Magnitudes escalares del movimiento circunferencial uniforme
B
La rapidez angular Ya hemos visto que la rapidez lineal describe el movimiento de una partícula a lo largo de la trayectoria que describe la partícula. Otro concepto que se utiliza para la descripción del movimiento circunferencial es la rapidez angular. En la figura 1.9, el vector posición r de la partícula ha experimentado un desplazamiento angular al girar desde la posición r1 hasta la posición r2 , barriendo el ángulo que denotaremos por ∆θ.
A
Llamemos s a la longitud del arco de curva entre las posiciones A y B de la partícula, y r al radio de la trayectoria circunferencial. Entonces se cumple que el desplazamiento s angular ∆θ, medido en radianes, es igual a Δθ = , es decir, el arco “s” que subtiende el r ángulo ∆θ dividido por el radio de la circunferencia, de acuerdo con la definición de un ángulo medido en radianes. Por tratarse de un cociente de dos longitudes, el resultado es un número puro, pero se le asigna la unidad adimensional radián, símbolo rad.
Figura 1.9 Desplazamiento angular del vector posición. REFLEXIONA
• Como en el movimiento circunferencial uniforme la velocidad lineal de la partícula es constante en modulo, se puede construir una circunferencia cuyo radio tiene un valor numérico igual al de la rapidez lineal. Entonces, demuestra que la aceleración centrípeta es perpendicular a la velocidad 2∙!∙! lineal y su módulo es !! =
TEN PRESENTE
!
La rapidez angular, mide el cambio angular del vector posición en el intervalo de tiempo Δθ ∆t. Se define la rapidez angular ω = . La unidad que resulta de esta definición es rad . Δt s La rapidez angular se relaciona con la rapidez lineal. En la figura 1.10 se representan los vectores de la velocidad lineal en dos instantes separados por un intervalo de tiempo. Se han dibujado con un origen común. A continuación se trabajará con los módulos de los vectores.
• La definición de radián establece que si la longitud del arco de un ángulo central es congruente a la longitud del radio, entonces este ángulo mide un radián.Como la longitud del arco de un ángulo central de una circunferencia de radio R es 2πR, basta dividir este arco por R y tendremos la cantidad de radianes que equivalen a 360º = Además, por simple inspección, establecemos la relación:
∆v v2 ∆θ
Capítulo 1
Figura 1.10 Representación rapidez angular.
Entonces, cuando el intervalo de tiempo ∆t tiende a cero, el desplazamiento angular también decrece y se cumple que v = a=
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v1
·v . Recordemos que la aceleración es
v , cuando ∆t tiende a cero, podemos reemplazar ∆v por v · ∆θ y se obtiene: t a= v·
t
¿cómo vas? Para que un ángulo mida un radián, ¿cuánto debe medir el arco en función del radio de la circunferencia? Unidad 1: Fuerza y movimiento
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