MĂŠtodo de matemĂĄticas para todos
INTRODUCCIÓN
Las ciencias mátematicas han sido en la historia de la humanidad, parte importante para el progreso de la humanidad, y nuestro siglo no es la excepción, porque para cualquier tipo de profesión se requieren los más minimos conceptos de mátematicas. Sin embargo, muchas personas no tienen los conceptos claros de los procesos matematicos, bien sea por factores como la complejidad o la falta de practica al respecto. Es por esto que se ha creado DIGITALES, un metodo práctico y moderno para aprender mátematicas. Si bien el libro es para reforzar los conocimientos en mátematicas de los escolares, todo el mundo puede beneficiarse de este material, que centra la mátematica en la prática. DIGITALES, posee 7 unidades y cada unidad con varios temas. Cada tema trae sus ejercicios de práctica en la sección TRABAJEMOS LO VISTO, y al final de la unidad, hay una serie de ejercicios en la sección PRACTIQUEMOS LA UNIDAD. El lenguaje del material es sencillo, aunque ha sido necesario colocar términos técnicos, con el fin de que el lector comprenda y aplique con mayor facilidad los temas del libro. Al final, hay algunos juegos mátematicos para divertirse con los números. La sección se llama CON LOS NÚMEROS TAMBIEN HAY DIVERSIÓN. Espero que este libro sea del agrado del lector o lectores y que se logre ver la mátematica no cómo algo tedioso, sino cómo algo sencillo y ameno, y que se convierta en una herramienta de trabajo para la vida profesional y personal.
Muchas gracias.
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INDICE DE UNIDADES
UNIDAD 1: ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN
5
UNIDAD 2: LA MULTIPLICACIÓN
16
UNIDAD 3: LA DIVISIÓN
32
UNIDAD 4: TEORIA NÚMERICA
49
UNIDAD 5: SISTEMAS DE NUMERACIÓN
58
UNIDAD 6: FRACCIONARIOS Y DECIMALES
73
UNIDAD 7: MEDICIÓN
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UNIDAD 1
ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN Objetivos: - Repasar lo visto en cuanto a la adición. - Repasar lo visto en cuanto a la sustracción. - Desarrollar el concepto de ecuación y manejarlo.
A VER SI MI MEMORIA NO ME FALLA TENGO 37 Y ME DAN 17, ESO DA… 48? NO. 50? NO. TENGO QUE REPASAR MIS CUENTAS.
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1.1. La adición.
La adición o suma es agregar una cantidad a otra para formar otro número.
Las partes de la suma son Sumandos: Los 2 números a sumar o adicionar. Suma: El resultado.
Ejemplo: 57 + 27 = 84 57 y 27 son los sumandos y el 84 la suma o resultado. LA SUMA ES COMO LA FAMILIA. LOS SUMANDOS SON PAPÁ Y MAMÁ Y LA SUMA ES EL HIJO
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1.2. Propiedades de la adición La suma cumple 4 propiedades: Propiedad clausurativa: La suma de 2 números naturales forma otro número natural. Así: 387 + 86 = 473 Los sumandos y la suma son números naturales. Propiedad Conmutativa: El orden en que se sumen 2 números no altera el resultado. Ejemplo 453 + 122 = 575
122 + 453 = 575
Propiedad Asociativa: No importa el orden en que se sumen 3 o más números, el resultado no se altera. Ejemplo
12 + (47 + 76)
(12 + 47)+76
12 + 123
59 + 76
135
135
Propiedad Modulativa: Todo número sumado con cero, da el mismo número. Ejemplo: 57 + 0 = 57
0 + 66 = 66
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TRABAJEMOS LO VISTO YO COMPRO 134 LIBRAS DE TRIGO Y AL MES SIGUIENTE COMPRO 102. ¿CUANTAS LIBRAS DE TRIGO COMPRÉ AL MES? TENGO QUE LLEVAR LAS CUENTAS DE LA PANADERÍA.
SI COMPRE UN C.D. DE $32.586 Y LUEGO OTRO DE $ 12.576, ¿CUANTO GASTE EN LOS 2 CDS? AYUDAME A NO DESCUADRAR MI PRESUPUESTO.
¿A QUE PROPIEDAD PERTENECEN LAS SIGUIENTES ADICIONES? 1. 678 + 447 = 1152 2. 37 + 43 = 80 Y 43 + 37 = 80 3. 54 + 0 = 54 4. (67 + 54) + 65 Y 67 + (54 + 65)
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1. 678 + 447 = 1152 2. 37 + 43 = 80 Y 43 + 37 = 80
1.3. Sustracción o resta
La resta o sustracción es quitar una cantidad a otro número natural. Sus partes son: Minuendo: Número que se va a restar. Sustraendo: La cantidad a restarle al minuendo. Diferencia: El resultado.
Ejemplo 47.688 - 13.699 33.989
47.688 es el minuendo, 13.699 es el sustraendo y 33.989 es la diferencia.
A DIFERENCIA DE LA SUMA, LA RESTA NO CUMPLE PROPIEDADES, A EXCEPCIÓN DE LA CLAUSURATIVA Y LA MODULATIVA. LA EXPLICACION SE HALLA EN LA DEFINICIÓN DE ESTAS PROPIEDADES PARA LA SUMA.
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TRABAJEMOS LO VISTO ME GUSTA ESTA REVISTA PORQUE ES MUY CHIC. A VER, TENGO $90.477 Y ESTA REVISTA CUESTA $27.678. 多CUANTO ME QUEDA EN DINERO? ESPERO QUE ME SOBRE PARA UN CELULAR CON CAMARA.
SI TENGO 597 HOJAS DE PAPEL DE IMPRESORA Y EN LA SEMANA UTILISE 205. 多CUANTAS ME QUEDAN? NECESITO SUFICIENTES PARA MIS TRABAJOS Y TAREAS.
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1.4. La ecuación Es el proceso de hallar la parte incógnita o faltante de una suma, resta u otra. En esta unidad solo veremos la de la suma y la resta. Para hallar la de la suma se restan los números que están y el resultado es la parte faltante.
Ejemplo 43 + x = 72 X= 72 – 43 X= 29 El valor de x es 29, así que 43 + 29 = 72 Es importante que se compruebe el resultado en caso de dudas. Para la resta, para hallar el minuendo se suman los números que están, y para hallar el sustraendo, se restan. Ejemplo
X – 79 = 10
94 – x = 44
X = 10 + 79
X = 94 – 44
X = 89
X = 50
Así: 89 – 79 = 10
Así: 94 – 50 = 44
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TRABAJEMOS LO VISTO
ENCUENTRA LA INCOGNITA O VALOR DE X EN LAS SIGUIENTES SUMAS Y RESTAS: 4 + X = 20 14 – x = 3 X + 3 = 10 24 + x = 11
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PRACTIQUEMOS LA UNIDAD 1. ¿A qué propiedad pertenecen las siguientes sumas? A. 43 + 44 = 87 B. 56 + 55 = 111 C. (4 + 3)+ 6
-
55 + 56 = 111 4+ (3 + 6)
D. 0 + 213 = 213.
2. Realiza las siguientes sumas: A. 5668 + 4866 B. 6635 + 6656 C. 10254 + 2004 D. 6652 + 5600
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3. Si mi salario es de $453.657 y por concepto de horas extras recibo $123.755 más, ¿Cuánto me gano en total? Vale la pena trabajar más horas.
4. Realiza las siguientes restas: A. 66356 – 6565 B. 1332 – 788 C. 63544 – 10252 D. 2004 – 112 E. 978882 - 33143
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5. Si tengo 2000 gramos de azúcar, y consumo en una semana 1.132 gramos, ¿Cuánta azúcar me queda? Me gustan mucho las cosas dulces, como el café, el chocolate, etc.
6. Resuelve las siguientes ecuaciones: A. 43 – 7 = X B. 100 + X = 125 C. X – 70 = 20 D. 45 + X = 73 E. X – 12 = 27 F. 46 + 33 = X
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UNIDAD 2
LA MULTIPLICACIÓN Objetivos: - Repasar esta operación aritmética y sus propiedades. - Desarrollar el cálculo de pares y dobles. - Desarrollar la potenciación y radicación como operaciones derivadas de la multiplicación. - Definir el concepto de múltiplos.
A VER SI ENTENDI BIEN… TENGO 4 BOLSAS Y CADA BOLSA TIENE 7 LIMONES. PARA SABER CUANTOS LIMONES TENGO... ¡TENDRE QUE MULTIPLICAR! PERO NO ME ACUERDO CÓMO…
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2.1. Multiplicación La multiplicación es el proceso de sumar varias veces un número natural de forma abreviada. Sus partes son: Factores: Números a multiplicar. Producto: Resultado.
Ejemplo 12 x 11 = 132 El 12 y el 11 son los factores y el 132 es el producto.
YA NO ME SUDA EL “CEREBELO”. LA MULTIPLICACIÓN ES ASI: SI MULTIPLICO 5 X 6 ES COMO SI SUMARA 6 VECES EL 5 5 X 6 = 30 ES IGUAL A 5+5+5+5+5+5=30
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TRABAJEMOS LO VISTO
ME LLEGO UN CAMION CON UN CARGAMENTO DE 40 CAJAS Y EN CADA CAJA HAY 270 PAÑUELOS. ¿CUANTOS PAÑUELOS ME LLEGARON? VOY A HACER UN BUEN NEGOCIO VENDIENDOLOS A UN BUEN PRECIO.
SOY MUY BUENO JUGANDO CANICAS. TENGO 28 FRASCOS Y CADA FRASCO TIENE 222 CANICAS. ¿CUANTAS CANICAS HE GANADO? SOY INVENCIBLE CON LAS CANICAS.
