Matematika 5odd by Nella S Nikovska

korica 5odd.ai 1 3/29/2010 9:51:52 PM

Билјана Крстеска Славица Димитриевска

CMY

Роберта Јордановска

Ȼɢɥʁɚɧɚ Ʉɪɫɬɟɫɤɚ ɋɥɚɜɢɰɚ Ⱦɢɦɢɬɪɢɟɜɫɤɚ

Ɋɨɛɟɪɬɚ ȳɨɪɞɚɧɨɜɫɤɚ

ɭɱɟɛɧɢɤ ɡɚ ɩɟɬɬɨ ɨɞɞɟɥɟɧɢɟ ɡɚ ɞɟɜɟɬɝɨɞɢɲɧɨ ɨɫɧɨɜɧɨ ɨɛɪɚɡɨɜɚɧɢɟ

ПРЕДГОВОР

Драг ученику,

Те покануваме и оваа учебна година, низ овој учебник да патуваме во светот на математиката откривајќи нови вистини и начини за решавање на многу математички задачи кои ќе бидат нов предизвик за тебе. Патувањето ќе го започнеме со проширување на знаењата за множествата и запознавање на начинот на запишување на множествата со загради, како и со операциите унија, пресек и разлика на множества. Потоа ќе продолжиме со повторување на броевите до 1 000. Ќе ги изучиме броевите до 1 000 000. Потоа ќе собираме и одземаме броеви до 1 000 000. Ќе ги изучиме и римските цифри. Ќе пристигнеме и до светот на геометријата во која нé очекуваат бројни изненадувања од точките, правите, рамнините, многуаголниците, триаголниците, квадратите, правоаголниците, круговите и кружниците. Ќе ги прошириме и знаењата за геометриските тела и нивните елементи. Ќе се потсетиме како множевме и делевме, а ќе научиме да множиме повеќецифрени броеви со едноцифрен, двоцифрен и трицифрен број и како да делиме повеќецифрени броеви со едноцифрен и двоцифрен број. Ќе пресметуваме бројни изрази со четири операции и ќе решаваме равенки. Ќе споредуваме, собираме и одземаме дропки и ќе пресметуваме дел од број. Ќе научиме да пресметуваме плоштина на правоаголник и квадрат, на квадар и коцка. Не ја забораваме и работата со податоци која ќе ни даде информации за многу ситуации. Во прилог на крајот од учебникот има дополнителни апликации кои ќе ти го направат учењето лесно и интересно. СРЕЌНО! Од авторите

МНОЖЕСТВА 1

ɚ ɂɦɟɧɭɜɚʁ ɝɨ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨɬɨ Ⱥ

Ɇɧɨɠɟɫɬɜɚɬɚ ɝɢ ɨɡɧɚɱɭɜɚɦɟ ɫɨ ɝɨɥɟɦɢ ɛɭɤɜɢ ɨɞ ɥɚɬɢɧɫɤɚɬɚ ɚɡɛɭɤɚ Ⱥ % & Mɧɨɠɟɫɬɜɨɬɨ Ⱥ ɟ ɩɪɟɬɫɬɚɜɟɧɨ ɫɨ ȼɟɧɨɜ ɞɢʁɚɝɪɚɦ

ɛ ɒɬɨ ɫɟ ɟɥɟɦɟɧɬɢɬɟ ɤɨɢ ɩɪɢɩɚɼɚɚɬ ɧɚ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨɬɨ Ⱥ" 2

ɚ ɋɨ ɤɨʁɚ ɛɭɤɜɚ ɟ ɨɡɧɚɱɟɧɨ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨɬɨ ɨɞ ɛɪɨɟɜɢ ɚ ɫɨ ɤɨʁɚ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨɬɨ ɨɞ ɛɭɤɜɢ"

M 3

ɚ ɢ

7 5

ɛ ɇɚ ɤɚɤɨɜ ɧɚɱɢɧ ɫɟ ɩɪɟɬɫɬɚɜɟɧɢ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚɬɚ Ɇ ɢ 1" ɜ ɇɚɜɟɞɢ ɟɞɟɧ ɛɪɨʁ ɤɨʁ ɩɪɢɩɚɼɚ ɧɚ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨɬɨ Ɇ ɢ ɟɞɧɚ ɛɭɤɜɚ ɤɨʁɚ ɧɟ ɩɪɢɩɚɼɚ ɧɚ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨɬɨ 1 3

.Rɢ ɛɪɨɟɜɢ ɩɪɩɚɼɚɚɬ ɧɚ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨɬɨ Ⱥ" Ɂɚɩɢɲɢ ɫɨ ɭɩɨɬɪɟɛɚ ɧɚ ɡɧɚɤɨɬ

A 1

62 7

1 2

Ȼɪɨʁɨɬ 7 ɩɪɢɩɚɼɚ ɧɚ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨɬɨ Ⱥ Ɂɚɩɢɲɭɜɚɦɟ 7 A ɑɢɬɚɦɟ 7 ɟ ɟɥɟɦɟɧɬ ɧɚ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨɬɨ Ⱥ Ȼɪɨʁɨɬ ɧɟ ɩɪɢɩɚɼɚ ɧɚ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨɬɨ Ⱥ Ɂɚɩɢɲɭɜɚɦɟ Ⱥ ɑɢɬɚɦɟ ɧɟ ɟ ɟɥɟɦɟɧɬ ɧɚ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨɬɨ Ⱥ

ɚ Ʉɨɢ ɨɞ ɛɪɨɟɜɢɬɟ ɢ ɫɟ ɟɥɟɦɟɧɬɢ ɧɚ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨɬɨ ɋ" Ɂɚɩɢɲɢ ɫɨ ɭɩɨɬɪɟɛɚ ɧɚ ɡɧɚɤɨɬ .

ɛ Ʉɨɢ ɨɞ ɛɪɨɟɜɢɬɟ ɢ ɧɟ ɫɟ ɟɥɟɦɟɧɬɢ ɧɚ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨɬɨ ɋ" Ɂɚɩɢɲɢ ɫɨ ɭɩɨɬɪɟɛɚ ɧɚ ɡɧɚɤɨɬ .

Ʉɨɥɤɭ ɟɥɟɦɟɧɬɢ ɢɦɚ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨɬɨ Ⱥ"

Ⱥ Ɇɧɨɠɟɫɬɜɨɬɨ $ ɢɦɚ ɟɥɟɦɟɧɬɢ. Ȼɪɨʁɨɬ ɧɚ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨɬɨ Ⱥ ɟ . Ɂɚɩɢɲɭɜɚɦɟ ɛȺ . ɑɢɬɚɦɟ Ȼɪɨʁɨɬ ɧɚ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨɬɨ Ⱥ ɟ .

Ɂɚɩɢɲɢ ɝɨ ɛɪɨʁɨɬ ɧɚ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚɬɚ M N ɢ Ʉ.

N M ɮ ɭ

ɫɟɜɟɪ

ɡɚɩɚɞ

ɢɫɬɨɤ

ʁɭɝ

ɛ 7

Ʉɨʁ ɨɞ ɛɪɨɟɜɢɬɟ ɢ ɟ ɟɥɟɦɟɧɬ ɧɚ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨɬɨ Ȱ" Ɂɚɩɢɲɢ ɫɨ ɭɩɨɬɪɟɛɚ ɧɚ ɡɧɚɰɢɬɟ ɢɥɢ .

ɋɨ ȼɟɧɨɜ ɞɢʁɚɝɪɚɦ ɩɪɟɬɫɬɚɜɢ ɝɨ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨɬɨ Ⱥ ɨɞ ɫɢɬɟ ɪɚɡɥɢɱɧɢ ɛɭɤɜɢ ɜɨ ɡɛɨɪɨɬ ɆȺɌȿɆȺɌɂɄȺ ɚ ɩɨɬɨɚ ɧɚʁɞɢ ɝɨ ɛȺ.

ЗАПИШУВАЊЕ МНОЖЕСТВА СО ЗАГРАДИ 1 Ʉɚɤɨ ɟ ɩɪɟɬɫɬɚɜɟɧɨ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨɬɨ Ⱥ" Ɇɨɠɟɲ ɥɢ ɞɚ ɝɨ ɢɦɟɧɭɜɚɲ" Ɇɧɨɠɟɫɬɜɨɬɨ $ ɦɨɠɟ ɞɚ ɝɨ ɡɚɩɢɲɟɦɟ ɫɨ ɡɚɝɪɚɞɢ ɜɚɤɚ Ⱥ ^ ` ȼɟɥɢɦɟ ɞɟɤɚ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨɬɨ Ⱥ ɟ ɡɚɩɢɲɚɧɨ ɬɚɛɟɥɚɪɧɨ

Ⱥ 4

2 6

2 Ɇɧɨɠɟɫɬɜɚɬɚ Ⱥ ȼ ɢ ɋ ɫɟ ɩɪɟɬɫɬɚɜɟɧɢ ɫɨ ȼɟɧɨɜ ɞɢʁɚɝɪɚɦ Ɂɚɩɢɲɢ ɝɢ ɫɨ ɡɚɝɪɚɞɢ

m Ⱥɧɚ

ɂɜɚ

ȿɦɚ

3 ȼɟɪɚ Ⱥɝɢɦ ɢ Ɍɟɚ ɝɨ ɡɚɩɢɲɚɥɟ ɬɚɛɟɥɚɪɧɨ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨɬɨ Ɇ ɨɞ ɫɢɬɟ ɰɢɮɪɢ ɫɨ ɤɨɢ ɟ ɡɚɩɢɲɚɧ ɛɪɨʁɨɬ Ʉɨʁ ɨɞ ɧɢɜ ɩɪɚɜɢɥɧɨ ɡɚɩɢɲɚɥ" Ɋɟɞɨɫɥɟɞɨɬ ɧɚ ɡɚɩɢɲɭɜɚʃɟ ɟ ɩɪɨɢɡɜɨɥɟɧ

ɋɟɤɨʁ ɟɥɟɦɟɧɬ ɫɟ ɡɚɩɢɲɭɜɚ ɫɚɦɨ ɟɞɧɚɲ ȼɟɪɚ

Ɍɟɚ

Ⱥɝɢɦ

0 ^ `

4 ɉɪɟɬɫɬɚɜɢ ɝɢ ɫɨ ȼɟɧɨɜ ɞɢʁɚɝɪɚɦ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚɬɚ Ⱥ ^ `

% ^ `

& ^S T U`

5 Ɂɚɩɢɲɢ ɝɨ ɫɨ ɡɚɝɪɚɞɢ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨɬɨ Ⱥ ɨɞ ɫɢɬɟ ɧɟɩɚɪɧɢ ɛɪɨɟɜɢ ɨɞ ɩɟɬɬɚɬɚ ɞɟɫɟɬɤɚ 6 Ɂɚɩɢɲɢ ɝɨ ɬɚɛɟɥɚɪɧɨ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨɬɨ ɧɚ ɫɢɬɟ ɛɭɤɜɢ ɤɨɢ ɫɟ ʁɚɜɭɜɚɚɬ ɜɨ ɡɛɨɪɨɬ ɚ ɟɫɟɧ

ɛ ɭɱɢɥɢɲɬɟ

ɜ ɦɚʁɤɚ 7

ПРЕСЕК НА МНОЖЕСТВА 1 ɇɚ ɰɪɬɟɠɨɬ ɫɟ ɩɪɟɬɫɬɚɜɟɧɢ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚɬɚ Ⱥ ɢ ȼ Ʉɨɢ ɥɨɝɢɱɤɢ ɩɥɨɱɤɢ ɫɟ ɟɥɟɦɟɧɬɢ ɧɚ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨɬɨ Ⱥ ɚ ɤɨɢ ɧɚ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨɬɨ ȼ"

ȼ Ɇɧɨɠɟɫɬɜɨɬɨ ɱɢɢ ɟɥɟɦɟɧɬɢ ɩɪɢɩɚɼɚɚɬ ɢ ɧɚ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨɬɨ Ⱥ ɢ ɧɚ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨɬɨ ȼ ɫɟ ɜɢɤɚ ɩɪɟɫɟɤ ɧɚ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚɬɚ Ⱥ ɢ ȼ Ɉɡɧɚɱɭɜɚɦɟ Ⱥ ȼ ɑɢɬɚɦɟ Ⱥ ɩɪɟɫɟɤ ȼ

Ⱥ ȼ 2 ɇɚ ɰɪɬɟɠɨɬ ɫɟ ɩɪɟɬɫɬɚɜɟɧɢ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚɬɚ ( ɢ ) Ʉɨɢ ɨɞ ɫɥɟɞɧɢɜɟ ɢɫɤɚɡɢ ȿ ɫɟ ɬɨɱɧɢ" V ɛ P ( ) D S ( ) ɜ V ( )

ɝ P ( )

ɞ S ( )

ɼ D ( )

3 ɋɨ ȼɟɧɨɜ ɞɢʁɚɝɪɚɦ ɫɟ ɩɪɟɬɫɬɚɜɟɧɢ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚɬɚ Ʉ ɢ / Ɂɚɩɢɲɢ ɝɢ ɬɚɛɟɥɚɪɧɨ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚɬɚ Ʉ / ɢ . /

t S

4 Ɂɚɩɢɲɢ ɝɨ ɬɚɛɟɥɚɪɧɨ ɩɪɟɫɟɤɨɬ ɧɚ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚɬɚ $ ^ ` ɢ % ^ ` Ʉɨɥɤɭ ɟ ɛ Ⱥ ȼ " 5 Ɇɧɨɠɟɫɬɜɨɬɨ Ɇ ɧɚ ɫɢɬɟ ɛɪɨɟɜɢ ɨɞ ɞɨ ɧɚɤɭɫɨ ɝɨ ɡɚɩɢɲɭɜɚɦɟ ɜɚɤɚ 0 ^ ` ɚ Ɂɚɩɢɲɢ ɝɢ ɟɥɟɦɟɧɬɢɬɟ ɧɚ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚɬɚ Ⱥ ^ ` ɢ % ^ ` ɛ Ɂɚɩɢɲɢ ɝɨ ɬɚɛɟɥɚɪɧɨ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨɬɨ Ⱥ ȼ ɜ ɇɚʁɞɢ ɝɨ ɛ Ⱥ ȼ 8

УНИЈА НА МНОЖЕСТВА 1 ɇɚ ɰɪɬɟɠɨɬ ɫɟ ɩɪɟɬɫɬɚɜɟɧɢ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚɬɚ Ⱥ ɢ ȼ Ʉɨɢ ɥɨɝɢɱɤɢ ɩɥɨɱɤɢ ɫɟ ɟɥɟɦɟɧɬɢ ɧɚ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨɬɨ Ⱥ ɚ ɤɨɢ ɧɚ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨɬɨ ȼ"

ȼ Ɇɧɨɠɟɫɬɜɨɬɨ ɨɞ ɫɢɬɟ ɟɥɟɦɟɧɬɢ ɤɨɢ ɫɟ ɟɥɟɦɟɧɬɢ ɧɚ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨɬɨ Ⱥ ɢɥɢ ɧɚ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨɬɨ ȼ ɫɟ ɜɢɤɚ ɭɧɢʁɚ ɧɚ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚɬɚ Ⱥ ɢ ȼ Ɉɡɧɚɱɭɜɚɦɟ Ⱥ ȼ ɑɢɬɚɦɟ Ⱥ ɭɧɢʁɚ ȼ

Ⱥ ȼ

2 ɇɚ ɰɪɬɟɠɨɬ ɫɟ ɩɪɟɬɫɬɚɜɟɧɢ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚɬɚ Ɇ ɢ 1 Ʉɨɢ ɨɞ ɫɥɟɞɧɢɜɟ ɢɫɤɚɡɢ M ɫɟ ɬɨɱɧɢ" D Ɇ 1

ɛ Ɇ 1

ɜ Ɇ 1

ɝ Ɇ 1

ɞ Ɇ 1

ɼ Ɇ 1

3 ɋɨ ȼɟɧɨɜ ɞɢʁɚɝɪɚɦ ɫɟ ɩɪɟɬɫɬɚɜɟɧɢ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚɬɚ 6 ɢ 7 Ɂɚɩɢɲɢ ɝɢ ɬɚɛɟɥɚɪɧɨ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚɬɚ 6 7 ɢ 6 7 Ʉɨɥɤɭ ɟ ɛ 6 7 "

4 Ɂɚɩɢɲɢ ʁɚ ɬɚɛɟɥɚɪɧɨ ɭɧɢʁɚɬɚ ɧɚ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚɬɚ $ ^ ` ɢ % ^ ` 5 Ɂɚɩɢɲɢ ʁɚ ɬɚɛɟɥɚɪɧɨ ɭɧɢʁɚɬɚ ɧɚ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚɬɚ & ^ ` ɢ ' ^ `

6 ɉɪɟɬɫɬɚɜɢ ɝɢ ɫɨ ȼɟɧɨɜ ɞɢʁɚɝɪɚɦ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚɬɚ ) ^ ` ɢ * ^ ` ɚ ɩɨɬɨɚ ɧɚʁɞɢ ɝɨ ɛɪɨʁɨɬ ɧɚ ɧɢɜɧɚɬɚ ɭɧɢʁɚ 9

РАЗЛИКА НА МНОЖЕСТВА 1 ɇɚ ɰɪɬɟɠɨɬ ɫɟ ɩɪɟɬɫɬɚɜɟɧɢ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚɬɚ Ⱥ ɢ ȼ Ʉɨɢ ɥɨɝɢɱɤɢ ɩɥɨɱɤɢ ɫɟ ɟɥɟɦɟɧɬɢ ɧɚ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨɬɨ Ⱥ ɚ ɤɨɢ ɧɚ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨɬɨ ȼ"

Ɇɧɨɠɟɫɬɜɨ ɱɢɢ ɟɥɟɦɟɧɬɢ ɩɪɢɩɚɼɚɚɬ ɧɚ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨɬɨ Ⱥ D ɧɟ ɩɪɢɩɚɼɚɚɬ ɧɚ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨɬɨ ȼ ɫɟ ɜɢɤɚ ɪɚɡɥɢɤɚ ɧɚ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨɬɨ Ⱥ ɫɨ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨɬɨ ȼ ɉɭɲɭɜɚɦɟ Ⱥ ? % ɑɢɬɚɦɟ Ⱥ ɪɚɡɥɢɤɚ ȼ

$ ? %

2 ɇɚ ɰɪɬɟɠɨɬ ɫɟ ɩɪɟɬɫɬɚɜɟɧɢ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚɬɚ Ɇ ɢ 1 Ʉɨɢ ɨɞ ɫɥɟɞɧɢɜɟ ɢɫɤɚɡɢ M ɫɟ ɬɨɱɧɢ" D Ɇ ? 1

ɛ Ɇ ? 1

ɜ Ɇ ? 1

ɝ Ɇ ? 1

ɞ Ɇ ? 1

ɼ Ɇ ? 1

3 ɋɨ ȼɟɧɨɜ ɞɢʁɚɝɪɚɦ ɫɟ ɩɪɟɬɫɬɚɜɟɧɢ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚɬɚ . ɢ / Ɂɚɩɢɲɢ ɝɢ ɬɚɛɟɥɚɪɧɨ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚɬɚ . / ɢ . ? /

/ ɋ Ɍ Ɉ ɂ Ʌ ȿ

ɇ Ⱥ

4 Ɂɚɩɢɲɢ ʁɚ ɬɚɛɟɥɚɪɧɨ ɪɚɡɥɢɤɚɬɚ ɧɚ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨɬɨ 7 ^ ` ɫɨ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨɬɨ 6 ^ ` 5 Ⱦɚɞɟɧɢ ɫɟ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚɬɚ $ ^ ` % ^ ` ɢ & ^ ` ɚ ɉɪɟɬɫɬɚɜɢ ɝɢ ɫɨ ȼɟɧɨɜ ɞɢʁɚɝɪɚɦ ɛ Ɂɚɩɢɲɢ ɝɨ ɫɨ ɡɚɝɪɚɞɢ ɩɪɟɫɟɤɨɬ ɧɚ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚɬɚ Ⱥ ɢ ȼ ɜ Ɂɚɩɢɲɢ ʁɚ ɬɚɛɟɥɚɪɧɨ ɭɧɢʁɚɬɚ ɧɚ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨɬɨ Ⱥ ɢ ɋ ɝ Ɂɚɩɢɲɢ ʁɚ ɫɨ ɡɚɝɪɚɞɢ ɪɚɡɥɢɤɚɬɚ ɧɚ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨɬɨ Ⱥ ɫɨ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨɬɨ ȼ ɞ Ɂɚɩɢɲɢ ʁɚ ɬɚɛɟɥɚɪɧɨ ɪɚɡɥɢɤɚɬɚ ɧɚ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨɬɨ ȼ ɫɨ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨɬɨ ɋ Ʉɨɟ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ ɝɨ ɞɨɛɢ" ɼ ɇɚʁɞɢ ɝɨ ɛɪɨʁɨɬ ɧɚ ɭɧɢʁɚɬɚ ɧɚ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚɬɚ Ⱥ ɢ ȼ 10

БРОЕВИТЕ ДО 1 000 1 ɚ ɉɪɨɱɢɬɚʁ ɝɢ ɢ ɡɚɩɢɲɢ ɝɢ ɫɨ ɡɛɨɪɨɜɢ ɛɪɨɟɜɢɬɟ ɡɚɩɢɲɚɧɢ ɧɚ ɤɚɪɬɨɧɱɢʃɚɬɚ

ɛ Ʉɨɢ ɨɞ ɡɚɩɢɲɚɧɢɬɟ ɛɪɨɟɜɢ ɫɟ ɬɪɢɰɢɮɪɟɧɢ ɛɪɨɟɜɢ ɞɜɨɰɢɮɪɟɧɢ ɛɪɨɟɜɢ

ɟɞɧɨɰɢɮɪɟɧɢ ɛɪɨɟɜɢ

2 Ʉɨɢ ɛɪɨɟɜɢ ɫɟ ɩɪɟɬɫɬɚɜɟɧɢ ɧɚ ɫɦɟɬɚɥɤɚɬɚ" D

3 Ɂɚɩɢɲɢ ɝɢ ɫɨ ɰɢɮɪɢ ɛɪɨɟɜɢɬɟ ɚ ɬɪɢɫɬɚ ɩɟɞɟɫɟɬ ɢ ɲɟɫɬ ɜ ɨɫɭɦɫɬɨɬɢɧɢ ɢ ɩɟɬɧɚɟɫɟɬ

ɛ ɱɟɬɢɪɢɫɬɨɬɢɧɢ ɢ ɟɞɟɧ ɝ ɲɟɫɬɨɬɢɧɢ ɲɟɟɫɟɬ ɢ ɲɟɫɬ

4 Ɂɚɩɢɲɢ ɝɢ ɛɪɨɟɜɢɬɟ ɤɨɢ ɫɨɨɞɜɟɬɫɬɜɭɜɚɚɬ ɧɚ ɛɚɥɨɧɱɢʃɚɬɚ

5 Ȼɪɨʁ ɢ ɡɚɩɢɲɭɜɚʁ ɚ ɨɞ ɞɨ ɛ ɨɞ ɞɨ ɩɨ ɞɟɫɟɬ ɜ ɨɞ ɞɨ ɩɨ ɫɬɨ 6 ɇɚ ɫɦɟɬɚɥɤɚɬɚ ɟ ɩɪɟɬɫɬɚɜɟɧ ɛɪɨʁɨɬ ɚ Ʉɨʁɚ ɰɢɮɪɚ ɟ ɡɚɩɢɲɚɧɚ ɧɚ ɦɟɫɬɨɬɨ ɧɚ ɞɟɫɟɬɤɢɬɟ" ɛ Ʉɨʁɚ ɰɢɮɪɚ ɟ ɡɚɩɢɲɚɧɚ ɧɚ ɦɟɫɬɨɬɨ ɧɚ ɫɬɨɬɤɢɬɟ" ɜ Ʉɨɥɤɚɜɚ ɟ ɦɟɫɧɚɬɚ ɜɪɟɞɧɨɫɬ ɧɚ ɰɢɮɪɚɬɚ " ɝ Ʉɨɥɤɚɜɚ ɟ ɦɟɫɧɚɬɚ ɜɪɟɞɧɨɫɬ ɧɚ ɰɢɮɪɚɬɚ "

7 Ɂɚɩɢɲɢ ɝɨ ɤɚɤɨ ɡɛɢɪ ɨɞ ɫɬɨɬɤɢ ɞɟɫɟɬɤɢ ɢ ɟɞɢɧɢɰɢ ɛɪɨʁɨɬ D ɋ Ⱦ ȿ

ɛ ɋ Ⱦ ȿ

ɜ ɋ Ⱦ ȿ 8 Ʉɨʁ ɛɪɨʁ ɟ ɡɚɩɢɲɚɧ ɫɨ ɡɛɢɪɨɬ D ɋ Ⱦ ȿ

ɛ ɋ ȿ

ɜ ɋ Ⱦ

9 ɄɨM ɛɪɨʁ ɫɨɞɪɠɢ D ɞɜɟ ɫɬɨɬɤɢ ɱɟɬɢɪɢ ɞɟɫɟɬɤɢ ɢ ɟɞɧɚ ɟɞɢɧɢɰɚ ɛ ɨɫɭɦ ɟɞɢɧɢɰɢ ɬɪɢ ɞɟɫɟɬɤɢ ɢ ɫɟɞɭɦ ɫɬɨɬɤɢ" 10 Ɂɚɩɢɲɢ ɝɢ ɫɢɬɟ ɬɪɢɰɢɮɪɟɧɢ ɛɪɨɟɜɢ ɨɞ ɩɟɬɬɚɬɚ ɫɬɨɬɤɚ ɜɨ ɱɢʁ ɡɚɩɢɫ ɫɟ ɤɨɪɢɫɬɢ ɰɢɮɪɚɬɚ D Ʉɨɢ ɨɞ ɡɚɩɢɲɚɧɢɬɟ ɛɪɨɟɜɢ ɫɟ ɩɚɪɧɢ" ɛ Ʉɨɢ ɨɞ ɡɚɩɢɲɚɧɢɬɟ ɛɪɨɟɜɢ ɫɟ ɧɟɩɚɪɧɢ" 11 Ɂɚɩɢɲɢ ɩɟɬ ɧɟɩɚɪɧɢ ɛɪɨɟɜɢ ɨɞ ɬɪɟɬɚɬɚ ɞɟɫɟɬɤɚ ɧɚ ɩɟɬɬɚɬɚ ɫɬɨɬɤɚ 12 ɋɩɨɪɟɞɢ ɝɢ ɛɪɨɟɜɢɬɟ ɜɨ ɫɜɨʁɚɬɚ ɬɟɬɪɚɬɤɚ ɚ

13 ɉɨɞɪɟɞɢ ɝɢ ɛɪɨɟɜɢɬɟ ɩɨɱɧɭɜɚʁɤɢ ɨɞ ɧɚʁɝɨɥɟɦɢɨɬ ɚ ɛ 14 Ʉɨʁ ɛɪɨʁ ɟ ɦɟɼɭ ɛɪɨɟɜɢɬɟ ɚ ɢ

ɛ ɢ

ɜ ɢ "

15 Ɂɚɩɢɲɢ ɩɟɬ ɩɚɪɧɢ ɛɪɨɟɜɢ ɉɨɬɨɚ ɡɚɩɢɲɢ ɝɢ ɩɪɟɬɯɨɞɧɢɤɨɬ ɢ ɫɥɟɞɛɟɧɢɤɨɬ ɧɚ ɫɟɤɨʁ ɨɞ ɩɟɬɬɟ ɛɪɨɟɜɢ Ⱦɚɥɢ ɬɢɟ ɫɟ ɩɚɪɧɢ ɢɥɢ ɧɟɩɚɪɧɢ ɛɪɨɟɜɢ" 12

БРОЕВИТЕ 1 000, 2 000,..., 10 000 1 Ⱦɨɩɨɥɧɢ ɜɨ ɫɜɨʁɚɬɚ ɬɟɬɪɚɬɤɚ ( Ⱦ

Ⱦ ɋ

ɋ ɂ

2 Ⱦɨɩɨɥɧɢ ɝɢ ɡɚɩɨɱɧɚɬɢɬɟ ɧɢɡɢ ɜɨ ɫɜɨʁɚɬɚ ɬɟɬɪɚɬɤɚ 3 Ʉɨɥɤɭ ɤɨɰɤɢ ɢɦɚ"

ɢɥʁɚɞɚ

ɞɜɟ ɢɥʁɚɞɢ

ɬɪɢ ɢɥʁɚɞɢ

ɱɟɬɢɪɢ ɢɥʁɚɞɢ

ɩɟɬ ɢɥʁɚɞɢ

ɲɟɫɬ ɢɥʁɚɞɢ

ɫɟɞɭɦ ɢɥʁɚɞɢ

ɨɫɭɦ ɢɥʁɚɞɢ

ɞɟɜɟɬ ɢɥʁɚɞɢ

ɞɟɫɟɬ ɢɥʁɚɞɢ

ɂ 13

4 Ⱦɨɩɨɥɧɢ ɜɨ ɫɜɨʁɚɬɚ ɬɟɬɪɚɬɤɚ Ȼɪɨɟɜɢɬɟ ɫɟ ɱɟɬɢɪɢɰɢɮɪɟɧɢ ɛɪɨɟɜɢ Ȼɪɨʁɨɬ ɞɟɫɟɬ ɢɥʁɚɞɢ ɫɟ ɡɚɩɢɲɭɜɚ ɫɨ ɩɟɬ ɰɢɮɪɢ Ɍɨʁ ɟ ɩɟɬɰɢɮɪɟɧ ɛɪɨʁ

ɂ Ⱦɂ

5 ɉɨɩɨɥɧɢ ʁɚ ɬɚɛɟɥɚɬɚ ɜɨ ɫɜɨʁɚɬɚ ɬɟɬɪɚɬɤɚ ɂ

6 Ɂɚɩɢɲɢ ɝɢ ɫɨ ɰɢɮɪɢ ɛɪɨɟɜɢɬɟ ɛ ɨɫɭɦ ɢɥʁɚɞɢ

ɚ ɲɟɫɬ ɢɥʁɚɞɢ

ɜ ɞɟɫɟɬ ɢɥʁɚɞɢ

7 ɉɪɨɱɢɬɚʁ ɝɢ ɛɪɨɟɜɢɬɟ ɢ ɡɚɩɢɲɢ ɝɢ ɫɨ ɡɛɨɪɨɜɢ ɛ

8 Ȼɪɨʁ ɩɨ ɢɥʁɚɞɚ ɛ ɨɞ ɞɨ ɝ ɨɞ ɞɨ

ɚ ɨɞ ɞɨ ɜ ɨɞ ɞɨ 9 ɋɩɨɪɟɞɢ ɝɢ ɛɪɨɟɜɢɬɟ ɜɨ ɫɜɨʁɚɬɚ ɬɟɬɪɚɬɤɚ Ⱦɂ

Ⱦɂ

10 ɉɨɞɪɟɞɢ ɝɢ ɛɪɨɟɜɢɬɟ ɡɚɩɢɲɚɧɢ ɧɚ ɥɢɫɬɨɜɢɬɟ ɯɚɪɬɢʁɚ ɚ ɩɨɱɧɭɜɚʁʅɢ ɨɞ ɧɚʁɦɚɥɢɨɬ ɛ ɩɨɱɧɭɜɚʁʅɢ ɨɞ ɧɚʁɝɨɥɟɦɢɨɬ

БРОЕВИТЕ ДО 10 000 1 Ɋɚɡɝɥɟɞɚʁ ɝɨ ɰɪɬɟɠɨɬ ɚ ɩɨɬɨɚ ɨɞɝɨɜɨɪɢ

D Ʉɨɥɤɭ ɢɥʁɚɞɢ ɢɦɚ ɛɪɨʁɨɬ " ɛ Ʉɨʁɚ ɰɢɮɪɚ ɟ ɡɚɩɢɲɚɧɚ ɧɚ ɦɟɫɬɨɬɨ ɧɚ ɟɞɢɧɢɰɢɬɟ" ɜ Ʉɨɥɤɭ ɫɬɨɬɤɢ ɢɦɚ ɛɪɨʁɨɬ " ɝ Ʉɨʁɚ ɰɢɮɪɚ ɟ ɡɚɩɢɲɚɧɚ ɧɚ ɦɟɫɬɨɬɨ ɧɚ ɞɟɫɟɬɤɢɬɟ"

Ⱦɜɟ ɢɥʁɚɞɢ ɫɬɨ ɢ ɬɪɢɧɚɟɫɟɬ 2 Ʉɨɢ ɛɪɨɟɜɢ ɫɟ ɩɪɟɬɫɬɚɜɟɧɢ ɧɚ ɰɪɬɟɠɨɬ" ɚ

3 Ʉɨɥɤɭ ɩɨɤɚɠɭɜɚ ɫɦɟɬɚɥɤɚɬɚ"

4 Ɂɚɩɢɲɢ ɝɢ ɫɨ ɰɢɮɪɢ ɛɪɨɟɜɢɬɟ ɚ ɬɪɢ ɢɥʁɚɞɢ ɩɟɬɫɬɨɬɢɧɢ ɬɪɢɟɫɟɬ ɢ ɞɜɚ ɜ ɨɫɭɦ ɢɥʁɚɞɢ ɲɟɫɬɨɬɢɧɢ ɢ ɞɜɚ

ɛ ɞɟɜɟɬ ɢɥʁɚɞɢ ɞɜɚɟɫɟɬ ɢ ɩɟɬ ɝ ɞɜɟ ɢɥʁɚɞɢ ɢ ɨɫɭɦɧɚɟɫɟɬ

5 ɉɪɨɱɢɬɚʁ ɝɢ ɢ ɡɚɩɢɲɢ ɝɢ ɫɨ ɡɛɨɪɨɜɢ ɫɥɟɞɧɢɜɟ ɛɪɨɟɜɢ ɚ

6 Ɂɚɩɢɲɢ ɝɢ ɜɨ ɫɜɨʁɚɬɚ ɬɟɬɪɚɬɤɚ ɛɪɨɟɜɢɬɟ ɤɨɢ ɫɨɨɞɜɟɬɫɬɜɭɜɚɚɬ ɧɚ ɾɜɟɡɞɢɱɤɢɬɟ

7 Ȼɪɨʁ ɢ ɡɚɩɢɲɭɜɚʁ ɚ ɨɞ ɞɨ ɜ ɨɞ ɞɨ ɩɨ ɫɬɨ

ɛ ɨɞ ɞɨ ɩɨ ɞɟɫɟɬ ɝ ɨɞ ɞɨ ɩɨ ɢɥʁɚɞɚ

8 Ʉɨɢ ɨɞ ɡɚɩɢɲɚɧɢɬɟ ɛɪɨɟɜɢ ɫɟ ɱɟɬɢɪɢɰɢɮɪɟɧɢ"

Ȼɪɨɟɜɢɬɟ ɫɟ ɱɟɬɢɪɢɰɢɮɪɟɧɢ ɛɪɨɟɜɢ Ȼɪɨɟɜɢɬɟ ɤɨɢ ɫɟ ɡɚɩɢɲɭɜɚɚɬ ɫɨ ɩɨɜɟʅɟ ɨɞ ɬɪɢ ɰɢɮɪɢ ɫɟ ɜɢɤɚɚɬ ɩɨɜɟʅɟɰɢɮɪɟɧɢ ɛɪɨɟɜɢ

