Introducción al álgebra superior Unidad 4. Espacios vectoriales
El siguiente teorema será útil para determinar la dimensión de un espacio vectorial. Teorema 5. Sea * + un conjunto finito de generadores de un espacio vectorial V y sea * + un conjunto l.i., entonces . La demostración de este teorema usa álgebra de matrices. La demostración se hará por contrapostiva, es decir, supondremos que no se satisface la tesis: y se demostrará que la hipótesis no se cumple. Sea * + un conjunto de vectores de V con , ya que * + es un conjunto de generadores de V cada uno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los : ∑
(
)
Queremos demostrar que los son l. d., es decir que existen no todos cero tal ⃗ que ∑ , considérese ahora el sistema de r ecuaciones lineales.
Con k incógnitas, como k>r , el sistema tiene soluciones no nulas ∑ ∑ (∑ , para . La combinación ∑ ya que cada coeficiente ∑ vectores .
. Es decir )=∑ (∑ )
,
, obtenemos una combinación lineal no nula de los
Enunciamos otra vez la siguiente definición, pues caracteriza una base. Definición 15. Un conjunto de vectores de un espacio se dice que es una base si es l. i. y además es un conjunto de generadores. Ejemplos. En el espacio el conjunto * + es una base, ya que genera el espacio, todo polinomio de grado menor o igual que n se expresa como combinación de elementos de X, es fácil ver que es l. i. ya que ( ) ∑ ( ) implica . )( ) ( )+ es una base llamada la base canónica, la En , *( prueba de que este conjunto es l. i. y que es un conjunto generador es muy fácil. El siguiente teorema nos da un mecanismo para construir una base de un espacio vectorial. Teorema 6. Sea existen vectores
un espacio vectorial de dimensión finita y sea * + l. i. Entonces , tal que * + es una base.
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