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2.2. Propiedades de la multiplicación. La multiplicación cumple 5 propiedades. Estas son: Propiedad Clausurativa: Si se multiplican 2 números naturales el producto es otro número natural. Ejemplo. 58 x 20 = 1160 1160 es un número natural, al igual que el 58 y el 20.
Propiedad Conmutativa: El orden de los factores no altera el producto. Ejemplo 13 x 8 = 104 8 x 13 = 104
Propiedad asociativa: No importa el orden al multiplicar 3 o más números, el resultado es el mismo. Ejemplo
(14 x 3) x 2
14 x (3 x 2)
42 x 6
14 x 6
84
84
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Propiedad Modulativa: Multiplicando por 1 se obtiene el mismo número. Ejemplo
43 x 1 = 43 112 x 1 = 112. Propiedad de anulación: Multiplicando por cero, el resultado es cero.
57 x 0 = 0 257 x 0 = 0
YA SE PORQUE MI NOVIO ME DICE “MULTIPLICATE POR CERO” CUANDO NO ME QUIERE VER. ME HACE LA PROPIEDAD DE ANULACIÓN, O SEA… ¡ME ESTA QUITANDO! ¡QUE MAL HOMBRE, POR DIOS!
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TRABAJEMOS LO VISTO
A QUE PROPIEDAD PERTENECEN LAS SIGUIENTES MULTIPLICACIONES: 1. 32 X 61 = 1952 2. 53 X 0 = 0 3. 67 X 23 = 1541 Y 23 X 67 = 1541 4. 48 X 1 = 48 5. 4 X (2 X 7) Y (4 X 2) X 7
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2.3. Pares y dobles Seguramente has escuchado esto: “Quiero un par de zapatos”. Pues bien la expresión par es el número equivalente a la mitad de un número, ya distribuida. Así: 10 equivale a 5 pares, 20 equivale a 10 pares y así sucesivamente.
YA ENTIENDO PORQUE COMPRO UN PAR DE ZAPATOS. PORQUE ESTOY COMPRANDO 2 ZAPATOS.
Los dobles son números que resultan de multiplicar por 2, o duplicar. Ejemplo Doble de 6 = 12 (6 x 2 = 12) Doble de 9 = 18 (9 x 2 = 18)
¡QUE BUENO! SI EN EL SUPERMERCADO DICEN: “PAGUE 2 LITROS DE LECHE Y LLEVESE EL DOBLE” ESTOY COMPRANDO 4 LITROS DE LECHE POR EL PRECIO DE 2. ¡MÁS LECHE PARA MÍ!
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TRABAJEMOS LO VISTO
1. A QUE EQUIVALE EN PARES LOS SIGUIENTES NÚMEROS: 6 32 78 14
2. ¿CUAL ES EL DOBLE DE ESTOS NÚMEROS? 3 23 73 64 29
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2.4. Potenciación y radicación. La potenciación es la forma abreviada de multiplicar varias veces un mismo número. Las partes de la potenciación son: Base: Número a aumentar por potencia. Exponente: Número de veces a aumentar la base. Potencia: Resultado. Ejemplo = 125 Se lee 5 al cubo. El 5 es la base, el 3 el exponente y el 125 la potencia. Expresiones para los exponentes. 2 3 4 5 6 7 10 20
Al cuadrado Al cubo A la cuarta A la quinta A la sexta A la séptima A la decima A la vigésima
A VER SI ENTENDI BIEN… SI HAGO POTENCIACIÓN MULTIPLICO MAS RAPIDO UN NUMERO VARIAS VECES, COMO: =81 ES LO MISMO QUE 9 X 9 = 81. AHORRARÉ MÁS TIEMPO ASÍ.
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En cuanto a la radicación, es una operación que consiste en hallar la base de una potencia. Sus partes son: Radicando: Potencia a la que se va hallar la base. Índice: Número de veces en el que esta elevado la base a hallar. Raíz: Resultado. Ejemplo =8 Se lee raíz cuadrada de 64, siendo radicando el 64, índice el 2 y el 8 la raíz. En las raíces cuadradas no hace falta colocar el 2 como índice. = 5 Expresiones para los índices. 2 3 4 5 6
Raíz cuadrada Raíz cúbica Raíz cuarta Raíz quinta Raíz sexta
TEN EN CUENTA ESTO: SI EN LA POTENCIACIÓN EL EXPONENTE ES 1, LA POTENCIA ES EL MISMO NÚMERO, Y EN LA RADICACIÓN SI EL ÍNDICE ES 1 LA RAÍZ ES EL MISMO NÚMERO O RADICANDO.
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TRABAJEMOS LO VISTO
HALLA LAS POTENCIAS
SI PUEDES, HALLA LAS RAICES
A VER… SI TENGO 7 BOLSAS DE CEMENTO Y CADA BOLSA TRAE 7 LIBRAS DE CEMENTO, ¿CUANTAS LIBRAS DE CEMENTO TENGO? NECESITO REMODELAR MI CASA. RESUELVE ESTE PROBLEMA CON LA POTENCIACIÓN.
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2.5. Múltiplos
Son todos los números que resultan de multiplicar un número por cada uno de los números naturales. Los múltiplos son infinitos. Ejemplo 7x1=7 7 x 2 = 14 7 x 3 = 21 7 x 4 = 28 7 x 5 = 35 7 x 6 = 42 7 x 7 = 49 7 x 8 = 56 Todos los productos son múltiplos de 7, porque resultan de multiplicar varios números naturales por 7. Así quedaría agrupado:
M7 = (7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56,…)
COMO REGLA GENERAL TE DIGO: AL AGRUPAR LOS MÚLTIPLOS DE UN NÚMERO, COLOCA AL FINAL LOS 3 PUNTOS SUSPENSIVOS, PARA INDICAR QUE LOS MÚLTIPLOS DE ESE Y TODOS LOS NÚMEROS SON INFINITOS.
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TRABAJEMOS LO VISTO
HALLA LOS MULTIPLOS DE LOS SIGUIENTES NUMEROS 4 8
28
5 6 7 9 11 12
PRACTIQUEMOS LA UNIDAD 1. A quĂŠ propiedad pertenecen las siguientes multiplicaciones: A. 55 X 20 = 1100 B. 13 X 12 = 156
12 X 13 = 156
C. (4 X 4) X 5
4 X (4 X 5)
D. 455 X 1 = 455 E. 110 X 0 = 0
2. Resuelve las siguientes multiplicaciones: A. 566 X 56 B. 34 X 56 C. 56 X 455 D. 555 X 111 E. 444 X 33 F. 122 X 33
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3. Voy a vender esponjas. Si me llegaron 67 cajas, y cada una trae 12 esponjas, ¿Cuántas esponjas tengo para vender? Las esponjas son un buen negocio.
4. Los siguientes números, ¿a que equivalen en pares? A. 44
B. 52
C. 50
D. 16
Y ¿Cuáles es el doble de los siguientes números? A. 13
B. 40
30
C. 72
D. 88
5. Halla las potencias.
6. Halla las raĂces.
7. Halla los 12 primeros mĂşltiplos de: 12 9 13 7 4 10
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UNIDAD 3
LA DIVISIÓN Objetivos: -
Repasar y desarrollar esta operación matemática. Definir el concepto de divisor. Identificar la diferencia entre números primos y compuestos. Usar las ecuaciones para esta operación y la multiplicación. Aprender los criterios de divisibilidad.
CREO QUE ESTA OPERACIÓN ME VA A AYUDAR MUCHO, PORQUE SE ACERCA EL DIA DE LA SECRETARIA Y TENGO MUCHOS REGALOS QUE REPARTIR A MIS COMPAÑERAS DE TRABAJO.
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3.1. La División Dividir es el proceso de repartir en partes iguales un número. Hay 2 clases de división: Exacta: Cuando no hay sobrado o residuo Ejemplo 72 ÷ 8 = 9 Se pueden distribuir 9 partes iguales, y no sobra nada. Inexacta: Cuando sobra algo de ese número Ejemplo 100 12 4 8 En esta división, sobran 4 partes al repartir el 100 en 12 partes.
La división tiene 3 partes: Dividendo: Numero a dividir Divisor: Partes a dividir ese número Cociente: Resultado Ejemplo 66 ÷ 6 = 11 El 66 es el dividendo, el 6 el divisor y el 11 el cociente.
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Para el caso de las divisiones inexactas hay una cuarta parte, el residuo o parte sobrante. Ejemplo
79 10 9 7 El 9 es el residuo, o sea que sobran 9 unidades.
RECUERDA: LA DIVISIÓN ES LO CONTRARIO A LA MULTPICACIÓN.
34
TRABAJEMOS LO VISTO
REALIZA LAS SIGUIENTES DIVISIONES: 1. 163 ÷ 34 2. 347 ÷ 68 3. 574 ÷ 27
ES EL CUMPLEAÑOS DE NUESTRA HIJA Y TENEMOS QUE ORGANIZAR TODO. COMPRAMOS UNA BOLSA CON 125 CHOCOLATINAS PARA REPARTIR ENTRE SUS AMIGOS, QUE SON 21. ¿CUANTOS DULCES HAY QUE DAR A CADA INVITADO, Y CUANTOS SOBRAN?
LO QUE SOBRE NOS LO COMEMOS TU Y YO.
HOY ES QUINCENA, O SEA TENGO QUE PAGAR A MIS EMPLEADOS. SI TENGO $1.600.000 Y TENGO EN MI EMPRESA 80 EMPLEADOS, ¿CUANTO TENGO QUE PAGARLE A CADA EMPLEADO? YA VAN A SER LAS 5: OO P.M.