ɰɢɮɪɚɬɚ ɝɨ ɩɨɤɚɠɭɜɚ ɛɪɨʁɨɬ ɧɚ ɢɥʁɚɞɢ ɰɢɮɪɚɬɚ ɝɨ ɩɨɤɚɠɭɜɚ ɛɪɨʁɨɬ ɧɚ ɫɬɨɬɤɢ ɰɢɮɪɚɬɚ ɝɨ ɩɨɤɚɠɭɜɚ ɛɪɨʁɨɬ ɧɚ ɞɟɫɟɬɤɢ ɰɢɮɪɚɬɚ ɝɨ ɩɨɤɚɠɭɜɚ ɛɪɨʁɨɬ ɧɚ ɟɞɢɧɢɰɢ ɰɢɮɪɚɬɚ ɢɦɚ ɦɟɫɧɚ ɜɪɟɞɧɨɫɬ ɰɢɮɪɚɬɚ ɢɦɚ ɦɟɫɧɚ ɜɪɟɞɧɨɫɬ ɰɢɮɪɚɬɚ ɢɦɚ ɦɟɫɧɚ ɜɪɟɞɧɨɫɬ ɰɢɮɪɚɬɚ ɢɦɚ ɦɟɫɧɚ ɜɪɟɞɧɨɫɬ

ȼɪɟɞɧɨɫɬɚ ɧɚ ɰɢɮɪɚɬɚ ɜɨ ɟɞɟɧ ɩɨɜɟʅɟɰɢɮɪɟɧ ɛɪɨʁ ɡɚɜɢɫɢ ɨɞ ɦɟɫɬɨɬɨ ɧɚ ɤɨɟ ɬɚɚ ɰɢɮɪɚ ɫɟ ɧɚɨɼɚ ɢ ɫɟ ɜɢɤɚ ɦɟɫɧɚ ɜɪɟɞɧɨɫɬ ɧɚ ɰɢɮɪɚɬɚ 10 ȼɥɚɞɨ ɝɨ ɡɚɩɢɲɚɥ ɛɪɨʁɨɬ ɜɨ ɬɚɛɥɢɰɚ ɫɨ ɦɟɫɧɢ ɜɪɟɞɧɨɫɬɢ Ɂɚɩɢɲɢ ɝɢ ɜɨ ɬɚɛɥɢɰɚ ɫɨ ɦɟɫɧɢ ɜɪɟɞɧɨɫɬɢ ɛɪɨɟɜɢɬɟ ɢ

11 Ɂɚɩɢɲɢ ɝɢ ɛɪɨɟɜɢɬɟ ɤɚɤɨ ɡɛɢɪ ɨɞ ɢɥʁɚɞɢ ɫɬɨɬɤɢ ɞɟɫɟɬɤɢ ɢ ɟɞɢɧɢɰɢ ɂ ɋ Ⱦ ȿ ɂ ɋ Ⱦ ȿ 12 Ɂɚɩɢɲɢ ɝɢ ɛɪɨɟɜɢɬɟ ɤɨɢ ɫɟ ɟɞɧɚɤɜɢ ɧɚ ɡɛɢɪɨɜɢɬɟ

ɂ ɋ Ⱦ ȿ

ɂ ɋ ȿ

ɂ ȿ

СПОРЕДУВАЊЕ НА БРОЕВИТЕ ДО 10 000 1 Ɂɧɚɟɲ ɞɚ ɫɩɨɪɟɞɭɜɚɲ ɟɞɧɨɰɢɮɪɟɧɢ ɞɜɨɰɢɮɪɟɧɢ ɢ ɬɪɢɰɢɮɪɟɧɢ ɛɪɨɟɜɢ Ɉɛɢɞɢ ɫɟ ɞɚ ɨɛʁɚɫɧɢɲ ɤɚɤɨ ɫɟ ɫɩɨɪɟɞɭɜɚɚɬ ɱɟɬɢɪɢɰɢɮɪɟɧɢ ɛɪɨɟɜɢ ɤɨɢ ɢɦɚɚɬ ɚ ɟɞɧɚɤɨɜ ɛɪɨʁ ɧɚ ɢɥʁɚɞɢ

> > < >

ɛ ɪɚɡɥɢɱɟɧ ɛɪɨʁ ɧɚ ɢɥʁɚɞɢ

ɋɩɨɪɟɞɭɜɚʃɟɬɨ ɩɨɱɧɭɜɚ ɨɞ ɰɢɮɪɚɬɚ ɧɚ ɢɥʁɚɞɢɬɟ

2 ɋɩɨɪɟɞɢ ɝɢ ɛɪɨɟɜɢɬɟ ɜɨ ɫɜɨʁɚɬɚ ɬɟɬɪɚɬɤɚ ɚ

3 ɚ Ʉɨʁ ɟ ɩɪɟɬɯɨɞɧɢɤɨɬ ɧɚ ɛɪɨʁɨɬ " Ⱥ ɤɨʁ ɟ ɫɥɟɞɛɟɧɢɤɨɬ" ɛ Ʉɨʁ ɟ ɩɪɟɬɯɨɞɧɢɤɨɬ ɚ ɤɨʁ ɫɥɟɞɛɟɧɢɤɨɬ ɧɚ ɛɪɨʁɨɬ "

4 ɉɨɩɨɥɧɢ ʁɚ ɬɚɛɟɥɚɬɚ ɜɨ ɫɜɨʁɚɬɚ ɬɟɬɪɚɬɤɚ ɉɪɟɬɯɨɞɧɢɤ Ȼɪɨʁ

ɋɥɟɞɛɟɧɢɤ

5 Ɂɚɩɢɲɢ ɝɢ ɛɪɨɟɜɢɬɟ ɤɨɢ ɫɟ ɩɨɝɨɥɟɦɢ ɨɞ ɢ ɩɨɦɚɥɢ ɨɞ 6 Ɂɚɩɢɲɢ ɝɢ ɛɪɨɟɜɢɬɟ ɤɨɢ ɫɟ ɦɟɼɭ ɛɪɨɟɜɢɬɟ D ɢ

ɛ ɢ

ɜ ɢ

7 ɉɨɞɪɟɞɢ ɝɢ ɩɨ ɝɨɥɟɦɢɧɚ ɛɪɨɟɜɢɬɟ ɢ D ɩɨɱɧɭɜɚʁʅɢ ɨɞ ɧɚʁɦɚɥɢɨɬ

ɛ ɩɨɱɧɭɜɚʁʅɢ ɨɞ ɧɚʁɝɨɥɟɦɢɨɬ

БРОЕВИТЕ 10 000, 20 000,..., 100 000 1 Ⱦɨɩɨɥɧɢ ʁɚ ɧɢɡɚɬɚ ɜɨ ɫɜɨʁɚɬɚ ɬɟɬɪɚɬɤɚ 2 Ʉɨɥɤɭ ɧɭɥɢ ɢɦɚ ɛɪɨʁɨɬ ɲɬɨ ɫɨɞɪɠɢ

ɞɟɫɟɬ ɢɥʁɚɞɢ

Ⱦɂ

ɞɜɚɟɫɟɬ ɢɥʁɚɞɢ

Ⱦɂ

ɬɪɢɟɫɟɬ ɢɥʁɚɞɢ

Ⱦɂ

ɱɟɬɢɪɢɟɫɟɬ ɢɥʁɚɞɢ

Ⱦɂ

ɩɟɞɟɫɟɬ ɢɥʁɚɞɢ

Ⱦɂ

ɲɟɟɫɟɬ ɢɥʁɚɞɢ

Ⱦɂ

ɫɟɞɭɦɞɟɫɟɬ ɢɥʁɚɞɢ

Ⱦɂ

ɨɫɭɦɞɟɫɟɬ ɢɥʁɚɞɢ

Ⱦɂ

ɞɟɜɟɞɟɫɟɬ ɢɥʁɚɞɢ

Ⱦɂ

ɫɬɨ ɢɥʁɚɞɢ

Ⱦɂ

3 Ȼɪɨɟɜɢɬɟ ɫɟ ɩɟɬɰɢɮɪɟɧɢ ɛɪɨɟɜɢ Ȼɪɨʁɨɬ ɫɬɨ ɢɥʁɚɞɢ ɫɟ ɡɚɩɢɲɭɜɚ ɫɨ ɲɟɫɬ ɰɢɮɪɢ Ɍɨʁ ɟ ɲɟɫɬɰɢɮɪɟɧ ɛɪɨʁ

ɞɟɫɟɬ ɢɥʁɚɞɢ ɫɬɨ ɢɥʁɚɞɢ Ⱦɂ ɋɂ

4 ɉɨɩɨɥɧɢ ʁɚ ɬɚɛɟɥɚɬɚ ɜɨ ɫɜɨʁɚɬɚ ɬɟɬɪɚɬɤɚ

Ⱦɂ

5 Ȼɪɨʁ ɩɨ ɞɟɫɟɬ ɢɥʁɚɞɢ ɛ ɨɞ ɞɨ

ɚ ɨɞ ɞɨ

6 Ɂɚɩɢɲɢ ɝɢ ɢ ɩɪɨɱɢɬɚʁ ɝɢ ɛɪɨɟɜɢɬɟ ɲɬɨ ɧɟɞɨɫɬɚɫɭɜɚɚɬ ɜɨ ɧɢɡɢɬɟ ɚ

7 ɋɩɨɪɟɞɢ ɝɢ ɛɪɨɟɜɢɬɟ ɜɨ ɫɜɨʁɚɬɚ ɬɟɬɪɚɬɤɚ ɂ

Ⱦɂ

8 ɚ Ɂɚɩɢɲɢ ɝɨ ɧɚʁɝɨɥɟɦɢɨɬ ɛɪɨʁ ɜɨ ɫɟɤɨʁɚ ɨɞ ɪɟɞɢɰɢɬɟ

Ⱦɂ

ɛ Ɂɚɩɢɲɢ ɝɨ ɧɚʁɦɚɥɢɨɬ ɛɪɨʁ ɜɨ ɫɟɤɨʁɚ ɨɞ ɪɟɞɢɰɢɬɟ

9 Ɂɚɩɢɲɢ ɝɨ ɛɪɨʁɨɬ ɤɨʁ ɟ ɡɚ ɩɨɝɨɥɟɦ ɨɞ ɛɪɨʁɨɬ ɚ

10 Ɂɚɩɢɲɢ ɝɨ ɛɪɨʁɨɬ ɤɨʁ ɟ ɡɚ ɩɨɦɚɥ ɨɞ ɛɪɨʁɨɬ ɚ

ɝ 19

БРОЕВИТЕ ДО 100 000 1 Ɋɚɡɝɥɟɞɚʁ ɝɨ ɰɪɬɟɠɨɬ ɢ ɨɞɝɨɜɨɪɢ

ɲɟɟɫɟɬ ɢ ɩɟɬ ɢɥʁɚɞɢ ɬɪɢɫɬɚ ɲɟɟɫɟɬ ɢ ɞɜɚ

ɚ Ʉɨɥɤɭ ɞɟɫɟɬ ɢɥʁɚɞɢ ɢɦɚ ɛɪɨʁɨɬ " ɛ Ʉɨʁɚ ɰɢɮɪɚ ɟ ɡɚɩɢɲɚɧɚ ɧɚ ɦɟɫɬɨɬɨ ɧɚ ɟɞɢɧɢɰɢɬɟ" ɜ Ʉɨɥɤɭ ɢɥʁɚɞɢ ɢɦɚ ɛɪɨʁɨɬ " ɝ Ʉɨʁɚ ɰɢɮɪɚ ɟ ɡɚɩɢɲɚɧɚ ɧɚ ɦɟɫɬɨɬɨ ɧɚ ɞɟɫɟɬɤɢɬɟ" ɞ Ʉɨɥɤɭ ɫɬɨɬɤɢ ɢɦɚ ɛɪɨʁɨɬ "

2 Ʉɨɢ ɛɪɨɟɜɢ ɫɟ ɩɪɟɬɫɬɚɜɟɧɢ ɧɚ ɫɦɟɬɚɥɤɚɬɚ" D

3 ɉɪɨɱɢɬɚʁ ɝɢ ɛɪɨɟɜɢɬɟ ɚ

4 Ɂɚɩɢɲɢ ɝɢ ɫɨ ɡɛɨɪɨɜɢ ɛɪɨɟɜɢɬɟ ɚ

5 Ɂɚɩɢɲɢ ɝɢ ɫɨ ɰɢɮɪɢ ɛɪɨɟɜɢɬɟ ɚ ɞɜɚɟɫɟɬ ɢ ɩɟɬ ɢɥʁɚɞɢ ɞɟɜɟɬɫɬɨɬɢɧɢ ɞɟɜɟɞɟɫɟɬ ɢ ɩɟɬ ɛ ɬɪɢɟɫɟɬ ɢ ɲɟɫɬ ɢɥʁɚɞɢ ɩɟɬɫɬɨɬɢɧɢ ɫɟɞɭɦɞɟɫɟɬ ɢ ɞɜɚ 6 Ȼɪɨʁ ɢ ɡɚɩɢɲɭɜɚʁ ɚ ɨɞ ɞɨ ɩɨ ɢɥʁɚɞɚ ɛ ɨɞ ɞɨ ɩɨ ɞɟɫɟɬ ɜ ɨɞ ɞɨ ɩɨ ɫɬɨ ɝ ɨɞ ɞɨ

7 Ɋɭɠɢɰɚ ɡɚɩɢɲɚɥɚ ɧɟɤɨɥɤɭ ɛɪɨɟɜɢ ɜɨ ɬɚɛɥɢɰɚ ɫɨ ɦɟɫɧɢ ɜɪɟɞɧɨɫɬɢ ɉɨɦɨɝɧɢ ɢ ɞɚ ɨɞɝɨɜɨɪɢ ɧɚ ɫɥɟɞɧɢɜɟ ɩɪɚɲɚʃɚ ɚ Ʉɨʁ ɛɪɨʁ ɢɦɚ ɞɟɫɟɬɢɥʁɚɞɢ" ɛ Ʉɚʁ ɤɨʁ ɛɪɨʁ ɰɢɮɪɚɬɚ ɧɚ ɫɬɨɬɤɢ ɟ " ɜ Ʉɨʁ ɛɪɨʁ ɟ ɱɟɬɢɪɢɰɢɮɪɟɧ" ɝ Ʉɨʁɚ ɟ ɰɢɮɪɚɬɚ ɧɚ ɢɥʁɚɞɢɬɟ ɧɚ ɬɪɟɬɢɨɬ ɛɪɨʁ" ɞ ɒɬɨ ɨɡɧɚɱɭɜɚ ɰɢɮɪɚɬɚ ɜɨ ɩɪɜɢɨɬ ɛɪɨʁ" 8 Ɂɚɩɢɲɢ ʁɚ ɦɟɫɧɚɬɚ ɜɪɟɞɧɨɫɬ ɧɚ ɰɢɮɪɚɬɚ ɤɚʁ ɛɪɨɟɜɢɬɟ D

ɛ ɞ

ɜ ɼ

ɝ ɟ

9 Ɂɚɩɢɲɢ ɝɢ ɛɪɨɟɜɢɬɟ ɤɚɤɨ ɡɛɢɪ ɨɞ ɞɟɫɟɬɢɥʁɚɞɢ ɢɥʁɚɞɢ ɫɬɨɬɤɢ ɞɟɫɟɬɤɢ ɢ ɟɞɢɧɢɰɢ ɚ Ⱦɂ ɂ ɋ Ⱦ ȿ ɛ Ⱦɂ ɂ ɋ Ⱦ ȿ ɜ Ⱦɂ ɂ ɋ Ⱦ ȿ 10 Ɂɚɩɢɲɢ ɝɢ ɢ ɩɪɟɫɦɟɬɚʁ ɝɢ ɜɨ ɫɜɨʁɚɬɚ ɬɟɬɪɚɬɤɚ ɛɪɨɟɜɢɬɟ ɤɨɢ ɫɟ ɟɞɧɚɤɜɢ ɧɚ ɡɛɢɪɨɬ ɨɞ ɚ Ⱦɂ ɂ ɋ Ⱦ ȿ ɛ Ⱦɂ ɂ ɋ Ⱦ ȿ ɜ Ⱦɂ ɂ ɋ Ⱦ ȿ 11 Ɂɚɩɢɲɢ ɧɟɤɨɥɤɭ ɩɟɬɰɢɮɪɟɧɢ ɛɪɨɟɜɢ ɫɨ ɰɢɮɪɢɬɟ ɢ 12 Ɂɚɩɢɲɢ ɝɢ ɫɨ ɡɛɨɪɨɜɢ ɰɟɧɢɬɟ ɧɚ ɩɪɨɢɡɜɨɞɢɬɟ

ɞɟɧɚɪɢ

СПОРЕДУВАЊЕ НА БРОЕВИТЕ ДО 100 000 1 Ⱦɚɥɢ ɩɪɚɜɢɥɧɨ ɪɚɫɭɞɭɜɚɚɬ ȿɜɚ ɢ ɋɟɚɞ" ɋɟɤɨʁ ɱɟɬɢɪɢɰɢɮɪɟɧ ɛɪɨʁ ɟ ɩɨɦɚɥ ɨɞ ɤɨʁ ɛɢɥɨ ɩɟɬɰɢɮɪɟɧ ɛɪɨʁ ɋɟɤɨʁ ɬɪɢɰɢɮɪɟɧ ɛɪɨʁ ɟ ɩɨɦɚɥ ɨɞ ɤɨʁ ɛɢɥɨ ɱɟɬɢɪɢɰɢɮɪɟɧ ɛɪɨʁ

ɋɟɚɞ

ȿɜɚ 2 Ɉɛʁɚɫɧɢ ɤɚɤɨ ɫɟ ɫɩɨɪɟɞɭɜɚɚɬ ɩɟɬɰɢɮɪɟɧɢ ɛɪɨɟɜɢ ɤɨɢ ɢɦɚɚɬ ɚ ɟɞɧɚɤɨɜ ɛɪɨʁ ɧɚ ɞɟɫɟɬɢɥʁɚɞɢ

! ! !

ɛ ɪɚɡɥɢɱɟɧ ɛɪɨʁ ɧɚ ɞɟɫɟɬɢɥʁɚɞɢ

ɋɟɝɚ ɫɩɨɪɟɞɭɜɚʃɟɬɨ ɡɚɩɨɱɧɭɜɚ ɨɞ ɞɟɫɟɬɢɥʁɚɞɢɬɟ

3 Ɂɚɩɢɲɢ ɟɞɟɧ ɨɞ ɡɧɚɰɢɬɟ ! ɢɥɢ ɜɨ ɫɜɨʁɚɬɚ ɬɟɬɪɚɬɤɚ ɡɚ ɞɚ ɛɢɞɟ ɬɨɱɧɨ a)

4 Ɂɚɩɢɲɢ ɰɢɮɪɚ ɜɨ ɫɜɨʁɚɬɚ ɬɟɬɪɚɬɤɚ ɡɚ ɞɚ ɛɢɞɟ ɬɨɱɧɨ !

5 Ɂɚɩɢɲɢ ɝɨ ɜɨ ɫɜɨʁɚɬɚ ɬɟɬɪɚɬɤɚ ɩɪɟɬɯɨɞɧɢɤɨɬ ɢ ɫɥɟɞɛɟɧɢɤɨɬ ɧɚ ɛɪɨʁɨɬ

6 Ʉɨʁ ɛɪɨʁ ɟ ɦɟɼɭ ɛɪɨɟɜɢɬɟ D ɢ 22

ɛ ɢ

ɜ ɢ

БРОЕВИТЕ 100 000, 200 000,..., 1 000 000 1 Ⱦɨɩɨɥɧɢ ʁɚ ɧɢɡɚɬɚ ɜɨ ɫɜɨʁɚɬɚ ɬɟɬɪɚɬɤɚ 2 Ʉɨɥɤɭ ɞɟɧɚɪɢ ɢɦɚ"

ɫɬɨ ɢɥʁɚɞɢ

ɋɂ

ɞɜɟɫɬɟ ɢɥʁɚɞɢ

ɋɂ

ɬɪɢɫɬɚ ɢɥʁɚɞɢ

ɋɂ

ɱɟɬɢɪɢɫɬɨɬɢɧɢ ɢɥʁɚɞɢ

ɋɂ

ɩɟɬɫɬɨɬɢɧɢ ɢɥʁɚɞɢ

ɋɂ

ɲɟɫɬɨɬɢɧɢ ɢɥʁɚɞɢ

ɋɂ

ɫɟɞɭɦɫɬɨɬɢɧɢ ɢɥʁɚɞɢ

ɋɂ

ɨɫɭɦɫɬɨɬɢɧɢ ɢɥʁɚɞɢ

ɋɂ

ɞɟɜɟɬɫɬɨɬɢɧɢ ɢɥʁɚɞɢ

ɋɂ

ɦɢɥɢɨɧ

ɋɂ

3 Ȼɪɨɟɜɢɬɟ ɫɟ ɲɟɫɬɰɢɮɪɟɧɢ ɛɪɨɟɜɢ Ȼɪɨʁɨɬ ɦɢɥɢɨɧ ɫɟ ɡɚɩɢɲɭɜɚ ɫɨ ɫɟɞɭɦ ɰɢɮɪɢ Ɍɨʁ ɟ ɫɟɞɭɦɰɢɮɪɟɧ ɛɪɨʁ

ɫɬɨɢɥʁɚɞɢ ɦɢɥɢɨɧ ɋɂ Ɇ

4 ɉɨɩɨɥɧɢ ʁɚ ɬɚɛɟɥɚɬɚ ɜɨ ɫɜɨʁɚɬɚ ɬɟɬɪɚɬɤɚ ɋɂ

ɋɂ

5 ɉɪɨɱɢɬɚʁ ɝɢ ɢ ɡɚɩɢɲɢ ɝɢ ɫɨ ɡɛɨɪɨɜɢ ɛɪɨɟɜɢɬɟ ɚ

6 Ɂɚɩɢɲɢ ɝɢ ɜɨ ɫɜɨʁɚɬɚ ɬɟɬɪɚɬɤɚ ɛɪɨɟɜɢɬɟ ɤɨɢ ɫɨɨɞɜɟɫɬɜɭɜɚɚɬ ɧɚ ɥɚɦɩɢɨɧɢɬɟ

7 Ȼɪɨʁ ɩɨ ɫɬɨ ɢɥʁɚɞɢ D ɨɞ ɞɨ ɜ ɨɞ ɞɨ

ɛ ɨɞ ɞɨ ɼ ɨɞ ɞɨ

8 ɋɩɨɪɟɞɢ ɝɢ ɜɨ ɫɜɨʁɚɬɚ ɬɟɬɪɚɬɤɚ ɋɂ

ɋɂ

9 ɉɨɞɪɟɞɢ ɝɢ ɩɨ ɝɨɥɟɦɢɧɚ ɛɪɨɟɜɢɬɟ ɩɨɱɧɭɜɚʁʅɢ ɚ ɨɞ ɧɚʁɦɚɥɢɨɬ

ɛ ɨɞ ɧɚʁɝɨɥɟɦɢɨɬ

БРОЕВИТЕ ДО 1 000 000 1 Ɋɚɡɝɥɟɞɚʁ ɝɨ ɰɪɬɟɠɨɬ ɢ ɨɞɝɨɜɨɪɢ

ɚ Ʉɨɥɤɭ ɫɬɨɢɥʁɚɞɢ ɢɦɚ ɛɪɨʁɨɬ " ɛ Ʉɨʁɚ ɰɢɮɪɚ ɟ ɡɚɩɢɲɚɧɚ ɧɚ ɦɟɫɬɨɬɨ ɧɚ ɞɟɫɟɬɢɥʁɚɞɢɬɟ" ɜ Ʉɨɥɤɭ ɢɥʁɚɞɢ ɢɦɚ ɛɪɨʁɨɬ " ɝ Ʉɨʁɚ ɰɢɮɪɚ ɫɬɨɢ ɧɚ ɦɟɫɬɨɬɨ ɧɚ ɫɬɨɬɤɢɬɟ" ɞ Ʉɨɥɤɭ ɞɟɫɟɬɤɢ ɚ ɤɨɥɤɭ ɟɞɢɧɢɰɢ ɢɦɚ ɛɪɨʁɨɬ "

ɩɟɬɫɬɨɬɢɧɢ ɞɜɚɟɫɟɬ ɢ ɨɫɭɦ ɢɥʁɚɞɢ ɲɟɫɬɨɬɢɧɢ ɢ ɩɟɬɧɚɟɫɟɬ 2 Ⱦɨɩɨɥɧɢ ʁɚ ɬɚɛɟɥɚɬɚ ɜɨ ɫɜɨʁɚɬɚ ɬɟɬɪɚɬɤɚ

ɑɢɬɚɦ

Ɂɚɩɢɲɭɜɚɦ Ɂɚɩɢɲɭɜɚɦ

ɨɫɭɦɫɬɨɬɢɧɢ ɞɜɚɟɫɟɬ ɢ ɩɟɬ ɢɥʁɚɞɢ ɬɪɢɫɬɚ ɢ ɩɟɬ ɞɟɜɟɬɫɬɨɬɢɧɢ ɢ ɬɪɢ ɢɥʁɚɞɢ ɞɜɟɫɬɟ ɩɟɞɟɫɟɬ ɢ ɞɟɜɟɬ 3 ɉɪɨɱɢɬɚʁ ɝɢ ɛɪɨɟɜɢɬɟ ɢ ɡɚɩɢɲɢ ɝɢ ɫɨ ɡɛɨɪɨɜɢ ɚ

4 ɉɪɨɱɢɬɚʁ ɝɨ ɛɪɨʁɨɬ ɲɬɨ ɝɨ ɩɨɤɚɠɭɜɚ ɧɚʁɝɨɥɟɦɨɬɨ ɪɚɫɬɨʁɚɧɢɟ ɦɟɼɭ Ɂɟɦʁɚɬɚ ɢ Ɇɟɫɟɱɢɧɚɬɚ ɜɨ ɤɢɥɨɦɟɬɪɢ

5 ɉɪɨɱɢɬɚʁ ʁɚ ɰɟɧɚɬɚ ɧɚ ɫɟɤɨɟ ɨɞ ɜɨɡɢɥɚɬɚ ɜɨ ɩɪɨɞɚɠɧɢɨɬ ɫɚɥɨɧ ɡɚ ɚɜɬɨɦɨɛɢɥɢ ɞɟɧɚɪɢ

ɞɟɧɚɪɢ ɞɟɧɚɪɢ

6 Ȼɪɨʁ ɢ ɡɚɩɢɲɭɜɚʁ D ɨɞ ɞɨ ɩɨ ɞɟɫɟɬ ɢɥʁɚɞɢ ɜ ɨɞ ɞɨ ɩɨ ɞɟɫɟɬ ɢɥʁɚɞɢ ɞ ɨɞ ɞɨ ɩɨ ɢɥʁɚɞɚ ɟ ɨɞ ɞɨ ɩɨ ɢɥʁɚɞɚ

ɛ ɨɞ ɞɨ ɩɨ ɫɬɨ ɝ ɨɞ ɞɨ ɩɨ ɫɬɨ ɼ ɨɞ ɞɨ ɠ ɨɞ ɞɨ

7 Ʉɨɢ ɛɪɨɟɜɢ ɝɢ ɡɚɩɢɲɚɥɟ ɏɚɧɢɮɟ Ɏɢɥɢɩ ɢ Ɇɢɥɚ"

ɏɚɧɢɮɟ

ɚ ɒɬɨ ɨɡɧɚɱɭɜɚ ɰɢɮɪɚɬɚ ɜɨ ɛɪɨʁɨɬ " ɛ Ʉɨɥɤɭ ɟ ɦɟɫɧɚɬɚ ɜɪɟɞɧɨɫɬ ɧɚ ɰɢɮɪɚɬɚ ɜɨ ɛɪɨʁɨɬ " ɜ Ʉɨɥɤɭ ɟ ɦɟɫɧɚɬɚ ɜɪɟɞɧɨɫɬ ɧɚ ɰɢɮɪɚɬɚ ɜɨ ɛɪɨʁɨɬ "

Ɏɢɥɢɩ

Ɇɢɥɚ

8 ɉɪɨɱɢɬɚʁ ɝɢ ɛɪɨɟɜɢɬɟ ɚ ɛ ɜ ɝ ɼ ɟ ɠ ɡ ɢ Ɂɚɩɢɲɢ ɝɢ ɛɪɨɟɜɢɬɟ ɫɨ ɰɢɮɪɚ ɜɨ ɪɟɞɨɬ ɧɚ ɢɥʁɚɞɢɬɟ ʁ Ɂɚɩɢɲɢ ɝɢ ɛɪɨɟɜɢɬɟ ɫɨ ɰɢɮɪɚ ɜɨ ɪɟɞɨɬ ɧɚ ɫɬɨɢɥʁɚɞɢɬɟ ɤ Ɂɚɩɢɲɢ ɝɢ ɛɪɨɟɜɢɬɟ ɫɨ ɰɢɮɪɚ ɜɨ ɪɟɞɨɬ ɧɚ ɞɟɫɟɬɢɥʁɚɞɢɬɟ ɥ Ɂɚɩɢɲɢ ɝɢ ɛɪɨɟɜɢɬɟ ɫɨ ɰɢɮɪɚ ɜɨ ɪɟɞɨɬ ɧɚ ɞɟɫɟɬɢɥʁɚɞɢɬɟ

ɞ ɾ

9 Ɂɚɩɢɲɢ ɝɢ ɛɪɨɟɜɢɬɟ ɜɨ ɨɛɥɢɤ ɧɚ ɡɛɢɪ ɋɂ Ⱦɂ ɂ ɋ Ⱦ ȿ ɋɂ Ⱦɂ ɂ ɋ Ⱦ ȿ 10 Ɂɚɩɢɲɢ ɝR ɛɪɨʁɨɬ ɤɨʁ ɟ ɟɞɧɚɤɨɜ ɧɚ ɡɛɢɪɨɬ ɨɞ D ɋɂ Ⱦɂ ɂ ɋ Ⱦ ȿ

ɛ ɋɂ Ⱦɂ ɋ ȿ

11 ȼɨ ɛɪɨʁɨɬ ɦɟɫɧɚɬɚ ɜɪɟɞɧɨɫɬ ɧɚ ɰɢɮɪɚɬɚ ɟ ɚ Ʉɨɥɤɚɜɚ ʅɟ ɛɢɞɟ ɧɟʁɡɢɧɚɬɚ ɦɟɫɧɚ ɜɪɟɞɧɨɫɬ ɚɤɨ ɫɟ ɢɡɨɫɬɚɜɢ ɟɞɧɚɬɚ ɧɭɥɚ" ɛ Ʉɨɥɤɚɜɚ ʅɟ ɛɢɞɟ ɧɟʁɡɢɧɚɬɚ ɦɟɫɧɚ ɜɪɟɞɧɨɫɬ ɚɤɨ ɫɟ ɢɡɨɫɬɚɜɚɬ ɢ ɞɜɟɬɟ ɧɭɥɢ" ɜ Ⱦɚɥɢ ɟ ɜɚɠɧɨ ɤɨʁɚ ɧɭɥɚ ɫɟ ɢɡɨɫɬɚɜɭɜɚ" 26

СПОРЕДУВАЊЕ НА БРОЕВИТЕ ДО 1 000 000 1 Ⱦɚɥɢ ɋɟɥɦɚ ɢ Ɇɚɪɬɢɧ ɩɪɚɜɢɥɧɨ ɪɚɫɭɞɭɜɚɚɬ" Ɉɞ ɞɜɚ ɛɪɨʁɚ ɩɨɝɨɥɟɦ ɟ ɨɧɨʁ ɤɨʁ ɟ ɡɚɩɢɲɚɧ ɫɨ ɩɨɜɟʅɟ ɰɢɮɪɢ ɋɟɥɦɚ

Ȼɪɨɟɜɢɬɟ ɤɨɢ ɫɟ ɡɚɩɢɲɚɧɢ ɫɨ ɢɫɬ ɛɪɨʁ ɧɚ ɰɢɮɪɢ ɝɢ ɫɩɨɪɟɞɭɜɚɦɟ ɫɨ ɫɩɨɪɟɞɭɜɚʃɟ ɧɚ ɩɪɜɚɬɚ ɪɚɡɥɢɱɧɚ ɰɢɮɪɚ ɨɞɟʁʅɢ ɨɞ ɥɟɜɨ ɤɨɧ ɞɟɫɧɨ

Ɇɚɪɬɢɧ

2 ȼɨ ɫɜɨʁɚɬɚ ɬɟɬɪɚɬɤɚ ɡɚɩɢɲɢ ɟɞɟɧ ɨɞ ɡɧɚɰɢɬɟ ! ɢɥɢ ɡɚ ɞɚ ɛɢɞɟ ɬɨɱɧɨ ɚ

3 Ɂɚɩɢɲɢ ɝɢ ɛɪɨɟɜɢɬɟ ɡɚ ɤɨɢ ɟ ɬɨɱɧɨ D !

