﺑﻊ ‪ f (x)= (x + 1) 2‬روي ]‪ [− 1 , 1‬ﺻﻌﻮدي اﺳﺖ ﭘﺲ‬ ‫‪max f ( x) = f (1) = 2 2‬‬ ‫‪max f ( x) = f (− 1) = o‬‬

‫))‪2 (2 − (− 1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪∫−2 f (x) dx ≤ 2‬‬

‫≤‬

‫‪o‬‬ ‫‪2‬‬

‫⇒‬ ‫‪3‬‬

‫‪(x + 1) 2 dx ≤ 6‬‬

‫‪1‬‬

‫‪∫−2‬‬

‫≤ ‪o‬‬

‫⇒‬

‫ب(‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 + sin 2 x dx‬‬ ‫‪2‬‬

‫"‬ ‫‪2‬‬ ‫‪o‬‬

‫∫‬

‫‪‬‬ ‫‪"‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪f ( x) = 1 + sin 2 x‬‬ ‫‪o , 2 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫روي ‪‬‬ ‫‪ ‬اﺳﺖ‪ ،‬ﭼﻮن ﺗﺮﮐﯿـﺐ دو ﺗـﺎﺑﻊ ﺻـﻌﻮدي‬ ‫ﺣﻞ( ﺗﺎﺑﻊ‬

‫اﺳﺖ ﭘﺲ‬

‫‪www.fanavari-IT.ir‬‬


(١) ‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ‬

٤٨

max f ( x) = 1 min f ( x) =

3 2

3 π ⇒ × ≤ 2 2

" 2 o

f ( x) dx ≤

" 2

(‫ج‬ 4

. ∫1

x − 2 dx

max x − 2 = 4 − 2 = 2 min x − 2 = 2 − 2 = o ⇒

o≤

4

∫1

x − 2 dx ≤ 6

(‫د‬ 2

x+ 5

∫− 5 x − 3 dx ‫ﻧﺰوﻟﯽ اﺳﺖ ﭘﺲ‬

f (x) =

x+5 x − 3 (‫ﺣﻞ‬

max f ( x) = f (− 5 ) = o min f ( x) = f (2) = −7 ⇒ 1

2

∫o x dx ≤ ∫1

x2 dx

1

‫و‬

−49 ≤

2

∫− 5 f (x) dx ≤ o

1 2

∫o x dx ≥ ∫o x dx ‫( ﺑﺪوﻧﻪ ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ اﻧﺘﮕﺮال ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ‬6) 2 :‫ را در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﯿﺮﯾﺪ دارﯾﻢ‬f (x) = x − x ‫ﺣﻞ( ﺗﺎﺑﻊ‬

www.fanavari-IT.ir


‫ﻓﺼﻞ ﺷﺸﻢ‪ :‬اﻧﺘﮕﺮال ﻣﻌﯿﻦ‬

‫‪dx‬‬

‫‪1‬‬

‫‪∫o‬‬

‫⇒ ‪f ( x) ≥ o ⇒ x ≥ x2‬‬

‫⇒ ‪o ≤ x ≤1‬‬

‫‪∫o x dx ≤ ∫o‬‬

‫⇒ ‪f ( x) ≤ o ⇒ x ≤ x2‬‬

‫‪o ≥1‬‬

‫‪∫o x‬‬

‫‪2‬‬

‫‪x2 dx‬‬

‫‪1‬‬

‫‪٤٩‬‬

‫≥ ‪x dx‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫⇒‬

‫)‪ (7‬اﮔﺮ ‪ f‬روي ]‪ [− 1 , 2‬ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ‪:‬‬ ‫‪−1‬‬

‫‪∫1 f (x) dx = o‬‬

‫‪f ( x) dx +‬‬

‫‪1‬‬

‫‪∫o‬‬

‫‪f ( x) dx +‬‬

‫‪o‬‬

‫‪∫−1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪f ( x) dx +‬‬

‫‪∫−1‬‬

‫ﺣﻞ( دارﯾﻢ‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪∫o f (x)dx‬‬

‫‪f ( x) dx +‬‬

‫‪o‬‬

‫‪∫1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪o‬‬

‫‪f ( x) dx + f (x) dx = o‬‬

‫‪1‬‬

‫‪∫o f (x)dx‬‬

‫‪f ( x) +‬‬

‫‪f ( x) dx +‬‬

‫‪1‬‬

‫‪∫−1‬‬

‫‪o‬‬

‫‪∫−1‬‬

‫= ‪f ( x) dx‬‬

‫‪∫1‬‬

‫)‪ (8‬اﮔﺮ ‪ f‬ﺑﺮ ] ‪, b‬‬

‫‪∫o‬‬

‫‪∫−1‬‬

‫=‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪∫−1 f (x)dx − ∫o f (x)dx − ∫1 f (x)dx − ∫−1 f (x)dx = o‬‬ ‫‪−1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪o‬‬

‫‪f ( x) dx + f ( x) dx +‬‬

‫‪∫2‬‬

‫‪ [a‬ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ و ‪∫a f (x) dx = o‬‬

‫‪2‬‬

‫‪∫−1‬‬

‫⇒‬ ‫⇒‬

‫‪b‬‬

‫‪ ،‬ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ ﺣـﺪاﻗﻞ ﻋـﺪدي ﻧﻈﯿـﺮ‬

‫‪ α‬در ﻓﺎﺻﻠﻪ ] ‪ [a , b‬ﻗﺮار دارد ﺑﻪ ﻃﻮري ﮐﻪ ‪. f (x) = o‬‬ ‫ﺣﻞ( ﻃﺒﻖ ﻗﻀﯿﻪ ﻣﻘﺪار ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ ﺑﺮاي اﻧﺘﮕﺮال دارﯾﻢ‪:‬‬

‫‪∫a f (x) dx‬‬ ‫‪b‬‬

‫)‪≤ max f ( x‬‬

‫ﭘﺲ‬

‫)‪←≤ max f ( x‬‬

‫≤ )‪min f ( x‬‬

‫‪b−a‬‬ ‫→≤ )‪min f (x‬‬ ‫•‬

‫ﺣﺎل ﻃﺒﻖ ﻗﻀﯿﻪ ﻣﻘﺪار ﻣﯿﺎﻧﯽ ‪ α‬وﺟﻮد دارد ﮐﻪ ‪ f (α ) = o‬ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬ ‫)‪ (9‬ﻣﺜﺎﻟﯽ از ﯾﮏ ﺗﺎﺑﻊ ﭼﻨﺎن اراﺋﻪ دﻫﯿﺪ ﮐﻪ ﻧﺎﭘﯿﻮﺳﺘﻪ و ﻗﻀﯿﻪ ﻣﻘﺪار ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ ﺑﺮاي اﻧﺘﮕﺮال ﻣﺎ‬

‫‪www.fanavari-IT.ir‬‬


‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )‪(١‬‬

‫‪٥٠‬‬

‫ب( ﺑﺮﻗﺮار ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬

‫اﻟﻒ( ﺑﺮﻗﺮار ﻧﺒﺎﺷﺪ‪.‬‬

‫‪− 1‬‬ ‫‪f ( x) = ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫را در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﯿﺮﯾﺪ‪ .‬دارﯾﻢ‪:‬‬

‫‪x<o‬‬ ‫ﺣﻞ ب( ﺗﺎﺑﻊ ‪x ≥ o‬‬ ‫‪1‬‬

‫)‪∫−1 f (x) dx = o = f (o‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪f ( x) dx = o‬‬

‫⇒‬

‫‪1‬‬

‫‪∫−1‬‬

‫)‪ (10‬اﮔﺮ ‪ f‬روي ]‪ [− 1 , 4‬اﻧﺘﮕﺮالﭘﺬﯾﺮ ﺑﺎﺷﺪ و ﻣﻘﺪار ﻣﺘﻮﺳﻂ ﺗـﺎﺑﻊ ‪ f‬روي ]‪, 4‬‬

‫‪[− 1‬‬

‫‪4‬‬

‫ﺑﺮاﺑﺮ ‪ 3‬ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﻣﻘﺪار ‪∫−1 f (x) dx‬‬

‫را ﺑﺪﺳﺖ آورﯾﺪ‪.‬‬

‫ﺣﻞ(‬ ‫‪4‬‬

‫‪4‬‬

‫‪∫−1 f (x) dx = 15‬‬

‫‪∫−1 f (x) dx = 3‬‬

‫⇒‬

‫‪5‬‬

‫‪ 13 − 3 − 6‬ﺗﻤﺮﯾﻦ ﺻﻔﺤﻪ ‪378‬‬

‫ﺑﺮ ] ‪ [− a , a‬ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ و ﻓﺮد ﺑﺎﺷﺪو ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ‪∫− a f (x) dx = o :.‬‬ ‫‪a‬‬

‫‪ (1‬ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ‪f‬‬

‫ﺣﻞ(‬ ‫‪o‬‬

‫‪f ( x) dx + f ( x) dx‬‬ ‫‪a‬‬

‫‪∫o‬‬

‫‪∫o f (x) dx‬‬ ‫‪a‬‬

‫‪∫−a‬‬

‫= ‪f ( x) dx‬‬

‫‪f (− x) (− dx) +‬‬

‫‪o‬‬

‫‪∫a‬‬

‫=‬

‫‪f (− x) dx +‬‬

‫‪a‬‬

‫=‬

‫‪∫o f (x) dx‬‬ ‫‪a‬‬

‫‪∫o‬‬

‫‪a‬‬

‫‪∫−a‬‬

‫‪= − f ( x) dx + f ( x) dx = o‬‬ ‫‪a‬‬

‫‪∫o‬‬

‫‪a‬‬

‫‪∫o‬‬

‫‪ (2‬در ﺗﻤﺮﯾﻦ ‪ 1‬اﮔﺮ ‪ f‬زوج ﺑﺎﺷﺪ‪ ,‬ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ ﮐﻪ‪:‬‬

‫‪www.fanavari-IT.ir‬‬


٥١

‫ اﻧﺘﮕﺮال ﻣﻌﯿﻦ‬:‫ﻓﺼﻞ ﺷﺸﻢ‬ a

f ( x) dx = 2 f ( x) dx

a

f ( x) dx =

∫−a ∫−a

a

∫o

= =

o

∫−a

f ( x) dx +

∫o f (x) dx a

o

∫a f (− x) dx + ∫o f (x) dx a

∫o

a

f ( x) dx +

f ( x) dx = 2 f ( x) dx

a

a

∫o

∫o

:‫( اﻧﺘﮕﺮاﻟﻬﺎي زﯾﺮ را ﺣﻞ ﮐﻨﯿﺪ‬3 I=

" 2 o

cos x dx cos x + sin x

(‫اﻟﻒ‬

‫ و دارﯾﻢ‬du = −dx ‫ﭘﺲ‬ I= I + I = 2I = =

π 2 o

sin (− du ) = sin u + cos u

cos u du + cos u + sin u

π 2 o

o π 2

du =

I=

π 2 o

π 2

π 2 o

sin m x + cos m x

I=

dx

:‫ و دارﯾﻢ‬du = −dx ‫ﭘﺲ‬

www.fanavari-IT.ir

π 2 o

π −x 2 ‫اﮔﺮ ﻗﺮا دﻫﯿﻢ‬

sin u du cos u + sin u

cos u du cos u + sin u

⇒ sin m x

u=

π 2

(‫ب‬ u=

π −x 2 ‫ﺣﻞ( اﮔﺮ ﻗﺮار دﻫﯿﻢ‬


(١) ‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ‬ I =−

o π 2

cos m u cos m u + sin m u π 2 o

I + I = 2I =

π 4

I=

π 2 o

cos m u

dx =

sin m u sin m u + cos m u

cos m u + sin m u

du +

π 2 o

٥٢

du

cos m u cos m u + sin m u

du =

π 2 o

π 2

du =

.‫( ﻣﺸﺘﻖ ﺗﻮاﺑﻊ زﯾﺮ را ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﮐﻨﯿﺪ‬4) F (t ) =

F ' (t ) =

‫)اﻟﻒ‬

t

∫−2 1 + 1

x

∫− x t ∫o

g

∫a

f ( x) dx

F ' ( x) = 2 x

dt

x

∫− x 3 + t 4

F ( x) = 2

.

dt

F ( x) = 2 tdt x

F ( x) =

1+ x

dx

F ' (t ) = g ' (t ) f ( g (t ))

‫)ب‬

‫)ج‬

2

sin t 2 t 1+ 1+ t

F (t ) =

F (t ) =

sin x

x

∫o

dt

3+t

4

F ' ( x) =

2

3 + t 4 ‫)د‬

.‫( ﺣﺪ زﯾﺮ را ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﮐﻨﯿﺪ‬5)

x2

sin t 2x sin x 2 sin x 2 lim o 3 = lim = lim = 2 3 x 3 3x x→o x x→o

www.fanavari-IT.ir


٥٣

‫ اﻧﺘﮕﺮال ﻣﻌﯿﻦ‬:‫ﻓﺼﻞ ﺷﺸﻢ‬ dy .‫ را ﺣﺴﺎب ﮐﻨﯿﺪ‬dx ‫( در ﺗﻮاﺑﻊ ﺿﻤﻨﯽ زﯾﺮ‬6) y

∫o d dy = − dx d dx dx x π 2

cos2 tdt + x2

x

∫o sin

2

tdt = o

(‫اﻟﻒ‬

∫o sin tdt = − 2x sin 2 x2 y 2 cos2 y tdt cos ∫o 2

3 − 2 sin 2 z dz +

(‫ﺣﻞ‬

y

∫o cos tdt = o

(‫ب‬ (‫ﺣﻞ‬

dy =− dx

d dx

x π 2

3 − 2 sin 2 z dz

d dy

y

∫o cos tdt

=−

3 − 2 sin 2 x cos y

:‫( اﻧﺘﮕﺮال زﯾﺮ را ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﮐﻨﯿﺪ‬7) I=

π

∫o

x sin x 1 + cos2 x

dx

‫ و‬du = dx ‫ﭘﺲ‬ I=

π 2 π − 2

π 2 :‫ﺣﻞ( ﻗﺮار ﻣﯽدﻫﯿﻢ‬

π   u +  cos u 2  du 1 + sin 2 u =

www.fanavari-IT.ir

u = x−

π 2 π − 2

π du + 2 2 1 + sin u u cos u

π 2 π − 2

cos u 1 + sin 2 u

du


(١) ‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ‬ =π

π 2 o

π du = π Arc tan(sin u ) 2 1 + sin 2 u o cos u

=

www.fanavari-IT.ir

٥٤

π2 4


‫ﻓﺼﻞ ﺷﺸﻢ‪ :‬اﻧﺘﮕﺮال ﻣﻌﯿﻦ‬ ‫‪sin 2kx‬‬ ‫‪= dx = o‬‬ ‫‪sin x‬‬

‫)‪ (8‬ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ‪ K‬ﻋﺪدي ﺻﺤﯿﺢ ﺑﺎﺷﺪ ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ‪:‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﺣﻞ( ﻗﺮار ﻣﯽ دﻫﯿﻢ‬ ‫‪π‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2‬‬

‫) ‪sin( 2ku + π‬‬ ‫‪du‬‬ ‫‪cos u‬‬

‫∫‬

‫‪u = x−‬‬

‫ﭘﺲ‬

‫‪π‬‬ ‫) ‪sin 2k(u +‬‬ ‫= ‪2 du‬‬ ‫‪π‬‬ ‫) ‪sin( u +‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪sin 2ku‬‬ ‫‪du = o‬‬ ‫‪cos‬‬

‫‪π‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2‬‬

‫∫‬

‫‪٥٥‬‬

‫‪π‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2‬‬

‫∫‬

‫‪π‬‬

‫∫=‪I‬‬

‫‪o‬‬

‫‪ du=dx‬و‬ ‫=‪I‬‬

‫‪=−‬‬

‫ﭼﻮن ﺗﺎﺑﻊ زﯾﺮ اﻧﺘﮕﺮال ﻓﺮد اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫)‪ (9‬اﮔﺮ در اﻧﺘﮕﺮال ‪5 − 2 cos‬‬ ‫‪=o‬‬

‫‪2dt‬‬

‫‪1 + t2‬‬ ‫‪(1 + t )(5 −‬‬ ‫)‬ ‫‪1 − t2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2π‬‬

‫∫=‪I‬‬

‫‪o‬‬

‫ﺗﻐﯿﯿﺮ ﻣﺘﻐﯿﺮ ‪ x=2t‬را ﺑﻪ ﮐﺎر ﺑﺒﺮﯾﻢ دارﯾﻢ‬

‫‪o‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫∫=‬ ‫‪5 − 2 cos o‬‬

‫‪2π‬‬

‫∫=‪I‬‬

‫‪o‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪>o‬‬ ‫‪ ، 5 − 2 cos‬ﻣﻮرد اﺷﺘﺒﺎه را ﺑﯿﺎﺑﯿﺪ‪.‬‬ ‫واﺿﺢ اﺳﺖ ﮐﻪ ﻧﺘﯿﺠﻪ درﺳﺖ ﻧﯿﺴﺖ زﯾﺮا‬ ‫‪ π‬‬ ‫] ‪o, 2  [o,2π‬‬ ‫ﺣﻞ( ﺑﺎ ﺗﻐﯿﯿﺮ ‪ x=2t‬ﺑﺎزة‬ ‫ﺑﺮده ﻣﯽ ﺷﻮد ﮐﻪ در ﺣﻞ ﻣﻮرد اﺳـﺘﻔﺎده ﻗـﺮار‬ ‫ﺑﻪ‬

‫ﻧﮕﺮﻓﺘﻪ اﺳﺖ‪.‬‬

‫)‪ (10‬ﻓﺮض ﮐﯿﻨﺪ )‪ f(x‬دﻟﺨﻮاه ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ‪∫−a f ( x)dx = ∫o[ f ( x) + f (��� x)]dx :‬‬ ‫‪a‬‬

‫‪a‬‬

‫)‪f ( x) − f (− x) f ( x) − f (− x‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺣﻞ( ﺗﺎﺑﻊ )‪ f(x‬را ﻣﯽ ﺗـﻮان ﺑـﻪ ﺻـﻮرت‬

‫= )‪f ( x‬‬

‫‪www.fanavari-IT.ir‬‬


(١) ‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ‬

٥٦

f ( x) − f (− x) f ( x) + f (− x) 2 2 ‫ ﭘــــﺲ‬.‫ﻓــــﺮد اﺳــــﺖ‬ ‫زوج و‬ ‫ﻧﻮﺷــــﺖ ﮐــــﻪ‬

a

f ( x)dx = ∫

−a

a

−a

= 2∫

a

o

f ( x) + f (− x) dx + 2

a

−a

f ( x) − f (− x) dx 2

a f ( x) + f (− x) dx + o = ∫ ( f ( x) + f (− x))dx o 2 2π

I = ∫ f ( x) cos xdx

.‫ ﺗﻐﯿﯿﺮ دﻫﯿﺪ‬t=sinx ‫را ﺑﺎ ﺗﻐﯿﯿﺮ ﻣﺘﻐﯿﺮ‬

o

‫(اﻧﺘﮕﺮال‬11)

t = sin x ⇒ x = Arc sin t ⇒ dx = cos x = 1 − t 2 I=

1

−1

o

dt 1− t2

o

∫o f ( Arc sin t )dt + ∫1 f ( Arc sin t )dt + ∫o f ( Arc sin t )dt + ∫−1 f ( Arc sin t )dt .‫( درﺳﺘﯽ اﺗﺤﺎدﻫﺎي زﯾﺮ را ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ‬12)

b

a

b

f ( x)dx = ∫ f (a + b − x)dx a

(‫اﻟﻒ‬

:‫ ﭘﺲ دارﯾﻢ‬،‫ اﺳﺖ‬u(b)=a , u(a)=b ‫ و‬du=-dx ‫ آﻧﮕﺎه‬u=a+b-x ‫ﺣﻞ( اﮔﺮ ﻗﺮار دﻫﯿﻢ‬

b

a

a

b

b

b

a

a

f (a + b − x)dx = − ∫ f (u )du = ∫ f (u )du = ∫ f ( x)dx

t

o

t

f ( x) g (t − x)dx = ∫ g ( x) f (t − x)dx o

(‫ب‬

:‫ ﭘﺲ دارﯾﻢ‬u(t)=0 , u(0)=t ‫ و‬du=-dx ‫ ﭘﺲ‬u=t-x ‫ﺣﻞ( ﻗﺮار دﻫﯿﺪ‬

t

o

o

f ( x) g (t − x)dx = − ∫ f (t − u ) g (u )du t

t

t

o

o

= ∫ g (u ) f (t − u )du = ∫ g ( x) f (t − x)dx

www.fanavari-IT.ir


٥٧

‫ اﻧﺘﮕﺮال ﻣﻌﯿﻦ‬:‫ﻓﺼﻞ ﺷﺸﻢ‬ π 2 o

π

sin m xdx = ∫ 2 cosm xdx o

(‫ج‬

π π π u ( ) = o , u (o) = , du = − dx u= −x 2 2 ‫ﺣـﻞ( اﮔـﺮ ﻗـﺮار دﻫـﯿﻢ‬ ‫ ﻟـﺬا‬2 ‫ﭘـﺲ‬

:‫دارﯾﻢ‬ π 2 o

∫ π 2 o

‫∫ را ﻣﺤﺎﺳـﺒﻪ‬

π

π

π sin xdx = − ∫π sin ( − u )du = ∫ 2 cos m udu = ∫ 2 cosm xdx o o 2 2 o

m

sin 2 xdx

π 2 o

‫∫و‬

m

cos2 xdx

‫ )ج( اﻧﺘﮕﺮال ﻫـﺎي‬12 ‫( ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﻣﺴﺄﻟﻪ‬13) .‫ﮐﻨﯿﺪ‬ :‫ﺣﻞ( ﻃﺒﻖ ﻣﺴﺄﻟﻪ ﻗﺒﻞ دارﯾﻢ‬

π 2 o

π 2 o

π 2 o

π 2 o

π 2 o

π 2 o

sin xdx + ∫ cos xdx = ∫ (sin + cos x)dx = ∫ dx = 2 ∫ sin xdx = 2∫ cos 2 xdx 2

π

2

π

2

⇒ ∫ 2 sin 2 xdx = ∫ 2 cos 2 xdx = o

o

2

2

π 2

.‫( درﺳﺘﯽ ﻫﺎي زﯾﺮ را ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ‬14)

π

o

π

f (sin x)dx = 2∫ 2 f (sin x)dx o

(‫اﻟﻒ‬ (‫ﺣﻞ‬

‫ﭘﺲ‬

π

o

u (π ) = −

π π π , u (o) = , du = − dx u= −x 2 2 2 ‫آﻧﮕﺎه‬ ‫اﮔﺮ ﻗﺮار دﻫﯿﻢ‬ −

π

π

π

f (sin x)dx = − ∫π 2 f (cos u )du = ∫ 2π f (cos u )du = 2∫ 2 f (cos x)dx

www.fanavari-IT.ir

2

2

o


(١) ‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ‬

٥٨

.‫ ﺗﺎﺑﻌﯽ زوج اﺳﺖ‬f(cosu) ‫ﻋﻠﺖ آﺧﺮي اﯾﻦ اﺳﺖ ﮐﻪ‬

π

xf (sin x ) dx =

o

π 2

π

o

f (sin x ) dx

(‫ب‬ (‫ﺣﻞ‬

‫ ﻟــﺬا‬،

u (π ) = −

π π π , u (o) = , du = − dx u= −x 2 2 2 ‫دارﯾــﻢ‬ ‫اﮔــﺮ ﻗــﺮار دﻫــﯿﻢ‬

:‫دارﯾﻢ‬

π

o

π

xf (sin x)dx = − ∫π 2 ( 2

π 2 π − 2

π

π π π − u ) f (sin( − u ) = ∫ 2π f (cos u ))du − 2 2 2 2

π 2 o

= ∫ uf (cos u )du = π ∫ f (cos x)dx

.‫ زوج اﺳﺖ‬f (cos u ) ‫ ﻓﺮد و ﺗﺎﺑﻊ‬f (cos a ) ‫ﭼﻮن ﺗﺎﺑﻊ‬ :‫( اﻧﺘﮕﺮال زﯾﺮ را ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﮐﻨﯿﺪ‬15) I=∫

π

o

1 + cos 2x dx 2

(‫ﺣﻞ‬ I=

π

∫o

= − cos

sin 2 xdx =

π

∫o

sin xdx

π =2 o

.‫( ﻫﺮ ﯾﮏ از اﻧﺘﮕﺮال ﻫﺎي زﯾﺮ را ﺣﺴﺎب ﮐﻨﯿﺪ‬16)

‫)اﻟﻒ‬

L

−L

cos

L mπ mπ 2L mπ L xdx = 2∫ cos x dx = sin x =o o L L mπ L o

www.fanavari-IT.ir


٥٩

‫ اﻧﺘﮕﺮال ﻣﻌﯿﻦ‬:‫ﻓﺼﻞ ﺷﺸﻢ‬

‫)ب‬

‫)ج‬

−L

L

cos

−L

F ( x) − G ( x) =

L

sin

mπ xdx = o L

‫ﺗﺎﺑﻊ ﻓﺮد اﺳﺖ‬

mπ mπ x = sin xdx = o L L .‫ﭼﻮن ﺗﺎﺑﻊ ﻓﺮد اﺳﺖ‬

1 x x G ( x) = ∫ tdt , F ( x) = ∫ udu 2 ‫ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ‬ 1 o ‫( اﮔﺮ‬17)

(‫ﺣﻞ‬ x

F ( x) = ∫ udu o

1

⇒ F ( x) − G ( x) = ∫ udu = o

u2 1 1 = 2 o 2 x

G ( x) = ∫ udu 1

.‫( درﺳﺘﯽ ﻫﺎي زﯾﺮ را ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ‬18) lim n → +∞ (

1 2 n −1 1 + 2 + ... + 2 ) = 2 n n n 2 (‫اﻟﻒ‬

(‫ﺣﻞ‬ 1 1 2 n −1 ‫ = ﺣﺪ‬lim n → +∞ ( + + ... + ) n n n n n −1 1 1 i x2 1 1 = lim n → +∞ ∑ ( ) = ∫ xdx = = o 2 o 2 i =o n n 1

dx

∫ 1+ x o

2

= lim n → +∞ (

n n n + 2 2 + ... 2 2 n +1 n + 2 n + n2 2

(‫ب‬ (‫ﺣﻞ‬

www.fanavari-IT.ir


(١) ‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ‬

٦٠

1 1 1 1 ‫ = ﺣﺪ‬lim n →∞ ( + + ... + ) n 2 n 1 + ( 1 )2 1 + ( 2 )2 1+ ( ) n n n n 1 dx 1 1 π = lim ∑ =∫ = 2 o 1+ x i 4 i =1 n 1 + ( ) 2 n 2 1 π 2π (n − 1)π = lim (sin + sin + ... + sin ) π n n n n n→∞

(‫ج‬ (‫ﺣﻞ‬

‫= ﺣﺪ‬

n i 1 π 1 lim ∑ sin π ( ) = n π π i =1 n

π

o

sin xdx = −

π 2 1 cos x = o π π

1

‫ را ﺛﺎﺑـﺖ‬B(m,n)=Bn,m) ‫ اوﻻً ﺗﺴﺎوي‬.

B(m, n) = ∫ xm (1 − x)n dx o

‫( ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ‬19)

‫ ﺛﺎﻧﯿﺎً ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ ﮐﻪ‬،‫ﮐﻨﯿﺪ‬ π

.

