Actes des 7èmes Journées de Mécanique de l’Ecole Militaire Polytechnique 15~16 Avril 2010, Bordj El Bahri, Alger Alger
Résolution des problèmes de distorsion en grande déformation dans les procédés de mise en forme des matériaux basée sur la Méthode EFG Abderrachid HAMRANI*, Idir BELAIDI** * Laboratoire de mécanique des structures, Ecole Militaire Polytechniques, Bordj El Bahri, Alger, Algérie E Mail : productiquenc@yahoo.fr **Laboratoire d’Energétique, Mécanique et Ingénierie, Université de m’hamed bougara boumerdes, Algérie E Mail : idir-belaidi@umbb.dz
Résumé : Depuis une quinzaine d’années, de nouvelles méthodes dites « sans maillage » sont apparues pour pallier les limitations de la méthode des éléments finis. Ces méthodes ont la particularité de n’employer à priori aucun maillage prédéfini, et utilisent un ensemble de noeuds dispersés dans le domaine et sur ses frontières. Cette caractéristique présente un avantage majeur par rapport à la méthode des éléments finis en évitant les limitations liées à l’utilisation de l’élément, tel que par exemple la distorsion extrême de la maille. L’objectif de ce papier est de montrer l’un des intérêts majeur des méthodes sans maillage, à l’exemple de la résolution des problèmes de distorsion en grande déformation dans les procédés de mise en forme des matériaux, basée sur la méthode EFG.
à résoudre.
Mots-clefs :
Les méthodes sans maillage, ou meshless, ou encore meshfree methods, apparues depuis une quinzaines d’années, sont des méthodes employées pour construire un système d’équations simple à résoudre sans avoir recours à un maillage prédéfini, elles utilisent un ensemble de noeuds dispersés dans le domaine et sur ses frontières, ne formant pas nécessairement un maillage, ce qui permet souvent de contourner les difficultés liées à ce dernier.
Grande déformation, méthode des éléments finis, méthodes sans maillage, EFG.
1 Introduction La simulation prend de plus en plus une place importante dans l’industrie. Le but est bien sur la prédiction des paramètres optimaux pour les différentes opérations de production afin de minimiser les coûts et d’améliorer la qualité et la fiablité des produits. Dans de nombreux cas, cette simulation exige la résolution d’équations différentielles complexes qui régissent ces phénomènes, traditionnellement, ces équations différentielles partielles complexes sont en grande partie résolues en utilisant les méthodes numériques, telles que la méthode des éléments finis (MEF) et la méthode des différences finies (MDF) ou des volumes finis (VOF). En employant un maillage correctement prédéfinie et en appliquant le principe approprié à la méthode numérique utilisée, ces équations différentielles complexes peuvent être approchées par un ensemble d’équations plus simple
La méthode des éléments finis, bien qu’employée dans la grande majorité des logiciels de simulation industriels, présente un certain nombre de limitations dans la simulation des grandes transformations (grande déformation) et de la localisation des phénomènes. La nécessité de reconstruire un maillage (remaillage), soit pour éviter la déformation des éléments, soit pour respecter la conformité du maillage aux localisations ou aux fissures, entraîne des coûts de calculs additionnels très importants, ainsi que des problèmes de robustesse, particulièrement vécues pour les géométries tridimensionnelles complexes [G. R. Liu, 2002].
L’objectif de ce papier est de montrer l’un des intérêts majeur des méthodes sans maillage, à l’exemple de la résolution des problèmes de distorsion en grande déformation dans les procédés de mise en forme des matériaux, basée sur la méthode « Element Free Galerkin » - EFG. Après avoir présenté les fondements théorique et algorithmique, nous avons implémenté un code EFG sous Matlab pour la simulation numérique d’une pièce subissant une grande déformation par matriçage. Une comparaison des résultats obtenus a permis de mettre en évidence la performance de la Méthode EFG par rapport à la Méthode EFM.
-1-
A (X ) a (X ) = B (X ) U s
2 Fondement théorique La méthode Element Free Galerkin ou EFG est une méthode sans maillage développée par Belytschko et al. [Т. Belytschko et al. 1994] basée sur la méthode des éléments diffuse (DEM) développée par Nayroles et al. [B. Nayroles et al. 1992]. Cette méthode se caractérise par : 1. Construction des fonctions de forme à partir d’une approximation au sens des moindres carrées mobiles. 2. Utilisation de la forme faible contrainte de Galerkin pour développer l'équation du système discrétisée. 3. Utilisation d’un sous maillage pour l'intégration (quadrature de Gauss).
