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Colegio Internacional Pinosierra Departamento de Matemรกticas

Cuaderno de apoyo y taller de matemรกticas 3ยบ E.S.O.

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TALLER 3º E.S.O. 1º Operaciones combinadas con fracciones...............Pág.:3 2º Problemas con fracciones:......................................Pág.:4 3º Fracción generatriz.................................................Pág.:5 4º Números reales, notación científica.......................Pág.:5 5º Potencias.................................................................Pág.:6 y 7 6º Radicales.................................................................Pág.:7 ,8,9, y 10 7º Sucesiones y progresiones......................................Pág.:11 y 12 8º Polinomios..............................................................Pág.:13 y 14 Identidades notables...............................Pág.:15 Factorización..........................................Pág.:16 y 17 Regla de Ruffini.....................................Pág.:18 9º Fracciones algebraicas............................................Pág.:19 y 20 10º Ecuaciones de 1er grado........................................Pág.:21 11º Problemas de ecuaciones de 1er grado..................Pág.:22 12º Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas...Pág.:23 13º Problemas de sistemas de dos ecuaciones ..........Pág.:24 14º Sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas...Pág.:25 15º Ecuaciones de segundo grado...............................Pág.:26 y 27 16º Problemas de ecuaciones de segundo grado.........Pág.:28 17º Ecuaciones bicuadradas y de orden superior……Pág.:29 18º Funciones lineales ...............................................Pág.:30 19º Funciones cuadráticas...........................................Pág.:31 20 º Estudio de una función a partir de su gráfica…...Pág.:31 y 32 21º Geometría. Figuras planas....................................Pág.:33 y 34 22º Figuras en el espacio.............................................Pág.:35 y 36

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1º OPERACIONES COMBINADAS CON FRACCIONES Realizar las siguientes operaciones respetando la jerarquía de operaciones y paréntesis: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14.

10 7 2 1  2 3  + + − − +  3 3 3 6  3 6 1 1 1 3 2 3 5 + + − + − − 2 4 8 4 16 4 8 3 48 3 −7+ +3− 4 6 2  1 1  2 3 1−  +  +  −   2 3  3 2 7  2 5 1 2 − + − +  3  6 9 3 6 4−

5   2 1  − 1−  +  2   3 4   3 5 1 4  3 1  − −  −  8  3 2  11  4 5  5  3 1 2  1 3 − − +  +  −  8  4 2 3  2 4 1 1 1 1 − − − 2 4 8 16 3 1  3 2   − + 2  −  − + 1 5 4  4 5   1  3 1 1 1 1 +  −  +  +  −   3  4 2  3 4 1 1  1 1   1 1  3 − 4 −  −  + 3 :  :   3 2  3 2  4 5  ( 3 − 4)  1 − 1  1 − 1  +  3 : 1  : 1   3 2  4 5   3  2   1 1  1 1   3   +  −  + 5 − 3 4 : + 1  3 2  2 4   5 

 3 1   3 1 2 3  15  +  − 1 −  −  + −   5 3    4 2  3 20  3 2 4 5 1 3 3 16. : − : + − : 5 3 5 4 3 4 7  2 − 7 5 1  4 2 1 17.  + − +  :− + −  2 6 4  3 3 6 3 18.

 3 1   3  +  − 1 −  −  5 3   4

1 2 3  + − 2  3 20 

19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28.

 1 1 2 1 4  2 3  − + − − − +   2 3 3 3 6  3 6 1 1 1 2 4 5 5 + + − + − − 3 9 27 9 27 3 9 3 1 2 −2+ +4− 4 6 3 1 1 2 3    2− + + −   3 2  6 3 5  3 2  4 1 − + − +  3  6 9  3 6 7   2 31   − 2− +  3   3 2   6  5 1  10  3  − −  − 7  3 2 7  4 3 3 − − 4 4

2  5

1  10  1 3  +  −  2 3  2 8

 1 1 1 1 1  − − − +  2 4 8  16 4 3 1  3 2   − + 3 −  − + 1 2 3  4 6 

29.

 1  3 1  1 1 1 +  −  +  +  −   2  2 4  4 3

30.

1 1  1 1   1 1  2 − 3 −  −  + 2 :  :    3 2   2 10  4 5 

31.

( 2 − 4)  1 − 1  1 − 1  +  2 : 2  : 1 

32.

 6 2  6 3   3  3   1 1  1 1   3   +  −  + 4 − 3 3 : + 1 5 2 5 2     5 

 3 1   3 1 1 4  33  +  − 1 −  −  + −   2 3    4 2  3 12  3 2 4 2 1 1 3 34. : − : + − : 2 3 3 4 3 4 2  2 3 5 1  4 1 1 35.  + − +  :  + −   3 2 3 6  3 3 6 36.

1 1   5 1 2 3   +  − 1 −  −  + −   5 2    4 2  3 10 

2º PROBLEMAS CON FRACCIONES 3


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1º De un trozo de cuerda. El primer día cortan 1/3 , el segundo día 2/5 del resto y el tercer día quedan 12m. Calcular la longitud de la cuerda. 2º Dos amigos van de excursión. El primer día recorren 2/5 del trayecto, el segundo día 1/3 del trayecto y el tercer día el resto que son 24 Km. Calcular el trayecto de la excursión. 3º De una bolsa de caramelos. Luis se come 2/9 , Sonia 2/9 y Laura 3/9 .El resto de los niños se comieron 16 en total. Calcular el número de caramelos que se comieron Luis Sonia y Laura 4º El equipo de baloncesto de un colegio juega la final de un campeonato. Luis hizo 1/8 de los puntos Sonia 2/8 y Laura 3/8 . Los jugadores restantes hicieron 16 puntos. Calcular el número de puntos hechos por Luis Sonia y Laura 5º Una motorista recorre 90 kms en tres cuartos de hora y otro recorre 60 kms en media hora. ¿ Cuál es más rápido? 6º Una lata de limonada contiene 1/3 de litro. Carolina, para celebrar su cumpleaños, ha comprado 30 latas. ¿ Cuántos litros ha comprado? 7º Un viticultor vende 1/3 de su cosecha y luego 4/7 de lo restante. Si le quedan 120 hectolitros, ¿cuánto cosechó? 8º En la merienda Ana se ha comido la mitad de la tarta, María la cuarta parte, Elena la sexta parte y el plato se ha quedado vacío. ¿Es cierto? Justifica la respuesta. 9º El padre de Carlos gasta 2/5 de su sueldo en el alquiler de su casa y los 5/6 del resto en comida. Si después de pagar el alquiler y la comida le quedan 300 €, ¿cuántos euros gastó en comida? (Expresa el resto con una operación combinada) 10º En una planta de recogida de basuras, la tercera parte corresponde a envases, una cuarta parte son papeles y cartones y el resto son residuos orgánicos. Si en este momento hay almacenados 10000 kilogramos de residuos orgánicos, calcula cuántos kilogramos de basuras hay en la planta. 11º En un congreso participan una tercera parte de españoles y 3/5 de los asistentes son asiáticos. Si hay 50 asistentes de otras procedencias.¿Cuántos congresistas hay? 12º Un caminante realiza las 2/3 partes de un viaje en bicicleta, 1 / 4 en autobús y los 10 kms restantes andando ¿Cuántos kilómetros ha recorrido? 13º Una empresa ha comprado una parcela rectangular. El edificio de la empresa ocupa 2/5 del largo y ¼ del ancho y tiene 300 m2 de planta. ¿Cuántos metros tiene la parcela? 14º El aire es una mezcla de gases. En la capa más próxima a la superficie de la Tierra, se encuentran en las siguientes proporciones: 3 / 4 de nitrógeno, 1 / 5 de oxígeno, 3 / 10000 de anhídrido carbónico y el resto de gases nobles. Halla cuántos litros de cada uno de estos gases se encuentra en un m 3. 15º La sangre humana se compone 9 / 20 de corpúsculos (glóbulos rojos, glóbulos blancos, plaquetas) y el resto de plasma. Sabiendo que de una persona constituye 1 / 14 de su masa cuánto pesan los corpúsculos sanguíneos de una persona de 77 kg?. 16º Una colonia de verano consta de dos pabellones. En el pabellón A hay 320 personas más que en el B. Sabiendo que en B se encuentran los 7 / 22 del total ¿cuántas personas hay en la colonia? 17º En un campo se cultivan flores. La cuarta parte son rosas, la sexta parte, claveles y el resto tulipanes. La sexta parte de la parcela dedicada a rosas es para flores blancas. Si el campo tiene 720 m 2 y en casa m2 se producen 200 flores ¿cuántas rosas blancas se recogieron? 18º En un congreso internacional 3 / 8 de los asistentes son europeos, y la tercera parte, americanos. Hay 49 asistentes que no son ni europeos ni americanos. ¿Cuántos congresistas hay? . 19º La diferencia entre los 4 /5 y los 2 /3 de un número es igual a 8 ¿Cuál es el número? 20º Si se unen dos cables eléctricos, se obtiene un cable de 440m. Si sabemos que uno mide los 4/7 del otro ¿cuál es la longitud de cada cable? 21º Se siembra un huerto con patatas, puerros y zanahorias. Las patatas ocupan una cuarta parte, los puerros, los dos quintos, y las zanahorias el resto. La parte dedicada a los puerros supera en 30 m 2 a la de zanahorias. ¿cuál es la extensión del huerto? 22º Por la compra de un apartamento hemos dado como anticipo 24000€ y nos hemos comprometido a pagar 250 € al mes. Después de 24 meses, hemos pagado los 5 / 8 del precio total. Calcular el precio del apartamento. 23º Isabel da la cuarta parte de su caja de bombones a Elena y de los que le quedan, le da la mitad a Carmen. Carmen da un tercio de su parte a Carlos, al que le tocan 8 bombones. Calcula cuantos bombones tenía la caja y cuantos se llevo cada uno.

3º FRACCIÓN GENERATIZ 1º Transforma en fracción los siguientes decimales exactos. 4


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a) 0,35 b) 1,54 h) 0,1234 i) 135,3

c) 31,2 j) 3,2

d) 4,27 k) 2,22

e) 12,125 l) 4,123

f) 2,33 m) 22,36

g) 123,1 n) 23,023

2º Escribe en forma de fracción : a) 0, 4

b) 31,4

c) 25,1

d) 32, 25

h) 1,21

i) 21,02

j) 12,23

k) 12,0001

l) 12,1232

ñ) 0,1234

o) 1, 43

p) 1002,1

q) 67,2013

r) 12,121

u) 92,12

v) 25, 25

w) 87,034

x) 35,923

y) 12,01

3) 75,1001

4) 7,1023

5)2,034

6)2,9876

2) 23,0023

e) 12,034

f) 23,123 m) 1,0123

g) 12,01 n) 2,012

s) 3, 4

t) 3, 14

z) 1,21

1) 34,43

7) 123,1

8)123,27

3º Escribe en forma de fracción los siguientes números periódicos mixtos: a) 12,0 1

b) 12,12 3

h) 0,12 12

i) 12,1 234

j) 23,52 123 k) 12,123 987

l) 2,1 36

m) 0,123 1

ñ) 98,81 12

o) 23,35 234

p) 127, 45 45 q) 23,23 231

r) 21,0 5

s) 32,23 42

t) 321,00 3

u) 14,125 2

v) 67,001 3

w) 3,9 21

x) 34,01 121

y) 0,35 12

z) 12,1 234

1) 43,5 974

3) 23,1 58

4) 0,345 1

5) 56,1 81

6) 10,31 18

7) 87,89 254

8) 12 ,03 45

2) 12,199 786

c) 123,00 2

d) 12,123 1

e) 12,1223 3

f) 2,2 12

g) 34,01 1 n) 12,1 21

4 º NÚMEROS REALES. NOTACIÓN CIENTÍFICA 1º Se aproxima el número 0,666666........ mediante a) 0,666 b) 0,67 Calcular el error absoluto , el relativo, el orden del error y si es una aproximación por defecto o exceso 2º Se aproxima el número 10/3 mediante a) 3,333 b) 3,34 Calcular el error absoluto , el relativo, el orden del error y si es una aproximación por defecto o exceso 3º Redondear el número 0, 55555…. , con tres cifras. Calcular el error absoluto y relativo y decir si es por defecto o exceso 4º Aproximar el siguiente número 12,232323… con tres cifras decimales. Calcular su error absoluto y relativo ¿ Es por exceso o defecto? 5 Se aproxima el número 0,3535353535…….mediante a) 0,35 b) 0,353 Calcular el error absoluto , el relativo, el orden del error y si es una aproximación por defecto o exceso 6 º Se aproxima el número 1,88888888 mediante a) 1,888 b) 1,89 Calcular el error absoluto , el relativo, el orden del error y si es una aproximación por defecto o exceso 7º Redondear el número 0, 777777…. , con tres cifras. Calcular el error absoluto y relativo y decir si es por defecto o exceso 8º Aproximar el siguiente número 4.373737 … con tres cifras decimales. Calcular su error absoluto y relativo ¿ Es por exceso o defecto? 9º Hallar el error absoluto cometido al aproximar 2 / 3 por a) 0,66 b) 0,7 Decir si son aproximaciones por exceso o por defecto 10º Hallar tres números comprendidos entre 2,69999 y 2,7 11º Calcula 8л con un error menor que una centésima 13º Si se toman solamente las tres primeras cifras de 8,65432 ¿cual es el error absoluto ¿y el relativo? ¿ Es una aproximación por exceso o defecto?

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5º POTENCIAS Propiedades de las potencias an . am = an+m

1º) 2

1.-

−3

3

a .a 2.a 5 .a 4

2º) 4

a .a : a −2 5 4 a .a

an : am = an-m

3º) (an)m = an.m a 5 .a a 5 .a 2 a 3 .a

3.- (x2)3 . x-4 . x5 4.-

m

4º)  a 4 .a 2 3  a

5.- 

   

am = a n

n

4

6.- (x4: x2)2 .

a 2 .a a 3 a a −2 .a 4 5 2 (x :x ) 7.: 2 8..a 9.- ( x 3 : x 2 ) .( x 2 : x ) 10.- x 2 y −4 ( x 3 y −2 ) 4 ( x −1 y 2 ) 4 3 −3 a a a 2 3 5 a b a a −2 b 4 a 3 3 2 3 2 4 6 (( a b ) ) a b 11.- 4 2 4 12.13.- 4 2 3 14.- ( x 3 y −2 ) 3 ( x 2 y −1 ) 3 ( x 4 y 3 ) 2 15.a b b a b b 4

2 3

3

1  1024.  ( 2 3 ) 2 2  3

  16.- 128.  (2 2 ) 4 17.- 81 . ((3)2)-1 .27 18.- 32 a 4 64(a 3 ) −4 19.- 81 a 5 27 (a 2 ) −4 20.1 4 

−5

1  ((3) 2 ) 3   3  −2

4

3

2

3

−2

2

3

4

1   1  2  3  2  3  21.- 265   5 −2 (125) 3 22.- 125  5 5 (625) −1 23.-   .    .  24.5 

 25 

3  2 

3 2

2

a b a b a 4 b 2 b 3 a −3 2

3

 1  1  26.- (( x 3 y 4 ) 3 ) 2 x 4  2 3  27.- x 3 y −2 ( x −3 y 2 ) 2 ( x −1 y 2 ) 3 28.2  x y  a b

 25.- ((a 2 b 2 ) 3 ) 2 a 4 

( a 2 b 2 ) −2 b 3 (a 4 b 2 ) 2 29.- x −2 y −3 (( x 2 y −2 ) 3 ) 2 ( x −1 y 2 ) −2 30.- (x4: x2)2 (x4:x2)-3. (x6: x4)2 . (x5:x2)2 . (x7:x4)-2 4 2 2 −3 ( x 2 y 2 ) −2 x 3 (a −2 b 2 ) 3 (a 3 ) 2 5  3  5  3  31.- a 3 b −3 ( a −3 b 3 ) 2 ( a 4 b 2 ) 2 32.-   .    .  33.34. (x 4 y 2 ) 2  3  5  3  5  a 3b 2 b 2

35. −

a 2 .a 3 a 5 .a 4 a 2 .a a3

:

a5 a 3 .a

 2 4  3 2     .    3  2  38. −  2  1   2.     2  

36. −

a.a 5 a 7 .a 2 a 2 .a a 3 .a

a 5 .a a 3 .a a 3 .a

.

