Taller de Matemáticas by Pedro Buendía

1. CARTA MATEMÁTICA DE BIENVENIDA “LA ALEGRÍA DE VIVIR LAS MATEMÁTICAS” Mula, curso 2010-2011 Queridos/as amigos/as: Bienvenidos/as al Taller de la Fiesta de los Números. ¿Qué es Matemática? Matemática eres tú, la matemática es parte de tu forma de pensar y de ser. Todos llevamos un matemático dentro que crece y crece, cuando encuentra un ambiente propicio donde no se enjaule el pensamiento entre barrotes de fórmulas sin alma. Nuestro pensamiento tiene que revolotear libremente como una mariposa en el jardín de los números y en los paisajes de las formas. Aprender matemáticas “con las manos” haciendo muchas experiencias con cariño matemático ayuda y anima a entender mejor el significado de los números y de las formas a todo el mundo. Quiero que sintamos juntos la emoción de la aventura por los paisajes del Universo Matemático, en un ambiente festivo de alegría y bullicio, al experimentar con las medidas, los números, las formas, las proporciones, los equilibrios, el azar… Un fuerte abrazo y números cordiales. Pedro Buendía Abril www.animadormatematico.com 1

2. METE EL LÁPIZ Y SACA EL METRO: EL EDIFICIO DE LA MEDIDA Lo más natural es empezar midiendo con nuestro cuerpo: pulgadas, palmos, pies, pasos… La cinta métrica nos lleva a encontrar la primera piedra del edificio de la medida: el metro. Resulta divertido presentar los personajes de la medida: la tira del metro, la cartulina del metro cuadrado, el metro cúbico humano, la caja del litro, la caja de garbancito, el tic-tac del reloj, el euro… La mejor manera de familiarizarse con las unidades de la medida es verlas, tocarlas, recortarlas, conocerlas a través de los sentidos. Así se sientan las bases sobre las que cada alumno irá construyendo el edificio de la medida. Es muy conveniente hacer escenificaciones, juegos… y vivir situaciones de medidas en el aula y fuera del aula.

GUIÓN DE TRABAJO 1. Construimos EL EDIFICIO DE LA MEDIDA:  La primera piedra: el metro.  El solar de metro cuadrado.  La casa de metro. El cajón de metro. El metro cúbico humano.  La caja de litro. Es más grande de lo que parece.  La cajita de garbancito, también llamada centímetro cúbico y mililitro. El agua que entra pesa un gramo. 2. Aprendemos un poco de latín y griego, para saber las veces de las cosas: MÁS PEQUEÑO deci (décima) centi (centésima) mili (milésima)

VECES 10 100 1000

MÁS GRANDE deca hecto kilo

3. Un cuadro para decorar la clase de Matemáticas: “Radiografía del metro cuadrado en decímetros cuadrados, centímetros cuadrados y milímetros cuadrados”. 4. José o Pepe, Francisco o Paco, “decímetro cúbico” o “litro”. Proyecto para hacer en Tecnología: “La caja de litro” con decilitros, centilitros y mililitros. 5. Tomamos la sopa de centilitro en centilitro. 6. Endulzamos un decilitro de manzanilla con un decagramo de azúcar. Vamos a terminar el tema de la medida con 3

UNA PRUEBA PASADA POR AGUA:

• ¿FLOTARÁ O

SE HUNDIRÁ?

Se trata de sopesar un paquete de hojas DIN A4 y pensar si flotará o se hundirá al echarlo sobre una balsa con agua.

¡Felicidades!

3. NÚMEROS BAJO LA LLUVIA Buenas tardes. Hoy estamos a 13 de octubre de 2010, miércoles. El domingo pasado por la tarde llegaron las primeras lluvias. Ahora tenemos una magnífica situación meteorológica para escurrirle números al agua.

Por curiosidad, ¿cuánto tiempo tardaría más o menos en llenarse este bote bajo la lluvia? (entre moderada y fuerte).

LECTURA: “Números bajo la lluvia”, del libro “Diario de matemática desnuda”, Pedro Buendía Abril, 1999. RECOGEMOS DATOS: Tomamos datos de la lluvia recogida en un bote en milímetros de altura en estos últimos días.

TRADUCIMOS de milímetros de lluvia a litros por metro cuadrado, construyendo “el edificio de la medida”: ¿Cuántos litros habrán caído en un cuadrado de metro?

隆Te animo a que pongas un bote bajo la lluvia, cada vez que tengas la ocasi贸n, para enterarte de lo que ha llovido por tus propios medios!

4. ¿FLOTARÁ O SE HUNDIRÁ? 1. SOPESAMOS UN PAQUETE DE HOJAS Primero sopesamos un paquete de hojas DIN-A4, y pensamos si flotará o se hundirá al echarlo sobre una balsa de agua. FLOTA

SE HUNDE

APUESTAS Después lo comprobamos echándolo de verdad al agua para ver lo que sucede. Ahora es el momento adecuado de buscar una explicación matemática a este curioso fenómeno. Para ello podemos utilizar el letrero del paquete de hojas, una regla y una calculadora. Pero lo más divertido es jugar a pensar comparando el peso y el volumen de los cuerpos.

2. UNA CURIOSIDAD: ¿QUÉ SIGNIFICA “DIN A4”? Lo vamos a descubrir observamos un rectángulo de papel de un metro cuadrado, conforme lo vamos doblando por la mitad hasta 10 veces.

3. IMAGINAMOS QUE EMPAPELAMOS EL AULA ¿Podremos empapelar una de las paredes del aula con este paquete de hojas? Hacemos cuentas para salir de dudas.

¡Para aprender hay que mojarse! 7

5. TOMAMOS MEDIDAS AL AULA QUE HABITAMOS

LARGO

LONGITUDES ANCHO

ALTO

SUPERFICIE

VOLUMEN

6. HACEMOS EL PLANO DEL AULA QUE HABITAMOS

ESCALA 1:100

7. CONSTRUIMOS LA MAQUETA DE NUESTRA AULA A ESCALA 1:100

Medidas reales del aula: largos (9 m y 11 m), ancho (7 m) y alto (2,5 m) Materiales: cartulina, lรกpiz, regla y tijeras. 10

8. REFORMAS EN EL AULA: SUELO Y PINTURA GRES 45 X 45 CM CANADA ROJO Gres esmaltado de primera calidad, imitación a madera. Caja de 1 m2. 9,95€/m2 IVA incluido

Rendimiento: 1,25 m2/1Kg

Imagina que tienes que afrontar la reforma del aula poniéndole suelo y pintando las paredes y el techo (no hay que pintar ni la puerta ni las ventanas ni el espejo). Primero debemos recoger datos, midiendo las dimensiones del aula así como la puerta, las ventanas y el espejo. Se trata de calcular el coste de la losa y la pintura.

¡Hacemos cuentas relacionadas con el aula que habitamos! 11

9. NÚMEROS SOBRE LA MESA PROPUESTA DE TRABAJO: Tomamos medidas a nuestro pupitre para saber lo que mide el tablero:

ESTRATEGIA: Medimos el largo y el ancho utilizando tres unidades de medida diferentes: centímetros, decímetros y metros. centímetros

decímetros

metros

LARGO ANCHO

HACEMOS NUESTRAS CUENTAS para saber por curiosidad la superficie del tablero en centímetros cuadrados (uñas), decímetros cuadrados (palmas de la mano) y metros cuadrados (cuadrados de metro).

¡Que disfrutes midiendo tu mesa! 12

10. MIDIENDO EN LA CIUDAD DE MULA

PROPUESTA DE TRABAJO: Tomamos medidas en el plano callejero de la ciudad de Mula, que está dibujado a escala 1:7000, para calcular la distancia del Centro de Educación de Adultos a la casa donde vivimos. Si no vives en Mula puedes medir la distancia que hay a la Estación de Autobuses. ESTRATEGIA: Primero medimos la distancia del Centro a nuestra casa, en el plano, con un hilo. Estiramos el hilo y lo medimos sobre una regla. Anotamos el dato.

HACEMOS NUESTRAS CUENTAS para saber por curiosidad la distancia real que hay desde el Centro a nuestras casas.

TRABAJAMOS EN EQUIPO, CONSTRUYENDO UNA GRÁFICA CON LAS DISTANCIAS DE TODO EL GRUPO, sobre un mural de cartulina, pegando los hilos que hemos utilizado para medir sobre el plano. En el eje horizontal (eje X) colocamos pegatinas con nuestros nombres. En el eje vertical (eje Y) hay una regla para saber la longitud de cada uno de nuestros hilos.

PODEMOS HACER OTROS CÁLCULOS MUY INTERESANTES: 1) La superficie aproximada de la ciudad de Mula.

2) El volumen del aire que envuelve la ciudad hasta una altura de 1 Km. 13

11. VIAJANDO POR LA REGIÓN DE MURCIA PROPUESTA DE TRABAJO: Nuestra tarea de hoy es hacer viajes imaginarios por la Región de Murcia, utilizando el Mapa de Carreteras Regional. MANERA DE HACER EL TRABAJO: Vamos a trabajar por grupos. Salimos de Mula hacia algún lugar de la Región. Cada grupo decide cómo viaja: caminando, en bicicleta, en autobús o en coche particular. Medimos las distancias desde Mula al lugar de destino sobre el mapa, con un hilo Estiramos el hilo y lo medimos sobre una regla. HACEMOS NUESTRAS CUENTAS CALCULANDO DISTANCIAS: Itinerario

Distancia en el mapa

Escala

Distancia real

HACEMOS NUESTRAS CUENTAS CALCULANDO TIEMPOS: Hora de salida

Hora de llegada

Medio de transporte

Velocidad

Tiempo que tardamos En horas En minutos

¡Feliz viaje por los caminos matemáticos! 14

12. EL EDIFICIO DEL VOLUMEN EXPERIENCIA 1: CONSTRUIMOS NUESTRO VOLUMEN

EDIFICIO

DEL

Modelamos dados de plastilina de un centímetro cúbico entre las yemas de nuestros dedos (recuerda la cajita de garbancito). Y montamos un pequeño edificio de tres capas. Cada capa está formada por dos filas voluminosas de cuatro dados en cada una.

