Préparer ses études scientifiques by EPFL Press

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Presses polytechniques et universitaires romandes

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Presses polytechniques et universitaires romandes

Lâ&#x20AC;&#x2122;auteur et lâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠditeur remercient lâ&#x20AC;&#x2122;Ecole polytechnique fĂŠdĂŠrale de Lausanne dont le soutien financier a rendu possible la publication de cet ouvrage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Minä Eltru, üs Dank fär d’Erziäig und Üsbildig ; Minär Fröü, schi stercht mär där Rigg, steit immär hinnär miär ; Ischä Chind, weil mit inä d’Famili zum Ärläbnis wird.

Table des matières Avant-propos 1

L’angle et sa mesure 1.1 La notion d’angle

!"!

1.2 Mesure de l’angle, l’angle trigonométrique

!"#

1.3 Le cercle trigonométrique

!"#

1.4 Autres mesures d’angle

!"#

1.5 Symétries sur le cercle trigonométrique

1.5.1

Symétrie centrale

1.5.2

Symétrie d’axe des x

1.5.3

Symétrie d’axe des y

1.5.4

Symétrie par rapport à la première bissectrice du système de coordonnées

Sinus et cosinus 2.1 Les fonctions sinus et cosinus

!"#

2.1.1

Définition du sinus et du cosinus

2.1.2

Les graphes des fonctions sinus et cosinus

2.1.3

Les symétries des fonctions sinus et cosinus

!"!

2.2 Triangle rectangle : première approche

!"#

2.3 Equations trigonométriques simples

!"#

2.3.1

L’équation sin α = y

L’équation cos α = x

2.4 Le graphe des fonctions arcsin et arccos

2.4.1

Le graphe de la fonction arcsin

2.4.2

Le graphe de la fonction arccos

2.3.2

34 !"#

Tangente et Cotangente 3.1 Les fonctions tangente et cotangente 3.1.1

La définition de tangente et de cotangente

38 38

!"#

viii

TABLE DES MATIÈRES

3.1.2 3.1.3

Le signe des fonctions trigonométriques sur les différents quadrants Les graphes des fonctions tangente et cotangente

41 42

3.1.4

Les symétries des fonctions tangente et cotangente

!"#

3.2 Relations dans le triangle rectangle

!"!

3.3 Equations trigonométriques simples

!"#

3.3.1 3.3.2

L’équation tan α = y L’équation cot α = x

3.4 Le graphe des fonctions arctan et arccot

3.4.1

Le graphe de la fonction arctan

3.4.2

Le graphe de la fonction arccot

53 !"#

!"#

4.1 Rotation d’un vecteur

!"#

4.2 Théorème d’addition

!"#

4.3 Formules pour angles doubles

!"#

4.4 Formules de bissection

!"#

4.5 Transformations de sommes en produits

!"#

4.6 Résumé sur les formules trigonométriques

4.7 Quelques exemples

!"!

5.1 Définition de l’oscillation harmonique

!"#

5.2 Superposition d’oscillations harmoniques

!"#

5.3 Interprétation géométrique

5.4 Le graphe d’une oscillation harmonique

3.5 Quelques exemples

L’équation A sin α = B cos α

3.3.3

Formules trigonométriques

Oscillations harmoniques

5.4.1

La multiplication d’une fonction par une constante

5.4.2

La multiplication de l’argument d’une fonction par une constante

5.4.3

La translation de l’argument d’une fonction

!"#

Equations trigonométriques 6.1 Equations avec superpositions

6.2 Utilisation des relations trigonométriques

6.3 Rationalisation

!"#

TABLE DES MATIÈRES

Triangles 7.1 Théorème du cosinus 7.1.1

Introduction

106

7.1.2

Notation standard dans le triangle

106

7.1.3

Le théorème du cosinus

107

111

!"#

7.3 Calcul de triangle

113

!"#

7.3.2

Exemple 1 : On connaît deux côtés ainsi que l’angle Exemple 1 : intermédiaire Exemple 2 : On connaît les trois côtés

113 114

7.3.3

Exemple 3 : On connaît un côté et deux angles

115

7.3.4

Exemple 4 : On connaît deux côtés et un grand angle : non intermédiaire

116

7.3.5

Exemple 5 : On connaît deux côtés et un petit angle : non intermédiaire

117

119

!"#

8.1 Continuité

124

!"#

8.2 Quelques limites particulières

127

8.3 Dérivée des fonctions trigonométriques

129

7.4 Le rayon du cercle circonscrit

!"#

7.2 Le théorème du sinus 7.3.1

106

Dérivabilité

8.3.1

Rappel sur la dérivée d’une fonction

129

8.3.2

La dérivée de la fonction sinus

130

8.3.3

La dérivée de la fonction cosinus

131

8.3.4

La dérivée de la fonction tangente

132

8.3.5

La dérivée de la fonction cotangente

132

!"#

8.4 Calculs avec les fonctions réciproques

133

!"#

8.5 Dérivée des fonctions réciproques

138

!"#

9.1 Quelques propriétés géométriques utiles

146

!"#

9.2 La fonction logarithme naturel

148

Logarithme naturel

9.2.1

Définition de la fonction ln

148

9.2.2

La relation logarithmique fondamentale

149

9.2.3

Les relations logarithmiques

151

9.2.4

Etude de la fonction logarithme naturel

155

!"#

TABLE DES MATIÈRES

10 Fonction exponentielle 10.1 La fonction exponentielle

168

10.1.1 Définition de la fonction exponentielle

168

10.1.2 La notion de puissance

169

10.1.3 Les relations pour la fonction exponentielle

170

10.2 Quelques limites

174

10.3 Quelques exemples

178

11 Bases quelconques 11.1 L’exponentielle de base quelconque

182

11.2 Logarithme de base quelconque

185

11.3 Le nombre d’Euler

186

11.4 Quelques exemples

189

12 Fonctions hyperboliques 12.1 Fonctions hyperboliques

196

12.1.1 Le cosinus hyperbolique

196

12.1.2 Le sinus hyperbolique

198

12.1.3 Relations sur les fonctions hyperboliques sinh et cosh

201

12.1.4 La tangente hyperbolique

204

12.1.5 Relations sur la fonction tanh

207

13 arg sinh, arg cosh et arg tanh 13.1 La fonction arg cosh

210

13.2 La fonction arg sinh

213

13.3 La fonction arg tanh

216

Index

223

!"#

Avant-propos L’Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne (EPFL) offre un cours préparatoire, le Cours de Mathématiques Spéciales (CMS). Ce cours, que j’ai le plaisir de diriger, comprend une formation de base en mathématiques, physique, informatique, chimie et biologie sur deux semestres. Un des cours est dédié à l’étude des fonctions trigonométriques, logarithmiques et exponentielles. Le présent ouvrage regroupe l’enseignement dispensé dans ce cadre. Il peut donc servir de manuel de cours pour un enseignement de 14 à 17 semaines. Nous avons également réalisé un cours en ligne (MOOC) sur ces même thèmes. Ce cours est actuellement disponible sous l’adresse suivante : 1 https://www.edx.org/courses?search_query=TrigoExp

L’étudiant qui suit une telle formation en ligne manque usuellement d’un support de cours, un support qu’il peut consulter pendant le cours, et surtout après le cours. C’était là notre motivation essentielle pour rédiger ce livre. On retrouve dans cet ouvrage la très grande majorité des figures utilisées dans le cours en ligne ; on retrouve également la très grande majorité des exemples présentés dans ce cadre. Tout au long de ce livre, des icônes sont reproduites en marge qui renvoient à chacune des vidéos du MOOC. Les cours du CMS sont accompagnés de séries d’exercices, des exercices que nous publions sur internet. Nous n’avons par conséquent pas repris ces exercices dans ce livre, mais nous invitons le lecteur à résoudre la bonne dizaine de séries d’exercices publiée sous http://www.fonctions.org

Nous insistons ici sur l’importance de la pratique, une pratique que l’apprenant ne peut acquérir que par la résolution d’exercices. Nous présentons dans ce livre, tout comme dans le cours en ligne, toutes les notions de façon précise, en donnant aux concepts présentés un sens aussi explicite que possible. Nous avons illustré ces concepts abstraits par une très large gamme de figures, des figures qui peuvent être parfois difficiles à lire, mais qui, nous en sommes persuadés, permettent une compréhension plus approfondie des idées développées. Nous avons formulé les propriétés essentielles dans des propositions que nous démontrons. L’intérêt des démonstrations est, à notre avis, double. Elles permettent de mettre en œuvre les concepts abstraits, obligeant de ce fait l’apprenant à mieux digérer ces concepts.

1. Sinon, il faut essayer l’adresse https://www.edx.org

et rechercher le cours TrigoExp.

xii

AVANT-PROPOS

Et elles permettent également à l’apprenant de mieux construire son savoir scientifique, un savoir qui est cimenté par des liens logiques qui rendent les résultats naturels et plausibles. Je tiens à remercier mes collaborateurs au CMS. Mes remerciements vont en particulier à MM. Guido Burmeister, Roger Sauser et Olivier Woringer. Ils ont largement contribué à la réussite du cours en ligne et du présent livre par leur travail sur les diapositives, les figures, les quiz, les exercices en ligne et les test d’évaluation. Je les remercie également pour leurs remarques constructives et bien fondées.

Hans-Jörg Ruppen

1 L’angle et sa mesure Sommaire

1.1 La notion d’angle

1.2 Mesure de l’angle, l’angle trigonométrique

1.3 Le cercle trigonométrique

1.4 Autres mesures d’angle

1.5 Symétries sur le cercle trigonométrique

1.5.1

Symétrie centrale

1.5.2

Symétrie d’axe des x

1.5.3

Symétrie d’axe des y

1.5.4

Symétrie par rapport à la première bissectrice du système de coordonnées

1.1 !"!

CHAPITRE 1. L’ANGLE ET SA MESURE

La notion d’angle

Avant de pouvoir définir les fonctions trigonométriques, il nous faut clarifier la notion d’angle et notamment celle de la mesure d’un angle. Commençons par la notion usuelle utilisée en géométrie élémentaire. Définition 1.1. Comme le montre la figure 1.1, un angle est défini par deux demi-droites d1 et d2 issues d’un même point O. Il est situé dans le plan Π contenant ces deux demi-droites 1 . L’angle défini par d1 et d2 est la portion de plan balayée par la droite d1 lorsqu’on ramène cette demi-droite par rotation autour du point commun O sur la seconde demi-droite d2 tout en restant dans le plan Π.

Comme la notion d’angle intervient dans un plan, nous allons par la suite considérer uniquement des angles dans le plan. La définition ci-dessus nécessite une mise au point : Remarque 1.1. Si on intervertit les rôles des demi-droites, l’angle (géométrique) reste le même (fig. 1.2). En outre, il existe deux portions de plan différentes pour une situation fixe des demi-droites (fig. 1.3). Usuellement, on choisit la plus petite portion de plan. Finalement, si les deux demi-droites d1 et d2 coïncident, on prendra comme portion de plan balayée la demi-droite d1 = d2 (fig. 1.4).♣ Nous donnerons sous peu une réponse plus satisfaisante aux problèmes soulevés dans la remarque précédente. Si on considère un angle, appelons le α, situé dans le plan et donné par deux demi-droites d1 et d2 issues d’un point commun O, on peut attribuer à cet angle α une orientation. Rappelons que dans le plan, on dit qu’un mouvement de rotation va dans le sens positif si ce mouvement va dans le sens contraire des aiguilles d’une montre placée sur ce plan ; dans le cas contraire, on parle du sens négatif. 11

−

3 8

4 6

Figure 1.1: La notion d’angle. 1. Si les demi-droites d1 et d2 ne définissent pas de façon univoque un plan, on peut choisir un plan quelconque passant par ces demi-droites.

d2 d1

Figure 1.2: Le rôle symétrique des deux demi-droites. d2 d2

Figure 1.3: Deux portions de plan pour une même position des demi-droites.

d1 = d2

Figure 1.4: La portion de plan «balayée» si d1 = d2 .

Définition 1.2. On dit que l’angle α formé par deux demi-droites d1 et d2 du plan est un angle orienté positif, si on considère la portion du plan balayée par d1 lorsqu’on ramène, par une rotation dans le sens contraire des aiguilles d’une montre, cette demi-droite d1 sur la demi-droite d2 . On note cet angle orienté α = �(d1 , d2 )

Le sens des aiguilles d’une montre est fixé par le sens de rotation de l’ombre créée par un bâton planté à la verticale sur l’hémisphère nord de notre planète terre.

1.2. MESURE DE L’ANGLE, L’ANGLE TRIGONOMÉTRIQUE

et on écrit or(α) > 0 pour indiquer que cet angle a une orientation positive (fig. 1.5). On dit que l’angle α est un angle orienté négatif si cette rotation va dans le sens des aiguilles d’une montre. Dans ce cas on écrira or(α) < 0. Si les deux demi-droites d1 et d2 coïncident, on posera or(α) = 0.

1.2 !"#

(t ≥ 0)

(t ≥ 0).

Mesure de l’angle, l’angle trigonométrique

On aimerait pouvoir comparer la grandeur de deux angles donnés. A cet effet, il nous faut définir une façon de mesurer la grandeur d’un angle orienté α = �(d1 , d2 ) compris entre deux demi-droites d1 et d2 . Remarquons que l’aire de la portion de plan balayée qui définit notre angle α ne se prête pas, puisque usuellement, cette aire a une mesure infiniment grande. Afin de mesurer notre angle α, nous plaçons le centre d’un cercle unitaire 2 sur le point source O des demi-droites d1 et d2 . La portion de plan correspondant à notre angle α découpe sur ce cercle unitaire un arc dont la longueur va nous servir comme mesure de l’angle α.

or(α) > 0 d1

or(α) < 0 d2

Figure 1.5: Angles orientés positifs et négatifs.

Remarquons que cette notion d’angle orienté permet de lever l’ambiguïté sur le choix de l’angle compris entre les deux demi-droites d1 et d2 . Comme on le voit sur la figure 1.6, on a toujours (sauf si d1 = d2 ) un angle orienté positif et un angle orienté négatif. Mentionnons encore un dernier élément : on peut parler de l’angle orienté �(u, v) compris entre deux vecteurs u et v du plan (fig. 1.7). On conviendra en effet de considérer dans ce cas l’angle orienté entre les deux demi-droites tu

α d1

β O

, or(β) < 0

or(α) > 0

Figure 1.6: α = �(d1 , d2 ) > 0 et β = �(d1 , d2 ) < 0. tv

tu �(u, v)

Figure 1.7: Angle orienté entre deux vecteurs.

2. Un cercle est dit unitaire si son rayon vaut 1.

Définition 1.3. Pour mesurer la grandeur d’un angle α = �(d1 , d2 ) (du plan) déterminé par deux demi-droites issues d’un point O, on place, dans le plan déterminé par d1 et d2 , un cercle unitaire de centre O. La grandeur de l’angle α mesurée en radians est la longueur sur le cercle unitaire de l’arc découpé par la portion du plan correspondant à l’angle α. On affecte cette longueur du signe + si α est orienté positif, et du signe − dans le cas contraire (fig. 1.8). Remarque 1.2. Nous avons distingué l’angle α (en tant que portion de plan) et sa mesure (comme longueur d’un arc découpé par cette portion de plan sur un cercle unitaire). Usuellement, et nous allons le faire par la suite, on dénomme par α aussi bien l’angle que sa mesure. Dans ce cas, un nombre positif α indiquera un angle orienté positif, et un α négatif désignera un angle orienté négatif. ♣

Figure 1.8: La mesure d’un angle par la mesure d’un arc sur un cercle unitaire.

CHAPITRE 1. L’ANGLE ET SA MESURE

Remarque 1.3. Remarquons que, si les demi-droites d1 et d2 coïncident, on dira que l’angle �(d1 , d2 ) vaut 0 (fig. 1.4). Si ces demi-droites issues d’un point commun pointent dans des directions opposées (comme sur la figure 1.9), on dira que l’angle �(d1 , d2 ) vaut π (longueur d’un demi-cercle) ou −π, le signe étant choisi en fonction de l’orientation de l’angle. ♣ Pour mesurer des angles, on peut s’aider d’un rapporteur contenant un cercle de rayon 1 cm, gradué en mm ou en cm le long de sa circonférence. Il est vrai que usuellement, ces rapporteurs sont gradués en degrés : l’angle plat vaut 180○ . Un tel rapporteur est représenté à la figure 1.10. Dans ce cours, nous utiliserons usuellement le rapporteur suivant qui mesure les angles en radians :

α=π d2

O β = −π

Figure 1.9: L’angle entre deux demidroites de sens opposés.

π�2

�4

2.5 3π �4

1.5

150 13

−1

Donnons la mesure de quelques angles que l’on rencontre fréquemment. Exemple 1.1. Commençons par un angle qui correspond à un tour complet. Selon l’orientation de cet angle, il vaut 2π ou −2π. L’angle plat vaut, selon l’orientation, π ou −π. Nous en avons déjà parlé dans la remarque ci-dessus (fig. 1.9). L’angle droit, en tant que moitié d’un angle plat, vaut donc, selon l’orientation, π2 ou − π2 . L’angle d’un triangle équilatéral (fig. 1.11) vaut, comme tiers d’un angle plat, selon l’orientation π3 ou − π3 .

−2

−1

a = r �α�.

Figure 1.10: Rapporteur usuel (en degrés).

−

π 3

Figure 1.11: La mesure de l’angle (orienté) dans le triangle équilatéral.

Considérons un arc sur un cercle de rayon r > 0 qui correspond à un angle au centre α mesuré en radians. Si on considère dans la figure 1.12 une homothétie de centre O, on peut calculer la longueur de cet arc de cercle : Proposition 1.4. Considérons un arc de cercle a sur un cercle de rayon r > 0, correspondant à un angle au centre α, si bien que 0 ≤ �α� ≤ 2 π. Alors la longueur de cet arc de cercle est donnée par

0 45 3

0.5

−2

120

�α�

a �α� = r 1

donc

a = r �α� r

Figure 1.12: Un arc de cercle a sur un cercle de rayon r.

1.2. MESURE DE L’ANGLE, L’ANGLE TRIGONOMÉTRIQUE

Nous avons donc obtenu une application qui, à tout angle fait correspondre sa mesure comprise entre −2 π et 2 π. Dans bien des cas, comme celle de l’analyse du mouvement des aiguilles d’une montre, il s’avère utile de considérer des angles ayant une mesure qui n’est pas forcément comprise dans l’intervalle [−2 π, 2 π]. En effet, si on veut décrire le mouvement de l’aiguille des minutes d’une montre en fonction du nombre de secondes t écoulées depuis minuit, on est conduit à la relation t � αm (t) ∶= −

Nous utilisons la notation a ∶= b pour introduire une nouvelle grandeur a définie par le terme b.

2π t 3600

valable pour 0 ≤ t < 3600 (fig. 1.13). Cette relation permet de calculer l’angle (orienté négatif) que forme l’aiguille des minutes avec la position de cette même aiguille à minuit. Pour l’heure suivante, cet angle est donné par

αm αm

t � αm (t) ∶= −

2π 2π t + 2π = − (t − 3600), 3600 3600

(3600 ≤ t < 7200);

il faut en effet déduire l’angle parcouru pendant la première heure, puisque au bout d’une heure, l’aiguille a été ramenée à son point de départ : 12

t = 1200

t = 2000

Figure 1.13: L’angle de l’aiguille des minutes pour 0 ≤ t < 3600.

αm αm αm αm t = 2000

αm = − 10π 9

αm

t = 3400

αm = − 17π 9

t = 3599

αm = − 7198π 3600

t = 3900

αm = − π6

Mais agir de la sorte revient à perdre une partie de l’histoire de l’aiguille. Nous allons admettre des mesures d’angle en dehors de l’intervalle [−2 π, 2 π] en permettant de cumuler des tours complets dans la mesure d’un angle. A une position fixe des deux demi-droites d1 et d2 issues d’un point commun O, on peut donc faire correspondre une infinité d’angles selon la façon de ramener, par une rotation autour du point O, la demi-droite d1 sur la demi-droite d2 . Dans le cas de l’aiguille des minutes, nous dirons que l’angle αm entre sa position à minuit et à l’instant t (mesuré en secondes) est donné par t � αm (t) ∶= −

2π t, 3600

(t ∈ R).

Nous pouvons donc remplacer la figure 1.14 ci-dessus par le modèle présenté dans la figure 1.15

t = 4900

αm = − 13π 18

Figure 1.14: L’angle fait par l’aiguille des minutes avec sa position à minuit, si on ne tient pas compte de l’historique de cette aiguille.

CHAPITRE 1. L’ANGLE ET SA MESURE

αm

αm αm

t = −1000 αm =

t = 3000

t = 400

αm = − 2π 9

5π 9

t = 4900

αm = − 15π 9

αm = − 49π 18

Nous parlons d’un angle trigonométrique dès que nous retenons l’historique de la rotation qui ramène la première branche de cet angle sur la seconde branche. La valeur d’un angle trigonométrique est donc un nombre réel quelconque. Proposition 1.5. Étant données deux demi-droites d1 et d2 issues d’un point commun O, il existe un nombre infini d’angles (trigonométriques) de rotation qui ramènent, par rotation autour de O, la demi-droite d1 sur la demi-droite d2 . Tous ces angles (trigonométriques) se distinguent l’un de l’autre par un multiple entier (positif ou négatif) de 2 π. Ce fait est illustré à la figure 1.16.

1.3 !"#

P(⋅) ∶ R → C,

de la forme suivante : π 2

Figure 1.15: L’angle fait par l’aiguille des minutes avec sa position à minuit, en retenant son histoire.

d2 d1 O

Figure 1.16: Trois angles (trigonométriques) possibles pour deux demidroites d1 et d2 issues de O données.

Le cercle trigonométrique

Nous allons présenter ce qu’on pourrait appeler un «modèle standard» de mesure d’angles trigonométriques : il s’agit du cercle trigonométrique. A cet effet, nous considérons un plan muni d’un système (orthogonal) de coordonnées x et y et d’origine O. Dans ce plan, on considère (comme indiqué sur la figure 1.17) un cercle unitaire C centré à l’origine. Étant donné un angle (trigonométrique) α ∈ R, on lui fait correspondre un point P(α) sur le cercle trigonométrique de la façon suivante : on fait tourner le segment compris entre l’origine et le point (1, 0) autour de l’origine d’un angle α. En d’autres termes, on déroule la longueur �α� sur le cercle en partant du point (1, 0) pour aboutir au point P(α) ; si α > 0, on déroule dans le sens positif, sinon dans le sens négatif. On obtient ainsi une application

−

t = 7900

αm = − 79π 18

Figure 1.17: Disposition du cercle trigonométrique

α � P(α).

2π

Figure 1.18: Comment repérer le point P(α)

1.3. LE CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE

Remarquons que nous utilisons ici une notation de la forme P(⋅) pour désigner une application P ; le point (⋅) symbolise la variable libre, une variable dont nous ne voulons pas fixer la notation de plus près. Le point P(α) est situé sur le cercle unitaire de centre à l’origine. Il possède des coordonnées x(α) et y(α) (fig. 1.19) qui satisfont à la relation 2 2 (x(α)) + (y(α)) = 1,

y P(α)

y(α) 1

x(α)

�α�

α 1

une relation que nous préférons écrire de la façon suivante : x2 (α) + y2 (α) = 1.

La proposition suivante joue un rôle capital dans bien des applications.

Figure 1.19: Un point P(α) sur le cercle trigonométrique avec ses coordonnées x(α) et y(α).

Proposition 1.6. Considérons sur le cercle trigonométrique deux points P(α) et P(β) correspondant aux angles (trigonométriques) α et β ∈ R. Si les deux points P(α) et P(β) coïncident, alors les angles α et β se différencient d’un multiple entier de 2 π. Par cela on entend qu’il existe (exactement) un nombre entier k ∈ Z tel que Nous écrivons dans ce cas

α = β + k 2π.

α = β mod 2π. Remarque 1.7. Remarquons que, si α=β, alors on a α = β mod 2π.

Mais on ne peut pas remplacer la relation α = β mod 2π par α = β. Il s’agit là d’une erreur fréquente chez l’apprenant. ♣ Sous une autre formulation, on a le résultat suivant :

Proposition 1.8. Considérons un point fixe P(α) sur le cercle trigonométrique. L’ensemble de tous les angles (trigonométriques) β avec P(α) = P(β) est donné par {α + k 2π ∶ k ∈ Z},

c.-à-d. par {β ∈ R ∶ β = α mod 2π}.

Appliquons ce que nous avons appris à des problèmes concrets. Exemple 1.2. Considérons deux coureurs A et B sur un circuit circulaire de rayon r = 30 m. Le coureur A court à la vitesse v1 = 1 m�s, alors que le coureur B est plus rapide avec une vitesse v2 = 1.4 m�s. Les deux coureurs prennent le départ ensemble au même

La relation α = β mod 2π se lit «α égal β modulo 2π».

CHAPITRE 1. L’ANGLE ET SA MESURE

point (fig. 1.20). Déterminons tous les instants où le coureur B dépasse le coureur A. Soit α(t) l’angle (trigonométrique) au centre de la piste correspondant au coureur A, et soit β(t) celui du coureur B. Ces deux angles sont mesurés par rapport au point de départ commun. A l’instant t, ● le coureur A a parcouru une distance donnée par v1 t, une distance qui peut également être calculée par rα(t) et ● le coureur B a parcouru une distance donnée par v2 t, une distance qui peut également être calculée par rβ(t).

On obtient donc les relations α(t) =

v1 t r

β(t) =

v2 t. r

A l’instant d’un dépassement T, on a α(T) = β(T) mod 2π, c.-à-d. Donc

α(T) = β(T) + k 2π

avec k ∈ Z.

v1 v T = 2 T + k 2π, r r une relation qu’on peut résoudre par rapport à T. On obtient T=k

2π r 60π = −k = −k ⋅ 150π. v1 − v2 0.4

Le premier dépassement a lieu à l’instant T1 = 150π.

(Il faut choisir k = −1.) Les dépassements Tn successifs sont donnés par Tn = 150 nπ, n = 1, 2, 3, . . . .

Exemple 1.3. Considérons une horloge (à affichage analogique parfait). A midi, les 3 aiguilles de cette montre se superposent. Au bout de combien de secondes, les trois aiguilles se superposent-elles à nouveau ? L’horaire de l’angle au centre qui décrit le mouvement de l’aiguille des heures est donné par αh (⋅) ∶ R → R,

t � αh (t) ∶= −

2π t, 12 × 60 × 60

puisque cet angle fait un tour complet en 12 × 60 × 60 secondes. Remarquons que le temps t s’exprime donc en secondes. Le coefficient ω ∶= −

2π 12 × 60 × 60

s’appelle la vitesse angulaire de l’aiguille des heures. Elle correspond au nombre de radians balayés par seconde de la part de l’aiguille des

y A

Point de départ x

B Figure 1.20: La position des coureurs fixée par les angles au centre.

1.3. LE CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE

heures 3 . L’horaire de l’angle au centre qui décrit le mouvement de l’aiguille des minutes est donné par 2π t � αm (t) ∶= − t = 12ωt, 60 × 60

αm (⋅) ∶ R → R,

3. La fréquence de l’aiguille des heures est donnée par ν=

�ω� 1 1 = = . 2π 12 × 60 × 60 43200

celui de l’angle au centre pour l’aiguille des secondes est donné par αs (⋅) ∶ R → R,

t � αs (t) ∶= −

2π t = 720ωt. 60

Si les trois aiguilles sont à nouveau superposées pour la première fois T secondes après midi, on a les relations suivantes : � 12ωT = ωT − k 2π � � � � � 720ωT = ωT − j 2π , � � � � � 720ωT = 12ωT − m 2π

T ∈]0, +∞[ et k, j, m ∈ N

Dans ce système, les nombres k, j et m sont des nombres entiers positifs 4 qu’il faut choisir aussi petits que possible. Remarquons que ce système contient 4 inconnues avec seulement 3 équations 5 . Nous pouvons réécrire ce système sous la forme suivante, mieux adaptée à la suite des calculs : � 11ωT = −k 2π � � � � � 719ωT = −j 2π � � � � � 708ωT = −m 2π

T ∈]0, +∞[ et k, j, m ∈ N les plus petits possibles.

Ce système 6 implique 11ωT k 2π = , 719ωT j 2π

c.-à-d.

De façon similaire, on a

11 k = 708 m

11 k = . 719 j

708 m = 719 j

Les plus petits nombres naturels qui remplissent ces conditions sont 7 k = 11,

j = 719

Avec ces valeurs, notre système devient

m = 708.

4. Les nombres k, j et m sont positifs car l’aiguille de secondes tourne plus rapidement que celle des minutes et l’aiguille des minutes tourne plus rapidement que celle des heures. 5. En fait, deux des équations de ce système impliquent toujours la troisième : ce système ne contient donc en fait que deux équations indépendantes. On peut du reste constater ce fait directement sur l’horloge ! 6. On voit dans ce système que, par exemple, la troisième équation découle des deux premières.

7. Remarquons que les fractions 11 , 719

11 708

708 719

ne peuvent pas être simplifiées. Cela justifie notre conclusion.

� T = − 2π � � ω � � � T = − 2π ω � � 2π � � T = − � ω .

On obtient donc que les trois aiguilles se superposent à nouveau après T=−

2π 12 × 60 × 60 × 2π = = 12 × 60 × 60 secondes, ω 2π

soit exactement après 12 heures. Ceci est un fait

remarquable ! 8

8. En fait, chaque configuration possible des trois aiguilles d’une horloge n’apparaît qu’une seule fois toutes les 12 heures !

CHAPITRE 1. L’ANGLE ET SA MESURE

Retenons quelques faits observés dans les exemples ci-dessus : Proposition 1.9. Un mouvement circulaire à vitesse de rotation uniforme est décrit par l’horaire α(⋅) ∶ R → R,

α(t) ∶= ω t,

où ω est une constante appelée vitesse angulaire. La fréquence du mouvement est donnée par ν=

ω ; 2π

elle donne le nombre de tours par unité de temps. La grandeur T=

1 2π = ν ω

est appelée période du mouvement ; elle correspond au temps nécessaire pour faire un tour complet.

Pour plus de détails, nous renvoyons le lecteur au cours de physique.

1.4

1.5

100

0 12

0 13

110

Usuellement, nous allons mesurer les angles en radians. Dans la vie courante, on utilise souvent une autre unité, celle des degrés. A cet effet, on subdivise un tour complet sur un cercle (de rayon r > 0 quelconque) en 360 sous-arcs de même longueur (fig. 1.21).

2.5

160

0.5

3π

3.5

170

180 190

340

0 2

0 350

200 21

4.5

290

270

280

260

250

24 0 23 0

!"#

Autres mesures d’angle

Figure 1.21: Un rapporteur pour la mesure d’angles en degrés, en comparaison avec un rapporteur en radians.

1.4. AUTRES MESURES D’ANGLE

La conversion d’une unité à l’autre ne pose pas de problèmes. En effet, on a 9 2π

(en radians) correspondent en degrés à

(en radians) correspond en degrés à

α et

(en radians) correspondent en degrés à 360

○

correspondent en radians à

360○

360○ 180○ = 2π π 180○ ⋅ α. π

2π

2π π = 360○ 180○ π ϕ○ correspondent en radians à ⋅ ϕ○ . 180○ Nous retenons donc la proposition suivante : 1○

correspond en radians à

Proposition 1.10. Si un angle α est mesuré en radians, la mesure correspondante en degrés de cet angle vaut α○ [mesuré en degrés] =

180○ ⋅ α [mesuré en radians]. π

ϕ [mesuré en radians] =

π ⋅ ϕ○ [mesuré en degrés]. 180○

Si un angle ϕ est mesuré en degrés, la mesure correspondante en radians de cet angle vaut

Une remarque s’impose si l’angle est mesuré en degrés, minutes et secondes. Dans ce cas, il faut transformer cette expression en écriture décimale. Nous illustrons ce calcul par un exemple :

9. Ces calculs sont de simples calculs de proportions, qui s’appliquent de façon générale à des changements d’unités. On les résume de la façon suivante : π α et

180○

̂ = ̂ =

180○ ̂ =

180○ ⋅ α π

π ⋅ ϕ○ 180○ Remarquons que le symbole ̂ = peut être lu comme “corrrespond”. ϕ○

̂ =

Le facteur convertisseur 180○ π

correspond au quotient d’un demi-tour exprimé en degrés par ce même demitour exprimé en radians. L’autre facteur convertisseur π 180○ correspond au quotient d’un demi-tour exprimé en radians par ce même demitour exprimé en degrés. Une analyse des unités permet de choisir le bon convertisseur.

Exemple 1.4. Considérons un angle mesuré en degrés, minutes et secondes, par exemple un angle de 36○ 15′ 7′′ . En écriture décimale, cet angle vaut 36 +

15 7 907 130 507 + = 36 + = ≈ 36.2519○ . 60 3600 3600 3 600

L’opération inverse, celle d’exprimer une écriture décimale d’un angle en degrés, minutes et secondes ne pose pas de problèmes, elle non plus. Illustrons le tout à l’aide d’un exemple : Exemple 1.5. Considérons un angle de 112.477○ . Si on veut exprimer cet angle en degrés, minutes et secondes, on procède de la façon suivante 10 : partie entière de 112.477○ 0.477 × 60′ 0.62 × 60′′

112.477○

= 112○

= 28.62′ = 37.2′′

et de ce fait

= 112○ 28′ 37.2′′ .

10. Sur les calculatrices, il existe une touche de conversion qu’on peut utiliser pour convertir des angles en degrés, minutes et secondes. Remarquons que les secondes sont subdivisées de façon décimale, donc en dixième de secondes, en centièmes de secondes, etc.

1.5

CHAPITRE 1. L’ANGLE ET SA MESURE

Symétries sur le cercle trigonométrique

Considérons sur le cercle trigonométrique deux points P(α) = (x(α), y(α)) et P(β) = (x(β), y(β)) fixés par leurs angles (trigonométriques) α et β. Nous allons établir des relations liées à des positions particulières de ces deux points sur la base de situations présentant des symétries. 1.5.1 Symétrie centrale Supposons que les deux points P(α) = (x(α), y(α)) et P(β) = (x(β), y(β)) sont, comme indiqué sur la figure 1.22, diamétralement opposés sur le cercle trigonométrique. Dans ce cas, on a ● x(α) = −x(β) et y(α) = −y(β) ;

● β − α = π mod 2π, c.-à-d. il existe un nombre entier k avec β = α + π + k ⋅ 2π.

Remarquons qu’on peut remplacer ici l’angle β par n’importe quel autre angle correspondant à la position P(β). En effet, un tel changement modifie l’angle β d’un multiple de 2π, si bien que la relation β − α = π mod 2π reste valable. Les deux autres relations x(α) = −x(β) et y(α) = −y(β) ne sont, quant à elles, pas affectées par un tel changement. Pour les mêmes raisons, on peut remplacer l’angle α par n’importe quel autre angle correspondant à la position P(α).

y P(α)

y(α)

x(β)

x(α)

y(β)

P(β)

Figure 1.22: La symétrie de centre O sur le cercle trigonométrique.

y P(α)

y(α)

1.5.2 Symétrie d’axe des x Supposons maintenant que les deux points P(α) = (x(α), y(α)) et P(β) = (x(β), y(β)) sont situés de façon symétrique par rapport à l’axe des x (fig. 1.23). On a donc ● x(α) = x(β) et y(α) = −y(β) ;

● β = −α mod 2π, c.-à-d. il existe un nombre entier k avec β = −α + k ⋅ 2π.

Remarquons qu’on peut remplacer ici l’angle β par n’importe quel autre angle correspondant à la position P(β) et l’angle α par n’importe quel autre angle correspondant à la position P(α). En effet, un tel changement modifie chacun des angles α et β d’un multiple de 2π, si bien que la relation β = −α mod 2π reste valable. Les deux autres relations x(α) = x(β) et y(α) = −y(β) ne sont, quant à elles, pas affectées par un tel changement.

x(α)

x(β)

y(β)

P(β)

Figure 1.23: La symétrie d’axe des x sur le cercle trigonométrique.

y P(α)

x(α)

y(α) y(β)

P(β)

x(β)

1.5.3 Symétrie d’axe des y Supposons maintenant que les deux points P(α) = (x(α), y(α)) et P(β) = (x(β), y(β)) sont situés de façon symétrique par rapport à l’axe des y (fig. 1.24).

Figure 1.24: La symétrie d’axe des y sur le cercle trigonométrique.

1.5. SYMÉTRIES SUR LE CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE

On a donc

● x(α) = −x(β) et y(α) = y(β) ;

● β = π − α mod 2π, c.-à-d. il existe un nombre entier k avec β = π − α + k ⋅ 2π.

Remarquons qu’on peut remplacer ici l’angle β par n’importe quel autre angle correspondant à la position P(β) et l’angle α par n’importe quel autre angle correspondant à la position P(α). En effet, un tel changement modifie chacun des angles α et β d’un multiple de 2π, si bien que la relation β = π − α mod 2π reste valable. Les deux autres relations x(α) = −x(β) et y(α) = y(β) ne sont, quant à elles, pas affectées par un tel changement.

1.5.4 Symétrie par rapport à la première bissectrice du système de coordonnées Supposons maintenant que les deux points P(α) = (x(α), y(α)) et P(β) = (x(β), y(β)) sont situés de façon symétrique par rapport à la première bissectrice d’équation y = x (fig. 1.25). On a donc ● x(α) = y(β) et y(α) = x(β) ;

● β = π2 − α mod 2π, c.-à-d. il existe un nombre entier k avec β = π 2 − α + k ⋅ 2π.

y y(β) y(α)

y=x

P(β)

P(α) x(β) x(α)

Figure 1.25: La symétrie par rapport à la première bissectrice sur le cercle trigonométrique.

2 Les fonctions trigonométriques sin, cos, arcsin et arccos Sommaire

2.1 Les fonctions sinus et cosinus

2.1.1

Définition du sinus et du cosinus

2.1.2

Les graphes des fonctions sinus et cosinus

2.1.3

Les symétries des fonctions sinus et cosinus

2.2 Triangle rectangle : première approche

2.3 Equations trigonométriques simples

2.3.1 2.3.2

L’équation sin α = y

L’équation cos α = x

2.4 Le graphe des fonctions arcsin et arccos

29 34 36

2.4.1

Le graphe de la fonction arcsin

2.4.2

Le graphe de la fonction arccos

CHAPITRE 2. SINUS ET COSINUS

2.1 2.1.1

Définition du sinus et du cosinus

Dans le chapitre précédent, nous avons défini une application P(⋅) ∶ R → C,

α � P(α) = (x(α), y(α)).

Ici C désigne le cercle trigonométrique centré à l’origine O d’un système d’axes xy. Pour tout angle α donné , le point P(α) est le point obtenu par rotation du point (1, 0) autour de l’origine O d’un angle α (mesuré en radians). Rappelons que le signe de α détermine le sens de la rotation : si α > 0, la rotation va dans le sens positif, si α < 0, elle va dans le sens négatif (fig. 2.1). Nous avons déjà relevé le fait que le point P(α) a, comme tout point du plan, des coordonnées cartésiennes : jusqu’à présent, nous avons noté ces coordonnées (x(α), y(α)). Il s’avère que la valeur de ces coordonnées joue, dans bien des problèmes, un rôle capital. C’est pourquoi on introduit les notations suivantes : sin α ∶= y(α)

P(α)

y(α)

P(0) = (1, 0) x

x(α)

Figure 2.1: Le point P(α) sur le cercle trigonométrique.

cos α ∶= x(α).

Définition 2.1. Considérons la fonction

définie ci-dessus.

P(⋅) ∶ R → C,

● La fonction sinus

α � P(α) = (x(α), y(α))

sin ∶ R → R,

α � sin α

est définie par la coordonnée y(α) du point P(α) sur le cercle trigonométrique. L’interprétation géométrique du sinus est donnée sur la figure 2.2.

● La fonction cosinus

sin α

!"#

Les fonctions sinus et cosinus

P(α)

α cos α

cos ∶ R → R,

α � cos α

est définie par la coordonnée x(α) du point P(α) sur le cercle trigonométrique. L’interprétation géométrique du cosinus est elle aussi donnée sur la figure 2.2.

Remarquons qu’on écrit parfois sin(α) et cos(α) à la place de sin α et de cos α. L’écriture avec parenthèses s’impose dès qu’il y a ambiguïté dans la lecture de l’expression, comme par exemple lorsqu’on écrit sin α + 3,

une expression qu’il vaut mieux écrire sous la forme 3 + sin α ou sin(α + 3), selon la signification qu’on veut lui donner 1 . Nous renvoyons le lecteur à la figure 2.3 pour les valeurs prises par sin α et cos α en fonction de l’angle α.

(1, 0)

Figure 2.2: La définition de sin α et de cos α.

1. Remarquons que, sans parenthèses, l’expression sin α + 3 s’interprète comme 3 + sin α : le sinus n’agit donc que sur le symbole suivant. Malgré cette convention tacite, l’expression sin 3α se lit comme sin(3α). En termes plus techniques, les symbole sin et cos sont plus liants qu’une addition et moins liants qu’une multiplication.

2.1. LES FONCTIONS SINUS ET COSINUS

P(α)

sin α

P(0)

sin α

P(α)

P(0) x

x α

P(α) y

P(α)

cos α

P(0) x

cos α

P(0)

P(0) x

cos α

x α

P(α)

Notre définition présente une difficulté, celle de ne pas avoir un procédé de calcul explicite pour le sinus et le cosinus. Remarquons qu’un tel processus peut être donné de façon générale sous la forme d’un algorithme qui donne au fur et à mesure des valeurs de plus en plus précises pour le sin α et le cos α. Ces algorithmes sont programmées dans les calculatrices : on peut donc accéder facilement aux valeurs des fonctions sin et cos 2 . On doit cependant maîtriser ces fonctions en se basant avant tout sur leur définition et les propriétés qui en découlent. Mentionnons dans cette optique un résultat qu’on pourrait qualifier de relation de Pythagore pour sin et cos : Proposition 2.1. On a 3 sin2 α + cos2 α = 1

(α ∈ R).

Démonstration. Le point P(α) = (cos α, sin α) étant situé sur le cercle unitaire, on a, pour tous les angles α ∈ R, sin2 α + cos2 α = 1.

2.1.2

Les graphes des fonctions sinus et cosinus

Le graphe de la fonction sinus Jusqu’à présent, nous avons considéré les fonctions sinus et cosinus uniquement comme des «automates» : on y introduit une valeur réelle α pour obtenir en retour une autre valeur réelle : sin α ou cos α, selon la fonction considérée. Notre objectif est à présent de cerner les fonctions sinus et cosinus d’une façon

Figure 2.3: La définition de sin α et de cos α pour différents angles α.

2. Voici un extrait de table de valeurs : α 3. 3.05 3.1 3.15 ⋮

sin α 0.14112 0.0914646 0.0415807 –0.00840725 ⋮

cos α –0.989992 –0.995808 –0.999135 –0.999965 ⋮

3. On écrit sin2 α pour (sin α)2 , cos p α pour (cos α) p , etc.

CHAPITRE 2. SINUS ET COSINUS

plus globale à l’aide du graphe de ces fonctions. Rappelons à cet effet que le graphe G f d’une fonction (définie sur un domaine de définition D f ⊂ R) f ∶ D f → R, x � y = f (x) est donné par l’ensemble

G f ∶= {(x, y) ∈ R2 ∶ x ∈ D f ,

y = f (x)}.

Si on représente sur un dessin cet ensemble G f , on parle parfois du diagramme de la fonction f . Nous avons représenté sur la figure 2.4 le graphe d’une fonction. Pour obtenir le graphe de la fonction sinus, nous allons nous servir de la définition de cette fonction sur le cercle trigonométrique. Dessinons donc, à côté d’un système d’axes αy pour le graphe Gsin , un cercle unitaire, dont le centre se trouve à la même hauteur que l’axe des α du graphe Gsin . Pour toute valeur réelle de α, on détermine le point P(α) sur le cercle trigonométrique, et on rapporte l’ordonnée de ce point P(α) dans le système d’axes au-dessus de l’abscisse α : y

y = f (x)

y = x+2 3

2 x=3

Figure 2.4: La représentation du graphe d’une fonction.

π 2

P(α)

2π

3π 2

-1

Figure 2.5: La construction point par point du graphe de la fonction sin.

Le graphe du sinus a donc l’allure suivante : y

y = sin α

− π2

π 2

3π 2

2π

5π 2

3π

7π 2

4π

-1

Les points remarquables sont :

● les zéros du sinus : le sinus s’annule pour α = 0 mod π ;

● les maximums du sinus : le sinus prend la valeur maximale 1 lorsque α = π2 mod 2π ;

● les minimums du sinus : le sinus prend la valeur minimale −1 lorsque α = − π2 mod 2π.

● la monotonie : le sinus est monotone croissant pour α ∈ [−π�2, π�2], monotone décroissant pour α ∈ [π�2, 3π�2], monotone croissant pour α ∈ [3π�2, 5π�2], etc. Nous reviendrons sur ce point plus tard avec l’outil de la dérivée. Nous verrons au chapitre 8 que le graphe du sinus traverse l’axe des α avec des pentes de ±1.

