٣٨٦
ﻓﺼﻞ ﭘﻨﺠﻢ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮر ﻳﻪ ﮔﺴﺴﺘﻪ در زﻣﺎن (5,1ﺑﻪ ﻛﻤﻚ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺗﺠﺰﻳﻪ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ) (9-5ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ﺳﻴﮕﻨﺎﻟﻬﺎي زﻳﺮ را ﺑﻴﺎﺑﻴﺪ: n −1
)اﻟﻒ( ]u[n − 1
1 2
n −1
1 )ب( 2 اﻧﺪازه ﻫﺮ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ را در ﻳﻚ دوره ﺗﻨﺎوب رﺳﻢ ﻛﻨﻴﺪ.
ﺣﻞ:
)اﻟﻒ( ﻓﺮض ﻛﻨﻴﻢ ]u[n − 1
)( 2
n −1
) (
x[n] = 1ﺑـﺎ اﺳـﺘﻔﺎده از ﻣﻌﺎدﻟـﻪ آﻧـﺎﻟﻴﺰ ﺗﺒـﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳـﻪ )،(5,9
ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ x e jωاﻳﻦ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ: − jωn
∞
( ) ∑ x[n]e
= x e jω
∞n = − )− jω ( n +1
( 2) e n
∞
e − jωn = ∑ 1
)ب( ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ
n −1
n =c
)
)( 2
∞
=∑ 1
1 1 − 1 e − jω 2
(
n =1
= e − jω
)( 2
n −1
) (
x[n] = 1ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﻣﻌﺎدﻟﻪ آﻧﺎﻟﻴﺰ ﺗﺒـﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳـﻪ ) ،95,9ﺗﺒـﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳـﻪ
x e jωاﻳﻦ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻋﺒﺎرﺗﺴﺖ از: − jωn
∞
( ) ∑ x[n]e
= x e jω
∞n = −
e − jωn
)( 2
n −1
∞
e − j ωn + ∑ 1
( ) ∑ (1 2
)− n −1
n =1
=
∞n = −
ﻣﺠﻤﻮع دوم در ﻃﺮف راﺳﺖ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﻓﻮق دﻗﻴﻘﺎً ﻣﺸﺎﺑﻪ ﻧﺘﻴﺠﻪ ﻗﺴﻤﺖ )اﻟﻒ( ﻣﻲ ﺑﺎﺷﺪ ،ﺣﺎل: jω
( 2 )1 − 11 e
e j ωn = 1
2
)( 2
n +1
∞
e − jωn = ∑ 1 = n
( ) ∑ (1 2
)− n −1
∞−
٣٨٧
ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ:
)( ) ( 2
1 1 + e − jω j ω 1− 1 e 1 − 1 e − jω 2 2 − jω .75e = 1.25 − cos ω .......................................................................................................................................................... x e jω = 1
) (
(5,2ﺑﻪ ﻛﻤﻚ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺗﺠﺰﻳﻪ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ را در ﻳﻚ دوره ﺗﻨﺎوب رﺳﻢ ﻛﻨﻴﺪ.
)ب( ]δ [n + 2] − δ [n − 2
)اﻟﻒ( ]δ [n − 1] + δ [n + 1
اﻧﺪازه ﻫﺮ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ را در ﻳﻚ دوره ﺗﻨﺎوب رﺳﻢ ﻛﻨﻴﺪ. ﺣﻞ: )اﻟﻒ( ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ ] . x[n] = δ [n − 1] + δ [n + 1ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﻣﻌﺎدﻟﻪ آﻧﺎﻟﻴﺰ ﺗﺒـﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳـﻪ ).(5,9
) (
ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ e jωﺑﺮاي اﻳﻦ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻋﺒﺎرﺗﺴﺖ از: ∞+
− jn
( ) ∑ x[n]e
= x e jω
∞n = −
= e − jω + e jω = 2 cos ω )ب( ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ ] . x[n] = δ [n + 2] − δ [n − 2ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﻣﻌﺎدﻟﻪ آﻧـﺎﻟﻴﺰ ﺗﺒـﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳـﻪ )،(5,9
) (
ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ x e jωاﻳﻦ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ: − jωn
∞n = +
( ) ∑ x[n]e
= x c jω
∞n = −
) = e 2 jω − e −2 jω = 2 j sin (2ω .......................................................................................................................................................... (5,3ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ﻫﺮ ﻳﻚ از ﺳﻴﮕﻨﺎﻟﻬﺎي ﻣﺘﻨﺎوب زﻳﺮ را در − π ≤ ω < πﺑﻪ دﺳﺖ آورﻳﺪ:
π π )اﻟﻒ( sin n + 4 3 π π )ب( 2 + cos n + 8 6 ﺣﻞ:
٣٨٨
از ﺑﺨﺶ 5,2ﺗﻮﺟﻪ ﻛﻨﻴﺪ ﻛﻪ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻣﺘﻨﺎوب ] x[nﺑﺎ ﻧﻤﺎﻳﺶ ﺳﺮي ﻓﻮرﻳﻪ زﻳﺮ
)
Nn
(
jk 2π
∑a e
= ]x[n
k
K= N
ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ زﻳﺮ را دارد: 2πk x e jω = 2πa k δ ω − N
) (
π π )اﻟﻒ( ﺳﻴﮕﻨﺎل x1 [n ] = sin n + را در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ .ﻣـﻲداﻧـﻴﻢ ﻛـﻪ ﭘﺮﻳـﻮد ﭘﺎﻳـﻪ ﺳـﻴﮕﻨﺎل 4 3 ] x1 [nﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ . N = 6 ﺳﻴﮕﻨﺎل را ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ ﻧﻴﺰ ﻣﻲ ﺗﻮان ﻧﻮﺷﺖ: 3
− jπ
4e
− jπ
2π n 6 − 1
) (
e
2j
j
4e
jπ
) (
e
1
2j
=
− j π 3n +π 4
) (
e
2j
− 1
j π 3n +π 4
) (
e
1
2j
][
= x1 n
ﺑﺎاﺳﺘﻔﺎده از اﻳﻦ ،ﺿﺮاﻳﺐ ﻏﻴﺮ ﺻﻔﺮ ﺳﺮي ﻓﻮرﻳﻪ akﺑﺮاي ] x1 [nدر ﺑﺎزه − 2 ≤ k ≤ 3ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ ﺑﺪﺳﺖ ﻣﻲ آورﻳﻢ: jπ − jπ a1 = 1 e 4 , a −1 = − 1 e 4 2 j 2 j ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ در اﻳﻦ ﺑﺎزه ، − π ≤ ω ≤ πﺑﺪﺳﺖ ﻣﻲآورﻳﻢ:
2π + 2πa−1δ ω + 6
)
)
(
2π x e jω = 2πa1δ ω − 6
) (
(
e jπ 4 δ ω − 2π + e −π 4δ ω + 2π j 6 6
π
π
= π
x2 [n ] = 2 + cosرا در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ .ﺗﻮﺟﻪ ﻛﻨﻴﺪ ﻛﻪ ﭘﺮﻳـﻮد ﭘﺎﻳـﻪ ﺳـﻴﮕﻨﺎل
)ب( ﺳﻴﮕﻨﺎل 6 8 ] x1 [nﺑﺮاﺑﺮ N = 12ﻣﻲ ﺑﺎﺷﺪ .ﺳﻴﮕﻨﺎل ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ ﻗﺎﺑﻞ ﺑﻴﺎن ﻣﻲ ﺑﺎﺷﺪ. n+
) π
(− j +1 e 2
π n +π 6 8
−j n
− jπ
) (
)
(j x1 [n] = 2 + 1 e 2
π n +π 6 8
jπ n 6
+ jπ
) ( = 2 + (1 )e 2
+ 1 e 8e 6 2 از اﻳﻦ ،ﺿﺮاﻳﺐ ﻏﻴﺮ ﺻﻔﺮ ﺳﺮي ﻓﻮرﻳﻪ akدر ﺑﺎزه − 5 ≤ k ≤ 6ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ ﺑﺪﺳﺖ ﻣﻲ آورﻳﻢ: e
8
٣٨٩
( )
( )
jπ
− jπ
a1 = 1 e 8 وa −1 = 1 e 8 2 2 : ﺑﺪﺳﺖ ﻣﻲ آورﻳﻢ− π ≤ ω ≤ π ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ در ﺑﺎزه
و
a = 2
2π 2π x e jω = 2π a δ (ω ) + 2π a1δ ω − + 12πa−1δ ω + 12 12
( )
− jπ iπ = 4πδ (ω ) + π e 8 δ ω − π + e 8 δ ω + π 6 6 ..........................................................................................................................................................
(
)
(
)
:( ﻋﻜﺲ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ﻫﺎي زﻳﺮ را ﺑﻴﺎﺑﻴﺪ8-5) ( ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺗﺮﻛﻴﺐ ﻓﻮرﻳﻪ5,4
( jω ) = ∑ k ∞ = −∞ 2πδ (ω − 2πk ) + πδ ω − π2 − 2πk + πδ ω + π2 − 2πk ()اﻟﻒ
X1 e
X 2 (e jω )
<ω ≤π 2 j , = ()ب − 2 j , − π < ω ≤ :ﺣﻞ
:(5,8) )اﻟﻒ( ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﻣﻌﺎدﻟﻪ آﻧﺎﻟﻴﺰ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ
(
x1 [ n ] = 1 =1
π
x ( e )e 2π ) ∫ −π
jω
jω n
1
sω
π
π
2πδ ( ω ) ) + πδ (ω − π ) + πδ ω + e 2π ∫ π ( 2 2 −
( 2) e
= e jω + 1
jπ 2
n
( 2) e
+ 1
+ jω n
dω
( 2 )π
−j π
(؛5,8) )ب( ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﻣﻌﺎدﻟﻪ آﻧﺎﻟﻴﺰ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ
(
)
π
( )
x2 [n] = 1 π ∫ x2 e jω e jωn dω 2 −π 1 j ωn = − ∫−π 2 je dω + 1 2π 2 π
( )∫ 2 je π
jωn
dω
1 − e − jnπ e jnπ = j − + π jn jn =−4 sin 2 πn nπ 2 ..........................................................................................................................................................
( ) ( )
٣٩٠
) (
(5,5ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺗﺮﻛﻴﺐ ) (8-5ﻋﻜﺲ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ X e jωرا ﺑﻴﺎﺑﻴﺪ ،ﻛﻪ ﺑﺮاي آن
π 4
< ≤ ω
π
1, = ,
) (
X e jω
و
3ω = 2
) (
X e jω
≤ ω ≤π 4 ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﻧﺘﻴﺠﻪ ﺑﻪ دﺳﺖ آﻣﺪه ﻣﻘﺎدﻳﺮي از nرا ﺑﻴﺎﺑﻴﺪ ﻛﻪ در آﻧﻬﺎ = ]. x[n
ﺣﻞ: از اﻃﻼﻋﺎت داده ﺷﺪه: dω
( 2π )∫ x(e )e = (1 )∫ x(e )e 2π = ( 1 )∫ e e 2π π sin (n − 3 ) 2 4 = 3 ) π (n − 2
j ωn
{ ( )}e jωn dω
j x e jω
dω
π
jω
−π
π
jω
−π
jωn
π
−3 ω 2
4
π
x[n ] = 1
−π
3 ﺳﻴﮕﻨﺎل ] x[nﻫﻨﮕﺎﻣﻴﻜﻪ n − 4 2 π 3 ﺻﻔﺮ ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد .ﻣﻘﺪار n − ﻫﺮﮔﺰ ﻣﺎﻧﻨﺪ ﺣﺎﻟﺘﻲ ﻛﻪ آن ﻳﻚ ﺿـﺮﻳﺐ ﻏﻴﺮﺻـﻔﺮ πاﺳـﺖ ﺑﺎﺷـﺪ. 4 2 ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ] = x[nﺗﻨﻬﺎ وﻗﺘﻲ ∞. n = ±
ﻳﻚ ﺿﺮﻳﺐ ﻏﻴﺮﺻـﻔﺮ πﺑﺎﺷـﺪ و ﻳـﺎ ﻫﻨﮕﺎﻣﻴﻜـﻪ ∞ → ، n
..........................................................................................................................................................
) (
) (
X e jω (5,6ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ] x[nاﺳﺖ .ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ﺳﻴﮕﻨﺎﻟﻬﺎي زﻳـﺮ را ﺑﺮﺣـﺴﺐ X e jωﺑﻴـﺎن ﻛﻨﻴﺪ .از ﺧﻮاص ﻣﻨﺪرج در ﺟﺪول 1-5اﺳﺘﻔﺎده ﻛﻨﻴﺪ.
)اﻟﻒ( ]x1 [n] = x[1 − n] + x[− 1 − n ]x ∗ [− n] + x[n )ب( 2 2 )ج( ]x3 [n] = (n − 1) x[n
= ]x2 [n
ﺣﻞ:
٣٩١
FT x[n]← در اﻳﻦ ﻣﺴﺌﻠﻪ ،ﻓﺮض ﻛﻨﻴﻢ ﻛﻪ ) → x1 (e jω
)اﻟﻒ( ﺑﺎاﺳﺘﻔﺎده از ﺧﺎﺻﻴﺖ ﻣﻌﻜﻮس ﭘﺬﻳﺮي ) 5,3,6را ﺑﺒﻨﻴﺪ( دارﻳﻢ: FT x[− n]← ) → x(e − jω ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﺧﺎﺻﻴﺖ ﺷﻴﻔﺖ زﻣﺎﻧﻲ ) 5,3,3را ﺑﺒﻴﻨﻴﺪ( دارﻳﻢ:
FT FT x[− n − 1]← x[− n + 1]←و ) → e jωn x (e − jω ) → e − jωn x(e jω
ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ
)
)
(
(
FT x1 [n] = x[− n + 1] + x[− n − 1]← → e − jωn x e − jω + e jωn x e − jω
)cos ω
− jω
(
↔ 2x e
)ب( ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎدﻫﺎز ﺧﺎﺻﻴﺖ ﻣﻌﻜﻮس ﭘﺬﻳﺮي )ﺷﻜﻞ (S.3,5دارﻳﻢ:
)
(
FT x[− n]← → x e − jω ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﺧﺎﺻﻴﺖ ﻣﺰدوج ﮔﻴﺮي در اﻳﻦ ﻣﻮرد دارﻳﻢ:
) (
FT x ∗ [− n]← → x ∗ e jω
ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ:
)) ( 2 )(x [n] + x[n])←→(1 2 )(x(e )+ x (e jω
∗
jω
∗
FT
x2 [n] = 1
}) ( {
FT ← → Re x e jω )ج( ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده ازﺧﺎﺻﻴﺖ ﻣﺸﺘﻘﮕﻴﺮي در ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ) 5,3,8را ﺑﺒﻴﻨﻴﺪ (.دارﻳﻢ:
) (
dx e jω dω ﺑﺎاﺳﺘﻔﺎده از ﺧﺎﺻﻴﺖ ﻣﺸﺘﻘﮕﻴﺮي ﺑﺮاي دوﻣﻴﻦ ﺑﺎر:
FT nx[n]← →j
) d 2 x(e jω x x[n]←→ − dω 2 FT
2
ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ:
) d 2 x(e jω ) dx(e jω − 2 j ) + x(e jω dω 2 dω .......................................................................................................................................................... FT x3 [n] = n 2 x[n] − 2nx[n] + 1← →−
٣٩٢
(5,7ﺑﺮاي ﻫﺮ ﻳﻚ از ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ﻫﺎي زﻳﺮ ،ﺑﻪ ﻛﻤﻚ ﺧﻮاص ﺗﺒـﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳـﻪ )ﺟـﺪول (1-5ﺗﻌﻴـﻴﻦ ﻛﻨﻴﺪ ﻛﻪ آﻳﺎ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﺣﻮزه زﻣﺎن ) (iﺣﻘﻴﻘﻲ اﺳـﺖ ،ﻣﻮﻫـﻮﻣﻲ اﺳـﺖ ،ﻳـﺎ ﻫﻴﭽﻜـﺪام ،و ) (iiزوج اﺳـﺖ، ﻓﺮدﺳﺖ ،ﻳﺎ ﻫﻴﭽﻜﺪام .ﻋﻜﺲ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ را ﺣﺴﺎب ﻧﻜﻨﻴﺪ.
)
(
)اﻟﻒ( ) ) X 1 e jω = e − jω ∑k =1 (sin k ωب( ) X 2 (e jω 10
)ب( ) X 2 (e jω ) = j sin (ω ) sin (5ω
)ج( ) X 3 (e jω ) = A(ω ) + e jB (ωﻛﻪ در آن
π 8
≤ ≤ ω
< ω ≤π
π
1, A(ω ) = ,
3ω +π 2
و
B (ω ) = −
8
ﺣﻞ: )اﻟﻒ( ﺳﻴﮕﻨﺎل] y1 [nﺑﺎ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ زﻳﺮ را در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ: 10
) (
) Y1 e jω = ∑ sin (kω
) (
k =1
ﻣﺸﺎﻫﺪه ﻣﻲ ﻛﻨﻴﻢ ﻛﻪ Y1 e jωﺣﻘﻴﻘﻲ و ﻓﺮد اﺳﺖ .ﺟﺪول 5,1را ﺑﺒﻴﻨﻴﺪ ﻛـﻪ ﺗﺒـﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳـﻪ ﺳـﻴﮕﻨﺎل ﺣﻘﻴﻘﻲ و ﻓﺮد اﺳﺖ .ﺑﺎﺑﺮاﻳﻦ ،ﻣﻲ ﺗﻮان ﮔﻔﺖ ﻛﻪ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻳﻚ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻣﻮﻫـﻮﻣﻲ ﺧـﺎﻟﺺ و ﻣـﺮد ،ﺣﻘﻴﻘـﻲ و ﻓﺮد ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد .ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از اﻳﻦ ﻣﻼﺣﻈﻪ ،ﻧﺘﻴﺠﻪ ﻣﻲ ﮔﻴﺮﻳﻢ ﻛﻪ] y1 [nﻣﻮﻫﻮﻣﻲ ﺧﺎﻟﺺ و ﻓﺮد اﺳﺖ. ﺗﻮﺟﻪ ﻛﻨﻴﺪ ﻛﻪ:
) x(e jω ) = e − jω Y1 (e jω
ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ] x1 [nﻫﻤﭽﻨﻴﻦ ﻣﻮﻫﻮﻣﻲ ﺧﺎﻟﺺ اﻣﺎ ] x1 [nﻧﻪ زوج و ﻧﻪ ﻓﺮد اﺳﺖ.
) (
)ب( ﺗﻮﺟﻪ ﻛﻨﻴﺪ ﻛﻪ x2 e jωﻣﻮﻫﻮﻣﻲ ﺧﺎﻟﺺ و ﻓﺮد اﺳﺖ .ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ] x2 [nﺑﺎﻳـﺴﺘﻲ ﺣﻘﻴﻘـﻲ و ﻓـﺮد ﺑﺎﺷﺪ. )پ( ﺳــﻴﮕﻨﺎل ] y3 [nﺑــﺎ اﻧــﺪازه ﺗﺒــﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳــﻪ ) Y3 (e jω ) = A(ωو ﻓــﺎز ﺗﺒــﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳــﻪ
) ( }) ( {
)
(
) (
Y3 e jω = − 3 ωرا در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ .ﭼﻮن 2 }) {Y3 (e jω )} = − {Y3 (e − jωﻣﻲﺗﻮاﻧﻴﻢ ﻧﺘﻴﺠﻪ ﺑﮕﻴﺮﻳﻢ ﻛﻪ ﺳﻴﮕﻨﺎل ] ، y3 [nﺣﻘﻴﻘﻲ اﺳﺖ) .ﺟﺪول 5,1و ﺧﺎﺻﻴﺖ 5,3,4را ﺑﺒﻴﻨﻴﺪ(.
Y3 e jω = Y3 e − jωو
٣٩٣
ﺣــﺎل ،ﺳــﻴﮕﻨﺎل ] x3 [nرا ﺑــﺎ ﺗﺒــﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳــﻪ − Y3 ( jω ) = x3 (e jω ) = Y3 (e jω )e jπرا در ﻧﻈــﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ .ﺑﺎاﺳﺘﻔﺎده از ﻧﺘﻴﺠﻪ ﭘﺎراﮔﺮاف ﻗﺒﻠﻲ و ﺧﺎﺻﻴﺖ ﺧﻄﻲ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ،ﻣﻲ ﺗﻮاﻧﻴﻢ ﻧﺘﻴﺠـﻪ ﺑﮕﻴـﺮﻳﻢ ﻛـﻪ ] ، x3 [nﺑﺎﻳﺴﺘﻲ ﺣﻘﻴﻘﻲ ﺑﺎﺷﺪ.
ﺑﺪﻟﻴﻞ اﻳﻨﻜﻪ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ) x3 (e jωﻣﻮﻫﻮﻣﻲ ﺧﺎﻟﺺ و ﺣﻘﻴﻘﻲ ﺧﺎﻟﺺ ﻧﻴﺴﺖ ،ﺳﻴﮕﻨﺎل ] x3 [nﻧﻪ ﻓﺮد
و ﻧﻪ زوج اﺳﺖ. .......................................................................................................................................................... (5,8ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﺟﺪوﻟﻬﺎي 1-5و x[n] 2-5داراي ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ زﻳﺮ را ﺗﻌﻴﻴﻦ ﻛﻨﻴﺪ:
3 sin ω 2 + 5πδ (ω ), − π < ω ≤ π sin
1 1 − e − jω
) (
= X e jω
ﺣﻞ:
1 x1 [n] =
n ≤1 n >1 از ﺟﺪول 5,2ﻣﻲ داﻧﻴﻢ ﻛﻪ:
)( 2 ) sin (ω 2
sin 3ω
=) ( jω
x1 [n]←→ x1 e FT
ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﺧﺎﺻﻴﺖ ﺟﻤﻌﮕﻴﺮي دارﻳﻢ: ∞
) x1 (e jω ) + πx (e jc ) ∑ δ (ω − 2πk
1 − jω
∞k = −
n
∑ x[k ]←→ 1 − e FT
∞k = −
ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ،در ﺑﺎزه : − π ≤ ω ≤ π ) x1 (e jω ) + 3πδ (ω
1 − jω
n
∑ x [k ]←→ 1 − e FT
1
∞k = −
ﻫﻤﭽﻨﻴﻦ ،در ﺑﺎزه − π < ω ≤ π
٣٩٤
FT 1← ) → 2πδ (ω
ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ در ﺑﺎزه− π < ω ≤ π :
) (
) x1 e jω − sπδ (ω
n
1 − jω
∑ x [k ]←→ 1 − e FT
1
x[n ] = 1 +
∞k = −
ﺳﻴﮕﻨﺎل ] x[nﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ي ﻣﻄﻠﻮب را دارد .ﻣﻲ ﺗﻮاﻧﻴﻢ ] x[nﺑﻪ ﺻﻮرت رﻳﺎﺿﻲ ﺑـﻪ اﻳـﻦ ﺗﺮﺗﻴـﺐ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻴﻢ:
n ≤ −2 −1 ≤ n ≤ 1 n≥2
1 x[n] = 1 + ∑ x1 [k ] = n + 3 ∞k = − 4 n
..........................................................................................................................................................
) (
(5,9ﭼﻬﺎر ﺧﺎﺻﻴﺖ زﻳﺮ در ﻣﻮرد ﻳﻚ ﺳﻴﮕﻨﺎل ] x[nﺑﺎ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ X e jωداده ﺷﺪه اﺳﺖ.
x[n] = .1در > n x[ ] > .2
g m {X (e jω )} = sin ω − sin 2ω .3
2 1 π X e jω dω = 3 .4 ∫ π 2 ﺣﻞ:
) (
از ﺧﺎﺻﻴﺖ 5,3,4در ﺟﺪول ،5,1ﻣﻲ داﻧﻴﻢ ﻛﻪ ﺑﺮاي ﺳﻴﮕﻨﺎل ﺣﻘﻴﻘﻲ ]. x[n FT od {x[n]}← }) → j Im{x(e jω
از اﻃﺎﻟﻌﺎت داده ﺷﺪه:
}) ( {
j Im x e jω = ∫ sin ω − ∫ sin 2ω
}
− e − jω − e 2 jω + e − 2 jω
ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ:
jω
( 2 ){e
= 1
}}) ( { {
od {x[n]} = FT j Im x r jω }]= 1 {δ [n + 1] − δ [n − 1] − δ [n + 2] + δ [n − 2 2
) (
ﻫﻤﭽﻨﻴﻦ ﻣﻲ داﻧﻴﻢ ﻛﻪ
٣٩٥
] x[n] − x[− n 2 و ﺑﺮاي > x[n] = c ، nاﺳﺖ ،ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ:
= }] odd {x[n
]x[n] = 2odd {x[n]} = δ [n + 1] − δ [n + 2 for <n ﺣﺎل ،ﻓﻘﻂ ﺑﺎﻳﺴﺘﻲ ] [ xرا ﭘﻴﺪا ﻛﻨﻴﻢ .ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از راﺑﻄﻪ ﭘﺎرﺳﺌﻮال ،دارﻳﻢ: 2
∞+
]∑ x[n
= x(e jω ) dω 2
∞+
∞n = −
∫
∞−
1 2π
از اﻃﻼﻋﺎت داده ﺷﺪه ،ﻣﻲ ﺗﻮان ﻧﻮﺷﺖ: 2
−1
∑ x[n] = {x[ ]} + 2 2
3 = (x[ ]) + 2
∞n = −
ﻛﻪ ﻣﻲ دﻫﺪ . x[ ] = ±1اﻣﺎ ﺑﺪﻟﻴﻞ اﻳﻨﻜﻪ > ] [ ، xﻣﻲ ﺗﻮان ﻧﺘﻴﺠﻪ ﮔﺮﻓﺖ ﻛﻪ x[ ] = 1 ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ
]x[n] = δ [n] + δ [n + 1] − δ [n + 2 .......................................................................................................................................................... (5,10ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﺟﺪوﻟﻬﺎي 1-5و 2-5و اﻳﻦ ﺣﻘﻴﻘﺖ ﻛﻪ ∞
] X (e ) = ∑ x[n j
∞n = −
ﻣﻘﺪار ﻋﺪدي Aﺗﻌﺮﻳﻒ ﺷﺪه در زﻳﺮ را ﺑﻴﺎﺑﻴﺪ. n
1 n 2
∞
∑=A = n
ﺣﻞ: از ﺟﺪول 5,2ﻣﻲ داﻧﻴﻢ ﻛﻪ n
1 1 FT → u[n ]← 1 2 1 − e − jω 2 ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﺧﺎﺻﻴﺖ 5,3,8ﺟﺪول 5,1دارﻳﻢ:
٣٩٦
− jω 2
( 2 ) u[n]←→ x(e ) = j ddω 1 − 11 e jω
n
FT
)
2
x[n ] = n 1
1 e − jω 2 = 1 − 1 e − jω 2
(
ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ: ∞
( 2 ) = ∑ x[n] = x(e ) = 2 j
∞n = −
n
∞
∑n 1 = n
..........................................................................................................................................................
) (
(5,11ﺳﻴﮕﻨﺎل ] g [nﺑﺎ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ G e jωرا در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ .ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ ]g [n] = x(2 ) [n
) ( < a < 2πو ) ) ( G (e ) = G (e
ﺳﻴﮕﻨﺎل ] x[nداراي ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮﻳﻪ X e jωاﺳـﺖ .ﻋـﺪد ﺣﻘﻴﻘـﻲ aرا ﺑـﻪ ﻧﺤـﻮي ﺗﻌﻴـﻴﻦ ﻛﻨﻴـﺪ ﻛـﻪ j ω −a
jω
ﺣﻞ: از ﺧﺎﺻﻴﺖ ﺑﺴﻂ زﻣﺎﻧﻲ ﻣﻲ داﻧﻴﻢ ﻛﻪ )ﺟﺪول 5,1ﺧﺎﺻﻴﺖ :(5,3,7
FT g [n] = x(2 ) [n]← ) → G ( jω ) = x(e j 2ω
) (
) (
ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ G e jωﺧﻼﺻﻪ ﻛﺮدن x e jωﺑﺎ ﺿﺮﻳﺐ 2ﺑﺪﺳـﺖ ﻣـﻲآﻳـﺪ .از آﻧﺠـﺎﻳﻲ ﻛـﻪ ﻣـﻲداﻧـﻴﻢ
) (
) (
x c jωﺑــﺎ دوره ﺗﻨــﺎوب 2πﻣﺘﻨــﺎوب اﺳــﺖ .ﻣــﻲ ﺗــﻮاﻧﻴﻢ ﻧﺘﻴﺠــﻪ ﺑﮕﻴــﺮﻳﻢ ﻛــﻪ G e jωﺑــﺎ ﭘﺮﻳــﻮد
)
(
1 2π = πﭘﺮﻳﻮدﻳﻚ اﺳﺖ .ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ G (e jω ) = G (e j (ω −π ) ) , ∝= π 2 .......................................................................................................................................................... (5,12ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ. 2
π sin n sin ω n c [n] = 4 ∗ π n π n ﻛﻪ در آن * ﻋﻼﻣﺖ ﻛﺎﻧﻮﻟﻮﺷﻦ اﺳﺖ و ωc . ωc ≤ πرا ﻣﻘﻴﺪﺗﺮ ﻛﻨﻴﺪ ﺑﻪ ﻧﺤﻮي ﻛﻪ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻴﻢ
٣٩٧
2
π sin n 4 y[n] = π n
ﺣﻞ: ﺳﻴﮕﻨﺎل ] x1 [nرا ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ. π
sin n 4 πn
= ]x1 [n
از ﺟﺪول ،5,2ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ] x1 [nﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد. 4
< ω ≤π
π
1 =
) ( jω
x1 e
< ω <π 4 2 ﺷﻜﻞ }] x2 [n] = {x1 [nدر ﺷﻜﻞ ح 5,12رﺳﻢ ﺷﺪه اﺳـﺖ .ﺣـﺎل ﺳـﻴﮕﻨﺎل ] x2 [nرا ﺑـﻪ ﺻـﻮرت
}] x2 [n] = {x1 [nﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ .ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﺧﺎﺻﻴﺖ ﺿﺮب )ﺟﺪول .1ﺧﺎﺻﻴﺖ (5,5ﺗﺒـﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳـﻪ
2
] x [nرا ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ ﺑﺪﺳﺖ ﻣﻲ آورﻳﻢ)(x (e ))∗ (e ) : jω
2
jω
1
2π
( ) (
x2 e jω = 1ﻛﻪ اﻳﻦ در ﺷـﻜﻞ
55,12ح رﺳﻢ ﺷﺪه اﺳﺖ.