EXPERIENCIA 2: ESTIMAMOS Y CALCULAMOS VOLÚMENES PEQUEÑAS EN CENTÍMETROS CÚBICOS

CAJAS

Primero estima el volumen aproximado de la caja que tienes en la mano a ojo de buen cubero y anótalo por curiosidad: a) Ahora calcula el volumen exacto midiendo el largo, ancho y alto de la caja:

b) Por último comprueba el volumen llenando la caja de agua y vaciándola en una jarra graduada, para saber si has acertado en el cálculo.

EXPERIENCIA 3: ESTIMAMOS Y CALCULAMOS EL VOLUMEN DE COSAS MEDIANAS (CAJA DE LA FRUTA, NEVERA, MALETA…) EN LITROS a) Primero estima el volumen aproximado de lo que has elegido, pensando en “la caja de litro”. Lo puedes anotar por curiosidad: b) Ahora calcula el volumen exacto midiendo el largo, ancho y alto de lo que has elegido:

EXPERIENCIA 4: ESTIMAMOS Y CALCULAMOS EL VOLUMEN DE ESPACIOS GRANDES (NUESTRA AULA, LA ENTRADA DEL CENTRO, EL SALÓN DE ACTOS, EL ASEO…) EN METROS CÚBICOS a) Primero estima el volumen aproximado del espacio elegido, pensando en el “cajón de metro cúbico”. Lo puedes anotar por curiosidad: b) Ahora calcula el volumen exacto midiendo el largo, ancho y alto del espacio elegido:

¡ENHORABUENA tanto si te has aproximado como si no PORQUE ESTÁS APRENDIENDO! 16

13. COMPARAMOS EL PESO Y EL VOLUMEN DE LOS CUERPOS EXPERIENCIA: Tomamos datos del peso y del volumen de cuerpos de distintas materias, utilizando instrumentos de medida como reglas y balanza. Y repartimos el peso entre el volumen para saber lo que pesa un solo centímetro cúbico de cada materia. MATERIA

PESO

VOLUMEN

DENSIDAD gramos/cm3

madera hierro agua aceite plastilina esponja arena REFLEXIONAMOS SOBRE LA EXPERIENCIA: a. ¿Por qué flota el aceite en el agua? b. ¿Por qué se hunde el hierro en el agua mientras que la madera flota? c. ¿Flotará la plastilina en el agua? ORDENAMOS ESTAS MATERIAS DE MENOS DENSAS A MÁS DENSAS: ¡E l agua es el uno de la densidad, hay materias más pesadas que el agua y otras menos pesadas! 17

14. LO REDONDO Y EL PI EN LA VIDA: LA CIRCUNFERENCIA EXPERIENCIA 1: DESCUBRIMOS LA LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA EN OBJETOS REDONDOS Cada grupo elige un objeto redondo diferente: un plato, un vaso, una papelera, una moneda, un bote, una tapadera, un disco de cartón… Se trata de comparar la medida de la circunferencia (alrededor) con la medida del diámetro (atajo) para descubrir el número de veces que el “alrededor” es más largo que el “atajo”. Para hacer la experiencia disponemos de hilo y tijeras.

Hacemos la puesta en común para descubrir la longitud de la circunferencia: circunferencia (alrededor)

diámetro (atajo)

plato vaso papelera moneda bote tapadera disco de cartón

circunferencia/diámetro

EXPERIENCIA 2: LA RUEDA DE BICICLETA Aquí tenemos ahora una rueda de bicicleta. a) Estimamos los metros que avanza en una vuelta: b) Hacemos los cálculos, midiendo el diámetro de la rueda:

c) Comprobamos midiendo el camino que avanza en una vuelta:

¡Trabajamos con números sobre ruedas! 19

15. LO REDONDO Y EL PI EN LA VIDA: EL CÍRCULO Un poema para empezar: Lo redondo empieza en pi, lo redondo empeza en ti, en las niñas de tus ojos, en las formas de tu cara en las curvas de tu cuerpo.

EL CUENTO DEL CARPINTERO Había una vez un carpintero al que un caprichoso le encargó una mesa de camilla…

EXPERIENCIA 1: “PESAMOS EL PI” Utilizamos una balanza. Colocamos un círculo de cartulina en un platillo. Y vamos colocando cuadrados del radio en el otro hasta que se equilibran. Acabamos de descubrir el área del círculo:

EXPERIENCIA 2: “ESTIMAR Y CALCULAR EL ÁREA DEL CÍRCULO” Trabajamos por grupos. Cada grupo elige un objeto redondo: moneda, diana, posavasos, bote, mesa de camilla, suelo circular… Lo primero que hacemos es estimar aproximadamente la medida de su superficie. Y después hacemos los cálculos para comprobar lo que mide realmente el círculo que hemos elegido:

Por último ponemos en común la investigación de cada grupo: radio

superficie

moneda diana posavasos bote mesa de camilla Suelo circular

Si las matemáticas existen para ser aplicadas, entonces aplicar matemáticas tiene que ser enseñado y aprendido; pero las matemáticas se aplican creándolas cada vez de nuevo. Hans Freudenthal 21

16. NÚMEROS BAJO LA LLUVIA EN CUBOS, CUENCOS, BIDONES Y CARRETILLAS

NOTICIA DE ÚLTIMA HORA ¡Por fin han llegado las lluvias este fin de semana! El viernes por la noche empezaron a caer las primeras gotas, y estuvo lloviendo el sábado durante todo el día y parte de la noche. Me parece una buena oportunidad para practicar matemáticas haciéndole números al agua de lluvia recogida en diversos recipientes: un cubo pequeño, un cubo grande, un cuenco, un bidón de boca pequeña, un bidón de boca grande y hasta una carretilla. Mula, 29 de noviembre de 2010, Pedro Buendía Abril.

EXPERIENCIA: MEDIR EL AGUA CAÍDA EN CADA RECIPIENTE PARA SABER CUÁNTO HA LLOVIDO POR METRO CUADRADO • Trabajamos en pequeños grupos para investigar. • Materiales: Agua de lluvia, metro y jarra graduada. • Estrategia: Comparar las bocas de cada recipiente con el cuadrado de metro. Para calcular las superficies circulares podemos recordar el cuento del carpintero al que le encargaron una mesa de tablero redondo (la superficie de todo el círculo es 3,14 veces la superficie de la tabla cuadrada del radio).

RECOGEMOS LOS DATOS DE LA LLUVIA CAÍDA EN LOS DIVERSOS RECIPIENTES EN UNA TABLA:

RECIPIENTE

MEDIDAS

SUPERFICIE DE LA BOCA

NÚMERO DE BOCAS EN UN CUADRADO DE METRO

LITROS RECOGIDOS EN EL RECIPIENTE

litros/m2

Cubo pequeño Cubo grande Cuenco Bidón pequeño Bidón grande Carretilla

¡Nos enteramos de lo que llueve por nuestros propios medios! 23

17. LOS NÚMEROS EN LA VIDA Y EN LAS COSAS DE COMER 1. La lección de los números podría empezar pensando el uno en la vida y diciendo o cantando: un metro, un metro cuadrado para sentirse bien, una casa, un litro, una jornada de trabajo, un sol, una luna, una bicicleta, un árbol, un pájaro, una paloma de la paz, una sonrisa, un bocadillo, un vaso de agua, una canción, un sueño…

2. Expresión plástica del número 111. El “1” verdadero y el “1” más mentiroso cuanto más a la izquierda está situado. Utilizamos platos de diez almendras y almendras sueltas.

3. Hacemos “sumas” y “restas”, con las manos, tocando almendras sueltas (unidades) y platos con almendras (decenas), sobre plantilla de cartulina.

4. Tocamos la esencia de las veces de las cosas. Rellenamos las tablas de multiplicar con almendras o piedrecitas.

5. Hacemos divisiones con las manos, repartiendo platos de almendras.

6. Y para terminar esta sesión con buen sabor de boca, nos tomamos un “postre de frutos secos”. Cada grupo tiene un plato con 6 nueces, 9 cacahuetes y 12 pistachos. Se trata de intentar repartir esos frutos en el mayor número posible de montones alrededor del plato.

¡Las matemáticas están en las cosas de comer! 24

18. LOS DECIMALES EN BARRILES DE ZUMO DE MELOCOTÓN

VIVENCIA Un día me estaba tomando un zumo de melocotón en un bar. Y me puse muy contento al ver 0,2 litros en el letrero del barril de zumo porque entonces entendí mejor los decimales. Me explico. En el letrero vi un cero, una coma y un dos. Me di cuenta que el cero me indicaba que el contenido del barril no llegaba a ser un litro entero. Y que yo me refrescaría con dos vasitos de zumo de los diez que llenan el litro.

0,2 L

ÂĄLos decimales tambiĂŠn se beben!

19. LOS DECIMALES AL ALCANCE DE LA MANO EXPERIENCIA Contamos con metros de cañitas de refrescos para hacer prácticas juntando, separando, repitiendo y repartiendo trozos de hilo. Cada metro contiene diez cañitas de decímetro. HACEMOS CUENTAS CON DECIMALES: A) Juntamos tres trozos de hilo de 2 m, 0,5 m y 1,7 m.