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3.2. Divisores
Los divisores son los números que pueden dividirse por un número. Ejemplo D6 = (1, 2, 3, 6) Porque: 6÷1=6 6÷2=3 6÷3=2 6÷6=1
LOS DIVISORES SON LO CONTRARIO DE LOS MÚLTPLOS, PORQUE LOS DIVISORES SON FINITOS, Y PORQUE SE HALLAN EN VEZ DE PRODUCTOS, COCIENTES EXACTOS.
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TRABAJEMOS LO VISTO
HALLA LOS DIVISORES DE:
9 12 24 27 36 42 49 56
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3.3. Números primos y compuestos. Los números primos son los que tienen sólo 2 divisores: El 1 y el mismo número. Ejemplo 2 13 31 53 73
3 17 37 59 79
5 19 41 61 83
7 23 43 67 89
11 29 47 71 97
TEN EN CUENTA LO SIGUIENTE: - TODOS LOS NÚMEROS PRIMOS SON IMPARES, SALVO EL 2. - CON EXCEPCIÓN DEL 5, NINGÚN NUMERO PRIMO TERMINA EN 5. - EL 1 NO SE CONSIDERA PRIMO. SOLO TIENE UN DIVISOR, EL MISMO.
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Los números compuestos son los que aparte del 1 y el mismo número, tienen más divisores. Ejemplo 4 6 8 9 10 12 14 15 16 18 20 21 22 24 25
- CON EXCEPCIÓN DEL 2, TODOS LOS NUMEROS PARES SON COMPUESTOS. - CON EXCEPCIÓN DEL 5, TODOS LOS NUMEROS TERMINADOS EN 5 SON COMPUESTOS. - ALGUNOS NUMEROS IMPARES SON COMPUESTOS (VEASE LA TABLA DE ARRIBA)
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TRABAJEMOS LO VISTO
EL MATEMATICO GRIEGO ERASTOSTENES HIZO UNA TABLA DE NUMEROS LLAMADA CRIBA DE ERASTOSTENES, LA CUAL SIRVIÓ PARA SABER CUALES SON LOS NÚMEROS PRIMOS Y CUALES LOS COMPUESTOS. PARA ESO HABÍA QUE TACHAR LOS NUMEROS COMPUESTOS Y DEJAR SIN TACHAR LOS NUMEROS PRIMOS. HAZ TÚ LO MISMO EN ESTE MOMENTO. 1 11 21 31 41 51 61 71
2 12 22 32 42 52 62 72
Nota: Este ejercicio realízalo en una hoja aparte.
40
3 13 23 33 43 53 63 73
4 14 24 34 44 54 64 74
5 15 25 35 45 55 65 75
6 16 26 36 46 56 66 76
7 17 27 37 47 57 67 77
8 18 28 38 48 58 68 78
9 19 29 39 49 59 69 79
10 20 30 40 50 60 70 80
3.4. La ecuación en la división y la multiplicación. Es el mismo proceso de la suma y la resta. Ahora veremos la de la división y la multiplicación. Para hallar el término faltante en la multiplicación se dividen los números que están y el resultado es la parte faltante. Ejemplo 12 x Y = 144 Y= 144 ÷ 12 Y= 12 El valor de Y es 12, así que 12 X 12 = 144 Es importante que se compruebe el resultado en caso de dudas. Para la división se hace lo siguiente: Para hallar el dividendo se multiplican los números que están, y para hallar el divisor, se dividen. Ejemplo
96 ÷ x = 32
X ÷ 10 = 10
X = 96 ÷ 32
X = 10 x 10
X = 32
X = 100
Así: 100 ÷ 10 = 10 y 96 ÷ 3 = 32
PUEDES USAR CUALQUIER LETRA PARA EXPRESAR LA INCOGNITA. LA LETRA SE LLAMA VARIABLE.
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TRABAJEMOS LO VISTO
AYUDANOS A HALLAR LAS INCOGNITAS EN LAS SIGUIENTES ECUACIONES: 1. 2. 3. 4.
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46 x W = 138 T x 11 = 110 104 รท X = 13 X รท 15 = 15
3.5. Criterios de divisibilidad Son fórmulas que determinan si un número es divisible por otro. Por lo general siempre son efectivas. Los criterios de divisibilidad más conocidos son:
CRITERIO DEL 2 Un número es divisible por 2 si termina en un número par Ejemplo
438 ÷ 2 = 219 722 ÷ 2 = 361 744 ÷ 2 = 372
CRITERIO DEL 3 Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras es un múltiplo de 3 Ejemplo
27 2 + 7 = 9 141 1 + 4 + 1 = 6 252 2 + 5 + 2 = 9
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CRITERIO DEL 4 Un número es divisible por 4 si termina en número par y si su mitad también. Para hallar la mitad se divide el número entre 2. Ejemplo
52 26
52 ÷ 4 = 13
76 38
76 ÷ 4 = 19
112 56
112 ÷ 4 = 28
CRITERIO DEL 5 Un número es divisible por 5 si termina en 0 o 5. Ejemplo
75 100 275 400 510 615 720 805 845 1025 CRITERIO DEL 6 Un número es divisible por 6 si termina en número par y si la suma de sus cifras es un múltiplo de 3. Ejemplo
12 1 + 2 = 3 12 ÷ 6 = 2 72 7 + 2 = 9 72 ÷ 6 = 12
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CRITERIO DEL 9 Un número es divisible por 9 si la suma de sus cifras es un múltiplo de 9 Ejemplo
99 9 + 9 = 18 729 7 + 2 + 9 = 18
99 ÷ 9 = 11 729 ÷ 9 = 81
CRITERIO DEL 10 Todo número que termine en 0 es divisible por 10 Ejemplo
10 100 270 80 360 500 980 1000 1710 2000
ESTAS FORMULAS TE AYUDAN A DIVIDIR DE MANERA EXACTA, SIN RESIDUOS.
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TRABAJEMOS LO VISTO
USANDO LOS CRITERIOS VISTOS 多POR CUAL O CUALES NUMEROS SON DIVISBLES LAS SIGUIENTES CIFRAS? 122 166 393 415 472 496 700 712 736 1005
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PRACTIQUEMOS LA UNIDAD 1. Realiza las siguientes divisiones. A. 564 ÷ 44 B. 485 ÷ 53 C. 770 ÷ 27
2. Si tengo una bolsa con 112 dulces de caramelo, y los quiero repartir entre mis 16 compañeros de clase, ¿Cuántos caramelos le corresponden a cada uno? Hoy es el día del dulce, por lo tanto disfrutamos mis compañeros y yo.
3. Halla los divisores de A. 100
B. 72
47
C. 64
D.52
E.16
4. De los siguientes números, ¿Cuáles son primos y cuales compuestos? 2 4 6 9 11 14 17 23 27 29 31 32 43 47
5. Resuelve las siguientes ecuaciones con ánimo: A. 68 ÷ T = 17
C. B ÷ 15 = 15
B. 10 X A = 120
D. P X 8 = 512
6. Contesta Falso (F) o Verdadero (V). Explica tu respuesta. - 462 es divisible por 2 - 516 es divisible por 3 - 475 es divisible por 4 - 570 es divisible por 4 - 750 es divisible por 10 - 99 es divisible por 9
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UNIDAD 4
TEORIA NUMERICA Objetivos - Desarrollar la descomposición de un número en factores primos. - Considerar el concepto de mínimo común múltiplo y máximo común divisor y desarrollarlos.
AQUÍ VIENE LO BUENO. VAMOS A HACER PROCESOS CON LOS TEMAS VISTOS HASTA AHORA, Y QUE NOS SERVIRÁN MAS ADELANTE.
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4.1. Descomposición de un número en factores primos. Este proceso consiste en descomponer un numero en su equivalente en factores primos, o sea dividir ese número entre el menor de sus divisores primos vez tras vez hasta llegar a 1. De allí se obtiene una equivalencia expresada en números primos.
Ejemplo
72 2 36 2 18 2 93 33 1
50
El equivalente de 72 en factores primos es:
2x2x2x3x3 ó SI APRENDISTE LO DE LOS NUMEROS PRIMOS EN LA UNIDAD ANTERIOR, TE SERA FACIL REALIZAR ESTE PROCESO. LOS DIVISORES PRIMOS SON LOS NUMEROS PRIMOS DIVISIBLES POR UN NÚMERO.
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TRABAJEMOS LO VISTO
REALIZA LA DESCOMPOSICION DE FACTORES PRIMOS PARA ESTOS NUMEROS. 18 24 44 60 70 100 RECUERDA: PARA DESCOMPONER, USA EN CADA NUMERO EL MENOR DIVISOR PRIMO AL DIVIDIR. GUIATE DEL EJEMPLO ANTES VISTO.
52
4.2. Mínimo común múltiplo. El mínimo común múltiplo ó M.C.M. es el menor de todos los múltiplos comunes de 2 o más números, es decir, el menor número que es múltiplo de todos ellos. Ejemplo M.C.M. de 7 y 9 M7 = (7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, …) M9= (9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99, 108, …) El M.C.M de 7 y 9 es 63, porque de todos los números que son múltiplos tanto de 7 como de 9, el menor es el 63. Otra forma de hallar el M.C.M. es con la descomposición de factores primos Ejemplo M.C.M. de 3 y 5 3 3
5
1
1
5
Entonces: 3 x 5 = 15 M.C.M. DE 3 Y 5 = 15 Una vez hallados los factores primos se procede a multiplicar los de un número con los de otro y el resultado es el M.C.M. (Véase el ejemplo arriba)
53
TRABAJEMOS LO VISTO
HALLA EL M.C.M (MINIMO COMUN MULTIPLO) DE:
1. 2. 3. 4.
2Y4 4Y6 3Y7 8 Y 12
SI QUIERES, PUEDES USAR LAS DOS FORMAS DE HALLAR EL M.C.M.
54
4.3. Máximo común divisor. El máximo común divisor o M.C.D. es el mayor de los divisores comunes de 2 ó más números, es decir, el mayor número que es divisor de todos ellos.
