2014 postechian summer

PLUS Marcus 52 I 53

수론함수와 승법적 함수

proof) 정리 2-1만 증명하도록 한다. 집합

를

이하의 자연수 중

과의 최대공약수가

인 수들의 집합이라고 정의하자. 그러면

약수에 대해서

의 합집합은 당연히

의 모든

예를 들어 정리 2-1에서 뫼비우스 반전공식을 쓰면, 정리 2-2를 바로 이 끌어 낼 수 있다.

이 되고 따라서

2) 승법적 함수 이 된다.

는 집합

의 원소의 개수) 그런데 gcd

은 동치이므로

와 gcd

가 된다. 그러므로

수론함수들 중에서는 특별한 성질을 만족시키는 함수들이 있는데, 이를 승법적 함수라고 부르고 다음과 같이 정의한다.

Definition 4 이번 호에서는 해석적 정수론(Analytic number theory)의 기본이 되는 수론함수들과 디리클레 곱, 뫼비우스 반전공식, 승법적 함수에 대해서 소개하고자 한다.

이 된다. 정리 2-2는 뒤에서 증명하도록 하고, 정리 2-3은 포함 배제의 원리를 이용하면 된다. (각자 해보길 바란다.)

(승법적 함수, Multiplicative function)

여기서 정리 2-2를 유심히 보면 다음과 같은 꼴임을 알 수 있다.

수론함수

1) 수론함수(Arithmetical Function) 수론함수란 자연수 집합 위에서 정의된 실수 또는 복소수 값을 가지는 함수를 일컫는 말이 다. 정수론에서 아주 많이 쓰이는 수론함수들 몇 가지를 소개하자면 다음과 같다.

Definition 1

승법적 함수의 예로는 오일러 파이 함수나 뫼비우스 함수 약수의 개수 함 약수의 합 함수

뒤에 나오는 다음과 같은 승법적 함수의 몇 가지 좋은 성질들로부터 알

(디리클레 곱, Dirichlet product (convolution), 두 수론함수

)

Theorem 4

에 대해서 디리클레 곱을 다음과 같이 정의한다.

1) 가 승법적 함수일 필요충분조건은 서로 다른 소수

z Th

Cesaro-Stol

이라고 정의했을 때

서 라고

가 성립하는 것이다.

법적 함수이다.

정의가 매우 복잡하지만 실제로 이는 정수론에서 매우 중요한 함수 중에서 하나이다. 먼저 다음의 정리

디리클레 곱은 다음과 같은 몇 가지 좋은 성질들이 있는데, 먼저 교환법칙과

3)

가 성립한다.

결합법칙이 성립하고

4)

Theorem 1.

항등원을 가지며

이라는 가정 하에

의 역원이 유일하게 존재한다. (이를 에 대해서 합한다는 의미이다.)

증명은 스스로 해보길 바란다. (이항정리를 이용하면 간단하게 할 수 있다.)

자연수

에 대해서

은

)

이하의 자연수 중에서

이 함수 역시 정수론에서 많이 쓰이는 대표적인 함수 중 하나이며, 다음과 같은 정리들이 성립한다.

도 승법적 함수이다.

가 승법적 함수이면,

도 승법적 함수이다.

도 승법적 함수이다.)

자세한 증명은 생락하도록 한다. (1, 2, 3은 쉽게 보일 수 있고, 4는 귀류법 을 이용하면 된다.) 정리 4-1에서 알 수 있는 사실 중 한 가지는 어떤 두 승

unit function

법적 함수

을

이라고 정의하면 정리 1에 의해서

에서 핵심이 되는 정리인 뫼비우스 반전 공식을 증명할 수 있다.

Theorem 3

서

두 수론함수

에 대해서 임의의 자연수

에 대해

와

가 같음을 보이기 위해서는 임의의 소수

에 대해 과

(뫼비우스 반전공식, Mobius inversion formula). 과 서로소인 수의 개수로 정의된다.

와

역시 승

리클레 곱이라는 연산에서 아벨군이 된다고도 말한다.)

가 된다. 이제 이를 이용하면 수론함수 Definition 2

가 승법적 함수이면,

( 가 승법적 함수이면

인 수론함수들의 집합이 디

에 대해

2) 가 승법적 함수이면, 의 뫼비우스 변환

로 정의된다.

(오일러 파이함수, Euler totient function,

등이 있다. 이는 바로

수 있다.

)

 이라 두면 (소인수분해)

의 모든 약수

을만

가 completely multiplicative하다고 한다.

표기할 수 있다.

는

에 대해

나이며, 무려 다음과 같은 멋진 이름을 가지고 있다.

예를 들어, 정리 2-2는

(이때,

가 multiplicative하다고

족할 때,

수

은 다음과 같이 정의된다.

일 때,

을 만족할 때,

한다. 또한, 임의의 두 자연수

Definition 3

뫼비우스 함수

이 아니며, 서로소인 임의의 두 자연수

실제로 이런 형태는 정수론에서 매우 빈번하게 나타나는 꼴 중에서 하

L‘Hospital’s Rule, 로피탈의 정리

(뫼비우스 함수, Mobius function,

가 항등적으로

에 대해서

임을 보이면 충분하다는 것이다. 정리 4-1은 은 승법적 함수가 된다는 것을 바로 알려준다. 또한, 정리 2-2에

4-1에 의해 또한, 가

와 자연수

이고

이 승법적 함수이므로 정리

역시 승법적 함수가 되는 것을 알 수 있다. 즉, 서

로소인 임의의 두 자연수

에 대해서

성립할 때 이 성립하고

Theorem 2. 시 승법적 함수가 된다.

가 성립한다. (이때

를

역

의 뫼비우스 변환이라고 부른다.) 지금까지 몇 가지 수론 함수들과 그들의 성질들에 대해서 알아보았는데,

글•이시우 수학과 13학번

proof)

이므로

가 된다.

이는 해석적 정수론에서 가장 기본이 되는 내용들이다. 해석적 정수론에 대해서 더 궁금한 학생들은 관련 서적들을 찾아보길 바란다.