(4) Où Us est le vecteur qui regroupe les paramètres nodaux pour tous les noeuds dans le domaine d’influence et A(X) sera défini comme suit : n ) A ( X ) = ∑ Wi ( X ) P ( X i ) P T ( X i )
)
)
(5)
i =1
Où Wi ( X ) = W ( X − X i ) , et B(X) :
) Bi = Wi ( X ) P ( X i )
(6) A partir de l’équation (4), a(x) peut s’écrire sous la forme : (7) a ( X ) = A −1 ( X ) B ( X ) U S Son remplacement dans l’équation (1), permet d’écrire :
(
)
u h ( X ) = P T ( X ) A −1 ( X ) B( X ) U S (8) n
Or 2.1 Construction des fonctions de forme
m
u h ( X ) = ∑ p j ( X ) a j ( X ) = PT ( X ) a ( X )
Où Φ(X) est le vecteur des fonctions de forme obtenues par moindres carrées mobiles, correspondant aux n nœuds du domaine d’influence de X :
ΦT ( X ) = {φ1( X ) φ2 ( X ) K φn ( X )}(1× n ) =
(1)
j =1
Où : P(X) est la fonction de base, m est le nombre de fonctions de base, a(X) sont les coefficients du polynôme appelé aussi coordonnées généralisées. La fonction de base P(X) est obtenue à partir du triangle de Pascal en 2D, ou tétraèdre de Pascal en 3D, les cœfficients a(X) sont obtenus par la minimisation de la formule de pondération suivante : n ) 2 (2) J = ∑ W ( X − X i ) P T ( X i ) a( X ) − ui
[
(9)
i =1
Dans un domaine Ω, l’approximation au sens des moindres carrées mobiles uh(X) de la fonction u(X) est donnée par :
i =1
u h ( X ) = ∑ φi ( X )u i = Φ T ( X ) U S
]
Où : n est le nombre de nœuds dans le domaine ) d’influence de X, W (X-Xi) est la fonction de pondération, ui est le paramètre nodal de u pour X=Xi (Fig 1.).
PT ( X ) . A−1 ( X ) . B ( X )
(10)
2.1.1 Choix de la fonction de pondération La fonction de pondération joue un rôle important dans l'approximation par moindres carrée mobile. Le choix d’une fonction de pondération reste plus ou moins arbitraire (selon la situation ou le type de problème rencontré), parmi les fonctions de pondération les plus utilisées, on citera : • La fonction spline cubique (W1) : (adoptée dans cette étude) 2 3 2 3 − 4 ri + 4 ri ) 2 3 Wi ( X ) = 4 3 − 4 ri + 4 ri − 4 3 ri 0
ri ≤ 0.5 0.5 < ri ≤ 1 (11) ri > 1
• La fonction spline de degré 4 (W2) :
1 − 6 ri 2 + 8 ri 3 − 3 ri 4 ) Wi ( X ) = 0
ri ≤ 1 (12)
ri > 1
• La fonction exponentielle (W3) :
) e −( ri α ) Wi ( X ) = 0
FIG. 1 : Paramètre nodal ui. La détermination du minimum de J : ∂J =0 ∂a
(3)
2
ri ≤ 1 ri > 1
(13)
Où α est une constante, souvent prise entre 0.3 et 0.4, et :
nous ramène à la relation suivante :
-2-
ri =
X − xi di = ds ds
(14)
Où di est la distance entre le nœud xi et le point X, et ds est la dimension du domaine local du nœud xi.
