Expresiones Algebraicas • Una expresión algebraica es una expresión en la que se relacionan valores indeterminados con constantes y cifras, todas ellas ligadas por un número finito de operaciones de suma, resta, producto, cociente, potencia y raíz. • Ejemplos
a ) x 2 + 2 xy b) 2 x + y 2 x 3 x. y − 2 x c) 2 x +1
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Expresiones Algebraicas
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Expresiones Algebraicas comunes • • • • • • • •
El doble o duplo de un número: 2x El triple de un número: 3x El cuádruplo de un número: 4x La mitad de un número: x/2 Un tercio de un número: x/3 Un cuarto de un número: x/4 Un número es proporcional a 2, 3, 4...: 2x, 3x, 4x... Un número al cuadrado: x² 3
Expresiones Algebraicas comunes • • • • • • •
Un número al cubo: x³ Un número par: 2x Un número impar: 2x + 1 Dos números consecutivos: x y x + 1 Dos números consecutivos pares: 2x y 2x + 2 Dos números consecutivos impares: 2x + 1 y 2x + 3 Descomponer 24 en dos partes: x y 24 − x
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Expresiones Algebraicas comunes • • • •
La suma de dos números es 24: x y 24 − x La diferencia de dos números es 24: x y 24 + x El producto de dos números es 24: x y 24/x El cociente de dos números es 24: x y 24 · x
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Tipos de Expresiones Algebraicas Expresiones Algebraicas Racionales Enteras
Irracionales
Fraccionarias
Expresión Algebraica Racional • Es racional cuando las variables no están afectadas por la radicación • Ejemplo
x + x. y + 3 2 2 y +1 2
2
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Expresión Algebraica Irracional • Es irracional cuando las variables están afectadas por la radicación • Ejemplo
x +2x y
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Expr.Algebraica Racional Entera • Una expresión algebraicas es racional entera cuando la indeterminada está afectada sólo por operaciones de suma, resta, multiplicación y potencia natural. • Ejemplo
x +3x y + y 2
4
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Expresión Algebraica Racional Fraccionaria • Una expresión algebraicas racional es fraccionaria cuando la indeterminada aparece en algún denominador. • Ejemplo
1 2 + x y −3 x 10
Polinomios • Son las expresiones algebraicas más usadas. • Sean a0, a1, a2, …, an números reales y n un número natural, llamaremos polinomio en indeterminada x a toda expresión algebraica entera de la forma:
a0 + a1 x + a2 x2 + … + an xn
Ejemplos de polinomios 1 2 a) x 3 2 3 b) 3 x + x 3
2 c ) 1 + −3 x 3 d ) 2 + 3x + 5 x
A los polinomios en indeterminada x los simbolizaremos con letras mayĂşsculas indicando la indeterminada entre parĂŠntesis: P(x) ; Q(x) ; T(x). 12
Términos • Monomio : polinomio con un solo término. • Binomio : polinomio con dos términos. • Trinomio : polinomio con tres términos. • Cada monomio aixi se llama término. • El polinomio será de grado n si el término de mayor grado es anxn con an≠0. • A a0 se lo llama término independiente. • A an se lo llama término principal.
Ejemplos
El polinomio 0 + 0x + 0x2 + ‌ +0xn se llama polinomio nulo. Lo simbolizaremos por Op(x). No se le asigna grado.
Ejercicio • Indicar cuáles de las siguientes expresiones algebraicas son polinomios. En este último caso indicar su grado.
1 3 a) − x + 2 x + 1 3 b) ( x − 2)( x + 3) 3x + 1 c) 2 4
d) x + 2 + 5 2 1 e) x − + + 3 x x 2 x + 2x − 3 f) x +1 2
Polinomios iguales • Dos polinomios son iguales si y sólo si los coeficientes de los términos de igual grado lo son. • Ejercicio: Determinar a, b y c para que P(x)=Q(x)
a ) P ( x ) = 2 + 5 x 3 ; Q ( x ) = a + ( a + b) x 3 b) P ( x) = −5 + ( 2 + 1) x + 5 2 x 2 Q( x) = a + (b + 1) x + (c + 2b) x 2 19
Suma de Polinomios • Para sumar dos polinomios se agrupan los términos del mismo grado y se suman sus coeficientes. • Ejemplo: Sumar los siguientes polinomios P(x) = -2x4 + 5x3 – 3x + 1 Q(x) = 3x3 – 6x2 – 5x - 2
Propiedades de la Suma • • • •
Asociativa Conmutativa Existencia de elemento neutro Existencia de elemento opuesto
Resta de Polinomios • Para restar el polinomio Q(x) del polinomio P(x) se debe sumar a P(x) el opuesto de Q(x). P(x) – Q(x) = P(x) + [ - Q(x) ] • Ejemplo: Restar los siguientes polinomios P(x) = -2x4 + 5x3 – 3x + 1 Q(x) = 3x3 – 6x2 – 5x - 2
Multiplicación de Polinomios • Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada monomio de uno de ellos por cada uno de los términos del otro y luego se suman los términos de igual grado. • Ejemplo: Multiplicar los siguientes polinomios P(x) = -2x4 + 5x3 – 3x + 1 Q(x) = 3x3 – 6x2 – 5x – 2 P(x).Q(x) = P(x) 3x3 + P(x) (-6x2 ) + P(x) (-5x ) + P(x)(-2)
Propiedades del Producto • Asociativa • Conmutativa • Existencia de elemento neutro.
