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Kurzbeschreibungen zu einigen Modulen, die im Programm MathProf 5.0 unter dem Themenbereich Analysis implementiert sind.
• Mathematische Funktionen I Das Modul Mathematische Funktionen I ermÜglicht die gleichzeitige grafische Darstellung und Koordinatenwertanalyse von bis zu acht mathematischen Funktionen der Form y = f(x,p).
• Mathematische Funktionen II Das Modul Mathematische Funktionen I ermöglicht die Durchführung von Analysen mit Optionen mathematischer Funktionen in expliziter Form. Ermöglicht wird die Darstellung und Untersuchung der: · Funktion f(x,p) · 1. Ableitung f'(x,p) von f(x,p) · 2. Ableitung f''(x,p) von f(x,p) · Umkehrfunktion (Umkehrkurve) fu(x,p) von f(x,p) · Krümmungskurve fk(x,p) von f(x,p) · Spiegelung von f(x,p) an der y-Achse → f(-x,p) · Spiegelung von f(x,p) an der x-Achse → -f(x,p) · Spiegelung von f(x,p) am Koordinatenursprung → -f(-x,p) · doppelten Anwendung der Funktionsarg. auf Funktion f(x,p) → f(f(x,p)) · Stammfunktion F(x) von f(x) mit Konstantenwert C = 0 · Evolute fe(x) von f(x) · Funktion g(x,p) · 1. Ableitung g'(x,p) von g(x,p) · 2. Ableitung g''(x,p) von g(x,p) · Umkehrfunktion (Umkehrkurve) gu(x,p) von g(x,p) · Krümmungskurve gk(x,p) von g(x,p) · Spiegelung von g(x,p) an der y-Achse → g(-x,p) · Spiegelung von g(x,p) an der x-Achse → -g(x,p) · Spiegelung von g(x,p) an Koordinatenursprung → -g(-x,p) · doppelten Anwendung der Funktionsarg. auf Funktion g(x,p) → g(g(x,p)) · Stammfunktion G(x) von g(x) mit Konstantenwert C = 0 · Evolute ge(x) von g(x) Ferner können Funktionsverknüpfungen folgender Formen ausgegeben werden: · Addition zweier Funktionen: f(x,p) + g(x,p) · Subtraktion zweier Funktionen: f(x,p) - g(x,p) · Multiplikation zweier Funktionen: f(x,p) · g(x,p) · Division zweier Funktionen: f(x,p) / g(x,p)
• Funktionen in Parameterform Das Modul Funktionen in Parameterform ermöglicht die gleichzeitige Darstellung und Untersuchung von bis zu drei Funktionen, die in Parameterform durch Terme der Form x = f(k,p) und y = f(k,p) definiert sind. · Darstellung von Funktionen in Parameterform, beschrieben durch Terme der Form x = f(k,p) und y = g(k,p) · Darstellung der 1. Ableitung von Funktionen in Parameterform, beschrieben durch Terme der Form x = f(k,p) und y = g(k,p) · Ortspunktanalyse von Funktionen in Parameterform, beschrieben durch Terme der Form x = f(k,p) und y = g(k,p) · Kurvenverlaufsanalyse von Funktionen in Parameterform, beschrieben durch Terme der Form x = f(k,p) und y = g(k,p)
• Funktionen in Polarform Das Modul Funktionen in Polarform ermöglicht die gleichzeitige grafische Darstellung und Untersuchung von bis zu drei Funktionen die in Polarform, beschrieben durch einen Term der Form r = f(w,p) bzw. r = f(φ,p), definiert sind. · Darstellung von Funktionen in Polarform, beschrieben durch einen Term der Form r = f(w,p) bzw. r = f(φ,p) · Darstellung der 1. Ableitung von Funktionen in Polarform, beschrieben durch einen Term der Form r = f(w,p) bzw. r = f(φ,p) · Ortspunktanalyse von Funktionen in Polarform, beschrieben durch einen Term der Form r = f(w,p) bzw. r = f(φ,p) · Kurvenverlaufsanalyse von Funktionen in Polarform, beschrieben durch einen Term der Form r = f(w,p) bzw. r = f(φ,p)
• Segmentweise definierte Funktionen Das Modul Segmentweise definierte Funktionen ermöglicht die Darstellung von Kurven der Form y = f(x,p), die über ihren gesamten Definitionsbereich hinweg durch mehrere Funktionen beschrieben werden.