Ejemplo M.C.D. de 12 y 20
D12= (1, 2, 3, 4, 6, 12) D20= (1, 2, 4, 5, 10, 20) Divisores comunes = 1, 2 y 4. M.C.D. = 4
SABIAS QUE… EL MAXIMO COMÚN DIVISOR DE 2 NÚMEROS PRIMOS SIEMPRE SERÁ 1, YA QUE ES EL UNICO DIVISOR COMÚN DE 2 NÚMEROS PRIMOS. D11= (1,11) D7= (1, 7)
M.C.D. = 1
55
TRABAJEMOS LO VISTO
HALLA EL M.C.D. DE: 1. 2. 3. 4.
56
42 Y 50 36 Y 54 12 Y 28 42 Y 100
PRACTIQUEMOS LA UNIDAD 1. Descompón en factores primos los siguientes números. 76 18 42 77 98 74 24 12
2. Halla el mínimo común múltiplo (M.C.M.) de las siguientes parejas de números: A. 10 Y 11 B. 5 Y 10 C. 4 Y 8 D. 5 Y 7 3. Halla el máximo común divisor (M.C.D.) de los siguientes números: A. 28 Y 56 B. 50 Y 64 C. 23 Y 46
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UNIDAD 5
SISTEMAS DE NUMERACIÓN Objetivos - Conocer sistemas de numeración distintos al que usamos normalmente. - Repasar el concepto de decenas, centenas, unidades, miles y millones. - Destacar la importancia de los números romanos como sistema de numeración.
¡POR FIN SABRE COMO LEER NÚMEROS ROMANOS! ME REGALARON UN RELOJ QUE EN VEZ DE NÚMEROS NORMALES TIENE NÚMEROS ROMANOS, Y NO LO ENTIENDO NI PAPA.
58
5.1. Sistema binario Es el lenguaje de los computadores. En matemáticas consiste en usar sólo el 0 y el 1 para expresar un número. Podemos expresar cualquier número en binario de la siguiente forma: 1. Se divide el número entre 2 2. Los resultados también se dividen entre 2. 3. Todos los residuos más el último cociente o resultado de las divisiones son el número expresado. 4. Al lado de la expresión colocar el número 2, para indicar que está en binario. 5. El orden de la expresión es desde el último cociente hasta el primer residuo. Ejemplo Expresar el 100 en binario.
11001002 expresa el 100 en binario.
59
Ahora bien, si tenemos una expresión en binario, podemos convertirla a número natural de esta forma: 1. Inicie por el lado izquierdo del número en binario, cada número multiplíquelo por 2 y elévelo a la potencia consecutiva (comenzando por la potencia mayor). 2. Después de realizar cada una de las multiplicaciones, sume todas y el número resultante será el equivalente al sistema decimal.
Ejemplo Expresemos el 0101102 en número natural
0 x
= 0
0
x
=
0
1
x
= 16
1
x
=
2
1
x
0
x
=
0
=
8
16 + 8 + 2 = 26 En números naturales, el 0101102 expresa el 26.
RECUERDA: - TODO NUMERO ELEVADO A CERO DA CERO - TODO NUMERO ELEVADO A UNO DA EL MISMO NUMERO.
60
TRABAJEMOS LO VISTO
EXPRESA EN BINARIO LOS SIGUIENTES NUMEROS 73 134 206 172
CONVIERTE LAS SIGUIENTES EXPRESIONES EN BINARIO A NÚMEROS NATURALES 101100 000001 1101001
61
5.2. Unidades, decenas y centenas. Las centenas son 100 unidades Las decenas son 10 unidades Las unidades son los dígitos o cifras (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) Comúnmente usamos una tabla para expresar un número en centenas, decenas y unidades. C D U
Ejemplo Expresemos el 638 en centenas, decenas y unidades. C D U 6 3 8 Se lee: 6 centenas, 3 decenas y 8 unidades .
ES COMUN UTILIZAR EXPRESIONES DERIVADAS DE LA DECENA, COMO LA DOCENA (12) Y LA QUINCENA (15). PERO EN MATEMATICAS SE EXPRESA EL 12 COMO 1 DECENA Y 2 UNIDADES, Y LA QUINCENA COMO UNA DECENA Y 5 UNIDADES.
62
TRABAJEMOS LO VISTO
A VER SI PUEDES. EXPRESA CON LA TABLA LOS SIGUIENTES NUMEROS. 112 127 240 487 540 763
63
5.3. Miles y millones Las unidades de mil son los números que comienzan del mil. Unidades de mil Decenas de mil Centenas de mil
1000 U 10.000 U 100.000 U
También se expresan en una tabla como esta CM DM UM C D U
Ejemplo Expresemos el 372.262 en la tabla CM DM UM C D U 3 7 2 2 6 2
LAS ABREVIATURAS PARA LAS EXPRESIONES DEL MIL SON: - UM (UNIDADES DE MIL) - DM (DECENAS DE MIL) - CM (CENTENAS DE MIL)
64
Los millones son las cantidades superiores a las centenas de mil Unidades de millón Decenas de millón Centenas de millón
1.000.000 U 10.000.000 U 100.000.000 U
También se expresan en una tabla CML DML UML CM DM UM C D U
Ejemplo Expresemos el 442.772.109 CML DML UML CM DM UM C D U 4 4 2 7 7 2 1 0 9
AHORA TE DIGO: LAS ABREVIATURAS PARA LAS EXPRESIONES DEL MILLÓN SON: - UNIDADES DE MILLON (UML) - DECENAS DE MILLÓN (DML) - CENTENAS DE MILLÓN (CML)
65
TRABAJEMOS LO VISTO
EXPRESA EN TABLA LOS SIGUIENTES NUMEROS 730.462 176.525 878.554 875.500 372.434.294 120.127.600 164.888.441
66
5.4. Números romanos Era un antiguo sistema de numeración usado en la antigua Roma, y que hoy se usa para muchas cosas, como indicar siglos, hacer relojes, etc. Aquí sólo aprenderemos a expresar en números romanos cantidades hasta los miles, por cuestiones de uso común. Estos números se representan por letras y son 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 30 40 50 100 200 300 400 500 600 1000
I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII XIII XIV XV XVI XVII XVIII XIX XX XXX XL L C CC CCC CD D DC M
67
Ten en cuenta varias cosas 1. I, X, C y M s贸lo se repiten hasta 3 veces. 2. V, L y D s贸lo se repiten una vez. 3. Si la primera cantidad es menor que la segunda, se restan Ejemplo: IV (1-5 5-1=4 IV=4) 4. Si la primera cantidad es mayor que la segunda, se suman. Ejemplo: VI (5-1 5+1=6 VI=6)
LAS ANTERIORES NOTAS APLICAN TANTO PARA LEER COMO PARA ESCRIBIR NUMEROS ROMANOS. ASI: CCCIV = 304 LXV = 65 LXXXII = 82 CXLIX = 149 MDCXXXI = 1631 MMM = 3000
68
TRABAJEMOS LO VISTO
EXPRESA EN ROMANOS LOS SIGUIENTES NÚMEROS 74 83 94 107 222 527 1586 3545
CONVIERTE A NUMEROS NATURALES LOS SIGUIENTES NUMEROS ROMANOS: 1. 2. 3. 4. 5.
69
LXXXV LXXII XLIII MMMXC DXIX
PRACTIQUEMOS LA UNIDAD 1. Convierte a binario los siguientes números: A. 76
B. 49
C. 31
D. 57
2. Convierte a número natural las siguientes expresiones binarias: A. 010100 B. 100111 C. 101111 D. 0111010 3. Expresa en la tabla de centenas, decenas y unidades los siguientes números: A. 676
B. 807
70
C. 403
4. Expresa en la tabla de las unidades, decenas y centenas de mil los siguientes números: A. 1.776 B. 10.348 C. 339.755
5. Expresa en la tabla de las unidades, decenas y centenas de millón los siguientes números: A. 6.166.699 B. 33.646.127 C. 162.100.999
6. Convierte a números romanos los siguientes números: A. 134
C. 807
B. 79
D. 1.672
71
E. 163
7. Convierte a números naturales los siguientes números romanos: A. XVII B. DCII C. MMXX D. CCCLXIV
72
UNIDAD 6
FRACCIONARIOS Y DECIMALES Objetivos: -
Reconocer los números fraccionarios Desarrollar las operaciones con los números fraccionarios. Hallar fraccionarios equivalentes con la amplificación y simplificación. Reconocer los números decimales. Desarrollar las operaciones con decimales. Hallar porcentajes.
POR FIN SABRÉ QUE SIGNIFICAN UN CUARTO, UN MEDIO Y UN OCTAVO. SE ME HARÁ MAS FACIL IR A LA TIENDA.
Y YO APRENDERÉ A SACAR PORCENTAJES, POR AQUELLO DE LOS DESCUENTOS CUANDO VOY DE COMPRAS AL CENTRO COMERCIAL.
YO SABRÉ PORQUÉ HAY NUMEROS CON COMAS
73
6.1. Números fraccionarios
Los números fraccionarios son expresiones que significan repartición por partes iguales de un número. Ejemplo
Este número se lee un cuarto
Los fraccionarios se dividen en 2 partes: Denominador: Es el número de partes en que esta repartido el entero. En el ejemplo de arriba, el denominador o el número de abajo es el cuatro. El cuatro es el número de partes en que esta dividido el número. Numerador: Es el número de partes que se toman del denominador. En el ejemplo de arriba, el numerador o número de arriba es el uno, El uno es el número de partes que se toman del número. En resumen, de las cuatro partes se toma una.