) X 1 (e jω
) X 2 (e jω 1 4
ω 2
π
١
2
−π
π 4
π 4
−
٣٩٨
sin ωc n FT πn ١
ω
− ωc
ωc
ﺷﻜﻞ ح55,12
) (
از ﺷﻜﻞ 55,12واﺿﺢ اﺳﺖ ﻛﻪ x2 e jωﺑـﻪ ازاء
π 2
> ωﺻـﻔﺮ اﺳـﺖ .ﺑـﺎ اﺳـﺘﻔﺎده از ﺧﺎﺻـﻴﺖ
ﻛﺎﻧﻮﻟﻮﺷﻦ )ﺟﺪول ،5,1ﺧﺎﺻﻴﺖ (5,4ﻣﻲداﻧﻴﻢ ﻛﻪ: sin (ωc n ) Y e jω = x e jω FT πn
) ( ) (
sin ω c n FT در ﺷــﻜﻞ 55,12ﻧﻤــﺎﻳﺶ داده ﺷــﺪه اﺳــﺖ .واﺿــﺢ اﺳــﺖ ﻛــﻪ اﮔــﺮ ﻃﺮﺣــﻮاره πn
) ( ) (
Y e jω = x e jωﺑﺎﺷﺪ .در اﻳﻨﺼﻮرت ≤ ω c ≤ π
π
.
2 ......................................................................................................................................................... n
1 (5,13ﻳﻚ ﺳﻴﺴﺘﻢ LTIﺑﺎ ﭘﺎﺳﺦ ﺿﺮﺑﻪ ] h1 [n ] = u[nﺑﺎ ﻳﻚ ﺳﻴﺴﺘﻢ LTIﻋﻠﻲ دﻳﮕﺮ ﺑـﺎ ﭘﺎﺳـﺦ 2 ﺿﺮﺑﻪ ] h2 [nﻣﻮازي ﺷﺪه اﺳﺖ .ﭘﺎﺳﺦ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﻛﻞ ﻋﺒﺎرت اﺳﺖ از
] h2 [nرا ﺑﻴﺎﺑﻴﺪ.
− 12 + 5e − jω 12 − 7e − jω + e −2 jω
= ) H (e jω
ﺣﻞ: ﻫﻨﺎﻣﻴﮕﻪ دو ﺳﻴﺴﺘﻢ LTIﺑﻪ ﺻﻮرت ﻣﻮازي ﺑﺎ ﻫﻢ ﺑﺴﺘﻪ ﻣﻲ ﺷﻮﻧﺪ .ﭘﺎﺳﺦ ﺿﺮﺑﻪ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﻛﻠﻲ ،ﻣﺠﻤـﻮع ﭘﺎﺳﺨﻬﺎي ﺿﺮﺑﻪ ي ﺗﻚ ﺗﻚ ﺳﻴﺴﺘﻤﻬﺎ ﺑﻪ ﺻﻮرت ﺟﺪاﮔﺎﻧﻪ ﻣﻲ ﺑﺎﺷﺪ؛ ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ:
]h[n] = h1 [n] + h2 [n ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﺧﺎﺻﻴﺖ ﺧﻄﻲ ﺑﻮدن )ﺟﺪل ،5,1ﺧﺎﺻﻴﺖ :(5,3,2
) H (e jω ) = H 1 (e jω ) + H 2 (e jω
٣٩٩
ﻓﺮض ﺷﺪه اﺳﺖ ﻛﻪ ]( 2 ) u[n n
، h[n] = 1ﺑﺪﺳﺖ ﻣﻲ آورﻳﻢ:
1 1 − 1 e − jω 2
= ) H 1 (e jω
در اﻳﻦ ﺻﻮرت: − 12 + 5e − jω 1 − − jω − 2 jω 1 12 − 7e + e 1− e − jω 2 −2 = 1 1 − e − jω 4 ﺑﺎ ﮔﺮﻓﺘﻦ ﻋﻜﺲ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ:
) (
= H 2 e jω
]( 4 ) u[n n
h2 [n] = −2 1
..........................................................................................................................................................
) (
(5,14اﻃﻼﻋﺎت زﻳﺮ در ﻣﻮرد ﺳﻴﺴﺘﻢ LTI ،و Sﺑﺎ ﭘﺎﺳﺦ ﺿﺮﺑﻪ ] h[nو ﭘﺎﺳﺦ ﻓﺮﻛﺎﻧـﺴﻲ H e jωداده ﺷﺪه اﺳﺖ. n
1 ، u[n] → g [n] .1ﻛﻪ در آن = ] ، g [nدر n ≥ 2و < . n 4 H e jπ / 2 = 1 .2
)
(
H (e jω ) = H (e j (ω −π ) ) .3 ] h[nرا ﺗﻌﻴﻴﻦ ﻛﻨﻴﺪ. ﺣﻞ:
) (
از اﻃﻼﻋﺎت داده ﺷﺪه ،ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ] g [nﻛﻪ ﺑﺮاﺑﺮ G e jωرا ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ ﺑﺪﺳﺖ ﻣﻲ آورﻳﻢ:
) (
G e jω = g [ ] + g (1)e − jω
ﻫﻤﭽﻨﻴﻦ ﻫﻨﮕﺎﻣﻴﻜﻪ ورودي ﺳﻴﺴﺘﻢ ﺑﺮاﺑﺮ ]( 4 ) u[n n
x[n] = 1ﺑﺎﺷﺪ ،ﺧﺮوﺟﻲ ﺳﻴﺴﺘﻢ ] g [nﺧﻮاﻫﺪ
ﺑﻮد:
) ( ) (
G e jω x e jω
) (
= H e jω
٤٠٠
از ﺟﺪول 5,2دارﻳﻢ: 1 1 1 − e − jω 4
) (
= x e jω
ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ:
) ( 1 H (e ) = {g [ ] + g [1]e }1 − e 4 H e jω = {g [ ] + g [1]}e −
− jω − 2 jω = g [ ] + {g }e − g [1]e ﺑﺪﻳﻬﻲ اﺳﺖ ﻛﻪ ] h[nﻳﻚ دﻧﺒﺎﻟﻪ 3ﺟﻤﻠﻪ اي ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ اﺳﺖ: − jω
− jω
jω
) ( H (e ( ) ) = h[ ] + h[1]e
H e jω = h[ ] + h[1]e − jω + h[2]e −2 jω ) + h[z ]e −2 j (ω −π
) − j (ω −π
j ω −π
= h[ ] − h[1]e − jω + h[2]e − 2 jω ﻣﺸﺎﻫﺪه ﻣﻲ ﺷﻮد ﻛﻪ اﮔﺮ ﺗﻨﻬﺎ = ] h[1ﺑﺎﺷﺪ H e jω = H e j (ω −π ) .ﻫﻤﭽﻨﻴﻦ ،دارﻳﻢ:
(
)
) (
jπ − jπ −2 jπ H e 2 = h[ ] + h[1]e 2 + h[2]e 2 ]= h[ ] − h[2 jπ ﭼﻮن داده ﺷﺪه اﺳﺖ H e 2 = 1دارﻳﻢ: )ح(5-14-1 h[ ] − h[2] = 1
ﺣﺎل ﺗﻮﺟﻪ ﻛﻨﻴﺪ ﻛﻪ
}]{( 4) u[n n
] u[n − k
g [n] = h[n] ∗ 1
)( 4
n −k
2
= ∑ h[k ] 1 k =c
ﺑﺎ ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﻣﻘﺪار در n = 2دارﻳﻢ: ﺑﺪﻟﻴﻞ اﻳﻨﻜﻪ = ] h[1؛ )ح(5,14-2
]g [2] = = 1 h[ ] + 1 h[1] + h[2 16 4 1 = ]h[ ] + h[2 16
٤٠١
ﺑﺎ ﺣﻞ ﻣﻌﺎدﻻت )ح (5,14-1و )ح (5,14-2ﻫﻤﺰﻣﺎن دارﻳﻢ: −1 17
= ]h[2
,
16 17
= ] [h
ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ: 16 1 δ [n] − δ [n − 2 17 17 .......................................................................................................................................................... = ] h[n
) (
(5,15ﻋﻜﺲ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ Y e jωﻋﺒﺎرت اﺳﺖ از 2
sin ωc n y[n] = π n ﻛﻪ در آن ωc . < ωc < πرا ﺑﻪ ﻧﺤﻮي ﺗﻌﻴﻴﻦ ﻛﻨﻴﺪ ﻛﻪ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻴﻢ 1 2
) (
= Y e jπ
ﺣﻞ: ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ ﻛﻪ ) . x[n] = sin ω c n (πnﺗﺒـﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳـﻪ ] x[nدر ﺷـﻜﻞ ح 5,15ﻧـﺸﺎن داده ﺷـﺪه
) (
اﺳﺖ .ﺗﻮﺟﻪ ﻛﻨﻴﺪ ﻛﻪ ﺳﻴﮕﻨﺎل ] y[n] = x[n]x[nداده ﺷﺪه اﺳﺖ .ﺑﻨـﺎﺑﺮاﻳﻦ Y e jωﻛـﻪ ﻫﻤـﺎن ﺗﺒـﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ] y[nاﺳﺖ ،ﺑﻪ ﺻﻮرت 1 x e jθ x e j (ω −e ) dθ ∫ π 2 2π ﺑﺎ اﻋﻤﺎل روش اﺳﺘﻔﺎده ﺷﺪه در ،5,15ﻣﻲ ﺗﻮان ﻛﺎﻧﻮﻟﻮﺷﻦ ﻓﻮق را ﺑﻪ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﭘﺮﻳﻮدﻳـﻚ ﺑـﺎ ﺗﻌﺮﻳـﻒ
)
) (
() (
= Y e jω
زﻳﺮ ،ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻛﺮد:
−π < ω ≤ π ﺳﺎﻳﺮ ﻧﻘﺎط
) (
x e jω ~ x e jω =
) (
ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ﻣﻲ ﺗﻮان ﻧﻮﺷﺖ: 1 +∞ ~ jt x e x e j (ω −θ ) dθ ∞2π ∫− ~ ﻧﺸﺎن داده ﺷﺪه در ﺷـﻜﻞ ح 5,15ﺑـﺎ ﻣـﻮج ﻣﺮﺑﻌـﻲ اﺑﻦ ،ﻛﺎﻧﻮﻟﻮﺷﻦ ﻣﺘﻨﺎوب ﭘﺎﻟﺲ ﻣﺴﺘﻄﻴﻠﻲ x e jω
)
) (
() ( ) (
) (
= Y e jω
ﻣﺘﻨﺎوب x e jωﻣﻲ ﺑﺎﺷﺪ .ﻧﺘﻴﺠﻪ ﻋﻤﻞ ﻛﺎﻧﻮﻟﻮﺷﻦ در ﺷﻜﻞ ح 5,15ﻧﺸﺎن داده ﺷﺪه اﺳﺖ.
٤٠٢
ω
2π
ωc π
−π
− ωc
) Y (e jω
π 2ωc
− 2π
1 ω − + c 2 π
− 2ωc − π
ﺷﻜﻞ )ح(5,15
ωc 1 −1+ 2 از ﺷﻜﻞ ﺑﺪﻳﻬﻲ ﺳﺖ ﻛﻪ ﺑﺎﻳﺴﺘﻲ = 2 π
در ﻧﺘﻴﺠﻪ
3π 4
=
.ω c
.......................................................................................................................................................... (3,16ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ﻳﻚ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﺧﺎص ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮﺳﺖ
(1 / 2)k 1 ) 1 − e − j (ω −π / 2 k 4
3
) (
∑ = X e jω = k
ﻣﻲ ﺗﻮان ﻧﺸﺎن داد ﻛﻪ
]x[n] = g [n]q[n ﻛﻪ ] g [nﺑﻪ ﺷﻜﻞ ] a nu[nو ] q[nﺳﻴﮕﻨﺎل ﻣﺘﻨﺎوﺑﻲ ﺑﺎ دوره ﺗﻨﺎوب Nاﺳﺖ. )اﻟﻒ( aرا ﺗﻌﻴﻴﻦ ﻛﻨﻴﺪ. )ج( آﻳﺎ ] x[nﺣﻘﻴﻘﻲ اﺳﺖ؟ ﺣﻞ: ﻣﻲ ﺗﻮان ﻧﻮﺷﺖ:
)ب( Nرا ﺗﻌﻴﻴﻦ ﻛﻨﻴﺪ.
٤٠٣
3 π 1 1 k = x e jω ∗ 2π ∑ δ ω − 1 2π 2 1 − e − jω k = 4 ﻛﻪ )∗( ﻛﺎﻧﻮﻟﻮﺷﻦ ﻣﺘﻨﺎوب را ﻧﺸﺎن ﻣﻲ دﻫﺪ .ﻛﺎﻧﻮﻟﻮﺷﻦ ﻣﺘﻨﺎوب را ﻣﺠﺪداً ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳـﺮ ﻣـﻲ ﺗـﻮان
) (
ﺑﺎزﻧﻮﻳﺴﻲ ﻛﺮد:
)
() (
G e jθ Q e j (ω −θ )dθ
2π
∫
1 2π
) (
= x e jω ,
1 1 1 − e − jω 4 3 πk Q e jω = 2π ∑ δ ω − 2 k = for ≤ ω < 2π
) (
= G e jω
,
) (
) (
)اﻟﻒ( ﺑﺎ ﮔﺮﻓﺘﻦ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ﻣﻌﻜﻮس ) ، G e jωﺟﺪول 5,2را ﻣﺸﺎﻫﺪه ﻛﻨﻴﺪ (.ﺑﺪﺳﺖ ﻣﻲ آورﻳﻢ 1 1 j (3π )n j (π )n q[n] = 1 + 1 e 2 + e jπn + e 2 2 4 8 اﻳﻦ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﺑﺎ ﺗﻨﺎوب ﭘﺎﻳﻪ ي N = 4ﻣﺘﻨﺎوب اﺳﺖ.
) (
)ج( ﺑﻪ راﺣﺘﻲ ﻣﻲ ﺗﻮاﻧﻴﻢ ﻧﺸﺎن دﻫﻴﻢ ﻛﻪ x e jωﻳﻚ ﻋﺒﺎرت ﻣﻮﻫﻮﻣﻲ اﺳﺖ ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ] x[nﺣﻘﻴﻘـﻲ ﻧﻴﺴﺖ. .......................................................................................................................................................... (5,17ﺳﻴﮕﻨﺎل ) x[n] = (− 1داراي ﺗﻨﺎوب ﭘﺎﻳﻪ 2و ﺿﺮاﺋﺐ ﺳﺮي ﻓﻮرﻳﻪ akاﺳﺖ .ﺑﺎ اﺳـﺘﻔﺎده از n
ﺧﺎﺻﻴﺖ ﻫﻤﺰادي ﺿﺮاﺋﺐ ﺳﻲ ﻓﻮرﻳﻪ bkﺳﻴﮕﻨﺎل g [n] = anﺑﺎ دوره ﺗﻨﺎوب ﭘﺎﻳﻪ ،2را ﺗﻌﻴﻴﻦ ﻛﻨﻴﺪ. ﺣﻞ: ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﺧﺎﺻﻴﺖ دوﮔﺎن دارﻳﻢ:
٤٠٤
1 FS FS →(− 1)n ← →a k ⇒ a k ← (− 1)−k
)(− 1 2 N .......................................................................................................................................................... k
=1
(5,18ﻣﻲ أاﻧﻴﻢ ﻛﻪ 1 − a2 <1 1 − 2a cos ω + a 2 , a
n
ℑ →a ←
ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﻫﻤﺰادي ﺿﺮاﺋﺐ ﺳﺮي ﻓﻮرﻳﻪ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﭘﻴﻮﺳﺘﻪ در زﻣﺎن ﺑﺎ ﺗﻨﺎوب T = 1زﻳﺮ را ﺑﻴﺎﺑﻴﺪ:
1 ) 5 − 4 cos(2πt
= ) x(t
ﺣﻞ: ﺑﺎ داﻧﺴﺘﻦ اﻳﻨﻜﻪ:
1 4
1−
) (1 2
3 = 1 5 − 4 cos ω 1 − cos + 4 ﻣﻲ ﺗﻮان از ﻣﻌﺎدﻟﻪ آﻧﺎﻟﻴﺰ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ﺑﺮاي ﻧﻮﺷﺘﻦ ﻣﻄﻠﺐ زﻳﺮ اﺳﺘﻔﺎده ﻛﺮد: n
FT ← →
n
∞ 3 = ∑ 1 e − jωn 5 − 4 cos ω n= −∞ 2 ﺑﺎ ﺟﺎﻳﮕﺬاري ω = −2πدر اﻳﻦ ﻣﻌﺎدﻟﻪ و ﺟﺎﻳﮕﺬاري ﻣﺘﻐﻴﺮ nﺑﻪ ﺟﺎي ﻣﺘﻐﻴﺮ kدارﻳﻢ:
e j 2πkt
k
) (
∞ 1 = ∑ 1 1 5 − 4 cos 2πt k = −∞ 3 2
) (
ﺑﺎ ﻣﻘﺎﻳﺴﻪ ﺑﺎ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﻋﻜﺲ ﺳﺮي ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ،ﺑﻪ ﺳـﺮﻋﺖ ﻣـﻲ ﺗـﻮان ﮔﻔـﺖ ﻛـﻪ
k
) (1 3 2
ak = 1
1 ﺿﺮاﻳﺐ ﺳﺮي ﻓﻮرﻳﻪ ﺳﻴﮕﻨﺎل 5 − 4 cos 2πt ..........................................................................................................................................................
ﻣﻲ ﺑﺎﺷﺪ.
(5,19ﺳﻴﺴﺘﻢ LTIﻋﻠﻲ و ﭘﺎﻳﺪار Sﺑﺎ ورودي ] x[nو ﺧﺮوﺟـﻲ ] y[nﺗﻮﺳـﻂ ﻣﻌﺎدﻟـﻪ ﺗﻔﺎﺿـﻠﻲ ﻣﺮﺗﺒﻪ دوم زﻳﺮ ﺑﻪ ﻫﻢ ﻣﺮﺑﻮط ﻣﻲ ﺷﻮﻧﺪ. 1 1 ]y[n − 1] − y[n − 2] = x[n 6 6
y[n] −
٤٠٥
) (
)اﻟﻒ( ﭘﺎﺳﺦ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ H e jωﺳﻴﺴﺘﻢ Sداراي ﺧﺎﺻﻴﺖ زﻳﺮﺳﺖ. )ب( ﭘﺎﺳﺦ ﺿﺮﺑﻪ ] h[nﺳﻴﺴﺘﻢ Sرل ﺑﻴﻠﺒﻴﺬو ﺣﻞ: n 5n 4 ] [n] → n u[n 4 5
)اﻟﻒ( ﺑﺎ ﮔﺮﻓﺘﻦ ﻋﻜﺲ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ از ﻃﺮﻓﻴﻦ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﻳﻔﺮاﻧﺴﻴﻞ ،دارﻳﻢ:
)
1 Y ge jω 1 − e − jω − 1 e − 2 jω = x e + jω 6 6
(
(
)
ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ
)) ( ) = YX ((ee jω
jω
jω
1 1 − 1 e −2 jω 1 − e jω 1 − 1 e − jω 6 3 2 )ب( ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﺑﺴﻂ ﺑﻪ ﻛﺴﺮﻫﺎي ﺟﺰﺋﻲ دارﻳﻢ:
)
1
=
(
2
5
3
1 1 − e − jω 6
H
=
=) (
5 + 1 − jω 1 + 1 e − jω 1− e 3 2 ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﺟﺪول 5,2و ﮔﺮﻓﺘﻦ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ﻣﻌﻜﻮس ،دارﻳﻢ:
) (
jω
) (
He
n 3 1 n 2 ] u[n ] + − 1 u[n 3 2 2 5 ..........................................................................................................................................................
= ] h[n
(5,20ﺳﻴﺴﺘﻢ LTIﻋﻠﻲ و ﭘﺎﻳﺪار Sداراي ﺧﺎﺻﻴﺖ زﻳﺮﺳﺖ n
n
4 4 ] u[n] → n u[n 5 5 )اﻟﻒ( ﭘﺎﺳﺦ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ H e jωﺳﻴﺴﺘﻢ Sرا ﺑﻴﺎﺑﻴﺪ.
) (
٤٠٦
)ب( ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺗﻔﺎﺿﻠﻲ ارﺗﺒﺎط دﻧﺪه ورودي ] x[nﺑﻪ ﺧﺮوﺟﻲ ] y[nرا ﺑﻴﺎﺑﻴﺪ. ﺣﻞ: )اﻟﻒ( ﭼﻮن ﺳﻴﺴﺘﻢ LTIﻣﻮرد ﻧﻈـﺮ ﭘﺎﻳـﺪار و ﻛـﺎزال اﺳـﺖ ،ﺳـﻴﮕﻨﺎل ﺟﻔـﺖ ورودي ـ ﺧﺮوﺟـﻲ ﻛﺎﻓﻴــﺴﺖ ﺗــﺎ ﭘﺎﺳــﺦ ﻓﺮﻛﺎﻧــﺴﻲ ﺳﻴــﺴﺘﻢ را ﺗﻌﻴــﻴﻦ ﻛﻨﻨــﺪ .دراﻳــﻦ ﻣــﻮرد ،ورودي ﺑﺮاﺑــﺮ اﺳـــﺖ n
4 ﺑﺎ ] x[n ] = u[nو ﺧﺮوﺟﻲ ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ ]n u[n 5 5 زﻳﺮ اﺳﺖ:
) (
n
) ( ) (
، y[n] = 4ﭘﺎﺳﺦ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ ﺑـﻪ ﺻـﻮرت
Y e jω X e jω ﻛﻪ X e jωو ، Y e jωﭘﺎﺳﺦ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ اﺳﺖ:
) (
) (
) ( ) (
) (
= H e jω
Y e jω X e jω ﻛﻪ X e jωو Y e jωﺑﻪ ﺗﺮﺗﻴﺐ ﺗﺒﺪﻳﻼت ﻓﻮرﻳﻪ ] x[nو ] y[nﻫﺴﺘﻨﺪ .ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﺟﺪول 5,2
) (
) (
) (
= H e jω
دارﻳﻢ: n
1 4 FT x[n ] = u[n]← = → x e jω 4 5 1 − e − jω 5 ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﺧﺎﺻﻴﺖ ﻣﺸﺘﻘﮕﻴﺮي در ﺣﻮزه ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ) ،ﺟﺪول ،5,1ﺧﺎﺻﻴﺖ (5,38دارﻳﻢ:
) (
4 − jω n e jω dx e 4 FT jω 5 y[n] = n u[n]←→ Y e = j = 2 dω 5 4 − jω 1 − e 5
) (
ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ: − jω
) (
4 )e ( H (e ) = 5 4 jω
)ب( ﭼﻮن ) (
x e jω
1 − e − jω 5 jω jω ، H e = y eﻣﻲ ﺗﻮاﻧﻴﻢ ﺑﻨﻮﻳﺴﻴﻢ:
) ( ) (
٤٠٧
( )[
] ( )[
Y e jω 1 − 4 e − jω = x e jω 4 e − jω 5 5
] :ﺑﺎ ﮔﺮﻓﺘﻦ ﻋﻜﺲ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ از ﻃﺮﻓﻴﻦ ﻣﻌﺎدﻟﻪ
4 4 y[n − 1] = x[n ] 5 5 ..........................................................................................................................................................
y[n ] −
.( ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ﺳﻴﮕﻨﺎﻟﻬﺎي زﻳﺮ را ﺑﻴﺎﺑﻴﺪ5,21
x[n] = u[n − 2] − u[n − 6] ()اﻟﻒ −n
1 x[n] = u[− n − 1] ()ب 2 n
1 x[n] = u[− n − 2] ()ج 3 −3≤ n ≤ 3 n , x[n] = ()و , در ﻏﻴﺮ اﻳﻦ ﺻﻮرت n
1 π x[n] = cos (n − 1) ()ﻫـ 2 8 π x[n] = sin n + cos(n ) ()ز 2 5π 7π x[n] = sin n + cos n ()ح 3 3 x[n] = u[n] − u[n − 5] ، ≤ n ≤ 5 و درx[n] = x[n − 6] ()ط n
1 x[n] = (n − 1) ()ي 3 sin (πn / 5) 7π cos x[n] = n ()ك πn 2
:ﺣﻞ :)اﻟﻒ( ﺳﻴﮕﻨﺎل داده ﺷﺪه ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ
x[n] = u[n − 2] − u[n − 6] = δ [n − 2] + δ [n − 3] + δ [n − 4] + δ [n − 5] :( دارﻳﻢ5,9) ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﻣﻌﺎدﻟﻪ آﻧﺎﻟﻴﺰ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ
٤٠٨
) (
x e jω = e −2 jω + e −3 jω + e −4 jω + e −5 jω )ب( ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﻣﻌﺎدﻟﻪ آﻧﺎﻟﻴﺰ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ):(5,9 e − jωn
−1
) ( ) ∑ (1 2
−n
= x e jω
∞n = −
jω
) = e2
(
1 1 − 1 e jω 2 )ج( ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﻣﻌﺎدﻟﻪ آﻧﺎﻟﻴﺰ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ):(5,9 n
∞
= ∑ 1 e jω 2 n =1
e − jωn
−2
) ( ) ∑ (1 3
−n
= x e jω
∞n = −
2 jω
) = e9
(
1 1 − 1 e jω 3 )د( ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﻣﻌﺎدﻟﻪ آﻧﺎﻟﻴﺰ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ) (5,9دارﻳﻢ: n
− jωn
∞
= ∑ 1 e jω 3 n =2
( 4 )e
sin nπ
) (
n
( ) ∑2
= x e jω
∞n = − ∞
= −∑ 2 −n sin nπ e jωn 4 = n − 1 1 jnπ 4 jωn 1 r −πn 4 jωn ∑ e e − 2 e e 2j 2
) (
=
−1 1 1 = − 2 j 1 − 1 e jπ 4 e jω 1 − 1 e − jπ 4 e jω 2 2 )ﻫـ( ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از آﻧﺎﻟﻴﺰ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ) (5,9دارﻳﻢ:
) (
) (
٤٠٩
+∞
( ) ∑ (1 2 )
x e jω =
n = −∞
n
cos π (n − 1) e − jωn 8
− jπ jπ 1 e 8 e 8 = + j j − π π 2 1 − 1 e 8 e − jω 1 − 1 e 8 e − jω 2 2 jπ −π 1 e 4 e jω e 4 e jω + + 4 1 − 1 e jπ 8 e jω 1 − 1 e − jπ 8 e jω 2 2
( )
( )
:)و( ﺳﻴﮕﻨﺎل داده ﺷﺪه ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ
x[n] = −3δ [n + 3] − 2δ [n + 2] − δ [n + 1] + 2δ [n − 2] + 3δ [n − 3] :( ﺑﺪﺳﺖ ﻣﻲ آورﻳﻢ5,9) ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از آﻧﺎﻟﻴﺰ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ﻣﻌﺎدﻟﻪ
( )
x e jω = −3e 3 jω − 2e 2 jω − e jω + e − jω + 2e −2 jω + 3e −3 jω :)ذ( ﺳﻴﮕﻨﺎل داده ﺷﺪه ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ − jπn 1 jπn 2 1 nπ x[n] = sin − e 2 + e jn + e − jn + cos n = e 2j 2 2
(
( )
x e jω =
π 1
(
[δ (ω − π 2 )− δ (ω + π 2 )]+ π (δ (ω − 1) + δ (ω + 1)) for ≤ ω < π : ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ،)خ( ﺳﻴﮕﻨﺎل داده ﺷﺪه
)+ cos(7πn 3 ) = − sin (πn ) + cos(πn ) 3 3 x[n ] = sin 5πn
=−
)
3
− jπn 1 jπn 3 − jnπ 3 1 jπn 3 3 e − e + e + e 2 2j
( )
π
((
) (
)) ( (
) (
))
δ ω − π 3 − δ ω + π 3 + π δ ω − π 3 + δ ω + π 3 m ≤ ω < π j ﺑﻪ ﺻﻮرتx[n] ﺿﺮاﻳﺐ ﺳﺮي ﻓﻮرﻳﻪ. ﻣﻲ ﺑﺎﺷﺪN = 6 ﺳﻴﮕﻨﺎﻟﻲ ﭘﺮﻳﻮدﻳﻚ ﺑﺎ دوره ﻣﺘﻨﺎوبx[n] ()ط
x e jω = −
:زﻳﺮ اﺳﺖ
٤١٠
)n
6
(
− j 2π
x[n]e
5
∑6 = n
ak = 1
− jπ 5 k e 1 − δ ω − 2π − 2π 1 1 = 2π 2π )k ( j − ∑6 6 1 − e 6 6 = n )ي( ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﻣﻌﺎدﻟﻪ آﻧﺎﻟﻴﺰ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ) (5,9دارﻳﻢ:
) (
4
) ( 13
4 5 − 3 cos ω ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﺧﺎﺻﻴﺖ دﻳﻔﺮاﻧﺴﻴﻞ ﮔﻴﺮي از ﺣﻮزه ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﺑﺪﺳﺖ ﻣﻲ آورﻳﻢ: FT ← →
12 sin ω ) (5 − 3 cos ω
n
n
FT ← →− j
)( 3
n1
ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ: 4 12 sin ω −j 5 − 3 cos ω (5 − 3 cos ω )2 )ك( دارﻳﻢ:
ω <π 5 π ≤ ω <π 5
FT ← →
n
) ( 3 ) − (13 n
( 5 )←→ x (e ) = 1 πn jω
sin πn
FT
1
x[n ] = n 1
= ]x1 [n
و ﻧﻴﺰ: 7πn FT jω x2 [n] = cos = cos πn 2 ←→ x2 e = π δ ω − π 2 + δ ω + π 2 2 در ﺑﺎزه . ≤ ω < nﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ اﮔﺮ ] x[n] = x1 [n]x2 [nﺑﺎﺷﺪ ،در اﻳﻨﺼﻮرت:
))
( )
(( ) (
) ( ) (
) (
) (
ﻛﺎﻧﻮﻟﻮﺷﻦ ﻣﺘﻨﺎوب x e jω = x 2 e jω , x1 e jω ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﻣﻜﺎﻧﻴﺰم ﺗﻌﻴﻴﻦ ﻛﺎﻧﻮﻟﻮﺷﻦ ﭘﺮﻳﻮدﻳﻚ در ﻣﺜـﺎل ،5,15در ﺑـﺎزه ≤ ω ≤ πﺑﺪﺳـﺖ ﻣـﻲ آورﻳﻢ: 1 3π < ω < 7π x e = 10 10 other ..........................................................................................................................................................
