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Matemática A Dezembro de 2009

Matemática A Itens – 10.º Ano de Escolaridade

No Teste intermédio, que se irá realizar no dia 29 de Janeiro de 2010, os itens de grau de dificuldade mais elevado poderão ser adaptações de alguns dos itens que a seguir se apresentam.

Matemática A - 10.º Ano de Escolaridade – Página 1


1.

Na figura 1 estĂĄ representado um triângulo equilĂĄtero EFG ‘. Os pontos HĂ&#x; I e J sĂŁo os pontos mĂŠdios dos lados do triângulo. A ĂĄrea do triângulo EFG ‘ ĂŠ igual a 16 Sejam \Ă&#x; ] e ^ trĂŞs pontos. Sabe-se que: "  • \ Ĺ“ F # EH

 "  • ] Ĺ“ G HJ  # J E  $  • ^ Ĺ“ E # Ĺ GJ  % HJ ‚ Determine a ĂĄrea do triângulo \] ^ ‘ Figura 1

2.

Na figura 2 estĂĄ representado, num referencial o.n. BSC, o hexĂĄgono SEFGHI ‘ Sabe-se que: • os lados do hexĂĄgono sĂŁo paralelos e iguais dois a dois; • os pontos E e I pertencem aos eixos coordenados SC e SB, respectivamente; • o ponto F tem coordenadas Ă?%Ă&#x; &Ă‘ • o ponto H tem coordenadas Ă?'Ă&#x; #Ă‘

2.1. Determine as coordenadas dos pontos GĂ&#x; I e E

Figura 2

2.2. Seja Q o ponto simÊtrico do ponto F em relação ao eixo SC e seja R o ponto da recta SH que Ê colinear com os pontos Q e E Determine as coordenadas do ponto R

2.3. Escreva uma condição que defina o segmento de recta IH‘ 2.4. Escreva uma condição que defina o conjunto dos pontos que constituem o interior do hexĂĄgono.

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3.

Na figura 3 estĂĄ representado, num referencial o.n. BSC, o triângulo EFG ‘ Sabe-se que: • o ponto S, origem do referencial, ĂŠ o ponto mĂŠdio do lado Ă’EGĂ“  • o vector EF tem coordenadas Ă?"!Ă&#x; #Ă‘  • o vector FG tem coordenadas Ă? 'Ă&#x; )Ă‘

3.1. Determine as coordenadas do ponto E e as coordenadas do ponto G

3.2. Mostre que o ponto F tem coordenadas Ă?)Ă&#x; &Ă‘

Figura 3

3.3. Seja H o ponto de intersecção da recta EF com o eixo SC Determine a ĂĄrea do triângulo ESH‘

3.4. Averigúe qual Ê a posição da origem do referencial em relação à circunferência de diâmetro ÒEFÓ

4.

Sejam + e , dois nĂşmeros reais positivos. Num referencial o.n. BSC, considere: â&#x20AC;˘ a recta < de equação reduzida C Ĺ&#x201C; +B  , â&#x20AC;˘ a recta = de equação reduzida C Ĺ&#x201C; #+B  , â&#x20AC;˘ o ponto E, ponto de intersecção da recta < com o eixo das abcissas; â&#x20AC;˘ o ponto F, ponto de intersecção das rectas < e = â&#x20AC;˘ o ponto G , ponto de intersecção da recta = com o eixo das abcissas. #

4.1. Mostre que a ĂĄrea do triângulo EFG â&#x20AC;&#x2DC; pode ser dada, em função de + e de , , por $, %+

4.2. Determine o perĂ­metro do triângulo EFG â&#x20AC;&#x2DC;Ă&#x; admitindo que este triângulo tem ĂĄrea igual a 225 e que o vector de coordenadas Ă?$Ă&#x; %Ă&#x2018; ĂŠ paralelo a um dos seus lados.

4.3. Na figura 4 estĂĄ representado o triângulo EFG â&#x20AC;&#x2DC; para o caso de + Ĺ&#x201C; $ e , Ĺ&#x201C; * Os pontos Ew e G w pertencem a EFâ&#x20AC;&#x2DC; e a FG â&#x20AC;&#x2DC;, respectivamente. ) Sabe-se que EEw G w G â&#x20AC;&#x2DC; ĂŠ um trapĂŠzio cuja ĂĄrea ĂŠ * da ĂĄrea do triângulo EFG â&#x20AC;&#x2DC;

Determine as coordenadas dos pontos Ew e G w Figura 4

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5.

Na figura 5 está representado, num referencial o.n. BSC , o quadrilátero EFGH‘ Sejam T , U ß V e W os pontos médios dos lados desse quadrilátero.

5.1. Mostre que o quadrilátero T UVW ‘ é um paralelogramo,

utilizando

operações

com

vectores.