• Kurvenscharen Das Modul Kurvenscharen ermöglicht die grafische Darstellung von Kurvenscharen mathematischer Funktionen verschiedener Definitionsformen. Hierbei wird die Ausgabe und Analyse von Kurvenscharen folgender Arten ermöglicht:
· Kurvenschar mit Funktionen in expliziter Form y = f(x,u,p) · Kurvenschar, beschrieben durch Funktionen in Parameterform x = f(k,u,p) und y = g(k,u,p) · Kurvenschar mit Funktionen in Polarform r = f(w,u,p) bzw. r = f(φ,u,p)
• Funktionsparameteranalyse Das Modul Funktionsparameteranalyse ermöglicht die Untersuchung des Verhaltens mathematischer Funktionen in Abhängigkeit von bis zu drei Parametern. Analysen dieser Art können mit Funktionen einer der nachfolgend aufgeführten Art durchgeführt werden: · Funktionen in expliziter Form y = f(x,u,v,p) · Funktionen in Parameterform, beschrieben durch x = f(k,u,v,p) und y = g(k,u,v,p) · Funktionen in Polarform r = f(w,u,v,p) bzw. r = f(φ,u,v,p)
• Funktionsschnittpunkte Das Modul Funktionsschnittpunkte ermöglicht die numerische Ermittlung und grafische Darstellung der Schnittpunkte zweier Funktionen, die in expliziter Form definiert sind. Hierbei werden u.a. ermittelt und grafisch ausgegeben: · Schnittpunkte und Schnittwinkel zweier Funktionen der Formen y = f1(x) und y = f2(x) · Gleichungen der Tangenten und Normalen in den Schnittpunkten dieser Funktionen · Eigenschaften der Krümmungskreise der Funktionen, welche durch diese Schnittpunkte verlaufen
• Parameter der Sinus- und Cosinusfunktion Das Modul Parameter der Sinus- und Cosinusfunktion ermöglicht die interaktive Analyse des Einflusses von Parametern auf Sinus- und Cosinusfunktionen. Eine Veränderung entsprechender Parameter beeinflusst/bewirkt: · Streckung bzw. Stauchung der Funktion in y-Richtung · Änderung der Länge der kleinsten Periode der Funktion · Verschiebung der Funktion in x-Richtung · Verschiebung der Funktion in y-Richtung
• Kubische Funktion in allgemeiner Form Das Modul Kubische Funktionen in allgemeiner Form ermöglicht die Durchführung von Untersuchungen mit kubischen Funktionen der Form f(x) = ax³ + bx² + cx + d. Zudem erfolgt die Ermittlung von Nullstellen, Extrema und Wendepunkten der entsprechenden Funktion sowie die Darstellung derer 1. und 2. Ableitung.
• Zahlenfolgen und rekursive Zahlenfolgen Verschiedene Module zu den Themengebieten Zahlenfolgen und rekursive Zahlenfolgen ermöglichen die numerische und interaktive Untersuchung und Darstellung reeller Zahlenfolgen. Es werden Tabellen für Glieder, Werte und Partialsummen der zu untersuchenden Zahlenfolge ausgegeben. Zudem erfolgt die Ermittlung des Grenzwerts der entsprechenden Zahlenfolge.