37. −

(x

)(

3

:x2 . x2 :x x 0 .x 2 .x − 2

)

2 2

  1  2  1  3   1  − 3  3 9. −   .   :     2   2    2  

−2

 1 2  40. −      2    

4

−2

  1 3   1  2  .    .     2    2      

−1

3

1 1024.  (2 3 ) 4 2 41.6 1 (16) 3   2 −3 4

a 2 b 3 ( a −3 b) 4 42.43.(( a 3 b 2 ) 3 ) 2 a 4 b 6

x 2 y −4 ( x 3 y −2 ) 4 ( x −1 y 2 ) 4 44.( x 3 y 2 ) 3 y −5

2a 3 64( a 3 ) 4 3

1 2 a   a 4

4

6


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1  81  3 −4 ( 27 ) 3 3  46.−5 1  ((3) 2 ) 3   3 

x 2 y −4 ( x 3 y −2 ) 4 ( x −1 y 2 ) 4

( a 2 ) 3 b 2 ( a −3b) 4

3

2

49.-

50.-

1  (x3 y 2 )2   xy     3 2 3 2 4 6 (( x y ) ) x y

53.-

2

     

  3 2 −1 3 a (b ) ab ((a 2b 4 )3 ) 2 45.-   a 2b 3  a 4b 2 

 1 2  64.    2    

4

−2

5

 1 2   1 2  .   .    2     2      

−2

 (8x y z)  47.-  48.-4 -2 -4   (16x y z)  −2

−4

-3

1 a −4 a 3 .a a 3 .a

a 4 .a 3

32a 4 64( a 3 ) −4 3

 1  ((a 3b 2 )3 ) 2 a 4    ab 

( a 3 b 2 ) −3 ab 3 54.55. ((a 2 b 4 ) 3 ) 2

51.-

1  (2 4 ) 2 a 5   a 

−3

52.-

x 2 y −3 ( x 4 y −2 ) 2 ( x −1 y 2 ) 3  (x 3 y 2 ) 2   x 4 y3 

   

2

2

1  27  35 (81) 3 3 56.−6 1  ((3) 3 ) 3   3

57.-

( a −3b −2 ) 3 a −2 b −5 ( a 3b −1 ) −4 a 6 b −5 ( a 3b −2 ) 4 2

59-.

(

2 4 x 4 x −3

)

3

2

2

65.-

 1 3  .    3    

2

63.-

3

−2

 1  125  55 (625) 3  25  64.−6 3 31  ((5) )   5 

x 2 y −4 ( x 3 y −2 ) 4 ( x −1 y 2 ) 4

 1  (x y )   x2 y     2

1 1 32   2 5 (16) 3   ((2) 3 ) −2 2   2 61.−6 1 (( 2) 3 ) 3   2 2

x 3 y −3 ( x 2 y −1 ) 3 ( x −2 y 3 ) 4

62.-

−3

2

1  81  3−4 (27) 3 3 60 .−5 1  ((3) 2 ) 3   3 

2x 3 128( x 3 ) 4 ((( x ) 2 ) −2 ) 2

(a 2 b −3 ) 4 a −4 b −6 ( a 4 b −2 ) −2 a 5 b −6 ( a 2 b −4 ) 3

58.-

3

 1 2   1 2  .   .    3    3      

66.-

2

 1  (x y )   xy     3

2

2

4 x 3 128 ( x 3 ) 2

( )

16 x 4 x −3

a −2 b −3 (a −3 b) 2 (a 3 b 3 ) −1 ((a 2 b 2 ) 2 ) 2 a 4 b 3

67.-

2

6º RADICALES Propiedades de los radicales 1º)

a

a . n b = n a.b

2º)

a

a : n b = n a.b

5º) El producto (división) de dos radicales de distinto índice es otro radical de índice el m.c.m de los índices y en su interior los la multiplicación (división) de los radicandos elevados al resultado de dividir el m.c.m entre su índice 6º) Para extraer de un radical se divide el exponente del radicando entre el índice de la raíz , el cociente son los que salen y el resto los que se quedan: 7º) Para introducir un factor en un radical multiplicamos el exponente por el índice del radical 8º) Para sumar radicales deben ser iguales :

3º)

( a) n

m

4º)

= n am

Ejemplos :

3

n m

a = n .m a

a . b = 6 a 2 b3

Ejemplo:

3

4

2 3

=4

2 3

x 11 = x 3 3 x 2

Ejemplo: x 2

3

y =3 x6y

Ejemplo: 2 2 + 5 2 = 7 2

1º) Escribir los siguientes radicales en forma de potencia de exponente fraccionario 1.- xy 3 2.- 3 a 2 b 3 3.- 4 x 2 y 4. - 4 a 3 b 2 5. - ab 3 c 2 4 d 2 e 3 6.- 5 x 2 y 3 7.-

x

7


Colegio Internacional Pinosierra Departamento de Matemáticas

8. -

3

x

13.-

4

x2

18.-

5

x2 3

23.28.-

y3

4

3

y

y2

3

9.-

z

4

x3

14.-

z2

19.-

xa 2

24.-

6

b5z

5

a3 29.c3

y

1 y

z

5 3

y 3

x2

3

2

.

x y

4

a 2b c5 x 3

10.- 3

z2

4

5

y 4

a2

b

15.-

z3

y

a 2b3

3

3

c5 x 3

c2 d

26.-

31.-

e 3f 2

12.- 3

b x

3

y4

5

21.-

b

a b

a2 25.c3 5

a2 b

3

a2

16.-

x

20.-

c3 3 d

30.-

11.- 3

c2

4

b

3

a 2 b3 4

x3

z

4

a2 c

a2

b

t

17.-

e f3 1 3 a2 z t

y

4

a3

b

3

c2

13 2 3 2

22.-

c3 d 3

4

c3 d

4

27.-

4

32.-

y3

z

1 b

3

a2 c

x 3

y2

2º) Factorizar, escribir en forma de potencia con exponente fraccionario y simplificar. 1.- 2 8 2.- 27 3 81 3. - 4 125 5 4.- 3 16 8 3 4 5. - 1024 2 3 4 3 3 4 6.- 25 125 7.- 25 .125 8.- 16 32 8 9.49 343 7 10.- 3 625 125 4 5 11.- 3 64 4 128 12.- 4 1024 3 256 128 13.- 128 32 14.- 16 8 3 32 15.- 9 3 81 16.- 7 343 4 49 17.- 8 3 64 18.- 125 5 19.- 32 3 2 8 20.- 27 3 3 21.- 343 7 3 49 22.- 8 3 64 23.- 25 1255 24.- 3 8 8 3 4 25. - 1024 2 8 . 3 5 3 3 4 4 26.- 128 256 16 27.- 125 125 625 28.- 7 49 343 30.- 243 3 81 3º) Extraer fuera del radical 1.- 8 2.- 16a 3-. a 3 4.- a 3 b 5 5.- 32 a 3 b 7 6.- 12a 9 b 4 7.- 3 625 8.- 125 a 4 9.- 3 81 a 5 b10 10.- 3 128 a 8 b12 11.- 3 81 x 8 y 9 z 12

12.13.14.15.-

20.21.-

16 x 3 y 7 z 13 t 15 3 4

4

a 7 b10 c13

3

1024 x 9 y 23 z 12

81 a 12 b10 c14 d 16

22.-

81a 4 b 8

3

17

243 a b 8

16.-

27 a 5 b 4 16 x 5

23.-

17.-

81 a 8 b 4 32 x 4 y 5 z 9

24.-

18.-

32 x 9 y 17 z 15 t 21

729 a b 16 x 5 y13 3

1024.x 11 a 16 .b17

26.-

87

64 a b 27 x 7 y12 z 15

25.-

19.- 125 a 6 b19

c

23

3

32 x 5 y 4 625 a 6

28.-

125 a 9 b14 32 x 9 y15 z2 9

29.-

9 a 13 b17 8 x 15 y 9

30.-

25 a 16 b 8 c 3 d 7

23

13

128 a 12 b 7 27 x 5 y 9 z 15

12

27.-

64.x 12 a 13 .b12

31.-

27 a 8 128 x 4

81 a 9 b 25 32.16 x 5 y 17

4º) Introducir dentro del radical y simplificar 1.- 2 a b2 3 a 2 b 2.-

5 2x 2 y 3

3

2x 2 z y3

25x 4 y 2 81 z 2

3y 3.5x 2 z 3

3

4.- a2b3c4

a bc

5.6.-

3 2x 4 y 3

2 a3 5x z 2

3

3

7.- a4b3c4 d3

2x 2 z 2 y2

x3 8.- 4 y

625 x 2 a 81 a 2

9.- a2 b-3

a bcd

x 4y4 x −2 a 3b 3

3 4 10.- a4 b3 a b 12.- a3 b-2 a 2 b 3 13.- x4 y-2 x y 3 14.-a4 b2 c3 a b c

8


Colegio Internacional Pinosierra Departamento de Matemáticas

5º) Escribir como un único radical 1.-

3

2.-

x

7.-

3

8.-

2

3

a2 b

x

3.-

b

9.-

x 4

4.-

x

y3

3

10.-

z

5.-

x x 4

8

4

a3

11.-

2

4

b

x

3

x

6.-

c2

3

12.-

x2

3

x2

3

y

a2 b

z2

a b

6º) Realizar las siguientes multiplicaciones y extraer fuera del radical. (Factoriza los números) 1.- 2 3 5 2.- 4 2 8

10.- 3 2 11.- 4 5

3

25

6

3.- 3 x 2 x 4.- 3 81 5 27

12.- 2 a

3

4a2

4

5.- a 4

3 3

6.- 6 x y 5

a

4 3

7.- 5 125 a 4 8.9.-

3

2 2

3

13.- 3 a 5

2

4 3

2

x y 10

625 a 9

4

8 5

6

3

15.- 3 a 4 5

3 3

16.- 3 8 x 3 17.- 3 x 4 y

18.-

5

3

25

5

125 10 625

125

19.-

x

3

x2

5

x3

8a3

20.- 12 18 6 21.- 3 a 2 b a 2 b 3

4

a 2 25

14.- 3 5 a 2 b

2

6

3

3

4

125 a 3

22.- 4 81 a 3

4 a 4 b4

a 2 25

a3

23.-

x y

a 2b 3

6

a2 3

10

x4 48

24 4 4

a 3 b2 27 3 3

x 2y2

x2 2

4

128 x 3

24.-

x y2

6

x3 y5

25.-

4

xy 3

27.-

3

32 x 4 y 2 . 128 x 3 y

3

a 2b

x 2 y3

3

1024 x 2 y 3 . 8xy 4

2 x 2 y −2

3

7º) Realizar las siguientes divisiones y extraer fuera del radical. (Factoriza los números) 10

1.2.-

5 3

2 4

3.4.5.6.7.8.-

5

3

x2

10.-

27 27 3 81 5 128 8 3 625 125 6 1024 8 3 81

14.15.-

2

a b

x y

3

abc x 2 y2 2

4

x y

4

xy 3 xy 4 xy

20.-

2

x 2 y3

xy

6 3 10

19.-

x 3y4 x 2 y3

x2y2

6

3 5

b 3

a

x2 y

a 3b

2

a

b

10

3

x x x 3

a 2b 2

a

28.-

a 2 b 4 (a -2 b 3 ) 2 4

4

2

a b

3

a b

3

2

2

a b

x

a 2b

27.-

b

x2y2

4

b

b a

26.-

x 2 y3

3

b

b a

a

x 2 y4

ab

a b

25.x2y

x x x

24.-

x y

xy

3

a b

a

xy 4

3

x

23.-

2

a

b

21.22.-

4

a

18.-

a 2 b −3 c 4

a b

a

2

5

5

3

17.-

3

x 4 y5

6

13.-

a b

6

12.-

a 3b

2

b 4

11.-

16.-

x 3

3

6

3

9.-

b 3

x y

a x

(x 2 ) 2

x

3

29.30.-

x2y

x y 3 3

x 2 y4 x2 y4 xy

4 3

15

x2 y

x 2 y3

x5y2

9


Colegio Internacional Pinosierra Departamento de Matemáticas

8º) Simplifica las siguientes expresiones: 1.- 2 +7 2 -11 2 + 2 2.- 5 -3 5 +4 5 - 5 3.- 3 3 7 +7 3 7 -3 3 7 +8 3 7 4.- 4

5

1 42

1 2

5.-

3+

2 3

1 3

4 +3 5 4

7.8.9.-

2 7 − 3 28 + 63 − 2 175 50a

50

-

+

3 2

5

+

12.- 2 8 +5 18 − 200 +3 98 13.- 3· 8 − 2· 18 + 32 − 5· 50 14.- 108 + 2· 48 − 27 − 3 147 15.- 3 48 -4 27 +5 75 +6 3 16.- 32 +4 50 -3 98 -7 128 17.- 108 + 2· 48 − 27 − 3 147 18.- 3 2 -3 3 16 +5 3 250 19.- 3 5 + 43 5 − 33 625 20.- 3 7 − 23 56 + 43 2401 21.- 3 432 − 3 16 + 3 250 − 3 54 22.- 245 +4 180 − 3 45

3 5

-

18a

+2 27 +4 12 -3 3 2 7 − 3 28 + 63 − 2 175

75

11. −

6.- 4

18

-

5

10.-

5

2 - 8

+2 2a

RACIONALIZAR Consiste en eliminar raíces del denominador. Existen varios procedimientos er 1 Tipo: Denominador con raíz Se multiplica numerador y denominador por la raíz : cuadrada a a b a b a

b

=

b

( b)

=

2

b

2º Tipo : Denominador con raíz Se multiplica y divide por una raíz con el mismo índice y el a radicando elevado a la diferencia entre el índice y el exponte de índice superior n m del radicando b a

n

3er Tipo: Denominador con raíces sumadas o restadas

=

bm

a n b n −m

n

=

b m n b n −m

a n b n −m

n

b m + n −m

=

a n b n −m n

bn

=

a n b n −m b

Se multiplica y divide por las raíces conjugadas y se aplica la identidad notable (a+b)(a-b) =a2-b2

a

a

b+ c

b+ c

=

a( b − c ) ( b + c )( b − c )

=

a( b − c )

( b) − ( c) 2

2

a( b − c ) b −c

=

9º) Racionaliza las siguientes expresiones:

1.2.3.4.5.6.-

3

7.- 5

5 2 6

8.- 5

2 3 2− 2 2 5− 2 3 1− 5 10

9.- 3

4 8 2 27

5 3 4

10.- 3 11.- 3

2 3 6

12.-

5 3

13.- 3 14.15.16.17.-

2

18.-

2

4

7− 3 2

19.-

8 2 5− 3

2 2 1+ 5 3 5− 2

6 3− 2

20.-

6+ 3 2 3 6 2+ 3

21.22.23.-

2

5 4

25 2 5− 6

10


2

24.25.-

7− 3 2 3 3

26.- 4 27.-

5 125 4

3+ 2

28.29.-

2 6 5 2 2+ 5

30.- 3 31.32.-

5

7

33.- 4 34.35.-

49 2 8− 3 2

36.-

Colegio Internacional Pinosierra Departamento de Matemáticas 3

3

37.-

125 3

38.-

2+ 3 5

39.-

4− 3 2

40.-

5

5− 3

2 2 5− 7 3

54 2

4 3

5 8

5+ 6

7º SUCESIONES Y PROGRESIONES Progresiones aritméticas:

Progresiones geométricas

an= a1+(n-1)d Término general

an= a1 r

(a + a n ) n Sn= 1 Suma de los n primeros términos 2

Sn=

n-1

Término general

(r n − 1)a 1 Suma de los n primeros r −1 términos

1. Escribe los términos generales de cada una de las siguientes sucesiones: a) 0,1,2,3,4,….. b) 17, 21,25,29,33,… c) 5 , 5/2, 5/3, 5/4 , 1 , 5/6,… d) 5,10,15,20,25,.. e) 1,4,9,16,25,… f) 0,3,8,15,24,.. g) 2,6,12,20,30,…

h) 0,2,6,12,20,3.--i) 2,4,8,16,…. j) 3,9,27,81,… k)1/2 ,1/4, 1/8, 1/16,… l) 1,10,100,1000,… m) 1, 1/10, 1/100 , 1/1000,.. n) 1/2, 2/3, 3 /4 , 4/5, 5/6,…

ñ) 1/3, 1/9, 1/27, 1/81,… o) 3/1, 6 /2, 9/ 3 , 12 /4,… p) 3/1 ,6 /4, 9/ 9 , 12 / 16,… q) 1, 2/10, 3/100 , 4/1000… r) 1/2,10 /4, 100/8, 1000/16,… s) 1/2 , 3/4, 9/8, 27/16,… t) 3, 9/10, 27/100 , 81/1000,..

