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2 1

-2

AUTOMATICA BASICA.

Departamento de Ingeniería de Sistemas y Automática

12º

-3

Curso Ingeniería Industrial

Prof. Dr. Alfonso García Cerezo. Málaga, Octubre de 2005. 2

Prof. Dr. Alfonso J. García Cerezo. gcerezo@ctima.uma.es

Departamento de Ingeniería de Sistemas y Automática

Tema 3.- Herramientas matemáticas. Transformada de Laplace. 3.1.- Introducción. 3.2.- Conceptos básicos de funciones de variable compleja. 3.3.- Definición de transformada de Laplace. 3.4.- Existencia de la transformada de Laplace. 3.5.- Transformada de Laplace de funciones elementales. 3.6.- Teoremas fundamentales de la transformada de Laplace. 3.7.- Transformada inversa de Laplace. 3.8.- Aplicación de la transformada de Laplace a la resolución de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes.

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Tema 3.- Herramientas matemáticas. Transformada de Laplace. 3.1.- Introducción. 3.2.- Conceptos básicos de funciones de variable compleja. 3.3.- Definición de transformada de Laplace . 3.4.- Existencia de la transformada de Laplace. 3.5.- Transformada de Laplace de funciones elementales. 3.6.- Teoremas fundamentales de la transformada de Laplace. 3.7.- Transformada inversa de Laplace. 3.8.- Aplicación de la transformada de Laplace a la resolución de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes.

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3.1.- Introducción.

La transformada de Laplace:

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Es una herramienta matemática que permite transformar muchas funciones usuales (como funciones de tipo senoidal, exponenciales, etc) y ecuaciones diferenciales lineales en ecuaciones algebraicas en el dominio de la variable compleja s.

jω s

Variable compleja: jω1

s = σ + jω σ parte real ω parte imaginaria

σ1

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3.2.- Conceptos básicos de funciones de variable compleja.

Función compleja: F(s) = Fx + jFy

Fx y Fy son cantidades reales

Fx parte real Fy parte imaginaria

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La magnitud de F(s) es El ángulo θ de F(s) es

s F(s)

j Fy |F(s)|

θ Fx Prof. Dr. Alfonso J. García Cerezo. gcerezo@ctima.uma.es

3.2.- Conceptos básicos de funciones de variable compleja.

Función compleja analítica: se dice que F(s) es analítica en una región si la función y todas sus derivadas existen en dicha región.

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Nota: ver condiciones de Cauchy-Riemann (Cap. 2 Ogata) Representación de una función compleja mediante la exponencial compleja Teorema de Euler:

F(s) = |F(s)| e

jθ

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3.3.- Definición de transformada de Laplace.

Transformada de Laplace: Sea y

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Se define la transformada de Laplace como:

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3.4.- Existencia de la transformada de Laplace.

Existencia de la Transformada de Laplace:

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La transformada de Laplace existe si la integral que la define converge

f(t) ha de ser para ello continua en cada intervalo finito para t > 0 y además función de orden exponencial, esto es que la función

tiende a cero a medida que t tiende a infinito.

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3.5.- Transformada de Laplace de funciones elementales.

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Transformada de Laplace de la función exponencial:

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3.5.- Transformada de Laplace de funciones elementales.

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Transformada de Laplace de la función escalon:

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3.5.- Transformada de Laplace de funciones elementales.

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Transformada de Laplace de la función rampa:

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3.5.- Transformada de Laplace de funciones elementales.

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Transformada de Laplace de la función senoidal:

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3.5.- Transformada de Laplace de funciones elementales.

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Transformada de Laplace de funciones cosenoidal:

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3.5.- Transformada de Laplace de funciones elementales.

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Transformada de Laplace de funciones elementales:

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3.5.- Transformada de Laplace de funciones elementales.

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Transformada de Laplace de funciones elementales:

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3.5.- Transformada de Laplace de funciones elementales.

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Transformada de Laplace de funciones elementales:

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3.6.- Teoremas fundamentales de la transformada de Laplace.

Propiedades y Teoremas básicos:

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Transformada de una función multiplicada por un escalar:

Transformada de una suma de funciones:

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3.6.- Teoremas fundamentales de la transformada de Laplace.

