13. Cálculo directo de la distancia de un punto a una recta
y
Si consideramos el punto P = (p1, p2) exterior a la recta r de ecuación general Ax + By + C = 0, no es necesario calcular el punto de intersección entre r y una perpendicular que pase por P, pues podemos calcular directamente la distancia de P a la recta r a partir de la fórmula:
a
a
H
r
n = (A,B)
A = (a₁, a₂)
x
figura 10
Distancia de un punto a una recta.
|A · p1 + B · p2 + C|
Sea P un punto exterior a la recta, A = (a1, a2) un punto cual quiera de la recta r y n = (A,B) un vector perpendicular a r. La distancia de P a res la mínima entre ambos elementos: d (P, r ) = d (P, H ) = |PH |. Por ser PHA un triángulo rectángulo, se cumple: |PH | cos α = 1 |PH | = |PA| · cos α |PA|
IÉN
TIC
S
RA DO
ES BL
LCULA CA
O UP
O REC RTA
EN GR
Veamos la demostración de esta igualdad.
TIC
A2 + B 2
Y TAMB
d(P, r ) =
0
P = (p₁, p₂)
En la siguiente página web, encontrarás una gran variedad de actividades para practicar y ampliar los conocimientos de geometría métrica: http://links.edebe.com/v796
Aplicando la definición de producto escalar de vectores:
|(p1 − a1) ·A + (p2 − a2 ) ·B| A2 + B 2
=
|Ap x + Bp y − a1A − a2B| A2 + B 2
Como A = (a1, a2) ∈ r, entonces A a1 + B a2 + C = 0 1 C = - A a1 - B a2. d(P, r ) =
RA DO
ES BL
LCULA CA
S
O REC RTA
y también:
IÉN
Al ser a un ángulo agudo, se cumplirá que cos α > 0 y podremos definir el ángulo como: cos α =
|Ap1 + Bp2 + C|
| AP · n| | AP | · |n|
A2 + B 2
12. Dadas las siguientes rectas:
r: x - 2 = y + 2 4 3
s:
x=4+k y=k
—Determina la distancia del punto de corte entre r y s con la recta -4x - y = 4.
Actividades
11. En la siguiente página web encontrarás la demostración de la fórmula de la distancia de una recta a un punto: http://links.edebe.com/adj ¿Qué diferencias hay entre la demostración que has estudiado en la unidad y la que se muestra en esta página?
Prohibida su reproducción
=
O UP
TIC
PA · n |(p1 − a1, p2 − a2 ) · (A, B)| d(P, r ) = |PH | = |PA| · = = A2 + B 2 |PA| |n|
EN GR
Sustituimos en la primera fórmula la expresión de cos α obtenida en la segunda:
Y TAMB
PA · n PA · n = |PA| |n| cos α 1 cos α = |PA| |n|
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