Publicación3 by pedro

Resistencia de Inestabilidad y Pandeo.

TEMAS A ABORDAR:

Tipos de Pandeo. Carga Critica de Euler. La Esbeltez. Método de coeficiente parciales..

E DICCION N º 1

MAYO

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Actualmente el mundo de la construcción ha ido mejorando de la mano de la tecnología y de esta manera se pueden abordar temas y/o desafíos cada vez mas complicados en el ámbito de la construcción. Y es así como es el caso de la resistencia de materiales, que es muy importante saber como funcionan y aros fenómenos, inestabilidades, capacidades y defectos aros cuales son sometidos. Y es así como atreves de estas ediciones, daremos a conocer las resistencias de ciertos materiales y los fenómenos que con llevan

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Índice.         

Inestabilidad Mecánica Tipos de Pandeo Pandeo de Columnas Pandeo Lateral de Vigas Pandeo de Placas Carga critica de Euler La Esbeltez Consideración de los efectos de la Esbeltez Método coeficientes parciales

4-5 8 9 10 11 13 14-15 16 18-19

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Inestabilidad Mecánica Entendemos por inestabilidad mecánica el fenómeno de pérdida de rigidez que ocurre de manera súbita en determinadas configuraciones resistentes de geometría y cargas, cuando estas últimas alcanzan un cierto valor crí-

cuando hay inestabilidad, ya que una “pérdida de rigidez que ocurre de manera súbita” es incompatible

tico. Según lo anterior, es claro que el sistema deja de comportarse linealmente

con la proporcionalidad entre cargas y desplazamientos. No obstante, el sistema se comporta usualmente de forma

Probablemente la mejor manera de comprender lo anterior es mediante un ejemplo. Considérese. Una barra absolutamente rígida, articulada en su extremo inferior, y sujeta en su extremo superior por un resorte, como muestra la figura Nº 1. Si la geometría de la barra y el apoyo, la alineación vertical

de la carga y de la barra, etc., fuesen absolutamente perfectos, sería idealmente posible aplicar una carga P de cualquier valor. Evidentemente, tal perfección no es alcanzable en la práctica, y existirán pequeñas desviaciones respecto de la configuración teórica. En nuestro problema, consideraremos

Cuya solución es, o bien la trivial =0, o bien P=k·L. Esta última es una solución ciertamente extraña. Por una parte, no aparece, por lo que hay que pensar que es válida para cualquier valor del desplazamiento (es decir, según esto, cualquier posición es de equilibrio). Por otra parte nos impone el va-

lineal hasta el momento de aparecer la inestabilidad (al menos en los modelos teóricos ideales), y es correcto realizar un análisis lineal de pequeños desplazamientos si la inestabilidad aún no ha aparecido.

Figura Nº 1. Barra rígida en una configuración susceptible

lor de P, cuando ésta es la carga aplicada, que podemos decidir a voluntad. Este tipo de comportamiento extraño del modelo lineal de pequeños desplazamientos, es síntoma de que existe un problema de inestabilidad.

por ejemplo que hay una pequeña desalineación de la barra respecto de la vertical, que hace que su extremo superior tenga un desplazamiento inicial . Alternativamente, puede pensarse que la geometría es perfecta pero que ha existido una pequeña perturbación momentánea que ha desplazado el extremo superior de la barra. En cualquier caso, el equilibrio de momentos respecto de O implica:

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– Si P<kL, el muelle es lo bastante rígido como para restablecer la verticalidad de la barra (pensando en

como una perturbación). No habría desplazamiento.

– Si P>kL, el muelle no puede restablecer la verticalidad, y los desplazamientos evolucionan incontroladamente hasta valores grandes, o hasta la ruina del sistema. – Si P=kL, entonces el muelle no puede restablecer la verticalidad, pero se da el caso límite de que tiene la rigidez justa para impedir que la pequeña perturbación evolucione. En este caso, cualquier posición (valor de ) es de equilibrio. El valor P=kL es el valor crítico de la carga, Pcr, que produce la inestabilidad de este sistema. La figura Nº 2 muestra la representación gráfica de la respuesta del sistema, correspondiendo el trazo horizontal al equilibrio indiferente encontrado para la carga crítica.

Figura Nº 2 Respuesta del sistema cuando se alcanza la carga crítica

Aunque obtener la solución en régimen de grandes desplazamientos para un problema general de mecánica de sólidos puede ser muy complejo, en el sistema considerado es sencillo. Basta con no aproximar por L el brazo de par de la fuerza k , sino poner su valor exacto que es ligeramente menor: L2 2 . Procediendo así, se obtiene que la gráfica no es horizontal, sino ligeramente descendente (en todo caso no lineal), como también muestra la figura. Un tramo

descendente en este tipo de gráficas significa que “hace falta menos fuerza para obtener más desplazamiento”,

Los fenómenos de Pandeo o/y inestabilidad están asociados a la compresión

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Tipos de Pandeos: El fenómeno de la inestabilidad, puede producirse en todos los elementos sometidos a compresión. El tipo mas simple de pandeo es aquel que se produce en una barra, inicialmente recta, comprimida por dos fuerzas axiales iguales y opuestas ( pandeo de columnas) y entre los tipos de pandeos que mas se ven o/y afectan el

rubro de la construcción son: 1.