) ( jω
٤١١
(5,22ﻋﺒﺎرﺗﻬﺎي زﻳﺮ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ﺳﻴﮕﻨﺎﻟﻬﺎي ﮔﺴﺴﺘﻪ در زﻣﺎن ﻫﺴﺘﻨﺪ .ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﺑﺎ ﻫﺮ ﻛـﺪام را ﺑﻴﺎﺑﻴﺪ. 3π 4
≤ ≤ω
π
4 3π π < ≤ ω ≤π , ≤ ω 4 4 −2 jω −3 jω −10 jω + 2e − 4e +e
)
1, = ,
) (
) X e jωاﻟﻒ(
( ) X (e ) = eج( − π ≤ ω ≤ πدر ) X (e ) = cos ω + sin 3ωد( (− 1) δ ω − π k ∑ = ) ) X (eﻫـ( 4
) X e jω = 1 + 3e − jωب( − jω / 2
2
2
k
∞
jω
jω
jω
∞k = −
1 1 − e − jω 3 = − 2 jω 1 − jω 1 1− e − 4 8 1 e − jω − 5 = 1 − jω 1− e 5
) (
) X e jωو(
) X e jωز(
6
1 1 − e −6ω 3 = 1 1 − e − jω 3 ﺣﻞ: )اﻟﻒ( ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﻋﻜﺲ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ) (5,8دارﻳﻢ: 1 −π 4 jωn 1 3π 4 jωn ω e d + e dω ∫ 2π −3π 4 2π ∫π 4 1 3πn = sin − sin πn 4 πn 4
= ]x[n
) (
)ب( ﺑﺎ ﻣﻘﺎﻳﺴﻪ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ داده ﺷﺪه ﺑﺎ ﻣﻌﺎدﻟﻪ آﻧﺎﻟﻴﺰ ) (5,8دارﻳﻢ:
) (
) X e jωط(
٤١٢
]x[n] = δ [n] + 3δ [n − 1] + 2δ [n − 2] − 4δ [n − 3] + δ [n − 10 )ج( ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﻋﻜﺲ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ) (5,8دارﻳﻢ: e jωn dω
2
−ω
e
π
∫π −
1 2π
(− 1)n+1 1 2 )د( ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ داده ﺷﺪه ،ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ:
= ]x[n =
πn +
) (
) x e jω = cos 2 ω + sin 2 (2ω ) 1 + cos(2ω ) 1 − cos(3ω = + 2 2 1 1 1 1 = 1 + e 2 jω + e −2 jω − e 3 jω − e 3 jω 4 4 4 4 ﺑﺎ ﻣﻘﺎﻳﺴﻪ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ﺑﺎ آﻧﺎﻟﻴﺰ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ) (5,8دارﻳﻢ: 1 1 1 1 ]x[n ] = δ [n] + δ [n − 2] + δ [n + 2] − δ [n − 3] − δ [n − 3 4 4 4 4
π
ﻣﻲ ﺑﺎﺷﺪ.
)ﻫـ( آﻧﭽﻪ داده ﺷﺪه اﺳﺖ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ﻳﻚ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﭘﺮﻳﻮدﻳﻚ ﺑﺎ ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﭘﺎﻳﻪ 2 k ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ﭘﺮﻳﻮد ﭘﺎﻳﻪ آن 4ﻣﻲ ﺑﺎﺷﺪ .و ﻧﻴﺰ ،ﺿﺮﻳﺐ ﺳﺮي ﻓﻮرﻳﻪ اﻳﻦ ﺳﻴﮕﻨﺎل ) ak = (− 1ﻣـﻲ ﺑﺎﺷـﺪ. ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ اﺳﺖ: + jnπ
j 3πn
−e
2
= 1− e
2
( 2 )n
jk π
3
x[n ] = ∑ (− 1) e k
= k
)و( ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ را ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ ﻣﻲ ﺗﻮان ﻧﻮﺷﺖ: − jωn
∞
( 5 )∑ (115) e n
− 1
− jωn
n =c
− jωn
∞
(1 ) e 5∑ 5 n
n =c
−1
( 5) e n
−ωn
∞
) (
x e jω = e − jω ∑ 1 n =c
( 5) e n
∞
= 5∑ 1 n =1
ﺑﺎ ﻣﻘﺎﻳﺴﻪ ﻫﺮ دو ﺟﻤﻠﻪ ي در ﻃﺮف راﺳﺖ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﻓﻮق ﺑﺎ ﻣﻌﺎدﻟﻪ آﻧﺎﻟﻴﺰ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ) (5,9دارﻳﻢ:
٤١٣
n +1
1 ] u[n − 1] − u[n 5 5 )ذ( ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ داده ﺷﺪه را ﺑﻪ ﺷﻜﻞ زﻳﺮ ﻣﻲ ﺗﻮان ﻧﻮﺷﺖ:
) (
n −1
2/9 7/9 + − j ω 1 1− 1 e 1 + e − jω 2 4
x[n ] = 1
) (
= x e jω
ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ:
) (
) (
n 2 1 n ] u[n ] + 7 − 1 u[n 9 4 9 2 )ج( ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ داده دﺷﻪ را ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ ﻣﻲ ﺗﻮان ﻧﻮﺷﺖ:
= ] x[n
1 x e jω = 1 + 1 e − jω + 1 = e −2 jω + 1 3 e − j 3ω + 1 4 e − j 4ω + 5 e − j 5ω 3 3 3 3 3 ﺑﺎ ﻣﻘﺎﻳﺴﻪ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ﺑﺎ آﻧﺎﻟﻴﺰ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ) (5,8دارﻳﻢ:
) (
1 ]x[n ] = δ [n] + 1 δ [n − 1] + 1 δ [n − 2] + δ [n − 3 3 9 27 1 1 δ [n − 4] + ]δ [n − 5 81 243 .......................................................................................................................................................... +
) ( ﺻﺮﻳﺢ ) X (eاﻧﺠﺎم دﻫﻴﺪ: )اﻟﻒ( ) X (e )ب( ) ∫ X (e )ج( X (e )dω
x E Jω (5,23ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ﺳﻴﮕﻨﺎل ] x[nﺷﻜﻞ م 23-5اﺳﺖ .ﻣﺤﺎﺳﺒﺎت زﻳﺮ را ﺑـﺪون ﻣﺤﺎﺳـﺒﻪ jω
j
π
jω
−π
jω
]٢ x[n
n
٧ ٨
١
-٢-١ ٠ ١ ٢ ٣ ٤ ٥ ٦ ﺷﻜﻞ م 23-5
-١
٤١٤
) (
) د( X e j π )ﻫـ( ﺳﻴﮕﻨﺎﻟﻲ ﺑﺎ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ }) ℜe{X (ωﺑﻴﺎﺑﻴﺪ و آن را رﺳﻢ ﻛﻨﻴﺪ.
)dω (i
)و(
2
π ω ) ∫ π X (e j
)dω (ii
−
2
π ω ∫ π s X (e )/ dω j
−
ﺣﻞ: )اﻟﻒ( از ﻣﻌﺎدﻟﻪ ) (5,9دارﻳﻢ: ∞
( ) ∑ x[n] = 6 )ب( ﺗﻮﺟﻪ ﻛﻨﻴﺪ ﻛﻪ ] y[n] = x[n + 2ﻳﻚ ﺳﻴﮕﻨﺎل زوج اﺳﺖ .ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ) Y (eﺳﻴﮕﻨﺎﻟﻲ ﺣﻘﻴﻘـﻲ و زوج ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد .اﻳﻦ ﺑﻴﺎن ﻣﻲ ﻛﻨﺪ ﻛﻪ = ) . Y (eﺑﻌﻼوه از ﺧﺎﺻﻴﺖ ﺷﻴﻔﺖ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ دارﻳﻢ: ) Y (ejω ) = e x (eﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ c(e ) = e = x e j
∞n = −
jω
jω
jω
−2 jω
j 2ω
jω
)ج( از ﻣﻌﺎدﻟﻪ ) (5,8دارﻳﻢ:
) (
π
2π × [ ] = ∫ x e jω dω −π
ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ π ω ∫ π x(e )dω = 4π j
−
)د( از ) (5,9دارﻳﻢ: =2
∞
)( ) ∑ x[n](− 1
n
= x e jπ
∞n = −
)ﻫـ( از ﺟﺪول 5,1دارﻳﻢ: FT ε {x[n]}← }) → Re{x(e jω
}] εv{x[n]} = {x[n] + x[− nﻛـﻪ در ﺷـﻜﻞ ح.5,23 ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ :ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻣﻄﻠﻮب ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ < ﻧﺸﺎن داده ﺷﺪه اﺳﺖ.
}]εv{x[n 2 ١ ﺷﻜﻞ ح5,23
1
-٧ -٦ ٧ -٥ -٤ -٣ -٢ -١ ٠ ١ ٢ ٣ ٤ ٥ ٦ −1 −1 2 2
٤١٥
)د( ) (iاز ﻗﻀﻴﻪ ﭘﺎرﺳﺌﻮال دارﻳﻢ: = 28π
2
∞+
]∑ x[n
dω = 2π
2
) ( ∫ x e jω
∞+
∞n = −
∞−
) (iiﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﺧﺎﺻﻴﺖ ﺷﻴﻔﺖ در ﺣﻮزه ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ دارﻳﻢ:
) (
dx e jω nx[n]←→ j dω دوﺑﺎره ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﻗﻀﻴﻪ ﭘﺎرﺳﺌﻮال دارﻳﻢ: x[n ] 2 = 316π
FT
2
∞
2
n
∑
dω = 2π
) (
dx e jω dω
∞n = −
∞+
∫
∞−
.......................................................................................................................................................... (5,24ﺗﻌﻴﻴﻦ ﻛﻨﻴﺪ ﻛﻪ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ﻫﺮ ﻳﻚ از ﺳﻴﮕﻨﺎﻟﻬﺎي داده ﺷﺪه ﻛﺪام ﻳـﻚ از ﺧﺎﺻـﻴﺘﻬﺎي زﻳـﺮ را دارﻧﺪ:
}) ( {
g m {X (e jω )} = .2
ℜe X e jω = .1
]x[n ٢
)اﻟﻒ(
3 2
١
1 2
n
-١ ٠ ١ ٢ ٣ ٤ ٥ ٦
... ...
n
٢ -٢ -١ ٠ -١ ٢ ١
)ب(
n
٠
-١ )ج(
٤١٦
٢ ١
n
٠
-١ )د(
) (
.3ﻋﺪد ﺣﻘﻴﻘﻲ aوﺟﻮد دارد ﻛﻪ ﺑﻪ ازاي آن e jaω X e jωﺣﻘﻴﻘﻲ اﺳﺖ.
) (
X e jω dω = .4
( ) .5 X (e ) = .6
π
∫π −
X e jωﺣﻘﻴﻘﻲ اﺳﺖ. j
)اﻟﻒ( ] x[nﺷﻜﻞ م ) 24-5اﻟﻒ( )ب( ] x[nﺷﻜﻞ م ) 24-5ب( n
1 )ج( ]x[n ] = u[n 2 n
1 )د( x[n] = 2 )ﻫـ( ]x[n] = δ [n − 1] + δ [n + 2
)و( ]x[n] = δ [n − 1] + δ [n + 3
٤١٧
)ط( ]x[n] = δ [n − 1] − δ [n + 1 )ح( ] x[nﺷﻜﻞ م ) 24-5د( ﺣﻞ:
}) ( {
) (1ﺑﺮاي اﻳﻨﻜﻪ = Re x e jωﺑﺎﺷﺪ ،ﺳﻴﮕﻨﺎل ﺑﺎﻳﺴﺘﻲ ﺣﻘﻴﻘﻲ و ﻓﺮد ﺑﺎﺷﺪ .ﺗﻨﻬﺎ ﺳـﻴﮕﻨﺎﻟﻬﺎي )ب( و )ج( ﺣﻘﻴﻘﻲ و ﻓﺮد ﻫﺴﺘﻨﺪ.
) (
) (2ﺑﺮاي اﻳﻨﻜﻪ = Im e jωﺑﺎﺷﺪ ،ﺳﻴﮕﻨﺎل ﺑﺎﻳﺴﺘﻲ ﺣﻘﻴﻘﻲ و زوج ﺑﺎﺷﺪ ،ﺗﻨﻬـﺎ ﺳـﻴﮕﻨﺎﻟﻬﺎي )ت( و )چ( ﺣﻘﻴﻘﻲ و زوج ﻫﺴﺘﻨﺪ.
) (
) (3ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ }) ( {
، Y e jω = e jaω x e jωﺑﺎ اﺳـﺘﻔﺎده از ﺧﺎﺻـﻴﺖ ﺷـﻴﻔﺖ زﻣـﺎﻧﻲ ﺗﺒـﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳـﻪ
دارﻳﻢ. y[n] = x[n + a ] :
) (
اﮔــﺮ Y e jωﺣﻘﻴﻘــﻲ ﺑﺎﺷــﺪ :در اﻳﻨــﺼﻮرت ] y[nﺣﻘﻴﻘــﻲ و زوج ﺧﻮاﻫــﺪ ﺑــﻮد) .ﻓــﺮض ﻛﻨﻴــﺪ ﻛﻪ ] x[nﺣﻘﻴﻘﻲ اﺳﺖ.(. ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ] x[nﺑﺎﻳﺴﺘﻲ ﺑﺮﺣﺴﺐ αﺑﺎﺷﺪ .ﻛﻪ اﻳﻦ ﻓﻘﻂ در ﻣﻮرد ﺳـﻴﮕﻨﺎﻟﻬﺎي )اﻟـﻒ( و )ب( و )ت( و ث( و )ح( و )خ( ﺻﺪق ﻣﻲ ﻛﻨﺪ. π
ω ) (4ﭼﻮن ] [∫ π x(e )dω = 2πx j
−
اﺳﺖ ،ﺷﺮط داده ﺷﺪه ﺗﻨﻬﺎ در ﺣـﺎﻟﺘﻲ ﺑﺮﻗـﺮار ﻣـﻲ ﺷـﻮد ﻛـﻪ
= ] [ . xﻳﻌﻨﻲ اﻳﻦ در ﻣﻮرد ﺳﻴﮕﻨﺎﻟﻬﺎي )ب( و )ت( و )ث( و )خ( و )ج( ﺻﺪق ﻣﻲ ﻛﻨﺪ.
) (
) x e jω (5ﺑﺎ ﭘﺮﻳﻮد 2πﻫﻤﻮاره ﭘﺮﻳﻮد ﻳﻚ اﺳﺖ .ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ﺗﻤﺎم ﺳﻴﮕﻨﺎﻟﻬﺎي اﻳﻦ ﺷﺮط را ﺑـﺮآورده ﻣﻲ ﻛﻨﻨﺪ. ∞+
) (6ﭼﻮن ) ∑ x[n] = x(e j
∞n = −
،ﺷﺮاﻳﻂ داده ﺷﺪه ﺗﻨﻬﺎ اﮔﺮ ﻧﻤﻮﻧﻪ ﻫﺎي ﺳـﻴﮕﻨﺎﻟﻬﺎي ﻓـﺮد ﺑﺮاﺑـﺮ ﺻـﻔﺮ
ﺑﺎﺷﻨﺪ ،ﺑﺮآورده ﻣﻲ ﺷﻮد. اﻳﻦ در ﻣﻮرد ﺳﻴﮕﻨﺎﻟﻬﺎي )ب( و )ح( و )چ( ﺻﺤﻴﺢ اﺳﺖ. .......................................................................................................................................................... (5,25ﺳﻴﮕﻨﺎل ﺷﻜﻞ م 25-5را در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ .ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ اﻳﻦ ﺳﻴﮕﻨﺎل را ﺑﻪ ﺷﻜﻞ دﻛﺎرﺗﻲ ﻳﺮ ﻣﻲ ﻧﻮﻳﺴﻴﻢ
٤١٨
]x[n ٣ ٢ ٢ ٣ ٤ ٥
n
٠ ١
١
-٢ -١
-١
-٣
-١
-٢ ﺷﻜﻞ م 25-5
) (
) X e jω = A(ω ) + jB(ω ﺗﺎﺑﻊ زﻣﺎﻧﻲ ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﺑﺎ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ﻳﺮ را ﭘﻴﺪا ﻛﻨﻴﺪ.
]
ﺣﻞ:
[ ) (
Y e jω = B(ω ) + A(ω )e jω
) (
اﮔﺮ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ x e jωﺑﺎﺷﺪ در اﻳﻨﺼﻮرت:
x[n] + x(− n ) FT ) ←→ A(ω 2
= }]xe [n] = εv{x[n ,
x[n ] − x[− n ] FT ) ←→ jB(ω 2 ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ،ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ) B(ωﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ ] . − jx [nﻫﻤﭽﻨﻴﻦ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ﻣﻌﻜـﻮس ) e jω A(ω = }]x [n ] = Od {x[n
ﺑﺮاﺑــﺮ اﺳــﺖ ﺑــﺎ ] . xe [n + 1ﺑﻨــﺎﺑﺮاﻳﻦ ،ﺗــﺎﺑﻊ زﻣــﺎﻧﻲ ﻣﺘﻨــﺎﻇﺮ ﻓﻮرﻳــﻪ ﻣﻌﻜــﻮس B(ω ) + A(ω )e jωﺑــﺎ ] xe [n +1] − jx [nﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد. ﻛﻪ در ﺷﻜﻞ ح 5-25ﻧﻤﺎﻳﺶ داده ﺷﺪه اﺳﺖ.
٤١٩
]X e [n
]X o [n
ﺷﻜﻞ ح5-25
ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻣﻄﻠﻮب = ]xe [n + 1] − jx [n ..........................................................................................................................................................
) (
(5,26ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ ] x1 [nﺳﻴﮕﻨﺎﻟﻲ ﺑﺎ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ X 1 e jωﺷﻜﻞ م ) 26-5اﻟﻒ( اﺳﺖ.
) (
)اﻟﻒ( ﺳﻴﮕﻨﺎل ] x2 [nﺑﺎ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ X 2 e jωﺷﻜﻞ م ) 26-5ب( را در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳـﺪ x2 [n] .را
) (
) (
ﺑﺮ ﺣﺴﺐ ] x1 [nﺑﻴـﺎن ﻛﻨﻴـﺪ] .راﻫﻨﻤـﺎﻳﻲ :اﺑﺘـﺪا x2 e jωرا ﺑﺮﺣـﺴﺐ X 1 e jωﺑﻨﻮﻳـﺴﻴﺪ و ﺳـﭙﺲ ﺧﻮاص ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ را ﺑﻪ ﻛﺎر ﺑﺮﻳﺪ[.
) (
)ب( ﺑﻨﺪ )اﻟﻒ( را ﺑﺮاي ] x3 [nداراي ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ X 3 e jωﺷﻜﻞ م ) 26-5ج( ﺗﻜﺮار ﻛﻨﻴﺪ.
}) ( {
g m X 1 e jω
١
ω
π
π
π
3
6
π
-١
6
−
π
π
−π
−
π 3
3
π 6
π
−
6
)اﻟﻒ(
) (
X 2 e jω
ω
π
π
π
3
3
−π −
π 3
−
−π
٤٢٠
) X 3 (e jω
−π
π )ج( ﺷﻜﻞ م 26-5 )ج( ﻛﻤﻴﺖ زﻳﺮ را ﻛﻪ ﻣﺮﻛﺰ ﮔﺮاﻧﺶ ﺳﻴﮕﻨﺎل ] x1 [nاﺳﺖ. ∞
]∑ n x [n
=n
1
∞n = − ∞
]∑ x [n
=a
1
∞n = −
ﻣﻌﻤﻮﻻً زﻣﺎن ﺗﺄﺧﻴﺮ ﺳﻴﮕﻨﺎل ] x1 [nﻣﻲ ﻧﺎﻣﻨﺪ a .را ﺑﻴﺎﺑﻴﺪ) .ﺑﺮاي اﻧﺠﺎم اﻳﻦ ﻛﺎر ﻻزم ﻧﻴﺴﺖ ] x1 [nرا sin π / 6 πn
= ] h[n
٤٢١
) (
X 4 e jωرا رﺳﻢ ﻛﻨﻴﺪ.
ﺣﻞ:
) ( ) }
)اﻟﻒ( ﻣﻲ ﺗﻮان x e jωرا ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ ﺑﻴﺎن ﻛﺮد:
}) ( { ) ( ) ( + Re{x (e })
{
x2 e jω = Re x1 e jω + Re x1e j (ω −2π / 3 j ω + 2π / 3
1
ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ: j 2π − j 2π 3 x2 [n ] = εv 1 + e 3 + e )ب( x3 e jωرا ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ ﻣﻲ ﺗﻮاﻧﻴﻢ ﺑﻴﺎن ﻛﻨﻴﻢ:
) (
})
})
( {
) (
( {
) x3 e jω = Im x1 e j (ω −n ) + Im x1 e j (π +ω
ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ:
]
[
x3 [n] = od {x1 [n ]} e jπn + e − jπn
}]= 2(− 1) od {x1 [n )ج( ∝ را ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ ﻣﻲ ﺗﻮاﻧﻴﻢ ﺑﻴﺎن ﻛﻨﻴﻢ: n
) (
dx1 e jω j − 6 j π 6 dω = =α = jω π 1 x1 e j
) (
) (
د( ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از اﻳﻦ ﺣﻘﻴﻘﺖ ﻛﻪ H e jωﭘﺎﺳﺦ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ ﻳﻚ ﻓﻴﻠﺘﺮ ﭘﺎﺋﻴﻦ ﮔﺬر ﺑﺎ اﻳﺪه آل ﺑﺎ ﻓﺮﻛـﺎﻧﺲ
) (
ﻗﻄﻊ ، π 16ﻣﻲ ﺗﻮان x4 e jωرا ﻣﺎﻧﻨﺪ ﺷﻜﻞ ح 5,26رﺳﻢ ﻛﺮد:
}) ( {
}) ( {
Re x 4 e jω
jω Im e jω
ω ﺷﻜﻞ ح5,26
2
١
π 2
−π
ω
π
4
π
4
−π
−π
٤٢٢
..........................................................................................................................................................
) (
) (5,27اﻟﻒ( ] x[nﻳﻚ رﺷﺘﻪ ﮔﺴﺴﺘﻪ در زﻣﺎن ﺑﺎ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ X e jωﺷﻜﻞ م 27-5اﺳـﺖ .ﺑـﻪ ازاي ﻫﺮ ﻳﻚ از ﺳﻴﮕﻨﺎﻟﻬﺎي ] p[nزﻳﺮ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ] w[n] = x[n] p[nرا رﺳﻢ ﻛﻨﻴﺪ:
)p[n] = cos π n (i )p[n] = cos(πn / 2) (ii )p[n] = sin (π n / 2) (iii ∞
)∑ δ [n − 2k ] (iv
= ]p[n
∞k = − ∞
)∑ δ [n − 4k ] (v
= ]p[n
∞k = −
)ب( ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ ﺳﻴﮕﻨﺎل ] w[nﺑﻨﺪ )اﻟﻒ( ورودي ﻳﻚ ﺳﻴﺴﺘﻢ ،LTIﺑﺎ ﭘﺎﺳﺦ ﺿﺮﺑﻪ زﻳﺮﺳﺖ sin π n / 2 πn
ﺧﺮوﺟﻲ ] y[nرا ﺑﻪ ازاي ﻫﺮ ﻳﻚ از ] p[nﻫﺎي ﺑﻨﺪ )اﻟﻒ( ﺗﻌﻴﻴﻦ ﻛﻨﻴﺪ.
= ]h[n
) (
X e jω ١
ω
4π
2π
ππ
π
2
2
−
−π
− 2π
ﺷﻜﻞ م 5-27 ﺣﻞ:
) ( ) (
) (
)اﻟﻒ( w e jωﻛﺎﻧﻮﻟﻮﺷﻦ ﭘﺮﻳﻮدﻳﻚ x e jωو p e jωﺧﻮاﻫﺪ ﺷـﺪ .ﺗﺒـﺪﻳﻼت ﻓﻮرﻳـﻪ در ﺷـﻜﻞ ح 5,27ﻧﺸﺎن داده ﺷﺪه اﻧﺪ.
)ب( ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ] y[nﻛﻪ ﺑﺮاﺑﺮ ) Y (eﻣﻲ ﺑﺎﺷﺪ ﺑﺮاﺑـﺮ اﺳـﺖ ﺑـﺎ) ( ) = p(e )H (e jω
jω
ﺳﻴﺘﻢ ،LTIﭘﺎﺳﺦ ﻧﻤﻮﻧﻪ ي ] h[nﻳﻚ ﻓﻴﻠﺘﺮ ﭘﺎﺋﻴﻦ ﮔﺬر اﻳﺪه آل ﺑﺎ ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﻗﻄﻊ
jω
2
jω
Ye
πﻣﻲ ﺑﺎﺷﺪ ،ﺑﻨـﺎﺑﺮاﻳﻦ
٤٢٣
( )
ﺑﺮاي ﻫﺮﻣﻮرد ﺑﺮا ﺑﺮy[n] در ﻧﺘﻴﺠﻪ، ﻧﺸﺎن داده ﺷﺪه27,5 در ﺷﻜﻞ حP[n] ﺑﺮاي ﻫﺮ اﻧﺘﺨﺎبY e jω
:اﺳﺖ
(ii) ( y[n] = (iii) ( y[n] =
( 2 ) − 1 − Cos(nπ 2 )
sin nπ
2πn sin nπ
π 2n2
π 2n2
π 2n2
( 2 ) − 1 − Cos(nπ 2 ) ( )
sin nπ 4 (iv) ( y[n] = 2 πn
(v)
( )
sin nπ 2 y[n] = 2 πn
2
2
y[n] = c (i)
٤٢٤
z (e
jω
jω
z (e
)
)
1/2
1/2 اi
1/2
اii
...
...
π
−π
z (e اiii
jω
... −π
ω
π z (e
)
...
... −π
π
jω
jω
ω
)
1/2
اiv
j/2
z (e
...
...
... −π
ω
π
)
z (e
اv
اv
jω
ω
)
z (e
jω
)
1/4 ...