2. Calcula los cinco primeros términos cada una de las siguientes sucesiones: 1. an= 5n+2 2. an=6n-2 3. an= n2 4. an= n2+2 5. an= n2-2n+2 6. an= n2+n+1 7. an=2n

8. an= 2n-1 9. an= 3n-1 n n +1 n −3 11.- a n = n +1 10. a n =

2n 3n +1 4n − 2 13. a n = n +2 n2 14. a n = n +1 12. a n =

15. a n =

n2 n 2 +1

n3 n +1 n+2 17.- a n = n+2

16.- a n =

3. Calcula el término tercero, cuarto , quinto y décimo de cada una de las siguientes sucesiones: 1. 2. 3. 4.

a n = n +1 2 an = n n2 an = 2n − 3 n an = n 10

5. a n=3. 2n -1 6. a n=2n+3 ( −1) n 7. a n= n

(−1) n 8. a n= n2

9. a n=

(−1) n n 2 n

10. a n= (−1) n n

n 3 12. (−1) n

n +1

( −1) n 5n n 14.- a n=2n+1

3

13.-

n +1

11. (−1)

n +1

n3 n +1

4. Escribe los términos generales de cada una de las siguientes sucesiones a) 1-,2,3,-4,….. b) -1,2,3,-4,…. c) 2,-4,6,-8,10,..

d) -2,4,-6,8,-10,… e) 2,-4,8,-16,…. f) 5,-10,15,-20,25

g) 1,-6, 12,-18, 24,… h) -1/3 ,1/9, -1/27, 1/81,… i) 5, -10/10, 15/100 , -20/1000

11


Colegio Internacional Pinosierra Departamento de Matemáticas

j) -1/3, 1/9, -1/27, 1/81,… k) -1/2, 2/3,- 3 /4 , 4/5, -5/6,…

5.

l) 3,-9, 27, -81 m) -5, 25,-125, 625

n) 4,- 16, 64, -256,.. o) -1, 5, -10, 15,…

Escribir los términos que faltan en las siguientes progresiones aritméticas: a) 1,3, ? , 7, ? ,… b) 1 ,4, ? , 11, ? ,.. c) ? , ? , 10, 20,.. d) ?, 4 , ? , 0, ? , -4 ,..

6.

e) f) g) h)

3, 6, ? ,12, ? ,.. 4 ,2, ? , -2, ? ,… 25, ? , 15 , ? , ? ,… 2, ? , ? , 14, 18,…

i) j) k) l)

-5, ? , -1 , ?, 3 , ? 3, 7, ? , 15, ? , 23,… ?, -4, -6, ?, -10,.. 1, ? , 11, ?, 21,…

Escribe el término general de las siguientes progresiones aritméticas:

a) 1,3,5,7,9,…. b) 5,9,13,17,… c) 9,7,5,3,… d) 4,8,12,16,.. e) 5,8,11,14,… f) -7,-4,-1,2,…

g) 2,814,20,… h) 6,3,0,-3,… i) a1=2 d=3 j) a1=1 d=-2 k) a1=5 d=4 l) a1=-2 d=2

m) a1=2/3 d=1 n) a1=2 a2=3 o) a1=5 a2=3 p) a1=1 a2=4 q) a4=2 a5=4 r) a6=5 a7=3

s) a4=8 d=3 t) a5=8 d=2 u) a1=8 a2=5 v) a3=5 d=-2 w) a5=8 d=2 x) a5=8 d=2

7.- Calcular : a) S10 b) S8 c) S30 d) S100 e) a12

Si a1=2 y d=3 Si a1=-3 y d=2 Si a1=2 y a2=4 Si a1=1 y d=5 Si a1=4 y a2=7

f) S20 Si a1=16 y a10=43 g) S10 Si a10=58 y d=6 h) an Si a1=7 y S12=150 i) a1 y an Si d=6 y n=13 y S13=572 j) S50 Si a7=32 y a2=40

k) n Si a1=7 an=53 Sn=300 l) d Si a1=1 y S10=100 m) a7 y a n Si S7= 119 y a1=2 n) S7 Si a1=5 y a9=29 o) a1 y d Si a3=24 y a10= 66

8.- Escribir los términos que faltan en las siguientes progresiones geométricas: a) 1,3, ? , 27, ? ,… b) 1,2, ? , 8, ? ,.. c) ? , ? , 10, 100,.. d) ?, 4 , ? , 1, ? , 1 / 4,..

e) 3,6, ? ,24, ? ,.. f) 4,2, ? , 1/2, ? ,… g) 125, ? , 5 , ? , ? ,… h) 100, ? , ? , 10-1, 10-2,…

i) 32, ? , 8 , ?, 4 , ? j) 3, ?, 27, ?, ?,… k) 32, ? , 8, 4, ?,.. l) 8, 4, ?, 1, ?,…

9.- Calcular el término general de las siguientes progresiones geométricas: a) 1,3,9,27,.. b) 1,2,4,8,16,… c) 5,25,125,625,.. d) 8,4,2,1,..

e) 2,1,1/2,1/4,.. f) 27,9,3,1,…. g) 125,25,5,1,…. h) 25,5,1, 1/5,…

i) 1, 1/2, 1/4, 1/8,… j) 9 , 3, 1, 1/ 3,… k) 625, 125,25,5,1,,, l) a1=16 r= 1/2

m) a1=2 r=3 n) a1=3 a2=6 o) a1=54 r=- 1/3 p) a1=5 a7=320

10.- Calcular : a) ¿ r , a1, S8 ? Si a8=243 y a4=3 b) ¿ a6 y S6 ? Si a1=2 y r=3 c) ¿ a1 Si r=3 ? Si S4=80 d) ¿ a8 y S8 ? Si a1=2 y r=2 e) ¿ r y S10 ? Si a1=5 y a7= 320

f) ¿ an y S10? Si a1=7 y a4=875 g) ¿a1 y r ? Si a4=5832 a9=24 h) ¿ S10 ? Si a1=1 a4=125 i) ¿ d y an ? Si a10=1024 a1=2 j) ¿ an y S10? Si a1=3 y a4= 96

k) ¿ S12 ? Si a1=2 a4=54 l) ¿ a4 y S4 ? Si a1=2 y r=3 m) ¿S10? Si a3=12 r=2 n) ¿ r , a1? Si a4=81 y a5=243 o) ¿ r , a1? Si a3=12 y a4=24

8º POLINOMIOS OPERACIONES CON POLINOMIOS Definiciones:

Ejemplos

Valor numérico de una expresión algebraica: Es el número que se obtiene al sustituir las letras por los números dados. Suma y diferencia de polinomios. Es el polinomio que se obtiene al reducir ( sumar o restar ) los términos semejantes ( de igual grado) Multiplicación de un polinomio por un número: Se multiplican todos los términos del polinomio por dicho número Producto de un polinomio por un monomio: Es igual a otro polinomio cuyos términos se obtienen multiplicando el

Ejemplo: x3 – 6x + 5 en x=1 (1)3-6(1)+6 =1 Ejemplo: (4x3 – 12x + 10) – (3x4 + 6x3 – 12x2 – 14) = -3x4 – 2x3 + 12x2 – 12x + 24 Ejemplo: 2(2x3 – 6x + 5)= 4x3 – 12x + 10 Ejemplo: 2x2(2x3 – 6x + 5)= 4x3 – 12x3 + 10x2

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monomio por cada término del polinomio: Producto de polinomios: Es otro polinomios cuyos términos se obtienen multiplicando cada término del primer polinomio por cada término del segundo polinomio y sumando luego los términos semejantes. Si tienen muchos términos se colocan los monomios del mismo grado uno debajo de otro luego se multiplican y se suman Ejemplos 2 (2x – 6x)(3x – 5) = (-7x3+3x2+2) ( 2x2+3x-1) 3 2 2 =6x – 10x – 18x + 30x = -7x3+3x2 +2 = 6x3 – 28x2 + 30x 2x2 +3x -1 -7x3 -3x2 -2 4 3 -21x +9x +6x 5 4 2 -14x +6x +4x -14x5 -15x4 +2x3 +x2 +6x -2 La división de polinomios es similar a la división de números. El dividendo y el divisor deben de estar ordenados en orden decreciente. Vamos dividiendo los monomios de mayor grado del dividendo y los dividendos parciales entre el divisor. Multiplicamos el monomio resultado de esta división por el divisor y el resultado se lo restamos al dividendo parcial La división acaba cuando el grado del dividendo parcial es menor que el grado del divisor. Ejemplo : Calcular Q(x) : P(x), siendo: Q(x) = x4 + 2x3 – 6x2 – 7 y P(x) = x2 – 5x x4 + 2x3 – 6x2 –7 x2 – 5x -x4 + 5x3 x2 + 7x + 29 3 2 7x – 6x Dividendo = Q(x) = x4 + 2x3 – 6x2 – 7 -7x3 + 35x2 Divisor = P(x) = x2 – 5x 29x2 Cociente = x2 + 7x + 29 - 29x2 + 145x Resto = 145x - 7 145x - 7

1.- Calcular el valor numérico de los siguientes polinomios en los puntos dados: a) x3 – 6x + 5 en x=1 b) x2 – 3x-2 en x=3 c) x3 + 6x2- 4x – 5 en x=1 d) x3 + 6x2- 4x – 5 en x=-1 e) x2 – 3xy-2y2 en x=1 e y=2

f) 3y2 + 2x-3xy en x=2 e y=-1 g) ax2 +3xa -3 en x=-1 y a=2 h) 2xyz+3x2-2y+4z en x=1 ; y=2; z=3 i) 2x2-3xy2+5x +y en x=2 e y=-2 j) 2x2 z+x2-2y+4z en x=-1 ; y=2; z=3

2.- Realizar las siguientes multiplicaciones aplicando la propiedad distributiva y simplifica: a) b) c) d)

(2x-3)(4x-2) (6x-5)(x2+2) (x2+2)(x+3) (3x+4)(x3-3)

e) f) g) h)

(x2-2x+3)(x2-2) (x2-5x+2)(2x-2) (x2+2x-3)(x+2) (2x+4)(x2-2x+1)

i) (2x-3y)(2y+3x) j) (2xy2-5x+2y)(2x+3y) k) (x2-3x+2y)(2xy-y2) l) (3xy+2x2-3x)(3x+y)

m) n) o) p)

(2xyz+2x2y-2z)(2z-y+x) (2x2-3y+5z)(2x-3y+2z) (2x3-5x2+3x-1)(x+2) (x2+2xy2-3)(2x+5y)

3.- Dados los polinomios A(x)= x5 – 25 x3 + 10x; B(x)= x2 – x – 2 ;C(x)= x3 + 3x2 – 4x – 4 D(x)= 3 x4 – x3 + x2 + 2 .Calcula: a) A(x)+B(x)+C(x)+D(x) b) A(x) - B(x) -C(x)+D(x)

c) A(x)+B(x) - C(x) - D(x) d) -A(x)+B(x)+C(x) - D(x)

e) A(x) - 2B(x) -C(x)+3D(x) f)3A(x) - B(x) +2C(x)-D(x)

4.- Realiza las siguientes operaciones con los siguientes polinomios: 13


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P(x) = 2x3 – 6x + 5; Q(x) = x4 + 2x3 – 6x2 – 7; R(x) = x2 – 3x-2 a) P(x) + Q(x) + R(x) b) P(x)+Q(x) –R(x)

c) 2Q(x) – 5R(x) + 3P(x) d) Q(x) . R(x)

e) 3R(x)[Q(x) – 3R(x)] f) P(x)[5R(x) – 2Q(x)]

5.- Si P(x) = x3 + 6x2- 4x – 5 y Q(x) = x2 + 6x + 9, calcula: a) P(x) + Q(x); b) P(x) · Q(x); c) P(x) –Q(x) d) P(x) : Q(x)

e) Q(x) 2

6.- Si P(x) = x3 + 3x2- 4x – 5 y Q(x) = x2 + 6x + 2, calcula: a)P(x) + Q(x); b)P(x) · Q(x); c)P(x) –Q(x)

d)3 P(x) – 2 Q(x) e)P(x) / Q(x) f) P(x) . 2 Q(x)

g) (2P(x)- Q(x)) . Q(x) h) (P(x) + Q(x)) / Q(x) i) P(x) 2

7.- Si P(x) =x4 2x3 - 4x2 + 5 y Q(x) = x2 + 2x - 5, calcula: a) P(x) - Q(x); b) P(x) · Q(x) c) P(x) / Q (x) d) P(x) 2 8.- Realiza las siguientes operaciones con los siguientes polinomios: P(x) = x3 – x2 -2x+ 5; Q(x) = x4 + 2x3 – 6x2 – 7; R(x) = x2 – 3x+2 a) P(x) +2 Q(x) e) P(x) . Q(x) i) 2 b) P(x) / R (x) f) R(x) j) c) Q (x) / R (x) g) 2Q(x) – 5R(x) + 3P(x) k) d) P(x) / R (x) h) 3R(x)[Q(x) – 3R(x)] l)

P(x)[5R(x) – 2Q(x)] (Q(x) + P(x)): R(x) (Q(x) . R(x)): P(x) Q(x) / (R(x)+P(x))

9.- Si P(x) = x3 + 5x2- 4x – 5 y Q(x) = x2 + x + 1, calcula: a) P(x) + 2Q(x); b) P(x) · Q(x); c) 3P(x) –Q(x) d) P(x) : Q(x)

e) Q(x) 2

10.-Realizar las siguientes divisiones de polinomios y hacer la prueba. a) (x3 + 6x2- 4x – 5 ) : (x2 – 3x-2) b) (x4 + 2x3 – 4x2 – 3) : (x2 +3x-1 ) c) (x4 -3x3 – 3x2 + 3x-2) : (x2 -2x-2 ) d) (x4 +5x3 – 2x2 + x-1) : (x2 +3x-2 ) e) (x4 +6x3 – 5x2 +2 x-3) : (x2 +3x-3 ) f) (x4 + x3 – 3x2 – 3) : (x2 +2x-1 )

g) h) i) j) k) l)

(x5 -4x4 +x3 – 2x2 + x-1) : (x2+2x-5 ) (x5 +3x4 +3x3 –x2 + x-2) : (x2+3x-1 ) (x5 -5x4 +x3 –2x2 + x+1) : (x2+2x-1) (x5 -4x4 +x3 -2x2 + x-1) : (x3-2x2+2x-5) (x4 -3x3 – 3x2 + 3x-2) : (x3-x2 -2x-2 ) (x4 - 3x2 + x-2) : (x2 -5x-2 )

IDENTIDADES NOTABLES Fórmula (a + b)(a – b) = a – b2 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 (a + b)3 = a3 + 3ª2b + 3ab2 + b3 (a - b)3 = a3 - 3ª2b + 3ab2 - b3

Ejemplo (3x – 5xy) (3x + 5xy) = (9x6 – 25x2y2) (5y2 + 3x)2 = 25y4 + 30y2x + 9x2 (6y2 – 2y)2 = 36y4 – 24y3 + 4y2 (2x + 3y)3 = 8x3 + 36x2y + 54xy2 + 27y3 (x2 – 2x)3 = x6 – 6x5 + 12x4 – 8x3

2

3

3

11.- Utilizar las fórmulas de las identidades notables para realizar. 1. (2x – 4)(2x + 4) 2. (3y2 + 2x)(3y2 – 2x) 3. (2x – y2)(2x + y2) 4. (3y2 + 2x)(3y2 – 2x) 5. (2x2 – 3)(2x2 + 3) 6. (3y2 + x3)(3y2 – x3)

7. ( 2 x – y2)( 2 2x+y) 8. (3y2 + 2x2)(3y2 – 2x2) 9. (z2 + 2yx2)(z2 – 2yx2)

10.(

x x − y )( + y ) 2 2

11.(

x2 − 2 y )( 3

x2 + 2y ) 3

12.(

5

a2b-c3)2 14


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13.(3x+2)2 14.(3y2-2x2)2 15.(