4 Ɂɚɩɢɲɢ ɝɢ ɛɪɨɟɜɢɬɟ ɤɨɢ ɨɞɝɨɜɚɪɚɚɬ ɧɚ ɢɫɤɚɡɢɬɟ ɧɚ Ⱥɧɚ ɢ ɂɜɚɧ Ⱥɧɚ

Ⱥɧɚ ÄɆɨʁɨɬ ɛɪɨʁ ɟ ɩɪɟɬɯɨɞɧɢɤ ɧɚ ɛɪɨʁɨɬ ´ D ɛ ɜ

ɂɜɚɧ

ɂɜɚɧ ÄɆɨʁɨɬ ɛɪɨʁ ɟ ɫɥɟɞɛɟɧɢɤ ɧɚ ɛɪɨʁɨɬ ´ D ɛ ɜ 5 ɋɨ ɰɢɮɪɢɬɟ ɡɚɤɚɱɟɧɢ ɧɚ ɥɢɫɬɨɜɢɬɟ ɧɚ ɬɚɛɥɚɬɚ ɡɚɩɢɲɢ D ɧɚʁɦɚɥ ɲɟɫɬɰɢɮɪɟɧ ɛɪɨʁ ɛ ɧɚʁɝɨɥɟɦ ɲɟɫɬɰɢɮɪɟɧ ɛɪɨʁ

6 Ɂɚɩɢɲɢ ɝɢ ɫɢɬɟ ɲɟɫɬɰɢɮɪɟɧɢ ɛɪɨɟɜɢ ɫɨ ɰɢɮɪɢɬɟ ɢ ɱɟɬɢɪɢ ɧɭɥɢ ɚ ɩɨɬɨɚ ɩɨɞɪɟɞɢ ɝɢ D ɩɨɱɧɭɜɚʁʅɢ ɨɞ ɧɚʁɦɚɥɢɨɬ ɛ ɩɨɱɧɭɜɚʁʅɢ ɨɞ ɧɚʁɝɨɥɟɦɢɨɬ 27

КЛАСА НА ИЛЈАДИ. КЛАСА НА ЕДИНИЦИ 1 ɉɪɨɱɢɬɚʁ ɝɨ ɛɪɨʁɨɬ ɧɚ ɫɦɟɬɚɥɤɚɬɚ ɢ ɪɚɡɝɥɟɞɚʁ ʁɚ ɬɚɛɥɢɰɚɬɚ ɫɨ ɦɟɫɧɢ ɜɪɟɞɧɨɫɬɢ

ɤɥɚɫɚ ɧɚ ɢɥʁɚɞɢ

ȿɞɢɧɢɰɢɬɟ ɞɟɫɟɬɤɢɬɟ ɢ ɫɬɨɬɤɢɬɟ ʁɚ ɨɛɪɚɡɭɜɚɚɬ ɤɥɚɫɚɬɚ ɧɚ ɟɞɢɧɢɰɢɬɟ ɂɥʁɚɞɢɬɟ ɞɟɫɟɬɢɥʁɚɞɢɬɟ ɢ ɫɬɨɢɥʁɚɞɢɬɟ ʁɚ ɨɛɪɚɡɭɜɚɚɬ ɤɥɚɫɚɬɚ ɧɚ ɢɥʁɚɞɢɬɟ ɉɪɢ ɡɚɩɢɲɭɜɚʃɟ ɧɚ ɛɪɨɟɜɢɬɟ ɦɟɼɭ ɪɚɡɥɢɱɧɢɬɟ ɤɥɚɫɢ ɨɫɬɚɜɚɦɟ ɩɪɚɡɧɨ ɦɟɫɬɨ ɡɚ ɞɚ ɝɨ ɨɥɟɫɧɢɦɟ ɧɢɜɧɨɬɨ ɱɢɬɚʃɟ

ɤɥɚɫɚ ɧɚ ɟɞɢɧɢɰɢ

2 ɉɪɨɱɢɬɚʁ ɝɢ ɢ ɡɚɩɢɲɢ ɝɢ ɫɨ ɡɛɨɪɨɜɢ ɛɪɨɟɜɢɬɟ ɞɚɞɟɧɢ ɫɨ ɬɚɛɥɢɰɚɬɚ ɧɚ ɦɟɫɧɢ ɜɪɟɞɧɨɫɬɢ

3 ɋɨɫɬɚɜɢ ɬɚɛɥɢɰɚ ɧɚ ɦɟɫɧɢ ɜɪɟɞɧɨɫɬɢ ɡɚ ɛɪɨɟɜɢɬɟ ɚ ɞɜɚɟɫɟɬ ɢ ɩɟɬ ɢɥʁɚɞɢ ɩɟɬɫɬɨɬɢɧɢ ɩɟɞɟɫɟɬ ɢ ɩɟɬ ɛ ɫɬɨ ɱɟɬɢɪɢɟɫɟɬ ɢ ɬɪɢ ɢɥʁɚɞɢ ɞɜɟɫɬɟ ɞɜɚɟɫɟɬ ɢ ɨɫɭɦ ɜ ɱɟɬɢɪɢɫɬɨɬɢɧɢ ɢɥʁɚɞɢ ɩɟɞɟɫɟɬ ɢ ɞɟɜɟɬ 4 Ɂɚ ɤɨɢ ɨɞ ɛɪɨɟɜɢɬɟ ɢ ɫɟ ɬɚɛɥɢɰɢɬɟ" ɚ

ɤɥɚɫɚ ɧɚ ɤɥɚɫɚ ɧɚ ɤɥɚɫɚ ɧɚ ɢɥʁɚɞɢ ɟɞɢɧɢɰɢ ɢɥʁɚɞɢ

ɝ Ɂɚɩɢɲɢ ɝɨ ɛɪɨʁɨɬ ɤɨʁ ɢɦɚ ɫɚɦɨ ɰɢɮɪɚ ɜɨ ɤɥɚɫɚɬɚ ɧɚ ɢɥʁɚɞɢɬɟ ɞ ɫɚɦɨ ɰɢɮɪɚ ɜɨ ɤɥɚɫɚɬɚ ɧɚ ɟɞɢɧɢɰɢɬɟ 5 Ɂɚɩɢɲɢ ɩɟɬ ɛɪɨɟɜɢ ɫɨ ɰɢɮɪɢɬɟ ɢ ɜɨ ɤɥɚɫɚɬɚ ɧɚ ɢɥʁɚɞɢɬɟ ɢ ɰɢɮɪɢɬɟ ɢ ɜɨ ɤɥɚɫɚɬɚ ɧɚ ɟɞɢɧɢɰɢɬɟ 28

ЗАОКРУЖУВАЊЕ НА БРОЕВИТЕ 1 ɚ ȼɨ ɤɭɬɢʁɚɬɚ ɧɚ ȿɦɚ ɢɦɚ ɬɨɩɱɢʃɚ

ȼɨ ɤɭɬɢʁɚɬɚ ɧɚ $ɮɪɢɦ ɢɦɚ ɬɨɩɱɢʃɚ

ȿɦɚ

Ⱥɮɪɢɦ

ȼɨ ɤɭɬɢʁɚɬɚ ɧɚ ȿɦɚ ɢɦɚ ɨɤɨɥɭ ɬɨɩɱɢʃɚ

ȼɨ ɤɭɬɢʁɚɬɚ ɧɚ $ɮɪɢɦ ɢɦɚ ɨɤɨɥɭ ɬɨɩɱɢʃɚ

ɛ Ɋɚɡɝɥɟɞɚʁ ɢ ɨɛʁɚɫɧɢ ɤɚɤɨ ɟ ɢɡɜɪɲɟɧɨ ɡɚɨɤɪɭɠɭɜɚʃɟɬɨ

Ȼɪɨʁɨɬ ɡɚɨɤɪɭɠɟɧ ɞɨ ɧɚʁɛɥɢɫɤɚɬɚ ɫɬɨɬɤɚ ɟ

ɉɪɢ ɡɚɨɤɪɭɠɭɜɚʃɟ ɧɚ ɛɪɨʁɨɬ ɧɚ ɞɟɫɟɬɤɢ ɫɬɨɬɤɢ

ʁɚ ɨɩɪɟɞɟɥɭɜɚɦɟ ɧɚʁɛɥɢɫɤɚɬɚ ɞɟɫɟɬɤɚ ɫɬɨɬɤɚ

ɐɢɮɪɚɬɚ ɲɬɨ ɝɨ ɩɨɤɚɠɭɜɚ ɛɪɨʁɨɬ ɞɟɫɟɬɤɢ ɫɬɨɬɤɢ

ɨɫɬɚɧɭɜɚ ɧɟɩɪɨɦɟɧɟɬɚ ɚɤɨ ɩɨ ɧɟɚ ɟ ɧɟɤɨʁɚ ɨɞ ɰɢɮɪɢɬɟ ɢɥɢ ɚ ɫɟ ɡɝɨɥɟɦɭɜɚ ɡɚ ɚɤɨ ɩɨ ɧɟɚ ɟ ɧɟɤɨʁɚ ɨɞ ɰɢɮɪɢɬɟ ɢɥɢ ɋɢɬɟ ɰɢɮɪɢ ɞɟɫɧɨ ɫɟ ɡɚɦɟɧɭɜɚɚɬ ɫɨ ɧɭɥɢ

3 Ⱦɚɥɢ ɇɢɧɚ ɩɪɚɜɢɥɧɨ ɡɚɨɤɪɭɠɭɜɚ"

ɇɢɧɚ

ɚ ɇɚ ɞɟɫɟɬɤɢ ɟ ɨɤɨɥɭ ɛ ɇɚ ɫɬɨɬɤɢ ɟ ɨɤɨɥɭ ɜ ɇɚ ɢɥʁɚɞɢ ɟ ɨɤɨɥɭ

4 Ɂɚɨɤɪɭɠɢ ɝɢ ɛɪɨɟɜɢɬɟ ɚ ɇɚ ɞɟɫɟɬɤɢ ɛ ɇɚ ɫɬɨɬɤɢ ɜ ɇɚ ɢɥʁɚɞɢ 29

РИМСКИ ЦИФРИ 1 ɚ Ⱦɚɥɢ ɱɚɫɨɜɧɢɰɢɬɟ ɩɨɤɚɠɭɜɚɚɬ ɪɚɡɥɢɱɧɨ ɜɪɟɦɟ"

ɛ Ⱦɚɥɢ ɰɢɮɪɢɬɟ ɧɚ ɱɚɫɨɜɧɢɰɢɬɟ ɫɟ ɪɚɡɥɢɱɧɢ" ɐɢɮɪɢɬɟ ɧɚ ɨɜɨʁ ɱɚɫɨɜɧɢɤ ɫɟ ɪɢɦɫɤɢ

ɐɢɮɪɢɬɟ ɧɚ ɨɜɨʁ ɱɚɫɨɜɧɢɤ ɫɟ ɚɪɚɩɫɤɢ

2 Ɂɚ ɡɚɩɢɲɭɜɚʃɟ ɧɚ ɛɪɨɟɜɢɬɟ ɧɚ ɱɚɫɨɜɧɢɤɨɬ ɫɟ ɭɩɨɬɪɟɛɟɧɢ ɫɚɦɨ ɬɪɢ ɰɢɮɪɢ , 9 ɢ ; Ɋɚɡɝɥɟɞɚʁ ɝɢ ɰɪɬɟɠɢɬɟ ɡɚ ɞɚ ɫɨɝɥɟɞɚɲ ɤɚɤɨ ɬɢɟ ɧɚɫɬɚɧɚɥɟ

3 Ɋɚɡɝɥɟɞɚʁ ʁɚ ɬɚɛɥɢɰɚɬɚ Ɉɛʁɚɫɧɢ ɤɚɤɨ ɫɟ ɡɚɩɢɲɚɧɢ ɛɪɨɟɜɢɬɟ ɫɨ ɪɢɦɫɤɢ ɰɢɮɪɢ ,,, ,9 2 3 4 6 7 8 9 ;, I

III

9,,

9,,,

;

;,,

;,,, ;,9 ;9

;9, ;9,, ;9,,, ,;; ;;

ɉɪɢ ɡɚɩɢɲɭɜɚʃɟ ɧɚ ɛɪɨɟɜɢɬɟ ɫɨ ɪɢɦɫɤɢ ɰɢɮɪɢ ɬɪɟɛɚ ɞɚ ɡɧɚɟɦɟ ɞɟɤɚ ɇɟ ɫɟ ɡɚɩɢɲɭɜɚɚɬ ɱɟɬɢɪɢ ɟɞɧɚɤɜɢ ɰɢɮɪɢ ɟɞɧɚ ɞɨ ɞɪɭɝɚ Ⱥɤɨ ɡɧɚɤ ɧɚ ɩɨɦɚɥ ɛɪɨʁ ɟ ɡɚɩɢɲɚɧ ɩɪɟɞ ɡɧɚɤ ɧɚ ɩɨɝɨɥɟɦ ɛɪɨʁ ɬɨɝɚɲ ɫɟ ɨɞɡɟɦɚ ɩɨɦɚɥɢɨɬ ɛɪɨʁ ɨɞ ɩɨɝɨɥɟɦɢɨɬ ɛɪɨʁ Ⱥɤɨ ɡɧɚɤ ɧɚ ɩɨɝɨɥɟɦ ɛɪɨʁ ɟ ɡɚɩɢɲɚɧ ɩɪɟɞ ɡɧɚɤ ɧɚ ɩɨɦɚɥ ɛɪɨʁ ɬɨɝɚɲ ɛɪɨɟɜɢɬɟ ɫɟ ɫɨɛɢɪɚɚɬ 4 Ɂɚɩɢɲɢ ɝɨ ɫɨ ɪɢɦɫɤɢ ɰɢɮɪɢ ɛɪɨʁɨɬ ɜɨ ɪɟɱɟɧɢɰɚɬɚ ³ȼɨ ȿɜɪɨɩɚ ɪɢɦɫɤɢɬɟ ɰɢɮɪɢ ɫɟ ɤɨɪɢɫɬɟɥɟ ɡɚ ɡɚɩɢɲɭɜɚʃɟ ɧɚ ɛɪɨɟɜɢɬɟ ɞɨ ɫɪɟɞɢɧɚɬɚ ɧɚ ɲɟɫɧɚɟɫɟɬɢɨɬ ɜɟɤ´ 30

5 ɉɪɢ ɡɚɩɢɲɭɜɚʃɟɬɨ ɧɚ ɛɪɨɟɜɢɬɟ ɢ ɧɚɩɪɚɜɟɧɢ ɫɟ ɝɪHɲɤɢ Ɂɚɩɢɲɢ ɝɢ ɛɪɨɟɜɢɬɟ ɩɪɚɜɢɥɧɨ ;,;

,9 ,,, 9,,

;,,,

6 Ɂɚɩɢɲɢ ɝɢ ɫɨ ɚɪɚɩɫɤɢ ɰɢɮɪɢ ɛɪɨɟɜɢɬɟ D ,9 ɛ 9,,, ɜ ;9,

ɝ ;9,,,

ɞ ;,;

7 Ɂɚɩɢɲɢ ɝɢ ɫɨ ɪɢɦɫɤɢ ɰɢɮɪɢ ɛɪɨɟɜɢɬɟ D

8 Ʉɨɥɤɭ ɟ ɱɚɫɨɬ" D

ɉɪɟɬɩɥɚɞɧɟ ɱɚɫɨɬ ɉɨɩɥɚɞɧɟ ɱɚɫɨɬ 9 ɋɨ ɩɨɦɨɲ ɧɚ ɨɛɪɚɡɟɰɨɬ ɡɚɩɢɲɢ ɝɢ D ɞɚɬɭɦɨɬ ɧɚ ɬɜɨɟɬɨ ɪɚɼɚʃɟ ɛ ɞɚɬɭɦɨɬ ɧɚ ɪɚɼɚʃɟ ɧɚ ɬɜɨʁɨɬ ɞɪɭɝɚɪ ɜ ɞɟɧɟɲɧɢɨɬ ɞɚɬɭɦ

;,, ɢɥɢ

10 Ɂɚɩɢɲɢ ɝɢ ɫɨ ɪɢɦɫɤɢ ɰɢɮɪɢ ɦɟɫɟɰɢɬɟ ʁɚɧɭɚɪɢ ɦɚɪɬ ʁɭɥɢ ɢ ɫɟɩɬɟɦɜɪɢ ʁɚɫ ɨɞɚɦ ɧɚɞɟɫɧɨ

11 ɉɨɫɬɚɜɢ ɱɤɨɪɱɢʃɚ ɤɚɤɨ ɧɚ ɰɪɬɟɠɨɬ Ⱦɚɥɢ ɪɟɡɭɥɬɚɬɨɬ ɟ ɬɨɱɟɧ" ɉɪɟɦɟɫɬɢ ɫɚɦɨ ɟɞɧɨ ɱɤɨɪɱɟ ɡɚ ɞɚ ɞɨɛɢɟɲ ɬɨɱɧɨ ɪɚɜɟɧɫɬɜɨ 12 ɉɪɟɦɟɫɬɢ ɫɚɦɨ ɟɞɧɨ ɱɤɨɪɱɟ ɡɚ ɞɚ ɞɨɛɢɟɲ ɬɨɱɧɨ ɪɚɜɟɧɫɬɜɨ

12 ɋɨɫɬɚɜɢ ɢ ɬɢ ɧɟɤɨɥɤɭ ɜɚɤɜɢ ɡɚɞɚɱɢ ɉɨɥɟɫɧɨ ʅɟ ɭɫɩɟɟɲ ɚɤɨ ɩɪɜɨ ɬɪɝɧɟɲ ɨɞ ɬɨɱɧɨ ɛɪɨʁɧɨ ɪɚɜɟɧɫɬɜɨ ɚ ɩɨɬɨɚ ɩɪɟɦɟɫɬɢɲ ɫɚɦɨ ɟɞɧɨ ɱɤɨɪɱɟ 31

СОБИРАЊЕ НА БРОЕВИТЕ ДО 1 000 1 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɝɨ ɡɛɢɪɨɜɢɬɟ

2 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɝɨ ɡɛɢɪɨɜɢɬɟ ɡɚ ɞɚ ɨɬɤɪɢɟɲ ɤɨʁ ɫɨ ɤɨɝɨ ɪɚɡɝɨɜɚɪɚ +

Ⱥɧɚ

Ɍɟɨ

Ȼɨʁɚɧ

ɋɟɥɦɚ

3 Ɉɬɤɪɢʁ ɝɢ ɰɢɮɪɢɬɟ ɫɤɪɢɟɧɢ ɫɨ ɞɟɬɟɥɢɧɤɢɬɟ +

4 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɧɚ ɧɚʁɥɟɫɟɧ ɧɚɱɢɧ

5 Ɇɥɚɞɢɬɟ ɟɤɨɥɨɡɢ ɡɚɫɚɞɢɥɟ ɛɨɪɱɢʃɚ ɟɥɢ ɢ ɱɟɦɩɪɟɫɢ Ʉɨɥɤɭ ɜɤɭɩɧɨ ɞɪɜɰɚ ɡɚɫɚɞɢɥɟ ɟɤɨɥɨɡɢɬɟ"

6 ɍɱɢɥɢɲɧɚɬɚ ɛɢɛɥɢɨɬɟɤɚ ɢɦɚ ɩɨɥɢɰɢ ɇɚ ɩɪɜɚɬɚ ɩɨɥɢɰɚ ɢɦɚ ɤɧɢɝɢ ɚ ɧɚ ɫɟɤɨʁɚ ɫɥɟɞɧɚ ɤɧɢɝɢ ɩɨɜɟʅɟ ɨɞ ɩɪɟɬɯɨɞɧɚɬɚ Ʉɨɥɤɭ ɜɤɭɩɧɨ ɤɧɢɝɢ ɢɦɚ ɜɨ ɛɢɛɥɢɨɬɟɤɚɬɚ" 32

ОДЗЕМАЊЕ НА БРОЕВИТЕ ДО 1 000 1 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɢ ɩɨɩɨɥɧɢ ɜɨ ɫɜɨʁɚɬɚ ɬɟɬɪɚɬɤɚ ±

2 ɉɪɨɜɟɪɢ ɞɚɥɢ Ʌɟɧɚ ɢ Ɇɢɪɨ ɩɪɚɜɢɥɧɨ ɩɪɟɫɦɟɬɭɜɚɚɬ ɢ ɨɛʁɚɫɧɢ ɤɚɤɨ ɪɚɫɭɞɭɜɚɚɬ

– Ʌɟɧɚ

–

– Ɇɢɪɨ

–

3 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɝɢ ɪɚɡɥɢɤɢɬɟ ɢ ɩɨɞɪɟɞɢ ɝɢ ɩɨ ɝɨɥɟɦɢɧɚ ȷɟ ɝɨ ɨɬɤɪɢɟɲ ɢɦɟɬɨ ɧɚ ɧɚʁɝɨɥɟɦɚɬɚ ɪɟɤɚ ɜɨ Ɇɚɤɟɞɨɧɢʁɚ –

–

4 ɉɨɩɨɥɧɢ ɝɢ ɬɚɛɟɥɢɬɟ ɜɨ ɫɜɨʁɚɬɚ ɬɟɬɪɚɬɤɚ Ʉɚɤɨ ɫɟ ɦɟɧɭɜɚɚɬ ɪɚɡɥɢɤɢɬɟ" Ɂɨɲɬɨ" ɚ

ɇɚɦɚɥɟɧɢɤ

ɇɚɦɚɥɢɬɟɥ

Ɋɚɡɥɢɤɚ

ɇɚɦɚɥɟɧɢɤ

ɇɚɦɚɥɢɬɟɥ

Ɋɚɡɥɢɤɚ

5 ɂɥɢʁɚ ɢɦɚ ɞɟɧɚɪɢ ɋɚɤɚ ɞɚ ɤɭɩɢ ɭɱɢɥɢɲɟɧ ɩɪɢɛɨɪ ɡɚ ɞɟɧɚɪɢ Ʉɨɥɤɭ ɞɟɧɚɪɢ ɦɭ ɧɟɞɨɫɬɚɫɭɜɚɚɬ" 6 ȼɨ ɟɞɧɚ ɩɪɨɞɚɜɧɢɰɚ ɡɚ ɱɟɜɥɢ ɛɢɥɟ ɞɨɧɟɫɟɧɢ ɩɚɪɚ ɱɟɜɥɢ ɉɪɟɬɩɥɚɞɧɟɬɨ ɛɢɥɟ ɩɪɨɞɚɞɟɧɢ ɩɚɪɚ ɱɟɜɥɢ ɚ ɩɨɩɥɚɞɧɟɬɨ ɩɚɪɚ ɱɟɜɥɢ Ʉɨɥɤɭ ɩɚɪɚ ɱɟɜɥɢ ɨɫɬɚɧɚɥɟ ɧɟɩɪɨɞɚɞɟɧɢ" 33

СОБИРАЊЕ И ОДЗЕМАЊЕ 1 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɝɢ ɪɚɡɥɢɤɢɬɟ ɢ ɧɚɩɪɚɜɢ ɩɪɨɜɟɪɤɚ ɫɨ ɫɨɛɢɪɚʃɟ ±

478

984

437

2 ɉɨɩɨɥɧɢ ɜɨ ɫɜɨʁɚɬɚ ɬɟɬɪɚɬɤɚ ɡɚ ɞɚ ɛɢɞɟ ɬɨɱɧɨ ɟ ɡɚ ɩɨɦɚɥ ɨɞ

ɟ ɡɚ ɩɨɝɨɥɟɦ ɨɞ

904

ɟ ɡɚ ɩɨɝɨɥɟɦ ɨɞ

ɟ ɡɚ ɩɨɦɚɥ ɨɞ

398

3 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɝɢ ɢɡɪɚɡɢɬɟ ɚ ± ɝ ± ±

ɛ ± ± ɞ ±

ɜ ± ɼ ±

4 Ɉɞ ɟɞɧɚ ɧɢɜɚ ɫɟ ɞɨɛɢɟɧɢ ɜɪɟʅɢ ɫɨ ɩɱɟɧɢɰɚ ɢ ɜɪɟʅɢ ɫɨ ʁɚɱɦɟɧ ɩɨɜɟʅɟ Ɉɞ ɧɢɜ ɫɟ ɩɪɨɞɚɞɟɧɢ ɜɪɟʅɢ ɫɨ ɩɱɟɧɢɰɚ ɢ ɜɪɟʅɢ ɫɨ ʁɚɱɦɟɧ Ʉɨɥɤɭ ɜɪɟʅɢ ɨɫɬɚɧɚɥɟ ɧɟɩɪɨɞɚɞɟɧɢ" 5 Ɋɟɲɢ ɝɢ ɪɚɜɟɧɤɢɬɟ ɢ ɧɚɩɪɚɜɢ ɩɪɨɜɟɪɤɚ ɚ ɯ ɝ ɯ

ɛ ɯ ± ɞ ɯ ±

ɜ ± ɯ ɼ ± ɯ

6 ɚ ɇɚ ɤɨʁ ɛɪɨʁ ɬɪɟɛɚ ɞɚ ɫɟ ɞɨɞɚɞɟ ɛɪɨʁɨɬ ɡɚ ɞɚ ɫɟ ɞɨɛɢɟ ɛɪɨʁɨɬ " ɛ Ɂɚ ɤɨɥɤɭ ɬɪɟɛɚ ɞɚ ɫɟ ɧɚɦɚɥɢ ɛɪɨʁɨɬ ɡɚ ɞɚ ɫɟ ɞɨɛɢɟ ɛɪɨʁɨɬ " 7 ɋɨɫɬɚɜɢ ɡɚɞɚɱɚ ɫɩɨɪɟɞ ɩɨɞɚɬɨɰɢɬɟ ɢ ɪɟɲɢ ʁɚ ɥɟɛ ɡɟɥɟɧɱɭɤ ɨɜɨɲʁɟ ɲɟʅɟɪ

NJ ɲɬɨ ɟ ɡɚ NJ ɩɨɜɟʅɟ ɨɞ ɬɨɥɤɭ ɤɨɥɤɭ ɡɟɥɟɧɱɭɤ NJ ɩɨɦɚɥɤɭ ɨɞ

СОБИРАЊЕ НА БРОЕВИТЕ ДО 1 000 000 БЕЗ ПРЕМИН 1 ɋɨ ɩɨɦɨɲ ɧɚ ɛɪɨʁɧɚɬɚ ɩɨɥɭɩɪɚɜɚ ɫɨɫɬɚɜɢ ɡɚɞɚɱɢ ɫɨ ɫɨɛɢɪɚʃɟ

2 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɢ ɩɨɩɨɥɧɢ ɜɨ ɫɜɨʁɚɬɚ ɬɟɬɪɚɬɤɚ

3 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɝɨ ɡɛɢɪɨɜɢɬɟ

4 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɝɢ ɡɛɢɪɨɜɢɬɟ ɢ ɫɩɨɪɟɞɢ ɝɢ ɞɨɛɢɟɧɢɬɟ ɪɟɡɭɥɬɚɬɢ

ɉɨɜɟʅɟɰɢɮɪɟɧɢɬɟ ɛɪɨɟɜɢ ɫɟ ɫɨɛɢɪɚɚɬ ɤɚɤɨ ɬɪɢɰɢɮɪɟɧɢɬɟ

5 Ɉɬɤɪɢʁ ɝɢ ɝɪɟɲɤɢɬɟ ɩɪɢ ɫɨɛɢɪɚʃɟɬɨ ɲɬɨ ɝɢ ɧɚɩɪɚɜɢɥɚ ȿɦɢɧɚ

Ⱦɚɥɢ ɝɢ ɩɨɞɪɟɞɢɜ ɫɨɛɢɪɨɰɢɬɟ ɟɞɟɧ ɩɨɞ ɞɪɭɝ"

ȿɦɢɧɚ

6 ɇɚʁɞɢ ɝɢ ɡɛɢɪɨɜɢɬɟ ɨɬɤɚɤɨ ʅɟ ɝɢ ɩɨɞɪɟɞɢɲ ɫɨɛɢɪɨɰɢɬɟ ɟɞɟɧ ɩɨɞ ɞɪɭɝ a)

7 ȼɨ ɟɞɟɧ ɞɟɧ ɧɚ ɝɪɚɧɢɱɧɢɨɬ ɩɪɟɦɢɧ Ɍɚɛɚɧɨɜɰɟ ɩɨɦɢɧɚɥɟ ɫɪɩɫɤɢ ɞɪɠɚɜʁɚɧɢ ɢ ɩɨɜɟʅɟ ɦɚɤɟɞɨɧɫɤɢ ɞɪɠɚɜʁɚɧɢ Ʉɨɥɤɭ ɦɚɤɟɞɨɧɫɤɢ ɞɪɠɚɜʁɚɧɢ ɩɨɦɢɧɚɥɟ ɧɚ ɝɪɚɧɢɱɧɢɨɬ ɩɪɟɦɢɧ ɬɨʁ ɞɟɧ" 35

8 Ʉɨɥɤɭ ɞɟɧɚɪɢ ɢɦɚɚɬ ȿɥɟɧɚ ɢ ɋɟɚɞ ɡɚɟɞɧɨ" ȿɥɟɧɚ

ȿɥɟɧɚ ɢ ɋɟɚɞ ɋɟɚɞ ɢ ȿɥɟɧɚ

ɋɟɚɞ

Ʉɨɦɭɬɚɬɢɜɧɨ ɫɜɨʁɫɬɜɨ ɧɚ ɫɨɛɢɪɚʃɟɬɨ Ɂɛɢɪɨɬ ɧɟ ɫɟ ɦɟɧɭɜɚ ɚɤɨ ɫɨɛɢɪɨɰɢɬɟ ɫɢ ɝɢ ɡɚɦɟɧɚɬ ɦɟɫɬɚɬɚ 9 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɝɨ ɡɛɢɪɨɜɢɬɟ ɛ ɚ

10 Ʉɚɤɨ Ⱥɧɚ ɝɨ ɩɪɟɫɦɟɬɚɥɚ ɡɛɢɪɨɬ ɧɚ ɛɪɨɟɜɢɬɟ ɢ " Ⱥ ɤɚɤɨ ɂɜɨ" Ⱥɧɚ

ɂɜɨ

Ⱥɧɚ ɢ ɂɜɨ ɝɢ ɝɪɭɩɢɪɚɥɟ ɫɨɛɢɪɨɰɢɬɟ ɧɚ ɪɚɡɥɢɱɧɢ ɧɚɱɢɧɢ

Ⱥɫɨɰɢʁɚɬɢɜɧɨ ɫɜɨʁɫɬɜɨ ɧɚ ɫɨɛɢɪɚʃɟɬɨ Ɂɛɢɪɨɬ ɧɟ ɫɟ ɦɟɧɭɜɚ ɚɤɨ ɫɨɫɟɞɧɢɬɟ ɫɨɛɢɪɨɰɢ ɫɟ ɝɪɭɩɢɪɚɚɬ ɧɚ ɪɚɡɥɢɱɧɢ ɧɚɱɢɧɢ 11 ɋɨ ɡɚɦɟɧɚ ɧɚ ɦɟɫɬɨɬɨ ɧɚ ɫɨɛɢɪɨɰɢɬɟ ɢ ɝɪɭɩɢɪɚʃɟ ɧɚ ɫɨɛɢɪɨɰɢɬɟ ɩɪɟɫɦɟɬɚʁ ɚ

12 Ȼɢɥɟɬɢɬɟ ɡɚ ɟɞɟɧ ɮɭɞɛɚɥɫɤɢ ɧɚɬɩɪɟɜɚɪ ɫɟ ɩɪɨɞɚɞɟɧɢ ɡɚ ɞɜɚ ɞɟɧɚ ɉɪɜɢɨɬ ɞɟɧ ɫɟ ɩɪɨɞɚɞɟɧɢ ɛɢɥɟɬɢ ɚ ɜɬɨɪɢɨɬ ɞɟɧ ɛɢɥɟɬɢ ɩɨɜɟʅɟ Ʉɨɥɤɭ ɜɤɭɩɧɨ ɛɢɥɟɬɢ ɫɟ ɩɪɨɞɚɞɟɧɢ ɡɚ ɮɭɞɛɚɥɫɤɢɨɬ ɧɚɬɩɪɟɜɚɪ" 13 ɋɨɫɬɚɜɢ ɡɚɞɚɱɚ ɫɩɨɪɟɞ ɩɨɞɚɬɨɰɢɬɟ ɢ ɪɟɲɢ ʁɚ Ɏɭɞɛɚɥɢ Ȼɚɫɤɟɬɢ 36

ОДЗЕМАЊЕ НА БРОЕВИТЕ ДО 1 000 000 БЕЗ ПРЕМИН 1 ɋɨ ɩɨɦɨɲ ɧɚ ɛɪɨʁɧɚɬɚ ɩɨɥɭɩɪɚɜɚ ɫɨɫɬɚɜɢ ɡɚɞɚɱɢ ɫɨ ɨɞɡɟɦɚʃɟ ± ±

2 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɢ ɩɨɩɨɥɧɢ ɜɨ ɫɜɨʁɚɬɚ ɬɟɬɪɚɬɤɚ

3 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɝɢ ɪɚɡɥɢɤɢɬɟ ±

ɉɨɜɟʅɟɰɢɮɪɟɧɢɬɟ ɛɪɨɟɜɢ ɫɟ ɨɞɡɟɦɚɚɬ ɤɚɤɨ ɬɪɢɰɢɮɪɟɧɢɬɟ

4 Ɉɬɤɪɢʁ ɝɢ ɝɪɟɲɤɢɬɟ ɩɪɢ ɨɞɡɟɦɚʃɟɬɨ ɧɚ Ʉɥɟɦɟɧɬɢɧɚ ±

Ⱦɚɥɢ ɝɢ ɡɚɩɢɲɚɜ ɛɪɨɟɜɢɬɟ ɟɞɟɧ ɩɨɞ ɞɪɭɝ"

Ʉɥɟɦɟɧɬɢɧɚ 5 ɇɚʁɞɢ ɝɢ ɪɚɡɥɢɤɢɬɟ ɨɬɤɚɤɨ ʅɟ ɝɢ ɩɨɞɪɟɞɢɲ ɛɪɨɟɜɢɬɟ ɟɞɟɧ ɩɨɞ ɞɪɭɝ a) ± ±

ɛ ± ±

ɜ ± ±

6 Ƚɪɭɩɚ ɬɭɪɢɫɬɢ ɡɚ ɬɪɢ ɞɟɧɚ ɢɡɦɢɧɚɥɚ NP ɉɪɜɢɨɬ ɞɟɧ ɢɡɦɢɧɚɥɚ NP ɜɬɨɪɢɨɬ ɞɟɧ ɡɚ NP ɩɨɦɚɥɤɭ ɨɞ ɩɪɜɢɨɬ ɞɟɧ Ʉɨɥɤɭ ɤɢɥɨɦɟɬɪɢ ɢɡɦɢɧɚɥɚ ɝɪɭɩɚɬɚ ɬɭɪɢɫɬɢ ɬɪɟɬɢɨɬ ɞɟɧ" 7 ɋɨɫɬɚɜɢ ɡɚɞɚɱɚ ɫɩɨɪɟɞ ɩɨɞɚɬɨɰɢɬɟ ɢ ɪɟɲɢ ʁɚ ɍɱɟɛɧɢɰɢ Ɍɟɬɪɚɬɤɢ

СОБИРАЊЕ И ОДЗЕМАЊЕ 1 ɉɪɨɜɟɪɢ ɞɚɥɢ ȼɥɚɞɨ ɩɪɚɜɢɥɧɨ ɩɪɟɫɦɟɬɚɥ ȼɨɨɱɢ ʁɚ ɜɪɫɤɚɬɚ ɧɚ ɫɨɛɢɪɚʃɟɬɨ ɫɨ ɨɞɡɟɦɚʃɟɬɨ

ȼɥɚɞɨ 2 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɝɢ ɪɚɡɥɢɤɢɬɟ ɢ ɧɚɩɪɚɜɢ ɩɪɨɜɟɪɤɚ ɫɨ ɫɨɛɢɪɚʃɟ ±

3 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɚ ± ɛ ± ɜ ± 4 ɉɪɨɰɟɧɢ ɝɢ ɪɚɡɥɢɤɢɬɟ ɚ ɩɨɬɨɚ ɩɪɟɫɦɟɬɚʁ ɝɢ ɉɪɨɰɟɧɤɚ ±

ɉɪɟɫɦɟɬɤɚ ±

5 ɋɤɢʁɚɱɨɬ ɢɡɦɢɧɚɥ P ɡɚ ɱɚɫɚ ɉɪɜɢɨɬ ɱɚɫ ɩɨɦɢɧɚɥ P ɲɬɨ ɟ ɡɚ P ɩɨɦɚɥɤɭ ɨɞ ɢɡɦɢɧɚɬɢɨɬ ɩɚɬ ɜɨ ɜɬɨɪɢɨɬ ɱɚɫ Ʉɨɥɤɭ ɦɟɬɪɢ ɢɡɦɢɧɚɥ ɜɨ ɬɪɟɬɢɨɬ ɱɚɫ" 6 ɋɨɫɬɚɜɢ ɡɚɞɚɱɚ ɫɩɨɪɟɞ ɩɨɞɚɬɨɰɢɬɟ ɉɪɜɚ ɫɟɞɦɢɰɚ ȼɬɨɪɚ ɫɟɞɦɢɰɚ Ɍɪɟɬɚ ɫɟɞɦɢɰɚ

ɡɚ ɩɨɜɟʅɟ ɨɞ ɡɚ ɩɨɦɚɥɤɭ ɨɞ

СОБИРАЊЕ НА БРОЕВИТЕ ДО 1 000 000 СО ПРЕМИН ВО КЛАСАТА НА ЕДИНИЦИТЕ 1 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɝɢ ɡɛɢɪɨɜɢɬɟ ɋɩɨɪɟɞɢ ɝɢ ɩɚɪɨɜɢɬɟ ɨɞ ɡɚɞɚɱɢ ɢ ɨɛʁɚɫɧɢ ɤɚɤɨ ɝɢ ɢɡɜɪɲɢ ɩɪɟɫɦɟɬɭɜɚʃɚɬɚ