Transformada de una función desplazada en el tiempo:

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(Si

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3.5.- Transformada de Laplace de funciones elementales.

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Transformada de Laplace de la función pulso:

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3.5.- Transformada de Laplace de funciones elementales.

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Transformada de Laplace de la función impulso:

Nota: Si el impulso es unitario la función impulso se denomina δ de Dirac

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3.6.- Teoremas fundamentales de la transformada de Laplace.

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Transformada de una función multiplicada por una exponencial:

Cambio de la Escala de Tiempos:

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3.6.- Teoremas fundamentales de la transformada de Laplace.

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Teorema de la diferenciación real:

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3.6.- Teoremas fundamentales de la transformada de Laplace.

Teorema de la diferenciación real (…Cont):

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siendo

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3.6.- Teoremas fundamentales de la transformada de Laplace.

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Teorema del valor final:

Teorema del valor inicial:

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3.6.- Teoremas fundamentales de la transformada de Laplace.

Teorema de la integración real:

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Si f(t) es de orden exponencial, entonces:

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3.6.- Teoremas fundamentales de la transformada de Laplace.

Teorema de la diferenciación compleja:

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Si F(s) existe, entonces, excepto en los polos de F(S),

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3.6.- Teoremas fundamentales de la transformada de Laplace.

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Integral de Convolución:

Nota: la integral de convolución es conmutativa:

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3.6.- Teoremas fundamentales de la transformada de Laplace.

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Transformada del producto de dos funciones del tiempo:

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3.6.- Teoremas fundamentales de la transformada de Laplace.

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Tablas de Propiedades:

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3.6.- Teoremas fundamentales de la transformada de Laplace.

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Tablas de Propiedades:

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3.6.- Teoremas fundamentales de la transformada de Laplace.

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Tablas de Propiedades:

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3.7.- Transformada inversa de Laplace.

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Transformada Inversa de Laplace:

en donde c, la abscisa de convergencia, es una constante real y se eligió más grande que las partes reales para todos los puntos singulares de F(S).

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3.7.- Transformada inversa de Laplace.

Transformada Inversa de Laplace:

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Un método conveniente de obtener las transformadas de Laplace es usar una tabla de transformadas de Laplace. En este caso, la transformada de Laplace debe tener una forma que se reconozca de inmediato en tal tabla.

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3.7.- Transformada inversa de Laplace.

Transformada Inversa de Laplace:

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Método de expansión en fracciones parciales para encontrar las transformadas inversas de Laplace. Para problemas de análisis de sistemas de control, F(s), la transformada de Laplace de f(t) ocurre con frecuencia en la forma:

en donde A(s) y B(s) son polinomios en s.

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3.7.- Transformada inversa de Laplace.

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Si F(s) se separa en componentes,

y si se pueden obtener con facilidad transformadas inversas de Laplace de F1(s), F2(s), . . . , Fn(s), entonces

en donde f1(t), …, fn(t) son las transformadas inversas de Laplace de F1(s), F2(s), . . . , Fn(s), respectivamente.

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3.7.- Transformada inversa de Laplace. Expansión en fracciones parciales cuando F(s) sólo involucra polos distintos.

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Considere F(s) escrita en la forma factorizada

en donde p1, p2, . . . ,pn y z1, z2, . . . , zm, son cantidades reales o complejas. Si F(S) sólo involucra polos distintos, puede expandirse en una suma de fracciones parciales simples del modo siguiente:

Con ak (k = 1,2,. . . , n) constante. Prof. Dr. Alfonso J. García Cerezo. gcerezo@ctima.uma.es

3.7.- Transformada inversa de Laplace. Expansión en fracciones parciales cuando F(s) sólo involucra polos distintos. El coeficiente ak se denomina residuo del polo en s = -pk.

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El valor de Uk se encuentra multiplicando ambos miembros de la ecuación

por (s + pk) y suponiendo que s = -pk,

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3.7.- Transformada inversa de Laplace.

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Finalmente:

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3.7.- Transformada inversa de Laplace.

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Expansión en fracciones parciales cuando F(s) involucra polos múltiples.

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3.7.- Transformada inversa de Laplace.

