Tocias las expresiones como , etc., son consecuentemente números imposibles o imaginarios, dado que representan raíces cuadradas de cantidades negativas, y de tales números no podemos decir que sean nada, más que nada, o menos que nada, lo que necesariamente los convierte en imaginarios o imposibles. 30 En el siglo xix, o l i o gigante matemático, K a r l Friedrich Gauss, declaró con firmeza que «puede ser asignada a estos seres i m a ginarios una existencia objetiva», 3 1 G a u s s se daba cuenta, por supuesto, de que no babía lugar p a r a los números imaginarios en la línea n u m é r i c a , así que dio el audaz paso de colocarlos en un eje perpendicular a ésta sobre su punto cero, creando así un sistema de coordenadas cartesianas. En diebo sistema, todos los números reales se sitúan sobre el «eje real», mientras que los números imaginarios lo hacen sobre el «eje imaginario» (figura 6-17). La raíz cuadrada de -1 recibe el nombre de « u n i d a d imaginaria» y se representa por el símbolo i. Puesto que la raíz cuadrada de un número negativo siempre podrá ser escrita co-
mo todos los números imaginarios pueden ser colocados sobre el eje imaginario como múltiplos de i. Con este ingenioso sistema, Gauss creó un espacio no sólo para los números imaginarios, sino también para todas las combinaciones posibles entre números reales e imaginarios, tales como (2 + i), (3 - 2 /), etc. Dichas combinaciones reciben el nombre de «números complejos» y están representadas por puntos del plano ocupado por los ejes real e imaginario, cuyo plano se denomina «plano complejo». En general, todo número complejo puede ser escrito como: z = x + iy donde x se denomina a la «parte real» e y a la «parte imaginaria». Con la ayuda de esta definición, Gauss creó un álgebra especial para los números complejos y desarrolló muchas ideas fundamentales sobre funciones de variables complejas. Ello conduciría a una nueva rama de las matemáticas conocida como «análisis complejo», con un enorme espacio de aplicación en todos los campos de la ciencia.
PATRONES DENTRO DE PATRONES
La razón de haber efectuado esta incursión en la historia de los números complejos es que muchas imágenes fractales pueden generarse matemáticamente por procesos iterativos en el plano complejo. A finales de los años setenta, y tras publicar su libro pionero, Mandelbrot centró su atención en un determinado tipo de fractales matemáticos conocido como las series de Julia, 32 que habían sido descubiertos por el matemático francés Gastón Julia en la primera mitad de siglo, para caer después en el olvido. De hecho, Mandelbrot había conocido el trabajo de Julia en su época de estudiante, había observado sus dibujos rudimentarios (hechos a la sazón sin la ayuda de ordenadores) y había perdido pronto su interés por el tema. Ahora, no obstante, se daba cuenta de que los dibujos de Julia eran representaciones rudimentarias de complejas imágenes fractales y se dedicó a reproducirlas en todo detalle con la ayuda de los ordenadores más potentes que pudo encontrar. Los resultados fueron pasmosos. La base de las series de Julia es la sencilla cartografía
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