B(m, n) = 2∫ 2 sin 2 m+1 x. cos2 n +1 xdx o

:‫ ﭘﺲ دارﯾﻢ‬u (1) = o , u (o) = 1 , du = −dx ‫ ﭘﺲ‬u=1-x ‫ﺣﻞ( اوﻻً اﮔﺮ ﻗﺮار دﻫﯿﻢ‬ 1

1

o

o

B(m, n) = − ∫ (1 − u ) m u n du = ∫ xn (1 − x)m dx = (n, m) 2 2 ‫ و ﮐﺮاﻧﻬﺎ ﺑﻪ‬dx = 2 sin t cos dt , (1 − x) = cos t ‫ آﻧﮕﺎه‬x = sin t ‫ اﮔﺮ ﻗﺮار دﻫﯿﻢ‬:ً‫ﺛﺎﻧﯿﺎ‬

 π o, 2  :‫ ﭘﺲ دارﯾﻢ‬.‫ﺗﺒﺪﯾﻞ ﻣﯽ ﺷﻮد‬ 1

π

π

B(m, n) = ∫ xm (1 − x) n dx = ∫ 2 sin 2m t. cos2 n t.2 sin t cos dt = 2∫ 2 sin 2 m+1 t . cos2n +1 tdt o

www.fanavari-IT.ir

o

o


٦١

‫ اﻧﺘﮕﺮال ﻣﻌﯿﻦ‬:‫ﻓﺼﻞ ﺷﺸﻢ‬ 6

I = ∫ xy dx 3

‫ ﻣﺤﺎﺳﺒﮥ‬،‫ ﻣﻄﻠﻮب اﺳﺖ‬، y = 2 sin θ , x = 6 cosθ ‫( ﺑﺎ ﻓﺮض‬20) θ=

π ‫آﻧﮕﺎه‬ 6

x = 3 ‫اﮔﺮ‬

، dx = −6 sin θ dθ

θ = o‫آﻧﮕﺎه‬ ⇒I =∫

(‫ﺣﻞ‬

x = 6 ‫اﮔﺮ‬

π 72 3 π 24 6 cos θ .2 sin θ .(−6 sin θ )dθ = 72∫ sin θ . cos θdθ = sin θ 6 = 24(sin 3 − o) = = 3 3 6 8 o

www.fanavari-IT.ir

2


‫ﻓﺼﻞ ﻫﻔﺘﻢ‬

‫ﺗﻮاﺑﻊ ﻏﲑ‬ ‫ﺟﱪی‬

‫‪www.fanavari-IT.ir‬‬


‫‪٦٣‬‬

‫ﻓﺼﻞ ﻫﻔﺘﻢ‪ :‬ﺗﻮاﺑﻊ ﻏﯿﺮ ﺟﱪی‬

‫‪27‬ـ ‪ 7‬ﺗﻤﺮﯾﻦ ﺻﻔﺤﮥ‪387‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫ﻣﺸﺎﺑﻪ آﻧﭽﻪ در ﺗﻌﺮﯾﻒ ‪ sin‬ﺑﯿﺎن ﺷﺪ‪ ،‬ﺗﺎﺑﻊ ‪ cos‬را ﺗﻌﺮﯾﻒ و ﺳﭙﺲ ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ‬

‫‪d‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫= ‪cos −1 x‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪1 − x2‬‬

‫ﺣﻞ( ﺗﺎﺑﻊ ‪ y=cosx‬روي ] ‪ [o, π‬ﻧﺰوﻟﯽ اﺳﺖ ﭘﺲ واروﻧﻪ ﭘﺬﯾﺮ اﺳﺖ‬ ‫]‪Cosx :[o, π ] → [− 1,1‬‬ ‫] ‪Cos −1 x:[− 1,1] → [o, π‬‬ ‫ﺑﺮاي ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﻣﺸﺘﻖ دارﯾﻢ‪y = cos −1 x ⇔ x = cos y :‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪dy d‬‬ ‫= ‪= cos −1 x‬‬ ‫=‬ ‫‪=−‬‬ ‫‪=−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪dx − sin y‬‬ ‫‪dx dx‬‬ ‫‪1 − cos y‬‬ ‫‪1 − x2‬‬ ‫‪dy‬‬

‫‪7‬ـ‪2‬ـ‪ .25‬ﺗﻤﺮﯾﻦ ﺻﻔﺤﮥ‪394.‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪, o ≤ x ≤1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬ـــ ﺛﺎﺑــﺖ ﮐﻨﯿــﺪ ﻫﺮﮔــﺎه‬

‫= ‪sin −1 x + cos −1 x‬‬

‫در ﻣــﻮرد ‪− 1 ≤ x ≤ o‬‬

‫ﺗﺴﺎوي ﺑﺎﻻ ﭼﮕﻮﻧﻪ ﺑﯿﺎن ﻣﯽ ﺷﻮد؟‬ ‫ﺣﻞ(‬ ‫‪π‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪− y) ⇒ cos −1 x = − y‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪π‬‬ ‫= ‪⇒ y + cos −1 x = ⇒ sin −1 x + cos−1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫اﯾﻦ ﺗﺴﺎوي ﺑﺮاي ﻫﺮ ‪ − 1 ≤ x ≤ 1‬ﺑﺮﻗﺮار اﺳﺖ‪.‬‬ ‫(‪y = sin −1 x ⇒ x = sin y = cos‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬ـ ‪2‬‬

‫‪y = sin −1‬‬

‫ﻣﻔﺮوض اﺳﺖ‪ ،‬ﻣﻄﻠﻮب اﺳﺖ‪:‬‬

‫‪Cscy , secy , coty , tany , cosy‬‬

‫‪www.fanavari-IT.ir‬‬


(١) ‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ‬

y =

٦٤

π 6

‫ﺣﻞ( ﺗﻮﺟﻪ ﮐﻨﯿﺪ‬

3 3 π π = , tan y = tan = 6 2 6 3 1 2 π = cot y = cot = 3 , sec y = 6 cos y 3 1 =2 csc y = sin y cos y = cos

.‫( در ﺗﻤﺮﯾﻦ ﻫﺎي زﯾﺮ ﻣﻘﺪار دﻗﯿﻖ ﮐﻤﯿﺖ داده ﺷﺪه را ﭘﯿﺪا ﮐﻨﯿﺪ‬3) ‫)اﻟﻒ‬ 3 12 sin(cos −1 ( ) − sin −1 (− )) 5 13 3 12 13 5 tg (sec −1 ( ) + csc −1 (− )) = tg (cos−1 ( ) − sin −1 (− )) = 3 12 3 12 5 13 cos(cos−1 ( ) − sin −1 (− )) 5 13 3 3 12 12 sin(cos −1 ( ) cos(cos−1 ( )) − cos(sin −1 ( )) sin(sin −1 (− )) 5 5 13 13 = 3 12 3 12 cos(cos−1 ( )) − cos(sin −1 ( )) + sin(cos −1 ( )) sin(sin −1 (− )) 5 13 5 13 4 3 5 12 12 60 × − × − 5 5 13 13 25 169 = = 3 5 4 12 15 48 × − × − 5 13 5 13 65 65

‫)ب‬ 2 1 2 1 2 1 sin(cos −1 (− ) + 2 sin −1 (− )) = sin( π − cos −1 ( ) − 2 sin −1 ( )) = sin(cos −1 ( ) + 2 sin −1 ( )) 3 3 3 3 3 3 2 1 2 1 = sin(cos −1 ( )) cos(2 sin −1 ( )) + cos(cos−1 ( )) sin( 2 sin −1 ( )) 3 3 3 3 4 1 2 1 1 5 16 4 2 2 = 1 − × (2( 1 − )2 + 1) + × 2 × × 1 − = × ( + 1) + × 9 9 3 3 9 3 9 9 3

www.fanavari-IT.ir


٦٥

‫ ﺗﻮاﺑﻊ ﻏﯿﺮ ﺟﱪی‬:‫ﻓﺼﻞ ﻫﻔﺘﻢ‬

‫)ج‬ 1 −1 π 1 π 1 cos(sin −1 (− ) + sin −1 ( )) = cos(− − sin −1 ( )) = cos cos(sin −1 ( )) 2 4 6 4 6 4 3 1 1 1 3 15 1 3 5 − 1 = × 1− − × = × − = 2 16 2 4 2 4 8 8

.‫( ﻣﺸﺘﻖ ﺗﻮاﺑﻊ زﯾﺮ را ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﮐﻨﯿﺪ‬4) ‫)اﻟﻒ‬ f ( x) = x2 sin −1 ( x2 ) f ′( x) = 2 x sin −1 ( x2 ) +

2 x2

1 − x4

‫)ب‬ f ( x) = sin −1 (cos x) − sin x f ′( x) = = −1 1 − cos2 x

‫)د‬ f ( x) = x cos−1 x2 + sin −1 x f ′( x) =

1

2 x

cos−1 x2 +

− 2x x 1− x

4

+

1

2 x

.

1

1 − x2

‫)ج‬

www.fanavari-IT.ir


(١) ‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ‬

٦٦

2 + csc −1 2 x x x 1 f ( x) = 3 cos −1 + sin −1 2 2x 1 1 3 −1 f ′( x) = . + 2 x2 2 1 − 4 x2 1− 4

f ( x) = 3 sec −1

‫)ﻫـ‬ f ( x) = x(sec −1 2 x)2 ⇒ f ( x) = x(cos−1 f ′( x) = (cos−1 (

1 2 −1 )) − 2 x( 2 ) 2x 2x

1 1−

1 2 ) 2x

1 4 x2

= (cos−1 (

1 2 2 )) + 2x 4 x2 − 1

‫)و‬ f ( x) = csc −1 x2 + 1 ⇒ f ( x) = sin −1 −x f ′( x) =

1 2

x +1

)2

1 x2 + 1 = − 1 ( x2 + 1) x2 + 1 1− 2 x +1

.‫( ﺗﺴﺎوي ﻫﺎي زﯾﺮ را ﺗﺤﻘﯿﻖ ﮐﻨﯿﺪ‬5) A = sin −1 x + sin −1 y = sin −1 ( x 1 − y2 + y 1 − x2 ) sin −1 x + sin −1 y ≤

π 2 ‫ﮐﻪ در آن‬

(‫ﺣﻞ‬

www.fanavari-IT.ir


٦٧

‫ ﺗﻮاﺑﻊ ﻏﯿﺮ ﺟﱪی‬:‫ﻓﺼﻞ ﻫﻔﺘﻢ‬

sin A = sin(sin −1 y) = sin(sin −1 x) cos(sin −1 y) + sin(sin −1 y) cos(sin −1 x) = x 1 − y2 + y 1 − x2 ⇒ A = sin −1 ( x 1 − y2 + y 1 − x2 )

tg

−1

x + tg

−1

y = tg

−1

x+ y 1 − xy (‫ب‬

(‫ﺣﻞ‬ tg (tg −1x + tg −1 y) =

tg (tg −1 x) + tg (tg −1 y) −1

−1

1 − tg (tg x).tg (tg y)

=

x+ y x+ y ⇒ tg −1x = tg −1 y + tg −1 . 1 − xy 1 − xy

.‫ ﺗﻌﯿﯿﻦ ﮐﻨﯿﺪ‬5 ‫( ﻣﻘﺎدﯾﺮ زﯾﺮ را ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﺗﻤﺮﯾﻦ‬6) 4 3 sin −1 − sin −1 5 5 ‫اﻟﻒ‬

(‫ﺣﻞ‬ 4 3 4 9 3 16 16 9 7 sin −1 + sin −1 (− ) = sin −1 ( 1 − − 1 − = sin −1 ( − ) = sin −1 ( ) 5 5 5 25 5 25 25 25 25 1 1 2 A = tg −1 + tg −1 + tg −1 3 4 9 (‫ب‬

(‫ﺣﻞ‬ 1 1 7 2 + + 2 7 2 85 π A = tg −1 3 4 + tg −1 = tg −1 + tg −1 = tg −1 11 9 = tg −1 = 1 14 9 11 9 85 4 1− 1− 12 99

:‫( ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ‬7)

www.fanavari-IT.ir


‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )‪(١‬‬

‫‪٦٨‬‬ ‫‪x > −1‬‬ ‫‪x < −1‬‬

‫‪π‬‬ ‫‪1 − x  4‬‬ ‫‪tg −1 x + tg −1‬‬ ‫‪=‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪− 3π‬‬ ‫‪ 4‬‬

‫ﺣﻞ( ﻃﺒﻖ؟؟؟‬ ‫‪sin x + cos x‬‬ ‫)‬ ‫)‪ (8‬ﻋﺒﺎرت ‪sin x − cos x‬‬

‫( ‪A = cot −1‬‬

‫را ﺳﺎده ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬

‫ﺣﻞ(‬ ‫‪π‬‬ ‫) ‪sin x + cos x = 2 cos( x −‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪π‬‬ ‫) ‪2 cos( x −‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪4 ) = cot −1 (cot(x − π )) = x − π‬‬ ‫( ‪sin x − cos x = 2 sin( x − ) ⇒ A = cot −1‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫) ‪2 sin( x −‬‬ ‫‪4‬‬

‫)‪) (9‬ﺗــﺎﺑﻊ ‪(sin x‬‬

‫‪−1‬‬

‫‪ f ( x ) = sin‬را رﺳــﻢ و ﻧﺸــﺎن دﻫﯿــﺪ دورة ﺗﻨــﺎوب آن‬

‫‪ 2π‬اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪π‬‬ ‫≤‪≤ x‬‬ ‫‪ 2‬دارﯾﻢ‪ − 1 ≤ sin x ≤ 1 :‬و ‪sin (sin x) = x‬‬ ‫ﺣﻞ( ﺑﻪ ازاي ‪2‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪−‬‬ ‫س‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪−‬‬

‫‪−1‬‬

‫‪π‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪−3‬‬

‫ﻃﺒﻖ ﺷﮑﻞ دو ﻓﺎﺻﻠﻪ ﻫﺎي ﺑﻪ ﻃﻮل ‪ 2π‬ﻣﻨﺤﻨﯽ ﺗﮑﺮار ﻣﯽ ﺷﻮد‪.‬‬ ‫)‪ (10‬اﻧﺘﮕﺮال ﻫﺎي زﯾﺮ را ﺣﻞ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬

‫‪www.fanavari-IT.ir‬‬


٦٩

‫ ﺗﻮاﺑﻊ ﻏﯿﺮ ﺟﱪی‬:‫ﻓﺼﻞ ﻫﻔﺘﻢ‬

1) ∫

2)

10 3 5 2 3

o 1 1 −1 7 x −1 1 π = sin ( ) 3 = − sin −1 ( ) = × 7 2 7 6 6 − 36 − 49x2 7 7 dx

o 3 7

10 dx 1 3x 3 = sec −1 ( ) 2 5 5 2 x 9 x − 25 3 3

1 1 1 1 1 2 π π π = sec −1 (2) − sec −1 ( 2) = cos −1 ( ) − cos −1 ( ) = − = 3 3 3 2 3 2 9 12 36 3)∫

3 dx 2

( x + 2) x + 4 x + 3

=∫

3 dx

( x + 2) ( x + 2)2 − 1

= 3 sec −1 ( x + 2) + c ‫س‬ 4)∫ 5) ∫

2 3 2

sec 2 dx 1 −1 tgx = tg ( ) + c 9 + tg 2 x 3 3

2 3 2 = sec ( x) 3 = cos −1 ( ) − cos −1 ( ) 2 2 x x2 − 1 2 dx

−1

=

π π − 6 4

:‫ ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ‬x > −1 ‫( ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ‬11) tg −1 (

x −1 π ) = tg −1 x − x +1 4

:‫ دارﯾﻢ‬6 ‫ﺣﻞ( ﻃﺒﻖ ﻓﺮﻣﻮل ﺗﻤﺮﯾﻦ‬

www.fanavari-IT.ir


(١) ‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ‬

٧٠

x −1 ) x +1 1 + x2 1− x x+ 1 + x = tg −1 1 + x = tg −11 = π = tg −1 1− x 1 + x2 4 1− x 1+ x 1+ x

tg −1 x − tg −1 (

x <1

:‫آﻧﮕﺎه‬

‫( ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ ﮐﻪ ﻫﺮ ﮔﺎه‬12)

sin −1 x = tg −1 (

x x2 − 1

)

sin(sin −1 x) x = −1 cos(sin x) 1 − x2 x ⇒ sin −1 x = tg −1 ( ) 1 − x2 tg (sin −1 ) =

tg −1 x = sin −1 (

x 1 + x2

(‫ﺣﻞ‬

)

‫( ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ ﮐﻪ‬13) −1

tg (sin (

sin(sin −1 (

x 1 + x2

)=

cos(sin −1 (

x

x

x 1 + x2 x 1 + x2

) )

1 + x = 1 + x2 = x 1 x2 1− 2 1 + x2 1+ x x ) ⇒ tg −1 x = sin −1 ( 1 + x2 =

2

404 ‫ﺗﻤﺮﯾﻦ ﺻﻔﺤﮥ‬ :‫ـ اﻧﺘﮕﺮال زﯾﺮ را ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﮐﻨﯿﺪ‬1

www.fanavari-IT.ir


‫ﻓ���ﻞ ﻫﻔﺘﻢ‪ :‬ﺗﻮاﺑﻊ ﻏﯿﺮ ﺟﱪی‬ ‫‪ln( x + 1 + x2 )dx = o‬‬

‫‪2‬‬

‫‪٧١‬‬

‫∫‬

‫‪−2‬‬

‫ﭼﻮن ﺗﺎﺑﻊ زﯾﺮ اﻧﺘﮕﺮال ﻓﺮد اﺳﺖ‪:‬‬ ‫)‪= − ln( x = x2 + 1) = − f ( x‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪x + x +1‬‬

‫‪f (− x) ln( − x + x2 + 1) = ln‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪ .2‬ﻣﺸﺘﻖ ﭼﻬﺎرم ‪ f ( x) = x ln x‬را ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪x2‬‬

‫‪f ( 4 ) ( x) = −‬‬

‫‪f ′( x) = 2 x ln x + x‬‬ ‫‪f ′′( x) = 2 ln x + 3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= )‪f ′′′( x‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪ln x‬‬ ‫‪ .3‬ﻣﺸﺘﻖ ﭘﻨﺠﻢ ‪x‬‬

‫= )‪f ( x‬‬

‫را ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬

‫‪1 − x ln x 1 ln x‬‬ ‫‪= 2−‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1 ln x‬‬ ‫‪f ′′( x) = − 3 − ( 2 −‬‬ ‫)‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1 ln x‬‬ ‫‪f ′′′( x) = 4 + 3 + 2 −‬‬ ‫‪x x x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪ln x‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‬ ‫‪f (4) = 5 − 4 − 3 − ( 2 −‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪12 o 24 6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1 ln x‬‬ ‫‪f (5) = 6 + 5 + 4 + 3 + 2 −‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x x x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫= )‪f ′( x‬‬

‫ﺣﻞ(‬

‫‪ .4‬ﺑﺎ ﺑﻪ ﮐﺎر ﮔﯿﺮي ﻗﻀﯿﻪ ﻣﻘﺪار ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ در ﻣﺸﺘﻖ ﻧﺸﺎن دﻫﯿـﺪ ﮐـﻪ اﮔـﺮ ‪ o < a < b‬آﻧﮕـﺎه‬ ‫‪b−a‬‬ ‫‪b b−a‬‬ ‫< ‪< ln‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬

‫ﺣﻞ( ﺗﺎﺑﻊ ‪ f(x)=lnx‬روي ﺑﺎزة ]‪ [a, b‬ﺷﺮاﯾﻂ ﻗﻀﯿﻪ ﻣﻘﺪار ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ را داراﺳﺖ‪ .‬ﭘﺲ دارﯾﻢ‪:‬‬

‫‪www.fanavari-IT.ir‬‬


‫‪٧٢‬‬

‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )‪(١‬‬

‫‪ln b − ln a 1‬‬ ‫) ‪f (b) − f (a‬‬ ‫⇒ ) ‪= f ′(c‬‬ ‫‪, a <c<b‬‬ ‫=‬ ‫‪b−a‬‬ ‫‪b−a‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪1 1 1‬‬ ‫< <‬ ‫ﭼﻮن ‪ a < c < b‬ﭘﺲ ‪ b c a‬در ﻧﺘﯿﺠﻪ‪:‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪b−a‬‬ ‫‪b b−a‬‬ ‫⇒ < ‪< a‬‬ ‫< ‪< ln‬‬ ‫‪b b−a a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪ln‬‬

‫‪ .5‬ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ ﺑﻪ ازاي ﻫﺮ ‪ x > o‬ﻧﺎﻣﺴﺎوي زﯾﺮ ﺑﺮﻗﺮار اﺳﺖ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x − x2 < ln(1 + x) < x‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﺣﻞ( ﺗﺎﺑﻊ ‪ f (t ) = ln(1 + t ) − t‬روي ﻓﺎﺻﻠﮥ ]‪ [o, x‬ﺷﺮاﯾﻂ ﻗﻀﯿﻪ ﻣﻘﺪار ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ را داراﺳﺖ‬ ‫ﭘﺲ‪:‬‬ ‫)‪f ( x) − f (o‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−c‬‬ ‫‪ln(1 + x) − x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫⇒‬ ‫=‬ ‫= ‪−1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1+ c‬‬ ‫‪1+ c‬‬ ‫= )‪f ′(c‬‬

‫‪o<c< x ,‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪−c‬‬ ‫<‬ ‫‪<o‬‬ ‫‪1+ x 1+ c‬‬ ‫ﭼﻮن ‪ o < c < x‬ﭘﺲ‬

‫‪−‬‬

‫اﮔﺮ‬

‫‪1‬‬ ‫‪−x‬‬ ‫<‪− x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ x < 1‬آﻧﮕﺎه ‪1 + x‬‬

‫اﮔﺮ‬

‫‪1‬‬ ‫‪−x‬‬ ‫<‪− x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ x > 1‬آﻧﮕﺎه ‪1 + x‬‬

‫ﭘﺲ‬

‫‪1‬‬ ‫‪ln(1 + x) − x‬‬ ‫<‪− x‬‬ ‫‪<o‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬

‫ﻟﺬا‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪x − x2 < ln(1 + x) < x‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪www.fanavari-IT.ir‬‬


٧٣

‫ ﺗﻮاﺑﻊ ﻏﯿﺮ ﺟﱪی‬:‫ﻓﺼﻞ ﻫﻔﺘﻢ‬

.‫ اﻧﺘﮕﺮال ﻫﺎي ﻣﻌﯿﻦ زﯾﺮ را ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﮐﻨﯿﺪ‬.6 e4

1) I = ∫ 2 e

dx x ln x(ln(ln x))

dx x ln x ln 4 du ln 4 ⇒ I =∫ = ln u = ln(ln(ln 4) − ln(ln 2) ln 2 u ln 2

u = ln(ln x) ⇒ du =

π

2) ∫

o

π π cos x dx = ln(2 + sin x) 2 + ln(2 + sin x) π 2 + sin x o 2 3 2 = ln + ln = o 2 3

3)∫

9

4

dx )1 + x) x

u = 1 + x ⇒ 2du = = 2∫

5

3

4)∫

o

−3

dx x

5 du 5 = 2 ln u = 2 ln 3 u 3

o 1 o 1 1 dy dy =∫ = ∫ ( − )du y + 3 y − 4 − 3 ( y + 4)( y − 1) 5 − 3 y − 1 y + 4 2

1 y −1 o 1 1 = ln = (ln − ln 4) 5 y+4 − 3 5 4

1 1 = ln 5 16

1 1 dx dx 1 1 = = ∫o ( x − 2)( x − 3 ) ∫o ( x − 3 − x − 2 )dx o x2 − 5 x + 6 1

5) ∫

= ln

www.fanavari-IT.ir

x− 3 1 3 4 = ln 2 − ln = ln x−2 o 2 3


(١) ‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ‬

٧٤

.‫ اﻧﺘﮕﺮال ﻫﺎي ﻧﺎﻣﻌﯿﻦ داده ﺷﺪه را ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﮐﻨﯿﺪ‬.7 1) ∫

1 + ln x dx 5 + x ln x

u = 5 + x ln x ⇒ du = (1 + ln x)dx

⇒ I =∫

du = ln( 5 + x ln x) + c u

4 ln 3 x + 3 2) J = ∫ dx x(ln 4 x + 3 ln x) u = ln 4 x + 3 ln x ⇒ du = ⇒J =∫ 3)∫

1 (4 ln 3 x + 3 )dx x

du = ln(ln 4 x + 3 ln x) + c u

2 x3 dx x2 − 4 u = x2 − 4 ⇒ du = 2 xdx , x2 = u + 4 4 (u + 4 ) I =∫ du = ∫ (1 + )du = u + 4 ln u + c u u 2 2 ( x − 4) + 4 ln( x − 4) + c

:‫ دارﯾﻢ‬x ≠ 1 , x > o ‫ ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ ﺑﻪ ازاي ﻫﺮ‬.8 x − 1 − ln x > o , 1 − ln x −

1 <o x

:‫ آﻧﮕﺎه‬g ( x) = x − 1 , f ( x) = ln x ‫ﺣﻞ( اﮔﺮ ﻗﺮار دﻫﯿﻢ‬ x>1 x <1

www.fanavari-IT.ir

g (1) = f (1) = o   1  ⇒ f ( x) < g ( x) g ′( x) = 1 > = f ′( x) x  1 g ′( x) = 1 < = f ′( x) ⇒ f ( x) < g ( x) x ln x < x − 1 ‫درﻧﺘﯿﺠﮫ‬


‫‪٧٥‬‬

‫ﻓﺼﻞ ﻫﻔﺘﻢ‪ :‬ﺗﻮاﺑﻊ ﻏﯿﺮ ﺟﱪی‬ ‫‪1‬‬ ‫‪, x‬‬ ‫‪ x‬ﻗﺮار دﻫﯿﻢ‪ ،‬دارﯾﻢ‪:‬‬ ‫ﺣﺎل اﮔﺮ ﺑﻪ ﺟﺎي‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪< − 1 ⇒ − ln x < − 1‬‬ ‫‪x x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪⇒ 1 − ln x − < o‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪ln‬‬

‫و از آﻧﺠﺎ ﻧﺘﯿﺠﻪ ﺑﮕﯿﺮﯾﺪ‪ :‬ﮐﻪ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪< ln x < x − 1‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪1−‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪< ln x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻧﺎﻣﺴﺎوي اول دارﯾﻢ ‪ ln x < x − 1‬و از ﻧﺎﻣﺴﺎوي دوم دارﯾﻢ‪:‬‬

‫ﭘﺲ ‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪< ln x < x − 1‬‬ ‫‪x‬‬

‫)‪ln(1 + x‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ .9‬ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ‬

‫‪1−‬‬

‫‪1−‬‬

‫‪lim x→o‬‬

‫)ﺑﺪون اﺳﺘﻔﺎده از ﻗﺎﻋﺪه ﻫﻮﭘﯿﺘﺎل(‬

‫ﺣﻞ( ﻃﺒﻖ ﻣﺴﺄﻟﻪ ﻗﺒﻞ اﮔﺮ ﺑﻪ ﺟﺎي ‪ ،x‬ﻗﺮار دﻫﯿﻢ ‪ ،x+1‬دارﯾﻢ‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪< ln(1 + x) < x‬‬ ‫‪+1‬‬

‫ﭘﺲ‬

‫‪1‬‬ ‫)‪ln(1 + x‬‬ ‫<‬ ‫‪<1‬‬ ‫‪x +1‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪= lim 1 = 1‬‬ ‫‪x +1‬‬ ‫ﭼﻮن دارﯾﻢ‪:‬‬ ‫)‪ln(1 + x‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪lim‬‬

‫‪ ،‬ﻃﺒﻖ ﻗﻀﯿﻪ ﻓﺸﺮدﮔﯽ‬

‫‪lim x→o‬‬

‫‪www.fanavari-IT.ir‬‬


‫‪٧٦‬‬

‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )‪(١‬‬

‫‪ln x‬‬ ‫‪=o‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ .10‬ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ‬

‫∞‪lim x→+‬‬

‫)ﺑﺪون اﺳﺘﻔﺎده از ﻫﻮﭘﯿﺘﺎل(‬

‫‪x −1‬‬ ‫‪< ln x < x − 1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﺣﻞ( ﻃﺒﻖ ﺗﻤﺮﯾﻦ ‪ 8‬دارﯾﻢ‪:‬‬ ‫‪x − 1 ln x x − 1‬‬ ‫<‬ ‫<‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫دو ﻃﺮف را ﺑﺮ ‪ x‬ﺗﻘﺴﯿﻢ ﻣﯽ ﮐﻨﯿﻢ‪x .‬‬ ‫‪ ، x‬از ﻃﺮﻓﯽ دارﯾﻢ‪:‬‬ ‫‪x −1‬‬ ‫‪x −1‬‬ ‫‪= lim x→+∞ 2 = o‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬

‫ﻃﺒﻖ ﻗﻀﯿﻪ ﻓﺸﺮدﮔﯽ دارﯾﻢ‪:‬‬

‫∞‪lim x→+‬‬ ‫‪ln x‬‬ ‫‪=o‬‬ ‫‪x‬‬

‫∞‪lim x→+‬‬

‫‪www.fanavari-IT.ir‬‬


‫‪www.FANAVARI-IT.ir‬‬

‫ﻓﺼﻞ ﻫﺸﺘﻢ‬ ‫ـﺎى‬ ‫روشﻫــــــــــ‬ ‫اﻧﺘﮕﺮالﮔﯿﺮی‬


www.FANAVARI-IT.ir

(١) ‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ‬

٢

. 436 ‫ﺗﻤﺮﯾﻦ ﺻﻔﺤﻪ‬

∫x

.‫را ﺣﻞ ﮐﻨﯿﺪ‬ :‫ دارﯾﻢ‬dv = x n dx , u = Lnx v=

n

Lnx dx ‫اﻧﺘﮕﺮال‬

.‫ﺣﻞ( اﮔﺮ ﻓﺮض ﮐﻨﯿﻢ‬

xn +1 dx , du = n +1 x

Ιn =

xn +1 xn xn +1 xn +1 Lnx − ∫ dx = Lnx − +c n +1 n +1 n +1 (n + 1)2

‫ﭘﺲ‬

. 436 ‫ﺗﻤﺮﯾﻦ ﺻﻔﺤﻪ‬

‫( ﭘﯿـﺪا‬n > 1) , Ιn = cos n xdx ‫ﯾﮏ ﻓﺮﻣـﻮل ﺑﺎزﮔﺸـﺘﯽ ﺑـﺮای‬ .‫را ﳏﺎﺳﺒﻪ ﮐﻨﯿﺪ‬

∫ cos

4

x dx ‫ﮐﻨﯿﺪ و ﺑﻪ ﮐﻤﮏ آن‬

.‫ ﻣﯽ ﻧﻮﯾﺴﯿﻢ‬Ιn = cos n −1 x. cos xdx ‫ را ﺑﻪ ﺻﻮرت‬Ιn (‫ﺣﻞ‬ ‫ دارﯾﻢ‬dv = cos x dx , u = cos n −1 x ‫اﮔﺮ ﻓﺮض ﮐﻨﯿﻢ‬ :‫ در ﻧﺘﯿﺠﻪ‬V = sin x ‫ و‬du = −(n − 1) cos n−2 x. sin xdx Ιn = sin x.cos n −1 x + (n − 1) ∫ cos n−2 x.sin 2 xdx ⇒ Ι n = sin x.cos n−1 x + (n − 1)

I

n −2

− (n − 1) Ι n

⇒ nΙ n = sin x.cos n −1 x + (n − 1) Ι n −2 n = 2 → 2Ι 2 = sin x.cos x + x

n = 4 → 4Ι 4 = sin x.cos 3 x + 3Ι 2 1 3 ⇒ Ι 4 = (sin x.cos 3 x + (sin x.cos x + x)) 4 2 . ۴٣٩ ‫ﲤﺮﯾﻦ ﺻﻔﺤﻪ‬


‫‪www.FANAVARI-IT.ir‬‬

‫ﻓﺼﻞ ﻫﻔﺘﻢ‪ :‬ﺗﻮاﺑﻊ ﻏﯿﺮ ﺟﱪی‬ ‫)‪ (١‬ﻫﺮ ﯾﮏ از اﻧﺘﮕﺮال ﻫﺎی زﯾﺮ را ﳏﺎﺳﺒﻪ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬

‫‪٣‬‬


www.FANAVARI-IT.ir

(١) ‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ‬ 1)

∫e

2)

x ex ex ∫ (1+ x)2 dx = x + 1 + c

3)