Expansión en fracciones parciales cuando F(s) involucra polos múltiples.

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Si ahora derivamos:

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3.7.- Transformada inversa de Laplace.

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Expansión en fracciones parciales cuando F(s) involucra polos múltiples.

Calculando la segunda derivada:

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3.7.- Transformada inversa de Laplace.

Expansión en fracciones parciales cuando F(s) involucra polos múltiples.

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En resumen:

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3.7.- Transformada inversa de Laplace.

Expansión en fracciones parciales cuando F(s) involucra polos múltiples.

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Finalmente se obtiene la tranformada inversa de Laplace:

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3.7.- Transformada inversa de Laplace.

Expansión en fracciones parciales cuando F(s) involucra polos múltiples y simples. Sea

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en donde el grado de B(s) es menor que el de A(s). La expansión en fracciones parciales da como resultado:

en donde b1, b2,. . . , br se obtienen mediante: .. . .. .

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3.7.- Transformada inversa de Laplace.

Expansión en fracciones parciales cuando F(s) involucra polos múltiples y simples.

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Las constantes ar+1, ar+2,. . . , ar+n se obtienen mediante:

Finalmente se obtiene la transformada inversa de Laplace de F(s):

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3.8.- …resolución de ec. dif. lineales con coeficientes constantes. Método de Resolución:

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1. Se toma la transformada de Laplace de cada término de la ecuación diferencial, se convierte la ecuación diferencial en una ecuación algebraica en s y se obtiene la expresión para la transformada de Laplace de la variable dependiente reordenando la ecuación algebraica. 2. La solución en el tiempo de la ecuación diferencial se obtiene encontrando la transformada inversa de Laplace de la variable dependiente.

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3.8.- …resolución de ec. dif. lineales con coeficientes constantes. Ejemplo 1: Sea la siguiente ecuación diferencial: Se define Entonces por el teorema de la derivada

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Sustituyendo: Despejando:

Calculamos ahora la transformada inversa de Laplace:

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MATLAB (Funciones básicas)

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Arithmetic operators. plus uplus minus uminus mtimes times mpower power mldivide mrdivide ldivide rdivide

- Plus - Unary plus - Minus - Unary minus - Matrix multiply - Array multiply - Matrix power - Array power - Backslash or left matrix divide - Slash or right matrix divide - Left array divide - Right array divide

+ + * .* ^ .^ \ / .\ ./

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MATLAB (Funciones básicas) Relational operators.

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eq ne lt gt le ge

- Equal - Not equal - Less than - Greater than - Less than or equal - Greater than or equal

== ~= < > <= >=

Logical operators.

and or not xor any all

Short-circuit logical AND && Short-circuit logical OR || - Element-wise logical AND & - Element-wise logical OR | - Logical NOT ~ - Logical EXCLUSIVE OR - True if any element of vector is nonzero - True if all elements of vector are nonzero Prof. Dr. Alfonso J. García Cerezo. gcerezo@ctima.uma.es

MATLAB (Funciones básicas) >> A=[1 0 2] A= 1 0 2

>> B=[A,A] B= 1 1 0 0 2 2

>> A' ans = 1 0

>> B=[A',A'] B= 1 0 2

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>> A=[1;0;2] A= 1 0 2

>> A A= 1 0 2

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MATLAB (Funciones básicas)

>> c=A*A' c= 1 0 2 0 0 0 2 0 4

>> d d= 1 1 3

>> d = [1,0,0;1,1,0;3,7,9] d= 1 0 0 1 1 0 3 7 9

>> inv(d) ans = 1.0000 0 -1.0000 1.0000 0.4444 -0.7778

>> cd=c*d cd = 7 14 18 0 0 0 14 28 36

>> d*inv(d) ans = 1.0000 0 0 0 1.0000 0 0 0 1.0000

0 1 7

0 0 9

0 0 0.1111

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MATLAB (Funciones básicas)

ROOTS Find polynomial roots.

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ROOTS(C) computes the roots of the polynomial whose coefficients are the elements of the vector C. If C has N+1 components, the polynomial is C(1)*X^N + ... + C(N)*X + C(N+1). Class support for input c: float: double, single See also poly, residue, fzero. Reference page in Help browser doc roots

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RESIDUE Partial-fraction expansion (residues).