B) Quitamos 0,4 m de un trozo de hilo 2 m.

C) Calculamos cuánto hilo hay en tres ovillos y cuarto de 2,8 m cada ovillo.

D) Repartimos un ovillo de 12,4 m en dos trozos iguales.

¡Los decimales son seres pequeñitos que habitan en el territorio que hay entre el cero y el uno! 27

20. LOS DECIMALES EN EL METRO EXPERIENCIA Contamos con metros de cañitas de refrescos para hacer prácticas juntando, separando, repitiendo y repartiendo trozos de hilo. Cada metro contiene diez cañitas de decímetro. El metro contiene diez partes de decímetro, cien partes más cortas de centímetro y mil partes pequeñitas de milímetro. HACEMOS CUENTAS CON DECIMALES: A) Juntamos tres trozos de hilo de 3 m, 20,5 m y 4,7 m. Mentalmente Con cuentas

B) Quitamos 0,2 m de un trozo de hilo 3 m. Mentalmente Con cuentas

C) Calculamos el que hilo hay en 2 ovillos y cuarto de 1,6 m cada uno. Mentalmente Con cuentas

D) Repartimos un ovillo de 24,6 m en dos trozos iguales. Mentalmente Con cuentas

¡El cálculo mental es una herramienta matemática muy útil! 28

21. EXPERIMENTOS FRACCIONARIOS EXPERIMENTO 1: FRACCIONES PASADAS POR AGUA Juntamos el agua de un vaso grande de 1/2 litro con el agua de un vaso pequeño de 1/4 litro.

EXPERIMENTO 3: HACEMOS TEATRO PARA MULTIPLICAR FRACCIONES Delimitamos un trozo de suelo de cinco filas de tres losas. En una losa entra una persona de pie. Hay cuatro parejas de personas dispuestas a entrar en ese solar. ¿Qué parte de ese suelo ocuparán?

EXPERIMENTO 4: HACEMOS MIGAS CON AGUA Y HARINA Para hacer migas se necesitan 8 vasitos de agua (8/10 de litro) por cada dos puñados grandes de harina (2/5 de Kg). ¿Cuántos litros de agua harán falta para hacer migas con un kg de harina? Nota: Una persona experta en hacer migas dice que con esa proporción de ingredientes salen muy blandas.

¡La experiencia es la madre de la ciencia! 29

22. UNA MENTE MARAVILLOSA Título Original Beautiful Mind, Género Drama, Duración136 minutos, Año2001, País USA Director Ron Howard La Película: Ganadora de 4 Oscars de la Academia, incluyendo Mejor Película, Una Mente Maravillosa, ha sido dirigida por Ron Howard y producida por su fiel colaborador Brian Grazer, ambos galardonados con un Oscar de la Academia. En Una Mente Maravillosa, Rusell Crowe interpreta de una forma magistral a John Nash, brillante matemático, quien al borde del reconocimiento internacional se ve repentinamente implicado en una misteriosa conspiración. Ahora, sólo su dedicada esposa puede ayudarle en su sobrecogedora historia de coraje, pasión y triunfo. SINOPSIS Una mente maravillosa es un drama intensamente humano sobre un auténtico genio, está inspirado en la vida del matemático John Forbes Nash Jr. El atractivo y altamente excéntrico Nash hizo un descubrimiento asombroso al comienzo de su carrera y se hizo famoso en todo el mundo. Pero su fulgurante ascenso a la estratosfera intelectual sufrió un drástico cambio de curso cuando la brillante mente de Nash se vio atacada por la esquizofrenia. Enfrentándose a un reto que hubiera destruido a cualquier otro, Nash luchó por recuperarse con la ayuda de su devota esposa Alicia. Tras varias décadas de penalidades logró superar su tragedia y recibió el premio Nobel en el año 1994. Hoy en día Nash es un leyenda viviente que sigue entregado a su trabajo. UNA ANÉCDOTA El departamento de matemáticas de Princeton es brutalmente competitivo. A algunos de sus compañeros de estudios les encantaría verle fracasar. Pero le toleran y, sin querer, le ayudan en su camino hacia la grandeza. Una noche está con ellos en un bar y observa sus reacciones cuando aparece una rubia muy atractiva. Nash observa la rivalidad que se crea entre ellos y entonces encuentra el germen de la idea que andaba buscando. Su estudio sobre la teoría del juego, la matemática de la competitividad, contradice osadamente las ideas de Adam Smith, el padre de la economía moderna. Una doctrina de pensamiento aceptada desde hace 150 años que queda 30

bruscamente en entredicho y la vida de Nash cambia para siempre. COMENTARIOS Brena 14-05-2008 Un guión basado en hechos reales. Trata de la vida de John Forbes Nash Jr., un famoso matemático que ganó en 1994 el Premio Nobel de economía tras sobrevivir a una enfermedad tan destructiva como la esquizofrenia. Wilmer Jhon 25-09-2009 Espléndida, no me canso de verla una y otra vez; maravillosa película. Ojalá mucha gente la vea, deben hacer mas películas así como genios de Jhon Nash, que idea tan brillante...muy bueno ehhh me gustó Xika 02-06-2009 Sencillamente maravillosa, no puedo decir más al respecto. Quien aprecia el buen cine, la inteligencia, los valores humanos sabe que es una pelìcula espléndida. Protagonista de cine, efectivamente, sus gestos de actuación, sus poses, su andar, todo su comportamiento es digno de admirar. El final memorable, buscar la lógica y encontrarla por el protagonista en el amor que le ofreció su mujer durante su vida, da a la comedia la chispa final, ya que tiene todo. Frida 24-09-2008 Me parece que es una de las mejores películas que se han realizado, sobre todo por que reflejan un hecho que fue real, además el tinte psicológico es lo más importante a rescatar, lo impresionante de la mente brillante de Nash es que incluso en la enfermedad que lo embargaba y que tiene como clara característica de que el enfermo no reconoce el mal, es que él si logró encontrarle una lógica y pudo por sí mismo entender lo que le estaba pasando, algo que la psiquiatría de esa época era incapaz de hacerle saber o sentir, y el importante apoyo de su pareja que creo que debería ser una de las recetas para ayudar a aquellos que padezcan de este mal, lamentablemente la gente que lo tiene no puede establecer un hogar por su condición por lo tanto tienen un abandono afectivo extremo, este personaje que es real tuvo la dicha de tener a su mujer que literalmente le salvo la vida. María 00-00-0000 La verdad, es una de las películas que más me emocionó: la enfermedad lo creíble que era para él, hasta el propio espectador lo veía claro; y al final resultó desencadenar una enfermedad tal como la esquizofrenia! Lloré ya que me impresionó mucho, como aguanta la mujer que lo quiere y no lo dejaría para nada (ahora eso ya no se encuentra). ¡Qué dulce! y qué maravilloso.

TEORÍA DE JUEGOS Se denomina juego a la situación interactiva especificada por el conjunto de participantes, los posibles cursos de acción que puede seguir cada participante, y el conjunto de utilidades. La teoría de los juegos es una rama de la matemática con aplicaciones a la economía, sociología, biología y psicología, que analiza las interacciones entre individuos que toman decisiones en un marco de incentivos formalizados (juegos). En un juego, varios agentes buscan maximizar su utilidad eligiendo determinados cursos de acción. La utilidad final obtenida por cada individuo depende de los cursos de acción escogidos por el resto de los individuos. La teoría de juegos es una herramienta que ayuda a analizar problemas de optimización interactiva. La teoría de juegos tiene muchas aplicaciones en las ciencias sociales. La mayoría de las situaciones estudiadas por la teoría de juegos implican conflictos de intereses, estrategias y trampas. De particular interés son las situaciones en las que se puede obtener un resultado mejor cuando los agentes cooperan entre sí, que cuando los agentes intentan maximizar sólo su utilidad. La teoría de juegos fue ideada en primer lugar por John von Neumann. Luego, John Nash, A.W. Tucker y otros hicieron grandes contribuciones a la teoría de juegos.

John Forbes Nash Jr. (Bluefield, Virginia Occidental, 13 de junio de 1928) es un matemático estadounidense). Recibió el Premio Nobel de Economía de 1994 por sus aportes a la teoría de juegos y los procesos de negociación, junto con Reinhard Selten y John Harsanyi.

23. RIEGO POR GOTEO

EXPERIENCIA Medimos la cantidad de agua que echa un gotero de riego durante un minuto, conectándolo a un grifo mediante una manguera, o bien a una manguera conectada a un depósito (embudo) con un desnivel mínimo de tres metros o cuatro metros. Anotamos la cantidad de agua:

CONTRASTE DE DATOS En el gotero aparece un dato grabado: 4 L/H. Realizamos los cálculos con los datos de nuestra experiencia para comprobar la veracidad del dato señalado en el gotero.

PROBLEMA: AGUA PARA RIEGO Imagina que te encargas de la gestión del riego de una finca de 120 albaricoqueros. Los goteros de la instalación son de 4 L/H. El programa de riego para los meses de Octubre y Noviembre de 2009 es el siguiente: PROGRAMA ORIENTATIVO FERTIRRIGACIÓN OCTUBRE Y NOVIEMBRE 2009

Se trata de calcular la cantidad de agua que se necesita para regar toda la finca.