∫ Ln(a

x

٤

( f ( x) + f '( x)) dx = f ( x). e x + c

+ x2 ) dx = x Ln(a 2 + x2 ) − ∫

2

⇒ x Ln(a 2 + x2 ) −

x dx a + x2 2

1 Ln(a 2 + x2 ) + c 2

2 1 1 u eu du = − (− x2 − 1) e − x + c ∫ 2 2

4)

∫x

5)

∫x

6)

Ι = ∫ sin( Lnx) dx

3

e − x dx = −

5

e x dx = ( x5 − 5 x4 + 2 o x3 − 6 o x2 + 12 o x − 12o) e x

2

u = sin( Lnx)

, dv = dx ⇒ du =

1 cos( Lnx) , v = x x

Ι = x sin( Lnx) − ∫ cos( Lnx) dx 1 u = cos( Lnx) , dv = dx ⇒ du = − sin( Lnx) , v = x x Ι = x sin( Lnx) − x cos( Lnx) − Ι x Ι = (sin( Lnx) − cos( Lnx)) + c 2 7)

Ι = ∫ x tg −1 x dx x2 1 dx , v = 2 1 + x2 x2 x2 1 x2 1 1 dx = tg −1 x − x + tg −1 x + c Ι = tg −1 x − ∫ 2 2 2 x +1 2 2 2

u = tg −1 x , dv = x dx ⇒ dv =

8)

∫ sin

−1

t 2 = x ⇒ 2tdt = dx

x dx

Ι = 2∫ t sin −1 tdt = t 2 sin −1 t − ∫ = t 2 sin −1 t + ∫

1− t 2 + 1 1− t 2

t2 1− t 2

dt

dt

= t 2 sin −1 t + sin −1 t + ∫ 1 − t 2 dt

1 1 t + cos 2θ 2 4 1 1 x + cos −1 x + cos 2(cos −1 x ) 2 4

1 − t 2 dt = ∫ cos 2 θ d θ =

⇒ Ι = x sin −1 x + sin −1


www.FANAVARI-IT.ir

٥ 9)

‫ ﺗﻮاﺑﻊ ﻏﯿﺮ ﺟﱪی‬:‫ﻓﺼﻞ ﻫﻔﺘﻢ‬

Ι = ( x 3 + x) chx dx Ι = ( x 3 + x) shx − ( 3 x2 + 1) chx + 6 x shx − 6chx

10)

Ι = Ln( x + 1 + x2 ) dx 1

u = Ln( x + 1 + x2 ) , dv = dx ⇒ du = Ι = x Ln( x + 1 + x2 ) − 11)

x 1+ x

1+ x

2

,v = x

= x Ln( x + 1 + x2 ) − 1 + x2 + c

2

1+ x ) dx 1− x 1+ x 2 u = Ln( ) , dv = dx ⇒ du = dx ,v = x 1− x 1 − x2 1+ x 2x 1+ x )− dx = x Ln( ) + Ln(1 − x2 ) + c Ι = x Ln( 2 1− x 1 x − 1− x 1 x + ) dx Ι = x2 Ln( 1− x

Ι = x Ln(

12)

u = Ln( Ι= =

1− x ) , 1+ x

dv = x2 dx

⇒ du = −

x3 1− x 1 3 Ln( x 1 − x2 dx )+ 3 1+ x 3

2

1 − x2

x3 1− x 1 x Lx( )− ( x + 2 ) dx 3 1+ x 3 x −1

x3 1− x 1 2 1 Lx( ) − x − Ln( x2 − 1) + c = 3 1+ x 3 6 13 )

Ι= e

x

dx

u 2 = x ⇒ 2udu = dx

Ι = 2 u e u du = 2(u − 1) e u + c = 2( x − 1) e 14 )

Ι=

tg −1 e x ex

u = tg Ι=− =−

, dv =

e

e

x

tg −1 e x e

x

+c

dx

−1 x

tg −1 e x

x

+

dx e

dx

x

∫ 1 + e2 x

+ Ln e x +

⇒ du = =

ex 1+ e

tg −1 e x e

x

+

2x

dx , v = − du

∫ u(1 + u 2 )

1 Ln(1 + e 2 x ) − 2tg −1 e x + c 2

1

ex

dx

,v =

x3 dx 3


‫‪www.FANAVARI-IT.ir‬‬

‫‪٦‬‬

‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )‪(١‬‬


www.FANAVARI-IT.ir

٧ 15 )

‫ ﺗﻮاﺑﻊ ﻏﯿﺮ ﺟﱪی‬:‫ﻓﺼﻞ ﻫﻔﺘﻢ‬

Ι = (sin −1 x) 2 dx u = (sin −1 x) 2 , dv = dx Ι = x (sin −1 x) 2 −

16 )

2

1 − x2

⇒ du =

2

2

1− x

sin −1 x dx , v = x

sin −1 x dx

= x (sin −1 x)2 + 2( 1 − x2 ) sin −1 x − 2x + c Lnx 2 ) dx Ι= ( x Lnx 2 1 − Lnx Lnx ) , )( ) dx , v = x u=( dv = dx ⇒ du = 2( x x x2

Lnx 2 Lnx − ( Lnx)2 2 ) −2 x dx x Lnx 2 Lnx Lnx 2 ) −2 ) dx dx + 2 ( = x( 2 x x x Lnx 2 1 − Lnx − 1 2 ) +2 x dx −Ι = x ( x Lnx 2 Lnx 1 ) − 2( ( )' dx − 2 dx) + c Ι = −x( x x x Lnx 2 Lnx 1 ) − 2( )+ +c = −x( x x x Ln (1 + x) 1 Ι= dx = u du 2 (1 + x) 2 1 = ( Ln(1 + x))2 + c 4

Ι = x(

17 )

18 )

Ι=

π2 2 o

cos 2 x dx

u = 2x

19 )

2udu = 2dx

π

Ι=

∫o u cos u du = u sin u + cos u + c

Ι=

∫1 sec

4

−1

x dx

u= x

,

2u du = dx 2 2 1 Ι = 2 u sec −1 u du = 2 u cos −1 ( ) du 1 1 u −1 1 1 1 t = cos −1 ( ) ⇒ dt = − 2 . du = du 2 u 1 u u u − 1 1− 2 u


www.FANAVARI-IT.ir

(١) ‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ‬

Ι = 2(

u2 1 cos −1 ( )) − 2 u

٨

u

du u2 −1 2 π 1 = u 2 cos −1 ( ) − u 2 − 1 = 4 × − 3 1 3 u

20)

Ι=

3π 4 π 4

x . cot x . csc x dx = −

3π 4 π 4

x (csc x)' dx

u = x , dv = (csc x)' dx ⇒ du = dx , v = csc x 3π 3π 4 Ι = x csc x − π 4 csc x dx π 4 4 sin x 1 1 − cos x dx = csc x dx = dx = Ln 2 sin x 2 1 + cos x 1 − cos x

Ι=( 21)

Ι=

π 3π 1 × 2 − × 2 ) − ( Ln 4 4 2 π2 4 o

Ι=2

π 2 o

sin x dx

2 +1 2 −1

− Ln

2 −1 2 +1

)

u 2 = x ⇒ 2u du = dx

π u sin u du = 2(−u cos u + sin u ) 2 o . ۴۴۴ ‫ﲤﺮﯾﻦ ﺻﻔﺤﻪ‬

.‫ﻫﺮ ﯾﮏ از اﻧﺘﮕﺮال ﻫﺎی زﯾﺮ را ﺣﻞ ﮐﻨﯿﺪ‬


www.FANAVARI-IT.ir

٩

1)

‫ ﺗﻮاﺑﻊ ﻏﯿﺮ ﺟﱪی‬:‫ﻓﺼﻞ ﻫﻔﺘﻢ‬

x 5 − x 4 + 4 x 3 − 4 x2 + 8 x − 4

dx ( x2 + 2) 3 Αx + Β Cx + D Ex + F + 2 + 2 f ( x) = 2 2 x + 1 ( x + 1) ( x + 1)2

⇒ ( Ax + B) ( x4 + 2 x2 + 1) + (Cx + D ) ( x2 + 1) + Ex + F ⇒ A= 1 2B

2)

= x 5 − x 4 + 4 x 3 − 4 x2 + 8 x − 4 B = −1 , 2A+ C = 4 ⇒ C = 2

,

(sec 2 x + 1).sec 2 x 1 + tg 2 x

u = tgx ⇒ du = sec 2 xdx , u 2 = sec 2 x − 1 I=

(u 2 + 2)du

u2 + 2

1+ u

3

1+ u3

=

A Bu + c + 1 + u 1 + u + u2

⇒ ( A + B)u 2 + ( A + B + C )u + A + C = u 2 + 2 A+ B = 1 A + B + C = o ⇒ C = −1 , A = 3 , B = −2 A+ C = 2 3 2u + 1 ⇒I= du − 2 du = 3 ln(u + 1) − ln( u 2 + u + 1) + c u +1 u + u +1

I = 3 ln(tgx + 1) − ln( tg 2 x + tgx + 1) + c


www.FANAVARI-IT.ir

(١) ‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ‬ 3)

I=

x2 + 2 x − 1 27 x 3 − 1

١٠

dx

x2 + 2 x − 1

( 3 x − 1)(9 x2 + 3 x + 1)

=

A Bx + C + 2 3 x − 1 9x + 3 x + 1

⇒ (9 A + 3 B) x2 + (3 A − B + 3C ) x + A = x2 + 2x − 1 ⇒ 9 A + 3 B = 1 , 3 A − +3C = 2 , A − C = −1 A = C − 1 , 9C − 9 + 3 B = 1 3C − 3 − B + 3C = 2

9C + 3 B = 10 25 ⇒ ⇒ 27C = 25 ⇒ C = 27 6C − B = 5 75 45 10 −2 , B= − = A= 27 9 9 3 2 dx 2 ⇒− = − ln( 3 x − 1) 27 3 x − 1 81 10 25 x− 3 27 = 1 . 90x − 25 9 x2 + 3 x + 1 27 9 x2 + 3 x + 1 2 1 90x − 25 dx I = − ln( 3 x − 1) + 81 27 9 x2 + 3 x + 1

4)

I=

dx

dx

∫ x3 + x2 + x =∫ x( x2 + x + 1) 2

1

x( x + x + 1) A=1 ,

=

A Bx + C + x x2 + x + 1 B = −1 , C = −1

1 (x + ) dx x+1 1 2 2 ) I= tg −1 ( − 2 = ln x − ln( x2 + x + 1) + x 2 3 3 x + x+1 2


www.FANAVARI-IT.ir

١١

5)

‫ ﺗﻮاﺑﻊ ﻏﯿﺮ ﺟﱪی‬:‫ﻓﺼﻞ ﻫﻔﺘﻢ‬

∫ cosθ (1 + sin θ ) du = dθ cos θ du du I= = 2 (1 − u ) (1 + u ) (1 + u ) 2 (1 − u ) 1 A B C = + + 2 2 (1 + u ) (1 − u ) 1 + u (1 + u ) 1 − u 1 1 1 C= , B= A= , 4 2 4 1 du 1 du 1 du I= + − 4 1 + u 2 (1 + u ) 2 4 u − 1

u = sin θ ⇒

1 1 1 I = ln(1 + sin θ ) − − ln(sin θ − 1) + C 4 2(1 + sin θ ) 4

6)

∫ sin(1 + sin θ ) = ∫ sin θ − ∫ 1 + sin θ

1 sin θ − 1 1 − sin θ dθ = ln − 2 sin θ + 1 cos 2 θ 1 sin θ − 1 1 = ln − tgθ = +C 2 sin θ + 1 cosθ


www.FANAVARI-IT.ir

(١) ‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ‬ 7)

١٢

dt

∫ (1 + t )(1 + t 2 )2

1

2 2

(1 + t )(1 + t )

=

A Bt + C Dt + E + 2 + 1+ t t + 1 (t 2 + 1) 2

A(t 2 + 1) 2 + ( Bt + C )(t 2 + 1) + dt + E = 1 1 1 A= , B=− 4 4 3 A+ C + E = 1 ⇒ C+E= 4

8)

x2 + 1

∫ x3 + 8 dx x2 + 1

x3 + 8

=

x2 + 1

( x2 + 2)( x2 + 2x + 4)

=

A Bx + C + 2 x + 2 x + 2x + 4

⇒ ( A + B) x2 + (2 A + 2B + 2C ) x + 4 A + 2C = x2 + 1 A+ B = 1 ⇒ C = −1

,

A=

3 , 4

B=

1 4

A+ B + C = o 4 A + 2C = 1 1 dx 1 3x +1 I= dx + 4 x + 2 4 x2 + 2 x + 4 1 1 2 x + 2 + ( x − 1) = ln( x + 2) + dx 4 4 x2 + 2x + 4 1 1 1 ( x − 1) = ln( x + 2) + ln( x2 + 2 x + 4) + 4 4 4 x2 + 2x + 4 x +1 ( x − 1) 1 2 dx = ln(( x + 1)2 + 3 ) − tg −1 ( ) 2 2 3 3 ( x + 1) + 3


www.FANAVARI-IT.ir

١٣

‫ ﺗﻮاﺑﻊ ﻏﯿﺮ ﺟﱪی‬:‫ﻓﺼﻞ ﻫﻔﺘﻢ‬ dx

dx

∫ x4 − 3 x 3 = ∫ x 3 ( x − 3 )

9)

dx 3

x ( x − 3) 1 C=− 3

=

A B C D + 2+ 3 + x x x− 3 x D =1 ,

,

A = −1 ,

4 1 1 1 I = − ln x − . − . 2 + ln( x − 3 ) + C 3 x 6 x x2 + 2

x2 + 2

x(2 x2 + 1)2 A= 2 ,

=

x2 + 2

A Bx + C Dx + E + 2 + x 2x + 1 (2 x2 + 1) 2 B = −4 , ...

=

xdx

∫ ( x2 − x + 1)2

11)

x

=

Ax + B

( x2 − x + 1)2 x2 − x + 1 A=1 , B+ D = o 3B + D = 2 ⇒ B = 1 ,

13) 14)

4 3

∫ 4 x5 + 4 x3 + x ∫ x(2x2 + 1)2

10)

12)

B=

1

o

=

Cx + D ( x2 − x + 1) 2 C =o , D = −1

dx x + 2x2 + x + 2 3

4

x2 dx

∫o 2x3 + 9x2 + 12x + 4 o

x2 dx

∫−1 (2x2 + 2x + 1)2 .449 ‫ﺗﻤﺮﯾﻦ ﺻﻔﺤﮥ‬ .‫ﻫﺮ ﯾﮏ از اﻧﺘﮕﺮال ﻫﺎي زﯾﺮ را ﺣﻞ ﮐﻨﯿﺪ‬


www.FANAVARI-IT.ir

(١) ‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ‬ 1)

2)

1 = sin −1 (2 x) + C 1 − 4 x2 2 dx

x2 dx

9 − x2 x = 3 sin θ

I= 3)

⇒ dx = 3 cos θ dθ

9 sin 2 θ .3 cos θdθ 9 9 = θ − sin 2θ 3 cos θ 2 4

x 3 dx

= 27 sin 3 θdθ = 27 sin θ − cos 2 θ sin θ

9 − x2

= −27 cos θ + 9 cos 3 θ + c dx

4)

∫x

5)

∫x

9 − x2 2

=

1 dθ 1 sin θ + 1 = − ln +2 3 sin θ 6 sin θ − 1

9 − x2 dx

x = 3 sin θ ⇒ I = 81 sin 2 θ . cos 2 θdθ I= 6) 7)

∫ ∫

81 81 81 sin 2 2θ dθ = θ − sin 4θ + C 4 8 32

x+1

2

9− x x3

2

9+ x

dx = (sin θ + 1)dθ = − cos θ + θ x = 3tgθ ⇒ dx = 3 sec 2 θdθ

dx

I = 27 tg 3θ dθ = 27 tgθ (sec 2 θ − 1)dθ =

27 2 tg θ + 27 ln(cos θ ) + C 2

١٤


www.FANAVARI-IT.ir

١٥

‫ ﺗﻮاﺑﻊ ﻏﯿﺮ ﺟﱪی‬:‫ﻓﺼﻞ ﻫﻔﺘﻢ‬

8)

I=

9)

I=

1 − x2

x2

o x

∫−lne 2

u=e

dx =

∫ sin 2 θ dθ = − cot θ − θ + C

1 − e 2 x dx 1 1 2

⇒ I=

x

cos2 θ

2

1 − u du =

π 2 cos 2 θ π 6

π 3 π 1 1 2 π ) = ( θ + sin 2θ ) = − ( + π 4 12 8 2 4 6

10)

dx

dx

sec 2 θ

∫ sec 4 θ dθ = ∫ cos 11)

du

∫ ( x2 + 2x + 2)2 = ∫ (( x + 1)2 + 1)2 =∫ (u 2 + 1)2 ∫

dx 5 2 2 (1 + 2 x )

I=

1

sec 2 θ

2

1 1 θdθ = θ + sin 2θ + C 2 4 2 x = tgθ

,

2 ∫ sec 5 θ

dθ =

1

cos 2∫

3

θ dθ

1 1 sin 3 θ 2 = (cosθ − sin θ cosθ )dθ = sin θ − +C 2 2 3 2


www.FANAVARI-IT.ir

(١) ‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ‬

12)

13)

dθ = 2 + sin θ

2dt

dt 1 + t 2 dt = 2 2t t + t +1 2+ 2 1+ t 1 t+ 2 = tg −1 ( 2 ) + C 3 3 2

π 2 o

dθ = 1 + sin θ + cos θ

1 = ln(1 + t ) = ln 2 o

14)

dθ = 3 + 2 cos θ

2dt

1+ t2 = o 2t 1− t2 + 1+ 1+ t2 1+ t2 1

2dt

1 + t2 dt 1− t2 3 +2+ 1 + t2 2dt 2 −1 t = 2 = tg ( ) + C 5 5 t +5

2dt o 2 + 2t 1

١٦


www.FANAVARI-IT.ir

١٧ 15)

‫ ﺗﻮاﺑﻊ ﻏﯿﺮ ﺟﱪی‬:‫ﻓﺼﻞ ﻫﻔﺘﻢ‬

∫ sec

3

xdx =

dx

du

∫ cos2 x = ∫ (1 − u 2 )2

du cos x 1 A B C D = + + + 2 2 2 u + 1 (u + 1) u − 1 (u − 1) 2 (1 − u ) (1 + u ) 1 1 1 , D= , B= , A+ C = o A− C = − 4 4 2 1 1 , A= − C= 4 4 1 1 1 1 1 1 I = − ln sin x + 1 − . + ln sin x − 1 − . 4 2 1 + sin x 4 4 sin x − 1

u = sin x ⇒ dx =

dx

dt

16)

∫ csc xdx = ∫ sin x = ∫ t

17)

I = x sin −1 xdx =

2

= ln tg

x +C 2

x2 1 sin −1 x − 2 2

x2 2

1− x

dx

x 1 sin −1 x − sin 2 θ dθ 2 2 2 x 1 1 = sin −1 x − (sin −1 x) + sin 2(sin −1 x) + C 2 4 8 =

18)

dx = 1 − sin x + cos x

= − ln tg

x −1 + C 2

2dt

dt 1 + t2 = 2 1− t 2t 1− t 1− + 1+ t2 1+ t2


www.FANAVARI-IT.ir

(١) ‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ‬ π

sin x

19)

∫o

20)

∫ x4

2

4 + cos x dx x2−1

=

dx = −

−1

∫1

1 1 1 π π = tg −1u = × = −1 2 2 4 2 4+u du

2

sec θ .tgθ

∫ sec 4 θ .tgθ dθ = ∫ cos

= (1 − sin 2 θ ) cos θdθ = sin θ − 21) 22)

dx 2x − x

2

dx

=

dx 1 − ( x − 1)

∫ 4 x2 + 12x + 13 ∫ =

2

3

θdθ

sin 3 θ +C 3

= sin −1 ( x − 1) + C

1 −1 2x + 3 = ) tg ( 2 (2x + 3 ) 2 + 4 4 dx

١٨


‫‪www.FANAVARI-IT.ir‬‬

‫ﻓﺼﻞ ﻧﻬﻢ‬ ‫ﳐﺘﺼﺎت ﻗﻄﱮ و‬ ‫ﻣﻨﺤﲎﻫﺎى ﻗﻄﱮ‬


‫‪www.FANAVARI-IT.ir‬‬

‫‪٢‬‬

‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )‪(١‬‬

‫ﺗﻤﺮﯾﻦ ﺻﻔﺤﻪ ‪456‬‬ ‫‪ .1‬ﺑﺮاي ﻫـﺮ ﯾـﮏ از ﻧﻘـﺎط زﯾـﺮ‪ ،‬دو ﻣﺠﻤﻮﻋـﻪ دﯾﮕـﺮ از ﻣﺨﺘﺼـﺎت ﻗﻄﺒـﯽ ﻫﻤـﺎن‬ ‫ﻧﻘﻄﻪ را ﭘﯿﺪا ﮐﻨﯿﺪ ﮐﻪ در ﯾﮑﯽ ‪ r > o‬و دﯾﮕﺮي ‪ r > o‬ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪3π‬‬ ‫‪7π‬‬ ‫) ‪( 2 , − ) : (− , ) , ( 2 ,‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬

‫)اﻟﻒ‬

‫‪(−2 ,‬‬

‫)ب‬

‫) ‪ 3 , π‬ـ ( ‪(−3 , −π ) : (3 , o) ,‬‬

‫)ج‬

‫‪4π‬‬ ‫‪7π‬‬ ‫‪10π‬‬ ‫‪ 2 ,‬ـ ( ‪) : (2 , ) ,‬‬ ‫)‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪ -2‬ﻣﺨﺘﺼــﺎت ﻗﻄﺒــﯽ ﻧﻘــﺎط زﯾــﺮ را ﺑــﺎ ﺷــﺮاﯾﻂ ‪ r > o‬و ‪ o ≤ θ ≤ 2π‬ﺗﻌــﯿﻦ‬ ‫ﮐﻨﯿﺪ‬ ‫‪7π‬‬ ‫)‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4π‬‬ ‫)‬ ‫‪3‬‬

‫‪(2 , 2) : (2 2 ,‬‬

‫)اﻟﻒ‬

‫‪1 , − 3 ) : (2 ,‬ـ (‬

‫)ب‬

‫‪π‬‬ ‫) ‪(1 , 3) : (2 ,‬‬ ‫‪3‬‬

‫)ج‬

‫‪ -3‬ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﻗﻄﺒﯽ ﻣﻌﺎدﻻت زﯾﺮ را ﺑﻨﻮﯾﺴﯿﺪ‪.‬‬ ‫‪4 sin 2 θ‬‬ ‫‪cos 3 θ‬‬

‫= ‪) x3 = 4 y2 : r 3 cos 3 θ = 4r 2 sin 2 θ ⇒ r‬اﻟﻒ‬ ‫‪xy = 1 : r 2 sin θ cos θ = 1‬‬

‫)ب‬


www.FANAVARI-IT.ir

٣

‫ ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ‬:‫ﻓﺼﻞ دوم‬ x2 − 4 x + y2 = o ⇒ x2 + y2 = 4 x

⇒ r 2 = 4 r cos θ

‫)ج‬

⇒ r = 4 cos θ

.‫ ﻣﻌﺎدﻻت دﮐﺎرﺗﯽ ﻣﻌﺎدﻻت زﯾﺮ را ﺑﻨﻮﯾﺴﯿﺪ‬-4 ‫ﻒ‬

) ‫اﻟ‬r = 2 sin 3θ = 2(3 sin θ cos 2θ − sin 3 θ )

r 4 = 6r sin θ (r cos θ )2 − 2(r sin θ )3 ( x2 + y2 )2 = 6 yx2 − 2 y2

‫ب‬r)

=

4 ⇒ r 3 r− 2 cos θ = 4 3 − 2 cos θ

3 x2 + y2 − 2x = 4 ⇒ 3( x2 + y2 ) = (2x + 4)2 3 x2 + 3 y2 = 4x2 + 16 x + 16

‫ج‬r)

2

= θ x⇒ 2y+ 2tg=

‫ـ‬1

y ( ) x

⇒ y = xtg ( x2 + y2 )

462 ‫ﺗﻤﺮﯾﻦ ﺻﻔﺤﻪ‬ .‫ ﻧﻤﻮدار ﻫﺮ ﯾﮏ از ﺗﻮاﺑﻊ زﯾﺮ را رﺳﻢ ﮐﻨﯿﺪ‬.1 1) r 2 = 9 sin 2θ

2) r 2 = 16 cos 2θ


www.FANAVARI-IT.ir

(١) ‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ‬

3) r = 3 cos 3θ

5) r = 3 sin 3θ

٤

4) r = 4 sin 2θ

6) r = 1 + 2 sin θ 1 r = 2( + sin θ ) 2


www.FANAVARI-IT.ir

٥

‫ ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ‬:‫ﻓﺼﻞ دوم‬

8) r = 3 (1 − sin θ )

7) r = 4(1 − cos θ )

9) r = ae kθ


‫‪www.FANAVARI-IT.ir‬‬

‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )‪(١‬‬

‫‪٦‬‬

‫‪ .2‬ﻓــﺮض ﮐﻨﯿــﺪ ﺧﻄــﯽ از ﻣﺒــﺪأ ﺑــﺮ ﺧــﻂ ‪ dx + by − c = o‬ﻋﻤــﻮد ﺑﺎﺷــﺪ‪.‬‬ ‫ﻣﺨﺘﺼﺎت ﺗﻘﺎﻃﻊ آﻧﻬﺎ را در ﻣﺨﺘﺼﺎت ﻗﻄﺒﯽ ﺗﻌﯿﻦ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪x+‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪d‬‬ ‫ﺧــﻂ ﻣــﻮرد ﻧﻈــﺮ ﺑــﻪ ﺻــﻮرت ‪x‬‬ ‫‪b‬‬

‫‪y = x−‬‬

‫= ‪ y‬اﺳــﺖ‪ .‬ﮐــﻪ در ﻣﺨﺘﺼــﺎت ﻗﻄﺒــﯽ ﺑــﻪ‬

‫‪d‬‬ ‫‪b‬‬

‫ﺻﻮرت ) (‪ θ = tg −1‬ﻣﻄﺮح ﻣﯽ ﺷﻮد‪.‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪r cos θ +‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪c‬‬ ‫=‪r‬‬ ‫=‬ ‫) ‪ 1 ( b‬ـ ‪ 1 ( b )) + d cos(tg‬ـ ‪b sin θ + d cos θ b sin( tg‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪c‬‬ ‫=‪r‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪d2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪b2 + d 2‬‬ ‫‪b2 + d 2‬‬ ‫‪c‬‬ ‫=‪r‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪b + d2‬‬ ‫ـ = ‪r sin θ‬‬

‫‪ .3‬ﻣﺴﺄﻟﻪ ‪ 2‬را در ﻣﻮرد ﺧﻂ ‪ 3 x + y = 6‬ﺣﻞ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪π‬‬ ‫=)‬ ‫‪6‬‬ ‫‪3‬‬

‫( ‪ 1‬ـ ‪θ = tg‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪=3‬‬ ‫‪4‬‬

‫=‪r‬‬


‫‪www.FANAVARI-IT.ir‬‬

‫‪٧‬‬

‫ﻓﺼﻞ دوم‪ :‬ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ‬

‫‪ .4‬ﻧﻤﻮدار ﺗﻮاﺑﻊ زﯾﺮ را رﺳﻢ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬ ‫اﻟﻒ( ‪r = 2 sin θ‬‬ ‫‪r = 2 sin θ ⇒ r 2 = 2r sin θ ⇒ x2 + y2 = 2 y‬‬ ‫‪1)2 = 1‬ـ‪⇒ x2 + ( y‬‬

‫ب(‬

‫)‪r = 2 sin(θ + 45°‬‬

‫ﮐﺎﻓﯽ اﺳﺖ ﻧﻤﻮدار ﻗﺒﻠﯽ را ﺑﻪ اﻧﺪازه ْ‪ 45‬در ﺟﻬﺖ ﺳﺎﻋﺖ دوران دﻫﯿﻢ‪.‬‬ ‫‪ .5‬ﻧﺎﺣﯿﻪ ﻫﺎي زﯾﺮ را در ﻣﺨﺘﺼﺎت ﻗﻄﺒﯽ ﻧﻤﺎﯾﺶ دﻫﯿﺪ‪.‬‬ ‫‪π‬‬ ‫}‬ ‫‪2‬‬

‫≤ ‪) D = {( r ,θ )1 ≤ r ≤ 2 , o ≤ θ‬‬

‫اﻟﻒ‬

‫‪1 2‬‬

‫‪π‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬

‫≤ ‪ ) R = {( r ,θ )r ≥ o , o ≤ θ‬ب‬


www.FANAVARI-IT.ir

(١) ‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ‬

‫ ) ج‬P = {(r ,θ ) o ≤ r ≤ 2 cosθ , ‫ـ‬ 2

π π ≤θ ≤ } 2 2

o ≤ r ≤ 2 cosθ ⇒ o ≤ r ≤ 2r cos θ o ≤ x2 + y2 ≤ 2x ( x − 1)2 + y2 ≤ 1

‫ ) د‬T = {(r ,θ ) ‫ ـ‬3 ≤ r ≤ 2 , θ =

‫ ) ه‬K = {(r ,θ )r ≤ o ,θ =

π } 4

π } 4

٨


‫‪www.FANAVARI-IT.ir‬‬

‫ﻓﺼﻞ دوم‪ :‬ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ‬

‫ﺗﻤﺮﯾﻦ ﺻﻔﺤﻪ ‪446‬‬ ‫‪ .1‬ﻧﻘﺎط ﺗﻘﺎﻃﻊ ﻧﻤﻮدارﻫﺎي داده ﺷﺪه را ﭘﯿﺪا ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬ ‫اﻟﻒ(‬

‫ﺣﻞ(‬

‫) ‪r = 1 − sin θ , r = cos(2θ‬‬

‫‪π‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪⇒ r = cos(2 × ) = o‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪θ = ⇒ r = 1 − sin = o‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‪θ‬‬

