Vectores

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN

FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA

Vectores ortonormales Definición Un conjunto de vectores en un espacio vectorial V se dice que es un conjunto ortogonal si cada par de vectores en el conjunto es ortogonal. Se dice que el conjunto es un conjunto ortonormal si es ortogonal y cada vector es unitario

Ejemplo  3 4 4 3  Demuestre que el conjunto (1,0,0), 0, ,  , 0, ,−   es un conjunto ortonormal.  5 5 



5

5 

Solución Cada par de vectores es ortogonal

(1,0,0) ⋅  0, 3 , 4  = 0

 5 5 (1,0,0) ⋅  0, 4 ,− 3  = 0  5 5  3 4   4 3  0, ,  ⋅  0, ,−  = 0  5 5  5 5

y cada vector es unitario

(1,0,0) = 1,

 3 4  0, ,  = 1,  5 5

 4 3  0, ,−  = 1  5 5

Por lo tanto, el conjunto es ortonormal.

Bases ortonormales Definición Una base que es un conjunto ortogonal se dice que es una base ortogonal. Una base que es un conjunto ortonormal se dice que es una base ortonormal.

Nota: Las bases canónicas son bases ortonormales.

Teorema Sea {u1 , L , u n } una base ortonormal del espacio vectorial R n . Sea v un vector en V. v se puede expresar como una combinación lineal de los vectores de la base. v = (v ⋅ u1 )u1 + (v ⋅ u 2 )u 2 + L + (v ⋅ u n )u n

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Ejemplo Los siguientes vectores constituyen una base ortonormal para R 3 . Exprese al vector v = (7,−5,10 ) como una combinación lineal de estos vectores. u1 = (1,0,0),

 3 4 u 2 =  0, ,  ,  5 5

 4 3 u 3 =  0, ,−   5 5

Solución v ⋅ u1 = 7

v ⋅u2 = 5

v ⋅ u 3 = −10

(7,−5,10) = 7(1,0,0) + 5 0, 3 , 4  − 10 0, 4 ,− 3  

5 5



5

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Proyección de un vector sobre otro vector Definición La proyección de un vector v sobre un vector distinto de cero u en R n de denota proy u v y se define como v

proy u v =

v ⋅u u u ⋅u

v - proyuv o

proyuv

u

La proyección del vector v ortogonal al vector u. v − proy u v = v −

v ⋅u u u ⋅u

Ejemplo Determine la proyección del vector v = (6,7 ) sobre el vector u = (1,4) y la proyección de vector v ortogonal a u Solución

ALGEBRA LINEAL

v ⋅ u = (6,7 ) ⋅ (1,4) = 34 u ⋅ u = (1,4) ⋅ (1,4 ) = 17 v ⋅u 34 (1,4) = (2,8) proy u v = u= u ⋅u 17 v − proy u v = (6,7 ) − (2,8) = (4,−1)

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Proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt Sea {v1 , K , v n } una base para el espacio vectorial V. El conjunto de vectores {u1 , K , u n } definidos de la manera siguiente es ortogonal. Para obtener una base ortonormal de V, se normaliza cada uno de los vectores u1 , K , u n . u1 = v1

v

u 2 = v2 − proyu1 v2 u3 = v3 − proyu1 v3 − proyu 2 v3

v - proyuv

L

u n = vn − proyu1 vn − proyu2 vn − L − proyun−1 vn

o

proyuv

u

Ejemplo El conjunto {(1,2,0,3), (4,0,5,8), (8,1,5,6)} es linealmente independiente en R 4 . Los vectores forman una base para el subespacio de tres dimensiones V de R 4 . Construya una base ortonormal para V. Solución Sea v1 = (1,2,0,3), v 2 = (4,0,5,8), v3 = (8,1,5,6) La base ortogonal sería u1 = v1 = (1,2,0,3)

u 2 = v 2 − proy u1 v 2 = v 2 −

v 2 ⋅ u1 (4,0,5,8) ⋅ (1,2,0,3) (1,2,0,3) = (4,0,5,8) − 2(1,2,0,3) = (2,−4,5,2) u1 = (4,0,5,8) − (1,2,0,3) ⋅ (1,2,0,3) u1 ⋅ u1

u 3 = v3 − proy u1 v3 − proy u2 v3 = v3 −

v ⋅u v3 ⋅ u1 u1 − 3 2 u 2 u2 ⋅ u2 u1 ⋅ u1

(8,1,5,6) ⋅ (1,2,0,3) (1,2,0,3) − (8,1,5,6) ⋅ (2,−4,5,2) (2,−4,5,2) (1,2,0,3) ⋅ (1,2,0,3) (2,−4,5,2) ⋅ (2,−4,5,2) = (8,1,5,6) − 2(1,2,0,3) − (2,−4,5,2) = (4,1,0,−2)