¡Comemos de la madre Tierra! 34

24. DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL DE LAS 30 ALMENDRAS QUE HAY EN UN PLATO DESCRIPCIÓN DE LA EXPERIENCIA La descomposición factorial de un número no es un contenido fácil de entender, en abstracto. Sin embargo, sí que podemos hacer alguna experiencia concreta y sencilla para entender de una manera natural que los números de las cosas, 30 almendras en este caso, se pueden distribuir o descomponer en montones de 2 en 2, de 3 en 3, de 5 en 5... Ponemos 30 almendras en el plato grande para distribuirlos en el mínimo número de montones iguales. Salen dos montones de 15 almendras. Continuamos distribuyendo cada uno de los platos de 15 almendras, también en montones iguales, pero esta vez son impares y no encajan en dos montones. Formamos montones de 5 almendras. Para terminar encajamos las almendras de 1 en 1 en cajas de magdalenas. Con esta experiencia aprendemos a “hacer radiografías de los números”, troceándolos en “sus elementos básicos, sus primeras piedras, sus números primeros, sus “números primos” hasta que no se pueden romper más, hasta que quedan triturados por el martillo de la división exacta”. 30 almendras = 2 platos grandes por 3 platos pequeños por 5 cajas de magdalenas. 30 almendras

2 platos grandes

15 almendras

3 platos pequeños

5 almendras

5 cajas de magdalenas

1 almendra 30 = 2 · 3 · 5 ¡Las matemáticas también están en las cosas de comer! 35

OTRAS EXPERIENCIAS DE DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL EN LA VIDA: • Descomposición factorial de los 60 cacahuetes que hay en un plato:

• Descomposición factorial de las 36 naranjas que hay en una caja:

•

Descomposición factorial de los estudiantes (18 estudiantes por ejemplo) que hay en nuestra clase:

25. POSTRE DE FRUTOS SECOS (MÁXIMO COMÚN DIVISOR)

PROPUESTA DE TRABAJO Repartimos todos los frutos secos del plato en el mayor número de montones posible. ESTRATEGIA Hay que vaciar el plato, haciendo montones de frutos iguales entre sí. Una vez conseguido el objetivo propuesto, podemos saborear los frutos si nos apetece para tener un buen sabor de boca. Y pensamos en el número de postres conseguido: 12 pistachos

12 =

9 cacahuetes

6 nueces

CONCLUSIÓN Al máximo número de postres comunes en que hemos conseguido dividir todo el contenido del plato, le podemos llamar lógicamente “máximo común divisor” (MCD). MCD (12 pistachos, 9 cacahuetes, 6 nueces) =

postres

ยกBuen provecho!

26. COINCIDENCIAS CÍCLICAS O ENCUENTRO DE NÚMEROS (MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO) Hay situaciones en las que ocurren cosas cíclicamente. Si una cosa ocurre cada cierto tiempo y otras cosas ocurren en un periodo de tiempo distinto, nos podemos preguntar cada cuánto tiempo coinciden. A continuación se presentan dos situaciones muy divertidas que están en el libro MATEMÁTICAS PARA ADULTOS, Edita El Roure. Nosotros las vamos a representar en teatro para ponernos en la piel de los protagonistas y vivir la experiencia del mínimo común múltiplo.

SITUACIÓN 1: LOS NOVIOS DESPISTADOS “Una pareja de novios queda en verse a una misma hora en dos bares diferentes de la misma calle, por despiste. Uno de los miembros de la pareja se asoma cada 15 minutos y el otro cada 20 minutos para comprobar si llega su pareja. ¿Al cabo de cuánto tiempo después de la hora de la cita se encontrarán?” ESTRATEGIA Primero podemos representar la situación haciendo teatro, utilizando como unidad de tiempo el segundo. Necesitamos dos actores que hacen de novios y un actor que marca el ritmo del tiempo: 15(1), 20(2), 30(1), 40(2), 45(1), 60(1 y 2)… Después anotamos los números de 15 en 15 y de 20 en 20 para encontrar la coincidencia:

Y por último se recomienda descubrir el número de la coincidencia con la herramienta del mínimo común múltiplo (mcm) con un cálculo mucho más corto:

SITUACIÓN 2: ROMEO Y JULIETA BAJO LA LUNA LLENA “Romeo y Julieta se han despedido una noche de luna llena. Como sabemos la luna llena se repite cada 28 días. Romeo vuelve al pueblo cada 14 días y Julieta sale de casa cada 21 días. ¿Cuándo podrán coincidir la próxima vez bajo la luna llena?” ESTRATEGIA Primero podemos representar la situación haciendo teatro, utilizando como unidad de tiempo el segundo. Necesitamos tres actores (La Luna, Romeo y Julieta), y un actor que marca el ritmo del tiempo: 14(Romeo), 21(Julieta), 28(luna y Romeo), 42(Julieta y Romeo), 54(luna), 56(Romeo), 63(Julieta), 70(Romeo), 84(Romeo y Julieta bajo la luna llena)… Después anotamos los números de 28 en 28, de 14 en 14 y de 21 en 21 para encontrar la coincidencia:

Y por último se recomienda descubrir el número de la coincidencia con la herramienta del mínimo común múltiplo (mcm) con un cálculo mucho más corto:

LECTURA: EL LOBO Y LAS OVEJAS Encontramos una situación de mínimo común múltiplo en esta lectura, que está en el libro “DIARIO DE MATEMÁTICA DESNUDA”, páginas 100-102. ¡Coinciden las personas y coinciden los números! 40

27. COMO LA CABEZA AL SOMBRERO EXPERIENCIA 1: LA PROPORCIONALIDAD EN LA VIDA Ambientación musical: Como la cabeza al sombrero. Buscamos parejas al azar y emitimos un juicio: “proporcionadas al derecho”, “proporcionadas al revés”, o “no tienen nada que ver” proporcionadas derecho

al proporcionadas revés

al no tienen nada que ver

EXPERIENCIA 2: LA CALCULADORA DE PAPEL Y SIN PILAS Utilizamos el modelo de calculadora de papel del tanto por ciento para tocar el uno, el todo y la parte. Dibujamos el modelo de calculadora señalando el 25%.

EXPERIENCIA 3: ESTAMOS DE REBAJAS Imaginamos una situación de rebajas para hacer el cálculo de lo que tenemos que pagar por un artículo rebajado.

TRES PROBLEMAS DE TANTO POR CIENTO: 1. Nos ha dicho la encargada del vivero de repoblación que hemos visitado que hay un 60% de encinas y un 40 % de acebuches, y que en total son 1200 plantas. ¿Se puede saber las plantas que hay de cada clase?

2. En mi Centro somos 800 personas. El 60% son mujeres ¿Cuántos hombres y mujeres hay?

3. Nos situamos en las rebajas para hacer nuestras cuentas. Me gusta pasear en bici. Quiero una bicicleta que vale 200 euros, pero nos rebajan un 30%. ¿Cuánto nos costará?

¿Dónde estarán las pilas de la calculadora de papel? 42

28. ¿QUÉ EMPRESA NOS MONTAMOS HOY? PLANTEAMIENTO Suponemos que nos asociamos para la realización de un trabajo que debemos sacar adelante en una semana. Cada uno de nosotros elige dedicar a dicho trabajo entre una y tres horas diarias, y entre uno y cinco días. Al final conseguimos unas ganancias y necesitamos buscar una estrategia para hacer el reparto de beneficio para cada socio. Nombre de nuestra empresa: Nuestras ganancias:

SOCIOS

HORAS Nº DE PARTES DIARIAS DÍAS

BENEFICIO

TOTAL

¡Nos asociamos para aprender Matemáticas! 43

29. HECTÁREAS EN LA REALIDAD: HECTÁREAS DE MONTE QUEMADAS EN MULA, HECTÁREAS DE REGADÍO EN MULA, HECTÁREAS PARA HACER UN PARQUE TECNOLÓGICO EN TORRE PACHECO… PARA ENTENDER MEJOR LAS NOTICIAS DONDE APARECEN MEDIDAS DE SUPERFICIE Y AGRARIAS, podemos confeccionar un cuadro con las unidades de medida, su significado matemático y su conexión con la realidad.

SUPERFICIE m2 (metro cuadrado)

AGRARIAS Significado ca Un cuadrado (centiárea) de 1 metro de lado

dam2 (decámetro cuadrado)

a (área)

Un cuadrado de 10 metros de lado

hm2 (hectómetro cuadrado)

ha (hectárea)

Un cuadrado de 100 metros de lado

km2 (kilómetro cuadrado)

Conexión con la realidad

Un cuadrado de 1000 metros de lado tahulla

Trozo de huerta de 1118 m2

fanega

Trozo de campo de 6707 m2

¡Conectamos las matemáticas con la realidad! 44

PROPUESTA: COMENTA ESTAS NOTICIAS Y TRADUCE LAS MEDIDAS DE SUPERFICIE QUE APARECEN EN ELLAS A LA UNIDAD MÁS ADECUADA PARA ESTIMAR MEJOR SU AMPLITUD. 16/08/2008

El incendio declarado en el paraje El Niño de Mula arrasa 1,3 hectáreas Murcia, 16 ago (EFE).- El incendio forestal declarado hoy a las 13.30 horas en la pedanía El Niño de Mula que ha arrasado 1,3 hectáreas de matorral del paraje de la Hoya del Hurón, ha sido extinguido a las 16.30 horas por los efectivos del Plan Infomur, informó el centro de coordinación de emergencias de la Región. Superficie quemada: ________________ ----------------------------------------------------------------------------------------------------------

Superficie Parque:______________ 45

Superficie total de regadĂo en 2004:____________ 46

30. ENTREVISTA A PEDRO BUENDÍA ABRIL EN RADIO VITORIA

Tiene una duración de 19 minutos. Sergio Tejero (Radio Vitoria) entrevista a Pedro Buendía Abril (animador matemático). Es una charla que invita a los oyentes a viajar por los territorios matemáticos de las medidas, los números, las formas y los equilibrios. ¡Que disfrutéis del viaje matemático!