Afin d'obtenir la formulation discrétisée, les multiplicateurs de Lagrange dans l'équation (17), doivent être interpolés en utilisant les nœuds frontières et leurs fonctions de forme :
2.2 Utilisation de la forme faible contrainte de Galerkin
λ N1 0 L N nλ λ h= u = λv 0 N1 L 0
Considérons un problème bidimensionnel dans un domaine Ω limité par la frontière Γ . Les équations différentielles partielles et les conditions aux limites du système (problème 2D) peuvent être écrites sous la forme suivante: L T σ + b = 0 Equation d’équilibre du domaine Ω du problème
u = u Condition limite de la frontière Γu
(15) Ce qui donne des contraintes à la variable de champ du déplacement. Les conditions limites naturelles sont donnés par :
σ n = t Dans la frontière naturelle Γt
= N (s) ( 2×2nλ ) λ ( 2nλ ×1) Où
nλ
(16)
Nkn (s) =
}
naturelle
u : Déplacement aux frontières n : Vecteur des normales aux frontières naturelles La forme faible contrainte de Galerkin avec multiplicateur de Lagrange (utilisée dans ce travail) s’écrit sous la forme suivante: Ω
Ω
Γt
∫ δλ (u − u) dΓ − ∫δ u λ dΓ = 0
Γu
N 0 ( s) =
( s − s0 ) ( s − s1 ) , N 1 ( s) = ( s 0 − s1 ) ( s1 − s 0 )
(20)
Dans le cas le plus simple, les frontières sont discrétisées en utilisant des segments de droites, Le multiplicateur de Lagrange à s est interpolé à partir des deux noeuds aux extrémités de ce segment. A partir de l'équation (18), on donne la variation du multiplicateur de Lagrange comme suit :
δ λh = N δλ Et on a aussi :
(cLu) dΩ − ∫ δ uT b dΩ − ∫ δ uT t dΓ − T
(s − s0 )(s − s1)L(s − sk−1)(s − sk+1)L(s − sn ) (sk − s0 )(sk − s1)L(sk − sk−1)(sk − sk+1)L(sk − sn )
Si nous choisissons d'employer le premier ordre (Interpolation linéaire), nous avons n = 1 et l’interpolant de Lagrange au point s = s0 et s = s1 devient alors:
u : Vecteur déplacement, en 3D : u T = {u v w} en 2D : u T = {u v } b : Vecteur des forces extérieures, en 3D : b T = {bx b y bz } en 2D : b T = {bx b y } t : Déplacement due à la traction sur les frontières
T
(19)
Les polynômes de Lagrange d'ordre n peuvent être exprimés sous la forme générale suivante :
σ : Vecteur contrainte, en 3D : σ T = {σ xx σ yy σ zz σ yz σ xz σ xy } en
∫δ (Lu)
0 λui n = ∑ N i λi N i λvi i
Où Ni est la matrice des fonctions de forme du noeud i sur la frontière, Ni peut être assimilé à l’interpolant de Lagrange utilisé dans la méthode des éléments finis.
0 ∂ ∂x 2D : L = 0 ∂ ∂y ∂ ∂y ∂ ∂x
{
N i 0
λ ( 2×1) = ∑ i
0 0 ∂ ∂x 0 ∂ ∂y 0 0 En 3D : 0 ∂ ∂z L= ∂ ∂z ∂ ∂y 0 ∂ ∂z 0 ∂ ∂x 0 ∂ ∂y ∂ ∂x
2D : σ T = σ xx σ yy σ xy
le nombre de noeuds utilisés pour cette
interpolation, N i est la fonction de forme du ieme noeud frontière, s est la longueur d'arc le long de la frontière, λ est le vecteur des multiplicateurs de Lagrange des noeuds frontière. L'équation (18) peut également s’écrire sous la forme :
Où L : Matrice des opérateurs différentiels.
En
nλ est
λu1 λ v1 0 M N nλ λ unλ λvnλ (18)
(17)
T
Γu
-3-
(21)
u (h2×1)
u = = v
φ1 0 L φ n 0 φ L 0 1
δ U T [KU − F ] + δ ΛT (G T U − Q) + δ U T G Λ = 0
u1 v 1 0 M φ n u n v n
= Φ ( 2×2 n ) u ( 2 n×1)
ou
δU
∫δλ
( 22)
(u − u ) d Γ
KU + GΛ − F = 0 T G U −Q = 0
(23)
nλ = ∫ δ ∑ N i λ i i =1 Γu
K G T
nλ
n
= ∑ ∑ δ λTi
∫N
i =1 j =1
T
n
∑Φ j =1
T i
j
nλ u j dΓ − ∫ δ ∑ N i λ i u Γu i =1 nλ
Φ j dΓ u j − ∑ δ λTi i =1
Γu
144244 3
∫N
u dΓ
nλ
N
= −∑∑ δ λTi GijT u j + ∑ δ λTi qi i =1 j =1
i =1
= δ Λ (−G T
T ( 2nλt ×2 N )
U s (2nλt ×1) + Q (2nλt ×1) )
Où Λ est le vecteur qui regroupe les multiplicateurs nodaux de Lagrange pour tous les noeuds frontières, nλ t est le nombre totale de noeuds sur la frontière, Gij est appelée la matrice nodale qui est
∫
T T défini : Gij = − N i Φ j dΓ , q i : est un vecteur Γu
défini par : qi = − ∫ N iT u dΓ Γu
λt )×( 2 N + 2 nλt
U Λ ) ( 2 N +2 n
λt )×1
(26)
λt )×1
1424 3 − qi
G 0 ( 2 N + 2 n
F = Q ( 2 N + 2 n
Γu
− GijT
nλ
T i
(25)
Les deux équations ci-dessus peuvent être écrites sous la forme matricielle suivante :
Γu
T
[KU + GΛ − F ] + δ ΛT (G T U − Q ) = 0
Où K est la matrice de rigidité globale, F est le vecteur force global. Cette équation peut être satisfaite seulement si :
Où Φ i est la matrice des fonctions de forme Par conséquent, les équations (21) et (22) donnent le quatrième terme dans l'équation (17) : T
T
[26] représente l’équation finale du système discrétisé quand on utilise la méthode « Element Free Galerkin » avec multiplicateur de Lagrange. La résolution de cette équation donne les résultats des déplacements nodaux, tandis que les déplacements à un point quelconque dans le domaine du problème peuvent être obtenus en utilisant l'équation (22). 2.3 Utilisation de la quadrature de Gauss pour l’intégration Dans la méthode EFG, pour évaluer les intégrales exprimées pour le domaine entier du problème, ce dernier est discrétisé en Maillage « sous-jacent » (cellules d’intégration) (Fig 2.).