‫دو ﻣﻨﺤﻨﯽ از ﻗﻄﺐ ﻣﯽ ﮔﺬرﻧﺪ‪.‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪cos(2θ ) = 1 − sin θ ⇒ 1 − 2 sin θ = 1 − sin θ ⇒ 2 sin θ = sin θ‬‬ ‫‪π 5π‬‬ ‫و = ‪⇒θ = o , π , θ‬‬ ‫‪6 6‬‬

‫‪٩‬‬


www.FANAVARI-IT.ir

(١) ‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ‬

١٠

r = 2 cos θ , r = 2 sin θ θ = o → r = 2 sin o = o " π π θ = → r = 2 cos = o 4 2

(‫ب‬

‫ﻗﻄﺐ روي دو ﻣﻨﺤﻨﯽ اﺳﺖ‬

π π cos 2θ = sin θ = cos(θ − ) ⇒ 2θ = 2Kπ ± (θ − ) 2 2 π π 3π ⇒ θ = 2Kπ − ⇒ θ = − , 2 2 2 2kπ π π 2π π θ= + ⇒θ , + 3 2 2 3 2

2

r = 1 , r = 2 cos θ (‫ج‬

.‫ از ﻗﻄﺐ ﻧﻤﯽ ﮔﺬرد‬r = 1 1 π 1 = 2 cos θ ⇒ cos θ = ⇒ θ = ± 2 3 1 2π 4π ‫ـ‬1 = 2 cosθ ⇒ cosθ − ⇒ θ = , 2 3 3

r (1 − sin θ ) = 3 , r = 4(1 + sin θ ) (‫د‬ θ=‫ـ‬

π π ⇒ r = 4(1 + sin( − ) = o 2 2

.‫ﻣﻨﺤﻨﯽ دوم از ﻗﻄﺐ ﻧﻤﯽ ﮔﺬرد‬


‫‪www.FANAVARI-IT.ir‬‬

‫ﻓﺼﻞ دوم‪ :‬ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ‬

‫‪١١‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪± 3‬‬ ‫= ‪= 4(1 + sin θ ) ⇒ cos2 θ = ⇒ cos θ‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1 − sin θ‬‬ ‫‪π 5π 7π‬‬ ‫‪θ =± ,‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪6 6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ .2‬ﻧﻤــﻮدار ‪ ، r = sin θ‬ﺧــﻮدش را ﻗﻄــﻊ ﻣــﯽ ﮐﻨــﺪ‪ .‬ﻧﻘــﺎط ﺗﻘــﺎﻃﻊ را ﺗﻌــﯿﻦ‬ ‫ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬

‫ﺗﻤﺮﯾﻦ ﺻﻔﺤﻪ ‪469‬‬ ‫‪ .1‬ﺿـــﺮﯾﺐ زاوﯾـــﻪ ﺧـــﻂ ﻣﻤـــﺎس ﺑـــﺮ ﻣﻨﺤﻨـــﯽ ‪ r = 1 + sin θ‬را در ﻧﻘﻄـــﻪ‬ ‫‪3 π‬‬ ‫) و‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪ (1 +‬ﺑﺪﺳﺖ آورﯾﺪ‪.‬‬

‫ﺣﻞ(‬ ‫‪dr‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪= cos θ , tg = 3‬‬ ‫‪dθ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3.‬‬ ‫‪+1+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪m = tgd‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪) 3‬‬ ‫‪− (1 +‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪m= 2 2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪− 3−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬


‫‪www.FANAVARI-IT.ir‬‬

‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )‪(١‬‬

‫‪١٢‬‬

‫‪ .2‬زاوﯾــﻪ ﺑــﯿﻦ ﺷــﻌﺎع ﺣﺎﻣــﻞ و ﺧــﻂ ﻣﻤــﺎس ﺑــﺮ ﻣﻨﺤﻨــﯽ ﻫــﺎي زﯾــﺮ را در ﻧﻘــﺎط‬ ‫ﻣﻔﺮوض ﺑﺪﺳﺖ آورﯾﺪ‪.‬‬ ‫اﻟﻒ(‬ ‫ﺣﻞ(‬

‫ب(‬

‫‪π‬‬ ‫‪) , r 2 = 4 cos 2θ‬‬ ‫‪6‬‬

‫و ‪p( 2‬‬

‫‪r‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪=−‬‬ ‫‪dr‬‬ ‫‪− sin 2θ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪jθ‬‬ ‫‪4 cos 2θ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫= ‪tgβ‬‬

‫) ‪p( 3, π ) , r = 3 (1 − sin θ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪r‬‬ ‫=‬ ‫= ‪=1 ⇒ β‬‬ ‫‪dr‬‬ ‫‪ cos θ‬ـ‬ ‫‪4‬‬ ‫‪dθ‬‬

‫= ‪tgβ‬‬

‫‪ .3‬ﻣﻄﻠــﻮب اﺳــﺖ اﻧــﺪازه زاوﯾــﻪ ﮐــﻮﭼﮑﺘﺮﯾﻦ ﺧﻄﻬــﺎي ﻣﻤــﺎس ﺑــﺮ ﻧﻘﻄــﻪ ﺗﻘــﺎﻃﻊ‬ ‫داده ﺷﺪه در ﻣﻨﺤﻨﯽ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2π‬‬ ‫‪) , r = 4 cos θ − 3 , r = 4 cosθ‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪p ( −2 ,‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫× ‪.(−4‬‬ ‫‪)−2‬‬ ‫‪2−2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪=o‬‬ ‫= ‪m1 = tgd1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫×‪−4‬‬ ‫‪+ 2 × (−‬‬ ‫×‪) − 4‬‬ ‫‪+ 2 × (−‬‬ ‫)‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪−‬‬


‫‪www.FANAVARI-IT.ir‬‬

‫ﻓﺼﻞ دوم‪ :‬ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ‬

‫‪١٣‬‬

‫‪2π‬‬ ‫‪2π‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪cos × (−‬‬ ‫‪) −2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫= ‪m2 = tgd 2‬‬ ‫‪− 3‬‬ ‫‪2π‬‬ ‫‪2π‬‬ ‫‪− 8 sin‬‬ ‫(‪cos + 2‬‬ ‫)‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪× (−‬‬ ‫×‪4‬‬ ‫‪)−2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪3 2 3‬‬ ‫×‪4‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪− 8 sin‬‬

‫‪θ‬‬ ‫‪ .4‬دﻟﻨﻤﺎي ) ‪ r = 2(1 − cosθ‬ﻣﻔﺮوض اﺳﺖ‪ .‬ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ‬ ‫‪2‬‬

‫‪tgβ = tg‬‬

‫ﺣﻞ(‬ ‫‪dr‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪1 − cos θ‬‬ ‫= ‪= 2 sin θ ⇒ tgβ‬‬ ‫=‬ ‫‪dr‬‬ ‫‪dθ‬‬ ‫‪sin θ‬‬ ‫‪dθ‬‬ ‫‪θ‬‬ ‫‪θ‬‬ ‫‪2 sin 2‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫= ‪2‬‬ ‫‪2 = tg θ‬‬ ‫= ‪⇒ tgβ‬‬ ‫‪θ‬‬ ‫‪θ‬‬ ‫‪θ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 cos sin‬‬ ‫‪cos‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ .5‬ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ‪ .‬ﺑـﻪ ازاي ﻫـﺮ ‪ ، a , b‬ﺧﻄـﻮط ﻣﻤـﺎس در ﻫـﺮ ﯾـﮏ از ﻧﻘـﺎط ﺗﻘـﺎﻃﻊ‬ ‫دﻟﻨﻤﺎي زﯾﺮ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪﻧﺪ‪.‬‬


www.FANAVARI-IT.ir

(١) ‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ‬

١٤

r = a (1 + sin θ ) , r = b(1 − sin θ )


‫‪www.FANAVARI-IT.ir‬‬

‫ﻓﺼﻞ دﻫﻢ‬

‫ﮐﺎرﺑﺮدﻫﺎى‬ ‫اﻧﺘﮕﺮال‬


‫‪www.FANAVARI-IT.ir‬‬

‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )‪(١‬‬

‫‪١٦‬‬

‫‪ 5-1-10‬ﺗﻤﺮﯾﻦ ﺻﻔﺤﻪ ‪476‬‬ ‫‪ .1‬ﺳــﻄﺢ ﻣﺤﺼــﻮر ﺑــﻪ ﻧﻤــﻮدار ﺗﻮاﺑــﻊ ‪ x = 2 y2 − y − 2 , x = y2‬را ﻣﺤﺎﺳــﺒﻪ‬ ‫ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬ ‫ﺣﻞ(‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪y = 2 y − y − 2 ⇒ y − y − 2 = o ⇒ y = −1 , y = 2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪y‬‬ ‫‪y‬‬ ‫)‪( y − y − 2)dy = ( − − 2 y‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬

‫∫‬

‫=‪S‬‬

‫‪−1‬‬

‫‪8‬‬ ‫‪−1 1‬‬ ‫‪− 1o 7‬‬ ‫= )‪= ( − 2 − 4) − ( − + 2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3 2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪27 9‬‬ ‫= =‬ ‫‪6 2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ .2‬ﺳـــﻄﺢ ﻣﺤﺼـــﻮر ﺑـــﻪ ﻧﻤـــﻮدار ﺗﻮاﺑـــﻊ ‪ 2 y − y + 3 − x = o , x − y = v‬را‬ ‫ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﮐﻨﯿﺪ‬ ‫ﺣﻞ(‬


‫‪www.FANAVARI-IT.ir‬‬

‫‪١٧‬‬

‫ﻓﺼﻞ دوم‪ :‬ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ‬ ‫‪x = v + y , x = 2 y2 − y + 3‬‬

‫‪v + y = 2 y2 − y + 3 ⇒ 2 y2 − 2 y − 4 = o ⇒ y2 − y − 2 = o y = −1 , y = 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪s = ∫ (2 y2 − 2 y − 4)dy = ( y 3 − y2 − 4 y‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪−1‬‬

‫‪16‬‬ ‫‪−2‬‬ ‫‪− 12) − ( − 1 − 4) = 6 − 12 + 5 = 1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫(=‬

‫‪ .3‬ﺳــﻄﺢ ﻣﺤﺼــﻮر ﺑــﻪ ﻧﻤــﻮدار ﺗﻮاﺑــﻊ ‪ y = sin x , y = cos x‬را در ﻓﺎﺻــﻠﻪ‬ ‫‪ o ≤ x ≤ 2π‬ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬ ‫‪(sin x − cos x)dx‬‬

‫‪3π‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪4‬‬

‫∫‬

‫‪(cos x − sin x)dx +‬‬

‫‪π‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪o‬‬

‫‪(sin x − cos x)dx‬‬

‫∫‬

‫=‪s‬‬

‫‪2π‬‬ ‫‪3π‬‬ ‫‪4‬‬

‫∫‬

‫‪+‬‬

‫‪s=3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ .4‬ﺳــﻄﺢ ﻣﺤﺼــﻮر ﺑــﻪ ﻧﻤــﻮدار ﺗﻮاﺑــﻊ ‪ y = 4 − x , y = x − 2 x‬را ﻣﺤﺎﺳــﺒﻪ‬ ‫ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬ ‫ﺣﻞ(‬


‫‪www.FANAVARI-IT.ir‬‬

‫‪١٨‬‬

‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )‪(١‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪x − 2 x = 4 − x ⇒ 2x − 2 x − 4 = o‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪⇒ x − x − 2 = o ⇒ x = −1 , x = 2‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 3‬‬ ‫) ‪(4 − 2x + 2 x)dx = (4 x − x + x‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪16‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪16 29‬‬ ‫= ‪+ 4 + 4 − − 1 = 15 −‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫∫‬

‫=‪s‬‬

‫‪=8−‬‬

‫‪ .5‬ﻣﻄﻠﻮب اﺳﺖ ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﻣﺴﺎﺣﺖ ﻧﺎﺣﯿﻪ ﻣﺤﺪود ﺑﻪ ﺧﻄﻮط ‪ x = 2 , x = o‬و‬ ‫ﻣﻨﺤﻨﯽ ﻫﺎي‬

‫‪2‬‬

‫‪y = 2x , y = 2 x − x‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪s = (2 x − x − 2 x)dx = −‬‬ ‫=‬ ‫‪o‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫∫‬

‫‪ .6‬ﺳـــﻄﺢ ﻣﺤﺼـــﻮر ﺑـــﻪ ﻧﻤـــﻮدار ﺗﻮاﺑـــﻊ ‪ x = 2 y , x = 1 − 3 y‬را ﻣﺤﺎﺳـــﺒﻪ‬ ‫ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬ ‫ﺣﻞ(‬


‫‪www.FANAVARI-IT.ir‬‬

‫ﻓﺼﻞ دوم‪ :‬ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪⇒ y=±‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪(1 − 3 y2 − 2 y2 )dy‬‬

‫)‬

‫‪2‬‬ ‫‪15 5‬‬

‫‪−‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪5 5‬‬

‫‪5‬‬

‫‪١٩‬‬

‫= ‪2 y2 = 1 − 3 y2 ⇒ y2‬‬ ‫‪1‬‬

‫∫‪(1− 3 y2 − 2 y2 )dy = 2‬‬

‫‪o‬‬

‫‪−‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪1‬‬ ‫(‪5 = 2‬‬

‫∫=‪s‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪−‬‬

‫‪5‬‬

‫‪2‬‬ ‫) ‪= 2 ( y − y − y3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪o‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ .7‬ﻣﻄﻠﻮب اﺳﺖ ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﻣﺴﺎﺣﺖ ﻧﺎﺣﯿﻪ ﻣﺤﺪود ﺑﻪ ﺳﻬﻤﯽ ‪, x = 4 y‬‬

‫‪8‬‬

‫‪2‬‬

‫=‪y‬‬

‫‪x +4‬‬

‫ﺣﻞ(‬ ‫‪8‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪= 2‬‬ ‫‪⇒ x4 + 4x2 − 32 = o‬‬ ‫‪4 x +4‬‬ ‫‪⇒ ( x2 + 8)( x2 − 4) = o ⇒ x = ±2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 x‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪)dx = 2∫ 2‬‬ ‫‪s = ∫ (− + 2‬‬ ‫∫‪dx − 2‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪−2‬‬ ‫‪o x +4‬‬ ‫‪o 4‬‬ ‫‪4 x +4‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪x3‬‬ ‫‪= 8tg ( ) −‬‬ ‫‪2 o 6‬‬ ‫‪−1‬‬

‫‪= 2π −‬‬ ‫‪o‬‬

‫‪ .8‬ﻣﺴﺎﺣﺖ ﻗﺴﻤﺘﯽ از رﺑـﻊ اول را ﮐـﻪ داﺧـﻞ داﯾـﺮه ‪ x2 + y2 = 3‬و ﻣﺤـﺪود ﺑـﻪ‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫ﺳﻬﻤﯽ ﻫﺎي ‪ x = 2 y , y = 2 x‬ﻣﯽ ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﺣﺴﺎب ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬


‫‪www.FANAVARI-IT.ir‬‬

‫‪٢٠‬‬

‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )‪(١‬‬

‫ﺣﻞ( اﯾﻦ ﻣﺴﺎﺣﺖ ﺑﺎ اﻧﺘﮕﺮال دوﮔﺎﻧﻪ در رﯾﺎﺿﯽ ‪ 2‬ﺣﻞ ﻣﯽ ﺷﻮد‪.‬‬ ‫‪ .9‬ﻣﺴﺎﺣﺖ ﻧﺎﺣﯿﻪ اي را ﺣﺴـﺎب ﮐﻨﯿـﺪ ﮐـﻪ ﺑـﻪ ﺧﻄـﻮط ‪ y = x + 1 , y = cos x‬و‬ ‫ﻣﺤﻮر ‪ x‬ﻫﺎ ﻣﺤﺪود اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﺣﻞ( ﺻﻮرت ﺳﺆال اﺷﺘﺒﺎه اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ .10‬ﻣﻄﻠﻮب اﺳﺖ ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﻣﺴﺎﺣﺖ ﺑﯿﻦ ﻣﻨﺤﻨﯽ ‪x = 2 , y = x − x‬‬

‫ﺣﻞ(‬ ‫‪x = 2 ⇒ y2 = 8 − 4 = 4 ⇒ y = ±2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪x3 − x2 dx = 2∫ x 1 − x‬‬ ‫‪o‬‬

‫∫‪s = 2‬‬

‫‪o‬‬

‫‪1 − x = u ⇒ dx = −2udu‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪u3 u5‬‬ ‫) ‪s = −4∫ u (1 − u )du = −4 ( −‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5 o‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1 1 16‬‬ ‫= ) ‪= 8( −‬‬ ‫‪3 5 15‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ .11‬ﻣﺴﺎﺣﺖ ﺑـﯿﻦ ﻣﻨﺤﻨـﯽ ﻫـﺎي ‪ y = ( x − 4) , y = 16 − x‬و ﻣﺤـﻮر ‪ x‬ﻫـﺎ را‬ ‫ﺗﻌﯿﻦ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬ ‫ﺣﻞ(‬


‫‪www.FANAVARI-IT.ir‬‬

‫‪٢١‬‬

‫ﻓﺼﻞ دوم‪ :‬ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ‬

‫‪16 − x2 = ( x − 4)2‬‬ ‫‪16 − x2 = x2 − 8 x + 16 ⇒ 2x2 − 8 x = o ⇒ x = o , 4‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪x3 ( x − 4)3‬‬ ‫‪(16 − x − ( x − 4) )dx = 16 x −‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪o‬‬

‫‪2‬‬

‫‪64 64‬‬ ‫‪)+‬‬ ‫‪= 64‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫∫=‪s‬‬

‫‪o‬‬

‫‪= (64 −‬‬

‫‪ .12‬ﻣﻄﻠﻮب اﺳﺖ ﻣﺴﺎﺣﺖ ﻣﺤﺪود ﺑﻪ ﻣﻨﺤﻨﯽ ‪ y = x4 − 2x2 + 3‬و ﻣﺤﻮر ‪ x‬ﻫﺎ ﮐﻪ‬ ‫ﺑﯿﻦ ﻋﺮض ﻫﺎي ﻧﻘﺎط ﻣﯽ ﻧﯿﻤﻢ )‪ y(x‬واﻗﻊ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﺣﻞ(‬ ‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫)‪y′ = 4 x − 6 x + 2x = x( x − 1)(4 x − 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ‪⇒ x = o , x =1 , x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪49‬‬ ‫=‪y=3 , y=3 , y‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ .13‬ﻣﺴﺎﺣﺖ ﻣﺤﺪود ﺑﻪ ﻧﻤﻮدار ﺗﺎﺑﻊ )‪ ( y − 1) = x − 1 , x = 2( y − 1‬را ﻣﺤﺎﺳـﺒﻪ‬ ‫ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬ ‫ﺣﻞ(‬


‫‪www.FANAVARI-IT.ir‬‬

‫‪٢٢‬‬

‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )‪(١‬‬ ‫‪x = 2( x − 1) ⇒ X = 2‬‬ ‫‪( y − 1)2 = 1 ⇒ y = o , y = 2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪s = ∫ (1 + ( y − 1)2 − 2( y − 1)2 )dy = ∫ (1 − ( y − 1)2 dy‬‬ ‫‪o‬‬

‫‪o‬‬

‫‪1 1 4‬‬ ‫= ‪= (2 − ) −‬‬ ‫‪3 3 3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪o‬‬

‫‪( y − 1) 3‬‬ ‫)‬ ‫‪3‬‬

‫‪= (y −‬‬

‫‪ .14‬ﺳﻄﺢ ﻣﺤﺼﻮر ﺑﻪ ﻧﻤﻮدار ‪ y = chx‬و ﺧﻂ ‪ x = 1‬و ﻣﺤـﻮر ‪ x‬ﻫـﺎ را ﺣﺴـﺎب‬ ‫ﮐﻨﯿﺪ‬ ‫ﺣﻞ( ﻣﺴﺎﺣﺘﯽ وﺟﻮد ﻧﺪارد‪.‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪ .15‬ﻣﺴﺎﺣﺖ ﻫﺎي دو ﻧﺎﺣﯿﻪ اي را ﮐﻪ ﺳﻬﻤﯽ ‪ y = x2‬درون داﯾـﺮه ‪x2 + y2 = 8‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﺗﻘﺴﯿﻢ ﻣﯽ ﮐﻨﺪ ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬ ‫ﺣﻞ(‬ ‫‪2‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‪y‬‬ ‫‪⇒x +‬‬ ‫‪= 8 ⇒ x + 4 x − 32 = o‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪⇒ ( x + 8)( x − 4) = o ⇒ x = ±2‬‬

‫ﻣﺴﺎﺣﺖ ﻧﯿﻢ داﯾﺮه ﺑﺎﻻﯾﯽ ﺑﺮاﺑﺮ ﻧﺼﻒ ‪ 8π = π (2 2 )2‬اﺳﺖ ﯾﻌﻨﯽ ‪ 4π‬اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪ .16‬ﻣﺮاﮐﺰ دو ﻗﺮص ﻣﺴﺘﺪﯾﺮ ﺑـﻪ ﺷـﻌﺎع واﺣـﺪ در ﻓﺎﺻـﻠﻪ ‪ 2a‬از ﻫـﻢ ﻗـﺮار دارﻧـﺪ‬


‫‪www.FANAVARI-IT.ir‬‬

‫‪٢٣‬‬

‫ﻓﺼﻞ دوم‪ :‬ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ‬

‫)‪ (o < a < 1‬ﻣﺴﺎﺣﺖ ﻧﺎﺣﯿﻪ اي را ﺑﯿﺎﺑﯿﺪﮐﻪ ﻣﺤﺪود ﺑﻪ دو ﻗﺮص اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫ﺣﻞ( داﯾﺮه ﻫﺎي ‪ ( x + 1) + y = 1 , ( x − 1) + y = 1‬را در ﻧﻈﺮ ﻣـﯽ ﮔﯿـﺮﯾﻢ ﺧـﻂ‬ ‫‪ x = 1 − a‬وﺗــﺮ ﻣﺸــﺘﺮك دوداﯾــﺮه اﺳــﺖ‪ .‬ﺑــﻪ ﻋﻠــﺖ ﺗﻘــﺎرن ﻣﺴــﺎﺣﺖ ﺑــﯿﻦ‬ ‫‪ ( x − 1)2 + y2 = 1‬و ﺧﻂ را ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ و دو ﺑﺮاﺑﺮ ﻣﯽ ﮐﻨﯿﻢ‬ ‫‪x = 1 − a ⇒ (1 − a − 1)2 + y2 = 1 ⇒ y = ± 1− a 2‬‬ ‫‪(1 − a − (1− 1− y2 )dy‬‬

‫‪1− a 2‬‬

‫∫‪s = 2‬‬

‫‪− 1− a 2‬‬

‫)‪adv‬‬

‫‪1− a 2‬‬

‫∫ ‪cos2 θ dθ −‬‬

‫‪o‬‬

‫‪sin −1 1− a 2‬‬

‫∫ (‪( 1− y2 − a )dy = 4‬‬

‫‪o‬‬

‫‪1− a 2‬‬

‫∫‪= 4‬‬

‫‪o‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫) ‪= 4( sin −1 ( 1 − a 2 ) + sin 2(sin −1 1 − a 2 ) − a 1− a 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪ (18‬اﮔﺮ ‪ α > o) g ( x) = x , f ( x) = αx‬ﺛﺎﺑﺖ( اﻧﮕﺎه ﻣﺴﺎﺣﺖ ﻣﺤﺼـﻮر ﺑـﻪ دو‬ ‫ﻣﻨﺤﻨﯽ را ﺣﺴﺎب ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬ ‫ﺣﻞ(‬


‫‪www.FANAVARI-IT.ir‬‬

‫‪٢٤‬‬

‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )‪(١‬‬ ‫‪α x = x3 ⇒ x = o , x = α , x = − α‬‬ ‫)‪( x3 − α x‬‬ ‫‪α‬‬

‫‪α‬‬

‫∫‬

‫‪o‬‬

‫‪(α x − x3 )dx +‬‬

‫‪o‬‬

‫∫‬

‫‪− α‬‬

‫‪x4‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫) ‪( x − α x)dx = 2 ( − α‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2 o‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪α‬‬

‫=‪s‬‬

‫∫‪=2‬‬

‫‪o‬‬

‫‪α2 α2 α2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫(‪=2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ (19‬ﻣﺴــﺎﺣﺖ ﻣﺤﺼــﻮر ﺑــﻪ ﻧﻤــﻮدار ‪ x y + 4 y − 12 = o‬و ﻣﺤــﻮر ﻣﺨﺘﺼــﺎت و‬ ‫ﺧﻂ ‪ x = 2‬را ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪4 + x2‬‬

‫= ‪y( x2 + 4) = 12 ⇒ y‬‬

‫‪2‬‬

‫‪12‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪π 3π‬‬ ‫= ‪dx = 6tg −1 ( ) = 6‬‬ ‫‪4+ x‬‬ ‫‪2 o‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫∫ =‪s‬‬

‫‪o‬‬

‫‪3‬‬

‫‪ .20‬ﻣﺴــﺎﺣﺖ ﻣﺤﺼــﻮر ﺑــﻪ ﻧﻤــﻮدار ﺗﻮاﺑــﻊ ‪ x = y , y = x , x + y = 2‬را‬ ‫ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪s1 = ∫ (2 − y − 3 y )dy‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪s2 = ∫ (2 − y − 3 y )dx‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪4‬‬

‫‪y2 3 3‬‬ ‫‪1 3 3‬‬ ‫= ‪− y ) = 2− −‬‬ ‫‪s1 = s2 = (2 y −‬‬ ‫‪2 4‬‬ ‫‪4 4 4‬‬ ‫‪o‬‬


www.FANAVARI-IT.ir

٢٥

‫ ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ‬:‫ﻓﺼﻞ دوم‬

480 ‫ﺗﻤﺮﯾﻦ ﺻﻔﺤﻪ‬ .‫ﻣﺴﺎﺣﺖ ﺳﻄﺢ ﻣﺤﺼﻮر را ﺑﯿﺎﺑﯿﺪ‬ .1  x = t2 −1 −1 ≤ t ≤ 1 , c :  3 y = t − t g (t ) = t 3 − t ⇒ g (−1) = −2, g (1) = o f (t ) = t 2 − 1 ⇒ f ′(t ) = 2t o

s = ∫ (t 3 − t )(2t )dt = −2

2 5 2 3 t − t 5 3

o

−2

64 16 192 − 18 o 112 − = = 5 3 15 15  x = cos t o≤t ≤2 , c: 2  y = sin t cos t =

x4 + y2 = x2

" .‫ﺷﮑﻞ ﮐﺎﻣﻼً ﻣﺘﻘﺎرن اﺳﺖ‬


www.FANAVARI-IT.ir

(١) ‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ‬

٢٦

π 4 o

s = 4∫ cos t (cos 3 t − 2 sin 2 t cos t )dt π 2 o

π 2 o

= 4∫ cos tdt − 8∫ sin 2 t cos2 tdt π 2 o

4

π

1 cos tdt = ∫ 2 (1+ 2 cos 2t + cos2 2t )dt 4 o 4

π 2 1 1 1 = (t + sin 2t + t + sin 4t ) 4 2 8 o

1 π π 3π = ( + )= 4 2 4 16

.‫را ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﮐﻨﯿﺪ‬ x = a cos t y = b sin t s=4

π 2 o

= 2ab ×

o ≤ t ≤ 2π

x2 y2 + = 1 ‫( ﻣﺴﺎﺣﺖ ﺑﯿﻀﯽ‬3 a 2 b2

:‫ﺣﻞ( ﺑﯿﻀﯽ را ﺑﻪ ﺻﻮرت زﯾﺮ ﭘﺎراﻣﺘﺮي ﻣﯽ ﮐﻨﯿﻢ‬

− b sin t (a sin t )dt = − 2ab

π 2 o

(1 − cos 2t )dt

π = πab 2 2 3

2 3

.‫ را ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﮐﻨﯿﺪ‬x + y = a

2 3

‫( ﻣﺴﺎﺣﺖ ﻣﺤﺪود ﺑﻪ‬4

.‫ ﻣﺴﺎﺣﺖ ﻣﺤﺪود ﺑﻪ ﯾﮏ ﻗﻮس ﺳﯿﮑﻠﻮﺋﯿﺪ زﯾﺮ را ﺑﺪﺳﺖ آورﯾﺪ‬.5 c:

x = a (t − sin t ) y = a (1 − cos t )


‫‪www.FANAVARI-IT.ir‬‬

‫‪٢٧‬‬

‫ﻓﺼﻞ دوم‪ :‬ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ‬ ‫‪π‬‬

‫‪��‬‬

‫‪s = ∫ 2 a (1 − cos t )2 dt = a ∫ 2 (1− 2 cos t + cos 2 )dt‬‬ ‫‪o‬‬

‫‪o‬‬

‫‪π‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪3π‬‬ ‫= ) ‪= (t − 2 sin t + t + sin 2t‬‬ ‫‪−2‬‬ ‫‪2 4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪o‬‬

‫ﺗﻤﺮﯾﻦ ﺻﻔﺤﻪ ‪483‬‬ ‫‪ .1‬ﻣﺴﺎﺣﺖ ﻧﺎﺣﯿﻪ اي از ﺻﻔﺤﻪ را ﮐﻪ ﺑﯿﻦ اوﻟﯿﻦ و دوﻣـﯿﻦ دور از ﭘـﯿﭻ ارﺷـﻤﯿﺪس‬ ‫‪ r = a θ‬واﻗﻊ اﺳﺖ‪ (a > o) .‬ﭘﯿﺪا ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬ ‫‪4π‬‬

‫‪1a 3‬‬ ‫‪16 4 3‬‬ ‫= ‪(aθ )dθ‬‬ ‫‪θ‬‬ ‫=‬ ‫‪aπ‬‬ ‫‪23 o‬‬ ‫‪2 3‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪4π‬‬

‫∫‬

‫‪o‬‬

‫‪1‬‬ ‫=‪s‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ .2‬ﻣﻄﻠﻮب اﺳﺖ ﺳﻄﺢ ﻣﺤﺪود ﺑﻪ ‪r = sin 2θ‬‬

‫ﺣﻞ( ﺑﻪ ﻋﻠﺖ ﺗﻘﺎرن ﮐﺎﻣﻞ دارﯾﻢ‪:‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪2‬‬