Las mates, con las manos Lunes, 5 de Abril de 2010, Sergio Tejero

Pedro Buendía es profesor y “animador matemático”. Le entusiasman las matemáticas y contagia esa pasión a sus alumnos haciendo que los números tengan sentido. Las incógnitas de las ecuaciones para él no son equis (x = y + 2), sino caramelos escondidos debajo de un trapo sobre una balanza. ¿Cuántos hay que poner en el otro platillo de la balanza para equilibrar el peso? Ya hemos resuelto la incógnita. Puedes escuchar la entrevista en el siguiente enlace: http://www.blogseitb.com/plazanuevafindesemana/2010/04/05/las-mates-con-las-manos/

31. FELIZ AÑO 2011 La llegada del año nuevo nos brinda una buena oportunidad para seguir disfrutando con las matemáticas. Hoy vamos a practicar técnicas de recuento de números con dos experiencias. EXPERIENCIA 1: SALUDOS MATEMÁTICOS Cuando nos encontramos un grupo de amigos es normal que nos saludemos dándonos la mano por parejas. Pero, ¿nos hemos preguntado alguna vez cuántos saludos se hacen en total en un grupo de n personas?, o lo que es lo mismo, ¿cuántas combinaciones de parejas se pueden formar? Se propone formar grupos 4 personas colocadas en fila y que nos demos la mano por parejas de forma ordenada, analizando el número de combinaciones posibles. ¡Es muy divertido! Y anotamos las parejas que se han formado.

EXPERIENCIA 2: FORMAMOS EQUIPOS DE TRABAJO Se propone que probemos a formar grupos de 3 personas de entre un total de 4 personas, anotando todas las combinaciones posibles.

¡Saludos matemáticos cordiales!

32. ENAMORADOS DE LAS MATEMÁTICAS (EL ÁREA DEL CORAZÓN)

6 cm

3 cm

Observaciones: 1) Imagina el corazón compuesto por piezas como un puzle. 2) Para calcular el área del círculo te puedes acordar del cuento del carpintero al que le encargaron una mesa de tablero redondo.

¡Con cariño matemático, el 14 de febrero y el resto del año! 49

33. EL JARDÍN DE LAS FORMAS 8m

16 m

24m

Este es el plano de un jardín. ¿Se podrá saber cuánto mide su superficie en la realidad?

¡Las matemáticas también están en los jardines!

34. LA POTENCIA DE UN SACO DE TRIGO Y OTRAS POTENCIAS Y RAÍCES CON CUADRADOS Y CUBOS EXPERIENCIA 1: LA POTENCIA DE UN SACO DE TRIGO Un saco de trigo tiene un rendimiento de 2 sacos al sembrarlo. En la siguiente tabla podemos detallar la evolución de las cosechas del trigo: TIEMPO

Hace 3 años

Hace 2 años

Hace 1 año

Ahora 0 años

Dentro de Dentro de Dentro de 1 año 2 años 3 años

SACOS POTENCIAS

EXPERIENCIA 2: DELIMITAMOS CUADRADOS DE LOSAS EN EL SUELO DEL AULA A) Si contamos el número de losas de la orilla y lo elevamos al cuadrado sabremos todas las losas. ¿Cuántas losas tiene un cuadro con 5 losas en la orilla?

B) Si contamos todas las losas y sacamos la raíz cuadrada sabremos las losas de la orilla. ¿Cuántas losas tiene en la orilla un cuadro de 49 losas?

EXPERIENCIA 3: MONTAMOS CUERPOS CÚBICOS CON CUBITOS DE PLÁSTICO A) Si contamos el número de cubitos de un lado y lo elevamos al cubo sabremos todos los cubitos. ¿Cuántos cubitos tiene un cubo de 3 cubitos de lado?

B) Si contamos todos los cubitos y sacamos la raíz cúbica sabremos los cubitos de un lado. ¿Cuántos cubitos tiene en un lado un cubo de 8 cubitos?

¡Lo que la potencia hace la raíz deshace! 52

35. LEYENDA SOBRE EL TABLERO DEL AJEDREZ “El juego del ajedrez se inventó en la India hace unos 2000 años, por un súbdito del rey Shirham, llamado Seta. El rey en agradecimiento le dijo al inventor que le pidiera lo que quisiera, y éste le pidió trigo: un grano por la primera casilla del tablero, dos granos por la segunda, cuatro granos por la tercera, ocho granos por la cuarta, y así sucesivamente hasta completar las sesenta y cuatro casillas”. PROPUESTA PARA SORPRENDERNOS: Hacer nosotros las cuentas anotando los granos que hay en cada casilla.

EXPERIENCIA PARA DOMINAR LAS TÉCNICAS DE RECUENTO: Calculamos los granos de trigo que entran aproximadamente en un cajón de metro cúbico, utilizando técnicas de recuento. Material: una cajita de cm3 y un puñado de trigo.

¡Increíble, sorprendente, maravilloso, fantástico…! 53

36. LA ORILLA DE UNA COSA CUADRADA

Imaginemos el suelo de una habitación cuadrada de 25 m 2. Mentalmente sabemos que su lado mide 5m. Pero también podemos hacer el cálculo con la herramienta matemática de la “raíz cuadrada”: 25 = 5 . ¡La raíz cuadrada de un cuadrado es sencillamente su orilla!

ESTRATEGIAS PARA CALCULAR LA RAÍZ CUADRADA La forma más natural de hacer una raíz cuadrada es probando a cuadrar “orillas” mentalmente por tanteo hasta que te aproximes o consigas el valor exacto de la superficie del cuadrado. Aprender la mecánica de cómo se hace una raíz cuadrada es algo lioso pero enseguida lo consigues con unos pasos ordenados. También la calculadora te la resuelve rápidamente al presionar la tecla que lleva una especie de V con raya a la derecha ( )

CÁLCULO MENTAL El cálculo mental por tanteo es una de las herramientas más poderosas que tiene la mente. Propongo que lo utilicemos para calcular las orillas de los siguientes cuadrados: Suelo 4 m2 cuadrado Orilla

9 m2

16 m 2

25 m2 36 m2 49 m2

64 m2

81 m2

100 m2

CÁLCULO DE LA ORILLA DE UNA TAHULLA (1118 m2)

CÁLCULO DE LA ORILLA DE UN MANTEL A) DE UN METRO CUADRADO B) DE DOS METROS CUADRADOS (Sugerencia: hacer el cálculo sobre centímetros cuadrados)

¡La raíz cuadrada está en la orilla del cuadrado! 55

37. EL PATIO DE PITÁGORAS EXPERIENCIA: LA CUERDA DE LOS DOCE NUDOS Nos espera una sorpresa si la sujetamos entre tres personas por los nudos 3, 7 y 12.

HACEMOS TEATRO HABITANDO LAS HABITACIONES CUADRADAS ALREDEDOR DEL PATIO DE LA CASA DE PITÁGORAS

BUSCAMOS TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS EN NUESTRA AULA (En las mesas, en las losas del suelo, en los armarios, en el espejo…) Por curiosidad, podemos medir los catetos, calcular la hipotenusa y comprobar el resultado midiendo después con el metro.

¡Eres un Pitágoras! 56

38. CUBICANDO EN EL MUNDO DE TRES DIMENSIONES EXPERIENCIA1: RECONSTRUIMOS EL EDIFICIO DE LA MEDIDA • La primera piedra: el metro • El solar de metro cuadrado. • La casa de metro. El metro cúbico humano. • La caja de litro (capacidad) o de decímetro cúbico (volumen). • La cajita de garbancito o de mililitro (capacidad) o de centímetro cúbico (volumen). EXPERIENCIA2: ABRAZAMOS EL ESPACIO Colocamos una cuerda sobre el suelo para delimitar un pequeño solar de 3 metros de largo por 2 metros de ancho. Primero nos situamos alrededor de la cuerda estirando los antebrazos hacia adelante a la altura de la cintura para delimitar un volumen aproximado de 6 metros cúbicos bajo nuestras manos. A continuación estiramos los brazos a la altura de los hombros abrazando un espacio de unos 9 metros cúbicos. Y por último levantamos los brazos hacia arriba acariciando un espacio de unos 12 metros cúbicos. PRÁCTICAS: CUBICAMOS ESPACIOS EN NUESTRO ENTORNO Hoy vamos a practicar las medidas de volumen y capacidad cubicando objetos de nuestro entorno. Cada grupo elige uno de los objetos que hay en la tabla, tomando medidas, haciendo cálculos y comunicándolo a los demás en la puesta en común. Grupo 1

Objeto Entrada Centro

Aula nº 4 Centro

Contenedor de basura

Caja de fruta

Maleta

Nevera

Volumen en m3

Capacidad en litros

¡Tomamos medidas para hacer cálculos! 57

39. EL VOLUMEN DE LA PIRÁMIDE

EXPERIENCIA 1(en gran grupo): CLASIFICAMOS LOS CUERPOS GEOMÉTRICOS Aquí tenemos la caja de los cuerpos geométricos (prismas, pirámides, cilindro y cono), para clasificarlos en dos grupos: Cuerpos que terminan como empiezan

Cuerpos que empiezan en algo y terminan en nada

EXPERIENCIA 2 (en gran grupo): COMPARAMOS EL VOLUMEN DE UN PRISMA Y UNA PIRÁMIDE DE LA MISMA BASE Y ALTURA A OJO DE BUEN CUBERO c) Primero estimamos a ojo de buen cubero cuántas pirámides de garbanzos se necesitan para llenar el prisma. d) Y lo comprobamos vaciando pirámides de garbanzos sobre el prisma.

