Розділ 1.1.
ОСНОВИ МАТЕМАТИЧНОГО АНАЛІЗУ
23
похідні другого порядку неперервні в цій точці, то значення цих похідних не залежать від порядку диференціювання: 2 f 2 f . xi xk xk xi Приклад. Нехай u = x2 + y2 + 3xy. Знайдемо частинні похідні u u 2x 3y і 2 y 3x . x y Змішані частинні похідні будуть такими: u u 3. 3 и y x x y Ми на прикладі переконалися в рівності змішаних частинних похідних другого порядку. Повний диференціал. Розглянемо u = f (x, y, z) – функцію трьох незалежних змінних, яка є визначеною і диференційовною в деякій області. Головна, лінійна відносно Δx, Δy, Δz, частина приросту функції називається повним диференціалом du функції трьох змінних х, y, z: du
u u u dx dy dz f x dx f y dy f z dz . x y z
(1.9)
Добуток частинної похідної функції та диференціала відповідної незалежної змінної називають частинним диференціалом функції n незалежних змінних. Таким чином, повний диференціал функції дорівнює сумі її частинних диференціалів. При вивченні поведінки функції в деякій точці простору особливий інтерес у фізиці викликає питання про напрямок максимального зростання функції в даній точці. Вектор, модуль якого дорівнює найбільшій швидкості зростання функції u = f (x, y, z) в даній точці Р, а напрямок співпадає з напрямком максимального зростання, називається градієнтом функції. Градієнт має