8.4. CASO GENERALE
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Si ottengono cos`ı le seguenti formule: (8.4.9) ∆ −λ1 t e−λ1 t N = 1 − e 2 λ2 .................................................. h λ3 ...λm λ2 ...λm −λ1 t e−λ1 t + ... − Nm = n2 ...nm,1 ∆ 1 − e λm (λ −λ )...(λm −λ ) (λ −λm )...(λ 3
2
2
2
m−1
i −λ1 t e−λm t 1 − e −λm )
Se si fa in modo che si stabilisca il regime permanente prima di separare la sostanza primaria, si pu`o porre τ = ∞, e le formule precedenti divengono N2 = λ∆ e−λ1t 2 .................................................. (8.4.10) i h λ3 ...λm λ2 ...λm −λ t −λ t Nm = n ...n ∆ m 1 + ... − (λ −λm )...(λ −λm ) e 2 m,1 λm (λ −λ )...(λm −λ ) e 3
2
2
2
m−1
Confrontando le formule 8.4.10 e 8.4.7, si trova che i termini che si corrispondono hanno una costante per tutti i valori del tempo. Queste somme rappresentano i valori delle soluzioni limite 8.4.8. Ne risulta la seguente proposizione del tutto generale: Quando una famiglia di sostanze radioattive deriva da un sostanza primaria costante, e quando si considera l’evoluzione della famiglia a partire da uno stato iniziale in cui la sostanza primaria `e la sola presente, la quantit`a di ogni sostanza derivata tende verso un limite che corrisponde all’equilibrio radioattivo, e l’eccesso della quantit`a che corrisponde all’equilibrio sulla quantit`a realmente presente decresce per ogni sostanza secondo una certa legge. Se, dopo aver ottenuto l’equilibrio, si separa la sostanza primaria, la quantit`a di ogni sostanza derivata decresce secondo una certa legge, e questa legge `e la stessa della precedente. Le due evoluzioni considerate sono dette complementari. Se si rappresenta con una curva la legge di variazione rispetto al tempo per una delle sostanza in ciascuna delle due evoluzioni, la somma delle relative ordinate, nelle due curve, per uno stesso valore del tempo rimane costante e misura la quantit`a di questa sostanza nell’equilibrio radioattivo. Le due curve sono dette complementari. La stessa proposizione si applica agli equilibri di regime ad un livello di approssimazione tanto maggiore quanto l’evoluzione della sostanza primaria `e pi` u lenta. La teoria delle trasformazioni radioattive che `e stata esposta suppone che la disintegrazione degli atomi di una sostanza radioattiva semplice comporti la formazione diretta di una sola specie di atomi radioattivi. Questa ipotesi si `e mostrata, in generale, sufficiente; tuttavia non sembra in grado di rendere conto della parentela probabile tra la famiglia dell’attinio da una parte, e le famiglie dell’uranio e del radio, dall’altra. L’attivit`a relativa attribuibile all’attinio e ai suoi derivati nei minerali di uranio `e minore di quella che si potrebbe prevedere in base all’ipotesi precedente. Si `e cos`ı portati a considerare la possibilit`a di altre modalit`a di trasformazione, nelle quali due specie di atomi radioattivi possono derivare direttamente da una stessa sostanza primaria; la disintegrazione `e allora detta multipla. Si pu`o pensare a due modi di disintegrazione multipla: 1° Un atomo radioattivo di una data specie produce numerosi atomi radioattivi di specie diverse; 2° tra gli atomi radioattivi di una certa specie, una data proporzione `e utilizzata per la produzione di un certo elemento radioattivo, mentre un’altra parte `e utilizzata nello stesso tempo per la formazione di un diverso elemento radioattivo. M. Soddy16 ha mostrato che la seconda modalit`a di disintegrazione multipla permette di stabilire tra l’uranio, il radio e l’attinio un legame conforme ai risultati sperimentali dedotti dallo studio dei minerali di uranio. Siano N il numero di atomi di una sostanza primaria all’istante t, e N0 il valore di N per t = 0. Supponiamo che un numero di atomi λ1 N sia distrutto per unit`a di tempo con formazione di un pari numero di atomi di una sostanza radioattiva A, e che nello stesso tempo un numero di atomi λ2 N dia origine ad una sostanza B. Indichiamo con A e B i numeri di atomi delle 16Soddy, Phil. Mag., 1909.