Conclusión:

EXPERIENCIA 1 (en pequeño grupo): EL AGUA DE LA PIRÁMIDE a) Estimamos agua que cabe en una pirámide de plástico (en cm3 o ml). Lo anotamos: b) Hacemos los cálculos tomando medidas:

c) Lo comprobamos vaciando la pirámide en una jarra graduada.

EXPERIENCIA 2 (en pequeño grupo): EL AGUA DEL CONO a) Estimamos el agua que cabe en un cono de plástico (en cm3 o ml). Lo anotamos: b) Hacemos los cálculos tomando medidas:

c) Lo comprobamos vaciando el cono en una jarra graduada.

EXPERIENCIA 3 (en pequeño grupo): EL VOLUMEN DE LA PIRÁMIDE CONSTRUIDA EN EL AULA CON CUERDAS SOBRE UNA BASE DE 4 m2 Y ALTURA HASTA EL TECHO a) Estimamos su volumen en m3. Lo anotamos: b) Hacemos los cálculos tomando medidas:

c) Lo comprobamos aproximadamente comparando la pirámide con el cajón de metro cúbico. EXPERIENCIA 4 (en pequeño grupo): EL VOLUMEN DE LA PIRÁMIDE CONSTRUIDA EN EL AULA CON CUERDAS SOBRE UNA BASE DE 1 m2 Y ALTURA HASTA EL TECHO a) Estimamos su volumen en m3. Lo anotamos: b) Hacemos los cálculos tomando medidas:

c) Lo comprobamos aproximadamente comparando la pirámide con el cajón de metro cúbico.

¡El tanteo es una herramienta matemática muy poderosa! 60

40. LA LLUVIA DEL 11 DE MARZO DE 2011 EN MULA INVESTIGACIÓN ¿Cuántas piscinas olímpicas se hubieran llenado con el agua caída en Mula en esta lluvia? RECOGIDA DE DATOS

Este bote ha estado puesto bajo la lluvia durante todo el tiempo que ha estado lloviendo. Midiendo la altura de agua sabemos los litros que han caído en un metro cuadrado. LLUVIA EN MULA 11-0312011

milímetros (mm) litros/metro cuadrado (l/m2)

El casco urbano de Mula mide aproximadamente 1,5 km de largo por 1 km de ancho.

CASCO URBANO DE MULA

largo (m) ancho (m) solar (m2)

Medidas de una piscina olímpica: 50m x 25m x 2m

PISCINA OLÍMPICA

largo (m) ancho (m) alto (m) Volumen (m3)

¡Aprovechamos la lluvia para aprender matemáticas!

41. EVOLUCIÓN DE LAS RECIPITACIONES POR MESES A LO LARGO DEL AÑO

INVESTIGACIÓN 1: LAS LLUVIAS EN MULA EN EL AÑO 2010 Tomamos datos de las lluvias caídas en Mula en los meses de enero a diciembre de 2010 (Fuente: www.mulavirtual.net). Las alturas de agua caídas cada mes se encuentran en los botes que están etiquetados con los nombres de los meses. Y traducimos de milímetros de lluvia a litros por metro cuadrado. mes

altura de agua en el bote

ENERO FEBRERO MARZO ABRIL MAYO JUNIO JULIO AGOSTO SEPTIEMBRE OCTUBRE NOVIEMBRE DICIEMBRE TOTAL DEL AÑO 2010 63

litros/metro cuadrado

Construimos una gráfica con las precipitaciones de de enero a diciembre para ver más clara la evolución de las lluvias en Mula a lo largo del año 2010:

10 0 90

milímetros de lluvia o litros/m2

80 70 60 50 40 30 20 10 ENE FEB MAR ABR MAY JUN JUL AGO SEP OCT NOV DIC

INVESTIGACIÓN 2: LAS LLUVIAS EN MURCIA EN EL PERIODO 1971-2000 La siguiente tabla contiene datos de la Estación meteorológica Murcia Alcantarilla/ Aeropuerto en el periodo 1971-2000 (últimos 30 años del siglo XX):

Mes T TM Tm R H DR DN DT DF DH DD Enero 10.1 16.4 3.9 25 65 3 0 0 3 5 8 Febrero 11.7 18.2 5.2 28 61 3 0 0 2 2 6 Marzo 13.5 20.4 6.7 30 57 3 0 0 2 1 6 Abril 15.6 22.5 8.7 27 53 4 0 1 1 0 5 Mayo 19.0 25.8 12.2 32 54 4 0 2 1 0 5 Junio 23.1 30.0 16.2 20 51 2 0 2 1 0 9 Julio 26.2 33.4 19.0 5 51 1 0 1 0 0 16 Agosto 26.7 33.6 19.9 10 56 1 0 1 0 0 12 Septiembre 23.6 30.2 16.9 27 60 2 0 2 1 0 7 Octubre 18.8 25.0 12.7 44 64 4 0 1 1 0 5 Noviembre 14.1 20.0 8.2 32 67 4 0 0 2 0 6 Diciembre 11.1 17.0 5.2 21 68 4 0 0 3 3 7 Año 17.8 24.4 11.2 301 59 35 0 11 17 11 94 Leyenda T Temperatura media mensual/anual (°C) TM Media mensual/anual de las temperaturas máximas diarias (°C) Tm Media mensual/anual de las temperaturas mínimas diarias (°C) R Precipitación mensual/anual media (mm) H Humedad relativa media (%) Número medio mensual/anual de dias de precipitación superior o DR mm DN Número medio mensual/anual de dias de nieve DT Número medio mensual/anual de dias de tormenta DF Número medio mensual/anual de dias de niebla DH Número medio mensual/anual de dias de helada DD Número medio mensual/anual de dias despejados I Número medio mensual/anual de horas de sol

I 172 176 212 240 280 310 338 301 235 203 169 159 2797

igual a 1

Construimos una gráfica con las precipitaciones a lo largo de los meses del año para ver más clara la evolución de las lluvias en Murcia (Estación meteorológica Murcia Alcantarilla/ Aeropuerto) durante el periodo 1971-2000 (últimos 30 años del siglo XX):

milímetros de lluvia o litros/m2

10 0 90 80 70 60 50 40 30 20 10 ENE FEB MAR ABR MAY JUN JUL AGO SEP OCT NOV DIC

42. NÚMEROS BAJO LA LLUVIA EN MULA DEL AÑO 2005 AL AÑO 2010 HOY OS PROPONGO UNA INVESTIGACIÓN SOBRE LAS PRECIPITACIONES EN MULA EN LOS ÚLTIMOS CINCO AÑOS. El objetivo es confeccionar las gráficas de las precipitaciones desde el año 2005 hasta el año 2010, por grupos. Cada grupo trabaja sobre un año. Pasos para realizar la tarea: 1) Tenemos que buscar los datos sobre las precipitaciones en internet, en la página www.mulavirtual.net en la sección “El tiempo en Mula”. Los sacamos por la impresora. 2)

Para realizar las gráficas vamos a utilizar la herramienta matemática HOJA DE CÁLCULO EXCEL. En primer lugar anotamos los datos: • En la celda A1 escribimos: AÑO … • En la celda A2 escribimos: MES • En la celda B2 escribimos: LITROS/METRO CUADRADO • En las celdas A3 hasta A14 escribimos el nombre de los meses. • En las celdas B3 hasta B14 escribimos el número de litros que corresponde a cada mes. Por último hacemos el gráfico: • Seleccionamos las celdas desde A3 hasta B14 • Hacemos clic en el icono “asistente para gráficos” que está en la barra de herramientas (arriba). • Seguimos los pasos del “asistente para gráficos”. • ¡Aparece el gráfico! • Imprimimos la hoja para pasar la información a los otros grupos.

PUESTA EN COMÚN: Cada pequeño grupo expone su investigación al gran grupo. ¡Compartimos nuestras investigaciones con los demás! 67

43. EL BAILE DE LOS NÚMEROS CON LAS LETRAS • La tierna ecuación del patito feo.

• Adivinanzas entre manos, con pipas por ejemplo.

• Dulces ecuaciones de caramelo.

• Ecuaciones en la percha: “Una naranja pesa 100 gramos más la mitad de su propio peso. ¿Cuánto pesa la naranja?”

• Ecuaciones de papel: “Salimos de compras con el monedero lleno, nos gastamos en un libro la tercera parte, vamos al cine que nos cuesta 3 € y regresamos con la mitad del dinero”.

¡Hacer ecuaciones es como montar en bicicleta: lo importante es mantener el equilibrio! 68

44. SOY UN BUEN TRADUCTOR MATEMÁTICO

DICCIONARIO MATEMÁTICO

Hoy vamos a comprobar las ventajas del lenguaje matemático para jugar a las ADIVINANZAS.

“la cosa”…… x doble...……... 2x mitad……….. x/2 triple………... 3x tercio……….. x/3 5 veces……... 5x igual………... = más…………. + menos……….-

ADIVINA LO QUE PESO “Mi peso es igual a …… Kilos peso”.

más la mitad de mi propio

¿Cuánto peso?

ADIVINANZAS DE PASTORES Juana dice a Paco: “tengo el doble de cabras que tú”, y Paco le responde: “si tú me prestas tres cabras tendremos los dos igual”. ¿Cuántas cabras tiene cada uno?

ADIVINA LAS BOLAS QUE HAY EN UN COLLAR En un collar (no es el collar de la imagen) hay bolas de tres colores: azul, amarillo y rojo. Sabemos que hay dos bolas rojas, que la mitad de las bolas son azules y que la tercera parte son amarillas. ¿Podremos saber las bolas que tiene el collar?

LA EXTENSIÓN DE UN TERRENO RECTANGULAR Para rodear un terreno rectangular necesitamos 280 metros lineales de valla. El terreno es tres veces más largo que ancho. ¿Cuál es la extensión del terreno?