Pandeo de Columnas.

Pandeo Lateral de vigas.

Pandeo de Placas..

“ El Pandeo Columnas, es el fenómeno de esta clase mas común en obra”

Pandeo de columnas.

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Pandeo de Columnas. Cualquier elemento alargado que soporta una carga en su extremo superior es clasificado como columna. El pié de un tendedero, la pata de una mesita de televisor, un bastón, la columna de una glorieta, etc. La compresión de un objeto alargado puede producir un efecto llamado pandeo. El pandeo presenta una situación de inestabilidad elástica que, en principio, puede no ser destructiva para la propia columna, pero puede resultar perjudicial para el resto de la estructura que soporta dicha columna. Sin embargo está claro que un pandeo excesivo también puede producir roturas en ciertas zonas de esta por tracción o compresión localizadas. Por lo tanto este efecto es algo que siempre habremos de evitar. En respuesta a ello se debe conocer la carga crítica máxima aplicable a partir de la cual comienza a presentarse el fenómeno, y una vez determinada se trabajará bastante por debajo de dicho valor. Para establecer el valor de la fuerza de carga crítica se debe conocer que factores intervienen durante el pandeo: Entre ellos destacan; Modo de vinculación con los extremos.

Tipos de3 pandeo de columnas.

Modo de vinculación con los extremos No es lo mismo que uno o ambos extremos tengan de moverse libremente al presentarse el pandeo a que estén rígidamente fundados evitando así

(fundado) es como tener una columna más pequeña con extremos capaces de rotar. Allí la Longitud Efectiva será un

cualquier movimiento lateral:

Ese porcentaje lo vamos a representar con la letra "K", cuyo valor máximo será uno (1= 100%) y luego tomará otros valores como 0,8 (80%), etc. según la situación en que se encuentren los extremos (nuevamente hay que referir-

realidad

se a la figura 1)

biciosos

Distintas situaciones en los extremos de columna pueden verse en la figura 1. Si ambos extremos de columna pueden rotar mediante pernos o pivotes, con cierta libertad, tenemos la situación en donde el pandeo se presenta sin difi-

porcentaje de la longitud real.

cultad en toda la longitud (Le=L).

Notarán en algunas morfologías dos

Ahora: un extremo inmovilizado

valores distintos de K: “Kp” y “Kt”

Esto es por que, si bien se pueden calcular teóricamente los valores "Kt"sosteniendo la hipótesis ideal del extremo perfectamente fundado, en la resulta que las fijaciones nunca son

totalmente efectivas y por lo tanto se manejan valores prácticos –Kp- menos am-

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Pandeo Lateral de Vigas. El Pandeo lateral ocurre cuando una viga se flecta a lo largo de su eje mayor, normalmente lo hace unicamente en dicho plano. Pero, si la viga no tiene la suficiente rigidez lateral o refuerzos laterales para asegurar que así sea, entonces puede pandear fuera del plano de carga, como se muestra en la Figura a continuacion. Para una viga elástica recta, no hay desplazamientos fuera del plano hasta que se alcanza el valor crítico, momento en el cual pandea lateralmente y se retuerce (Figura 2). El pandeo lateral incluye tanto flexión lateral como torsión. Para el caso más simple, como el de una viga de

plano de su mayor rigidez Pandeo lateral de vigas. por dos momentos iguales y Opuestos.

sección simétrica respecto a dos planos, simplemente apoyada y cargada en el

Justificación del fenómeno La justificacion de estes fenomeno de inestabilidad es muy sencillo de comprender, si se tiene en cuenta que el cordon superior de la viga queda comprimido por los terminos de compresion derivados de la flexion, motivo por el cual esta esta zona puede

pandear lateralmente (En el plano perpendicular al plano medio de la barra), oponiendose a ello el cordon inferior de la viga que se encuentra traicionando, y es por esto que el pandeo lateral va acompanado de Pandeo Lateral. torsion.

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Pandeo de Placas. El ejemplo más simple de este fenómeno es el de una placa rectangular con sus cuatro Lados simplemente soportados (impidiendo el desplazamiento fuera del plano, pero libre para rotar) y cargada a compresión, tal como se muestra en la Figura 3. Al igual que en barras a compresión, la placa permanece plana hasta el momento en el que se alcanza su valor crítico, momento en el que pandea con deformaciones laterales.

Pandeo de Placas.