... −π
π /2
−π / 2
Y (e
jω
)
π
ω
ω
1/2
Y (e
j/2
بii
jω
)
بiii
π /2 −π / 2
π /2 Y (e
jω
ω
ω
−π / 2 − j/2
)
Y (e
1/2
jω
)
1/4
بiv
بv
−π / 2
π /2
ω
−π / 2
π /2
ω
5,27ﺷﻜﻞ ح
٤٢٥
..................................................................................................................................................
) (
) (
"(5,28ﺳــﻴﮕﻨﺎﻟﻬﺎي ] x[nو ] g [nﺑــﺎ ﺗﺒــﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳــﻪ ﻫــﺎي X e jωو G e jωداده ﺷــﺪه اﺳــﺖ.
) (
) (
ﻫﻤﭽﻨﻴﻦ راﺑﻄﻪ X e jωو G e jωﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ اﺳﺖ: 1 +π X e jθ G e j (ω −θ ) dθ = 1 + e − jω )م (1-28-5 2π ∫−π n )اﻟﻒ( ﺑﻪ ازاي ) x[n] = (− 1ﺳﻴﮕﻨﺎل ] g [nرا ﭼﻨﺎن ﺗﻌﻴﻴﻦ ﻛﻨﻴﺪ ﻛـﻪ ﺗﺒـﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳـﻪ
() (
)
ﻣﻌﺎدﻟﻪ )م (1-28-5را ارﺿﺎ ﻛﻨﺪ .آﻳﺎ ﺟﻮاﺑﻬﺎي دﻳﮕﺮي ﻫﻢ ﺑﺮاي ] g [nوﺟﻮد دارد؟ n
1 )ب( ﺑﻨﺪ )اﻟﻒ( را ﺑﻪ ازاي ] x[n] = u[nﺗﻜﺮار ﻛﻨﻴﺪ. 2 ﺣﻞ:
ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ 1 π x e if G e j (ω −θ ) dθ ∫ π − 2π = 1 + e − jω = Y e jω ﺑﺎ اﻋﻤﺎل ﻋﻜﺲ ﺗﺒﺪﻻت ﻓﻮرﻳﻪ دارﻳﻢ:
( ) ( ) ) (
]g [n]x[n] = δ [n] + δ [n − 1] = y[n
n
n
− j j n 1 − j 11 ] u[n ] + u[n 2 u[n ] + 2(1 − j ) 2(1 + j ) 2 22
= ] y[n
) (iiدر اﻳﻦ ﻣﻮرد:
]( 2 ) 4 − (1 ) u[n 2 3
Cos nπ
n
= ]y[n
)ج( در اﻳﻨﺠﺎ:
) ( ) (
) (
Y e jω = X e jω H e jω = −3e −2 jω − e jω + 1 − 2e − j 2ω + 2e − 2 jω − 2e −3 jω + 4e − j 5ω
− jω
+ 6e
+ 3e j 5ω + e j 4ω − e + j 3ω + 2e jω
) (
G e jωآن
٤٢٦
ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ: ]y[n ] = 3δ [n + 5] + δ [n + 4] − δ [n + 3] − 3δ [n + 2] + δ [n + 1] + δ [n] + 5δ [n − 1 ]− 2δ [n − 3] + 4δ [n − 5 ..........................................................................................................................................................
) (5,30اﻟﻒ( ﭘﺎﺳﺦ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ ﺑﻪ اﻳﻦ ﺳﻴﺘﻢ در ﺷﻜﻞ ح 5,30ﻧﺸﺎن داده ﺷﺪه اﺳﺖ.
) ( nπ y[n ] = Sin ) (iﭘﺎﺳﺦ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ ) H (eدر ﺷﻜﻞ ح 5,30ﻧﺸﺎن داده ﺷﺪه اﺳﺖ ،ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ n ) (iiﭘﺎﺳﺦ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ ) H (eدر ﺷﻜﻞ ﻫﺎي ح 5,30ﺑﻪ ﻧﻤﺎﻳﺶ درآﻣﺪه اﺳﺖ ﭘﺲ:
)ب( ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ x e jωﺑﺮاي ) x(tدر ﺷﻜﻞ ح 5,30ﻧﺸﺎن داده ﺷﺪه اﺳﺖ. jω
jω
) ( 8 )− 2 Cos(nπ 4
y[n] = 2 Sin nπ
) (
) (iiiﭘﺎﺳﺦ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ H e jωدر ﺷﻜﻞ ح 5,30ﻧﻤﺎﻳﺶ داده ﺷﺪه اﺳﺖ ﭘﺲ:
) (
) (
y[n] = 1 Sin nπ − 1 Cos nπ 6 8 4 4 ) (ivﭘﺎﺳﺦ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ H e jωدر ﺷﻜﻞ ح 5,30ﺑﻪ ﻧﻤﺎﻳﺶ درآﻣﺪه اﺳﺖ .ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ:
) (
)( 4
y[n] = − Sin πn
)
jω
X (e
π/j
ω
)
π /8
jω
H (e
π −π / 8 −π / 4
π
ω
−π
) H(e jω )
ω
π /2
π /6
−π / 6
−π / 2
ω
π
jω
H (e
−π / 4
−π
٤٢٧
)1 / 2 j
ω
jω
H (e
π /6
π /2
)
−1 / 2 j
ω
−π / 2
−π / 6
)
ω
jω
jω
π /2
H (e
π /6
−π / 6
−π / 2
H (e
π /3
−π / 3
ﺷﻜﻞ )ح(5,30
1 )ﺗﻮﺟﻪ ﻛﻨﻴﺪ ﻛﻪ در ﺷﻜﻞ )ب (ivﻣﻘﺪار 2j ﻛﻪ در زﻳﺮ آﻣﺪه اﺳﺖ ﺑﻮده اﻣﺎ ﺑﺎ ﻳﻚ اﻧﻌﻜﺎس ﺑﻪ ﺳﻤﺖ ﺑﺎﻻي ﻣﺤـﻮر xﻫـﺎ ﻳـﻚ ﺿـﺮﻳﺐ ) (-ﺑـﻪ ﺧـﻮد −ﺑﻪ اﻳﻦ ﻣﻌﻨﺎﺳﺖ ﻛﻪ ﺷﻜﻞ در ﺣﺎﻟﺖ اﺻﻠﻲ ﺑـﻪ ﺷـﻜﻲ
ﮔﺮﻓﺘﻪ اﺳﺖ (.ﻳﻌﻨﻲ :
) (
H e jω
1/ 2 j
6
ω 2
π
6
−π
2
−π
π
2j
− 1
) (
)ج( ﭘﺎﺳﺦ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ H e jωدر ﺷﻜﻞ ح 5,30آﻣﺪه اﺳﺖ. ) (iﺳﻴﮕﻨﺎل ] x[nﺑﺎ ﭘﺮﻳﻮد 8ﻣﺘﻨﺎوب اﺳﺖ .ﺿﺮاﻳﺐ ﺳﺮي ﻓﻮرﻳﻪ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻋﺒﺎرﺗﺴﺖ از:
٤٢٨
1 7 − j (2π )kn 8 x[n ]e ∑ = 8 n ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ: ∞+
= ak
) ( ) ∑ 2πa δ (ω − 2kπ 8 ﺗﺒــﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳــﻪ ) Y (eﺧﺮوﺟــﻲ ﻋﺒﺎرﺗــﺴﺖ از ) ، Y (e ) = X (e )H (eﺑﻨــﺎﺑﺮاﻳﻦ؛ در ﺑــﺎزه = X e jω
k
∞k = − jω
jω
jω
jω
ω ≤π
]) )+ a δ (ω + π 4 −1
4
[
(
) (
Y e jω = 2π a δ (w) + a1δ w − π
ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ: jπn
− jπ
+ a −1e
4
y[n] = a + a1e
4
= 5 + 1 + 1 1 Cos nπ 8 4 2 4 2 ) (iiﺳﻴﮕﻨﺎل ] x[nﺑﺎ ﭘﺮﻳﻮد ،8ﻣﺘﻨﺎوب اﺳﺖ .ﺿﺮاﻳﺐ ﺳﺮي ﻓﻮرﻳﻪ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﺑﺮاﺑﺮﻧﺪ ﺑﺎ:
) (
) ( ) (
1 7 − j (2π )kn 8 x[n ]e ∑ = 8 n ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ:
= ak
∞+
)( ) ∑ 2π a δ (ω − 2kπ / 8 ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ) Y (eﺧﺮوﺟﻲ ﺑﺮاﺑﺮ ﻣﻲ ﺑﺎﺷﺪ ﺑﺎ ، Y (e ) = X (e )H (e ) :ﺑﻨـﺎﺑﺮﻳﻦ ﻣﻄﻠـﺐ؛ = X e jω
k
∞k = − jω
jω
در ﺑﺎزه : ≤ ω ≤ π
]) )+ a δ (ω + π 4 −1
4
jω
jω
[
(
) (
Y e jω = 2π a δ (ω ) + a1δ ω − π
ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ:
) (
1 = 1 + Cos nπ . 8 4 4
− jπ
4
jπn
+ a −1e
4
y[n ] = a + a1e
) (
) (iiiدر اﻳﻦ ﻣﻮرد x e jωﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ) x(tﻣﻲ ﺑﺎﺷﺪ ،ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ: nπ = 1 + 1 − 1 1 Cos 8 4 2 2 4
) ( ) (
− jπ
4
jπn
+ a −1e
4
y[n ] = a + a1e
٤٢٩
) (ivدر اﻳﻦ ﻣﻮرد ﺧﺮوﺟﻲ ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ:
Sin π Sin π ( ) ( ) 3 n − 1 3 n + 1 + = ]y[n] = h[n]∗ x[n )π (n − 1 )π (n + 1 ..........................................................................................................................................................
) (
(5,31ﻳﻚ ﺳﻴﺴﺘﻢ LTIﺑﺎ ﭘﺎﺳﺦ ﺿﺮﺑﻪ ] h[nو ﭘﺎﺳﺦ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ H e jωداراي اﻳﻦ وﻳﮋﮔﻲ اﺳﺖ ﻛﻪ
) (
ﺑﻪ ازاي − π ≤ ω ≤ π
cos ω n → ω cos ω n,
اﻟﻒ( H e jωرا ﺑﻴﺎﺑﻴﺪ. )ب( ] h[nرا ﺑﻴﺎﺑﻴﺪ. ﺣﻞ: ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از اﻃﻼﻋﺎت داده ﺷﺪه؛ واﺿﺢ اﺳﺖ ﻛﻪ ﻫﻨﮕﺎﻣﻴﻜﻪ ورودي ﺳﻴﺴﺘﻢ ﻳـﻚ ﻧﻬـﺎﻳﻲ ﻣﺨـﺘﻠﻂ ﺑـﺎ
ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ωﺑﺎﺷﺪ ،ﺧﺮوﺟﻲ ﻧﻴﺰ ﻳﻚ ﻧﻬﺎﻳﻲ ﻣﺨﺘﻠﻂ ﺑﺎ ﻫﻤﺎن ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ اﻣﺎ ﺑﺎ اﺳﻜﻴﻞ ﻳـﺎﻓﺘﻦ ﺑـﻪ اﻧـﺪازه ω ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد.
≤ ω ≤π
for
) (
H e jω = ω
)ب( ﺑﺎ ﮔﺮﻓﺘﻦ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ﻣﻌﻜﻮس ﭘﺎﺳﺦ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ دارﻳﻢ:
1 π H e jω e + jωn dω ∫ π − 2π 1 1 = − ω e jωn dω + ∫ π − 2π 2π π 1 = ∫ ω Cos (ωn )dω
) (
ωe jωn dω
π
∫
ω Cos(ωn )dω
= ]h[n
π
π
1
∫
π
=
1 Cos (nπ ) − 1 π n2 .......................................................................................................................................................... =
٤٣٠
) (
h1 [n] (5,32و ] h2 [nرا ﭘﺎﺳﺦ ﺿﺮﺑﻪ ﻫﻲ دو ﺳﻴﺴﺘﻢ LTIﻋﻠﻲ ﺑﺎ ﭘﺎﺳـﺦ ﻓﺮﻛﺎﻧـﺴﻲ X 1 e jωو
) (
X 2 e jωﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ .آﻳﺎ ﻣﻌﺎدﻟﻪ زﻳﺮ در ﺣﺎﻟﺖ ﻛﻠﻲ درﺳﺖ اﺳﺖ ﻳﺎ ﻧـﻪ؟ ﺑـﺮاي ﺟـﻮاب ﺧـﻮد دﻟﻴﻠـﻲ
ﺑﻴﺎورﻳﺪ. 1 +π +π 1 +π 1 +π jω jω jω jω 2π ∫−π H 1 e dω 2π ∫−π H 2 e = 2π ∫−π ∫−π H 1 e H 2 e dω از ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﻧﻘﻴﺾ ) (5,8دارﻳﻢ:
) ( ) (
) (
) (
1 ω ω ] [ ∫ π H (e )dω 2π ∫ π H (e )dω = h [ ]h π
j
2
2
1
π
j
1
−
−
1 2π
ﻫﻤﭽﻨﻴﻦ ﭼﻮن
) ( ) (
FT h1 [n]∗ h2 [n]← → H 1 e jω H 2 e jω
دارﻳﻢ: 1 π H 1 e jω H 2 e jω dω ∫ π − 2π = = [h1 [n ]∗ h2 [n]]n
) ( ) (
ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ،ﺑﺎ ﻗﺮار دادن ﻣﻘﺪار ﻓﻮق دارﻳﻢ:
=h1 [ ]h2 [ ] = [h1 [n]∗ h2 [n]]n ﭼﻮن] h1 [nو ] h2 [nﺳﺒﺒﻲ ﻫﺴﺘﻨﺪ ،اﻳﻦ ﺑﺎﻳﺴﺘﻲ ﺻﺤﻴﺢ ﺑﺎﺷﺪ. .......................................................................................................................................................... (5,33ﺳﻴﺴﺘﻢ LTIﻋﻠّﻲ ﺗﻮﺻﻴﻒ ﺷﺪه ﺑﺎ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﺗﻔﺎﺿﻠﻲ زﻳﺮ را در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ.
) (
)اﻟﻒ( ﭘﺎﺳﺦ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ H e jωاﻳﻦ ﺳﻴﺴﺘﻢ را ﺑﻴﺎﺑﻴﺪ. )ب( ﭘﺎﺳﺦ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﺑﻪ ورودﻳﻬﺎي زﻳﺮ را ﺑﻴﺎﺑﻴﺪ. n
1 )x[n] = u[n] (i 2 n
−1 )x[n] = u[n ] (ii 2 1 )x[n ] = δ [n ] + δ [n − 1] (iii 2
٤٣١
1 )x[n ] = δ [n ] − δ [n − 1] (iv 2 )ج( ﭘﺎﺳﺦ ﺳﻴﺴﺘﻢ را ﺑﻪ ورودﻳﻬﺎﻳﻲ ﺑﺎ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﺔ داده ﺷﺪه ،ﭘﻴﺪا ﻛﻨﻴﺪ:
1 1 − e − jω 4 = )(i 1 − jω 1+ e 2 1 − jω 1+ e 2 = )(ii 1 − jω 1− e 4
) (
X e jω
) (
X e jω
1 )(iii 1 − jω 1 − jω 1 − e 1 + e 4 2 jω −3 jω X e = 1 + 2e )(iv
) (
= X e jω
) (
ﺣﻞ: )اﻟﻒ( ﺑﺎ ﮔﺮﻓﺘﻦ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ از ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﻳﻔﺮاﻧﺴﻴﻞ داده ﺷﺪه دارﻳﻢ:
) ( ) (
Y e jω 1 = He = jω 1 X e 1 + e − jω 2 jω jω :Y e H e )ب( ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ﺧﺮوﺟﻲ ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ:
) ( jω
) ( ) (
) (iدر اﻳﻦ ﻣﻮرد
1 1 1 − e − jω 2 ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ:
) (
= Y e jω
٤٣٢
1 1 = 1 − 1 e − jω 1 + 1 e − jω 2 2 1 1 2 2 = + 1 − jω 1 − jω 1− e 1+ e 2 2 ﺑﺎ ﮔﺮﻓﺘﻦ ﻋﻜﺲ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ،دارﻳﻢ:
](1 ) u[n] + 12 (− 1 2 ) u[n 2 2 n
n
) (
Y e jω
y[n] = 1
) (iiدر اﻳﻦ ﻣﻮرد
1 1 + 1 e − jω 2
) (
= X e jω
ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ 2
1 = 1 − 1 e − jω 2 ﺑﺎ ﮔﺮﻓﺘﻦ ﻋﻜﺲ ﻓﻮرﻳﻪ؛ ﺑﺪﺳﺖ ﻣﻲ آورﻳﻢ:
) (
Y e jω
]( 2 ) u[n n
y[n] = (n + 1) − 1
) (iiiدر اﻳﻦ ﻣﻮرد 1 X e jω = 1 + e − jω 2
) (
ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ:
) (
Y e jω = 1 ﺑﺎ ﮔﺮﻓﺘﻦ ﻋﻜﺲ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ،دارﻳﻢ:
]) u[n 2 n
(
y[n] = −δ [n] + 2 − 1
٤٣٣
(i) ()ج
( )
Y e jω
1 − jω 1 − 4 e 1 = 1 + 1 e − jω 1 + 1 e − jω 2 2 1 e − jω 1 4 = − 2 2 1 − jω 1 − jω 1 + e 1 + e 2 4 :ﺑﺎ اﻋﻤﺎل ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ﻣﻌﻜﻮس دارﻳﻢ n
1 1 y[n ] = [n + 1] − u[n] − n − 1 2 4 2
(
)
n −1
u[n − 1]
:( دارﻳﻢii)
1 − jω 1+ e 1 Y e jω = 2 1 − 1 e − jω 1 + 1 e − jω 4 2 1 = 1 1 − e − jω 4 : ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ ﺑﺪﺳﺖ ﺧﻮاﻫﺪ آﻣﺪy[n] ﺑﺎ اﻋﻤﺎل ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ﻣﻌﻜﻮس؛
( )
( 4 ) u[n]
y[n] = 1
n
:( دارﻳﻢiii)
٤٣٤
1 1 = 1 e − jω 1 − 1 e − jω 1 + 1 e − jω 1 + 2 4 2 2 2 1 3 9 9 = + + 2 ω − j 1 1 1+ 1 e 1 + e − jω 1 + e − jω 2 2 4 ﺑﺎ ﮔﺮﻓﺘﻦ ﻋﻜﺲ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ دارﻳﻢ:
(
)
)
) (
Y e jω
(
n
n n 2 2 1 ) ]y[n ] = (n + 1) − u[n ] + − 1 u[n] + 1 1 u[n 2 9 4 3 9 2 ) (ivدارﻳﻢ:
) (
) (
1 1 + 1 e − jω 2 − 3 jω 2e + 1 1 + e − jω 2
] ( ) = [1 + 2 e jω
−3 jω
1 1 1 + e − jω 2
Ye
=
ﺑﺎ ﮔﺮﻓﺘﻦ ﻋﻜﺲ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ دارﻳﻢ:
]u[n − 3
) ) u[n] + 2(− 12 221
n −3
n
(
y[n] = − 1
.......................................................................................................................................................... (5,34ﺳﻴﺴﺘﻤﻲ از اﺗﺼﺎل ﺳﺮي دو ﺳﻴﺴﺘﻢ LTIﺑﺎ ﭘﺎﺳﺦ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ زﻳﺮ ﺗﺸﻜﻴﻞ ﺷﺪه اﺳﺖ
2 − e − jω 1 1 + e − jω 2
) (
= H 1 e jω
و 1 1 − jω 1 − j 2ω 1− e + e 2 4 )اﻟﻒ( ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﻳﻔﺮاﻧﺴﻴﻞ ﺗﻮﺻﻴﻒﻛﻨﻨﺪة ﻛﻞ ﺳﻴﺴﺘﻢ را ﺑﻴﺎﺑﻴﺪ.
) (
= H 2 e jω
٤٣٥
)ب( ﭘﺎﺳﺦ ﺿﺮﺑﻪ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﻛﻞ را ﺗﻌﻴﻴﻦ ﻛﻨﻴﺪ. ﺣﻞ: )اﻟﻒ( از آﻧﺠﺎﻳﻲ ﻛﻪ ﺳﻴﺴﺘﻢ داراي اﺗﺼﺎل )آﺑﺸﺎري( ﻳﺎ )ﻛﺎﺳﻜﺪ( ﻣﻲ ﺑﺎﺷﺪ ،ﭘﺎﺳﺦ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ ،ﺳﻴﺴﺘﻢ ﻛﻠﻲ ﻋﺒﺎرت اﺳﺖ از:
) (
) ( ) (
H e jω = H 1 e jω H 2 e jω 2 − e − jω 1 1 + e − j 3ω 2
=
ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ،ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ،ورودي و ﺧﺮوﺟﻲ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﻛﻠﻲ ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ:
) ( ) (
Y e jω 2 − e − jω = X e jω 1 + 1 e −3 jω 8 ﺑﺎ ﻃﺮﻓﻴﻦ و وﺳﻄﻴﻦ ﻛﺮدن و ﻧﻴﺰ اﻋﻤﺎل ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ﻣﻌﻜﻮس ،دارﻳﻢ: 1 ]y[n ] + y[n − 3] = 2 x[n ] − x[n − 1 8 )ب( ﭘﺎﺳﺦ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ ﻛﻠﻲ را ﻣﺠﺪداً ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ ﻣﻲ ﺗﻮاﻧﻴﻢ ﺑﻨﻮﻳﺴﻴﻢ:
(1 − j 3 ) 3 1 1 − e − j120 e − jω 2 ﺑﺎ اﻋﻤﺎل ﻋﻜﺲ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ،دارﻳﻢ:
+
(1 + j 3 ) 3 1 1 − e j120 e − jω 2
+
3
4
1 1 + e − jω 2
) (
= H e jω
n n 1 + j 3 1 + j 3 1 j120 4 − 1 = ]h[n u[n] + ] e u[n 3 2 3 3 2
) (
n
1 − j 3 1 − j120 + e ] u[n 3 2 .......................................................................................................................................................... (5,35ﻳﻚ ﺳﻴﺴﺘﻢ LTIﺑﺎ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺗﻔﺎﺿﻠﻲ زﻳﺮ ﺗﻮﺻﻴﻒ ﺷﺪه اﺳﺖ
]y[n] − ay[n − 1] = bx[n] + x[n − 1 ﻛﻪ در آن aﺣﻘﻴﻘﻲ و ﻛﻮﭼﻜﺘﺮ از 1اﺳﺖ.
٤٣٦
)اﻟﻒ( ﻣﻘﺪار bرا ﺑﻪ ﻧﺤﻮي ﺗﻌﻴﻴﻦ ك ﻧﻴﺪ ﻛﻪ ﭘﺎﺳﺦ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ ﺑﺎﺷﺪ
) (
ﺑﺮاي ﺗﻤﺎم ﻣﻘﺎدﻳﺮ H e jω = 1 ، ω
اﻳﻦ ﺳﻴﺴﺘﻢ را ﺳﻴﺴﺘﻢ ﺗﻤﺎمﮔﺬر ﻣﻲﮔﻮﻳﻨﺪ ،ﭼﻨﻴﻦ ﺳﻴﺴﺘﻤﻲ ﺑـﻪ ازاي ﺗﻤـﺎمِ ﻣﻘـﺎدﻳﺮ e jωn ، ωرا ﺑـﺪون ﺗﻀﻌﻴﻒ ﻋﺒﻮر ﻣﻲدﻫﺪ .در ﺑﻘﻴﻪ اﻳﻦ ﻣﺴﺌﻠﻪ ،ﻫﻤﻴﻦ ﻣﻘﺪار bرا ﺑﻪ ﻛﺎر ﺑﺮﻳﺪ. 1 )ب( ∠H e jωرا در ﻓﺎﺻﻠﺔ ، ≤ ω ≤ πﺑﻪ ازاي 2 1 )ج( ∠H e jωرا در ﻓﺎﺻﻠﺔ ، ≤ ω ≤ πﺑﻪ ازاي ، a = −ﺑﻪ ﻃﻮر ﺗﻘﺮﻳﺒﻲ رﺳﻢ ﻛﻨﻴﺪ. 2 1 )د( ﺧﺮوﺟﻲ ﺳﻴﺴﺘﻢ را ﺑﻪ ازاي a = −و ورودي زﻳﺮ ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ و رﺳﻢ ﻛﻨﻴﺪ 2
) (
= ، aﺑﻪ ﻃﻮر ﺗﻘﺮﻳﺒﻲ رﺳﻢ ﻛﻨﻴﺪ.