• Parabelgleichungen Das Modul Parabelgleichungen ermöglicht die interaktive, detaillierte Untersuchung quadratischer Funktionen. Das Programm erlaubt die Durchführung von Analysen mit quadratischen Funktionen folgender Darstellungsformen: · Allgemeine Form · Normalform · Scheitelpunktform · Nullstellen-Form · 3-Punkte-Form · Parameter-Darstellung · Allgemeine Gleichung-Hauptform Es können u.a. folgende Untersuchungen durchgeführt werden: · Ermittlung der Schnittpunkte zweier Funktionen (Parabeln und Geraden) · Ermittlung der von zwei Parabeln eingeschlossenen Fläche Zudem werden folgende Eigenschaften von Geraden und Parabeln ermittelt und ausgegeben: · Gleichungen der Funktionen · Parameter p und q, sowie Diskriminante von Parabeln · Nullstellen der Parabeln bzw. Geraden · Scheitelpunkte von Parabeln
• Parabel und Gerade Das Modul Parabel und Gerade ermöglicht die interaktive Durchführung von Analysen mit quadratischen Funktionen folgender Darstellungsformen: · Allgemeine Form · Normalform · Scheitelpunktform · Nullstellen-Form · 3-Punkte-Form · Parameter-Darstellung · Allgemeine Gleichung-Hauptform Geraden können in einer der nachfolgend aufgeführten Formen definiert werden: · Steigungs-Form · Zwei-Punkte-Form · Hessesche Normalenform · Achsenabschnittsform · Allgemeine Form Es können u.a. folgende Untersuchungen durchgeführt werden:
· Ermittlung der Schnittpunkte zweier Funktionen · Ermittlung der Fläche zwischen einer Gerade und einer Parabel Zusätzlich werden folgende Eigenschaften der Geraden und Parabeln ermittelt und ausgegeben: · Funktionsgleichungen der Parabeln und Geraden · Parameter p und q, sowie Diskriminante der Parabeln · Nullstellen der Parabeln und Geraden · Scheitelpunkte der Parabeln
• Analyse quadratischer Funktionen Das Modul Analyse quadratischer Funktionen ermöglicht die Untersuchung einer quadratischen Funktion der Form f(x) = a (x - b)² + c. Eine Veränderung entsprechender Parameter beeinflusst/bewirkt: · Streckung bzw. Stauchung der Parabel · Verschiebung der Funktion in x-Richtung · Verschiebung der Funktion in y-Richtung
• Ermittlung ganzrationaler Funktionen Das Modul Ermittlung ganzrationaler Funktionen ermöglicht die Bestimmung der Gleichungen ganzrationaler Funktionen aus vorgegebenen Bedingungen. Diese können sein: · Koeffizienten a[i] der Funktionsgleichung · Punkte, durch welche die Funktion verläuft · Punkte, durch welche die 1. Ableitung der Funktion verläuft · Punkte, durch welche die 2. Ableitung der Funktion verläuft Auch erfolgt die Ausgabe der 1., 2. und 3. Ableitung, sowie einer Stammfunktion der ermittelten Kurve.
• Ganzrationale Funktionen Das Modul Ganzrationale Funktionen ermöglicht die Durchführung der Analyse einer Interpolationsfunktion mit Hilfe mauspositionierbarer Punkte. Durch die Definition von bis zu fünf Stützstellen ermittelt das Programm interpolativ aus vorgegebenen Punkten eine ganzrationale Funktion, die durch diese Punkte verläuft.
• Gebrochenrationale Funktionen Das Modul Gebrochenrationale Funktionen ermöglicht die Durchführung von Untersuchungen mit echt gebrochenrationalen Funktionen. Es lassen sich darstellen: · Gebrochenrationale Funktion f(x) · Teilfunktionen g1(x) und g2(x) der Funktion f(x) · 1. Ableitung der Funktion f(x) · 2. Ableitung der Funktion f(x) · Polgerade der Funktion f(x) · Asymptote der Funktion f(x) Zudem werden ermittelt: · Gleichung der Asymptote (Hüllkurve) der Funktion f(x) · Nullstellen und Pole der Funktion f(x) · Extremwerte der Funktion f(x) · Wendepunkte der Funktion f(x)
• Interpolation nach Newton und Lagrange Das Modul Interpolation nach Newton und Lagrange ermöglicht die interaktive Ermittlung von Interpolationspolynomen nach den Methoden von Newton und Lagrange. Das Programm ermittelt aus bis zu 100 vorgegebenen Stützstellen interpolativ eine ganzrationale Funktion, die näherungsweise durch diese verläuft. Zudem kann die Durchführung einer Kurvendiskussion für die ermittelte Funktion veranlasst werden. Hierbei werden Nullstellen, Hoch- und Tiefpunkte, sowie Wendepunkte der Näherungsfunktion ermittelt und ausgegeben.