ɉɨɜɟʅɟɰɢɮɪɟɧɢɬɟ ɛɪɨɟɜɢ ɫɟ ɫɨɛɢɪɚɚɬ ɤɚɤɨ ɬɪɢɰɢɮɪɟɧɢɬɟ

2 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɝɢ ɡɛɢɪɨɜɢɬɟ

3 ɉɨɩɨɥɧɢ ɝɢ ɬɚɛɟɥɢɬɟ ɜɨ ɫɜɨʁɚɬɚ ɬɟɬɪɚɬɤɚ

4 Ʉɨɪɢɫɬɟʁʅɢ ɝɢ ɫɜɨʁɫɬɜɚɬɚ ɧɚ ɫɨɛɢɪɚʃɟɬɨ ɩɪɟɫɦɟɬɚʁ ɧɚ ɧɚʁɥɟɫɟɧ ɧɚɱɢɧ ɚ

5 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɝɨ ɡɛɢɪɨɬ ɧɚ ɛɪɨɟɜɢɬɟ ɚ ɝ

ɛ ɞ

ɜ ɼ

6 Ʉɨʁ ɛɪɨʁ ɬɪɟɛɚ ɞɚ ɝɨ ɞɨɞɚɞɟɲ ɧɚ ɛɪɨʁɨɬ ɡɚ ɞɚ ɢɦɚ ɚ ɟɞɟɧ ɩɪɟɦɢɧ ɜɨ ɤɥɚɫɚɬɚ ɧɚ ɟɞɢɧɢɰɢɬɟ ɛ ɞɜɚ ɩɪɟɦɢɧɢ ɜɨ ɤɥɚɫɚɬɚ ɧɚ ɟɞɢɧɢɰɢɬɟ" 7 ɋɨɛɟɪɢ ɝɢ ɜɢɫɢɧɢɬɟ ɧɚ ɧɚɜɟɞɟɧɢɬɟ ɩɥɚɧɢɧɢ ɡɚ ɞɚ ɨɬɤɪɢɟɲ ɤɨɥɤɚɜɚ ɟ ɜɢɫɢɧɚɬɚ ɧɚ ɏɢɦɚɥɚɢɬɟ ȴɭɛɨɬɟɧ P Ɍɢɬɨɜ ɜɪɜ P ɋɨɥɭɧɫɤɚ ɝɥɚɜɚ P Ʉɪɫɬɨɜɜɪɜ ȼɨɞɧɨ P 39

ОДЗЕМАЊЕ НА БРОЕВИТЕ ДО 1 000 000 СО ПРЕМИН ВО КЛАСАТА НА ЕДИНИЦИТЕ 1 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɝɢ ɪɚɡɥɢɤɢɬɟ ɋɩɨɪɟɞɢ ɝɢ ɩɚɪɨɜɢɬɟ ɨɞ ɡɚɞɚɱɢ ɢ ɨɛʁɚɫɧɢ ɤɚɤɨ ɝɢ ɢɡɜɪɲɢ ɩɪɟɫɦɟɬɭɜɚʃɚɬɚ –

–

ɉɨɜɟʅɟɰɢɮɪɟɧɢɬɟ ɛɪɨɟɜɢ ɫɟ ɨɞɡɟɦɚɚɬ ɤɚɤɨ ɬɪɢɰɢɮɪɟɧɢɬɟ

2 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɝɢ ɪɚɡɥɢɤɢɬɟ

–

3 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɝɢ ɪɚɡɥɢɤɢɬɟ ɡɚ ɞɚ ɨɬɤɪɢɟɲ ɤɨɥɤɭ ɦɟɬɪɢ ɫɟ ɨɞɞɚɥɟɱɟɧɢ ɨɞ ɋɤɨɩʁɟ ɝɪɚɞɨɜɢɬɟ ɉɪɟɬɜɨɪɢ ɜɨ ɤɢɥɨɦɟɬɪɢ ɋɨɥɭɧ –

Ɍɢɪɚɧɚ –

Ȼɟɥɝɪɚɞ

–

ɋɨɮɢʁɚ –

4 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ a)

–

ɛ –

ɝ ɉɪɨɦɟɧɢ ɝɨ ɧɚɦɚɥɟɧɢɤɨɬ ɡɚ ɞɚ ɢɦɚ ɞɜɚ ɩɪɟɦɢɧD ɜɨ ɤɥɚɫɚɬɚ ɧɚ ɟɞɢɧɢɰɢɬɟ ɞ ɉɪɨɦɟɧɢ ɝɨ ɧɚɦɚɥɢɬɟɥɨɬ ɡɚ ɞɚ ɢɦɚ ɞɜɚ ɩɪɟɦɢɧD ɜɨ ɤɥɚɫɚɬɚ ɧɚ ɟɞɢɧɢɰɢɬɟ 5 ȼɨ ɥɟɬɧɚɬɚ ɫɟɡɨɧɚ ɢɦɚɥɨ ɫɬɪɚɧɫɤɢ ɬɭɪɢɫɬɢ ɩɨɦɚɥɤɭ ɨɞ ɞɨɦɚɲɧɢ ɬɭɪɢɫɬɢ Ɉɞ ɫɢɬɟ ɬɭɪɢɫɬɢ ɛɢɥɟ ɞɟɰɚ ɚ Ʉɨʁ ɩɨɞɚɬɨɤ ɧɟɞɨɫɬɚɫɭɜɚ ɚɤɨ ɩɪɚɲɚʃɟɬɨ ɜɨ ɡɚɞɚɱɚɬɚ ɟ ÄɄɨɥɤɭ ɛɢɥɟ ɜɨɡɪɚɫɧɢ ɩɨɜɟʅɟ ɨɞ ɞɟɰɚ" ´ ɛ Ⱦɨɩɨɥɧɢ ɝɢ ɩɨɞɚɬɨɰɢɬɟ ɢ ɪɟɲɢ ʁɚ ɡɚɞɚɱɚɬɚ

СОБИРАЊЕ И ОДЗЕМАЊЕ 1 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɢ ɩɨɩɨɥɧɢ ɜɨ ɫɜɨʁɚɬɚ ɬɟɬɪɚɬɤɚ 2 400 1 400 3 500

8 800

400

6 600 2 200

6 400

5 200

2 100 3 200 1 200 3 000

4 100

2 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɢ ɨɬɤɪɢʁ ɦɟɼɭ ɤɨɢ ɛɪɨɟɜɢ ɟ ɞɨɛɢɟɧɢɨɬ ɪɟɡɭɥɬɚɬ ±

348 168

501 205

3 ɉɨɩɨɥɧɢ ɝɢ ɬɚɛɥɢɰɢɬɟ ɜɨ ɫɜɨʁɚɬɚ ɬɟɬɪɚɬɤɚ ɋɨɛɢɪɨɤ

25 438 ɇɚɦɚɥɟɧɢɤ

ɋɨɛɢɪɨɤ 663 122 ɇɚɦɚɥɢɬɟɥ Ɂɛɢɪ Ɋɚɡɥɢɤɚ

4 ɂɡɛɟɪɢ ɬɪɢ ɛɪɨɟɜɢ ɡɚ ɞɚ ɛɢɞɟ ɬɨɱɧɨ ɚ

10 562 16 415 = 18 646 4 283

15 812 13 008 = 4 045 5 685

5 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɚ ±

ɜ ±

ɛ ± ɝ ± ɼ ± ±

6 ɒɬɢɩ ɢɦɚ ɠɢɬɟɥɢ ɲɬɨ ɟ ɡɚ ɩɨɜɟʅɟ ɨɞ ɛɪɨʁɨɬ ɧɚ ɠɢɬɟɥɢ ɧɚ Ʉɢɱɟɜɨ Ʉɨɥɤɭ ɠɢɬɟɥɢ ɢɦɚ Ɍɟɬɨɜɨ ɚɤɨ ɢɦɚ ɠɢɬɟɥɢ ɩɨɜɟʅɟ ɨɞ Ʉɢɱɟɜɨ" 7 ɋɨɫɬɚɜɢ ɡɚɞɚɱɚ ɫɩɨɪɟɞ ɩɨɞɚɬɨɰɢɬɟ ɢ ɪɟɲɢ ʁɚ Ⱥɜɬɨɦɨɛɢɥɢ Ʉɚɦɢɨɧɢ

258 630 43 520 41

СОБИРАЊЕ НА БРОЕВИТЕ ДО 1 000 000 СО ПРЕМИН ОД КЛАСАТА НА ЕДИНИЦИТЕ ВО КЛАСАТА НА ИЛЈАДИТЕ 1 ɉɨɩɨɥɧɢ ɚ Ⱦɂ ɂ ɋ Ⱦ ȿ Ⱦɂ ɂ ɋ Ⱦ ȿ ɛ ɂ ɋ Ⱦ ȿ ɋɂ Ⱦɂ ɂ ɋ Ⱦ ȿ 2 ɇɚʁɞɢ ɝɢ ɡɛɢɪɨɜɢɬɟ

Ɂɚɩɢɲɭɜɚɦɟ

ɢɥɢ

3 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ

4 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɝɢ ɡɛɢɪɨɜɢɬɟ ɜɨ ɫɜɨʁɚɬɚ ɬɟɬɪɚɬɤɚ

5 Ɂɛɢɪɨɬ ɧɚ ɛɪɨɟɜɢɬɟ ɢ ɡɝɨɥɟɦɢ ɝɨ ɡɚ Ʉɨʁ ɛɪɨʁ ɝɨ ɞɨɛɢ" 6 ȼɨ ɬɚɛɟɥɚɬɚ ɫɟ ɞɚɞɟɧɢ ɝɨɞɢɲɧɢɬɟ ɬɪɨɲɨɰɢ ɧɚ ɫɟɦɟʁɫɬɜɨɬɨ Ɇɢɪɨɜɢ ɡɚ ɩɚɪɧɨ ɫɬɪɭʁɚ ɜɨɞɚ ɢ ɬɟɥɟɮɨɧ ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɝɨ ɜɤɭɩɧɢɨɬ ɝɨɞɢɲɟɧ ɬɪɨɲɨɤ ɧɚ ɫɟɦɟʁɫɬɜɨɬɨ ɩɨ ɧɚɜɟɞɟɧɢɬɟ ɫɬɚɜɤɢ

ɉɚɪɧɨ ɋɬɪɭʁɚ ȼɨɞɚ Ɍɟɥɟɮɨɧ

ОДЗЕМАЊЕ НА БРОЕВИТЕ ДО 1 000 000 СО ПРЕМИН ОД КЛАСАТА НА ИЛЈАДИТЕ ВО КЛАСАТА НА ЕДИНИЦИТЕ 1 ɉɨɩɨɥɧɢ ɋɂ Ⱦɂ ɂ ɋ Ⱦ ȿ Ⱦɂ ɂ ɋ Ⱦ ȿ ɋɂ Ⱦɂ ɂ ɋ Ⱦ ȿ 2 ɇɚʁɞɢ ɝɢ ɪɚɡɥɢɤɢɬɟ ±

Ɂɚɩɢɲɭɜɚɦɟ

ɢɥɢ ±

3 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ±

4 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɝɢ ɪɚɡɥɢɤɢɬɟ ± ±

± ±

5 Ɉɞ ɛɪɨʁɨɬ ɨɞɡɟɦɢ ʁɚ ɪɚɡɥɢɤɚɬɚ ɧɚ ɛɪɨʁɨɬ ɫɨ ɛɪɨʁɨɬ 6 Ɍɪɨɲɨɰɢɬɟ ɧɚ ɟɞɟɧ ɮɭɞɛɚɥɫɤɢ ɤɥɭɛ ɫɟ ɞɟɧɚɪɢ Ɂɚ ɧɚɛɚɜɤɚ ɧɚ ɧɨɜɢ ɞɪɟɫɨɜɢ ɫɟ ɩɨɬɪɨɲɟɧɢ ɞɟɧɚɪɢ Ʉɨɥɤɚɜɢ ɫɟ ɨɫɬɚɧɚɬɢɬɟ ɬɪɨɲɨɰɢ ɧɚ ɤɥɭɛɨɬ" 7 Ɂɚ ɨɩɪɟɦɭɜɚʃɟ ɧɚ ɤɨɦɩʁɭɬɟɪɫɤɚɬɚ ɭɱɢɥɧɢɰɚ ɜɨ ɟɞɧɨ ɭɱɢɥɢɲɬɟ ɩɨɬɪɨɲɟɧɢ ɫɟ ɞɟɧɚɪɢ ɡɚ ɤɨɦɩʁɭɬɟɪɢ ɲɬɨ ɟ ɡɚ ɞɟɧɚɪɢ ɩɨɜɟʅɟ ɨɬɤɨɥɤɭ ɡɚ ɩɪɢɧɬɟɪɢ Ɇɨɧɢɬɨɪɢɬɟ ɫɟ ɡɚ ɞɟɧɚɪɢ ɩɨɟɮɬɢɧɢ ɨɞ ɩɪɢɧɬɟɪɢɬɟ Ʉɨɥɤɭ ɞɟɧɚɪɢ ɩɨɬɪɨɲɢɥɨ ɭɱɢɥɢɲɬɟɬɨ ɡɚ ɦɨɧɢɬɨɪɢɬɟ"

СОБИРАЊЕ И ОДЗЕМАЊЕ 1 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɝɢ ɡɛɢɪɨɜɢɬɟ ɢ ɪɚɡɥɢɤɢɬɟ +

2 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɢ ɩɨɩɨɥɧɢ ɜɨ ɫɜɨʁɚɬɚ ɬɟɬɪɚɬɤɚ

3 Ɉɬɤɪɢʁ ɝɢ ɝɪɟɲɤɢɬɟ ɨɛʁɚɫɧɢ ɝɢ ɢ ɢɫɩɪɚɜɢ ɝɢ +

4 ɋɩɨɪɟɞɢ ɝɢ ɛɪɨɟɜɢɬɟ ɜɨ ɫɜɨʁɚɬɚ ɬɟɬɪɚɬɤɚ

5 ɋɨɫɬɚɜɢ ɡɚɞɚɱɢ ɫɨ ɫɨɛɢɪɚʃɟ ɢ ɨɞɡɟɦɚʃɟ

± 6 ɚ Ʉɨɧ ɪɚɡɥɢɤɚɬɚ ɧɚ ɛɪɨʁɨɬ ɫɨ ɛɪɨʁɨɬ ɞɨɞɚʁ ɝɨ ɛɪɨʁɨɬ ɛ Ɉɞ ɡɛɢɪɨɬ ɧɚ ɛɪɨɟɜɢɬɟ ɢ ɨɞɡɟɦɢ ɝɨ ɛɪɨʁɨɬ

7 ɋɨɫɬɚɜɢ ɡɚɞɚɱɚ ɫɩɨɪɟɞ ɫɥɢɤɚɬɚ ɢ ɪɟɲɢ ʁɚ ɞɟɧɚɪɢ 44

ɞɟɧɚɪɢ

СОБИРАЊЕ НА БРОЕВИТЕ ДО 1 000 000 СО ПРЕМИН ВО КЛАСАТА НА ИЛЈАДИТЕ 1 Ⱦɨɩɨɥɧɢ ɜɨ ɫɜɨʁɚɬɚ ɬɟɬɪɚɬɤɚ ɡɚ ɞɚ ɛɢɞɟ ɬɨɱɧɨ ɂ ɂ ɂ Ⱦɂ ɂ Ⱦɂ Ⱦɂ Ⱦɂ ɋɂ Ⱦɂ 2 Ɉɛʁɚɫɧɢ ɤɚɤɨ ɫɟ ɢɡɜɪɲɟɧɢ ɩɪɟɫɦɟɬɭɜɚʃɚɬɚ

473

ȳɚɫ ɭɦɟɚɦ ɞɚ ɫɨɛɢɪɚɦ ɩɨɜɟʅɟɰɢɮɪɟɧɢ ɛɪɨɟɜɢ

3 ɉɪɨɜɟɪɢ ɞɚɥɢ Ⱥɪɢɬɨɧ ɢ Ȼɨʁɚɧ ɩɪɚɜɢɥɧɨ ɩɪɟɫɦɟɬɭɜɚɚɬ

Ȼɨʁɚɧ

1 4

6 0

СИ Ⱥɪɢɬɨɧ

1 4

0 7

4 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɝɢ ɡɛɢɪɨɜɢɬɟ

5 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɝɢ ɡɛɢɪɨɜɢɬɟ ɨɬɤɚɤɨ ɩɪɟɬɯɨɞɧɨ ʅɟ ɝɢ ɩɪɨɰɟɧɢɲ ɚ ɛ ɜ 6 Ɂɛɢɪɨɬ ɧɚ ɛɪɨɟɜɢɬɟ ɢ ɡɝɨɥɟɦɢ ɝɨ ɡɚ 7 ȼɨ ɟɞɟɧ ɧɚɰɢɨɧɚɥɟɧ ɩɚɪɤ ɢɦɚ ɦɟɱɤɢ Ɍɢɟ ɫɟ ɡɚ ɩɨɦɚɥɤɭ ɨɞ ɞɢɜɢ ɤɨɡɢ ɋɪɧɢɬɟ ɫɟ ɡɚ ɩɨɜɟʅɟ ɨɞ ɞɢɜɢɬɟ ɤɨɡɢ ɉɨɫɬɚɜɢ ɩɪɚɲɚʃɟ ɢ ɨɞɝɨɜɨɪɢ 45

ОДЗЕМАЊЕ НА БРОЕВИТЕ ДО 1 000 000 СО ПРЕМИН ВО КЛАСАТА НА ИЛЈАДИТЕ 1 Ɉɛʁɚɫɧɢ ɤɚɤɨ ɫɟ ɢɡɜɪɲɟɧɢ ɩɪɟɫɦɟɬɭɜɚʃɚɬɚ –

–

637 292 345 735 346 389

–

521 418 59 249

–

ȳɚɫ ɭɦɟɚɦ ɞɚ ɨɞɡɟɦɚɦ ɩɨɜɟʅɟɰɢɮɪɟɧɢ ɛɪɨɟɜɢ

2 Ɋɚɡɝɥɟɞɚʁ ɢ ɭɬɜɪɞɢ ɞɚɥɢ ȿɥɟɧɚ ɢ ɂɝɨɪ ɩɪɚɜɢɥɧɨ ɩɪɟɫɦɟɬɚɥɟ

1 1

1 2 1

13 3 6 5

ȿɥɟɧɚ

СИ 8 4 4

9 5 4

4 4 2 2

ɂɝɨɪ

6 7 4 2

18 8 9 7

3 1 2

8 7 1

4 2 2

3 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɝɢ ɪɚɡɥɢɤɢɬɟ ɢ ɧɚɩɪɚɜɢ ɩɪɨɜɟɪɤɚ ɫɨ ɫɨɛɢɪɚʃɟ –

– +

4 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɚ ± ±

ɛ ± ±

ɜ ± ±

5 Ɋɟɤɚɬɚ ȼɨɥɝɚ ɟ ɞɨɥɝɚ ɤɦ ɢ ɟ ɡɚ ɤɦ ɩɨɞɨɥɝɚ ɨɞ ɪɟɤɚɬɚ Ⱦɭɧɚɜ Ʉɨɥɤɭ ɟ ɞɨɥɝɚ ɪɟɤɚɬɚ Ⱦɭɧɚɜ" 6 ɋɨɫɬɚɜɢ ɡɚɞɚɱɚ ɫɩɨɪɟɞ ɩɨɞɚɬɨɰɢɬɟ ɢ ɪɟɲɢ ʁɚ , ɞɟɧ ɫɬɪɚɧɢɰɢ ,, ɞɟɧ ɫɬɪɚɧɢɰɢ ɩɨɦɚɥɤɭ ɨɞ ,,, ɞɟɧ ɫɬɪɚɧɢɰɢ ɩɨɦɚɥɤɭ ɨɞ

СОБИРАЊЕ И ОДЗЕМАЊЕ 1 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɢ ɩɨɩɨɥɧɢ ɜɨ ɫɜɨʁɚɬɚ ɬɟɬɪɚɬɤɚ

2 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɝɢ ɡɛɢɪɨɜɢɬɟ ɧɚ ɛɪɨɟɜɢɬɟ ɡɚɩɢɲɚɧɢ ɧɚ ɫɟɤɨʁɚ ɨɞ ɬɚɛɥɢɬɟ ɉɨɬɨɚ ɧɚʁɞɢ ʁɚ ɪɚɡɥɢɤɚɬɚ ɧɚ ɩɨɝɨɥɟɦɢɨɬ ɞɨɛɢɟɧ ɡɛɢɪ ɫɨ ɩɨɦɚɥɢɨɬ ɡɛɢɪ

3 Ʉɨɢ ɛɪɨɟɜɢ ɬɪɟɛɚ ɞɚ ɫɬɨʁɚɬ ɧɚ ɦɟɫɬɨɬɨ ɧɚ ɾɜɟɡɞɢɱɤɢɬɟ ɡɚ ɞɚ ɛɢɞɟ ɬɨɱɧɨ"

4 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ± ±

5 ɚ Ⱥɤɨ ɡɧɚɟɲ ɞɟɤɚ ± ɩɪɟɫɦɟɬɚʁ ±

± ±

ɛ Ⱥɤɨ ɡɧɚɟɲ ɞɟɤɚ ɩɪɟɫɦɟɬɚʁ ± ±

± ±

6 ȼɨ ɟɞɧɚ ɛɢɛɥɢɨɬɟɤɚ ɢɦɚ ɤɧɢɝɢ Ɉɞ ɧɢɜ ɫɟ ɫɬɢɯɨɡɛɢɪɤɢ ɩɨɜɟʅɟ ɨɞ ɫɬɢɯɨɡɛɢɪɤɢ ɫɟ ɪɚɫɤɚɡɢ ɚ ɨɫɬɚɧɚɬɢɬɟ ɫɟ ɪɨɦɚɧɢ Ʉɨɥɤɭ ɪɨɦɚɧɢ ɢɦɚ ɜɨ ɛɢɛɥɢɨɬɟɤɚɬɚ" 7 ɋɨɫɬɚɜɢ ɡɚɞɚɱɚ ɫɩɨɪɟɞ ɰɪɬɟɠɨɬ ɢ ɪɟɲɢ ʁɚ ɩɚɪɱɢʃɚ ɩɚɪɱɢʃɚ ɩɚɪɱɢʃɚ 47

СОБИРАЊЕ НА БРОЕВИТЕ ДО 1 000 000 СО ПРЕМИН ВО КЛАСАТА НА ЕДИНИЦИТЕ И ВО КЛАСАТА НА ИЛЈАДИТЕ 1 Ⱦɨɩɨɥɧɢ ɜɨ ɫɜɨʁɚɬɚ ɬɟɬɪɚɬɤɚ Ⱦɂ ɋɂ

ɋɂ

2 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ

Ɂɚɩɢɲɭɜɚɦɟ

СИ 3

ɢɥɢ

3 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɝɢ ɡɛɢɪɨɜɢɬɟ

4 ɉɨɩɨɥɧɢ ʁɚ ɬɚɛɟɥɚɬɚ ɜɨ ɫɜɨʁɚɬɚ ɬɟɬɪɚɬɤɚ ɋɨɛɢɪɨɤ ɋɨɛɢɪɨɤ ɋɨɛɢɪɨɤ Ɂɛɢɪ

5 Ɂɚ ɟɞɧɚ ɧɨʅ ɩɟɱɚɬɧɢɰɚɬɚ ɨɬɩɟɱɚɬɭɜɚ ɛɪɨɟɜɢ ɧɚɰɢɨɧɚɥɟɧ ɜɟɫɧɢɤ ɡɚ ɩɨɦɚɥɤɭ ɪɟɝɢɨɧɚɥɟɧ ɜɟɫɧɢɤ ɚ ɨɩɲɬɢɧɫɤɢ ɜɟɫɧɢɤ ɡɚ ɩɨɦɚɥɤɭ ɨɞ ɪɟɝɢɨɧɚɥɟɧ Ʉɨɥɤɭ ɜɤɭɩɧɨ ɜɟɫɧɢɰɢ ɨɬɩɟɱɚɬɭɜɚ ɩɟɱɚɬɧɢɰɚɬɚ ɡɚ ɟɞɧɚ ɧɨʅ" 6 ɋɨ ɩɨɞɚɬɨɰɢɬɟ ɜɨ ɬɚɛɟɥɚɬɚ ɫɨɫɬɚɜɢ ɡɚɞɚɱɚ ɢ ɪɟɲɢ ʁɚ ɉɨɬɨɚ ɩɨɩɨɥɧɢ ʁɚ ɬɚɛɟɥɚɬɚ ɜɨ ɫɜɨʁɚɬɚ ɬɟɬɪɚɬɤɚ 48

ɝɨɞ ɝɨɞ Ʉɧɢɝɢ ɍɱɟɛɧɢɰɢ ȼɤɭɩɧɨ

ОДЗЕМАЊЕ НА БРОЕВИТЕ ДО 1 000 000 СО ПРЕМИН ВО КЛАСАТА НА ЕДИНИЦИТЕ И ВО КЛАСАТА НА ИЛЈАДИТЕ 1 Ⱦɨɩɨɥɧɢ ɜɨ ɫɜɨʁɚɬɚ ɬɟɬɪɚɬɤɚ ɂ Ⱦɂ

2 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ –

–

Ɂɚɩɢɲɭɜɚɦɟ

–

ɢɥɢ

3 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɝɢ ɪɚɡɥɢɤɢɬɟ –

–

4 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɝɢ ɪɚɡɥɢɤɢɬɟ ɢ ɩɨɞɪɟɞɢ ɝɢ ɩɨɱɧɭɜɚʁʅɢ ɨɞ ɧɚʁɝɨɥɟɦɚɬɚ ɡɚ ɞɚ ɝɨ ɨɬɤɪɢɟɲ ɢɦɟɬɨ ɧɚ ɟɞɟɧ ɝɪɚɞ ɜɨ Ɇɚɤɟɞɨɧɢʁɚ –

–

5 Ȼɪɨʁɨɬ ɧɚɦɚɥɢ ɝɨ ɡɚ ɪɚɡɥɢɤɚɬɚ ɧɚ ɛɪɨʁɨɬ ɫɨ ɛɪɨʁɨɬ Ʉɨʁ ɛɪɨʁ ɝɨ ɞɨɛɢ" 6 ȿɞɧɚ ɮɚɛɪɢɤɚ ɩɪɨɢɡɜɟɥɚ ɩɚɪɚ ɦɚɲɤɢ ɨɛɭɜɤɢ ɢ ɩɚɪɚ ɠɟɧɫɤɢ ɨɛɭɜɤɢ Ⱦɟɬɫɤɢ ɨɛɭɜɤɢ ɩɪɨɢɡɜɟɥɚ ɡɚ ɩɨɦɚɥɤɭ ɨɞ ɦɚɲɤɢ ɢ ɠɟɧɫɤɢ ɨɛɭɜɤɢ ɡɚɟɞɧɨ Ʉɨɥɤɭ ɩɚɪɚ ɱɟɜɥɢ ɜɤɭɩɧɨ ɩɪɨɢɡɜɟɥɚ ɮɚɛɪɢɤɚɬɚ" 7 ɋɨɫɬɚɜɢ ɡɚɞɚɱɚ ɫɩɨɪɟɞ ɰɪɬɟɠɨɬ ɢ ɪɟɲɢ ʁɚ

СОБИРАЊЕ И ОДЗЕМАЊЕ 1 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ±

2 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɧɚ ɧɚʁɥɟɫɟɧ ɧɚɱɢɧ ɚ ɛ ɜ 3 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɚ ±

ɛ ±

ɜ ±

ɝ ±

ɞ ±

ɼ ±

4 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɢ ɩɨɩɨɥɧɢ ɜɨ ɫɜɨʁɚɬɚ ɬɟɬɪɚɬɤɚ

± ± 5 Ɋɟɲɢ ɝɢ ɡɚɞɚɱɢɬɟ ɢ ɫɩɨɪɟɞɢ ɝɢ ɚ ȼɨ ɭɱɢɥɢɲɧɚɬɚ ɛɢɛɥɢɨɬɟɤɚ ɢɦɚ ɭɱɟɛɧɢɰɢ ɢ ɥɟɤɬɢɪɢ ɩɨɜɟʅɟ ɨɞ ɭɱɟɛɧɢɰɢ Ʉɨɥɤɭ ɜɤɭɩɧɨ ɤɧɢɝɢ ɢɦɚ ɜɨ ɭɱɢɥɢɲɧɚɬɚ ɛɢɛɥɢɨɬɟɤɚ"

ɛ ȼɨ ɭɱɢɥɢɲɧɚɬɚ ɛɢɛɥɢɨɬɟɤɚ ɢɦɚ ɤɧɢɝɢ Ɉɞ ɧɢɜ ɫɟ ɭɱɟɛɧɢɰɢ ɚ ɨɫɬɚɧɚɬɢɬɟ ɫɟ ɥɟɤɬɢɪɢ Ʉɨɥɤɭ ɥɟɤɬɢɪɢ ɩɨɜɟʅɟ ɨɞ ɭɱɟɛɧɢɰɢ ɢɦɚ ɜɨ ɭɱɢɥɢɲɧɚɬɚ ɛɢɛɥɢɨɬɟɤɚ" Ⱦɚɞɟɧɨɬɨ ɜɨ ɩɪɜɚɬɚ ɡɚɞɚɱɚ ɫɟ ɛɚɪɚ ɜɨ ɜɬɨɪɚɬɚ ɡɚɞɚɱɚ

ЗАВИСНОСТ НА ЗБИРОТ ОД СОБИРОЦИТЕ 1 Ɋɚɡɝɥɟɞɚʁ ɢ ɨɛʁɚɫɧɢ ɤɚɤɨ ɪɚɫɭɞɭɜɚɚɬ ɂɝɨɪ ɢ ȿɜɚ ± ±

Ⱥɤɨ ɟɞɟɧ ɨɞ ɫɨɛɢɪɨɰɢɬɟ ɫɟ ɡɝɨɥɟɦɢ ɡɚ ɧɟɤɨʁ ɛɪɨʁ ɬɨɝɚɲ ɢ ɡɛɢɪɨɬ ʅɟ ɫɟ ɡɝɨɥɟɦɢ ɡɚ ɬɨʁ ɛɪɨʁ

Ɂɛɢɪɨɬ ɫɟ ɡɝɨɥɟɦɢ ɡɚ ɛɢɞɟʁʅɢ ɟɞɧɢɨɬ ɫɨɛɢɪɨɤ ɫɟ ɡɝɨɥɟɦɢ ɡɚ Ɂɛɢɪɨɬ ɫɟ ɧɚɦɚɥɢ ɡɚ ɛɢɞɟʁʅɢ ɟɞɧɢɨɬ ɫɨɛɢɪɨɤ ɫɟ ɧɚɦɚɥɢ ɡɚ

Ⱥɤɨ ɟɞɟɧ ɨɞ ɫɨɛɢɪɨɰɢɬɟ ɫɟ ɧɚɦɚɥɢ ɡɚ ɧɟɤɨʁ ɛɪɨʁ ɬɨɝɚɲ ɢ ɡɛɢɪɨɬ ʅɟ ɫɟ ɧɚɦɚɥɢ ɡɚ ɬɨʁ ɛɪɨʁ

2 ɋɨ ɩɨɦɨɲ ɧɚ ɫɜɨʁɫɬɜɚɬɚ ɨɞɝɨɜɨɪɢ ɧɚ ɫɥɟɞɧɢɜɟ ɩɪɚɲɚʃɚ ɚ Ʉɚɤɨ ʅɟ ɫɟ ɩɪɨɦɟɧɢ ɡɛɢɪɨɬ ɧɚ ɞɜɚ ɛɪɨʁɚ ɚɤɨ ɟɞɧɢɨɬ ɫɨɛɢɪɨɤ ɫɟ ɡɝɨɥɟɦɢ ɡɚ " ɛ Ʉɚɤɨ ʅɟ ɫɟ ɩɪɨɦɟɧɢ ɡɛɢɪɨɬ ɧɚ ɞɜɚ ɛɪɨʁɚ ɚɤɨ ɟɞɧɢɨɬ ɫɨɛɢɪɨɤ ɫɟ ɧɚɦɚɥɢ ɡɚ " 3 ɋɨ ɩɪɢɦɟɧɚ ɧɚ ɫɜɨʁɫɬɜɚɬɚ ɧɚʁɞɢ ʁɚ ɜɪɟɞɧɨɫɬɚ ɧɚ ɢɡɪɚɡɨɬ ɛɟɡ ɩɪɟɫɦɟɬɭɜɚʃɟ ɚɤɨ ɡɧɚɟɲ ɞɟɤɚ ɚ ɛ ± ɜ ɝ ± 4 Ɂɛɢɪɨɬ ɧɚ ɞɜɚ ɛɪɨʁɚ ɟ Ʉɨɥɤɚɜ ʅɟ ɛɢɞɟ ɡɛɢɪɨɬ ɚɤɨ ɟɞɟɧ ɨɞ ɫɨɛɢɪɨɰɢɬɟ ɚ ɫɟ ɡɝɨɥɟɦɢ ɡɚ " ɛ ɫɟ ɧɚɦɚɥɢ ɡɚ " 5 ȼɨ ɟɞɧɚ ɞɜɨɤɚɬɧɚ ɤɧɢɠɚɪɧɢɰɚ ɢɦɚ ɤɧɢɝɢ ɇɚ ɩɪɜɢɨɬ ɤɚɬ ɫɟ ɞɨɧɟɫɟɧɢ ɤɧɢɝɢ ɚ ɨɞ ɜɬɨɪɢɨɬ ɤɚɬ ɫɟ ɩɪɨɞɚɞɟɧɢ ɤɧɢɝɢ Ɂɚ ɤɨɥɤɭ ɫɟ ɩɪɨɦɟɧɢɥ ɜɤɭɩɧɢɨɬ ɛɪɨʁ ɧɚ ɤɧɢɝɢ ɜɨ ɤɧɢɠɚɪɧɢɰɚɬɚ" 6 Ⱦɜɟɫɬɟ ɨɫɭɦɞɟɫɟɬ ɢ ɩɟɬ ɞɟɰɚ ɡɚɟɞɧɨ ɢɦɚɚɬ ɝɨɞɢɧɢ Ʉɨɥɤɭ ɝɨɞɢɧɢ ʅɟ ɢɦɚɚɬ ɡɚɟɞɧɨ ɩɨ ɟɞɧɚ ɝɨɞɢɧɚ" 51

7 Ɋɚɡɝɥɟɞɚʁ ɝɢ ɩɪɟɫɦɟɬɭɜɚʃɚɬɚ ɧɚ Ⱥɞɧɚɧ

Ɉɜɚ ɜɨɨɩɲɬɨ ɧɟ ɦɨɪɚɜ ɞɚ ɝɨ ɩɪɟɫɦɟɬɭɜɚɦ

± ±

Ɂɛɢɪɨɬ ɧɚ ɞɜɚ ɛɪɨʁɚ ɧɟ ɫɟ ɦɟɧɭɜɚ ɚɤɨ ɟɞɧɢɨɬ ɫɨɛɢɪɨɤ ɫɟ ɡɝɨɥɟɦɢ ɡɚ ɧɟɤɨʁ ɛɪɨʁ ɚ ɞɪɭɝɢɨɬ ɫɨɛɢɪɨɤ ɫɟ ɧɚɦɚɥɢ ɡɚ ɢɫɬɢɨɬ ɛɪɨʁ

8 ɋɨ ɩɨɦɨɲ ɧɚ ɫɜɨʁɫɬɜɨɬɨ ɨɞɝɨɜɨɪɢ ɧɚ ɫɥɟɞɧɢɜɟ ɩɪɚɲɚʃɚ ɚ Ⱦɚɥɢ ʅɟ ɫɟ ɩɪɨɦɟɧɢ ɡɛɢɪɨɬ ɧɚ ɞɜɚ ɛɪɨʁɚ ɚɤɨ ɟɞɧɢɨɬ ɫɨɛɢɪɨɤ ɫɟ ɡɝɨɥɟɦɢ ɡɚ ɚ ɞɪɭɝɢɨɬ ɫɟ ɧɚɦɚɥɢ ɡɚ " ɛ Ⱦɚɥɢ ʅɟ ɫɟ ɩɪɨɦɟɧɢ ɡɛɢɪɨɬ ɧɚ ɞɜɚ ɛɪɨʁɚ ɚɤɨ ɟɞɧɢɨɬ ɫɨɛɢɪɨɤ ɫɟ ɡɝɨɥɟɦɢ ɡɚ ɚ ɞɪɭɝɢɨɬ ɫɨɛɢɪɨɤ ɫɟ ɧɚɦɚɥɢ ɡɚ " 9 ȿɞɟɧ ɨɞ ɫɨɛɢɪɨɰɢɬɟ ɡɝɨɥɟɦɢ ɝɨ ɡɚ ɚ ɞɪɭɝɢɨɬ ɧɚɦɚɥɢ ɝɨ ɡɚ ɉɨɬɨɚ ɩɪɟɫɦɟɬɚʁ ɝɨ ɡɛɢɪɨɬ ɚ ± ɛ ɜ 10 ɉɨɦɨɝɧɢ ɢ ɧɚ ɂɧɚ ɞɚ ɩɪɟɫɦɟɬɚ ɧɚ ɧɚʁɥɟɫɟɧ ɧɚɱɢɧ ɚ ɛ

