Часть I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИЗМЕРЕНИЙ ___________________________________________________________________________ На рис. 32 показаны некоторые варианты построения линейной градуировочной характеристики по экспериментальным данным, нанесённым кружочками. Вопрос о том, какой из вариантов лучше, должен решаться на основе какого-то критерия. Если значения входных воздействий Q1, Q2, ... , Qn известны точно, а отклики на них X1, X2, ... Xn подчиняются нормальному закону распределения вероятности, то обычно используется криРис. 32. терий наименьших квадраПостроение линейной градуировочной характеритов. Минимизируется сумстики по экспериментальным данным ма квадратов отклонений откликов по оси ординат от градуировочной характеристики: n
n
X i f Qi X i a0 a1 Qi a2 Qi2 am Qim min . i 1
2
2
(13)
i 1
Коэффициенты а0, а1, а2, ... , аm , определяющие оптимальную по критерию наименьших квадратов градуировочную характеристику, находятся из условия равенства нулю производных от этой суммы по каждому коэффициенту. Пример 35
При градуировке измерительного прибора с линейной градуировочной характеристикой получены следующие числовые значения экспериментальных данных:
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Qi 41 50 81 104 120 139 154 180 208 241 250 269 301 Xi 4 8 10 14 15 20 19 23 26 30 31 36 37 Найти методом наименьших квадратов аналитическое выражение для градуировочной характеристики и построить её графически. Решение. 1. Линейная градуировочная характеристика описывается выражением:
X a0 a1Q , где коэффициенты а0 и а1 методом наименьших квадратов находятся из условия: 13
X i 1
a0 a1 Qi min . 2
i
69