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[R,P,K] = RESIDUE(B,A) finds the residues, poles and direct term of a partial fraction expansion of the ratio of two polynomials B(s)/A(s). If there are no multiple roots, B(s) R(1) R(2) R(n) ---- = ---------- + ---------- + ... + ---------- + K(s) A(s) s - P(1) s - P(2) s - P(n) Vectors B and A specify the coefficients of the numerator and denominator polynomials in descending powers of s. The residues are returned in the column vector R, the pole locations in column vector P, and the direct terms in row vector K. The number of poles is n = length(A)-1 = length(R) = length(P). The direct term coefficient vector is empty if length(B) < length(A), otherwise length(K) = length(B)-length(A)+1. Prof. Dr. Alfonso J. García Cerezo. gcerezo@ctima.uma.es

If P(j) = ... = P(j+m-1) is a pole of multplicity m, then the expansion includes terms of the form R(j) R(j+1) R(j+m-1) ---------- + --------------- + ... + --------------s - P(j) (s - P(j))^2 (s - P(j))^m

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[B,A] = RESIDUE(R,P,K), with 3 input arguments and 2 output arguments, converts the partial fraction expansion back to the polynomials with coefficients in B and A. Warning: Numerically, the partial fraction expansion of a ratio of polynomials represents an ill-posed problem. If the denominator polynomial, A(s), is near a polynomial with multiple roots, then small changes in the data, including roundoff errors, can make arbitrarily large changes in the resulting poles and residues. Problem formulations making use of state-space or zero-pole representations are preferable. Prof. Dr. Alfonso J. García Cerezo. gcerezo@ctima.uma.es

Expansión en fracciones parciales con MATLAB Sea una función:

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En donde algunos de los coeficientes podrían ser cero.

La orden nos devuelve residuos, polos y resto de B(s)/A(s)

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Expansión en fracciones parciales con MATLAB

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Ejemplo 2: Sea una función:

>> num=[2 5 3 6]; >> den=[1 6 11 6]; >> [r,p,k]=residue(num,den) r= -6.0000 -4.0000 3.0000 p= -3.0000 -2.0000 -1.0000 k= 2

A partir de los vectores r, p y k se obtiene la siguiente descomposición en fracciones simples de la función compleja:

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3.7.- Transformada inversa de Laplace.

Expansión en fracciones parciales con MATLAB Ejemplo 3: Expandir la función:

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Utilizando los vectores r, p y k se obtiene:

>> num=[1,2,3]; >> den1=[1,1]; >> den=conv(den1,conv(den1,den1)) den = 1 3 3 1 >> [r,p,k]=residue(num,den) r= 1.0000 0.0000 2.0000 p= -1.0000 -1.0000 -1.0000 k= []

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PROBLEMAS:

Problema 1: Resolver la ecuación diferencial:

Aplicando el teorema de la derivada

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Despejando X(s):

>> num=3; >> den1=[1,2,5]; >> roots(den1) ans = -1.0000 + 2.0000i -1.0000 - 2.0000i >> den2=[1 0]; >> roots(den2) ans = 0 >> den=conv(den1,den2) den = 1 2 5 0

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PROBLEMAS:

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….Problema 1. >> [r,p,k]=residue(num,den) r= -0.3000 + 0.1500i -0.3000 - 0.1500i 0.6000 p= -1.0000 + 2.0000i -1.0000 - 2.0000i 0 k= []

>> r1=r(1:2,1) r1 = -0.3000 + 0.1500i -0.3000 - 0.1500i >> p1=p(1:2,1) p1 = -1.0000 + 2.0000i -1.0000 - 2.0000i >> [n1,d1]=residue(r1,p1,k) n1 = -0.6000 -1.2000 d1 = 1.0000 2.0000 5.0000

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PROBLEMAS: ….Problema 1.

Entonces:

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(*)

Nota (*): la razón de descomponer X(s) así es que disponemos de las siguientes primitivas tabuladas:

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PROBLEMAS: ….Problema 1. Entonces:

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Calculando la transformada inversa de los términos simples:

x(t)=

e-tsen(2t) -

e-tcos(2t)

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