´ c °2009 Jorge Juan Gil Nobajas y Angel Rubio D´ıaz-Cordov´es
Sistema
F
X 1 ms2 + bs + k
Figura 3.4: Diagrama del sistema masa-muelle-amortiguador A partir de este momento, una expresi´on cualquiera en funci´on de la variable compleja s de Laplace, H(s), puede corresponder tanto a la transformada de Laplace de una funci´on temporal h(t) como a la funci´on de transferencia de un determinado sistema. En general, por el contexto es posible deducir a qu´e se refiere en cada caso. Conviene resaltar que: - La funci´on de transferencia es una propiedad intr´ınseca del sistema. Conocida la funci´on de transferencia de un sistema, se puede conocer el comportamiento del mismo ante cualquier tipo de entrada. - La funci´on de transferencia responde a la ecuaci´on diferencial resultante que gobierna un sistema pero no ofrece informaci´on acerca de su configuraci´on interna. Dos sistemas f´ısicos diferentes pueden poseer id´enticas funciones de transferencia.
3.3.
Diagrama de bloques de un sistema
Los diagramas de bloques aparecen cuando el sistema se divide en varios subsistemas. En este caso, en lugar de hallar de funci´on de transferencia del sistema completo se deben encontrar las funciones de transferencia de cada uno de los subsistemas. En este diagrama, cada subsistema es un “bloque” del sistema completo. Adem´as de ´estos, en las uniones entre bloques pueden aparecer puntos de bifurcaci´on y de suma. Los puntos de bifurcaci´on, Fig. 3.5 a), se emplean para aquellas se˜ nales de Laplace que atacan varias funciones de transferencia. Los puntos de suma, Fig. 3.5 b), se representan con c´ırculos a los que llegan las se˜ nales de Laplace que se combinan para dar el resultado. En la l´ınea de llegada al punto de suma se debe especificar el signo que se debe tener en cuenta. F1 F
F
F = F1
F2
F
–
a)
F2 – F3
F3 b)
Figura 3.5: Punto de bifurcaci´on a) y punto de suma b) El diagrama de bloques de un sistema se puede construir a partir de las ecuaciones diferenciales que lo gobiernan. El procedimiento es siempre igual, primero se toman las transformadas de Laplace de estas ecuaciones, con la suposici´on de condiciones iniciales nulas. Posteriormente cada ecuaci´on en el dominio de Laplace se representa en forma de bloque. Finalmente se unen los elementos para formar un u ´nico diagrama para todo el sistema. Este procedimiento se ha seguido en los ejemplos del final del cap´ıtulo.
3.3.1.
Reglas para la simplificaci´ on de diagramas de bloques
Es posible simplificar un diagrama de bloques muy complejo utilizando las reglas del ´algebra de diagramas de bloques, que algunos autores proponen en tablas, hasta llegar a la funci´on de transferencia equivalente de todo el sistema. Con esto se puede evitar el an´alisis matem´atico de simplificaci´on de ecuaciones. Sin embargo al simplificar el diagrama de bloques, los nuevos bloques se vuelven m´as complejos, debido a la aparici´on de nuevos polos y ceros. G
H
=
GH
Figura 3.6: Multiplicaci´on de bloques La caracter´ıstica fundamental que se debe cumplir es que la funci´on de transferencia del diagrama sustituido debe ser igual al original. En las Figuras 3.6-3.9 se muestran algunas simplificaciones u ´tiles. 31