Figure 2.6: Le graphe du sinus avec quelques points remarquables.

2.1. LES FONCTIONS SINUS ET COSINUS

Le graphe de la fonction cosinus La construction du graphe de la fonction cosinus se fait de façon similaire. Cependant, afin de pouvoir reporter plus facilement les valeurs de cos α, on utilise un miroir placé à 45○ sous le cercle trigonométrique, transformant l’axe des x horizontal en axe vertical. La construction d’un point (α, cos α) du graphe Gcos se fait de façon analogue à celle de la détermination d’un point du graphe du sinus. Pour toute valeur réelle de α, on détermine le point P(α) sur le cercle trigonométrique ; on reporte alors, à l’aide du miroir, l’abscisse de ce point comme valeur de la fonction cos au-dessus du point α sur le système d’axes αx.

y 1

P(α)

x 1

π 2

3π 2

2π

miroir

-1 Figure 2.7: La construction point par point du graphe Gcos .

Le graphe du cosinus a donc l’allure suivante : x 1

− π2

x = cos α π 2

3π 2

2π

5π 2

4π

Figure 2.8: Le graphe du cosinus avec quelques points remarquables.

● les zéros du cosinus : le cosinus s’annule pour α =

π 2

mod π ;

● les maximums du cosinus : le cosinus prend la valeur maximale 1 lorsque α = 0 mod 2π ; ● les minimums du cosinus : le cosinus prend la valeur minimale −1 lorsque α = π mod 2π.

● la monotonie : le cosinus est monotone décroissant pour α ∈ [0, π], monotone croissant pour α ∈ [π, 2π], monotone décroissant pour α ∈ [2π, 3π], etc. Nous reviendrons sur ce point plus tard avec l’outil de la dérivée. Nous verrons au chapitre 8 que le graphe du cosinus traverse l’axe des α avec des pentes de ±1. !"!

7π 2

-1

Les points remarquables sont :

2.1.3

3π

Les symétries des fonctions sinus et cosinus

Rappel sur les fonctions périodiques f ∶ D f → R,

est T-périodique (avec T > 0) si

Rappelons qu’une fonction x � f (x)

CHAPITRE 2. SINUS ET COSINUS

● son domaine de définition D f est T-périodique dans le sens que ∀x ∈ R,

x ∈ D f �⇒ x + T ∈ D f ;

● la fonction f prend la même valeur en x et en x + T : ∀x ∈ D f ,

f (x) = f (x + T).

Remarquons que ces deux conditions peuvent également être formulées de la façon suivante : ● ∀x ∈ R, x ∈ D f �⇒ x − T ∈ D f et ● ∀x ∈ D f ,

f (x) = f (x − T). y

y = f (x)

f (x0 ) −T

x0 − T

x0 + T

x0 + 2T

x0 + 3T

Df x

Figure 2.9: Une fonction T-périodique.

Proposition 2.2. Toute fonction f ∶ D f → R, x � f (x) T-périodique (avec T > 0) est également (n T)-périodique pour tout n ∈ {1, 2, 3, . . .} : ∀x ∈ R, x ∈ D f �⇒ x + n T ∈ D f et x ∈ D f �⇒ f (x) = f (x + n T).

Démonstration. Pour n = 3 par exemple, on peut conclure comme suit :

● x ∈ D f �⇒ x + T ∈ D f �⇒ (x + T) + T ∈ D f �⇒ [(x + T) + T] + T ∈ D f , donc x ∈ D f �⇒ x + 3 T ∈ D f ;

● x ∈ D f �⇒ f (x) = f (x + T) �⇒ f (x) = f (x + T) = f ((x + T) + T) �⇒ f (x) = f ((x + T) + T) = f ([(x + T) + T] + T), donc x ∈ D f �⇒ f (x) = f (x + 3 T).

Un argument similaire permet de conclure pour toute autre valeur de n. De la définition d’une fonction périodique découle immédiatement le résultat que voici : Proposition 2.3. Une fonction f ∶ D f → R,

x � f (x)

est T-périodique (avec T > 0) si et seulement si son graphe G f reste invariant par une translation de T unités en direction de l’axe des x. Nous dirons d’une fonction périodique que T est sa période si cette fonction est T-périodique, mais qu’elle n’est pas T ′ -périodique pour tout T ′ ∈ ]0, T[. 4

4. Formellement, on regroupe dans un ensemble A toutes les valeurs de T > 0, pour lesquelles la fonction considérée est T-périodique. La période de cette fonction est alors inf A, pour autant que ce nombre soit strictement positif. Remarquons que la fonction constante est T-périodique, pour tout T > 0, si bien que A =]0, +∞[ ; mais cette fonction n’a pas de période !

2.1. LES FONCTIONS SINUS ET COSINUS

Périodicité du sinus et du cosinus Nous avons déjà mentionné le fait que P(α) = P(β) ⇐⇒ ∃k ∈ Z avec β = α + k ⋅ 2π.

Il en découle que les fonctions sinus et cosinus sont 2π-périodiques.

Proposition 2.4. Les fonctions sin ∶ R → R,

cos ∶ R → R,

α � sin α

α � cos α

sont 2π-périodiques de période 2π. On a donc

sin α = sin(α + 2π) (α ∈ R) cos α = cos(α + 2π) (α ∈ R).

Sur la figure 2.10 nous avons donné une interprétation géométrique de la périodicité de la fonction sinus.

y 1 -1

y = sin α

2π π 2

3π 2

2π

Figure 2.10: Le sinus est périodique ; sa période est de 2π.

5π 2

2π-

Démonstration. Il reste à démontrer que le sinus et le cosinus ne peuvent pas être T-périodiques avec un T ∈ ]0, 2π[. Ce fait découle immédiatement du graphe du sinus et de celui du cosinus, puisqu’il n’existe aucune translation de T ∈ ]0, 2π[ en direction de l’axe des α qui transporte un maximum vers un autre maximum. Rappel sur la parité d’une fonction

est paire si

f ∶ D f → R,

∀x ∈ R,

f (x0 )

x � f (x)

● son domaine de définition est symétrique dans le sens que x ∈ D f �⇒ −x ∈ D f ;

(le lecteur trouvera une interprétation géométrique de la parité d’une fonction sur la figure 2.11)

−x0

Cette fonction f est impaire si ∀x ∈ R,

x ∈ D f �⇒ −x ∈ D f ;

● la fonction f prend les mêmes valeurs au signe près en x et en −x : ∀x ∈ D f ,

f (x) = f (−x).

● son domaine de définition est symétrique dans le sens que

f (x) = − f (−x).

L’interprétation de cette propriété est donnée sur la figure 2.12.

Figure 2.11: Graphe d’une fonction paire.

● la fonction f prend les mêmes valeurs en x et −x : ∀x ∈ D f ,

y = f (x)

Rappelons qu’une fonction

− f (x0 ) −x0

x0 x

O f (x0 )

y = f (x)

Figure 2.12: Graphe d’une fonction impaire.

3π

CHAPITRE 2. SINUS ET COSINUS

Remarquons que cette dernière condition peut également s’écrire ∀x ∈ D f ,

− f (x) = f (−x).

Le résultat suivant découle immédiatement de la définition cidessus. Proposition 2.5. Une fonction f ∶ D f → R,

x � y = f (x)

est paire si et seulement si son graphe G f = {(x, y) ∶ x ∈ D f , y = f (x)} possède une symétrie d’axe y. Cette fonction est impaire si et seulement si son graphe possède une symétrie de centre O, où O désigne l’origine du système d’axes xy.

Remarquons que, pour une fonction impaire, on a f (0) = 0 dès que 0 ∈ D f . Cela découle du fait que f (0) = f (−0) = − f (0).

P(α)

Parité des fonctions sinus et cosinus Nous avons déjà mentionné que les points P(α) et P(−α) sont liés par une symétrie d’axe x sur le cercle trigonométrique (fig. 2.13). De ce fait cos(α) = cos(−α)

Nous obtenons donc :

sin α = − sin(−α)

(α ∈ R).

Proposition 2.6. La fonction sin ∶ R → R,

α � y = sin α

est impaire. De ce fait, le graphe Gsin possède une symétrie de centre O, où O est l’origine du système d’axes αy. On a donc sin(−α) = − sin α

(α ∈ R).

L’interprétation sur le graphe de la fonction sinus est donnée sur la figure 2.14. La fonction cos ∶ R → R,

α � x = cos α

quant à elle, est paire. De ce fait, le graphe Gcos possède une symétrie d’axe x (fig. 2.15). On a donc cos α = cos(−α)

(α ∈ R).

y y(α)

x(α)

x(−α)

P(−α)

y(−α)

Figure 2.13: Les points P(α) et P(−α) sur le cercle trigonométrique.

2.1. LES FONCTIONS SINUS ET COSINUS

−2π

−π

− 3π 2

1 sin α0

−α0

− π2

O -1

− sin α0

α0

π 2

y = sin α

2π

3π 2

Figure 2.14: La fonction impaire sin. x 1

−2π

−π

− 3π 2

−α0

x = cos α

α0 − π2

cos α0 -1

π 2

2π

3π 2

Figure 2.15: La fonction paire cos.

La complémentarité du sinus et du cosinus Nous appelons deux angles α et β ∈ R complémentaires si leur somme vaut π�2. Sur le cercle trigonométrique, les points correspondants P(α) et P(β) sont symétriques par rapport à l’axe y = x (fig. 2.16). En effet, si on pose β−α γ ∶= , 2 les angles α et β sont des solutions du système �

α +β=π�2 −α+β= 2γ.

En faisant la différence et la somme de ces équations, on obtient

Comme

α = π�4 − γ

x(α) = y(β)

β = π�4 + γ.

y(α) = x(β),

on obtient le résultat suivant :

Proposition 2.7. Si les angles α et β ∈ R sont tels que (angles complémentaires), alors

On a donc

α+β =

π 2

sin α = cos β cos α = sin β. sin �

π − α� = cos α 2 π cos � − α� = sin α 2

(α ∈ R) (α ∈ R)

y y( π 2

−α)

P( π2 −α) γ

y(α) x( π −α) 2

−γ

y=x P(α)

x(α)

Figure 2.16: La position de P(α) et de P(β) si α + β = π�2.

CHAPITRE 2. SINUS ET COSINUS

ou, sous une forme plus symétrique,

x y

π π sin � + γ� = cos � − γ� 4 4

(γ ∈ R).

L’interprétation de ces relations sur le graphe des fonctions sinus et cosinus est donnée à la figure 2.17.

Le sinus et le cosinus pour les angles supplémentaires Nous appelons deux angles α et β ∈ R supplémentaires si leur somme vaut π. Sur le cercle trigonométrique, les points correspondants P(α) et P(β) sont symétriques par rapport à l’axe des y. Nous renvoyons ici le lecteur à la figure 2.18 En effet, si on pose β−α γ ∶= , 2 les angles α et β sont des solutions du système �

− π2

−γ

γ y = sin α

-1

π 4

Figure 2.17: La relation sin � π4 + γ� = cos � π4 − γ� les graphes Gsin et Gcos .

π α

π 2 π −α 2

x = cos α

(γ ∈ R) sur

y P(π−α)

γ y(π−α)

y(α)

x(π−α)

−γ

P(α)

x(α)

α +β= π −α+β=2γ.

En faisant la différence et la somme de ces équations, on obtient

Comme

α = π�2 − γ

β = π�2 + γ.

x(α) = −x(β)

y(α) = y(β)

on obtient le résultat suivant.

Proposition 2.8. Si les angles α et β ∈ R sont tels que (angles supplémentaires), alors

On a donc

α+β = π

sin α = sin β cos α = − cos β.

sin (π − α) = sin α

cos (π − α) = − cos α

ou, sous une forme plus symétrique,

sin � π2 + γ� = sin � π2 − γ� cos � π2

+ γ� =

− cos � π2

− γ�

Figure 2.18: La position de P(α) et de P(β) si α + β = π (avec γ > 0). y 1

-1

−γ

y = sin α π

(α ∈ R) (γ ∈ R)

(γ ∈ R).

Pour une interprétation de ces relations sur les graphes du sinus et du cosinus, le lecteur pourra consulter les figures 2.19 et 2.20.

π−α

π 2

Figure 2.19: La relation sin � π2 + γ� = sin � π2 − γ� symétrie axiale de Gsin .

(α ∈ R)

(γ ∈ R) et la

x 1 γ

-1

−γ

π−α

π π 2

x = cos α

Figure 2.20: La relation cos � π2 + γ� = − cos � π2 − γ� (γ ∈ R) et la symétrie centrale de Gcos .

2.2. TRIANGLE RECTANGLE : PREMIÈRE APPROCHE

Remarquons que, sur les graphes, ces relations s’interprètent de la façon suivante : ● Gsin est symétrique par rapport à l’axe α = π�2 ;

● Gcos est symétrique par rapport au centre (π�2, 0).

Autres symétries du sinus et du cosinus Il s’avère que toutes les symétries «apparentes» des graphes Gsin et Gcos sont des symétries réelles contenant des relations intéressantes. Nous illustrons ce fait par un exemple. Si on considère le graphe de la fonction cosinus, ce graphe semble posséder une symétrie d’axe α = 3π. x

−γ

π 2

-1

3π 2

2π

3π

5π 2

7π 2

4π

6π

11π 2

Figure 2.21: Le graphe Gcos semble posséder une symétrie d’axe α = 3π.

(γ ∈ R).

Si on pose α = 3π − γ et β = 3π + γ, on obtient α + β = 6π. La relation ci-dessus s’écrit donc cos(α) = cos(6π − α)

5π

9π 2

6π−α

Une telle symétrie s’exprime par la relation cos(3π − γ) = cos(3π + γ)

x = cos α

(α ∈ R).

y P(3π−γ) −γ

x(3π−γ)

On peut vérifier sur le cercle trigonométrique donné à la figure 2.22 qu’une telle relation est bien correcte ! Remarque 2.9. On peut obtenir les relations ci-dessus en utilisant la périodicité et la parité de la fonction cosinus. C’est ainsi qu’on a, par exemple, cos(6π − α) = cos(−α) = cos(α).

y(3π−γ)

x(3π+γ)

γ y(3π+γ)

P(3π+γ)

Figure 2.22: La relation cos(3π − γ) = cos(3π + γ) (γ ∈ R) sur le cercle trigonométrique.

Nous laissons le soin au lecteur de confirmer sur le graphe des fonctions, sur le cercle trigonométrique et par un calcul direct que

L’utilisation du sinus et du cosinus dans les calculs de triangles rectangles

Considérons un triangle rectangle ABC, l’angle droit étant situé en C. Plaçons, comme mesure de l’angle α, un cercle trigonométrique en A. Nous renvoyons le lecteur à la figure 2.23.

100

110

120

♣

B′ α

170

!"#

160 150

2.2

(α ∈ R).

cos(π + α) = − cos(α)

(α ∈ R)

sin(π + α) = − sin(α)

C′

C x

Figure 2.23: Un triangle ABC rectangle en C avec une mesure d’angle α sous la forme d’un (demi-)cercle trigonométrique (de rayon 1) en A.

CHAPITRE 2. SINUS ET COSINUS

Comme une homothétie de centre A conserve les proportions, nous avons sin α =

B′ C′ B′ C′ BC cathète opposée à l’angle α = = = . 1 hypothénuse AB′ AB

cos α =

AC′ AC′ AC cathète adjacente à l’angle α = = = . 1 hypothénuse AB′ AB

Dans cette relation, nous notons AB la longueur du segment AB, AB′ la longueur du segment AB′ , . . . . De façon similaire on a

Nous obtenons donc la proposition suivante :

α A

80 90

100 110

C′

170

120 0

Ces relations permettent de déterminer les grandeurs manquantes d’un triangle rectangle.

160 150

a cathète adjacente à l’angle β = . c hypothénuse

A′

cos β =

30 40

b cathète adjacente à l’angle α = . c hypothénuse

b cathète opposée à l’angle β = c hypothénuse

Figure 2.24: Le triangle ABC avec les notations «standard» pour les côtés et les angles.

Pour l’angle β, ces relations s’écrivent (fig. 2.25) sin β =

cos α =

Proposition 2.10. Considérons un triangle ABC rectangle en C. Appelons α l’angle (intérieur, orienté positif) au point A, β l’angle (intérieur, orienté positif) au point B et γ l’angle droit (intérieur, orienté positif) au point C. Soit a la longueur du segment BC (donc de la cathète opposée à l’angle α), b la longueur du segment AC (donc de la cathète adjacente à l’angle α) et c la longueur de l’hypothénuse AB (donc du segment opposé au point C). Nous renvoyons le lecteur à la figure 2.24. Alors a cathète opposée à l’angle α sin α = = c hypothénuse

β A

Figure 2.25: Un triangle ABC rectangle en C avec une mesure d’angle β sous la forme d’un (demi-)cercle trigonométrique (de rayon 1) en B.

Exemple 2.1. Supposons données, dans un triangle ABC rectangle en C, la longueur de l’hypothénuse c et la valeur de l’angle α en A : c = 12.6

α = 38○ .

La détermination de l’angle β en B est immédiate : β = 90○ − α = 52○ . Nous pouvons également déterminer la valeur des cathètes a (opposée au point A) et b (opposée au point B). Nous obtenons 5 a = c ⋅ sin α = 12.6 × sin 38○ ≈ 12.6 × 0.615661475 ≈ 7.76

5. Nous entendons par sin ϕ○ toujours la valeur π ○ sin � ϕ �. 180○ Une convention similaire est faite pour le cosinus.

2.2. TRIANGLE RECTANGLE : PREMIÈRE APPROCHE

b = c ⋅ cos α = 12.6 × cos 38○ ≈ 12.6 × 0.788010754 ≈ 9.93.

Considérons un triangle isocèle ABC, rectangle en C, tel que donné sur la figure 2.26 : les deux cathètes a (opposée à A) et b (opposée B) sont donc de même longueur, disons p. Supposons que l’hypothénuse c vaut 1. Remarquons que les deux angles α (en A) et β (en B) sont égaux, et π α=β= . 4 En outre, grâce au théorème de Pythagore, on a √ 1 2 2 2 p + p = 1, c.-à-d. p = √ = . 2 2 √ √ a 2�2 2 sin α = = = c 1 2

Donc

B π 4

c=1 π 4

a= √ 2 2

√ 2 2

Figure 2.26: Le triangle rectangle isocèle, avec une hypothénuse c de longueur 1.

√ √ b 2�2 2 = = . c 1 2 Nous retenons donc la proposition suivante : et

cos α =

Proposition 2.11. On a

√ π π 2 sin = cos = . 4 4 2

Considérons à présent un triangle équilatéral ABC donné sur la figure 2.27 et où tous les côtés ont une longueur 1. Notons que les trois angles α (situé en A), β (situé en B) et γ (situé en C) sont égaux : α=β=γ=

π . 3

Le théorème de Pythagore permet de déterminer la longueur de la hauteur h : � � √ � 1 2 3 3 � 2 h= 1 −� � = = . 2 4 2 On obtient alors

π a�2 1 sin = = 6 b 2 √ π h 3 sin = = 3 b 2

et et

√ π h 3 cos = = 6 b 2 π a�2 1 cos = = . 3 b 2

En combinant ces résultats avec les résultats obtenus pour π�4, on a : Proposition 2.12 (Valeurs remarquables du sinus et du cosinus). Le sinus et le cosinus prennent les valeurs suivantes pour des angles dits remarquables :

b=1 π 6 π 6

c=1

a 1 = 2 2

π 3

h π 3

a 1 = 2 2

Figure 2.27: Le triangle équilatéral, où tous les côtés ont une longueur de 1.

CHAPITRE 2. SINUS ET COSINUS

0○ sin

cos

π 6

π 4

30○

45○ √ 2 2 √ 2 2

1 2 √ 3 2

π 3

60○ √ 3 2 1 2

π 2

90○ 1 0

Exemple 2.2. Supposons données, dans un triangle ABC rectangle en C, la valeur de l’angle α en A et la longueur de la cathète a opposée à cet angle : a = 232 et α = 72○ . Si on veut déterminer la longueur de la cathète b adjacente à l’angle α, il faut d’abord déterminer la longueur de l’hypothénuse c : c=

On obtient ensuite 6 b = c ⋅ cos α = a ⋅

6. On voit apparaître ici pour la première fois l’expression

a . sin α

cos α . sin α Nous allons définir au chapitre suivant les quotients

cos α cos α 0.309016994 = 232 × ≈ 232 × ≈ 75.38. sin α sin α 0.951056516

tan α ∶=

cot α ∶=

sin α cos α cos α . sin α

Exemple 2.3. Supposons données, dans un triangle ABC rectangle en C, la longueur des deux cathètes a (la cathète opposée à A) et b (la cathète opposée à B) : et

b = 8.7.

Déterminons la valeur de l’angle α situé en A. A cet effet, commençons par déterminer la longueur de l’hypothénuse c : � c = a2 + b2 . On obtient ensuite sin α =

y P(α) 0.820771346462

sin α

a = 12.5

(1, 0)

a a 12.5 =√ =√ ≈ 0.820771346462. 2 2 c 12.52 + 8.72 a +b

Il faut donc trouver un angle α ∈ [0, π2 ] dont on connaît le sinus. Une analyse de la situation sur le cercle trigonométrique (fig. 2.28) permet de conclure qu’il existe exactement un tel angle α ; exprimé en radians, cet angle s’écrit (par définition) 7 α = arcsin � √

a2 + b2

� ≈ 0.962759973994.

Exprimé en degrés, selon l’usage courant en géométrie, on obtient donc 180○ a α= arcsin � √ � ≈ 55.16○ . π a2 + b2

Figure 2.28: La détermination, sur le cercle trigonométrique, de l’angle α ∈ √ [0, π�2] avec sin α = 12.5� 12.52 + 8.72 . 7. arcsin x signifie l’arc dont le sinus vaut x.

2.3. EQUATIONS TRIGONOMÉTRIQUES SIMPLES

Si nous tirons un bilan des exemples précédents, nous constatons que 1. il nous manque encore des outils trigonométriques comme tan α =

et que

sin α cos α

cot α =

cos α , sin α

2. il nous manque une analyse d’équations du type sin α = k

où k est une constante réelle donnée.

cos α = k,

Nous allons à présent aborder le second point. Nous donnerons la définition des fonctions trigonométriques tan et cot dans le chapitre suivant.

2.3 !"#

2.3.1

y P(π − α)

P(α)

−α

y = .7

(1, 0)

Les équations trigonométriques simples en sin et cos L’équation sin α = y

Considérons l’équation

sin α = y,

où y ∈ R est une constante donnée et où α ∈ R est la grandeur recherchée. On peut donc formuler notre problème sous la forme suivante : Donné : Recherché :

y∈R

toutes les valeurs de α ∈ R telles que sin α = y.

Si on interprète ce problème sur le cercle trigonométrique (fig. 2.29), on obtient immédiatement le résultat suivant :

Recherché :

a la solution suivante :

P(π − α)

P(α)

y = −.8

Figure 2.29: L’interprétation de l’équation sin α = y sur le cercle trigonométrique pour différentes valeurs du paramètre y.

y∈R

toutes les valeurs de α ∈ R telles que sin α = y.

● Si, comme sur la figure 2.30, on a y < −1, alors il n’existe aucun α ∈ R qui soit solution de ce problème. L’ensemble S de toutes les solutions est donc vide : S = �. ● Si y = −1 (fig. 2.31), toutes les solutions sont données par π − + k 2π, 2

(k ∈ Z).

L’ensemble S de toutes les solutions est donc donné par S = �−

Proposition 2.13. Le problème Donné :

−α

(1, 0)

π + k 2π ∶ k ∈ Z� 2

(1, 0) x y = −1.3

Figure 2.30: Le cas y < −1 : pas de solutions. y (1, 0) x y = −1

Figure 2.31: Le cas y = −1 : une famille infinie de solutions

CHAPITRE 2. SINUS ET COSINUS y

ou (dans une autre notation) S = �α ∈ R ∶ α = −

π 2

mod 2π� .

(1, 0) x

● Si −1 < y < 1, tel que nous l’indiquons à la figure 2.32, toutes les solutions sont données par

arcsin(y) + k 2π

(k ∈ Z)

π − arcsin(y) + k 2π

y = .7

(1, 0) x

(k ∈ Z).

Ici, arcsin(y) désigne l’unique solution de l’équation sin α = y appartenant à l’intervalle [−π�2, π�2]. L’ensemble S de toutes les solutions est donc donné par

S = {arcsin(y) + k 2π ∶ k ∈ Z} ∪ {π − arcsin(y) + k 2π ∶ k ∈ Z}

ou (dans une autre notation)

Figure 2.32: Le cas −1 < y < 1 : une double famille infinie de solutions.

S = {α ∈ R ∶ α = arcsin(y) mod 2π}

π + k 2π, 2

(k ∈ Z).

L’ensemble S de toutes les solutions est donc donné par S=�

ou (dans une autre notation)

π + k 2π ∶ k ∈ Z� 2

π S = �α ∈ R ∶ α = 2

mod 2π� .

● Si y > 1 (fig. 2.34), alors il n’existe aucun α ∈ R qui soit solution de ce problème. L’ensemble S de toutes les solutions est donc vide : S = �. Formulons encore, dans une définition, le sens exact de arcsin. Définition 2.2. La fonction arcsinus est la fonction arcsin ∶ [−1, 1] → [−π�2, π�2],

y � arcsin y

qui, à toute valeur y ∈ [−1, 1] donnée, fait correspondre l’unique angle α ∈ [−π�2, π�2] avec sin α = y.

y=1

(1, 0) x

∪ {α ∈ R ∶ α = π − arcsin(y) mod 2π} .

● Si y = 1 (fig. 2.33), toutes les solutions sont données par

y = −.8

Figure 2.33: Le cas y = 1 : une famille infinie de solutions.

y = 1.2

(1, 0) x

Figure 2.34: Le cas y > 1 : pas de solutions.

2.3. EQUATIONS TRIGONOMÉTRIQUES SIMPLES

Remarque 2.14. On a donc sin(arcsin y) = y,

arcsin(sin α) = α,

∀y ∈ [−1, 1]

∀α ∈ [−π�2, π�2].

Nous appelons un angle α un bon angle pour sin si 8 α ∈ [−π�2, π�2]. Les bons angles pour sin sont donc exactement les angles rendus par la fonction arcsin. La relation arcsin(sin α) = α est donc valable exactement si α est un bon angle pour le sinus. ♣ Exemple 2.4. Puisque arcsin 0 = 0, l’équation sin α = 0

a la solution S

= {0 + k 2π ∶ k ∈ Z} ∪ {π − 0 + k 2π ∶ k ∈ Z} = {k 2π ∶ k ∈ Z} ∪ {π + k 2π ∶ k ∈ Z}

ou, de façon plus compacte,

8. Le choix de l’intervalle [−π�2, π�2]

est certes arbitraire, mais il est aussi conventionnel. Cela signifie que d’autres choix seraient possibles, mais que le choix présenté ici est le choix accepté universellement. Remarquons que ce choix contient les angles de l’intervalle [0, π�2].

(1, 0)

S = {k π ∶ k ∈ Z}

ou (dans une autre notation)

S = {α ∈ R ∶ α = 0 mod π}.

La position des solutions est représentée à la figure 2.35.

Exemple 2.5. Puisque arcsin 12 =

π 6

l’équation

2 sin(3α − 1) = 1

a comme solutions 3α − 1 =

π 6,

mod 2π

● Dans le premier cas, on obtient 3α − 1 3α α

3α − 1 = π −

π + k 2π 6 π + 1 + k 2π 6 π 1 2π + +k , 18 3 3

π−

mod 2π.

(k ∈ Z).

● Dans le second cas, un calcul similaire donne 3α − 1

π 6

π 5π + k 2π = + k 2π 6 6 5π 1 2π + +k , (k ∈ Z). 18 3 3

Figure 2.35: La position (en rouge) des solutions de l’équation sin α = 0 sur le cercle trigonométrique.

CHAPITRE 2. SINUS ET COSINUS y

L’ensemble solution S est donc donné par π 1 2π 5π 1 2π + +k ∶ k ∈ Z� ∪ � + +k ∶ k ∈ Z� 18 3 3 18 3 3 ou, sous une forme quelque peu différente, S=�

S = �α ∈ R ∶ α =

π 1 + 18 3

mod

2π � 3

5π 1 2π + mod �. 18 3 3 La position des solutions est représentée sur la figure 2.36. ∪ �α ∈ R ∶ α =

Exemple 2.6. Déterminer tous les angles α ∈ R qui satisfont le système �

4π − 3 < 9

2 1 − 3 2π ��

≈0.5075117236

π 1 2π + +k 18 3 3 k

2π 3

<π < <

17π − 6 18

17 1 − . 12 2π ��

≈1.2575117236

Il faut donc choisir k = 1, et la solution correspondante est α=

π 1 2π 13π + 6 + + = . 18 3 3 18

1 2π Dans le cas où α = 5π 18 + 3 mod 3 , la seconde contrainte ne pourra pas être remplie. Un calcul confirme cette conclusion qui ressort de la figure 2.37. En effet

π < 2

2π − 3 < 9

1 1 − 3 2π ��

≈0.1741783902

Figure 2.36: La position (en rouge et en bleu) des solutions de l’équation 2 sin(3α − 1) = 1 sur le cercle trigonométrique.

2 sin (3α − 1) = 1 π 2 < α < π.

Dans l’exemple précédent, nous avons trouvé tous les angles α qui satisfont la première équation de notre système. Nous avons trouvé que π 1 2π α= + +k , (k ∈ Z) 18 3 3 ou 5π 1 2π α= + +k , (k ∈ Z). 18 3 3 Il faut filtrer parmi ces solutions celles qui satisfont la relation π 2 < α < π, qui élimine d’office tous les candidats qui ne sont pas dans le deuxième quadrant (fig. 2.37). π Dans le cas où α = 18 + 13 mod 2π 3 , la seconde contrainte de notre système s’écrit successivement π < 2

(1, 0)

5π 1 2π + +k 18 3 3 k

2π 3 k

<π < <

13π − 6 18

13 1 − . 12 2π �� ≈0.92

(1, 0)

Figure 2.37: La position (en rouge et en bleu) des solutions de l’équation 2 sin(3α − 1) = 1 sur le cercle trigonométrique : seuls les candidats dans le deuxième quadrant peuvent remplir la seconde relation π2 < α < π. On peut donc s’attendre (au mieux) à exactement une solution.

2.3. EQUATIONS TRIGONOMÉTRIQUES SIMPLES

Il n’existe donc pas de solutions dans ce cas. L’ensemble de toutes les solutions de notre système est donc (fig. 2.38) S=�

13π + 6 �. 18

(1, 0)

Exemple 2.7. Déterminer tous les angles α ∈ R qui satisfont le système � � � sin � α2 − 3� = � π π � � � −2 <α< 2.

√ 3 2

La première équation de ce système donne pour l’angle β ∶= et

β=

π + k 2π 3

pour k ∈ Z

α 2

−3 :

π 2π + k 2π = + k 2π, pour k ∈ Z. 3 3 Dans le premier cas où β = π3 + k 2π, cela nous donne β=π− α 2

= 3+

π + k 2π 3 2π = 6+ + k 4π, 3

(k ∈ Z).

La seconde contrainte dans notre système s’écrit donc successivement π π − < 6 + 2π + k 4π < 3 2 2 π 2π π 2π − −6− < k 4π < −6− 2 3 2 3 7π π −6 − < k 4π < − −6 6 6 3 7 1 3 − − < k < − − . 2π 24 24 2π �� ≈−0.769131496

≈−0.519131496

Or il n’existe aucun tel élément k ∈ Z. Dans le second cas où β = 2π 3 + k 2π, cela nous donne α 2

2π + k 2π 3 4π = 6+ + k 4π, 3 = 3+

(k ∈ Z).

La seconde contrainte dans notre système s’écrit cette fois-ci successivement π π − < 6 + 4π + k 4π < 3 2 2 π 4π π 4π − −6− < k 4π < −6− 2 3 2 3 11π 5π −6 − < k 4π <− −6 6 6 3 11 5 3 − − < k < − − . 2π 24 24 2π �� ≈−0.9357981626

≈−0.6857981626

Figure 2.38: La position de l’unique solution du système en question sur le cercle trigonométrique.

CHAPITRE 2. SINUS ET COSINUS

A nouveau, il n’existe aucun tel k ∈ Z. Notre système n’a donc pas de solutions !

x = .7

P(α)

2.3.2

L’équation cos α = x

Considérons à présent l’équation

où x ∈ R est une constante donnée et où α ∈ R est la grandeur recherchée. On peut donc formuler notre problème sous la forme suivante :

x = −.8

toutes les valeurs de α ∈ R telles que cos α = x.

Si on interprète ce problème sur le cercle trigonométrique de la figure 2.39, on obtient immédiatement le résultat suivant : Proposition 2.15. Le problème Donné : Recherché :

a la solution suivante :

x∈R

toutes les valeurs de α ∈ R telles que cos α = x.

● Si, comme dans la figure 2.40, x < −1, alors il n’existe aucun α ∈ R qui soit solution de ce problème. L’ensemble S de toutes les solutions est donc vide : S = �. ● Si x = −1 (fig. 2.41), toutes les solutions sont données par π + k 2π,

(k ∈ Z).

L’ensemble de toutes les solutions S est donc donné par S = {(1 + 2k)π ∶ k ∈ Z}

P(α) α

x∈R

Recherché :

P(−α)

cos α = x,

Donné :

(1, 0)

P(−α)

Figure 2.39: L’interprétation de l’équation cos α = x sur le cercle trigonométrique pour différentes valeurs du paramètre x. x = −1.3

y (1, 0) x

Figure 2.40: Le cas x < −1 : pas de solutions. x = −1

y (1, 0) x

ou (dans une autre notation)

S = {α ∈ R ∶ α = π mod 2π} .

● Si −1 < x < 1 (fig. 2.42), toutes les solutions sont données par et

arccos(x) + k 2π

− arccos(x) + k 2π

(k ∈ Z)

(k ∈ Z).

Ici, arccos(x) désigne l’unique solution de l’équation cos α = x appartenant à l’intervalle [0, π].

Figure 2.41: Le cas x = −1 : une famille infinie de solutions.

2.3. EQUATIONS TRIGONOMÉTRIQUES SIMPLES

L’ensemble S de toutes les solutions est donc donné par S = {± arccos(x) + k 2π ∶ k ∈ Z}

x = −.8

y (1, 0) x

ou (dans une autre notation)

S = {α ∈ R ∶ α = ± arccos(x) mod 2π} .

● Si, comme dans la figure 2.43, x = 1, toutes les solutions sont données par k 2π,

y x = .7 (1, 0) x

(k ∈ Z)

l’ensemble S de toutes les solutions est donc donné par S = {k 2π ∶ k ∈ Z}

ou (dans une autre notation)

Figure 2.42: Le cas −1 < x < 1 : une double famille infinie de solutions. y

S = {α ∈ R ∶ α = 0 mod 2π} .

● Si x > 1 (fig. 2.44), alors il n’existe aucun α ∈ R qui soit solution de ce problème. L’ensemble S de toutes les solutions est donc vide : S = �. Formulons, dans une définition, le sens exact de arccos.

(1, 0) x

Figure 2.43: Le cas x = 1 : une famille infinie de solutions. y

Définition 2.3. La fonction arccosinus est la fonction arccos ∶ [−1, 1] → [0, π],

cos α = x.

Figure 2.44: Le cas x > 1 : pas de solutions. 9. Le choix de l’intervalle [0, π]

Remarque 2.16. On a donc

x = 1.2

(1, 0) x

x � arccos x

qui, à toute valeur x ∈ [−1, 1] donnée, fait correspondre l’unique angle α ∈ [0, π] avec

x=1

cos(arccos x) = x,

∀x ∈ [−1, 1]

arccos(cos α) = α,

∀α ∈ [0, π].

Nous appelons un angle α un bon angle pour cos si 9 α ∈ [0, π]. Les bons angles pour cos sont donc exactement les angles rendus par la fonction arccos. La relation arccos(cos α) = α est donc valable exactement si α est un bon angle pour le cosinus 10 . ♣

est à nouveau arbitraire, mais il est aussi conventionnel. Cela signifie, que d’autres choix seraient possibles, mais que le choix présenté ici est le choix accepté universellement. Comme pour arcsin, ce choix donne une plage maximale contenant l’angle 0. Remarquons qu’un choix commun pour arcsin et arccos n’est pas possible ! 10. Par la suite, nous noterons la fonction arccos en remplaçant x par y, afin d’obtenir une notation uniforme pour les fonctions inverses. Nous noterons donc y � α = arccos y.

CHAPITRE 2. SINUS ET COSINUS

2.4 !"#

2.4.1

Le graphe des fonctions arcsin et arccos Le graphe de la fonction arcsin

Nous avons défini, pour y ∈ [−1, 1] donné, la valeur arcsin y comme l’angle α unique ayant les propriétés suivantes :

● sin α = y et

● cet angle α est bon angle pour sin, c.-à-d. , α ∈ [− π2 , π2 ].

En langage fonctionnel, cela revient à dire que arcsin est la fonction réciproque de la fonction sin �[−π�2,π�2] ; on désigne ici par sin �[−π�2,π�2] la restriction de la fonction sinus à l’intervalle [−π�2, π�2]. Nous revoyons le lecteur à la figure 2.45 pour le graphe de cette restriction. De ce fait, le graphe (fig. 2.46) de la fonction arcsin ∶ [−1, 1] → [−π�2, π�2],

−1

− π2

arcsin y 2.4.2

√ 3 2 − π3

−

√ 2 2 − π4

−

− 12

− π6

0 0

1 2 π 6

√ 2 2 π 4

√ 3 2 π 3

− π2

π 2

-1

Figure 2.45: Le graphe de la fonction sin �[−π�2,π�2] . α

α = arcsin y

π 2

y � arcsin y

s’obtient à partir de celui de sin �[−π�2,π�2] par une symétrie d’axe y = α. Remarquons que le graphe de la fonction arcsin a une pente «verticale» pour y = ±1. En outre, comme nous le verrons plus tard, ce graphe coupe l’axe des y avec une pente de 1. Mentionnons encore les valeurs remarquables :

y = sin α

y 1

-1

− π2

Figure 2.46: Le graphe de la fonction arcsin dans un système d’axes yα.

1 π 2 1

Le graphe de la fonction arccos

Nous avons défini, pour x ∈ [−1, 1] donné, la valeur arccos x comme l’angle α unique ayant les propriétés suivantes :

● cos α = x et

● cet angle α est bon angle pour cos, c.-à-d. , α ∈ [0, π].

En langage fonctionnel, cela revient à dire que arccos est la fonction réciproque de la fonction cos �[0,π] ; on désigne ici par cos �[0,π] la restriction de la fonction cosinus à l’intervalle [0, π]. Nous renvoyons le lecteur à la figure 2.47 pour le graphe de cette restriction. De ce fait, le graphe de la fonction (fig. 2.48) arccos ∶ [−1, 1] → [0, π],

x � arccos x

x = cos α

-1

Figure 2.47: Le graphe de la fonction cos �[0,π] . α

s’obtient à partir de celui de cos �[0,π] par une symétrie d’axe x = α. Remarquons que le graphe de la fonction arccos a une pente «verticale» pour x = ±1. En outre, comme nous le verrons plus tard, ce graphe coupe l’axe des α avec une pente de −1.

π 2

Mentionnons encore les valeurs remarquables : x arccos x

−1 π

√ − 23 5π 6

√ − 22 3π 4

− 12 2π 3

0 π 2

1 2 π 3

√ 2 2 π 4

α π

π 2

√ 3 2 π 6

-1

1 0

α = arccos x x

Figure 2.48: Le graphe de la fonction arccos dans un système d’axes xα.

3 Les fonctions trigonométriques tan, cot, arctan et arccot Sommaire

3.1 Les fonctions tangente et cotangente

3.1.1

La définition de tangente et de cotangente

3.1.2

Le signe des fonctions trigonométriques sur les différents quadrants

3.1.3

Les graphes des fonctions tangente et cotangente

3.1.4

Les symétries des fonctions tangente et cotangente 44

3.2 Relations dans le triangle rectangle

3.3 Equations trigonométriques simples

3.3.1 3.3.2

L’équation tan α = y L’équation cot α = x

51 52

L’équation A sin α = B cos α

3.4.1

Le graphe de la fonction arctan

3.4.2

Le graphe de la fonction arccot

3.3.3

3.4 Le graphe des fonctions arctan et arccot

3.5 Quelques exemples

CHAPITRE 3. TANGENTE ET COTANGENTE

3.1 !"#

3.1.1

Les fonctions tangente et cotangente La définition de tangente et de cotangente

Nous avons déjà remarqué, en établissant les relations entre les angles et les côtés d’un triangle rectangle, que les expressions sin α cos α

cos α sin α

apparaissent de façon naturelle. Définition 3.1.

● La fonction tangente

tan ∶ Dtan → R,

α � tan α ∶=

sin α cos α

est définie comme quotient des fonctions sinus et cosinus. Elle est définie sur le domaine (maximal) Dtan = R � �

● La fonction cotangente

π + kπ ∶ k ∈ Z� . 2

cot ∶ Dcot → R,

α � cot α ∶=

cos α sin α

est définie comme quotient des fonctions cosinus et sinus. Elle est définie sur le domaine (maximal) Dcot = R � {kπ ∶ k ∈ Z} . Remarquons que, pour tout α ∈ Dtan ∩ Dcot , on a tan α =

1 cot α

cot α =

1 . tan α

En outre, tout comme pour le sinus et le cosinus, on écrit parfois tan(α) et cot(α) à la place de tan α et cot α. L’écriture avec parenthèses s’impose dès qu’il y a ambiguïté dans la lecture 1 . Définition 3.2. On parle de fonctions trigonométriques, lorsqu’on parle des fonctions sin, cos, tan et cot. Remarquons que cette liste n’est pas exhaustive. Selon les cultures et les pays, on ajoute à cette liste encore d’autres fonctions comme sec α ∶=

1 cos α

cosec α ∶=

1 . sin α

On parle de fonctions trigonométriques inverses lorsqu’on parle des fonctions réciproques liées à des fonctions trigonométriques.

1. Les symboles sin, cos, tan, cot, arcsin et arccos n’agissent usuellement que sur le symbole suivant. L’expression tan α + 2 se lit donc comme 2 + tan α. Malgré cette convention, cot 5α se lit comme cot(5α). Les symboles sin, cos, tan, cot, arcsin et arccos sont donc plus liants que la somme et moins liants que le produit.

3.1. LES FONCTIONS TANGENTE ET COTANGENTE

Les fonctions tangente et cotangente peuvent être interprétées, tout comme le sinus et le cosinus, sur le cercle trigonométrique. A cet effet, il est utile de rappeler que les quotients cos α , sin α

peuvent être interprétés comme des rapports de longueurs ; cependant, il faut intégrer dans une telle démarche les signes des fonctions sinus et cosinus. Commençons donc par étudier ces quotients lorsque aussi bien le sinus que le cosinus sont positifs ; supposons donc pour commencer que α ∈ ]0, π�2[. Menons par le point (1, 0) une droite numérique tangente au cercle trigonométrique et orientée vers le haut 2 . La droite passant par O et par P(α) coupe cette droite numérique en tan α (fig. 3.1). Remarquons que sin α et cos α sont positifs si 0 < α < π�2, si bien que tan α = sin α� cos α est également positif. Menons une seconde droite numérique tangente au cercle trigonométrique et passant par le point (0, 1) ; cette seconde droite numérique est orientée vers la droite 3 . La droite passant par O et par P(α) coupe cette seconde droite numérique en cot α (fig. 3.1). Remarquons que, tout comme tan α, cot α est positif si 0 < α < π�2. Dans le cas général, la construction ci-dessus donne toujours le résultat souhaité. Nous renvoyons le lecteur aux figures 3.2 et 3.3. Quelques remarques s’imposent ici : ● Notre représentation donne les bons signes pour les fonctions trigonométriques tan et cot. ● Si α = π�2 mod π, la droite passant par O et par P(α) ne coupe pas la droite numérique verticale passant par le point (1, 0) : cela reflète le fait que ces angles α n’appartiennent pas au domaine de définition Dtan de la fonction tangente. ● Si α = 0 mod π, la droite passant par O et par P(α) ne coupe pas la droite numérique horizontale passant par le point (0, 1) : cela reflète le fait que ces angles α n’appartiennent pas au domaine de définition Dcot de la fonction cotangente. ● Il faut toujours couper la droite passant par les points O et P(α) (et non pas une demi-droite issue de O) avec les droites numériques pour déterminer tan α et cot α.

Nous avions déjà parlé de ce qu’on pourrait appeler les relations de Pythagore pour le sinus et le cosinus. Voici un jeu plus complet de telles relations.

2. Une droite numérique est orientée vers le haut si elle est orientée par le 0 vecteur e2 = � �. 1 y cot α

R R

P(α)

α cos α

tan α

cot α =

1 1

Figure 3.1: L’interprétation de tan α et de cot α pour 0 < α < π�2.