) (
n
1 ]x[n ] = u[n 2
اﻳﻦ ﻣﺜﺎل ﻧﺸﺎن ﻣﻲدﻫﺪ ﻛﻪ ﻓﺎز ﻏﻴﺮﺧﻄﻲ اﺛﺮ ﻋﻤﺪهاي ﺑﺮ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻣﻲﮔﺬارد ،ﺑـﺮﺧﻼف ﻓـﺎز ﺧﻄـﻲ ﻛـﻪ ﺗﻨﻬﺎ اﺛﺮش اﻳﺠﺎد ﻳﻚ ﺟﺎﺑﺠﺎﻳﻲ زﻣﺎﻧﻲ اﺳﺖ. ﺣﻞ: ﺑﺎ ﮔﺮﻓﺘﻦ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ از ﻃﺮﻓﻴﻦ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﻳﻔﺮاﻧﺴﻴﻞ ﻋﺒﺎرت زﻳﺮ ﺣﺎﺻﻞ ﻣﻲ ﺷﻮد:
) ( ) (
Y e jω b + e − jω = = X e jω 1 − a e − jω
) ( jω
He
ﺑﻪ ﻣﻨﻈﻮر اﻳﻨﻜﻪ ) H (e jωﻳﻚ ﺑﺎﺷﺪ ،ﺑﺎﻳﺴﺘﻲ ﻣﻄﻤﺌﻦ ﺷﻮﻳﻢ ﻛﻪ:
b + e − jω = 1 − a e − jω ⇒ 1 + b 2 + 2b Cosω = 1 + a 2 − 2a Cosω اﻳﻦ ﺗﺴﺎوي ﺗﻨﻬﺎ ﻓﻘﻂ ﺑﺮاي b = − aﺑﺮﻗﺮار اﺳﺖ⇒ . )ب( ﻃﺮح در ﺷﻜﻞ ح 5,35ﻧﻤﺎﻳﺶ داده ﺷﺪه اﺳﺖ. )ج( ﻃﺮح در ﺷﻜﻞ ح 5,35ﻧﻤﺎﻳﺶ داده ﺷﺪه اﺳﺖ. ﺷﻜﻞ ح .5,3
ω
) (
∠H e jω
π ω
π )ج(
)ب(
٤٣٧
1 )د( وﻗﺘﻲ ﻛﻪ a = − 2
1 + e − jω = 2 1 1 + e − jω 2
) (
H e jω
ﻫﻤﭽﻨﻴﻦ
1 1 1 − e − jω 2
) (
= X e jω
ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ
)
1 + e − jω 2 = Ye − jω 1 1+ e 1 − 1 e − jω 2 2 5 3 4 4 = − 1 − jω 1 + 1 e − jω 1− e 2 2
ﺑﺎ ﮔﺮﻓﺘﻦ ﻋﻜﺲ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ دارﻳﻢ:
()
(
) ( jω
٤٣٨
n
n 51 3 ] y[n] = u[n] − − 1 u[n 2 42 4
) (
ﻃﺮح اﻳﻦ ﺧﺮوﺟﻲ در ﺷﻜﻞ ح 5,35ﻧﺸﺎن داده ﺷﺪه اﺳﺖ: .............................................................................................................................................. ) (5,36اﻟﻒ( ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ ] h[nو ] g [nﭘﺎﺳﺦ ﺿﺮﺑﻪﻫﺎي دو ﺳﻴﺴﺘﻢ LTIﭘﺎﻳﺪار ﮔﺴـﺴﺘﻪ در زﻣـﺎن وارون ﻫﺴﺘﻨﺪ .راﺑﻄﻪ ﺑﻴﻦ ﭘﺎﺳﺦ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ دو ﺳﻴﺴﺘﻢ را ﺑﻴﺎﺑﻴﺪ. )ب( ﺳﻴﺴﺘﻤﻬﺎي LTIﻋﻠّﻲ ﺗﻮﺻﻴﻒ ﺷﺪه ﺑﺎ ﻣﻌﺎدﻻت ﺗﻔﺎﺿﻠﻲ زﻳﺮ را در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳـﺪ .در ﻫـﺮ ﻣـﻮرد ﭘﺎﺳﺦ ﺿﺮﺑﺔ ﺳﻴﺴﺘﻢ وارون و ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺗﻔﺎﺿﻠﻲ ﺗﻮﺻﻴﻒﻛﻨﻨﺪة آن را ﺑﻴﺎﺑﻴﺪ. 1 )x[n − 1] (i 4
y[n] = x[n ] −
1 ]y[n − 1] = x[n 2 1 1 ](iii) y[n ] + y[n − 1] = x[n ] − x[n − 1 2 4 5 1 1 1 ](iv) y[n ] + y[n − 1] − y[n − 2] = x[n ] − x[n − 1] − x[n − 2 4 8 4 8 5 1 1 ](v) y[n ] + y[n − 1] − y[n − 2] = x[n] − x[n − 1 4 8 2 5 1 ](vi) y[n ] + y[n − 1] − y[n − 2] = x[n 4 8 )ج( ﺳﻴﺴﺘﻢ LTIﻋﻠّﻲ ﺗﻮﺻﻴﻒ ﺷﺪه ﺑﺎ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺗﻔﺎﺿﻠﻲ زﻳﺮ را در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ
(ii) y[n ] +
1 1 ]y[n − 2] = x[n − 1] − x[n − 2 )م (1-36-5 4 2 وارون اﻳﻦ ﺳﻴﺴﺘﻢ را ﺑﻴﺎﺑﻴﺪ .ﻧﺸﺎن دﻫﻴﺪي ﻛﻪ وارون اﻳﻦ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﻋﻠّﻲ ﻧﻴﺴﺖ .ﻳﻚ ﺳﻴﺴﺘﻢ LTIﻋﻠّـﻲ
y[n ] + y[n − 1] +
ﺑﻴﺎﺑﻴﺪ ﻛﻪ
٤٣٩
ﺷﻜﻞ م 36-5 »وارون ﺗﺄﺧﻴﺮدار« ﺳﻴﺴﺘﻢ ﺗﻮﺻﻴﻒ ﺷﺪه ﺑﺎ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ) (1-36-5ﺑﺎﺷﺪ .ﻣﺸﺨﺺﺗﺮ اﻳﻦ ﻛﻪ ﻳـﻚ ﺳﻴـﺴﺘﻢ LTIﻋﻠّﻲ ﺑﻴﺎﺑﻴﺪ ﺑﻪ ﻧﺤﻮي ﻛﻪ ﺧﺮوﺟﻲ ] w[nﺷﻜﻞ م 36-5ﺑﺮاﺑﺮ] x[n − 1ﺑﺎﺷﺪ. ﺣﻞ: )اﻟﻒ( ﭘﺎﺳﺦ ﻫﺎي ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ ﺑﺎ ﺑﻴﺎن زﻳﺮ ﺑﻪ ﻫﻢ ﻣﺮﺗﺒﻂ ﻣﻲ ﺷﻮﻧﺪ:
1 H e jω
) (
) (
= G e jω
1 )ب( ) (iدر اﻳﻨﺠﺎ . H (e jω ) = 1 − e − jωب 4 n
1 1 = G e jωو ]g [n] = u[n ﻧﺎﺑﺮاﻳﻦ 1 4 1 − e − jω 4
) (
1 ) Y (e jω = ) G (e = jω X (e ) 1 − 1 e − jω 4 ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﻳﻔﺮﻧﺲ ﺑﻴﻦ ورودي و ﺧﺮوﺟﻲ ﺑﻪ ﺷﻜﻞ زﻳﺮ اﺳﺖ: jω
1 ]y[n − 1] = x[n] + 1 x[n − 1 2 4
y[n ] −
) (ivدر اﻳﻨﺠﺎ
1 1 1 − e − jω − e − 2 jω 4 8 = ) H (e jω 5 − jω 1 −2 jω 1+ e − e 4 8 ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ:
٤٤٠
5 1 1 + e − jω − e −2 jω 4 8 G ( jω ) = 1 − jω 1 − 2 jω 1− e − e 4 8 :ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ
( )
G e jω = 1 +
2 2 − j − ω 1− 1 e 1 + 1 e − jω 2 4
( )
( )
, n
n 1 g [n ] = δ [n ] + 2 u[n] − 2 − 1 u[n] 4 2
(
)
:ﺑﺪﻟﻴﻞ اﻳﻨﻜﻪ
( )
G e jω =
y[n] −
( ) ( ) jω
Ye X e jω
5 − jω 1 −2 jω 1 + e − e 4 8 = 1 − jω 1 −2 jω 1 − e − e 8 4 :ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﻳﻔﺮﻧﺲ ﺑﻴﻦ ورودي و ﺧﺮوﺟﻲ ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ
1 1 y[n − 1] − y 4 8 _________ _________
5 1 x[n − 1] − x[n − 2] 4 8 5 − jω 1 −2 jω 1 1+ e − e 1 − e − jω 4 8 2 G e jω = ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ. H e jω = در اﻳﻨﺠﺎ 1 − jω 5 − jω 1 −2 jω 1− e 1+ e − e 2 4 8 5 − jω 1 −2 jω 1+ e − e Y e jω jω 4 8 Ge = = ﭼﻮن − jω 1 X e jω 1− e 2 :ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﻳﻔﺮﻧﺲ ﺑﻴﻦ ورودي و ﺧﺮوﺟﻲ ﺑﻪ ﺷﻜﻞ زﻳﺮ در ﻣﻲ آﻳﺪ
x[n] +
( )
( )
( )
( ) ( )
٤٤١
1 5 1 ]y[n − 1] = x[n ] + x[n − 1] − x[n − 2 2 4 8
) (viدر اﻳﻨﺠﺎ
1 5 1 1 + e − jω − e −2 jω 4 8
y[n ] −
) (
= . H e jω
ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ 1 5 G e jω = 1 + e − jω − e −2 jω 8 4
) (
دارﻳﻢ: 5 1 ]g [n ] = δ [n ] + δ [n − 1] − δ [n − 2 4 8 و ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﻳﻔﺮﻧﺲ ﺑﻴﻦ ورودي و ﺧﺮوﺟﻲ ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ: 5 1 ]x[n − 1] − x[n − 2 4 8
y[n ] = x[n ] +
)ج( ﭘﺎﺳﺦ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ ﺳﻴﺴﺘﻢ داده ﺷﺪه ﻋﺒﺎرﺗﺴﺖ از:
1 e − jω − e−2 jω 1 2 + e −2 jω = ) H (e jω − jω 1+ e 4 ﭘﺎﺳﺦ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﻣﻌﻜﻮس ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ: + 1 + 1 e − jω 4 1 − jω 1− e 2
jω
e 1 = = H e jω
) (
) ( jω
Ge
ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ n −1
n
11 1 u[n + 1] + u[n ] + u[n − 1]. 4 2 2 واﺿﺢ اﺳﺖ ﻛﻪ ﭘﺎﺳﺦ ] ، g [nﻳﻚ ﭘﺎﺳﺦ ﺿﺮﺑﻪ ﺳﺒﺒﻲ ﻧﻴﺴﺖ.
n +1
1 g [n ] = 2
اﮔﺮ اﻳﻦ ﭘﺎﺳﺦ ﺿﺮﺑﻪ را ﺑﻪ اﻧﺪازه 1واﺣﺪ ﺗﺄﺧﻴﺮ دﻫﻴﻢ ،در اﻳﻨـﺼﻮرت ،ﻛـﺎزال ﺧﻮاﻫـﺪ ﺷـﺪ .ﺑﻌـﻼوه، ﺧﺮوﺟﻲ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﻣﻌﻜﻮس در اﻳﻨﺼﻮرت ﺑﺮاﺑﺮ ] x[n − 1ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد .ﭘﺎﺳﺦ ﺿﺮﺑﻪ اﻳﻦ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﻛﺎزال ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ:
٤٤٢
n −1
n−2
n
11 1 1 ]g1 [n] = g [n − 1] = u[n ] + u[n − 1] + u[n − 2 42 2 2 .............................................................................................................................................
) (
(5,37ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ X e jωﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ] x[nاﺳﺖ .ﺗﺒـﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳـﻪ ﺳـﻴﮕﻨﺎﻟﻬﺎي زﻳـﺮ را ﺑﺮﺣـﺴﺐ
) (
X e jωﭘﻴﺪا ﻛﻨﻴﺪ) .ﻓﺮض ﻧﻜﻨﻴﺪ ﻛﻪ ] x[nﺣﻘﻴﻘﻲ اﺳﺖ(.
)اﻟﻒ( }]ℜe{x[n
)ج( }]ε v {x[n
)ب( ]x ∗ [− n
ﺣﻞ:
FT x[n]← ) → x(e jω
داده ﺷﺪه ﻛﻪ
− jωn
) (iﭼﻮن
∞
( ) ∑ x[n]e
= x e jω
∞n = −
ﻣﻲ ﺗﻮان ﻧﻮﺷﺖ: − jωn
∞
) ∑ x [n]e
(
= X ∗ e − jω
∗
∞n = −
ﺑﺎ ﻣﻘﺎﻳﺴﻪ ﺑﺎ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ) (5,9ﻧﺘﻴﺠﻪ ﻣﻲ ﮔﻴﺮﻳﻢ ﻛﻪ: FT x ∗ [n]← ) → X ∗ (e − jω
ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ:
) ) (iiﭼﻮن
(
) (
x[n] + x ∗ [n] FT x e jω + x ∗ e − jω = }]Re{x[n →← 2 2 − jωn
∞
( ) ∑ x[n]e
= X e jω
∞n = −
ﻣﻲ ﺗﻮان ﻧﻮﺷﺖ: − jωn
∞
) ∑ x[− n]e
(
= X e − jω
∞n = −
ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ: از ﻗﺴﻤﺖ ﻗﺒﻠﻲ ﻣﻲ داﻧﻴﻢ ﻛﻪ:
FT x[− n]← ) → X (e − jω
) x ∗ [n]←→ X ∗ (e − jω FT
٤٤٣
ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ،ﺑﺎ ﺗﺮﻛﻴﺐ دو وﺿﻌﻴﺖ ﺑﺎ ﻫﻤﺪﻳﮕﺮ دارﻳﻢ:
) (
FT x ∗ [− n]← → X ∗ e jω
) (iiiاز ﻧﺘﺎﻳﺞ ﻗﺒﻠﻲ ﻣﻲ داﻧﻴﻢ ﻛﻪ:
( ) (
)
x[n] + x[− n] FT x e jω + x e − jω = }]ε {x[n →← 2 2 .............................................................................................................................................
) (
(5,38ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ X e jωﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ﺳـﻴﮕﻨﺎل ﺣﻘﻴﻘـﻲ ] x[nاﺳـﺖ .ﻧـﺸﺎن دﻫﻴـﺪ ﻛـﻪ ] x[nرا ﻣﻲﺗﻮان ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ ﻧﻮﺷﺖ: x[n ] = ∫ π {B(ω ) cos ω + C (ω )sin ω}dω
) (
ﻋﺒﺎرﺗﻬﺎﻳﻲ ﺑﺮاي ) B(ωو ) C (ωﺑﺮﺣﺴﺐ X e jωﭘﻴﺪا ﻛﻨﻴﺪ. ﺣﻞ: از ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﻧﻘﻴﺾ ) (5,8ﺑﺪﺳﺖ ﻣﻲ آورﻳﻢ: 1 π jω jωn ∫−π x e e dω 2π 1 1 π jω jωn − jω = e − jωn dω ∫−π x e e dω + ∫ x e 2π 2π ﭼﻮن ] x[nﺣﻘﻴﻘﻲ اﺳﺖ x e jω = x ∗ e jω ،؛ ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ:
) (
)
) (
(
= ] x[n
) (
) (
1 n jω e ωn + e − jωn dω ∫ Re x e 2π j π jω + e ωn − e − jωn dω ∫ Im x e 2π 1 = ∫ π Re x e jω 2 cos(ωn )dω
}
{}) ( {
}
{}) ( {
= ]x[n
}) ( {
}{ ( )}{Sinωn dω
π
π
jω ∫ Im x e
ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ:
j
π
−
٤٤٤
}) ( {
Re x e jω Cosωn
1
= ) B(ω
π
,
}) ( {
Im x e jω Sinωn
1
π
−
............................................................................................................................................. (5,39ﺧﺎﺻﻴﺖ ﻛﺎﻧﻮﻟﻮﺷﻦ زﻳﺮ را ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ
) ( ) (
ℑ →x[n]∗ h[n] X e jω H e jω
ﺣﻞ: ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ:
]y[n] = x[n]∗ h[n در اﻳﻨﺼﻮرت: ∞
) (
Y e jω = ∑ {x[n]}∗h[n ]e − jωn ∞n = −
∞+
∞
∞n = −
∞k = −
= ∑ x[k ] ∑ h[n − k ]e − jωn ∞+
) (
= ∑ x[k ]e − jωk H e jω ∞k = −
∞+
) ( ) = H (e )x(e
= H e jω ∑ x[k ]e − jωk ∞k = −
jω
jω
............................................................................................................................................. x[n] (5,40و ] h[nدو ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻫﺴﺘﻨﺪ و ] . y[n] = x[n]∗ h[nدو ﻋﺒﺎرت ﺑﺮاي ] [ yﺑﻨﻮﻳـﺴﻴﺪ:
) (
) (
ﻳﻜﻲ ﺑﺮ ﺣﺴﺐ ] x[nو ]) h[nﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﺟﻤﻊ ﻛﺎﻧﻮﻟﻮﺷﻦ( و ﻳﻜﻲ ﺑﺮﺣﺴﺐ X e jωو ) H e jωﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﺧﺎﺻﻴﺖ ﻛﺎﻧﻮﻟﻮﺷﻦ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ( .ﺑﺎ اﻧﺘﺨـﺎب ﺳـﻨﺠﺪة ] h[nو اﺳـﺘﻔﺎده از دو ﻋﺒـﺎرت ﻓـﻮق، راﺑﻄﻪ ﭘﺎرﺳﻮال را ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ ﻳﻌﻨﻲ ﻧﺸﺎن دﻫﻴﺪ ﻛﻪ 1 jω 2 dω ∫2π X e 2π ﺑﻪ ﻫﻤﻴﻦ روش راﺑﻄﻪ زﻳﺮ را ﻛﻪ ﺗﻌﻤﻴﻢ راﺑﻄﺔ ﭘﺎرﺳﻮال اﺳﺖ ﺑﻴﺎﺑﻴﺪ.
) (
= ] x[n 2
∞+
∑
∞n = −
٤٤٥
1 jω ∗ jω ∫2π X e Z e dω 2π
) ( ) (
∞+
∗ = ]∑ x[n] z [n
∞n = −
ﺣﻞ: ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ ] y[n] = x[n]∗ h[nدر اﻳﻨﺼﻮرت ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﻣﺠﻤﻮع ﻛﺎﻧﻮﻟﻮﺷﻦ: ∞+
] ∑ x[k ]h[− k
= ] [y
∞k = −
)ح(.5,40-1 ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﺧﺎﺻﻴﺖ ﻛﺎﻧﻮﻟﻮﺷﻦ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ دارﻳﻢ: 1 π X e j ω H e j ω dω )ح(5,40-2 ∫ − π 2π ﺣﺎل ،ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ ] . h[n] = x ∗ [− nدر اﻳﻨـﺼﻮرت . H e jω = X ∗ e jωﺑـﺎ ﺟﺎﻳﮕـﺬاري ﻃـﺮف
) ( ) ( ) ( ) (
= ] y[c
راﺳﺖ ﻣﻌﺎدﻟﻪ )ح (5,40-1و )ح (5,40-2و ﺑﺮاﺑﺮ ﻗﺮار دادن آﻧﻬﺎ دارﻳﻢ: ∞
1 ∑ x[k ]x [k ] = 2π ∫ x(e ω )x (e ω )dω j
∗
∞+
j
∗
∞−
∞K = −
ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ: ∞
2 1 +π x e j ω dω ∫ 2π −π ∞n = − ﺣﺎل ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ ﻛﻪ ] h[n] = x ∗ [− nدر اﻳﻨﺼﻮرت ،.ﺟﺎﻳﮕﺬاري ﻃﺮف راﺳﺖ ﻣﻌﺎدﻟـﻪ )(S5,40-1
) (
=
2
]∑ x[n
و )ح (5,40-2و ﺑﺮاﺑﺮ ﻗﺮار دادن آﻧﻬﺎ: ∞+
1 ∑ x[k ]x [k ] = 2π ∫ π x(e ω )z (e ω )dω j
∗
j
π
−
∗
∞k = −
............................................................................................................................................. ~ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻣﺘﻨﺎوﺑﻲ ﺑﺎ دوره ﺗﻨـﺎوب Nاﺳـﺖ .ﺳـﻴﮕﻨﺎل داراي ﻋﻤـﺮ ﻣﺤـﺪود (5,41ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ ]x [n ~ راﺑﻄﺔ زﻳﺮ را داراﺳﺖ ] x[nﺑﻪ ازاي ﻳﻚ ﻋﺪد ﺻﺤﻴﺢ noﺑﺎ ]x [n
x [n] , no ≤ n ≤ no + N − 1 ~ x[n] = در ﻏﻴﺮ اﻳﻦ ﺻﻮرت , ~ ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ و ﺑﻘﻴﺔ ﺟﺎﻫﺎ ﺻﻔﺮﺳﺖ. ﻳﻌﻨﻲ ] x[nدر ﻳﻚ ﺗﻨﺎوب ﺑﺎ ]x [n
٤٤٦
) (
~ و X e jωﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﺔ ] x[nاﺳﺖ .ﻧﺸﺎن دﻫﻴﺪ ﻛـﻪ ﻣـﺴﺘﻘﻞ )اﻟﻒ( akﺿﺮاﺋﺐ ﺳﺮي ﻓﻮرﻳﻪ ]x [n از ﻣﻘﺪار nدارﻳﻢ
)
1 X e j 2π / N N
(
= ak
)ب( دو ﺳﻴﮕﻨﺎل زﻳﺮ را در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ. ]x[n ] = u[n ] − u[n − 5 ∞
] x[n ] = ∑ x[n − kN ∞k = −
) (
~ و X e jωرا ﺗﺒـﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳـﻪ آن ﻛﻪ در آن Nﻳﻚ ﻋﺪد ﻣﺜﺒﺖ اﺳﺖ ak .را ﺿـﺮاﺋﺐ ﻓﻮرﻳـﺔ ]x [n ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ.
) (
) (iﻋﺒﺎرت X e jωرا ﺑﻴﺎﺑﻴﺪ. ) (iiﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﻧﺘﻴﺠﻪ ﺑﻨﺪ )اﻟﻒ( ﻋﺒﺎرﺗﻲ ﺑﺮاي ﺿﺮاﺋﺐ ﻓﻮرﻳﻪ akﺑﻴﺎﺑﻴﺪ. ﺣﻞ:
) (
)اﻟﻒ( ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ﺳﻴﮕﻨﺎل ] x[nﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ x e jωو n + N +1
− jωn
∑ x[n]e
=
− jωn
∞
( ) = ∑ x[n]e jω
X e
∞n = −
n
ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ: )ح (5,41-1
)kn
N
(
− j 2π
n + N −1
(
) ∑ x[n]e
= X e j 2πk / N
n = n
~ را ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ ﺑﻨﻮﻳﺴﻴﻢ: ﺣﺎل ،ﻣﻲ ﺗﻮاﻧﻴﻢ ﺿﺮاﻳﺐ ﺳﺮي ﻓﻮرﻳﻪ ]x [n
1 − j (2π )kn ~ N x [n]e ∑ N N
= ak
1 n + N −1 − j (2π )kn N x[n]e ∑ N n=n ~ = ] x[nدر ﺑﺎزه .( n ≤ n ≤ n + k − 1ﺑﺎﻣﻘﺎﻳﺴﻪ ﻣﻌﺎدﻻﺗﺒﺎﻻ ﺑـﺎ ﻣﻌﺎدﻟـﻪ )ح (5,41-1 )ﭼﻮن ]x [n =
ﺧﻮاﻫﻴﻢ داﺷﺖ: 1 j 2πk N x e N
= ak
٤٤٧
)ب( ) (iاز اﻃﻼﻋﺎت داده ﺷﺪه:
) (
x e jω = 1 + e jω + e −2 jω + e −3 jω 1 − j 2
+e
) (
j 1 ω 2
e
) (
−j 3 ω 2
}+ e
) (
−j 3 ω 2
+e
) (
j 3 ω 2
{e
}{Cos(3ω 2 )+ Cos ω 2
) (
−j 3 ω 2
) (
−j 3 ω 2
=e
= 2e
) (iiاز ﻗﺴﻤﺖ )اﻟﻒ( دارﻳﻢ:
1 j 2 kπ N X e N 1 − j (3 )2πk = 2e 2 N N }) {Cos (6πk 2 N + Cos πk N ............................................................................................................................................. = ak
) (
(5,42در اﻳﻦ ﻣﺴﺌﻠﻪ ﺧﺎﺻﻴﺖ ﺟﺎﺑﺠﺎﻳﻲ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ﮔﺴﺴﺘﻪ در زﻣﺎن را ﺑﻪ ﻋﻨـﻮان ﺣﺎﻟـﺖ ﺧﺎﺻﻲ از ﺧﺎﺻﻴﺖ ﺿﺮب ﺛﺎﺑﺖ ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ x[n] .را ﻳﻚ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﮔﺴﺴﺘﻪ در زﻣﺎن دﻟﺨﻮاه ﺑﺎ ﺗﺒـﺪل ﻓﻮرﻳـﻪ
) (
X e jωﺑﮕﻴﺮﻳﺪ و ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ.
]g [n] = e jωo n x[n )اﻟﻒ( ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ﺳﻴﮕﻨﺎل زﻳﺮ را ﺑﻴﺎﺑﻴﺪ و آن را رﺳﻢ ﻛﻨﻴﺪ
p[n] = e jω n )ب( ﺧﺎﺻﻴﺖ ﺿﺮب ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ﻣﻲﮔﻮﻳﺪ ﻛﻪ ﭼﻮن ]g [n] = p[n]x[n 1 jθ ) j (ω −θ dθ ∫ 2π X e P e 2π
)
() (
ﺑﺎ ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ اﻳﻦ اﻧﺘﮕﺮال ﻧﺸﺎن دﻫﻴﺪ ﻛﻪ
)
ﺣﻞ: )اﻟﻒ(
ω <π
for
(
) (
= G e jω
) (
) G e jω = X e j (ω −ω
) (
) p e jω = 2πδ (ω − ω
٤٤٨
اﻳﻦ ﻣﻄﻠﺐ در ﺷﻜﻞ ح 5,42ﻧﺸﺎن داده ﺷﺪه اﺳﺖ.
) (
p e jω
2π
ω
π
ω
−π
ﺷﻜﻞ ح 5,42 )ب( از ﺧﺎﺻﻴﺖ ﺿﺮب ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ،دارﻳﻢ:
1 π x e jθ p e j (ω −θ ) dθ ∫ − π 2π 1 π = x e jθ 2πδ (ω − θ − ω )dθ ∫ − π 2π ) = X e j (ω −ω
)
() (
=G
) ( )
(
.............................................................................................................................................
) (
x[n] (5,43را ﺳﻴﮕﻨﺎﻟﻲ ﺑﺎ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ X e jωﺑﮕﻴﺮﻳﺪ و ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ
]g [n] = x[2n ﺳﻴﮕﻨﺎﻟﻲ ﺑﺎ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﺔ G e jωاﺳـﺖ .در اﻳـﻦ ﻣـﺴﺌﻠﻪ راﺑﻄـﻪ ﺑـﻴﻦ X e jωو G e jωرا ﺑـﻪ
) (
) (
) (
دﺳﺖ ﻣﻲآورﻳﻢ. )اﻟﻒ( ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ
)
) (
) (
]x[n] + x[n 2
− jπn
(e
= ]v[n
ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ V e jωرا ﺑﺮﺣﺴﺐ X e jωﺑﻴﺎن ﻛﻨﻴﺪ. )ب( ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ اﻳﻦ ﻛﻪ ﺑﺮاي nﻫﺎي ﻓﺮد = ] ، x[nﻧﺸﺎن دﻫﻴﺪ ﻛـﻪ ﺗﺒـﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳـﺔ] v[2nﺑﺮاﺑـﺮ ) Ve( jω 2اﺳﺖ. )ج( ﻧﺸﺎن دﻫﻴﺪ ﻛﻪ
]x[2n] = v[2n و ﻧﺘﻴﺠﻪ ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ ﻛﻪ
)
( ) (
G e jω = V e jω 2
٤٤٩
) (
) (
ﺣﺎل ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﻧﺘﻴﺠﻪ ﺑﻨﺪ )اﻟﻒ( G e jωرا ﺑﺮﺣﺴﺐ X e jωﺑﻴﺎن ﻛﻨﻴﺪ. ﺣﻞ: )اﻟﻒ( ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﺷﻴﻔﺖ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ و ﺧﺎﺻﻴﺖ ﺧﻄﻲ دارﻳﻢ:
) ( ) )ب( ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ ﻛﻪ ] y[n] = v[2nدر اﻳﻨﺼﻮرت:
(
X e j (ω −π ) + x e jω 2 − jωn
∞
) (
= V e jω
( ) ∑υ [2n]e
= Y e jω
∞n = −
ﺑﺪﻟﻴﻞ اﻳﻨﻜﻪ ﻧﻤﻮﻧﻪ ﻫﺎي ﺑﺎ اﻧﺪﻳﺲ ﻓﺮد ] υ [nﺻﻔﺮ ﻣﻲ ﺑﺎﺷﺪ ،ﻣﻲ ﺗﻮان m = 2nرا در ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺑﺎﻻ ﻗﺮار دﻫﻴﻢ: ∞+
jω =V e 2 ∞m = − )ﺗﻮﺟﻪ ﻛﻨﻴﺪ ﻛﻪ :ﺗﻌﻮﻳﺾ nﺑﺎ 2mﺗﻨﻬﺎ اﮔﺮ اﻧﺪﻳﺲ ﻫﺎي ﻓﺮد در ﺳﺮي ﻓﻮق ﺻﻔﺮ ﮔﺮدد(. jωm
2
( ) ∑υ [m]e
= Y e jω
)ج( ] x[2nﻳﻚ دﻧﺒﺎﻟﻪ ﺟﺪﻳﺪ اﺳﺖ ﻛﻪ ﺷﺎﻣﻞ ﻧﻤﻮﻧﻪ ﻫﺎﻳﻲ ﺑـﺎ اﻧـﺪﻳﺲ زوج ] x[nﻣـﻲ ﺑﺎﺷـﺪυ [n] . دﻧﺒﺎﻟﻪ اي اﺳﺖ ﻛﻪ ﻧﻤﻮﻧﻪ ﻫﺎي ﺑﺎ اﻧﺪﻳﺲ ﻓﺮد آن ﺑﺮاﺑﺮ ] x[nﺷﻮد .ﻧﻤﻮﻧﻪ ﻫـﺎي ﺑـﺎ اﻧﺪﻳـﺴﻪ – ﻓـﺮد ]υ [n ﺻﻔﺮ اﺳﺖ υ [2n] .دﻧﺒﺎﻟﻪ اي ﺟﺪﻳﺪي اﺳﺖ ﻛﻪ ﺗﻨﻬﺎﺷﺎﻣﻞ ﻧﻤﻮﻧﻪ ﻫﺎي ﺑﺎ اﻧﺪﻳﺲ زوج اﺳﺖ .اﻳﻦ اﻳﺪه در ﺷﻜﻞ ح 5,43رﺳﻢ ﺷﺪه اﺳﺖ .از ﻗﺴﻤﺖ )اﻟﻒ(
)
(
jω + x e 2 = G e jω 2 ............................................................................................................................................. j ω −π 2
x e
) (
) (5,44اﻟﻒ( ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ π n π n x1 [n] = cos + sin 3 2 و ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ آن را ﺑﺎ X 1 e jωﻧﺸﺎن دﻫﻴﺪ x1 [n] .و ﺳـﻴﮕﻨﺎﻟﻬﺎي داراي ﺗﺒـﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳـﺔ زﻳـﺮ را
) (
رﺳﻢ ﻛﻨﻴﺪ:
) ( )(e )e
) (
)X 2 e jω = X 1 e jω e jω , ω < π (i ), ω < π (ii
− j 3ω / 2
jω
(
X 3 e jω = X 1
٤٥٠
)ب( ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ
π t π t + sin w(t ) = cos 3T 2T ﻳﻚ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﭘﻴﻮﺳﺘﻪ در زﻣﺎن اﺳﺖ .ﺗﻮﺟﻪ ﻛﻨﻴﺪ ﻛﻪ ] x1 [nرا ﻣﻲﺗـﻮان ﻧﻤﻮﻧـﻪﻫـﺎي ﻣﺘـﺴﺎوياﻟﻔﺎﺻـﻠﺔ ) w(tﺑﻪ ﺣﺴﺎب آورد ،ﻳﻌﻨﻲ
) x1 [n] = w(n T ﻧﺸﺎن دﻫﻴﺪ ﻛﻪ
) x2 [n] = w(n T − α و
) x3 [n] = w(n T − β و ﻣﻘﺎدﻳﺮ αو βر ا ﺑﻴﺎﺑﻴﺪ .ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از اﻳﻦ ﻧﺘﺎﻳﺞ ﻧﺸﺎن دﻫﻴﺪ ﻛﻪ ] x2 [nو ] x3 [nﻧﻴﺰ ﻧﻤﻮﻧـﻪﻫـﺎي ﻣﺘﺴﺎوياﻟﻔﺎﺻﻠﺔ ) w(tﻫﺴﺘﻨﺪ. ﺣﻞ: )اﻟﻒ( ﺳﻴﮕﻨﺎل ] x1 [nدر ﺷﻜﻞ ح 5-44ﻧﺸﺎن داده ﺷﺪه اﺳﺖ. ) (iﺑﺎ ﮔﺮﻓﺘﻦ ﻋﻜﺲ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ،ﺳﻴﮕﻨﺎل ] x2 [nﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ:
]x2 [n] = x1 [n + 1
]v[2n
g
e
c
a
n
]v[2n
e f g n
g
e
c
g
a =
ﺷﻜﻞ ح 5,43
d
c a b
]x[n
e
c
a
]x[2n
٤٥١
3
]x1 [n
2
2
١
Period=١٢ n
3
١
١
...