‫= ‪(1 − cos 4θ )dθ‬‬

‫‪π‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪o‬‬

‫∫‬

‫‪2‬‬

‫= ‪(sin 2θ ) dθ‬‬

‫‪π‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪o‬‬

‫∫‬

‫‪1‬‬ ‫‪s = ×4‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ .3‬ﻣﺴﺎﺣﺖ داﺧﻞ داﯾﺮه ‪ r = 3 cosθ‬و ﺧﺎرج دﻟﻨﻤﺎي ‪ r = 1 + cosθ‬را ﺑﯿﺎﺑﯿﺪ‬ ‫ﺣﻞ(‬


‫‪www.FANAVARI-IT.ir‬‬

‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )‪(١‬‬

‫‪٢٨‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪⇒θ = ±‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬

‫= ‪3 cos θ = 1+ cos θ ⇒ cos θ‬‬ ‫‪π‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪s = ∫ 3π ((3 cos θ )2 − (1 + cos)2 )dθ‬‬ ‫‪2 −3‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫) ‪(2 cos 2 θ − 2 cos θ − 1)dθ = (θ + sin 2θ − 2 sin θ − θ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪o‬‬

‫‪π‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪o‬‬

‫∫=‬

‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫=‪− 3⇒s‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪ .4‬ﻣﺴﺎﺣﺖ ﻣﺤﺼﻮر ﺑﻪ ‪ r = e2θ‬و ﺧﻄﻮط ‪. θ = 2π , θ = o‬‬ ‫‪1 4π‬‬ ‫)‪(e − 1‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪2π‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪e dθ = e2π‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪4θ‬‬

‫=‬ ‫‪o‬‬

‫‪2π‬‬

‫∫‬

‫‪o‬‬

‫‪1‬‬ ‫=‪s‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ .5‬ﻣﻄﻠﻮب اﺳﺖ ﻣﺴﺎﺣﺖ داﺧﻞ داﯾﺮه ‪ r = 1‬و ﺧﺎرج دﻟﻨﻤﺎي ‪. r = 1 − cosθ‬‬ ‫‪3π‬‬ ‫‪π‬‬ ‫ﺣﻞ( دو ﻧﻤﻮدار ﻫﻤﺪﯾﮕﺮ را در = ‪, θ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪π‬‬ ‫ﺑﻪ ﻋﻠﺖ ﺗﻘﺎرن‪ ،‬ﻣﺴﺎﺣﺖ در ﻓﺎﺻﻠﻪ‬ ‫‪2‬‬

‫= ‪ θ‬ﻗﻄﻊ ﻣﯽ ﮐﻨﻨﺪ‪.‬‬

‫≤ ‪ o ≤ θ‬را ﺣﺴﺎب ﮐﺮده‪ ،‬دو ﺑﺮاﺑﺮ ﻣﯽ ﮐﻨﯿﻢ‪.‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪(1 − (1 − cos θ )) dθ‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪=2−‬‬

‫‪π‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪o‬‬

‫∫‬

‫‪2‬‬

‫‪π‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪o‬‬

‫∫‬

‫‪1‬‬ ‫×‪s = 2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫) ‪(2 cos θ − cos θ )dθ = (2 sin θ − θ − sin 2θ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪π‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪o‬‬

‫∫‬

‫=‬

‫‪ .6‬ﻣﻄﻠﻮب اﺳﺖ ﻣﺴﺎﺣﺖ ﻧﺎﺣﯿﻪ ﻣﺸﺘﺮك ﺑﻪ دو ﻣﻨﺤﻨﯽ ‪. r = sin 2θ , r = cos 2θ‬‬ ‫ﺣﻞ( ﺑﻪ ﻋﻠﺖ ﺗﻘﺎرن‪ ،‬ﻣﺴﺎﺣﺖ را در رﺑﻊ اول ﺣﺴﺎب ﮐﺮده‪ ،‬ﭼﻬﺎر ﺑﺮاﺑﺮ ﻣﯽ ﮐﻨﯿﻢ‪.‬‬


‫‪www.FANAVARI-IT.ir‬‬

‫‪٢٩‬‬

‫ﻓﺼﻞ دوم‪ :‬ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ‬

‫‪ .7‬ﻣﺴﺎﺣﺖ ﻧﺎﺣﯿﻪ ﺑﯿﻦ ‪ r = 6 sin θ , r = 6 cosθ‬را ﺣﺴﺎب ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬ ‫‪2‬‬

‫) ‪(6 sin θ‬‬

‫‪π‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪o‬‬

‫‪(1 − cos 2θ )dθ‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪o‬‬

‫∫‬

‫∫‬

‫‪S=2‬‬

‫‪π‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪o‬‬

‫∫‬

‫‪=6‬‬

‫) ‪= 6(θ − 2 sin 2θ‬‬ ‫‪π‬‬ ‫)‪− 2‬‬ ‫‪4‬‬

‫(‪= 6‬‬

‫‪ .8‬ﻣﺴﺎﺣﺖ ﻧﺎﺣﯿﻪ داﺧﻞ ‪ r 2 = a 2 cos 2θ‬را ﺑﺪﺳﺖ آورﯾﺪ‪.‬‬ ‫ﺣﻞ(‬ ‫‪π‬‬

‫‪π‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪o‬‬

‫‪S = 4∫ a 2 cos 2θ = 4a 2 s in 2θ o4 = 4a 2‬‬

‫‪ .9‬ﻣﺴﺎﺣﺖ ﻧﺎﺣﯿﻪ ‪ r = 1 + sin θ‬را ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﺣﻞ ﻃﺒﻖ ﻣﺜﺎل ‪ 3-3-10‬ﺑﺮاﺑﺮ ‪ π‬اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪ .10‬ﻣﺴــﺎﺣﺖ ﻣﺤــﺪود ﺑــﻪ درون ‪ r 2 = sin 2θ‬و داﯾــﺮه ‪ r = 2 sin θ‬را ﻣﺤﺎﺳــﺒﻪ‬ ‫ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬


www.FANAVARI-IT.ir

(١) ‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ‬ 1 s= 2

π 2 o

2 sin 2 θ − sin 2θ )dθ

1 1 1 1 = ( θ − sin 2θ + cos 2θ ) 2 2 4 2 =

٣٠

π 2 o

1 π 1 1 1 π ( − − ) = ( − 1) 2 4 2 2 2 4

. 489 ‫ﺗﻤﺮﯾﻦ ﺻﻔﺤﻪ‬ .‫ ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﮐﻨﯿﺪ‬o ≤ θ ≤ π ‫ را در ﻓﺎﺻﻠﻪ‬r = a sin 3

θ ‫ ﻃﻮل ﻣﻨﺤﻨﯽ‬.1 3

(‫ﺣﻞ‬ s=

π

∫o

2

2

(dr ) + r (dθ ) =

∫o

2

a sin

4

2θ 2 6 θ θ cos + a sin 3 3 2

2 θ a π θ dθ = (1 − cos )dθ o 3 2 o 3 a 3 2θ π a 3 3 ) = (θ − sin ) = (π − 2 2 3 o 2 4

=

π

a sin

2

π

.‫ ﺑﯿﺎﺑﯿﺪ‬o ≤ θ ≤

π ‫ را در ﻓﺎﺻﻠﻪ‬r = 2a cos2 θ ‫ ﻣﻄﻠﻮب اﺳﺖ ﻃﻮل ﻗﻮس‬.2 4

(‫ﺣﻞ‬


www.FANAVARI-IT.ir

٣١

‫ ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ‬:‫ﻓﺼﻞ دوم‬

d = −2a sin 2θ dθ π s= 4 o π = 2a 4 o

2

2

2

4

4 a sin 2θ + 4a cos θ dθ = 2a 2

cos θ 3 sin θ + 1dθ = 2a

3u = tgt =

2

1 + 3u du =

∫o

1

2

π 4 o

2

2

cosθ 4 sin θ + cos θ dθ 2

1 + 3u du

3 1 sec θdθ 3

.‫ را ﺑﯿﺎﺑﯿﺪ‬r = a (1 − cosθ ) ‫ ﻃﻮل دﻟﻮار‬.3 2 2 2 2 2 dr dr 2 2 = a sin θ ⇒ ( ) + r = a sin θ + a cos θ + a dθ dθ

s =2

π

∫o

2

2a dθ = 2 2a π

(‫ﺣﻞ‬

.‫ ﻃﻮل ﻣﻨﺤﻨﯽ ﻫﺎي زﯾﺮ را در ﺑﺎزه داده ﺷﺪه ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﮐﻨﯿﺪ‬.4 o ≤ t ≤ 2π , y = sin 2t , x = cos 2t (‫اﻟﻒ‬

(‫ﺣﻞ‬ s=4

π 2 o

2

2

sin 2t + cos 2t dt = 2π 3

3

o ≤ θ ≤ 2π , y = a sin θ , x = a cos θ

(‫ب‬ (‫ﺣﻞ‬


www.FANAVARI-IT.ir

(١) ‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ‬

٣٢

dx dy = −3a cos 2 θ sin θ , = 3a sin 2 θ cos θ dθ dt π 2 o

s = 4∫

sin 2 θ 3a sin θ cos θ dθ = 12a 2

π 2

= 6a

o

،‫( واﻗﻊ اﺳﺖ‬4 , 8) ‫( و‬o , o) ‫ را ﮐﻪ ﺑﯿﻦ ﻧﻘﺎط‬y2 = x3 ‫ ﻃﻮل ﻗﺴﻤﺘﯽ از ﻣﻨﺤﻨﯽ‬.5 .‫ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﮐﻨﯿﺪ‬ y = x ⇒ 2 yy′ = 3 x2 ⇒ y′ = 2

3

⇒ 1 + ( y′)2 = 1 +

3 x2 9x4 2 ′ ⇒ (y ) = 2 2y 4y

9 x 4 4

s=∫

4

o

=

9 2 4 9 9 1 + xdx = × (1 + x ) 1 + x 4 3 9 4 4 o

8 (1o 1o − 1) 27

.‫ ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﮐﻨﯿﺪ‬o ≤ x ≤

π ‫ را در ﻓﺎﺻﻠﻪ‬y = ln cos x ‫ ﻃﻮل ﻣﻨﺤﻨﯽ‬.6 4

(‫ﺣﻞ‬

π

y′ = −tgx ⇒ s = ∫ 4 sec xdx o

⇒ s = ln sec x + tgx 1 2

π 4 o

= ln

2 +1 1 2

‫ را ﻣﺤﺎﺳـﺒﻪ‬B (1 , ) ‫ ﺗﺎ ﻧﻘﻄﻪ‬A(o , o) ‫ از ﻧﻘﻄﻪ‬y = x2 ‫ ﻃﻮل ﻗﻮس ﻣﻨﺤﻨﯽ‬.7


www.FANAVARI-IT.ir

٣٣

‫ ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ‬:‫ﻓﺼﻞ دوم‬

.‫ﮐﻨﯿﺪ‬ (‫ﺣﻞ‬ y′ = x ⇒ s = ∫

−1

o

∫ sec

3

π 4 o

1+ x dx = ∫ sec3 θ dθ 2

θ dθ = ∫ sec2 θ .sec θ dθ = tgθ .sec θ − ∫ tg 2θ .sec θ dθ

= tgθ . sec θ − ∫ sec 3 θ dθ + ∫ sec θ dθ

∫ sec

3

1 1 θ dθ = tgθ . sec θ + ln sec θ + tgθ 2 2 π

4 1 1 s = ( tgθ sec θ + ln sec θ + tgθ ) 2 2 o

=(

2 1 + ln 2 ) 4 2

‫( را ﺑـﻪ دﺳـﺖ‬27 , 18) ‫( ﺗﺎ ﻧﻘﻄـﻪ‬1 , 2) ‫ از ﻧﻘﻄﻪ‬y 3 = 8x2 ‫ ﻃﻮل ﻗﻮس ﻣﻨﺤﻨﯽ‬.8 .‫آورﯾﺪ‬ (‫ﺣﻞ‬


‫‪www.FANAVARI-IT.ir‬‬

‫‪٣٤‬‬

‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )‪(١‬‬ ‫‪16 x‬‬ ‫‪3 y2‬‬

‫= ‪3 y2 y′ = 16 x ⇒ y′‬‬

‫‪dx 3 y2‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪9 y4‬‬ ‫‪9× 8 y‬‬ ‫=‬ ‫= ‪⇒ ( )2‬‬ ‫=‬ ‫‪2 2‬‬ ‫‪dy 16 x‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫‪(16) x‬‬ ‫‪(16)2‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪1 + ( )2 = 1+‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪32‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫‪18‬‬

‫‪9‬‬ ‫‪2 32‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪ydy = × (1 +‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪1+‬‬ ‫‪32‬‬ ‫‪3 9‬‬ ‫‪32 2‬‬

‫‪18‬‬

‫∫=‪s‬‬

‫‪2‬‬

‫‪64‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪9‬‬ ‫) ‪× 18 − (1 + ) 1+‬‬ ‫‪((1+‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪32‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪16‬‬

‫=‬

‫‪ .9‬ﻃﻮل ﻗﻮس ﻣﻨﺤﻨﯽ ‪ 6 xy = y4 + 3‬را در ﻓﺎﺻﻠﻪ ‪ 1 ≤ y ≤ 2‬ﺑﻪ دﺳﺖ آورﯾﺪ‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪y3‬‬ ‫‪dx y2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫⇒‬ ‫=‬ ‫‪− 2‬‬ ‫‪6 2y‬‬ ‫‪dy 2 2 y‬‬

‫=‪x‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪dx 2‬‬ ‫‪y2‬‬ ‫‪1 + ( ) = ( + 2 )2‬‬ ‫‪2 2y‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪8 1‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪7 1‬‬ ‫‪y2‬‬ ‫‪y3 1‬‬ ‫‪( + 2 )dy = ( + ) = ( − ) − ( − ) = +‬‬ ‫‪2 2y‬‬ ‫‪6 2y 1‬‬ ‫‪6 4‬‬ ‫‪6 2‬‬ ‫‪6 4‬‬

‫‪2‬‬

‫∫=‪s‬‬

‫‪1‬‬

‫‪ .10‬ﻃﻮل ﻗﻮس ﻗﺴﻤﺘﯽ از ﻣﻨﺤﻨﯽ ‪ 9 y2 = 4(1 + x2 ) 3‬ﮐـﻪ در رﺑـﻊ اول از ‪ x = o‬ﺗـﺎ‬ ‫‪ x = 2 2‬واﻗﻊ اﺳﺖ ﺗﻌﯿﻦ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬


www.FANAVARI-IT.ir

٣٥

‫ ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ‬:‫ﻓﺼﻞ دوم‬ 2 2

2 2

4 x(1 + x ) 18 yy′ = 24 x(1 + x ) ⇒ y′ = 3y 2

2

( y′) =

2 4

16 x (1 + x ) 2

9y s=

2 2

∫o

2

2

= 4 x (1 + x )

2

2

1 + 4 x (1 + x )dx

‫ ﻃﻮل ﻗﻮس ﻣﻨﺤﻨﯽ ﻣﻘﺎﺑـﻞ را‬.11 dx dy = et (cos t − sin t ), = et (sin t + cos t ) dt dt s=∫

4

o

2e dt = 2e t

t

4 o

= 2(e − 1) 4

:.‫ﺑﯿﺎﺑﯿــــــــــــــــــــــــــﺪ‬ t

C:

x = e cos t t

y = e sin t

, o≤t ≤4

(‫ﺣﻞ‬

:‫ را ﺑﻪ دﺳﺖ آورﯾﺪ‬c ‫ ﻃﻮل ﻗﻮس ﻣﻨﺤﻨﯽ‬.12 2

C : x = ln 1 + t , o ≤ t ≤ 1 −1

y = tg t

(‫ﺣﻞ‬


www.FANAVARI-IT.ir

(١) ‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ‬

٣٦

dx t dy 1 , = = 2 dt 1 + t dt 1+ t 2 S=∫

1

o

1

1 t2 1 dt + dt = ∫ = ln (t + 1 + t 2 ) 2 2 2 o 2 (1 + t ) (1 + t ) 1+ t

o

1+ 2 = ln (1 + 2) − ln 2 = ln ( ) 2 3

1 .‫ ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﮐﻨﯿﺪ‬o ≤ x ≤ 3 ‫ را در ﻓﺎﺻﻠﻪ‬y = ( x2 + 2) 2 ‫ ﻃﻮل ﻗﻮس‬.13 3

(‫ﺣﻞ‬ 1 2

2

2

2

2

y′ = x( x + 2) ⇒ 1 + ( y′) = 1 + x ( x + 2) s=

3

∫o

2

2

1 + x ( x + 2) =

3

∫o

2

2

( x + 1) dx =

3

∫o

2

3

3 x ( x + 1) dx = + x = 12 o 3

.‫ ﺗﻌﯿﻦ ﮐﻨﯿﺪ‬2 ≤ x ≤ 3 ‫ را در ﻓﺎﺻﻠﻪ‬y = ln

ex −1 ‫ ﻃﻮل ﻗﻮس‬.14 ex + 1

(‫ﺣﻞ‬ y = ln (e x − 1) ln (e x + 1) ex ex 2e x − = e x − 1 e x + 1 e2 x − 1 4e2 x (e2 x + 1)2 = 1 + ( y′)2 = 1 + 2 x (e − 1)2 (e2 x − 1)2 y′ =

3

s=∫

3

2

= ln

−x x 3e +e e2 x + 1 dx = dx = ln(e x − e − x ) ∫ x −x 2x 2 e −1 e −e 2

e3 − e −3 e 2 − e −2


‫‪www.FANAVARI-IT.ir‬‬

‫ﻓﺼﻞ دوم‪ :‬ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪٣٧‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ .15‬ﻃـﻮل ﻗـﻮس ﻣﻨﺤﻨـﯽ ) ‪ y = t + t , x = (2t + 3‬را در ﻓﺎﺻـﻠﻪ ‪o ≤ t ≤ 3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﺣﻞ(‬

‫‪2‬‬

‫‪(2t + 9) − 78 dt‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ .16‬ﻃﻮل ﻣﻨﺤﻨﯽ‬ ‫‪32x2‬‬

‫‪dy 2‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪= (2t + 3) , = t‬‬ ‫‪dt 3‬‬ ‫‪dt‬‬

‫‪3‬‬

‫‪∫o‬‬

‫‪4 2 1‬‬ ‫= ‪2t + 3 + t‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪∫o‬‬

‫=‪s‬‬

‫‪ y = x4 +‬را در ﻓﺎﺻﻠﻪ ‪ 1 ≤ x ≤ 1o‬ﺣﺴﺎب ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪64x6 − 1‬‬ ‫=‬ ‫‪16 x3‬‬ ‫‪16 x3‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪1 + ( y′)2 = (4x3 +‬‬ ‫)‬ ‫‪16 x3‬‬ ‫‪y′ = 4x3 −‬‬

‫‪10‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪(4x +‬‬ ‫‪)dx = x4 −‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪16 x‬‬ ‫‪32x2‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫) ‪) − (1−‬‬ ‫‪32 o o‬‬ ‫‪32‬‬

‫ﺗﻤﺮﯾﻦ ﺻﻔﺤﻪ ‪. 495‬‬ ‫‪ .1‬ﺣﺠﻢ ﺣﺎدث از دوران ﻧﺎﺣﯿﻪ ‪ OBC‬ﺣﻮل ﺧﻂ ‪ BC‬را ﭘﯿﺪا ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬ ‫ﺣﻞ(‬

‫‪1o‬‬

‫∫=‪s‬‬

‫‪1‬‬

‫‪= (1o4 −‬‬


‫‪www.FANAVARI-IT.ir‬‬

‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )‪(١‬‬

‫‪٣٨‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪4‬‬

‫‪4‬‬

‫‪V = π ∫ ( y − 8) dx = π ∫ ( x − 8)2 dx‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪o‬‬

‫‪4‬‬

‫‪5‬‬

‫‪o‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪x4 32 2‬‬ ‫‪( x − 16 x + 64)dx = ( −‬‬ ‫)‪x + 64x‬‬ ‫‪4 5‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫∫‪=π‬‬

‫‪o‬‬

‫‪ .2‬ﺣﺠﻢ ﺟﺴﻢ ﺣﺎﺻﻞ از دوران ﻧﺎﺣﯿﻪ ﺑﯿﻦ ﺳﻬﻤﯽ ‪ y2 = 4 x‬و ﺧﻂ ‪y = x‬‬

‫ﺣﻮل ﺧﻂ ‪ x = 4‬را ﺑﯿﺎﺑﯿﺪ‪.‬‬ ‫‪ .3‬ﺣﺠﻢ ﻣﺨﺮوط ﻣﺴﺘﺪﯾﺮي ﺑﻪ ﺷﻌﺎع ﻗﺎﻋﺪه ‪ a‬و ارﺗﻔﺎع ‪ h‬را ﺗﻌﯿﻦ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬ ‫ﺣﻞ(‬ ‫‪a‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪h‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪x dx = πa h‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪a‬‬

‫‪2‬‬

‫‪h‬‬

‫‪h‬‬

‫‪∫o‬‬

‫=‪y‬‬

‫‪V =π‬‬

‫‪ .5‬ﻣﻄﻠﻮب اﺳﺖ ﺣﺠﻢ ﺣﺎﺻﻞ از دوران ﻧﺎﺣﯿﻪ ﺑﯿﻦ ﺳـﻬﻤﯽ ‪ y2 = x‬و ﻣﺤـﻮر‬ ‫‪ y‬ﻫﺎ و ﺧﻂ ‪ ، y = 1‬ﺣﻮل ﺧﻂ ‪. y = 2‬‬

‫ﺣﻞ(‬ ‫‪1‬‬

‫‪V = ∫ ((2 − x )2 − (2 − 1)2 )dx‬‬ ‫‪o‬‬

‫‪1‬‬

‫‪8‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪8 1‬‬ ‫) ‪= π ∫ (3 − 4 x + x)dx = π (3 x − x x + ) = π (3 − +‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2 o‬‬ ‫‪3 2‬‬ ‫‪1‬‬


‫‪www.FANAVARI-IT.ir‬‬

‫‪٣٩‬‬

‫ﻓﺼﻞ دوم‪ :‬ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ‬

‫ﺣﺠﻢ ﺣﺎدث از دوران ﻧﺎﺣﯿﻪ ﻣﺤﺪود ﺑﻪ ‪ x = 2 y − y2‬ﺣـﻮل ﻣﺤـﻮر ‪ y‬ﻫـﺎ را‬ ‫ﺗﻌﯿﻦ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪V = π ∫ (2 y − y2 )2 dy = π ∫ (4 y2 − 4 y3 + y4 )dy‬‬ ‫‪o‬‬

‫‪o‬‬

‫‪2‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪32‬‬ ‫‪32‬‬ ‫‪y5‬‬ ‫) ‪= π ( y3 − y4 + ) = π ( − 16 +‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5 o‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ .7‬ﻧﺎﺣﯿﻪ ‪ A‬ﻣﺤﺼﻮر ﺑﻪ ﻣﻨﺤﻨﯽ ‪ y = x‬و ‪ x = o , y = 4 , y = 1‬ﺣﻮل ﻣﺤﻮر‬ ‫‪ x‬ﻫﺎ دوراﻧﻪ ﻣﯽ ﮐﻨﺪ‪ .‬ﺣﺠﻢ ﺟﺴﻢ ﺣﺎدث ﭼﻘﺪر اﺳﺖ؟‬ ‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪−1‬‬

‫���−2‬‬

‫‪V = 2π ∫ (42 − x4 )dx − π ∫ (1 − x4 )dx‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪V = 2π ∫ (16 − x4 )dx − 2π ∫ (1 − x4 )dx‬‬ ‫‪−1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪o‬‬

‫‪2‬‬

‫‪x5‬‬ ‫‪x5‬‬ ‫) ‪= 2π (16 x − ) − 2π ( x −‬‬ ‫‪5 o‬‬ ‫‪5 o‬‬

‫‪32‬‬ ‫‪1‬‬ ‫) ‪) − 2π (1−‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪x2 y2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪ .8‬ﻣﻨﺤﻨﯽ ‪= 1‬‬ ‫‪a 2 b2‬‬

‫ﭼﻘﺪر اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﺣﻞ(‬

‫‪⇒ V = 2π (32 −‬‬

‫را ﺣﻮل ﻣﺤﻮر ‪ x‬ﻫﺎ دوران ﻣﯽ دﻫﯿﻢ‪ ،‬ﺣﺠﻢ ﺣﺎﺻـﻞ‬


‫‪www.FANAVARI-IT.ir‬‬

‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )‪(١‬‬

‫‪٤٠‬‬

‫‪2‬‬

‫)‬ ‫‪2‬‬

‫‪)dx‬‬

‫‪x‬‬

‫‪2‬‬

‫‪a‬‬

‫‪2 a‬‬

‫‪∫o (1 −‬‬

‫‪2‬‬

‫‪)dx = 2πb‬‬

‫‪x‬‬

‫‪2‬‬

‫‪a‬‬

‫‪x‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪y = b (1 −‬‬

‫‪a‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪a‬‬

‫‪∫− a b (1 −‬‬

‫‪V =π‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪= 2π b (a − ) = π b a‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫ﺣﺠﻢ ﺣﺎﺻﻞ از دوران ﺳﻄﺢ ﻣﺤﺼﻮر ﺑﯿﻦ ﻣﻨﺤﻨﯽ ﻫﺎي ‪y = 8 x , y = x‬‬

‫ﺣﻮل ﻣﺤﻮر ‪ x‬ﻫﺎ را ﺣﺴﺎب ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬ ‫‪x4 = 8 x ⇒ x = o , x = 2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪x5‬‬ ‫) ‪(8 x − x )dx = π (4x −‬‬ ‫‪5 o‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪4‬‬

‫‪32‬‬ ‫)‬ ‫‪5‬‬

‫‪2‬‬

‫∫‪V =π‬‬

‫‪o‬‬

‫‪= π (8 −‬‬

‫‪ .10‬ﻧﺎﺣﯿﻪ واﻗﻊ ﺑﯿﻦ ﻣﺤﻮرﻫﺎي ﻣﺨﺘﺼﺎت و ﺳﻬﻤﯽ ‪x + y = a‬‬

‫ﻣﺤﻮر ‪ x‬ﻫﺎ دوران ﻣﯽ دﻫﯿﻢ‪ .‬ﺣﺠﻢ ﺟﺴﻢ ﺣﺎﺻﻞ را ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬ ‫ﺣﻞ(‬

‫را ﺣﻮل‬


‫‪www.FANAVARI-IT.ir‬‬

‫‪٤١‬‬

‫ﻓﺼﻞ دوم‪ :‬ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ‬ ‫‪y = a − x ⇒ y = a + x − 2 ax‬‬ ‫‪y2 = (a + x)2 − 4(a + x) ax + 4ax‬‬ ‫‪a‬‬

‫‪V = π ∫ ((a + x)2 − 4(a + x) ax + 4ax)dx‬‬ ‫‪o‬‬

‫‪a‬‬

‫‪(a + x)3 8‬‬ ‫‪4 2‬‬ ‫( = ‪⇒V‬‬ ‫‪− ax ax − 2 × (ax) 2 + 2ax2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪8a 3 8 3 8 3‬‬ ‫‪8 3‬‬ ‫‪a π‬‬ ‫= ) ‪− a − a + 2a 3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪15‬‬

‫(‪=π‬‬

‫‪ .11‬ﻧﺎﺣﯿﻪ ﺑﯿﻦ ﯾﮏ ﻗﻮس از ﻣﻨﺤﻨـﯽ ‪ y = sin x‬و ﻣﺤـﻮر ﻋـﺮض ﻫـﺎ و ﺧـﻂ‬ ‫‪ y = 1‬را ﺣﻮل ﻣﺤﻮر ‪ y‬ﻫﺎ دوران ﻣﯽ دﻫﯿﻢ ﺣﺠﻢ ﺣﺎﺻﻞ را ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬ ‫‪π‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪π‬‬ ‫)‪− 1‬‬ ‫( ‪x(1 − sin x)dx = 2π ( + x cos x − sin x − sin x) = 2π‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪o‬‬

‫‪π‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪o‬‬

‫∫ ‪V = 2π‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪ .12‬ﺣﺠــﻢ ﺣﺎﺻــﻞ از دوران ﻧﺎﺣﯿــﻪ ﻣﺤــﺪود ﺑــﻪ ﺳــﻬﻤﯽ ‪ y = x2 + 2‬و ﺧــﻂ‬ ‫‪ 5 x − 8 y + 14 = o‬ﺣﻮل ﻣﺤﻮر ‪ x‬ﻫﺎ را ﺑﻪ دﺳﺖ آورﯾﺪ‪.‬‬ ‫ﺣﻞ(‬


‫‪www.FANAVARI-IT.ir‬‬

‫‪٤٢‬‬

‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )‪(١‬‬ ‫‪8 y = 2x2 + 4 ⇒ 5 x + 14 = 2x2 + 4‬‬ ‫‪⇒ 2x2 − 5 x − 1o = o‬‬ ‫‪5 + 1o 5‬‬ ‫‪5 − 1o 5‬‬ ‫=‪, x‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬

‫=‪x‬‬

‫‪5 + 1o 5‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪5 x + 14 2‬‬ ‫( ‪V = π ∫5 − 21o5 ( x2 + 2)2 −‬‬ ‫‪) dx‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﺗﻤﺮﯾﻦ ﺻﻔﺤﻪ ‪. 498‬‬ ‫‪ .1‬در ﯾﮏ ﺟﺴﻢ ﮐﺮوي ﺷﮑﻞ ﺑﻪ ﺷﻌﺎع ‪ 5‬ﺳﺎﻧﺘﯽ ﻣﺘﺮ‪ ،‬ﺣﻔﺮه اي ﺑﻪ ﺷـﻌﺎع ‪ 2‬ﺳـﺎﻧﺘﯽ‬ ‫ﻣﺘﺮ اﯾﺠﺎد ﻣﯽ ﮐﻨﯿﻢ ﻣﺤﻮر ﺣﻔﺮه ﯾﮏ ﻗﻄﺮ ﮐﺮده اﺳﺖ‪ .‬ﺣﺠﻢ ﻗﺴﻤﺖ ﺑﺎﻗﯿﻤﺎﻧﺪه ﺟﺴﻢ‬ ‫را ﺑﺪﺳﺖ آورﯾﺪ‪.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫)‪π (125) − π = π (125 − 8‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫=‪V‬‬