5.2. Admita que as coordenadas dos pontos T ß Uß V e E são: • T Ð#ß %Ñ • U Ð'ß (Ñ • V Ð'ß $Ñ

Figura 5

• E Ð!ß #Ñ Determine as coordenadas do ponto W e as coordenadas dos vértices F, G e H do quadrilátero EFGH‘

6.

Na figura 6 estão representados, num referencial o.n. BSC, dois paralelogramos semelhantes, EFGH‘ e EIJ K‘ Sabe-se que: • E tem coordenadas Ð "ß #Ñ • F tem coordenadas Ð %ß #Ñ • G tem coordenadas Ð)ß "!Ñ • EJ œ "!

6.1. Determine as coordenadas do ponto H e as coordenadas do ponto J

6.2. Defina, analiticamente, o triângulo EFG ‘

Figura 6

(incluindo o seu interior).

6.3. Suponha que, num dado instante, dois pontos partem de E e se deslocam, um sobre a semi-recta

. Þ EF e o outro sobre a semi-recta EG . Admita que a unidade do referencial é o centímetro e que qualquer dos pontos percorre cada centímetro num minuto. A que distância, um do outro, se encontram os dois pontos, cinco minutos depois de iniciarem o

seu deslocamento?

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7.

Considere, num referencial o.n. BSC , o conjunto dos pontos cujas coordenadas satisfazem a condição C , B. Seja E esse conjunto de pontos.

7.1. Represente graficamente: â&#x20AC;˘ uma recta < que esteja contida em E â&#x20AC;˘ uma recta = que nĂŁo intersecte E â&#x20AC;˘ uma recta > tal que o conjunto das abcissas dos pontos de intersecção dessa recta com E seja â&#x20AC;&#x2DC;#Ă&#x;  â&#x2C6;&#x17E; Escreva as equaçþes reduzidas das rectas <, = e > que desenhou.

7.2. Determine o conjunto dos valores reais de 5 para os quais o ponto de coordenadas Ă?5Ă&#x; ' 5Ă&#x2018; nĂŁo pertence a E

8.

Na figura 7 estĂĄ representado, num referencial o.n. SBCD , o cubo EFGHIJ KL â&#x20AC;&#x2DC; Sabe-se que: â&#x20AC;˘ o centro do cubo coincide com a origem do referencial; â&#x20AC;˘ as arestas do cubo sĂŁo paralelas aos eixos coordenados; â&#x20AC;˘ os pontos Q , R e T sĂŁo os pontos mĂŠdios das arestas a que pertencemĂ  â&#x20AC;˘ o ponto E tem coordenadas " , " , " Considere o vector  ? e os pontos \Ă&#x; ] e ^   â&#x20AC;˘  ? Ĺ&#x201C; Q R  FT  â&#x20AC;˘ \ Ĺ&#x201C; E  GK

Figura 7

"  â&#x20AC;˘ ] Ĺ&#x201C; \  # \J  â&#x20AC;˘ ^ Ĺ&#x201C; \  Ĺ  ?  EG â&#x20AC;š

8.1. Represente os pontos \ , ] e ^ (por construção geomĂŠtrica, sem recorrer a coordenadas). 8.2. Defina, por uma condição, o lugar geomĂŠtrico dos pontos [ para os quais o ponto \ pertence ao plano mediador do segmento F[ â&#x20AC;&#x2DC; Identifique esse lugar geomĂŠtrico, no contexto do problema.

8.3. A recta definida pela equação B , C , D Ĺ&#x201C; " , " , "  5 ! , " , ", 5 â&#x2C6;&#x2019; â&#x20AC;&#x2DC; intersecta a recta \H Determine as coordenadas do ponto de intersecção.

8.4. A secção produzida no cubo pelo plano definido pelos pontos I , ] e ^ divide o cubo em dois sólidos. Determine o volume do sólido que contÊm o ponto K

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9.

Na figura 8 estĂĄ representado, num referencial o.n. SBCD , o cubo SEFGHIJ Kâ&#x20AC;&#x2DC; Sabe-se que: â&#x20AC;˘ um dos vĂŠrtices do cubo coincide com a origem do referencial; â&#x20AC;˘ os vĂŠrtices EĂ&#x; G e I pertencem aos eixos SB, SC e SD , respectivamente; â&#x20AC;˘ o vĂŠrtice K tem coordenadas Ă?"!Ă&#x; "!Ă&#x; "!Ă&#x2018; â&#x20AC;˘ o ponto T pertence Ă  aresta J Kâ&#x20AC;&#x2DC; e tem ordenada $ â&#x20AC;˘ o ponto U pertence Ă  aresta IHâ&#x20AC;&#x2DC; e tem ordenada ( â&#x20AC;˘ o ponto W pertence Ă  aresta FG â&#x20AC;&#x2DC; e tem abcissa & â&#x20AC;˘ a secção determinada no cubo pelo plano T UW ĂŠ o pentĂĄgono T UVWX â&#x20AC;&#x2DC;

Figura 8

9.1. Determine as coordenadas dos vĂŠrtices do pentĂĄgono Ă&#x2019;T UVWX Ă&#x201C; 9.2. Seja M o ponto de intersecção da recta T U com o plano BSD Determine a ĂĄrea do triângulo Ă&#x2019;IM GĂ&#x201C;

10.

