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Contando de dos formas distintas
Ejercicios 1. Demuestra que para cada par de enteros m, n con 0 ≤ m ≤ n se tiene que, n X n k k=1
k
m
n n−m = 2 . m
2. Reescribe algunas de las demostraciones escritas con el m´etodo general usando la notaci´on de las parejas y viceversa. 3. Si n, r y k son enteros positivos tales que n ≥ r ≥ k, demuestra que, n r n n−k = . r k k r−k 4. Demuestra que si n y m son enteros positivos entonces, n X
k=1
mk =
mn+1 − 1 . m−1
5. Para cada entero positivo n demuestra que, n n n n n! = nn − (n−1)n + (n−2)n − . (n−3)n +· · ·+(−1)n−1 1 2 n−1 3
Bibliograf´ıa 1. T. Andreescu, B. Enescu. Mathematical Olympiad Treasures. Birkh¨auser, 2004. 2. L.I. Mart´ınez Sandoval. Estrategias b´asicas de conteo. Tzaloa No. 2, 2011, pp. 1-14. 3. M.L. P´erez Segu´ı. Combinatoria Avanzada. Cuadernos de Olimpiadas de Matem´aticas, Instituto de Matem´aticas, UNAM 2010.