‫‪4‬‬ ‫)‪π (117‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪ .2‬ﻣﻄﻠﻮب اﺳﺖ ﺣﺠﻢ ﺟﺴﻢ ﺣﺎدث از دوران ﻧﺎﺣﯿﻪ ‪ OBC‬ﻣﺤﺼﻮر ﺑﻪ‬ ‫ﻣﺤﻮر ‪ x‬ﻫﺎ و ﺧﻄﻮط ‪ ، y = 8 , y = o‬ﺣﻮل ﻣﺤﻮر ‪ x‬ﻫﺎ ‪.‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫=‬

‫‪y =x‬‬


‫‪www.FANAVARI-IT.ir‬‬

‫‪٤٣‬‬

‫ﻓﺼﻞ دوم‪ :‬ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ‬ ‫‪4‬‬

‫‪x4‬‬ ‫) ‪(64 − x )dx = π (64x −‬‬ ‫‪4 o‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫∫‪V =π‬‬

‫‪o‬‬

‫‪V = π (256 − 64) = 192π‬‬ ‫‪ .3‬ﻣﻄﻠﻮب اﺳﺖ ﺣﺠﻢ ﺣﺎدث از دوران ﻧﺎﺣﯿﻪ ‪ OAC‬ﻣﺤﺼﻮر ﺑﻪ ﻣﻨﺤﻨـﯽ ‪y2 = x3‬‬

‫و ﺧﻂ ‪ x = 4‬و ﻣﺤﻮر ‪ x‬ﻫﺎ ﺣﻮل ﺧﻂ ‪. ac‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪V = π ∫ ((8 − x 2 )2 − 64)dx‬‬ ‫‪o‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪V = π ∫ ((16 − x 2 + x3 )dx‬‬ ‫‪o‬‬

‫‪4‬‬

‫‪5‬‬

‫‪x4 32 2‬‬ ‫‪(32)2‬‬ ‫‪V =π( −‬‬ ‫‪x ) = π (64 −‬‬ ‫)‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪o‬‬

‫‪ .4‬ﻣﻄﻠــﻮب اﺳــﺖ ﺣﺠــﻢ ﺣــﺎدث از دوران ﻧﺎﺣﯿــﻪ ﻣﺤﺼــﻮر ﺑــﻪ ﻣﻨﺤﻨــﯽ ﻫــﺎي‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ y = x , y = x‬ﺣﻮل ﺧﻂ‬

‫‪. x = −2‬‬

‫ﺣﻞ(‬ ‫‪o ≤ y ≤1, o ≤ x ≤1‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪V = π ∫ ( y + 2)2 − ( y2 + 2)2 dy‬‬ ‫‪o‬‬

‫‪1‬‬

‫‪V = π ∫ ( y + 2 y + 4) − ( y4 + 4 y2 − 4)dy‬‬ ‫‪o‬‬

‫‪1‬‬

‫‪y2 4‬‬ ‫‪y5 4 y 3‬‬ ‫‪V =π( + y y −‬‬ ‫‪+‬‬ ‫)‬ ‫‪2 3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3 o‬‬

‫‪1 4 1 4‬‬ ‫‪15 + 8 o −6‬‬ ‫‪89‬‬ ‫(‪+ − + ) = π‬‬ ‫=)‬ ‫‪2 3 5 3‬‬ ‫‪3o‬‬ ‫‪3o‬‬

‫‪V =π‬‬


‫‪www.FANAVARI-IT.ir‬‬

‫‪٤٤‬‬

‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )‪(١‬‬

‫‪ .5‬ﻧﺎﺣﯿﻪ اي ﮐﻪ ﺑﻪ ﺳـﻬﻤﯽ ‪ y = x2‬و ﺧـﻂ ‪ y = 2 x‬ﻣﺤـﺪود و در رﺑـﻊ اول اﺳـﺖ‪ .‬ﺣـﻮل‬ ‫ﻣﺤﻮر ‪ y‬ﻫﺎ دوران ﻣﯽ ﮐﻨﺪ ﺣﺠﻢ ﺟﺴﻢ ﺣﺎﺻﻞ را ﺗﻌﯿﻦ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪x4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫) ‪x(2x − x )dx = 2π ( x3 −‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4 o‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫∫ ‪V = 2π‬‬

‫‪o‬‬

‫‪16‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪V = 2π ( − 4) = π‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪ .6‬ﺣﺠﻢ ﺟﺴﻤﯽ را ﺑﯿﺎﺑﯿﺪ ﮐﻪ از دوران ﻧﺎﺣﯿﻪ ﺑـﯿﻦ ﺳـﻬﻤﯽ ‪ y = x2‬و ﺧـﻂ ‪ y = 2 x‬ﺣـﻮل‬ ‫ﺧﻂ ‪ x = 2‬اﯾﺠﺎد ﻣﯽ ﺷﻮد ‪.‬‬ ‫ﺣﻞ(‬ ‫‪4‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪V = π ∫ ((2 − )2 − (2 − y )2 )dy‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪y2‬‬ ‫‪V = π ∫ (−2 y +‬‬ ‫‪+ 2 y − y)dy‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪y3 4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪64 32‬‬ ‫‪V = π ( + y y − y2 ) = π ( +‬‬ ‫)‪− 24‬‬ ‫‪12 3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪12 3‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪48 72‬‬ ‫‪− ) = 8π‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫(‪V = π‬‬

‫‪ .7‬ﯾﮏ دﯾﺴﮏ ﺑﻪ ﺷﻌﺎع و ﺑﻪ ﻣﺮﮐﺰ )‪ (b , o‬ﮐﻪ ‪ b ≤ a ≤ o‬ﺣﻮل ﻣﺤﻮر ‪ y‬ﻫﺎ دوران ﻣـﯽ‬ ‫ﮐﻨﺪ و ﯾﮏ ﭼﻨﺒﺮه ﺗﻮﻟﯿﺪ ﻣﯽ ﮐﻨﺪ ﺣﺠﻢ ﺟﺴﻢ آن را ﺗﻌﯿﻦ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬ ‫ﺣﻞ(‬


www.FANAVARI-IT.ir

٤٥

‫ ﺣﺪ و ﭘﯿﻮﺳﺘﮕﯽ‬:‫ﻓﺼﻞ دوم‬

( x − b)2 + y2 = a 2 ⇒ y = ± a 2 − ( x − b)2 V = 4π ∫

b+ a

b −a

a

x a 2 − ( x − b)2 dx = 4π ∫ ( x + b) a 2 − x2 dx −a

a

a

−a

−a

= 4π ∫ x a 2 − x2 dx + 4π ∫ b a 2 − x2 dx a

= 8π b ∫

o

a 2 − x2 dx = 8π ×

π a2 = 2π 2 a 2b. 4

‫ دوران ﻣـﯽ ﮐﻨـﺪ و‬x = b > a ‫ ﺣـﻮل ﺧـﻂ‬x = a > o , y = o , y = x ‫ ﻧﺎﺣﯿﻪ ﻣﺜﻠﺜﯽ‬.8 .‫ ﺣﺠﻢ ﺟﺴﻢ ﺑﻪ دﺳﺖ آﻣﺪه را ﺣﺴﺎب ﮐﻨﯿﺪ‬.‫ﺟﺴﻤﯽ ﭘﺪﯾﺪ ﻣﯽ آورد‬ (‫ﺣﻞ‬

a

V = π ∫ ((b − y)2 − (b −a )2 dy 0

a

( y − b) 3 ( a − b) 3 V= π( − (b − a )2 y) = π ( − a (b − a )2 ) 3 3 o


www.FANAVARI-IT.ir 1 ‫ ﺻﻔﺤﻪ‬/‫ﻓﺼﻞ ﯾﺎزدﻫﻢ ﺻﻮرتﻫﺎي ﻣﺒﻬﻢ اﻧﺘﮕﺮال‬

‫ﻓﺼﻞ ﯾﺎزدﻫﻢ‬ ‫ﺻــﻮرﲥﺎی ﻣﺒــﻬﻢ و اﻧﺘﮕــﺮال‬ ‫ﻫﺎی ﻧﺎﺳﺮه‬ . ۵١٩ ‫ﲤﺮﯾﻦ ﺻﻔﺤﻪ‬ .‫ ﺣﺪﻫﺎی زﯾﺮ را ﳏﺎﺳﺒﻪ ﮐﻨﯿﺪ‬.١ 1 1)

2)

3)

4)

lim

x →o

sin −1 x 1 − x2 = lim =1 1 tg −1 x 1 + x2

sin 2 t sin 2t = lim =o 1 t −π t →π t →π 3 cos 3 x −3 sin 3 x lim = lim =− 2 −2 π − 2x π π x→ x→ 2 2 2 2 cos 2x sin x sin 2x = lim+ = lim+ = +∞ lim+ 2 x→o tgx − x x→o sec x − 1 x→o 2 sec2 x . tgx lim

2 2 2tg x − π = lim 1 + x = −2 lim x (2tg −1 x − π ) = lim x→∞ x→∞ x→∞ 1 1 − 2 x x at at 1 1 e −1 ae lim ( − at ) = lim = lim at =a at at t →o t t →o t e t →o e + a t e te −1

5)

6) 7) 8)

lim+ (csc x)sin

x →o

2

x

= lim+ e − sin x→o

2

x Lnx

= eo = 1

3 sin t − sin 3t 3 cos t − 3 cos 3t = lim o x → 3tg t − tg 3t 3 sec2 t − 3 sec2 3t − sin t + 3 sin 3t 8 = lim =− 2 2 x→o 2 sec t . tg t − 6 sec 3t . tg 3t 16 lim

x →o


www.FANAVARI-IT.ir 2 ‫ ﺻﻔﺤﻪ‬/‫ﻓﺼﻞ ﯾﺎزدﻫﻢ ﺻﻮرتﻫﺎي ﻣﺒﻬﻢ اﻧﺘﮕﺮال‬ 2

1 −3 x x −1 1 3 = lim = lim 2 1 x→1 x→1 2 −3 2 x3 − 1 x 3 1 3

9)

10) 11)

1 Ln (e x) − 1 Ln e + Ln x − 1 −1 x lim = lim = lim = x→1 x→1 x→1 π cos π x sin π x sin π x π Ln sin r cot r limπ = limπ =o cos r r→ r → − sin r 2

2

1 x −1

Lnx 1

12)

lim x x→o

13)

x

= lim e

+

x→o

x Lnx +

x→o

x +

= lim e x x→o

x

=1

+

1 1 Lnx + 1− x ) = lim+ − x→1 x − 1 x→1 ( x − 1) Lnx Lnx 1 1 − 2 −1 x x = −1 = lim+ = lim x→1 x −1 1 1 2 Lnx + + 2 x x x lim+ (

1

14)

= lim e

lim (cos 2t ) t = lim e t →o t →o 2

Ln cos 2t t2

−2tg 2 t

= lim e t →o

2t

= e −2

‫ دو ﺑﺎر ﻣﺸﺘﻖ‬f ‫ﻣﺸﺮوط ﺑﺮ اﯾﻨﮑﻪ‬

f ( x + h) − 2 f ( x) + f ( x − h) h2 h→o

lim

.١۵

.‫ﭘﺬﯾﺮ ﺑﺎﺷﺪ‬ ( ‫ﺣﻞ‬ ‫ = ﺣﺪ‬lim

f ' ( x + h) − 2 f ' ( x) − f ' ( x − h) f ' ' ( x + h) − 2 f ' ' ( x) + f ' ' ( x − h) = lim =o 2h 2


www.FANAVARI-IT.ir 3 ‫ ﺻﻔﺤﻪ‬/‫ﻓﺼﻞ ﯾﺎزدﻫﻢ ﺻﻮرتﻫﺎي ﻣﺒﻬﻢ اﻧﺘﮕﺮال‬ n

∑x

k

16)

lim

−n

k =1

x −1 x →1

1 − xn −n 1 − x = lim x −1 x →1 x

x ( xn − 1) − n( x − 1) (n + 1) xn − 1− n = lim = 2( x − 1) ( x − 1)2 x →1 n (n + 1) xn −1 n (n + 1) = 2 2 x x −x e x Lnx − x lim = lim 1 − x + L o gx 1− x − L o gx = lim

17)

x → 1+ = lim

x → 1+

(1 + Lnx) e x Lnx − 1 =o 1 1 −1 + . Ln1o x 2 −1

18)

19)

−1

2

sin 2x − 2 sin x 1− 4x2 1 − x2 lim = x3 3 x2 x→o x→o 1 1 2 × (− ) (−8 x) 2 × (− ) (−2x) 2 2 − 3 1 x2 ) 3 2 ( − 2 2 (1 − 4x ) lim 6x x→o 8−2 = =1 6 lim

lim

1

x x x → o+

(a tg −1

x x − b tg −1 ) a b

1

1

2 x − 2 x x x 1 1 1+ 2 1+ 2 x( 2 − 2 ) a b = lim b a = lim 1 3x 3 2 x 2 + x→o x → o+ =

1 1 1 ( 2 − 2) 3 b a


‫‪www.FANAVARI-IT.ir‬‬ ‫ﻓﺼﻞ ﯾﺎزدﻫﻢ ﺻﻮرتﻫﺎي ﻣﺒﻬﻢ اﻧﺘﮕﺮال‪ /‬ﺻﻔﺤﻪ ‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2 x−a‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪+‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2 x‬‬

‫‪= lim‬‬

‫‪x − a + x− a‬‬

‫‪lim‬‬

‫‪x2 − a 2‬‬

‫‪x2 − a 2‬‬ ‫‪x→a‬‬

‫)‪20‬‬

‫‪x→a‬‬ ‫‪x− a + x‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ‪= 2‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪2 a‬‬ ‫‪2a‬‬

‫‪2 x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x+ a‬‬

‫‪= lim‬‬ ‫‪x→a‬‬

‫‪ .٢‬ﺛﺎﺑﺖ ﻫﺎی ‪ a‬و ‪ b‬را ﻃﻮری ﺗﻌﯿﯿﻦ ﮐﻨﯿﺪ ﮐﻪ‪:‬‬ ‫‪t2‬‬ ‫‪dt = 1‬‬ ‫‪a +t‬‬

‫‪x‬‬

‫‪∫o‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪bx − sin x‬‬ ‫‪x→o‬‬

‫‪lim‬‬

‫‪x2‬‬ ‫‪a =4‬‬

‫‪b =1 ,‬‬

‫‪a+x‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫‪b − cos x‬‬ ‫‪x→o‬‬

‫‪ = lim‬ﺣﺪ‬

‫⇒‬

‫ﲤﺮﯾﻦ ﺻﻔﺤﻪ ‪. ۵٢٨‬‬ ‫‪ .١‬ﺗﺎﺑﻊ ‪ f‬در ﺑﺎزه‬

‫]‪ [− 1, 1‬ﺑﻪ ﺻﻮرت زﯾﺮ ﺗﻌﺮﯾﻒ ﻣﯽ ﮐﻨﯿﻢ‪:‬‬ ‫‪x=o‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪f ( x) =  2‬‬ ‫‪ x‬‬

‫‪x≠o‬‬ ‫ﻧﻮع و ﻣﻘﺪار اﻧﺘﮕﺮال‬

‫‪1‬‬

‫‪∫−1 f ( x) dx‬‬

‫را ﺗﻌﯿﯿﻦ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬

‫ﺣﻞ( اﻧﺘﮕﺮال ﻧﺎﺳﺮه ﻧﻮع دوم اﺳﺖ و ﻣﻘﺪار آن ﺑﺮاﺑﺮ زﯾﺮ اﺳﺖ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ .٢‬ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ اﻧﺘﮕﺮال ﻧﺎﺳﺮه‬

‫‪dx‬‬ ‫‪xp‬‬

‫∞‪+‬‬

‫‪∫1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪∫o‬‬

‫= ‪x2 dx = 2 x2 dx‬‬

‫‪1‬‬

‫‪∫−1‬‬

‫‪p >1‬‬

‫ﳘﮕﺮاﺳﺖ‪ ،‬اﮔﺮ‬

‫ﺑﺎﺷﺪ‬ ‫‪t 1− p‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪dx = lim‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1− p 1− p‬‬ ‫∞‪t → +‬‬ ‫اﮔﺮ‬

‫‪−p‬‬

‫‪t‬‬

‫‪∫1 x‬‬

‫‪= lim‬‬

‫‪dx‬‬

‫∞‪+‬‬

‫‪xp‬‬

‫‪∫1‬‬

‫∞‪t → +‬‬

‫‪ ، p > 1‬ﺗﻮان ‪ x‬در ﺻﻮرت ﻣﻨﻔﯽ اﺳﺖ ﭘﺲ در اﯾﻦ ﺣﺎﻟﺖ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1− p‬‬

‫‪=−‬‬

‫‪dx‬‬ ‫‪p‬‬

‫‪x‬‬

‫∞‪+‬‬

‫‪∫1‬‬


‫‪www.FANAVARI-IT.ir‬‬ ‫ﻓﺼﻞ ﯾﺎزدﻫﻢ ﺻﻮرتﻫﺎي ﻣﺒﻬﻢ اﻧﺘﮕﺮال‪ /‬ﺻﻔﺤﻪ ‪5‬‬ ‫‪ .٣‬ﻣﻘــﺪاری ﺑــﺮای ‪ n‬ﭘﯿــﺪا ﮐﻨﯿــﺪ ﮐــﻪ ﺑــﻪ ازای آن اﻧﺘﮕــﺮال‬ ‫‪n‬‬ ‫‪3x‬‬ ‫‪− 2‬‬ ‫)‬ ‫‪x + 1 2x + n‬‬

‫(‬

‫∞‪+‬‬

‫‪∫1‬‬

‫ﳘﮕﺮا ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬

‫ﺑﻪ ازای ﻣﻘﺪار ‪ n‬ﺑﺪﺳﺖ آﻣﺪه اﻧﺘﮕﺮال را ﺣﺴﺎب ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬ ‫‪±‬‬ ‫‪3x‬‬ ‫‪3x‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫( ‪) dx = lim‬‬ ‫‪) dx‬‬ ‫‪− 2‬‬ ‫‪− 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x + 1 2x + n‬‬ ‫‪x + 1 2x + n‬‬ ‫∞‪t → +‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪= lim( Ln (t + 1) n − Ln (2t 2 + n)) − A‬‬ ‫‪4‬‬ ‫∞‪t → +‬‬

‫∫‬

‫(‬

‫‪(t + 1) n‬‬

‫‪−A‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪(2t + n) 4‬‬

‫‪3 3‬‬ ‫=‬ ‫‪4 2‬‬

‫‪8‬‬

‫‪7 3‬‬ ‫) (‬ ‫‪2 4‬‬ ���‪ (۴‬ﻧﻮع اﻧﺘﮕﺮال‬

‫∞‪+‬‬

‫‪dx‬‬

‫‪∫o‬‬

‫‪(1 + x2 ) 3‬‬

‫‪− Ln‬‬

‫∞‪+‬‬

‫∫‬

‫‪= lim Ln‬‬ ‫∞‪t → +‬‬ ‫×‪⇒ n = 2‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪8‬‬

‫‪Ι = Ln 4‬‬

‫را ﺗﻌﯿﯿﻦ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬

‫ﺣﻞ( اﯾﻦ اﻧﺘﮕﺮال ﳘﮕﺮاﺳﺖ ﭼﻮن‬

‫‪1‬‬

‫‪1 + x2‬‬

‫≤‬

‫‪2 3‬‬

‫‪1‬‬

‫) ‪(1 + x‬‬

‫‪,‬‬

‫‪dx‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1+ x‬‬

‫∞‪+‬‬

‫‪∫o‬‬

‫ﳘﮕﺮاﺳﺖ‪ ،‬ﻃﺒﻖ آزﻣﻮن ﻣﻘﺎﯾﺴﻪ اﻧﺘﮕﺮال داده ﺷﺪه ﳘﮕﺮاﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪ (۵‬ﻧﻮع اﻧﺘﮕﺮال‬

‫‪π‬‬ ‫‪2 sec x dx‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪4‬‬

‫∫‬

‫را ﺗﻌﯿﯿﻦ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬

‫‪sec x dx = lim Ln sec t + tg t − A‬‬ ‫‪π−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫∞‪= +‬‬

‫→‪t‬‬

‫‪π−‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪t‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪4‬‬

‫∫‬

‫‪lim‬‬

‫‪π‬‬ ‫= ‪2 sec x dx‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪4‬‬

‫∫‬

‫→‪t‬‬

‫اﻧﺘﮕﺮال واﮔﺮاﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪ .۶‬ﺑﻪ ازای ﻣﻘﺎدﯾﺮ ﳐﺘﻠﻒ ‪ n‬ﻧﻮع اﻧﺘﮕـﺮال ﻫـﺎی زﯾـﺮ را ﺑﺮرﺳـﯽ‬ ‫ﮐﻨﯿﺪ‪:‬‬ ‫اﻟﻒ( ‪dx‬‬

‫‪1 n‬‬

‫‪∫o x‬‬

‫= ‪ Ι‬ﺑﺮای‬

‫‪ n > −1‬ﳘﮕﺮا و ﺑﺮای‬

‫‪ n ≤ −1‬واﮔﺮاﺳﺖ‪.‬‬


‫‪www.FANAVARI-IT.ir‬‬ ‫ﻓﺼﻞ ﯾﺎزدﻫﻢ ﺻﻮرتﻫﺎي ﻣﺒﻬﻢ اﻧﺘﮕﺮال‪ /‬ﺻﻔﺤﻪ ‪6‬‬ ‫‪1 n‬‬

‫‪∫o x‬‬

‫ب(‬

‫‪Ln 2 x dx‬‬

‫=‪Ι‬‬

‫‪ .٧‬ﻧﻮع اﻧﺘﮕﺮال ﻫﺎی زﯾﺮ را ﺗﻌﯿﯿﻦ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬ ‫∞‪+‬‬

‫اﻟﻒ(‬

‫‪dx‬‬ ‫‪x2 + x‬‬

‫‪dx‬‬

‫داﻧﯿﻢ‬

‫ب(‬

‫‪∫1‬‬

‫واﮔﺮاﺳﺖ ﭼﻮن‬

‫∞‪+‬‬

‫‪∫1‬‬

‫‪x‬‬

‫‪x2 + x‬‬

‫‪∫o x cos x‬‬

‫‪1‬‬

‫‪x2 + x2‬‬

‫واﮔﺮاﺳﺖ‪.‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪x cos x‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫واﮔﺮاﺳﺖ ﭼﻮن‬ ‫‪x‬‬

‫‪1‬‬

‫‪dx‬‬

‫‪1‬‬

‫≤‬

‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪2 x‬‬

‫و ﻣـــﯽ‬

‫‪1 dx‬‬

‫و‬

‫‪∫o‬‬

‫‪x‬‬

‫‪x → o+‬‬ ‫واﮔﺮاﺳﺖ‪ ،‬ﻃﺒﻖ آزﻣﻮن ﻣﻘﺎﯾﺴﻪ ﺣﺪی اﻧﺘﮕﺮال داده ﺷﺪه واﮔﺮاﺳﺖ‪.‬‬ ‫ج(‬

‫∞‪+‬‬

‫‪dx‬‬

‫‪∫1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪x + Lnx‬‬

‫‪ ،‬ﳘﮕﺮاﺳﺖ‪ ،‬زﯾﺮا دارﯾﻢ‪:‬‬

‫‪+ ∞ dx‬‬

‫اﻧﺘﮕﺮال‬

‫‪x2‬‬

‫‪∫1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪x‬‬

‫≤‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪x + Lnx‬‬

‫و‬

‫ﳘﮕﺮاﺳﺖ ﭘﺲ ﻃﺒﻖ آزﻣﻮن ﻣﻘﺎﯾﺴـﻪ اﻧﺘﮕـﺮال داده‬

‫ﺷﺪه ﳘﮕﺮاﺳﺖ‪.‬‬ ‫د(‬

‫‪1‬‬

‫‪dx‬‬

‫‪∫o‬‬

‫‪1 − x3‬‬

‫ﺑﺮای ‪o < x < 1‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪x 3 < x2‬‬

‫دارﯾﻢ‬

‫اﻣﺎ اﻧﺘﮕﺮال‬

‫‪dx‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1− x‬‬

‫‪1‬‬

‫‪∫o‬‬

‫ﭘﺲ‬

‫‪1‬‬

‫‪1 − x2‬‬

‫≤‬

‫‪1‬‬

‫‪1 − x3‬‬

‫ﳘﮕﺮاﺳﺖ‪ ،‬ﻃﺒـﻖ آزﻣـﻮن ﻣﻘﺎﯾﺴـﻪ‬

‫اﻧﺘﮕﺮال داده ﺷﺪه ﳘﮕﺮاﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪sin x‬‬ ‫ه(‬

‫‪sin x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x3‬‬

‫‪dx‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪π‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪o‬‬

‫∫‬

‫ﳘﮕﺮاﺳﺖ‪ ،‬ﭼﻮن‬

‫‪lim x x = 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬

‫اﻣـــﺎ اﻧﺘﮕـــﺮال‬

‫‪x → o+‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪o‬‬

‫∫‬

‫ﳘﮕﺮاﺳﺖ‪ ،‬ﭘﺲ اﻧﺘﮕﺮال داده ﺷﺪه ﳘﮕﺮاﺳﺖ‪.‬‬


‫‪www.FANAVARI-IT.ir‬‬ ‫ﻓﺼﻞ ﯾﺎزدﻫﻢ ﺻﻮرتﻫﺎي ﻣﺒﻬﻢ اﻧﺘﮕﺮال‪ /‬ﺻﻔﺤﻪ ‪7‬‬

‫و(‬

‫‪π‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪cos x‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪∫o‬‬

‫‪cos x‬‬ ‫‪lim x = 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬

‫واﮔﺮاﺳﺖ‪ .‬ﭼﻮن‬

‫اﻣـــﺎ اﻧﺘﮕـــﺮال‬

‫‪x → o+‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪π‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪o‬‬

‫∫‬

‫واﮔﺮاﺳـﺖ‪ ،‬ﭘـﺲ ﻃﺒـﻖ آزﻣـﻮن ﻣﻘﺎﯾﺴـﻪ ﺣـﺪی اﻧﺘﮕـﺮال‬

‫واﮔﺮاﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ .٨‬ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ‬ ‫اﻟﻒ( ‪dx = π‬‬

‫‪+ ∞ e− x‬‬

‫‪x‬‬

‫= ‪dx‬‬

‫‪+ ∞ − x2‬‬

‫‪e‬‬

‫‪∫o‬‬

‫‪∫o‬‬

‫‪ ،‬در اﯾﻦ ﺻﻮرت ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪4‬‬

‫ب(‬

‫= ‪dx‬‬

‫‪+ ∞ 2 − x2‬‬ ‫‪x e‬‬ ‫‪o‬‬

‫∫‬

‫ﺣﻞ(‬ ‫اﻟﻒ(‬

‫‪u = x ⇒ x = u 2 ⇒ dx = 2u du‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪= π‬‬ ‫‪2‬‬

‫× ‪du = 2‬‬

‫‪+ ∞ −u2‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪o‬‬

‫∫‬

‫‪dx = 2‬‬

‫‪+ ∞ e−x‬‬

‫‪∫o‬‬

‫‪x‬‬

‫ب( از روش ﺟﺰ ﺑﻪ ﺟﺰ اﺳﺘﻔﺎده ﻣﯽ ﮐﻨﯿﻢ‪.‬‬ ‫∞ ‪− x − x2 +‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫= ‪x . x e − x dx‬‬

‫∞‪+‬‬

‫‪∫o‬‬

‫‪2‬‬

‫= ‪x e − x dx‬‬

‫‪π‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪1‬‬ ‫× = ‪dx‬‬ ‫=‬ ‫‪2 2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ .٩‬ﺗﺎﺑﻌﯽ ﻧﻈﯿﺮ ‪ f‬ﻃﻮری ﻣﺜﺎل ﺑﺰﻧﯿﺪ‬ ‫‪t‬‬

‫‪∫−t f ( x) dx = o‬‬

‫∞‪+‬‬

‫ﮐﻪ ‪∫− ∞ f ( x) dx‬‬

‫‪+ ∞ − x2‬‬

‫‪e‬‬

‫‪∫o‬‬

‫‪∫o‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪+‬‬

‫واﮔـــﺮا وﻟـــﯽ‬

‫‪. lim‬‬ ‫‪1‬‬

‫ﺣﻞ( ﺗﺎﺑﻊ‬

‫‪+∞ 2‬‬

‫‪x3‬‬

‫= )‪ f ( x‬را در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﯿﺮﯾﺪ‪.‬‬ ‫‪xt dx‬‬

‫‪ .١٠‬ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ اﻧﺘﮕﺮال‬

‫‪+∞ −x‬‬

‫‪e‬‬

‫‪∫1‬‬

‫ﺑــﻪ ازای ﻫــﺮ ‪ t‬ﺣﻘﯿﻘــﯽ‬

‫ﳘﮕﺮاﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﺣﻞ( ﭼﻮن‬

‫‪=o‬‬

‫‪xt e − x‬‬

‫‪lim‬‬

‫‪e −2 x‬‬ ‫∞‪x →+‬‬

‫و اﻧﺘﮕﺮال‬

‫اﻧﺘﮕﺮال داده ﺷﺪه ﳘﮕﺮاﺳﺖ‪.‬‬

‫‪dx‬‬

‫‪+ ∞ −2 x‬‬

‫‪e‬‬

‫‪∫1‬‬

‫ﳘﮕﺮاﺳــﺖ‪ .‬ﭘــﺲ‬


‫‪www.FANAVARI-IT.ir‬‬ ‫ﻓﺼﻞ ﯾﺎزدﻫﻢ ﺻﻮرتﻫﺎي ﻣﺒﻬﻢ اﻧﺘﮕﺮال‪ /‬ﺻﻔﺤﻪ ‪8‬‬ ‫‪+ ∞ −t‬‬

‫‪ .١١‬ﺗﺎﺑﻊ ﮔﺎﻣﺎ‪e . t s −1 dt .‬‬

‫‪∫o‬‬

‫= ) ‪ Γ ( s‬ﺗﺎﺑﻊ ﮔﺎﻣﺎ اﺳﺖ‪.‬‬

‫ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬ ‫اﻟﻒ( ﺗﺎﺑﻊ ) ‪ Γ (s‬ﺑﻪ ازای ﻫﺮ ‪ s > o‬ﳘﮕﺮاﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﺣﻞ( ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﲤﺮﯾﻦ ‪ ١٠‬اﯾﻦ ﺗﺎﺑﻊ ﺑﺮای ﻫﺮ ‪ s‬ﳘﮕﺮاﺳﺖ‪.‬‬ ‫)‪. Γ ( x + 1) = x Γ ( x‬‬