19.(3y +2x)2 20.(2x3-5y)2 21.(3xy-2x2)2 22.(y + 2x2)2 23.(2xy2-3y)2 24.(ab-2 a2)2 2 25. ( 3 − y )

x − 3 y )2 3 5

16.(4x+ y )2 17.(2x 18.(

y 2 ) 3

3 + y 2 )2 x

26.(2x +

y 2 ) 2

27.( 5 a-2b)2 28.( 2 x – y2)2 29.( (

2x − y) 2 4

30.(x-3y)3 31.(z2+2y)3

32.(x+2y)3 33.(5- 3x)3 34.(2y – 3)3 35.(x+2y)3 36.(2x-y)3 37.(x2-3y)3 38.(3x+y)3 39.(2x-3y)3 40.(

x − y )3 2

12º Escribir las siguientes sumas como una identidad notable: 1. x2-y2 2. x4-4y2 3. 5x6-4y4 4. 4x2y2-4z2 5. 16x8-25y4 6. 25x4-9y2 7. 36x4-16y2 x2 − 9y2 8. 4 4

9. 5x -9 10.16x4-25

11. 25x2y2-16 12.16x4-

1 4

13.

x2 − 25 y 4 16

14.

x − 9y 2 y2

15.4x4+4x2+1 16.9x4+6x2+1 17. x2 + 4x + 4

18.25x2 -30x + 9 19.x2 -12x +36 20.x2 – 6x +9 21.x2 + 2x +1 22.4x2-20x+25 23.5x6-9y2z2 24.x2+2xy+y2 25.x2+4xy+4y2 26.x4-6x2y+9y2 27.4x2+12xy2+9y4 28.25x2+20xy3+4y6

29.16x8-8x4y3+y6 30.x6-6x3y2+9y4 31.x3+3x2y+3xy2+y3 32.x3-3x2y+3xy2-y3 33.8x3+12x2y+6xy2+y3 34.125x3+75x2y+15xy2+y3 35.x3-15x2y+75xy2-125y3 36.27x3+27x2y+9xy2+y3 37. x3 + 6x2 + 12x + 8 38.x3 – 12x2 + 48x – 64 39.x6 +6x4 y+ 12x2y2 +8y3

13.- Sacar factor común en los siguientes polinomios: a) x3-3x2+2x-3 b) 2x3-6x2+4x c) x4 + 2x3 – 6x2 d) x5 -4x4 +x3 -2x2 e) x6 – x5 + x4 + x3 f) x5y4z3 +3x4y3 +x3y2 g) x4y4 +2x3y3 – x2y2 h) 2x3y4+4x2 y3- 8xy2 i) x4y3 + 2x3y2 – 6x2y j) x5y3z2 -4x4y3z +x3y2 k) 2x3y4z4 + 4x2 y3z3 l) - 8xy2z2-3x3y3z m) x3y4 +3x2 y3- 4xy2 n) x3y-3x2y2-2xy3 o) 2x3y4 -2x2 y3- 4y2 q) 2x3y4 z+ 4x2 y3z2- 8xy2 r) x3y4 + 3x2 y3- xy2 s) 15x3y-9x2y2-3xy t) 6x3y4z4 + 4x2 y3z3 u) 4x5y4z3 +6x4y3 +12x3y2

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FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS - MCM Definiciones: Factorizar un polinomio: Descomponer un polinomio como producto de factores primos. Factor primo: En el caso de los polinomios, son polinomios que no tienen más raíces reales, por lo tanto aquellos que no se pueden descomponer en factores más simples. Mínimo común múltiplo: Una vez descompuestos en factores primos los polinomios, se eligen los factores que sean comunes a todos los polinomios elevados al mayor exponente y se multiplican por todos los factores que no sean comunes.

Ejemplos 1) Factorizar un polinomio a) Si no tiene término independiente se saca x o xn factor común Ejemplo: 2x5 – 6x3 + 4x2 ; Sacamos 2x2 factor común a los tres sumandos ⇒ 2x2(x3 – 3x + 2) El polinomio (x3 – 3x + 2) se factoriza como se explica a continuación b) Si tiene término independiente se buscan sus raíces utilizando el método de Ruffini Se factoriza del siguiente modo P(x) = (x – raíz1)(x – raíz2).... 1 0 -3 2 Debemos buscar un número, divisor Ejemplo: x3 – 3x + 2 ⇒ Raíz = 1 1 1 -2 del término independiente, tal que el 1 1 -2 0 resto de la división sea 0. 1 1 2 1 2 0 -2 -2 1 0 Por lo tanto el polinomio se factoriza del siguiente modo (x –1) 2(x + 2) La factorización final de 2x5 – 6x3 + 4x2 será: 2x5 – 6x3 + 4x2 = 2x2(x3 – 3x + 2) = 2x2(x – 1)2(x + 2) 2) Calcular el MCM a) Se factorizan todos los polinomios siguiendo el procedimiento anterior. Ejemplo: Halla el MCM de los siguientes polinomios: x5 – 4x3; 2x5 – 6x3 + 4x2; x2 + 4x +4. x5 – 4x3 = x3(x – 2)(x + 2) 2x5 – 6x3 + 4x2 = 2x2(x – 1)2(x + 2) x2 + 4x +4 = (x + 2)2 b) Se toman todos los factores que sean comunes a todos los polinomios elevados a la mayor potencia y los factores que no sean comunes y se multiplican MCM = 2x3(x + 2)2(x – 1)2(x + 1)(x – 2)

REGLA DE RUFFINI

Definición: Es un método para dividir un polinomio entre x ± a Ejemplo : Dividir 4x3-7x2+5x-6 por x -2 4 -7 5 -6 En diagonal se multiplican en vertical se suman 2 8 2 14 4 1 7 8 = Resto Cociente : 4x2+x+7 Cociente Teorema del resto: El valor numérico de un polinomio para x=a es igual al resto de la división Ejemplo : Calcular el valor numérico de P(x)= x3-3x2+5x-8 para x=2 1 -3 5 -8 En diagonal se multiplican en vertical se suman 2 2 -2 6 1 -1 3 -2 = Resto P(2)= -2 Ejemplo : Calcular el valor de k P(x)= x3-3x2+kx-2 para que P(x) tenga el valor 8 en x=2 1 -3 k -2 En diagonal se multiplican en vertical se suman 2 2 -2 2k-4 Despejamos K en la ecuación 1 -1 k-2 2k-6 = 8 2k=14 ; k=7

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14º Factorizar los siguientes polinomios: 1. x3-5x2+8x-4 2. x3+4x2+x-6 3. x3-2x2-7x-4 4. x3-5x2-13x-7 5. x3-x2-4x+4 6. 4x3+8x2-4x-8 7. x4-3x3-6x2+8x 8. x3+5x2+2x-8 9. 5x3-5x2 -25x–15 10. x3+8x2+13x+6 11. x5+5x4+7x3+3x2 12. 3x3+12x2+15x+6 13. x3+6x2+9x+4 14. -x3+2x2+5x-6 15. 3x3+6x2-3x-6 16. x4+x3-9x2-9x 17. x3+7x2+12x+6 18. x6-3x5-9x4-5x3 19. x3+3x2-4x+12 20. 4x4+20x3-4x2-20x 21. x3+2x2-4x-8 22. x3+8x2+5x-14 23. x3-8x2 +19x–12 24. x3 + 4x2 -11x +6 25. 2x3+3x2-3x-2 26. 2x3-18x2+52x-48

27. x3 + 3x2–4x –12 28. x3+9x2+15x+7 29. x3-2x2-9x+18 30. x3-9x2+26x-24 31. x3-3x2-6x+8 32. x3-x2-14x+24 33. x3-x2-8x+12 34. x3+x2-16x+20 35. x3-11x2+32x-28 36. x3-5x2-17x+21 37. x4 – 10x3 + 25x2 – 36 38. x4 – 5x3 -5x2 +45x – 36 39. x4 – 5x3 + 5x2 +5x - 6 40. x4 – 5x3 + 2x2 +20x-24 41. x4 +3x3 -7x2 -27x -18 42. x4 – 8x3 +23x2 -28x +12 43. x4 – 3x3 -2x2 +12x– 8 44. 2x4 – 10x3+10x2+10x– 12 45. 3x4 – 9x3+3x2+9x– 6 46. x4 – 7x3+17x—17x+6 47. x5 – 2x4-8x3+18x2– 9x 48. x4 – 3x3-3x2+11x– 6 49. 4x4 – 40x2 + 36 50. x4 +5x3+5x2-5x– 6 51. x4 – x3-7x2+13x– 6 52. 3x4 – 6x3 –27x2+6x +24

53. x4 + 2x3 –18x2+8x +24 54. x6 – 2x5-3x4+8x3– 4x2 55. 4x4 – 20x2 + 16 56. x4 +6x3+13x2+12x+4 57. x4 -4x3+3x2+4x-4 58. x5 +3x4+x3 -3x2– 2 59. x4 +x3-7x2 –x +6 60. x4 +6x3+8x2-6x– 9 61. x4 +8x3+22x2+24x+9 62. x4 -10x3+8x2 –10x-9 63. x5 – x4 – x3 + x2 64. x5 – 25 x3 + 144x 65. 5x5-x4–5x3+x2 66. 2x4+5x3 +3x2 67. 3x4–15x3–21x2+15x+18 68. 4x4-16x3+12x2+16x-16 69. x4+3x3 -7x2 -27x-18 70. x5 - 7x4 + 10x3 – x2+ 7x – 10 71. x5+3x4–5x3-15x2+4x+12 72. x5–3x4–5x3+15x2+4x-12 73. x5–2x4–5x3+10x2+4x-8 74. x5-2x4–9x3+14x2+20x-24 75. x5–8x3+6x2+7x-6 76. x5-2x4-6x3+4x2+13x+6 77. x5-2x4-10x3+20x2+9x-18 78. x5+2x4-10x3-20x2+9x+18

15º Hallar el m.c.d. y el m.c.m. de los siguientes polinomios. 1. x2-2x+1 ; x3-3x2+3x-1 ;4x2-8x+4 2. x2-4x+4 ; x3-5x2+8x-4 ; 3x2-12x+12 3. x2-5x+6 ; x2-9 ; x4-5x3-5x2+45x-36 4. x2-1 ; x4-5x2+4 ; x4-10x2+9 5. 2x2-16x-14; 2x3-2x; 4x2-4x+4 6. x2-5x+4 ; x3-3x2-6x+8 ; 2x3-8x ; 7. x2-4x+4 ; x3-x2-8x +12 ; 2x3-8x2+8x 8. x2+x-12 ; x3-9x ; x2-4x+3 ; x4-10x2+9 9. x3+6x2+12x+8 ; x3+3x2-4 ; x3+5x2+8x+4 10. x3-3x+2 ; x3+2x2-x-2 ; 2x3 –4x2 –2x 11. x3-x2-5x-3; x3+5x2+7x+3 ; x3+4x2+5x+2 12. x3+6x2+9x+4; x2+2x+1 ; x3+7x2+11x+5

13. x3-3x2+3x-1 ; 2x2-4x+2 ; x4-3x2+2x 14. x3-6x2+12x-8 ; 2x2-8x+8 ; x4-5x3+8x2-4x 15. x3-3x2+3x-1 ; 3x2-6x+3 ; x4-4x3+5x2-2x 16. 2x3+4x2-2x-4 ; x3+6x2+12x+8 ; x3+4x2+2x 17. x3+2x2-x-2 ; x3-3x2-3x-1 ; x4+x3-2x2 ; x2-2x+1 18. x3-6x2+12x-8 ; x3-5x2+8x-4 ; x3-3x2+4 ;x4-4x3+3x2+4x-4 19. 2x2-x-3 ; 6x3+7x2+x ; 2x3+4x2-2x-4 ; 2x3+8x2+6x 20. 2x3+4x2-2x-4 ; x3+6x2+12x+8 ; x3+4x2+2x 21. 2x4-4x2 ; 2x3-8x2+4x ; 4x3-6x2+4x 22. x3-x ; x4-5x2+4 ; x4-10x2+9 23. x4-3x3 +3x2-x ; 2x3-4x2+2x ;x4-3x2+2x 24. x4-6x3+12x2-8x ; 2x3-8x2+8x ; x 4-5x3+8x2-4x

17


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16º Hallar mediante la regla de Ruffini el cociente y el resto de las siguientes divisiones: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

(3x4-2x3+4x2+3x-1):(x-2) (x5-3x3+2x2-15):(x+2) (x3-5x2+2x-3):( x-1) (x3-4x2+5x-1):( x+1) (x4-3x3+5x2-3x+3): (x-3) (x4-2x3-3x2-3x+1): (x+3) (2x4-x3+4x2-2x+3): (x-2) (x4+2x3-x2-2x-2): (x-1) (3x4+2x2-4x+1): (x-2)

10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18.

(x4-2x3+x2-2x+2): (x-4) (x4-5x3-x2+2x-1):(x-3) (x5-2x3+x2-1):(x-2) (x3+x2+3x-1):( x-1) (2x3-3x2+6x-2):( x+1) (x4-x3+4x2-2x+1): (x-2) (x4-x3-x2-x+1): (x+5) (2x4-2x3+3x2-x+2): (x-1) (x4+x3-2x2-x-1): (x-2)

19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27.

(x4+ 2x3 -2x2-4x+1): (x-2) (x5-2x4+x3-2x+2): (x-1) (x7 + 2x5 – 3x4 + x + 2):(x-3) (4x5 + 5x4 + 6x3 - x2 + 2x + 2) : (x+2) (2 x6 + 3x5 + x4 + x2 + 2x + 3) : (x-1) (x6 – x5 + x4 + x3 - x – 5) : (x-5) (2x5 – x4 + 3x3 - 2x2 + x – 3) : (x-4) (5 x7 – 2x6 – 3x3 + x2 + 1): (x-2) (3x6 + x4 –2x3+ x2 + x-2) : (x-3)

17º Aplicar la regla de Ruffini en cada uno de los siguientes casos e indica si se trata de una división o de una aplicación del teorema del resto

HALLAR EL VALOR DE K EN EL POLINOMIO

PARA QUE AL DIVIDIRL

NOS RESULTE DE RESTO

HALLAR EL VALOR DE K EN EL POLINOMIO

EL VALOR NUMÉRICO EN

NOS RESULTE

ENTRE

6x6 + 2x5 – x4 + kx2 + 1 4x7 + 2x5 – 3x4 + x + k 5x7 – 4x6 – x4 + kx2 + x + 3 3x6 – x5 + 2x4 + x3 + 3x2 + kx + 1 6x7 + x4 – 3x3 + 2x2 – x + k 2x7 + x6 – x5 + kx3 – x2 +2 x - 1 – 3x6 – x5 + 2x4 – x3 - 2x + k 4x7 – x6 + 2x5 –3 x4 + kx + 9 - x7 + x6 + x4 – x3+ kx2 - x - 1 3x6 + x4 –2x3+ x2 + kx 2x6 – x5 + x3 – x2 + x + k 4x5 + 5x4 + 6x3 - x2 + 2x + k 7x5 – 2x4 + x3 + kx + 5 x6 – x5 + x4 + kx3 - x - 5 2x5 – x4 + 3x3 - 2x2 + kx - 3 5x6 + 6x3 + kx - 2 2x5 + x4 - x2 - 2x + k 3x6 – x5 + 4x4 –5x3 – 2x + k -3 x6 – 2x3 + k 2 x6 + 3x5 + x4 + x2 + 2x + k 5 x7 – 2x6 – 3x3 + kx2 + 1 3 x6 – 2x5 + kx4 – 3x2 + 2x - 3 x5 – x3 + kx + 22 -2 x6 + 6x4 + x3 – 2x2 + k – 5x5 + kx4 – x3 - x + 3 x5 + 2x4 + 3x3 + kx2 + 5 – 2x5 + 3x4 – x3 + 2x2 + kx - 1 3 x6 + 2x5 - x4 + kx2 - x - 2 4x5 + kx4 – 5 2 x6 + kx - 1 3 x6 + 2x5 - x4 – x2 + 2x + k x5 + 2x4 + 3x3 + kx2 + 5

x+2 x-1 x+2 x+1 x+3 x-4 x+3 x+1 x-2 x-2 x-3 x+1 x+2 x+1 x-2 x+3 x+1 x+2 x+1 x-1 x+1 x+2 x+2 x-2 x+3 x-1 x+1 x-1 x+2 x-2 x+3 x-2

317 0 -927 10 -12935 35895 -1746 0 -51 200 1235 -5 -225 0 69 3490 -3 338 0 12 -1 253 0 -29 1086 15 2 0 -165 123 1608 1