... ١
−1
−1 2
٠
−1
2
2 -٢ 1
1
]x3 [n
+
2
3 2
2
+
1
3 2
3
+
2
2 1
1 2
1 2
2
١١
n 1
+
2
2
١
٢ 3 2
−
3
−
1
1
−
2
2
+
3 2
−1
−
2
ﺷﻜﻞ ح 5,44 ) (iiﺑﺎ ﮔﺮﻓﺘﻦ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ﻣﻌﻜﻮس x2 [n] ،ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ:
] = Sin(πn 3 )+ Sin(πn 2 )Cos 34π ) − Cos (πn )Sin (3π 2 4
2
[
x2 [n] = x1 n − 3
ﻛﻪ در ﺷﻜﻞ ح .5,44ﻧﻤﺎﻳﺶ داده ﺷﺪه اﺳﺖ. )ب( در ﻗﺴﻤﺖ )اﻟﻒ(
]x2 [n] = x1 [n + 1] = ω [nT + Τ و ﻧﻴﺰ
] ]= w[nT − 3T 2
2
[
x3 [n] − x1 n − 3
٤٥٢
ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ:
β = 3 2 , ∝= −1 ............................................................................................................................................. (5,45ﺳﻴﮕﻨﺎل ] x[nﺑﺎ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﺔ ﺷﻜﻞ م 45-5را در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ .ﺳﻴﮕﻨﺎﻟﻬﺎي ﭘﻴﻮﺳﺘﻪ در زﻣﺎن زﻳﺮ را
}) { ( jω
رﺳﻢ و ﻣﻘﺪارﮔﺬاري ﻛﻨﻴﺪ.
ℜe X e ١
ω
π
2π
π
π
2
2
−π
−
− 2π
}) { ( jω
ℜe X e ١
ω
2π
π
π
π
2
2
−
−π
− 2π
ﺷﻜﻞ م 45-5
)اﻟﻒ( x1 (t ) = ∑∞n=−∞ x[n]e j (2π 10 )n t )ب( x2 (t ) = ∑∞n=−∞ x[− n]e j (2π 10 )n t )ج( x3 (t ) = ∑∞n=−∞ ϑd {x[n]}e j (2π 8 )n t
)د( x4 (t ) = ∑∞n=−∞ ℜe{x[n]}e j (2π 6 )n t ﺣﻞ: از ﻣﻌﺎدﻟﻪ آﻧﺎﻟﻴﺰ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ: − jωn
∞+
( ) ∑ x[n]e ∞n = −
)اﻟﻒ( ﺑﺎ ﻣﻘﺎﻳﺴﻪ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺑﺮاي ) x1 (tﺑﺎ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺑﺎﻻ ،ﺑﺪﺳﺖ ﻣﻲ آورﻳﻢ:
= x e jω
٤٥٣
− j (2π )t 10 x1 (t ) = X e
ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ) x1 (tدر ﺷﻜﻞ ح 5,45ﻧﺸﺎن داده ﺷﺪه اﺳﺖ.
) (
)ب( ﻣﻘﺎﻳﺴﻪ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺑﺮاي ) x2 (tﺑﺎ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺑﺮاي X e jωدارﻳﻢ:
(
)
) x2 (t ) = X e j (2π 10 )t = x1 (− t ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ) x2 (tدر ﺷﻜﻞ ح 5,45ﻧﺸﺎن داده ﺷﺪه اﺳﺖ. )ج( ﻧﻤﻲداﻧﻴﻢ od {x[n]} = ( x[n] − x[− n]) / 2ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ:
( ) (
)
∞ x e jω − x e − jω = ∑ od {x[n]}e − jωn 2 ∞n = − ﺑﺎ ﻣﻘﺎﻳﺴﻪ اﻳﻦ ﻧﺘﻴﺠﻪ ﺑﺎ ﻣﻌﺎدﻟﻪ داده ﺷﺪه ﺑﺮاي ) ، x3 (tدارﻳﻢ:
)t
(2π )t − x e 8 2 ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ) x3 (tﻫﻤﺎن ﺷﻜﻠﻲ رادارد ﻛﻪ در ﺷﻜﻞ ح 5,45ﻧﺸﺎن داده ﺷﺪه اﺳﺖ.
)
8
(
− j 2π
x e x3 (t ) =
(
)د( ﻣﻲ داﻧﻴﻢ ﻛﻪ ، Re{x[n]} = x[n] + x ∗ [n] 2ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ:
(
)
) (
∞ x e jω − x ∗ e − jω = ∑ Re{x[n]}e − jωn 2 ∞n = − ﺑﺎ ﻣﻘﺎﻳﺴﻪ اﻳﻦ ﻣﻌﺎدﻟﻪ داده ﺷﺪه ﺑﺮاي ) x4 (tﺑﺪﺳﺖ ﻣﻲآورﻳﻢ.
)t
j (2π )t ∗ + X e 6 2 ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ) x4 (tﻫﻤﺎن ﮔﻮﻧﻪ اﺳﺖ ﻛﻪ در ﺷﻜﻞ ح 5,45ﻧﺸﺎن داده ﺷﺪه اﺳﺖ.
6
(
− j 2π
x e x4 (t ) =
٤٥٤
} ) Im{ X 2 (t
} ) (t
3
Im { X
} ) Re { X 1 (t
} ) Re { X 3 (t
} ) Re{ X 4 (t
}) Im{ X 4 (t
ﺷﻜﻞ ح5,45 .............................................................................................................................................
(5,46در ﻣﺜﺎل 1-5دﻳﺪﻳﻢ ﻛﻪ ﺑﻪ ازاي a < 1 1 1 − a e − jω
)اﻟﻒ( ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﺧﻮاص ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ﻧﺸﺎن ﻣﻲدﻫﻴﺪ ﻛﻪ
ℑ →a nu[n]←
٤٥٥
1
) (1 − a e
− jω 2
ℑ →(n + 1)a nu[n]←
)ب( ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از اﺳﺘﻘﺮاء ﻧﺸﺎن دﻫﻴﺪ ﻛﻪ ﻋﻜﺲ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﺔ
1
) (1 − a e
− jω r
) (
= X e jω
ﻋﺒﺎرت اﺳﺖ از
](n + r − 1) a nu[n !)n!(r − 1
= ]x[n
ﺣﻞ: 1 )اﻟﻒ( ﻓـﺮض ﻛﻨﻴـﺪ ] ، x[n] = a n u[nدر اﻳـﻦ ﺻـﻮرت − jω 1−α e ﺧﺎﺻﻴﺖ ﻣﺸﺘﻘﮕﻴﺮي در ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ دارﻳﻢ:
)
2
= ) ، x(e jωﺑـﺎ اﺳـﺘﻔﺎده از
) dx(t a e − jω = dω 1 − a e − jω
(
FT na n u[n]← →j
ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ: ) dx(t FT (n + 1)a nu[n]← →j ) + x(e jω dt
1
) (1− ∝ e
− jω 2
=
)ب( از ﻗﺴﻤﺖ )اﻟﻒ( ،واﺿﺢ اﺳﺖ ﻛﻪ ﻧﺘﻴﺠﻪ ﺑﺮاي r = 1و r = 2ﺻﺤﻴﺢ اﺳﺖ .ﻓﺮض ﻛﻨﻴـﺪ ﻛـﻪ ﻫﻤﭽﻨﻴﻦ ﺑﺮاي K = r − 1ﺻﺤﻴﺢ ﺑﺎﺷﺪ .ﺗﻼش ﺧﻮاﻫﻴﻢ ﻛﺮد ﺗﺎ اﺛﺒﺎت ك ﻧـﻴﻢ ﻧﺘﻴﺠـﻪ ﺑـﺮاي k = rﻧﻴـﺰ ﺻﺤﻴﺢ اﺳﺖ و دارﻳﻢ:
{n + r − 2}! a n u[n]← FT → !) n!(r − 2 1
) (1 − ae
− jω r −1
از ﺧﺎﺻﻴﺖ ﻣﺸﺘﻘﮕﻴﺮي در ﺣﻮزه ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ
= ]xr −1 [n
) (
= xr −1 e jω
٤٥٦
a(r − 1)e − jω
) (1 − a e
− jω r −1
FT n xr −1 [n]← →
ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ:
(n + 1)xr −1 [n + 1] ← 1 FT → )a(r − 1 (1 − a e − jω )r ﻃﺮف ﭼﭗ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺑﺎﻻ ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ:
](n + 1)xr −1 [n + 1] = (n + 1 − r )! a n u[n] = x [n r )a(r − 1 !)n!(r − 1 ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ،ﻧﺸﺎن دادﻳﻢ ﻛﻪ اﮔﺮ ﻣﺴﺌﻠﻪ ﺑﺮاي r − 1ﺻﺤﻴﺢ ﺑﺎﺷﺪ ،ﻧﺘﻴﺠﻪ ﺑﺮاي rﻧﻴﺰ ﺻﺤﻴﺢ ﺧﻮاﻫﺪ ﺑـﻮد. ﭼﻮن ﻣﻲ داﻧﻴﻢ ﻛﻪ ﻧﺘﻴﺠﻪ ﺑﺮاي r = 2ﺻﺤﻴﺢ اﺳﺖ ﻣﻲ ﺗﻮاﻧﻴﻢ ﻧﺘﻴﺠﻪ ﺑﮕﻴﺮﻳﻢ ﻛﻪ ﺑﺮاي r = 3و r = 4و ) ...ﺑﻬﻤﻴﻦ ﺗﺮﺗﻴﺐ( ﻧﻴﺰ ﺻﺤﻴﺢ ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد. .............................................................................................................................................
(
) ( )
) (5,47اﻟﻒ( اﮔﺮ X e j (w−1) = x e jωﺑﺎ ﭘﺮﻳﻮد ، 2πﭘﺮﻳﻮدﻳﻚ ﻣﻲ ﺑﺎﺷﺪ .اﻳﻦ ﺗﻨﻬـﺎ در ﺻـﻮرﺗﻲ
) (
اﺳﺖ ﻛﻪ X e jωﺑﺮاي ﻫﻤﻪ ي ωﻋﺪد ﺛﺎﺑﺘﻲ ﺑﺎﺷﺪ .اﻳﻦ ﺑﻴﺎن ﻣﻲ ﻛﻨﺪ ﻛﻪ ] x[nﺑﺮﺣﺴﺐ ] kδ [nﻣـﻲ ﺑﺎﺷﺪ و ﺣﺎل اﻳﻨﻜﻪ kﻋﺪد ﺛﺎﺑﺘﻲ اﺳﺖ .ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ،ﺣﺎﻟﺖ داده ﺷﺪه ،ﺻﺤﻴﺢ ﻣﻲ ﺑﺎﺷﺪ.
) (
(
) ( ) ﻫﻤﭽﻨﻴﻦ ﻣﻲ داﻧﻴﻢ ﻛﻪ ) X (eﺑﺎ ﭘﺮﻳﻮد 2πﻣﺘﻨﺎوب ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد .اﻳﻦ دو ﺷﺮط ﻣﻲ ﺗﻮاﻧﻨﺪ ﺣﺘﻲ زﻣﺎﻧﻴﻜﻪ ) X (eﻫﺮ ﺷﻜﻞ دﻟﺨﻮاﻫﻲ در ﺑﺎزه ي ≤ w πﺑﺮﻗﺮار ﺑﺎﺷﻨﺪ .ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ) X (eﻻزم ﻧﻴﺴﺖ ﻛـﻪ 2 )ب( اﮔــﺮ X e j (ω −π ) = x e jωدر اﻳﻨــﺼﻮرت X e jωﺑــﺎ ﭘﺮﻳــﻮد ، πﻣﺘﻨــﺎوب ﺧﻮاﻫــﺪ ﺑــﻮد. jω
jω
jω
ﺣﺘﻤﺎً ﺛﺎﺑﺖ ﺑﺎﺷﺪ. ﺑﻪ ﻃﻮر ﻣﻜﺮر x[n] ،ﻻزم ﻧﻴﺴﺖ ﻛﻪ ﻓﻘﻂ ﻳﻚ ﺿﺮﺑﻪ ﺑﺎﺷﺪ ،ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ﺣﺎﻟﺖ داده ﺷﺪه ﻧﺎدرﺳﺖ اﺳﺖ. jω x e 2دﻧﺒﺎﻟــﻪ اي ﺑــﻪ ﺻــﻮرت
)ج( از ﻣــﺴﺌﻠﻪ ح .43ﻣــﻲ داﻧــﻴﻢ ﻛــﻪ ﺗﺒــﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳــﻪ ﻣﻌﻜــﻮس jπn ] v[n] = x[n] + e x[nﻣﻲ ﺑﺎﺷﺪ .ﻧﻤﻮﻧﻪ ﻫﺎي اﻧﺪﻳﺲ زوج ] v[nﺑﺎاﻧﺪﻳﺲ ﻫﺎي زوج ﻧﻤﻮﻧﻪ ﻫﺎي
)
(
2 ] . x[nﻛﻪ ﺑﻴﺎن ﻣﻲ ﻛﻨﺪ ﻧﻤﻮﻧﻪ ﻫﺎي اﻧﺪﻳﺲ زوج ] x[nﻓﺮو ﻫﺴﺘﻨﺪ .ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ] x[nﻟﺰوﻣـﺎً ﻧﺒﺎﻳـﺴﺘﻲ ﻳـﻚ
ﺿﺮﺑﻪ ﺑﺎﺷﺪ .ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ﺣﺎﻟﺖ داده ﺷﺪه ﺻﺤﻴﺢ ﻧﻴﺴﺖ.
)
(
)د( از ﺟﺪول 5,1ﻣﻲ داﻧﻴﻢ ﻛﻪ ﺗﺒﺪﻟﻲ ﻓﻮرﻳﻪ X e j 2ωﺳﻴﮕﻨﺎﻟﻲ ﺑﺴﻂ زﻣﺎﻧﻲ اﺳﺖ ﻳﻌﻨﻲ:
٤٥٧
] [
x n n = , ± 2 ,4 ,... x(2 ) [n] = 2 ﺳﺎﻳﺮ ﻧﻘﺎط اﮔﺮ x e 2 jω = x e jωﺑﺎﺷﺪ در اﻳﻨﺼﻮرت x[n ] = x(2 ) [n ] :اﻳﻦ ﺗﻨﻬﺎ در ﺻﻮرﺗﻲ ﻣﻤﻜـﻦ اﺳـﺖ
) ( )
(
ﻛﻪ ] x[nﻳﻚ ﺿﺮﺑﻪ ﺑﺎﺷﺪ .ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ﺣﺎﻟﺖ داده ﺷﺪه ﺻﺤﻴﺢ ﻣﻲ ﺑﺎﺷﺪ. ............................................................................................................................................. (5,48ﻳﻚ ﺳﻴﺴﺘﻢ LTIﮔﺴﺴﺘﻪ در زﻣﺎن ﻋﻠّﻲ ﺑﺎ ورودي ] x[nو ﺧﺮوﺟﻲ ] y[nداده ﺷـﺪه اﺳـﺖ. اﻳﻦ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﺑﺎ دو ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺗﻔﺎﺿﻠﻲ ،ﺑﺮﺣﺴﺐ ﺳﻴﮕﻨﺎل واﺳﻄﺔ ] w[nﻣﺸﺨﺺ ﺷﺪه اﺳﺖ. 1 1 2 ] y[n − 1] + w[n ] + w[n − 1] = x[n 4 2 3 5 5 ] y[n ] − y[n − 1] + 2 w[n ] − 2 w[n − 1] = − x[n 4 3 )اﻟﻒ( ﭘﺎﺳﺦ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ و ﭘﺎﺳﺦ ﺿﺮﺑﺔ اﻳﻦ ﺳﻴﺴﺘﻢ را ﺑﻪ دﺳﺖ آورﻳﺪ.
y[n ] +
)ب( ﻳﻚ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﺗﻔﺎﺿﻠﻲ ﭘﻴﺪا ﻛﻨﻴﺪ ﻛﻪ ] x[nو ] y[nاﻳﻦ ﺳﻴﺴﺘﻢ را ﺑﻪ ﻫﻢ رﺑﻂ دﻫﺪ. ﺣﻞ:
) (
)اﻟﻒ( ﺑﺎ ﮔﺮﻓﺘﻦ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ از دو ﻃﺮف ﻣﻌﺎدﻟﻪ و ﺣﺬف ﺟﻤﻠﻪ w e jωاز دو ﻃﺮف ،دارﻳﻢ: 1 3 − e − jω Y e jω 2 = = 1 1 − jω X e jω − jω 1 − e 1 − e 2 4 ﺑﺎ ﮔﺮﻓﺘﻦ ﻋﻜﺲ ﺗﺒﺪل ﻓﻮرﻳﻪ از ﺑﺴﻂ ﻛﺴﺮﻫﺎي ﺟﺰﺋﻲ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﻓﻮق دارﻳﻢ:
) ( ) (
) (
H e jω
n
n 1 ] h[n ] = 4 u[n] − 1 u[n 4 2
) (
)ب( ﻣﻲ داﻧﻴﻢ ﻛﻪ: 1 3 − e − jω 2 = 1 − jω 1 − jω 1 − e 1 − e 2 4 ﺑﺎ ﻃﺮﻓﻴﻦ وﺳﻄﻴﻦ ﻛﺮدن و ﮔﺮﻓﺘﻦ ﻋﻜﺲ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ،دارﻳﻢ:
) ( ) ( jω
Ye X e jω
) (
= H e jω
٤٥٨
3 1 1 ]y[n − 1] + y (n − 2 ) = 3 x[n] − n[n − 1 4 8 2 .............................................................................................................................................
y[ y ] −
) (5,49اﻟﻒ( ] y[nﭘﺎﺳﺦ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ و ﭘﺎﺳﺦ ﺿﺮﺑﻪ اﻳﻦ ﺳﻴﺴﺘﻢ را ﺑﻪ دﺳﺖ آورﻳﺪ. ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ ﺑﻪ ﻫﻢ ﻣﺮﺗﺒﻂاﻧﺪ
) dX (e jω dω ) (iآﻳﺎ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﺧﻄﻲ اﺳﺖ؟ اﺳﺘﺪﻻﻟﻲ روﺷﻦ ﺑﺮاي ﺟﻮاﺑﺘﺎن ﺑﻴﺎورﻳﺪ.
Y (e jω ) = 2 X (e jω ) + e − jω X (e jω ) −
) (iiآﻳﺎ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﺗﻐﻴﻴﺮﻧﺎﭘﺬﻳﺮ ﺑﺎ زﻣﺎن اﺳﺖ؟ اﺳﺘﺪﻻل ﻛﻨﻴﺪ. ) (iiiﺑﻪ ازاي ] y[n] ، x[n] = δ [nرا ﺑﻴﺎﺑﻴﺪ.
) (
)ب( ﺳﻴﺴﺘﻢ ﮔﺴﺴﺘﻪ در زﻣﺎﻧﻲ را در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ ﻛﻪ ﺗﺒـﺪﻳﻞ ﺧﺮوﺟـﻲ Y e jωآن و ﺗﺒـﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳـﺔ ورودياش ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ ﺑﻪ ﻫﻢ ﻣﺮﺗﺒﻂ ﺑﺎﺷﺪ.
)dω
jω
X (e
ω +π / 4 ∫ω −π / 4
=)
jω
Y (e
] y[nرا ﺑﺮﺣﺴﺐ ] x[nﭘﻴﺪا ﻛﻨﻴﺪ. ﺣﻞ: )اﻟــﻒ( ) (iﻓــﺮض ﻛﻨﻴــﺪ ] x[n] = ax1 [n] + bx2 [nﻛــﻪ aو bﺛﺎﺑــﺖ ﻫــﺴﺘﻨﺪ .در اﻳﻨــﺼﻮرت
) (
) (
) x e jω = ax1 e jω + bx2 (e jωﻫﻤﭽﻨﻴﻦ ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ ﭘﺎﺳﺦ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﺑﻪ ] x1 [nو ] x2 [nﺑﻪ ﺗﺮﺗﻴﺐ ﺑﺮاﺑﺮ ] y1 [nو ] y 2 [nﺑﺎﺷﺪ.
) ( ) . Y (e ) = aY (e ) + by (eﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﺧﻄﻲ اﺳﺖ. ) (iiﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ ﺳﻴﮕﻨﺎل ] ، x[n] = x[n − 1در اﻳﻨﺼﻮرت ) x(e
ﺑــﺎ ﺟﺎﻳﮕــﺬاري ﺑــﺮاي X e jωدر ﻣﻌﺎدﻟــﻪ داده ﺷــﺪه و ﺳــﺎده ﺳــﺎزي ،ﺑﺪﺳــﺖ ﻣــﻲ آورﻳــﻢ jω
jω
2
jω
1
jω
) (
. x1 e jω = e − jωﻓـﺮض ﻛﻨـﻴﻢ،
ﭘﺎﺳﺦ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﺑﻪ اﻳﻦ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﺑﺮاﺑﺮ] y1 [nﺑﺎﺷﺪ .از ﻣﻌﺎدﻟﻪ داده ﺷﺪه:
) (
dx1 e jω = 2 x1 e + e x1 e − dω dx e jω + je − jω x e jω = e − jω 2 x e jω + e − jω x e jω − dω − jω jω ≠e Y e
) (
) (
) ( jω
) (
− jω
) ( jω
) (
) (
) ( jω
Y1 e
٤٥٩
ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﺗﻐﻴﻴﺮﭘﺬﻳﺮ ﺑﺎ زﻣﺎن اﺳﺖ.
) (
) (iiiاﮔﺮ ] ، X e jω = 1 ، x[n] = δ [nدر اﻳﻨﺼﻮرت:
) (
Y e jω = 2 + e − jω ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ. y[n] = 2δ [n] + δ [n − 1] ، )ب( ﻣﻲ ﺗﻮاﻧﻴﻢ ﺑﻨﻮﻳﺴﻴﻢ: π
ω+
θ ) (ω θ ∫ω π x(e )H (e )dθ −
j
j
4
4
) (
−
1 2π
) (
= Y e jω
ﻛﻪ H e jωدر ﺷﻜﻞ ح 5,49ﻧﺸﺎن داده ﺷﺪه اﺳﺖ:
) ( jω
H e
١ ω
ﺷﻜﻞ ح5,49
π 4
−π
4
ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﺧﺎﺻﻴﺖ ﺿﺮب ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ و ﺟﺪول 5,2ﺑﺪﺳﺖ ﻣﻲ آورﻳﻢ:
)( 4
Sin nπ
]y[n] = 2 x[n
n ............................................................................................................................................. ) (5,50اﻟﻒ( ﻣﻲﺧﻮاﻫﻴﻢ ﻳﻚ ﺳﻴﺴﺘﻢ LTIﮔﺴﺴﺘﻪ در زﻣﺎن ﻃﺮح ﻛﻨﻴﻢ ﻛﻪ ﺑﻪ ازاي ورودي زﻳﺮ n −1
]u[n − 1
n
11 1 x[n ] = u[n ] − 4 2 2
ﺧﺮوﺟﻲ زﻳﺮ را اﻳﺠﺎد ﻛﻨﺪ n
1 ] y[n ] = u [n 3 ) (iﭘﺎﺳﺦ ﺿﺮﺑﻪ و ﭘﺎﺳﺦ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ ﺳﻴﺴﺘﻢ LTIداراي ﻣﺸﺨﺼﺎت ﺑﺎﻻ را ﭘﻴﺪا ﻛﻨﻴﺪ.
) (iiﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺗﻔﺎﺿﻠﻲ ارﺗﺒﺎطدﻫﻨﺪه ] y[nو ] x[nاﻳﻦ ﺳﻴﺴﺘﻢ را ﺑﻴﺎﺑﻴﺪ.
٤٦٠
)ب( ﭘﺎﺳــﺦ ﻳــﻚ ﺳﻴــﺴﺘﻢ ﺑــﻪ ورودي] (n + 2 )(1 / 2 ) u[nﻋﺒــﺎرت اﺳــﺖ از ] . (1 / 4 ) u[nاﮔــﺮ n
n
ﺧﺮوﺟﻲ ] δ [n] − (− 1 2 ) u[nﺑﺎﺷﺪ ،ورودي ﭼﻴﺴﺖ؟ n
ﺣﻞ: )اﻟﻒ( ) (iاز اﻃﻼﻋﺎت داده ﺷﺪه 1 1 − e − jω Y e jω 2 = = jω 1 1 − jω X e − jω 1 − e 1 − e 3 4
) ( ) (
) (
H e jω
ﺑﺎ ﮔﺮﻓﺘﻦ ﻋﻜﺲ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ دارﻳﻢ:
]( 4 ) u[n] − 2(13 ) u[n n
n
h[n] = 3 1
) (iiاز ﻗﺴﻤﺖ )اﻟﻒ( ،ﻣﻲ داﻧﻴﻢ ﻛﻪ: 1 1 − e − jω 2 = 1 − jω 1 jω 1 − e 1 − e 3 4 ﺑﺎ ﻃﺮﻓﻴﻦ و وﺳﻄﻴﻦ ﻧﻤﻮدن و ﮔﺮﻓﺘﻦ ﻋﻜﺲ ﺗﺒﺪل ﻓﻮرﻳﻪ دارﻳﻢ:
) ( ) (
7 1 1 ]y[n − 1] + y[n − 2] = x[n] − x[n − 1 12 12 2
jω
Ye X e jω
y[n ] −
)ب( از اﻃﻼﻋﺎت داده ﺷﺪه: 2
1 − jω 1 − e jω Y (e ) 2 jω = = ) H (e 2 ) X (e jω 1 − jω 21 − e 4 2
1 − jω jω ﺣﺎل ﻣﻲﺧﻮاﻫﻴﻢ X e ،را زﻣﺎﻧﻴﻜﻪ 1 + e 2
) (
1 = e − jω 2
) ( jω
Y eرا ﺑﺪﺳﺖ آورﻳﻢ.
٤٦١
2
1 e 1 − e − j ω 4 = 2 1 − jω 1 − jω 1 − e 1 + e 2 2 ﺑﺎ ﮔﺮﻓﺘﻦ ﻋﻜﺲ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ از ﺑﺴﻂ ﻛﺴﺮﻫﺎي ﺟﺰﺋﻲ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺑﺎﻻ دارﻳﻢ: − jω
n −1
) (
x e jω
n −1
n −1 3 1 3 1 1 x[n ] = − u[n − 1] + 1 u[n − 1] + n u[n − 1]. 2 8 2 8 8 2 .............................................................................................................................................
) (
) (5,51اﻟﻒ( ﻳﻚ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﮔﺴﺴﺘﻪ در زﻣﺎن ﺑﺎ ﭘﺎﺳﺦ ﺿﺮﺑﺔ زﻳﺮ را در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ. n
n
11 1 ]h[n ] = u[n ] + u[n 2 4 2 ﻳﻚ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺗﻔﺎﺿﻠﻲ ﺧﻄﻲ ﺑﺎ ﺿـﺮاﺋﺐ ﺛﺎﺑـﺖ ﺑﻴﺎﺑﻴـﺪ ﻛـﻪ راﺑﻄـﻪ ورودي و ﺧﺮوﺟـﻲ اﻳـﻦ ﺳﻴـﺴﺘﻢ را
ﺗﻮﺻﻴﻒ ﻛﻨﺪ. )ب( ﺷﻜﻞ م 51-5ﻧﻤﻮدار ﺟﻌﺒﻪاي ﻳﻚ ﺳﻴﺴﺘﻢ LTIﻋﻠّﻲ را ﻧﺸﺎن ﻣﻲدﻫﺪ. ) (iﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺗﻔﺎﺿﻠﻲ ﺑﻴﺎنﻛﻨﻨﺪة راﺑﻄﺔ ورودي و ﺧﺮوﺟﻲ اﻳﻦ ﺳﻴﺴﺘﻢ را ﺑﻴﺎﺑﻴﺪ. ) (iiﭘﺎﺳﺦ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ اﻳﻦ ﺳﻴﺴﺘﻢ را ﺑﻴﺎﺑﻴﺪ. ) (iiiﭘﺎﺳﺦ ﺿﺮﺑﻪ ﺳﻴﺴﺘﻢ را ﺑﻪ دﺳﺖ آورﻳﺪ. 1
][
yn
⊕
4
⊕ D
1
−1 2
⊕
1
⊕ −1 2
D
][
xn
1 3
ﺷﻜﻞ م 51-5 ﺣﻞ: )اﻟﻒ( ﺑﺎ ﮔﺮﻓﺘﻦ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ﻣﻌﻜﻮس ] ، h[nﺑﺪﺳﺖ ﻣﻲ آورﻳﻢ:
3 1 − jω − e 2 2 = 3 1 1 − e − jω + e −2 jω 4 8
) ( ) = Y (e jω
) (
x e jω
jω
He
٤٦٢
ﺑﺎ ﻃﺮﻓﻴﻦ وﺳﻄﻴﻦ ﻛﺮدن ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ﻣﻌﻜﻮس دارﻳﻢ: 3 1 3 1 ]y[n − 1] + y[n − 2] = X [n ] − x[n − 1 4 8 2 2 )ب( ) (iﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ ﺧﺮوﺟﻲ ﻣﻴﺎﻧﻲ را ] ω [nﺑﻨﺎﻣﻴﻢ )ﺷﻜﻞ ح (.5,51را ﺑﺒﻴﻨﻴﺪ(.