Vigas. Para elementos comprimidos, como barras, vigas, placas y láminas, la carga crítica es el límite superior para la carga última de un elemento real (imperfecto).

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Carga Critica de Euler. El estudio teórico del pandeo que es debido a Euler, se planteo como un estudio de equilibrio. Así si se tiene una pieza sometida N de compresión y se encuentra en equilibrio, posición (1), su equilibrio podría ser : estable, inestable o indiferente. Como se puede aprecias en la figura a continuación.

Carga critica de Euler.

En el que una pieza dada adopte uno u otro tipo de equilibrio, va a depender del valor de la carga N de compresión ala que sea sometido. Se denomina Carga Critica: “Al valor de la carga N de compresión que hace que se alcance el equilibrio indiferente” Así pues se tendrán:



Si N = Ncr, Equilibrio indiferente



Si N < Ncr, Equilibrio Estable.



Si N > Ncr, equilibrio Inestable.

Naturalmente se deberían trabajar las piezas con N < Ncr, para que siempre se encuentren en Equilibrio estable.

Si no hay otros condicionantes, el pandeo se producirá de modo que la barra sufra flexión en la dirección que menor rigidez presente. Debe entenderse que el momento de inercia Iz es el menor de la sección.

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La Esbeltez. El diseño de las columnas consiste básicamente en seleccionar una sección transversal adecuada para la misma, con armadura para soportar las combinaciones requeridas de cargas axiales mayoradas Pu y momentos (de primer orden) mayorados Mu, incluyendo la consideración de los efectos de la esbeltez de la columna (momentos de segundo orden). La esbeltez de una columna se expresa en términos de su relación de esbeltez kℓu/r, donde k es un actor de longitud efectiva (que depende de las condiciones de vínculo de los extremos de la columna), ℓu es la longitud de la columna entre apoyos y r es el radio de giro de la sección transversal de la columna. En general, una columna es esbelta si las dimensiones de su sección transversal son pequeñas en relación con su longitud A los fines del diseño, el término "columna corta" se usa para designar una columna que tiene una resistencia igual a la calculada para su sección transversal, usando las fuerzas y los momentos obtenidos de un análisis para combinación de flexión y carga axial. Una "columna esbelta" se define como una columna cuya resistencia se reduce debido a las deformaciones de segundo orden (momentos

de segundo orden). Según estas definiciones, una columna con una determinada relación de esbeltez se puede considerar como columna corta bajo un determinado conjunto de restricciones, y como columna esbelta bajo otro conjunto de restricciones. Con el empleo de hormigones y armaduras de mayor resistencia, y con métodos de análisis y diseño más precisos, es posible diseñar secciones de menores dimensiones, lo cual da origen a elementos más esbeltos. En consecuencia, la necesidad de contar con procedimientos de diseño confiables y racionales para las columnas esbeltas se convierte así en una consideración importante en el diseño de columnas. Una columna corta puede fallar a causa de una combinación de momento y carga axial que supere la resistencia de la sección transversal. Este tipo de falla se conoce como "falla del material." A modo de ejemplo, consideremos la co-

Interacción de las resistencias en columnas esbeltez.

lumna ilustrada en la a continuación Debido a la carga, la columna tiene una deformación Δ que provocará un momento adicional (de segundo orden) en la columna. En el diagrama de cuerpo libre se puede ver que el momento máximo en la columna ocurre en la sección A-A, y es igual al momento aplicado más el momento debido a la deformación del elemento, que es M = P (e + Δ). La falla de una columna corta puede ocurrir en cualquier punto a lo largo de la curva de interacción de resistencias, dependiendo de la combinación del momento y la carga axial aplicada. Como se mencionó anteriormente, se producirá alguna deformación y habrá una "falla del material" cuando una combinación particular de carga P y momento M = P (e + Δ) interseque la curva de interac-

ción de resistencias.

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El concepto básico del comportamiento de las columnas esbeltas rectas con carga axial concéntrica fue desarrollado originalmente por Euler, hace ya más de 200 años. El concepto establece que un elemento fallará por pandeo bajo la carga crítica Pc = π2EI/(ℓe)2, siendo EI la rigidez flexional de la sección transversal del elemento y ℓe la longitud efectiva, que es igual a kℓu. Para las columnas cortas "robustas," el valor de la carga de pandeo será mayor que la resistencia al aplastamiento por compresión directa (correspondiente a la falla del material). En los elementos que son más esbeltos (es decir, elementos para los cuales el valor de kℓu/r es más elevado), la falla puede ocu-

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rrir por pandeo (falla de estabilidad), con la carga de pandeo disminuyendo a medida que aumenta la esbeltez

Carga de falla en función de la esbeltez de una columna..