¡El lenguaje matemático es tan sencillo como el lenguaje indio! 70

POEMA A LA REGLA DE LOS SIGNOS DE LA MULTIPLICACIÓN

Lo mismo da multiplicar "más" por "más" que "menos" por "menos". Estarás en el mismo escalón hace un rato bajando escaleras como dentro de un rato subiendo escaleras. Tu situación económica será igual si te dan dinero como si te quitan una deuda. Tan agradable es que te den calor como que te quiten frío. Tan beneficioso es para el jardín si se pone una planta verde como si se quita una planta seca. El mismo resultado es “más” por “más” que “menos” por “menos”.

+ · + - · +· - ·+

= = = =

+ + Pedro Buendía

45. CUATRO SITUACIONES PARA HACER EQUILIBRIOS CON LAS ECUACIONES (Problemas propuestos en libros de Matemáticas de Secundaria)

DICCIONARIO MATEMÁTICO “la cosa”…… x doble...……... 2x mitad……….. x/2 triple………... 3x tercio……….. x/3 5 veces……... 5x igual………... = más…………. + menos……….-

SITUACIÓN 1: LAS EDADES La edad del padre es el triple de la del hijo. ¿Qué edad tiene cada uno si ambas edades suman 72 años?

SITUACIÓN 2: UNA REUNIÓN En una reunión hay doble número de mujeres que de hombres y el triple número de niños que de hombres y mujeres juntos. Si el número total de personas es 96, ¿cuántos hombres, mujeres y niños hay?

SITUACIÓN 3: ANIMALES EN UN CORRAL En un corral hay conejos y gallinas; en total son 35 cabezas y 116 patas. ¿Cuántos animales hay de cada clase?

SITUACIÓN 4: LA HERENCIA Un padre reparte una finca entre sus tres hijos. Al hijo mayor le asigna la tercera parte de la finca más 80 ha; al segundo la cuarta parte más 20 ha y al tercero la cuarta parte. ¿Cuál es la extensión de la finca? ¿Qué parte de la misma corresponde a cada uno?

¡En las ecuaciones como en la vida lo importante es mantener el equilibrio! 73

46. ¡HAY BOTE!

En un grupo de 5 personas se decide ahorrar unos euros en una hucha. Cada uno puede echar 4€ o 2€. Al final se cuenta el dinero que hay en la hucha. ¿Podremos saber cuántas personas han echado 4€ y cuántas han echado 2€? Nota: Se recomienda vivir esta experiencia matemática en un grupo de 5 personas echando monedas en una hucha (un bote por ejemplo). ¡Es bastante divertida! Para saber cuántas personas han echado 2 € y cuántas han echado 4 € tendremos que hacer unos cálculos.

El símbolo (€) con que se representa está inspirado en la letra griega épsilon, y representa la civilización europea, y la inicial de su nombre, Europa. Las líneas paralelas simbolizan la estabilidad de la moneda.

47. PROBLEMA: EL BIDÓN DE ACEITE (Problema propuesto en un libro de Matemáticas de Secundaria) “Un bidón de aceite está lleno, se saca aceite hasta que le queda un octavo del que tenía, y se añaden 38 litros, alcanzando un nivel que llega a los tres quintos de su capacidad. ¿Cuánto aceite le cabe al bidón?” En democracia matemática podemos encontrar la solución de un problema de maneras diferentes, eso es lo más interesante. Lo primero es entender el significado, para eso vamos a echar trozos de cartulina, que representan el aceite, sobre una balanza para equilibrar el bidón lleno y el bidón en partes. Propuesta: Trabajar en pequeños grupos, con diferentes estrategias: Estrategia 1: Representar el vaciado y llenado del bidón de aceite en un rectángulo, utilizando símbolos diferentes: ● para representar la octava parte del aceite, * hasta completar tres partes sobre cinco del bidón y ○ hasta completar todo el bidón.

DICCIONARIO MATEMÁTICO

Estrategia 2: Plantear una ecuación traduciendo a lenguaje matemático lo que hemos visto en el equilibrio del bidón de aceite sobre la balanza.

Bidón lleno

“la cosa”…… x doble...……... 2x mitad……….. x/2 triple………... 3x tercio……….. x/3 5 veces……... 5x igual………... = más…………. + menos……….-

Bidón en partes

¡Las representaciones ayudan a encontrar la solución de un problema!

48. PROBLEMA MATEMÁTICO O PROYECTO DE REPOBLACIÓN (Libro “Diario de Matemática Desnuda”, Pedro Buendía Abril, páginas 207-210) La clase comenzó con la lectura y comentario de un texto sobre la importancia de la repoblación para oxigenar los pulmones de la Tierra. En medio de aquel ambiente nos inventamos un problema que bien pudiera ser un proyecto interesante, un problema matemático y verde: «Se quiere repoblar una loma de mediana extensión con pinos, encinas y acebuches. Los pinos ocuparán la tercera parte, las encinas la cuarta parte y también se plantarán 50 acebuches. ¿Cuántos árboles se plantarán en total?». - EL MAESTRO: ¿Qué queremos saber? - JUANA: Todos los árboles que plantaremos. - EL MAESTRO: Muy bien. Ese es el dato que se desconoce, es el interrogante, es la incógnita, es lo que podemos llamar letra x. EL ESPÍRITU MATEMÁTICO: Ahora procede traducir el lenguaje escrito del enunciado del problema a lenguaje matemático. Y en el reino de los números y los signos matemáticos sólo se permite la entrada de alguna letra como la x. - EL MAESTRO: ¿Cómo se puede encajar una ecuación en la distribución de este bosquecillo? - ANTONIO: Todos los árboles que plantemos en la loma serán igual a los pinos más las encinas más los acebuches, lógico. Como hemos convenido que todos sea x, los pinos serán la tercera parte de x, x/3, y las encinas la cuarta parte, x/4. Por tanto la expresión en lenguaje matemático es la siguiente:

- EL MAESTRO: Ya está hecho lo más difícil para el razonamiento y lo más interesante bajo el punto de vista lógico-matemático. EL ESPÍRITU MATEMÁTICO: Lo difícil y lo creativo, el reto es poner en marcha las cosas. Y plantear una ecuación es poner el germen del proceso que lleva a la solución. Ya está la ecuación, ahora toca hacer unas cuentas, guardando el equilibrio de los números simplemente, para encontrar la solución. 77

- EL MAESTRO: Ahora es el momento de seguir unos pasos ordenados, lógicos, equilibrados, pero más rutinarios, que siempre son los mismos, y requieren un mínimo de energía mental. Primer paso. Quitar denominadores cuando los hay, como en este caso. - EL MAESTRO: Intuitivamente nos damos cuenta que una expresión sin denominadores es más sencilla, se pega más a la vista, por tanto tenemos que ingeniarnos la manera de quitarlos, haciendo una transformación. La clave, el secreto está en encontrar un número que multiplique a todos los denominadores, como si fuese un «comecocos» capaz de eliminar a cada uno de ellos con el arma de la división exacta. En el ejemplo, donde los denominadores son el 3 y el 4, el número más pequeño que multiplica a los dos, su mínimo común múltiplo es el 12, que incluye a ambos en sus entrañas. Por otra parte es necesario guardar el equilibrio entre ambos miembros de la ecuación; lo que ampliemos, reduzcamos, añadamos o quitemos en un lado del signo igual, también lo tenemos que hacer en el otro lado, para restablecer el equilibrio, claro está. Luego, en este caso, lo que tenemos que hacer es multiplicar los dos miembros de la ecuación por el número 12, quedando agrandados 12 veces cada uno de ellos, por tanto siguen estando en equilibrio.

- JUANA: Ahora lo que no se pega a la vista, lo que nos estorba es el paréntesis. - PEPE: Eso no es problema, lo romperemos, como dice el maestro, con el martillo de la multiplicación del número 12, cuyo efecto recae sobre cada uno de los tres números encerrados en el paréntesis, transformando la expresión en la suma de los tres resultados. Lo digo así para entendernos mejor, aunque esta propiedad tiene una definición matemática un tanto rara, que creo recordar como la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la adición.

- EL MAESTRO: La división de 12 entre 4 da 3, y la de 12 entre 3 da 4, ambas exactas, como estaba previsto, como nos interesaba para hacer desaparecer los denominadores.

Esta expresión es más sencilla, esta sí que se pega más a la vista. Hemos conseguido quitar los denominadores con lógica y con ingenio. Segundo paso. Cada oveja con su pareja. - EL MAESTRO: El dicho de «cada oveja con su pareja», es aplicable a las ecuaciones también. Por tanto agruparemos los términos que llevan «x» en un lado del signo «=», y los que no la llevan al otro lado.

Tercer paso. Desnudar la «x». - EL MAESTRO: Despejar la «x», aislarla, dejarla sola a un lado del signo igual, es desnudarla de letra para ver su valor de número. La manera de hacerlo es siguiendo la regla del equilibrio y buscando un divisor capaz de neutralizar al número 5 que la acompaña, de tragárselo. La transformación queda así:

Solución: 120 árboles en total. Cuarto paso. Encajar el rompecabezas de la ecuación. - EL MAESTRO: La comprobación de que la solución es válida es un paso fundamental en la realización de un problema matemático, es su sello de calidad. Para probar su validez tenemos que montar el rompecabezas con la pieza de la solución. Si lo conseguimos tenemos la garantía de que está bien. - PACA: Vale, el problema está muy bien resuelto en el papel, pero estaría mejor todavía si fuésemos capaces de colaborar en dicha repoblación. Podríamos empezar hablando nosotros el tema y poniéndonos en contacto con entidades y personas relacionadas con el Medio Ambiente. EL ESPÍRITU MATEMÁTICO: La matemática aumenta su valor cuando sirve para hacer buenos proyectos para la humanidad.