ɂɧɚ

Ʉɨɪɢɫɬɟʁʅɢ ɝɨ ɨɜɚ ɫɜɨʁɫɬɜɨ ɦɨɠɟɦɟ ɞɚ ɝɢ ɡɚɨɤɪɭɠɭɜɚɦɟ ɛɪɨɟɜɢɬɟ

ɜ 11 ɚ Ⱥɤɨ ɟɞɧɢɨɬ ɫɨɛɢɪɨɤ ɝɨ ɡɝɨɥɟɦɢɦɟ ɡɚ ɤɚɤɨ ɬɪɟɛɚ ɞɚ ɝɨ ɩɪɨɦɟɧɢɦɟ ɞɪɭɝɢɨɬ ɫɨɛɢɪɨɤ ɡɚ ɞɚ ɨɫɬɚɧɟ ɡɛɢɪɨɬ ɧɟɩɪɨɦɟɧɟɬ" ɛ Ⱥɤɨ ɟɞɧɢɨɬ ɫɨɛɢɪɨɤ ɝɨ ɡɝɨɥɟɦɢɦɟ ɡɚ ɧɟɤɨʁ ɛɪɨʁ ɲɬɨ ɬɪɟɛɚ ɞɚ ɧɚɩɪɚɜɢɦɟ ɫɨ ɞɪɭɝɢɨɬ ɫɨɛɢɪɨɤ ɡɚ ɞɚ ɨɫɬɚɧɟ ɡɛɢɪɨɬ ɧɟɩɪɨɦɟɧɟɬ" 12 Ɉɝɧɟɧ ɫɨɛɪɚɥ ɫɥɢɤɢɱɤɢ ɚ ɇɢɤɨɥɚ ɚ Ʉɨɥɤɭ ɫɥɢɤɢɱɤɢ ɢɦɚɚɬ ɡɚɟɞɧɨ" ɛ Ʉɨɥɤɭ ɫɥɢɤɢɱɤɢ ʅɟ ɢɦɚɚɬ ɡɚɟɞɧɨ ɨɬɤɚɤɨ Ɉɝɧɟɧ ɦɭ ɩɨɞɚɪɢ ɧɚ ɇɢɤɨɥɚ ɫɥɢɤɢɱɤɢ" 52

ЗАВИСНОСТ НА РАЗЛИКАТА ОД НАМАЛЕНИКОТ И НАМАЛИТЕЛОТ 1 Ɇɢɪɤɨ ɡɚɲɬɟɞɢɥ ɞɟɧɚɪɢ ȼɨ ɩɪɨɞɚɜɧɢɰɚ ɩɨɬɪɨɲɢɥ ɞɟɧɚɪɢ ± ɚ Ⱥɤɨ Ɇɢɪɤɨ ɢɦɚɥ ɡɚɲɬɟɞɟɧɨ ɛ Ʉɨɥɤɭ ɩɚɪɢ ʅɟ ɦɭ ɩɪɟɨɫɬɚɧɟɚ ɞɟɧɚɪɢ ɩɨɜɟʅɟ ɞɚɥɢ ɩɨ ɧɚ Ɇɢɪɤɨ ɚɤɨ ɩɨɬɪɨɲɟɲɟ ɭɲɬɟ ɤɭɩɭɜɚʃɟɬɨ ɛɢ ɢɦɚɥ ɩɨɜɟʅɟ ɞɟɧɚɪɢ" ɢɥɢ ɩɨɦɚɥɤɭ ɩɚɪɢ" ± ± ± ±

Ⱥɤɨ ɧɚɦɚɥɟɧɢɤɨɬ ɝɨ ɡɝɨɥɟɦɢɦɟ ɡɚ ɧɟɤɨʁ ɛɪɨʁ ɬɨɝɚɲ ɢ ɪɚɡɥɢɤɚɬɚ ʅɟ ɫɟ ɡɝɨɥɟɦɢ ɡɚ ɬɨʁ ɛɪɨʁ ɜ Ʉɨɥɤɭ ɩɚɪɢ ʅɟ ɦɭ ɩɪɟɨɫɬɚɧɟɚ ɧɚ Ɇɢɪɤɨ ɚɤɨ ɡɚɲɬɟɞɟɲɟ ɞɟɧɚɪɢ ɩɨɦɚɥɤɭ"

Ⱥɤɨ ɧɚɦɚɥɢɬɟɥɨɬ ɝɨ ɡɝɨɥɟɦɢɦɟ ɡɚ ɧɟɤɨʁ ɛɪɨʁ ɬɨɝɚɲ ɪɚɡɥɢɤɚɬɚ ʅɟ ɫɟ ɧɚɦɚɥɢ ɡɚ ɬɨʁ ɛɪɨʁ ɝ Ʉɨɥɤɭ ɩɚɪɢ ʅɟ ɦɭ ɩɪɟɨɫɬɚɧɟɚ ɧɚ Ɇɢɪɤɨ ɚɤɨ ɩɨɬɪɨɲɟɲɟ ɞɟɧɚɪɢ ɩɨɦɚɥɤɭ"

± ± ± ± ± ±

Ⱥɤɨ ɧɚɦɚɥɟɧɢɤɨɬ ɝɨ ɧɚɦɚɥɢɦɟ ɡɚ ɧɟɤɨʁ ɛɪɨʁ ɬɨɝɚɲ ɢ ɪɚɡɥɢɤɚɬɚ ʅɟ ɫɟ ɧɚɦɚɥɢ ɡɚ ɬɨʁ ɛɪɨʁ

2 Ʉɚɤɨ ʅɟ ɫɟ ɩɪɨɦɟɧɢ ɪɚɡɥɢɤɚɬɚ ɚɤɨ ɚ ɧɚɦɚɥɟɧɢɤɨɬ ɫɟ ɡɝɨɥɟɦɢ ɡɚ " ɜ ɧɚɦɚɥɢɬɟɥɨɬ ɫɟ ɧɚɦɚɥɢ ɡɚ "

Ⱥɤɨ ɧɚɦɚɥɢɬɟɥɨɬ ɝɨ ɧɚɦɚɥɢɦɟ ɡɚ ɧɟɤɨʁ ɛɪɨʁ ɬɨɝɚɲ ɪɚɡɥɢɤɚɬɚ ʅɟ ɫɟ ɡɝɨɥɟɦɢ ɡɚ ɬɨʁ ɛɪɨʁ

ɛ ɧɚɦɚɥɢɬɟɥɨɬ ɫɟ ɡɝɨɥɟɦɢ ɡɚ " ɝ ɧɚɦɚɥɟɧɢɤɨɬ ɫɟ ɧɚɦɚɥɢ ɡɚ "

3 Ɇɚɪɢʁɚ ɧɚ ɫɜɨʁɚɬɚ ɲɬɟɞɧɚ ɤɧɢɲɤɚ ɢɦɚ ɞɟɧɚɪɢ ɚ Ȼɭʁɚɪ ɞɟɧɚɪɢ ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɚ Ʉɨɥɤɭ ɞɟɧɚɪɢ ɢɦɚ Ɇɚɪɢʁɚ ɩɨɜɟʅɟ ɨɞ Ȼɭʁɚɪ" ɛ Ʉɨɥɤɭ ɞɟɧɚɪɢ ʅɟ ɢɦɚ Ɇɚɪɢʁɚ ɩɨɜɟʅɟ ɨɞ Ȼɭʁɚɪ ɚɤɨ ɡɚɲɬɟɞɢ ɭɲɬɟ ɞɟɧɚɪɢ" ɜ Ʉɨɥɤɭ ɞɟɧɚɪɢ ʅɟ ɢɦɚ Ɇɚɪɢʁɚ ɩɨɜɟʅɟ ɨɞ Ȼɭʁɚɪ ɚɤɨ ɩɨɞɢɝɧɟ ɞɟɧɚɪɢ" ɝ Ʉɨɥɤɭ ɞɟɧɚɪɢ ʅɟ ɢɦɚ Ɇɚɪɢʁɚ ɩɨɜɟʅɟ ɨɞ Ȼɭʁɚɪ ɚɤɨ Ȼɭʁɚɪ ɡɚɲɬɟɞɢ ɭɲɬɟ ɞɟɧɚɪɢ" ɞ Ʉɨɥɤɭ ɞɟɧɚɪɢ ʅɟ ɢɦɚ Ɇɚɪɢʁɚ ɩɨɜɟʅɟ ɨɞ Ȼɭʁɚɪ ɚɤɨ Ȼɭʁɚɪ ɩɨɞɢɝɧɟ ɞɟɧɚɪɢ" 53

4 ɒɬɨ ɦɨɠɟɲ ɞɚ ɡɚɤɥɭɱɢɲ ɨɞ ɩɪɟɫɦɟɬɤɢɬɟ ɧɚ Ⱦɚɦʁɚɧ" ± ± ± ± ±

ɇɟ ɦɨɪɚɜ ɞɚ ɝɢ ɩɪɟɫɦɟɬɭɜɚɦ ɪɚɡɥɢɤɢɬɟ

Ⱦɚɦʁɚɧ

Ⱥɤɨ ɧɚɦɚɥɟɧɢɤɨɬ ɢ ɧɚɦɚɥɢɬɟɥɨɬ ɢɫɬɨɜɪɟɦɟɧɨ ɫɟ ɡɝɨɥɟɦɚɬ ɢɥɢ ɫɟ ɧɚɦɚɥɚɬ ɡɚ ɟɞɟɧ ɢɫɬ ɛɪɨʁ ɬɨɝɚɲ ɧɢɜɧɚɬɚ ɪɚɡɥɢɤɚ ɧɟ ɫɟ ɦɟɧɭɜɚ

5 ɒɬɨ ʅɟ ɛɢɞɟ ɫɨ ɪɚɡɥɢɤɚɬɚ ɧɚ ɞɜɚ ɛɪɨʁɚ ɚɤɨ ɚ ɧɚɦɚɥɟɧɢɤɨɬ ɢ ɧɚɦɚɥɢɬɟɥɨɬ ɝɢ ɡɝɨɥɟɦɢɦɟ ɡɚ " ɛ ɧɚɦɚɥɟɧɢɤɨɬ ɢ ɧɚɦɚɥɢɬɟɥɨɬ ɝɢ ɧɚɦɚɥɢɦɟ ɡɚ " 6 ɋɨ ɩɨɦɨɲ ɧɚ ɝɨɪɧɨɬɨ ɫɜɨʁɫɬɜɨ ɩɪɟɫɦɟɬɚʁ ɧɚ ɧɚʁɥɟɫɟɧ ɧɚɱɢɧ ɚ ± ± ± ± ɛ ± ɜ ± 7 Ⱦɚɥɢ ʅɟ ɫɟ ɩɪɨɦɟɧɢ ɪɚɡɥɢɤɚɬɚ ɧɚ ɛɪɨʁɨɬ ɫɨ ɛɪɨʁɨɬ ɚɤɨ ɫɟɤɨʁ ɨɞ ɧɢɜ ɫɟ ɡɝɨɥɟɦɢ ɡɚ " 8 Ⱦɚɥɢ ʅɟ ɫɟ ɩɪɨɦɟɧɢ ɪɚɡɥɢɤɚɬɚ ɧɚ ɛɪɨʁɨɬ ɫɨ ɛɪɨʁɨɬ ɚɤɨ ɫɟɤɨʁ ɨɞ ɧɢɜ ɫɟ ɧɚɦɚɥɢ ɡɚ " 9 ɇɚ ɟɞɟɧ ɪɚɮɬ ɢɦɚ ɤɧɢɝɢ ɚ ɧɚ ɞɪɭɝ ɤɧɢɝɢ Ɉɞ ɫɟɤɨʁ ɪɚɮɬ ɫɟ ɡɟɦɟɧɢ ɩɨ ɤɧɢɝɢ ɚ Ʉɨɥɤɭ ɤɧɢɝɢ ɢɦɚɥɨ ɩɨɦɚɥɤɭ ɧɚ ɩɪɜɢɨɬ ɪɚɮɬ ɧɚ ɩɨɱɟɬɨɤɨɬ" ɛ Ʉɨɥɤɭ ɤɧɢɝɢ ɢɦɚ ɩɨɦɚɥɤɭ ɧɚ ɩɪɜɢɨɬ ɪɚɮɬ ɫɟɝɚ" 10 Ɇɚʁɤɚɬɚ ɢɦɚ ɝɨɞɢɧɢ ɚ ʅɟɪɤɚɬɚ ɝɨɞɢɧɢ ɚ Ʉɨɥɤɭ ɝɨɞɢɧɢ ɟ ɩɨɫɬɚɪɚ ɦɚʁɤɚɬɚ ɨɞ ʅɟɪɤɚɬɚ" ɛ Ʉɨɥɤɭ ɝɨɞɢɧɢ ɛɢɥɚ ɩɨɫɬɚɪɚ ɦɚʁɤɚɬɚ ɨɞ ʅɟɪɤɚɬɚ ɩɪɟɞ ɝɨɞɢɧɢ" ɜ Ʉɨɥɤɭ ɝɨɞɢɧɢ ʅɟ ɛɢɞɟ ɩɨɫɬɚɪɚ ɦɚʁɤɚɬɚ ɨɞ ʅɟɪɤɚɬɚ ɩɨ ɝɨɞɢɧɢ" 54

РАВЕНКИ 1

Ʉɨʁ ɛɪɨʁ ɬɪɟɛɚ ɞɚ ɫɟ ɞɨɞɚɞɟ ɧɚ ɛɪɨʁɨɬ ɡɚ ɞɚ ɫɟ ɞɨɛɢɟ ɛɪɨʁɨɬ "

Ɉɜɚ ɟ ɪɚɜɟɧɤɚ ɫɨ ɧɟɩɨɡɧɚɬ ɫɨɛɢɪɨɤ

ɫɨɛɢɪɨɤ [

ɯ [ ± [

ɉɪɨɜɟɪɤɚ

Ɋɟɲɢ ʁɚ ɪɚɜɟɧɤɚɬɚ ɯ ɢ ɧɚɩɪɚɜɢ ɩɪɨɜɟɪɤɚ

ȿɞɧɢɨɬ ɫɨɛɢɪɨɤ ɟ ɚ ɡɛɢɪɨɬ ɟ Ʉɨɥɤɭ ɟ ɞɪɭɝɢɨɬ ɫɨɛɢɪɨɤ"

ɋɚɦɟɬ ɡɚɦɢɫɥɢɥ ɟɞɟɧ ɛɪɨʁ Ʉɨɧ ɬɨʁ ɛɪɨʁ ɝɨ ɞɨɞɚɥ ɛɪɨʁɨɬ ɢ ɝɨ ɞɨɛɢɥ ɛɪɨʁɨɬ Ʉɨʁ ɛɪɨʁ ɝɨ ɡɚɦɢɫɥɢɥ ɋɚɦɟɬ"

ȼɟɪɢɰɚ ɨɞ Ⱥɧɞɪɟʁ ɞɨɛɢɥɚ ɞɟɧɚɪɢ ɜɨ ɦɨɧɟɬɢ ɞɟɧɚɪɢ ɜɨ ɛɚɧɤɧɨɬɢ Ʉɨɥɤɭ ɞɟɧɚɪɢ ɢɦɚɥɚ ȼɟɪɢɰɚ ɧɚ ɩɨɱɟɬɨɤɨɬ ɚɤɨ ɫɟɝɚ ɢɦɚ ɞɟɧɚɪɢ"

Ɉɞ ɤɨʁ ɛɪɨʁ ɬɪɟɛɚ ɞɚ ɫɟ ɨɞɡɟɦɟ ɛɪɨʁɨɬ ɡɚ ɞɚ ɫɟ ɞɨɛɢɟ ɛɪɨʁɨɬ "

Ɉɜɚ ɟ ɪɚɜɟɧɤɚ ɫɨ ɧɟɩɨɡɧɚɬ ɧɚɦɚɥɟɧɢɤ

ɧɚɦɚɥɟɧɢɤ [ –

[ ± [ [

ɉɪɨɜɟɪɤɚ ±

Ɋɟɲɢ ʁɚ ɪɚɜɟɧɤɚɬɚ [ ± ɢ ɧɚɩɪɚɜɢ ɩɪɨɜɟɪɤɚ

Ʉɨɥɤɭ ɟ ɧɚɦɚɥɟɧɢɤɨɬ ɚɤɨ ɧɚɦɚɥɢɬɟɥɨɬ ɟ ɢ ɪɚɡɥɢɤɚɬɚ ɟ "

9 Ɉɞ ɟɞɟɧ ɪɚɫɚɞɧɢɤ ɛɢɥɟ ɤɭɩɟɧɢ ɪɭɠɢ Ɉɫɬɚɧɚɥɟ ɭɲɬɟ ɪɭɠɢ Ʉɨɥɤɭ ɪɭɠɢ ɢɦɚɥɨ ɜɨ ɪɚɫɚɞɧɢɤɨɬ ɧɚ ɩɨɱɟɬɨɤɨɬ" 10 ɋɨʃɚ ɤɭɩɢɥɚ ɡɢɦɫɤɚ ɨɩɪɟɦɚ ɡɚ ɞɟɧɚɪɢ ɢ ɯɪɚɧɚ ɡɚ ɞɟɧɚɪɢ Ʉɨɥɤɭ ɩɚɪɢ ɢɦɚɥɚ ɋɨʃɚ ɧɚ ɩɨɱɟɬɨɤɨɬ ɚɤɨ ɩɨ ɤɭɩɭɜɚʃɟɬɨ ɢ ɨɫɬɚɧɚɥɟ ɞɟɧɚɪɢ" 11 Ʉɨʁ ɛɪɨʁ ɬɪɟɛɚ ɞɚ ɫɟ ɨɞɡɟɦɟ ɨɞ ɛɪɨʁɨɬ ɡɚ ɞɚ ɫɟ ɞɨɛɢɟ ɛɪɨʁɨɬ "

Ɉɜɚ ɟ ɪɚɜɟɧɤɚ ɫɨ ɧɟɩɨɡɧɚɬ ɧɚɦɚɥɢɬɟɥ

ɧɚɦɚɥɢɬɟɥ [ –

± [ [ ± [

ɉɪɨɜɟɪɤɚ ±

12 Ɋɟɲɢ ʁɚ ɪɚɜɟɧɤɚɬɚ ± ɯ ɢ ɧɚɩɪɚɜɢ ɩɪɨɜɟɪɤɚ 13 ɇɚɦɚɥɟɧɢɤɨɬ ɟ ɚ ɪɚɡɥɢɤɚɬɚ ɟ Ʉɨɥɤɭ ɟ ɧɚɦɚɥɢɬɟɥɨɬ" 14 ȼɨ ɟɞɟɧ ɦɭɡɟʁ ɢɦɚɥɨ ɟɤɫɩɨɧɚɬɢ Ⱦɟɥ ɨɞ ɟɤɫɩɨɧɚɬɢɬɟ ɛɢɥɟ ɢɡɥɨɠɟɧɢ ɜɨ ɞɪɭɝ ɦɭɡɟʁ ɢ ɨɫɬɚɧɚɥɟ ɟɤɫɩɨɧɚɬɢ Ʉɨɥɤɭ ɟɤɫɩɨɧɚɬɢ ɛɢɥɟ ɢɡɥɨɠɟɧɢ ɜɨ ɞɪɭɝɢɨɬ ɦɭɡɟʁ" 15 Ʉɨʁ ɛɪɨʁ ɬɪɟɛɚ ɞɟ ɫɟ ɡɝɨɥɟɦɢ ɡɚ ɪɚɡɥɢɤɚɬɚ ɧɚ ɛɪɨʁɨɬ ɫɨ ɛɪɨʁɨɬ ɡɚ ɞɚ ɫɟ ɞɨɛɢɟ ɛɪɨʁɨɬ " 16 Ɂɚ ɤɨʁ ɛɪɨʁ ɬɪɟɛɚ ɞɚ ɫɟ ɧɚɦɚɥɢ ɡɛɢɪɨɬ ɧɚ ɛɪɨɟɜɢɬɟ ɢ ɡɚ ɞɚ ɫɟ ɞɨɛɢɟ ɛɪɨʁɨɬ " 17 ɋɨɫɬɚɜɢ ɬɟɤɫɬɭɚɥɧɚ ɡɚɞɚɱɚ ɤɨʁɚ ɫɟ ɪɟɲɚɜɚ ɫɨ ɪɚɜɟɧɤɚɬɚ D [ ± ɛ ± ɯ

ĐĄĐ&#x17E;Đ&#x2018;Đ&#x2DC;Đ Đ?Đ&#x160;Đ&#x2022; Đ&#x2DC; Đ&#x17E;Đ&#x201D;Đ&#x2014;Đ&#x2022;Đ&#x153;Đ?Đ&#x160;Đ&#x2022; ĐĄĐ&#x17E; Đ&#x161;Đ?Đ&#x203A;Đ&#x161;ĐŁĐ&#x203A;Đ?Đ˘Đ&#x17E;Đ 1 É&#x201E;É&#x161;É¤É¨ ÉŤÉ¨É&#x203A;É˘ÉŞÉ&#x161;ÉŚÉ&#x; ÉŤÉ¨ ÉŠÉ¨ÉŚÉ¨É˛ É§É&#x161; É¤É&#x161;ÉĽÉ¤ÉÉĽÉ&#x161;ÉŹÉ¨ÉŞ" É É§É&#x161;ÉŚ É&#x17E;É&#x161; É?É˘ É&#x153;É§É&#x;ÉŤÉÉ&#x153;É&#x161;ÉŚ É&#x203A;ÉŞÉ¨É&#x;É&#x153;É˘ÉŹÉ&#x; É&#x153;É¨ É¤É&#x161;ÉĽÉ¤ÉÉĽÉ&#x161;ÉŹÉ¨ÉŞ

É&#x152;É¨É?É&#x161;É˛ ÉŤÉ˘É?ÉÉŞÉ§É¨ ÉĄÉ§É&#x161;É&#x;É˛ É&#x17E;É&#x;É¤É&#x161; É¤É&#x161;ÉĽÉ¤ÉÉĽÉ&#x161;ÉŹÉ¨ÉŞÉ¨ÉŹ ÉŤÉ&#x; É&#x153;É¤ÉĽÉÉąÉÉ&#x153;É&#x161; É§É&#x161; on É¤É¨ÉŠÉąÉ&#x;ÉŹÉ¨ c ČźÉ&#x;É&#x17E;É&#x161;

É&#x201A;É&#x153;É¨É§É&#x161; É&#x2021;É&#x161; É¤É&#x161;ÉĽÉ¤ÉÉĽÉ&#x161;ÉŹÉ¨ÉŞÉ¨ÉŹ ÉŤÉ&#x; É?ÉĽÉ&#x;É&#x17E;É&#x161;É&#x161;ÉŹ É¤É¨ÉŠÉąÉ˘Ę&#x192;É&#x161;ÉŹÉ&#x161; ÉŤÉ¨ ÉĄÉ§É&#x161;É°É˘ÉŹÉ&#x; â&#x20AC;&#x201C; ÉĄÉ&#x161; É¨É&#x17E;ÉĄÉ&#x;ÉŚÉ&#x161;Ę&#x192;É&#x;

+ ÉĄÉ&#x161; ÉŤÉ¨É&#x203A;É˘ÉŞÉ&#x161;Ę&#x192;É&#x;

= ÉĄÉ&#x161; ÉŞÉ&#x161;É&#x153;É&#x;É§ÉŤÉŹÉ&#x153;É¨

É É&#x203A;É˘ÉŞÉ¨ÉŹ É§É&#x161; É&#x203A;ÉŞÉ¨É&#x;É&#x153;É˘ÉŹÉ&#x; É˘ É?É¨ ÉŠÉŞÉ&#x;ÉŤÉŚÉ&#x;ÉŹÉÉ&#x153;É&#x161;ÉŚÉ&#x; É&#x153;É&#x161;É¤É&#x161; ČźÉ§É&#x;ÉŤÉÉ&#x153;É&#x161;ÉŚÉ&#x; É&#x2030;ÉŞÉ˘ÉŹÉ˘ÉŤÉ¤É&#x161;ÉŚÉ&#x; ČźÉ§É&#x;ÉŤÉÉ&#x153;É&#x161;ÉŚÉ&#x;

É&#x2030;ÉŞÉ˘ÉŹÉ˘ÉŤÉ¤É&#x161;ÉŚÉ&#x;

É˘ É?É¨ É&#x17E;É¨É&#x203A;É˘É&#x153;É&#x161;ÉŚÉ&#x; É&#x203A;ÉŞÉ¨Ę É¨ÉŹ on

É&#x2039;É¨ ÉŠÉŞÉ˘ÉŹÉ˘ÉŤÉ¤É&#x161;Ę&#x192;É&#x; É§É&#x161; É¤É¨ÉŠÉąÉ&#x;ÉŹÉ¨ Ę É&#x161; É&#x203A;ÉŞÉ˘É˛É&#x161;ÉŚ ÉŠÉŞÉ&#x;ÉŹÉŻÉ¨É&#x17E;É§É&#x161;ÉŹÉ&#x161; ÉĄÉ&#x161;É&#x17E;É&#x161;ÉąÉ&#x161; c 2 É&#x2030;ÉŞÉ&#x;ÉŤÉŚÉ&#x;ÉŹÉ&#x161;Ę Ę É&#x161; ÉŞÉ&#x161;ÉĄÉĽÉ˘É¤É&#x161;ÉŹÉ&#x161; Âą ČźÉ§É&#x;ÉŤÉÉ&#x153;É&#x161;ÉŚÉ&#x; É&#x2030;ÉŞÉ˘ÉŹÉ˘ÉŤÉ¤É&#x161;ÉŚÉ&#x;

â&#x20AC;&#x201C;

ČźÉ§É&#x;ÉŤÉÉ&#x153;É&#x161;ÉŚÉ&#x;

É&#x2030;ÉŞÉ˘ÉŹÉ˘ÉŤÉ¤É&#x161;ÉŚÉ&#x;

É˘ É?É¨ É&#x17E;É¨É&#x203A;É˘É&#x153;É&#x161;ÉŚÉ&#x; É&#x203A;ÉŞÉ¨Ę É¨ÉŹ 3 É&#x2030;ÉŞÉ&#x;ÉŤÉŚÉ&#x;ÉŹÉ&#x161;Ę ÉŤÉ¨ ÉŠÉ¨ÉŚÉ¨É˛ É§É&#x161; É¤É&#x161;ÉĽÉ¤ÉÉĽÉ&#x161;ÉŹÉ¨ÉŞ a) É&#x203A; É? É&#x17E;

É&#x153; Éź

4 É&#x2030;ÉŞÉ&#x;ÉŤÉŚÉ&#x;ÉŹÉ&#x161;Ę ÉŤÉ¨ ÉŠÉ¨ÉŚÉ¨É˛ É§É&#x161; É¤É&#x161;ÉĽÉ¤ÉÉĽÉ&#x161;ÉŹÉ¨ÉŞ a) Âą É&#x203A; Âą É? Âą É&#x17E; Âą

É&#x153; Âą Éź Âą

5 É&#x2030;ÉŞÉ&#x;ÉŤÉŚÉ&#x;ÉŹÉ&#x161;Ę ÉŤÉ¨ ÉŠÉ¨ÉŚÉ¨É˛ É§É&#x161; É¤É&#x161;ÉĽÉ¤ÉÉĽÉ&#x161;ÉŹÉ¨ÉŞ D Âą Âą É&#x203A; Âą Âą É&#x153; Âą Âą 6 É&#x2030;ÉŞÉ¨É°É&#x;É§É˘ É?É˘ ÉĄÉ&#x203A;É˘ÉŞÉ¨É&#x153;É˘ÉŹÉ&#x; É˘ ÉŞÉ&#x161;ÉĄÉĽÉ˘É¤É˘ÉŹÉ&#x; É&#x161; ÉŠÉ¨ÉŹÉ¨É&#x161; É§É&#x161;ÉŠÉŞÉ&#x161;É&#x153;É˘ ÉŠÉŞÉ¨É&#x153;É&#x;ÉŞÉ¤É&#x161; É§É&#x161; ÉŤÉ&#x153;É¨Ę É&#x161;ÉŹÉ&#x161; ÉŠÉŞÉ¨É°É&#x;É§É¤É&#x161; ÉŤÉ¨ É¤É&#x161;ÉĽÉ¤ÉÉĽÉ&#x161;ÉŹÉ¨ÉŞ D É&#x203A; É&#x153; É? Âą É&#x17E; Âą Éź Âą 57

ЗАДАЧИ ЗА ВЕЖБАЊЕ 1 Ɂɚɩɢɲɢ ɝɨ ɫɨ ɡɛɨɪɨɜɢ ɛɪɨʁɨɬ 2 Ɂɚɩɢɲɢ ɝɨ ɫɨ ɰɢɮɪɢ ɛɪɨʁɨɬ ɨɫɭɦɫɬɨɬɢɧɢ ɢɥʁɚɞɢ ɢ ɩɟɬɧɚɟɫɟɬ 3 Ɂɚɩɢɲɢ ɝɢ ɫɥɟɞɛɟɧɢɤɨɬ ɢ ɩɪɟɬɯɨɞɧɢɤɨɬ ɧɚ ɛɪɨʁɨɬ 4 ɉɨɞɪɟɞɢ ɝɢ ɛɪɨɟɜɢɬɟ ɩɨɱɧɭɜɚʁʅɢ ɨɞ ɧɚʁɦɚɥɢɨɬ 5 Ɂɚɩɢɲɢ ɝɢ ɫɢɬɟ ɩɚɪɧɢ ɛɪɨɟɜɢ ɤɨɢ ɫɟ ɦɟɼɭ ɛɪɨɟɜɢɬɟ ɢ 6 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɝɢ ɡɛɢɪɨɜɢɬɟ ɜɨ ɫɜɨʁɚɬɚ ɬɟɬɪɚɬɤɚ ɢ ɧɚɩɪɚɜɢ ɩɪɨɜɟɪɤɚ ɫɨ ɤɚɥɤɭɥɚɬɨɪ + + + + +

7 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɝɢ ɪɚɡɥɢɤɢɬɟ ɜɨ ɫɜɨʁɚɬɚ ɬɟɬɪɚɬɤɚ ɢ ɧɚɩɪɚɜɢ ɩɪɨɜɟɪɤɚ ɫɨ ɫɨɛɢɪɚʃɟ ± ± ± ± ±

8 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɧɚ ɧɚʁɥɟɫɟɧ ɧɚɱɢɧ a) ±

ɛ ±

ɝ ±

ɞ ±

9 ȿɞɧɚ ɬɟɥɟɜɢɡɢɫɤɚ ɤɭʅɚ ɡɚ ɢɡɪɚɛɨɬɤɚ ɧɚ ɧɨɜɨɝɨɞɢɲɧɚɬɚ ɩɪɨɝɪɚɦɚ ɩɥɚɬɢɥɚ ɞɟɧɚɪɢ Ɂɚ ɭɱɟɫɬɜɨ ɧɚ ɚɤɬɟɪɢɬɟ ɩɥɚɬɢɥɚ ɞɟɧɚɪɢ ɚ ɡɚ ɬɚɧɰɭɜɚɱɢɬɟ ɞɟɧɚɪɢ ɩɨɜɟʅɟ ɨɞ ɩɟɚɱɢɬɟ Ɉɫɬɚɧɚɬɢɬɟ ɩɚɪɢ ɝɢ ɩɨɬɪɨɲɢɥɚ ɡɚ ɞɟɤɨɪ Ʉɨɥɤɭ ɩɚɪɢ ɩɨɬɪɨɲɢɥɚ ɡɚ ɞɟɤɨɪ" D Ⱦɚɥɢ ɫɟ ɞɨɜɨɥɧɢ ɩɨɞɚɬɨɰɢɬɟ ɜɨ ɡɚɞɚɱɚɬɚ ɡɚ ɞɚ ɨɞɝɨɜɨɪɢɲ ɧɚ ɩɪɚɲɚʃɟɬɨ" ɛ Ⱦɨɩɨɥɧɢ ɝɢ ɩɨɞɚɬɨɰɢɬɟ ɢ ɪɟɲɢ ʁɚ ɡɚɞɚɱɚɬɚ

ТОЧКА, ПРАВА И РАМНИНА 1 ɋɨ ɝɟɨɦɟɬɪɢɫɤɢɬɟ ɩɨɢɦɢ ɬɨɱɤɚ ɩɪɚɜɚ ɢ ɪɚɦɧɢɧɚ ɫɟ ɡɚɩɨɡɧɚɜ ɜɨ ɩɪɟɬɯɨɞɧɢɬɟ ɨɞɞɟɥɟɧɢʁɚ Ɍɢɟ ɫɟ ɢɡɭɱɭɜɚɚɬ ɜɨ ɞɟɥɨɬ ɨɞ ɦɚɬɟɦɚɬɢɤɚɬɚ ɧɚɪɟɱɟɧ Ƚɟɨɦɟɬɪɢʁɚ

2 Ɍɨɱɤɚɬɚ ɦɨɠɟ ɞɚ ʁɚ ɡɚɦɢɫɥɢɦɟ ɞɟɤɚ ɟ ɫɢɬɧɨ ɡɪɧɨ ɩɪɚɲɢɧɤɚ ɬɪɚɝɚɬɚ ɲɬɨ ʁɚ ɨɫɬɚɜɚ ɨɫɬɚɪ ɦɨɥɢɜ ɤɨɝɚ ʅɟ ɞɨɩɪɟ ɥɢɫɬ ɯɚɪɬɢʁɚ ɬɪɚɝɚɬɚ ɲɬɨ ʁɚ ɨɫɬɚɜɚ ɤɪɟɞɚɬɚ ɧɚ ɬɚɛɥɚɬɚ ɢɬɧ Ɍɨɱɤɢɬɟ ɝɢ ɨɡɧɚɱɭɜɚɦɟ ɫɨ ɝɨɥɟɦɢ ɛɭɤɜɢ ɨɞ ɥɚɬɢɧɫɤɚɬɚ ɚɡɛɭɤɚ A % & 3 ɉɪɚɜɚɬɚ ɦɨɠɟ ɞɚ ʁɚ ɡɚɦɢɫɥɢɦɟ ɞɟɤɚ ɟ ɰɜɪɫɬɨ ɡɚɬɟɝɧɚɬ ɤɨɧɟɰ ɢɥɢ ɬɪɚɝɚɬɚ ɲɬɨ ʁɚ ɨɫɬɚɜɚ ɦɥɚɡɟɧ ɚɜɢɨɧ ɉɪɚɜɢɬɟ ɝɢ ɨɡɧɚɱɭɜɚɦɟ ɫɨ ɦɚɥɢ ɛɭɤɜɢ ɨɞ ɥɚɬɢɧɫɤɚɬɚ ɚɡɛɭɤɚ m n a b p q

