Coupole de Saint-Pierre à Rome, env. 1585, arch. G. Della Porta et D. Fontana, (l =42 m, f =26 m)
Analyse de G. Poleni avec la statique graphique et l’analogie avec le câble (Memorie istoriche della gran cupola del tempio vaticano, 1748)
Maquette funiculaire de la chapelle Croquis de la structure portante de la Colonie Güell près de composée d’arcs Barcelone (figure renversée), 1898-1915, arch. A. Gaudì nouveau polygone funiculaire (géométrie que l’arc devrait prendre pour résister à Q)
Q G
câble soumis àG
G Q
G câble déplacé sous Q
G
l’arc a tendance à s’abaisser sous Q
Effet des charges variables sur les câbles et sur les arcs: déformation et instabilité
L’analogie entre les structures sollicitées à la traction (câbles) et les structures sollicitées à la compression (arcs) a été souvent utilisée pour faciliter la compréhension du fonctionnement des arcs. Jusqu’au XVIIIe siècle, de nombreux constructeurs ont cherché une règle pour déterminer la forme à donner aux arcs pour répondre au mieux aux exigences statiques. Les solutions étaient pour la plupart empiriques: le résultat était trouvé au moyen de maquettes et l’expérience jouait un rôle déterminant. C’est seulement avec l’étude des systèmes funiculaires que l’on commença vers la fin du XVIIIe siècle à formuler correctement le problème. Le thème devint d’actualité avec l’intérêt des mathématiciens de l’époque (Leibnitz, Johann et Jacob Bernoulli). La première application pratique est due au mathématicien et ingénieur Giovanni Poleni qui, chargé de vérifier la stabilité de la coupole de Saint-Pierre de Rome et d’expliquer la cause des fissures qui s’étaient formées, analysa une des nervures. Pour ceci, il utilisa une maquette composée d’un câble sollicité par des sphères, chacune ayant un poids proportionnel au poids du voussoir qu’elle représente. La figure ci-contre montre cet exemple, avec la construction originale du polygone funiculaire. La facilité avec laquelle on peut réaliser des maquettes de câbles, et le fait que celles-ci se disposent automatiquement selon les polygones funiculaires, ont souvent conduit les architectes et les ingénieurs à chercher la forme à donner aux arcs en utilisant l’analogie entre les deux structures, analogie qui est ainsi devenue une aide importante pour le projet.
L’analogie entre câbles et arcs
Si plusieurs charges qui varient de façon non proportionnelle agissent sur un câble, on obtient, comme nous l’avons vu, une variation du polygone funiculaire. Si nous considérons l’exemple ci-contre, nous constatons que sous l’influence de la charge variable Q le câble se déplace en se rapprochant du nouveau polygone funiculaire, jusqu’à le rejoindre. Dans le cas des câbles, le seul effet est donc lié à l’état limite de service à cause des déplacements, alors qu’une position d’équilibre peut toujours être trouvée.
L’influence des charges variables
LES ARCS
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