‫ب( ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ‬

‫)‪x t x−1 e −t dt = o + Γ ( x‬‬ ‫ج(‬

‫∞‪+‬‬

‫‪∫o‬‬

‫∞‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪o‬‬

‫‪+ ∞ −t‬‬

‫‪∫o‬‬

‫‪e . t x dt = −t x e −t‬‬

‫= )‪Γ ( x + 1‬‬

‫! ‪. Γ (n + 1) = n‬‬

‫ﺣﻞ( ﻃﺒﻖ ﻗﺴﻤﺖ ب دارﯾﻢ‪:‬‬ ‫! ‪Γ (n + 1) = n Γ (n) = n Γ (n − 1 + 1) = n (n − 1) Γ (n − 1) = n (n − 1) (n − 2) ...1 = n‬‬ ‫د(‬

‫‪π‬‬ ‫‪2‬‬

‫= ‪dx‬‬

‫‪+ ∞ − x2‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪o‬‬

‫∫‬

‫‪ ،‬ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ‬

‫‪,‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪π‬‬ ‫= ) (‪Γ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪Γ( ) = π‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺣﻞ(‬

‫‪π‬‬ ‫‪2‬‬

‫= ‪dt‬‬

‫‪+ ∞ e −t‬‬

‫‪∫o‬‬

‫‪t‬‬

‫= ‪dt‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2 . e −t‬‬

‫‪+∞ −‬‬

‫‪t‬‬

‫‪∫o‬‬

‫‪1‬‬ ‫= ) (‪Γ‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﺗﺴﺎوی اﺧﯿﺮ از ﲤﺮﯾﻦ ‪ ٨‬ﺑﺪﺳﺖ ﻣﯽ آﯾﺪ‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ) ( ‪Γ ( ) = Γ ( + 1) = Γ‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 2 2‬‬ ‫‪ .١٢‬ﻧﻮع اﻧﺘﮕﺮال ﻫﺎی زﯾﺮ را ﻣﻌﻠﻮم ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬ ‫اﻟﻒ( ‪dx‬‬

‫‪+ ∞ 2 + cos x‬‬

‫‪∫1‬‬

‫‪x‬‬

‫اﯾﻦ اﻧﺘﮕﺮال واﮔﺮاﺳﺖ ﭼﻮن‬

‫ﻃﺒﻖ آزﻣﻮن ﻣﻘﺎﯾﺴﻪ ﭼﻮن اﻧﺘﮕﺮال‬

‫‪dx‬‬ ‫‪x‬‬

‫∞‪+‬‬

‫‪∫1‬‬

‫‪2 + cos x‬‬ ‫‪x‬‬

‫≤‬

‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬

‫واﮔﺮاﺳــﺖ‪ ،‬اﻧﺘﮕــﺮال‬

‫ﺑﺰرﮔﱰ واﮔﺮاﺳﺖ‪.‬‬ ‫ب(‬

‫‪+ ∞ 1 − 4 sin 2 x‬‬

‫‪x3 + 3 x‬‬

‫و اﻧﺘﮕﺮال‬

‫‪dx‬‬ ‫‪x3‬‬

‫ﺷﺪه ﳘﮕﺮاﺳﺖ‪.‬‬

‫‪∫1‬‬

‫∞‪+‬‬

‫‪∫1‬‬

‫اﻧﺘﮕﺮال ﳘﮕﺮاﺳﺖ ﭼﻮن‬

‫‪1‬‬

‫‪x3‬‬

‫≤‬

‫‪1 − 4 sin 2 x‬‬ ‫‪x3 + 3 x‬‬

‫ﳘﮕﺮاﺳﺖ‪ .‬ﻃﺒﻖ آزﻣﻮن ﻣﻘﺎﯾﺴـﻪ اﻧﺘﮕـﺮال داده‬


‫‪www.FANAVARI-IT.ir‬‬

‫ﻓﺼﻞ دوازدﻫﻢ‬

‫اﻋﺪاد ﳐﺘﻠﻂ‬


‫‪www.FANAVARI-IT.ir‬‬

‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )‪(١‬‬

‫‪٢‬‬

‫ﻓﺼﻞ دوازدﻫﻢ‬ ‫اﻋﺪاد ﳐﺘﻠﻂ‬ ‫ﲤﺮﯾﻦ ﺻﻔﺤﻪ ‪. ۵٣۵‬‬ ‫‪ .١‬ﺟﻮاﲠﺎی ﺣﻘﯿﻘﯽ ﻣﻌﺎدﻟﻪ زﯾﺮ را ﺑﯿﺎﺑﯿﺪ‪.‬‬ ‫ﺣﻞ(‬ ‫‪(4 + 2i) x + (5 − 3i ) y = 13 + i‬‬ ‫‪(4 x + 5 y) + (2x − 3 y) i = 13 + i‬‬ ‫‪x=2‬‬

‫‪,‬‬

‫‪y =1‬‬

‫‪4 x + 5 y = 13‬‬ ‫⇒‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 x − 3 y = 1‬‬

‫‪ .٢‬ﺣﺎﺻﻞ ﻋﺒﺎرات زﯾﺮ را ﺑﺪﺳﺖ آورﯾﺪ‪:‬‬ ‫) ‪(5 + 5i ) (4 + 3i ) + 2 o (3 − 4i‬‬ ‫‪5 + 5i‬‬ ‫‪2o‬‬ ‫‪+‬‬ ‫=‬ ‫) ‪( 3 − 4i ) 4 + 3 i‬‬ ‫‪3 − 4i 4 + 3 i‬‬ ‫‪5 + 35i + 6 o −8 o i 65 − 45i‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪24 − 7i‬‬ ‫‪24 − 7i‬‬

‫= ‪) Z‬اﻟﻒ‬

‫) ‪(1 + i ) (1 + 2i‬‬ ‫) ‪(4i (1 + i‬‬ ‫‪− 1 + 3i + 1 + i‬‬ ‫‪4i‬‬ ‫=‪+i‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪= −2 + 2i‬‬ ‫‪1− i‬‬ ‫‪1−i‬‬ ‫‪1− i‬‬ ‫‪2‬‬

‫)ب‬

‫‪3i 3o − i 19 3 (i 2 )15 − (i 2 ) 9 i − 3 + i − 3 1‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪− i‬‬ ‫‪2i − 1‬‬ ‫‪2i − 1‬‬ ‫‪2i − 1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬

‫)ج‬

‫‪ .٣‬ﺟﻮاب دﺳﺘﮕﺎه زﯾﺮ را ﺑﺪﺳﺖ آورﯾﺪ‪.‬‬ ‫‪(1 + i) Z1 − i Z2 = 2 + i‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪(2 + i ) Z1 + (2 − i ) Z2 = 2i‬‬ ‫ﺣﻞ( از روش ﮐﺮاﻣﺮ اﺳﺘﻔﺎده ﻣﯽ ﮐﻨﯿﻢ‪.‬‬


‫‪www.FANAVARI-IT.ir‬‬

‫ﻓﺼﻞ دوازدﻫﻢ‪ :‬اﻋﺪاد ﳐﺘﻠﻒ‬

‫‪5−2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫‪3 + i − 1 + 2i 3i − 2‬‬

‫=‬

‫‪−i‬‬ ‫‪2−i‬‬

‫‪2+i‬‬ ‫‪2i‬‬

‫‪2i − 2 − 3 − 4i − 5 − 2i‬‬ ‫=‬ ‫‪3i − 2‬‬ ‫‪3i − 2‬‬

‫=‬

‫‪2+i‬‬ ‫‪2i‬‬

‫‪1+ i‬‬ ‫‪2+i‬‬

‫‪−i‬‬ ‫‪2−i‬‬

‫‪1+ i‬‬ ‫‪2+i‬‬

‫‪3i − 2‬‬

‫‪٣‬‬

‫= ‪Z1‬‬

‫= ‪Z2‬‬

‫ﲤﺮﯾﻦ ﺻﻔﺤﻪ ‪. ۵٣٧‬‬ ‫ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ‬

‫‪+ ... + a Z + a o = o‬‬

‫‪n −1‬‬

‫‪n‬‬

‫‪ a Z + a Z‬ﮐــــﻪ در آن‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n−‬‬ ‫‪1‬‬

‫ﺑﺮای ‪ ، a i ∈ R , o ≤ i ≤ n‬ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ‬

‫‪ Z‬رﯾﺸــﻪ ﻣﻌﺎدﻟــﻪ‬

‫ﻓﻮق اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﺣﻞ(‬ ‫‪a n Z n + a n −1 Z n −1 + ... + a1Z + a o = o‬‬ ‫‪a n Z n + a n −1 Z n −1 + ... + a1 Z + a o = o‬‬ ‫‪a n Z n + a n −1 Z n −1 + ... + a1 Z + ao = o‬‬ ‫ﭘﺲ ‪ Z‬رﯾﺸﻪ ﻣﻌﺎدﻟﻪ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﲤﺮﯾﻦ ﺻﻔﺤﻪ ‪. ۵٣٨‬‬ ‫‪Z1 , Z2 ∈ R‬‬

‫‪ .١‬ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ‬ ‫‪Z1‬‬ ‫‪Z‬‬ ‫‪)= 1‬‬ ‫‪Z2‬‬ ‫‪Z2‬‬ ‫ﺣﻞ(‬

‫(‬

‫‪ Z2 ≠ o ,‬ﺛﺎﺑـــﺖ ﮐﻨﯿـــﺪ‬


www.FANAVARI-IT.ir

(١) ‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ‬ (

٤

Z1 ) = ( Z1 Z2 −1 ) = Z1 Z2 −1 Z2

= Z1 Z2 −1 =

Z1 Z2 .‫ ﻋﺒﺎرات زﯾﺮ را ﺳﺎده ﮐﻨﯿﺪ‬.٢

‫)اﻟﻒ‬

‫)ب‬

‫)ج‬

(2 + i ) ( 3 − 2i) (1 + 2i)

(1 − i )2 15 ( 8 − i) (1 + 2i ) 1 o +15i = − + 5i = = 2 2 − 2i 1 − 2i + i

i 4 + i 9 + i 16 2 − i 5 + i 1o − i 15 3(

=

1+ i +1 =2+i 2 − i −1+ i

1+ i 2 1− i 3 2i 2i 1 − i ) − 2( ) = 3( ) − 2( )( ) 1− i 1+ i − 2i − 2i 1 + i 1− i = −3 + ( ) = −3 − i 1+ i .‫ درﺳﺘﯽ ﻫﺎی زﯾﺮ را ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ‬.٣ Z + Z = 2 Re(Z ) (‫اﻟﻒ‬ (Re(Z ) + Im(Z )i) + (Re( Z ) − Im( Z )i ) = 2 Re( Z )

(‫ﺣﻞ‬

Z − Z = 2 Im( Z )i

(‫ب‬

(Re(Z ) + Im Z i) − (Re Z − Im Z i) = 2 Im( Z )i 1 1 ‫ را رﺳــﻢ‬Re( ) = Z 2

‫ ﳕﻮدار‬Z = x + yi ≠ o ‫ ﺑﺎ ﻓﺮض‬.۴ .‫ﮐﻨﯿﺪ‬ (‫ﺣﻞ‬


‫‪www.FANAVARI-IT.ir‬‬

‫ﻓﺼﻞ دوازدﻫﻢ‪ :‬اﻋﺪاد ﳐﺘﻠﻒ‬

‫‪i‬‬

‫‪y‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪x‬‬

‫‪−‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪x +y‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪x +y‬‬

‫‪1‬‬ ‫⇒‬ ‫‪2‬‬

‫‪x + y = 2x‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫=‬

‫‪ .۵‬در ﲤﺮﯾﻦ ‪۴‬‬

‫‪1‬‬ ‫= ) (‪Re‬‬ ‫‪Z‬‬

‫‪2‬‬

‫‪x +y‬‬

‫‪2‬‬

‫‪( x − 1) + y = 1‬‬

‫ﳕﻮدار ‪I m (Z ) = 1‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪Z x + yi‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪٥‬‬

‫⇒‬

‫را رﺳﻢ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬

‫‪I m ( x + y i) = y = 1‬‬

‫ﺣﻞ(‬

‫‪ .۶‬ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ‬

‫‪1oo‬‬

‫‪∑ ik = x + yi‬‬

‫‪١‬‬

‫‪ ،‬در اﯾــــﻦ ﺻــــﻮرت‬

‫‪k =o‬‬

‫‪y, x‬‬

‫را ﳏﺎﺳﺒﻪ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬

‫ﺣﻞ( ﻃﺒﻖ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻫﻨﺪﺳﯽ دارﯾﻢ‪:‬‬ ‫‪y=o‬‬ ‫‪ .٧‬اﮔﺮ‬ ‫ﺑﯿﺎﺑﯿﺪ‪.‬‬ ‫ﺣﻞ(‬

‫‪⇒ x =1 ,‬‬

‫‪1 − i1o1 1 − i‬‬ ‫=‬ ‫‪= 1 = x + yi‬‬ ‫‪1− i‬‬ ‫‪1− i‬‬

‫‪x + yi‬‬ ‫‪= x − yi‬‬ ‫‪x − yi‬‬

‫ﻣﻘﺎدﯾﺮ ﺣﻘﯿﻘـﯽ‬

‫‪1oo‬‬

‫= ‪∑ ik‬‬ ‫‪k =o‬‬

‫‪x‬‬

‫و ‪ y‬را‬


‫‪www.FANAVARI-IT.ir‬‬

‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )‪(١‬‬

‫‪٦‬‬

‫‪x + yi = ( x − yi )2 = x2 + (− yi )2 − 2 x yi‬‬ ‫‪= ( x2 − y2 ) − 2 x yi‬‬

‫‪x = o , x =1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x=− , y=±‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ .٨‬اﮔﺮ‬

‫⇒‬

‫‪ x2 − y2 = x‬‬ ‫‪⇒‬‬ ‫‪− 2 xy = y‬‬

‫‪y=o‬‬

‫⇒ ‪y≠o‬‬

‫ﯾﮏ ﭼﻨﺪ ﲨﻠﻪ ای ﺑﺎ ﺿﺮاﯾﺐ ﺣﻘﯿﻘﯽ ﺑﺎﺷـﺪ؛‬

‫‪f‬‬

‫) ‪f (Z ) = f ( Z‬‬

‫ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ‪.‬‬

‫‪f ( Z ) = a n Z n + a n −1 Z n−1 + ... + a1Z + a o‬‬ ‫‪f ( Z ) = a n Z n + a n −1 Z n −1 + ... + a1Z + a o‬‬ ‫‪= a n Z n + a n −1 Z n −1 + ... + a1Z + a o‬‬ ‫) ‪= a n Z n + a n −1 Z n−1 + ... + a1 Z + a o = f ( Z‬‬ ‫ﲤﺮﯾﻦ ﺻﻔﺤﻪ ‪. ۵۴٠‬‬ ‫ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ‬

‫‪ Z2 = a2 + b2i , Z1 = a1 + b1i‬ﺑﺎ در ﻧﻈﺮ ﮔﺮﻓﱳ‬

‫ﳕﺎﯾﺶ ﻫﻨﺪﺳﯽ اﻋﺪاد‬

‫‪ ، Z1 , Z2‬ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ‬ ‫‪Z1 + Z2 = (a 1 + a 2 ) + (b1 + b2 )i‬‬

‫ﺣﻞ( اﮔﺮ‬

‫‪ Z2 , Z1‬را ﺑـــــﻪ ﺻـــــﻮرت ﺑـــــﺮدار‬

‫) ‪ (a 2 , b2 ) , (a 1 , b1‬در ﻧﻈـــﺮ ﺑﮕﯿـــﺮﯾﻢ‪ ،‬آﻧﮕـــﺎه‬ ‫) ‪. Z1 + Z2 = (a 1 + a 2 , b1 + b2‬‬ ‫و اﯾﻦ ﺧﺎﺻﯿﺖ از ﲨﻊ ﺑﺮدارﻫﺎ در ‪ R 2‬ﻧﺘﯿﺠﻪ ﻣﯽ ﺷﻮد‪.‬‬ ‫ﲤﺮﯾﻦ ﺻﻔﺤﻪ ‪. ۵۴٣‬‬ ‫‪ .١‬ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ‬

‫‪ Z1 , Z2 , ... , Z n‬اﻋﺪاد ﳐﺘﻠﻂ ﺑﺎﺷـﻨﺪ‪ .‬در‬

‫اﯾﻦ ﺻﻮرت ﺧﻮاص زﯾﺮ ﺑﺮﻗﺮارﻧﺪ‪.‬‬


‫‪www.FANAVARI-IT.ir‬‬

‫ﻓﺼﻞ دوازدﻫﻢ‪ :‬اﻋﺪاد ﳐﺘﻠﻒ‬ ‫اﻟﻒ(‬

‫‪٧‬‬

‫‪Z1 Z2 ...Z n = Z1 Z2 ... Z n‬‬

‫ِ دارﯾﻢ‪:‬‬ ‫ﺣﻞ( ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از اﺳﺘﻘﺮاء‬ ‫‪Z1 Z2 ... Z n = Z1 ( Z2 Z 3 ...Z n ) = Z1 Z2 Z 3 ...Z n = Z1 Z2 ... Z n‬‬ ‫ب(‬

‫‪n‬‬

‫‪Zn = Z‬‬

‫ﺣــﻞ( ﮐــﺎﻓﯽ اﺳــﺖ در ﻗﺴــﻤﺖ ﻗﺒــﻞ ﻗــﺮار دﻫــﯿﻢ‪:‬‬ ‫‪Z1 = Z2 = ... = Z n = Z‬‬ ‫ج(‬

‫‪Re( Z ) ≤ Z‬‬

‫ﺣﻞ(‬ ‫‪⇒ Re( Z ) ≤ Z‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪Z = x + yi‬‬

‫‪⇒ x≤ x ≤ x + y = Z‬‬

‫‪Z = Z‬‬

‫د(‬

‫ﺣــــــــﻞ( اﮔــــــــﺮ ﻗــــــــﺮار دﻫــــــــﯿﻢ‪:‬‬ ‫‪Z = x + yi‬‬ ‫‪Z = Z‬‬ ‫ه(‬ ‫ﺣﻞ( اﮔﺮ‬

‫⇒‬

‫‪x + yi = x2 + y2 = x − yi = x2 + (− y)2‬‬

‫‪Z1 + Z2 ≤ Z1 + Z2‬‬ ‫‪ Z2 , Z1‬را ﺑﻪ ﻋﻨـﻮان دو ﺑـﺮدار در‬

‫‪ R 2‬در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﯿﺮﯾﻢ دارﯾﻢ‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪Z1 + Z2 = Z1 + Z2 + 2 Z1 Z2 cosθ‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪⇒ Z1 + Z2 ≤ Z1 + Z2 + 2 Z1 Z2 = ( Z1 + Z2 ) 2‬‬ ‫‪⇒ Z1 + Z2 ≤ Z1 + Z2‬‬

‫و(‬

‫‪Z1 + Z2 + ... + Z n ≤ Z1 + ... + Z n‬‬


‫‪www.FANAVARI-IT.ir‬‬

‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )‪(١‬‬

‫‪٨‬‬

‫ِ و اﺳﺘﻔﺎده از ﻗﺴﻤﺖ )ه( ﻣﻄﻠﺐ ﺛﺎﺑـﺖ‬ ‫ﺣﻞ( ﺑﺎ اﺳﺘﻘﺮاء‬ ‫ﻣﯽ ﺷﻮد‪.‬‬ ‫) ‪Z1 + Z2 + ... + Z n = Z1 + ( Z2 + ... + Z n‬‬

‫‪≤ Z1 + Z2 + ... + Z n ≤ Z1 + Z2 + ... + Z n‬‬ ‫ز(‬

‫‪ Z1 + Z2 ≥ Z1 − Z2‬ﯾﺎ‬

‫‪Z1 − Z2 ≥ Z1 − Z2‬‬

‫ﺣﻞ(‬ ‫‪Z1 = (Z1 + Z2 ) + (− Z2 ) ≤ Z1 + Z2 + Z2 ≤ Z1 + Z2 + Z2‬‬ ‫‪Z1 − Z2 ≤ Z1 + Z2‬‬ ‫اﮔﺮ‬

‫⇒‬

‫‪ Z2‬را ﺑﻪ ‪ − Z2‬ﺗﺒﺪﯾﻞ ﮐﻨﯿﻢ دارﯾﻢ‪:‬‬ ‫‪Z1 − Z2 ≤ Z1 − Z2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ Z 3 = − +‬اﻋﺪاد‬ ‫‪ Z1 = 2 + i‬و ‪ Z2 = 3 − 2i‬و ‪i‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ .٢‬اﮔﺮ‬

‫ﳐﺘﻠﻂ ﺑﺎﺷﻨﺪ؛ ﻫﺮ ﯾﮏ از ﻋﺒﺎرات زﯾﺮ را ﺣﺴﺎب ﮐﻨﯿﺪ‪:‬‬ ‫اﻟﻒ(‬

‫‪3 Z1 − 4 Z2‬‬

‫ﺣﻞ(‬

‫‪3Z1 − 4Z2 = −6 + 11i ⇒ 3Z1 − 4Z2 = 157‬‬ ‫‪3‬‬

‫ب(‬

‫‪2Z2 + Z2 − 5 − i‬‬ ‫‪2Z1 − Z2 + 3 − i‬‬

‫=‪Α‬‬

‫ﺣﻞ(‬ ‫‪2Z2 + Z1 − 5 − i = 3 − 4i‬‬

‫‪3‬‬

‫‪=1‬‬

‫‪2Z1 − Z2 + 3 − i = 4 + 3i‬‬ ‫) ‪( 25‬‬

‫‪3‬‬

‫‪25‬‬

‫=‬

‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪3 − 4i‬‬ ‫‪4 + 3i‬‬

‫=‪Α‬‬

‫⇒‬


‫‪www.FANAVARI-IT.ir‬‬

‫‪٩‬‬

‫ﻓﺼﻞ دوازدﻫﻢ‪ :‬اﻋﺪاد ﳐﺘﻠﻒ‬ ‫‪ .٣‬آرﮔﻮﻣﺎن اﺻﻠﯽ و ﻃﻮل اﻋﺪاد زﯾﺮ را ﺗﻌﯿﯿﻦ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪Αrg (1 − i) = −‬‬

‫‪,‬‬

‫‪1− i = 2‬‬

‫‪3π‬‬ ‫‪4‬‬

‫= ) ‪Arg (−1 + i‬‬

‫‪,‬‬

‫‪−1+ i = 2‬‬

‫‪π‬‬ ‫‪2‬‬

‫⇒‬

‫‪) 1 − i‬اﻟﻒ‬

‫⇒ ‪−1+ i‬‬

‫)ب‬

‫‪Arg (1) = o‬‬

‫‪,‬‬

‫‪1 =1‬‬

‫⇒‬

‫‪1‬‬

‫)ج‬

‫= )‪Arg (2i‬‬

‫‪2i = 2 ,‬‬

‫⇒‬

‫‪2i‬‬

‫)د‬

‫ـﺎن ‪ Z‬را‬ ‫‪ Z = x + y i‬و ‪ ، Z − 1 + i = 1‬ﻣﮑـ‬

‫‪ .۴‬ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ‬ ‫ﺗﻌﯿﯿﻦ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬ ‫ﺣﻞ(‬

‫‪Z − 1+ i = ( x − 1) + ( y + 1) i‬‬ ‫‪Z − 1+ i = ( x − 1)2 + ( y + 1)2 = 1‬‬

‫⇒‬

‫‪⇒ ( x − 1)2 + ( y + 1)2 = 1‬‬ ‫ﻣﮑﺎن داﯾﺮه ای ﺑﻪ ﻣﺮﮐﺰ‬

‫)‪ C (1 , − 1‬و ﺷﻌﺎع ‪R = 1‬‬

‫اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪ .۵‬ﻣﮑﺎن ﻫﻨﺪﺳﯽ ﻧﻘﺎط‬

‫‪ Z = x + y i‬را در ﺣـــﺎﻻت زﯾـــﺮ‬

‫ﺗﻌﯿﯿﻦ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬ ‫اﻟﻒ( ‪Z + 1 = Z − 1‬‬ ‫ﺣﻞ(‬ ‫‪( x + 1) + y i = ( x − 1) + y i‬‬ ‫‪⇒ ( x + 1) 2 = ( x − 1) 2‬‬ ‫‪⇒ x=o‬‬

‫‪( x + 1) 2 + y2 = ( x − 1) 2 + y 2‬‬


‫‪www.FANAVARI-IT.ir‬‬

‫‪١٠‬‬

‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )‪(١‬‬

‫ب(‬

‫‪Z + i = Z −1‬‬

‫ﺣﻞ(‬ ‫‪x + ( y + 1) i = ( x − 1) 2 + y 2‬‬ ‫‪⇒ x2 + ( y + 1) 2 = ( x − 1) 2 + y2‬‬

‫‪x2 + y 2 + 2 y + 1 = x2 − 2 x + 1 + y2‬‬ ‫⇒‬ ‫‪2 y = −2 x‬‬ ‫‪y = −x‬‬

‫⇒‬ ‫⇒‬

‫‪ .۶‬ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ ﮐﻪ‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫) ‪Z1 + Z2 + Z1 − Z2 = 2 ( Z1 + Z2‬‬ ‫ﺣﻞ(‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪Z1 + Z2 + 2 Z1 Z2 cos θ + Z1 + Z2 − 2 Z1 Z2 cos θ‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫) ‪= 2 ( Z1 + Z2‬‬ ‫‪ Z 3 , Z2 , Z1‬ﺳﻪ ﻋـﺪد ﳐـﺘﻠﻂ ﻧـﺎ ﺻـﻔﺮ‬

‫‪ .٧‬ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ‬

‫ﺑﺎﺷﻨﺪ ﺑﻪ ﻃﻮری ﮐﻪ‪:‬‬ ‫‪Z1 = Z2 = Z 3‬‬

‫‪,‬‬

‫‪Z1 + Z2 + Z 3 = o‬‬

‫ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫اﻟﻒ( ‪= o‬‬ ‫‪Z1 Z2 Z3‬‬ ‫ﺣﻞ( اﻟﻒ( راﺑﻄﻪ‬

‫‪2‬‬

‫‪Z12 + Z22 + Z 32 = o‬‬

‫ب(‬

‫‪ Z i Zi = Z i‬را در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﯿﺮﯾﺪدارﯾﻢ‬ ‫‪2‬‬

‫‪Zi‬‬ ‫‪Zi‬‬

‫= ‪Zi‬‬


‫‪www.FANAVARI-IT.ir‬‬

‫ﻓﺼﻞ دوازدﻫﻢ‪ :‬اﻋﺪاد ﳐﺘﻠﻒ‬ ‫‪Z1 + Z2 + Z3 = o‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪=o‬‬

‫‪Z3‬‬ ‫‪Z3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪+‬‬

‫‪Z2‬‬ ‫‪Z2‬‬

‫⇒‬ ‫‪2‬‬

‫‪+‬‬

‫‪Z1‬‬

‫‪Z1‬‬

‫‪١١‬‬

‫‪Z1 + Z2 + Z3 = o‬‬

‫⇒‬

‫‪1‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪2 1‬‬ ‫‪⇒ Z1  +‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪=o‬‬ ‫‪Z‬‬ ‫‪Z‬‬ ‫‪Z‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3 ‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪⇒ +‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪=o‬‬ ‫‪Z‬‬ ‫‪Z‬‬ ‫‪Z‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﮔﯿﺮی دارﯾﻢ‪:‬‬

‫ب( ﻃﺒﻖ ﻗﺴﻤﺖ اﻟﻒ ‪ ،‬ﺑﺎ ﳐﺮج ﻣﺸﱰک‬

‫‪Z2 Z 3‬‬ ‫‪Z1 Z 3‬‬ ‫‪Z1 Z2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪=o‬‬ ‫‪Z1 Z2 Z 3 Z1 Z2 Z 3 Z1 Z2 Z 3‬‬ ‫‪Z1 Z2 + Z1 Z3 + Z2 Z3 = o‬‬ ‫‪⇒ ( Z1 + Z2 + Z3 )2 = o‬‬ ‫‪⇒ Z12 + Z22 + Z33 + 2 ( Z1 Z2 + Z1 Z3 + Z2 Z3 ) = o ⇒ Z12 + Z22 + Z32 = o‬‬ ‫‪ .٨‬ﻣﻌﺎدﻟﻪ زﯾﺮ را ﺑﺮ ﺣﺴﺐ ﺗﺎﺑﻊ ﻣﺰدوج ﺑﯿﺎن ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬ ‫‪2x + y = 5‬‬ ‫‪⇒ Z + Z = 2x , Z − Z = 2 yi‬‬

‫‪, Z = x − yi‬‬ ‫‪Z−Z‬‬ ‫‪=5‬‬ ‫‪2i‬‬

‫‪Z = x + yi‬‬ ‫⇒‬

‫‪(Z + Z ) +‬‬

‫‪ .٩‬ﻫﺮ ﻋﺪد ﮐﻪ رﯾﺸﻪ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ای ﺑﻪ ﻓﺮم زﯾﺮ ﺑﺎﺷﺪ‪:‬‬ ‫‪+ ... + a1 Z + a o = o‬‬ ‫ﮐﻪ در آن‬