3. Une droite numérique est orientée vers la droite si elle est orientée par le 1 vecteur e1 = � �. 0 y

cot α R

P(α) α cos α

tan α

sin α

sin α cos α

sin α

tan α =

Figure 3.2: L’interprétation de tan α et de cot α pour π�2 < α < π.

Proposition 3.1. On a

sin2 α + cos2 α = 1

1 + tan2 α = 1 + cot2 α =

1 cos2 α 1

sin2 α

(α ∈ R)

(α ∈ Dtan )

(α ∈ Dcot ).

On écrit sin2 α pour (sin α)2 , cot p α pour (cot α) p , etc.

CHAPITRE 3. TANGENTE ET COTANGENTE

y cot α

R cot α

α x

tan α

R tan α

tan α

y cot α

Figure 3.3: La valeur des fonctions tan et cot dans le cas général.

Démonstration. Le point P(α) = (cos α, sin α) étant situé sur le cercle unitaire, on a, pour tous les angles α ∈ R, De ce fait, on obtient :

sin2 α + cos2 α = 1.

1. Pour tan α : 1 + tan2 α

sin α 2 sin2 α � = 1+ cos α cos2 α 2 2 cos α + sin α 1 = . 2 cos α cos2 α

= 1+� =

Cette relation est valable tant que cos α ≠ 0, c.-à-d. pour tous les α ∈ Dtan .

2. Pour cot α, un calcul similaire donne 1 + cot2 α

= 1+� =

cos α 2 cos2 α � = 1+ sin α sin2 α

sin2 α + cos2 α 2

sin α

sin2 α

Cette relation est valable tant que sin α ≠ 0, c.-à-d. pour tous les α ∈ Dcot .

La détermination des valeurs prises par les fonctions trigonométriques sin, cos, tan et cot n’est pas une tâche élémentaire. Nous travaillons avec ces fonctions avant tout à l’aide de leur signification ; en outre, on peut extraire des valeurs (approximatives de bonne qualité) sur toute calculatrice usuelle. On connaît cependant la valeur exacte de ces valeurs pour des angles particuliers qu’on rencontre fréquemment. Nous connaissons déjà de telles valeurs pour le sinus et le cosinus, ce qui nous permet d’étendre ces résultats pour les fonctions tangente et cotangente. Proposition 3.2 (Valeurs remarquables des fonctions trigonométriques). Les fonctions trigonométriques prennent les valeurs suivantes pour des angles dits remarquables :

3.1. LES FONCTIONS TANGENTE ET COTANGENTE

π 6

0○

30○ 1 2 √ 3 2 √ 3 3

sin

cos

tan

cot

pas défini

√ 3

π 4

45○ √ 2 2 √ 2 2

1 1

π 3

π 2

60○

90○

√ 3 2

1 2

√ 3 √ 3 3

0 pas défini 0.

Démonstration. Nous avons déjà établi les résultats pour le sinus et le cosinus à la Proposition 2.12. Les résultats pour la tangente et la cotangente découlent des relations sin α cos α tan α = et cot α = . cos α sin α C’est ainsi que par exemple √ √ π sin(π�6) 1�2 1 3 3 tan = = =√ =√ ⋅√ = . 6 cos(π�6) 3 3�2 3 3 3.1.2

Le signe des fonctions trigonométriques sur les différents quadrants

Introduisons encore une notion utile pour formuler des résultats concernant les fonctions trigonométriques. Nous renvoyons aux figures 3.4, 3.5, 3.6 et 3.7 pour illustrer les divers point de la définition suivante.

Figure 3.4: Angles situés dans le premier quadrant. y

Figure 3.5: Angles situés dans le deuxième quadrant. y

Définition 3.3. Un angle α est situé dans le premier quadrant (du cercle trigonométrique) si α ∈ � [0 + k 2π, π�2 + k 2π]. k∈Z

Cela signifie qu’il existe un k ∈ Z tel que α − k 2π ∈ [0, π�2]. Nous écrivons alors α ∈ [0, π�2] mod 2π. L’angle α est situé dans le deuxième quadrant (du cercle trigonométrique) si α ∈ � [π�2 + k 2π, π + k 2π].

Figure 3.6: Angles situés dans le troisième quadrant. y

k∈Z

Cela signifie qu’il existe un k ∈ Z tel que α − k 2π ∈ [π�2, π]. Nous écrivons dans ce cas α ∈ [π�2, π] mod 2π.

De façon similaire on dit que l’angle α est situé dans le troisième quadrant (du cercle trigonométrique) si α ∈ � [−π + k 2π, −π�2 + k 2π]; k∈Z

Figure 3.7: Angles situés dans le quatrième quadrant.

CHAPITRE 3. TANGENTE ET COTANGENTE

on note cela α ∈ [−π, −π�2] mod 2π. Finalement, on dit que l’angle α est situé dans le quatrième quadrant (du cercle trigonométrique) si α ∈ � [−π�2 + k 2π, 0 + k 2π]; k∈Z

on note cela α ∈ [−π�2, 0] mod 2π.

Remarque 3.3. On dira qu’un angle α est situé strictement dans le premier quadrant, s’il est à l’intérieur du premier quadrant : cela signifie qu’il existe un k ∈ Z tel que α − k 2π ∈ ]0, π�2[. Nous écrivons alors α ∈ ]0, π�2[

mod 2π.

De façon similaire on parle d’angles situés strictement dans le deuxième, le troisième ou le quatrième quadrant. ♣ La proposition suivante donne le signe des fonctions trigonométriques selon les quadrants.

Proposition 3.4. Voici les signes des fonctions trigonométriques en fonction des quadrants : α

sin α cos α tan α cot α

3.1.3

situé strictement dans le premier deuxième troisième + + + +

+ − − −

− − + +

quatrième quadrant − + − −

Les graphes des fonctions tangente et cotangente

Le graphe de la fonction tangente On utilise la même disposition que pour le sinus pour la construction du graphe de la fonction tangente. On rapporte cette fois-ci, comme nous l’avons fait sur la figure 3.9, la valeur tan α lue sur la tangente au cercle unitaire au-dessus du point α dans le système d’axes αy. Le graphe de la fonction tangente a donc l’allure donnée à la figure 3.10. Les points remarquables sont : ● les zéros de la fonction tangente : la fonction tangente s’annule pour α = 0 mod π ; ● les maximums de la fonction tangente : la fonction tangente ne possède pas de maximum ou de minimum ;

sin > 0 cos < 0 tan < 0 cot < 0

sin > 0 cos > 0 tan > 0 cot > 0 1

sin < 0 cos < 0 tan > 0 cot > 0

sin < 0 cos > 0 tan < 0 cot < 0

Figure 3.8: Le signe des fonctions trigonométriques.

3.1. LES FONCTIONS TANGENTE ET COTANGENTE y

π 2

3π 2

2π

-1

P(α)

Figure 3.9: La construction point par point du graphe Gtan .

y y = tan α

1 − π2

π 2

3π 2

2π

5π 2

3π

7π 2

4π

9π 2

-1

● les pôles de la fonction tangente : la fonction tangente admet un pôle avec changement de signe pour α = π2 mod π : lim

α→( π2 +k π)−

tan α = +∞

lim

α→( π2 +k π)+

tan α = −∞,

(k ∈ Z);

dans le graphe on symbolise ces pôles par des droites verticales pointillées (ou très fines) d’équation α = π2 mod π ;

● la monotonie de la fonction tangente : la fonction tan est strictement monotone croissante sur chaque intervalle ] − π�2 + k π, π�2 + k π[ (avec k ∈ Z fixe).

Nous verrons plus tard que le graphe de la fonction tangente traverse l’axe des α avec des pentes de 1.

Le graphe de la fonction cotangente Nous laissons le soin au lecteur de construire, point par point, le graphe de la fonction cotangente dans la disposition utilisée pour le graphe du cosinus. On obtient le résultat représenté à la figure 3.11.

Figure 3.10: Le graphe de la fonction tangente Gtan .

CHAPITRE 3. TANGENTE ET COTANGENTE

y = cot α

1 − π2

π 2

3π 2

2π

5π 2

7π 2

4π

9π 2

-1

Les points remarquables sont :

● les zéros de la fonction cotangente : la fonction cotangente s’annule pour α = π2 mod π ;

● les maximums de la fonction cotangente : la fonction cotangente ne possède pas de maximum ou de minimum ;

● les pôles de la fonction cotangente : la fonction cotangente admet un pôle avec changement de signe pour α = 0 mod π : lim cot α = −∞

α→k π −

lim cot α = +∞,

(k ∈ Z);

α→k π +

dans le graphe on symbolise ces pôles par des droites verticales pointillées (ou très fines) d’équation α = 0 mod π ;

● la monotonie de la fonction cotangente : la fonction cot est strictement monotone décroissante sur chaque intervalle ]0 + k π, π + k π[ (avec k ∈ Z fixe).

3.1.4 Les symétries des fonctions tangente et cotangente !"#

3π

La périodicité de tan et de cot Les fonctions sinus et cosinus sont 2πpériodiques de période 2π : sin(α + 2π) = sin α

cos(α + 2π) = cos α,

(α ∈ R).

De ce fait, les fonctions tangente et cotangente sont, elles aussi, 2πpériodiques : tan(α + 2π) = cot(α + 2π) =

sin(α + 2π) sin α = = tan α cos(α + 2π) cos α cos(α + 2π) cos α = = cot α. sin(α + 2π) sin α

Le graphe de la fonction tangente (fig. 3.10) et celui de la fonction cotangente (fig. 3.11) permettent certes de confirmer ce fait, mais ces graphes nous suggèrent aussi que les fonctions tangente et cotangente sont de période π. Notons en passant qu’il n’existe pas de

Figure 3.11: Le graphe de la fonction cotangente Gcot .

3.1. LES FONCTIONS TANGENTE ET COTANGENTE

translation de longueur T ∈ ]0, π[ en direction de l’axe des α qui transforme un pôle de tangente (resp. de cotangente) en un autre pôle (fig. 3.12). On peut du reste confirmer par un calcul direct que tan et cot sont π-périodiques : tan(α + π) = cot(α + π) =

sin(α + π) − sin α = = tan α cos(α + π) − cos α cos(α + π) − cos α = = cot α. sin(α + π) − sin α

On retrouve ce même résultat sur le cercle trigonométrique donné à la figure 3.13. En effet, l’angle α et α + π déterminent la même droite utilisée pour déterminer la valeur de tan α et tan(α + π), resp. de cot α et cot(α + π).

y π

1 − π2

y = tan α α

π 2

-1

3π 2

5π 2

2π

5π 2

y = cot α

1 − π2

2π

α π 2

-1

3π 2

Proposition 3.5. Les fonctions

α � cot α ∶=

sin α cos α

Figure 3.12: Aussi bien tangente que cotangente est π-périodiques. y

cos α sin α

cot α

sont π-périodiques de période π. Donc tan(α + k π) = tan α

(α ∈ Dtan , k ∈ Z)

cot(α + k π) = cot α

(α ∈ Dcot , k ∈ Z).

La parité des fonctions tangente et cotangente Nous connaissons la parité des fonctions sinus et cosinus. La première est impaire alors que la seconde est paire : sin(−α) = − sin(α)

cos(−α) = cos(α)

(α ∈ R)

(α ∈ R).

Il en découle que tan et cot sont toutes les deux des fonctions impaires. En effet, on a d’une part, pour tout α ∈ Dtan , tan(−α) =

sin(−α) − sin α sin α = =− = − tan α; cos(−α) cos α cos α

cot(−α) =

cos(−α) cos α cos α = =− = − cot α. sin(−α) − sin α sin α

d’autre part, pour tout α ∈ Dcot , on a

Proposition 3.6. Les fonctions

tan ∶ Dtan → R, cot ∶ Dcot → R,

α � tan α ∶=

α � cot α ∶=

sin α cos α cos α sin α

R cot(α + π)

α+π

tan α

cot ∶ Dcot → R,

α � tan α ∶=

tan(α + π)

tan ∶ Dtan → R,

Figure 3.13: Les fonctions tan et cot sont π-périodiques.

CHAPITRE 3. TANGENTE ET COTANGENTE

sont des fonctions impaires : tan(−α) = − tan α cot(−α) = − cot α

(α ∈ Dtan )

(α ∈ Dcot ).

Les graphes Gtan et Gcot ont donc une symétrie centrale par rapport à l’origine du système d’axes αy. Nous renvoyons à ce sujet à la figure 3.14.

y y = tan α

tan α0 1 − 5π 2

−2π

− 3π 2

−α0

−π

− π2

α π 2

-1

α0

3π 2

5π 2

2π

− tan α0 y y = cot α

cot α0 1 − 3π 2

−π

− π2

α π 2

3π 2

2π

5π 2

-1 − cot α0

Remarquons que les relations de la proposition précédente peuvent être justifiées sur le cercle trigonométrique. Nous renvoyons le lecteur à ce sujet à la figure 3.15 : une symétrie d’axe x permet de conclure que tan(−α) = − tan α, une symétrie d’axe y permet de conclure que cot(−α) = − cot α. Les tangentes et cotangentes d’angles supplémentaires Considérons deux angles supplémentaires α et β ; nous supposons donc que α + β = π.

π α0

Figure 3.14: Les graphes des fonctions tan et cot ont une symétrie centrale par rapport à l’origine du système d’axes αy. y R cot(−α)

cot α

R tan α

−2π

α −α

tan(−α)

− 5π 2

−α0

Figure 3.15: Les fonctions tan et cot sont des fonctions impaires.

3.1. LES FONCTIONS TANGENTE ET COTANGENTE Nous savons que si on pose γ ∶= α=

Nous savons déjà que

π −γ 2

β−α 2 ,

on a 4

β=

sin(π − α) = sin α

cos(π − α) = − cos α

c.-à-d.

π + γ. 2

4. Rappelons que α et β résolvent (de façon unique) le système �

(α ∈ R) et (α ∈ R),

sin �

π π − γ� = sin � + γ� 2 2 π π cos � − γ� = − cos � + γ� 2 2

(α ∈ R) et

Il en découle d’une part que, 5 pour tout α ∈ Dtan ,

sin(π − α) sin α sin α tan(π − α) = = =− = − tan α, cos(π − α) − cos α cos α

5. Remarquons en passant que α ∈ Dtan

et d’autre part que, 6 pour tout α ∈ Dcot , cot(π − α) =

cos(π − α) − cos α cos α = =− = − cot α. sin(π − α) sin α sin α

Ce résultat peut être confirmé sur le cercle trigonométrique. En effet, les points P(α) et P(π − α) sont symétriques par rapport à l’axe y ; il en découle que tan(π − α) = − tan α cot(π − α) = − cot α

β − α=2γ β + α=π.

(α ∈ Dtan ) et

⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒

α≠

π + kπ (k ∈ Z) 2 π −α ≠ − − kπ (k ∈ Z) 2 π π − α ≠ − kπ (k ∈ Z) 2 π − α ∈ Dtan .

6. Remarquons en passant que α ∈ Dcot

⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒

α ≠ kπ

(k ∈ Z)

−α ≠ −kπ

(k ∈ Z)

π − α ≠ (1 − k)π π − α ∈ Dcot .

(k ∈ Z)

(α ∈ Dcot ).

Il en va de même avec les points P(π�2 − γ) et P(π�2 + γ), ce qui donne tan �

π π − γ� = − tan � + γ� 2 2 π π cot � − γ� = − cot � + γ� 2 2

Remarquons que, 7 pour tout γ ∈ R, et

(π�2 ± γ ∈ Dtan ) et

(π�2 ± γ ∈ Dcot ).

π π − γ ∈ Dtan ⇐⇒ + γ ∈ Dtan 2 2

π π − γ ∈ Dcot ⇐⇒ + γ ∈ Dcot . 2 2 On a donc le résultat suivant :

Proposition 3.7. Le graphe de la fonction tan ∶ Dtan → R,

α � tan α ∶=

sin α cos α

possède une symétrie centrale par rapport à (π�2, 0). De ce fait on a tan(π − α) = − tan α

(α ∈ Dtan ).

7. Pour tan on utilise le raisonnement que voici : π − γ ∈ Dtan 2 ⇐⇒ −γ ≠ π�2 + π�2 + k π

⇐⇒ γ ≠ −(k + 1) π π ⇐⇒ + γ ≠ π�2 − (k + 1)π 2 π ⇐⇒ + γ ∈ Dtan , 2

où k ∈ Z. Pour cot un raisonnement similaire peut être fait.

CHAPITRE 3. TANGENTE ET COTANGENTE

Le graphe de la fonction cot ∶ Dcot → R,

α � cot α ∶=

cos α sin α

possède une symétrie centrale par rapport à (π�2, 0). De ce fait on a cot(π − α) = − cot α

(α ∈ Dtan ).

Ces faits sont illustrés sur le graphe des fonctions de la figure 3.16. y y = tan α

π−α 1 −π

− 3π 2

− π2

-1 α

−γ

π 2

3π 2

2π

5π 2

π−α

1 −π

− 3π 2

sin �

-1 α

tan �

−γ

π 2

Nous savons déjà, que

π − α� = cos α 2 π cos � − α� = sin α 2

On en déduit par exemple que

− π2

La complémentarité de tan et de cot

y = cot α

(α ∈ R)

(α ∈ R).

sin � π2 − α� cos α π − α� = = = cot α. 2 cos � π2 − α� sin α

Remarquons qu’il faut s’assurer dans le calcul ci-dessus qu’on ne divise jamais par 0 ; cela revient à exiger que sin α ≠ 0, c.-à-d. que α ∈ Dcot . On obtient donc le résultat suivant :

3π 2

2π

5π 2

Figure 3.16: Les graphes des fonctions tan et cot ont une symétrie centrale par rapport au point (π�2, 0).

3.2. RELATIONS DANS LE TRIANGLE RECTANGLE

Proposition 3.8. Pour tout α ∈ Dcot on a Pour tout α ∈ Dtan on a

tan �

π − α� = cot α. 2

cot �

π − α� = tan α. 2

y 1

De ce fait, on obtient le graphe Gcot de la fonction cotangente depuis le graphe Gtan de la fonction tangente par une symétrie d’axe α = π�4. De même, on obtient Gtan depuis Gcot par cette même symétrie d’axe. Ces propriétés sont illustrées sur la figure 3.17.

−π

− π2

α π 2

-1

y = tan α

3π 2

y = cot α

Figure 3.17: L’axe de symétrie α = π�4.

Démonstration. Il nous reste à démontrer le dernier point. Cela découle du fait que, si on pose

on a

β=

α=

π −α 2

π −γ 4

γ ∶=

β=

β−α , 2

π − γ. 4

Remarquons qu’il existe en fait une famille d’axes de symétrie comme celle donnée par la proposition ci-dessus : toute droite α = π�4 + k π�2 avec k ∈ Z est un tel axe de symétrie.

3.2 !"!

Relations dans le triangle rectangle

Proposition 3.9. Considérons un triangle ABC rectangle en C. Appelons α l’angle du triangle (intérieur, orienté positif) au point A, β l’angle du triangle (intérieur, orienté positif) au point B et γ l’angle droit du triangle (intérieur, orienté positif) au point C. Soit a la longueur du segment BC (donc de la cathète opposée à l’angle α), b la longueur du segment AC (donc de la cathète adjacente à l’angle α) et c la longueur de l’hypothénuse AB (donc du segment opposé au point C). Ces notations sont résumées sur la figure 3.18. Alors cathète opposée à l’angle α a sin α = = c hypothénuse cos α = tan α =

b cathète adjacente à l’angle α = c hypothénuse cathète opposée à l’angle α a = b cathète adjacente à l’angle α

b cathète adjacente à l’angle α cot α = = . a cathète opposée à l’angle α

α A

Figure 3.18: Le triangle ABC avec les notations «standards» pour les côtés et les angles.

CHAPITRE 3. TANGENTE ET COTANGENTE

a = 5.

On peut déterminer la longueur de la seconde cathète b sans devoir déterminer la longueur de l’hypothénuse. En effet b = a ⋅ cot α = 5 ⋅ cot 38○ ≈ 6.39971.

3.3 !"#

Equations trigonométriques simples

Revenons aux équations trigonométriques simples. Nous avons déjà rencontré les équations sin α = y

cos α = y.

Elargissons ces résultats aux fonctions tangente et cotangente.

110

α = 38○

120

Exemple 3.1. Supposons donnés dans un triangle ABC (avec les notations introduites dans la proposition précédente)

Ces relations permettent de déterminer les grandeurs manquantes d’un triangle rectangle, notamment sans passer par un calcul intermédiaire de la longueur de l’hypothénuse.

1 b = . tan α a

100

cot α =

C′

170

On obtient la relation pour la cotangente par le calcul suivant :

160 150

sin α a�c a = = . cos α b�c b

tan α =

A′

Démonstration. Nous avons déjà établi les relations pour le sinus et le cosinus à la Proposition 2.10. La relation pour la tangente découle immédiatement de ces deux relations :

cathète opposée à l’angle β b tan β = = a cathète adjacente à l’angle β

a cathète adjacente à l’angle β cot β = = . b cathète opposée à l’angle β

a cathète adjacente à l’angle β = c hypothénuse

cos β =

cathète opposée à l’angle β b = c hypothénuse

sin β =

Pour l’angle β (fig. 3.19), ces relations s’écrivent

β A

Figure 3.19: Un triangle ABC rectangle en C avec une mesure d’angle β sous la forme d’un (demi-)cercle trigonométrique (de rayon 1) en B.

3.3. EQUATIONS TRIGONOMÉTRIQUES SIMPLES

3.3.1

L’équation tan α = y

Considérons l’équation

tan α = y,

où y ∈ R est une constante donnée et où α ∈ R est la grandeur recherchée. On peut donc formuler notre problème sous la forme suivante : y∈R

Donné :

toutes les valeurs de α ∈ Dtan telles que tan α = y.

Recherché :

Remarquons qu’on ne peut pas trouver de solutions à l’extérieur de Dtan ∶= R � �

(1, 0)

π + k π ∶ k ∈ Z� . 2

Si on interprète ce problème sur le cercle trigonométrique donné à la figure 3.20, on obtient immédiatement le résultat suivant : Proposition 3.10. Le problème Donné : Recherché :

y∈R

toutes les valeurs de α ∈ Dtan telles que tan α = y.

Figure 3.20: L’interprétation de l’équation tan α = y sur le cercle trigonométrique.

a la solution suivante : toutes les solutions sont données par arctan y + k π,

(k ∈ Z).

Formulons encore, dans une définition, le sens exact de arctan. Définition 3.4. La fonction arctangente est la fonction arctan ∶ R →] − π�2, π�2[,

y � arctan y

qui, a toute valeur y ∈ R donnée fait correspondre l’unique angle α ∈ ]−π�2, π�2[ avec tan α = y. Remarque 3.11. On a donc

tan(arctan y) = y,

arctan(tan α) = α,

∀y ∈ R

∀α ∈ ]−π�2, π�2[ .

Nous appelons un angle α un bon angle pour tan si α ∈ ]−π�2, π�2[. 8 Les bons angles pour tan sont donc exactement les angles rendus par la fonction arctan. ♣

8. Le choix de l’intervalle ] − π�2, π�2[

CHAPITRE 3. TANGENTE ET COTANGENTE

Exemple 3.2. Comme arctan(−1) = −π�4, l’ensemble des solutions de l’équation tan α = −1 est donné par

3.3.2

S = �−

π + k π ∶ k ∈ Z� . 4

L’équation cot α = x

Considérons l’équation

cot α = x,

où x ∈ R est une constante donnée et où α ∈ R est la grandeur recherchée. On peut donc formuler notre problème sous la forme suivante : Donné : Recherché :

x∈R

toutes les valeurs de α ∈ Dcot telles que cot α = x.

y x R

Remarquons qu’on ne peut pas trouver de solutions à l’extérieur de Dcot ∶= R � {k π ∶ k ∈ Z} .

(1, 0)

Si on interprète ce problème sur le cercle trigonométrique donné à la figure 3.21, on obtient à nouveau aisément le résultat suivant : Proposition 3.12. Le problème Donné : Recherché :

x∈R

toutes les valeurs de α ∈ Dcot telles que cot α = x.

a la solution suivante : toutes les solutions sont données par arccot x + k π,

(k ∈ Z).

Formulons encore, dans une définition, le sens exact de arccot. Définition 3.5. La fonction arccotangente est la fonction arccot ∶ R →]0, π[,

x � arccot x

qui, a toute valeur x ∈ R donnée fait correspondre l’unique angle α ∈]0, π[ avec cot α = x.

Figure 3.21: L’interprétation de l’équation cot α = x sur le cercle trigonométrique.

3.4. LE GRAPHE DES FONCTIONS ARCTAN ET ARCCOT

Remarque 3.13. On a donc cot(arccot x) = x,

arccot(cot α) = α,

∀x ∈ R

∀α ∈]0, π[.

Nous appelons un angle α un bon angle pour cot si α ∈]0, π[. 9 Les bons angles pour cot sont donc exactement les angles rendus par la fonction arccot. ♣ 3.3.3

L’équation A sin α = B cos α

Considérons l’équation

A sin α = B cos α,

où A, B ∈ R � {0} sont des constantes données et où α ∈ R est la grandeur recherchée. On peut donc formuler notre problème sous la forme suivante : Donnés : Recherché :

A, B ∈ R � {0}

toutes les valeurs de α ∈ R telles que A sin α = B cos α.

Remarquons qu’on peut écrire notre équation sous la forme sin α =

B cos α. A

En outre, cos α ≠ 0. En effet, si cos α s’annulait, le membre à droite serait nul, alors que le membre de gauche vaudrait ±1. On peut donc B diviser notre équation par cos α pour obtenir l’équation tan α = A . Proposition 3.14. L’ensemble de toutes les solutions du problème Donnés : Recherché :

est donné par

3.4 !"#

3.4.1

A, B ∈ R � {0}

toutes les valeurs de α ∈ R telles que A sin α = B cos α.

S = �arctan

B + k π ∶ k ∈ Z.� A

Le graphe des fonctions arctan et arccot Le graphe de la fonction arctan

Un raisonnement similaire à celui utilisé pour les fonctions sin et cos peut être utilisé pour les fonctions tan et cot. Rappelons que, pour tout y ∈ R donné, on définit arctan comme l’unique valeur α pour laquelle :

9. Le choix de l’intervalle ]0, π[

est une fois de plus arbitraire, mais il est aussi conventionnel. Cela signifie, que d’autres choix seraient possibles, mais que le choix présenté ici est le choix accepté universellement. Il est du reste cohérent avec le choix fait pour arccos.

CHAPITRE 3. TANGENTE ET COTANGENTE

1. tan α = y et

2. cet α est bon pour tan, c.-à-d. α ∈ ]−π�2, π�2[.

Cela revient à dire que la fonction arctan est la fonction réciproque de tan �]−π�2,π�2[ . Cela permet de construire le graphe de la fonction arctan ; le résultat est donné sur la figure 3.22. π 2

α α = arctan y

-1

1 − π2

Remarquons que le graphe de la fonction arctan possède deux asymptotes horizontales α = π�2 et α = −π�2. On a lim arctan y = −π�2

y→−∞

lim arctan y = π�2.

y→+∞

En outre, comme nous le verrons plus tard, ce graphe coupe l’axe des α avec une pente de 1. Mentionnons encore les valeurs remarquables :

y arctan y

3.4.2

√ − 3 −π�3

−1 −π�4

√ − 3�3 −π�6

0 0

√ 3�3 π�6

1 π�4

√ 3 π�3

Le graphe de la fonction arccot

Rappelons que, pour tout x ∈ R donné, on définit arccot comme l’unique valeur α pour laquelle :

1. cot α = x et

2. cet α est bon pour cot, c.-à-d. α ∈ ]0, π[.

Cela revient à dire que la fonction arccot est la fonction réciproque de cot �]0,π[ . Cela permet de construire le graphe de la fonction arccot ; le résultat est donné sur la figure 3.23. Remarquons que le graphe de la fonction arccot possède deux asymptotes horizontales α = 0 et α = π. On a lim arccot x = π

x→−∞

lim arccot x = 0.

x→+∞

En outre, comme nous le verrons plus tard, ce graphe coupe l’axe des α avec une pente de −1.

Figure 3.22: Le graphe de la fonction arctan dans un système d’axes yα.

3.5. QUELQUES EXEMPLES

α π

π 2

-1

α = arccot x

Figure 3.23: Le graphe de la fonction arccot dans un système d’axes xα.

3.5 !"#

Quelques exemples

√ Exemple 3.3. Comme arctan(− 3�3) = −π�6, l’équation √ 3 tan α = − 3 a comme solution tous les angles de l’ensemble S = �−

π + k π ∶ k ∈ Z� . 6

Exemple 3.4. Essayons de simplifier l’expression sin(arctan y), une expression ayant un sens pour tous les choix de y ∈ R. Posons α ∶= arctan y ; on sait que dans ce cas on a La relation

α ∈ ]−π�2, π�2[

permet donc d’écrire

sin2 α + cos2 α = 1

tan α = y.

cos2 α = 1 − sin2 α;

l’angle α est un bon angle pour tan, et de ce fait, cos α > 0 et sin α ≠ ±1. 10 On obtient donc 1 1 =� cos α 1 − sin2 α et sin α y = tan α = � . 1 − sin2 α Si on pose z ∶= sin α, on a −1 < z < 1 et on obtient � sin α y= � ⇐⇒ y ⋅ 1 − z2 = z, z ∈ ]−1, 1[ 1 − sin2 α �⇒ y2 = (1 + y2 )z2 , z ∈ ]−1, 1[ ⇐⇒ sin2 α =

y2 . 1 + y2

10. On peut abréger les calculs en remarquant que 1 + y2 = 1 + tan2 α =

1 . cos2 α

Cela nous conduit à

1 − sin2 α =

1 1 + y2

y2 1 = . 2 1+y 1 + y2 On peut alors déterminer sin α comme dans la solution proposée. sin2 α = 1 −

CHAPITRE 3. TANGENTE ET COTANGENTE

Rappelons que α ∈ ]−π�2, π�2[ ; de ce fait, le sinus et la tangente sont de même signe. De ce fait, on obtient y sin α = � , 1 + y2

c.-à-d.

y sin(arctan y) = � 1 − y2

(y ∈ R).

Exemple 3.5. Déterminons les valeurs des fonctions trigonométriques de l’angle 671 α= π. 3 A cet effet, mentionnons que α =

671 6

× 2π. Comme

671 5 = 111 + , 6 6

on obtient

tan α

5π 3

π 3

5 π α = π mod 2π = − mod 2π. 3 3 Nous avons indiqué la position de cet angle à la figure 3.24 Nous obtenons ainsi, en utilisant des symétries sur le cercle trigonométrique, √ π π 3 sin α = sin �− � = − sin = − 3 3 2 cos α

− π3

Figure 3.24: La position de l’angle α = 671π�3.

π π 1 = cos �− � = cos = 3 3 2

√ π π = tan �− � = − tan = − 3. 3 3

Exemple 3.6. Déterminons la valeur de l’expression

sachant que

sin α −

1 , cos α

1 9 et π ≤ α ≤ 5π. 2 2 Nous savons donc que l’angle α est situé dans le deuxième quadrant. Donc 11 tan α = −

sin α ≥ 0,

cos α < 0

1 tan α = − . 2

Nous utilisons la relation 1 + tan2 α = 1� cos2 α pour obtenir

1 1 1 2 cos α = − � = −� = −√ = −√ . 5�2 5 1 + 1�4 1 + tan2 α

11. Puisque α ∈ Dtan , on a cos α ≠ 0.

3.5. QUELQUES EXEMPLES

Nous utilisons la relation sin2 α + cos2 α = 1 pour déterminer sin α : � sin α = 1 − cos2 α =

�

1−

4 1 =√ . 5 5

Nous pouvons à présent conclure que √ √ 1 1 5 7 7 5 sin α − =√ + = √ = . cos α 2 10 5 2 5

4 Formules trigonométriques Sommaire

4.1 Rotation d’un vecteur

4.2 Théorème d’addition

4.3 Formules pour angles doubles

4.4 Formules de bissection

4.5 Transformations de sommes en produits

4.6 Résumé sur les formules trigonométriques

4.7 Quelques exemples

4.1 !"#

CHAPITRE 4. FORMULES TRIGONOMÉTRIQUES

Rotation d’un vecteur

y r

Considérons dans le plan donné sur la figure 4.1 un système d’axes xy. Soit e1 un vecteur unitaire pointant dans le sens positif de l’axe des x, et soit e2 un vecteur unitaire pointant dans le sens positif de l’axe des y : 1 0 e1 = � � et e2 = � � . 0 1 Faisons tourner dans ce plan un vecteur «lieu» 1 r d’un angle β autour de l’origine O du système d’axes.

Figure 4.1: Le système d’axes xy avec les vecteurs unitaires e1 et e2 et un vecteur lieu r. 1. Un vecteur lieu est un vecteur lié à l’origine du système d’axes xy.

Proposition 4.1. Si on fait tourner un vecteur lieu r=�

x � y

d’un angle β quelconque autour de l’origine du système d’axes xy, on obtient le vecteur lieu r′ = �

x cos β − y sin β �. x sin β + y cos β

Ce résultat peut être écrit sous la forme 2 r′ = �

cos β sin β

− sin β x �� . cos β y

2. Le lecteur qui ne connaît pas les matrices pourra ignorer la formulation avec des matrices.

Démonstration. Pour démontrer le résultat, il est utile de tourner non seulement le vecteur lieu r, mais également les vecteurs unitaires e1 et e2 d’un angle β. Nous dénommons par e′1 et e′2 les vecteurs unitaires ainsi obtenus (fig. 4.2). Par définition des fonctions sinus et cosinus, on a e′1 et

e′2 = �

cos β =� � sin β

cos(β + π�2) − sin β �=� �. sin(β + π�2) cos β

Remarquons que les composantes x et y du vecteur r permettent d’écrire r = x e1 + y e2 . Pour le vecteur r′ , cette relation s’écrit

c.-à-d.

r′ = x e′1 + y e′2 = x � r′ = �

cos β − sin β �+y� � sin β cos β

x cos β − y sin β �. x sin β + y cos β

e2 β

e′1

e′2

r′ Figure 4.2: Le système d’axes xy avec les vecteurs unitaires e1 et e2 et un vecteur lieu r ainsi que les vecteurs correspondants après une rotation d’un angle β.

4.2. THÉORÈME D’ADDITION

4.2 !"#

Théorème d’addition

Nous allons appliquer la Proposition 4.1 à un vecteur lieu r=�

y e2

cos α � sin α

de longueur 1 donné sur la figure 4.3 ; ce vecteur est le vecteur lieu du point P(α) sur le cercle trigonométrique. Après avoir tourné ce vecteur d’un angle β, on obtient un vecteur lieu r′ qui correspond au point P(α + β) sur le cercle trigonométrique : r′ = �

cos(α + β) �. sin(α + β)

Si on applique la Proposition 4.1, on obtient la �

cos(α + β) cos β � = � sin(α + β) sin β = �

relation 3

− sin β cos α �� cos β sin α

cos α ⋅ cos β − sin α ⋅ sin β �. sin α ⋅ cos β + cos α ⋅ sin β

r′

α e1 x

Figure 4.3: Le système d’axes xy avec les vecteurs unitaires e1 et e2 , le cercle trigonométrique et le vecteur lieu r correspondant au point P(α). 3. Le lecteur qui ne connaît pas la notation avec les matrices pourra ignorer le résultat intermédiaire.

Remarquons que l’expression cos α ⋅ cos β se lit comme (cos α) ⋅ (cos β) ; elle s’écrit souvent sous la forme cos α cos β. On obtient donc cos(α + β) = cos α ⋅ cos β − sin α ⋅ sin β

sin(α + β) = sin α ⋅ cos β + cos α ⋅ sin β.

On peut remplacer dans ces relations β par −β et utiliser la parité des fonctions sinus et cosinus 4 . On obtient ainsi des relations pour la différence d’angles : cos(α − β) = cos(α + (−β)) = cos α ⋅ cos(−β) − sin α ⋅ sin(−β) = cos α ⋅ cos β + sin α ⋅ sin β

sin(α − β) = sin(α + (−β)) = sin α ⋅ cos(−β) + cos α ⋅ sin(−β)

4. Rappelons que, pour tout β ∈ R, et

cos(−β) = cos β

sin(−β) = − sin β.

= sin α ⋅ cos β − cos α ⋅ sin β.

Nous allons retenir ce résultat dans un théorème : Théorème 4.2 (Théorème d’addition). On a , pour tout angle α ∈ R et pour tout angle β ∈ R : cos(α + β) = cos α ⋅ cos β − sin α ⋅ sin β

sin(α + β) = sin α ⋅ cos β + cos α ⋅ sin β

cos(α − β) = cos α ⋅ cos β + sin α ⋅ sin β

sin(α − β) = sin α ⋅ cos β − cos α ⋅ sin β.

Ces formules s’écrivent de façon plus compacte sous la forme 5 cos(α ± β) = cos α ⋅ cos β ∓ sin α ⋅ sin β sin(α ± β) = sin α ⋅ cos β ± cos α ⋅ sin β

(α, β ∈ R).

5. On choisira dans ces formules toujours le même signe, donc soit le signe supérieur, soit le signe inférieur.

CHAPITRE 4. FORMULES TRIGONOMÉTRIQUES On peut appliquer ces résultats pour calculer tan(α + β). On a sin(α + β) cos(α + β) sin α ⋅ cos β + cos α ⋅ sin β cos α ⋅ cos β − sin α ⋅ sin β

tan(α + β) = =

sin α ⋅ cos β + cos α ⋅ sin β ⋅ cos α ⋅ cos β − sin α ⋅ sin β

 sin α⋅✟ cos α⋅sin β cos✟ β + cos α⋅cos β cos α⋅✟ cos✟ β  cos α⋅cos β sin α⋅sin β cos α⋅cos β − cos α⋅cos β

tan α + tan β . 1 − tan α ⋅ tan β

1 cos α⋅cos β 1 cos α⋅cos β

sin α cos α

+ cos β sin β

sin α 1 − cos α ⋅ cos β sin β

Le développement ci-dessus est valable si

c.-à-d. si 6

cos α ≠ 0, α,

cos β ≠ 0 β

cos(α + β) ≠ 0,

α + β ∈ Dtan .

Dtan

Remarquons en outre que, si α, β ∈ Dtan , on a

α + β ∈� Dtan ⇐⇒ tan β = cot α ⇐⇒ tan α ⋅ tan β = 1.

A nouveau, on peut remplacer β par −β et utiliser la parité de la fonction tangente pour obtenir tan(α − β) =

tan α − tan β . 1 + tan α ⋅ tan β

En outre, on peut appliquer un raisonnement analogue pour cot. On obtient ainsi le théorème que voici. Théorème 4.3 (Théorème d’addition). On a cos(α ± β) = cos α ⋅ cos β ∓ sin α ⋅ sin β

(α, β ∈ R)

sin(α ± β) = sin α ⋅ cos β ± cos α ⋅ sin β

tan α ± tan β 1 ∓ tan α ⋅ tan β 1 ∓ cot α ⋅ cot β cot(α ± β) = − cot α ± cot β

tan(α ± β) =

(α, β ∈ R)

(α, β, α ± β ∈ Dtan )

(α, β, α ± β ∈ Dcot ).

Exemple 4.1. Déterminons, à titre d’exemple, le sinus de 75○ . Nous partons de la relation sin 75○ = sin(45○ + 30○ ) = sin �

6. Rappelons que

π π + �. 4 6

Nous connaissons les valeurs exactes du sinus et du cosinus pour les angles π�4 et π�6. A l’aide du théorème d’addition, nous obtenons

= =

R � {π�2 + k π ∶ k ∈ Z}

{α ∈ R ∶ cos α ≠ 0}.

4.3. FORMULES POUR ANGLES DOUBLES

donc sin 75○

= sin �

π π + � 4 6 π π π π = sin � � ⋅ cos � � + cos � � ⋅ sin � � 4 6 4 6 √ √ √ √ √ 2 3 2 1 2 = ⋅ + ⋅ = ( 3 + 1). 2 2 2 2 4

Exemple 4.2. Déterminons le cosinus de 22.5○ . Nous partons de la relation cos(45○ ) = cos(22.5○ + 22.5○ )

pour obtenir, à l’aide du théorème d’addition, cos(45○ ) = cos � √ 2 2

= = = =

π 2 ⋅ cos2 � � = 8 π cos2 � � = 8

π π + � 8 8 π π π π cos � � ⋅ cos � � − sin � � ⋅ sin � � 8 8 8 8 2 π 2 π cos � � − sin � � 8 8 π π cos2 � � − �1 − cos2 � �� 8 8 2 π 2 ⋅ cos � � − 1 8 √ √ 2 2+ 2 +1 = 2 2 √ 2+ 2 . 4

Remarquons que π�8 est un angle situé dans le premier quadrant 7 ; de ce fait, son cosinus est positif, et nous pouvons conclure nos calculs comme suit : � � √ √ π 2+ 2 2+ 2 cos � � = + = . 8 4 2

4.3 !"#

Formules pour angles doubles

Si on pose β = α dans le théorème d’addition 4.3, on obtient des résultats qui sont d’un intérêt particulier, tant au niveau de la manipulation d’expressions trigonométriques qu’au niveau de l’application des fonctions trigonométriques à des situations concrètes. On obtient, pour le sinus, sin(2α) = sin(α + α)

= sin α ⋅ cos α + cos α ⋅ sin α = 2 ⋅ sin α ⋅ cos α.

7. On a cos2 �

mais

cos �

√ 7π π 2+ 2 � = cos2 � � = , 8 8 4

7π � 8

= =

� � 2 + √2 � − 4 � √ 2+ 2 − < 0. 2

CHAPITRE 4. FORMULES TRIGONOMÉTRIQUES

Pour le cosinus, un calcul similaire donne cos(2α) = cos α ⋅ cos α − sin α ⋅ sin α = cos2 α − sin2 α.

Dans cette dernière expression, on peut remplacer cos2 α par 1 − sin2 α pour obtenir cos(2α) = 1 − 2 ⋅ sin2 α. De façon symétrique, on peut remplacer sin2 α par 1 − cos2 α : cos(2α) = 2 cos2 α − 1.

On obtient ainsi les relations suivantes :

Proposition 4.4 (angles doubles : première variante). On a 8 sin(2α) = 2 ⋅ sin α ⋅ cos α

cos(2α) = cos2 α − sin2 α

= 2 cos2 α − 1 = 1 − 2 sin2 α

tan(2α) =

2 tan α 1 − tan2 α

cot(2α) = −

1 − cot2 α cot2 α − 1 = 2 cot α 2 cot α

(α ∈ R) (α ∈ R)

�α ≠

π mod π, 2 π π α≠ mod � 4 2 π �α ≠ 0 mod �. 2

8. Pour tan(2α), il faut exiger que α ∈ Dtan et 2α ∈ Dtan .

La première de ces relations donne α≠

π 2

la seconde donne π α≠ 4

mod π,

mod

π . 2

Dans la proposition ci-dessus, on peut remplacer l’angle 2α par α et l’angle α par α�2 : Proposition 4.5 (angles doubles : seconde variante). On a α α sin(α) = 2 ⋅ sin � � ⋅ cos � � 2 2 2 α 2 α cos(α) = cos � � − sin � � 2 2 α α = 2 cos2 � � − 1 = 1 − 2 sin2 � � 2 2 α 2 tan � 2 � tan(α) = 1 − tan2 � α2 � cot(α) = −

1 − cot2 � α2 � 2 cot � α2 �

cot2 � α2 � − 1 2 cot � α2 �

(α ∈ R)

�α ≠

π 2

(α ∈ R)

mod π,

α ≠ π mod 2π�

(α ≠ 0 mod π).

Exemple 4.3. Déterminons une formule pour cos 3α. On a cos 3α

= cos(2α + α)

= cos 2α ⋅ cos α − sin 2α ⋅ sin α

= �2 cos2 α − 1� ⋅ cos α − [2 sin α cos α] ⋅ sin α = cos α �2(cos2 α − sin2 α) − 1� = cos α �2(2 cos α − 1) − 1� 2

= 4 cos3 α − 3 cos α.

Nous avons utilisé 1. le théorème d’addition pour cos ; 2. la formule pour cos 2α ; 3. la formule pour sin 2α ;

4. la relation cos2 α − sin2 α = cos2 α − (1 − cos2 α) = 2 cos2 α − 1, une relation qu’on retrouve du reste dans la Proposition 4.4.

4.4. FORMULES DE BISSECTION

On obtient donc cos 3α = 4 cos3 α − 3 cos α = cos α(4 cos2 α − 3).

4.4 !"#

Formules de bissection

De la relation cos 2α = 1 − 2 sin2 α = 2 cos2 α − 1

on tire immédiatement les relations suivantes :

Proposition 4.6 (formules de bissection : première variante). On a 1 − cos 2α 2 1 + cos 2α 2 cos α = 2 1 − cos 2α tan2 α = 1 + cos 2α 1 + cos 2α cot2 α = 1 − cos 2α sin2 α =

(α ∈ R) (α ∈ R)

(α ∈ Dtan )

(α ∈ Dcot ).