A M

q b

4 Ɋɚɦɧɢɧɚɬɚ ɦɨɠɟ ɞɚ ʁɚ ɡɚɦɢɫɥɢɦɟ ɞɟɤɚ ɟ ɥɢɫɬ ɯɚɪɬɢʁɚ ɦɚɡɧɚɬɚ ɩɨɜɪɲɢɧɚ ɧɚ ɦɢɪɧɚ ɜɨɞɚ ɩɨɞɨɬ ɧɚ ɭɱɢɥɧɢɰɚɬɚ ɢɬɧ Ɋɚɦɧɢɧɢɬɟ ɝɢ ɨɡɧɚɱɭɜɚɦɟ ɫɨ ɦɚɥɢ ɛɭɤɜɢ ɨɞ ɝɪɱɤɚɬɚ ɚɡɛɭɤɚ Į ȕ Ȗ

Į Ȗ ȕ

5 Ɂɚɟɦɧɚɬɚ ɩɨɥɨɠɛɚ ɧɚ ɬɨɱɤɚ ɢ ɩɪɚɜɚ ɦɨɠɟ ɞɚ ɛɢɞɟ ɚ ɬɨɱɤɚɬɚ ɟ ɧɚ ɩɪɚɜɚɬɚ Ⱥ p ɩɪɚɜɚɬɚ ɦɢɧɭɜɚ ɧɢɡ ɬɨɱɤɚɬɚ ɛ ɬɨɱɤɚɬɚ ɧɟ ɟ ɧɚ ɩɪɚɜɚɬɚ % q ɩɪɚɜɚɬɚ ɧɟ ɦɢɧɭɜɚ ɧɢɡ ɬɨɱɤɚɬɚ

p A

6 Ɂɚɟɦɧɚɬɚ ɩɨɥɨɠɛɚ ɧɚ ɬɨɱɤɚ ɢ ɪɚɦɧɢɧɚ ɦɨɠɟ ɞɚ ɛɢɞɟ ɚ ɬɨɱɤɚɬɚ ɥɟɠɢ ɜɨ ɪɚɦɧɢɧɚɬɚ Ⱥ Į ɪɚɦɧɢɧɚɬɚ ɦɢɧɭɜɚ ɧɢɡ ɬɨɱɤɚɬɚ

ɛ ɬɨɱɤɚɬɚ ɧɟ ɥɟɠɢ ɜɨ ɪɚɦɧɢɧɚɬɚ % ȕ Į ɪɚɦɧɢɧɚɬɚ ɧɟ ɦɢɧɭɜɚ ɧɢɡ ɬɨɱɤɚɬɚ

7 Ɂɚ ɞɜɟ ɪɚɡɥɢɱɧɢ ɬɨɱɤɢ Ⱥ ɢ ȼ ɩɨɫɬɨɢ ɟɞɢɧɫɬɜɟɧɚ ɩɪɚɜɚ ɪ ɤɨʁɚ ɦɢɧɭɜɚ ɧɢɡ ɧɢɜ ȼɟɥɢɦɟ ɞɟɤɚ ɪ ɟ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɚ ɫɨ Ⱥ ɢ ȼ ɉɢɲɭɜɚɦɟ ɪ Ⱥȼ

8 Ɉɩɪɟɞɟɥɢ ɝɢ ɡɚɟɦɧɢɬɟ ɨɞɧɨɫɢ ɦɟɼɭ ɬɨɱɤɢɬɟ ɢ ɩɪɚɜɢɬɟ ɧɚ ɰɪɬɟɠɨɬ ɩɨɞ ɚ ɢ ɡɚɟɦɧɢɬɟ ɨɞɧɨɫɢ ɧɚ ɬɨɱɤɢɬɟ ɢ ɪɚɦɧɢɧɢɬɟ ɧɚ ɰɪɬɟɠɨɬ ɩɨɞ ɛ

A a

% 1

1 L c ɚ

M ȕ

C ɛ

9 ɇɚɰɪɬɚʁ ɬɪɢ ɬɨɱɤɢ Ⱥ ȼ ɢ ɋ Ʉɨɥɤɭ ɩɪɚɜɢ ɨɩɪɟɞɟɥɭɜɚɚɬ ɬɢɟ ɬɨɱɤɢ" ȼɧɢɦɚɜɚʁ ɢɦɚ ɞɜɚ ɨɞɝɨɜɨɪɢ 10 ɇɚɰɪɬɚʁ ɱɟɬɢɪɢ ɬɨɱɤɢ ɜɨ ɟɞɧɚ ɪɚɦɧɢɧɚ Ʉɨɥɤɭ ɩɪɚɜɢ ɨɩɪɟɞɟɥɭɜɚɚɬ ɬɢɟ ɬɨɱɤɢ" ȼɧɢɦɚɜɚʁ ɢɦɚ ɬɪɢ ɨɞɝɨɜɨɪɢ 11 ɇɚɰɪɬɚʁ ɟɞɧɚ ɩɪɚɜɚ ɪ ɢ ɬɨɱɤɢ Ɇ 1 ɪ ɜɨ ɟɞɧɚ ɪɚɦɧɢɧɚ ɇɚɰɪɬɚʁ ɬɨɱɤɢ Ⱥ ȼ ɋ ɪ Ʉɨɥɤɭ ɩɪɚɜɢ ɨɩɪɟɞɟɥɭɜɚɚɬ ɬɨɱɤɢɬɟ Ⱥ ȼ ɋ Ɇ ɢ 1" ȼɧɢɦɚɜɚʁ ɢɦɚ ɩɨɜɟʅɟ ɫɥɭɱɚɢ ɢ ɞɜɚ ɨɞɝɨɜɨɪɢ

ЗАЕМЕН ОДНОС НА ПРАВА И РАМНИНА 1 ɇɢɧɚ ɝɨ ɫɬɚɜɢɥɚ ɦɨɥɢɜɨɬ ɧɚ ɤɥɭɩɚɬɚ ȼɟɥɢɦɟ ɞɟɤɚ ɦɨɥɢɜɨɬ ɥɟɠɢ ɧɚ ɤɥɭɩɚɬɚ Ⱥɤɨ ɦɨɥɢɜɨɬ ɝɨ ɡɚɦɢɫɥɢɦɟ ɤɚɤɨ ɩɪɚɜɚ ɚ ɩɨɜɪɲɢɧɚɬɚ ɧɚ ɤɥɭɩɚɬɚ ɤɚɤɨ ɪɚɦɧɢɧɚ ɬɨɝɚɲ ɩɪɚɜɚɬɚ ɥɟɠɢ ɜɨ ɪɚɦɧɢɧɚɬɚ 2 Ɂɚ ɟɞɧɚ ɩɪɚɜɚ ɪ ɜɟɥɢɦɟ ɞɟɤɚ ɥɟɠɢ ɜɨ ɪɚɦɧɢɧɚ Į ɚɤɨ ɫɟɤɨʁɚ ɬɨɱɤɚ ɨɞ ɩɪɚɜɚɬɚ ɪ ɥɟɠɢ ɜɨ ɪɚɦɧɢɧɚɬɚ Į 3 Ⱥɤɨ Ⱥ ɢ ȼ ɫɟ ɪɚɡɥɢɱɧɢ ɬɨɱɤɢ ɨɞ ɟɞɧɚ ɩɪɚɜɚ ɪ ɢ ɚɤɨ Ⱥ ɢ ȼ ɥɟɠɚɬ ɜɨ ɟɞɧɚ ɪɚɦɧɢɧɚ Į ɬɨɝɚɲ ɩɪɚɜɚɬɚ ɪ ɥɟɠɢ ɜɨ ɪɚɦɧɢɧɚɬɚ Į

Ⱥ Į

4 ɉɪɢ ɲɢɟʃɟ ɢɝɥɚɬɚ ʁɚ ɩɪɨɛɨɞɭɜɚ ɬɤɚɟɧɢɧɚɬɚ Ⱥɤɨ ɢɝɥɚɬɚ ʁɚ ɡɚɦɢɫɥɢɦɟ ɤɚɤɨ ɩɪɚɜɚ ɚ ɬɤɚɟɧɢɧɚɬɚ ɤɚɤɨ ɪɚɦɧɢɧɚ ɬɨɝɚɲ ɩɪɚɜɚɬɚ ʁɚ ɩɪɨɛɨɞɭɜɚ ɪɚɦɧɢɧɚɬɚ 5

ɪ Ɂɚ ɟɞɧɚ ɩɪɚɜɚ ɪ ɜɟɥɢɦɟ ɞɟɤɚ ʁɚ ɩɪɨɛɨɞɭɜɚ ɪɚɦɧɢɧɚɬɚ Į ɚɤɨ ɪ ɢ Į ɢɦɚɚɬ ɬɨɱɧɨ ɟɞɧɚ ɡɚɟɞɧɢɱɤɚ ɬɨɱɤɚ Ⱥ Ɍɨɱɤɚɬɚ Ⱥ ɫɟ ɜɢɤɚ ɩɪɨɛɨɞ ɧɚ ɪɚɦɧɢɧɚɬɚ Į ɫɨ ɩɪɚɜɚɬɚ ɪ

6 Ɇɨɥɢɜɨɬ ɥɟɠɢ ɜɨ ɪɚɦɧɢɧɚɬɚ ɧɚ ɤɥɭɩɚɬɚ ɧɨ ɧɟ ɥɟɠɢ ɜɨ ɪɚɦɧɢɧɚɬɚ ɧɚ ɩɨɞɨɬ ɂɫɬɨ ɬɚɤɚ ɩɪɚɜɚɬɚ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɚ ɫɨ ɦɨɥɢɜɨɬ ɧɟ ʁɚ ɩɪɨɛɨɞɭɜɚ ɪɚɦɧɢɧɚɬɚ ɧɚ ɩɨɞɨɬ 7

Ⱥɤɨ ɟɞɧɚ ɩɪɚɜɚ ɪ ɢ ɟɞɧɚ ɪɚɦɧɢɧɚ Į ɧɟɦɚɚɬ ɡɚɟɞɧɢɱɤɢ ɬɨɱɤɢ ɬɨɝɚɲ ɜɟɥɢɦɟ ɞɟɤɚ ɪ ɟ ɩɚɪɚɥɟɥɧɚ ɫɨ ɪɚɦɧɢɧɚɬɚ Į c

8 Ɉɩɪɟɞɟɥɢ ɝɢ ɡɚɟɦɧɢɬɟ ɨɞɧɨɫɢ ɦɟɼɭ ɩɪɚɜɢɬɟ ɢ ɪɚɦɧɢɧɢɬɟ ɧɚ ɰɪɬɟɠɨɬ

9 Ʉɚɤɜɚ ɟ ɡɚɟɦɧɚɬɚ ɩɨɥɨɠɛɚ ɧɚ ɞɜɟ ɪɚɡɥɢɱɧɢ ɩɪɚɜɢ p ɢ q ɲɬɨ ɥɟɠɚɬ ɜɨ ɢɫɬɚ ɪɚɦɧɢɧɚ"

d ɪ

10 ɇɚɩɪɚɜɢ ɦɨɞɟɥ ɧɚ ɪɚɦɧɢɧɚɬɚ ɨɞ ɤɚɪɬɨɧ ɢ ɩɪɚɜɚ ɨɞ ɠɢɰɚ ɢ ɩɪɟɬɫɬɚɜɢ ɝɢ ɧɢɜɧɢɬɟ ɡɚɟɦɧɢ ɩɨɥɨɠɛɢ 61

ЗАЕМЕН ОДНОС НА ДВЕ РАМНИНИ 1 Ⱦɟɧɢɫ ɝɨ ɫɬɚɜɢɥ ɥɢɫɬɨɬ ɯɚɪɬɢʁɚ ɧɚ ɤɥɭɩɚɬɚ Ɂɚɛɟɥɟɠɚɥ ɞɟɤɚ ɫɢɬɟ ɬɨɱɤɢ ɨɞ ɪɚɦɧɢɧɚɬɚ ɧɚ ɥɢɫɬɨɬ ɥɟɠɚɬ ɜɨ ɪɚɦɧɢɧɚɬɚ ɧɚ ɤɥɭɩɚɬɚ 2 Ⱥɤɨ ɫɢɬɟ ɬɨɱɤɢ ɧɚ ɞɜɟ ɪɚɦɧɢɧɢ ɢɦ ɫɟ ɡɚɟɞɧɢɱɤɢ ɬɨɝɚɲ ɜɟɥɢɦɟ ɞɟɤɚ ɪɚɦɧɢɧɢɬɟ ɫɟ ɩɨɤɥɨɩɭɜɚɚɬ ɨɞɧɨɫɧɨ ɞɟɤɚ ɬɨɚ ɟ ɟɞɧɚ ɪɚɦɧɢɧɚ

Į ȕ

3 ɉɨɞɨɬ ɢ ɬɚɜɚɧɨɬ ɜɨ ɭɱɢɥɧɢɰɚɬɚ ɨɩɪɟɞɟɥɭɜɚɚɬ ɞɜɟ ɪɚɦɧɢɧɢ Ʉɨɥɤɭ ɡɚɟɞɧɢɱɤɢ ɬɨɱɤɢ ɢɦɚɚɬ ɬɢɟ ɞɜɟ ɪɚɦɧɢɧɢ" 4 Ⱥɤɨ ɞɜɟ ɪɚɦɧɢɧɢ ɧɟɦɚɚɬ ɧɢɬɭ ɟɞɧɚ ɡɚɟɞɧɢɱɤɚ ɬɨɱɤɚ ɬɢɟ ɫɟ ɧɚɪɟɤɭɜɚɚɬ ɩɚɪɚɥɟɥɧɢ ɪɚɦɧɢɧɢ

Į ȕ Į __ ȕ

5 Ʉɚɤɜɢ ɪɚɦɧɢɧɢ ɨɩɪɟɞɟɥɭɜɚɚɬ ɚ ɩɨɥɢɰɢɬɟ ɜɨ ɟɞɟɧ ɲɤɚɮ" ɛ ɫɩɪɨɬɢɜɧɢɬɟ ɾɢɞɨɜɢ ɜɨ ɭɱɢɥɧɢɰɚɬɚ" 6 Ɉɬɜɨɪɟɬɟ ɝɨ ɭɱɟɛɧɢɤɨɬ ɩɨ ɦɚɬɟɦɚɬɢɤɚ ɒɬɨ ɢɦɚɚɬ ɡɚɟɞɧɢɱɤɨ ɪɚɦɧɢɧɢɬɟ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢ ɫɨ ɤɨɪɢɰɢɬɟ" 7

Ⱥɤɨ ɡɚ ɞɜɟ ɪɚɡɥɢɱɧɢ ɪɚɦɧɢɧɢ Į ɢ ȕ ɩɨɫɬɨɢ ɩɪɚɜɚ ɪ ɤɨʁɚ ɥɟɠɢ ɢ ɜɨ Į ɢ ɜɨ ȕ ɬɨɝɚɲ ɜɟɥɢɦɟ ɞɟɤɚ ɪɚɦɧɢɧɢɬɟ ɫɟ ɫɟɱɚɬ Ɂɚɟɞɧɢɱɤɚɬɚ ɩɪɚɜɚ ɫɟ ɜɢɤɚ ɧɢɜɟɧ ɩɪɟɫɟɤ ɨɞɧɨɫɧɨ ɩɪɟɫɟɱɧɚ ɩɪɚɜɚ

8 Ⱥɤɨ ɞɜɟ ɪɚɡɥɢɱɧɢ ɪɚɦɧɢɧɢ ɢɦɚɚɬ ɡɚɟɞɧɢɱɤɚ ɬɨɱɤɚ ɬɨɝɚɲ ɬɢɟ ɢɦɚɚɬ ɡɚɟɞɧɢɱɤɚ ɩɪɚɜɚ 9 Ɋɚɡɝɥɟɞɚʁ ɩɪɢɦɟɪɢ ɨɞ ɬɜɨʁɚɬɚ ɨɤɨɥɢɧɚ ɧɚ ɩɚɪɚɥɟɥɧɢ ɪɚɦɧɢɧɢ ɢ ɪɚɦɧɢɧɢ ɤɨɢ ɫɟ ɫɟɱɚɬ 62

ХОРИЗОНТАЛНИ, ВЕРТИКАЛНИ И КОСИ РАМНИНИ 1 ɂɜɚɧ Ɇɟɪɢ ɢ Ʉɟɦɚɥ ɧɚɩɨɥɧɢɥɟ ɬɪɢ ɫɚɞɚ ɫɨ ɜɨɞɚ ɢ ɝɢ ɩɨɫɬɚɜɢɥɟ ɜɨ ɬɪɢɬɟ ɩɨɥɨɠɛɢ ɒɬɨ ɡɚɛɟɥɟɠɚɥɟ" ɉɨɜɪɲɢɧɚɬɚ ɧɚ ɜɨɞɚɬɚ ɜɨ ɬɪɢɬɟ ɩɨɥɨɠɛɢ ɟ ɢɫɬɚ Ɋɚɦɧɢɧɚɬɚ ɤɨʁɚ ɢɦɚ ɢɫɬɚ ɩɨɥɨɠɛɚ ɨɞɧɨɫɧɨ ɟ ɩɚɪɚɥɟɥɧɚ ɫɨ ɪɚɦɧɢɧɚɬɚ ɧɚ ɩɨɜɪɲɢɧɚɬɚ ɧɚ ɦɢɪɧɚ ɜɨɞɚ ɫɟ ɜɢɤɚ ɜɨɞɨɪɚɦɧɚ ɨɞɧɨɫɧɨ ɯɨɪɢɡɨɧɬɚɥɧɚ ɪɚɦɧɢɧɚ ɉɪɚɜɚ ɲɬɨ ɥɟɠɢ ɜɨ ɯɨɪɢɡɨɧɬɚɥɧɚ ɪɚɦɧɢɧɚ ɫɟ ɜɢɤɚ ɯɨɪɢɡɨɧɬɚɥɧɚ ɩɪɚɜɚ 4 Ⱦɚɥɢ ɟɞɧɚ ɪɚɦɧɢɧɚ ɟ ɯɨɪɢɡɨɧɬɚɥɧɚ ɫɟ ɩɪɨɜɟɪɭɜɚ ɫɨ ɥɢɛɟɥɚ

ɧɟ ɟ ɯɨɪɢɡɨɧɬɚɥɧɚ

ɟ ɯɨɪɢɡɨɧɬɚɥɧD

5 ɋɨ ɥɢɛɟɥɚ ɩɪɨɜɟɪɢ ɞɚɥɢ ɫɟ ɯɨɪɢɡɨɧɬɚɥɧɢ ɪɚɡɧɢ ɪɚɦɧɢɧɢ ɜɨ ɬɜɨʁɨɬ ɞɨɦ ɢ ɜɨ ɬɜɨʁɚɬɚ ɭɱɢɥɧɢɰɚ 6 Ʉɚɤɜɚ ɩɨɥɨɠɛɚ ɢɦɚɚɬ ɧɨɝɚɪɤɢɬɟ ɧɚ ɦɚɫɚɬɚ" 7 Ȱɢɞɚɪɨɬ ɩɪɢ ɾɢɞɚʃɟ ɾɢɞ ɤɨɪɢɫɬɢ ɧɚɩɪɚɜɚ ɤɨʁɚ ɫɟ ɜɢɤɚ ɜɢɫɨɤ ȼɢɫɨɤɨɬ ɟ ɧɚɩɪɚɜɟɧ ɨɞ ɦɟɬɚɥɟɧ ɞɟɥ ɜɪɡɚɧ ɫɨ ɤɨɧɟɰ ɢ ɦɟɬɚɥɧɚ ɩɥɨɱɤɚ ɫɨ ɞɭɩɤɚ ɧɢɡ ɤɨʁɚ ɦɢɧɭɜɚ ɤɨɧɟɰɨɬ Ʉɨɝɚ ɦɟɬɚɥɧɢɨɬ ɞɟɥ ɫɟ ɩɭɲɬɚ ɞɚ ɜɢɫɢ ɫɥɨɛɨɞɧɨ ɤɨɧɟɰɨɬ ɫɟ ɨɩɬɟɝɧɭɜɚ ɉɪɚɜɚ ɤɨʁɚ ɢɦɚ ɩɨɥɨɠɛɚ ɤɚɤɨ ɨɩɬɟɝɧɚɬɢɨɬ ɤɨɧɟɰ ɫɟ ɜɢɤɚ ɜɟɪɬɢɤɚɥɧɚ ɩɪɚɜɚ Ɋɚɦɧɢɧɚ ɜɨ ɤɨʁɚ ɥɟɠɢ ɜɟɪɬɢɤɚɥɧɚ ɩɪɚɜɚ ɫɟ ɜɢɤɚ ɜɟɪɬɢɤɚɥɧɚ ɪɚɦɧɢɧɚ 9 Ⱦɚɥɢ ɾɢɞɨɜɢɬɟ ɧɚ ɬɜɨʁɚɬɚ ɭɱɢɥɧɢɰɚ ɫɟ ɜɟɪɬɢɤɚɥɧɢ" 10 Ɋɚɡɝɥɟɞɚʁ ɪɚɦɧɢɧɢ ɜɨ ɬɜɨʁɚɬɚ ɨɤɨɥɢɧɚ ɢ ɩɪɨɜɟɪɢ ɫɨ ɜɢɫɨɤ ɞɚɥɢ ɬɢɟ ɫɟ ɜɟɪɬɢɤɚɥɧɢ 11 ɉɨɝɥɟɞɚʁ ɧɟɤɨɥɤɭ ɤɪɨɜɨɜɢ ɧɚ ɤɭʅɢ Ⱦɚɥɢ ɪɚɦɧɢɧɢɬɟ ɲɬɨ ɝɢ ɝɥɟɞɚɲ ɫɟ ɯɨɪɢɡɨɧɬɚɥɧɢ ɢɥɢ ɜɟɪɬɢɤɚɥɧɢ" Ɂɚɛɟɥɟɠɭɜɚɲ ɞɟɤɚ ɬɢɟ ɧɟ ɫɟ ɧɢ ɯɨɪɢɡɨɧɬɚɥɧɢ ɧɢ ɜɟɪɬɢɤɚɥɧɢ Ɋɚɦɧɢɧɚ ɤɨʁɚ ɧɟ ɟ ɧɢ ɯɨɪɢɡɨɧɬɚɥɧɚ ɧɢ ɜɟɪɬɢɤɚɥɧɚ ɫɟ ɜɢɤɚ ɤɨɫɚ ɪɚɦɧɢɧɚ ɉɪɚɜɚ ɤɨʁɚ ɧɟ ɟ ɧɢ ɯɨɪɢɡɨɧɬɚɥɧɚ ɧɢ ɜɟɪɬɢɤɚɥɧɚ ɫɟ ɜɢɤɚ ɤɨɫɚ ɩɪɚɜɚ 63

ИСКРШЕНА ЛИНИЈА 1 ɇɚ ɰɪɬ ɫɟ ɧɚɰɪɬɚɧɢ ɞɜɟ ɢɫɤɪɲɟɧɢ ɥɢɧɢɢ ɇɢɜ ɦɨɠɟɦɟ ɞɚ ɝɢ ɪɚɡɝɥɟɞɭɜɚɦɟ ɤɚɤɨ ³ɧɚɧɢɠɚɧɢ´ ɨɬɫɟɱɤɢ ɟɞɧɚ ɧɚ ɞɪɭɝɚ ɂɫɤɪɲɟɧɚɬɚ ɥɢɧɢʁɚ ɩɨɞ ɚ ɟ ɫɨɫɬɚɜɟɧɚ ɨɞ ɨɬɫɟɱɤɢ Ⱥȼ ȼɋ ɋ' '( ɢ () ɇɟɚ ʁɚ ɨɡɧɚɱɭɜɚɦɟ ɫɨ Ⱥȼɋ'ȿ) ɢɥɢ )ȿ'&%$ ɂɫɤɪɲɟɧɚɬɚ ɥɢɧɢʁɚ ɩɨɞ ɛ ɟ ɫɨɫɬɚɜɟɧɚ ɨɞ ɨɬɫɟɱɤɢ 01 13 34 ɢ 40 ɇɟɚ ʁɚ ɨɡɧɚɱɭɜɚɦɟ ɫɨ 01340 ɢɥɢ 13401 ɢɥɢ 34013 ɢɥɢ 40134 ɢɥɢ 04310 ɢɥɢ 43104 ɢɥɢ 31043 ɢɥɢ 10431

$ (

& ) 1 ɛ

3 0 ɰɪɬ

Ɉɬɫɟɱɤɢɬɟ ɨɞ ɤɨɢ ɟ ɫɨɫɬɚɜɟɧɚ ɧɚɧɢɠɚɧɚ ɟɞɧɚ ɢɫɤɪɲɟɧɚ ɥɢɧɢʁɚ ɫɟ ɜɢɤɚɚɬ ɫɬɪɚɧɢ ɚ ɧɢɜɧɢɬɟ ɤɪɚʁɧɢ ɬɨɱɤɢ ɫɟ ɜɢɤɚɚɬ ɬɟɦɢʃɚ ɧɚ ɢɫɤɪɲɟɧɚɬɚ ɥɢɧɢʁɚ ɂɫɤɪɲɟɧɚɬɚ ɥɢɧɢʁɚ Ⱥȼɋ'ȿ) ɨɞ ɰɪɬ ɩɨɞ ɚ ɫɟ ɜɢɤɚ ɨɬɜɨɪɟɧɚ ɥɢɧɢʁɚ ɂɫɤɪɲɟɧɚɬɚ ɥɢɧɢʁɚ 01340 ɨɞ ɰɪɬ ɩɨɞ ɛ ɫɟ ɜɢɤɚ ɡɚɬɜɨɪɟɧɚ ɥɢɧɢʁɚ 2 ɂɦɟɧɭɜɚʁ ɝɢ ɢɫɤɪɲɟɧɢɬɟ ɥɢɧɢɢ ɧɚ ɰɪɬ ɂɦɟɧɭɜɚʁ ɝɢ ɧɢɜɧɢɬɟ ɫɬɪɚɧɢ ɢ ɬɟɦɢʃɚ Ʉɨɢ ɨɞ ɧɢɜ ɫɟ ɨɬɜɨɪɟɧɢ" $ 3 ɇɚ ɰɪɬ ɫɟ ɧɚɰɪɬɚɧɢ ɬɪɢ ɢɫɤɪɲɟɧɢ ɥɢɧɢɢ ɂɫɤɪɲɟɧɢɬɟ 8 ɥɢɧɢɢ 67896 ɢ $%&'()Ⱥ ɫɟ ɡɚɬɜɨɪɟɧɢ ɚ 01345 ɟ ɨɬɜɨɪɟɧɚ ɂɫɤɪɲɟɧɚɬɚ ɥɢɧɢʁɚ 67896 ɫɚɦɚɬɚ ɫɟ ɩɪɟɫɟɤɭɜɚ ɞɨɞɟɤɚ $%&'()Ⱥ ɧɟ ɫɟ ɩɪɟɫɟɤɭɜɚ ɫɚɦɚɬɚ 4

1 4

& ɚ

(

ɰɪɬ

3 9

)

Ɂɚɬɜɨɪɟɧɚ ɢɫɤɪɲɟɧɚ ɥɢɧɢʁɚ ɤɨʁɚ ɧɟ ɫɟ ɩɪɟɫɟɤɭɜɚ ɫɟɛɟɫɢ ɫɟ ɜɢɤɚ ɦɧɨɝɭɚɝɨɥɧɚ ɥɢɧɢʁɚ

6 Ⱦɚɥɢ ɦɨɠɟɲ ɞɚ ɧɚɰɪɬɚɲ ɦɧɨɝɭɚɝɨɥɧɚ ɥɢɧɢʁɚ ɫɨɫɬɚɜɟɧɚ ɨɞ ɚ ɟɞɧɚ ɨɬɫɟɱɤɚ ɛ ɞɜɟ ɨɬɫɟɱɤɢ" ȼɧɢɦɚɜɚʁ

% &

5 4 ɰɪɬ

5 ɇɚɰɪɬɚʁ ɦɧɨɝɭɚɝɨɥɧɚ ɥɢɧɢʁɚ ɫɨɫɬɚɜɟɧɚ ɨɞ ɚ ɬɪɢ ɨɬɫɟɱɤɢ ɛ ɩɟɬ ɨɬɫɟɱɤɢ ɜ ɨɫɭɦ ɨɬɫɟɱɤɢ

(

МНОГУАГОЛНИК 1 ɇɚ ɰɪɬ ɟ ɧɚɰɪɬɚɧɚ ɦɧɨɝɭɚɝɨɥɧɚ ɥɢɧɢʁɚ $%&'()Ⱥ ɜɨ ɪɚɦɧɢɧɚ Į Ɍɚɚ ʁɚ ɞɟɥɢ ɪɚɦɧɢɧɚɬɚ ɧɚ ɞɜɚ ɞɟɥɚ Ⱦɚɥɢ ɦɨɠɟɲ ɞɚ ɧɚɰɪɬɚɲ ɩɪɚɜɚ ɲɬɨ ɥɟɠɢ ɜɨ ɞɟɥɨɬ ɨɛɨɟɧ ɫɨ ɚ ɠɨɥɬɚ ɛɨʁɚ ɛ ɫɢɧɚ ɛɨʁɚ"

(

)

& %

ɰɪɬ 2

ɋɟɤɨʁɚ ɦɧɨɝɭɚɝɨɥɧɚ ɥɢɧɢʁɚ ɜɨ ɪɚɦɧɢɧɚ ʁɚ ɞɟɥɢ ɪɚɦɧɢɧɚɬɚ ɧɚ ɞɜɚ ɞɟɥɚ ȼɨ ɟɞɧɢɨɬ ɨɞ ɧɢɜ ɦɨɠɟ ɞɚ ɫɟ ɧɚɰɪɬɚ ɚ ɜɨ ɞɪɭɝɢɨɬ ɧɟ ɦɨɠɟ ɞɚ ɫɟ ɧɚɰɪɬɚ ɩɪɚɜɚ

3 Ɇɧɨɝɭɚɝɨɥɧɚ ɥɢɧɢʁɚ ɜɨ ɪɚɦɧɢɧɚ ɡɚɟɞɧɨ ɫɨ ɞɟɥɨɬ ɨɞ ɪɚɦɧɢɧɚɬɚ ɜɨ ɤɨʁ ɧɟ ɦɨɠɟ ɞɚ ɫɟ ɧɚɰɪɬɚ ɩɪɚɜɚ ɫɟ ɜɢɤɚ ɦɧɨɝɭɚɝɨɥɧɢɤ Ɇɧɨɝɭɚɝɨɥɧɚɬɚ ɥɢɧɢʁɚ ɫɟ ɜɢɤɚ ɝɪɚɧɢɰɚ ɡɚ ɦɧɨɝɭɚɝɨɥɧɢɤɨɬ ɚ ɞɟɥɨɬ ɨɞ ɪɚɦɧɢɧɚɬɚ ɫɟ ɜɢɤɚ ɜɧɚɬɪɟɲɧɨɫɬ ɡɚ ɦɧɨɝɭɚɝɨɥɧɢɤɨɬ ɋɬɪɚɧɢɬɟ ɧɚ ɦɧɨɝɭɚɝɨɥɧɚɬɚ ɥɢɧɢʁɚ ɫɟ ɜɢɤɚɚɬ ɫɬɪɚɧɢ ɧɚ ɦɧɨɝɭɚɝɨɥɧɢɤɨɬ ɚ ɬɟɦɢʃɚɬɚ ɧɚ ɦɧɨɝɭɚɝɨɥɧɚɬɚ ɥɢɧɢʁɚ ɫɟ ɜɢɤɚɚɬ ɬɟɦɢʃɚ ɧɚ ɦɧɨɝɭɚɝɨɥɧɢɤɨɬ Ⱦɜɟ ɫɬɪɚɧɢ ɲɬɨ ɢɦɚɚɬ ɡɚɟɞɧɢɱɤɚ ɤɪɚʁɧɚ ɬɨɱɤɚ ɫɟ ɜɢɤɚɚɬ ɫɨɫɟɞɧɢ ɫɬɪɚɧɢ Ɇɧɨɝɭɚɝɨɥɧɢɤ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧ ɫɨ ɦɧɨɝɭɚɝɨɥɧɚ ɥɢɧɢʁɚ $%&'()$ ɫɟ ɨɡɧɚɱɭɜɚ ɫɨ $%&'() 4 ɇɚ ɰɪɬ ɫɟ ɧɚɰɪɬɚɧɢ ɦɧɨɝɭɚɝɨɥɧɢɰɢ ' & $ $

% )

(

% ' &

$ % ɝ

(

& $

(

) ɞ

ɰɪɬ ɋɩɨɪɟɞɢ ɝɨ ɛɪɨʁɨɬ ɧɚ ɫɬɪɚɧɢ ɫɨ ɛɪɨʁɨɬ ɧɚ ɬɟɦɢʃɚ ɜɨ ɫɟɤɨʁ ɨɞ ɧɢɜ ɋɢɝɭɪɧɨ ɡɚɛɟɥɟɠɚ ɞɟɤɚ ɬɢɟ ɛɪɨɟɜɢ ɫɟ ɢɫɬɢ 65

5 ɋɩɨɪɟɞ ɛɪɨʁɨɬ ɧɚ ɫɬɪɚɧɢɬɟ ɦɧɨɝɭɚɝɨɥɧɢɰɢɬɟ ɫɟ ɜɢɤɚɚɬ ɋɬɪɚɧɢ

ɂɦɟ

ɋɬɪɚɧɢ

ɂɦɟ

7ɪɢɚɝɨɥɧɢɤ

Ɉɫɭɦɚɝɨɥɧɢɤ

ɑɟɬɢɪɢɚɝɨɥɧɢɤ

Ⱦɟɜɟɬɚɝɨɥɧɢɤ

ɉɟɬɚɝɨɥɧɢɤ

Ⱦɟɫɟɬɚɝɨɥɧɢɤ

ɒɟɫɬɚɝɨɥɧɢɤ

Ⱦɜɚɟɫɟɬɚɝɨɥɧɢɤ

ɋɟɞɭɦɚɝɨɥɧɢɤ

100

ɋɬɨɚɝɨɥɧɢɤ

6 ɇɚ ɰɪɬɟɠɨɬ ɟ ɧɚɰɪɬɚɧ ɞɟɜɟɬɚɝɨɥɧɢɤ $%&'()*+, ɋɨɫɟɞɧɢ ɫɬɪɚɧɢ ɧɚ Ⱥ ɫɬɪɚɧɚɬɚ &' ɫɟ ɫɬɪɚɧɢɬɟ %& ɢ '( Ʉɨɢ ɫɟ ɫɨɫɟɞɧɢ ɫɬɪɚɧɢ ɧɚ ɫɬɪɚɧɚɬɚ +,"

E F

H B

7 ɇɚ ɰɪɬ ɧɚɰɪɬɚɧ ɟ ɟɞɟɧ ɩɟɬɚɝɨɥɧɢɤ $%&'( ɇɟɝɨɜɢɬɟ ɫɬɪɚɧɢ ɨɩɪɟɞɟɥɭɜɚɚɬ ɩɟɬ ɚɝɥɢ ɨɡɧɚɱɟɧɢ ɫɨ Į ȕ Ȗ į ɢ ʌ Ɍɢɟ ɫɟ ɜɢɤɚɚɬ ɚɝɥɢ ɧɚ ɦɧɨɝɭɚɝɨɥɧɢɤɨɬ

C į D

Ⱥ Į

8 Ʉɨɥɤɭ ɚɝɥɢ ɢɦɚ ɟɞɟɧ ɟɞɢɧɚɟɫɟɬɚɝɨɥɧɢɤ"

ɰɪɬ

9 ɇɚ ɰɪɬ ɫɟ ɧɚɰɪɬɚɧɢ ɱɟɬɢɪɢ ɬɨɱɤɢ $ % & ' Ɍɢɟ ɫɟ ɬɟɦɢʃɚ ɧɚ ɞɜɚ ɪɚɡɥɢɱɧɢ ɱɟɬɢɪɢɚɝɨɥɧɢɰɢ $%&' ɚ ɢ $&%' ɛ ɉɪɢ ɡɚɩɢɲɭɜɚʃɟɬɨ ɧɚ ɦɧɨɝɭɚɝɨɥɧɢɰɢɬɟ ɪɚɫɩɨɪɟɞɨɬ ɟ ɛɢɬɟɧ ɇɟ ɫɦɟɟ ɞɚ ɫɟ ɦɟɧɭɜɚ