Algunos productos importantes • (x+a)2 =(x+a)(x+a)= x2 + 2ax + a2 • (x-a)2 =(x-a)(x-a)= x2 - 2ax + a2 • (x+a)3 = x3 + 3ax2 + 3a2x + a3 • (x-a)3 = x3 - 3ax2 + 3a2x - a3 • (x+a)(x-a)= x2 –ax +ax-a2 = x2-a2
Ejercicio • Escribir los desarrollos de
a) (2 + 3 x)
2
d ) (−2 + 3 x) 3
b) ( x − x ) 2
3 2
2 3 1 4 c) − x − x 3 3
e) ( − x + x )
4 3
2
1 3 2 2 f ) − x + x 3 2
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3
Ejercicio: Expresar los siguientes trinomios cuadrados perfectos como el cuadrado de un binomio y a los cuatrinomios cubos perfectos como el cubo de un binomio.
a) 4 x − 4 x + 1
d ) x − 6 x + 12 x − 8
b) x + 14 x + 49
e) 8 x + 12 x + 6 x + 1 3 5 1 6 3 4 f ) − 8x + 6 x − x + x 2 8
2
2
c) 25 x − 30 x + 9 2
3
3
2
2
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Ejercicio: La expresión x2 - a2 es una diferencia de cuadrados. Escribir las siguientes diferencias como producto de binomios.
a ) x − 100 1 2 b) x − 36 4 c) x − 4 2
d ) x − 64 8
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División de polinomios • Existe una estrecha analogía entre el cociente de polinomios y la división de números enteros. • Recordemos algunas definiciones de la división entre números enteros.
División entre números enteros • En el conjunto de números enteros, si D es el dividendo y d≠0 es el divisor, existen y son únicos dos enteros c (cociente) y (r (resto) tales que D=d.C+r
0 ≤ r < |d|
• Si r=0 se dice que D es divisible por d.
División entre números enteros • Ejemplo: Realizar las siguientes divisiones enteras: • 29 dividido 6 será: c= 4 y r=5 pues 29 = 6 . 4 + 5 y 0 ≤ 5 < 6 • 29 dividido -6 será: c= -4 y r=5 pues 29 = (-6) . (-4) + 5 y 0 ≤ 5 < |-6| ¿Podría haber sido c = -5 y r = -1?
División de polinomios • Dados los polinomios D(x) = 6x3 – 17x2+15x-8 d(x) = 3x – 4 determinar, si es posible, dos polinomios c(x) y r(x) tales que D(x) = d(x). C(x) + r(x) de modo que el grado de r(x) sea menor que el grado de d(x) o bien r(x)=Op(x)
Ejemplo 6x3 – 17x2 + 15x – 8 -6x3 + 8x2 0x3 -
9x2+ 15x 9x2- 12x 0x2+
3x – 4 2x - 3x + 1 2
3x - 8 -3x + 4 0x - 4
6x3-17x2+15x-8 = (3x-4)(2x2-3x+1)-4
Ejercicios a) D(x) = 4x5 + 2x3 – 24x2 + 18x d(x) = x2 – 3x c) D(x) = 16x8 + 24x6 + 9x4 d(x) = 4x5 + 4x4 + 3x3 + 3x2 e) D(x) = 2x4 – 6x3 + 7x2 – 3x +2 d(x) = x-2
División de Polinomios • Dados los polinomios D(x) y d(x); d(x)≠Op(x), diremos que d(x) divide a D(x) si y sólo si existe un polinomio c(x) tal que D(x) = d(x) . c(x)
Ejercicios Dados los polinomios P(x) y Q(x) indica si alguno de ellos es divisible por el otro a) P(x) = x4 -2x3 +x2 -5x + 1 Q(x) = x3 + x2 + x + 1 c) P(x) = x4 +2x3 +4x2 + 8x +16 Q(x) = x5 - 32 â&#x20AC;˘
División de un polinomio por otro de la forma (x-a) 3x3 – 2x2 – 5x – 9 - 3x3 + 6x2 4x2 – 5x - 4x2 + 8x 3x – 9 -3x + 6 -3
x–2 3x2 + 4x + 3 Regla de Ruffini 3 -2 -5 -9 6 8 6 2 3
4
3
3x3 – 2x2 – 5x – 9 = ( x – 2)(3x2 + 4x + 3) + (3)
-3
División de un polinomio por otro de la forma (x-a) • División de P(x) = 3x3 – 2x2 – 5x – 9 por (x-2) realizada por la Regla de Ruffini
2
3 3
-2 6 4
-5 8 3
-9 6 -3
1º operación : 3.2 -2 = 4 2º operación : (3.2 -2).2 - 5 = 3 3º operación : [3(2) 2 – 2 . 2 - 5].2 -9 =-3 Por lo tanto 3.(2)2 -2.(2)2 -5.2 -9 = -3
Raíces de un polinomio • Un número real a es raíz de un polinomio P(x) si y solo si P(a) = 0 • Ejercicio: Verifique que x=1 es raíz del polinomio P(x) = 3x2 + 2x – 5
Raíces de un Polinomio • Si un polinomio tiene coeficientes enteros y a es una raíz entera del polinomio entonces a divide al término independiente. • Ejercicio: Calcular las raíces de P(x) = 2x3 - 2x2 - 16x + 24
Ejercicio: Calcular las raíces de P(x) = 2x3 - 2x2 - 16x + 24 • Si P(x) tiene alguna raíz entera, ésta debe ser divisor de 24. • Probar que 1 y -1 no son raíces de P(x) Ver x=2 también es raíz de 2x2 + 2x -12 2x2 + 2x -12 = (x2)(2x+6)
2x3 – 2x2 – 16x + 24 = ( x – 2)(2x2 + 2x -12)
Ejercicio â&#x20AC;˘ Calcular las raĂces de P(x) = x4 - x3 - 6x2 + 4x + 8
P(x) = (x-2)2 (x+1) (x+2)