Como se puede observar, es imposible representar los efectos de la esbeltez y los momentos amplificados en una típica curva de interacción de resistencias. En consecuencia, se puede desarrollar una "familia" de diagramas de interacción de resistencias para columnas esbeltas con diferentes relaciones de esbeltez, como se ilustra en la Figura 11-3. El diagrama de interacción de resistencias para kℓu/r = 0 corresponde a las combinaciones de momento y carga axial donde la resistencia no se ve afectada por la esbeltez del elemento (resistencia de columna corta).

Diagramas de interacción de resistencias para columnas esbeltez.

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CONSIDERACIÓN DE LOS EFECTOS DE LA ESBELTEZ Se establecen límites para la esbeltez tanto de pórticos desplazables como para pórticos desplazables, incluyendo métodos de diseño permitidos para cada rango de esbeltez. Se establecen límites inferiores para la esbeltez, por debajo de los cuales los momentos de segundo orden se pueden despreciar y sólo es necesario considerar la carga axial y los momentos de primer orden para seleccionar la sección transversal y la armadura de las columnas (diseño de columnas cortas). Se debe observar que, para las vigas y columnas de dimensiones habituales y las alturas de piso típicas de los sistemas de hormigón, los efectos de la esbeltez se pueden despreciar en más del 90 por ciento de las columnas de los pórticos

desplazables y en alrededor del 40 por ciento de las columnas de los pórticos desplazables. Cuando las relaciones de esbeltez son moderadas se permite un análisis aproximado de los efectos de la esbeltez que se basa en un factor de amplificación de los momentos. Cuando la relación de esbeltez de la columna es elevada se requiere un análisis de segundo orden más exacto, que considere el comportamiento no lineal del material y la figuración, así como los efectos de la curvatura y del desplazamiento lateral del elemento, la duración de las cargas, la contracción y la fluencia lenta, y la interacción con las fundaciones. No se especifican límites superiores para la esbeltez de las columnas. En la Figura a continua-

Consideración de la esbeltez de las columnas.

La esbeltez es muy importante, para entender el fenómeno y longitud de pandeo.

ción se resumen los límites de la relación de esbeltez indicados para pórticos desplazables y para pórticos desplazables, junto con los métodos permitidos para considera la esbeltez de las columnas.

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Método de coeficientes parciales. El modelo de Euler tiene un indudable valor desde el punto de vista teórico, ayudando a comprender claramente las causas que provocan el fenómeno del pandeo. A pesar de ello, sus predicciones pueden resultar muy optimistas cuando se estudian barras reales de estructuras. Ello es debido fundamentalmente a las numerosas imperfecciones que un montaje real suele conllevar, incluyendo la desalineación de la carga respecto del eje de la barra, y las propias imperfecciones de la geometría de la

barra. Por lo anterior, y a pesar del carácter introductorio de este curso, se considera interesante dar noticia de alguno de los métodos más realistas, que tienen en cuenta las imperfecciones típicas en las que se incurre en la materialización de las estructuras. La norma vigente CTE, incluye un método (basado en “coeficientes parciales”, método usado extensivamente en muchos otros aspectos de la norma) que es válido para predecir el pandeo de barras de acero en todo el ran-

go de esbelteces, y que es fruto de amplios trabajos tanto teóricos como experimentales. Básicamente plantea que la “Resistencia a Pandeo de la Barra”, que llama Nb,Rd, es una fracción de la resistencia a plastificación de la misma, ésta última minorada por un coeficiente de seguridad. Es decir:

Siendo fyd el límite elástico minorado: fyd = e /1.05, y A el área de la sección. El coeficiente , que se llama “Coeficiente de Reducción por Pandeo” se obtiene a su vez de otro parámetro , llamado “Esbeltez Reducida”, que es diferente de la esbeltez geométrica y de la esbeltez mecánica, definidas anteriormente. La esbeltez reducida se define como (Ncr es la carga crítica de Euler, tal como se obtuvo en la ecuación:

Imagen. Coeficiente de reducción en función de la esbeltez reducida.

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El coeficiente de reducción por pandeo se obtiene de la esbeltez reducida a través de la gráfica de la figura anterior. Como se aprecia, la curva - no es única, sino que hay cinco diferentes. Estas curvas permiten tener en cuenta la influencia de otros factores que pueden considerarse de menor importancia que la esbeltez reducida, pero que

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afectan de manera no despreciable a la resistencia a pandeo. Estos son factores tales como la calidad del acero, el espesor de las paredes de la sección, si el pandeo se produce según el eje de inercia fuerte o el débil, etc. Como idea orientativa, la mayoría de los casos usuales que involucran a perfiles comerciales, incluyendo agrupaciones soldadas

de los mismos, requerirán el uso de una de las tres curvas centrales, “a”, “b”, o “c”. La curva de entrada particular que procede usar en cada caso se obtiene de otras tablas que proporciona la norma, y que se reproducen en el Apéndice D.