XXIII Olimpiada de la Cuenca del Pac´ıfico
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Por lo tanto, sabemos que alguno de los tres a´ ngulos ser´a menor que 20◦ y por lo tanto el menor a´ ngulo ser´a menor que 20◦ . 2. La envolvente es un cuadril´atero. Como los 4 a´ ngulos del cuadril´atero suman ◦ 360◦ , el menor de ellos, digamos ∠A1 A5 A4 , es menor o igual a 360 = 90◦ . 4 De la misma forma como dos de los puntos quedan dentro del a´ ngulo ∠A1 A5 A4 podemos dividir este a´ ngulo en 3 a´ ngulos, y por lo tanto, el menor de estos tres ◦ ser´a menor o igual a 903 = 30◦ . A2 A1
b
A3 A5
A4
3. La envolvente es un pent´agono. Entonces la suma de los 5 a´ ngulos del pent´agono es 3(180◦) = 540◦ , y por lo tanto el menor de los cuatro ser´a menor o igual a 360◦ = 108◦ . Sabemos que dentro de este a´ ngulo habr´an 2 puntos, por lo que 5 podremos dividir este a´ ngulo en 3 a´ ngulos cuya suma ser´a igual a dicho a´ ngulo, y por lo tanto menor o igual a 108◦. Entonces el menor de los a´ ngulos ser´a menor o igual a 36◦ . Para ver que efectivamente 36◦ es la respuesta, consideremos los v´ertices de un pent´agono regular como se muestra en la figura. En esta, el valor m´ınimo de los a´ ngulos es justo 36◦ . A1 36◦
A2
36◦
36◦
36◦
36◦
36◦
36◦ 36◦
36◦
36◦
36◦
36◦
A3
A5
36◦
36◦
36◦
A4
Problema 3. Sea ABC un tri´angulo acut´angulo con ∠BAC = 30◦ . La bisectriz interior y la bisectriz exterior del a´ ngulo ∠ABC intersectan a la recta AC en B1 y B2 , respectivamente. La bisectriz interior y la bisectriz exterior del a´ ngulo ∠ACB intersectan