][
yn
]ω [n ⊕ ⊕
⊕ D 1
][
⊕
−1 2
−1 2
D
y[n ] −
xn
1 2
ﺷﻜﻞ ح5,51 در اﻳﻨﺼﻮرت ﻣﻲ ﺗﻮاﻧﻴﻢ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺗﻔﺎﺿﻠﻲ )دﻳﻔﺮﻧﺲ( را ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ ﺑﻨﻮﻳﺴﻴﻢ: 1 1 ]y[n − 1] = ω [n ] + ω [n − 1 2 4
y[n ] +
و 1 3 ﺑﺎ ﮔﺮﻓﺘﻦ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ از دو ﻃﺮف ﻣﻌﺎدﻟﻪ و ﺣﺬف w e jωاز ﻃﺮﻓﻴﻦ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ،دارﻳﻢ:
]ω [n] − ω [n − 1] = x[n]x[n − 1
) (
1 7 − jω + e =4 8 1 1 − e − 2 jω 4
) ( ) ( jω
Ye X e jω
) (
= H e jω
ﺑﺎ ﻃﺮﻓﻴﻦ وﺳﻄﻴﻦ و ﮔﺮﻓﺘﻦ ﻋﻜﺲ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ دارﻳﻢ: 1 1 ]y[n − 2] = x[n ] + 7 x[n − 1] − 1 x[n − 2 8 2 4 4
y[n ] −
) (iiاز )(i
1 7 − jω 2 jω + e e Y e jω 4 8 = = 1 X e jω 1 − e −2 jω 4
) ( ) (
) (
H e jω
٤٦٣
) (
) (iiiﺑﺎ ﮔﺮﻓﺘﻦ ﻋﻜﺲ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ از ﺑﺴﻂ ﺑﻪ ﻛﺴﺮﻫﺎي ﺟﺰﺋﻲ H e jωدارﻳﻢ: n
n
21 21 1 7 1 ] h[n ] = 2δ [n ] − − − u[n ] + u[n 16 16 2 16 2 .............................................................................................................................................
) (5,52اﻟﻒ( ] h[nﭘﺎﺳﺦ ﺿﺮﺑﺔ ﻳﻚ ﺳﻴﺴﺘﻢ LTIﺣﻘﻴﻘﻲ ،ﻋﻠّـﻲ و ﮔﺴـﺴﺘﻪ در زﻣـﺎن اﺳـﺖ .ﻧـﺸﺎن دﻫﻴﺪ ﻛﻪ ﺑﺨﺶ ﺣﻘﻴﻘﻲ ﭘﺎﺳﺦ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ ﺑﺮاي ﻣﺸﺨﺺ ﻛﺮدن ﻛﺎﻣﻞ اﻳﻦ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﻛﺎﻓﻲ اﺳـﺖ :.اﻳـﻦ ﻫﻤﺘـﺎي ﮔﺴﺴﺘﻪ در زﻣﺎن ﺧﺎﺻﻴﺖ ﻛﺎﻓﻲ ﺑﻮدن ﻗﺴﻤﺖ ﺣﻘﻴﻘﻲ اﺳﺖ ﻛﻪ در ﻣﺴﺌﻠﻪ 47-4ﺑﺮاي ﺳﻴﺴﺘﻤﻬﺎي ﭘﻴﻮﺳـﺘﻪ در زﻣﺎن ﺑﻴﺎن ﺷﺪ. )ب( ] h[nرا ﺣﻘﻴﻘﻲ و ﻋﻠّﻲ ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ .اﮔﺮ
) (
] h[nو H e jωرا ﺑﺪﺳﺖ آورﻳﺪ.
) aﺣﻘﻴﻘﻲ(
}) ( {
ℜe X e jω = 1 + a cos 2 ω
}) ( {
)ج( ﻧﺸﺎن دﻫﻴﺪ ﻛﻪ ] h[nرا ﻣﻲﺗﻮان ﺑﻪ ﻃﻮر ﻛﺎﻣﻞ از ℜe X e jωو ] [ hﺑﻪ دﺳﺖ آورد. )د( دو ﺳﻴﺴﺘﻢ LTIﺣﻘﻴﻘﻲ و ﻋﻠّﻲ ﭘﻴﺪا ﻛﻨﻴﺪ ﻛﻪ ﻗﺴﻤﺖ ﻣﻮﻫﻮﻣﻲ ﭘﺎﺳﺦ ﻓﺮﻛﻨﺴﻲ آﻧﻬﺎ sin ωﺑﺎﺷﺪ. ﺣﻞ:
)اﻟﻒ( ﺑﺪﻟﻴﻞ اﻳﻨﻜﻪ ] h[nﻛﺎزال اﺳﺖ ،ﻣﻘﺎدﻳﺮ ﻧﻤﻮﻧﻪاي ﻏﻴـﺮ ﺻـﻔﺮ ] h[nو ] h[− nﺗﻨﻬـﺎ در = n ﻫﻤﭙﻮﺷﺎﻧﻲ دارﻧﺪ. ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ
> h[n] 2 n h[n] + h[− n] = }]εv{h[n ] [= h =n 2 < h[− n] 2 n ﺑﻪ ﻋﺒﺎرت دﻳﮕﺮ ) ح(5,52-1
> 2εv{h[n]} n = h[n] = εv{h[ ]} n <n
ﺗﻮﺟﻪ ﻛﻨﻴﺪ ﻛﻪ اﮔﺮ
) (
FT h[n]← → H e jω
٤٦٤
در اﻳﻨﺼﻮرت: h[n ] + h[− n] FT }) ←→ Re{H (e jω 2
= }]εv{h[n
واﺿﺢ اﺳﺖ ﻛﻪ ﻣﻲ ﺗﻮاﻧﻴﻢ}] εv{h[nرا از }) ( {
Re H e jωوﺻﻮل ﻧﻤﺎﺋﻴﻢ .از }] εv{h[nﻣﻲ ﺗـﻮاﻧﻴﻢ
ﻣﻌﺎدﻟﻪ )ح (5,52,1را ﺑﺮاي وﺻﻮل ] h[nاﺳـﺘﻔﺎده ﻛﻨـﻴﻢ .ﻣﺸﺨـﺼﺎً ،از ] h[nﻳﻜﺒـﺎر دﻳﮕـﺮ ﻣـﻲ ﺗـﻮاﻧﻴﻢ
) H (eرا ﺑﺪﺳﺖ آورﻳﻢ .ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﻛﺎﻣﻼً ﺗﻮﺳﻂ }) ( { ب( ﺑﺎ ﮔﺮﻓﺘﻦ ﻋﻜﺲ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ}) Re{H (e؛ ﺑﺪﺳﺖ ﻣﻲ آورﻳﻢ.
Re H e jωﻣﻌﻠﻮم ﻣﻲ ﺷﻮد.
jω
jω
a 2
a 2
]εv{h[n]} = δ [n] + δ [n − 2] + δ [n + 2 ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ]h[n] = δ [n ] + aδ [n − 2 ,
) (
H e jω = 1 + a e −2 jω ج( ﭼﻮن ] h[nﻛﺎزال اﺳﺖ ،ﻣﻘﺎدﻳﺮ ﻧﻤﻮﻧﻪ ﻫﺎي ] h[nو ] h[− nﺗﻨﻬﺎ در = tﻫﻤﭙﻮﺷﺎﻧﻲ دارﻧﺪ.
ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ: ] h[n] − h[− n 2
= }] od {h[n
] h[n >n 2 =n = < − h[− n] n 2
ﺑﻪ ﺑﻴﺎن دﻳﮕﺮ:
>n )(5,52,2ح ﺣﺎل ،ﺗﻮﺟﻪ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻴﺪ ﻛﻪ:
=n <n
}]{h[n ﻫﺮ ﻣﻘﺪاري h[n] =
٤٦٥
h[n ] − h[− n] FT }) ←→ j Im{H (e jω 2 Im H e jωوﺻـﻮل ﻛﻨـﻴﻢ .از }] od {h[nﻣـﻲ ﺗـﻮاﻧﻴﻢ ﻣﻌﺎدﻟـﻪ = }]od {h[n
واﺿﺢ اﺳﺖ od {h[n]} ،را از }) ( {
) (
)ح (5,52-2را ﺑﺮاي وﺻﻮل ] h[nاﺳﺘﻔﺎده ﻛﻨﻴﻢ .ﻣﺸﺨﺼﺎً ،از ] h[nﻳﻜﺒﺎر دﻳﮕﺮ ﻣﻲ ﺗـﻮاﻧﻴﻢ H e jωرا
ﺑﺪﺳﺖ آورﻳﻢ .ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﻛﺎﻣﻼً ﺗﻮﺳﻂ }) ( { د( ﻓﺮض ﻛﻨﻴﻢ }) . Sinω = Im{H (eدر اﻳﻨﺼﻮرت:
Im H e jωﻣﻌﻠﻮم ﻣﻲ ﺷﻮد.
jω
1 ]od {x[n ]} = 1 δ [n − 1] − δ [n + 1 2 2
ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ:
]h[n] = h[ ]δ [n] + δ [n − 1 ﻣﻘﺎدﻳﺮ ﻣﺨﺘﻠﻔﻲ را ﺑﺮاي ] [ hﻣﻲ ﺗﻮان اﻧﺘﺨﺎب ﻛﺮد ﺗﺎ دو ﺳﻴﺴﺘﻢ ﻣﺨﺘﻠﻒ ﻛﻪ ﭘﺎﺳﺦ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ ﻗـﺴﻤﺖ ﻫﺎي ﻣﻮﻫﻮﻣﻲ آﻧﻬﺎ ﺑﺮاﺑﺮ Sinωﺑﺪﺳﺖ آورد. (5,53ﻳﻜﻲ از دﻻﻳﻞ رﺷﺪ ﻋﻈﻴﻢ ﻛﺎرﺑﺮد روﺷﻬﺎي ﮔﺴﺴﺘﻪ در زﻣﺎن ﺑﺮاي ﺗﺤﻠﻴﻞ و ﻃﺮاﺣﻲ ﺳﻴﮕﻨﺎﻟﻬﺎ و ﺳﻴﺴﺘﻤﻬﺎ ﭘﻴﺸﺮﻓﺖ اﺑﺰارﻫﺎي ﻛﺎرآﻣﺪ ﻣﺤﺎﺳﺒﺎت ﺗﺤﻠﻴﻞ ﻓﻮرﻳﺔ ﺳﻴﮕﻨﺎﻟﻬﺎي ﮔﺴﺴﺘﻪ در زﻣﺎن ﺑﻮده اﺳﺖ .ﻗﻠﺐ اﻳﻦ روﺷﻬﺎ را روﺷﻲ ﻣﺮﺗﺒﻂ ﺑﺎ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﺔ ﮔﺴﺴﺘﻪ در زﻣﺎن ﺗﺸﻜﻴﻞ ﻣﻲدﻫﺪ ﻛﻪ ﺑـﺮاي ﭘﻴـﺎدهﺳـﺎزي روي ﻛﺎﻣﭙﻴﻮﺗﺮﻫﺎي دﻳﺠﻴﺘﺎل و ﺳﺨﺖاﻓﺰارﻫﺎي دﻳﺠﻴﺘﺎل ﺑﺴﻴﺎر ﻣﻨﺎﺳﺐ اﺳﺖ .اﻳﻦ روش ﺗﺒـﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳـﺔ ﮔﺴـﺴﺘﻪ DFTﺳﻴﮕﻨﺎﻟﻬﺎي ] x[nرا ﺳﻴﮕﻨﺎﻟﻲ را ﺑﺎ ﻋﻤﺮ ﻣﺤﺪود ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ ،ﻳﻌﻨﻲ ﻳﻚ ﻋـﺪد ﺻـﺤﻴﺢ N1وﺟـﻮد دارد ،ﺑﻪ ﻧﺤﻮي ﻛﻪ
در ﺧﺎرج ﻓﺎﺻﻠﻪ x[n] = , ≤ n ≤ N1 − 1 ~ را ﺑـﻪ ﻧﺤـﻮي ) X (e jωرا ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﺔ ﺳﻴﮕﻨﺎل ] x[nﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ .ﻣﻲﺗﻮاﻧﻴﻢ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻣﺘﻨﺎوب ]x [n ﺑﺴﺎزﻳﻢ ﻛﻪ در ﻳﻚ ﺗﻨﺎوب ﺑﺎ ] x[nﺑﺮاﺑـﺮ ﺑﺎﺷـﺪ .دﻗﻴﻘﺘـﺮ اﻳـﻦ ﻛـﻪ ﺑـﻪ ازاي ﻋـﺪد ﺻـﺤﻴﺢ Nﺑﺰرﮔﺘـﺮ ﻳـﺎ ~ را ﺑﺎ دوره ﺗﻨﺎوب Nﺑﻪ ﻧﺤﻮي ﺳﺎﺧﺖ ﻛﻪ ﻣﺴﺎوي ، Nﻣﻲﺗﻮان ]x [n 1
~ ﻋﺒﺎرتاﻧﺪ از ﺿﺮاﺋﺐ ﺳﺮي ﻓﻮرﻳﻪ ]x [n
, ≤ n ≤ N1 − 1
]x[n] = x[n
1 x [n ]e − jk (2π / N )n ~ ∑ N n= N ~ .ﭘﺲ ﻓﺎﺻﻠﻪ ﺟﻤﻊﺑﻨﺪي را ﻓﺎﺻﻠﻪاي در ﻧﻈﺮ ﻣﻲﮔﻴﺮﻳﻢ ﻛﻪ در آن ]x [n] = x[n
= ak
٤٦٦
1 N −1 − jk ( 2π / N )n )م (1-53-5 ∑ x[n ]e = N n ﺿﺮاﺋﺐ ﺗﻌﺮﻳﻒ ﺷﺪه ﺑﺎ ﻣﻌﺎدﻟﻪ )م DFT (1-53-5ﺳﻴﮕﻨﺎل ] x[nرا ﺗﺸﻜﻴﻞ ﻣﻲدﻫﻨﺪ .ﻣﻌﻤﻮﻻً DFT ~ ﺳﻴﮕﻨﺎل ] x[nرا ﺑﺎ ] X [kﻧﺸﺎن ﻣﻲدﻫﻨﺪ ،و آن را ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ ﺗﻌﺮﻳﻒ ﻣﻲﻛﻨﻨﺪ.
= ak
1 N −1 ~ − jk ( 2π N )n = X [k ] = a k )م k = , 1 , ... , N -1 (2-53-5و = , k ∑ x[n ]e = N n اﻫﻤﻴﺖ DFTاز ﭼﻨﺪ ﺟﺎ رﻳﺸﻪ ﻣﻲﮔﻴﺮد .اول اﻳﻦ ﻛﻪ ﺳﻴﮕﻨﺎل داراي ﻋﻤﺮ ﻣﺤﺪود اﺻﻠﻲ را ﻣـﻲﺗـﻮان
از DFTﺑﺎزﺳﺎزي ﻛﺮد .در واﻗﻊ دارﻳﻢ. ~ 1 N −1 jk ( 2π N )n , n = , 1 , ... , N − 1 )م(3-53-5- ∑ X [k ]e = N n ﭘﺲ ﺳﻴﮕﻨﺎل داراي ﻋﻤﺮ ﻣﺤﺪود را ﻣﻲﺗﻮان ﻫﻢ ﺑﺎ ﻣﻘﺎدﻳﺮ ﻏﻴﺮﺻﻔﺮ آن ﻣﺸﺨﺺ ﻛﺮد و ﻫﻢ ﺑـﺎ ﻣﻘـﺎدﻳﺮ ~ ] X [kآن .اﻫﻤﻴﺖ دﻳﮕﺮ DFTدر اﻳﻦ اﺳﺖ ﻛﻪ اﻟﮕﻮرﻳﺘﻢ ﺑﺴﻴﺎر ﺳﺮﻳﻌﻲ ،ﻣﻮﺳﻮم ﺑﻪ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳـﺔ ﺳـﺮﻳﻊ
= ] x[n
FFTﺑﺮاي ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ آن وﺟﻮد دارد )اﻳﻦ روش ﺑﺴﻴﺎر ﻣﻬﻢ در ﻣﺴﺌﻠﻪ 54-5ﻣﻌﺮﻓﻲ ﺷﺪه اﺳﺖ( .ﻫﻤﭽﻨـﻴﻦ ﺑﻪ ﺧﺎﻃﺮ راﺑﻄﺔ ﻧﺰدﻳﻜﻲ ﻛﻪ ﺑﻴﻦ ﺳﺮي ﻓﻮرﻳﺔ ﮔﺴﺴﺘﻪ در زﻣﺎن و ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ وﺟـﻮد دارد DFT ،ﺑﺮﺧـﻲ ﺧﻮاص ﻣﻬﻢ آن را داراﺳﺖ. )اﻟﻒ( ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ . N ≥ N1ﻧﺸﺎن دﻫﻴﺪ ﻛﻪ
)
1 ~ ) X [k ] = X e j (2πk / N N
(
][
X2 n
٢
n
٧
٥٦
٢
١
١٢ ٣ ٤
][
X1 n
-٢
n
١
٢ ٣
-١
ﺷﻜﻞ م 53-5 ~ ﻛﻪ در آن ] DFT ، X [kﺳﻴﮕﻨﺎل ] x[nاﺳﺖ .ﻳﻌﻨـﻲ DFTﻧﻤﻮﻧـﻪﻫـﺎي
-١
) (
، X e jωﺑـﺎ ﻓﺎﺻـﻠﻪﻫـﺎي
2π / Nاﺳﺖ .ﻣﻌﺎدﻟﻪ )م (3-53-5ﻣﺎ را ﺑﻪ اﻳﻦ ﻧﺘﻴﺠﻪ رﻫﻨﻤﻮن ﻣﻲﺷﻮد ﻛﻪ ] x[nرا ﻣﻲﺗـﻮان ﺑـﻪ ﻃـﻮر
) (
ﻳﻜﺘﺎ از ﻧﻤﻮﻧﻪﻫﺎي X e jωﺑﺎز ﻳﺎﻓﺖ.
٤٦٧
) (
)ب( ﻧﻤﻮﻧﻪﻫﺎي X e jωﺑﻪ ﻓﺎﺻﻠﻪ ، 2π / Mﺑﺎ ، M < N1را در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ .اﻳﻦ ﻧﻤﻮﻧﻪﻫﺎ ﺑﻴﺶ از ﻳﻚ رﺷﺘﻪ ﺑﻪ ﻃﻮل N1را ﺗﻌﻴﻴﻦ ﻣﻲﻛﻨﺪ .ﺑﺮاي ﻧﺸﺎن دادن اﻳﻦ ﻣﻄﻠﺐ دو ﺳﻴﮕﻨﺎل ] x1 [nو ] x2 [nﺷـﻜﻞ م 53-5را در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﺮﻳﺪ .ﻧﺸﺎن دﻫﻴﺪ ﻛﻪ ﺑﻪ ازاي M = 4دارﻳﻢ.
)
(
(
)
) X 1 e j (2πk / 4 ) = X 2 e j (2πk / 4
ﺣﻞ: )اﻟﻒ( ﻣﻌﺎدﻟﻪ آﻧﺎﻟﻴﺰ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ: − jωn
∞
∑ x[n]e
= ) x(e jω
∞n = −
ﺑﺎ ﻣﻘﺎﻳﺴﻪ ﺑﺎ ﻣﻌﺎدﻟﻪ )م (5,53-2دارﻳﻢ:
)
1 ~ ) x {k } = x e j (2πk N N ,
(
) (
x2 e jω = −e −2 jω − e −2 jω + e −3 jω + 2e − j 4ω − e − j 5ω + 2e j ﺣﺎل: − jπk
−3 jπk
+ 2e
2
2
)
=1− e
4
(
j 2πk
x1 e ,
j (2πk ) j (2πk ) 4 4 x2 e = 1 − e 2 + 2e 2 = x1 e (5,54ﻫﻤﺎنﻃﻮر ﻛﻪ در ﻣﺴﺌﻠﻪ 53-5ﮔﻔﺘﻴﻢ ﻣـﺴﺎﺋﻞ ﺑـﺴﻴﺎري ﺑـﺎ ا ﻫﻤﻴـﺖ وﺟـﻮد دارد ﻛـﻪ ﻣـﺴﺘﻠﺰم −3 j π
− jπk
ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﺔ ﮔﺴﺴﺘﻪ ) (DFTﺳﻴﮕﻨﺎﻟﻬﺎي ﮔﺴـﺴﺘﻪ در زﻣـﺎن اﺳـﺖ .اﻳـﻦ ﺳـﻴﮕﻨﺎﻟﻬﺎ ﻏﺎﻟﺒـﺎً ﻋﻤـﺮ ﻃﻮﻻﻧﻲ دارﻧﺪ و در اﻳﻦ ﻣﻮارد ﺑﺎﻳﺪ روﺷﻬﺎي ﻣﺤﺎﺳﺒﺎﺗﻲ ﻛﺎرآﻣﺪي ﺑﻪ ﻛﺎر ﺑﺮد .ﻳﻜـﻲ از دﻻﻳـﻞ رﺷـﺪ ﻗﺎﺑـﻞ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﻛﺎر ﺑﺮدن ﺗﻜﻨﻴﻜﻬﺎي ﻛﺎﻣﭙﻴﻮﺗﺮي در ﺗﺤﻠﻴﻞ ﺳﻴﮕﻨﺎﻟﻬﺎ ،ﭘﻲرﻳﺰي روش ﻣﺤﺎﺳﺒﺎﺗﻲ ﺳـﺮﻳﻌﻲ ﻣﻮﺳـﻮم ﺑﻪ اﻟﮕﻮرﻳﺘﻢ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ﺳﺮﻳﻊ FFTاﺳﺖ .ﺑﺎ اﻳﻦ روش ﻣﻲﺗﻮان DFTﺳﻴﮕﻨﺎﻟﻬﺎي داراي ﻋﻤﺮ ﻣﺤـﺪود را ﭘﻴﺪا ﻛﺮد .در اﻳﻦ ﻣﺴﺌﻠﻪ اﺻﻮل اﻟﮕﻮرﻳﺘﻢ FFTرا ﺑﺮرﺳﻲ ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ. ] x[nرا ﺳــﻴﮕﻨﺎﻟﻲ ﻓــﺮض ﻛﻨﻴــﺪ ﻛــﻪ در ﺧــﺎرج از ﻓﺎﺻــﻠﻪ ≤ n ≤ N1 − 1ﺻﻔﺮﺳــﺖ .ﺑــﻪ ازاي -N DFT ، N ≥ N1ﻧﻘﻄﻪاي ] x[nﻋﺒﺎرت اﺳﺖ از
٤٦٨
1 N −1 ~ − jk ( 2π / N )n )م (1-54-5 = ] X [k , k = , 1 , ... , N − 1 ∑ x[n ]e = N n ﺑﻬﺘﺮﺳﺖ ﻣﻌﺎدﻟﻪ )م (1-54-5را ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ ﺑﻨﻮﻳﺴﻴﻢ. 1 N −1 ~ nk = ] X [k )م (2-54-5 ∑ x[n] WN n = N ~ )اﻟﻒ( ﻳﻚ روش ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ] ، X [kﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻣﻌﺎدﻟﻪ )م (2-54-5اﺳﺖ .ﺗﻌﺪاد ﺿﺮﻫﺎي ﻣﺨﺘﻠﻂ
ﻻزم ﺑﺮاي ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ )م ،(2-54-5ﻣﻌﻴﺎر ﺧﻮﺑﻲ از ﭘﻴﭽﻴﺪﮔﻲ ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﻧﺎﺳﺖ .ﻧﺸﺎن دﻫﻴﺪ ﻛﻪ ﺗﻌﺪاد ﺿﺮﻫﺎي ﻻزم ﺑﺮاي ﻣﺨﺘﻠﻂ اﺳﺖ و WNnkﻗﺒﻼً ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ و در ﺟﺪوﻟﻲ ذﺧﻴﺮه ﺷﺪه اﺳﺖ .ﺑﺮاي آﺳﺎﻧﻲ ،از اﻳﻨﻜـﻪ ﺑـﻪ ازاي ﻣﻘﺎدﻳﺮ ﺧﺎﺻﻲ از nو WNnk ، kﺑﺮاﺑﺮ ± 1ﻳﺎ ± jاﺳﺖ و در ﺣﻘﻴﻘﺖ ﺿـﺮب ﻣﺨـﺘﻠﻂ ﻛﺎﻣـﻞ ﻻزم ﻧﻴﺴﺖ ،ﭼﺸﻢ ﺑﭙﻮﺷﻴﺪ. )ب( Nرا زوج ﺑﮕﻴﺮﻳـــﺪ .ﻓـــﺮض ﻛﻨﻴـــﺪ ] f [N ] = x[2nﻧﻤﻮﻧـــﻪﻫـــﺎي ﺷـــﻤﺎره زوج ] x[nو ] g [n] = x[2n + 1ﻧﻤﻮﻧﻪﻫﺎي ﺷﻤﺎره ﻓﺮد ] x[nاﺳﺖ. ) (iﻧﺸﺎن دﻫﻴﺪ ﻛﻪ ] g [nو ] f [nﺧﺎرج از ﻓﺎﺻﻠﻪ ≤ n ≤ ( N 2) − 1ﺑﺮاﺑﺮ ﺻﻔﺮﻧﺪ. ) (iiﻧﺸﺎن دﻫﻴﺪ ﻛﻪ -N DFTﻧﻘﻄﻪاي ] x[nرا ﻣﻲﺗﻮان ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ ﺑﻴﺎن ﺻﻔﺮﻧﺪ.
)م (3-54-5
1 ( N 2 )−1 1 nk ( N 2 )−1 ~ nk nk = ] X [k ∑ f [n ]WN / 2 + WN / 2 ∑ g [n] WN / 2 n = n = N N ~1 ~ 1 nk = F [k ] + WN G[k ] , k = , 1 , ... , N − 1 2 2
ﻛﻪ در آن )1 (N 2 ~ nk = ] F [k ∑ f [n ] WN / 2 = N n )1 (N 2 ~ nk = ] G[k ∑ g [n ] WN / 2 = N n ~ ~ دﻗﺖ ﻛﻨﻴﺪ ﻛﻪ ] F [kﺑﺎ k = , ,1, ... N / 2 − 1و ] G[kﺑﺎ k = ,1, ... , N / 2 − 1ﺑﻪ ﺗﺮﺗﻴـﺐ
− N / 2 DFTﻧﻘﻄـﻪ اي ] f [nو ] g [nﻫــﺴﺘﻨﺪ .ﺑﻨـﺎﺑﺮاﻳﻦ ﻣﻌﺎدﻟــﻪ )م (3-54-5ﻧـﺸﺎن ﻣــﻲدﻫـﺪ ﻛــﻪ − N DFTﻧﻘﻄﻪاي ] x[nرا ﻣﻲﺗﻮان ﺑﺮﺣﺴﺐ دو − N / 2 DFTﻧﻘﻄﻪاي ﺑﻪ دﺳﺖ آورد.
٤٦٩
~ ) (ivﺗﻌﺪاد ﺿﺮﺑﻬﺎي ﻣﺨﺘﻠﻂ ﻻزم ﺑﺮاي ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ] X [kﺑﺎ ، k = , 1 , . , N − 1از ﻣﻌﺎدﻟـﻪ )م -5 1 (3-54ﭼﻘﺪر اﺳﺖ؟ ]از ﻓﺮﺿﻬﺎي ﺑﻨﺪ )اﻟﻒ( اﺳﺘﻔﺎده ﻛﻨﻴـﺪ و ﺿـﺮب در 2 ﺣﺴﺎب ﻧﻜﻨﻴﺪ[.