Démonstration. Nous avons déjà établi les deux premières relations. Le deux autres relations s’obtiennent alors comme suit : tan2 α

cot2 α

= = =

sin2 α 1 − cos 2α 2 = ⋅ 2 cos α 2 1 + cos 2α 1 − cos 2α 1 + cos 2α cos2 α 1 + cos 2α = ... = 2 1 − cos 2α sin α

Il reste à clarifier le domaine de validité de ces deux relations. Nous ne le ferons que pour tan2 α, et nous laisserons au lecteur le soin de procéder au calcul similaire pour cot2 α. Pour tan2 α, il faut s’assurer que 1. α ∈ Dtan et

2. cos 2α ≠ −1, c.-à-d. 2α ≠ π + k2π pour tout choix de k ∈ Z.

La seconde condition ci-dessus peut s’écrire α ≠ π�2 + kπ pour tout choix de k ∈ Z ; elle est donc équivalente à la première condition.

Tout comme pour les formules pour les angles doubles, la proposition ci-dessus peut être écrite en remplaçant 2α par α. Cela nous conduit au résultat suivant :

CHAPITRE 4. FORMULES TRIGONOMÉTRIQUES

Proposition 4.7 (formules de bissection : seconde variante). On a α sin2 � � = 2 2 α cos � � = 2 2 α tan � � = 2 α cot2 � � = 2

1 − cos α 2 1 + cos α 2 1 − cos α 1 + cos α 1 + cos α 1 − cos α

(α ∈ R) (α ∈ R)

(α ≠ π mod 2π)

(α ≠ 0 mod 2π).

Il est important de mentionner que les formules de bissection des Propositions 4.6 et 4.7 donnent la valeur des fonctions trigonométriques élevées au carré. Si on veut extraire de ces formules la valeur des fonctions trigonométriques elles-mêmes, il faut disposer d’une information sur le quadrant afin de pouvoir fixer le signe. Donnons un exemple. Exemple 4.4. Déterminons le cosinus de l’angle 9π�16 à partir de � √ π 2+ 2 cos � � = . 8 2 On a

cos2 �

1 + cos � 9π 9π 1 9π 8 � � = cos2 � ⋅ �= 16 2 8 2 =

1 − cos � π8 � 2

Nous avons utilisé la relation

1−

cos(γ + π) = − cos γ

� √ 2+ 2 2

2−

� √ 2+ 2 . 4

(γ ∈ R).

Remarquons que l’angle 9π�16 est situé dans le deuxième quadrant, si bien que son cosinus est négatif. On peut donc écrire : � � � √ � √ � 2− 2+ 2 9π �2 − 2 + 2 cos � � = − =− . 16 4 2

4.5 !"#

Transformations de sommes en produits

Reprenons les formules d’addition pour le sinus : sin(γ + δ) = sin γ ⋅ cos δ + cos γ ⋅ sin δ

sin(γ − δ) = sin γ ⋅ cos δ − cos γ ⋅ sin δ.

Par addition de ces relations, on obtient

sin(γ + δ) + sin(γ − δ) = 2 sin γ ⋅ cos δ.

Notre objectif est de transformer la somme sin α + sin β en un produit. C’est pourquoi nous posons α ∶= γ + δ

β ∶= γ − δ.

4.5. TRANSFORMATIONS DE SOMMES EN PRODUITS Remarquons que ces relations sont équivalentes à 9 γ=

α+β 2

δ=

Avec ces notations, on obtient sin α + sin β = 2 sin �

9. En effet, le système

α−β . 2

�

γ+δ = α γ−δ = β

⋅1 ⋅1

est équivalent au système �

α+β α−β � ⋅ cos � �. 2 2

γ 2γ

δ= α . = α+β

Notre relation de départ peut donc s’écrire comme

Nous pouvons donc transformer une somme en un produit ! Si, au lieu d’additionner, on soustrait les relations

γ=

α+β 2

δ=

α−β . 2

sin(γ + δ) = sin γ ⋅ cos δ + cos γ ⋅ sin δ

sin(γ − δ) = sin γ ⋅ cos δ − cos γ ⋅ sin δ,

on obtient

sin(γ + δ) − sin(γ − δ) = 2 cos γ ⋅ sin δ,

c.-à-d.

sin α − sin β = 2 cos �

α+β α−β � ⋅ sin � �. 2 2

Ces calculs peuvent être résumés de la façon suivante : sin(γ + δ) = sin γ cos δ + cos γ sin δ sin(γ − δ) = sin γ cos δ − cos γ sin δ sin (γ + δ) + sin (γ − δ) = 2 sin γ cos δ �� =∶α

sin α + sin β

=∶β

= 2 sin �

α+β α−β 2 � cos � 2 �

= 2 cos �

α+β α−β 2 � sin � 2 �

⋅1 ⋅1

⋅1 ⋅(−1)

sin (γ + δ) − sin (γ − δ) = 2 cos γ sin δ �� =∶α

sin α − sin β

=∶β

On peut, de façon analogue, partir des formules d’addition pour le cosinus. Cela donne 10 cos(γ + δ) = cos γ cos δ − sin γ sin δ cos(γ − δ) = cos γ cos δ + sin γ sin δ cos (γ + δ) + cos (γ − δ) = 2 cos γ cos δ �� =∶α

cos α + cos β

=∶β

= 2 cos �

⋅1 ⋅1

α+β α−β 2 � cos � 2 �

cos (γ + δ) − cos (γ − δ) = −2 sin γ sin δ �� =∶α

cos α − cos β

=∶β

= −2 sin �

α+β α−β 2 � sin � 2 �

Nous rassemblons ces résultats dans une proposition.

⋅1 ⋅(−1)

10. Remarquons qu’on peut déduire ce second jeu de relations depuis le premier jeu. C’est ainsi qu’on a, par exemple, cos α + cos β

= = =

sin �

π − α� + 2 π + sin � − β� 2 π α+β 2 sin � − �⋅ 2 2 β−α ⋅ cos � � 2 α+β 2 cos � �⋅ 2 α−β ⋅ cos � �. 2

CHAPITRE 4. FORMULES TRIGONOMÉTRIQUES

Proposition 4.8. Pour α, β ∈ R quelconques, on peut transformer des sommes de fonctions trigonométriques en des produits de la façon suivante : α+β α−β � ⋅ cos � � 2 2 α+β α−β sin α − sin β = 2 cos � � ⋅ sin � � 2 2 α−β α+β cos α + cos β = 2 cos � � ⋅ cos � � 2 2 α+β α−β cos α − cos β = −2 sin � � ⋅ sin � �. 2 2 sin α + sin β = 2 sin �

Remarquons qu’il est parfois utile de remplacer un produit par une somme. A cet effet, mentionnons les résultats suivants que nous avons obtenus ci-dessus : Proposition 4.9. Pour α, β ∈ R quelconques, on peut transformer des produits de fonctions trigonométriques en des sommes de la façon suivante : sin(α + β) + sin(α − β) 2 cos(α + β) + cos(α − β) cos α cos β = 2 cos(α + β) − cos(α − β) sin α sin β = − . 2 sin α cos β =

4.6

Résumé sur les formules trigonométriques

Nous avons développé une série impressionnante de formules pour les fonctions trigonométriques. Il faut connaître l’existence de ces relations. En outre, on peut retrouver ces relations de façon assez simple. Il suffit en effet de mémoriser les formules d’addition 11 : cos(α ± β) = cos α ⋅ cos β ∓ sin α ⋅ sin β sin(α ± β) = sin α ⋅ cos β ± cos α ⋅ sin β

tan α ± tan β 1 ∓ tan α ⋅ tan β 1 ∓ cot α ⋅ cot β cot(α ± β) = − cot α ± cot β

tan(α ± β) =

On peut alors procéder comme suit :

(α, β ∈ R) (α, β ∈ R)

(α, β, α + β ∈ Dtan )

(α, β, α + β ∈ Dcot ).

● Les formules pour les angles doubles : Il suffit de poser β = α dans les formules d’addition, et on obtient : sin(2α) = 2 ⋅ sin α ⋅ cos α

cos(2α) = cos α − sin α 2

(α ∈ R)

= 2 cos2 α − 1 = 1 − 2 sin2 α

2 tan α tan(2α) = 1 − tan2 α 1 − cot2 α cot2 α − 1 cot(2α) = − = 2 cot α 2 cot α

π �α ≠ 4

(α ∈ R)

π � 2 π �α ≠ 0 mod �. 2 mod

11. Remarquons quand même que les deux dernières formules d’addition découlent des deux premières en utilisant

tan(α + β) = cot(α + β) =

sin(α + β) cos(α + β)

cos(α + β) . sin(α + β)

4.7. QUELQUES EXEMPLES

On peut, si on le désire, remplacer α par α�2 dans ces formules et obtenir ainsi une seconde variante de ces relations.

● Les formules de bissection : depuis la deuxième relation pour les angles doubles ci-dessus, on peut tirer les formules de bissection 12 : 1 − cos 2α sin2 α = (α ∈ R) 2 1 + cos 2α cos2 α = (α ∈ R) 2 1 − cos 2α tan2 α = (α ∈ Dtan ) 1 + cos 2α 1 + cos 2α cot2 α = (α ∈ Dcot ). 1 − cos 2α Ici encore on peut, si on le désire, remplacer α par α�2 et obtenir ainsi une seconde variante de ces relations.

12. Rappelons ici qu’on ne peut pas résoudre ces relations par rapport à sin α, cos α tan α ou cot α. C’est ainsi qu’on a � 1 − cos 2α sin α = 2 ou � 1 − cos 2α sin α = − , 2 selon le quadrant dans lequel se trouve l’angle α.

● Les transformations de sommes en produit : par combinaisons linéaires (addition et soustraction) des deux premières formules d’addition on obtient, pour α, β ∈ R, α+β α−β � ⋅ cos � � 2 2 α+β α−β sin α − sin β = 2 cos � � ⋅ sin � � 2 2 α+β α−β cos α + cos β = 2 cos � � ⋅ cos � � 2 2 α+β α−β cos α − cos β = −2 sin � � ⋅ sin � �. 2 2 sin α + sin β = 2 sin �

4.7

Quelques exemples

!"!

Exemple 4.5. Déterminons la valeur exacte de tan(α + β) si on sait que √ 2 tan α = − , 2

sin β = cos

β 3

Nous allons utiliser la relation tan(α + β) =

19π < β ≤ 5π. 4

tan α + tan β . 1 − tan α ⋅ tan β

Comme tan α est connu, il suffit de déterminer tan β. A cet effet, il nous faut commencer par analyser la relation

y β

β 3 π 2

β sin β = cos , 3

−β

une relation qui peut s’écrire sous la forme cos

β π = cos � − β� . 3 2

Une interprétation de cette relation est donnée sur la figure 4.4

Figure 4.4: L’interprétation de la relation β π cos = cos � − β� 3 2 sur le cercle trigonométrique.

CHAPITRE 4. FORMULES TRIGONOMÉTRIQUES

On obtient donc que β doit remplir (au moins) une des relations suivantes : β π 19π = − β mod 2π et < β ≤ 5π 3 2 4 ou (et) β π 19π = − + β mod 2π et < β ≤ 5π. 3 2 4 Analysons ces relations l’une après l’autre : ● Analyse de la première relation : il faut que l’angle β soit de la forme 3π 3π β= +k 8 2 avec k ∈ Z. Il faut déterminer toutes les valeurs de k pour lesquelles 19π 3π 3π < +k ≤ 5π. 4 8 2 Cette relation se transforme aisément : 19π 3π 3π 19✚ π 3✚ π 3✚ π < +k ≤ 5π ⇐⇒ < +k ≤ 5✚ π 4 8 2 4 8 2 ⇐⇒ 38 < 3 + 12k ≤ 40 ⇐⇒ 35 < 12k ≤ 37 35 37 ⇐⇒ <k≤ 12 12

Il faut donc choisir k = 3 et β = 39π 8 . La valeur de tan β se calcule aisément : 39π 39π tan β = tan � � = tan � − 5π� 8 8 π π = tan �− � = − tan � � . 8 8 Remarquons que l’angle π�8 est situé dans le premier quadrant, si bien que tan(π�8) est positif. Donc 13 � � √ � 1 − cos π4 � 1 − 2�2 � � √ tan(π�8) = + = 1 + cos π4 1 + 2�2 � � √ √ √ �2 − 2 �2 − 2 2 − 2 � � √ = √ ⋅ √ = 2+ 2 2+ 2 2− 2 � √ √ (2 − 2)2 �2 − 2� = = √ 2 2 √ = 2 − 1. On obtient donc

tan α + tan β 1 − tan α ⋅ tan β √ √ − 22 − 2 + 1 √ = √ 1 − 22 ⋅ ( 2 − 1) √ √ 2 + 2( 2 − 1) √ √ = − 2 − 2( 2 − 1) √ √ 3 2−2 2 2−6 √ = − √ = = 2 − 3. 2 2

tan(α + β) =

13. Rappelons que � a2 = �a� (a ∈ R).

4.7. QUELQUES EXEMPLES

● Analyse de la seconde relation : il faut que l’angle β soit de la forme 3π β= + k 3π 4 avec k ∈ Z. Il faut déterminer toutes les valeurs de k pour lesquelles c.-à-d. pour lesquelles

19π 3π < + k 3π ≤ 5π. 4 4 16 < 12k ≤ 17.

Il n’existe donc aucun tel k.

Nous pouvons donc conclure que tan(α + β) =

√ 2 − 3.

Exemple 4.6. Résolvons l’équation sin α + cos 5α = cos 3α − sin 7α.

A cette fin, nous allons utiliser le fait que 5α + 3α = α + 7α,

une constatation qui nous incite à regrouper les termes de cette équation comme suit : sin α + sin 7α = cos 3α − cos 5α.

On peut transformer chaque somme en un produit. Cela nous donne une version équivalente de notre problème : 2 sin �

c.-à-d.

α + 7α α − 7α 3α + 5α 3α − 5α � ⋅ cos � � = −2 sin � � ⋅ sin � � 2 2 2 2 sin 4α ⋅ cos 3α = sin 4α sin α.

Remarquons que nous avons utilisé la parité des fonctions sinus et cosinus. Cette équation peut s’écrire comme suit : sin 4α ⋅ (cos 3α − sin α) = 0.

De façon équivalente 14 , cela signifie que α doit vérifier (au moins) une des équations sin 4α = 0 ou (et)

cos 3α − sin α = 0.

Nous allons analyser chacune des relations séparément.

14. Rappelons qu’une équation du type A(x) ⋅ B(x) = 0 est équivalente à A(x) = 0 ou (et) B(x) = 0, puisqu’un produit ne peut s’annuler que si au moins un des facteurs est nul.

CHAPITRE 4. FORMULES TRIGONOMÉTRIQUES

● L’équation sin 4α = 0 : On a sin 4α = 0

c.-à-d.

α pour tout k ∈ Z.

⇐⇒ 4α = 0 mod π

= 0+k

π π =k 4 4

● L’équation cos 3α − sin α = 0 : cette équation s’écrit aussi 15 cos 3α = cos �

π − α� . 2

Donc α doit remplir (au moins) une des relations 3α =

ou (et)

π − α + k 2π 2

3α = α −

π + k 2π, 2 avec k ∈ Z. La première relation donne α=

alors que la seconde donne

avec k ∈ Z.

π π +k , 8 2

α=−

π +kπ 4

L’ensemble de toutes les solutions est donc S=�

π π π +k ∶ k ∈ Z� ∪ �− + k π ∶ k ∈ Z� . 8 2 4

15. Nous utilisons le fait que sin α = cos �

π − α� , 2

une propriété que nous avons rencontrée sous le terme de la complémentarité du sinus et du cosinus.

5 Oscillations harmoniques Sommaire

5.1 Définition de l’oscillation harmonique

5.2 Superposition d’oscillations harmoniques

5.3 Interprétation géométrique

5.4 Le graphe d’une oscillation harmonique

5.4.1

La multiplication d’une fonction par une constante 82

5.4.2

La multiplication de l’argument d’une fonction par une constante

La translation de l’argument d’une fonction

5.4.3

5.1 !"#

CHAPITRE 5. OSCILLATIONS HARMONIQUES

Définition de l’oscillation harmonique

Dans la description des phénomènes périodiques, on utilise une classe de fonctions comme éléments fondamentaux : la classe des fonctions harmoniques. Définition 5.1. On appelle oscillation harmonique une fonction du type

ou du type

f ∶ R → R,

t � f (t) ∶= A sin(ω t + ϕ)

t � f (t) ∶= A cos(ω t + ϕ)

avec A > 0. La constante A s’appelle l’amplitude de l’oscillation, la constante ω s’appelle la vitesse angulaire et la constante ϕ est la phase de l’oscillation.

La définition ci-dessus nécessite quelques précisions que nous formulons sous forme de remarques. Remarque 5.1. Une expression de la forme B sin(ω t + ϕ)

avec B < 0 peut s’écrire sous la forme

�B� ⋅ sin (ω t + ϕ + π) ;

la fonction t � B sin(ω t + ϕ) est donc également une oscillation harmonique d’amplitude �B� et de phase ϕ + π. De même, la fonction t � B cos(ω t + ϕ), avec B < 0, est une oscillation harmonique d’amplitude �B� et de phase ϕ + π 1 . ♣ Remarque 5.2. Si on modifie la phase ϕ d’une oscillation harmonique de 2π, on retrouve la même fonction. De ce fait, on choisit souvent une phase dans l’intervalle ] − π, π]. Cependant, la phase a, dans certaines applications, un sens physique qui impose une valeur à l’extérieur de l’intervalle ] − π, π]. ♣ Remarque 5.3. Une expression de la forme

peut s’écrire comme

De même on a

A sin(ω t + ϕ) A cos �ω t + ϕ −

π �. 2

A cos(ω t + ϕ) = A sin �ω t + ϕ +

π �. 2

♣

1. On peut donc se passer de la condition A > 0 dans la définition de l’oscillation harmonique à condition d’interpréter de façon adéquate la notion d’amplitude et de phase. Nous admettrons également B = 0, quant bien même la notion de phase perd alors son sens.

5.2. SUPERPOSITION D’OSCILLATIONS HARMONIQUES

Les oscillations harmoniques apparaissent de façon naturelle lorsqu’on considère un mouvement circulaire uniforme d’un point M sur un cercle de rayon A. Dans ce cas, l’angle au centre vaut

M ωt + ϕ

α = ω t + ϕ,

où ω est la vitesse angulaire exprimée en radians par unité de temps. Si on observe ce mouvement circulaire uniforme par projection horizontale du point M (sur l’axe des y), on obtient (comme indiqué sur la figure 5.1) un mouvement de la forme t � A sin(ω t + ϕ),

(t ∈ R).

Si on remplace la projection horizontale par une projection verticale (sur l’axe des x) du point M, le mouvement en question est décrit par t � A cos(ω t + ϕ), (t ∈ R).

A sin(ωt + ϕ)

A cos(ωt + ϕ)

Figure 5.1: Projections horizontales et verticales d’un mouvement circulaire uniforme.

Dans les deux cas, le mouvement est décrit par une oscillation harmonique. Proposition 5.4. Supposons qu’un point M suit un mouvement circulaire uniforme sur un cercle de rayon A. 1. Le mouvement de la projection horizontale de ce point M (sur l’axe des y) est alors décrit par l’oscillation harmonique y ∶ R → R,

t � A sin(ω t + ϕ).

x ∶ R → R,

t � A cos(ω t + ϕ).

2. Le mouvement de la projection verticale de ce point M (sur l’axe des x) est décrit par l’oscillation harmonique

3. Considérons une droite numérique (appelée axe des z) obtenue par une rotation de ψ de l’axe des y autour de l’origine du système d’axes xy. La projection orthogonale du mouvement du point M sur cet axe des z est donnée par l’oscillation harmonique z ∶ R → R,

t � A sin(ω t + ϕ − ψ).

Démonstration. Pour une démonstration du dernier point, nous renvoyons le lecteur à la figure 5.2. On voit que le résultat pour z correspond au résultat pour y si on diminue l’angle ω t + ϕ de ψ.

5.2 !"#

Principe de superposition d’oscillations harmoniques

Commençons par considérer deux oscillations harmoniques de même vitesse angulaire ω de la forme suivante : f (t) ∶= A sin ω t

g(t) ∶= B cos ω t;

A sin(ωt + ϕ − ψ)

ψ z

α(t) − ψ

α(t) 1

P(α(t))

x A

M Figure 5.2: Projection générale d’un mouvement circulaire uniforme α(t) = ωt + ϕ.

CHAPITRE 5. OSCILLATIONS HARMONIQUES

remarquons que nous ne faisons pas d’hypothèses particulières sur A et B, si ce n’est que A ≠ 0 et B ≠ 0 2 . Nous allons montrer que la somme ( f + g) ∶ R → R,

t � ( f + g)(t) ∶= A sin ω t + B cos ω t

2. Si par exemple A = 0, on a ( f + g)(t) = g(t) ; la somme est donc une oscillation harmonique. Une remarque similaire tient pour B = 0.

est également une oscillation harmonique de même vitesse angulaire ω. Nous voulons donc démontrer qu’on peut déterminer une amplitude C ≥ 0 et une phase ϕ ∈ ]−π, π] telles que 3

3. On pourrait faire des ansatz différents pour C sin (ω t + ϕ) ;

A cet effet, on procède comme suit. On écrit, grâce au théorème d’addition pour le sinus 4 ,

Nous reviendrons sous peu sur ce point. Remarquons que le terme d’«ansatz» est utilisé en mathématiques pour poser une expression qui permettra de résoudre un problème donné ; un ansatz contient usuellement des paramètres dont il faudra déterminer les valeurs.

A sin ω t + B cos ω t = C sin (ω t + ϕ) .

A sin ω t + B cos ω t

= =

C sin (ω t + ϕ)

C sin ω t ⋅ cos ϕ + C cos ω t ⋅ sin ϕ.

Remarquons que nous ne voulons pas déterminer toutes les valeurs possibles pour C et ϕ, mais simplement une paire de valeurs possibles. Une telle paire de valeurs (C, ϕ) peut être déterminée comme solution du système obtenu par comparaison des coefficients de sin ω t et de cos ω t ; ce système s’écrit �

= =

C cos ϕ C sin ϕ

A B.

On peut élever chacune de ces équations au carré et additionner les membres des deux équations ainsi obtenues. Cela nous conduit à C cos ϕ = A C sin ϕ = B

C2 (cos2 ϕ + sin2 ϕ) = A2 + B2 ��

(⋅)2 (⋅)2

La relation C2 = A2 + B2 ainsi obtenue n’a qu’une solution nonnégative donnée par � C = A2 + B2 . Remarquons que C ≠ 0 puisque nous travaillons sous l’hypothèse que A ≠ 0 et que B ≠ 0. Notre sytème s’écrit donc

Ce système implique

� � � cos ϕ � � � � � � � � sin ϕ � �

tan ϕ =

= =

A C B . C

sin ϕ B�C B = = . cos ϕ A�C A

En outre, ce même sytème permet de situer la phase ϕ dans les quadrants :

on pourrait prendre

C sin (ω t − ϕ) ou C cos (ω t ± ϕ) .

4. Rappelons que sin(α + β) = sin α ⋅ cos β + cos α ⋅ sin β.

5.2. SUPERPOSITION D’OSCILLATIONS HARMONIQUES

● Si A > 0, on a cos ϕ > 0 : la phase ϕ appartient donc au premier ou au quatrième quadrant et nous avons 5 ϕ = arctan

B ; A

● Si A < 0 et B > 0, on a cos ϕ < 0 et sin ϕ > 0 : la phase ϕ appartient donc au deuxième quadrant et nous avons 6 B + π; A

ϕ = arctan

● Si A < 0 et B < 0, on a cos ϕ < 0 et sin ϕ < 0 : la phase ϕ appartient donc au troisième quadrant et nous avons 7 B − π. A

ϕ = arctan

Avec ces choix, la phase ϕ ∈ ]−π, π]. Nous avons donc établi la proposition suivante :

5. Rappelons que arctan retourne un angle bon pour tan, c.-à-d. un angle entre −π�2 et π�2. 6. Rappelons que arctan y retourne, pour y < 0, un angle compris entre −π�2 et 0 ; de ce fait, arctan y + π est un angle du deuxième quadrant. 7. Rappelons que arctan y retourne, pour y > 0, un angle compris entre 0 et π�2 ; de ce fait, arctan y − π est un angle du troisième quadrant.

Proposition 5.5 (Superposition de deux oscillations harmoniques de même vitesse angulaire). La somme de deux oscillations harmoniques de même vitesse angulaire ω de la forme f (t) ∶= A sin ω t

g(t) ∶= B cos ω t

est une oscillation harmonique de la forme

C sin(ω t + ϕ)

avec

�

A2 + B2 .

La phase ϕ peut être déterminée à partir des relations 8 �

C cos ϕ C sin ϕ

= =

A B.

On peut toujours choisir une phase appartenant à l’intervalle ϕ ∈ ]−π, π]. Démonstration. Pour A ≠ 0 et B ≠ 0, nous avons déjà démontré cette proposition. Si A = B = 0, on a A sin ω t + B cos ω t = 0 = 0 ⋅ sin(ωt + ϕ)

(t ∈ R)

pour tout choix de ϕ. Toute paire (C, ϕ) avec C = 0 vérifie � C = 02 + 02 et

�

0 cos ϕ 0 sin ϕ

= 0 = 0.

La conclusion est donc valable dans ce cas.

8. Il est important de mentionner ici qu’il est peu utile de se rappeler les relations dans cette proposition. Il est bien plus utile de mémoriser la procédure avec laquelle cette proposition a été démontrée.

CHAPITRE 5. OSCILLATIONS HARMONIQUES Si A ≠ 0 et B = 0, on a

si A > 0 et

A sin ω t + B cos ω t = A sin ω t

A sin ω t + B cos ω t = −A sin(ω t + π);

si A < Dans les deux cas, la paire (A, 0) resp. (−A, π) satisfait aux relations énoncées dans la conclusion pour la paire (C, ϕ). Une analyse similaire peut être faite pour le cas où A = 0 et B ≠ 0. 0 9.

On peut formuler des propositions similaires pour

et pour

A sin ω t + B cos ω t = C sin(ω t − ϕ)

A sin ω t + B cos ω t = C cos(ω t ± ϕ).

9. On peut donner une réponse «fermée» pour les deux cas en écrivant �A� sin(ω t + π�2 − sgn(A) ⋅ π�2),

où la fonction signe sgn vaut +1 si son argument est postif et −1 si son argument est négatif : � � +1 � � � � sgn(x) = � 0 � � � � � �−1

, si x > 0 , si x = 0 , si x < 0.

Proposition 5.6 (Superposition de deux oscillations harmoniques de même vitesse angulaire). La somme de deux oscillations harmoniques de même vitesse angulaire ω de la forme f (t) ∶= A sin ω t

g(t) ∶= B cos ω t

est une oscillation harmonique de la forme C sin(ω t − ϕ), où (C, ϕ) est une paire qui satisfait aux relations �

A2 + B2

�

C cos ϕ C sin ϕ

= A = −B.

Proposition 5.7 (Superposition de deux oscillations harmoniques de même vitesse angulaire). La somme de deux oscillations harmoniques de même vitesse angulaire ω de la forme f (t) ∶= A sin ω t

g(t) ∶= B cos ω t

est une oscillation harmonique de la forme C cos(ω t + ϕ), où (C, ϕ) est une paire qui satisfait aux relations C=

�

A2 + B2

�

C cos ϕ C sin ϕ

= B = −A.

Proposition 5.8 (Superposition de deux oscillations harmoniques de même vitesse angulaire). La somme de deux oscillations harmoniques de même vitesse angulaire ω de la forme f (t) ∶= A sin ω t

g(t) ∶= B cos ω t

est une oscillation harmonique de la forme C cos(ω t − ϕ), où (C, ϕ) est une paire qui satisfait aux relations C=

�

A2 + B2

�

C cos ϕ C sin ϕ

= =

B A.

5.2. SUPERPOSITION D’OSCILLATIONS HARMONIQUES

Illustrons les propositions ci-dessus par des exemples. Exemple 5.1. Superposons les deux oscillations harmoniques √ f (t) ∶= 3 sin t et g(t) ∶= − cos t, (t ∈ R). Nous allons utiliser l’ansatz suivant 10 √ 3 sin t − cos t = C sin(t − ϕ) =

qui nous donne 11

√ C cos ϕ = 3 C sin ϕ = 1

C (sin t cos ϕ − cos t sin ϕ)

C2 (cos2 ϕ + sin2 ϕ) = 3 + 1 = 4 ��

C=2

cos ϕ = sin ϕ = 12

(⋅)2 (⋅)2

√ 3 2

La phase ϕ est dans le premier quadrant. On peut donc choisir √ 1�2 3 π ϕ = arctan √ = arctan = . 3 6 3�2 √ π 3 sin t − cos t = 2 sin �t − � . 6

Donc

Exemple 5.2. Superposons les deux oscillations harmoniques √ f (t) ∶= 3 sin 3t et g(t) ∶= −2 cos 3t, (t ∈ R) à l’aide de l’ansatz C cos(3t + ϕ). On a √ 3 sin 3t − 2 cos 3t = C cos(3t + ϕ) =

ce qui nous donne

C cos ϕ = −2 √ C sin ϕ = − 3

C (cos 3t cos ϕ − sin 3t sin ϕ) ,

C2 (cos2 ϕ + sin2 ϕ) = 4 + 3 = 7 �� =1 √ C= 7 cos ϕ = − √2 √

sin ϕ = − √3 7

(⋅)2 (⋅)2

10. Un autre ansatz approprié aurait été C cos(t + ϕ).

Les autres ansatz donnent des relations contenant quelques signes moins supplémentaires ; on peut les utiliser néanmoins.

11. Attention aux signes !

CHAPITRE 5. OSCILLATIONS HARMONIQUES

La phase ϕ est dans le troisième quadrant. On peut donc choisir √ √ √ − 3� 7 3 √ − π = arctan ϕ = arctan − π. 2 −2� 7 Donc

√ √ 3 sin 3t − 2 cos 3t = 7 cos �3t + arctan

Exemple 5.3. Résolvons l’inéquation √ √ sin t − 3 cos t > 2, On a

sin t −

√ 3 cos t

ce qui qui nous donne

= =

√ C cos ϕ = − 3 C sin ϕ = 1

(t ∈ R).

C cos(t − ϕ)

C (cos t cos ϕ + sin t sin ϕ) ,

C2 (cos2 ϕ + sin2 ϕ) = 3 + 1 = 4 ��

C=2

cos ϕ = −

sin ϕ =

√ 3 − π� . 2

(⋅)2 (⋅)2

√ 3 2

1 2

La phase ϕ est dans le deuxième quadrant. On peut donc choisir 1�2 −1 5π ϕ = arctan √ + π = arctan( √ ) + π = . 6 − 3�2 3

Notre inéquation peut donc s’écrire sous la forme sin t −

√ √ 5π 3 cos t = 2 cos �t − � > 2, 6

√ 5π 2 cos �t − �> . 6 2 Commençons par résoudre l’équation (fig. 5.3) √ 5π 2 cos �t − �= . 6 2

c.-à-d.

Elle possède deux familles de solutions : √ 5π 2 π = arccos + k 2π = + k 2π t− 6 2 4 et

√ 5π 2 π t− = − arccos + k 2π = − + k 2π 6 2 4

y P( π ) 4

√ 2 2

P(t − x

5π ) 6

P(− π ) 4

(k ∈ Z) (k ∈ Z).

Figure 5.3: La relation entre équation et inéquation.

5.3. INTERPRÉTATION GÉOMÉTRIQUE

Il faut donc que

c.-à-d.

−

π 5π π < t− < 4 6 4

mod 2π

π 5π π + k 2π < t − < + k 2π 4 6 4

(k ∈ Z).

Cela nous donne

7π 13π + k 2π < t < + k 2π 12 12

L’ensemble solution est donc

(k ∈ Z).

S = � ]7π�12 + k 2π, 13π�12 + k 2π[ . k∈Z

5.3

Interprétation géométrique de la superposition d’oscillations harmoniques

Nous allons donner une interprétation géométrique pour les formules de superposition du type

A sin ωt + B cos ωt = C sin(ωt ± ϕ)

A sin ωt + B cos ωt = C cos(ωt ± ϕ).

Considérons deux vecteurs orthogonaux a et b attachés à l’origine d’un système d’axes xy : a=�

A � 0

b=�

0 �. B

Faisons tourner (par un mouvement circulaire uniforme) le système ainsi formé autour de l’origine du système d’axe. Soit ωt l’angle de rotation de ce mouvement. On a alors (fig. 5.4) : 1. Après rotation d’un angle ωt du vecteur a, on obtient un vecteur a′ dont la projection sur l’axe des y vaut A sin ωt.

2. Après rotation d’un angle ωt du vecteur b, on obtient un vecteur b′ dont la projection sur l’axe des y vaut B sin(ωt + π�2) = B cos ωt. 3. Après rotation d’un angle ωt du vecteur a + b, on obtient un vecteur c dont la projection sur l’axe des y vaut A sin ωt + B cos ωt.

ωt

� A �� = A2 + B2 . B

L’angle de rotation entre l’axe des x et le vecteur c est donné par ωt + ϕ,

a′

ωt

A sin ωt

ωt

Le vecteur c est de longueur �c� = ��

c = a+b

c′

B cos ωt

x A sin ωt + B cos ωt

b′

Figure 5.4: La rotation des vecteurs a, b et a + b autour de l’origine d’un angle ωt.

CHAPITRE 5. OSCILLATIONS HARMONIQUES

où ϕ est l’angle trigonométrique déterminé par le vecteur a + b. La projection horizontale sur l’axe des y du vecteur c est donc donnée √ par A2 + B2 sin(ωt + ϕ). Donc � A sin ωt + B cos ωt = A2 + B2 sin(ωt + ϕ).

Pour α > 0, on a y

(x0 , f (x0 ))

Si A > 0 et B > 0, on a ϕ = arctan(B�A). Nous laissons au lecteur le soin d’analyser dans une figure adéquate les cas où A et B ne sont plus tous les deux positifs. On retrouve ainsi les résultats de la Proposition 5.5. Nous laissons au lecteur le soin de donner des interprétations géométriques pour les Propositions 5.6, 5.7 et 5.8.

5.4 !"#

5.4.1

y = f (x)

y = α ⋅ f (x)

(x0 , α f (x0 )) x0

Le graphe d’une oscillation harmonique La multiplication d’une fonction par une constante

Considérons une fonction f ∶ D f → R, x � f (x) définie sur son domaine de définition D f ⊂ R , ainsi que son graphe G f ∶= {(x, f (x)) � x ∈ D f }.

Quel est alors le lien entre le graphe de la fonction α ⋅ f ∶ x � α ⋅ f (x)

et le graphe G f , lorsque α est une constante réelle différente de 0 ? Que peut-on dire du domaine de définition Dα⋅ f ? Pour répondre à ces questions, nous considérons un point quelconque (x, α ⋅ f (x)) ∈ Gα⋅ f et le point correspondant (x, f (x)) ∈ G f . On en conclut que :

1. Le graphe de la fonction α ⋅ f se déduit du graphe de la fonction f par une dilatation de facteur α le long de l’axe des y 12 . La construction correspondante est donnée sur la figure 5.5.

2. Quant au domaine de définition de la fonction α ⋅ f , il coïncide avec celui de la fonction f ; on a donc Dα⋅ f = D f .

Appliquons ce résultat à des oscillations harmoniques. On obtient alors la proposition suivante :

Pour α < 0, on a y

(x0 , f (x0 ))

y = �α� ⋅ f (x) y = f (x) x

(x0 , α f (x0 ))

y = α ⋅ f (x)

Figure 5.5: La construction du graphe Gα⋅ f à partir du graphe G f avec une dilatation de facteur α le long de l’axe des y. 12. Il s’agit donc d’une affinité de facteur α ayant ● pour base l’axe des x et

● pour direction l’axe des y.

Une telle dilatation est donnée par (x, y) � (x, αy).

5.4. LE GRAPHE D’UNE OSCILLATION HARMONIQUE

Proposition 5.9. Le graphe de l’oscillation harmonique f ∶ R → R,

t � y = A sin(ωt + ϕ)

se déduit du graphe de l’oscillation harmonique g ∶ R → R,

t � y = sin(ωt + ϕ)

par une dilatation de facteur A le long de l’axe des y. Le graphe de l’oscillation harmonique f ∶ R → R,

t � y = A cos(ωt + ϕ)

se déduit du graphe de l’oscillation harmonique g ∶ R → R,

t � y = cos(ωt + ϕ)

par une dilatation de facteur A le long de l’axe des y. Les constructions correspondantes se trouvent sur la figure 5.6.

y y = cos(ωt + ϕ)

y = A cos(ωt + ϕ) , A > 0

t y = A cos(ωt + ϕ) , A < 0 Dans la figure ci-dessus, il reste à déterminer comment obtenir le graphe de la fonction g ∶ R → R,

t � y = sin(ωt + ϕ)

Pour l’instant, cette question reste ouverte. Nous y reviendrons sous peu ! 5.4.2

La multiplication de l’argument d’une fonction par une constante

Considérons à nouveau une fonction f ∶ D f → R, x � f (x) définie sur son domaine de définition D f ⊂ R , ainsi que son graphe G f ∶= {(x, f (x)) � x ∈ D f }.

Nous allons analyser le lien entre le graphe de la fonction f ⋅α ∶ x � f (α ⋅ x)

et le graphe G f , lorsque α est une constante réelle différente de 0. Nous nous poserons également la question sur le lien entre le domaine de définition de la fonction f et celui de la fonction f ⋅α . Pour répondre à ces questions, nous considérons un point quelconque (x, f (αx)) ∈ G f⋅α et le point correspondant (αx, f (αx)) ∈ G f . On en conclut que :

Figure 5.6: Le graphe de la fonction f (t) = A sin(ωt + ϕ) obtenu par une dilatation de facteur A (pour A = 2.4 et A = −0.7) le long de l’axe des y.

CHAPITRE 5. OSCILLATIONS HARMONIQUES

1. Le graphe de la fonction f ⋅α se déduit du graphe de la fonction f par une dilatation de facteur α1 le long de l’axe des x. La construction correspondante est donnée sur la figure 5.7. Il s’agit donc d’une affinité de facteur α1 ayant ● pour base l’axe des y et

Pour α > 0 on obtient : y

y = f (x)

Une telle dilatation est donnée par

ax0

2. Concernant les domaines de définition, on a D f⋅α = { α1 x � x ∈ D f }.

Appliquons ce résultat aux fonctions harmoniques. Pour une représentation graphique des ce résultat, le lecteur voudra bien consulter les figures 5.8 et 5.9.

t � y = sin ωt

y = f (�α�x) (αx0 , f (ax0 ))

(avec ω > 0) à partir de celui de l’oscillation harmonique

y = f (x)

t � y = sin t

par une dilatation de facteur ω1 le long de l’axe des t. On obtient le graphe de l’oscillation harmonique f ∶ R → R,

Pour α < 0, on obtient :

(x0 , f (αx0 ))

Proposition 5.10. On obtient le graphe de l’oscillation harmonique

f ∶ R → R,

y = f (ax)

1 (x, y) � ( x, y). α

f ∶ R → R,

(x0 , f (ax0 ))

(ax0 , f (ax0 ))

● pour direction l’axe des x.

αx0

y = f (αx)

Figure 5.7: Le graphe de la fonction f ⋅α obtenu par une dilatation le long de l’axe des x du graphe de f .

t � y = cos ωt

(avec ω > 0) à partir de l’oscillation harmonique f ∶ R → R,

par une dilatation de facteur

1 ω

t � y = cos t

le long de l’axe des t.

y y = sin ω t , ω > 1

π ω

2π ω

y = sin t

2π

3π 2π ω ω

y = sin ω t , 0 < ω < 1

3π

3π ω

Figure 5.8: Le graphe de f (t) = sin ωt, (t ∈ R) pour différentes valeurs de ω.

5.4. LE GRAPHE D’UNE OSCILLATION HARMONIQUE

y y = cos ω t , ω > 1 y = cos ω t , 0 < ω < 1

π ω

2π ω

2π

y = cos t 5.4.3

3π

3π 2π ω ω

Revenons au cas général d’une fonction f ∶ D f → R, x � f (x) définie sur son domaine de définition D f ⊂ R , ainsi que de son graphe G f ∶= {(x, f (x)) � x ∈ D f }.

Pour α > 0, on a y

y = f (x)

(x0 , f (x0 + α))

Analysons le lien entre le graphe de la fonction f +α ∶ x � f (x + α)

et le graphe G f , lorsque α est une constante réelle différente de 0. Demandons-nous ce qu’on peut dire du domaine de définition D f+α . A cet effet, considérons un point (x, f (x + α)) ∈ G( f +α ) et le point correspondant (x + α, f (x + α)) ∈ G( f ). On peut alors conclure que :

1. Le graphe de la fonction f +α se déduit du graphe de la fonction f par une translation horizontale de −α (fig. 5.10) : si α > 0, la translation va donc à gauche, et si α < 0, elle va vers la droite.

2. Le domaine de définition s’obtient également par cette même translation : D f+α = {x − α � x ∈ D f }.

f (t) = 3 sin(2t − 1).

(x0 + α, f (x0 + α))

x0 y = f (x + α)

Pour α < 0, on a y

(x0 + α, f (x0 + α))

x0 + α

y = f (x)

x0 + α

(x0 , f (x0 + α)) x0

Figure 5.10: La translation de graphes. On parle du retardement f +α de la fonction f .

On obtient successivement les figures suivantes : ● Le graphe de la fonction f 1 ∶ R → R, f 1 (t) = sin t. y

−1

y = f (x + α)

Exemple 5.4. Appliquons ces résultats pour dessiner le graphe de la fonction

Figure 5.9: Le graphe de f (t) = cos ωt, (t ∈ R) pour différentes valeurs de ω.

La translation de l’argument d’une fonction

f ∶ R → R,

3π ω

2π

3π

CHAPITRE 5. OSCILLATIONS HARMONIQUES

● Le graphe de la fonction f 2 ∶ R → R, f 2 (t) = sin(2t). y

−1

2π

π�2

3π

● Le graphe de la fonction f 3 ∶ R → R, f 3 (t) = sin(2t − 1) = sin(2(t − 0.5)). y

−1

π + 12

1 2

● Le graphe de la fonction f ∶ R → R, f (t) = 3 sin(2t − 1) : y

−1

π + 12

1 2

−3 On peut généraliser ce résultat.

Proposition 5.11. Soit A une constante positive, et soient ω et ϕ des constantes réelles quelconques. Alors 1. Le graphe de la fonction f (t) = A sin(ωt − ϕ), (t ∈ R) a l’allure suivante : y ϕ�ω

T = 2π�ω

y = A sin(ωt + ϕ) t

5.4. LE GRAPHE D’UNE OSCILLATION HARMONIQUE

2. Le graphe de la fonction g(t) = A cos(ωt − ϕ), (t ∈ R) a l’allure suivante : y ϕ�ω

T = 2π�ω

Remarquons que f et g sont T-périodiques de période T = 2π ω et que le ϕ retardement vaut ω dans les deux cas. L’amplitude est donnée dans les deux cas par A.

y = A cos(ωt + ϕ) t

6 Equations trigonomĂŠtriques Sommaire

6.1 Equations avec superpositions

6.2 Utilisation des relations trigonomĂŠtriques

6.3 Rationalisation

CHAPITRE 6. EQUATIONS TRIGONOMÉTRIQUES

6.1 !"#

Equations contenant une superposition d’oscillations harmoniques de même vitesse angulaire

Nous considérons dans cette section des équations contenant une superposition de deux oscillations harmoniques de même vitesse angulaire. Nous supposerons que ces oscillations harmoniques apparaissent de façon linéaire (c.-à-d. à la puissance 1). La difficulté présentée par de telles équations est due au fait qu’elles contiennent deux fonctions trigonométriques. Nous allons nous concentrer sur deux méthodes : 1. on peut dans certains cas ramener cette équation à une équation en tan ; 2. on peut aussi écrire la superposition en question à l’aide d’un sinus ou d’un cosinus uniquement à l’aide des formules développées dans le chapitre précédent. Commençons donc par un premier exemple simple. Exemple 6.1. Résolvons l’équation 3 sin(2t − 1) − 2 cos(2t − 1) = 0,

Le domaine d’existence 1 est donné par D = R. L’équation en question peut s’écrire

t ∈ R.

3 sin(2t − 1) = 2 cos(2t − 1).

Notons que si cos(2t − 1) = 0, la valeur correspondante de t ne peut pas résoudre notre équation, puisque le sinus et le cosinus ne peuvent pas s’annuler en même temps. On peut donc trouver toutes les solutions tout en diminuant le référentiel depuis sa valeur initiale D à sa nouvelle valeur donnée par

1. Remarquons que le domaine d’existence d’une équation regroupe toutes les valeurs de l’inconnue recherchée qui peuvent être introduites dans l’équation (en la vérifiant ou en ne la vérifiant pas).

{t ∈ R ∶ cos(2t − 1) ≠ 0}.

