Soluciones a los problemas de pr´actica
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Soluci´on del problema 18. Consideremos la ecuaci´on n3 = a2 − b2 . En lo que sigue demostraremos que para cualquier natural n, siempre es posible encontrar naturales a y b tales que la satisfacen. Para encontrar una soluci´on de la ecuaci´on n3 = (a + b)(a − b) podemos resolver el siguiente sistema de ecuaciones, a+b a−b
= n2 , = n.
Si sumamos ambas ecuaciones, obtenemos que 2a = n2 + n, de donde se sigue que a = n(n+1) , por lo que a es un n´umero natural. Rest´andolas, obtenemos 2b = n2 − n, 2 , que tambi´en es un n´umero natural. Con esto queda probado que por lo que b = n(n−1) 2 el cubo de cualquier natural se puede expresar como la diferencia de dos cuadrados y s´olo faltar´ıa probar que alguno de ellos es m´ultiplo de 9. Como n − 1, n y n + 1 son n´umeros consecutivos, alguno de ellos debe ser m´ultiplo de 3. Si n fuera el m´ultiplo de 3, entonces tanto a2 como b2 ser´ıan m´ultiplos de 9. Si sucede que n − 1 es el m´ultiplo de 3, entonces b2 ser´ıa m´ultiplo de 9. Por u´ ltimo, si n+1 fuera el m´ultiplo de 3, entonces a2 ser´ıa m´ultiplo de 9. En cualquier caso tenemos que alguno de los dos, a2 o´ b2 , tiene que ser m´ultiplo de 9. Soluci´on del problema 19. Consideremos la siguiente figura donde todos los segmentos tienen longitud 1 y supongamos que ninguno de los segmentos que la forman tiene extremos del mismo color. P1
P5
P2 P4
P6
P3
P7
Es evidente que los puntos P1 , P2 y P3 deben ser de colores disitintos. Observemos tambi´en, que P6 no puede tener el mismo color que P2 , ni el mismo que P3 , por lo que se concluye que P6 debe tener el mismo color que P1 . Siguiendo un razonamiento an´alogo con P1 , P4 , P5 y P7 , llegamos a la conclusi´on de que P1 y P7 tienen el mismo color. Lo anterior nos lleva a una contradicci´on, pues P6 y P7 tendr´ıan el mismo color (el de P1 ). Es as´ı, que en esta figura (y por lo tanto en el plano) debe existir al menos un segmento (de longitud 1) con extremos del mismo color. Soluci´on del problema 20. Observemos primero que todo entero n ≥ 3 satisface la desigualdad n1/n > (n + 1)1/(n+1) . En efecto, si elevamos ambos lados de esta desigualdad a la n(n + 1), obtenemos la desigualdad equivalente nn+1 > (n + 1)n la cual se sigue al desarrollar (n + 1)n (se deja de ejercicio al lector). Luego, tenemos que