1.4. Operaciones con vectores Producto de un número real por un vector y suma Observa cómo podemos efectuar operaciones con vectores gráficamente, utilizando el concepto de representante de un vector libre. Producto de un número real por un vector → Llamamos producto de un número real k por un vector u y lo → representamos por k ⋅ u al vector libre que tiene:
figura 2
2u
→
-Dirección: La misma dirección que el vector u .
u
→
-u
→
→
Llamamos suma de los vectores libres u y v , y la representamos por → u+ v→ , al vector libre que obtenemos con el siguiente procedimiento:
u
→
Elegimos dos representantes de u y v ,de modo que el extremo del primer vector coincida con el origen del segundo.
v
Ejemplo 3
→
Dibujemos dos vectores cual quiera u y v, y representemos los vectores → → u + v, y 3 · v→.
S
∀ k, k΄ ϵ ℝ, se cumple:
Propiedad asociativa: k . (k΄ . → u) = (k . k΄) . u→
Propiedad distributiva respecto de la suma de vectores: → +→v) = k . u→+ k . v→ k . (u
Dibujamos dos vectores u y v ,cual→quiera en el plano. Para sumarlos, situamos el vector v , de modo que su origen coincida → → → con el extremo del vector u. Al unir el origen de u y el extremo de v, obtenemos el vector suma. → → Para dibujar el vector 3 · v , alargamos el vector v , hasta que mida el triple.
Propiedad distributiva respecto de la suma de escalares:
Podemos comprobar que las representaciones son correctas en un programa de representaciones gráficas, como GeoGebra.
Propiedades de la suma de vectores
Comprobación:
→ (k + k΄) . u→ = k · → u + k΄ · u
Elemento neutro:
→. 1 .→ u=u 1 = u→
Conmutativa:
→
v
v
→
3.v
u+v u v
u 0
→
→
→
→
→
Asociativa:
→
→
(u + v) + w = u + (v + w)
v
u+v
→
u+v=v+u
Y u
x
RA DO
ES BL
Propiedades del producto de un número real por un vector
Resolución:
→ →
IÉN
LCULA CA
O UP
y también: →
v
u+v
Trazamos el vector cuyo origen es el origen del representante del primer vector y el extremo es el extremo del representante del segundo vector.
EN GR
•
→
u
→
Elemento neutro: 0
→
→
→
→
→
u+0=0+u=u
→ Elemento opuesto: -u →
→
→
→
Prohibida su reproducción
→
figura 3
O REC RTA
Suma de vectores
TIC
-Sentido: El mismo que u si k es positivo, y contrario a u si k es negativo.
•
1 u 2
Y TAMB
→
-Módulo: El módulo de u multiplicado por el valor absoluto de k.
u + (-u) = (-u) + u = 0
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