74
Gráficamente se expresa así:
La parte blanca es el número de partes tomadas o numerador (1), y la roja las partes repartidas ó denominador (4)
O SEA, SI HAY UNA FIESTA, Y EL PUDÍN ESTA DIVIDIDO EN 8 PEDAZOS, Y TOMO 2, ESTOY TOMANDO DOS OCTAVOS DE PUDÍN. ¡QUE INTERESANTE!
75
El numerador se lee normal (uno, dos, tres…). El denominador se lee como ordinal hasta el 10. Después de 10, se le añade la terminación AVOS. Ejemplo Se lee dos séptimos.
Se lee tres octavos
Se lee cuatro quinceavos.
YA NO TENDRE PROBLEMAS CON EL TENDERO. COMO YA SÉ LOS FRACCIONARIOS, SE QUÉ ES UN CUARTO DE ACEITE, UN OCTAVO DE QUESO, TRES CUARTOS DE MANTEQUILLA, ETC.
76
TRABAJEMOS LO VISTO
COMO SE LEEN LOS SIGUIENTES FRACCIONARIOS
COMO SE ESCRIBE EN FRACCIONARIO LAS SIGUIENTES EXPRESIONES: 1. 2. 3. 4.
DOS QUINTOS TRES ONCEAVOS SIETE NOVENOS TRECE VEINTITRESAVOS
EXPRESA GRAFICAMENTE LOS FRACCIONARIOS DEL PRIMER EJERCICIO.
77
MIS PAPAS ME COMPRARON UNA PIZZA, LA DIVIDIERON EN 12 PEDAZOS, Y YO TOME 3. ¿QUE FRACCIONARIO REPRESENTA ESO? POR CIERTO LA PIZZA QUE COMI, ESTUVO DELICIOSA, PORQUE TUVO MI SABOR FAVORITO… EL JAMÓN.
¿QUE FRACCIONARIO PUEDO USAR PARA INDICAR QUÉ COMPRE DE 8 PEDAZOS DE GELATINA, 3 PEDAZOS?
LA QUE MAS ME GUSTA ES LA DE LIMÓN.
78
6.2. Suma de fraccionarios. Los fraccionarios también se pueden sumar. Para sumar 2 fraccionarios con igual denominador, simplemente hay que sumar numerador con numerador y denominador con denominador. Ejemplo
+ = Ahora bien, si son fraccionarios de distinto denominador se hace lo siguiente: Se multiplican los denominadores, luego se divide ese producto entre cada denominador y lo que se dé, se divide se multiplica por los numeradores. Luego se suman los numeradores que resulten para hallar el resultado. Ejemplo
Tenemos los fraccionarios
y
para sumar.
- Multiplicamos los denominadores
6 x 9 = 54
- Dividimos el resultado por cada denominador
54 ÷ 6 = 9 54 ÷ 9 = 6 79
-
Multiplicamos esos cocientes por cada numerador.
9 x 3 = 27 6 x 7 = 42 - Sumamos los productos y ese es el resultado.
27 + 42 = 69 El proceso se expresa así:
+ =
= SI DOS O MÁS FRACCIONES TIENEN IGUAL DENOMINADOR, SE LLAMAN HOMOGENEAS, Y SI SON DISTINTAS, SE LLAMAN HETEROGENEAS. ADEMAS, SI EN UNA FRACCIÓN, EL NUMERADOR ES MAYOR QUE EL DENOMINADOR, ESA FRACCIÓN SE LLAMA IMPROPIA, DE LO CONTRARIO, SE LLAMA PROPIA.
80
TRABAJEMOS LO VISTO
SI TENGO DE UN POLLO Y ME DAN MÁS ¿CUANTO TENGO EN POLLO? ES QUE ES RICO COMER POLLO ASADO.
SI HASTA LAS 4 PM VENDÍ DE LOS PITOS QUE VENDO Y UNA HORA DESPUES VENDÍ ¿CUANTO HE VENDIDO EN PITOS?
81
MAS,
6.3. Resta de fraccionarios. Para restar 2 fraccionarios con igual denominador, simplemente hay que restar numerador con numerador y denominador con denominador. Ejemplo
- = Ahora bien, si son fraccionarios de distinto denominador se hace lo siguiente: Se multiplican los denominadores, luego se divide ese producto entre cada denominador y lo que se dĂŠ, se divide se multiplica por los numeradores. Luego se restan los numeradores que resulten para hallar el resultado. Ejemplo
Tenemos los fraccionarios
y
para restar.
- Multiplicamos los denominadores 5 x 2 = 10
- Dividimos el resultado por cada denominador 10 á 5 = 2 10 á 2 = 5
82
- Multiplicamos esos cocientes por cada numerador. 2x4=8 5x1=5
- Restamos los productos y ese es el resultado.
8–5=3 El proceso se expresa así:
- =
= RESTAR FRACCIONES ES COMO SUMARLAS, LO UNICO ES QUE EN VEZ DE SUMAR NUMERADORES, LOS RESTO. QUE FACIL… ¿NO?
83
TRABAJEMOS LO VISTO
AY, AY, AY! I TENIAMOS DE UN TACO DE GALLETAS, PERO LAS HORMIGAS SE LLEVARON
.
¿CUANTO EN GALLETAS NOS QUEDA? ESO PASA POR NO GUARDAR LA COMIDA.
EN LA CANASTA DE MI MAMÁ HABÍAN MANZANAS. COGI
DE ESAS MANZANAS, Y
DE LO QUE COGÍ ME COMÍ . ¿CUANTO ME QUEDA DE ESAS MANZANAS? YA NO ME CABE NI UNA MANZANA MÁS.
84
6.4. Multiplicaci贸n de fraccionarios Para multiplicar fraccionarios, s贸lo basta con multiplicar numerador con numerador, y denominador con denominador.
Ejemplo
x
=
AH, PERO QUE FACIL ES MULTIPLICAR FRACCIONARIOS. SE PARECE COMO A MULTIPLICAR NATURALES.
85
TRABAJEMOS LO VISTO
MULTIPLICA LOS SIGUIENTES FRACCIONARIOS: X X X
86
6.5. División de fraccionarios Para dividir fraccionarios basta con hallar el recíproco del divisor, y luego se procede a multiplicar. El recíproco no es sino colocar el numerador en el denominador y viceversa. Ejemplo
÷
El reciproco de
es
Entonces
x = ES CURIOSO… PARA DIVIDIR FRACCIONARIOS HAY QUE MULTIPLICAR. IRONICO ¿NO?
87
TRABAJEMOS LO VISTO DIVIDE LOS SIGUIENTES FRACCIONARIOS
รท
รท รท
88
6.6. Potenciación de fraccionarios Se realiza del mismo modo que la de números naturales. Se elevan el numerador y el denominador. Ejemplo
Solución =
EL NUMERADOR Y EL DENOMINADOR DEBEN TENER SU EXPONENTE. RECORDEMOS QUE LA POTENCIACIÓN ES UNA MULTIPLICACIÓN ABREVIADA, POR ESO EN LOS FRACCIONARIOS SE APLICA LA MISMA REGLA. EN POCAS PALABRAS, ESTAMOS MULTIPLICANDO VARIAS VECES LA MISMA FRACCIÓN.
89
TRABAJEMOS LO VISTO
RESUELVE LAS SIGUIENTES POTENCIACIONES:
90
6.7. Números decimales. Los números decimales son la expresión derivada de los números fraccionarios cuyo denominador es una potencia de 10 (10, 100, 1000, 1000, etc.). Ejemplo
= 0,6 = 0.07 = 0, 020
Para leer números decimales, sólo hay que mencionar primero la parte entera (la que va antes de la coma) y luego la parte decimal (la que va después de la coma). Así: ,0 ,00 ,000 ,0000 ,00000
Decima Centésima Milésima Diezmilésima Cienmilésima
91
Los ejemplos anteriores se leen seis decimas, siete centésimas y veinte milésimas.
PARA EL CASO DE DECIMALES COMO
1,27 SE LEE UNO CON VEINTISIETE CENTESIMAS. SI LA PARTE ENTERA DE UN DECIMAL ES CERO, SOLO SE LEE LA PARTE DECIMAL.
92
TRABAJEMOS LO VISTO ¿A QUE DECIMAL CORRESPONDEN LOS SIGUIENTES FRACCIONARIOS, Y CÓMO SE LEEN?
COMO SE LEEN LOS SIGUIENTES DECIMALES: A. B. C. D. E. F.
6,43 5,5 3,475 48,54 43,6 100,4
93
6.8. Suma de decimales Para sumar decimales, sĂłlo hay que seguir el proceso de los naturales (vĂŠase la unidad 1) Ejemplo
7, 3 +
4, 6 1, 7 13,6
Ahora bien, si en una suma de decimales no se forman columnas, se deben formar con ceros para facilitar el cĂĄlculo.
Ejemplo
6,4 + 4,32 + 43,5
06,40 +
04,32 43,50 54,22
94
TRABAJEMOS LO VISTO
REALIZA LAS SIGUIENTES SUMAS: 1. 59,45 + 42,5 2. 100,7 + 1,8 3. 70,5 + 6,875 PARECEN FÁCILES, ¿O NO?
A VER, A VER… SI COMPRÉ 68,78 KILOS DE HARINA Y 6,39 KILOS DE ARROZ, ¿CUANTO PESAN LAS 2 COSAS? ESPERO NO LLEGAR DEL “SUPER” A MI CASA CANSADO POR CARGAR TANTO PESO.
SI COMPRE 3,55 LITROS DE LECHE, Y ME DIERON 1,9 MÁS POR PROMOCIÓN, ¿CUANTOS LITROS TENGO? ESPERO QUE ALCANCE PARA HACER UN BATIDO.