B D

ɰɪɬ

C D

10 ɇɚɰɪɬɚʁ ɟɞɟɧ ɞɜɚɧɚɟɫɟɬɚɝɨɥɧɢɤ ɂɦɟɧɭɜɚʁ ɝɢ ɧɟɝɨɜɢɬɟ ɟɥɟɦɟɧɬɢ ɫɬɪɚɧɢ ɬɟɦɢʃɚ ɢ ɚɝɥɢ 66

ТРИАГОЛНИК, ПРАВОАГОЛНИК И КВАДРАТ 1 Ɍɪɢɚɝɨɥɧɢɤ ɟ ɦɧɨɝɭɚɝɨɥɧɢɤ ɫɨ ɬɪɢ ɫɬɪɚɧɢ ɬɪɢ ɬɟɦɢʃɚ ɢ ɬɪɢ ɚɝɥɢ 2 ɋɩɨɪɟɞ ɞɨɥɠɢɧɢɬɟ ɧɚ ɫɬɪɚɧɢɬɟ ɟɞɟɧ ɬɪɢɚɝɨɥɧɢɤ ɫɟ ɜɢɤɚ ɚ ɪɚɡɧɨɫɬɪɚɧ ɤɨɝɚ ɧɟɝɨɜɢɬɟ ɫɬɪɚɧɢ ɢɦɚɚɬ ɬɪɢ ɪɚɡɥɢɱɧɢ ɞɨɥɠɢɧɢ ɛ ɪɚɦɧɨɤɪɚɤ ɤɨɝɚ ɞɜɟ ɫɬɪɚɧɢ ɢɦɚɚɬ ɢɫɬɢ ɞɨɥɠɢɧɢ Ɍɢɟ ɞɜɟ ɫɬɪɚɧɢ ɫɟ ɜɢɤɚɚɬ ɤɪɚɰɢ ɚ ɬɪɟɬɚɬɚ ɫɬɪɚɧɚ ɫɟ ɜɢɤɚ ɨɫɧɨɜɚ ɜ ɪɚɦɧɨɫɬɪɚɧ ɤɨɝɚ ɧɟɝɨɜɢɬɟ ɫɬɪɚɧɢ ɢɦɚɚɬ ɢɫɬɢ ɞɨɥɠɢɧɢ B

ɚɤ ɤɪ

ɚɤ

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ɤɪ

C A

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3 Ʉɚɤɜɚ ɟ ɜɪɫɤɚɬɚ ɦɟɼɭ ɚɝɥɢɬɟ ɧɚ ɪɚɦɧɨɫɬɪɚɧ ɬɪɢɚɝɨɥɧɢɤ" 4 ɋɩɨɪɟɞ ɚɝɥɢɬɟ ɟɞɟɧ ɬɪɢɚɝɨɥɧɢɤ ɫɟ ɜɢɤɚ ɚ ɨɫɬɪɨɚɝɨɥɟɧ ɚɤɨ ɫɢɬɟ ɧɟɝɨɜɢ ɚɝɥɢ ɫɟ ɨɫɬɪɢ ɛ ɩɪɚɜɨɚɝɨɥɟɧ ɚɤɨ ɟɞɟɧ ɧɟɝɨɜ ɚɝɨɥ ɟ ɩɪɚɜ Ɍɨɝɚɲ ɞɪɭɝɢɬɟ ɞɜɚ ɚɝɥɚ ɫɟ ɨɫɬɪɢ ɜ ɬɚɩɨɚɝɨɥɟɧ ɚɤɨ ɟɞɟɧ ɧɟɝɨɜ ɚɝɨɥ ɟ ɬɚɩ Ɍɨɝɚɲ ɞɪɭɝɢɬɟ ɞɜɚ ɚɝɥɢ ɫɟ ɨɫɬɪɢ B A B · B A Rɫɬɪɨɚɝɨɥɟɧ

ɩɪɚɜɨɚɝɨɥɟɧ

ɬɚɩɨɚɝɨɥɟɧ

5 ɚ ɇɚɰɪɬɚʁ ɨɫɬɪɨɚɝɨɥɟɧ ɪɚɦɧɨɤɪɚɤ ɬɪɢɚɝɨɥɧɢɤ ɛ ɇɚɰɪɬɚʁ ɩɪɚɜɨɚɝɨɥɟɧ ɪɚɡɧɨɫɬɪɚɧ ɬɪɢɚɝɨɥɧɢɤ ɜ Ⱦɚɥɢ ɦɨɠɟɲ ɞɚ ɧɚɰɪɬɚɲ ɪɚɦɧɨɫɬɪɚɧ ɬɚɩɨɚɝɨɥɟɧ ɬɪɢɚɝɨɥɧɢɤ" 6

ɑɟɬɢɪɢɚɝɨɥɧɢɤ ɤɚʁ ɤɨʁ ɫɢɬɟ ɚɝɥɢ ɫɟ ɩɪɚɜɢ ɫɟ ɜɢɤɚ ɩɪɚɜɨɚɝɨɥɧɢɤ ɉɪɚɜɨɚɝɨɥɧɢɤ ɤɚʁ ɤɨʁ ɫɢɬɟ ɫɬɪɚɧɢ ɢɦɚɚɬ ɢɫɬɢ ɞɨɥɠɢɧɢ ɫɟ ɜɢɤɚ ɤɜɚɞɪɚɬ

7 Ⱥɤɨ $%&' ɟ ɩɪɚɜɨɚɝɨɥɧɢɤ ɬɨɝɚɲ ɫɬɪɚɧɢɬɟ $% ɢ &' ɢɦɚɚɬ ɢɫɬɢ ɞɨɥɠɢɧɢ ɂɫɬɨ ɬɚɤɚ ɢ ɫɬɪɚɧɢɬɟ %& ɢ '$ ɢɦɚɚɬ ɢɫɬɢ ɞɨɥɠɢɧɢ ɚ b B C B C ɚ A

ɚ b ɩɪɚɜɨɚɝɨɥɧɢɤ

ɚ A

ɚ ɚ D ɤɜɚɞɪɚɬ 67

лЪлЋлалўлюлЋлблљла 1 ╔Ђ╔Д╔џ╔Ъ╔▓ ╔ъ╔Ъ╔ц╔џ ╔ъ╔е╔Ц╔а╔б╔Д╔џ ╔Д╔џ ╔б╔Ф╔ц╔ф╔▓╔Ъ╔Д╔џ ╔Ц╔б╔Д╔б╩Ђ╔џ ╔Ъ ╔А╔Џ╔б╔ф╔е╔г ╔Д╔џ ╔ъ╔е╔Ц╔а╔б╔Д╔б╔г╔Ъ ╔Д╔џ ╔е╔г╔Ф╔Ъ╔▒╔ц╔б╔г╔Ъ ╔е╔ъ ╔ц╔е╔б ╔Ъ ╔Ф╔е╔Ф╔г╔џ╔ю╔Ъ╔Д╔џ ╔б╔Ф╔ц╔ф╔▓╔Ъ╔Д╔џ╔г╔џ ╔Ц╔б╔Д╔б╩Ђ╔џ ╔Є╔џ ╔░╔ф╔г╔Ъ╔а╔е╔г ╔Ъ ╔Е╔ф╔Ъ╔г╔Ф╔г╔џ╔ю╔Ъ╔Д╔џ ╔а╔б╔▒╔џ╔Д╔џ ╔е╔Ю╔ф╔џ╔ъ╔џ ╔ё╔е╔Ц╔ц╔Г ╔д╔Ъ╔г╔ф╔б ╔а╔б╔░╔џ ╔Ъ ╔Г╔Е╔е╔г╔ф╔Ъ╔Џ╔Ъ╔Д╔џ" 2

P P

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╔Д╔џ ╔д╔Д╔е╔Ю╔Г╔џ╔Ю╔е╔Ц╔Д╔б╔ц╔е╔г ╔Ѕ╔Ъ╔ф╔б╔д╔Ъ╔г╔џ╔ф╔е╔г ╔Ф╔Ъ ╔е╔А╔Д╔џ╔▒╔Г╔ю╔џ ╔Ф╔е ╔ѕ ╔б╔Ц╔б ╔Ф╔е /

3 ╚Й╔џ ╔Ю╔е ╔Е╔ф╔Ъ╔Ф╔д╔Ъ╔г╔џ╔д╔Ъ ╔Е╔Ъ╔ф╔б╔д╔Ъ╔г╔џ╔ф╔е╔г ╔Д╔џ ╔д╔Д╔е╔Ю╔Г╔џ╔Ю╔е╔Ц╔Д╔б╔ц╔е╔г ╔Д╔џ ╔░╔ф╔г╔Ъ╔а╔е╔г ╔Е╔ф╔б ╔▓╔г╔е ╔ъ╔е╔Ц╔а╔б╔Д╔б╔г╔Ъ ╔Д╔џ ╔Д╔Ъ╔Ю╔е╔ю╔б╔г╔Ъ ╔Ф╔г╔ф╔џ╔Д╔б ╔Ф╔Ъ ╔б╔А╔ф╔џ╔А╔Ъ╔Д╔б ╔ю╔е ╔д╔Ъ╔г╔ф╔б

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6 ╔Ѕ╔Ъ╔ф╔б╔д╔Ъ╔г╔џ╔ф╔е╔г ╔Д╔џ ╔Е╔ф╔џ╔ю╔е╔џ╔Ю╔е╔Ц╔Д╔б╔ц ╔б ╔ц╔ю╔џ╔ъ╔ф╔џ╔г ╔Ф╔Ъ ╔Е╔ф╔Ъ╔Ф╔д╔Ъ╔г╔Г╔ю╔џ ╔Ф╔е ╔«╔е╔ф╔д╔Г╔Ц╔б╔г╔Ъ ╔џ

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7 ɉɟɪɢɦɟɬɚɪɨɬ ɧɚ ɪɚɦɧɨɫɬɪɚɧ ɬɪɢɚɝɨɥɧɢɤ ɟ FP Ʉɨɥɤɭ ɟ ɞɨɥɝɚ ɧɟɝɨɜɚɬɚ ɫɬɪɚɧɚ" 8 ɉɟɪɢɦɟɬɚɪɨɬ ɧɚ ɪɚɦɧɨɤɪɚɤ ɬɪɢɚɝɨɥɧɢɤ ɟ FP ɚ ɧɟɝɨɜɚɬɚ ɨɫɧɨɜɚ ɟ FP Ʉɨɥɤɭ ɟ ɞɨɥɝ ɧɟɝɨɜɢɨɬ ɤɪɚɤ" 9 ȿɞɧɨ ɢɝɪɚɥɢɲɬɟ ɜɨ ɮɨɪɦɚ ɧɚ ɩɪɚɜɨɚɝɨɥɧɢɤ ɢɦɚ ɞɨɥɠɢɧɚ P ɢ ɲɢɪɢɧɚ P Ʉɨɥɤɚɜ ɟ ɧɟɝɨɜɢɨɬ ɩɟɪɢɦɟɬɚɪ"

10 Ⱦɨɥɠɢɧɚɬɚ ɧɚ ɟɞɟɧ ɩɪɚɜɨɚɝɨɥɧɢɤ ɟ FP ɚ ɧɟɝɨɜɢɨɬ ɩɟɪɢɦɟɬɚɪ ɟ FP Ʉɨɥɤɚɜɚ ɟ ɧɟɝɨɜɚɬɚ ɲɢɪɢɧɚ" 11 Ɉɤɨɥɭ ɰɜɟɬɧɚ ɝɪɚɞɢɧɚ ɜɨ ɮɨɪɦɚ ɧɚ ɤɜɚɞɪɚɬ ɫɨ ɫɬɪɚɧɚ P ɧɚɩɪɚɜɟɧɚ ɟ ɩɚɬɟɤɚ ɲɢɪɨɤɚ P Ƚɪɚɞɢɧɚɬɚ ɡɚɟɞɧɨ ɫɨ ɩɚɬɟɤɚɬɚ ɟ ɡɚɝɪɚɞɟɧɚ ɫɨ ɠɢɰɚ Ʉɨɥɤɭ ɦɟɬɪɢ ɠɢɰɚ ɫɟ ɭɩɨɬɪɟɛɟɧɢ ɡɚ ɡɚɝɪɚɞɭɜɚʃɟɬɨ" 12 ɇɚɰɪɬɚʁ ɤɜɚɞɪɚɬ ɫɨ ɩɟɪɢɦɟɬɚɪ FP 13 ɇɚ ɰɪɬɟɠɨɬ $%&' ɟ ɩɪɚɜɨɚɝɨɥɧɢɤ ɫɨ ɩɟɪɢɦɟɬɚɪ FP ɚ &'() ɟ ɤɜɚɞɪɚɬ ɉɟɪɢɦɟɬɚɪɨɬ ɧɚ $()% ɟ FP Ʉɨɥɤɚɜɚ ɟ ɫɬɪɚɧɚɬɚ ɧɚ ɤɜɚɞɪɚɬɨɬ &'()" Ʉɨɥɤɚɜɢ ɫɟ ɫɬɪɚɧɢɬɟ ɧɚ ɩɪɚɜɨɚɝɨɥɧɢɤɨɬ $%&'" %

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14 ȿɞɟɧ ɞɜɨɪ ɢɦɚ ɮɨɪɦɚ ɤɚɤɨ ɧɚ ɰɪɬɟɠɨɬ Ɉɡɧɚɱɟɧɢɬɟ ɞɨɥɠɢɧɢ ɫɟ ɜɨ ɦɟɬɪɢ Ɉɡɧɚɱɟɧɢɬɟ ɚɝɥɢ ɫɟ ɩɪɚɜɢ Ʉɨɥɤɚɜɚ ɟ ɩɟɪɢɦɟɬɚɪɨɬ ɧɚ ɞɜɨɪɨɬ"

· ·

КРУЖНИЦА 1 ɋɨ ɩɨɢɦɢɬɟ ɤɪɭɠɧɢɰɚ ɤɪɭɠɧɚ ɥɢɧɢʁɚ ɢ ɤɪɭɝ ɫɟ ɫɪɟɬɧɭɜɚɬɟ ɦɧɨɝɭ ɱɟɫɬɨ Ɍɪɤɚɥɨɬɨ ɧɚ ɜɟɥɨɫɢɩɟɞ ɢɥɢ ɚɜɬɨɦɨɛɢɥ ɢɦɚ ɤɪɭɠɧɚ ɮɨɪɦɚ ɋɨɧɰɟɬɨ ɢ ɦɟɫɟɱɢɧɚɬɚ ɢɦɚɚɬ ɤɪɭɠɧɚ ɮɨɪɦɚ Ɇɧɨɝɭ ɫɨɨɛɪɚʅɚʁɧɢ ɡɧɚɰɢ ɢɦɚɚɬ ɤɪɭɠɧɚ ɮɨɪɦɚ Ɉɛɪɚɱɨɬ ɡɚ ɯɭɥɚɯɨɩ ɢɦɚ ɤɪɭɠɧɚ ɮɨɪɦɚ

2 Ʉɚɤɨ ɦɨɠɟ ɞɚ ɫɟ ɧɚɰɪɬɚ ɤɪɭɠɧɢɰɚ"

ɫɨ ɡɚɬɟɝɧɚɬ ɤɨɧɟɰ

ɫɨ ɱɚɲɚ

ɫɨ ɲɚɛɥɨɧ

3 Ʉɪɭɠɧɢɰɚ ɫɟ ɰɪɬɚ ɧɚʁɞɨɛɪɨ ɫɨ ɲɟɫɬɚɪ ɂɝɥɚɬɚ ɧɚ ɲɟɫɬɚɪɨɬ ɫɟ ɡɚɛɨɞɭɜɚ ɜɨ ɬɨɱɤɚɬɚ Ɉ ɢ ɫɨ ɜɪɬɟʃɟ ɫɟ ɰɪɬɚ ɤɪɭɠɧɚ ɥɢɧɢʁɚ ɨɞɧɨɫɧɨ ɤɪɭɠɧɢɰɚ 2

4 ɉɪɢ ɰɪɬɚʃɟɬɨ ɧɚ ɤɪɭɠɧɢɰɚɬɚ ɡɚɛɟɥɟɠɭɜɚɦɟ ɞɟɤɚ ɚ ɫɢɬɟ ɬɨɱɤɢ ɨɞ ɤɪɭɠɧɢɰɚɬɚ ɥɟɠɚɬ ɜɨ ɪɚɦɧɢɧɚɬɚ ɛ ɤɪɭɠɧɢɰɚɬɚ ɟ ɡɚɬɜɨɪɟɧɚ ɤɪɢɜɚ ɥɢɧɢʁɚ ɜ ɬɨɱɤɚɬɚ Ɉ ɟ ɟɞɧɚɤɜɨ ɨɞɞɚɥɟɱɟɧɚ ɨɞ ɫɢɬɟ ɬɨɱɤɢ ɧɚ ɤɪɭɠɧɢɰɚɬɚ ɇɚ ɩɪɢɦɟɪ ɡɚ ɬɨɱɤɢɬɟ $ % ɢ & ɨɬɫɟɱɤɢɬɟ 2$ 2% ɢ 2& ɢɦɚɚɬ ɢɫɬɚ ɞɨɥɠɢɧɚ

Ⱥ %

5 Ɍɨɱɤɚɬɚ Ɉ ɫɟ ɜɢɤɚ ɰɟɧɬɚɪ ɧɚ ɤɪɭɠɧɢɰɚɬɚ ɚ ɞɨɥɠɢɧɚɬɚ ɧɚ ɨɬɫɟɱɤɚɬɚ ɈȺ ɫɟ ɜɢɤɚ ɪɚɞɢɭɫ ɧɚ ɤɪɭɠɧɢɰɚɬɚ ɋɟɤɨʁɚ ɨɬɫɟɱɤɚ ɈɆ ɡɚ ɤɨʁɚ ɈȺ ɈɆ ɫɟ ɜɢɤɚ ɢɫɬɨ ɬɚɤɚ ɪɚɞɢɭɫ ɧɚ ɤɪɭɠɧɢɰɚɬɚ Ɋɚɞɢɭɫɨɬ ɝɨ ɨɡɧɚɱɭɜɚɦɟ ɫɨ U 70

6 ɇɚɰɪɬɚʁ ɬɪɢ ɤɪɭɠɧɢɰɢ ɫɨ ɢɫɬ ɰɟɧɬɚɪ Ɉ ɢ ɪɚɞɢɭɫɢ ɨɞ U FP U FP ɢ U FP 7 Ʉɨɥɤɭ ɤɪɭɠɧɢɰɢ ɦɨɠɟɲ ɞɚ ɧɚɰɪɬɚɲ ɫɨ ɰɟɧɬɚɪ Ɉ ɢ ɪɚɞɢɭɫ ɨɞ FP" 8 ɇɚɰɪɬɚʁ ɨɬɫɟɱɤɚ Ⱥȼ ɫɨ ɞɨɥɠɢɧɚ FP ɇɚɰɪɬɚʁ ɤɪɭɠɧɢɰɢ ɫɨ ɪɚɞɢɭɫ ɨɞ FP ɱɢɢ ɰɟɧɬɪɢ ɫɟ Ⱥ ɢ ȼ 9 ɇɚɰɪɬɚʁ ɨɬɫɟɱɤɚ 01 ɫɨ ɞɨɥɠɢɧɚ FP ɉɨɬɨɚ ɧɚɰɪɬɚʁ ɤɪɭɠɧɢɰɚ ɫɨ ɰɟɧɬɚɪ ɜɨ ɬɨɱɤɚɬɚ Ɇ ɫɨ U FP ɢ ɤɪɭɠɧɢɰɚ ɫɨ ɰɟɧɬɚɪ ɜɨ ɬɨɱɤɚɬɚ 1 ɫɨ U FP 10 Ɉɞ ɩɪɟɬɯɨɞɧɚɬɚ ɡɚɞɚɱɚ ɫɢɝɭɪɧɨ ɡɚɤɥɭɱɢ ɞɟɤɚ (ɞɧɚ ɤɪɭɠɧɢɰɚ ɟ ɧɚɩɨɥɧɨ ɨɞɪɟɞɟɧɚ ɫɨ ɧɟʁɡɢɧɢɨɬ ɰɟɧɬɚɪ ɢ ɧɟʁɡɢɧɢɨɬ ɪɚɞɢɭɫ

11 ɇɚ ɰɪɬɟɠɨɬ ɟ ɧɚɰɪɬɚɧɚ ɤɪɭɠɧɢɰɚ ɫɨ ɰɟɧɬɚɪ Ɉ ɢ ɨɬɫɟɱɤɢ Ⱥȼ ɢ &' ɱɢɢ ɤɪɚʁɧɢ ɬɨɱɤɢ ɫɟ ɧɚ ɤɪɭɠɧɢɰɚɬɚ ɐɟɧɬɚɪɨɬ Ɉ ɟ ɧɚ ɨɬɫɟɱɤɚɬɚ Ⱥȼ ɚ ɧɟ ɟ ɧɚ ɨɬɫɟɱɤɚɬɚ &' Ʉɨɥɤɚɜɚ ɟ ɞɨɥɠɢɧɚɬɚ ɧɚ ɨɬɫɟɱɤɚɬɚ Ⱥȼ" Ⱦɨɥɠɢɧɚɬɚ ɧɚ ɨɬɫɟɱɤɚɬɚ Ⱥȼ ɟ ɞɜɚ ɩɚɬɢ ɩɨ ɪɚɞɢɭɫɨɬ ɧɚ ɤɪɭɠɧɢɰɚɬɚ

' B

Ⱦɨɥɠɢɧɚɬɚ ɧɚ ɨɬɫɟɱɤɚɬɚ Ⱥȼ ɚ ɢ ɫɚɦɚɬɚ ɨɬɫɟɱɤɚ $% ɫɟ ɜɢɤɚ ɞɢʁɚɦɟɬɚɪ ɧɚ ɤɪɭɠɧɢɰɚɬɚ Ⱦɢʁɚɦɟɬɚɪɨɬ ɝɨ ɨɡɧɚɱɭɜɚɦɟ ɫɨ G

G Â U

12 Ⱥɤɨ ɞɢʁɚɦɟɬɚɪɨɬ ɧɚ ɟɞɧɚ ɤɪɭɠɧɢɰɚ ɟ FP ɤɨɥɤɭ ɟ ɧɟʁɡɢɧɢɨɬ ɪɚɞɢɭɫ" 13 ɇɚɰɪɬɚʁ ɤɪɭɠɧɢɰɚ ɫɨ G FP

КРУГ 1 ȼɨ ɪɚɦɧɢɧɚɬɚ Į ɧɚɰɪɬɚɧɚ ɟ ɤɪɭɠɧɢɰɚ Ɍɚɚ ʁɚ ɞɟɥɢ ɪɚɦɧɢɧɚɬɚ ɧɚ ɞɜɚ ɞɟɥɚ ɡɟɥɟɧ ɢ ɫɢɧ ȼɨ ɤɨʁɚ ɨɞ ɬɢɟ ɞɟɥɨɜɢ ɦɨɠɟɲ ɞɚ ɧɚɰɪɬɚɲ ɩɪɚɜɚ ɋɩɨɪɟɞɢ ɫɨ ɦɧɨɝɭɚɝɨɥɧɚ ɥɢɧɢʁɚ ɢ ɦɧɨɝɭɚɝɨɥɧɢɤ

2 Ʉɪɭɠɧɢɰɚɬɚ ɢ ɞɟɥɨɬ ɨɞ ɪɚɦɧɢɧɚɬɚ ɜɨ ɤɨʁ ɧɟ ɦɨɠɟ ɞɚ ɫɟ ɧɚɰɪɬɚ ɩɪɚɜɚ ɫɟ ɜɢɤɚ ɤɪɭɝ Ʉɪɭɠɧɢɰɚɬɚ ɫɟ ɜɢɤɚ ɝɪɚɧɢɰɚ ɧɚ ɤɪɭɝɨɬ ɚ ɞɟɥ ɨɞ ɪɚɦɧɢɧɚɬɚ ɫɟ ɜɢɤɚ ɜɧɚɬɪɟɲɟɧ ɞɟɥ ɧɚ ɤɪɭɝɨɬ ɐɟɧɬɚɪɨɬ ɪɚɞɢɭɫɨɬ ɢ ɞɢʁɚɦɟɬɚɪɨɬ ɧɚ ɤɪɭɠɧɢɰɚɬɚ ɫɟ ɜɢɤɚɚɬ ɰɟɧɬɚɪ ɪɚɞɢɭɫ ɢ ɞɢʁɚɦɟɬɚɪ ɧɚ ɤɪɭɝɨɬ

Ʉɪɭɠɧɢɰɚɬɚ ɧɚɰɪɬɚɧɚ ɜɨ ɟɞɧɚ ɪɚɦɧɢɧɚ ʁɚ ɞɟɥɢ ɪɚɦɧɢɧɚɬɚ ɧɚ ɞɜɚ ɞɟɥɚ ȼɨ ɟɞɧɢɨɬ ɨɞ ɧɢɜ ɦɨɠɟ ɚ ɜɨ ɞɪɭɝɢɨɬ ɧɟ ɦɨɠɟ ɞɚ ɫɟ ɧɚɰɪɬɚ ɩɪɚɜɚ

3 ɒɬɨ ɟ ɪɚɡɥɢɤɚɬɚ ɦɟɼɭ ɤɪɭɝ ɢ ɤɪɭɠɧɢɰɚ" Ʉɪɭɠɧɢɰɚ ɟ ɡɚɬɜɨɪɟɧɚ ɤɪɭɠɧɚ ɥɢɧɢʁɚ

Ʉɪɭɝ ɟ ɞɟɥ ɨɞ ɪɚɦɧɢɧɚ

4 ȼɨ ɟɞɧɚ ɪɚɦɧɢɧɚ ɧɚɰɪɬɚɧɚ ɟ ɤɪɭɠɧɢɰɚ ɢ ɬɨɱɤɢ $ % & ɢ ' Ʉɚɤɨɜ ɟ ɡɚɟɦɧɢɨɬ ɨɞɧɨɫ ɧɚ ɫɟɤɨʁɚ ɨɞ ɬɢɟ ɬɨɱɤɢ ɢ ɤɪɭɠɧɢɰɚɬɚ" Ɍɨɱɤɢɬɟ $ ɢ & ɫɟ ɧɚ ɤɪɭɠɧɢɰɚɬɚ

$ %

Ɍɨɱɤɢɬɟ % ɢ ' ɧɟ ɫɟ ɧɚ ɤɪɭɠɧɢɰɚɬɚ

& 5

ȿɞɧɚ ɬɨɱɤɚ ɨɞ ɪɚɦɧɢɧɚɬɚ ɜɨ ɤɨʁɚ ɟ ɧɚɰɪɬɚɧɚ ɤɪɭɠɧɢɰɚ ɢɥɢ ɟ ɧɚ ɤɪɭɠɧɢɰɚɬɚ ɥɟɠɢ ɧɚ ɤɪɭɠɧɢɰɚɬɚ ɢɥɢ ɧɟ ɟ ɧɚ ɤɪɭɠɧɢɰɚɬɚ ɧɟ ɥɟɠɢ ɧɚ ɤɪɭɠɧɢɰɚɬɚ

6 ɇɚɰɪɬɚʁ ɤɪɭɝ ɫɨ ɰɟɧɬɚɪ Ɉ ɢ ɪɚɞɢɭɫ ɨɞ FP ȼɨ ɢɫɬɚɬɚ ɪɚɦɧɢɧɚ ɧɚɰɪɬɚʁ ɨɬɫɟɱɤɢ ɈȺ ɫɨ ɞɨɥɠɢɧɚ ɨɞ FP 2% ɫɨ ɞɨɥɠɢɧɚ ɨɞ FP Ɉɋ ɫɨ ɞɨɥɠɢɧɚ ɨɞ FP 2' ɫɨ ɞɨɥɠɢɧɚ ɨɞ FP ɢ 2( ɫɨ ɞɨɥɠɢɧɚ ɨɞ FP Ʉɚɤɨɜ ɟ ɡɚɟɦɧɢɨɬ ɨɞɧɨɫ ɧɚ ɫɟɤɨʁɚ ɨɞ ɬɢɟ ɬɨɱɤɢ ɫɨ ɤɪɭɝɨɬ ɚ ɤɚɤɨɜ ɟ ɫɨ ɤɪɭɠɧɢɰɚɬɚ" ɉɨ ɪɟɲɚɜɚʃɟɬɨ ɧɚ ɩɪɟɬɯɨɞɧɚɬɚ ɡɚɞɚɱɚ ɉɟɬɚɪ ɞɨɲɨɥ ɞɨ ɫɥɟɞɧɢɨɬ ɡɚɤɥɭɱɨɤ ȼɡɚɟɦɧɢɨɬ ɨɞɧɨɫ ɦɟɼɭ ɬɨɱɤɚɬɚ Ⱥ ɢ ɤɪɭɝɨɬ ɫɨ ɰɟɧɬɚɪ Ɉ ɢ ɪɚɞɢɭɫ U ɜɨ ɟɞɧɚ ɪɚɦɧɢɧɚ ɟ ɫɥɟɞɧɢɨɬ D ɬɨɱɤɚɬɚ Ⱥ ɧɟ ɟ ɧɚ ɤɪɭɝɨɬ ɧɟ ɥɟɠɢ ɧɚ ɤɪɭɝɨɬ ɜɨ ɫɥɭɱɚʁɨɬ ɤɨɝɚ ɈȺ ! U ɛ ɬɨɱɤɚɬɚ Ⱥ ɟ ɧɚ ɝɪɚɧɢɰɚɬɚ ɤɪɭɠɧɢɰɚɬɚ ɧɚ ɤɪɭɝɨɬ ɜɨ ɫɥɭɱɚʁɨɬ ɤɨɝɚ ɈȺ U ɜ Ɍɨɱɤɚɬɚ Ⱥ ɥɟɠɢ ɜɨ ɜɧɚɬɪɟɲɧɢɨɬ ɞɟɥ ɧɚ ɤɪɭɝɨɬ ɜɨ ɫɥɭɱɚʁɨɬ ɤɨɝɚ 2$ U &

Ɉ% ! U ȼ ɧɟ ɟ ɧɚ ɤɪɭɝɨɬ

2 A

2$ U $ ɟ ɧɚ ɤɪɭɠɧɢɰɚɬɚ

2& U ɋ ɟ ɧɚ ɤɪɭɠɧɢɰɚɬɚ 2' U ' ɥɟɠɢ ɜɨ ɜɧɚɬɪɟɲɧɨɫɬɚ ɧɚ ɤɪɭɝɨɬ

ɇɚɰɪɬɚʁ ɤɪɭɝ ɫɨ ɰɟɧɬɚɪ Ɉ ɢ ɪɚɞɢɭɫ ɨɞ FP ɇɚɰɪɬɚʁ ɬɨɱɤɢ $ % & ɢ ' ɜɨ ɢɫɬɚɬɚ ɪɚɦɧɢɧɚ ɬɚɤɜɢ ɲɬɨ ɈȺ FP 2% FP 2& FP ɢ Ɉ' FP Ʉɚɤɨɜ ɟ ɡɚɟɦɧɢɨɬ ɨɞɧɨɫ ɦɟɼɭ ɤɪɭɝɨɬ ɢ ɫɟɤɨʁɚ ɨɞ ɬɢɟ ɬɨɱɤɢ"

8 ɇɚɰɪɬɚʁ ɤɪɭɠɧɢɰɚ ɫɨ ɰɟɧɬɚɪ Ɉ ɢ ɪɚɞɢɭɫ ɨɞ FP ɇɚɰɪɬɚʁ ɬɨɱɤɢ $ % ɢ & ɜɨ ɢɫɬɚɬɚ ɪɚɦɧɢɧɚ ɬɚɤɜɢ ɲɬɨ ɈȺ FP 2& FP %& FP $% FP ɢ $& FP Ʉɚɤɨɜ ɟ ɡɚɟɦɧɢɨɬ ɨɞɧɨɫ ɦɟɼɭ ɬɨɱɤɚɬɚ ȼ ɢ ɤɪɭɠɧɢɰɚɬɚ" ɉɪɢ ɪɟɲɚɜɚʃɟ ɧɚ ɡɚɞɚɱɚɬɚ ɰɪɬɚʁ ɤɪɭɠɧɢɰɢ

9 ɇɚɰɪɬɚʁ ɤɪɭɠɧɢɰɚ ɫɨ ɰɟɧɬɚɪ Ɉ ɢ ɪɚɞɢɭɫ ɨɞ FP ɇɚɰɪɬɚʁ ɬɨɱɤɢ $ % & ɢ ' ɜɨ ɢɫɬɚɬɚ ɪɚɦɧɢɧɚ ɬɚɤɜɢ ɲɬɨ ɈȺ FP $% FP 2& FP &' FP %& FP $& FP ɢ $' FP ɒɬɨ ɟ ɨɬɫɟɱɤɚɬɚ %' ɡɚ ɤɪɭɠɧɢɰɚɬɚ" ɉɪɢ ɪɟɲɚɜɚʃɟ ɧɚ ɡɚɞɚɱɚɬɚ ɰɪɬɚʁ ɤɪɭɠɧɢɰɢ

ГЕОМЕТРИСКИ ТЕЛА 1 Ɋɚɡɝɥɟɞɚʁ ɪɚɡɥɢɱɧɢ ɩɪɟɞɦɟɬɢ ɢ ɨɛʁɟɤɬɢ ɜɨ ɬɜɨʁɨɬ ɞɨɦ ɭɱɢɥɢɲɬɟ ɢ ɬɜɨʁɚɬɚ ɨɤɨɥɢɧɚ

Ɍɢɟ ɢɦɚɚɬ ɫɨɨɞɜɟɬɧɢ ɝɟɨɦɟɬɪɢɫɤɢ ɮɨɪɦɢ 2 Ⱥɤɨ ɝɢ ɡɚɛɨɪɚɜɢɦɟ ɞɪɭɝɢɬɟ ɫɜɨʁɫɬɜɚ ɧɚ ɩɪɟɞɦɟɬɢɬɟ ɢ ɨɛʁɟɤɬɢɬɟ ɨɫɜɟɧ ɧɢɜɧɚɬɚ ɮɨɪɦɚ ɞɨɚɼɚɦɟ ɞɨ ɩɨɢɦɨɬ ɝɟɨɦɟɬɪɢɫɤɨ ɬɟɥɨ Ɇɨɞɟɥɢɬɟ ɧɚ ɧɟɤɨɢ ɝɟɨɦɟɬɪɢɫɤɢ ɬɟɥɚ ɢ ɧɢɜɧɢɬɟ ɢɦɢʃɚ ɫɟ ɫɥɟɞɧɢɬɟ

ɤɨɰɤɚ

ɤɜɚɞɚɪ

ɩɢɪɚɦɢɞɚ ɬɨɩɤɚ

ɰɢɥɢɧɞɚɪ ɤɨɧɭɫ

3 Ɇɢɥɟ ɨɛɨɢɥ ɤɨɰɤɚ ɧɚɩɪɚɜɟɧɚ ɨɞ ɞɪɜɨ ɫɨ ɰɪɜɟɧɚ ɛɨʁɚ Ⱦɚɥɢ Ɇɢɥɟ ɝɨ ɨɛɨɢɥ ɰɟɥɨɬɨ ɞɪɜɨ" ɇɟ ɬɨʁ ɝɨ ɨɛɨɢɥ ɫɚɦɨ ɞɟɥɨɬ ɲɬɨ ɫɟ ɝɥɟɞɚ ɧɨ ɧɟ ɝɨ ɨɛɨɢɥ ɞɪɜɨɬɨ ɲɬɨ ɟ ɜɧɚɬɪɟ ɜɨ ɤɨɰɤɚɬɚ Ⱦɟɥɨɬ ɲɬɨ ɝɨ ɨɛɨɢɥ ɫɟ ɜɢɤɚ ɩɨɜɪɲɢɧɚ ɧɚ ɤɨɰɤɚɬɚ 4