2x6 + 3x5 – x4 + kx2 + 1 x7 + 2x5 – 3x4 + x + k 5x7 – 4x6 – x4 + kx2 + x + 3 3x6 – x5 + 2x4 + x3 + 3x2 + kx + 1 6x7 + x4 – 3x3 + 2x2 – x + k 2x7 + x6 – x5 + kx3 – x2 +2 x - 1 – 3x6 – x5 + 2x4 – x3 - 2x + k 4x7 – x6 + 2x5 –3 x4 + kx + 9 - x7 + x6 + x4 – x3+ kx2 - x - 1 3x6 + x4 –2x3+ x2 + kx 2x6 – x5 + x3 – x2 + x + k 4x5 + 5x4 + 6x3 - x2 + 2x + k 7x5 – 2x4 + x3 + kx + 5 x6 – x5 + x4 + kx3 - x - 5 2x5 – x4 + 3x3 - 2x2 + kx - 3 5x6 + 6x3 + kx - 2 2x5 + x4 - x2 - 2x + k 3x6 – x5 + 4x4 –5x3 – 2x + k -3 x6 – 2x3 + k 2 x6 + 3x5 + x4 + x2 + 2x + k 5 x7 – 2x6 – 3x3 + kx2 + 1 3 x6 – 2x5 + kx4 – 3x2 + 2x - 3 x5 – x3 + kx + 22 -2 x6 + 6x4 + x3 – 2x2 + k – 5x5 + kx4 – x3 - x + 3 x5 + 2x4 + 3x3 + kx2 + 5 – 2x5 + 3x4 – x3 + 2x2 + kx - 1 3 x6 + 2x5 - x4 + kx2 - x - 2 4x5 + kx4 – 5 2 x6 + kx - 1 X3-5x2+kx-2 3 x6 + 2x5 - x4 – x2 + 2x + k

x=2 x=1 x =2 x =-1 x=3 x=- 4 x=3 x=1 x=2 x =- 2 x =- 3 x=1 x=2 x=1 x= - 2 x=3 x=1 x=2 x =1 x =- 1 x=1 x=2 x=2 x =- 2 x =3 x= - 1 x=1 x =- 1 x=2 x =- 2 x=2 x =3

5 0 -9 10 -12 35 -6 2 -50 2 15 -5 -2 0 6 30 -3 3 0 12 -1 2 10 -29 10 15 2 2 -165 1 5 16

9º FRACCIONES ALGEBRAICAS 18


Colegio Internacional Pinosierra Departamento de Matemáticas

1. Saca factor común y simplifica las siguientes fracciones algebraicas: 1.

2x 5x 2

2. − 5a 2 x 3 y 4 − 2ax 3 y 4

a 3b5 x 2 y 3. ab 3 x 3 y 2

6a 4 b 5 c 2 4. 2a 3 b 2

2 y 2 − 4ay 5. 2 y 4 − 8a 2 y 2

19


6.

6abx 3 12a 2 bx 2

7.

2x + 2 4x + 4

8.

6x + 3 10 x + 5

6x + 6 10 x + 10 2x + 2 10. x +1 9x 11. 6 x − 15

Colegio Internacional Pinosierra Departamento de Matemáticas

13.

3x 3 − 9 x 2 2 x 3 − 4x 2 17. 3x 3 − 6 x 2 4 x 2 − 8x

14.

2 x 3 + 3x 2 3x 3 + 2 x 2

9.

12.

10 x 2x 3 − 2x

15. x 2 + 10 x 3x 2 + 15x x3 − x2 16. 2 x −x

20


Colegio Internacional Pinosierra Departamento de Matemáticas

18.

xy 2 6 xy − 2 xy 2

19. 6a 3 − 6a 2 b 3a 3 − 3ab 2

20. 2a 2 + 10a 3a 2 + 15a

21. x 3 y + 2x 2 y 2 2x 3 y + x 2 y 2

22. 4x 3 y 2 + 2x 2 y 2 2x 3 y 3 + 4x 2 y 2

23. 2 x 3 y + 3x 2 y 2 3x 3 y + 2x 2 y 2

24. 2a 2 b 3 + 10ab 2 3a 2 b 2 + 15ab

25. 4 x 3 y 2z + 2 x 2 y 2z 2 2 x 3 y 3z 2 + 4 x 2 y 2 z 3

2. Factoriza utilizando las fórmulas de las identidades notables, saca factor común en los casos que necesites y simplifica las siguientes fracciones algebraicas: a 2 − b2 1. 2 a − 2ab + b 2 a2 − 4 2. 2 a − 4a + 4 a 2 − 25 3. 2 a − 5a 2 y 2 − 4ay 4. 2 y 4 − 8a 2 y 2

x 2 − 16 5. 2 x − 8x + 16 9b 3 − 6 b 2 + b 6. 9b 3 − 3b 2

9a a − 4 b 2 9. 9a 2 + 12ab + 4b 2

x 2 y 2 − 2 xy + 1 7. x 2 y 2 −1

8. 9a + 30ab + 25b 3a + 5b 2

2

x 2 y 2 − 2 xy + 1 13. x 2 y 2 − xy

x 4 − 25x 2 x 2 + 10x + 25 x 3 − 4x 15. 4 x + 8x 3 + 16x 2

x 3 − 2x 2 x 4 − 4x 3 + 4x 2

14.

x 2 − 25 11. 2 x + 10x + 25 3x 2 − 27 12. 3x 2 + 6x + 9

16.

10.

x 3 y + 2 x 2 y + xy x 2 y − 2x y + y

3. Factoriza , saca factor común en los casos que necesites y simplifica las siguientes fracciones algebraicas: 21


Colegio Internacional Pinosierra Departamento de Matemáticas

1. 2. 3. 4. 5. 6.

x2 − 4 x2 + x − 6 x4 −1 x4 + x2 x 2 − 4x + 4 x 4 − 4x 2 x 4 − 16 x 4 − 4x 2 x 4 − 4x 2 x 2 − 4x + 4 x 2 − 25 x 2 + x − 20

x4 − x2 7. 3 x + 2x 2 + x

x 4 − 9x 2 x 3 + 6x 2 + 9x x 2 + 2x − 3 9. 2 x +x−2 x2 − x − 6 10. x2 −9 x 3 − 4x 2 + 4 x

14.

x 3 − 3x 2 + 3x − 1 x 2 + 3x − 4

19.

x 3 + 2x 2 − x − 2 x 3 + 3x 2 − x − 3

15.

x 3 − 5x 2 + 8x − 4 x2 −1

20.

x 3 − 3x 2 − x − 3 x3 −1

16.

x 3 + 2x 2 − x − 2 x 2 −1

21.

x 4 + 2x 3 − x 3 − 2x x3 − x

x2 −x −6 12. 2 x − 2x − 2

17.

x 3 + x 2 − 9x − 9 x 3 − 9x

22.

x 4 + 2x 3 − x 3 − 2x x3 − x

x 3 − 19 x − 30 13. 3 x − 3x 2 − 10 x

18.

x 3 − 2 x 2 − 5x + 6 x2 − x − 6

23.

x 3 − 3x 2 + 3x − 1 4x 2 − 8x + 4

24.

x 3 + 4x 2 + 4x 4x 4 − 16 x 2

8.

11.

x 3 − 4x

4.- Realiza las siguientes operaciones: a 3a + b 4b a a + 2 2 b 4b

1. 2.

5 4 + 2 3x 2 x a 3a 5a + + 2 b 4b 2 b 2x 2 3x 5 + 2 + 3 3x 4x 2x

3. 4. 5. 6.

1 4 5b − + 2 3yb 6 y b 9 yb 2

7. 3 1 + b 2b − b 2 − + 4a 3b 2 6b 3

3 5 1 9a + 2 + + 3 − 2 2a 3a 2a 6a 3

8.

b 2 + 4b 1 + b 5 − + 12 8b 2 2b

9.

3 1 + b 2b − b 2 − + 4b 3b 2 4b 3

14.

2 5 7 8a 2 − 21 + 2 − 3 − 3a a 4a 12a 3

10.

a b ay 2 − bx 2 + − x 2 y2 4x 2 y 2

15.

ay 2 + x x 5y 1 + + − a 2 b 2 xy 2 x2y2

11.

3 1 + y 2y − y 2 − + 4 y 3y 2 6y 3

16.

12.

5x 1 12 + y 3y + − + 3 4 4y 4y 2 y

17.

2a − 4 a + x x 2 − 2x − − 8a 2ax 4x 2

18.

3x 5 y 3z 20ay + 9z + 2 + 3 − 2a 3a 4a 12a 3

13.

a + b b 2 − 2 b 2a − 4 − + 2ab 8a 4b 2

5.- Realiza las siguientes sumas de fracciones algebraicas: 1. 2.

a +b −1 3. a −b b 2 + 2−b 2+b

4.

a +b a −b − a −b a +b

5.

1 1 + 2 x + y x − y2

a a + x +y x −y

6.

ax a − 2 x+y x −y 2

22


7. 8 4x − 2 x + 2 x 2x + 4 8. 2a 3a − a 2 − 1+ a 1− a2 9. x 1− x − 2 x + x 2x + 2 10. 2x 1 − 2 x + x 5x + 5 11. 1 x +1 1+ 2 − 2 x x +x 12.

23.

2x 3x + 1 x + 1 + + x −1 x −1 x2 −1

24.

x +1 x − 2 2 x − x x − 2x + 1

25.

Colegio Internacional Pinosierra Departamento de Matemáticas

1 x +1 6x 2 − x − 1 − − 1 − 2x (1 − 2 x ) 2 (1 − 2 x ) 3

26. a −1 a +1 4a 1+ a2 − + 2 + 2 + 2a 2a − 2 a − 1 1 − a 2

27. a +b a −b 15a 2 − − 2 3a − 2b 3a + 2b 9a − 4b 2

28.

x 2 1 − + x + x − 2 x + 2 x −1 29. x 2 3 − + 13. 2 x − 5x + 6 x + 2 x + 3 3 4 b x+2 x+3 − + 2 − 2 a + b a − b a 2 − b30. 2 x − x − 6 x − 4x + 3 14. 31. 2 1 1−a 2 a+ − 1+a 1−a

2

2y x x 1 1 1 − − 2 + 2 − 2 x − y x + y x −y2 2 ( x + 5) x − 10 x + 25 x − 25

15.

32.

2 1 3+a + + x +1 4x x2 +1 x −1 − 2 + 2 − 1+ a 1−a 1− a 2 2 x − 2 2x + 2 x − 1 x − 1 16.

33.

a a 2b 2 2 3 4 − − 2 + 2 − 3 a − b a + b a − b2 2 2 x − 4 x − x − 2 x + x − 4x − 4

17.

34.

2b 2a + 1 2a 2 + 2b22 4 3 + − 2 a−b a+b a − xb 22 − 1 + x 2 + 3x + 2 − x 3 + 2x 2 − x − 2

18. 35. x +1 1 x+4 2 5 1 − − 2 + − 2 2 2 3 2 2 x + 4 x 2x +x4x− 4 x + x − 2 x + x − 4x − 4 19. 36.

2a 2a − 1 1 3 2 4 + − 1 − 2a 2a 2a −x42a−2 1 + x 2 + 3x + 2 − x 3 + 2x 2 − x − 2

20.

3a 2b a 2 − 3ab − − 2 a − b a + b a − b2

21. 6a 3a 2a − − 2 1− x 1+ x 1− x

22.

a+b a−b 4ab − − 2 a − b a + b a − b2

23


10º ECUACIONES DE 1º GRADO CON UNA INCÓGNITA Conceptos: Se trata de encontrar un número real que verifique una igualdad. Para ello las operaciones que se hagan a un lado de la igualdad también se deben realizar al otro lado para que se mantenga la igualdad

Procedimientos: Si la ecuación no tiene denominador ,si tienen paréntesis, los operamos, cambiamos a la izquierda los términos con incógnita , a la derecha los términos sin incógnita y despejamos la incógnita. Si la ecuación tiene denominadores se calcula el MCM y se multiplican todos los términos por él. Cuidado con los signos al quitar los denominadores, para no equivocarse utilizar paréntesis con cada sumando.

Ejemplos 2(x-3) +3(x-5) = 4x-7 ; 1º Operamos los paréntesis ; 2x-6 +3x -15 = 4x -7 ; 2º Se pasan aun lado del signo igual todos los términos con x y al otro los términos sin x y se opera.: 2x+3x-4x = -7+6-15 ; x= -16 2x − 3 2 − 4x 5 2x − 1 − = − ; 18 27 3 6 el MCM de los denominadores es 54  2x − 3 2 − 4x   5 2x −1  −  = 54 −  ; 3(2x-3) – 2(2 – 4x) = 18.5 – 9(2x – 1) 54  18 27 6    3 6x – 9 –4 + 8x = 90 – 18x + 9 2.- Se pasan aun lado del signo igual todos los términos con x y al otro los términos sin x y se opera. 6x + 8x + 18x = 90 + 9 + 9 + 4; 32x = 112 112 7 = 3.- Se despeja x y se da la solución. x = 32 2

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

x 9x +1 =5−x + 7 7 x +1 3x x+ = x −1 + 5 5 x +1 3x x+ = x −1 + 5 5 x −1 5 x 5x + 2 2x +1 − = + 3 3 9 x − 5 2x x − 3 x −4 + = − 5 5 15 2 x x 7 x − 5 x −1 − = + 3 5 15 3 x +1 x 16 x 10x −1 3x + − = + 5 15 15 5 9 + x 8 + x 7 + x 2 x −1 − = + 21 7 7 21

3x −

9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16.

x + 5 x 4 + x 5 + 3x + = + 5 10 10 5 10 + 2 x x − x 4 + x + = − 5 4 20 10 9+x 10 + 2x −4 = −3 3 3 5 + x x + 4 4 + x x +1 + = − 3 6 2 6 7 + 2x 5+ x 7+ x +2= + 4 2 4 x − 2 5 − x 2x − 7 x − 3 − = + 5 6 5 30 x − 2 5 − x 2x − 5 6 − x − = + 7 21 21 21 x 2 x −1 9 x + 6 7 x + 1 − = − 6 4 12 6


11º PROBLEMAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO 1º Hallar un número que sumado con 5 unidades sea igual al triple de dicho número disminuido en tres unidades 2º Hallar un número que al sumarle su doble y su tercera parte resulte 40 3º Hallar el número cuya mitad, tercera y cuarta parte , suman 39. 4º Dividir el número 668 en tres partes de las cuales la primera es 3/8 de la segunda y esta 5 / 14 de la tercera. 5º Hallar un número cuya mitad, mas su cuarta parte, más una unidad, sea igual a dicho número. 6º Hallar tres números sabiendo que son consecutivos y que suman 180 7º Un número mas su cuarta parte es 100. Calcularlo. 8º La diferencia entre el tercio y el cuarto de un número es 512, hallarlo. 9º La diferencia entre el noveno y el décimo del dinero que llevo es 15 € ¿Cuánto dinero llevo? 10º Si a un número se le restan 2 unidades, resulta el triple de dicho número disminuido en 10 unidades. Hallar dicho número. 11º Sumando la tercera más la cuarta parte de un número da como resultado su mitad mas 27 ¿De que número se trata? 12º Calcular un número sabiendo que 3 / 5 de su mitas es 27 13º En una reunión de 100 personas el número de mujeres es el triple de hombres. ¿Cuántos hombres y mujeres asistieron a dicha reunión? 14º Una botella y su tapón vales 11,5 € . La botella vale 8€ más que el tapón. Calcular el precio de ambos 15º Un padre tiene 47 años y su hijo 13 ¿Cuántos años tienen que transcurrir para que la edad del padre sea el triple de la del hijo? 16º Un niño ha olvidado cierto número pero sabe que la diferencia entre su tercio y su cuarta parte es 8 17º Un vendedor de naranjas vendió la mitad de las que tenía menos 6, luego 1/5 de las que le quedaban, mas tarde 3/ 4 partes de las que aún conservaba. Le quedaron 12 ¿Cuántas tenía? 18º La edad de Alberto dentro de 12 años será el triple de la actual ¿Cuántos años tienen ahora? 19º En una reunión de 49 personas hay el doble número de mujeres que de hombres, el número conjunto de niños y niñas es cuatro veces el número de hombres ¿ Cuántas personas hay de cada clase? 20º Jaime y su hermana Elsa tienen 25 cromos. Reparte los cromos de manera que Elsa tenga 2 cromos mas que la mitad de Jaime. 21º Reparte 3000 euros entre tres personas de modo que la segunda reciba 16 euros mas que la primera y la tercera 28 euros más que la segunda. 22º Antonio tiene 56 años ¿Qué edad tiene su hijo Luís si hace dos años su padre le triplicaba la edad? 23º El precio de un libro coincide con un tercio de lo que vale más un cuarto de lo que vale más 5 euros. ¿Cuánto cuesta el libro? 24º Si al número que estoy pensando lo multiplico por 2 y a lo que me dé le sumo 50, obtengo el 124 ¿De qué número se trata? 25º En mi casa hay un patio rectangular de perímetro 42 m . Hallar las dimensiones sabiendo que es el doble de largo que de ancho 26º Reparte 105 euros entre cinco personas de manera que a cada uno le correspondan 5 euros más que el anterior. 27º Halla la longitud de una pieza de tela sabiendo que después de haber vendido la mitad, la quinta parte y la décima parte quedan diez metros. 28º En un garaje hay entre coches y motos 50 vehículos. Sabiendo que el número total de ruedas es de 160, halla el número de motos y coches. 29º La suma de las dos cifras de un número es 10, y el doble del número supera en una unidad al número que se obtiene invirtiendo las cifras. ¿Qué número es? 30º Encuentra un número tal que restándole 1 resulte tres veces mayor que restándole 10 31º La suma de tres números pares consecutivos es 102. Calcularlos 32º La suma de dos múltiplos de tres consecutivos es 75. Calcularlos 33º Un pilote se halla clavado bajo tierra en 1/3 de su longitud, sus 2/5 partes quedan dentro del agua y restan en el aire 90 cm. Calcular la longitud total del pivote.