‫‪ ، a i ∈ R‬ﯾﮏ ﻋﺪد ﺟﱪی ﻧﺎم دارد‪.‬‬

‫ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ ‪ Z = 3 4 − 2 i‬ﺟﱪی اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﺣﻞ(‬

‫‪n −1‬‬

‫‪n‬‬

‫‪a n Z + a n −1 Z‬‬

‫⇒‬

‫‪Z1 + Z2 + Z3 = o‬‬


www.FANAVARI-IT.ir

(١) ‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ‬ Z + 2i = 3 4

( Z + 2 i) 3 = 4

Z 3 + 6Z 2 i − 12Z − 8 i = 4

Z 3 − 12Z − 4 = (8 − 6Z 2 ) i

(Z 3 − 12Z − 4)2 = 6Z 2 − 8

١٢

Z 6 + 144Z 2 + 16 − 24Z 4 − 8Z 3 + 96Z − 6Z 2 + 8 = o .‫ ﻋﺪد ﺟﱪی اﺳﺖ‬Z ‫ﭘﺲ‬ ‫ آﻧﮕﺎه ﺑـﺮای ﻫـﺮ‬، Z = 1

‫ ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ ﮐﻪ اﮔﺮ‬.١٠

‫ـﺎ ﳐـﺎﻟﻒ ﺻـﻔﺮ‬‫ ﮐﻪ ﺣﺪاﻗﻞ ﯾﮑﯽ از آ‬b , a ‫دو ﻋﺪد ﳐﺘﻠﻂ‬ :‫اﺳﺖ دارﯾﻢ‬ a Z +b =1 bZ+a a Z + b = Z (a +

b bZ ) = Z a+ 2 Z Z

= a +bZ = a +b Z = a +b Z ⇒

a Z +b a +b Z

=

(‫ﺣﻞ‬

a Z +b =1 a +b Z

:‫ ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ ﮐﻪ‬Z = x + y i

‫ اﮔﺮ‬.١١

Re ( Z ) + Im ( Z ) ≤ 2 Z ( ‫ﺣﻞ‬ 2 | Z |2 = 2( | Re( Z ) |2 + | Im( Z ) |2 )2 = 2(| Re(Z ) |2 + | Im( Z ) |2 ) ≥ (| Re( Z ) | + | Im( Z ) | )2 ⇒

| Re( Z ) | + | Im(Z ) |≤ 2 | Z |


‫‪www.FANAVARI-IT.ir‬‬

‫‪١٣‬‬

‫ﻓﺼﻞ دوازدﻫﻢ‪ :‬اﻋﺪاد ﳐﺘﻠﻒ‬

‫ـﺮ‬ ‫ـﻬﺎ اﮔـ‬ ‫‪ Z1 − Z2 = 1 − Z1 Z2‬اﮔـﺮ و ﺗﻨـ‬

‫‪ .١٢‬ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ‬ ‫‪Z2 = 1 , Z1 = 1‬‬

‫‪ Z1 = Z2 = 1‬ﺑﺎﺷﺪ آﻧﮕﺎه‬

‫ﺣﻞ( ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ‬

‫‪Z Z‬‬ ‫‪Z2‬‬ ‫‪= Z1 1 − 2 1 = 1 − Z2 Z1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪Z1‬‬ ‫‪Z1‬‬

‫‪Z1 − Z2 = Z1 (1 −‬‬

‫‪ Z1 − Z2 = 1 − Z1 Z2‬ﺑﺎﺷﺪ‪.‬ﺗﺴﺎوی ﺑﺎﻻ را‬

‫ﺣﺎل ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ‬

‫ﺑﻪ ﺻﻮرت ﺑﺮﻋﮑﺲ اداﻣﻪ دﻫﯿﺪ ‪.‬‬ ‫‪ Z ≠ o‬ﻋﺪد ﳐﺘﻠﻂ ﺑﺎﺷـﺪ‪ .‬ﺛﺎﺑـﺖ ﮐﻨﯿـﺪ‬

‫‪ .١٣‬ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ‬

‫‪1‬‬ ‫‪ Z = 1‬اﮔﺮ و ﺗﻨﻬﺎ اﮔﺮ‬ ‫‪Z‬‬ ‫ﺣﻞ( اﮔﺮ‬ ‫اﮔﺮ‬

‫= ‪ Z‬آﻧﮕﺎه‬

‫‪ .١۴‬ﻣﮑﺎن ﻋﺪد ﳐﺘﻠﻂ‬

‫‪ Z Z = Z = 1‬ﭘﺲ‬

‫‪1‬‬ ‫‪Z‬‬

‫‪ Z = Z Z = 1‬ﭘﺲ‬

‫‪. Z =1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ Z = 1‬آﻧﮕﺎه‬ ‫‪1‬‬ ‫‪Z‬‬

‫=‪Z‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ Z‬را ﭼﻨﺎن ﭘﯿﺪا ﮐﻨﯿﺪ ﮐﻪ اﻋﺪاد‬

‫ﳐﺘﻠﻂ ‪ i , i Z , Z‬ﳘﻮاره ﺑﺮ ﯾﮏ اﺳﺘﻘﺎﻣﺖ ﺑﺎﺷﻨﺪ‪.‬‬ ‫ﺣﻞ(‬ ‫‪2‬‬ ‫‪z−iZ iZ −i‬‬ ‫=‬ ‫)‪⇒ − ( Z − i Z ) = i (Z − 1) ( Z − i‬‬ ‫‪Z −i‬‬ ‫‪iZ−Z‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪⇒ −z + 2i Z + Z = i Z = Z = 1 − i Z‬‬ ‫‪iZ =1‬‬ ‫‪y = −1‬‬ ‫ﭘﺲ‬

‫=‪. Z‬‬

‫‪2‬‬

‫‪i (Z + Z) = Z + 1‬‬ ‫⇒‬ ‫‪x=o ,‬‬ ‫‪−y = 1 ,‬‬

‫‪ Z = o , Z = i , Z = −i‬ﺑﺮ ﯾﮏ اﺳﺘﻘﺎﻣﺘﻨﺪ‪.‬‬


‫‪www.FANAVARI-IT.ir‬‬

‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )‪(١‬‬

‫‪١٤‬‬ ‫‪ .١۵‬اﮔﺮ‬

‫‪ C , A‬اﻋﺪاد ﺣﻘﯿﻘﯽ و‬

‫‪A Z Z + D Z + DZ + C = o , Z = x + y i , D = α + i β , AC < o‬‬ ‫‪α β‬‬ ‫ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ ﻣﮑﺎن ‪ Z‬داﯾﺮه ای ﺑﻪ ﻣﺮﮐﺰ ) ‪,‬‬ ‫‪A A‬‬

‫‪(−‬‬

‫و‬

‫ﺷﻌﺎع آن ﺑﻪ ﺻﻮرت زﯾﺮ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪α2 β 2 C‬‬ ‫=‪R‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪A2 A2 A‬‬ ‫ﺣﻞ(‬ ‫) ‪AZ Z = A( x2 + y2‬‬ ‫)‪D Z + D Z = 2 Re ( D Z ) = 2 (α x − β y‬‬ ‫‪⇒ Ax2 + Ay2 + 2α x − 2 β y + C = o‬‬ ‫‪α 2‬‬ ‫‪β‬‬ ‫‪α2 β2‬‬ ‫‪) + A( y − )2 − 2 − 2 + C = o‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪α‬‬ ‫‪β‬‬ ‫‪α‬‬ ‫‪β‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪⇒ ( x + )2 + ( y − )2 = 3 + 3 −‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪⇒ A( x +‬‬

‫ﻣﺮﮐﺰ داﯾﺮه‬ ‫‪α β‬‬ ‫) ‪,‬‬ ‫‪A A‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪(−‬‬

‫‪ .١۶‬ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺧﻂ‬

‫‪−‬‬

‫‪β2‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪A‬‬

‫‪+‬‬

‫‪α2‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪A‬‬

‫=‪. R‬‬

‫‪ A x + B y + C = o‬را ﺑــﻪ ﺷــﮑﻞ ﳐــﺘﻠﻂ‬

‫ﺑﻨﻮﯾﺴﯿﺪ‪.‬‬ ‫ﺣﻞ(‬

‫‪Z+Z‬‬ ‫‪Z−Z‬‬ ‫‪+B‬‬ ‫‪+C =o‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2i‬‬

‫‪ .١٧‬ﻣﻌﺎدﻟﻪ داﯾﺮه‬

‫‪ x2 + y 2 + 2 x + 2 y = o‬را ﺑــﻪ‬

‫‪A‬‬

‫ﻓﺮم ﳐﺘﻠﻂ ﺑﻨﻮﯾﺴﯿﺪ‪.‬‬ ‫ﺣﻞ(‬

‫‪Z Z + Z + Z + i (Z − Z ) = o‬‬


‫‪www.FANAVARI-IT.ir‬‬

‫ﻓﺼﻞ دوازدﻫﻢ‪ :‬اﻋﺪاد ﳐﺘﻠﻒ‬ ‫‪ .١٨‬اﮔﺮ‬

‫‪١٥‬‬

‫‪ Z2 , Z1‬دو ﻋﺪد ﳐﺘﻠﻂ ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ ،‬ﺑﻪ ﻃﻮری ﮐـﻪ‬

‫‪Z1 − Z2 = Z1 + Z2‬‬ ‫‪ Z2 , Z1‬ﺑﺮاﺑﺮ‬

‫ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ اﺧﺘﻼف آرﻣﺎﮔﻮن ﻫﺎی‬ ‫‪π‬‬ ‫‪2‬‬

‫اﺳﺖ‪.‬‬

‫ﺣﻞ(‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪Z1 − Z2 = Z1 + Z2 ⇒ Z1 + Z2 + 2 Z1 Z2 cos θ‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪= Z1 + Z2 − 2 Z1 Z2 cos α‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪2‬‬

‫=‪θ‬‬

‫‪ .١٩‬ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ‬

‫⇒ ‪⇒ 4 Z1 Z2 cos θ = o‬‬ ‫ـﺎﺑﺮاﺑﺮ‬ ‫ـﯽ ﻧـ‬ ‫ـﺪد ﺣﻘﯿﻘـ‬ ‫‪ b a , Z ∈ C‬دو ﻋـ‬

‫ﺑﺎﺷﻨﺪ‪.‬‬ ‫ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ اﮔﺮ‬

‫‪ Z + a i = Z + b i‬آﻧﮕـــــــــــــــﺎه‬

‫‪Z − Z = − ( a + b) i‬‬ ‫ﺣﻞ(‬ ‫‪⇒ x2 + ( y + a )2 = x2 + ( y + b)2‬‬

‫‪Z = x + yi‬‬

‫‪⇒ a 2 + 2 a y = 2 b y + b2‬‬ ‫‪a +b‬‬ ‫‪(2 a − 2 b) y = b2 − a 2 ⇒ y = −‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪Z − Z = 2 yi = − (a + b) i‬‬ ‫ﲤﺮﯾﻦ ﺻﻔﺤﻪ ‪. ٥٤٦‬‬ ‫اﻋﺪاد زﯾﺮ را ﺑﻪ ﺻﻮرت ﻣﺜﻠﺜﺎﺗﯽ ﳕﺎﯾﺶ دﻫﯿﺪ‪:‬‬


‫‪www.FANAVARI-IT.ir‬‬

‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )‪(١‬‬

‫‪١٦‬‬

‫‪5π‬‬ ‫‪5π‬‬ ‫) ‪+ i sin‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪) Z1 = −3 + 3 i = 2 3 (cos‬اﻟﻒ‬

‫‪(i − 1) 2 − 2 i‬‬ ‫=‬ ‫) ‪= −2 = 2 (cos π + i sin π‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪i‬‬

‫= ‪Z2‬‬

‫)ب‬

‫‪π‬‬ ‫‪π‬‬ ‫)) ‪Z 3 = −1 − 3 i = 2 (cos (− ) + i sin (−‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫)ج‬

‫ﲤﺮﯾﻦ ﺻﻔﺤﻪ ‪. ۵۴٧‬‬ ‫ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ دﺳﺘﻮر دﻣﻮ آور ﺑﺮای‬

‫‪ n < o‬ﺻـــﺤﯿﺢ ﻧﯿـــﺰ‬

‫ﺑﺮﻗﺮار اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﺣﻞ( اﮔﺮ ﻗﺮار دﻫﯿﻢ‬

‫‪ n = − m , e i θ = cos θ + i sin θ‬ﺑﺎﺷـــﺪ‬

‫آﻧﮕﺎه‬ ‫) ‪Z = e i θ ⇒ Z − m = e −i mθ = cos (− mθ ) + i sin (− mθ‬‬ ‫) ‪⇒ (cos θ + i sin θ ) n = cos (n θ ) + i sin (n θ‬‬

‫‪⇒n<o‬‬

‫ﲤﺮﯾﻦ ﺻﻔﺤﻪ ‪. ۵۴٧‬‬ ‫اﮔﺮ‬

‫‪ Z2 , Z1‬دو ﻋﺪد ﳐﺘﻠﻂ ﺑﺎﺷﻨﺪ و‬

‫‪ ، Z2 ≠ o‬ﺛﺎﺑﺖ‬

‫ﮐﻨﯿﺪ‬ ‫‪Z1‬‬ ‫‪Z2‬‬ ‫ﺣﻞ(‬

‫=‬

‫‪Z1‬‬

‫‪Z2‬‬


www.FANAVARI-IT.ir

١٧

‫ اﻋﺪاد ﳐﺘﻠﻒ‬:‫ﻓﺼﻞ دوازدﻫﻢ‬ Z1 = Z1 (cos θ1 + i sin θ1 ) Z1

Z2 Z1

Z2

=

=

Z1 (cos θ1 + i sin θ1 )

Z2 (cos θ2 + i sin θ2 ) Z1 Z2

Z2

=

Z1 Z2

=

Z1 Z2

(cos θ1 + i sin θ2 ) (cos θ2 + i sin θ2 )

(cos (θ1 − θ 2 ) + i sin (θ1 − θ2 ))

⇒ Arg ( Z1

Z2 = Z2 (cos θ 2 + i sin θ2 )

,

Z1

Z2

) =1 − 2 = Arg Z1 − Arg Z2

cos (θ1 − θ 2 ) + i sin (θ1 − θ2 ) =

Z1 Z2 . ۵۴٩ ‫ﲤﺮﯾﻦ ﺻﻔﺤﻪ‬ :‫ ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ‬.١

(

1 + i tgα n 1 + i tgn α ) = 1 − i tgα 1 − i tgn α (‫ﺣﻞ‬

sin α 1 + i tg α n cos α ) n = ( cos α + i sin α )) n ( ) =( sin α 1 − i tg α cos α − i sin α 1− i cos α cos α + i sin nα 1 + i tgnα )= =( cos nα − i sin nα 1 − i tgnα 1+ i

‫ ﺣﺎﺻـﻞ‬،‫ ﻋـﺪد ﺻـﺤﯿﺢ و ﻣﺜﺒـﺖ ﺑﺎﺷـﺪ‬n ‫ ﻓﺮض ﮐﻨﯿـﺪ‬.٢ .‫ را ﳏﺎﺳﺒﻪ ﮐﻨﯿﺪ‬I =

(1 + i) n

(1 − i ) n −2 (‫ﺣﻞ‬


www.FANAVARI-IT.ir

(١) ‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ‬ I = (1 + i) n (1 − i ) 2− n = 2 (cos n =22

n 2

١٨

π π π π + i sin ) n 2 (cos − i sin ) 2− n 4 4 4 4

nπ nπ (2 − n)π (2 − n)π + i sin − i sin ) (cos ) 2 4 4 4 nπ nπ = 2 (cos + i sin ) 2 2 1−

×2

(cos

‫( را ﺑــﻪ دو ﻃﺮﯾــﻖ ﳏﺎﺳــﺒﻪ و‬1 + i) n

‫ ﻋﺪد ﳐﺘﻠﻂ‬.٣

.‫ﻧﺘﯿﺠﻪ را ﻣﻘﺎﯾﺴﻪ ﮐﻨﯿﺪ‬ (‫ﺣﻞ‬ (1 + i) 2 = 2 i

⇒ n = 2k

n = 2k +1

⇒ (1 + i ) n = (2 i ) k

⇒ (1 + i ) n = (2 i ) k (1 + i ) .‫ ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ‬.۵ sin 4θ = 2 cos 3θ + 6 cos θ − 4 sin θ (‫ﺣﻞ‬

Z = cos+ i sin θ

⇒ Z 4 = cos 4θ + i sin 4θ

((cos2 θ − sin 2 θ ) + 2 sin θ cos θ i) 2 = cos 4θ + i sin 4θ (cos 2θ + sin 2θ i ) 2 =

. ۵۵۶ ‫ﲤﺮﯾﻦ ﺻﻔﺤﻪ‬ 2

.‫ را ﺣﻞ ﮐﻨﯿﺪ‬Z + (2i − 3 ) Z + 5 − i = o ‫ ﻣﻌﺎدﻟﻪ‬-١ (‫ﺣﻞ‬


‫‪www.FANAVARI-IT.ir‬‬

‫‪١٩‬‬

‫ﻓﺼﻞ دوازدﻫﻢ‪ :‬اﻋﺪاد ﳐﺘﻠﻒ‬ ‫‪2i − 3 2‬‬ ‫‪(2i − 3)2‬‬ ‫‪) = i −5−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2i − 3 2 4i − 2 o +4 + 6i − 9 1o i − 25‬‬ ‫=‬ ‫‪(Z +‬‬ ‫= )‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3 − 2i‬‬ ‫‪± 1o i − 25‬‬ ‫=‪Z‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪(Z +‬‬

‫)‪ . ( Z ≠ 1‬در اﯾﻦ ﺻﻮرت ﻣﻌﺎدﻟـﻪ زﯾـﺮ‬

‫‪ -٢‬ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ‬ ‫را ﺣﻞ ﮐﻨﯿﺪ‪:‬‬

‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1+ Z + Z + Z + Z + Z = o‬‬ ‫ﺣﻞ( دو ﻃﺮف را در‬

‫) ‪ (1 − Z‬ﺿﺮب ﻣﯽ ﮐﻨﯿﻢ‪.‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪6‬‬

‫‪1− Z = o‬‬

‫‪⇒ Z =1‬‬ ‫‪kπ‬‬ ‫‪kπ‬‬ ‫) (‪Wi = cos( ) + i sin‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪Wo = 1 ,‬‬ ‫‪W1 = + i‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪W2 = − + i‬‬ ‫‪W3 = −1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪,‬‬ ‫= ‪W4‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪W5 = −‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫رﯾﺸﻪ ‪ Z = 1‬ﻗﺎﺑﻞ ﻗﺒﻮل ﻧﯿﺴﺖ‪ .‬ﭼﻮن ﺑﺎ ﺿﺮب‬

‫‪1− Z‬‬

‫ﺗﻮﻟﯿﺪ ﺷﺪه اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪ .٣‬اﮔﺮ ‪ W‬ﯾﮑﯽ از رﯾﺸﻪ ﻫـﺎی ﻣﻮﻫـﻮﻣﯽ‪ n ،‬ام واﺣـﺪ‬ ‫ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ‪:‬‬ ‫‪1 + W + W 2 + ... + W n −1 = o‬‬ ‫ﺣﻞ(‬


www.FANAVARI-IT.ir

(١) ‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ‬ W ≠1

,

Wn = 1

٢٠

⇒ Wn −1 = o

⇒ (W − 1) (W n −1 + W n −2 + ... + W + 1) = o 1 + W + W 2 + ... + W n −1 = o

W ≠1 ⇒

:‫ ﻣﻌﺎدﻟﻪ زﯾﺮ را ﺣﻞ ﮐﻨﯿﺪ‬.۴ 3

. iZ +8 =o ( ‫ﺣﻞ‬ 3

3

− Z + 8i = o ⇒ Z = 8i π r =8 , θ= 2 π π 2kπ + 2kπ + 2 + i sin 2 Wk = 3 8 (cos 3 3 3 1 Wo = 2 ( +i )= 3 +i 2 2 3 1 W1 = 2 (− +i ) = − 3 +i 2 2 W3 = − 2 i .‫ رﯾﺸﻪ ﻫﺎی ﻫﺮ ﯾﮏ از اﻋﺪاد زﯾﺮ را ﺑﺪﺳﺖ آورﯾﺪ‬.۵ ‫( )اﻟﻒ‬−1 + i)

1 3

,

r= 2 ,

θ=

3π 4


www.FANAVARI-IT.ir

٢١

‫ اﻋﺪاد ﳐﺘﻠﻒ‬:‫ﻓﺼﻞ دوازدﻫﻢ‬ 3π 3π 2kπ + 4 + i sin 4 ) Wk = 6 2 (cos 3 3 2 2 Wo = 6 2 ( +i ) 2 2 11π 11π W1 = 6 2 (cos + i sin ) 12 12 19π 19π W2 = 6 2 cos + i siin ) 12 12 2kπ +

(−2 3 − 2 i)

‫)ب‬

1 3

,

r =4

,

θ=

7π 6

7π 7π 2kπ + 6 + i sin 6 ) Wk = 4 4 (cos 3 3 7π 7π W = 4 4 (cos + i sin ) o 24 24 19π 19π W = 4 4 (cos + i sin ) 1 24 24 31π 31π W = 4 4 (cos + i sin ) 2 24 24 43π 43π W = 4 4 (cos + i sin ) 3 24 24 2kπ +

.‫ را ﺣﻞ ﮐﻨﯿﺪ‬6Z 4 − 25Z 3 + 32Z 2 + 3Z − 1o = o ‫ ﻣﻌﺎدﻟﻪ‬.٧ ‫و‬ ‫و‬

±2 ±2

‫و‬ ‫و‬

±1 ±1

‫ﺑﺮاﺑـﺮ‬ ‫ﺑﺮاﺑـﺮ‬

−1o 6

‫ﻣﻘﺴﻮم ﻋﻠﯿﻪ ﻫﺎی‬

(‫ﺣﻞ‬

.‫اﺳﺖ‬

±5

‫ﻣﻘﺴﻮم ﻋﻠﯿـﻪ ﻫـﺎی‬ .‫اﺳﺖ‬

.‫را ﺣﻞ ﮐﻨﯿﺪ‬

5

(1 + Z ) = (1 − Z )

5

±3

‫ ﻣﻌﺎدﻟﻪ‬.١٠


www.FANAVARI-IT.ir

(١) ‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ‬

٢٢ (‫ﺣﻞ‬

(

1+ Z 5 ) =1 1− Z

5

W =1 ,

,

1+ Z =1 1− Z

W =1 ⇒ o

W=

Z +1 Z −1

Z =o o

2π 2π 1 + Z1 + i sin = 5 5 1− Z

W1 = cos

1

1+ Z

W2 = cos

4π 4π 2 + i sin = 5 5 1− Z

W3 = cos

6π 6π 1 + Z3 + i sin = 5 5 1− Z

W4 = cos

8π 8π 1 + Z4 + i sin = 5 5 1− Z

2

3

4

.‫ ﻫﺮ ﯾﮏ از ﻋﺒﺎرات زﯾﺮ را ﺳﺎده ﮐﻨﯿﺪ‬.١١ ( ‫اﻟﻒ‬ 6

1− i

1+ i 3 1− i

1+ i 3

Zk = 6

=

=(

1− i

1+ i 3

2 e 2e

−i

−i

2 (cos 2

π 4

π 3

1 6 )

= 7π

2 − 12 = e 2

7π 7π 2kπ − 12 + i sin 12 ) 6 6

2kπ −


‫‪www.FANAVARI-IT.ir‬‬

‫‪٢٣‬‬

‫ﻓﺼﻞ دوازدﻫﻢ‪ :‬اﻋﺪاد ﳐﺘﻠﻒ‬ ‫‪1−i‬‬

‫‪5π‬‬

‫‪2 −i 12‬‬ ‫=‬ ‫‪e‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪5π‬‬ ‫‪5π‬‬ ‫‪2kπ −‬‬ ‫(‪12 ) + i sin‬‬ ‫)) ‪12‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪π‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪( x + i) n − ( x − i) n = o‬‬

‫‪ .١٢‬ﻣﻌﺎدﻟﻪ‬ ‫در آن‬

‫ﺣﻞ(‬

‫‪x‬‬

‫‪3 +i‬‬ ‫‪−i‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪2kπ −‬‬

‫‪6‬‬

‫‪2 e‬‬

‫‪i‬‬

‫=‬

‫‪2e‬‬

‫‪2‬‬ ‫(‪(cos‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1−i‬‬

‫)ب‬

‫‪3 +i‬‬

‫‪Zk = 6‬‬

‫را ﺣﻞ ﮐﻨﯿـﺪ ﮐـﻪ‬

‫ﻋﺪد ﺣﻘﯿﻘﯽ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪( x + i) n − ( x − i) n = o ⇒ ( x + i ) n − ( x − i ) n‬‬ ‫‪x+i n‬‬ ‫(⇒‬ ‫‪) =1‬‬ ‫‪x−i‬‬ ‫‪x+i‬‬ ‫⇒‬ ‫=‪Z‬‬ ‫‪Zn =1‬‬ ‫‪x−i‬‬ ‫‪2kπ‬‬ ‫‪2kπ‬‬ ‫‪+ i sin‬‬ ‫‪Z k = cos‬‬ ‫‪, k = o , 1, 2 , ... , n − 1‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪x+i‬‬ ‫⇒‬ ‫= ‪Zk‬‬ ‫‪x Z k − i Zk = x + i‬‬ ‫‪x−i‬‬ ‫)‪x ( Z k − 1) = i ( Z k + 1‬‬ ‫‪Zk + 1‬‬ ‫‪Zk − 1‬‬

‫‪k = o , 1, 2 , ... , n − 1‬‬

‫‪x=i‬‬

‫‪ (١٣‬ﻣﻨﺤﻨــــﯽ ای ﺑﯿﺎﺑﯿــــﺪ ﮐــــﻪ ﻣﻌﺎدﻟــــﻪ اش‬ ‫‪Z + c + Z − c = 2a‬‬

‫ﺑﺎﺷﺪ ﮐﻪ در آن‬

‫ﺣﻘﯿﻘﯽ ﻣﺜﺒﺖ اﻧﺪ ﺑﻪ ﻃﻮری ﮐﻪ‬

‫‪a>c‬‬

‫‪a ,c‬‬

‫اﻋــﺪاد‬

‫‪.‬‬

‫ﺣﻞ( ﻃﺒﻖ ﺗﻌﺮﯾﻒ ‪ ،‬ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﻓﻮق‪ ،‬ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﯾﮏ ﺑﯿﻀﯽ اﺳﺖ‪.‬‬


‫‪www.FANAVARI-IT.ir‬‬

‫ﺣﻞ اﳌﺴﺎﺋﻞ رﯾﺎﺿﯽ ﻋﻤﻮﻣﯽ )‪(١‬‬

‫‪٢٤‬‬

‫‪x2 y2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫‪a 2 b2‬‬

‫‪,‬‬

‫‪2‬‬

‫‪b = a −c‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪Ax + B y + C = o‬‬

‫‪ .١۴‬ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺧﻂ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ‬

‫‪2‬‬

‫را ﺑــــﻪ‬

‫ﺷﮑﻞ ﳐﺘﻠﻂ ﺑﻨﻮﯾﺴﯿﺪ‪.‬‬ ‫‪Z+Z‬‬ ‫‪Z−Z‬‬ ‫(‪) + B‬‬ ‫‪)+C =o‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2i‬‬

‫ﺣﻞ(‬

‫(‪A‬‬

‫‪ .١۵‬ﻣﻌﺎدﻟﻪ داﯾﺮه ای را ﺑﻨﻮﯾﺴﯿﺪ ﮐـﻪ از ﺳـﻪ ﻧﻘﻄـﻪ‬ ‫‪1 + i , 2i , 1 − i‬‬ ‫ﺣﻞ( ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ‬

‫ﻣﯽ ﮔﺬرد‪.‬‬ ‫‪Z o = xo + yo i‬‬

‫ﻣﺮﮐﺰ داﯾﺮه ﺑﺎﺷﺪ ﭘﺲ‪:‬‬

‫‪Zo − (1 − i ) = Z o − (1 + i ) = Zo − 2i‬‬ ‫‪⇒ ( xo − 1) 2 + ( yo + 1) 2 = ( xo − 1) 2 + ( yo + 1) 2 ⇒ yo = o‬‬

‫‪x o2 − 2xo + 2 = x o2 + 4‬‬

‫⇒‬

‫)‪C (−1 , o‬‬

‫ﻣﺮﮐﺰ داﯾﺮه‬

‫‪⇒ ( xo − 1) 2 + 1 = x o2 + 4‬‬

‫اﺳﺖ‪.‬‬

‫‪R = (−1 + o) − (1 − i ) = − 2 + i = 5‬‬ ‫ﺷﻌﺎع داﯾﺮه ﺑﺮاﺑﺮ‬ ‫‪ (١۶‬ﻣﮑﺎن‬

‫در ﻫﺮ ﺣﺎﻟﺖ ﺗﻌﯿﯿﻦ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬

‫‪Z‬‬

‫اﻟﻒ( ‪Z − i = 1‬‬

‫ب(‬

‫داﯾﺮه ﺑﻪ ﻣﺮﮐﺰ‬

‫)‪(o , + 1‬‬

‫و‬

‫‪.‬‬

‫‪Z −1− i = 1‬‬ ‫‪R=1‬‬

‫ج(‬

‫‪:‬‬

‫‪R=1‬‬

‫ﺷﻌﺎع‬

‫‪R= 5‬‬

‫اﺳﺖ‪.‬‬

‫‪:‬‬

‫داﯾﺮه ﺑﻪ ﻣﺮﮐﺰ‬

‫)‪(1, 1‬‬

‫و ﺷﻌﺎع‬

‫‪.‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫= ‪Z − 2i‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫=‪R‬‬

‫‪.‬‬

‫‪:‬‬

‫داﯾﺮه ﺑﻪ ﻣﺮﮐﺰ‬

‫)‪(o , 2‬‬

‫و ﺷﻌﺎع‬