Sur ce référentiel, notre équation peut s’écrire sous la forme tan(2t − 1) =

On obtient donc 2

c.-à-d. ou

2 3

t ∈ {t ∈ R ∶ cos(2t − 1) ≠ 0}.

2t − 1 = arctan

2 3

2 + kπ 3

arctan 23 + 1

mod π,

π +k 2 2 L’ensemble solution est donc donné par

(k ∈ Z)

(k ∈ Z).

� � 2 � � π � arctan 3 + 1 � S=� + k ∶ k ∈ Z� . � � 2 2 � � � �

2. Remarquons que arctan retourne toujours un angle qui n’annule pas le cosinus.

6.1. EQUATIONS AVEC SUPERPOSITIONS

Cependant, si on perturbe quelque peu l’exemple précédent, la méthode ci-dessus ne peut plus s’appliquer. Il faut alors utiliser les formules développées au chapitre précédent. Exemple 6.2. Résolvons l’équation 3 sin(2t − 1) − 2 cos(2t − 1) = 3,

t ∈ R.

Le domaine d’existence est à nouveau D = R. Une «séparation» du cosinus et du sinus n’est à présent plus possible à cause de la présence d’une constante non nulle dans le terme à droite. On procède alors comme suit : on utilise l’ansatz 3 3 sin(2t − 1) − 2 cos(2t − 1) =

C cos((2t − 1) + ϕ).

Grâce au théorème d’addition, on peut écrire

C cos ϕ cos(2t − 1) − C sin ϕ sin(2t − 1) = C cos((2t − 1) + ϕ).

Par comparaison des coefficients on obtient donc C cos ϕ = −2 C sin ϕ = −3

C2 (cos2 ϕ + sin2 ϕ) = (−2)2 + (−3)2 = 13 �� =1 √ C = 13

(⋅)2 (⋅)2

cos ϕ = − √2

sin ϕ = − √3

La phase ϕ étant située dans le troisième quadrant, on prend 3 − π. 2 Notre équation admet donc la forme équivalente suivante : √ 13 cos((2t − 1) + ϕ) = 3, ϕ = arctan

où ϕ prend la valeur ci-dessus. Cette équation simple se résout aisément : 3 cos((2t − 1) + ϕ) = √ 13 3 (2t − 1) + ϕ = ± arccos √ + k 2π (k ∈ Z) 13 3 2t = ± arccos √ − ϕ + 1 + k 2π (k ∈ Z) 13 3 ± arccos √ − ϕ + 1 13 t = +kπ 2 ± arccos √3 − arctan 32 + π + 1 13 = + k π (k ∈ Z). 2 L’ensemble de toutes les solutions est donc � � 3 √3 � � � � � ± arccos 13 − arctan 2 + π + 1 � S=� + k π ∶ k ∈ Z� . � � 2 � � � � � �

3. On pourrait aussi prendre l’ansatz C sin((2t − 1) + ϕ). Remarquons cependant que l’ensemble solutions de l’équation cos((2t − 1) + ϕ) = K peut s’écrire de façon plus compacte que celui de l’équation sin((2t − 1) + ϕ) = K.

6.2

CHAPITRE 6. EQUATIONS TRIGONOMÉTRIQUES

Utilisation des relations trigonométriques

Les formules trigonométriques interviennent souvent dans la résolution d’équations et d’inéquations trigonométriques : ● Définitions de tangente et de cotangente 4 : sin α , cos α cos α cot α = , sin α

tan α =

● Relations du type Pythagore :

1 + cot2 α =

Dtan = R � {α ∶ α = π�2 mod π}

(α ∈ Dtan )

et que

Dcot = R � {α ∶ α = 0 mod π}.

(α ∈ Dcot ).

sin2 α + cos2 α = 1 1 + tan2 α =

4. Rappelons que

(α ∈ R)

1 cos2 α 1

(α ∈ Dtan )

(α ∈ Dcot ).

sin2 α

● Relations sur les angles doubles 5 : sin(2α) = 2 ⋅ sin α ⋅ cos α

cos(2α) = cos α − sin α 2

= 2 cos2 α − 1 = 1 − 2 sin2 α

tan(2α) =

2 tan α 1 − tan2 α

cot(2α) = −

(α ∈ R)

�α ≠

α≠

1 − cot2 α cot2 α − 1 = 2 cot α 2 cot α 1 − cos α 2 1 + cos α 2 1 − cos α 1 + cos α 1 + cos α 1 − cos α

mod π 2

mod π�

(α ∈ R) (α ∈ R)

(α ≠ π mod 2π)

(α ≠ 0 mod 2π).

● Transformations de sommes en produits :

α+β α−β � ⋅ cos � � 2 2 α+β α−β sin α − sin β = 2 cos � � ⋅ sin � � 2 2 α+β α−β cos α + cos β = 2 cos � � ⋅ cos � � 2 2 α+β α−β cos α − cos β = −2 sin � � ⋅ sin � �. 2 2 sin α + sin β = 2 sin �

π et 2

�α ≠ 0 mod

● Relations de bissections d’angles 6 : α sin2 � � = 2 2 α cos � � = 2 α tan2 � � = 2 2 α cot � � = 2

π 4

(α ∈ R)

5. Nous donnons ici uniquement une des versions développées précédemment ; on retrouve l’autre version en posant α = β�2.

π �. 2

6. Nous donnons ici uniquement une des versions développées précédemment ; on retrouve l’autre version en posant α = 2β.

6.2. UTILISATION DES RELATIONS TRIGONOMÉTRIQUES

● Transformations de produits en sommes :

sin(α + β) + sin(α − β) 2 cos(α + β) + cos(α − β) cos α cos β = 2 cos(α + β) − cos(α − β) sin α sin β = − . 2 sin α cos β =

L’utilisation de ces relations permet la résolution d’un vaste champ d’équations trigonométriques. Exemple 6.3. Déterminons toutes les valeurs de x pour lesquelles on a tan x = cos x.

Le domaine de définition de cette équation est donné par D = Dtan . Sur ce domaine, cette équation s’écrit sin x = cos x, cos x

c.-à-d.

sin x = cos2 x.

Comme sin2 x + cos2 x = 1, nous obtenons la version définitive de notre équation : sin2 x + sin x − 1 = 0,

x ∈ Dtan .

Il s’agit d’une équation quadratique en sin x. En effet, si on pose z ∶= sin x, notre équation devient une simple équation quadratique 7 : z2 + z − 1 = 0

z ∈ [−1, 1].

On peut déterminer les valeurs de z aisément ; on trouve z = (−1 ± √ √ 5)�2. Remarquons que − 5 < −2, si bien qu’il ne reste que la solution √ 5−1 sin x = z = . 2 Nous obtenons donc √ √ 5−1 5−1 x = arcsin mod 2π et x = π − arcsin mod 2π. 2 2

Tous ces angles x appartiennent au domaine de définition D. De ce fait, l’ensemble solution est donné par √ √ 5−1 5−1 S = �arcsin + k 2π ∶ k ∈ Z� ∪ �π − arcsin + k 2π ∶ k ∈ Z� . 2 2 Notons en passant une observation importante. Souvent, les équations trigonométriques contiennent plusieurs fonctions trigonométriques. Une des stratégies possibles est de transformer ces équations de telle façon qu’il n’apparaisse plus qu’une seule fonction trigonométrique.

7. En fait, le domaine de définition de notre équation impose que cos x ≠ 0 ; de façon plus précise, il faudrait donc imposer z ∈ [−1, 1] � {0}. Il nous semble plus facile de vérifier la condition x ∈ D à la fin de nos calculs.

CHAPITRE 6. EQUATIONS TRIGONOMÉTRIQUES

Exemple 6.4. Déterminons toutes les valeurs de x pour lesquelles cos(3x + 2) = 2 cos x ⋅ sin(−x).

Le domaine de définition est D = R. Si on utilise la parité de la fonction sinus, notre équation s’écrit cos(3x + 2) + 2 sin x cos x = 0,

(x ∈ R).

Si on remplace 2 sin x cos x par sin 2x, on obtient cos(3x + 2) + sin 2x = 0,

(x ∈ R).

On peut à présent exprimer sin 2x à l’aide d’un cosinus. Afin d’obtenir une équation donnant une égalité entre deux cosinus, nous procédons comme suit : cos(3x + 2) − sin(−2x) = 0,

(x ∈ R)

cos(3x + 2) = sin(−2x), (x ∈ R) π cos(3x + 2) = cos � − (−2x)� , (x ∈ R) 2 π + 4x cos(3x + 2) = cos � �, (x ∈ R). 2

Nous obtenons ainsi la relation 3x + 2 = ±

π + 4x 2

mod 2π.

1. En prenant le signe +, on a donc x

π − 2 + k 2π 2

(k ∈ Z).

2. En prenant le signe −, on obtient 5x x

= −

π − 2 + k 2π 2 π 2 2π = − − +k . 10 5 5

L’ensemble solution est donc donné par S=�

π−4 π+4 2π + k 2π ∶ k ∈ Z� ∪ �− +k ∶ k ∈ Z� . 2 10 5

Exemple 6.5. Résolvons l’équation sin4 x + cos4 x =

pour x ∈ R. Remarquons à cet effet que sin4 x + cos4 x

2 3

= sin4 x + 2 sin2 x cos2 x + cos4 x − 2 sin2 x cos2 x = �sin2 x + cos2 x� − 2 sin2 x cos2 x 2

= 1 − 2 sin2 x cos2 x.

6.2. UTILISATION DES RELATIONS TRIGONOMÉTRIQUES

Notre équation s’écrit donc 2 1 − 2 sin2 x cos2 x = , 3

c.-à-d.

1 (x ∈ R). 3 En utilisant la relation 2 sin x cos x = sin 2x, notre équation prend la forme 2 2 (sin 2x) = , 3 c.-à-d. √ 6 sin 2x = ± , (x ∈ R) 3 ou encore √ 6 sin(±2x) = , (x ∈ R). 3 Cela nous conduit à deux familles de solutions : √ 6 ±2x = arcsin mod 2π 3 2 sin2 x cos2 x =

√ 6 ±2x = π − arcsin mod 2π. 3 L’ensemble solution est donc donné par et

� � � arcsin S = �± � 2 � �

√ 6 3

� � π − arcsin � � � � + k π ∶ k ∈ Z� ∪ �± � � 2 � � � �

√ 6 3

y D 1

� � � + k π ∶ k ∈ Z� . � � �

La position de ces solutions sur le cercle trigonométrique est donnée sur la figure 6.1.

Figure 6.1: La position (en bleu) des solutions de l’équation sin4 + cos4 = 2�3. y D

Exemple 6.6. Résolvons l’équation sin x = tan x. 1 − cos x

Le domaine de définition D de cette équation est donné par

donc On a

cos x ≠ 1

x ∈ Dtan ;

D = {x ∈ Dtan ∶ x ≠ 0 mod 2π}. sin x = tan x 1 − cos x

Figure 6.2: Le domaine de définition D de l’équation sin x = tan x. 1 − cos x

sin x sin x = 1 − cos x cos x ⇐⇒ sin x cos x = sin x(1 − cos x). ⇐⇒

Nous allons distinguer deux cas :

1. Si sin x = 0, les valeurs correspondantes satisfont notre équation à condition qu’elles soient dans le domaine de définition D. Nous obtenons ainsi les solutions 8 x = π + k 2π

(k ∈ Z).

8. Les points k 2π (k ∈ Z) ne sont pas dans le domaine de définition D.

CHAPITRE 6. EQUATIONS TRIGONOMÉTRIQUES

2. Si sin x ≠ 0, nous pouvons simplifier notre équation par sin x et nous obtenons : = 1 − cos x 1 = . 2

cos x cos x

Nous obtenons donc encore une deuxième famille de solutions :

y D

1 π x = ± arccos + k 2π = ± + k 2π. 2 3

L’ensemble solution est donc donné par S = {π + k 2π ∶ k ∈ Z} ∪ �±

π + k 2π ∶ k ∈ Z� . 3

La position de ces solutions sur le cercle trigonométrique est donnée sur la figure 6.3.

Figure 6.3: La position (en bleu) des solutions de l’équation sin x = tan x. 1 − cos x

Exemple 6.7. Résolvons l’équation tan x + tan 2x − tan 3x = 0.

Cette équation est définie uniquement si x, 2x, 3x ∈ Dtan .

Cet ensemble de définition est représenté sur la figure 6.4. Notre équation peut s’écrire sous la forme sin x sin 2x sin 3x + = , cos x cos 2x cos 3x

sin x cos 2x + cos x sin 2x sin 3x = . cos x cos 2x cos 3x On peut utiliser la formule d’addition pour le sinus pour obtenir sin 3x sin 3x = . cos x cos 2x cos 3x

Nous allons distinguer deux cas :

1. Si sin 3x = 0, les valeurs correspondantes de x satisfont notre équation pour autant qu’elles soient dans le domaine de définition D. On obtient ainsi les solutions x=k

π 3

(k ∈ Z).

Remarquons que toutes ces valeurs sont situées dans le domaine de définition.

2. Si sin 3x ≠ 0, notre équation s’écrit c.-à-d.

1 1 = cos x cos 2x cos 3x

cos x cos 2x = cos 3x.

y D 1

Figure 6.4: Le domaine de définition D de l’équation tan x + tan 2x − tan 3x = 0.

6.2. UTILISATION DES RELATIONS TRIGONOMÉTRIQUES

On peut transformer le produit à gauche pour obtenir cos 3x + cos x = 2 cos 3x,

c.-à-d.

Nous obtenons donc

3x = ±x + k 2π

cos 3x = cos x.

(k ∈ Z).

En prenant le signe +, cela donne x = kπ et on obtient des solutions obtenues précédemment ; en prenant le signe −, cela donne x = kπ�2, des valeurs qui sont soit déjà obtenues précédemment, soit situées hors du domaine de définition !

y D 1

On obtient donc l’ensemble solution que voici : S = �k

π ∶ k ∈ Z� . 3

La position de ces solutions sur le cercle trigonométrique est donnée sur la figure 6.5.

Figure 6.5: La position (en bleu) des solutions de l’équation tan x + tan 2x − tan 3x = 0.

Exemple 6.8. Résolvons l’équation sin x + sin 2x + sin 3x + sin 4x = 0,

(x ∈ R).

A cet effet, nous transformons cette équation comme suit : (sin x + sin 4x) + (sin 2x + sin 3x) = 0 5x 3x 5x x 2 sin cos + 2 sin cos = 0 2 2 2 2 5x 3x x 2 sin �cos + cos � = 0. 2 2 2

Nous distinguons deux cas :

1. Si sin 5x 2 = 0, les valeurs correspondantes de x sont des solutions de notre équation 9 . Nous obtenons ainsi 5x = 0 mod π, 2

c.-à-d.

x=k

2π . 5

2. Si sin 5x 2 ≠ 0, notre équation peut s’écrire cos

c.-à-d.

3x x + cos = 0, 2 2

2 cos x cos Cela donne d’une part

et d’autre part

π +kπ 2

x = π + k 2π

x = 0. 2

(k ∈ Z)

(k ∈ Z).

9. puisque D = R.

CHAPITRE 6. EQUATIONS TRIGONOMÉTRIQUES

On obtient donc l’ensemble de toutes les solutions que voici S = �k

2π π ∶ k ∈ Z� ∪ � + k π ∶ k ∈ Z� ∪ {π + k 2π ∶ k ∈ Z} . 5 2

y D 1

La position de ces solutions sur le cercle trigonométrique est donnée sur la figure 6.6. Figure 6.6: La position (en bleu) des solutions de l’équation

6.3 !"#

Rationalisation d’équations trigonométriques

Nous avons déjà utilisé des substitutions pour résoudre des équations trigonométriques.

!"#

Exemple 6.9. Si on veut résoudre l’équation trigonométrique 5 sin x + 4 = 2 cos2 x,

(x ∈ R),

on remplace cos2 x par 1 − sin2 x pour obtenir 5 sin x + 4 = 2(1 − sin2 x),

(x ∈ R),

et on pose z ∶= sin x ∈ [−1, 1]. Il suffit alors de résoudre l’équation quadratique 2z2 + 5z + 2 = 0, avec z ∈ [−1, 1]. Cela donne

z = sin x = −

et x = − arcsin

1 2

mod 2π

1 2

x = π + arcsin

1 2

mod 2π.

L’ensemble de toutes les solutions est donc donné par S = �−

π 7π + k 2π ∶ k ∈ Z� ∪ � + k 2π ∶ k ∈ Z� . 6 6

Considérons donc une expression rationnelle R(sin x, cos x) en sinus et cosinus. Un exemple d’une telle expression est sin5 x cos2 x − sin x + 4 cos x − 3 sin3 x − 5

Pour résoudre une équation du type R(sin x, cos x) = c, où c ∈ R est une constante, on peut utiliser les substitutions suivantes :

1. z = sin x ;

2. z = cos x ;

3. z = tan x et

4. z = tan x�2.

La proposition suivante permet de choisir la bonne substitution.

sin x + sin 2x + sin 3x + sin 4x = 0.

6.3. RATIONALISATION

Proposition 6.1 (Règles de Bioche). Soit donnée une équation trigonométrique de la forme R(sin x, cos x) = c, où R(⋅, ⋅) est une expression rationnelle (en deux variables) et où c est une constante réelle. On peut alors réduire cette équation en une équation rationnelle à l’aide d’une substitution qu’on choisit de la façon suivante : ● Si l’expression R est paire en sin x, c.-à-d. si

R(− sin x, cos x) = R(sin x, cos x)

pour toutes les valeurs admissibles de notre équation, on pose z ∶= cos x

avec z ∈ [−1, 1].

● Si l’expression R est paire en cos x, c.-à-d. si

R(sin x, − cos x) = R(sin x, cos x)

pour toutes les valeurs admissibles de notre équation, on pose z ∶= sin x

avec z ∈ [−1, 1].

● Si l’expression R est paire en sin x et en cos x simultanément, c.-à-d. si R(− sin x, − cos x) = R(sin x, cos x)

pour toutes les valeurs admissibles de notre équation, on pose z ∶= tan x

avec z ∈ R.

En outre, il faut vérifier si oui ou non les valeurs

satisfont notre équation.

● Dans les autres cas, on pose

π 2

z ∶= tan x�2

mod π

avec z ∈ R.

En outre, il faut vérifier si oui ou non les valeurs

satisfont notre équation.

x = π mod 2π

Dans ce dernier cas, on utilise les relations suivantes : sin x =

2 tan 2x

1 + tan2

, x

cos x =

1 − tan2

x 2 1 + tan2 2x

tan x =

2 tan 2x

1 − tan2

x 2

100

CHAPITRE 6. EQUATIONS TRIGONOMÉTRIQUES

Remarque 6.2. Les règles de Bioche peuvent également s’énoncer sous la forme suivante : condition R(sin(−x), cos(−x)) = R(sin x, cos x) R(sin(π − x), cos(π − x)) = R(sin x, cos x) R(sin(π + x), cos(π + x)) = R(sin x, cos x) sinon

substitution z = cos x z = sin x z = tan x z = tan 2x .

♣

Remarque 6.3. Si on utilise la substitution z = tan 2x , on a 10 ● pour tan x :

● pour cos x :

● pour sin x :

10. Il n’est pas nécessaire de retenir par cœur toutes ces formules. En effet, on peut les retrouver facilement si on mémorise le procédé de calcul.

2 tan 2x x 2z tan x = tan �2 � = = ; 2 1 − tan2 2x 1 − z2 cos x

x x = cos �2 � = 2 cos2 − 1 2 2 1 − tan2 2 = − 1 = 1 + tan2 2x 1 + tan2 =

1 − z2 ; 1 + z2

sin x = tan x ⋅ cos x =

x 2 x 2

2z . 1 + z2

♣

Exemple 6.10. Revenons à l’équation étudiée à l’Exemple 6.5 2 sin4 x + cos4 x = . 3

Le domaine de définition est D = R. La règle de Bioche propose la substitution z = cos x. De ce fait, sin2 x = 1 − z2 et on obtient l’équation suivante en z : 2 (1 − z2 )2 + z4 = , 3

z ∈ [−1, 1],

6z4 − 6z2 + 1 = 0,

z ∈ [−1, 1].

une équation que nous écrivons sous la forme

Cette équation «biquadratique» se résout aisément et on obtient � √ √ 3± 3 3± 3 2 z = et z=± . 6 6 Remarquons que

�

√ 3± 3 < 1, 6 si bien que nous sommes conduits aux équations suivantes : � √ 3± 3 cos x = ± . 6 −1 < ±

101

6.3. RATIONALISATION

Cela nous donne pour x (fig. 6.7) : � √ 1. x = ± arccos 3±6 3 + k 2π et � √ 2. x = π ± arccos 3±6 3 + k 2π, avec k ∈ Z.

y D 1

On retrouve � les 8 familles de solutions √ 3+ 3 6 + k 2π, � √ arccos 3−6 3 + k 2π, � √ − arccos 3+6 3 + k 2π, � √ − arccos 3−6 3 + k 2π, � √ π − arccos 3+6 3 + k 2π, � √ π − arccos 3−6 3 + k 2π, � √ −π + arccos 3+6 3 + k 2π et � √ −π + arccos 3−6 3 + k 2π, avec

1. x = arccos 2. x = 3. x = 4. x = 5. x = 6. x = 7. x = 8. x =

Figure 6.7: La position (en bleu) des solutions de l’équation sin4 x + cos4 x = 2�3.

(k ∈ Z).

Ces solutions sont les mêmes que celles obtenues précédemment 11 !

Exemple 6.11. Résolvons l’équation 15 tan x + 9 sin x + 32 cos x + 32 = 0.

Le domaine de définition est D = Dtan . Sur ce domaine, notre équation peut s’écrire 15 sin x + 9 sin x cos x + 32 cos2 x + 32 cos x = 0.

La règle de Bioche propose la substitution z = tan 2x . Il faudra donc étudier séparément les valeurs x = π + k 2π,

Après substitution, on obtient

(k ∈ Z).

2z 2z 1 − z2 1 − z2 1 − z2 15 +9 + 32 � � + 32 = 0, 2 2 2 2 1+z 1+z 1+z 1+z 1 + z2

11. Il n’est pas toujours facile de vérifier que des solutions obtenues par des méthodes de calcul différentes sont bien les mêmes. Vérifions à titre d’exemple que � � 3 + √3 arcsin √6�3 � arccos = . 6 2 Posons

� � 3 + √3 � α ∶= arccos 6

β = arcsin

30z(1 + z2 ) + 18z(1 − z2 ) + 32(1 − z2 )2 + 32(1 − z4 ) = 0.

En utilisant la relation

sin 2α = 2 sin α cos α

et le fait que

� cos α = + 1 − sin2 α,

on obtient � � 3 + √3 � sin 2α = 2 6 c.-à-d.

sin 2α =

Il faut donc résoudre l’équation

4(3z3 − 16z2 + 12z + 16) = 0.

Comme z = 2 est une solution évidente 12 , on peut factoriser cette équation : (z − 2)(3z2 − 10z − 8) = 0. On obtient donc les trois solutions √ 4 5 ± 25 + 24 5 ± 7 z1 = 2, z2,3 = = =� 2 3 3 −3.

√ 6�3.

Ces deux angles sont dans le premier quadrant, et nous voulons montrer que 2α = β ; à cet effet, il suffit de montrer que √ sin 2α = sin β = 6�3.

c.-à-d.

� � 3 − √3 2 √ � ⋅ = 6, 6 6

√ 6�3 = sin β.

12. Comme solutions évidentes on essaie d’ordinaire les diviseurs de la constante, munis des deux signes + et −. Le schéma de Horner correspondant est donc : 1 -1 2

3 3 3 3

-16 -13 -19 -10

12 -1 31 -8

16 15 -15 –

On en déduit la factorisation !

102

CHAPITRE 6. EQUATIONS TRIGONOMÉTRIQUES

On obtient donc successivement :

1. pour z = 2, c.-à-d. tan 2x = 2 :

x = 2 arctan 2 + k 2π,

(k ∈ Z).

x = 2 arctan 4 + k 2π,

(k ∈ Z).

2. pour z = 4, c.-à-d. tan 2x = 4 :

3. pour z = −2�3, c.-à-d. tan 2x = −2�3 :

x = 2 arctan(−2�3) + k 2π,

y D

(k ∈ Z).

Il reste à vérifier si les valeurs x = π + k 2π (avec k ∈ Z) vérifient notre équation. Cela est bien le cas, si bien que ces points sont également des solutions. On obtient donc 4 familles infinies de solutions, des solutions qui sont représentées sur le cercle trigonométrique de la figure 6.8.

Figure 6.8: La position (en bleu) des solutions de l’équation 15 tan x + 9 sin x + 32 cos x + 32 = 0

Exemple 6.12. Nous allons résoudre l’équation 6 − tan x = 5 sin 2x

sur son domaine de définition D = Dtan . La règle de Bioche propose comme substitution z = tan x 13 ; remarquons que nous ne devrons pas analyser séparément les valeurs de x qui ne sont pas dans le domaine de définition de cette substitution, puisque D = Dtan . Comme sin 2x = 2 sin x cos x = 2 tan x cos2 x = tan x

on obtient c.-à-d.

6−z =

10z , 1 + z2

z − 6z + 11z − 6 = 0, 3

Comme z = 1, 2, 3 sont des solutions réduit à

z∈R

z ∈ R.

2 , 1 + tan2 x

évidentes 14 ,

z3 − 6z2 + 11z − 6 = (z − 1)(z − 2)(z − 3) = 0,

1. x = arctan 1 + k π =

2. x = arctan 2 + k π et

notre équation se z ∈ R.

+ k π,

3. x = arctan 3 + k π, avec k ∈ Z.

14. La recherche de solutions évidente inclut z = ±1, ±2, ±3. Elle donne 1 1 1 1 1

1 1 -1 2

-6 -5 -4 -6 -3

11 6 2 12 –

-6 –

Remarquons que, dès qu’on connaît la solution évidente z = 1, on peut écrire

z3 − 6z2 + 11z − 6 = (z − 1)(z2 − 5z + 6) = 0;

On obtient ainsi trois familles infinies de solutions : π 4

13. Il faut se rappeler que sin 2x 2 sin x cos x.

On retrouve ces solutions sur le cercle trigonométrique de la figure 6.9.

puis on peut déterminer les zéros z = 2 et z = 3 de l’équation quadratique ! y D 1

Figure 6.9: La position (en bleu) des solutions de l’équation 6 − tan x = 5 sin 2x.

103

6.3. RATIONALISATION

Exemple 6.13. Résolvons l’équation cos3 x − 2 sin3 x = 3(cos x − sin x).

Le domaine de définition est D = R. Commençons par remarquer que notre équation implique que cos x ≠ 0. En effet, si on avait cos x = 0, on aurait −2 sin3 x = −3 sin x,

si bien qu’on aurait sin x = cos x = 0 15 , ce qui est impossible. On peut donc diviser les deux membres de notre équation par cos3 x. Il en résulte une équation équivalente : 1 1 1 − 2 tan3 x = 3 � − tan x �, 2 cos x cos2 x

15. En effet, on a −2 sin3 x = −3 sin x

⇐⇒ sin x(2 sin2 x −3) = 0 ⇐⇒ sin x = 0.

x ∈ Dtan .

La règle de Bioche propose la substitution z = tan x. Remarquons que nous ne devrons pas analyser séparément les valeurs de x pour lesquelles cette substitution n’est pas définie, puisque D = Dtan . Nous obtenons donc la forme suivante pour notre équation : 1 − 2z3 = 3(1 + z2 )(1 − z),

z ∈ R.

En effectuant les produits, on obtient immédiatement l’équation équivalente suivante : z3 − 3z2 + 3z − 2 = 0,

z ∈ R.

Comme z = 2 est une solution évidente, on peut factoriser cette équation comme suit : (z − 2)(z2 − z + 1) = 0;

Remarquons que le facteur quadratique a un discriminant négatif, si bien que notre équation en z n’a que la solution tan x = z = 2.

16. En fait, si on écrit notre équation sous la forme cos3 x − 2 sin3 x − 3(cos x − sin x) = 0,

cette équation reste invariante si on remplace cos x par − cos x et sin x par − sin x. De ce fait, on peut utiliser la substitution z = tan x. Ceci est vrai de façon générale. Si l’équation donnée est de la forme

L’ensemble solution est donc donné par

R(sin x, cos x) = 0,

S = {arctan 2 + k π ∶ k ∈ Z}.

on peut remplacer dans la règle de Bioche ● la condition

Considérons une seconde méthode de résolution ! Si on considère l’équation de départ, la règle de Bioche propose la substitution z = tan x�2 16 . Cette substitution donne

c.-à-d.

�

1−z 2z 1−z 2z � −2� � = 3� − � 2 2 2 1+z 1+z 1+z 1 + z2 2 3

(1 − z ) − 16z 1 − 2z − z =3 , (1 + z2 )3 1 + z2 2 3

z ∈ R.

R(− sin x, cos x) = R(sin x, cos x)

par la condition

R(− sin x, cos x) = 0

⇐⇒ R(sin x, cos x) = 0;

● la condition

R(sin x, − cos x) = R(sin x, cos x)

par la condition

● ...

R(sin x, − cos x) = 0

⇐⇒ R(sin x, cos x) = 0;

104

CHAPITRE 6. EQUATIONS TRIGONOMÉTRIQUES

Comme le dénominateur ne s’annule jamais, cette dernière équation est équivalente à 2(z6 + 3z5 + 3z4 − 2z3 − 3z2 + 3z − 1) = 0,

z ∈ R.

Cette équation polynomiale présente une symétrie qui va nous permettre de trouver toutes les solutions. Remarquons que z ≠ 0, si bien qu’on peut écrire notre équation polynomiale comme 1 1 1 z + 3z + 3z − 2 − 3 + 3 2 − 3 = 0, z z z 3

La substitution t ∶= z − 1�z donne alors 17

z ∈ R.

t3 + 3t2 + 6t + 4 = 0;

la solution évidente t = −1 18 permet de factoriser cette dernière équation : (t + 1)(t2 + 2t + 4) = 0.

Remarquons que le facteur quadratique a un discriminant négatif. L’unique solution est donc t = −1. En résolvant l’équation

1 = −1, c.-à-d. z2 + z − 1 = 0, z √ on obtient z = (−1 ± 5)�2. L’ensemble de toutes les solutions est donc √ −1 ± 5 S = �2 arctan + k 2π ∶ k ∈ Z� . 2 t = z−

Une remarque s’impose. Les substitutions proposées par la règle de Bioche donnent des équations rationnelles simples, pour autant que l’on choisisse la substitution appropriée. La substitution «universelle» z = tan x�2 est certes toujours applicable, mais elle aboutit à des équations nettement plus complexes qu’une autre substitution selon Bioche. Remarquons finalement que le procédé le plus simple consiste à écrire l’équation trigonométrique sous la forme (sin x cos x − 1)(2 cos x − sin x) = 0.

17. On calcule successivement :

● t2 = z2 − 2 + 1�z2 , si bien que z2 + 1�z2 = t2 + 2;

● t3 = z3 − 3z + 3�z − 1�z3 , si bien que z3 − 1�z3 = t3 + 3t.

On introduit alors ces résultats dans l’équation (z3 − 1�z3 ) + 3(z2 + 1�z2 ) + 3(z − 1�z) − 2 = 0 et on obtient

t3 + 3t2 + 6t + 4 = 0.

18. On a 1 -1

1 1 1

3 4 2

6 10 4

4 14 –

si bien que t3 + 3t2 + 6t + 4 = (t + 1)(t2 + 2t + 4).

7 Relations dans les triangles Sommaire

7.1 Théorème du cosinus

106

7.1.1

Introduction

106

7.1.2

Notation standard dans le triangle

106

7.1.3

Le théorème du cosinus

107

7.2 Le théorème du sinus

111

7.3 Calcul de triangle

113

7.3.1

Exemple 1 : On connaît deux côtés ainsi que : l’angle intermédiaire

113

7.3.2

Exemple 2 : On connaît les trois côtés

114

7.3.3

Exemple 3 : On connaît un côté et deux angles

115

7.3.4

Exemple 4 : On connaît deux côtés et un grand : angle non intermédiaire

116

Exemple 5 : On connaît deux côtés et un petit : angle non intermédiaire

117

7.3.5

7.4 Le rayon du cercle circonscrit

119

106

7.1 !"#

7.1.1

CHAPITRE 7. TRIANGLES

Théorème du cosinus Introduction

7.1.2

Très tôt dans leur histoire, les sociétés ont reconnu la nécessité de mesurer leur territoire, et cela pour des raisons multiples : citons, à côté de considérations d’ordre militaire, le besoin de fixer les bornes des propriétés et les exigences des constructeurs de routes. Se sont ajoutés par la suite les problèmes liés à la navigation et à l’astronomie. La maîtrise de tels problèmes passe par la maîtrise du triangle, c.-à-d. par la capacité de déterminer les éléments manquants d’un triangle à partir d’une connaissance partielle du triangle. Le présent chapitre présente les techniques fondamentales pour le calcul de triangles dans le plan. Le monde moderne a considérablement rallongé la liste des applications des fonctions trigonométriques. Les physiciens et les scientifiques utilisent ces fonctions dans la description des phénomènes périodiques, c.-à-d. des processus qui se renouvellent indéfiniment comme l’oscillation d’un ressort (fig. 7.1). Les ingénieurs utilisent une théorie du signal qui repose fondamentalement sur les fonctions trigonométriques. Nous n’aborderons (malheureusement) pas ces problèmes qui demanderaient un développement dépassant le cadre de ce livre.

Notation standard dans le triangle

● on remplace A par B, B par C et C par A, ● on remplace a par b, b par c et c par a et ● on remplace α par β, β par γ et γ par α.

Nous allons formuler plusieurs relations entre les longueurs des côtés d’un triangle (quelconque) et les angles de ce même triangle. Afin d’unifier la rédaction de ces relations, nous utilisons une notation standard dans le triangle, une notation représentée à la figure 7.2. Nous dénommons les trois points qui déterminent le triangle par A, B et C. Le côté opposé au point A s’appelle a, et nous dénommons par a également sa longueur. Le côté opposé à B s’appelle b, et celui opposé à C s’appelle c ; là encore, b et c dénomment également la longueur de ces segments. L’angle en A s’appelle α, celui en B s’appelle β et celui en C s’appelle γ ; on désignera également par α, β et γ la mesure de ces angles. Remarquons que nous ne ferons aucune hypothèse sur le sens de parcours ABC dans le triangle. Par symétrie du triangle, nos relations resteront valables sous une permutation cyclique des grandeurs. Par une permutation cyclique on entend une permutation des grandeurs du triangle de la forme suivante :

Figure 7.1: La position x d’une masse attachée à un ressort en fonction du temps t.

C b

α A

β B

Figure 7.2: Triangle en notation standard.

107

7.1. THÉORÈME DU COSINUS

Si on applique dans un triangle en notation standard une telle permutation cyclique deux fois, on obtient une seconde permutation cyclique de la forme suivante 1 : ● on remplace A par C, C par B et B par A, ● on remplace a par c, c par b et b par a et ● on remplace α par γ, γ par β et β par α.

1. Si on dénomme Σ1 la première et Σ2 la seconde de ces permutation, l’ensemble {Σ1 , Σ2 , I} (où I est l’application identité qui laisse tous les éléments en place) forme un groupe par rapport à la composition : ○

Appelons Σ1 la première de ces permutations cycliques et Σ2 la seconde. La figure 7.3 illustre ces deux types de permutations. Nous allons munir une relation R(a, b, c, α, β, γ) du symbole � et nous écrivons R(a, b, c, α, β, γ) �

7.1.3

Le théorème du cosinus

Considérons donc un triangle ABC quelconque en notation standard. Considérons la hauteur hb passant par le point B et perpendiculaire au côté b. Soit T le pied de cette hauteur. Nous renvoyons le lecteur à la figure 7.4. Dans le triangle BTC rectangle en T on a u ∶= CT = a cos γ

Σ1 Σ2

Σ2

Σ1

β b

Figure 7.3: Les permutations cycliques Σ1 (en bleu) et Σ2 (en rouge). On vérifie par exemple aisément que Σ1 ○ Σ1 = Σ2 .

hb = a sin γ.

B a

b u

b − 2ab cos γ + a (cos γ + sin γ) 2

b2 − 2ab cos γ + a2 .

α T

A b−u

b2 − 2ab cos γ + a2 cos2 γ + a2 sin2 γ 2

β hb

= (b − a cos γ)2 + (a sin γ)2 =

B A a α

= (b − u)2 + h2b =

Σ2

I Σ1

Si on applique le théorème de Pythagore au triangle BTA rectangle en T, on obtient : c2

Σ2

R(c, a, b, γ, α, β).

Remarquons que si une relation reste valable sous Σ1 , elle reste également valable sous Σ2 .

Σ1

si cette relations reste valable sous une permutation cyclique. Seront donc également vraies les relations R(b, c, a, β, γ, α)

Nous obtenons donc le théorème suivant :

Théorème 7.1 (théorème du cosinus : formulation standard). Dans tout triangle ABC quelconque, on a en notation standard c2 a

= = =

b2 + a2 − 2ab cos γ b + c − 2bc cos α 2

a2 + c2 − 2ac cos β.

Ces relations sont invariantes sous une permutation cyclique. On peut donc les formuler de façon plus compacte comme c2 = b2 + a2 − 2ab cos γ.

�

hb α

γ C

b u

u−b

Figure 7.4: Le triangle ABC et la hauteur hb . On a AT = �b − u�.

108

CHAPITRE 7. TRIANGLES

Remarque 7.2. Si le triangle ABC (en notation standard) est rectangle en C, on a π γ= et cos γ = 0. 2 Le théorème de cosinus s’écrit alors c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ = a2 + b2 . �� =0

Dans ce cas, le théorème du cosinus correspond donc au théorème de Pythagore. Le théorème du cosinus peut donc être vu comme une généralisation du théorème de Pythagore 2 . ♣ Remarque 7.3. Dans sa forme standard tel que nous l’avons énoncé, le théorème du cosinus permet le calcul suivant. Etant données :

2. Remarquons que la démonstration du théorème du cosinus repose sur le théorème de Pythagore.

● la longueur de deux côtés du triangle et ● la mesure de l’angle intermédiaire,

on peut déterminer la longueur du troisième côté. Nous avons représenté cette situation à la figure 7.5. ♣ On peut écrire la relation

sous la forme

c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ

a2 + b2 − c2 . 2ab Nous pouvons donc énoncer le théorème du cosinus sous une forme alternative :

β α

γ C

Figure 7.5: Si les grandeurs b, c et α (en rouge) sont connues, le théorème du cosinus permet de déterminer la longueur du torisième côté a (en bleu).

cos γ =

Théorème 7.4 (théorème du cosinus : forme alternative). Dans tout triangle ABC quelconque, on a en notation standard, cos γ cos β cos α

= = =

a2 + b2 − c2 2ab a2 + c2 − b2 2ac b2 + c2 − a2 . 2bc

Ces relations sont invariantes sous une permutation cyclique. On peut donc les formuler de façon plus compacte comme cos γ =

a2 + b2 − c2 . 2ab

La figure 7.6 résume l’utilité de ces relations.

B a

γ C

Figure 7.6: Si les grandeurs a, b et c (en rouge) sont connues, le théorème du cosinus permet de déterminer la mesure des angles α, β et γ (en bleu).

�

Remarque 7.5. Chacun des angles α, β et γ d’un triangle est situé entre 0○ et 180○ 3 . Si on connaît donc le cosinus de l’un de ces angles, on connaît nécessairement la mesure de cet angle : la fonction arccos permet de passer de la valeur du cosinus à celle de l’angle. ♣

3. La mesure des angles d’un triangle se fait usuellement en degrés et non pas en radians.

109

7.1. THÉORÈME DU COSINUS

On peut donc également écrire : Théorème 7.6 (théorème du cosinus : forme alternative). Dans tout triangle ABC quelconque, on a en notation standard si on mesure les angles en degré, γ[ mesuré en ○ ] = β[ mesuré en ○ ] = α[ mesuré en ○ ] =

180○ a2 + b2 − c2 ⋅ arccos π 2ab 180○ a2 + c2 − b2 ⋅ arccos π 2ac ○ 2 180 b + c2 − a2 ⋅ arccos . π 2bc

Ces relations sont invariantes sous une permutation cyclique. On peut donc les formuler de façon plus compacte comme γ[ mesuré en ○ ] =

180○ a2 + b2 − c2 ⋅ arccos . π 2ab

�

On dira qu’un triangle est déterminé de façon unique par un ensemble de données, si ces données permettent de déterminer de façon unique les trois côtés et les trois angles de ce triangle. Nous pouvons formuler à présent deux déterminations pour le triangle.

Corollaire 7.7. Si on connaît dans un triangle la longueur de ses trois côtés, on peut déterminer la mesure de ses trois angles. Un triangle est donc déterminé de façon unique par ses trois côtés.

En combinant les deux formes du théorème du cosinus, on obtient le résultat suivant :

Corollaire 7.8. Si on connaît dans un triangle la longueur de deux de ses côtés ainsi que la mesure de l’angle compris entre ces deux côtés, on peut déterminer la longueur du troisième côté ainsi que la mesure de ses deux autres angles. Un triangle est donc déterminé de façon unique par deux de ses côtés et l’angle compris entre ces deux côtés.

Exemple 7.1. Considérons un triangle ABC (en notation standard) avec a = 3,

b=6

c = 4.

Ce triangle est déterminé de façon unique. On peut s’en convaincre à l’aide du raisonnement que voici :

110

CHAPITRE 7. TRIANGLES

1. Comme nous le verrons plus tard, il peut s’avérer utile de commencer par déterminer l’angle en face du côté le plus long. Nous obtenons de la sorte β[ mesuré en ○ ] = =

2. Pour γ, on a

γ[ mesuré en ○ ] = =

180○ a2 + c2 − b2 ⋅ arccos π 2ac 180○ 11 ⋅ arccos(− ) ≈ 117.28○ . π 24 a2 + b2 − c2 180○ ⋅ arccos π 2ab 180○ 29 ⋅ arccos( ) ≈ 36.3361○ . π 36

3. Le troisième angle se détermine par la relation α + β + γ = 180○ : α = 180○ − β − γ ≈ 26.3843○ .

Voici un code Mathematica qui correspond au problème posé : a = 3; b = 6; c = 4; beta = ArcCos[(a^2 + c^2 − b^2)/(2 a c) ]/ Pi∗180.0 gamma = ArcCos[(a^2 + b^2 − c^2)/(2 a b)]/Pi∗180.0 alpha = 180 − beta − gamma

Exemple 7.2. Considérons un triangle ABC (en notation standard) avec a = 5, b=3 γ = 37○ . Ce triangle est déterminé de façon unique. En effet :

1. On peut déterminer le côté manquant c : � � c = a2 + b2 − 2ab cos γ = 34 − 30 cos(37○ ) ≈ 3.16874.

2. Déterminons les angles manquants, et commençons par celui opposé au plus grand des deux côtés a et b : α

180○ b2 + c2 − a2 ⋅ arccos π 2bc 180○ 18 − 30 cos(37○ ) = ⋅ arccos � π 6 34 − 30 cos(37○ ) ○ ≈ 108.266 . =

3. L’angle β se calcule grâce à la relation α + β + γ = 180○ : β = 180○ − α − γ = 34.734○ .

111

7.2. LE THÉORÈME DU SINUS

Voici un code Mathematica qui correspond au problème posé : a = 5; b = 3; gamma = 37; c = Sqrt[a^2 + b^2 − 2 a b Cos[gamma Degree]]; N[c] alpha = ArcCos[(b^2 + c^2 − a^2)/(2 b c) ]/ Pi∗180.0 beta = 180 − alpha − 37

7.2 !"#

Le théorème du sinus

Considérons un triangle ABC (en notation standard) ainsi que la hauteur hc abaissée sur le côté c depuis le point C (fig. 7.7). L’aire S 4 de ce triangle est donnée par

4. Dorénavant nous utilisons S pour l’aire du triangle en notation standard.

1 S = c ⋅ hc . 2

Dans le triangle ATC rectangle en T, on observe que sin α =

hc , b

c.-à-d.

En combinant ces résultats, on obtient : S=

hc = b sin α.

= = =

hb hc ou, de façon plus compacte ha =

1 ⋅ b c sin α. 2

1 ⋅ a b sin γ 2 1 ⋅ b c sin α 2 1 ⋅ a c sin β. 2

a hc

β α A

Figure 7.7: Le triangle ABC et la hauteur hc .

2S = b sin γ = c sin β a 2S = a sin γ = c sin α b 2S = b sin α = a sin β c

2S = b sin γ = c sin β. a

Les hauteurs sont données par 5 =

α C

Ces formules sont invariantes sous une permutation cyclique ; on peut donc aussi écrire 1 S = ⋅ a b sin γ. 2 � ha

Proposition 7.9. L’aire S d’un triangle ABC quelconque (en notation standard) est donnée par chacune des formules suivantes : S

�

5. On a par exemple

2S 2 ⋅ = a

1 2

⋅ a b sin γ a

1 2

⋅ a c sin β a

112

CHAPITRE 7. TRIANGLES

La proposition ci-dessus donne trois formules pour l’aire S : 2S = a b sin γ = b c sin α = a c sin β.