12º SISTEMAS DE DOS ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS 1) 5x – y = 3 8x + 3y = 14 x=1 y=2 6) x – 7y = 17 8x + 9y = 6 x=3 y=-2 11) 2x + 3y = 9 7x – 3y = 19 x=3 y=1 16) 2x - y = 5 3x + 5y = 14 x=3 y=1 21) -3x + 9y = -3 4x + y = -22 x=-5 y=-2 26) 6x + 7y = 32 3x + y = 11 x=3 y=2 31) -3x –7y = 2 x - y = -4 x=-3 y=1 36) 6x + 3y = 27 4x + 5y = 21 x=4 y=1 41) 10x - y = 16 5x + 2y =18 x=2 y=4 46) 7x – 3y = 29 x - 5y = -5 x=5 y=2 51) 8x - y = 6 7x + 5y =17 x=1 y=2 56) 7x – 3y = 2 x + 6y = 1 x=1/3 y=1/9 71) -2x + 9y = 2 4x -6 y = -2 x=-1/4 y=1/6 76) 6x + 3y = 2 4x + y = 1 x=1/6 y=1/3 81) -2x + 9y = 3 x -6 y = -1 x= -3 y=-1/3 86) 3x + y = 2 4x + 5y = 9 x=-1/11 y=-25/11

2) 2x + 5y = 14 x – 2y = -2 x=2 y=2 7) - 6x + 5y = -6 2x - y = 2 x=1 y=0 12) 4x + 3y = 1 3x – 2y = 5 x=1 y=-1 17) 9x - y = 10 6x + 2y = 4 x=1 y=-1 22) 5x – 2y = 13 7x - y = 11 x=1 y=-4 27) 3x - y = 4 5x + 8y = -3 x=1 y=-1 32) 6x + 5y = 21 -x + 2y = 5 x=1 y=3 37) 6x + 7y = -1 8x - y = 9 x=1 y=-1 42) 6x - y = 7 x+ y = 2 x=1 y=-1 47) 9x – 3y =12 5x- y = 8 x=2 y=2 52) 8x – 3y = 22 7x + y = 12 x=2 y=-2 57) 9x – 3y =3 5x + y = 8 x=9/8 y=19/8 72) 5x – 2y = 1 7x - y = 1 x=-1/ y=-4/3 77) x + y = -1 2x - y = 5 x=4/3 y=-7/3 82) 8x – 2y = 1 - 3x + y = 1 x=3/2 y= 11/2 87) x + y = -1 8x - y = 9 x=8/9 y=-17/9

3) 6x – y = 9 x + 3y = 11 x=2 y=3 8) 8x – 2y = 0 -x +9y = 35 x=1 y=4 13) 3x – 2y = -10 4x + y = -6 x=-2 y=2 18) 2x + 3y = 2 5x – 7y = -24 x=-2 y=2 23) -x + 7y = 30 8x -11y= -60 x=-2 y=4 28) -2x + 6y = 16 5x – 3y = -16 x=-2 y=2 33) x – 5y = -12 4x + 6y = 4 x=-2 y=2 38) 2x + 5y = 1 4x + 9y = 1 x=-2 y=1 43) x + y = 5 2x - 2y = 2 x=3 y=2 48) 5x – 3y = 1 -x - y = -5 x=2 y=3 53) 3x + 4y = 18 9x - 2y = 12 x=2 y=3 58) 5x – 3y = 1 -x - y = 2 x=-5/8 y=-11/8 73) -x + 7y = 3 3x -11y= -4 x=1/2 y=1/2 78) x + y = 1 4x -y = 1 x=2/5 y=3/5 83) -x + 7y = 3 3x -12y= 1 x=2/5 y=10/9 88) 2x + 5y = 1 4x + 8y = 3 x=7/4 y=-1/2

4) 7x + 5y = -3 x - y= 3 x=1 y=-2 9) 8x – 3y = 10 4x + 2y = 12 x=2 y=2 14) -5x –3y = -6 6x + 7y = -3 x=3 y=-3 19) x – 2y = 9 2x + y = 3 x=3 y=-3 24) -2x - y = -6 3x + 7y = 20 x=2 y=2 29) 4x + y = 9 2x + 5y = -9 x=3 y=-3 34) 8x + 3y = 15 6x + 11y= -15 x=3 y=-3 39) 4x - y = 10 3x -7y = -5 x=3 y=2 44) 2x + y = 3 x+ y = 0 x=3 y=-3 49) 3x – 6y = 15 4x + 5y = -6 x=1 y=-2 54) 8x - y = -2 7x + y = 17 x=1 y=10 59) 2x – 6y = 3 4x – 8y =1 x=-9/4 y=-5/4 74) -2x - y = -2 3x + 3y = 2 x=4/3 y=-2/3 79) 4x - y = 1 -3x +2y = 4 x=6/5 y=19/5 84) -2x - y = -2 3x + 3y = 2 x=43/9 y=10/9 89) 4x - y = 10 3x +y = -7 x=3/7 y=-58/7

5) 8x – 3y = -2 2x + y = -4 x=-1 y=-2 10) 2x –3y = 4 - x + y = -3 x=5 y=2 15) -3x – y = -9 4x + 5y = 34 x=1 y=6 20) - x –5y = -31 3x – 4y =-21 x=1 y=6 25) -3x + 11y = 7 4x - 3y = 14 x=5 y=2 30) 2x - y = -4 4x -2y = -8 x=1 y=6 35) - x + 5y = 29 7x + 3y =25 x=1 y=6 40) - x + 2y = 13 7x – 5y =-37 x=-1 y=6 45) 4x + 5y = 34 7x - y = 1 x=1 y=6 50) 7x + 2y = -11 9x + y = -11 x=-1 y=-2 55) 2x + 5y = -12 7x + 9y = -25 x=-1 y=-2 60) 11x + 2y = 1 9x + y = 1 x=1/7 y=-2/7 75) -3x +5 y = 5 6x - 3y =- 1 x=10/21 y=9/7 80) - x + 2y = 1 x +5y =7 x=8/7 y=15/14 85) -3x + y = 5 6x - 4y =- 1 x=-19/6 y=-9/2 90) - x + y = 1 2x – 5y =-3 x=-2/3 y=1/3


13º PROBLEMAS DE SISTEMAS DE 2 ECUACIONES CON 2 INCÓGNITAS DE PRIMER GRADO 1º Hallar dos números sabiendo que su diferencia es 22 y que el mayor es triple del menor 2º Calcular las dimensiones de un rectángulo de perímetro 20 m sabiendo que la altura es 2/3 de la base. 3º El cociente exacto entre dos número es 3 y su diferencia es 24. Calcularlos 4º Hallar dos números cuya diferencia es 7 y cuya razón es 3/2 5º La diferencia entre dos números es 121 y su cociente exacto es 12. Calcularlos. 6º Un padre tiene el triple de edad que su hijo. Si el padre tuviera 30 años menos y el hijo 8 más tendrían la misma edad. Averigua la edad de cada uno. 7º Un televisor y un video cuestan 1080€ . Si el televisor se rebaja un 20% , entonces costarían lo mismo ¿ Cuál es el precio de cada uno? 8º En una granja hay gallinas y conejos. El número de cabezas es de 282 y el de patas 654. Calcula cuántas gallinas y cuántos conejos hay. 9º Hemos pagado una factura de 435 € con billetes de 5 y 10 € En total hemos dado 60 billetes . Averigua cuantos hay de cada clase. 10º Calcula el área de un rombo sabiendo que la suma y la diferencia de sus diagonales es 170 y 70 respectivamente. 11º En una papelería se han vendido 13 cuadernos de tipo A y 12 de tipo B por 79,10€ . Calcular el precio de cada tipo si sabemos que el precio del tipo B es el 80% del tipo A 12º Las dos cifras de un número suman 12. Si se invierten el orden de estas se obtiene el mismo número 18 unidades mayor. Calcula dicho número. 13º Hace 10 años la edad de una persona era el doble que la de otra y dentro de 16 años, la edad de la primera será 4 / 3 de la segunda. Calcula la edad de esas dos personas. 14º Dos números de diferencian en 53 unidades. Si dividimos el mayor entre el menor el cociente es igual a 2 y el resto a 21. Calcula los números. 15º Hallar dos números cuya suma es 72 y cuya diferencia es 26. 17º Hallar dos números sabiendo que suman 85 y que el menos aumentado en 36, equivale al doble del mayor, disminuido en 20. 18º En un garaje hay motos de dos cilindros y autos de 6 cilindros; en total hay 80 cilindros y 58 ruedas. Calcular el número de motos y autos que hay en el garaje 19º Hallar las edades de un padre y un hijo, sabiendo que hace 8 años la edad del padre era 8 veces la del hijo y dentro de 16 años será solamente el doble. 20º Hallar las edades de A y B sabiendo que hace 6 años A tenía el triple de edad que B y dentro de 12 años A tendrá 20 años más que B 21º A dice a B. Mi edad es el triple de la que tú tendrás dentro de 6 años. Hallar la edad de cada una sabiendo que la suma de las edades actuales es 50 años. 22º Un muchacho vive en el último piso de su casa. Baja la escalera de 3 en 3 y sube de 2 en 2 y en total de 100 saltos ¿Cuantos peldaños tiene la escalera? 23º Dos números son entre si como 5 es a 3, y si al primero se le restan 10 y al segundo se le suman la razón se invierte. Hallar dichos números. 24º Hallar el numerador y el denominador de una fracción sabiendo que si los aumentamos en 3 la fracción es igual a 5 / 7 y si los disminuimos en 6 unidades resulta 1 / 5. 25º Se han pagado 9,20 € por 10 kg de azúcar de dos clases diferentes. La primera cuesta 0,9 € / Kg. y la segundo 1 €/ Kg. 26º Se han mezclado dos cantidades de vino de 3 € /l. y 6 €/l., obteniendo 200 litros de mezcla que sale a 3,75 €/ l. ¿ Qué cantidades se mezcló de cada clase? 27º La nota media de matemáticas de la clase de tercero A es 5,4 y la de tercero B es 6,4. ¿Cuántos alumnos hay de cada grupo si en total son 50 con una nota media de 5,88? 28º La base de un rectángulo es 15 m mayor que la altura. El perímetro mide 70m. Calcular la longitud de los lados 29º Las bases de un trapecio isósceles se diferencian en 7cm. Su altura mide 18 cm. y su área es igual a 297cm2. Calcula la longitud de las bases. 30º La suma de dos números es 7 y su cociente exacto es también 7 .Calcularlos.


14º SISTEMAS DE 3 ECUACIONES CON 3 INCÓGNITAS x+y+z=6 x + 2y – z= 2 2x – y +2z=6 x=1 ; y=2 ; z=3 x -2 y -2 z = -3 5º 2x -4y +3z= -13 3x – y - z = 1 x=1 ; y=3 ; z=-1 x–y–z=1 9º 3x – y + z= -1 7x + y +z=7 x=1 ; y=2 ; z=-2 3x -2y +z = 16 13º 2x +4y – z= -10 -7x + 2y +3z=-14 x=2 ; y=-3 ; z=2 4x –y -z = 8 17º x + y -5z= -10 4x + y +2z=10 x=2 ; y=-2 ; z=2 x + y + z=14 21º x – y + z = 22 -x + y + z =2 x = 6; y= -4; z= 12 x+y-z=4 25º x + 2y – z= 6 2x – y +2z=-2 x=1 ; y=2 ; z=-1 x -2 y -2 z = 2 29º 2x +4y +3z= 2 3x -2y -3z = 4 x=2 ; y=-2 ; z=2 x + y + z=3 33º 2x – y + z = -2 -x + y + z =1 x=1 ; y=3 ; z=-1 x + y + z=-2 37º 2x – y + z = 3 -x + y + z =-4 x=1 ; y=-2 ; z=-1 x + 2y +z = 4 41º x + 2y – z= 6 3x – y +2z=-1 x=1 ; y=2 ; z=-1 x+y-z=1 45º x + 2y – z= 3 2x – y +2z=4 x=1 ; y=2 ; z=2 1º

x+y–z=2 2x- y +3z=3 4x+2y-2z=6 x=1 ; y=2 ; z=1 x+y+z=3 6º 3x + y -z=3 2x+2y-3z=1 x=1 ; y=1 ; z=1 4x +3y -2z = 5 10º 2x- 4y +7z=5 3x -4y +2z=1 x=1 ; y=1 ; z=1 x+y +z=5 14º 2x- 4y +3z=1 3x +7y -2z=2 x=0 ; y=2 ; z=3 x +2y +2z = 5 18º 3x- y +2z=4 4x + y -3z=2 x=1 ; y=1 ; z=1 x+y+z=1 22º 3x + y -z=3 2x+2y-3z=7 x =0; y=2; z=-1 x + 2y – z = -4 26º 2x+3y +3z=-1 4x+ y-2z =0 x=1 ; y=-2 ; z=1 x +2 y + z = 4 30º 3x + y -z=3 2x+3y-3z=2 x=1 ; y=1 ; z=1 x -y + z = 1 34 º 3x + y -z=3 2x+2y+3z=7 x=1 ; y=1 ; z=1 x -2y + z = 1 38 º 4x + y –z =3 2x+2y+3z=10 x=1 ; y=1 ; z=2 x + 2y – z = 4 42º 2x+3y -3z=5 4x+ y+2z =8 x=1 ; y=2 ; z=1 x + 2y – z = 0 46º 2x+3y +3z=5 4x+ y-2z =2 x=1 ; y=0 ; z=1 2º

x -2y + z = -1 2x+ y-3z =8 3x -2y+ 2z=2 x=2 ; y=1 ; z=-1 x -y+z=3 7º 2x+ 3y-2z =-2 3x -4y+ 2z =7 x=1 ; y=0 ; z=2 2x +3y- z = 3 11º 3x+ 2y-z =3 5x +3y+ z=10 x=1 ; y=1 ; z=2 x +3y- z = 2 15º 3x+ 2y-z =3 4x +3y+ z=9 x=1 ; y=1 ; z=2 2x – y- z = 2 19º 4x+ y-2z =0 3x – y+ 2z=6 x=1 ; y=-1 ; z=1 x+y+z=5 23º 3x + y -z=-5 2x+3y+2z=14 x=-2 ; y=4 ; z=3 x -2y + z = 0 27º 2x+ y -3z =10 3x -2y+ 2z=5 x=3 ; y=1 ; z=-1 x -y+z=3 31º 2x+ 3y-2z =-3 3x -4y+ 2z =9 x=1 ; y=-1 ; z=1 x+y+z=5 35 º 3x + y -z=3 2x+3y+2z=10 x=1 ; y=2 ; z=2 x+y+z=7 39 º 3x - y - 2z =3 2x+3y+2z =16 x=3 ; y=2 ; z=2 x +2y +2 z = 3 43º 4x +2y +3z =11 3x -2y+ 2z=5 x=3 ; y=1 ; z=-1 x -2y + z = -5 47º 2x+ y -3z =0 3x -2y+ 2z=-10 x=-2 ; y=1 ; z=-1 3º

x +2y -2 z = 1 2x+ y +z =1 5x+ y- 3z=-6 x=-1 ; y=2 ; z=1 x +2y -4z = 4 8º 5x -3y +z =7 3x+ y- 2z= 7 x=2 ; y=1 ; z=0 2x +y + z = -3 12º 3x+4y +2z =-1 -5x+2y- 4z=-21 x=-1 ; y=2 ; z=-3 5x -2y +z =-15 16º 2x+2y –z =1 4x -3y- 2z=-26 x=-2 ; y=4 ; z=3 4x+2y +4z =18 20º 2x+ y + z =5 6x –y- 3z=3 x=2 ; y=-3 ; z=4 x+y+z=4 24º x +3z=0 3x+2y=13 x=3 ; y=2 ; z=-1 x +2y -2 z = -5 28º 2x+ y +z =1 5x+ y- 3z=0 x=1 ; y=-2 ; z=1 x -2y -4z = -12 32º 5x -3y +z =17 3x+ y- 2z= -3 x=2 ; y=-1 ; z=4 x+y+z=4 36º x +3z=5 3x+2y=8 x=2 ; y=1 ; z=2 x+y+z=6 40 º x +3z=11 3x+2y=8 x=2 ; y=1 ; z=3 x +2y -2 z = -5 44º 2x+ y +z =1 5x+ y+ 3z=6 x=1 ; y=-2 ; z=1 x +2y -2 z = 3 48º 2x+ y +z =7 5x+ y- 3z=2 x=1 ; y=3 ; z=2 4º