= (8,1,5,6) −

El conjunto {(1,2,0,3), (2,−4,5,2), (4,1,0,−2)} es una base ortogonal para v. u1 ⋅ u 3 = 0, u2 ⋅ u3 = 0 Se puede demostrar que u1 ⋅ u 2 = 0, Para que sea una base ortonormal se normalizan los vectores u1 , u 2 , u 3 u1 = (1,2,0,3) = 14 u 2 = (2,−4,5,2 ) = 7 u 3 = (4,1,0,−2) = 21

Por lo que la base ortonormal para V sería  1 1 − 2  2 3  2 4 5 2  4 ,  ,− , , ,   , ,0, , ,0,  21  14   7 7 7 7   21 21  14 14

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Proyección de un vector sobre un subespacio Definición Sea W un subespacio de R n . Sea, además, {u1 , K , u m } una base ortonormal para W. Si v es un vector en R n , la proyección de v sobre W se denota proyW v y se define como proyW v = (v ⋅ u1 )u1 + (v ⋅ u 2 )u 2 + L + (v ⋅ u m )u m

v v – proywv W o

Proywv

Se dice que un vector v es ortogonal al subespacio W si v es ortogonal a cada vector de W. Teorema Sea W un subespacio de R n . Cada vector v en R n se puede expresar de forma única de la manera siguiente. v = w + w⊥

donde w se encuentra en W y w⊥ es ortogonal a W. Los vectores w y w⊥ son w = proyW v w⊥ = v − proyW v

Ejemplo Considere un vector v = (3,2,6 ) en R 3 . Sea W el subespacio de R 3 , el conjunto {(1,0,0), (0,1,1)} genera a W, y forma una base. Descomponga v en la suma de un vector que se encuentre en W y un vector ortogonal a W. Solución La base es linealmente independiente, y sus vectores son ortogonales.

Normalizando cada vector para obtener una base ortonormal {u1 , u 2 } para W.  1 1   , u1 = (1,0,0), u 2 =  0, 2 2  w = proyW v = (v ⋅ u1 )u1 + (v ⋅ u 2 )u 2   1 1   1 1  , , = ((3,2,6 ) ⋅ (1,0,0))(1,0,0 ) +  (3,2,6) ⋅  0,   0,  = (3,0,0) + (0,4,4) = (3,4,4) 2 2 2 2     w⊥ = v − proyW v = (3,2,6) − (3,4,4) = (0,−2,2 )

La descomposición que se busca de v es

(3,2,6) = (3,4,4) + (0,−2,2)

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Distancia de un punto a un subespacio Sea x = (x1 ,K, xn ) un punto en R n , W un subespacio de R n y y = ( y1 ,K. y n ) un punto en W. la distancia mínima x a W es. d (x, w) = x − proy w x

Ejemplo Calcule la distancia del punto x = (4,1,−7 ) de R 3 al subespacio W . 

Una base ortonormal para W es u1 = (1,0,0), u 2 =  0, 

1 1   , 2 2

Solución La proyección del vector x sobre el subespacio W es proyW x = (x ⋅ u1 )u1 + (x ⋅ u 2 )u 2

  1 1   1 1  , , = ((4,1,−7 ) ⋅ (1,0,0))(1,0,0) +  (4,1,−7 ) ⋅  0,   0,  2 2 2 2     = (4,0,0) + (0,−3,−3) = (4,−3,−3)

la distancia de x a W es

x − proy w x = (4,1,−7 ) − (4,−3,−3) = (0,4,−4 ) = 32

Matrices ortogonales Definición Una matriz cuadrada cuyos vectores columnas forman un conjunto ortonormal recibe el nombre de matriz ortogonal.

Ejemplo Demuestre que la siguiente matriz A es una matriz ortogonal.  1  A= 2 − 1  2

1  2  1  2 

Solución Los vectores columna de A son  1    a1 =  2  − 1   2 

  y a2 =   

1  2  1  2 

Observe que a1 = 1,

a2 = 1, a1 ⋅ a2 = 0

Los vectores columna de A son, vectores unitarios y, además, ortogonales, por lo tanto es una matriz ortogonal.

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