• Polynomregression Das Modul Polynomregression ermöglicht die Auffindung von Näherungspolynomen bis achten Grades, die durch mindestens 3 und maximal 8 Stützstellen beschrieben werden. Zudem kann die Durchführung einer Kurvendiskussion für das ermittelte Näherungspolynomen veranlasst werden. Hierbei werden Nullstellen, Hoch- und Tiefpunkte, sowie Wendepunkte der Näherungsfunktion ermittelt und ausgegeben.
• Nullstellen - Iterationsverfahren Das Modul Nullstellen - Iterationsverfahren ermöglicht die Durchführung interaktiver Analysen von Methoden, die bei der Nullstellenbestimmung mathematischer Funktionen Anwendung finden. Folgende Verfahren können untersucht werden: · Regula falsi 1. Art · Regula falsi 2. Art
· Allgemeines Iterationsverfahren · Newton-Verfahren · Vereinfachtes Newton-Verfahren · Intervallhalbierungsverfahren
• Horner-Schema Das Modul Horner-Schema ermöglicht die numerische Anwendung des Horner-Schemas mit ganzrationalen Funktionen bis sechsten Grades, welches u.a. zur Bestimmung der Nullstellen derartiger Funktionen Anwendung findet sowie die Darstellung der untersuchten Funktion und derer Ableitungen.
• Tangente - Normale Das Modul Tangente - Normale ermöglicht die Ermittlung der Tangente und Normale einer Funktion y = f(x,p) bei einem bestimmten Abszissenwert Px bzw. Qx. Es werden u.a. berechnet und ausgegeben: · Funktionswert an Stelle Px (Qx) · Steigungswinkel der Tangente in Punkt P (Q) · Funktionswert der 1. Ableitung der Funktion in Punkt P (Q) · Gleichung der durch Punkt P (Q) verlaufenden Tangente · Abstand der durch Punkt P (Q) verlaufenden Tangente zum · Koordinatenursprung · Nullstelle der durch Punkt P (Q) verlaufenden Tangente · Steigungswinkel der Normale in Punkt P (Q) · Gleichung der durch Punkt P (Q) verlaufenden Normale · Abstand der durch Punkt P (Q) verlaufenden Normale zum Koordinatenursprung · Nullstelle der durch Punkt P (Q) verlaufenden Normale · Eigenschaften des durch Punkt P (Q) verlaufenden Krümmungskreises · Krümmung der Kurve in Punkt P (Q)
• Tangente - Sekante Das Modul Tangente - Sekante ermöglicht die Analyse der Herleitung der Differenzialrechnung anhand des 'Sekantenproblems'. Für zwei auf einer Funktionskurve f(x) liegende Punkte P und Q werden ermittelt und ausgegeben: · Funktionswerte an den Stellen Px und Qx · Steigung der durch die Punkte P und Q verlaufenden Sekante · Steigungswinkel der durch die Punkte P und Q verlaufenden Sekante · Gleichung der durch die Punkte P und Q verlaufenden Sekante · Abstand der durch die Punkte P und Q verlaufenden Sekante zum Koordinatenursprung · Nullstelle der durch die Punkte P und Q verlaufenden Sekante Bei Ausgabe der grafischen Darstellung werden zudem angezeigt: · Steigung der durch Punkt P verlaufenden Tangente · Steigungswinkel der durch Punkt P verlaufenden Tangente · Gleichung der durch Punkt P verlaufenden Tangente
