Problemas de pr´actica
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Problema 14. Si se sabe que P (x) es un polinomio de grado 2008 tal que P (k) = para k ∈ {1, 2, . . . , 2009}, calcula el valor de P (2010).
1 k
Problema 15. Determina el n´umero de enteros a, con 1 ≤ a ≤ 100, tales que aa es un cuadrado perfecto. Problema 16. Sean ABC un tri´angulo y P un punto en su interior. Definimos D, E y F como los puntos medios de los segmentos AP , BP y CP respectivamente. Adem´as definimos R como la intersecci´on de AE y BD; S como la intersecci´on de BF y CE; y T como la intersecci´on de CD y AF . Demuestra que la medida del a´ rea del hex´agono DRESF T es independiente de la elecci´on de P . Problema 17. Sean a, b y c enteros tales que b 6= c. Si ax2 + bx + c y (c − b)x2 + (c − a)x + (a + b) tienen una ra´ız en com´un, demuestra que a + b + 2c es m´ultiplo de 3. Problema 18. La bisectriz del a´ ngulo ∠BAD de un paralelogramo (no rombo) ABCD intersecta a las rectas CD y BC en los puntos K y L, respectivamente. Demuestra que el centro O de la circunferencia que pasa por los puntos C, K y L est´a sobre la circunferencia que pasa por B, C y D. Problema 19. Sea A un conjunto con 8 elementos. Determina el m´aximo n´umero de subconjuntos de A, de 3 elementos cada uno, tales que la intersecci´on de cualesquiera dos subconjuntos no contenga 2 elementos. Problema 20. Para n ≥ 2, sean a1 , a2 , . . . , an n´umeros reales positivos tales que (a1 + a2 + · · · + an )
1 1 1 + + ···+ a1 a2 an
≤
2 1 . n+ 2
Demuestra que m´ax{a1 , a2 , . . . , an } ≤ 4 m´ın{a1 , a2 , . . . , an }.