95
6.9. Resta de decimales Para restar decimales, sólo hay que seguir el proceso de los naturales (véase la unidad 1) Ejemplo
4,76 -
1,63 3,13
También, si en una resta de decimales no se forman columnas, se deben formar con ceros para facilitar el cálculo. Ejemplo 11,96 – 2,743 Solución
11,960 +
2,743 9,217
AH… ASI QUE SUMAR Y RESTAR DECIMALES ES TAN FACIL COMO SUMAR Y RESTAR NATURALES. ¡PERO QUE FACIL!
96
TRABAJEMOS LO VISTO REALIZA LAS SIGUIENTES RESTAS. 1. 2. 3. 4.
585,66 – 686,1 56,444 – 59,03 1,334 – 23,66 56,77 – 45,29
SI TENGO $54.44 Y LE COMPRE UN LAPIZ A MI HIJO QUE COSTÓ $14,47, ¿CUANTO DINERO ME QUEDA? ¿ME ALCANZARÁ PARA COMPRARME UN RELOJ NUEVO?
SI DE UNA CANASTA CON 7,68 LIBRAS DE MANZANA, ME COMO 2,72 LIBRAS, ¿CUANTAS LIBRAS DE MANZANA ME QUEDAN? CREO QUE ME CABE UNA MANZANA MÁS.
97
6.10. Multiplicación de decimales Decimal por un natural: Para multiplicar un decimal por un natural, se multiplican como naturales. Al obtener el resultado se coloca la coma dependiendo de cuántos lugares este la coma del factor decimal. Ejemplo 4,32 X
20 000 864 86,40
Entre decimales: Se realiza el proceso anterior, pero al obtener el resultado, la coma se coloca sumando las posiciones de la coma en los factores. Ejemplo 2,72 X
1,16 1632 272 272
EN ESTA MULTIPLICACION COMO LA COMA DE LOS 2 DECIMALES ESTÁN A 2 LUGARES, EL PRODUCTO DEBE ESTAR A 4 LUGARES. 2+2=4
3,1552
98
TRABAJEMOS LO VISTO REALIZA LAS SIGUIENTES MULTIPLICACIONES: 1. 2. 3. 4. 5. 6.
58 X 6,45 110 X 98,2 12,4 X 44 55,45 X 88,3 94,3 X 49,122 1,43 X 2,1
SI TENGO 3 BOLSAS DE SAL, Y CADA BOLSA TRAE 4,32 KILOS DE SAL, ¿CUÁNTOS KILOS DE SAL HAY EN TOTAL? ESTOY SALAO, PERO NO ES QUE TENGA MALA SUERTE, SINO QUE TENGO MUCHA SAL EN LA COCINA.
SI EN LAS TUBERIAS DE MI CASA CORREN POR HORA 47,66 LITROS DE AGUA ¿CUANTOS LITROS CORRERÁN EN 4,33 HORAS? AUN ASI, YO CUIDO EL AGUA NO DESPERDICIANDOLA
99
6.11. División de decimales Decimales entre natural: Para dividir decimal entre natural se multiplican el divisor y el dividendo por la potencia de 10 correspondiente al decimal. Ejemplo
6 3,3 Se multiplica el 6 y el 3,3 por 10 porque en la parte decimal sólo hay un número después de la coma (décima)
60 33 27 1 Hasta ahora el cociente es 1, pero como debe ser un decimal se le añaden ceros al residuo para seguir dividiendo de manera sucesiva hasta llegar al cociente decimal
60 33 270 1,8 6
100
Si queremos, podemos seguir dividiendo y obtener un decimal más largo.
SI LA PARTE DECIMAL TIENE 1 CIFRA, SE MULTIPLICAN TANTO EL DIVIDENDO COMO EL DIVSOR POR 10, SI SON 2 POR 100, SI SON 3 POR 1000, Y ASI SUCESIVAMENTE.
Entre decimales: Se multiplican los decimales por la potencia de 10 que corresponde al decimal con mayor número de cifras después de la coma. Ejemplo
14,3 4,60 En este caso, como el 4,60 es el decimal con más cifras después de la coma, se multiplica por 100
1430 460
101
Luego se procede a dividir, y al hallar la parte entera, se procede a seguir dividiendo por medio de colocar ceros al residuo hasta llegar al cociente decimal.
1430 460 500 3,1 40
Podemos seguir añadiendo ceros al cociente y seguir dividiendo para así tener un decimal más grande.
SE AÑADEN CEROS AL RESIDUO PARA FORMAR UNA CIFRA MAYOR QUE EL DIVISOR Y ASI REALIZAR LA DIVISIÓN.
102
TRABAJEMOS LO VISTO REALIZA LAS SIGUIENTES DIVISIONES: 1. 2. 3. 4.
696 ÷ 69,4 58 ÷ 1,55 68,4 ÷ 23,4 68,03 ÷ 9,99
TENGO 4,34 KILOS DE AZUCAR PARA REPARTIR ENTRE 6 DE MIS AMIGAS. ¿CUANTOS KILOS LE CORRESPONDEN A CADA UNA DE ELLAS? NO SE PREOCUPEN, LO QUE PASA ES QUE TENGO MUCHOS KILOS DE AZUCAR EN LA DESPENSA Y SI NO LA USO, SE ME PUEDE DAÑAR.
ESTUVE VIAJANDO EN BUS DE BOGOTÁ A MANIZALES, Y EN 6,02 HORAS DE VIAJE, EL BUS RECORRIÓ 572,6 KMS. ¿CUANTOS KILOMETROS RECORRIÓ CADA HORA? ESTOY TAN CANSADA QUE NECESITO TOMARME UN CAFÉ Y DESCANSAR.
103
6.12. Porcentajes Es la representación de un fraccionario cuyo denominador es 100 y el numerador inferior a 100. Ejemplo
= 0,27 = 27 % Este signo (%) que se llama porciento simboliza el porcentaje. Para hallar el porcentaje de un numero se multiplica el número por el porcentaje, y al producto quitarle las 2 últimas cifras. Ejemplo Hallemos el 20% de 11.700
11.700 X
20 00000 23400 234.000 = 2.340
El 20% de 11.700 es 2.340. OTRA FORMA DE HALLAR PORCENTAJE ES MULTIPLICANDO EL NÚMERO POR EL PORCENTAJE EN DECIMAL APLICANDO LA MULTIPLICACIÓN DE DECIMAL POR NATURAL. EJEMPLO 37 % = 0.37. EL PORCENTAJE ES LA PARTE ENTERA DEL PRODUCTO.
104
TRABAJEMOS LO VISTO HALLA EL: 1. 2. 3. 4.
56 % DE 56.555 48 % DE 5.003 10 % DE 100.444 75% DE 2.558.345
PUEDES USAR CUALQUIERA DE LAS 2 FORMAS DE HALLAR EL PORCENTAJE.
SI FUI AL SUPERMERCADO Y COMPRÉ UN PAQUETE DE PAÑALES QUE NORMALMENTE CUESTA $12.000, PERO HOY LOS PAÑALES TUVIERON 30% DE DESCUENTO. ¿CUANTO TUVE QUE PAGAR HOY POR LOS PAÑALES? ESA MARCA ES BUENA, Y AHORA CON EL DESCUENTO, ES MEJOR.*
*Al hallar el porcentaje, réstalo al precio normal.
105
PRACTIQUEMOS LA UNIDAD 1. ¡Firme!... perdón. ¿Cómo se leen los siguientes fraccionarios?
2. Representa gráficamente los siguientes fraccionarios:
3. ¿A que fraccionarios representan las siguientes gráficas?
106
4. Realiza las siguientes sumas:
A. +
C. +
B.
D.
+
5. De los habitantes de una ciudad,
+
de personas
tienen computador. Si en un año se le suman más. ¿Cuál es la fracción total de personas que tienen computador? Hay que estar al día con la tecnología.
6. De las plantas de mi jardín, son rosas. Si me regalaran más, ¿Cuál es la fracción total de rosas en mi jardín? Mi jardín se pondría rosado por tantas rosas.
107
7. Realiza las siguientes restas: A. -
B.
C.
-
-
D. -
8. De los libros que tengo en mi casa Si de esos libros, vendo año me queda?
son de 1960.
, ¿Cuánto en libros de ese
Necesito dinero para comprar un nuevo que estará a la venta mañana.
9. En mi tienda de mascotas,
de los animales son
gatos. Si lograra vender de esos gatos, ¿Cuánto en gatos me quedan? Me gustan los gatos, pero de ellos y los otros animales vivo.
108
10. Multiplica los siguientes fraccionarios: A. X
B. X
C.
X
11. Divide las siguientes fracciones: A. รท
B. รท
12. Realiza las siguientes potenciaciones: A.
B.
.
109
C. รท
13. ¿Cómo se leen los siguientes decimales? A. 43,76
C. 7,36
B. 13,6
D. 100,70
14. ¿A qué decimal corresponden las siguientes fracciones?
A.
B.
C.
D.
15. Te reto a que realices las siguientes sumas: A. 568,56 + 45,558 B. 35,45 + 12,3 C. 45,3 + 12,59 + 13,455 D. 3454,4 + 27,03 16. Si tengo 554,66 gramos de carne, y para el almuerzo de hoy compro 237,6 gramos más, ¿Cuántos gramos de carne tengo en total? Tengo ganas de un rico asado con papas fritas.
110
17. Realiza las restas de: A. 76,63 – 67,164
B. 510,27 – 4,1062
C. 1002,66 – 655,22
18. Si tengo US$ 112,7 y me gasto US$ 7,60 en un Ipod, ¿Cuánto dinero me queda? ¡Por fin voy a escuchar mi música favorita!
19. Multiplica los siguientes decimales: A. 73,30 X 3
B. 107,6 X 24
C. 34,6 X 4,23
D. 12,23 X 8,9
20. Si en mi casa tengo 3 botellas de vino, y cada una trae 3, 12 litros de vino, ¿Cuántos litros de vino tengo en total? Esta noche haré una fiesta con mis amigas.