را در ﻣﻌﺎدﻟـﺔ )م (3-54-5
)ج( اﮔﺮ N / 2ﻫﻢ زوج ﺑﺎﺷﺪ ،ﻣﻲﺗﻮان ] f [nو ] g [nرا ﺑﺎز ﻫﻢ ﺑﻪ ﻧﻤﻮﻧﻪﻫﺎي ﺷـﻤﺎره زوج و ﻓـﺮد ﺗﺠﺰﻳﻪ ﻛﺮد و DFTآﻧﻬﺎ را ﺑﻪ روﺷﻲ ﺷﺒﻴﻪ ﻣﻌﺎدﻟﻪ )م (3-54-5ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﻛـﺮد .ﺑـﻪ ﻋـﻼوه اﮔـﺮ Nﺗـﻮان ﺻﺤﻴﺤﻲ از 2ﺑﺎﺷﺪ ،ﻣﻲﺗﻮان ﺑﺎ اداﻣﻪ اﻳﻦ ﻓﺮآﻳﻨﺪ ،وﻗﺖ زﻳﺎدي در ﻣﺤﺎﺳﺒﺎت ﺻﺮﻓﻪ ﺟـﻮﻳﻲ ﻛـﺮد .در اﻳـﻦ ﺻﻮرت ﺑﻪ ازاي 4096و N =32 ،256 ،1024ﺗﻘﺮﻳﺒﺎً ﭼﻨﺪ ﺿﺮب ﻣﺨﺘﻠﻂ ﻻزم اﺳﺖ؟ ﻧﺘﻴﺠﻪ را ﺑـﺎ روش ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﺑﻨﺪ )اﻟﻒ( ﻣﻘﺎﻳﺴﻪ ﻛﻨﻴﺪ. ﺣﻞ: ~ ﺑﺮاي ﻣﻘﺪار وﻳﮋه ،kﻻزم اﺳﺖ ﻛﻪ اﻟﻒ( از ﻣﻌﺎدﻟﻪ )م (5,54-1واﺿﺢ اﺳﺖ ﻛﻪ ﺑﺮاي ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ } x {k ~ ﺿﺮب ﻣﺨﺘﻠﻂ Nرا اﻧﺠﺎم دﻫﻴﻢ .ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ﺑﻪ ﻣﻨﻈـﻮر ﻣﺤﺎﺳـﺒﻪ ] X [kﺑـﺮاي Nﻣﻘـﺎدﻳﺮ ﻣﺨﺘﻠـﻒ ،kﻻزم اﺳﺖ ﺿﺮب ﻣﺨﺘﻠﻂ N .N = N 2را اﻧﺠﺎم دﻫﻴﻢ. ب( ) (iﭼﻮن ] ، f [n] = x[2nدارﻳﻢ f [1] = x[2] ، f [ ] = x[ ] :و ...و
]( 2 ){− 1} = x[N − 2 ] f [nﺗﻨﻬﺎ در ﺑﺎزه ≤ n ≤ (N ) − 1ﻏﻴﺮ ﺻﻔﺮ اﺳﺖ. 2
. f Nﺑﺪﻟﻴﻞ اﻳﻨﻜﻪ ] x[nﺗﻨﻬـﺎ درﺑـﺎره ≤ n ≤ N − 1ﻏﻴـﺮ ﺻـﻔﺮ اﺳـﺖ،
ﺑﻪ ﻃﻮر ﻣﺸﺎﺑﻪ ،ﺑﺪﻟﻴﻞ اﻳﻨﻜﻪ ] ، g [n] = x[2n + 1دارﻳﻢ g [1] = x[3], g [ ] = x[1] :و ...
و ] {[ 2 ]−1}= x[N
. g Nﺑﺪﻟﻴﻞ اﻳﻨﻜﻪ ] x[nﺗﻨﻬﺎ در ﺑﺎزه ≤ n ≤ N − 1ﻏﻴﺮ ﺻﻔﺮ اﺳﺖ.
N ] g [nدر ﺑﺎزه − 1 2 ) (iiﻣﻌﺎدﻟﻪ ) (5,54-1را ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ ﻣﻲ ﺗﻮان ﺑﺎزﻧﻮﻳﺴﻲ ﻛﺮد:
≤ ≤ nﻏﻴﺮ ﺻﻔﺮ اﺳﺖ.
(N )−1
N −1
2 1 2 2 nk K 1 ~ = ] x [k x [ 2 x ] W + W ∑ ∑ x[2n + 1]× WN2 nk N N = N n = N n ﺑﺪﻟﻴﻞ اﻳﻨﻜﻪ WN2 nk = WN2 nkﻣﻲ ﺗﻮاﻧﻴﻢ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺑﺎﻻ را ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ ﺑﺎزﻧﻮﻳﺴﻲ ﻛﻨﻴﻢ: 2
nk N 2
(N 2 )−1
∑ g [n]W = n
1 N
+ Wnk
nk N 2
N −1 2
∑ f [n]W = n
1 ~ = ] x [k N
٤٧٠
)(S5,54-1 ) (iiiدارﻳﻢ:
~ ] = F [k
kn N 2
) (N 2
∑ f [n]W = n
ﺑﻪ ﻃﻮر ﻣﺸﺎﺑﻪ
N 2 ~ = F k + 2 N
] ]2 = G~[k
N ~ ) (ivﭼﻮن ] F [kﻳﻚ ﻧﻘﻄﻪ 2
[
~ Gk+N
،ﺑﺮاي DFTاﺳﺖ ،ﻣﻲ ﺗـﻮاﻧﻴﻢ از روش ﻣـﺸﺎﺑﻪ آﻧﭽـﻪ در ﻗـﺴﻤﺖ
N2 )اﻟﻒ( آﻣﺪه اﺳﺘﻔﺎده ﻛﻨﻴﻢ ﺗﺎ ﻧﺸﺎن دﻫﻴﻢ ﻛﻪ ﺑﻪ ﺿﺮب ﻣﺨﺘﻠﻂ 4 N2 ~ ﻧﻴﺎز دارد. ﻣﺸﺎﺑﻪ ﻣﻲ ﺗﻮاﻧﻴﻢ ﻧﺸﺎن دﻫﻴﻢ ﻛﻪ ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ] F [kﺑﻪ ﺿﺮاﻳﺐ 4 2 N ~ ﺑﺮاي ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ] X [Kﻧﻴﺎز دارﻳﻢ. از ﻣﻌﺎدﻟﻪ )ح (5,54-1ﺑﺪﻳﻬﻴﺴﺖ ﻛﻪ ﺑﻪ ﺿﺮب ﻣﺨﺘﻠﻂ + N 2 ج( ﺑﺎ ﺗﺠﺰﻳﻪ ] g [nو ] f [nﺑﻪ ﻧﻤﻮﻧﻪ ﻫﺎي اﻧﺪﻳﺲ زوج و ﻓﺮد ،ﻣﻲ ﺗﻮاﻧﻴﻢ ﺑﺎ ﻓـﺮاﻫﻢ ﺳـﺎﺧﺘﻦ ﻋـﺪد ﺑﺮاي ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ آن ﻧﻴﺎز دارﻳﻢ .ﺑـﻪ ﻃـﻮر
N2 N + ﻣﺤﺎﺳﺒﺎﺗﻲ ﺑﻪ 2 4 ﺑﺎر اﻧﺠﺎم ﻣﻲ دﻫﻴﻢ .ﺟﺪول ﻣﺤﺎﺳﺒﺎﺗﻲ زﻳﺮ ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از دو روش ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ و FFTﺑﺮاي ﻣﻘـﺎدﻳﺮ ﻣﺨﺘﻠـﻒ اﻳﻦ ﺗﺠﺰﻳﻪ را ﺑﻪ اﻧﺪازه log 2Nﺗﻜﺮار ﻛﻨﻴﻢ .ﻣﺤﺎﺳـﺒﺎت ﻻزم ﺑـﺮاي N log 2N
Nﺗﺮﺗﻴﺐ داده اﻳﻢ: روش FFT
روش ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ
N
160
1024
32
2048
65536
256
10240
1048576
1024
49/52
16777216
4096
(5,55در اﻳﻦ ﻣﺴﺌﻠﻪ ﻣﻔﻬﻮم ﻗﺎب ﻛﺮدن را ،ﻛﻪ ﻫـﻢ در ﻃﺮاﺣـﻲ ﺳﻴـﺴﺘﻤﻬﺎي LTIو ﻫـﻢ در ﺗﺤﻠﻴـﻞ ﻃﻴﻔﻲ ﺳﻴﮕﻨﺎﻟﻬﺎ اﻫﻤﻴﺖ ﺑﺴﺰاﻳﻲ دارد ﻣﻌﺮﻓﻲ ﻣﻲﻛﻨـﻴﻢ :ﻣﻨﻈـﻮر از ﻗـﺎب ﻛـﺮدن ،ﺿـﺮب ﺳـﻴﮕﻨﺎل ] x[nدر ﺳﻴﮕﻨﺎل داراي ﻋﻤﺮ ﻣﺤﺪود ] ، w[nﻣﻮﺳﻮم ﺑﻪ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻗﺎب اﺳﺖ ﻳﻌﻨﻲ
٤٧١
]p[n] = x[n]w[n دﻗﺖ ﻛﻨﻴﺪ ﻛﻪ ] p[nﻫﻢ ﻋﻤﺮ ﻣﺤﺪود دارد. اﻫﻤﻴﺖ ﻗﺎب ﻛﺮدن در ﺗﺤﻠﻴﻞ ﻃﻴﻔﻲ از اﻳﻨﺠﺎ رﻳﺸﻪ ﻣﻲﮔﻴﺮد ﻛﻪ در ﻛﺎرﺑﺮدﻫﺎي ﺑﺴﻴﺎري ﻻزم اﺳـﺖ ك ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﺔ ﻳﻚ ﺳﻴﮕﻨﺎل اﻧﺪازهﮔﻴﺮي ﺷﺪه ﺣﺴﺎب ﺷﻮد .ﭼﻮن در ﻋﻤﻞ ﺗﻨﻬـﺎ ﻣـﻲﺗـﻮان ] x[nرا در ﻳـﻚ ﻓﺎﺻﻠﻪ ﻣﺤﺪود )ﭘﻨﺠﺮه زﻣﺎﻧﻲ( اﻧﺪازه ﮔﺮﻓﺖ ،ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻗﺎﺑﻞ دﺳﺘﺮس ﺑﺮاي ﺗﺤﻠﻴﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ﻋﺒﺎرت اﺳﺖ از
x[n] , − M ≤ n ≤ M p[n] = در ﻏﻴﺮ اﻳﻦ ﺻﻮرت , ﻛﻪ در آن − M ≤ n ≤ Mﻗﺎب ﻳﺎ ﭘﻨﺠﺮه زﻣﺎﻧﻲ اﺳﺖ .ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ
]p[n] = x[n]w[n ﻛﻪ ] w[nﻗﺎب ﻳﺎ ﭘﻨﺠﺮة ﻣﺴﺘﻄﻴﻠﻲ اﺳﺖ؛ ﻳﻌﻨﻲ
−M ≤n≤ M 1 , p[n] = در ﻏﻴﺮ اﻳﻦ ﺻﻮرت , ﻗﺎب ﻛﺮدن در ﻃﺮاﺣﻲ ﺳﻴﺴﺘﻤﻬﺎي LTIﻫﻢ ﻧﻘﺶ ﻣﻬﻤﻲ ﺑـﺎزي ﻣـﻲﻛﻨـﺪ .ﺑـﻪ دﻻﻳـﻞ ﻣﺨﺘﻠـﻒ )ﻣـﺜ ً ﻼ ﺗﻮاﻧﺎﻳﻲ ﺑﻪ ﻛﺎر ﺑﺮدن اﻟﮕﻮرﻳﺘﻢ ،FFTﻣﺴﺌﻠﻪ 54-5را ﺑﺒﻨﻴﺪ( ﺑﻬﺘﺮ اﺳـﺖ ﺑـﺮاي اﻧﺠـﺎم ﭘـﺮدازش ﻣـﻮردﻧﻈﺮ ﺳﻴﺴﺘﻤﻲ ﻃﺮاﺣﻲ ﻛﻨﻴﻢ ﻛﻪ ﭘﺎﺳﺦ ﺿﺮﺑﺔ ﻣﺤﺪودي داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ .ﺑﻪ ﻋﺒﺎرت دﻳﮕﺮ ﻣﻌﻤﻮﻻً از ﭘﺎﺳﺦ ﻓﺮﻛﺎﻧـﺴﻲ
) (
ﻣﻄﻠﻮب H e jωﺷﺮوع ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ ﻛﻪ ﻋﻜﺲ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ آن ،ﻳﻌﻨﻲ ﭘﺎﺳﺦ ﺿﺮﺑﺔ ] h[nﻋﻤﺮ ﻧﺎﻣﺤـﺪودي )ﻳﺎ ﺣﺪاﻗﻞ ﺑﺴﻴﺎر ﻃﻮﻻﻧﻲ( دارد .ﺑﺎﻳﺪ ﻳﻚ ﭘﺎﺳﺦ ﺿﺮﺑﻪ ﻣﺤـﺪود ] g [nﻃﺮاﺣـﻲ ﻛﻨـﻴﻢ ﻛـﻪ ﺗﺒـﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳـﺔ
) G(eآن ﺗﻘﺮﻳــﺐ ﻣﻨﺎﺳــﺒﻲ از) ( jω
jω
Hﺑﺎﺷــﺪ .ﻳــﻚ روش ﻛﻠــﻲ اﻧﺘﺨــﺎب ] ، g [nﻳــﺎﻓﺘﻦ ﻳــﻚ ﺗــﺎﺑﻊ
) (
ﻗﺎب ] w[nﻣﻨﺎﺳﺐ اﺳﺖ ،ﺑﻪ ﻧﺤﻮي ﻛﻪ ] [h n]w[nﻣﺸﺨﺼﺎت دﻟﺨﻮاه G e jωرا ﺑﺮآورد ﻛﻨﺪ. ﻣﺴﻠّﻢ اﺳﺖ ﻛﻪ ﻗﺎب ﻛﺮدن ﺳﻴﮕﻨﺎل ﺑﺮ ﻃﻴﻒ آن اﺛﺮ ﻣﻲﮔﺬارد .در اﻳﻦ ﻣـﺴﺌﻠﻪ ،اﻳـﻦ اﺛﺮﻫـﺎ را ﺑﺮرﺳـﻲ ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ. )اﻟﻒ( ﺑﺮاي درك اﺛﺮ ﻗﺎب ﻛﺮدن ،ﺳﻴﮕﻨﺎل زﻳﺮ ∞
] x[n] = ∑ δ [n − k ∞k = −
را ﺑﺎ ﭘﻨﺠﺮة ﻣﺴﺘﻄﻴﻠﻲ ﻣﻌﺎدﻟﻪ )م (1-55-5ﻗﺎب ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ.
) (
) X e jω (iرا ﺑﻴﺎﺑﻴﺪ. ) (iiﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﺔ ] p[n] = x[n]w[nرا ﺑﻪ ازاي M = 1رﺳﻢ ﻛﻨﻴﺪ.
٤٧٢
) (iiiﺑﻨﺪ ﭘﻴﺶ را ﺑﻪ ازاي M = 10ﺗﻜﺮار ﻛﻨﻴﺪ. )ب( ﺣﺎل ﺳﻴﮕﻨﺎﻟﻲ ﺑﺎ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﺔ زﻳﺮ در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ.
1 , X e jω = ,
ω <π /4 ) ( π /4< ω ≤π ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ] ، p[n] = x[n]w[nﻛﻪ ] w[nﭘﻨﺠﺮه ﻣﺴﺘﻄﻴﻠﻲ ﻣﻌﺎدﻟـﻪ )م (1-5-5اﺳـﺖ P(e ) .را jω
ﺑﻪ ﻃﻮر ﺗﻘﺮﻳﺒﻲ ،ﺑﻪ ازاي M = 4 ،8 ،16رﺳﻢ ﻛﻨﻴﺪ.
) (
)ج( ﻳﻜﻲ از ﻣﺸﻜﻼت اﺳﺘﻔﺎده از ﭘﻨﺠﺮه ﻣﺴﺘﻄﻴﻠﻲ اﻳﺠﺎد ﺗﻤﻮج در ﺗﺒﺪﻳﻞ P e jωاﺳﺖ) .اﻳﻦ ﺗﻤﻮج ﺑﺎ ﭘﺪﻳﺪة ﮔﻴﺒﺲ ﻣﺮﺗﺒﻂ اﺳﺖ (.ﺑﻪ ﻫﻤﻴﻦ ﻋﻠﺖ ﺳﻴﮕﻨﺎﻟﻬﺎي ﭘﻨﺠﺮه دﻳﮕﺮي ﭘﻲرﻳﺰي ﺷﺪه اﺳﺖ .اﻳﻦ ﺳﻴﮕﻨﺎﻟﻬﺎ ﺑﻪ ﺗﺪرﻳﺞ از ﺑﻪ 1ﻣﻲرﺳﻨﺪ ،ﻧﻪ ﻣﺜﻞ ﭘﻨﺠﺮة ﻣﺴﺘﻄﻴﻠﻲ ﻛﻪ ﮔﺬر آن ﻧﺎﮔﻬﺎﻧﻲ اﺳﺖ .اﺛﺮ اﻳﻦ ﺗـﺪرج ،ﻛـﺎﻫﺶ
) (
) (
داﻣﻨﺔ ﺗﻤﻮج P e jωاﺳﺖ ﻛﻪ ﺑـﻪ ﻗﻴﻤـﺖ اﻓـﺰاﻳﺶ اﻧـﺪﻛﻲ اﻋﻮﺟـﺎج و ﻫﻤـﻮارﺗﺮ ﺷـﺪن X e jωﺗﻤـﺎم ﻣﻲﺷﻮد. ﺑﺮاي روﺷﻦ ﻛﺮدن ﻧﻜﺎت ﻓﻮق ،ﺳﻴﮕﻨﺎل ] x[nﺑﻨﺪ )ب( را ﺑﺎ ﭘﻨﺠﺮه ﻣﺜﻠﺜﻲ ﻳﺎ ﺑﺎرﺗﻠﺖ زﻳﺮ
1− n , −M ≤n≤ M 1 − w[n] = M + 1 در ﻏﻴﺮ اﻳﻦ ﺻﻮرت , در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ و ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ ] . p[n] = x[n]w[nﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ] p[nرا ﺑﻪ ازاي ،M =4 ،8 ،16ﺑﻪ ﻃﻮر ﺗﻘﺮﻳﺒﻲ رﺳﻢ ﻛﻨﻴﺪ ]راﻫﻨﻤﺎﻳﻲ :ﺗﻮﺟﻪ ﻛﻨﻴﺪ ﻛﻪ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻣﺜﻠﺜﻲ ،ﺣﺎﺻﻞ ﻛﺎﻧﻮﻟﻮﺷﻦ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻣـﺴﺘﻄﻴﻠﻲ ﺑـﺎ
) (
ﺧﻮدش اﺳﺖ .ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ اﻳﻦ ﻣﻄﻠﺐ ﻋﺒﺎرت ﻣﻨﺎﺳﺒﻲ ﺑﺮاي W e jωﺑﻪ دﺳﺖ آورﻳﺪ[. )د( ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ ] p[n] = x[n]w[nﺳﻴﮕﻨﺎل ﻛﺴﻴﻨﻮﺳﻲ ﺑﺎﻻ رﻓﺘﻪ ﻣﻮﺳـﻮم ﺑـﻪ ﭘﻨﺠـﺮه ﻫﻨﻴﻨـﮓ اﺳـﺖ؛ ﻳﻌﻨﻲ
−M ≤n≤ M
M )],
در ﻏﻴﺮ اﻳﻦ ﺻﻮرت , P e jωرا ﺑﻪ ازاي M = 4 ،8 ،16ﺑﻪ ﻃﻮر ﺗﻘﺮﻳﺒﻲ رﺳﻢ ﻛﻨﻴﺪ.
) ( ﺣﻞ:
اﻟﻒ( )(i
1
[1 + cos(πn w[n] = 2
٤٧٣
∞
) ∑ δ (ω − 2πk
) (
x e jω = 2π
∞k = −
) (iiوﻗﺘﻲ M = 10ﻣﻲ ﺗﻮاﻧﻴﻢ از ﺟﺪول 5,2ﺑﺮاي ﭘﻴﺪا ﻛﺮدن اﻳﻨﻜﻪ
)Sin(2 / ω / 2 2
ω
) (
= p e jω
اﺳﺘﻔﺎده ﻛﻨﻴﻢ. ب( ﻃﺮﺣﻬﺎ در ﺷﻜﻞ ح .5,55ﻧﺸﺎﻧﺪاده ﺷﺪه اﻧﺪ.
) Z ( e jω
) Z ( e jω
ω
ω
π
−π
) Z ( e jω
ω
) Z ( e jω
π
π /4
−π / 4
−π
) Z ( e jω ω
π
π /4
−π / 4
−π
π ω
ج
π /4
−π / 4
−π
٤٧٤
Z ( e jω )
ج
M=4
−π
−π / 4
π ω
π /4
Z ( e jω )
jω
Z (e )
M=16
M=8
−π
−π / 4
π
π /4
ω
−π
−π / 4
π /4
π ω
(د
د
Z ( e jω )
Z ( e jω )
M=8
M=4
−π
−π / 4
π
π /4
ω
−π
−π / 4
π /4
π
ω
Z ( e jω ) M=16
−π
−π / 4
π /4
π ω
.5,55ﺷﻜﻞ ح
٤٧٥
) ( ] ) Sin (ω 2
)ج دارﻳﻢ 2 = W e jw
[
Sin 2 (M + 1)ω 2
.ﻃﺮﺣﻬﺎ در ﺷﻜﻞ ح 5,55ﻧﺸﺎن داده ﺷﺪه اﻧﺪ.
د( ﻃﺮﺣﻬﺎ در ﺷﻜﻞ ح .5,55ﻧﺸﺎن داده ﺷﺪه اﻧﺪ. x[m, n] (5,56ﺳﻴﮕﻨﺎﻟﻲ ﺑﺎ دو ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻣﺴﺘﻘﻞ ﮔﺴﺴﺘﻪ mو nاﺳﺖ .ﺑﻪ ﻗﻴﺎس ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻳﻚ ﺑﻌـﺪي و ﺣﺎﻟﺖ ﭘﻴﻮﺳﺘﻪ در زﻣﺎن ﺑﻴﺎن ﺷﺪه در ﻣـﺴﺌﻠﻪ ،53-4ﻣـﻲﺗـﻮاﻧﻴﻢ ﺗﺒـﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳـﻪ دوﺑﻌـﺪي ] x[m, nرا ﺑـﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ ﺗﻌﺮﻳﻒ ﻛﻨﻴﻢ )
)م (1-56-5
∞∑ = )
∞
(
− j ω m +ω n ∑ x[m, n]e 1 2
∞n = −
,e jω 2
jω1
X (e
∞m = −
)اﻟﻒ( ﻧﺸﺎن دﻫﻴﺪ ﻛﻪ ﻣﻲﺗﻮاﻧﻴﻢ ﻣﻌﺎدﻟـﻪ )م (1-56-5را ﺑـﻪ ﺻـﻮرت دو ﺗﺒـﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳـﺔ ﻳـﻚ ﺑﻌـﺪي ﺣﺴﺎب ﻛﻨﻴﻢ ،ﻳﻌﻴﻦ اﺑﺘﺪا nرا ﺛﺎﺑﺖ ﺑﮕﻴﺮﻳﻢ و ﺟﻤﻊ را ﺑﺮﺣـﺴﺐ mﻣﺤﺎﺳـﺒﻪ ﻛﻨـﻴﻢ و ﺳـﭙﺲ ﻣﺤﺎﺳـﺒﻪ را
(
)
ﺑﺮﺣﺴﺐ nاﻧﺠﺎم دﻫﻴﻢ ،ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از اﻳﻦ ﻧﺘﻴﺠﻪ ] x[m, nرا ﺑﺮﺣﺴﺐ X e jω1 , e jω2ﺑﻪ دﺳﺖ آورﻳﺪ.
]x[m, n] = a[m]b [n
)ب( ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ
) (
ﻛﻪ در آن ] a[mو ] b[nﺗﻮاﺑﻊ ﻳﻚ ﻣﺘﻐﻴﺮهاﻧﺪ .ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﺔ اﻳـﻦ دو ﺳـﻴﮕﻨﺎل ﺑـﻪ ﺗﺮﺗﻴـﺐ A e jωو
) (
)
(
) ( ) (
B e jωاﺳﺖ X e jω1 , e jω2 .را ﺑﺮﺣﺴﺐ A e jωو B e jωﺑﻴﺎن ﻛﻨﻴﺪ. )ج( ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ دو ﺑﻌﺪي ﺳﻴﮕﻨﺎﻟﻬﺎي زﻳﺮ را ﭘﻴﺪا ﻛﻨﻴﺪ.
](i) x[m, n] = δ [m − 1]δ [n + 4 n−m
]u[n − 2]u[− m
1 (ii) x[m, n] = 2
n
1 ] (iii) x[m, n ] = cos(2πm / 3)u[n 2 π n 2π n (iv) x[m, n ] = sin + 5 3 )د( ﺳﻴﮕﻨﺎل ] x[m, nﺑﺎ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ زﻳﺮ را ﺑﻴﺎﺑﻴﺪ
ω1 ≤ π / 4 , ω 2 ≤ π / 2 π 2 < ω 2 ≤ πﻳﺎ π 4 < ω1 ≤ π
1, X e jω1 , e jω2 = ,
)
(
٤٧٦
(
)
X e jω1 , e jω2 دو ﺳـــﻴﮕﻨﺎل ﺑـــﺎ ﺗﺒـــﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳـــﻪ دو ﺑﻌـــﺪيh[m, n] وx[m, n] ()ﻫــــ
(
)
(
)
(
)
ﺑﻴـﺎنH e jω1 , e jω2 وX e jω1 , e jω2 ﺗﺒﺪﻳﻞ ﺳﻴﮕﻨﺎﻟﻬﺎي زﻳﺮ را ﺑﺮﺣﺴﺐ. ﻫﺴﺘﻨﺪH e jω1 , e jω2 و :ﻛﻨﻴﺪ
x[m, n]e jW1m e jW2n
(i)
n = 3 r , m = 2k اﮔﺮ x[k , r ], (ii) y[m, n] = ﻧﺒﺎﺷﺪ3 ﻣﻀﺮبn و2 ﻣﻀﺮبm در ﺻﻮرﺗﻲ ﻛﻪ , y [m, n] = x [m, n]h [m, n] (iii) :ﺣﻞ :اﻟﻒ( دارﻳﻢ
(
)
∞
∞
X e jω1 , e jω2 = ∑ ∑ x[m, n]e − j (ω1m+ w2n ) n = −∞ m = −∞
+∞ ∞ = ∑ ∑ x[m, n]e − jω1m e − jω2 n n = −∞ m= −∞
(
∞
)
= ∑ x e jω1 , n e − jω2 n n = −∞
: ﻣﻲ ﺗﻮاﻧﻴﻢ ﺑﻨﻮﻳﺴﻴﻢ،ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ
(
1 2π
)
X e jω1 , n =
∫ π X (e π
jω1
−
)
, e jω2 e jω2n dω 2
:ازاﻳﻦ راﺑﻄﻪ دارﻳﻢ x[m, n] =
1 4π
2
∫ π ∫ π X (e π
π
−
−
jω1
)
, e jω2 e jω1m e jω2n dω1dω2
:ب( ﺑﻪ ﺳﺎدﮔﻲ ﻣﻲ ﺗﻮان ﻧﺸﺎن داد ﻛﻪ
(
) ( )( )
X e jω1 , e jω2 = A e jω B e jω :)ج( از ﻧﺘﻴﺠﻪ ﻗﺴﻤﺖ ﻗﺒﻠﻲ در ﭼﻨﺪ ﻣﺴﺌﻠﻪ اﻳﻦ ﻗﺴﻤﺖ اﺳﺘﻔﺎده ﻣﻲ ﻛﻨﻴﻢ (i)
(ii)
(
)
X e jω1 , e jω2 = e − jω1 e jω2
(
X e jω1 , e jω2
)
e − j 2ω2 1 = 1 − 1 e − jω2 1 − 1 e − jω1 2 2
٤٧٧
∞ 1 2π X e jω1 , e jω2 = − 2πk π δ ω1 − 1 − jω2 k∑ 3 1 − e =−∞ (iii) 2 ∞ 2π + π ∑ δ ω1 + − 2πk 3 K = −∞ x[n, m] = {u[m + 1] − u[m − 2]}{u[n + 4] − u[n − 5]} ( در اﻳﻨﺠﺎiv)
(
)
(
)
(
)
X e jω1 , e jω2
7ω2 3ω1 Sin Sin 2 2 = Sin ω2 Sin ω1 2 2 : )دو ﺑﻌﺪي( دارﻳﻢ2D ( از ﺗﻌﺮﻳﻒ ﺗﻌﺮﻳﻒ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪv)
X e jω1 , e jω2 =
π
∞
∞
∑ ∑ δ ω j
1
l = −∞ r = −∞
−
π 2π + 2πl δ ω 2 − − 2πr 5 3
π 2π − δ ω1 + + 2πl δ ω 2 + + 2πr 5 3
(
)
x e j (ω1 −w1 ) , e j (ω2 ,W2 ) (ii) (iii)
(
)
x e 2ω1 , e 3ω2 1 π π [ j ] jθ ( e , e )H e j (ω1 − j ) , e j (ω1 −θ )d dθ 2 ∫−π ∫−π 4π
(
]
(i) (د