15º ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Completa Incompleta falta b Incompleta falta c y=ax2-bx+c x=

ax2+c=0

− b ± b 2 − 4ac 2a

x= ±

x2+bx=0 x(x+b)=0 x=0 y x=-b/a

−c a

1º) Resolver las siguientes ecuaciones: 1. x2 – 5x + 6 = 0 2. x2 – 10x + 9 = 0 3. x2 – 8x + 15 = 0 4. x2 + 12x +32 = 0 5. x2 – 9x + 8 = 0 . 6. x2 – 2x - 15 = 0 7. x2 – x - 2 = 0 8. x2 - 3x - 10 = 0 9. x2 – 7x + 6 = 0 10. x2 – 7x + 12 = 0 11. x2 – 4x - 12 = 0 12. x2 - 6x + 5 = 0 13. x2 - 6x + 9 = 0 14. x2 – 2x +1 = 0 15. x2 – 3x - 4 = 0 16. x2 + x - 2 = 0 17. x2 – 9x + 20 = 0 18. x2 - 5x + 4 = 0 .19. x2 – 2x - 3 = 0 .

20. x2 + 7x + 12 = 0 21. x2 – 4x + 3 = 0 22. x2 – 10x + 25 = 0 23. x2- 12x +36=0 24. x2 - 5x - 6 = 0 . 25. x2 – 11x + 24 = 0 26. x2 – 3x + 2 = 0 27. x2 – 7x - 8 = 0 28. x2 – 4x + 4 = 0 29. x2 – 14x +4 9 = 0 30. x2 +4x + 4 = 0 31. x2 - 6x + 8 = 0 32. 14x2 – 132x + 3 = 0 33. 4x2 – 20x + 1 = 0 34. 3x2 + 7x - 6 = 0 35. 4x2 + 4x - 3 = 0 36. 15x2 – 26x + 8 = 0 37. 3x2 – 2x - 5 = 0 38. 4x2 – 17x + 4 = 0

39. 6x2 - x - 1 = 0 40. 2x2 – 7x + 6 = 0 41. 3x2 – 11x + 10 = 0 42. 4x2 + 3x - 1 = 0 43. 4x2 + 8x - 5 = 0 44. 9x2 – 18x + 8 = 0 45. 4x2 -16 x + 15 = 0 46. 15x2 – 32x + 16 = 0 47. 12x2 - 23x + 5 = 0 48. 4x2 – 8x + 3 = 0 49. 2x2 - 9x + 10 = 0 50. 4x2 + 7x - 2= 0 51. 3x2 + 10x - 8 = 0 52. 2x2 – 5x + 3 = 0 53. 3x2 + x - 10 = 0 54. 4x2 – 12x - 5 = 0 55. 14x2 - 27x - 20 = 0 56. 15x2 – 41x + 28 = 0 57. 6x2 + x – 2 = 0

2º Resolver las siguientes ecuaciones incompletas: 1. 2x2 – x = 0 2. 3x2+6x=0 3. 5x2-10x=0 4. 2x2-x=0 5. 2x2 – 3x = 0 6. x2 + x = 0 7. x2 – 5x = 0 8. x2 + 9x = 0 .9. 2x2 – 5x = 0 10. x2 – 6x = 0 11. x2 + 2x = 0 12. x2 + 8x = 0 13. x2 - 2x = 0 .14. 2x2 – 7x = 0 15. 3x2 – x = 0

16. 4x2 + 7x = 0 17. x2 + 7x = 0 18. x2 - x = 0 19. x2 + 3x = 0 20. 3x2 + 5x = 0 21. x2 - 3x = 0 22. 5x2 – x = 0 23. 5x2 - 4x = 0 24. 3x2 – 2x = 0 25. x2 – 4x = 0 26. 5x2 - 2x = 0 27. 3x2 – 4x = 0 28. x2 - 7x = 0 29. x2 – 1 = 0 30. 4x2 – 1 = 0

31. 9x2 – 1 = 0 32. 16x2 – 25 = 0 33. 9x2 – 16 = 0 34. x2 – 4 = 0 35. 16x2 – 1 = 0 36. 4x2 – 49 = 0 37. x2 – 9 = 0 38. 4x2 – 9 = 0 39. 16x2 – 49 = 0 40. x2 – 16 = 0 41. 25x2 – 16 = 0 42. x2 – 25 = 0 43. 49x2 – 1 = 0 44. 9x2 – 25 = 0 45. x2 – 36 = 0

46. 16x2 – 9 = 0 47. x2 – 49 = 0 48. 9x2 – 4 = 0 49. 25x2 – 1 = 0 50. x2 – 64 = 0 51. 49x2 – 4 = 0 52. 25x2 – 36 = 0 53. x2 – 81 = 0 54. x2-169=0 55. x2-144=0 56. 36x2-1=0 57. x2-8x=0 58. 169x2-144=0 59. 16x2-25=0 60. 9x2-36=0


3º Opera y resuelve las siguientes ecuaciones de 2º grado: 1. (x-1)2 +(x-1)2=0 2. (x-1)2 +(x+1)2=4 3. (x-1)2 +(x-3)2=15 4. 3(x-5)2=75 3 x = 2 2 x2 6. 3x-10 = 8 2

5. x+

7. 11(x-1)2=(2x-3)2+4x2+1 8. 5x(x+4)=2 9. (1-2x)2=1 10. (x+5)2=25 11. (x+1)2=4 12. (x+2)(x-1)=30 13. (x-3)(x+1)=21 14. (x-2)(x+3)=2x-6 15. (x+4)(x-8)=-4x+4 16. (2x-1)(3x+4)=0 17. (x-1)2=1 18. 2x(2x-5)-18=x(7-x)-12 19. (x+4)2=8x 20. 25x(x+1)=-4 21. (2x-3)2=8x 22. (x+2)(x-2)=2(x+5)+21 23. 2x(3x-4)-(1-3x)(1+x)=-2 24. (x-3)2=9 25. (2x-1)2+(x-3)2=10 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33.

2x 2 x + 3 − =3 3 2 800 800 − = 60 x x +3 456 456 − = 19 x −2 x 20 = 5x x 2x =x x +3 x −2 2 = 5 x +1 2 x +1 =1 2x + 1 x =x x+4

x2 +3 =1 3x + 3 6 35. x+1= x 27 36. x-6= x 6 37. x + = −8 x x2 =1 38. 4x − 3 x 2 39. = 9 x −3 2 40. x + = 3 x 12 41. x + = 7 x 1 x −1 42. 1 − = x 2 1 =5 43. x + x −3 6 44. x + = 5 x x x −5 45. = 3 1−x x −1 46. x + 1 = x 4 = x +1 47. x +1 1 =5 48. x + x+3 1 1 1 49. − = x 6 x +1 1 1 1 50. − = x 6 x +1 1 3 1 51. + = x 2 x +3 x +1 x2 3 − = 52. 2 4 8 3x x 2 + 4 − =1 53. 2 4

34.

54. 1 − 5x (1 −

3x x )= 2 2

55.

1 x2 + x x+2 + =1− 2 4 8

56. x −

4x + 3 x 2 + 2 + =1 8 16

1 1 2 2 2 3 + 2x x 1+ x2 = + 58. 1 − 3 2 6

57. (3x − ) (3x + ) -2x=8x2-1

11( x − 1)  2  5 x ( 2 x −1) 60. x(x-1) +1 = + 6 3 2 2 x x 2 x + + −1= 61. 6 3 3 4 x + x2 1− x2 x +1 − = −1 62. 8 4 2 x x2 x + x2 + =0 63. 1 + + 2 4 6 6 1 = 2 64. 2 4x + x − 3 x + x − 1 x +8 24 −2= 65. x −8 x −4 1 2 9 + = 66. x+2 x+2 2 4 4 4 + = 67. x +1 x − 2 x −1 4 1 4 − = 68. x + 3 x − 2 x +1 x x + =1 69. x +1 x + 4 1 5 20 + = 70. x − 2 x − 4 x +1 2x x+2 + =2 71. x+2 2x x + 1 x + 2 29 + = 72. x + 2 x + 1 10 x +3 x −5 + =1 73. x −5 x −3 3 2

2 59. (x+1)  − 2(1 − x ) = 3x +


16º PROBLEMAS DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO 1. La mitad del cuadrado de un número es 242. Hallarlo 2. Si al cuádruple de un número se le añaden 320 unidades se obtiene el cuadrado del número. Calcularlo 3. Un terreno rectangular ocupa 98m2. Calcular las dimensiones sabiendo que uno de los lados mide el doble que el otro 4. Hallar un número sabiendo que si se le añaden 15 unidades resulta 5. Calcula dos números impares consecutivos cuyo producto sea 195 6. Si multiplicas la tercera parte de cierto número por sus tres quintas partes, obtienes 405¿Cuál es ese número? 7. Un señor compra una parcela de terreno por 4800€ . Si el m 2 hubiera costado 2 € menos, por el mismo dinero hubiera comprado una parcela 200 m 2 mayor. ¿Cuál es la superficie de dicha parcela? 8. Un ranchero decide repartir una manada de 456 caballos entre sus hijos e hijas. Antes del reparto se enfada con los dos únicos varones, que se quedan sin caballos. Así que cada hija recibe 19 cabezas más. ¿Cuántas son las hijas del ranchero? 9. Varios amigos alquilan un velero por 800€. Si hubieran sido tres más habrían pagado 60 € menos ¿Cuántos amigos son? 10. Si al triple de un número se le quitan 10 unidades resulta la octava parte de su cuadrado. Averiguar de que número se trata. 11. ¿Cuánto mide el área de un cuadrado si al aumentar en 2 unidades la longitud de cada lado, el área del cuadrado resultante es 361 cm2? 12. Hallar dos números positivos consecutivos tal que la suma de sus cuadrados sea 313 13. Hallar dos números positivos consecutivos tal que el cuadrado de su suma es 361 14. La suma de los cuadrados de tres números consecutivos positivos es 365. Hallarlos. 15. El cuadrado de la suma de dos números enteros consecutivos es 529. Hallarlos 16. El producto de dos números impares consecutivos excede en 114 unidades al cuadrado del menor. Calcular dichos números. 17. Al añadir tres unidades a la novena parte del cuadrado de cierto número se obtiene el consecutivo de dicho número. Hallar el número. 18. El perímetro de un rectángulo es 30 cm. y su área es 56cm2. Hallar la longitud de los lados. 19. Hallar la base y la altura de un rectángulo sabiendo que su diagonal mide 50 cm. y que la base tiene 10 cm. más que la altura. 20. Descomponer el número 16 en dos partes de manera que su producto sea 60. 21. Añadiendo 5 unidades a un número natural y multiplicándolo por el mismo número disminuido en 5 unidades, el producto de ambos es 144. ¿Cuál es el número 22. Hallar un número tal que quitándole 60 unidades a su cuadrado resulte lo mismo que quitándole 4 unidades al propio número. 23. Un padre reparte 3600€ entre sus hijos en partes iguales. Si tuviese 3 hijos menos cada uno recibiría 200€ más ¿Cuántos hijos tiene ese padre? 24. Hallar los catetos de un triángulo rectángulo sabiendo que la hipotenusa mide 13 cm. Y un cateto es 7 unidades más que otro. 25. Un número es 10 unidades mayor que otro y el producto de los dos números es -24 26. Un número es 13 unidades menos que otro y la suma de sus cuadrados es 349 27. Un rectángulo tiene 300cm2 de área y su diagonal mide 25 cm. ¿ Cuánto miden los lados? 28. Calcular la longitud del lado de un cuadrado sabiendo que su área es la cuarta parte del área de otro cuadrado cuyo lado es 2 cm mayor. 29. Un caño tarde 5 horas más que otro en llenar un depósito. Juntos tardaría 6 horas. ¿Cuánto tardará cada caño en llenarlo por separado? 30. Si un número se multiplica por el mismo aumentado en 2 unidades el producto es 15. Calcularlo.


17º ECUACIONES BICUADRADAS Y DE ORDEN SUPERIOR Ecuaciones bicuadradas Procedimiento: Se hace el cambio de variable x2 = y; x4 = y2, y se resuelven como las ecuaciones de 2º grado. Al terminar se deshace el cambio de variable. 4 2 Ejemplo: x – 6x + 5 = 0; x2 = y; y2 – 6y + 5 = 0;

2 6 ± 36 − 20 6 ± 4  y = 5; x = 5; x = ± 5 y= = = 2 2 2  y = ;1 x = ;1 x = ± 1 Resolver las siguientes ecuaciones bicuadradas: 1. x4-5x2 +4=0 13. 20. 2. x4-8x2 -9=0 (x2-5)(x2-3)=-1 25x4-26x2+1=0 4 2 3. x -25x +144=0 14. 21. 4 2 4 2 225 4. 36x -13x +1=0 x − 29 x + 100 = 0 34 − x 2 = 2 5. x4+4x2 +3=0 15. x 2 6. x4-13x2 +36=0 9x 4 + 16 = 40 x 2 x − 32 28 22. + 2 =0 7. x4-26x2 +25=0 16. 4 x −9 4 2 4 2 8. 4x -17x +4=0 2x -10x +8=0 9. 9x4+5x2 -4=0 17. 23. 10. 4x4-5x2+1=0 2 x 2 −16 4x4 -5x2+1=0 − =0 18. x2 − 9 72 11. 9x4 -10x2 +1=0 24. 4x4 44x4-25x2+1=0 19. – 40x2 + 36=0 12. 16x4 -17x2+1=0 (3x2+3)(x2-5)=-15 Ecuaciones de grado superior Procedimiento: Se obtienen soluciones por el método de Ruffini hasta obtener una ecuación de segundo grado que se resuelve utilizando la fórmula. Ejemplo: 8x4 – 6x3 –7x2 +6x –1 = 0 8 1 8 6 -1 = 8x2-6x+1=0 6 7 16 2 1 8 2 1 5 8 2 1 0 5 -1 6 8 1 8 1 0 6 x=

6 ± 36 − 32 6 ± 2 = = 16 16


4 1 = 16 4

Soluciones:1, -1, 1/2, 1/4 Resolver las siguientes ecuaciones de grado superior: 1. 6x3 + 5x2 -2x -1 =0 10. 4x4-20x3+15x2+45x-54=0 3 2 2. 2x -x -8x+4 =0 11. 6x4+17x3-8x2-27x+18=0 3. 6x3- 17x2+11x-2=0 12. 9x4-36x3+26x2+4x-3=0 3 2 4. 3x +x -12x-4=0 13. 9x4-36x3+26x2+4x-3=0 5. 2x4-9x3+6x2+11x-6=0 14. 5x3-x2-5x+1=0 4 3 2 6. 3x +5x -10x -20x-8=0 15. 5x5-x4–5x3+x2=0 7. 3x4+7x3+x2-7x-4=0 16. 9x4-45x3+50x2+20x-24=0 3 2 8. 2x -3x -2x+3=0 17. 6x4-x3-23x2+4x+4=0 4 3 2 9. 12x -x -49x +4x+4=0 18. 6x3+13x2+4x-3=0

18º FUNCIONES LINEALES Definición: La relación de proporcionalidad directa entre las magnitudes x e y se puede expresar como funciones de ecuación y=mx. Las gráficas pasan por el origen y m representa la pendiente. Y Si (a,b) es un punto de la recta la pendiente verifica (a,b) b m= b y=mx a Cuanto mayor sea la pendiente más inclinada será la recta o

a

Si la pendiente es positiva la recata crece Si la pendiente es negativa la recta decrece Definición: Las gráficas de las recta y=mx+n son rectas que no pasan necesariamente por el origen m es la pendiente y n es la ordenada en el origen. Ejemplo: Representar y=2x-2 Y

X

y=2x-2 1

X -1 -2

2

3

La ordenada en el origen es -2 que es el punto de corte con el eje Y. Resolvemos la ecuación 2x-2=0 ; x=1 es el punto de corte con el eje X. Unimos los dos puntos y representamos

Definición: Dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente . Son se cantes si tienen pendiente distinta. .Para calcular su punto de corte resolvemos el sistema que forman. 1.-Calcular la ecuación de la recta y representar en las siguientes casos: 1. 2. 3. 4. 5. 6.

pendiente 3 y ordenada en el origen –3 pendiente -2 y ordenada en el origen 3 pendiente -5 y ordenada en el origen 2 pendiente 5 y ordenada en el origen -3 pendiente 3 y pasa por el punto P (1,2) pendiente 2 y pasa por el punto P (2,1)

7. 8. 9. 10. 11. 12.

pendiente 2 y pasa por el punto P (3,2) Pasa por los puntos P(1,3) Q(3,-2) Pasa por los puntos P(-1,2) Q(1,-2) Pasa por los puntos P(1,2) Q(2,-2) Pasa por los puntos P(2,3) Q(1,-1) pendiente -2 y pasa por el punto P (3,-2)


13. 14. 15. 16.