Na figura 9 estĂĄ representado, em referencial o.n. SBCD , um prisma quadrangular regular Ă&#x2019;EFGHIJ KLĂ&#x201C; (o ponto L nĂŁo estĂĄ representado na figura). Sabe-se que: â&#x20AC;˘ o ponto E tem coordenadas Ă?"%Ă&#x; (Ă&#x; %Ă&#x2018; â&#x20AC;˘ o ponto F tem coordenadas Ă?"'Ă&#x; %Ă&#x; "!Ă&#x2018; â&#x20AC;˘ o ponto G tem coordenadas Ă?"!Ă&#x; 'Ă&#x; "$Ă&#x2018; â&#x20AC;˘ o ponto I tem coordenadas Ă?)Ă&#x; &Ă&#x; !Ă&#x2018;

10.1. Determine as coordenadas dos restantes vĂŠrtices do prisma.

10.2. Determine o volume do prisma. Figura 9

10.3. Defina, por uma condição, a aresta Ă&#x2019;EFĂ&#x201C; 10.4. Escreva uma equação da superfĂ­cie esfĂŠrica que contĂŠm os oito vĂŠrtices do prisma. 10.5. Determine a ĂĄrea da secção produzida no prisma pelo plano EFK 10.6. Determine uma equação do plano HFJ Apresente a sua resposta na forma +B  ,C  -D Ĺ&#x201C; . +, , , - e . designam nĂşmeros reais Nota: o plano HFJ ĂŠ o plano mediador de um segmento cujos extremos sĂŁo dois vĂŠrtices do prisma.

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Matemática A Itens – 10.º Ano de Escolaridade – Soluções

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Itens de Matemática A - 10º Ano de Escolaridade Soluções 1.

A área do triângulo \] ^ ‘ é igual a 1

2.1.

GÐ'ß &Ñ , IÐ#ß !Ñ e EÐ!ß $Ñ

2.2.

") ' RŠ & ß & ‹

2.3.

" C œ # B  " • B − Ò#ß 'Ó

2.4.

" " !B' • !C & • # B"C  # B$

3.1.

EÐ  #ß $Ñ e

3.3.

"( &

ÐBß CÑ œ Ð#ß !Ñ  5Ð%ß #Ñß 5 − Ò!ß "Ó

ou

GÐ#ß  $Ñ

3.4. A origem do referencial pertence ao interior do círculo de diâmetro ÒEFÓ 4.2.

*&&È($ #

4.3.

Ew Ð  "ß 'Ñ e

5.2.

WÐ#ß !Ñ , FÐ%ß 'Ñ , GÐ)ß )Ñ e HÐ%ß  #Ñ

6.1.

HÐ""ß 'Ñ e J Ð&ß 'Ñ

6.2.

% # C   $B  $

6.3.

'

7.1.

Cada uma das rectas, <, = e >, que desenhou, deve pertencer a cada uma das seguintes famílias de

" G w Š # ß '‹

% "! • C    $B  $

# "% • C Ÿ $B  $

rectas: < À C œ B  , sendo , um número real negativo = À C œ B  , sendo , um número real não negativo > À C œ 7ÐB  #Ñ  # sendo 7 um número real menor do que 1

7.2.

Ó  ∞ß $Ó

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8.1.

Þ \ é o ponto da semi-recta IL tal que E\ œ GK , ] é o ponto médio de LK‘ e ^ é o ponto médio de FK‘

8.2.

\[ œ \F Í B  " #  C  $ #  D  " # œ "# É a superfície esférica de centro no ponto \ e que contém o ponto B.

8.3.

" " Š"ß $ ß $ ‹

8.4.

( $

9.1.

T Ð"!ß $ß "!Ñß UÐ!ß (ß "!Ñß VÐ!ß "!ß %Ñ, WÐ&ß "!ß !Ñ e X Ð"!ß )ß !Ñ "(& È# #

9.2.

10.1. HÐ)ß  *ß (Ñß J Ð"!ß )ß 'Ñß KÐ%ß 'ß *Ñ e LÐ#ß $ß $Ñ 10.2. ')' 10.3. Bß Cß DÑ œ Ð"%ß  (ß %  5 #ß $ß ' ß 5 − !ß "‘ # # "%( 10.4. B  * #  ŠC  "# ‹  ŠD  "$ # ‹ œ #

10.5. %* È& 10.6. %B  C  *D œ  ##

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