Dans l'équation (23), G est la matrice globale constituée en assemblant toutes les GijT , et Q est le vecteur global constitué en rassemblant q i . De la même manière pour le dernier terme dans l’équation (17) :
n δ λ ( Φ u ) d Γ = ∫Γ ∫Γ ∑i Φ i δ ui u u T
nλ
T
nλ ∑ N j λ j dΓ j
n
= ∑ ∑ δ uiT ∫ Φ Ti N j dΓ λ j i =1 j =1
Γu
14243 −Gij
nλ
n
= −∑∑ δ uiT Gij λ j
FIG. 2 : cellules d’intégration. Par conséquent, une intégration de forme globale peut être exprimée comme la somme des intégrales aux cellules : nc
∫ G dΩ = ∑ ∫ G dΩ
i =1 j =1
= − δ U sT GΛ
(24)
Substituons les équations (23) et (24) dans l'équation (17), pour obtenir :
Ω
k
(27)
Ωk
Où nc est le nombre de cellules d’intégration, G représente la fonction à intégrer, et Ω K est le
-4-
domaine de la kieme cellule d’intégration. Quand ng points de gauss sont employés dans les cellules d’intégration, l'équation (B.1) devient :
) D ∫GdΩ = ∑ ∫GdΩ = ∑∑wi G(xQi ) Jik nc
nc ng
k Ωk
k i=1
Ω
FI
(t )
=
)
gauss » pour le i
eme
point de gauss à x Qi ,
J
D ik
est la
matrice de Jacobienne de la cellule k, à laquelle
x Qi est
son
point
de
gauss.
Afin
d'obtenir
numériquement la matrice nodale KIJ de rigidité, la formulation de la quadrature numérique pour l'équation :
( )
K IJ = ∫ BIT
2×3
c3×3 (B J )3×2 dΩ
nc
ng
k
i =1
) w i B IT (x Qi ) c B J (x Qi ) J ikD = 1 4 4 442 4 4 4 4 3
∑∑
ik K IJ
nc
ng
k
i =1
ik IJ
F Ib =
∫Φ
T I
b dΩ
(31)
Ω
Qui devient :
=
) Φ (x )b (x ) J ∑ ∑ w1 4 442 4 4 43 k
=
nc
FIil ( t )
i =1
il ( t ) I
Et la dimension de FI(t ) est 2 La matrice de rigidité globale K est assemblée en utilisant les matrices nodales correspondantes, et KIJ ≠ 0 seulement quand les noeuds I et J sont couverts par le domaine de support d’au moins un point de quadrature. Si les noeuds I et J sont distants (lointains) et ne partagent pas le même domaine de support d’aucun point de quadrature, alors KIJ = 0.
Cet exemple illustre comment la méthode EFG peut être employée dans les cas de grande déformation du matériau (distorsion de l’élément). S’est l’exemple du test de compression (Fig.3).
Z Y
h0 D0
FIG.3 : configuration initiale de cylindre Les données du problème sont les suivantes : • La simulation a été menée sous le logiciel Ansys/LSdyna en 3D. • Les caractéristiques du matériau de la pièce : Masse volumique ρ (g/mm3) = 0.0025, Module de Young E (MPa) = 6.8900 * 104, Coefficient de poisson µ = 0.33, Limite d’élasticité σ e (N/m2) =
ng
i =1
i
T I
Qi
F Iik
Qi
D ik
(b)
ng
∑∑F k
B il
n gt
∑∑F l
Qi
( 30 )
De la même façon, nous pouvons obtenir le vecteur de force nodal FI( B ) donné par :
FI
n ct
Qi
( 2× 2 )
Et la dimension de K IJik est 2×2 Noter que l'équation (B.4) signifie que la matrice nodale KIJ est obtenue par la sommation des contributions de tous les points de quadrature dont les domaines locaux incluent l'Ieme et le Jeme nœud en même temps. Si le noeud I et le noeud J ne sont pas dans le même domaine local du point de quadrature à x Qi , KIJ est égale à 0.