111
21. Divide los siguientes decimales: A. 43,32 ÷ 3
B. 12,4 ÷ 7
C. 7,33 ÷ 4,10
D. 47,55 ÷ 22,2
22. Si tengo 569,55 gramos de confeti, y los voy a distribuir en 10 bolsas, ¿Cuántos gramos de confeti debo poner en cada bolsa? A mis hijos les gusta tirar confeti.
23. Halla el: A. 15% de 70.000
B. 27% de 112.000
C. 42% de 205.000 24. Si compré un televisor que cuesta $723.000, pero ese día hubo un descuento del 12 % por pagar con tarjeta de crédito, ¿Cuánto pagué por el televisor? Por fin veré los partidos de fútbol en alta definición.
112
UNIDAD 7
MEDICIÓN Objetivos: - Reconocer las unidades de peso, medida, tiempo y longitud. - Calcular equivalencias entre unidades de medida. - Aplicar estos cálculos a situaciones reales.
QUE UN KILO, QUE UN METRO, QUE SI LA HORA, QUE EL LITRO… UFF… NECESITO SABER Y CALCULAR ESAS EXPRESIONES Y DE PASO HACER RENDIR EL MERCADO QUINCENAL Y MI TIEMPO.
113
7.1. Medidas de longitud. Sirven para calcular el largo, ancho y alto de los objetos. Las mรกs usadas son las siguientes:
Metro Decรกmetro Hectรณmetro Kilometro
M Dm Hm Km
Unidad bรกsica 10 M 100 M 1000 M
Para convertir una medida a otra solo hay que multiplicar en el caso de convertir de una unidad mayor a otra menor y dividir para convertir de una menor a otra mayor.
Ejemplos
Convertir 6 km a metros 6 km x 1000 = 6000 m
Convertir 100 Hm a Dm 100 Hm x 10 = 1000 Dm
114
Convertir 7000 Dm a Km. 7000 Dm รท 10 = 700 Hm y 700 Hm รท 10 = 70 Km.
2 COSAS: - LA MEJOR FORMA DE CONVERTIR ES IR DIVIDIENDO O MULTIPLICANDO DE 10 EN 10 (M-Dm 10, Dm-Hm 10, Hm-Km 10)
-
EL DECAMETRO Y EL HECTOMETRO NO SE USAN MUCHO EN LA VIDA DIARIA, PERO LOS KILOMETROS Y METROS Sร .
115
Si no tenemos las equivalencias directas, podemos convertir así:
Ejemplo 1 Convertir 10 km a Dm. Si no sabes cuanto equivale un km en decámetros, se hace lo siguiente: 10 km x 10 = 100 Hm 100 Hm x 10 = 1000 dm. Entonces 10 km son 1000 dm
Ejemplo 2 Convertir 300 Dm a Km. Si no sabes cuanto equivale un Dm en kilómetros, se hace lo siguiente: 300 Dm ÷ 10 = 30 Hm 30 Hm ÷ 10 = 3 Km. Entonces 300 dm son 3 km
116
TRABAJEMOS LO VISTO
CONVIERTE: A. 76 Km a Metros B. 5500 Metros a Km C. 75 Hm a Dm D. 466 Km a Dm E. 200 Km a Hm
LA CARRETERA QUE VA DE CARTAGENA A MEDELLÍN TIENE 234,66 KM. ¿A QUE EQUIVALE ESO EN METROS?
117
7.2. Medidas de peso Como su nombre lo dice, sirven para calcular cuanto pesan los objetos. Estas son las siguientes. Gramo Decagramo Hectogramo Kilogramo* Libra Arroba Quintal Tonelada ½ Libra ¼ de libra Onza Kilogramos
g Dg Hg Kg Lb @ qq t
Unidad basica 10 g 100 g 1000 g 500 g** 25 libras 4 arrobas 20 quintales 250 gramos 125 gramos oz 31,25 gramos k 2 libras
*Otro nombre para kilogramo es kilo. **Comercialmente una libra equivale a 500 gramos, pero su equivalencia real es de 453,59 g, pero por uso común se toman en cuenta los 500 gramos.
¿COMO SE CONVIERTEN UNIDADES MAYORES A MENORES COMO ARROBAS A LIBRAS, KILOS A LIBRAS, ETC.?
118
Pongamos un ejemplo: Convirtamos 4 @ a libras. Las arrobas son mayores que las libras y equivalen a 25 libras. Por lo tanto hay que multiplicar las 4 arrobas por las 25 libras 25 x 4 = 100 4 @ equivalen a 100 libras.
¿COMO SE CONVIERTEN UNIDADES MENORES A MAYORES COMO LIBRAS A KILOS, ARROBAS A QUINTALES, ETC.?
Pongamos un ejemplo Convirtamos 75 libras a arrobas. Las libras son menores que las arrobas, por lo tanto se hace necesaria una división entre la cantidad de libras y el equivalente de arrobas en libras, o sea 25 libras. 75 ÷ 25 = 3 75 arrobas son 3 @.
119
PERO, ¿SI NO CONOZCO UNA EQUIVALENCIA, COMO PUEDO CONVERTIR?
Pongamos un ejemplo. Convirtamos 45 toneladas a libras. Si no sabes cuanto equivale una tonelada en libras, puedes usar las equivalencias de la tabla de la página anterior, y usar las equivalencias que allí se muestran. Sabemos que una tonelada son 20 quintales, entonces: 45 t x 20 qq = 900 qq Sabemos que un quintal son 4 arrobas, entonces: 900 qq x 4 @ = 3600 @ Y sabemos que una arroba son 25 libras, entonces: 3600 @ x 25 lb = 90.000 libras.
En resumen, para convertir unidades menores a mayores, se usa la división, para caso contrario la multiplicación, y si no conocemos equivalencias directas, las convertimos con las equivalencias que conozcamos. Estas reglas también aplican para otras medidas.
120
TRABAJEMOS LO VISTO CONVIERTE: 1. 2. 3. 4. 5. 6.
2 LIBRAS A GRAMOS 3 ARROBAS A LIBRAS 10 QUINTALES A LIBRAS 7 ARROBAS A KILOS 1 QUINTAL A LIBRAS 100 LIBRAS A KILOS
SI COMPRE 2 TONELADAS DE ARENA PARA UNA CONSTRUCCIÓN, ¿CUANTAS ARROBAS HABRÉ COMPRADO? ADEMAS TENGO UNOS LADRILLOS QUE PESAN CADA UNO 2 KILOS, ¿A QUE EQUIVALE ESO EN LIBRAS? ¡LA CASA VA A QUEDAR BIEN FIRME!
SI TENGO UNA BOLSA DE CAFÉ QUE PESA 3 KILOS, ¿A QUE EQUIVALE ESE PESO EN ARROBAS? HAZ EL EJERCICIO AHORA, VOY A TOMARME UN RICO TINTO.
121
7.3. Medición de líquidos. Para saber cuánto liquido cabe o hay en un espacio (botella, vaso, jarra) se utilizan unas medidas llamadas medidas de capacidad. Estas son las más usadas:
Centímetro cúbico Litro Medio litro Cuarto de litro Galón
Unidad básica 1000 cc/ 500 cc 250 cc/ 3,78 litros 3780 cc/
Cc Lit.
Al igual que otras unidades de medidas, éstas también se pueden convertir entre ellas. Ejemplo. Convertir 3 galones a litros (De mayor a menor equivalencia) 3 galones x 3,78 lts = 11,34 litros. Convertir 2300 cc a litros. (De menor a mayor equivalencia) 2300 cc ÷ 1000 cc = 2,3 litros.
122
Al igual que en las medidas de peso, si no conoces una equivalencia directa, puedes usar las equivalencias de la tabla, y usar las equivalencias que allĂ se muestran para las unidades de capacidad.
AH, PARA REPRESENTAR LOS CENTIMETROS CUBICOS PUEDES USAR O EL SIMBOLO CC O EL SIMBOLO
123
TRABAJEMOS LO VISTO
CONVIERTE: A. 45 LITROS A CC B. 3443 CC A LITROS C. 5543 CC A GALONES D. 23 GALONES A LITROS.
SI COMPRE 5 GALONES DE LECHE PARA UN MES, 多A QUE EQUIVALE ESO EN LITROS? 多Y ESOS LITROS EN CENTIMETROS CUBICOS? VOY A DISFRUTAR DE ESA LECHE TODO ESTE MES.
124
7.4. Medidas de tiempo. Sirven para medir y calcular la duración de tiempo. Estas son las unidades de medición de tiempo más usadas.
Milenio Siglo Década Año Mes Semana Día Hora Minuto Segundo ¼ de hora ½ hora Medio día Lustro
1000 años 100 años 10 años 365 dìas* 30/31/28 días** 7 días 24 Horas 60 minutos 60 segundos Unidad básica 15 minutos 30 minutos 12 horas 5 años
*Si el año es bisiesto, son cada 4 años, 366 días. **El mes de febrero tiene 28 días, pero en los años bisiestos son 29 días.
125
¿PUEDO CONVERTIR UNIDADES DE TIEMPO IGUAL QUE LAS UNIDADES DE LONGITUD, PESO Y CAPACIDAD?
SI, estas unidades también se pueden convertir aplicando las mismas reglas vistas para las unidades de longitud, peso y capacidad. Con la tabla de la pagina anterior, se determinan cuáles tienen mayor equivalencia, y cuales menor equivalencia. Ejemplos 5 Milenios en años 5 x 1000 = 5000 años 4 semanas en días 4 x 7 días = 28 días. 120 minutos en horas 120 ÷ 60 minutos = 2 horas.