Es paralela a la recta y=-3x+1 y pasa por el punto P(-1,-2) Es paralela a la recta y=3x-1 y pasa por el punto P(2,-2) Es paralela a la recta y=4x+1 y pasa por el punto P(2,-2) Es paralela a la recta y=2x-1 y pasa por el punto P(1,-2)

2.- Estudiar la posición relativa de los siguientes pares de rectas. En caso de ser secantes calcular su punto de intersección. 1. y= 2x-1 e y=3x+2 2. y=3x-1 e y=3x+2 3. y=4x-1 e y=2x-3

4. y= 3x-3 e y=-3x+2 5. y=5x-2 e y=5x+1 6. y=3x+4 e y=4x+3

7. y=2x-2 e y=3x-1 8. y=-2x-2 e y=-2x+4 9. y= -2x+1 e y=3x-3

3.- Dibujar y encontrar las ecuaciones del paralelogramo de vértices A ( -1,1) ; B ( 5,1 ) ; C (3 ,1) ;D (-3, -1). 4.-Dado el triángulo de vértices A( 3,1) ; B(6,4); C (8,-2) Hallar: a) Ecuaciones de los tres lados b) Recta paralela al lado AB que pasa por C c) Puntos medios de los tres lados

19º FUNCIONES CUADRATICAS Procedimiento general: y=ax2+bx+c

1. Calculamos sus puntos de corte: Eje OX resolvemos la ecuación (x1, 0) y (x2 , 0) Eje OY (0,c) 2. Calculamos su vértice: x + x2 −b Abcisa x= ó bien x= 1 2a 2 Ordenada sustituimos x en la ecuación.

Ejemplo: Representar y= x2 +2x -3 1º resolvemos x= − 2 ± 2 2 − 4.1.( −3) − 2 ± 16 − 2 ± 4 = = = 2.1 2 2 como c=-3 sus puntos de corte son ( 1, 0) ; (-3, 0) ; ( 0, -3). −b −2 = = −1 sustituimos x=-1 en la 2º Vértice x= 2a 2 ecuación y=(- 1)2 + 2(-1) -3 = -4 luego el vértice es V=( -1. -4).

x1=1

x2=-3

Representar las siguientes parábolas indicando sus puntos de corte y vértice: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

y=x2-5x+6 y=8x2+32x y=x2-5x+4 y=x2-16 y=4-x2 y=-x2+4x-4 y=x2 – 10x + 9 y=x2 + 2x

9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16.

y= x2-4 y=x2-9 y=x2-16 y=x2+3x y=x2-5x y= -x2-x+2 y= -x2+6x-5 y=-x2+4x+5

17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24.

y=x2-6x-7 y=x2-8x-9 y=x2-4x-5 y=-x2+5x-4 y=x2-4x y= x2-1 y=x2-x y=x2-2x+1


20º ESTUDIO DE FUNCIONES A PARTIR DE SU GRÁFICA A partir de la gráfica de las siguientes funciones estudia: dominio, recorrido, puntos de corte, simetría, asíntotas, monotonía, máximos, mínimos


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1º Un ciclista decide salir de ruta y durante un tiempo pedalea por un camino hasta que llega a una zona de descanso en donde se detiene para comer. A continuación, sigue avanzando durante otro rato más, momento en que decide volver a casa por el mismo camino que había elegido para la ida. Observando la gráfica anterior, responder: a. ¿A cuántos kilómetros de su casa decide parar a comer? b. ¿Qué tiempo había transcurrido cuando decide esa parada? c. ¿Cuánto tiempo ha estado comiendo? d. ¿Cuánto tarda en volver a casa desde que decide regresar? e. ¿En qué momento de la ida tenía el camino una pendiente más pronunciada? f. ¿Durante qué franja de tiempo pedaleó a más velocidad el ciclista? g. ¿Cuáles son el dominio y el recorrido de la función? h. ¿Cuántos kilómetros ha recorrido entre la ida y la vuelta? 2º Decide razonadamente si las siguientes correspondencias son funciones o no. En las que sí lo sean, indica cuál representa la variable independiente y cuál la dependiente. a. A todo número natural se le hace corresponder su número natural siguiente. b. A todo número natural se le asocian sus divisores. c. A cada día del año se le asocia la cotización del euro frente al dólar. d. A todo número fraccionario se le asocia su inverso. e. A todo número se le asocia su raíz cuadrada. f. A cada fase de la luna le asociamos la fecha en la que se da dicha fase. g. A todo número se le asocia su doble más siete. 3º ¿Cuáles de éstas gráficas no corresponden a una función? ¿Por qué?

4º La cotización en bolsa de un determinado producto en los primeros 10 días en que se sacó a bolsa es la función representada en la imagen: a) ¿Cuál es su dominio? ¿Cuál es su recorrido? b) ¿Cuánto cotizaba este producto al cabo de 1 día? ¿Y al cabo de 9 días?

R-MATC3º E.S.O.

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c) ¿Cuándo suben las acciones? ¿Cuándo bajan? d) ¿Cuándo alcanzan su máximo? ¿Y su mínimo? 5º Observa los siguientes datos que se dan en una tabla:

Corresponden al número aproximado de bacterias, en miles, de una colonia a lo largo del tiempo medido en horas. a) ¿Cuál es la variable independiente? ¿Y la dependiente? b) Hacer un esbozo de la gráfica de esta función. 6º Un padre que estuvo observando desde el balcón a su hijo Alberto como iba al colegio: De casa salió a las 8.30 y fue seguidito hasta casa de su amigo Tomás. Lo esperó un rato sentado en el banco y luego se fueron juntos, muy despacio, hacia el colegio. Cuando ya estaban llegando, mi hijo se dio cuenta de que se había dejado la cartera en el banco; volvió corriendo, la recogió y llegó a la escuela a las 9 en punto. Esbozar una gráfica que represente la función que describe la distancia a la que se encuentra Alberto según el instante entre las 8.30 y las 9.00 de la mañana. 7º Esta gráfica muestra la evolución de la audiencia de radio en España en un día promedio del año 1993. El porcentaje se refiere a toda la población española de 14 años o más. a. ¿Entre qué horas se realiza la medida? b. ¿En qué horas del día aumenta el porcentaje de personas que escuchan la radio? ¿Cuándo disminuye? c. ¿En qué momento de la mañana es máximo el porcentaje de oyentes? d. ¿Cuál es el máximo de la tarde? ¿Y de la noche? e. ¿Cuál es el porcentaje de oyentes a las 8 de la mañana? ¿Y a las 9 de la noche? 8º La siguiente tabla muestra los datos recogidos respecto a la longitud del feto durante el embarazo según las semanas de gestación: a. Usando la tabla de valores, representar gráficamente la función. b. Señalar cuál es la variable independiente y cuál la dependiente y en qué se mide cada una. c. Durante las primeras dos o tres semanas de gestación el feto es casi microscópico. ¿Cuánto medirá cuando la gestación sea de 12 semanas y media. d. ¿Cuál es la longitud que suele tener un niño al nacer? e. Si la expresión P = 0'025·l3 nos da de forma aproximada el peso del feto en gramos según su longitud l en centímetros. Construir la correspondiente tabla y dibujar la gráfica de la función que representa el peso en gramos del feto según la semana de gestación.

R-MATC3º E.S.O.

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9º Un remonte de una pista de montaña funciona de 9 de la mañana a 4 de la tarde y su recorrido es el siguiente: Desde la salida hasta la pista, que está a 1200 m, tarda 15 minutos. Se para en la pista 15 min. Baja hasta la base en 10 minutos. Está parado 20 min, y empieza de nuevo el recorrido. a. Dibujar la gráfica que representa el recorrido del remonte. b. ¿Cuál es la posición del remonte a las 12 h 30 min? ¿Y a las 12 h 20 min? c. ¿Observas alguna característica especial en la gráfica?. Comentarla. 10º Observar en esta gráfica que el número de viajeros en una línea de autobuses ha ido en aumento entre las 6y las 8 de la mañana. a)¿El crecimiento de la función es igual entre las 6 y las 7 que entre las 7 y las 8? b) Indica los tramos en los que la función es decreciente y los tramos en los que es creciente. c) ¿En qué tramo no hay variación en el número de viajeros? ¿Cómo dirías que es la función en ese tramo? d) ¿En qué momento hubo un número máximo de viajeros? 11º La siguiente gráfica nos muestra el nivel de ruido que se produce en un cruce de grandes avenidas de una ciudad: a. ¿Cuándo crece el nivel de ruido? ¿Cuándo decrece? b. Indicar los instantes de tiempo en los cuales la intensidad del ruido es máxima o mínima. 12º Estudiar los intervalos en los que la siguiente función es cóncava o es convexa. Encontrar los puntos de inflexión:

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13º El supermercado “EROSKI” no cierra el medio día y quiere saber si eso es rentable. Para ello, ha realizado la gráfica que representa la afluencia de público un día de la semana, resultando esta: Construye la tabla que recoja los datos que muestra la gráfica y contesta: a) ¿Es rentable para Eroski abrir al mediodía? b) ¿Cuáles son las horas de más afluencia de personas (máximos)? c) ¿Cuáles son las horas de menos afluencia de personas (mínimos)? d) ¿En qué tramos la gráfica es creciente? ¿Y decreciente? 14º Representa una función con las siguientes características: - Su dominio es el intervalo [-4; 6] y es continua. - Tiene un mínimo en el punto (-2;-3) y un máximo en el (3; 7). - Corta al eje de abscisas en x = -4, en x = -1 y en x = 6. 15º Representa una función con las siguientes características: - Su dominio es el intervalo [-2; 10] y es continua. - Es creciente hasta x = 0 y constante hasta x = 6. - Corta al eje de abscisas en x =-1 y al de ordenadas en y = 3. - Tiene un mínimo en el punto (8; 1). 16º La siguiente gráfica muestra la evolución de la población en un cierto lugar: a) ¿Cuál es el dominio de definición que hemos considerado? b) ¿Qué población había en enero de 1999? c) ¿En qué momento la población fue máxima? ¿Cuál fue ese máximo? d) ¿En qué momento la población fue mínima? ¿Cuál fue ese mínimo? e) Describe la evolución de la población en el periodo de tiempo considerado.

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21 º GEOMETRÍA. FIGURAS PLANAS Paralelogramo

Triángulo

h

h h b

b= base h= altura

b

Área = b . h

B

Área =

Polígono regular

b.h 2

Área=

Rombo

B+b .h 2

Círculo

D

r a

Área=

Trapecio b

d

perímetro. a 2

Área=

D.d a

Área= π r 2 Perímetro= 2 π r

LÓNGITUDES Y ÁREAS DE FIGURAS CIRCULARES Sector circular

Corona Circular

Trapecio circular

α RR

r

α

r r

2π r 2 α Área Sector= 360º

Área = π

R

2

−π r

2

π α (R 2 − r 2 ) Área= 360º

1.- Calcular el áera y de los siguientes polígonos regulares de lado: 1. pentágono l=4 2. Hexágono l=3 3. Cuadrado l=2

4. Octógono l=4 5. Heptágono l=5 6. Decágono l=3

7. Rombo L=6 y l =4 8. Trapecio B=7 b=3 9. Rectángulo b=3 h=5

2.- Hallar la longitud del arco y el área de los siguientes sectores circulares: 1. radio= 1 ; ángulo=30º 2. radio= 8 ; ángulo=45º

3. radio= 5 ; ángulo=90º 4. radio= 4 ; ángulo=120º

3.- Hallar el área de las siguientes coronas circulares: 1. R= 3 r=1

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2. R= 5 r=2

3. R= 6 r=3

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4. R= 7 r=3

5. R= 8 r=3

6. R= 9 r=2

4.- Hallar el área de los siguientes trapecios circulares: 1. R= 3 r=1 α =60º 2. R= 5 r=2 α =45º

3. R= 6 r=3 α=30º 4. R= 7 r=3 α=90º

5. R= 8 r=3 α=120º 6. R= 9 r=2 α=60º

5.- Calcula el área de las zonas sombreadas en las siguientes figuras

d) e) f)

.

g)

h)

l)

i)

j)

k)

o)

m) n)

p)

q) r)

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22 FIGURAS EN EL ESPACIO Prisma regular recto

Pirámide regular recta

Tronco de pirámide

ap SL= Superficie lateral PB= Perímetro de la base SL=Superficie lateral

Área lateral : SL = PB . h Área total : ST = SL +2 SB Volumen: V = SB . h

la altura: es la perpendicular desde el vértice a la base.(h) la apotema: es la altura del triángulo de una cara (ap)

PB = perímetro base grande Pb = perímetro base pequeña SB= Superficie base grande Sb= Superficie base pequeña ap= Apotema lateral Área lateral:

( PB + Pb ) a P

Área lateral: S L =

SL =

Área total:

PB .a P 2 ST = S L + S B

Área total:

Volumen:

V =

1 S B .h 3

ST = S L + S B + S b

Volumen:

V =

Cilindro

Cono

2

(

)

1 S B + S b + S B .S b .h 3

Tronco de cono recto

r h g=h

r

r g g

h R Área lateral: S L =

Área lateral : SL = PB . h = 2πrg Área total : ST = SL + 2 SB = 2πr (g+r) Volumen: V = SB . h = πr2 h

PB .a P 2

=πrg Área total: S T = S L + S B = =πr (g+r) Volumen: V =

1 S B .h =1/3 π r2 3

h

Área lateral:

( PB + Pb ) g

SL =

2

Área total: S T = S L + S B + S b Volumen:

1 V = π ( R 2 + r 2 + Rr ) h 3

LA ESFERA Esfera

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Huso esférico

Cuña esférica

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Superficie: S = 4 π R2 Volumen: V = 4/3 π R3

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Área: Área:

SH =

πR n º 2

90

S = SH + SCÍRCULO

πR 3 n º

Volumen= V =

270

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Dadas las siguientes figuras hallar el รกrea total y el volumen

c)

d) f)

e)

g)

j)

i)

h)

k)

l)

m)

o)

n)

q)

p)

s)

t)

r)

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R-MATC3ยบ E.S.O.

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Cuaderno de Apoyo  

Ejercicios de apoyo matematicdas 3º ESO

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