• Tangente und Normale von externem Punkt Das Modul Tangente und Normale von externem Punkt ermöglicht die Ermittlung von Tangenten und Normalen an Kurven, welche durch einen, extern dieser liegenden, Punkt verlaufen. Das Programm ermittelt hierbei die, durch einen von der Kurve extern liegenden Punkt verlaufenden Tangenten an diese und gibt folgendes aus: · Gleichungen der Tangenten an eine Kurve, die durch einen extern liegenden Punkt, sowie einen auf der Kurve liegenden Punkt verlaufen · Tangentenpunkte der Kurve, durch welche zuvor aufgeführte Tangenten verlaufen · Steigungswinkel zuvor aufgeführter Tangenten · Gleichungen der Normalen, die durch die ermittelten Tangentenpunkte der Kurve verlaufen · Steigungswinkel der Normalen, die durch die ermittelten Tangentenpunkte der Kurve verlaufen
• Kurvendiskussion Verschiedene Module zum Fachthema Kurvendiskussion ermöglichen die Durchführung von Analysen zur Bestimmung von Nullstellen, Extrema, Wendepunkten und weiterer Eigenschaften mathematischer Funktionen. Das Programm untersucht hierbei Funktionen auf folgende Punkte und Eigenschaften: · Nullstellen · Pole · Extrema (Hoch- und Tiefpunkte) · Wendepunkte Zusätzlich werden ausgegeben: · Eigenschaft der Funktion · Koordinaten des Schnittpunkts der Kurve mit der Y-Achse · Tangentensteigung in ermittelten Kurvenpunkten · Gleichungen der Tangenten und Normalen in ermittelten Kurvenpunkten · Art der Krümmung an ermittelten Kurvenpunkten · Eigenschaften der durch Extrema und Nullstellen verlaufenden Krümmungkreise
Grafisch darstellen lassen sich: · Untersuchte Funktion f(x) · 1. Ableitung f'(x) der untersuchten Funktion f(x) · 2. Ableitung f''(x) der untersuchten Funktion f(x) · 3. Ableitung f'''(x) der untersuchten Funktion f(x) · Polstellen der untersuchten Funktion f(x) · Tangenten in Nullstellen, Extrema und Wendepunkten der untersuchten Funktion f(x) · Normalen in Nullstellen, Extrema und Wendepunkten der untersuchten Funktion f(x) · Krümmungskreise durch Nullstellen und Extrema der untersuchten Funktion f(x)
• Obersummen und Untersummen Das Modul Ober- und Untersummen ermöglicht die Untersuchung expliziter Funktionen bzgl. Ober- und Untersummen innerhalb eines frei wählbaren Intervallbereichs, in Abhängigkeit einer festlegbaren Anzahl von Stützstellen. Es werden die Berechnungsergebnisse folgender Werte ausgegeben: · Obersumme · Untersumme
· Mittelwert (von Ober- u. Untersumme) · Fehlerintervall (Differenz Ober- / Untersumme) · Fläche orientiert (Der exakte Wert des Integrals zwischen den Grenzen x1 und x2, mit welchem die Berechnungsergebnisse verglichen werden können)
• Integrationsmethoden Das Modul Integrationsmethoden ermöglicht die Gegenüberstellung und Untersuchung verschiedener Integrationsmethoden, sowohl numerisch, wie auch grafisch. Es stehen zur Auswahl: · Simpson-Methode · Rechteck-Methode · Trapez-Methode Zur numerischen Ermittlung von Integralen werden folgende Verfahren zur Verfügung gestellt. · Rechteckregel (Obersummen) · Rechteckregel (Untersummen) · Trapezregel · Simpson-Verfahren · 3/8-Regel · 4. Newton-Cotes-Formel
· 5. Newton-Cotes-Formel · 6. Newton-Cotes-Formel · 7. Newton-Cotes-Formel · Tschebychow-Verfahren · Gauß-Quadratur
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