362
Probl` emes r´ esolus
sont donn´ees par les transformations (1.66). Le point O0 caract´eris´e par x0 = 0 parcourt donc l’axe Oct0 d’´equation : ct =
c x v
L’ensemble des points pour lesquels t0 = 0 d´efinit une ligne de simultan´eit´e du r´ef´erentiel (O0 , x0 , y 0 , z 0 ), c’est l’axe O0 x0 . Etant donn´e (1.66), cette ligne a pour ´equation dans le plan (Ox, ct) : ct =
v x c
Pour tout ´ev´enement A, la construction indiqu´ee donne les coordonn´ees (xA , ctA ) et (x0A , ct0A ) de cet ´ev´enement. Il faut toutefois prendre garde aux ´echelles sur les axes. Les ´ev´enements O et B sur l’axe Oct0 sont s´epar´es par un intervalle de type temps, dont la mesure est donn´ee par (1.77) : q cτOB = c2 t2OB − x2OB Le lieu g´eom´etrique des points du plan (x, ct) qui satisfont cette condition est une hyperbole. On voit ainsi que ctB est plus grand que ct0B . 5.46 Temps propre : distance spatio-temporelle L’intervalle qui s´epare deux ´ev´enements (s´epar´es par un intervalle d’espacetemps du genre temps) est la dur´ee (en terme de temps propre) que met un observateur pour ´evoluer d’un ´ev´enement ` a l’autre ´etant anim´e d’une vitesse constante, donc parcourant une trajectoire en « ligne droite » dans l’espacetemps. Montrer que pour cette trajectoire, la dur´ee entre les deux ´ev´enements est plus grande que pour n’importe quel autre observateur qui suivrait une trajectoire diff´erente [12, sect. 5.6]. Solution
On commence par situer des ´ev´enements dans l’espace-temps `a l’aide d’un syst`eme d’axes cart´esiens avec x en abscisse et ct en ordonn´ee (fig. 5.63). On consid`ere alors trois ´ev´enements A, B et C s´epar´es par des intervalles du genre temps. Comparons les temps propres qui s´eparent ces ´ev´enements joints par des trajectoires parcourues ` a vitesse constante. La « distance » qui s´epare ces ´ev´enements est donn´ee par le temps propre qui s’´ecoule entre ces ´ev´enements, donc par le temps qui s’´ecoule pour un observateur pour lequel ces deux ´ev´enements ont lieu au mˆeme endroit. Comparons le temps propre entre les ´ev´enements A a B avec la somme des temps propres entre les ´ev´enements A et C, et entre ` les ´ev´enements C ` a B. L’´ev´enement C est situ´e de la mani`ere suivante : l’´ev´enement C a lieu ` a mi-temps entre les ´ev´enements A et B, et il est situ´e dans l’espace ` a une distance d du point d’abscisse ∆x/2 situ´e `a mi-chemin entre les points auxquels ces ´ev´enements A et B ont lieu. Dans ces conditions le temps propre entre les ´ev´enements A et B a pour valeur 1p 2 2 c ∆t − ∆x2 τAB = c