Si on divise ces relations par a b c, on obtient le résultat fondamental suivant : Théorème 7.10 (Théorème du sinus : variante avec l’aire). Dans un triangle ABC quelconque (en notation standard), on a sin α sin β sin γ 2S = = = . a b c abc Remarque 7.11. 1. Si on utilise le théorème du sinus ci-dessus pour le calcul d’une longueur, on écrit a b c

sin α sin α = c⋅ sin β sin γ sin β sin β a⋅ = c⋅ sin α sin γ sin γ sin γ a⋅ = b⋅ sin α sin β

b⋅

= =

ou de façon plus compacte a = b⋅

sin α sin α = c⋅ . sin β sin γ

�

2. Si on utilise le théorème du sinus ci-dessus pour le calcul d’un angle, on écrit sin α sin β sin γ

= = =

ou de façon plus compacte sin α =

a ⋅ sin β = b b ⋅ sin α = a c ⋅ sin α = a

a ⋅ sin γ c b ⋅ sin γ c c ⋅ sin β b

a a ⋅ sin β = ⋅ sin γ. b c

�

Remarquons cependant que si on connaît le sinus d’un angle d’un triangle, on ne connaît pas forcément cet angle : il existe usuellement deux valeurs pour un même sinus 6 . ♣

On pourra appliquer le théorème du sinus dès qu’on connaît (au moins) une des paires (a, α) ou (b, β) ou

(c, γ).

Si on connaît alors (au moins) un deuxième angle, le triangle est déterminé de façon unique :

6. Le théorème du sinus permet cependant de façon unique le calcul des deux petits angles d’un triangle. En effet, seul le plus grand des angles peut (mais ne doit pas) prendre des valeurs entre 90○ et 180○ . Rappelons à cet effet que le plus grand angle d’un triangle est en face du côté le plus long, et le plus petit angle d’un triangle est en face du côté le plus court.

113

7.3. CALCUL DE TRIANGLE

Proposition 7.12. Si on connaît, dans un triangle ABC quelconque (en notation standard), (au moins) deux angles et un côté, alors ce triangle est déterminé de façon unique :

● On peut déterminer l’angle manquant en utilisant la relation α + β + γ = 180○ ; ● On peut déterminer la longueur des côtés manquants en utilisant le théorème du sinus sous la forme donnée au premier point de la Remarque 7.11.

Si on connaît uniquement une paire et un côté, on peut utiliser le théorème du sinus sous la forme donnée sous le second point de la Remarque 7.11 pour déterminer la valeur d’un deuxième angle. Cependant, sans informations supplémentaires, on obtient deux valeurs possibles pour cet angle. Si on dispose de l’information que cet angle est aigu, alors ce deuxième angle est déterminé de façon unique. Proposition 7.13. Si on connaît, dans un triangle ABC quelconque (en notation standard), la paire (a, α) et le côté b, et si b < a, alors le triangle est déterminé de façon unique : ● Comme b < a, on a β < α si bien que l’angle aigu β est donné par 7 β=

○

180 b sin α arcsin ; π a

● L’angle γ est donné par 8 γ = 180○ − α − β ; ● La longueur du côté c se calcule par c = a⋅

7.3 !"#

sin γ . sin α

Calcul de triangle

On parle de calcul de triangle lorsqu’on veut déterminer, à partir d’un lot réduit de longueurs et d’angles, les autres longueurs et angles de ce triangle. La stratégie repose sur les théorèmes du sinus et du cosinus. Elle tient compte du fait que, si possible, on utilise de préférence le théorème du sinus ; mais, si pour un calcul d’angle ce dernier ne donne pas un résultat unique, on essaie d’utiliser le théorème du cosinus. Nous allons présenter tout un éventail de cas possibles. 7.3.1

Exemple 1 : On connaît deux côtés ainsi que l’angle intermédiaire

Si on connaît, pour fixer les idées, a, c et β avec disons a < c, le procédé peut être résumé ainsi :

1. On calcule le troisième côté manquant à l’aide du théorème du cosinus : � b = a2 + c2 − 2 a c cos β.

7. Si on mesure l’angle β en radians, on a b sin α β = arcsin . a 8. Si on mesure les angles en radians, on a γ = π − α − β.

114

CHAPITRE 7. TRIANGLES

2. On détermine le «petit» angle avec le théorème du sinus : a sin β 180○ ⋅ arcsin . π b

α=

3. On détermine le troisième angle par γ = 180○ − α − β. Exemple 7.3. Reprenons les données de l’Exemple 7.2 qui sont représentées à la figure 7.8. Considérons donc un triangle ABC (en notation standard) avec a = 5,

b=3

Le processus ci-dessus donne :

γ = 37○ .

1. On détermine c à l’aide du théorème du cosinus : � √ c = a2 + b2 − 2 a b cos γ = 34 − 30 cos 37○ ≈ 3.16874.

2. On détermine un «petit» angle avec le théorème du sinus (contrairement à ce que nous avions fait à l’Exemple 7.2) : β

180○ b sin γ 180○ 3 sin 37○ ⋅ arcsin = ⋅ arcsin � π c π 34 − 30 cos(37○ ) ○

≈ 34.734 .

3. On détermine le troisième angle : α = 180○ − β − γ ≈ 108.266○ .

Voici le code Mathematica qui correspond à ce calcul : a = 5; b = 3; gamma = 37; c = Sqrt[a^2 + b^2 − 2 a b Cos[gamma Degree]] // N beta = ArcSin[b Sin[gamma Degree]/c] /Pi∗180.0 alpha = 180 − gamma − beta

7.3.2

Exemple 2 : On connaît les trois côtés

On connaît dans ce cas les trois longueurs a, b et c avec disons, pour fixer les idées, a < b < c. On procède alors comme suit :

1. On détermine le «grand» angle (dans notre cas γ) avec le théorème du cosinus : γ=

180○ a2 + b2 − c2 ⋅ arccos . π 2ab

2. On détermine un autre angle, disons α, avec le théorème du sinus : α=

a sin β 180○ ⋅ arcsin . π b

C γ a b α β c

Figure 7.8: Le triangle avec a = 5,

b=3

Stratégie de calcul :

γ = 37○ .

1. calcul de c à l’aide du théorème du cosinus, 2. calcul de β (petit angle) à l’aide du théorème du sinus, 3. calcul de α par la somme des angles.

115

7.3. CALCUL DE TRIANGLE

3. On détermine le troisième angle par : β = 180○ − α − γ.

C γ

Exemple 7.4. Reprenons l’Exemple 7.1 avec a = 3,

b=6

c = 4.

Nous avons représenté ce triangle à la figure 7.9. Le processus décrit ci-dessus donne : 1. Calcul du grand angle β : β

180○ a2 + c2 − b2 180○ 11 = ⋅ arccos = ⋅ arccos �− � π 2ac π 24 ○ ≈ 117.28 .

2. Calcul d’un deuxième angle, disons α, à l’aide du théorème du sinus (contrairement à ce que nous avons fait à l’Exemple 7.1) : α

a sin β 180○ ⋅ arcsin ≈ 26.3843○ . π b

3. Calcul du troisième angle :

γ = 180○ − α − β ≈ 36.3361○ .

Voici le code Mathematica qui correspond à ce calcul : a = 3; b = 6; c = 4; beta = ArcCos[(a^2 + c^2 − b^2)/(2 a c) ]/ Pi∗180.0 alpha = ArcSin[a Sin[beta Degree]/b]/Pi∗180.0 gamma = 180 − alpha − beta

7.3.3

Exemple 3 : On connaît un côté et deux angles

Supposons connus, pour fixer les idées c, α et β. Remarquons qu’il importe peu lesquels des angles sont donnés ! On peut procéder comme suit : 1. On détermine l’angle manquant par γ = 180○ − α − β.

2. On détermine les deux autres côtés à l’aide du théorème du sinus : a b

= =

c sin α c sin α = sin γ sin(α + β) c sin β c sin β = . sin γ sin(α + β)

Remarquons que nous avons utilisé la relation sin γ = sin(180○ − (α + β)) = sin(α + β).

β α A

Figure 7.9: Le triangle avec a = 3,

b=6

Stratégie de calcul :

c = 4.

1. calcul de β (grand angle) à l’aide du théorème du cosinus, 2. calcul de α à l’aide du théorème du sinus, 3. calcul de γ par la somme des angles.

116

CHAPITRE 7. TRIANGLES

Exemple 7.5. Considérons un triangle ABC quelconque (en notation standard) avec a = 9,

α = 71○

β = 54○ .

γ b

Le lecteur trouvera une représentation de ce triangle à la figure 7.10 Le processus ci-dessus donne

1. Pour l’angle manquant γ : γ = 180○ − α − β = 55○ .

2. Pour les deux côtés manquants : b c

= =

a sin β sin 54○ =9 ≈ 7.7007. sin α sin 71○

a sin γ sin 55○ =9 ≈ 7.79717. sin α sin 71○

Voici le code Mathematica qui correspond à ce calcul : a = 9; alpha = 71; beta = 54; gamma = 180 − alpha − beta; b = a Sin[beta Degree]/Sin[alpha Degree]; c = a Sin[gamma Degree]/Sin[alpha Degree]; gamma b // N c // N

7.3.4

Exemple 4 : On connaît deux côtés et un grand angle non intermédiaire

Supposons connus dans un triangle quelconque ABC (en notation standard), deux côtés et un angle qui n’est pas situé entre ces deux côtés, et supposons que cet angle soit grand. Pour fixer les idées, supposons donc donnés a, c et γ avec a < c. Commençons par remarquer que, dans ce cas, l’angle α doit être aigu. On peut donc utiliser le processus suivant : 1. On détermine l’angle aigu manquant : α=

180○ a sin γ ⋅ arcsin . π c

2. On détermine le troisième angle :

β = 180○ − α − γ.

3. On détermine le troisième côté à l’aide du théorème du sinus : b=

c sin β . sin γ

β c

Figure 7.10: Le triangle avec a = 9,

α = 71○

Stratégie de calcul :

β = 54○ .

1. calcul de γ par la somme des angles, 2. calcul de b et de c à l’aide du théorème du sinus.

117

7.3. CALCUL DE TRIANGLE

Exemple 7.6. Considérons un triangle ABC quelconque (en notation standard) avec a = 5.3,

b = 3.4

α = 39.4○ .

La situation correspond à celle donnée à la figure 7.11. Le processus ci-dessus donne :

1. On détermine l’angle β qui doit être aigu puisque b < a. On a donc β

= =

180○ b sin α arcsin π a 180○ arcsin 0.11976 ≈ 24.0282○ . π

2. On détermine l’angle γ par

γ = 180○ − α − β ≈ 116.572○ .

C b

β c

Figure 7.11: Le triangle avec a = 5.3,

b = 3.4

α = 39.4○ .

Stratégie de calcul :

1. calcul de β (petit angle) à l’aide du théorème du sinus, 2. calcul de γ par la somme des angles, 3. calcul de c à l’aide du théorème du sinus.

3. On détermine c à l’aide du théorème du sinus : c

a sin γ ≈ 7.46802. sin α

Voici le code Mathematica qui correspond à ce calcul : a = 5.3; b = 3.4; alpha = 39.4; beta = ArcSin[b Sin[alpha Degree]/a]/Pi∗180 gamma = 180 − alpha − beta c = a Sin[gamma Degree]/Sin[alpha Degree]

7.3.5

γ1

Exemple 5 : On connaît deux côtés et un petit angle non intermédiaire

Supposons connus dans un triangle quelconque ABC (en notation standard), deux côtés et un angle qui n’est pas situé entre ces deux côtés, et supposons que cet angle soit petit. Pour fixer les idées, supposons donc donnés a, c et α avec a < c. Commençons par remarquer que, dans ce cas, l’angle γ n’est pas nécessairement aigu (fig. 7.12). En outre, le théorème du cosinus ne permet pas de déterminer un des angles manquants. Nous ne pouvons que déterminer sin γ, et usuellement on obtient deux angles possibles pour γ. Le processus de calcul est donc le suivant :

C2 γ2 c

B C γ

α A

c sin α ≥ 0. a

γ1 =

180○ c sin α arcsin π a

γ2 = 180○ − γ1 .

a A

Si cette valeur pour le sinus n’est pas comprise entre 0 et 1, il n’existe aucun triangle de ce type. Si cette valeur vaut 1, il existe exactement une solution avec γ = 90○ (triangle rectangle). Si sin γ ∈ [0, 1[, il existe deux angles possibles :

1. On détermine sin γ à l’aide du théorème du sinus : sin γ =

β1

β2

Figure 7.12: Le triangle ABC où a, c et α avec a < c sont connus. Ce triangle n’est pas déterminé de façon unique. Selon la α valeur de c sin on a deux solutions, une a seule solution ou pas de solutions. Dans le cas où on a exactement une solution, le triangle est rectangle en C.

118

CHAPITRE 7. TRIANGLES

2. Pour chacun des angles γ1 et γ2 (resp. pour γ = 90○ si on détermine

c sin α a

= 1)

● l’angle manquant β à l’aide de la sommes des angles dans un triangle et ● le côté manquant à l’aide du théorème du sinus.

Exemple 7.7. Considérons le triangle ABC quelconque (en notation standard) avec a = 4.2, b = 5.7 et α = 39.4○ . On ne peut pas appliquer le théorème du cosinus pour déterminer un angle, puisqu’on ne connaît pas les trois côtés. Il faut donc se résoudre à déterminer l’angle β, un angle qui n’est pas nécessairement aigu, à l’aide du théorème du sinus. Cela nous donne b sin α sin β = ≈ 0.86142 a ○ 180 b sin α β1 = arcsin ≈ 59.4764○ π a 180○ b sin α β 2 = 180○ − arcsin ≈ 120.524○ . π a Connaissant deux angles, on peut aisément déterminer le troisième correspondant à chacune des valeurs de l’angle β : γ1 γ2

= 180○ − α − β 1 ≈ 81.1236○

= 180○ − α − β 2 ≈ 20.0764○ .

On peut maintenant déterminer le côté manquant c dans les deux cas : a sin γ1 c1 = ≈ 6.53773 sin α a sin γ2 c2 = ≈ 2.27143. sin α On obtient donc deux solutions : 1. La première solution est c ≈ 6.53773,

β ≈ 59.4764○ ,

γ ≈ 81.1236○ .

c ≈ 2.27143,

β ≈ 120.524○ ,

γ ≈ 20.0764○ .

2. La seconde solution est

Voici le code Mathematica qui correspond à ce calcul : a = 4.2; b = 5.7; alpha = 39.4; beta1 = ArcSin[b Sin[alpha Degree]/a]/Pi∗180; gamma1 = 180 − alpha − ArcSin[b Sin[alpha Degree]/a]/Pi∗180; beta2 = 180 − ArcSin[b Sin[alpha Degree]/a]/Pi∗180; gamma2 = 180 − alpha − beta2; c1 = a Sin[gamma1 Degree]/Sin[alpha Degree]; c2 = a Sin[gamma2 Degree]/Sin[alpha Degree]; Print [" Solution 1:"] Print [" c = ", c1, ", beta = ", beta1, ", gamma = ", gamma1] Print [" Solution 2:"] Print [" c = ", c2, ", beta = ", beta2, ", gamma = ", gamma2]

7.4. LE RAYON DU CERCLE CIRCONSCRIT

7.4 !"#

119

Le rayon du cercle circonscrit

Etant donné un triangle quelconque ABC (en notation standard), on peut considérer le cercle qui passe par A, B et C. Ce cercle s’appelle le cercle circonscrit au triangle ABC. Nous l’avons représenté sur la figure 7.13. Remarquons que ce cercle est défini de façon unique. Son rayon r (notation standard) est appelé rayon du cercle circonscrit. Le centre de ce cercle est le point d’intersection M des trois médiatrices m a , mb et mc de chacun des côtés du triangle ABC. Dénommons par T l’intersection du côté a et de la médiatrice m a . L’angle α en A est égal à l’angle en M délimité par les segments MT et MC. En effet, l’angle en M limité par MB et MC vaut, en tant qu’angle au centre au-dessus de l’arc BC, 2α. Le triangle MTC est rectangle en T. De ce fait, on obtient

On en déduit la relation

sin α =

a�2 a = . r 2r

a = 2r. sin α Remarquons qu’on peut effectuer les mêmes calculs avec β ou γ, et on obtient b� sin β = 2r et c� sin γ = 2r. Nous retrouvons donc le théorème du sinus, dans une version quelque peu plus générale : Théorème 7.14 (Théorème du sinus : variante avec le rayon circonscrit). Dans un triangle ABC quelconque (en notation standard), on a sin α sin β sin γ 2S 1 = = = = a b c a b c 2r

où S est l’aire du triangle et r le rayon circonscrit du triangle.

Indiquons quelques conséquences de ce théorème :

1. En prenant la dernière égalité, on obtient a b c = 4 r S ; donc abc =S 4r

abc = r. 4S

2. En outre, on obtient a = 2r sin α, b = 2r sin β et c = 2r sin γ. Ces relations se déduisent l’une de l’autre par permutation cyclique, si bien qu’il suffit de retenir que

3. Rappelons que S = S=

c.-à-d.

1 2

a = 2r sin α.

�

a b sin γ (par exemple), si bien que

1 a b ⋅ ⋅ ⋅ sin α ⋅ sin β ⋅ sin γ. 2 sin α sin β �� =2r

=2r

S = 2r2 sin α sin β sin γ.

b M

a�2 T a�2

mc A

Figure 7.13: Un triangle, le cercle circonscrit et les médiatrices.

120

CHAPITRE 7. TRIANGLES

Exemple 7.8. Considérons un triangle ABC quelconque (en notation standard) avec α = 80○ et β = 50○ . Sachant que le rayon circonscrit r vaut 9, on détermine les angles et les côtés manquants. Comme on connaît deux angles, on obtient immédiatement la valeur du troisième angle : γ = 180○ − α − β = 50○ .

Le triangle est donc isocèle avec b = c. En outre, on a a

b=c

= 2r sin α = 18 sin 80○ ≈ 17.7265

= 2r sin β = 18 sin 50○ ≈ 13.7888.

Exemple 7.9. Déterminons les côtés et les angles manquants du triangle ABC si on sait que S = 600, α = 45○ et β = 54○ . On a γ = 180○ − α − β = 81○ . De ce fait, les relations

a b c = = = 2r sin α sin β sin γ

permettraient de déterminer a, b et c, si nous connaissions le rayon circonscrit r. Rappelons que

si bien que

Nous obtenons donc

S = 2r2 sin α sin β sin γ, 4r2 =

a b c = = sin α sin β sin γ a b c

2S . sin α sin β sin γ

� � = �

2S ≈ 46.085 sin α sin β sin γ � � 2S = sin α� ≈ 32.587 sin α sin β sin γ � � 2S = sin β� ≈ 37.2835 sin α sin β sin γ � � 2S = sin γ� ≈ 45.5176. sin α sin β sin γ

Exemple 7.10. Déterminons les côtés et les angles manquants du triangle ABC si on sait que S = 25, ab = 78 et γ + β = 70○ . On a immédiatement α = 180○ − (β + γ) = 110○ .

121

7.4. LE RAYON DU CERCLE CIRCONSCRIT

Il en résulte que les deux angles β et γ doivent être aigus. La relation S = 12 ab sin γ permet donc d’écrire sin γ γ β On tire de

2S 50 = ab 78 180○ 50 = arcsin ≈ 39.8683○ π 78 180○ 50 = 70○ − γ = 70○ − arcsin ≈ 30.1317○ . π 78 =

a b = sin α sin β

la relation

Cela donne a b

a2 ab = sin α sin β

c.-à-d.

a2 =

ab sin α . sin β

� � � ab sin α � 78 sin 110○ � = =� ≈ 12.0835 ○ 50 ○ sin β sin(70 − 180 π arcsin 78 ) = =

ab =� a

78 sin 110○ arcsin

○ sin(70○ − 180 π

a sin γ ≈ 8.24295. sin α

50 ) 78

≈ 6.45508

8 Dérivabilité des fonctions trigonométriques Sommaire

8.1 Continuité

124

8.2 Quelques limites particulières

127

8.3 Dérivée des fonctions trigonométriques

129

8.3.1

Rappel sur la dérivée d’une fonction

129

8.3.2

La dérivée de la fonction sinus

130

8.3.3

La dérivée de la fonction cosinus

131

8.3.4

La dérivée de la fonction tangente

132

8.3.5

La dérivée de la fonction cotangente

132

8.4 Calculs avec les fonctions réciproques

133

8.5 Dérivée des fonctions réciproques

138

124

8.1 !"#

CHAPITRE 8. DÉRIVABILITÉ

La continuité des fonctions trigonométriques

Considérons la fonction sinus et la fonction cosinus en un point fixe ξ ∈ R. Si �x − ξ� < π2 , on a la situation suivante : y

cos ξ − cos x

cos ξ

cos x

cos ξ − cosx

cos x

sin ξ

sin x − sin ξ

sin x

ξ x

sin ξ sin x

sin x − sin ξ

Figure 8.1: Les différences sin x − sin ξ et cos x − cos ξ sur le cercle trigonométrique.

On remarque que la longueur du segment qui joint les points (cos x, sin x) et (cos ξ, sin ξ) est plus petite que la longueur de l’arc de cercle joignant ces deux points. De ce fait on a (fig. 8.2) � � sin x − sin ξ�2 + � cos x − cos ξ�2 ≤ �x − ξ� si �x − ξ� < π�2. Remarquons que cela implique � � sin x − sin ξ� ≤ � sin x − sin ξ�2 + � cos x − cos ξ�2 ≤ �x − ξ� et

� cos x − cos ξ� ≤

si �x − ξ� < π�2.

� � sin x − sin ξ�2 + � cos x − cos ξ�2 ≤ �x − ξ�

Nous obtenons donc le résultat suivant :

Proposition 8.1. On a

� sin x − sin ξ� ≤ �x − ξ�,

� cos x − cos ξ� ≤ �x − ξ�,

(�x − ξ� < π�2)

(�x − ξ� < π�2).

De ce fait, les fonctions sinus et cosinus sont continues : lim sin x

x→ξ

lim cos x

x→ξ

= sin ξ,

= cos ξ,

(x ∈ R)

(x ∈ R).

� sin x − sin ξ�

�x − ξ� � cos x − cos ξ�

Figure 8.2: La longueur du segment qui joint les points (cos x, sin x) et (cos ξ, sin ξ) est plus petite que la longueur de l’arc de cercle joignant ces deux points.

125

8.1. CONTINUITÉ

Démonstration. Remarquons simplement que 0 ≤ lim � sin x − sin ξ� ≤ x→ξ

0 ≤ lim � cos x − cos ξ� ≤ x→ξ

De ce fait

lim � sin x − sin ξ� = 0

x→ξ

c.-à-d.

lim sin x = sin ξ

x→ξ

lim �x − ξ�

x→ξ

lim �x − ξ�.

x→ξ

lim � cos x − cos ξ� = 0,

x→ξ

lim cos x = cos ξ.

x→ξ

Donnons une interprétation géométrique aux relations

� sin x − sin ξ� ≤ �x − ξ�,

(�x − ξ� < π�2)

� cos x − cos ξ� ≤ �x − ξ�,

(�x − ξ� < π�2)

obtenues dans la proposition ci-dessus. A cet effet, rappelons qu’une fonction f (fig. 8.3) définie sur (au moins) un intervalle ]a, b[ contenant un point ξ est dit lipschitzienne en ξ s’il existe des constantes ε > 0 et L > 0 avec � f (x) − f (ξ)� ≤ L�x − ξ�

pour tous les x ∈]a, b[ avec �x − ξ� < ε. Pour comprendre l’aspect géométrique de cette notion, il nous faut repérer l’ensemble des points (x, y) qui satisfont une relation du type �y − η� ≤ L�x − ξ�

pour �x − ξ� < ε.

y f (x)

f (x) − f (ξ)

f (ξ)

y = f (x)

x−ξ

]

ε ξ

[

Figure 8.3: Une fonction f définie sur (au moins) un intervalle ]a, b[ contenant un point ξ.

Nous pouvons transformer cette inégalité comme suit : �y − η� ≤

L �x − ξ�, (�x − ξ� < ε) � � , (0 ≤ x − ξ < ε) ��y − η� ≤ L(x − ξ) ⇐⇒ � � � ��y − η� ≤ −L(x − ξ) , (−ε < x − ξ ≤ 0) � � �−L(x − ξ) ≤ y − η ≤ L(x − ξ) , (0 ≤ x − ξ < ε) ⇐⇒ � � � � L(x − ξ) ≤ y − η ≤ −L(x − ξ) , (−ε < x − ξ ≤ 0) � � �−L(x − ξ) + η ≤ y ≤ L(x − ξ) + η , (ξ ≤ x < ξ + ε) ⇐⇒ � � � � L(x − ξ) + η ≤ y ≤ −L(x − ξ) + η , (ξ − ε < x ≤ ξ).

De ce fait, l’ensemble des points (x, y) en question est situé entre les deux droites y = L(x − ξ) + η

y = −L(x − ξ) + η

et les deux droites verticales x = ξ ± ε. Il s’agit donc de deux triangles issus du point (ξ, η) comme indiqué sur la figure 8.4

y = L(x − ξ) + η

y η

y = −L(x − ξ) + η x x = ξ−ε

x = ξ+ε

Figure 8.4: Le domaine (en rouge) comprenant tout les points (x, y) avec �y − η� ≤ L�x − ξ�

pour �x − ξ� < ε.

126

CHAPITRE 8. DÉRIVABILITÉ

Revenons à notre fonction f définie sur (au moins) un intervalle ]a, b[ contenant un point ξ. Supposons que cette fonction soit donc lipschitzienne en ξ. Il existe donc des constantes ε > 0 et L > 0 avec � f (x) − f (ξ)� ≤ L�x − ξ�

pour tous les x ∈ ]a, b[ avec �x − ξ� < ε. Cela signifie que la partie du graphe G f correspondant aux valeurs de x avec �x − ξ� < ε est située dans deux parties triangulaires issues du point (ξ, f (ξ)) et de pentes ±L. Nous avons illustré cela sur la figure 8.5. La proposition ci-dessus exprime donc le fait que les fonctions sinus et cosinus sont lipschitziennes en tout point, avec une constante de Lipschitz de L = 1. Cela peut être observé sur les graphes de ces fonctions : y y = sin x

Remarquons que toute fonction lipschtzienne en ξ est continue en ce même point. Les fonctions tangente et cotangente sont, en tant que quotient de fonctions continues, elles aussi continues : Proposition 8.2. Les fonctions tangente et cotangente sont continues en tout point de leur domaine de définition. Donc = tan ξ,

lim tan x

= cot ξ,

lim cot x

x→ξ

(ξ ∈ Dtan ) et

(ξ ∈ Dcot ).

Exemple 8.1. Déterminons la valeur de la limite sin2 x . x→0 1 − cos x

lim Remarquons que

lim sin x = sin 0 = 0 x→0

lim(1 − cos x) = 1 − lim cos x = 1 − cos 0 = 0. x→0

x→0

La limite en question est donc du type 00 . En remplaçant sin2 x par 1 − cos2 x, on obtient sin2 x x→0 1 − cos x

lim

= =

1 − cos2 x (1 − cos x)(1 + cos x) = lim x→0 1 − cos x x→0 1 − cos x lim(1 + cos x) = 1 + lim cos x = 1 + cos 0 = 2. lim

x→0

f (x)

y = −L(x − ξ) + η

y = L(x − ξ) + η

f (ξ)

y = f (x) ε ]

x = ξ−ε

ε ξ

[

x = ξ+ε

Figure 8.5: Une fonction lipschitzienne en ξ.

x→ξ

x y = cos x

Figure 8.6: Les fonctions sinus et cosinus sont lipschitziennes partout, de constante de Lipschitz L = 1.

127

8.2. QUELQUES LIMITES PARTICULIÈRES Proposition 8.3. Les fonctions 1 arcsin ∶ [−1, 1] → [−π�2, π�2],

arccos ∶ [−1, 1] → [0, π], arctan ∶

R →]0, π[,

sont continues.

8.2

x � arccos x

R →] − π�2, π�2[,

arccot ∶

x � arcsin x

x � arctan x

x � arccot x

1. Ce résultat découle de la proposition suivante : Si une fonction f ∶I→R

(où I est un intervalle) est continue et strictement monotone, la fonction réciproque existe et elle est continue elle aussi.

Quelques limites particulières

Nous avons établi la relation �

sin x − sin ξ � ≤ 1, x−ξ

(�x − ξ� ≤ π�2, x ≠ ξ).

Pour ξ = 0, cela nous conduit à 2 −1 ≤

sin x ≤ 1, x

(�x� ≤ π�2, x ≠ 0),

2. Remarquons que, sinx x ≥ 0 pour �x� ≤ π�2 avec x ≠ 0. On peut donc remplacer la borne inférieure −1 pour sinx x par 0.

Nous allons nous intéresser à la limite de ce quotient lorsque x tend vers 0. Remarquons qu’il s’agit d’une limite du type 00 . Proposition 8.4. On a lim

x→0

De ce fait, la fonction

sin x = 1. x

f ∶ R � {0},

x�

sin x x

peut être prolongée par continuité. Le graphe de la fonction prolongée

est donné sur la figure 8.7

� sin x � � x�� x � � �1

, ,

x≠0

x=0

π�2

sin(−x) − sin x sin x = = = f (x), −x −x x

Il suffit donc de montrer que

lim+

x→0

puisque alors lim−

x→0

sin x = 1, x

sin x sin x sin x = lim+ = lim = 1. x→0 x x→0 x x

Figure 8.7: Le graphe de la fonction prolongée � � � sin x x�� x � � �1

Démonstration. La fonction f est paire : f (−x) =

(x ≠ 0).

, ,

x≠0 x = 0.

Pour plus de clarté, les unités sur les axes x et y sont différentes !

128

CHAPITRE 8. DÉRIVABILITÉ

c.-à-d.

sin x cos x ≤ x ≤

Donc, pour x > 0 et x petit, on a

x 1 ≤ . sin x cos x

cos x ≤

Comme

sin x . cos x

sin x

1 x 1 ⋅ sin x ⋅ cos x ≤ ⋅ π ⋅ 12 ≤ ⋅ 1 ⋅ tan x, 2 2π 2

tan x

A cet effet, on considère la situation donnée à la figure 8.8. En comparant l’aire des triangles et celle du secteur, on a

lim+ cos x = cos 0 = 1

x→0

lim+

x→0

1 1 = = 1, cos x cos 0

on obtient par le théorème du sandwich (également appelé théorème d’encadrement, théorème du pincement, théorème de l’étau ou théorème des gendarmes) que lim

x→0+

Figure 8.8: La situation pour la démonstration.

sin x = 1. x

Proposition 8.5. On a, pour tout ω ≠ 0, lim t→0

La fonction sinc normalisée

sin(ωt) = 1. ωt

sinc ∶ R → R,

� sin(πt) � � t � � πt � � �1

, ,

t≠0 t=0

est continue en chaque point t ∈ R. Le graphe de cette fonction est donné à la figure 8.9. Démonstration. En utilisant la substitution x ∶= ωt, on obtient lim t→0

sin(ωt) sin x = lim = 1. x→0 x ωt

Remarquons qu’on a donc lim t→0

sin(ωt) = ω, t

Proposition 8.6. On a tan x =1 x→0 x

lim et

tan x = 1. x→0 sin x

lim

(ω ≠ 0).

y 1

Figure 8.9: Le graphe de la fonction sinc normalisée.

8.3. DÉRIVÉE DES FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES

129

Démonstration. Concernant la première limite, on a tan x x→0 x

1 x→0 cos x 1 lim x→0 cos x 1 lim cos x

lim

= =

x→0

sin x x sin x ⋅ lim x→0 x sin x ⋅ lim x→0 x ⋅

1 ⋅ 1 = 1. cos 0

Concernant la seconde limite, on a lim

x→0

8.3 !"#

8.3.1

tan x sin x

= =

tan x x ⋅ x sin x tan x x lim ⋅ lim = 1 ⋅ 1 = 1. x→0 x x→0 sin x lim

x→0

Dérivée des fonctions trigonométriques Rappel sur la dérivée d’une fonction

Considérons une fonction f en un point ξ situé à l’intérieur du domaine de définition D f (fig. 8.10 et fig. 8.11). Par cela nous voulons dire qu’il existe un ε > 0 tel que ]ξ − ε, ξ + ε[⊂ D f .

Pour tout x ∈ ]ξ − ε, ξ + ε[ � {ξ}, on peut déterminer la pente mξ (x) de la droite qui passe par les deux points (ξ, f (ξ))

(x, f (x))

du graphe G f de cette fonction : y

y = f (x) sécante de pente mξ (x)

f (x)

f (x) − f (ξ)

f (ξ) ξ

x−ξ

mξ (x) =

Df ξ−ε

f (x) − f (ξ) x−ξ

pour la pente de cette sécante est valable pour x > ξ et pour x < ξ.

Définition 8.1. On dit que la fonction f est dérivable au point ξ, si la limite f (x) − f (ξ) f ′ (ξ) ∶= lim mξ (x) = lim x−ξ x→ξ x→ξ

ξ+ε

Figure 8.10: Le point ξ situé à l’intérieur du domaine de définition D f .

y = f (x)

Remarquons que la formule mξ (x) =

ξ−ε

ξ+ε

Figure 8.11: La fonction f dans un voisinage du point ξ situé à l’intérieur du domaine de définition de f .

130

CHAPITRE 8. DÉRIVABILITÉ

existe (dans R). Cette limite f ′ (ξ) s’appelle la dérivée de la fonction f au point ξ. Si on regroupe dans l’ensemble D f ′ tous les points ξ où la dérivée de f existe, on obtient la fonction dérivée (ou simplement la dérivée) de f : f ′ ∶ D f ′ → R,

x � f ′ (x).

Notons qu’on peut librement choisir le nom de la variable libre d’une fonction. Nous avons, dans le cas présent, opté pour remplacer ξ par x.

Remarque 8.7. La valeur f ′ (ξ) est la pente de la tangente au graphe G f au point (ξ, f (ξ)) (fig. 8.12). L’équation de cette tangente est donnée par y = f ′ (ξ)(x − ξ) + f (ξ). ♣ Remarque 8.8. Selon les cas, on utilise l’une ou l’autre des formules suivantes pour la dérivée : ● La forme donnée dans notre définition : f ′ (ξ) = lim x→ξ

f ′ (x) = lim t→x

f (x) − f (ξ) x−ξ

h→0

f (t) − f (x) . t−x

f (x + h) − f (x) . h

La dérivée de la fonction sinus

Appliquons les résultats du paragaphe 8.3.1 à la fonction sin ∶ R → R,

x � sin x.

La pente de la sécante est donnée par sin(x + h) − sin x h

2 sin �

(x+h)−x � 2

h = cos �x + � 2

cos �

h sin � 2h � h 2

(x+h)+x � 2

On peut en déduire la dérivée de la fonction sinus : d sin x dx

= =

f (x)

y = f ′ (ξ) ⋅ (x − ξ) + f (ξ)

f (ξ)

x−ξ

Figure 8.12: f ′ (ξ) est la pente de la tangente.

♣

Remarque 8.9. On remplace souvent la notation f ′ pour la dérivée d par dx f. ♣ 8.3.2

y = f (x)

● On pose t = x + h dans la formulation ci-dessus et on obtient f ′ (x) = lim

h h sin � 2 � lim cos �x + � h 2 h→0 2

sin � 2 � h lim cos �x + � ⋅ lim . h 2 h→0 h→0 h

8.3. DÉRIVÉE DES FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES

131

La fonction cosinus étant continue, la première ce ces limites vaut cos x. La seconde limite est donnée par la Proposition 8.5 ; on peut du reste la calculer en substituant z ∶= h�2 et on a donc lim

h→0

sin � 2h � h 2

Cela donne

= 1.

d sin x = cos x, dx pour tout x ∈ R. On a donc Proposition 8.10. La fonction

sin ∶ R → R,

est dérivable en tout point et

d sin ∶ R → R, dx En plus bref, on écrit

x�

d sin x = cos x, dx

x � sin x d sin x = cos x. dx (x ∈ R).

Nous invitons le lecteur à faire une lecture détaillée des graphes de la fonction sinus et de sa dérivée, tels qu’on les trouve sur la figure 8.13. A titre exemple, mentionnons les points suivants : ● la dérivée (c.-à-d. le cosinus) s’annule pour x = π�2 ; en ce point, la fonction sinus a une tangente horizontale ;

● la dérivée (c.-à-d. le cosinus) s’annule en changeant de signe (+ vers −) en ce point x = π�2 ; la fonction sinus, de croissante devient décroissante et admet donc un maximum en ce point ; ● la dérivée (c.-à-d. le cosinus) prend la valeur −1 pour x = π ; la fonction sinus traverse donc l’axe des x avec une pente de −1, un fait que nous avions mentionné au chapitre 2 ; ● La dérivée (c.-à-d. le cosinus) prend une valeur minimale en x = π : de ce fait la fonction sinus a un point d’inflexion en ce point. 8.3.3

La dérivée de la fonction cosinus

Un calcul similaire pour le cosinus donne : Proposition 8.11. La fonction cos ∶ R → R,

est dérivable en tout point et

d cos ∶ R → R, dx En plus bref, on écrit

x�

d cos x = − sin x, dx

x � cos x d cos x = − sin x. dx (x ∈ R).

y 1 π

3π�2

π�2 −1

Figure 8.13: La fonction sinus et sa dérivée.

d dx

sin x

y = sin x

132

CHAPITRE 8. DÉRIVABILITÉ

Nous invitons le lecteur à faire une lecture détaillée des graphes de la fonction cosinus et de sa dérivée 3 , tels qu’on les trouve sur la figure 8.14.

y y = cos x

1 π

3π�2

π�2

8.3.4

−1

La dérivée de la fonction tangente

La fonction tangente

Figure 8.14: La fonction cosinus et sa dérivée.

tan ∶ Dtan → R,

x � tan x ∶=

sin x cos x

peut se dériver à l’aide de la dérivée d’un quotient. On obtient donc d sin x dx cos x

cos x ⋅ cos x − sin x ⋅ (− sin x) cos2 x 2 cos x + sin2 x = cos2 x � 1 � � � � cos2 x = � � � cos2 x sin2 x 2 � � � cos2 x + cos2 x = 1 + tan x. =

3. On pourra donc repérer

● les pentes horizontales aux maximums du cosinus ; ● la pente de ±1 aux points où la fonction coupe l’axe des x ;

● les points d’inflexion qui correspondent en même temps aux zéros de la fonction.

On obtient ainsi le résultat suivant : Proposition 8.12. La fonction tan ∶ Dtan → R,

sin x x � tan x ∶= cos x

avec Dtan = R � {π�2 + kπ ∶ k ∈ Z} est dérivable en tout point de son domaine de définition et d tan ∶ Dtan → R, dx

x�

On a deux formulations pour la dérivée d tan x = 1 + tan2 x dx

En plus bref, on écrit

d tan x = 1 + tan2 x. dx d 1 tan x = . dx cos2 x

d 1 tan x = 1 + tan2 x = , dx cos2 x

Ces résultats sont représentés sur la figure 8.15.

8.3.5

1 −π�2

π�2

d dx

x y = tan x

(x ∈ Dtan ).

La dérivée de la fonction cotangente

Un calcul similaire que celui présenté pour la tangente permet de conclure de la façon suivante :

tan x

Figure 8.15: Le graphe de la fonction tangente et de sa dérivée.

d dx

cos x

133

8.4. CALCULS AVEC LES FONCTIONS RÉCIPROQUES

Proposition 8.13. La fonction cot ∶ Dcot → R,

x � cot x ∶=

cos x sin x

avec Dcot = R � {kπ ∶ k ∈ Z} est dérivable en tout point de son domaine de définition et d cot ∶ Dcot → R, dx

x�

On a deux formulations pour la dérivée d cot x = −1 − cot2 x dx

d cot x = −1 − cot2 x. dx

d 1 cot x = −1 − cot2 x = − 2 , dx sin x

Ces résultats sont représentés sur la figure 8.16.

!"#

−1

d 1 cot x = − 2 . dx sin x

En plus bref, on écrit

8.4

y = cot x

d dx

cot x

(x ∈ Dcot ). Figure 8.16: Le graphe de la fonction cotangente et de sa dérivée.

Calculs avec des fonctions trigonométriques réciproques

Commençons par quelques rappels : 1. La fonction sin �[−π�2,π�2] → [−1, 1],

x � y = sin x

est une fonction bijective continue. La fonction réciproque de sin �[−π�2,π�2] s’appelle arcsin : arcsin ∶ [−1, 1] → [−π�2, π�2],

x � y = arcsin x.

Tout comme le sinus, elle est continue. Nous avons représenté les graphes des fonctions sin et arcsin sur la figure 8.17.

y y = arcsin x

π�2 1

π −π�2 −1

π�2

−1

−π�2

On dit qu’un angle x ∈ R est bon pour sin si x ∈ [−π�2, π�2]. On a y = sin x ⇐⇒ x = arcsin y

y = sin x

(x ∈ [−π�2, π�2], y ∈ [−1, 1]).

Figure 8.17: Les fonctions sin et arcsin.

134

CHAPITRE 8. DÉRIVABILITÉ

Pour les bons angles, sin et arcsin sont des fonctions réciproques l’une de l’autre : 4 sin(arcsin x) ≡ 2. La fonction

arcsin(sin x) ≡

4. Nous utilisons le signe ≡ pour bien souligner qu’il ne s’agit pas d’une équation qu’il faut résoudre par rapport à x, mais que l’égalité est vérifiée ‘partout” (sur le domaine indiqué).

(x ∈ [−1, 1])

(x ∈ [−π�2, π�2]).

cos �[0,π] → [−1, 1],

x � y = cos x

est une fonction bijective continue. La fonction réciproque de cos �[0,π] s’appelle arccos : arccos ∶ [−1, 1] → [0, π],

x � y = arccos x.

Tout comme le cosinus, elle est continue. Nous avons représenté les graphes des fonctions cos et arccos sur la figure 8.18.

y = arccos x

y π

π�2 1

y = cos x x

π −π�2 −1

π�2

−1

On dit qu’un angle x ∈ R est bon pour cos si x ∈ [0, π]. On a y = cos x ⇐⇒ x = arccos y

Figure 8.18: Les fonctions cos et arccos.

(x ∈ [0, π], y ∈ [−1, 1]).

Pour les bons angles, cos et arccos sont des fonctions réciproques l’une de l’autre : cos(arccos x) ≡ 3. La fonction

arccos(cos x) ≡

(x ∈ [−1, 1])

(x ∈ [0, π]).

tan �]−π�2,π�2[ → R,

x � y = tan x

est une fonction bijective continue. La fonction réciproque de tan �]−π�2,π�2[ s’appelle arctan : arctan ∶ R →] − π�2, π�2[,

x � y = arctan x.

Tout comme la tangente, elle est continue. Le lecteur trouvera une représentation graphique sur la figure 8.19. On dit qu’un angle x ∈ R est bon pour tan si x ∈ ]−π�2, π�2[. On a y = tan x ⇐⇒ x = arctan y

(x ∈ ]−π�2, π�2[ , y ∈ R).

135

8.4. CALCULS AVEC LES FONCTIONS RÉCIPROQUES

y = tan x

y = arctan x

π�2

π −π�2

−1

1 −π�2

Pour les bons angles, tan et arctan sont des fonctions réciproques l’une de l’autre : tan(arctan x) ≡ 4. La fonction

arctan(tan x) ≡

π�2

Figure 8.19: La fonction tangente et sa réciproque.

(x ∈ R)

(x ∈ ]−π�2, π�2[).

cot �]0,π[ → R,

x � y = cot x

est une fonction bijective continue. La fonction réciproque de cot �]0,π[ s’appelle arccot : arccot ∶ R → ]0, π[ ,

x � y = arccot x.

Tout comme la cotangente, elle est continue. Nous laissons au lecteur le soin de dessiner la figure correspondante. On dit qu’un angle x ∈ R est bon pour cot si x ∈]0, π[. On a y = cot x ⇐⇒ x = arccot y

(x ∈ ]0, π[ , y ∈ R).

Pour les bons angles, cot et arccot sont des fonctions réciproques l’une de l’autre : cot(arccot x) ≡ arccot(cot x) ≡

Proposition 8.14. On a 5

sin(arcsin x) ≡

x x

(x ∈ R)

(x ∈]0, π[).

x, (x ∈ [−1, 1]) � 2 cos(arcsin x) ≡ (x ∈ [−1, 1]) 1−x , x tan(arcsin x) ≡ √ , (x ∈ ]−1, 1[) 1 − x2 √ 1 − x2 cot(arcsin x) ≡ , (x ∈ [−1, 1] � {0}). x

5. Remarquons que

● Si x = 1, arcsin x = π�2 et tan(arcsin x) n’est pas défini. ● Si x = −1, arcsin x = −π�2 et tan(arcsin x) n’est pas défini.

● Si x = 0, arcsin x = 0 et cot(arcsin x) n’est pas défini.

Cela montre que les domaines de validité donnés sont optimaux !