126
TRABAJEMOS LO VISTO
1. SI EL AÑO TIENE 365 DÍAS, ¿CUANTAS SEMANAS TIENE EL AÑO? 2. ¿CUANTOS SIGLOS SON 1500 AÑOS? 3. SI EL DÍA TIENE 24 HORAS, ¿A QUE EQUIVALE ESO EN MINUTOS?
SI PARA IR DE MI CASA A LA BIBLIOTECA, ME ECHÉ 40 MINUTOS CAMINANDO, ¿A QUE EQUIVALE ESO EN SEGUNDOS? ES BUENO CAMINAR PARA HACER EJERCICIO, PERO LA PROXIMA VEZ, VOY A TOMAR EL BUS.
127
PRACTIQUEMOS LA UNIDAD 1. Convierte: A. 50 Km a metros B. 12 Hm a dec谩metros C. 7 Dm a kil贸metros D. 9 Kms a hect贸metros.
2. Convierte: A. 6@ a libras B. 10 qq a @ C. 4 libras a gramos D. 8 Toneladas a @ E. 4 onzas a gramos F. 1000 kilos a gramos 3. Convierte: A. 11 Litros a galones B. 7.000 cc a litros. c. 27 galones a cc.
128
4. Convierte: A. 3 días en horas B. 2 Años en días C. 15 horas en minutos D. 2 milenios en años.
5. Si de mi casa al colegio hay 180 Dm, ¿Cuánto equivale eso en kilómetros? Siempre llego cansado al colegio. Espero tener algún día un carro.
6. Si compré 17 toneladas de harina de maíz, ¿Cuánto equivale eso en arrobas? Voy a hacer muchas arepas para vender por mi casa.
129
7. Hoy fui a tanquear mi carro, y le puse 3 galones. ¿Cuantos litros le puse al carro? ¡La gasolina esta bien cara!
8. Para Navidad faltan 15 días. ¿Cuántas horas faltan? Ya quiero abrir el regalo que me traerá Papá Noel… una linda bicicleta.
130
SIEMPRE ES EL MISMO NÚMERO
1. Escoge un número de una cifra
YO VOY A ESCOGER EL 3
2. Súmale 9 a ese número. 3 + 9 = 12 3. Al resultado súmale sus cifras 1+2=3 El resultado es el número escogido, en este caso 3.
Aprende este juego y demuestra que con el 9 siempre hay igualdad.
132
CON SOLO 3, TENEMOS EL 1089
1. Escoge un número de 3 cifras. Las cifras deben ser distintas.
MI NÚMERO ES EL 642
2. Pon el número al revés y resta esa cifra con el número que elegiste. 624 – 246 = 396
3. Pon el resultado al revés y suma esa cifra con el resultado. 396 + 693 = 1089.
Siempre que tengas un número de 3 cifras distintas, al voltearlo, sumarlo y restarlo, te va a dar 1089, de 4 cifras.
133
COMPRUEBA LA EDAD Y EL MES DE CUMPLEAÑOS DE TUS AMIGOS
UNO DE MIS ALUMNOS DICE QUE NACIÓ EN ABRIL Y TIENE 7 AÑOS, PERO PARA MI TIENE UN POCO MÁS. ¿CÓMO LO COMPRUEBO?
Es hora de usar el poder de los números. Sigue los siguientes pasos:
1. Multiplica por 2 el número del mes. Como se trata del mes de abril, usamos el número 4.
6. Al resultado réstale el número normal de días del año 772 – 365 = 407
4x2=8 2. Súmale 5 al resultado.
La primera cifra es el mes de nacimiento, y las 2 últimas, la edad. Si el resultado final tiene 4 cifras, las 2 primeras cifras son el mes de nacimiento, por lo tanto el alumno tiene realmente 7 años y cumple años en abril.
8 + 5 = 13 3. Multiplica por 50 13 x 50 = 650 4. Súmale la edad, en este caso 7 650 + 7 = 657 5. Súmale 115
Diviértete con este juego confirmando la edad y mes de cumpleaños de tus amigos.
657 + 115 = 772
134
TODA LA VIDA ES EL 15 1. Escoge un número y multiplícalo por 5
ES MI TURNO. ESCOJO EL 11.
2. Multiplica el número elegido por 5 11 x 5 = 55 3. Súmale 25 al producto
Si dudas de la efectividad de este juego, probemos con otro número. Usemos el 12.
55 + 25 = 80 4. Divide entre 5
12 x 5 = 60 60 + 25 = 85 85 ÷ 5 = 17 17 – 12 = 5 5 x 3 = 15
80 ÷ 5 = 16 5. Réstale el número que elegiste 16 – 11 = 5
Repite este juego siguiendo sus pasos, y verás que toda la vida el resultado es 15.
6. Multiplica por 3 5 x 3 = 15
135
¿ES REALMENTE LA EDAD DE EL, O DE ELLA?
UNA DE MIS AMIGAS DICE TENER 20 AÑOS, PERO POR SU ROSTRO PARECIERA TENER MÁS AÑOS. ¿SERÁ QUE ESTA QUITANDO AÑOS PARA BUSCAR NOVIO?
La solución a este problema la tienen los números. ¿Cómo? Sigue estos pasos: 1. Múltiplica el 9 por un número menor que 9.
MUY BIEN. ESCOGERÉ EL 3
9 X 3 = 27 2. Multiplica la edad por 10. En este caso 20.
4. Suma las 2 primeras cifras del resultado con la última. Si el resultado de la suma es de 2 cifras bastará con sumar las cifras solamente.
10 x 20 = 200 3. Resta el producto con el resultado del paso 1.
17 + 3 = 20
200 – 27 = 173
Efectivamente, la muchacha tiene 20 años. Este juego es muy útil, porque así comprobarás la edad de tus amigos. Repítelo varias veces.
136
SIEMPRE SERÁ 5 1. Escoge cualquier número
YO ESCOJO EL 9
2. Súmale 1 9 + 1 = 10 3. Súmale al resultado el numero que escogiste. 10 + 9 = 19 4. Súmale 9 19 + 9 = 28 5. Divide el resultado entre 2 28 ÷ 2 = 14 6. Restale el número que escogiste. 14 – 9 = 5
Repite este juego con otros números y el resultado siempre será 5.
137
EL RESULTADO SIEMPRE ES 9
1. Escoge un número
EN ESTA OPORTUNIDAD, YO ESCOJO EL 2.
2. Multiplicalo por 2 2x2=4 3. Súmale 18 4 + 18 = 22 4. Divide el resultado entre 2 22 ÷ 2 = 11 5. Resta el cociente por el número que elegiste. 11 – 2 = 9
Repite este juego con otros números y el resultado siempre será 9.
138
PROCEDENCIA DE LAS ILUSTRACIONES
www.google.com/images es.wikipedia.org/Sistema binario digipedia.db-destiny.net
140
INDICE TEMATICO INTRODUCCIÓN INDICE DE UNIDADES
3 4
UNIDAD 1: ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN 1.1. LA ADICIÓN 1.2. PROPIEDADES DE LA ADICIÓN 1.3. SUSTRACCIÓN O RESTA 1.4. LA ECUACIÓN PRACTIQUEMOS LA UNIDAD
5 6 7 9 11 13
UNIDAD 2: LA MULTIPLICACIÓN 2.1. MULTIPLICACIÓN 2.2. PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN 2.3. PARES Y DOBLES 2.4. POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN 2.5. MÚLTIPLOS PRACTIQUEMOS LA UNIDAD
16 17 19 22 24 27 29
UNIDAD 3: LA DIVISIÓN 3.1. LA DIVISIÓN 3.2. DIVISORES 3.3. NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS 3.4. LA ECUACIÓN EN LA DIVISIÓN Y EN LA MULTIPLICACIÓN 3.5. CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD PRACTIQUEMOS LA UNIDAD
32 33 36 38 41 43 47
UNIDAD 4: TEORIA NÚMERICA 4.1. DESCOMPOSICIÓN DE UN NÚMERO EN FACTORES PRIMOS 4.2. MINIMO COMÚN MULTIPLO 4.3. MAXIMO COMÚN DIVISOR PRACTIQUEMOS LA UNIDAD
49 50 53 55 57
141
UNIDAD 5: SISTEMAS DE NUMERACIÓN 5.1. SISTEMA BINARIO 5.2. UNIDADES, DECENAS Y CENTENAS 5.3. MILES Y MILLONES 5.4. NÚMEROS ROMANOS PRACTIQUEMOS LA UNIDAD
58 59 62 64 67 70
UNIDAD 6: FRACCIONARIOS Y DECIMALES 6.1. NÚMEROS FRACCIONARIOS 6.2. SUMA DE FRACCIONARIOS 6.3. RESTA DE FRACCIONARIOS 6.4. MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONARIOS 6.5. DIVISIÓN DE FRACCIONARIOS 6.6. POTENCIACIÓN DE FRACCIONARIOS 6.7. NÚMEROS DECIMALES 6.8. SUMA DE DECIMALES 6.9. RESTA DE DECIMALES 6.10. MULTIPLICACIÓN DE DECIMALES 6.11. DIVISIÓN DE DECIMALES 6.12. PORCENTAJES PRACTIQUEMOS LA UNIDAD
73 74 79 82 85 87 89 91 94 96 98 100 104 106
UNIDAD 7: MEDICIÓN 7.1. MEDIDAS DE LONGITUD 7.2. MEDIDAS DE PESO 7.3. MEDICIÓN DE LIQUIDOS 7.4. MEDIDAS DE TIEMPO PRACTIQUEMOS LA UNIDAD
113 114 118 122 125 128
CON LOS NUMEROS TAMBIÉN HAY DIVERSIÓN PROCEDENCIA DE LAS ILUSTRACIONES INDICE TEMATICO
131 140 141
142