Apuntes ana olga 2011

TEMA 5. DISCUSIÓN Y RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. Enunciado del Teorema de Rouché-Frobenius.

“Un sistema de ecuaciones lineales es compatible, si y sólo si, el rango de la matriz de coeficientes M es igual al rango de la matriz ampliada M*.”

Discusión de sistemas de ecuaciones lineales. → Si el sistema es compatible, el rango indica el número de ecuaciones linealmente independientes, por lo que se puede prescindir de las ecuaciones linealmente dependientes. → Si el rango es igual al número de incógnitas, el sistema tiene solución única (compatible determinado). → Si el rango es menor que el número de incógnitas, el sistema tiene infinitas soluciones (compatible indeterminado), en este caso, alguna o algunas de las incógnitas quedarán en función de las demás.

Resumiendo: ♦ rango(M) = rango(M*) ⇒ sistema compatible rango(M) = n ⇒ sistema compatible determinado rango(M) < n ⇒ sistema compatible indeterminado ♦ rango(M) ≠ rango(M*) ⇒ sistema incompatible En el caso particular de los sistemas homogéneos que ya sabemos que siempre son compatibles, según el teorema de Rouché-Frobenius: → Si rango(M) = n, el sistema es compatible determinado, la solución es la trivial. → Si rango(M) < n, el sistema es compatible indeterminado.

Algunos sistemas dependen de uno o más parámetros y habrá que estudiar, según los valores de estos parámetros, si el sistema es o no compatible. (Habrá que discutir el rango de la matriz del sistema según los parámetros).

Enunciado de la Regla de Cramer.

“En el caso de los sistemas que tienen igual número de ecuaciones que de incógnitas y que la matriz de coeficientes tiene determinante distinto de cero, se puede obtener cualquier incógnita xi como el determinante de la matriz que se obtiene al cambiar la columna i del determinante de la matriz de coeficientes por la columna de los términos independientes, todo ello dividido por el determinante de la matriz de coficientes”.

Método de Gauss o eliminación.

Se llama sistema triangular a un sistema de la forma: a11 x1 + a12 x 2 + ... + a1m x m + ... + a1n x n = b1  a 22 x 2 + ... + a 2 m x m + ... + a 2 n x n = b2   ............................................   a mm x m + ... + a mn x n = bm Los sistemas triangulares tienen la ventaja de que son más fáciles de resolver.