136

CHAPITRE 8. DÉRIVABILITÉ

Démonstration. Concernant la première relation, elle est évidente puisque l’angle arcsin x est toujours bon pour le sinus. Pour la deuxième relation, nous pouvons argumenter comme suit. Si on pose α ∶= arcsin x, on sait que sin α = x,

α ∈ [−π�2, π�2] et donc que cos α ≥ 0. � √ De ce fait, cos α = + 1 − sin2 α = 1 − x2 . Nous résumons ces calculs de la façon suivante : � � cos( arcsin x ) = cos α = + 1 − sin2 α = 1 − x2 , (x ∈ [−1, 1]). =∶α∈[−π�2,π�2] sin α=x

≥0

Pour la troisième relation, on écrit tan(arcsin x) =

sin(arcsin x) x =√ , cos(arcsin x) 1 − x2

La dernière relation se déduit de façon similaire.

(x ∈ ]−1, 1[).

Proposition 8.15. On a 6

� sin(arccos x) ≡ 1 − x2 ,

cos(arccos x) ≡ tan(arccos x) ≡ cot(arccos x) ≡

6. Remarquons que

(x ∈ [−1, 1])

x, (x ∈ [−1, 1]) √ 1 − x2 , (x ∈ [−1, 1] � {0}) x x √ , (x ∈ ]−1, 1[). 1 − x2

● Si x = 1, arccos x = 0 et cot(arccos x) n’est pas défini. ● Si x = −1, arccos x = π et cot(arccos x) n’est pas défini. ● Si x = 0, arccos x = π�2 et tan(arccos x) n’est pas défini.

Cela montre que les domaines de validité donnés sont optimaux !

Démonstration. La démonstration de ces relations se fait de façon analogue à celle des relations de la Proposition 8.14 Proposition 8.16. On a 7 sin(arctan x) ≡

cos(arctan x) ≡ tan(arctan x) ≡ cot(arctan x) ≡

7. Remarquons que les domaines de validité donnés sont optimaux !

x √ , (x ∈ R) 1 + x2 1 √ , (x ∈ R]) 1 + x2 x, (x ∈ R) 1 , (x ∈ R � {0}). x

Démonstration. La troisième relation est évidente ; la quatrième découle de la relation cot α = 1� tan α. La deuxième relation est justifiée de la façon suivante : 1 1 cos( arctan x ) = cos α = + � =√ , 2 1 + x2 1 + tan α =∶α∈]−π�2,π�2[ tan α=x

≥0

(x ∈ R).

La première relation s’obtient à présent grâce à la relation sin α = tan α ⋅ cos α.

8.4. CALCULS AVEC LES FONCTIONS RÉCIPROQUES

137

Pour illustrer les techniques de calcul avec des fonctions trigonométriques inverses, nous allons étudier quelques exemples. Exemple 8.2. Déterminons la valeur de l’expression arcsin x + arccos x,

pour x ∈ [−1, 1].

A cet effet on pose

α ∶= arcsin x + arccos x

et on essaye de trouver une relation qui permet de déterminer cet angle α. On peut par exemple déterminer le sinus de cet angle : sin α

= sin(arcsin x + arccos x)

= sin(arcsin x) cos(arccos x) + cos(arcsin x) sin(arccos x) � � = x ⋅ x + 1 − x2 ⋅ 1 − x2 = 1.

Nous nous sommes servis des relation établies dans les propositions ci-dessus. On obtient donc que

Mais nous savons que

α∈�

−π�2 0

si bien que

π + k 2π ∶ k ∈ Z� . 2 ≤ arcsin x ≤

π�2

≤ arccos x ≤

π,

−π�2 ≤ arcsin x + arccos x ≤ 3π�2.

De ce fait on obtient que α = π�2. Donc 8 arcsin x + arccos x = π�2,

(x ∈ [−1, 1]).

Exemple 8.3. On peut aisément simplifier une expression de la forme cos(2 arctan x). En effet, on a, pour tous les x ∈ R,

cos(2 arctan x) = 2 cos2 (arctan x) − 1 = 2 ⋅

Donc

cos(2 arctan x) =

1 − x2 , 1 + x2

1 1 − x2 − 1 = . 1 + x2 1 + x2

(x ∈ R).

8. Remarquons que

● si arcsin x = −π�2, alors x = −1 et arccos x = π : la valeur minimale possible −π�2 ne peut donc pas être une valeur effectivement prise par la somme arcsin x + arccos x ; ● si arccos x = π, alors x = −1 et arcsin x = −π�2 : la valeur maximale possible 3π�2 ne peut donc pas être une valeur effectivement prise par la somme en question.

Il ne reste donc que π�2 comme réponse possible.

138

8.5 !"#

CHAPITRE 8. DÉRIVABILITÉ

La dérivée des fonctions trigonométriques réciproques

Considérons les fonctions f ∶ R → R,

Remarquons que,

g ∶ R → [−1, 1],

∀x ∈ D f = R,

x � f (x) ∶= x2 x � g(x) ∶= sin x.

f (x) = x2 ∈ D g ,

c.-à-d.

f (D f ) ⊂ D g .

On peut donc considérer la composition des fonctions g ○ f : g ○ f ∶ R → [−1, 1],

x � (g ○ f )(x) ∶= g ( f (x)) = sin x2 .

On trouvera une représentation graphique de cette situation sur la figure 8.20. y y = sin x2

u = x2

sin

u = x2

Concernant la dérivabilité d’une composition de fonctions g ○ f , on a le résultat suivant : Proposition 8.17. Considérons la composition de deux fonctions

f ∶ I → R,

x � f (x)

g ∶ J → R,

x � g(x)

avec f (I) ⊂ J, c.-à-d. considérons la fonction g ○ f ∶ I → R,

x � (g ○ f )(x) ∶= g ( f (x)) .

Supposons que le point x soit situé à l’intérieur de I et supposons que ● la fonction f soit dérivable en ce point x et que ● la fonction g soit dérivable en f (x).

y = sin u

Figure 8.20: La composition de fonctions.

139

8.5. DÉRIVÉE DES FONCTIONS RÉCIPROQUES Alors la fonction composée g ○ f est dérivable en x et on a d (g ○ f )(x) = g′ ( f (x)) ⋅ f ′ (x). dx

Le facteur f ′ (x) s’appelle la dérivée intérieure.

Démonstration. Comme la fonction f est dérivable en x, la limite de la pente de la sécante passant par les points (x, f (x)) et (x + h, f (x + h)) existe (avec �h� suffisamment petit) : f ′ (x) = lim

h→0

f (x + h) − f (x) h �� =∶m1 (h)

La figure 8.21 illustre ce lien entre la pente des sécantes et la pente de la fonction. y

y = f (x) sécante de pente m1 (h)

f (x + h)

m1 (h) =

f (x + h) − f (x)

f (x)

f ′ (x) = lim

h→0

h x

f (x + h) − f (x) h

x+h

Si on pose ε 1 (h) ∶= f ′ (x) − m1 (h), on a lim ε 1 (h) = 0 et h→0

f (x + h) = =

c.-à-d.

f (x) + m1 (h) ⋅ h

f (x) + � f ′ (x) + ε 1 (h)� ⋅ h

f (x + h) = f (x) + f ′ (x) ⋅ h + ε 1 (h) ⋅ h,

avec lim ε 1 (h) = 0.

g(u + k) = g(u) + g′ (u) ⋅ k + ε 2 (k) ⋅ κ

avec lim ε 2 (k) = 0.

h→0

De façon similaire, comme g est dérivable en u ∶= f (x), on a k→0

Donc, si on pose k ∶= f ′ (x) ⋅ h + ε 1 (h) ⋅ h, on obtient g ( f (x + h)) = = =

g � f (x) + f ′ (x) ⋅ h + ε 1 (h) ⋅ h�

g ( f (x)) + g′ ( f (x)) ⋅ k + ε 2 (k) ⋅ k

g ( f (x)) + g′ ( f (x)) ⋅ [ f ′ (x) + ε 1 (h)]h +

si bien que g ( f (x + h)) − g ( f (x)) h

+ε 2 (k) ⋅ [ f ′ (x) + ε 1 (h)] ⋅ h,

= [g′ ( f (x)) + ε 2 (k)] ⋅ [ f ′ (x) + ε 1 (h)].

f (x + h) − f (x) = lim m1 (h) h h→0 Figure 8.21: La tangente comme limite de la pente des sécantes.

140

CHAPITRE 8. DÉRIVABILITÉ

Remarquons que lim k = lim[ f ′ (x) + ε 1 (h)] ⋅ h = [ f ′ (x) + 0] ⋅ 0 = 0 h→0

et que de ce fait

h→0

lim ε 2 (k) = 0. h→0

Donc lim

h→0

g ( f (x + h)) − g ( f (x)) h

Cela donne le résultat souhaité !

= [g′ ( f (x)) + 0] ⋅ [ f ′ (x) + 0] =

g′ ( f (x)) ⋅ f ′ (x).

Appliquons ce résultat pour déterminer la dérivée de quelques fonctions composées. Souvent on retient le résultat de la proposition ci-dessus de la façon suivante : «La dérivée de la fonction g(bidule) et égale à g′ (bidule) fois bidule prime !» Ou en plus court : ′

[g(bidule)] = g′ (bidule) ⋅ bidule′

Exemple 8.4. 1. Si la fonction f est dérivable, on a

2. On a

d 3 2 ( f (x)) = 3 ( f (x)) ⋅ f ′ (x). dx

d 3 (x − 5x)4 = 4(x3 − 5x)3 ⋅ (3x2 − 5). dx 3. La règle de composition peut s’appliquer de façon récursive. C’est ainsi qu’on a

� � 5 4 d 1 �x4 + x2 + 5x� = 5 �x4 + x2 + 5x� ⋅ [4x3 + √ ⋅ (2x + 5)]. dx 2 x2 + 5x

Exemple 8.5. Si f est une fonction dérivable, on a d 1. sin( f (x)) = cos( f (x)) ⋅ f ′ (x) ; dx d 2. cos( f (x)) = − sin( f (x)) ⋅ f ′ (x) ; dx d 3. tan( f (x)) = [1 + tan2 ( f (x))] ⋅ f ′ (x) ; dx d 4. sin(cos( f (x)) = cos(cos( f (x)) ⋅ (− sin( f (x)) ⋅ f ′ (x). dx Pour déterminer la dérivée des fonctions trigonométriques inverses, nous aurons besoin d’un second résultat fondamental : celui de la dérivée de la fonction réciproque :

141

8.5. DÉRIVÉE DES FONCTIONS RÉCIPROQUES

Proposition 8.18. Supposons que la fonction f ∶ ]a, b[ → R,

x � y = f (x)

possède une dérivée non nulle : ∀x ∈ ]a, b[, f ′ (x) ≠ 0. Alors la fonction f possède une fonction réciproque f −1 dérivable en tout point avec d −1 1 f (y) = ′ −1 . dy f ( f (y)) Démonstration. La démonstration est donnée à l’aide de la figure 8.22. La tangente au graphe de la fonction y = f (x) en x a une pente donnée par f ′ (x). Le graphe de la fonction réciproque x = f −1 (y), obtenu par une symétrie d’axe y = x, possède donc également une tangente en tout point, et la pente de cette tangente est donnée par 1

f ′ (x)

avec x = f −1 (y).

De ce fait, la fonction réciproque est dérivable et d −1 1 1 f (y) = ′ = . dy f (x)�x= f −1 (y) f ′ ( f −1 (y))

La figure 8.22 confirme ce résultat. y

x = f −1 (y)

[

f ′ (x)

1 x

1 ]

f ′ (x) [

y = f (x)

]

f ′ (x)

Figure 8.22: La dérivée de la fonction réciproque.

La formule de la proposition précédente est quelque peu perturbante lorsqu’on veut l’appliquer. On préfère usuellement dériver l’identité f � f −1 (y)� ≡ y par rapport à y ; cela nous conduit à

′

f ′ � f −1 (y)� ⋅ � f −1 (y)� ≡ 1,

′

une relation qu’on peut résoudre par rapport à � f −1 (y)� . C’est la technique que nous allons utiliser pour déterminer les dérivées des fonctions trigonométriques inverses. Mais commençons par montrer cette technique de calcul sur un exemple simple et connu.

142

CHAPITRE 8. DÉRIVABILITÉ

Exemple 8.6. Pour tout x ≥ 0, nous avons Donc, pour x > 0, si bien que

√ 2 � x� ≡ x.

√ d √ 2( x) ⋅ x ≡ 1, dx

d √ 1 x= √ , dx 2 x

(x > 0).

Proposition 8.19. Les fonctions trigonométriques inverses ont les dérivées suivantes : d 1 1. arcsin x = √ , (x ∈ ]−1, 1[) ; dx 1 − x2 d 1 2. arccos x = − √ , (x ∈ ]−1, 1[) ; dx 1 − x2 d 1 3. arctan x = , (x ∈ R) ; dx 1 + x2 d 1 4. arccot x = − , (x ∈ R). dx 1 + x2 Démonstration. Pour arcsin, on a sin(arcsin x) ≡ x

Donc et

cos(arcsin x) ⋅

(x ∈ [−1, 1]).

d arcsin x ≡ 1 dx

d 1 1 arcsin x = =√ dx cos(arcsin x) 1 − x2

(x ∈ ]−1, 1[).

Nous avons utilisé une relation de la Proposition 8.14. Pour arctan, nous avons de façon similaire

si bien que

tan(arctan x) ≡ x �1 + tan2 (arctan x)� ⋅

(x ∈ R), d arctan x ≡ 1 dx

d 1 1 arctan x = = . 2 dx 1 + tan (arctan x) 1 + x2

Nous laissons au lecteur le soin d’établir par un raisonnement similaire les relations manquantes. Revenons à l’Exemple 8.2.

143

8.5. DÉRIVÉE DES FONCTIONS RÉCIPROQUES

Exemple 8.7. Montrons que arcsin x + arccos x =

π , 2

(x ∈ [−1, 1]).

A cet effet, mentionnons que la fonction

est

f (x) ∶= arcsin x + arccos x,

(x ∈ [−1, 1])

● continue pour x ∈ [−1, 1] et

● dérivable pour x ∈ ]−1, 1[ avec

1 −1 f ′ (x) = √ +√ = 0. 2 1−x 1 − x2

La fonction f est donc constante sur tout l’intervalle fermé [−1, 1] et f (x) = f (0) = arcsin 0 + arccos 0 = 0 +

π π = , 2 2

(x ∈ [−1, 1]).

Exemple 8.8. Déterminons la valeur de l’expression 1 arctan x + arctan . x

La fonction f (x) ∶= arctan x + arctan 1x , (x ∈ R � {0}) est

● continue en tout point de son ensemble de définition et ● partout dérivable avec

f ′ (x) = =

1 1 −1 + ⋅ 1 + x2 1 + � 1 �2 x2 x 1 1 − = 0. 1 + x2 x2 + 1

De ce fait, la fonction f est constante par morceaux sur son domaine de définition : ● Pour x > 0, on a

f (x) = f (1) = arctan 1 + arctan

● Pour x < 0, on a

f (x) = f (−1) = arctan(−1) + arctan

On obtient donc

π � � � 2 1 � � arctan x + arctan = � π x � � − � � � 2

1 π = 2 arctan 1 = . 1 2

1 π = 2 arctan(−1) = − . −1 2 , pour x > 0

, pour x < 0.

Le graphe correspondant est donné sur la figure 8.23.

y π�2

y = arctan x + arctan

−1

−π�2

Figure 8.23: Le graphe de la fonction f (x) ∶= arctan x + arctan 1x , x ∈ R � {0}.

1 x

144

CHAPITRE 8. DÉRIVABILITÉ

Exemple 8.9. On a, si f est une fonction dérivable, 1. 2.

f ′ (x) d arcsin ( f (x)) = � ; dx 2 1 − [ f (x)]

d 2 arcsin(2x − 3) = � ; en simplifiant, cela donne dx 1 − (2x − 3)2 d 2 1 arcsin(2x − 3) = √ =√ ; 2 dx −8 − 4x + 12x 3x − x2 − 2

d 6x arctan(3x2 ) = . dx 1 + 9x4

Exemple 8.10. Simplifions, pour finir, l’expression 9 x f (x) ∶= arcsin √ , 1 + x2

On a ′

f (x) = = =

1⋅

9. Remarquons que x �x� �√ � ≤ √ ≤ 1, 1 + x2 x2

x ∈ R.

√ 1 + x2 − x ⋅

⋅ � 2 1 + x2 1− √ x 2 2 ( 1+x ) √ 1 + x2 1 √ ⋅ 1 (1 + x2 ) 1 + x2

√2x 2 1+x2

1 d = arctan x. 1 + x2 dx

Il existe donc une constante C telle que

f (x) = arctan x + C.

On peut déterminer la valeur de cette constante C de la façon suivante : � � � arcsin √ x 2 � =0 � 1+x x=0 f (0) = � � � � �arctan 0 + C = C. Donc C = 0 et x f (x) = arcsin √ = arctan x, 1 + x2

(x ∈ R).

si bien que la fonction f est définie partout : D f = R.

9 Fonction logarithme naturel Sommaire

9.1 Quelques propriétés géométriques utiles

146

9.2 La fonction logarithme naturel

148

9.2.1

Définition de la fonction ln

148

9.2.2

La relation logarithmique fondamentale

149

9.2.3

Les relations logarithmiques

151

9.2.4

Etude de la fonction logarithme naturel

155

146

9.1 !"#

CHAPITRE 9. LOGARITHME NATUREL

Quelques propriétés géométriques utiles

Nous allons présenter une application du plan R2 sur lui-même qui nous sera utile pour la suite. Considérons donc le plan R2 muni d’un système d’axes ty (orthonormal). Nous introduisons une famille d’applications Tα ∶ R2 → R2 ,

1 (t, y) � Tα (t, y) ∶= (αt, y) α

(pour α > 0). Le lecteur trouvera une représentation graphique d’une telle application dans les figures 9.1 (pour α > 1) et 9.2 (pour 0 < α < 1).

Tα

1 (t, y) � Tα (t, y) ∶= (αt, y) α

(avec α > 0 fixé) est une bijection, l’application réciproque étant donnée par (Tα )−1 ∶ R2 → R2 ,

1 (t, y) � (Tα )−1 (t, y) = ( t, αy) = T1�α (t, y). α

(t, y)

Tα

(τ, η) ∶= (αt, y�α)

T1�α

(τ�α, αη) = (t, y)

(t, y)

T1�α

(τ, η) ∶= (t�α, αy)

Tα

(ατ, η�α) = (t, y).

Remarque 9.2. Remarquons que pour α = 1, Tα est l’identité : T1 ∶ R2 → R2 ,

(t, y) � (t, y).

(αt, y�α)

(t, y�α)

Tα

Figure 9.2: L’image d’un point (t, y) par l’application Tα pour 0 < α < 1.

♣

α=1

α=2

Pour comprendre le fonctionnement de l’application Tα , on peut suivre un point (t, y) en faisant varier la valeur de α. Par tout point (t, y) passe alors une courbe qui retient les positions des images Tα (x, y) de ce point. On obtient ainsi la figure suivante : y

Figure 9.1: L’image d’un point (t, y) par l’application Tα pour α > 1.

(t, y)

Démonstration. La démonstration est immédiate, puisque

(αt, y�α)

(t, y�α)

Proposition 9.1. L’application Tα ∶ R2 → R2 ,

(t, y)

α=3

t Nous formulons à présent quelques propriétés des applications Tα .

147

Proposition 9.3. Considérons, pour une valeur fixée de α > 0, l’application

λ � (t0 , y1 + λ(y2 − y1 )),

(0 ≤ λ ≤ 1).

L’image, point par point, de ce segment est donnée par Tα (t0 , y1 + λ(y2 − y1 )) = (α ⋅ t0 , [y1 + λ(y2 − y1 )]�α).

y2 �α y1

λ=0

y1 �α

B′

λ = 0.3

A′

λ=1 λ = 0.8 λ = 0.5 λ = 0.3 λ=0

αt0

Figure 9.3: Le segment vertical et son image par Tα (avec α > 1). y

αt1 t2

D′

λ=1

λ = 0.8

C′

y0 �α

λ = 0.5

Démonstration. 1. Concernant le premier point, le segment limité par A et B peut être considéré comme un segment paramétré de la façon suivante :

λ = 0.5

λ = 0.8 λ=1

3. Considérons une hyperbole donnée par y = a�t avec a > 0, fixe. La portion de cette hyperbole comprise entre t = t1 et t = t2 avec 0 < t1 < t2 est transformée par Tα dans la portion de cette même hyperbole comprise entre t = αt1 et t = αt2 . Ce fait est illustré sur la figure 9.5.

λ = 0.8

λ = 0.3

2. Le segment horizontal limité par les points C(t1 , y0 ) et D(t2 , y0 ) est transformé par Tα en un segment horizontal limité par C′ (αt1 , y0 �α) et D′ (αt2 , y0 �α). Ce fait est illustré sur la figure 9.4.

λ=1

λ=0

1. Le segment vertical limité par les points A(t0 , y1 ) et B(t0 , y2 ) est transformé par l’application Tα en un segment vertical limité par les points A′ (αt0 , y1 �α) et B′ (αt0 , y2 �α). Ce fait est illustré sur la figure 9.3.

λ = 0.3 λ = 0.5

Alors

Tα ∶ R2 → R2 ,

1 (t, y) � Tα (t, y) ∶= (αt, y). α

λ=0

9.1. QUELQUES PROPRIÉTÉS GÉOMÉTRIQUES UTILES

αt2

Figure 9.4: Le segment horizontal et son image par Tα (avec α > 1). y

L’image de notre segment est donc le segment λ � (αt0 , y1 �α + λ(y2 �α − y1 �α)),

(0 ≤ λ ≤ 1).

Il s’agit là d’un segment vertical limité par A′ (αt0 , y1 �α) et B′ (αt0 , y2 �α).

2. Concernant le deuxième point, on peut mener une argumentation similaire à l’aide du segment paramétré λ � (t1 + λ(t2 − t1 ), y0 ),

et de son image

λ � (α ⋅ t1 + λ(α ⋅ t2 − α ⋅ t1 ), y0 �α),

(0 ≤ λ ≤ 1) (0 ≤ λ ≤ 1).

3. La portion d’hyperbole peut être considérée comme une courbe paramétrée : λ � (λ, a�λ), (t1 ≤ λ ≤ t2 ). L’image de cette courbe paramétrée par Tα est la courbe paramétrée λ � (α ⋅ λ, a�(α ⋅ λ)), (t1 ≤ λ ≤ t2 ), c.-à-d. la courbe paramétrée

µ � (µ, a�µ),

(α ⋅ t1 ≤ µ ≤ α ⋅ t2 ).

Il s’agit là de la portion de courbe située sur la même hyperbole y = a�t comprise entre les abscisses α ⋅ t1 et α ⋅ t2 .

E′

t2 αt1

F′ y = a�t αt2

Figure 9.5: Une portion d’hyperbole et son image par Tα (avec α > 1).

148

CHAPITRE 9. LOGARITHME NATUREL

Nous pouvons formuler à présent deux conséquences importantes. Corollaire 9.4. Pour toute valeur fixée de α > 0, l’application Tα ∶ R2 → R2 ,

1 (t, y) � Tα (t, y) ∶= (αt, y) α

transforme un rectangle dont les côtés sont parallèles aux axes t et y, de côtés horizontal a et de côté vertical b, en un rectangle dont les côtés sont également parallèles aux axes t et y et de côté horizontal αa et de côté vertical b�α. De ce fait, l’application Tα conserve les aires 1 .

Corollaire 9.5. Pour toute valeur fixée de α > 0, l’application Tα ∶ R2 → R2 ,

1 (t, y) � Tα (t, y) ∶= (αt, y) α

transforme la surface comprise entre l’axe des t et l’hyperbole y = 1�x et limitée par les droites verticales t = 1 et t = t0 (avec t0 > 0) en une surface comprise entre l’axe t et cette même hyperbole et limitée par les deux droites verticales t = α et t = αt0 . Ces deux portions de plan ont une même aire. Ce fait est illustré sur la figure 9.6.

1. Le fait que non seulement l’aire de rectangles, mais encore «toute» aire est conservée est une conséquence de la théorie de la mesure, une théorie que nous ne pouvons pas aborder dans ce cadre. Ce fait n’en n’est pas moins plausible si on se rappelle que l’aire d’une surface peut être calculée par un raffinement de sommes d’aires de rectangles «disjoints» contenus dans cette surface. Par «disjoint» on entend ici que deux rectangles qui interviennent dans une telle somme ont une intersection vide ou composée uniquement d’un ou de plusieurs segments.

αt0

y = 1�t t

Figure 9.6: La conservation des aires par l’application Tα .

9.2 9.2.1

La fonction logarithme naturel Définition de la fonction ln

Définition 9.1. Pour x > 0, on définit le logarithme (naturel) de x comme 2 x dt ln x ∶= � . t 1 La valeur ln x correspond donc à une aire signée. Il s’agit de l’aire située entre l’axe des t et la courbe y = 1t et limitée par les deux droites verticales passant par 1 et par la valeur considérée x. Cette aire est munie du signe − si 0 < x < 1, et du signe + dans le cas contraire. Nous renvoyons le lecteur à la figure 9.7 pour une interprétation géométrique de cette définition. Définition 9.2. La fonction logarithme (naturel) est définie par ln ∶ ]0, +∞[ → R,

x � ln x ∶= �

dt . t

2. Nous n’utiliserons pas la notion d’intégrale (c.-à-d. du signe ∫1x ) dans ce qui suit : la notion d’aire signée nous suffira. Cependant, nous indiquerons les simplifications qui résultent de la notion d’intégrale.

149

9.2. LA FONCTION LOGARITHME NATUREL

ln x = �

9.2.2

y = 1�t

dt >0 t

−

ln x = �

La relation logarithmique fondamentale

dt <0 t

Figure 9.7: La définition de ln x pour x > 0.

Appliquons le Corollaire 9.5 au contexte géométrique qui définit la valeur ln x. On obtient de suite le résultat fondamental que voici : Lemme 9.6. Pour tout α > 0 fixé, on a �

αx dt dt =� , t t α

(x > 0),

où ∫α dtt est l’aire signée de la surface comprise entre l’hyperbole y = 1�t et l’axe des t et limitée par les droites verticales t = α et t = αx, le signe étant positif si α < αx et négatif dans le cas contraire. Cela signifie que l’aire (signée) de la surface comprise entre l’hyperbole y = 1�x et l’axe des t et limitée par les droites verticales t = 1 et t = x est la même que celle de la surface comprise entre cette même hyperbole et l’axe des t, mais limitée par les droites verticales t = α et t = αx. αx

Démonstration. Considérons d’abord le cas où x ≥ 1. L’application Tα conserve les aires dans la figure suivante : y y Tα 1

y = 1�t

1�α

αx

y = 1�t

De ce fait, l’aire sous l’hyperbole limitée par les droites verticales t = 1 et t = x est égale à l’aire sous cette même hyperbole limitée par les droites verticales t = α et t = αx. Pour 0 < x ≤ 1, un raisonnement analogue permet de conclure tout en rappelant que cette fois-ci il faut munir les aires les deux fois d’un signe négatif puisque x < 1 implique αx < α. y y Tα 1

y = 1�t

1�α

αx

y = 1�t

150

CHAPITRE 9. LOGARITHME NATUREL

Nous laissons le soin au lecteur de compléter les arguments dans ce cas. Remarque 9.7. La remarque que voici ne s’applique que pour le lecteur qui a une notion d’intégrale, et elle peut être omise par le lecteur qui ne connaît pas l’intégrale. Le résultat ci-dessus peut être démontré sans l’utilisation de l’application Tα en utilisation la dérivation d’une intégrale par rapport à la borne supérieure. On a αx dt d 1 1 1 1 = � ⋅x− � = ⋅ x − = 0. � dα α t t αx t α αx α

De ce fait, la valeur de ∫α que pour α = 1.

αx dt t

ne dépend pas de α, elle est la même ♣

Lemme 9.8. Remarquons que, pour α > 0 et x > 0, on a �

αx

αx dt α dt dt =� −� . t t t 1 1

Ce résultat découle du fait qu’on a, par addition d’aires comprises entre l’hyperbole y = 1�t et l’axe des t (fig. 9.8), la relation suivante : �

αx

α dt αx dt dt =� +� . t t t 1 α

En effet, pour x > 1, l’aire de la surface comprise entre les droites verticales t = 1 et t = αx est égale à la somme des aires des surfaces comprises entre les droites verticales t = 1 et t = α d’une part et t = α et t = αx d’autre part. Si 0 < x < 1, le même raisonnement peut être fait en munissant les aires d’un signe négatif. Pour x = 1, toutes les aires sont nulles. Si on combine le résultat du lemme précédent avec celui donné par le Lemme 9.6, on obtient une relation fondamentale : Proposition 9.9 (Relation logarithmique fondamentale). Pour tout x > 0 et tout α > 0 on a c.-à-d.

ln x = ln(αx) − ln α, ln(αx) = ln α + ln x.

De cette relation découle une gamme de relations que nous formulons à présent.

Figure 9.8:

α dt ∫1 t

+ ∫ααx dtt

αx

αx dt ∫1 t

y = 1�t t

151

9.2. LA FONCTION LOGARITHME NATUREL

9.2.3

Les relations logarithmiques

Théorème 9.10 (Relations logarithmiques). La fonction ln ∶]0, +∞[→ R,

a les propriétés suivantes :

x � ln x ∶= �

dt t

1. Valeur remarquable : On a ln 1 = 0.

2. La réduction d’une multiplication à une addition : On a ln(x1 ⋅ x2 ) = ln x1 + ln x2

On peut donc écrire

ln �x1 ⋅ x2 � = ln �x1 � + ln �x2 �

(x1 , x2 > 0).

(x1 , x2 ≠ 0).

3. La réduction d’une division à une soustraction : On a ln et ln On peut donc écrire ln �

1 = − ln x x

x1 = ln x1 − ln x2 x2

x1 � = ln �x1 � − ln �x2 � x2

(x > 0)

(x1 , x2 > 0). (x1 , x2 ≠ 0).

4. La réduction de la mise à une puissance naturelle à une multiplication par cette puissance : On a, pour n = 1, 2, 3, . . ., On peut donc écrire

ln x n = n ⋅ ln x

ln �x�n = n ⋅ ln �x�

(x > 0).

(x ≠ 0).

5. La réduction de l’extraction d’une racine à une division par l’ordre de cette racine : On a, pour n = 1, 2, 3, . . ., ln

On peut donc écrire ln

√ n

1 ⋅ ln x n

� 1 n �x� = ⋅ ln �x� n

(x > 0).

(x ≠ 0).

6. La réduction de la mise à une puissance à une multiplication par cette puissance : On a, pour toute puissance y ∈ On peut donc écrire

R, 3

ln x y = y ⋅ lnx

ln �x�y = y ⋅ ln�x�

(x > 0).

(x ≠ 0).

3. Remarquons que cette dernière relation découle immédiatement des relan tions précédentes pour y = m ∈ Q (avec n ∈ Z et m ∈ N∗ ). Pour les valeurs de y qui ne sont pas rationnelles, nous donnerons une définition précise de la notion de puissance plus tard, une notion qui entraînera la validité de la relation correspondante ci-dessus.

152

CHAPITRE 9. LOGARITHME NATUREL

Démonstration. 1. La première propriété découle de la définition de ln 1 comme aire d’une surface constituée uniquement d’un segment vertical. 2. La deuxième relation correspond à la Proposition 9.9. 3. Nous avons, pour tout x > 0,

1 1 0 = ln 1 = ln(x ⋅ ) = ln x + ln , x x

si bien que

1 = − ln x. x

En outre, pour x1 , x2 > 0 on a, par la réduction de la multiplication à une addition, ln x1 = ln �

et de ce fait

ln 4. Pour n = 2, on a

x1 x ⋅ x2 � = ln 1 + ln x2 , x2 x1

x1 = ln x1 − ln x2 . x2

ln x n = ln(x ⋅ x) = ln x + ln x = 2 ln x = n ln x.

Pour n = 3, on a

ln x n = ln(x2 ⋅ x) = ln x2 + ln x = 2 ln x + ln x = 3 ln x = n ln x.

On peut continuer de la sorte pour obtenir le résultat voulu

pour tout n ∈ N 4 .

5. On a, pour n = 1, 2, 3, . . . , si bien que

ln x n = n ln x

√ n √ ln � n x� = n ln n x

(x > 0),

√ n

1 ln x n 6. Pour y ∈ {−1, −2, −3, . . .} on a ln

ln x y = ln

4. On peut utiliser une démonstration par induction avec un pas d’induction de la forme suivante :

(x > 0).

1 = − ln x�y� = −�y� ln x = y ln x. �y� x

Cela donne le résultat pour tout y ∈ Z. Pour y = 1�m avec m ∈ N∗ on a

√ m ln x = ln � m x� = m ln �x1�m � ,

si bien qu’on obtient le résultat souhaité

dans ce cas également.

ln x1�m =

1 ln x m

ln x n+1

= =

ln(x n ⋅ x) = ln x n + ln x

n ln x + ln x = (n + 1) ln x.

153

9.2. LA FONCTION LOGARITHME NATUREL Finalement, pour y = n�m avec n ∈ Z et m ∈ N∗ on a ln(x n�m ) = ln(x n )1�m =

1 1 n ln x n = n. ln x = ln x. m m m

Cela permet de conclure pour tous les y rationnels. Nous reviendrons plus tard sur les valeurs irrationnelles de y 5 .

Exemple 9.1. Les relations logarithmiques ont joué un rôle important dans la maîtrise des calculs faits par des générations de scientifiques qui nous ont précédés. On disposait en effet de tables logarithmiques, dont nous donnons ici un extrait :

ln 1.2 ln 1.3 ln 1.4 ln 1.5 ln 1.6 ln 1.7 ln 1.8 ln 1.9 ln 2. ln 2.1 ln 2.2 ln 2.3 ln 2.4 ln 2.5 ln 2.6 ln 2.7 ln 2.8 ln 2.9

+ .00

+ .01

+ .02

+ .03

+ .04

+ .05

+ .06

5. Dans le développement de la théorie ci-dessous qui mène à une définition précise de x y lorsque y est irrationnel, nous veillerons à ne pas utiliser le résultat ln x y = y ln x pour des y irrationnels.

+ .07

+ .08

+ .09

0.1823215568

0.1906203596

0.1988508587

0.2070141694

0.2151113796

0.2231435513

0.2311117210

0.2390169005

0.2468600779

0.2546422184

0.2623642645

0.2700271372

0.2776317366

0.2851789422

0.2926696140

0.3001045925

0.3074846997

0.3148107398

0.3220834992

0.3293037471

0.3364722366

0.3435897044

0.3506568716

0.3576744443

0.3646431136

0.3715635564

0.3784364357

0.3852624008

0.3920420878

0.3987761200

0.4054651081

0.4121096508

0.4187103349

0.4252677354

0.4317824164

0.4382549309

0.4446858213

0.4510756194

0.4574248470

0.4637340162

0.4700036292

0.4762341790

0.4824261492

0.4885800148

0.4946962418

0.5007752879

0.5068176024

0.5128236264

0.5187937934

0.5247285289

0.5306282511

0.5364933705

0.5423242908

0.5481214085

0.5538851132

0.5596157879

0.5653138091

0.5709795466

0.5766133643

0.5822156199

0.5877866649

0.5933268453

0.5988365011

0.6043159669

0.6097655716

0.6151856391

0.6205764877

0.6259384309

0.6312717768

0.6365768291

0.6418538862

0.6471032421

0.6523251860

0.6575200029

0.6626879731

0.6678293726

0.6729444732

0.6780335427

0.6830968447

0.6881346387

0.6931471806

0.6981347221

0.7030975114

0.7080357931

0.7129498079

0.7178397932

0.7227059828

0.7275486073

0.7323678937

0.7371640660

0.7419373447

0.7466879475

0.7514160887

0.7561219797

0.7608058290

0.7654678421

0.7701082217

0.7747271676

0.7793248768

0.7839015438

0.7884573604

0.7929925155

0.7975071959

0.8020015855

0.8064758659

0.8109302162

0.8153648133

0.8197798315

0.8241754430

0.8285518176

0.8329091229

0.8372475245

0.8415671857

0.8458682676

0.8501509294

0.8544153282

0.8586616190

0.8628899551

0.8671004877

0.8712933659

0.8754687374

0.8796267475

0.8837675402

0.8878912574

0.8919980393

0.8960880246

0.9001613499

0.9042181506

0.9082585602

0.9122827105

0.9162907319

0.9202827531

0.9242589015

0.9282193027

0.9321640810

0.9360933592

0.9400072585

0.9439058989

0.9477893989

0.9516578757

0.9555114450

0.9593502213

0.9631743178

0.9669838462

0.9707789172

0.9745596400

0.9783261228

0.9820784724

0.9858167945

0.9895411936

0.9932517730

0.9969486349

1.000631880

1.004301609

1.007957920

1.011600912

1.015230680

1.018847320

1.022450928

1.026041596

1.029619417

1.033184483

1.036736885

1.040276712

1.043804052

1.047318994

1.050821625

1.054312030

1.057790294

1.061256502

1.064710737

1.068153081

1.071583616

1.075002423

1.078409581

1.081805170

1.085189268

1.088561953

1.091923301

1.095273387

La multiplication devenait une opération simple ; illustrons ceci en calculant 1.22 × 1.54 : Lecture de ln 1.22 Lecture de ln 1.54 Addition : ln 1.22 + ln 1.54 Recherche dans la table de 0.6306332752 On trouve : ln 1.87 = 0.6259384309 ln 1.88 = 0.6312717768 Résultat (par valeur la plus proche) :

0.1988508587 0.4317824164 0.6306332752

1.22 × 1.54 ≈ 1.88

Si on voulait (ou devait) calculer une racine, disons cédait comme suit :

√ 3 2.64, on pro-

154

CHAPITRE 9. LOGARITHME NATUREL

Lecture de ln 2.64 : Calcul de ln 2.64�3 : Recherche dans la table de la valeur 0.3235929724 On trouve : ln 1.38 = 0.3220834992 ln 1.39 = 0.3293037471 avec une différence de : Interpolation Différence entre ln 2.64�3 et ln 1.38

0.9707789172 0.3235929724

0.0072202480 0.0015094732 1.38 +

Résultat (par interpolation linéaire)

On trouve donc, avec une simple division par 3 que √ 3 2.64 ≈ 1.38

0.0015094732 ⋅ 0.01 = 1.38209 0.0072202480

et avec une interpolation (qui pouvait encore être soutenue par une meilleur disposition des tables) que √ 3 2.64 ≈ 1.38209. Un calcul par des moyens informatiques modernes donne √ 3 2.64 ≈ 1.3820846460022368544229921853506323692699392264607. Exemple 9.2. Considérons l’expression √ 5b7 3 2 + a A ∶= √ , 1−a

une expression qui est bien définie pour −2 ≤ a < 1 et pour b ∈ R quelconque. On peut déterminer le logarithme naturel de cette expression à condition que A > 0. On obtient donc, si −2 < a < 1 et b > 0, que 1 1 ln A = ln 5 + 7 ln b + ln(2 + a) − ln(1 − a). 3 2 Exemple 9.3. Pour x ∈] − 3, 3[ 6 , on peut écrire ln(3 + x) + 2 ln(3 − x) −

1 (3 + x)(3 − x)2 √ ln(9 − x2 ) = ln 2 9 − x2

(9 − x2 )(3 − x) √ = ln 9 − x2 � = ln �(3 − x) 9 − x2 � .

Exemple 9.4. Pour a > 0, −a < b < a et α ∈ R 7 , on a

ln a + α ln(a + b) + α ln(a − b) = ln [a(a + b)α (a − b)α ] = ln �a(a2 − b2 )α � .

6. L’expression dans le membre de gauche n’a de sens que si ● 3 + x > 0,

● 3 − x > 0 et ● 9 − x2 > 0.

Cela revient à demander que −3 < x < 3. 7. L’expression dans le membre de gauche n’a de sens que si ● a > 0,

● a + b > 0 et ● a − b > 0.

Cela revient à demander que a > 0 et b ∈] − a, a[.

9.2. LA FONCTION LOGARITHME NATUREL Exemple 9.5. On a, pour x, y, u et v > 0,

155

1 1 [ln x + 3 ln y] − [ln u − 5 ln v] = 3 2

9.2.4 !"#

1 1 u ln(xy3 ) − ln 5 3 2 v � 3 xy3 = ln � u�v5 √ √ yv2 3 x v √ = ln . u

Etude de la fonction logarithme naturel

L’étude de la fonction logarithme ln ∶]0, +∞[→ R,

repose sur les éléments suivants :

x � ln x

1. Nous allons montrer que la fonction logarithme a la propriété suivante : ∀x1 , x2 > 0,

0 < x1 < 1 < x2

�⇒ ln x1 < 0 = ln 1 < ln x2 .

Ce résultat purement local impliquera, comme nous le verrons dans un instant, que la fonction logarithme est strictement monotone croissante partout sur son domaine de définition 8 . 2. Puis nous montrerons que la fonction logarithique est continue en x = 1. Ce résultat de continuité en un point impliquera à son tour que la fonction logarithme est continue partout sur son domaine de définition. 3. Finalement, nous établirons que la fonction logarithme est dérivable en x = 1 et que cette dérivée vaut 1. En outre, cela impliquera à nouveau que la fonction logarithme est dérivable partout sur son domaine de définition et que cette dérivée est donnée par 1�x. Il s’agit là d’une particularité de la fonction logarithme : les propriétés de monotonie, continuité et dérivabilité en un point impliquent cette même propriété en tout point de son domaine de définition. Cette particularité découle de la relation logarithmique fondamentale (cf. Proposition 9.9 et Théorème 9.10). Il restera alors à étudier la fonction logarithme sur le bord de son domaine de définition et d’établir le graphe de cette fonction sur la base de toutes ces propriétés. Proposition 9.11 (Monotonie de ln). La fonction logarithme ln ∶]0, +∞[→ R,

est strictement monotone croissante : ∀x1 , x2 > 0 0 < x1 < x2

x � ln x

�⇒ ln x1 < ln x2 .

8. Voici le graphe d’une fonction f ∶]0, +∞[→ R

qui satisfait la même relation que la fonction ln : ∀x1 , x2 > 0, x1 < 1 < x2

⇒

f (x1 ) < f (1) < f (x2 )

sans pour autant être monotone dans un voisinage quelconque de x = 1 : y

x 1

156

CHAPITRE 9. LOGARITHME NATUREL

Démonstration. Commençons par une remarque : 1. Si 1 < x2 , alors ln 1 = 0 et ln x2 > 0 (en tant qu’aire signée), si bien que 0 = ln 1 < ln x2 (fig. 9.9). 2. Si 0 < x1 < 1, alors ln x1 < 0 (en tant qu’aire munie d’un signe négatif) et ln 1 = 0, si bien que ln x1 < ln 1 = 0 (fig. 9.10). Donc

∀x1 , x2 > 0,

0 < x1 < 1 < x2

�⇒ ln x1 < 0 = ln 1 < ln x2 .

Considérons à présent deux valeurs x1 et x2 avec 0 < x1 < x2 . On a donc nécessairement x2 �x1 > 1, et de ce fait (cf. Théorème 9.10) ln x2 − ln x1 = ln �

Donc

∀x1 , x2 > 0 0 < x1 < x2

x2 � > ln 1 = 0. x1

�⇒ ln x1 < ln x2 .

Proposition 9.12. La fonction logarithme ln ∶]0, +∞[→ R,

x � ln x

est continue en tout point de son domaine de définition : ∀ξ > 0,

lim ln x = ln ξ.

x→ξ

Démonstration. Commençons par établir la limite lim ln x = 0

(= ln 1)

x→1

qui correspond à la continuité de la fonction logarithme en ξ = 1. A cet effet, nous considérons la figure suivante : y

y 1�x

y = 1�t t

Figure 9.9: ln x2 avec x2 > 1 est, en tant qu’aire munie d’un signe +, strictement positif. y

−

Cela signifie bien que la fonction ln est strictement croissante sur son domaine de définition ]0, +∞[.

1�x

y = 1�t t

Figure 9.10: ln x1 avec 0 < x1 < 1 est, en tant qu’une aire munie d’un signe −, strictement négatif.

157

9.2. LA FONCTION LOGARITHME NATUREL

● Si x > 1, ln x est l’aire d’une surface comprises entre deux rectangles. On obtient donc (x − 1) ⋅

1 < ln x < (x − 1) ⋅ 1 x

(x > 1).

Si on laisse à présent tendre x vers 1 depuis la droite, on obtient lim

x→1+

x−1 ≤ lim+ ln x ≤ lim+ (x − 1), x→1 x→1 x

c.-à-d. limx→1+ ln x = 0.

● Si 0 < x < 1, − ln x est l’aire d’une surface comprise entre deux rectangles, et de ce fait

c.-à-d.

(1 − x) ⋅ 1 < − ln x < (1 − x) ⋅ (x − 1)

1 x

1 < ln x < (x − 1) ⋅ 1 x

(0 < x < 1), (0 < x < 1).