49. HACEMOS ESTADÍSTICA RECOGIENDO DATOS, Y JUGAMOS AL AZAR LA ESTADÍSTICA APASIONADA DE LA MATEMÁTICA FLORENCE NIGHTINGALE Historia viva de una conexión de la matemática con el mundo para mejorarlo.

EL DÍA DE LA FRUTA

CARAMELOS AL AZAR

Seleccionamos una muestra de personas. Preguntamos qué tipo de fruta prefiere cada uno, entre: manzana, pera y plátano, por ejemplo. Primero hacemos filas formando un gráfico de barras humano. Después pegamos muñecos sobre la pared encima de cada una de las clases de frutas preferidas.

Recogemos datos de los participantes, que tiran un dado para obtener un número, colocando un caramelo por participante en una gráfica en cartulina, sobre los números del 1 al 6, según el número obtenido en el dado.

CUMPLEAÑOS FELIZ

cartulina.

Recogemos datos de los cumpleaños de los participantes, por meses. Y colocamos un caramelo por participante, encima de los nombres de los meses de enero a diciembre, formando una gráfica de caramelos sobre

ÂĄTambiĂŠn podemos medir el camino de vuelta a casa en caramelos!

50. EL TOTAL PASADO POR EL UNO: EL CONCIERTO DE FITO, LA NOCHE DE LOS TAMBORES Y EL CAMIÓN DE ALMENDRAS Esta tarea de estimación consta de tres actividades. La propuesta es formar tres grupos de trabajo. Cada grupo hará una experiencia. Al final se realizará una puesta en común para compartir los aprendizajes. EXPERIENCIA 1: ESTIMAMOS EL NÚMERO DE ASISTENTES AL CONCIERTO DE FITO EN MULA

El 14 de mayo de 2010 estuvo tocando en Mula la banda de rock Fito y Fitipaldis en el Complejo Deportivo La Arboleja. El espacio habilitado para el concierto tiene una extensión aproximada de unos 3000 m 2. ¿Cómo podemos saber aproximadamente el número de asistentes al concierto? Podemos simular un grupo de asistentes al concierto en un trozo pequeño del aula de unos seis metros cuadrados por ejemplo, para saber el número de asistentes que entran en un metro cuadrado. Esta es una buena técnica de recuento para obtener el total de asistentes a partir del dato del uno.

EXPERIENCIA 2: ESTIMAMOS EL NÚMERO DE PERSONAS EN LA PLAZA DEL AYUNTAMIENTO DE MULA EN LA NOCHE DE LOS TAMBORES

Si queremos saber aproximadamente el número de tamboristas que llenan toda la plaza debemos utilizar la técnica de recuento que pasa las cuentas por los tamboristas que entran en un metro cuadrado. Para calcular la extensión real del rectángulo superpuesto sobre la plaza debemos tener en cuenta que el plano está a escala 1:5000.

EXPERIENCIA 3: CALCULAMOS EL PESO DE LAS ALMENDRAS DE UN CAMIÓN PESANDO LAS ALMENDRAS DE UNA JARRA DE LITRO

¿Cómo podríamos saber aproximadamente el peso de las almendras que lleva un camión completamente cargado, cuya caja mide 2 metros de ancha por 8 metros de larga y por 2 metros de alta, sin pasarlo por la báscula? Para hacer los cálculos tenemos una jarra de litro y una balanza.

¡Aprendemos técnicas de recuento pasando las cuentas por el uno, en situaciones reales! 85

51. FONTANERO: ¡SE ME HA ROTO EL GRIFO!

INVESTIGAMOS CALCULANDO EL AGUA QUE SE DESPERDICIA EN UN GRIFO ROTO Primero tomamos datos del agua que se pierde en un grifo. Formamos grupos para investigar. Disponemos de un vaso pequeño de decilitro o de una cuchara sopera y de un reloj.

PÉRDIDA Agua (litros) Experiencia Grupo 1

minuto

hora

día

Experiencia Grupo 2 Experiencia Grupo 3 Experiencia Grupo 4

mes

año

CONTRASTAMOS NUESTRA INVESTIGACIÓN CON LA INFORMACIÓN DE LA COMPAÑÍA DE AGUA POTABLE

¿En cuántos segundos llenará este grifo una cucharada sopera?

¡Es increíble la cantidad de agua que pierde un grifo roto! 87

52. LA FACTURA DEL AGUA

Aquí vemos un detalle de una factura de agua potable, correspondiente a un trimestre. Hay ¡muchos números!: el número de factura, el número de la calle de la empresa que gestiona el agua, el número del código postal de la localidad, el número del consumo de agua, el número de la base imponible, el número del IVA y el número del TOTAL A PAGAR EN EUROS. La tarea que se propone hoy es aprender a “leer la factura del agua”. ANALIZAMOS LOS CÁLCULOS RELACIONADOS CON EL CONSUMO Y EL IMPORTE A PAGAR:

• Para darnos una idea de la cantidad de agua gastada, ¿con qué recipiente la podríamos comparar? • Comprobamos si hay errores en el importe. • Comprobamos si el IVA está bien calculado. • Comprobamos si es correcto el TOTAL A PAGAR EN EUROS.

INTERPRETAMOS EL HISTORIAL DE CONSUMOS

• ¿Qué es lo más te llama la atención al ver esta gráfica?, ¿qué nos quiere decir la gráfica? • ¿Te parece excesivo el gasto en esta vivienda en el año 2008? • ¿Qué querrá decir CONSUMO MEDIO DIARIO: 0,024? • ¿Qué significará IMPORTE MEDIO DIARIO: 0,24? • ¿Podremos saber a cuánto cuesta el litro de agua?

¡Las gráficas nos dicen cosas sin palabras! 89

53. LA FACTURA DE LA LUZ

EXPERIENCIAS PARA NOTAR LA POTENCIA EN EL CUERPO 1. Cada uno de nosotros puede desarrollar un vatio de potencia levantando un peso de unos 100 gramos (una manzana pequeña, una naranja, un vasito de agua de 100 cm3…) a una altura de un metro, en un segundo (tic-tac de reloj). 2. Cada uno de nosotros puede desarrollar cien vatios de potencia levantando un peso de unos diez kilos (cubo de agua de unos diez litros, una mesa pequeña…) a una altura de un metro, en un segundo. 3. Un grupo de diez personas puede desarrollar mil vatios de potencia (un kw) si levanta un peso de cien kilos (diez cubos de agua, diez mesas individuales, un cuerpo de cien kilos…) a una altura de un metro durante un segundo.

ANALIZAMOS LA FACTURA DE LA LUZ 1. Comprobamos que la diferencia de lecturas del contador del 17/03/2009 al 17/04/2009 es correcta. 2. Comprobamos si los 68,28 € de la energía consumida están bien calculados. 3. Comprobamos si el cálculo del Impuesto del Valor Añadido (IVA) tiene errores. 4. ¿Qué nos dice la gráfica del Historial del Consumo?

¡Analizamos la factura de la luz para verla más clara! 91

54. LA ENERGÍA SOLAR

25 de marzo de 2009

“que supondrán el ahorro de 17250 toneladas de CO2 al año y generarán 15 megavatios (MW), es decir, mayor energía que la consumida por el alumbrado público de todo el municipio, o lo equivalente a la energía eléctrica consumida por 8000 hogares en un año”, explicó la concejal

ANALIZAMOS LA NOTICIA MATEMÁTICAMENTE PARA ENTENDERLA MEJOR 1. Calculamos la dimensión de las tres parcelas. ¿Con qué unidad de medida la podemos comparar para tener una mejor idea de su extensión?

Avileses

Sucina

Gea y Truyols

2. Hacemos un gráfico de barras para ver la extensión relativa de cada finca

3. ¿Qué extensión de placas sería necesaria para abastecer una localidad como Mula?

¡El sol que nos alumbra es una fuente inagotable de energía limpia! 93

55. LA NARANJA MATEMÁTICA EN SU ZUMO EXPERIENCIA 1: EL CORTE Y LA CORTEZA DE LA NARANJA Corta una naranja por la mitad y con círculo de papel a la medida del corte intenta envolver media naranja. ¿Cuántos círculos calculas que hacen falta para liar esa media naranja a ojo de buen cubero? ¿Cuántos círculos necesitaremos para liar la naranja entera?

EXPERIENCIA 2: ENJAMBRE DE CONOS Unir muchos conos de cartulina por sus vértices, apiñándolos. ¡Sorpresa! ¿Qué se forma? EXPERIENCIA 3: CADENA MONTAÑOSA DE CONOS Deshacer el enjambre de conos colocándolos sobre un círculo grande a la medida de la superficie de la corteza de la esfera, formando montañas o tiendas de indio. EXPERIENCIA 4: EL VOLUMEN DEL TAMBOR Y EL SOMBRERO DE CHINO Si multiplicamos el área de la corteza por la altura del cono obtenemos el volumen de un “tambor”. Y ya sabemos por experiencia que el volumen del sombrero de chino es la tercera parte. EXPERIENCIA 5: EL ZUMO DE LA NARANJA Con lo que hemos aprendido en las experiencias anteriores, podemos calcular el zumo de una naranja, a la medida de una esfera de juguete. Y para comprobar si el cálculo está bien hecho se recomienda medir el agua que cabe en la esfera en una jarra graduada. ¡Si no te acuerdas de memoria de la fórmula del volumen de la esfera, recuerda la naranja matemática en su zumo! 94

LA NARANJA MATEMÁTICA EN SU ZUMO

RADIO

CORTE

πr

CORTEZA

4πr

ZUMO

4πr2r 3