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Soluciones a los problemas de pr´actica
Demostraremos que el m´aximo n´umero de subconjuntos de A que cumplen las condiciones del problema es 8. Supongamos, por contradicci´on, que podemos hallar 9 subconjuntos. Como cada uno tiene 3 elementos, tenemos 27 elementos entre los 9 subconjuntos. Como A tiene 8 elementos, por el principio de las casillas (ver en el ap´endice el teorema 1 y el art´ıculo de Tzaloa No. 2 de 2010), hay un elemento x que aparece en al menos 4 de los subconjuntos. En estos 4 subconjuntos tenemos 3(4) − 4 = 8 elementos distintos de x, y como hay 7 elementos distintos de x, por el principio de las casillas hay un elemento y que aparece en 2 subconjuntos que contienen a x. Esos dos subconjuntos contienen a x y y en su intersecci´on, lo que contradice que la intersecci´on de cualesquiera dos subconjuntos no tiene 2 elementos. Por lo tanto, la respuesta es 8. Soluci´on del problema 20. Reordenando, si es necesario, podemos suponer que a1 ≥ a2 ≥ · · · ≥ an . Debemos demostrar que a1 ≤ 4an . Aplicando la desigualdad de Cauchy-Schwarz (ver en el ap´endice el teorema 2), tenemos que (an + a2 + a3 + · · · + an−1 + a1 )
„
1 1 1 + + ··· + a1 a2 an
«
≥
„r
an +n−2+ a1
r
a1 an
«2
Luego, 2 1 n+ 2 1 n+ 2 5 2 17 4 0
≥ ≥ ≥ ≥ ≥
r
r 2 an a1 + (n − 2) + a1 an r r an a1 + n−2+ a1 an r r an a1 + a1 an a1 an + a1 an an . (a1 − 4an ) a1 − 4
Ya que a1 ≥ an , tenemos que a1 − a1 ≤ 4an , como quer´ıamos.
an 4
> 0, de modo que a1 − 4an ≤ 0, es decir,
.