nc
i =1
T I
i
3 Application au matriçage d’un cylindre
∑ ∑ (K )
(b )
n gt
(29)
Ω
K IJ =
) w Φ (x )t (x ) J ∑∑1 4 442 4 4 43 l
(28)
Où wi est le facteur de pondération « intégration de
=
n ct
i =1
ik ( b ) I
Et la dimension de FI(b ) est 2 Le vecteur force de traction nodal est défini par : (t ) I ( 2×1)
(F )
= ∫ Φ t dΓ T I
Γt
(32)
117.
• Le matériau choisi dans cette étude est un matériau élasto-plastique (Material model 24), son comportement est détaillé dans [J. O. Hallquist, 2006]. • Les dimensions : h0 = 28.5mm, D0 = 19mm. • Le contact se fait avec frottement, en adoptant un cœfficient de frottement µ c = 0.2 . • La force est appliquée dans la direction inverse de l’axe Z et f = 8 * 102 Mpa. • Le plan du poinçon est supposé infiniment rigide. Pour des raisons de symétrie du problème, on prend un quart du cylindre (Fig.4).
-5-
utilisés dans la simulation par EFG (Fig.6.b) ce qui constitue en fait l’avantage par rapport à la MEF.
(a)
FIG.4 : Compression d’un cylindre (Nombre de nœuds : 5755). Dans les schémas qui suivent, on retrace les différentes étapes de l’évolution de la simulation, à gauche par la méthode EFG, à droite par MEF (Fig.5). EFG
MEF
(b) FIG.6 : (a) Distorsions des éléments du maillage MEF, (b) Aucun élément : pas de distorsion. 4 Conclusion La méthode sans maillage présente la particularité par rapport à la méthode des éléments finis de se baser sur un ensemble de noeuds répartis dans le domaine sans exiger la construction d’un maillage qui relie ces noeuds. Cette particularité représente un avantage majeur en simulation en grande déformation (distorsion de la maille). L’exemple traité de la pièce subissant une grande déformation fait clairement apparaître l’un des avantages majeur de l’EFG par rapport à la méthode des éléments finis, dans la résolution de ce type de problème très souvent rencontré dans la mise en forme des matériaux.
0%
20 %
40 %
Références B. Nayroles, G. Touzot, P. Villon, 1992, Generalizing the finite element method: diffuse approximation and diffuse elements. Computational Mechanics, 10, 307318.
50 % 60 %
G. R. Liu, 2002, Mesh Free Methods Moving beyond the Finite Element Method, CRC PRESS Edition.
70 %
J. O. Hallquist, 2006, LS-DYNA Theory manual. Livermore Software Technology Corporation, 304305. California, USA.
75 % 85 % 100 %
La méthode des éléments finis diverge
FIG.5 : Résultats des simulations par EFG et par MEF. On constate bien que la simulation par élément finis diverge à un stade moins avancé que la simulation par la méthode Element Free Galerkin. Cela est due aux graves distorsions des éléments du maillage MEF (Fig.6.a), ces derniers ne sont pas
Т. Belytschko, Y. Y. Lu, L. Gu, 1994, Element-free Galerkin methods, Int. f. Numer. Methods Eng., 229256. S. Yoon, J.S. Chen, 2002, Accelerated meshfree method for metal forming simulation », Finite Element in Analysis and Design, 38: 937–948. P. Lu, G. Zhao, Y. Guan, X. Wu, 2008, Bulk metal forming process simulation based on rigidplastic/viscoplastic element free Galerkin method, Materials Science and Engineering A, 479: 197–212. L. Filicea, I. Alfarob, F. Gagliardi, E. Cuetob , F. Micari, F. Chinesta, 2009, A preliminary comparison between finite element and meshless simulations of extrusion, journal of materials processing technology, 209:
-6-
3039â&#x20AC;&#x201C;3049. C. Tiagoa, P. M. Pimentab, 2008, An EFG method for the nonlinear analysis of plates undergoing arbitrarily large deformations, Engineering Analysis with Boundary Elements, 32: 494â&#x20AC;&#x201C;511. D. Peric, M.Vaz, D.R.J. Owen, 1999, On adaptive strategies for large deformations of elasto-plastic solids at finite strains : computational issues and industrial applications, Comput. Methods Appl. Mech. Engrg., 279â&#x20AC;&#x201C;312.
-7-