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Probl` emes r´ esolus
pas ω, mais θ˙ ω e = ψ˙ sin θ ψ˙ cos θ
qui interviendra. Il faut donc ´evaluer :
u ωu
ˆ ˆ ωv ω e ∧ LG =
v
e ˆ3 ψ˙ cos θ
ωu I1
ωv I1
ω3 I3
On notera ici simplement que (ω e ∧ LG ) · e ˆ3 = 0 et donc la troisi`eme ´equation d’Euler donne simplement I3 ω˙ 3 = −T r sin θ
(5.98)
Comme deux des forces (le poids et la r´eaction du support) sont verticales, elles ne contribuent pas ` a un moment de force vertical. Il est ainsi avantageux de consid´erer la composante verticale de L0G : zˆ ·
dL0G = M G · zˆ dt
Comme zˆ est constant, il vient d L0G · zˆ = M G · zˆ dt Or la composante z du moment cin´etique vaut L0G · zˆ = I1 ψ˙ sin2 θ + I3 ω3 cos θ La composante z du moment des forces se r´eduit `a M G · zˆ = T ` sin θ Ainsi on a une ´equation du mouvement de la forme d I1 ψ˙ sin2 θ + I3 ω3 cos θ = T ` sin θ dt
(5.99)
En ´eliminant T des deux ´equations (5.98) et (5.99) ainsi obtenues, on trouve une constante du mouvement qui fut identifi´ee par Jolett en 1872 [116]. d ` 2 ˙ I1 ψ sin θ + I3 ω3 cos θ + =0 dt r ou, en d´eveloppant, ˙ θ˙ sin θ cos θ + I3 ω˙ 3 cos θ + ` − I3 ω3 θ˙ sin θ = 0 I1 ψ¨ sin2 θ + I1 ψ2 r