En faisant tendre x vers 1 depuis la gauche, on obtient comme ci-dessus que limx→1− ln x = 0.

Les limites à gauche et à droite coïncident et, de ce fait, limx→1 ln x = 0. Considérons maintenant un ξ ∈]0, ∞[ quelconque. Alors, grâce aux relations fondamentales du logarithme, on a ln x − ln ξ

= ln

lim (ln x − ln ξ) =

x→ξ

x ξ

lim ln

x→ξ

x ξ

= lim ln z z→1

si bien que

= 0,

avec z ∶=

x ξ

lim ln x = ln ξ.

x→ξ

La fonction logarithme est donc continue en tout point de son domaine de définition.

Proposition 9.13 (La fonction ln est dérivable). La fonction logarithme ln ∶]0, +∞[→ R,

x � ln x

est dérivable en tout point de son domaine de définition : d 1 ln x = dx x

(x > 0).

158

CHAPITRE 9. LOGARITHME NATUREL

Démonstration. Commençons par montrer que lim

x→1

ln x = 1. x−1

A cet effet, nous rappelons une relation établie dans la démonstration de la Proposition 9.12 : ● Pour x > 1, on a c.-à-d. ● Pour 0 < x < 1, on a c.-à-d.

(x − 1) ⋅

1 < ln x < (x − 1) ⋅ 1, x

(x − 1)

1 < ln x < (x − 1) ⋅ 1, x

1 ln x < <1 x x−1

ln x 1 < x−1 x Comme lim 1�x = 1, on obtient 1<

x→1

lim

x→1+

(x > 1).

(0 < x < 1).

ln x ln x = 1 = lim− . x→1 x − 1 x−1

ln x = 1. x−1 Soit à présent x ∈]0, +∞[ un nombre quelconque. Alors, grâce aux relations fondamentales de la fonction logarithme, on a Cela établit que lim

x→1

ln(x + h) − ln x h ln(x + h) − ln x lim h h→0

= = = =

ln x+h ln (1 + h�x) 1 x = ⋅ h h�x x ln (1 + h�x) 1 lim ⋅ h�x x h→0 1 ln z ⋅ lim avec z ∶= 1 + h�x x z→1 z − 1 1 1 ⋅1 = . x x

La fonction ln est donc dérivable en tout point de son domaine de définition et (ln x)′ = 1�x (pour x ∈ ]0, +∞[). Remarque 9.14. Remarquons que le résultat de la proposition précédente peut se démontrer immédiatement si on utilise le théorème sur la dérivée d’une intégrale par rapport à une borne. On a alors x dt d 1 1 = � = . � dx 1 t t t=x x

♣

Proposition 9.15 (Le comportement de ln sur le bord de Dln ). Le comportement de la fonction (continue et dérivable) ln ∶]0, +∞[→ R, x � ln x

159

9.2. LA FONCTION LOGARITHME NATUREL

sur son domaine de définition est régi par les limites suivantes : 1.

lim ln x = +∞.

x→+∞

lim ln x = −∞.

x→0+

Démonstration. Commençons par établir la première de ces deux limites. A cet effet, nous allons nous servir d’une estimation vers le bas de l’aire représentée par ln x. Nous considérons la situation suivante : y 1�2

... 1

...

2n−1

y = 1�t 2n

Soit n un nombre naturel (que nous allons faire tendre vers +∞) et considérons l’estimation suivante valable pour tous les x ≥ 2n et obtenue par comparaison de surface : ln x

> = >

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + + + + + + � n−1 + n−1 +�+ n 2 3 4 5 6 7 8 9 2 2 2 +1 1 1 1 1 1 1 1 +� + �+� +�+ �+� +�+ 4�+� 2 3 4 5 8 9 2 1 1 � + � n−1 +�+ n� 2 2 +1 1 1 1 1 1 1 1 + � + � + � + � + � + � 4 + � + 4 � +� 2 4 4 8 8 2 2 paquet numéro 4

�+�

1 1 +�+ n� 2n + 1 2 paquet numéro n

1 1 1 1 1 + + +�+ = n⋅ . 2 2 2 2 2

Pour n → +∞ on a x → +∞ puisque x ≥ 2n . Nous obtenons donc le résultat souhaité lim ln x ≥ lim n ⋅

x→+∞

c.-à-d.

n→+∞

1 = +∞, 2

lim ln x = ∞.

x→+∞

160

CHAPITRE 9. LOGARITHME NATUREL

Concernant la seconde limite, on peut raisonner de façon similaire ou alors procéder comme suit : lim ln x

x→0+

= =

1 x lim − ln z

lim − ln

x→0+

Une fois de plus, une relation fondamentale de la fonction logarithme permet d’étendre un résultat depuis un point vers un autre point !

avec z ∶= 1�x

z→+∞

= −∞.

Si on réunit tous les éléments ci-dessus, on obtient une image complète de la fonction logarithme. Proposition 9.16. La fonction logarithme naturel ln ∶]0, +∞[→ R,

x � ln x

est une fonction dérivable (et de ce fait continue), strictement monotone croissante, dont l’image est l’ensemble de tous les nombres réels R :

d 1. On a dx ln x = 1�x pour x > 0, ce qui implique du reste que la fonction ln est strictement croissante avec un «taux de croissance» qui devient de plus en plus faible.

2. On a ln (]0, +∞[) = R. Pour tout y ∈ R donné, il existe donc exactement un nombre x ∈]0, +∞[ tel que ln x = y. 3. En particulier, il existe exactement un nombre réel e tel que ln e = 1.

Ce nombre s’appelle la base de la fonction ln.

Remarque 9.17. Le nombre e dans la proposition ci-dessus s’appelle le nombre d’Euler. On peut montrer que ce nombre est irrationnel et qu’il vaut

e ≈ 2.71828182845904523536028747135266249775724709369995957496696762772407663035354759457138217852516642742 ♣

Voici le graphe de la fonction logarithme : y = ln x

161

9.2. LA FONCTION LOGARITHME NATUREL

Rappelons pour clore quelques résultats intéressants obtenus cidessus : ● La série harmonique diverge : ∞

N 1 1 = lim � = +∞. N→+∞ k=1 k k=1 k

�

1 n ≥ . 2 k=1 k

Nous avons même trouvé l’estimation suivante : �

● On connaît les limites suivantes : lim

x→1

ln x =1 x−1

lim ln x = +∞

x→+∞

lim ln x = −∞.

x→0+

Introduisons à présent une notation qui nous sera très utile lors de la résolution d’équations comprenant des logarithmes. La fonction logarithme naturel ln ∶]0, +∞[→ R,

x � y = ln x ∶= �

dt t

est une bijection (fig. 9.11). Donc, pour tout y ∈ R donné, il existe exactement une valeur x > 0 telle que ln x = y.

Nous notons cette valeur

exp(0) = 1

puisque ln 1 = 0 et ln e = 1.

exp(1) = e

Exemple 9.6. Résolvons l’équation

√ 1 ln √ = ln x. x

Remarquons que cette équation est définie sur un domaine d’existence donné par {x ∈ R ∶ x > 0 et ln x ≥ 0} = {x ∈ R ∶ x > 0 et x ≥ 1} = [1, +∞[.

Pour tout x ∈ [1, +∞[, notre équation prend la forme suivante : √ 1 − ln x = ln x . 2 ≥0 ≥0

De ce fait, notre équation se réduit à

ln x = 0.

y y = ln x 1

x =∶ exp(y).

Remarquons que

y = ln x

L’unique solution est donc donnée par x = 1.

x = exp(y)

Figure 9.11: La fonction logarithme est une bijection ; elle possède donc une fonction réciproque exp qui, à toute valeur donnée de y ∈ R, fait correspondre l’unique x ∈]0, +∞[ avec ln x = y.

162

CHAPITRE 9. LOGARITHME NATUREL

Exemple 9.7. Résolvons l’équation ln [ln(2x) − ln 2] = 2 ln 2,

On a

ln [ln(2x) − ln 2] = 2 ln 2

(x > 0)

⇐⇒ ln [ln 2 + ln x − ln 2] = ln 22 =ln x

⇐⇒ ln(ln x) = ln 4.

Puisque la fonction ln ∶]0, +∞[→ R est bijective, nous pouvons écrire notre équation sous la forme ln x = 4,

(x > 0).

L’unique solution de cette équation est x = exp(4). Remarque 9.18. Considérons une équation sous la forme G(x) = D(x),

x ∈ D ⊂ R.

Si les deux termes G(x) et D(x) sont strictement positifs sur le domaine considéré D, on peut «logarithmer cette équation» : G(x) = D(x),

x∈D

⇐⇒

ln(G(x)) = ln(D(x)),

x ∈ D.

Cette transformation est particulièrement utile lorsque l’inconnue x apparaît sous la forme d’une puissance (comme par exemple dans 3x = 2x−1 ). Indépendamment du signe des expressions G(x) et D(x), on peut transformer l’équation G(x) = D(x),

x∈D⊂R

de façon équivalente en appliquant exp(⋅) aux deux membres : G(x) = D(x),

x∈D

⇐⇒

exp(G(x)) = exp(D(x)),

x ∈ D.

Cette transformation est particulièrement utile pour se «débarrasser» des logarithmes ; nous l’avons du reste utilisée dans l’exemple précédent : ln(ln x) = ln 4

⇐⇒ exp(ln(ln x)) = exp(ln 4) ⇐⇒ ln x = 4

⇐⇒ exp(ln x) = exp(4) ⇐⇒

x = exp(4).

Insistons sur le fait que, par définition de exp(⋅), on a

exp(ln(z)) = z,

ln(exp(z)) = z

(z > 0)

(z ∈ R).

♣

163

9.2. LA FONCTION LOGARITHME NATUREL

Exemple 9.8. Résolvons l’équation ln x5 [ln(2x) − ln 2] + ln x9 = 2.

Remarquons que cette équation est définie uniquement pour x > 0. On obtient ln x5 [ln(2x) − ln 2] + ln x9 = 2

⇐⇒ 5 ln x [ln 2 + ln x − ln 2] + 9 ln x = 2 ⇐⇒ 5 ln x ⋅ ln x + 9 ln x = 2

⇐⇒ 5 (ln x) + 9 ln x − 2 = 0. 2

Nous avons donc pu réduire notre problème à une équation quadratique en ln x. De ce fait nous obtenons √ −9 ± 81 + 40 9 ± 11 ln x = = . 10 10 Notre équation a donc exactement les deux solutions que voici : x1 = exp(2)

x2 = exp(−1�5).

Exemple 9.9. Considérons à présent la fonction � f ∶] − 1, 1[→ R,

x � f (x) ∶= ln

et déterminons sa dérivée. Nous obtenons

1−x 1+x

1 [ln(1 − x) − ln(1 + x)] 2 1 1 . 1 f ′ (x) = � (−1) − ⋅ (+1)� 2 1−x 1+x 1 1 1 = − � + � 2 1−x 1+x 1 = (x ∈] − 1, 1[). 2 x −1 f (x) =

Remarquons que l’utilisation des relations logarithmiques avant la dérivation permet de simplifier largement les calculs.

Exemple 9.10. On a 9

9. Nous utilisons le fait que

d [ln (7x ln (ln 4x)) − ln x] = dx = = =

d [ln 7 + ln x + ln (ln (ln 4x)) − ln x] dx d ln (ln (ln 4x)) dx 1 1 1 ⋅ ⋅ ⋅4 ln(ln 4x) ln 4x 4x 1 1 1 ⋅ ⋅ . ln(ln 4x) ln 4x x

d 1 ln g(x) = ⋅ g′ (x). dx g(x)

164

CHAPITRE 9. LOGARITHME NATUREL

Exemple 9.11. Etudions la fonction donnée par f ∶ x � ln(3 − 2x − x2 ).

1. Déterminons le domaine de définition maximal D f . L’expression f (x) n’a de sens que si 3 − 2x − x2 = −(x + 3)(x − 1) > 0.

De ce fait nous obtenons : D f

=] − 3, 1[ 10 .

2. Etudions à présent le comportement de notre fonction f ∶] − 3, 1[→ R sur le bord de son domaine de définition. On a, puisque la fonction f est continue (en tant que composition de fonctions continues) 11 , lim− f (x) =

x→1

lim− ln(3 − 2x − x2 )

= ln � lim− (3 − 2x − x )� = −∞ 2

x→1

et lim f (x) =

x→−3+

g ∶ R → R,

g(x) ∶= 3 − 2x − x2

est symétrique par rapport à la droite x = −1. Nous laissons au lecteur intéressé le soin d’exploiter cette symétrie. 11. Nous utilisons la limite lim ln z = −∞

z→0+

x→1

10. Le graphe de la fonction

lim z

avec z = 3 − 2x − x2 et x → 1− respectivement x → −3+ .

z→0+

lim ln(3 − 2x − x2 )

x→−3+

= ln � lim + (3 − 2x − x2 )� = −∞. x→−3

lim z

z→0+

3. Déterminons à présent les zéros de la fonction f 12 : ln(3 − 2x − x2 ) = 0

⇐⇒ exp(ln(3 − 2x − x2 )) = exp(0)

12. On peut également conclure comme suit : ln(3 − 2x − x2 ) = 0

⇐⇒ 3 − 2x − x2 = 1.

⇐⇒ ln(3 − 2x − x2 ) = ln 1 ⇐⇒ 3 − 2x − x2 = 1.

Cette équation quadratique possède deux solutions : x1,2 = −1 ±

√ √ 1 + 2 = −1 ± 3.

Comme ces deux valeurs appartiennent au domaine de définition D f de la fonction f , on peut conclure que la fonction f a exactement deux zéros : x1 = −1 −

√ 3

x2 = −1 +

√ 3.

4. Annulons à présent la dérivée f ′ afin de déterminer les point critiques de la fonction f : f ′ (x) =

1 ⋅ (−2x − 2) = 0 ⇐⇒ x = −1. 3 − 2x − x2

La fonction f possède donc un maximum en x3 = −1, puisque la dérivée f ′ change de signe en ce point : de négative, elle devient positive. Le graphe de la fonction f est représenté sur la figure 9.12.

y ln 4

−3

−1

y = f (x)x

Figure 9.12: Le graphe de la fonction f . La valeur maximale est donnée par f (−1) = ln 4.

9.2. LA FONCTION LOGARITHME NATUREL

165

Remarquons que l’image de la fonction f est donnée par ] − ∞, ln 4]. Si on restreint la fonction f au domaine ] − 3, −1], on obtient une fonction bijective g : g ∶= f �]−3,−1] ∶] − 3, −1] →] − ∞, ln 4],

La fonction réciproque

g−1 ∶] − ∞, ln 4] →] − 3, −1],

est donnée par

En effet, la relation

g−1 (y) = −1 −

y = ln(3 − 2x − x2 ),

peut s’écrire sous la forme

exp(y) = 3 − 2x − x2 ,

x � g(x) ∶= f (x).

y � g−1 (y)

� 4 − exp(y).

y ∈] − ∞, ln 4] et x ∈] − 3, −1] y ∈] − ∞, ln 4] et x ∈] − 3, −1].

L’équation quadratique qui apparaît ici a deux solutions : � � x = −1 ± 1 − exp(y) − 3 = −1 ± 4 − exp(y). On doit considérer la variante avec x ≤ −1, si bien que � x = −1 − 4 − exp(y).

10 Fonction exponentielle Sommaire

10.1 La fonction exponentielle

168

10.1.1

DĂŠfinition de la fonction exponentielle

168

10.1.2

La notion de puissance

169

10.1.3

Les relations pour la fonction exponentielle

170

10.2 Quelques limites

174

10.3 Quelques exemples

178

168

CHAPITRE 10. FONCTION EXPONENTIELLE

10.1 La fonction exponentielle !"#

10.1.1 Définition de la fonction exponentielle La Proposition 9.16 implique que la fonction logarithme naturel ln ∶]0, +∞[→ R,

x � y = ln x ∶= �

dt t

est une bijection (fig. 10.1). On peut donc considérer la fonction réciproque qui, à toute valeur de y ∈ R, fait correspondre l’unique x ∈]0, +∞[ tel que y = ln x. Définition 10.1. On appelle fonction exponentielle la fonction réciproque de la fonction logarithme, c.-à-d. la fonction : exp ∶ R →]0, +∞[,

y � x = exp(y),

qui, pour y donné, rend l’unique valeur de x pour laquelle ln x = y. On a donc les relations suivantes : exp(ln x) = x,

(x > 0)

y = ln x

y y = ln x

(y ∈ R).

y = exp(x)

Le graphe de la fonction exp s’obtient à partir du graphe de la fonction logarithme par une symétrie d’axe y = x. Ce fait est illustré sur la figure 10.2. Proposition 10.1. La fonction exponentielle exp ∶ R →]0, +∞[,

x � y = exp(x),

est dérivable (et de ce fait continue) partout avec

d exp(x) = exp(x). dx

Démonstration. Cela découle des calculs suivants : ∀x ∈ R,

ln(exp(x)) = x

�⇒ �⇒ �⇒

d ln(exp(x)) = 1 dx 1 d ⋅ exp(x) = 1 exp(x) dx d exp(x) = exp(x). dx

x = exp(y)

Figure 10.1: La fonction logarithme est une bijection ; elle possède donc une fonction réciproque exp qui, à toute valeur donnée de y ∈ R fait correspondre l’unique x ∈]0, +∞[ tel que ln x = y.

ln(exp(y)) = y,

y=x

y = ln x 1

Figure 10.2: Le graphe de la fonction exp en tant que fonction réciproque de la fonction logarithme.

169

10.1. LA FONCTION EXPONENTIELLE

Proposition 10.2. La fonction exponentielle (fig. 10.3) exp ∶ R → R,

x � y = exp(x)

y = exp(x)

y=x

est une fonction dérivable (et donc continue) ayant les propriétés suivantes : 1. La fonction exp est strictement monotone croissante avec un «taux de croissance» donné par exp(x) qui devient de plus en plus élevé.

2. exp(R) =]0, +∞[. Pour tout y > 0 il existe donc exactement une valeur x ∈ R (donnée du reste par ln y) telle que exp(x) = y. 3. On a exp(1) = e, puisque ln e = 1.

4. On a exp(0) = 1, puisque ln 1 = 0. 5. On a

lim exp(x) = 0

x→−∞

10.1.2

lim exp(x) = +∞.

x→+∞

La notion de puissance

On a, pour tout nombre a > 0 et pour tout nombre x = p�q avec p ∈ Z et p ∈ N∗ , a x = exp(ln(a x )) = exp(x ⋅ ln a).

Remarquons que nous avons utilisé une relation logarithmique que nous avons établie uniquement pour x ∈ Q. Le membre de droite de l’expression ci-dessus est formé d’une combinaison de fonctions continues ; cette expression dépend donc de façon continue de x. C’est pourquoi, nous introduisons la définition suivante : Définition 10.2. Pour tout nombre a > 0, on pose ∀x ∈ R,

a x ∶= exp(x ⋅ ln a).

Remarquons que cette définition implique ∀x ∈ R,

ln a x = ln(exp(x ⋅ ln a)) = x ⋅ ln a.

Cela justifie la validité de la relation ln a x = x ⋅ ln a non seulement pour les x rationnels, mais pour tous les x réels. Rappelons que nous avions défini le nombre d’Euler e comme l’unique nombre réel positif avec ln e = 1. On a, pour tout nombre x ∈ R, e x = exp(ln(e x )) = exp(x ⋅ ln e) = exp(x ⋅ 1) = exp(x).

On a donc :

Proposition 10.3. On a ∀x ∈ R,

exp(x) = e x .

y = ln x

e 1 1

Figure 10.3: On peut retrouver les énoncés de la proposition sur le graphe de la fonction exp.

170

10.1.3

CHAPITRE 10. FONCTION EXPONENTIELLE

Les relations pour la fonction exponentielle

On a, pour tous les nombres réels x1 et x2 , ln (e x1 ⋅ e x2 ) = ln (e x1 ) + ln (e x2 ) = x1 + x2 ,

si bien que

e x1 ⋅ e x2 = exp (ln (e x1 ⋅ e x2 )) = exp(x1 + x2 ) = e x1 +x2 .

De façon similaire, on a ln �

si bien que

e x1 � = ln (e x1 ) − ln (e x2 ) = x1 − x2 , e x2

e x1 e x1 = exp �ln � �� = exp(x1 − x2 ) = e x1 −x2 . e x2 e x2

Finalement, toujours avec les mêmes idées, on a ln ((e x1 )x2 ) = x2 ⋅ ln (e x1 ) = x2 ⋅ x1

si bien que

(e x1 )x2 = exp (ln ((e x1 )x2 )) = exp(x1 ⋅ x2 ) = e x1 ⋅x2 .

Ce sont là les relations fondamentales pour la fonction exponentielle. Proposition 10.4. La fonction exponentielle exp ∶ R →]0, +∞[,

a les propriétés suivantes 1 :

x � y = exp(x) = e x

● Le produit de deux puissances : On a, pour tous les x1 et x2 ∈ R, e x1 ⋅ e x2 = e x1 +x2

c.-à-d.

exp(x1 ) ⋅ exp(x2 ) = exp(x1 + x2 ).

● Le produit de deux puissances : On a, pour tous les x1 et x2 ∈ R, e x1 = e x1 −x2 e x1

c.-à-d.

exp(x1 ) = exp(x1 − x2 ). exp(x2 )

● La puissance d’une puissance : On a, pour tous les x et α ∈ R, (e x ) = eα⋅x α

c.-à-d.

(exp(x)) = exp(α ⋅ x). α

Remarquons que ces lois restent valables si on remplace e par un nombre réel positif a quelconque. On a par exemple a x1 ⋅ a x2

= exp(x1 ⋅ ln a) ⋅ exp(x2 ⋅ ln a) = exp(x1 ⋅ ln a + x2 ⋅ ln a) = exp((x1 + x2 ) ⋅ ln a) = exp(ln a x1 +x2 ) = a x1 +x2 .

On a donc :

1. On reconnaît ici les lois de calculs usuels pour le calcul avec des puissances. Nous attirons cependant l’attention du lecteur sur le fait que nous avons justifié ces règles pour des valeurs quelconques réelles de x1 , x2 et de α. Le lecteur a certainement déjà rencontré ces règles de calcul. Les voilà justifiées pleinement !

171

10.1. LA FONCTION EXPONENTIELLE Proposition 10.5. Soit a > 0 une constante réelle donnée. Alors

● Le produit de deux puissances : On a, pour tous les x1 et x2 ∈ R, a x1 ⋅ a x2 = a x1 +x2 .

● Le quotient de deux puissances : On a, pour tous les x1 et x2 ∈ R, a x1 = a x1 −x2 . a x2

● La puissance d’une puissance : On a, pour tous les x et α ∈ R, (a x ) = aα⋅x . α

la tangente recherchée

Exemple 10.1. Déterminons l’équation de la tangente à la courbe ln(3x) y= x

(x > 0)

qui passe par l’origine (fig. 10.4). Dénommons par (x0 , f (x0 )) le point où la tangente recherchée y = mx touche le graphe de la fonction f ∶ ]0, +∞[ → R,

x � f (x) ∶=

f (x0 ) x0

et par

m = f ′ (x0 ).

Nous pouvons donc déterminer la valeur (ou les valeurs) de x0 à partir de la relation f (x0 ) f ′ (x0 ) = . x0 On obtient ainsi 1 3x0

Comme

⋅ 3 ⋅ x0 − ln(3x0 ) x02

ln(3x0 ) x02

f (x0 ) =

la pente de la tangente vaut m=

⇐⇒ 1 = 2 ln(3x0 ) ⇐⇒ ln(3x0 ) = ⇐⇒

x0 =

L’équation de la tangente recherchée est donc : y=

9 x. 2e

1 2

√ 1 e exp(1�2) = . 3 3

ln(3x0 ) 1�2 1 = = , x0 x0 2x0 f (x0 ) 1 9 = 2 = . x0 2x0 2e

y = f (x) = x0

ln(3x) x

ln(3x) . x

La pente m de la tangente est donnée par m=

f (x0 )

Figure 10.4: La tangente passant par l’origine.

172

CHAPITRE 10. FONCTION EXPONENTIELLE

Exemple 10.2. Résolvons l’équation 7(9

)

= 5(6 ) ,

x ∈ R.

Comme les expressions 7(9 ) et 5(6 ) sont les deux strictement positives pour toute les valeurs de x, on peut écrire 2 : 7(9

)

= 5(6

)

⇐⇒ 9x ln 7 = 6x ln 5 ≠0 x

≠0

2. Remarquons que ln 5 > 0 et ln 7 > 0. De ce fait, l’expression ln

3 ln 5 ⇐⇒ � � = 2 ln 7

ln 5 ln 7

est bien définie.

3 ln 5 ⇐⇒ x ln = ln . 2 ln 7 La solution unique de notre équation est donc x=

5 ln ln ln 7

ln(ln 5) − ln(ln 7) . ln 3 − ln 2

3 2

Exemple 10.3. L’équation

4 −3x+1 3 2x−3 � � =� � , 7 5

x∈R

se résout de façon similaire. On obtient 3 4 −3x+1 3 2x−3 � � =� � 7 5

3. Remarquons que dans la dernière expression, on ne peut pas simplifier par

4 3 = (2x − 3) ln 7 5 4 3 3 4 ⇐⇒ ln + 3 ln = �2 ln + 3 ln � x 7 5 5 7 ⇐⇒ (−3x + 1) ln ⇐⇒

ln 47 + 3 ln 35

le facteur

ln � 47 ⋅ � 35 � � 3

2 ln 35 + 3 ln 47

ln �� 35 � ⋅ � 47 � � 2

Exemple 10.4. Résolvons l’équation xln(x

On a xln(x

)

=exp(ln(x3 )⋅ln x)>0

e5 x14 >0

)

e5 , x14

x > 0.

⇐⇒ ln(x3 ) ⋅ ln x = ln e5 − ln x14 ⇐⇒ 3 ln x ⋅ ln x = 5 − 14 ln x

⇐⇒ 3(ln x)2 + 14 ln x − 5 = 0.

Notre problème se réduit donc à une équation quadratique en ln x. De ce fait, on obtient √ −7 ± 49 + 15 −7 ± 8 ln x = = . 3 3 Notre équation possède donc exactement les deux solutions que voici : x1 = e−5 =

1 e5

x2 =

√ 3

4 7

ou � 35 � ! 2

173

10.1. LA FONCTION EXPONENTIELLE Exemple 10.5. Si on doit résoudre l’équation 4 e3x + 4e2x − e x = 0,

x ∈ R,

on peut procéder comme suit : e3x + 4e2x − e x = 0

e x ⋅ �e2x + 4e x − 1� = 0

⇐⇒

4. Il convient de noter que l’équation donnée est une équation de degré 3 en e x . En effet, cette équation peut s’écrire (e x ) + 4 (e x ) − e x = 0. 3

De façon générale, un terme comme eαx peut être vu comme une puissance de e x de la façon suivante : eαx = (e x ) .

e2x + 4e x − 1 = 0

⇐⇒ (e x ) + 4e x − 1 = 0. 2

L’équation quadratique en e x ainsi obtenue a les solutions √ √ e x = −2 ± 4 + 1 = −2 ± 5.

Remarquons cependant que e x est positif, si bien qu’il nous faut ex√ clure la possibilité où e x serait donné par −2 − 5. Il reste donc √ e x = −2 + 5, si bien que l’unique solution est donnée par √ x = ln( 5 − 2).

Exemple 10.6. Montrons que lim 2x = 0.

x→−∞

Supposons donc qu’un ε > 0 soit donné, et déterminons un seuil x0 (qui dépend de ε) tel que 5 ∀x < x0 ,

�2x − 0� < ε.

Nous pouvons déterminer x0 comme suit : �2x − 0� = 2x < ε

⇐⇒ ⇐⇒

x ⋅ ln 2 < ln ε ln ε x< =∶ x0 . ln 2

Nous avons utilisé le fait que la fonction logarithmique ln est monotone croissante. Remarquons que, si ε < 1, on a ln ε < 0.

Exemple 10.7. Montrons que 1 x lim � � = 0. x→+∞ 3

Il nous faut donc déterminer, pour tout ε > 0 donné, un seuil x0 tel que 6 1 x ∀x > x0 , �� − 0� < ε. 3

5. On peut déterminer cette limite à l’aide de la Proposition 10.2 comme suit : lim 2x

x→−∞

= =

lim e x⋅ln 2

x→−∞

lim ez = 0

z→−∞

avec z ∶= x ⋅ ln 2. Remarquons que ln 2 > ln 1 = 0, si bien que z tend vers −∞ si x tend vers −∞.

6. On peut déterminer cette limite à l’aide de la Proposition 10.2 comme suit : 1 x lim � � 3

x→+∞

z→−∞

lim e x⋅ln(1�3) lim e−x⋅ln 3

x→+∞

lim ez = 0

avec z ∶= x ⋅ ln(1�3). Remarquons que ln(1�3) < ln 1 = 0, si bien que z tend vers −∞ si x tend vers +∞.

174

CHAPITRE 10. FONCTION EXPONENTIELLE

On peut déterminer ce seuil comme suit : 1 x �� − 0� < ε 3

1 x ⇐⇒ � � < ε 3 1 ⇐⇒ x ⋅ ln � � < ln ε 3 ln ε ln ε ⇐⇒ x > =− =∶ x0 . 1 ln 3 ln � 3 �

Nous avons utilisé le fait que la fonction logarithmique ln est monotone croissante et le fait que ln 1�3 = − ln 3 < 0.

Exemple 10.8. Montrons que lim 2x = +∞.

x→+∞

Il nous faut donc déterminer, pour tout nombre M > 0 donné, un seuil x0 (qui dépend de M) tel que 7 ∀x > x0

2x > M.

On peut déterminer ce seuil de la façon suivante : 2x > M

⇐⇒ ⇐⇒

x ⋅ ln 2 > ln M ln M x> ∶= x0 . ln 2

7. On peut déterminer cette limite à l’aide de la Proposition 10.2 comme suit : lim 2x

x→+∞

lim e x⋅ln 2

x→+∞

lim ez = +∞

z→+∞

avec z ∶= x ⋅ ln 2. Remarquons que ln 2 > ln 1 = 0, si bien que z tend vers +∞ si x tend vers +∞.

10.2 Quelques limites Pour tout ξ ∈ R, l’équation de la tangente à la courbe y = e x en x = ξ est donnée par y = eξ (x − ξ) + eξ ,

y = eξ (x + 1 − ξ).

c.-à-d.

La fonction exp est convexe, puisque sa deuxième dérivée est positive : d2 exp(x) = exp(x) > 0. dx2 De ce fait, et comme indiqué sur la figure 10.5, la courbe y = e x se situe toujours au-dessus de ses tangentes. On a donc, pour tout ξ > 1, et Donc

e x ≥ eξ (x + 1 − ξ) > (x − ξ) ⋅ eξ , ex ξ > �1 − � eξ , x x

∀ξ > 1, lim

x→+∞

(x ∈ R)

(x > 0).

e ξ ≥ lim (1 − )eξ = eξ , x x→+∞ x

y = ex

eξ

x 1 ξ

Figure 10.5: Le graphe de la fonction exp est situé partout au-dessus de ses tangentes.

175

10.2. QUELQUES LIMITES

c.-à-d. (fig. 10.6)

ex = +∞ x→+∞ x lim

lim

x→+∞ e x

La dernière limite peut s’écrire

= 0.

lim x ⋅ e−x = 0,

x→+∞

si bien que (fig. 10.7)

y = x�e x x

Figure 10.6: Le graphe de la fonction x � exx . On peut observer le fait que limx→+∞ exx = 0. y

lim x ⋅ e x = 0.

x→−∞

Mais on peut faire mieux. Comme la fonction y = e x est convexe, le graphe de cette fonction est situé au-dessus de chacune de ses tangentes, et notamment au-dessus de la tangente en x = 0. L’équation de cette tangente est donnée par y = exp′ (0)(x − 0) + exp(0) = x + 1.

y = x ⋅ ex

−1

Figure 10.7: Le graphe de la fonction x � x ⋅ e x . On peut observer le fait que limx→−∞ x ⋅ e x = 0. y = ex

De ce fait, la fonction

f 1 ∶ R → R,

x � f 1 (x) ∶= e x − x − 1

y = x+1

est non négative, comme illustré dans la figure 10.8. La fonction (fig. 10.9) f 2 ∶ R → R,

x � f 2 (x) ∶= e x −

est alors monotone croissante, puisque on a f 2 (x) ≥ f 2 (0) = 0,

f 2′ (x)

La fonction

f 3 ∶ R → R,

x � f 3 (x) ∶= e x −

x2 −x−1 2

= f 1 (x). Par conséquent,

(x ≥ 0).

x3 x2 x − − −1 3! 2! 1!

x 1

Figure 10.8: La graphe de la fonction f 1 , différence entre la fonction exponentielle et sa tangente en x = 0.

est encore monotone croissante pour x ≥ 0, puisque f 3′ (x) = f 2 (x). Par conséquent, on a f 3 (x) ≥ f 3 (0) = 0,

y = f 1 (x)

y = ex

(x ≥ 0).

En continuant de la sorte on obtient que la fonction f n ∶ R → R,

x � f n (x) ∶= e x − �

xn x n−1 x + + � + + 1� n! (n − 1)! 1!

soit monotone croissante pour x ≥ 0 et que de ce fait ∀n ∈ {1, 2, 3, . . .},

ex ≥

xn x n−1 x + + � + + 1 pour x ≥ 0. n! (n − 1)! 1!

On obtient ainsi, pour n ∈ {1, 2, 3, . . .}, ex ≥ xn

x n+1 (n+1)!

xn n!

+ � + 1!x + 1

≥

x (n + 1)!

y = f 2 (x) y = x2 �2 + x + 1

x 1

Figure 10.9: Le graphe de la fonction f2 .

176

CHAPITRE 10. FONCTION EXPONENTIELLE

et de ce fait 8

8. Rappelons que

ex lim n = +∞ x→+∞ x

n −x

lim x e

x→+∞

x n e−x =

= 0.

Pour tout nombre réel α, on note �α� l’entier n ∈ Z le plus petit possible avec n ≥ α. Alors on a, pour tout α > 0,

et de ce fait 9

ex ≥ xα

x�α�+1 (�α�+1)!

e = +∞ x→+∞ x α lim

x�α� + � + 1!x �α�! xα

≥

x�α�+1−α (�α� + 1)!

lim x α e−x = 0

x→+∞

On obtient donc :

(pour α > 0).

Proposition 10.6. La fonction exp est une fonction à croissance forte pour x → +∞ : elle croît plus rapidement que toute puissance positive (fig. 10.10). On a, pour tout α ∈ R, ex lim α = +∞. x→+∞ x

(Remarquons que pour α < 0, ces limites sont du type " +∞ 0+ ".) En outre, la fonction exp est une fonction à décroissance forte pour x → −∞ : elle décroît plus rapidement que tout puissance positive (fig. 10.11). On a donc, pour tout α ∈ R,

xn 1 = ex . ex xn

9. Remarquons que �α� + 1 − α > 0. y = ex

y = 3x2 + 0.5

Figure 10.10: La fonction exp est à croissance forte pour x → +∞. Remarquons que dans la figure nous avons utilisé des unités différentes sur les deux axes !

lim �x�α ⋅ e x = 0.

y y = ex

x→−∞

(Remarquons que pour α < 0, cette limite est du type "0 ⋅ 0".)

Démonstration. La seconde partie découle de la première partie, puisque lim �x�α ⋅ e x

x→−∞

= =

�z�α z→+∞ z→+∞ ez α z zα lim � z � = � lim z � = 0. z→+∞ e z→+∞ e lim � − z�α ⋅ e−z = lim

−1

Retenons encore sous la forme d’une proposition le résultat obtenu ci-dessus concernant la minoration de e x par un polynôme : Proposition 10.7. Pour tout n ∈ {1, 2, 3, . . .} on a

xk xn x n−1 x = + +�+ +1 n! (n − 1)! 1! k=0 k! n

e x ≥ Tn exp(x) ∶= �

y = 0.5�x2

(x ≥ 0).

Le polynôme Tn exp est le développement limité de degré n de la fonction exp au point ξ = 0.

Figure 10.11: La fonction exp est à décroissance forte pour x → −∞. Remarquons que dans la figure nous avons utilisé des unités différentes sur les deux axes !

177

10.2. QUELQUES LIMITES

Remarque 10.8. On peut montrer que +∞

ex = �

k=0

n xk xk = lim � k! n→+∞ k=0 k!

(x ∈ R).

Cette série est la série de Taylor de la fonction exp autour du point ξ = 0. ♣ La limite fondamentale ci-dessus ex = +∞ x→+∞ x α lim

implique, pour β > 0, lim

x→+∞ e βx

(α ∈ R)

βx 1 1 z ⋅ lim βx = ⋅ lim z = 0. β x→+∞ e β z→+∞ e

Si on pose x ∶= ln y on obtient

● x → +∞ implique y → +∞ et ● e βx = e β ln y = y β ,

si bien que

lim

y→+∞

Si on pose z ∶= 1�y, on a ● zβ =

1 yβ

ln y =0 yβ

(β > 0).

● y → +∞ implique z → 0+ ,

si bien que 10

lim z ⋅ ln z = 0

z→0+

(β > 0).

Nous pouvons donc formuler les résultats suivants : Proposition 10.9. La fonction ln est une fonction à croissance faible pour x → +∞ : elle croît plus lentement que toute puissance positive. On a, pour tout α > 0, ln x lim = 0. x→+∞ x α

En outre, la fonction ln est une fonction à décroissance faible pour x → 0 . On a, pour tout α > 0, +

lim x α ⋅ ln x = 0.

x→0+

Exemple 10.9. Calculons la limite lim xsin x .

x→0+

10. Remarquons que de façon détaillée on a: lim z β ⋅ ln z

z→0+

= =

1 y y→+∞ y β

lim lim

y→+∞

− ln y yβ

178

CHAPITRE 10. FONCTION EXPONENTIELLE

On a lim xsin x

x→0+

lim sin(x) ⋅ ln(x) =

x→0+

lim xsin x

x→0+

= =

lim esin(x)⋅ln(x) = elimx→0+ sin(x)⋅ln(x)

sin x ⋅ (x ⋅ ln x) x sin x lim+ ⋅ lim (x ⋅ ln x) = 1 ⋅ 0 = 0 x→0 x x→0+ e0 = 1. lim

x→0+

Cette valeur de la limite peut s’observer sur le graphe de la fonction f (x) = xsin x donné sur la figure 10.12.

10.3 !"#

Quelques exemples

Si on est en présence d’une expression de la forme u(x)v(x) , on interprète cette dernière de la façon suivante : u(x)v(x) = ev(x)⋅ln u(x) .

On estime donc que le domaine de définition est choisi de telle sorte que u(x) > 0 sur ce dernier. Remarquons que l’expression x x = e x⋅ln x possède donc le domaine de définition ]0, +∞[, quand bien même cette expression peut être interprétée pour x = −2 par exemple. Exemple 10.10. Analysons la fonction f ∶ x � x x . A cet effet, on utilise la représentation f (x) = e x⋅ln x et on obtient les résultats suivants : ● Le domaine de définition D( f ) est donné par ]0, +∞[.

● La fonction f n’a pas de zéros, puisque la fonction exponentielle n’en a pas.

● L’étude du comportement sur le bord du domaine de définition donne : –

lim f (x) = elimx→+∞ x⋅ln x = +∞ ;

x→+∞

– lim+ f (x) = elimx→0+ x⋅ln x = e0 = 1. x→0

Remarquons que la fonction f possède donc un prolongement par continuité en x = 0.

● Les dérivées de f sont données par et par

1 f ′ (x) = e x⋅ln x ⋅ (ln x + x ⋅ ) = (ln x + 1) ⋅ x x x

f ′′ (x) =

x→0+

1 x 1 ⋅ x + (ln x + 1)2 ⋅ x x = x x ⋅ � + (1 + ln x)2 � . x x

y = xsin x

x 1

Figure 10.12: La comportement de xsin x pour x → 0+ .

179

10.3. QUELQUES EXEMPLES ● Le point critique est données par ′

f (x) = 0 ⇐⇒ ln x = −1 ⇐⇒ x = 1�e.

y = xx

Comme f ′′ (1�e) = e−1�e ⋅ e > 0, la fonction f possède en x = 1�e un minimum avec f (1�e) = e−1�e .

Avant de résumer ces résultats dans le graphe de la fonction f , mentionnons encore que ′

lim f (x) = lim+ x ⋅ lim+ (1 + ln x) = −∞.

x→0+

x→0

On obtient donc le graphe donné à la figure 10.13

e−1�e

x 1�e

Figure 10.13: Le graphe de la fonction x � x x , (x > 0).

Exemple 10.11. Déterminons la valeur de la limite lim [2x + 3x ]

1�x

x→+∞

(pour autant que cette limite existe). On pose

y ∶= [2x + 3x ]

si bien que ln y

1�x

1 ⋅ ln(2x + 3x ) x 1 1 = ⋅ ln [3x (1 + (2�3)x )] = ⋅ [x ⋅ ln 3 + ln(1 + (2�3)x )] x x 1 x = ln 3 + ⋅ ln(1 + (2�3) ). x

Remarquons que

lim (2�3)x = 0

x→+∞

puisque par exemple (2�3)x = exp(x ⋅ ln(2�3)). Donc lim ln y = ln 3 + 0 = ln 3.

x→+∞

Cela nous permet de conclure comme suit : lim [2x + 3x ]

1�x

x→+∞

= elimx→+∞ ln y = eln 3 = 3.

Exemple 10.12. Résolvons le système �

32x−y =27 3x − y=8.

La première équation est équivalente à (2x − y) ⋅ ln 3 = ln 27

c.-à-d.

2x − y =

ln 27 ln 33 = = 3. ln 3 ln 3

180

CHAPITRE 10. FONCTION EXPONENTIELLE

Notre système s’écrit donc �

c.-à-d.

�

Cela nous donne

2x − y = 3 3x − y = 8. 2x − y = 3 x = 5.

x = 5, y = 7.

Exemple 10.13. Montrons que la relation ln x ln 3 = x 3

n’implique pas forcément que x = 3. A cet effet, nous étudions la fonction ln x f ∶]0, +∞[→ R, x � f (x) ∶= . x 1. La fonction f possède exactement un zéro en x1 = 1, puisque ceci est l’unique valeur qui annule le numérateur.

1�e ln 3�3

2. Le comportement sur le bord du domaine de définition ]0, +∞[ est donné par les limites suivantes : lim+ f (x) =

x→0

lim f (x) = 0

x→+∞

3. La dérivée

lim+

ln x x

1 ⋅ lim ln x = −∞ x x→0+

=+∞

=−∞

(cf. Proposition 10.9).

⋅ x − (ln x) ⋅ 1 1 − ln x = x2 x2 s’annule lorsque ln x = 1, c.-à-d. , pour x = e. La fonction f a donc exactement un point critique. Comme f ′ (x) =

1 x

● la dérivée f (x) est positive pour x ∈]0, e[ et ● négative pour x ∈]e, +∞[.

la fonction f admet un maximum en x = e ; la valeur de ce maximum est f (e) = 1�e.

La graphe de f qui résulte de toutes ces considérations est donné sur la figure 10.14. Nous pouvons donc conclure qu’il existe une valeur x0 < 3 telle que ln x0 ln 3 = . x0 3

e 3

Figure 10.14: Le graphe de la fonction f (x) = ln x�x (x > 0). Nous attirons l’attention du lecteur sur le fait que nous avons choisi une unité 40 fois plus grande sur l’axe des y que celle utilisée sur l’axe des x.

!"#$%"&"'(&('#)*+&(' (,-&.)-/-0*&( 1.)"2+*,)-2.'%*3'/2.,)-2.(')"-42.25#)"-0*&(6' 724%"-)85-0*&('&)'&3$2.&.)-&77&( Cet ouvrage, tout spécialement conçu pour les lycéens et gymnasiens désireux de s’orienter vers des études supérieures scientifique, propose une introduction simple et accessible aux fonctions trigonométriques, logarithmiques et exponentielles, dont la maîtrise est indispensable à l’entrée à l’université ou en école d’ingénieur Clair et synthétique, richement illustré et tout en couleur, ce manuel expose les usages et les propriétés spécifiques de chacune de ces fonctions élémentaires Il propose de nombreux exemples et problèmes résolus, permettant une auto-évaluation permanente au fil de l’exposé, et rappelle les concepts importants en lien avec la résolution d’équations, la continuité et la dérivabilité Ce manuel adopte par ailleurs une structure basée sur l’enseignement en ligne conçu par l’auteur (moocs.epfl.ch). L’indispensable pour une entrée gagnante en Bachelor scientifique. Hans-Jörg Ruppen est professeur titulaire à l’Ecole polytechnique fédérale de Lausanne (EPFL), où il dirige le Cours de mathématiques spéciales (CMS), une unité d’enseignement passerelle entre le secondaire supérieur et l’université. Auparavant enseignant dans le secondaire puis dans une école d’ingénieur, il a acquis une expérience riche et variée de l’enseignement des mathématiques, et a développé une sensibilité toute particulière pour l’enseignement des mathématiques durant cette phase de transition.

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