Ƚɟɨɦɟɬɪɢɫɤɢɬɟ ɬɟɥɚ ɢɦɚɚɬ ɩɨɜɪɲɢɧɢ ɤɨɢ ɫɟ ɫɨɫɬɚɜɟɧɢ ɨɞ ɞɟɥɨɜɢ ɨɞ ɪɚɦɧɢ ɢ ɨɞ ɤɪɢɜɢ ɩɨɜɪɲɢɧɢ ɋɩɨɪɟɞ ɬɨɚ ɨɞ ɤɚɤɜɢ ɞɟɥɨɜɢ ɟ ɫɨɫɬɚɜɟɧɚ ɩɨɜɪɲɢɧɚɬɚ ɝɟɨɦɟɬɪɢɫɤɢɬɟ ɬɟɥɚ ɫɟ ɩɨɞɟɥɟɧɢ ɜɨ ɞɜɟ ɝɪɭɩɢ ɪɚɛɟɫɬɢ ɬɟɥɚ ɧɢɜɧɚɬɚ ɩɨɜɪɲɢɧɚ ɟ ɫɨɫɬɚɜɟɧɚ ɫɚɦɨ ɨɞ ɦɧɨɝɭɚɝɨɥɧɢɰɢ ɞɟɥɨɜɢ ɨɞ ɪɚɦɧɢ ɩɨɜɪɲɢɧɢ ɜɚɥɱɟɫɬɢ ɬɟɥɚ ɧɢɜɧɚɬɚ ɩɨɜɪɲɢɧɚ ɟ ɫɨɫɬɚɜɟɧɚ ɢ ɨɞ ɞɟɥɨɜɢ ɨɞ ɪɚɦɧɢ ɢ ɨɞ ɞɟɥɨɜɢ ɨɞ ɤɪɢɜɢ ɩɨɜɪɲɢɧɢ ɢɥɢ ɫɚɦɨ ɨɞ ɞɟɥɨɜɢ ɨɞ ɤɪɢɜɢ ɩɨɜɪɲɢɧɢ

5 Ʉɨɢ ɨɞ ɬɟɥɚɬɚ ɧɚ ɰɪɬɟɠɨɬ ɫɟ ɪɚɛɟɫɬɢ ɚ ɤɨɢ ɫɟ ɜɚɥɱɟɫɬɢ"

лалљлЉлЋлАлблў лблЋлЏлљ 1 ╚Й╔џ ╔Ю╔е ╔ф╔џ╔А╔Ю╔Ц╔Ъ╔ъ╔џ╔д╔Ъ ╔ц╔ю╔џ╔ъ╔џ╔ф╔е╔г $%&'()*+ ╔Д╔џ ╔░╔ф╔г╔Ъ╔а╔е╔г ╔Є╔Ъ╔Ю╔е╔ю╔џ╔г╔џ ╔Е╔е╔ю╔ф╔▓╔б╔Д╔џ ╔Ъ ╔Ф╔е╔Ф╔г╔џ╔ю╔Ъ╔Д╔џ ╔е╔ъ ╔▓╔Ъ╔Ф╔г ╔Е╔ф╔џ╔ю╔е╔џ╔Ю╔е╔Ц╔Д╔б╔░╔б ╔ї╔ф╔б ╔е╔ъ ╔Д╔б╔ю $%&' $'+( ╔б ( &'+* ╔Д╔Ъ ╔Ф╔Ъ ╔ю╔б╔ъ╔Ц╔б╔ю╔б ╔њ╔г╔е ╔б╔д╔џ╔џ╔г ╔А╔џ╔Ъ╔ъ╔Д╔б╔▒╔ц╔е ╔Е╔ф╔џ╔ю╔е╔џ╔Ю╔е╔Ц╔Д╔б╔░╔б╔г╔Ъ $%)( ╔б ()*+ ╔џ ╔▓╔г╔е ╔Е╔ф╔џ╔ю╔е╔џ╔Ю╔е╔Ц╔Д╔б╔░╔б╔г╔Ъ %&*) ╔б $'+(" $ 2 ╔Ѕ╔е╔ю╔ф╔▓╔б╔Д╔џ╔г╔џ ╔Д╔џ ╔ф╔џ╔Џ╔Ъ╔Ф╔г╔е ╔г╔Ъ╔Ц╔е ╔Ъ ╔Ф╔е╔Ф╔г╔џ╔ю╔Ъ╔Д╔е ╔е╔ъ ╔д╔Д╔е╔Ю╔Г╔џ╔Ю╔е╔Ц╔Д╔б╔░╔б ╔ц╔е╔б ╔Ф╔Ъ ╔ю╔б╔ц╔џ╔џ╔г ╔Й╔б╔ъ╔е╔ю╔б ╔Д╔џ ╔г╔Ъ╔Ц╔е╔г╔е ╔ї╔Ъ╔д╔б╩Ѓ╔џ╔г╔џ ╔Д╔џ ╔д╔Д╔е╔Ю╔Г╔џ╔Ю╔е╔Ц╔Д╔б╔░╔б╔г╔Ъ ╔Ф╔Ъ ╔ю╔б╔ц╔џ╔џ╔г ╔г╔Ъ╔д╔б╩Ѓ╔џ ╔ю╔ф╔ю╔е╔ю╔б ╔Д╔џ ╔г╔Ъ╔Ц╔е╔г╔е

3 ╔ѓ╔д╔Ъ╔Д╔Г╔ю╔џ╩Ђ ╔Ю╔б ╔Й╔б╔ъ╔е╔ю╔б╔г╔Ъ ╔ф╔џ╔Џ╔е╔ю╔б╔г╔Ъ ╔б ╔г╔Ъ╔д╔б╩Ѓ╔џ╔г╔џ ╔Д╔џ ╔г╔Ъ╔Ц╔е╔г╔е ╔е╔ъ ╔░╔ф╔г╔Ъ╔а╔е╔г

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╚Й╔ю╔џ ╔Й╔б╔ъ╔џ ╔Д╔џ ╔ф╔џ╔Џ╔Ъ╔Ф╔г╔е ╔г╔Ъ╔Ц╔е ╔д╔е╔а╔Ъ ╔ъ╔џ ╔Д╔Ъ╔д╔џ╔џ╔г ╔А╔џ╔Ъ╔ъ╔Д╔б╔▒╔ц╔б ╔г╔е╔▒╔ц╔б ╔б╔Ц╔б ╔д╔е╔а╔Ъ ╔ъ╔џ ╔б╔д╔џ╔џ╔г ╔А╔џ╔Ъ╔ъ╔Д╔б╔▒╔ц╔е ╔Ф╔џ╔д╔е ╔Ъ╔ъ╔Д╔е ╔г╔Ъ╔д╔Ъ ╔б╔Ц╔б ╔д╔е╔а╔Ъ ╔ъ╔џ ╔б╔д╔џ╔џ╔г ╔А╔џ╔Ъ╔ъ╔Д╔б╔▒╔ц╔б ╔Ф╔џ╔д╔е ╔Ъ╔ъ╔Ъ╔Д ╔ф╔џ╔Џ ╚║ % &

(

' ╔і╔џ╔Џ╔Ъ╔Ф╔г╔е ╔г╔Ъ╔Ц╔е ╔▒╔б╩Ђ╔џ ╔Е╔е╔ю╔ф╔▓╔б╔Д╔џ ╔Ъ ╔Ф╔е╔Ф╔г╔џ╔ю╔Ъ╔Д╔џ ╔е╔ъ ╔▓╔Ъ╔Ф╔г ╔ц╔ю╔џ╔ъ╔ф╔џ╔г╔б ╔Ф╔Ъ ╔ю╔б╔ц╔џ ╔ц╔е╔░╔ц╔џ ╔і╔џ╔Џ╔Ъ╔Ф╔г╔е ╔г╔Ъ╔Ц╔е ╔▒╔б╩Ђ╔џ ╔Е╔е╔ю╔ф╔▓╔б╔Д╔џ ╔Ъ ╔Ф╔е╔Ф╔г╔џ╔ю╔Ъ╔Д╔џ ╔е╔ъ ╔▓╔Ъ╔Ф╔г ╔Е╔ф╔џ╔ю╔е╔џ╔Ю╔е╔Ц╔Д╔б╔░╔б ╔Ф╔Ъ ╔ю╔б╔ц╔џ ╔ц╔ю╔џ╔ъ╔џ╔ф ╔і╔џ╔Џ╔Ъ╔Ф╔г╔е ╔г╔Ъ╔Ц╔е ╔▒╔б╩Ђ╔џ ╔Е╔е╔ю╔ф╔▓╔б╔Д╔џ ╔Ъ ╔Ф╔е╔Ф╔г╔џ╔ю╔Ъ╔Д╔џ ╔е╔ъ ╔Ъ╔ъ╔Ъ╔Д ╔д╔Д╔е╔Ю╔Г╔џ╔Ю╔е╔Ц╔Д╔б╔ц ╔б ╔г╔е╔Ц╔ц╔Г ╔г╔ф╔б╔џ╔Ю╔е╔Ц╔Д╔б╔░╔б ╔ц╔е╔Ц╔ц╔Г ╔▓╔г╔е ╔б╔д╔џ ╔г╔Ъ╔д╔б╩Ѓ╔џ ╔д╔Д╔е╔Ю╔Г╔џ╔Ю╔е╔Ц╔Д╔б╔ц╔е╔г ╔Ф╔Ъ ╔ю╔б╔ц╔џ ╔Е╔б╔ф╔џ╔д╔б╔ъ╔џ ╔є╔Д╔е╔Ю╔Г╔џ╔Ю╔е╔Ц╔Д╔б╔ц╔е╔г ╔Ф╔Ъ ╔ю╔б╔ц╔џ ╔е╔Ф╔Д╔е╔ю╔џ ╔Д╔џ ╔Е╔б╔ф╔џ╔д╔б╔ъ╔џ╔г╔џ

╔е╔Ф╔Д╔е╔ю╔џ

4 ╔ё╔е╔Ц╔ц╔Г ╔г╔Ъ╔д╔б╩Ѓ╔џ ╔б ╔ц╔е╔Ц╔ц╔Г ╔ф╔џ╔Џ╔е╔ю╔б ╔б╔д╔џ ╔Ъ╔ъ╔Ъ╔Д ╔ц╔ю╔џ╔ъ╔џ╔ф" 5 ╔Є╔џ╔Џ╔ф╔е╩Ђ ╔е╔Ф╔Г╔д ╔Е╔ф╔Ъ╔ъ╔д╔Ъ╔г╔б ╔е╔ъ ╔г╔ю╔е╩Ђ╔џ╔г╔џ ╔е╔ц╔е╔Ц╔б╔Д╔џ ╔▓╔г╔е ╔б╔д╔џ╔џ╔г ╔«╔е╔ф╔д╔џ ╔Д╔џ ╔ц╔ю╔џ╔ъ╔џ╔ф 6 ╔ё╔е╔Ц╔ц╔Г ╔г╔Ъ╔д╔б╩Ѓ╔џ ╔б ╔ц╔е╔Ц╔ц╔Г ╔ф╔џ╔Џ╔е╔ю╔б ╔б╔д╔џ ╔ц╔е╔░╔ц╔џ" ╔ё╔џ╔ц╔ю╔џ ╔Ъ ╔ю╔ф╔Ф╔ц╔џ╔г╔џ ╔д╔Ъ╔╝╔Г ╔ъ╔е╔Ц╔а╔б╔Д╔б╔г╔Ъ ╔Д╔џ ╔ф╔џ╔Џ╔е╔ю╔б╔г╔Ъ ╔Д╔џ ╔ц╔е╔░╔ц╔џ╔г╔џ" 7 ╔ё╔е╔Ц╔ц╔Г ╔Й╔б╔ъ╔е╔ю╔б ╔ф╔џ╔Џ╔е╔ю╔б ╔б ╔г╔Ъ╔д╔б╩Ѓ╔џ ╔б╔д╔џ ╔Е╔б╔ф╔џ╔д╔б╔ъ╔џ ╔▒╔б╩Ђ╔џ ╔е╔Ф╔Д╔е╔ю╔џ ╔Ъ ╔џ ╔г╔ф╔б╔џ╔Ю╔е╔Ц╔Д╔б╔ц ╔Џ ╔▒╔Ъ╔г╔б╔ф╔б╔џ╔Ю╔е╔Ц╔Д╔б╔ц ╔ю ╔Е╔Ъ╔г╔џ╔Ю╔е╔Ц╔Д╔б╔ц ╔Є╔џ╔Е╔ф╔џ╔ю╔б ╔д╔е╔ъ╔Ъ╔Ц╔б ╔Д╔џ ╔г╔џ╔ц╔ю╔б ╔Е╔б╔ф╔џ╔д╔б╔ъ╔б 75

ЗАДАЧИ ЗА ВЕЖБАЊЕ 1 ɇɚɰɪɬɚʁ ɩɪɚɜɢ s ɢ m ɢ ɢɡɛɟɪɢ ɬɨɱɤɢ Ⱥ % & ɢ ' ɬɚɤɜɢ ɲɬɨ Ⱥ s, % m, & s, & m, ' s ɢ ' m. 2 ɇɚɰɪɬɚʁ ɪɚɦɧɢɧɚ Į ɢ ɢɡɛɟɪɢ ɬɨɱɤɢ 0 1 6 ɢ / ɬɚɤɜɢ ɲɬɨ 0 Į 1 Į 6 Į ɢ / Į 3 ɇɚɰɪɬɚʁ ɯɨɪɢɡɨɧɬɚɥɧɚ ɪɚɦɧɢɧɚ Į ɢ ɧɚɰɪɬɚʁ ɬɪɢ ɩɪɚɜɢ a b ɢ c ɬɚɤɜɢ ɲɬɨ ɩɪɚɜɚɬɚ a ɞɚ ɟ ɩɚɪɚɥɟɥɧɚ ɫɨ ɪɚɦɧɢɧɚɬɚ Į ɩɪɚɜɚɬɚ b ɞɚ ɥɟɠɢ ɜɨ ɪɚɦɧɢɧɚɬɚ Į ɢ ɩɪɚɜɚɬɚ c ɞɚ ʁɚ ɩɪɨɛɨɞɭɜɚ ɪɚɦɧɢɧɚɬɚ Į 4

)

( &

D ɂɦɟɧɭɜɚʁ ɝɨ ɦɧɨɝɭɚɝɨɥɧɢɤɨɬ ɛ Ɂɚɩɢɲɢ ɝɢ ɫɬɪɚɧɢɬɟ ɧɚ ɦɧɨɝɭɚɝɨɥɧɢɤɨɬ ɜ Ʉɨɢ ɫɟ ɫɨɫɟɞɧɢ ɫɬɪɚɧɢ ɧɚ ɫɬɪɚɧɚɬɚ &' ɝ ɂɦɟɧɭɜɚʁ ɝɢ ɚɝɥɢɬɟ ɜɨ ɦɧɨɝɭɚɝɨɥɧɢɤɨɬ

5 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɝɨ ɩɟɪɢɦɟɬɚɪɨɬ ɧɚ ɚ ɪɚɦɧɨɫɬɪɚɧ ɬɪɢɚɝɨɥɧɢɤ ɫɨ ɫɬɪɚɧɚ FP ɛ ɪɚɦɧɨɤɪɚɤ ɬɪɢɚɝɨɥɧɢɤ ɫɨ ɨɫɧɨɜɚ FP ɢ ɤɪɚɤ FP ɜ ɪɚɡɧɨɫɬɪɚɧ ɬɪɢɚɝɨɥɧɢɤ ɫɨ ɫɬɪɚɧɢ FP FP ɢ GP 6 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɝɨ ɩɟɪɢɦɟɬɚɪɨɬ ɧɚ ɚ ɩɪɚɜɨɚɝɨɥɧɢɤ ɫɨ ɞɨɥɠɢɧɚ FP ɢ ɲɢɪɢɧɚ FP ɛ ɤɜɚɞɪɚɬ ɫɨ ɫɬɪɚɧɚ FP 7 Ɋɚɦɧɨɫɬɪɚɧ ɬɪɢɚɝɨɥɧɢɤ ɢ ɤɜɚɞɪɚɬ ɢɦɚɚɬ ɢɫɬ ɩɟɪɢɦɟɬɚɪ ɨɞ FP Ʉɨɥɤɚɜɚ ɟ ɫɬɪɚɧɚɬɚ ɧɚ ɬɪɢɚɝɨɥɧɢɤɨɬ ɚ ɤɨɥɤɚɜɚ ɧɚ ɤɜɚɞɪɚɬɨɬ" 8

)

% + + (

2Ɉ & &

% $

ɚ Ʉɚɤɨɜ ɟ ɡɚɟɦɧɢɨɬ ɨɞɧɨɫ ɧɚ ɬɨɱɤɢɬɟ Ⱥ % & + ) ɢ ( ɫɨ ɤɪɭɝɨɬ" ɛ ɉɨɞɪɟɞɢ ɝɢ ɩɨ ɝɨɥɟɦɢɧɚ ɞɨɥɠɢɧɢɬɟ ɧɚ ɨɬɫɟɱɤɢɬɟ 2+ 2& 2% 2) 2( ɢ 2$ ɩɨɱɧɭɜɚʁʅɢ ɨɞ ɧɚʁɦɚɥɚɬɚ

9 ɇɚɰɪɬɚʁ ɨɬɫɟɱɤɚ $% FP ɉɨɬɨɚ ɧɚɰɪɬɚʁ ɤɪɭɠɧɢɰɢ ɫɨ ɰɟɧɬɚɪ ɜɨ ɬɨɱɤɚɬɚ Ⱥ ɫɨ U FP ɢ ɤɪɭɠɧɢɰɚ ɫɨ U FP ɒɬɨ ɟ ɡɚɟɞɧɢɱɤɨ ɡɚ ɞɜɟɬɟ ɤɪɭɠɧɢɰɢ" Ʉɚɤɨɜ ɟ ɡɚɟɦɧɢɨɬ ɨɞɧɨɫ ɧɚ ɬɨɱɤɚɬɚ ȼ ɫɨ ɜɬɨɪɚɬɚ ɤɪɭɠɧɢɰɚ" 10 ɇɚɛɪɨʁ ɤɨɢ ɝɟɨɦɟɬɪɢɫɤɢ ɬɟɥɚ ɫɟ ɨɝɪɚɧɢɱɟɧɢ ɚ ɫɚɦɨ ɫɨ ɪɚɦɧɢ ɩɨɜɪɲɢɧɢ ɛ ɫɚɦɨ ɫɨ ɤɪɢɜɢ ɩɨɜɪɲɢɧɢ ɜ ɫɨ ɪɚɦɧɢ ɢ ɤɪɢɜɢ ɩɨɜɪɲɢɧɢ" 76

МНОЖЕЊЕ НА БРОЕВИТЕ ДО 1 000 1 Ʉɨɥɤɭ ɰɜɟɬɨɜɢ ɢɦɚ"

Ɇɧɨɠɟʃɟɬɨ ɟ ɫɨɛɢɪɚʃɟ ɧɚ ɟɞɧɚɤɜɢ ɫɨɛɢɪɨɰɢ ɉɪɨɢɡɜɨɞ ɂɜɚɧ

ā Ɇɧɨɠɢɬɟɥ

Ɇɧɨɠɢɬɟɥ

ɉɪɨɢɡɜɨɞ

2 Ɂɚɩɢɲɢ ɝɢ ɡɛɢɪɨɜɢɬɟ ɜɨ ɜɢɞ ɧɚ ɩɪɨɢɡɜɨɞ D

ɜ Ⱦ Ⱦ Ⱦ Ⱦ Ⱦ

ɝ Ⱦ Ⱦ Ⱦ Ⱦ Ⱦ Ⱦ

3 Ɂɚɩɢɲɢ ɝɢ ɩɪɨɢɡɜɨɞɢɬɟ ɤɚɤɨ ɡɛɢɪ ɧɚ ɟɞɧɚɤɜɢ ɫɨɛɢɪɨɰɢ D ā

ɛ ā

ɜ ā

ɝ ā

ɜ ā

ɝ ā

4 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɝɢ ɩɪɨɢɡɜɨɞɢɬɟ D ā

ɛ ā

5 Ⱦɨɩɨɥɧɢ ɝɢ ɧɢɡɢɬɟ ɛɪɨɟɜɢ D

6 ɋɟɤɨʁ ɨɞ ɛɪɨɟɜɢɬɟ ɢ ɡɝɨɥɟɦɢ ɝɨ ɡɚ ɩɚɬɢ 7 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɝɢ ɩɪɨɢɡɜɨɞɢɬɟ a) ā

ɛ ā

ɜ ā

ɝ ā

ā 77

8 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɝɢ ɩɪɨɢɡɜɨɞɢɬɟ D Â

ɛ Â

Ʉɨɝɚ ɟɞɧɢɨɬ ɦɧɨɠɢɬɟɥ ɟ ɛɪɨʁɨɬ ɬɨɝɚɲ ɩɪɨɢɡɜɨɞɨɬ ɟ ɟɞɧɚɤɨɜ ɧɚ ɞɪɭɝɢɨɬ ɦɧɨɠɢɬɟɥ Ʉɨɝɚ ɟɞɧɢɨɬ ɦɧɨɠɢɬɟɥ ɟ ɛɪɨʁɨɬ ɬɨɝɚɲ ɩɪɨɢɡɜɨɞɨɬ ɟ ɟɞɧɚɤɨɜ ɧɚ

9 ɉɨɩɨɥɧɢ ɝɢ ɬɚɛɟɥɢɬɟ ɜɨ ɫɜɨʁɚɬɚ ɬɟɬɪɚɬɤɚ 0 50

500

000

10 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ D Â

ɛ 00 Â

ɜ 5 5 5 Â

± Â

± 0 Â 00

0 Â 5 ± 5

11 D Ɂɛɢɪɨɬ ɧɚ ɛɪɨɟɜɢɬɟ ɢ ɩɨɦɧɨɠɢ ɝɨ ɫɨ ɛɪɨʁɨɬ ɛ Ɋɚɡɥɢɤɚɬɚ ɧɚ ɛɪɨʁɨɬ ɫɨ ɛɪɨʁɨɬ ɩɨɦɧɨɠɢ ʁɚ ɫɨ ɛɪɨʁɨɬ 12 ɇɨɜɢɰɚ ɢɦɚ ɦɨɧɟɬɢ ɨɞ ɩɨ ɞɟɧɚɪ Ʉɨɥɤɭ ɞɟɧɚɪɢ ɢɦɚ ɇɨɜɢɰɚ" 13 ȼɨ ɟɞɟɧ ɪɟɫɬɨɪɚɧ ɢɦɚ ɱɢɧɢɢ ɫɨ ɩɨ ʁɚɛɨɥɤɨ Ʉɨɥɤɭ ʁɚɛɨɥɤɚ ɢɦɚ ɜɨ ɪɟɫɬɨɪɚɧɨɬ" 14 ȼɨ ɤɭɬɢɢ ɢɦɚ ɩɨ ɦɨɥɢɜɢ ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɢ ɡɚɩɢɲɢ ɲɬɨ ɨɡɧɚɱɭɜɚ ɞɨɛɢɟɧɢɨɬ ɛɪɨʁ Â 15 ȿɞɧɨ ɩɚɪɤɢɪɚɥɢɲɬɟ ɢɦɚ ɪɟɞɢɰɢ ȼɨ ɫɟɤɨʁɚ ɪɟɞɢɰɚ ɢɦɚ ɩɨ ɦɟɫɬɚ ɡɚ ɩɚɪɤɢɪɚʃɟ Ʉɨɥɤɭ ɦɟɫɬɚ ɡɚ ɩɚɪɤɢɪɚʃɟ ɢɦɚ ɧɚ ɩɚɪɤɢɪɚɥɢɲɬɟɬɨ" 16 ɋɨɫɬɚɜɢ ɡɚɞɚɱɚ ɫɩɨɪɟɞ ɫɥɢɤɚɬɚ

ɥɟɛɚ 78

ɥɟɛɚ

КОМУТАТИВНО И АСОЦИЈАТИВНО СВОЈСТВО НА МНОЖЕЊЕТО 1 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɝɢ ɩɪɨɢɡɜɨɞɢɬɟ ɒɬɨ ɡɚɤɥɭɱɢ" Â

Ʉɨɦɭɬɚɬɢɜɧɨ ɫɜɨʁɫɬɜɨ ɧɚ ɦɧɨɠɟʃɟɬɨ ɉɪɨɢɡɜɨɞɨɬ ɧɟ ɫɟ ɦɟɧɭɜɚ ɚɤɨ ɦɧɨɠɢɬɟɥɢɬɟ ɫɢ ɝɢ ɡɚɦɟɧɚɬ ɦɟɫɬɚɬɚ 2 Ⱦɨɩɨɥɧɢ ɜɨ ɫɜɨʁɚɬɚ ɬɟɬɪɚɬɤɚ D Ⱥɤɨ Â ɬɨɝɚɲ Â ɛ Ⱥɤɨ Â ɬɨɝɚɲ Â ɜ Ⱥɤɨ Â ɬɨɝɚɲ Â 3 Ɇɚɪɢʁɚ ɢ Ɇɢɥɚ ɫɚɞɟɥɟ ɥɚɥɢʃɚ Ɇɚɪɢʁɚ ɡɚɫɚɞɢɥɚ ɪɟɞɢɰɢ ɫɨ ɩɨ ɥɚɥɢʃɚ ɚ Ɇɢɥɚ ɡɚɫɚɞɢɥɚ ɪɟɞɢɰɢ ɫɨ ɩɨ ɥɚɥɢʃɚ Ʉɨʁɚ ɡɚɫɚɞɢɥɚ ɩɨɜɟʅɟ ɥɚɥɢʃɚ" 4 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɝɢ ɩɪɨɢɡɜɨɞɢɬɟ ɒɬɨ ɡɚɤɥɭɱɢ" Ⱥɫɨɰɢʁɚɬɢɜɧɨ ɫɜɨʁɫɬɜɨ ɧɚ ɦɧɨɠɟʃɟɬɨ ɉɪɨɢɡɜɨɞɨɬ ɧɟ ɫɟ ɦɟɧɭɜɚ ɚɤɨ ɝɢ ɝɪɭɩɢɪɚɦɟ ɧɚ ɪɚɡɥɢɱɟɧ ɧɚɱɢɧ ɫɨɫɟɞɧɢɬɟ ɦɧɨɠɢɬɟɥɢ

Â Â Â Â Â Â Â Â 5 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɝɢ ɩɪɨɢɡɜɨɞɢɬɟ Â Â

Â Â

6 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɫɨ ɩɨɦɨɲ ɧɚ ɤɨɦɭɬɚɬɢɜɧɨɬɨ ɢ ɚɫɨɰɢʁɚɬɢɜɧɨɬɨ ɫɜɨʁɫɬɜɨ ɧɚ ɦɧɨɠɟʃɟɬɨ ɧɚ ɧɚʁɥɟɫɟɧ ɧɚɱɢɧ Â Â Â Â

Â Â

7 Ʉɧɢɠɚɪɨɬ ɩɪɨɞɚɥ ɩɚɤɟɬɢ ɫɨ ɩɨ ɤɭɬɢɢ ɫɨ ɛɨɢɱɤɢ ȼɨ ɫɟɤɨʁɚ ɤɭɬɢʁɚ ɢɦɚɥɨ ɩɨ ɛɨɢɱɤɢ Ʉɨɥɤɭ ɛɨɢɱɤɢ ɩɪɨɞɚɥ ɤɧɢɠɚɪɨɬ" 79

МНОЖЕЊЕ НА ЗБИР И РАЗЛИКА СО БРОЈ 1 Ʉɨɥɤɭ ɱɚɲɢ ɢɦɚ" ɇɚ ɫɟɤɨʁɚ ɩɨɥɢɰɚ ɢɦɚ ɩɨ ɡɟɥɟɧɢ ɢ ɛɟɥɢ ɱɚɲɢ ȼɤɭɩɧɨ ɧɚ ɩɨɥɢɰɢ ɢɦɚ Â Â ɱɚɲɢ

ɇɚ ɩɨɥɢɰɢ ɢɦɚ ɩɨ ɡɟɥɟɧɢ ɱɚɲɢ ɇɚ ɩɨɥɢɰɢ ɢɦɚ ɩɨ ɛɟɥɢ ɱɚɲɢ ȼɤɭɩɧɨ ɢɦɚ Â Â ɱɚɲɢ

Ɂɛɢɪ ɫɨ ɛɪɨʁ ɫɟ ɦɧɨɠɢ ɧɚ ɞɜɚ ɧɚɱɢɧɚ ɫɟ ɩɪɟɫɦɟɬɭɜɚ ɡɛɢɪɨɬ ɢ ɫɟ ɦɧɨɠɢ ɫɨ ɛɪɨʁɨɬ

ɫɟ ɦɧɨɠɢ ɫɟɤɨʁ ɫɨɛɢɪɨɤ ɫɨ ɛɪɨʁɨɬ ɢ ɫɟ ɫɨɛɢɪɚɚɬ ɞɨɛɢɟɧɢɬɟ ɩɪɨɢɡɜɨɞɢ

Â Â Â

2 Ɉɛʁɚɫɧɢ ɤɚɤɨ Ɍɚɦɚɪɚ ɢ Ƚɨɤɢ ɝɨ ɩɪɟɫɦɟɬɚɥɟ ɩɪɨɢɡɜɨɞɨɬ ɧɚ ɡɛɢɪɨɬ ɫɨ ɛɪɨʁɨɬ Ɍɚɦɚɪɚ Ƚɨɤɢ

Â Â Â Â Â Â

ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɤɚɤɨ Ɍɚɦɚɪɚ

ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɤɚɤɨ Ƚɨɤɢ

3 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɢ ɨɛʁɚɫɧɢ ɝɢ ɞɜɚɬɚ ɧɚɱɢɧɢ ɩɨ ɤɨɢ ɟ ɩɪɟɫɦɟɬɚɧ ɩɪɨɢɡɜɨɞɨɬ ɧɚ ɪɚɡɥɢɤɚɬɚ ± ɫɨ ɛɪɨʁɨɬ ɒɬɨ ɡɚɤɥɭɱɢ" ± Â Â

± Â Â ± Â

Ɋɚɡɥɢɤɚ ɫɟ ɦɧɨɠɢ ɧɚ ɞɜɚ ɧɚɱɢɧɚ ɫɟ ɩɪɟɫɦɟɬɭɜɚ ɪɚɡɥɢɤɚɬɚ ɢ ɫɟ ɦɧɨɠɢ ɫɨ ɛɪɨʁɨɬ

± Â Â ± Â

ɫɟ ɦɧɨɠɚɬ ɧɚɦɚɥɟɧɢɤɨɬ ɢ ɧɚɦɚɥɢɬɟɥɨɬ ɫɨ ɛɪɨʁɨɬ ɢ ɫɟ ɨɞɡɟɦɚɚɬ ɞɨɛɢɟɧɢɬɟ ɩɪɨɢɡɜɨɞɢ

4 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɧɚ ɞɜɚ ɧɚɱɢɧɚ D ± Â

ɛ ± Â

± Â

5 Ɂɚɩɢɲɢ ɜɨ ɫɜɨʁɚɬɚ ɬɟɬɪɚɬɤɚ ɟɞɟɧ ɨɞ ɡɧɚɰɢɬɟ ! ɢɥɢ ɡɚ ɞɚ ɛɢɞɟ ɬɨɱɧɨ D

± Â

ɜ Â

Â ± Â

Â Â

ɝ Â ± Â

Â Â

6 Ʉɨʁ ɨɞ ɫɥɟɞɧɢɜɟ ɧɚɱɢɧɢ ɧɚ ɩɪɟɫɦɟɬɭɜɚʃɟ ɧɚ ɩɪɨɢɡɜɨɞɨɬ ɟ ɧɚʁɛɪɡɢɨɬ ɫɩɨɪɟɞ ɜɚɫ" Â

7 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɝɢ ɩɪɨɢɡɜɨɞɢɬɟ ɜɨ ɫɜɨʁɚɬɚ ɬɟɬɪɚɬɤɚ D Â Â

ɛ Â Â

ɜ Â Â

ɝ Â Â

8 Ɂɛɢɪɨɬ ɧɚ ɛɪɨɟɜɢɬɟ ɢ ɡɝɨɥɟɦɢ ɝɨ ɩɚɬɢ Ʉɨʁ ɛɪɨʁ ɝɨ ɞɨɛɢ" ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɧɚ ɞɜɚ ɧɚɱɢɧɚ 9 ȿɞɧɚ ɨɜɨɲɧɚ ɝɪɚɞɢɧɚ ɢɦɚ ɪɟɞɚ ɫɨ ɨɜɨɲɧɢ ɞɪɜʁɚ ȼɨ ɫɟɤɨʁ ɪɟɞ ɢɦɚ ɩɨ ʁɚɛɨɥɤɧɢɰɢ ɢ ɤɚʁɫɢɢ Ʉɨɥɤɭ ɨɜɨɲɧɢ ɞɪɜʁɚ ɢɦɚ ɝɪɚɞɢɧɚɬɚ" ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɧɚ ɞɜɚ ɧɚɱɢɧɚ 10 Ɋɚɡɥɢɤɚɬɚ ɧɚ ɛɪɨʁɨɬ ɫɨ ɛɪɨʁɨɬ ɡɝɨɥɟɦɢ ʁɚ ɩɚɬɢ Ʉɨʁ ɛɪɨʁ ɝɨ ɞɨɛɢ" ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɧɚ ɞɜɚ ɧɚɱɢɧɚ 11 ȼɨ ɰɜɟɬɧɚ ɥɟɚ ɢɦɚ ɪɟɞɚ ɫɨ ɰɜɟɬɨɜɢ ȼɨ ɫɟɤɨʁ ɪɟɞ ɢɦɚ ɩɨ ɰɜɟɬɨɜɢ Ɉɞ ɧɢɜ ɫɟ ɤɚɥɢ ɨɫɬɚɧɚɬɢɬɟ ɫɟ ɪɨɡɢ Ʉɨɥɤɭ ɪɨɡɢ ɢɦɚ ɜɨ ɰɜɟɬɧɚɬɚ ɥɟɚ" ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɧɚ ɞɜɚ ɧɚɱɢɧɚ 12 ɋɨɫɬɚɜɢ ɬɟɤɫɬɭɚɥɧɚ ɡɚɞɚɱɚ ɤɨʁɚ ɫɟ ɪɟɲɚɜɚ ɜɚɤɚ Â ɭ ʁ ɪ 13 3 ɋɨɫɬɚ ɋɨɫɬɚɜɢ ɡɚɞɚɱɚ ɫɩɨɪɟɞ ɫɥɢɤɚɬɚ ɚ ɚɜɢ ɡ ɚ ɱɚ ɫɩɨ ɚɞɚɱ ɱ ɨ ɞ ɫɥɢɤ ɨɪɟɞ ɞ ɤ ɤɚɬɚ

МНОЖЕЊЕ НА ПОВЕЌЕЦИФРЕН БРОЈ СО ЕДНОЦИФРЕН БРОЈ БЕЗ ПРЕМИН 1 ɉɨɦɨɝɧɢ ɦɭ ɧɚ ȳɨɜɚɧ ɞɚ ɝɢ ɞɨɜɪɲɢ ɡɚɞɚɱɢɬɟ

ȳɨɜɚɧ

Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â 2 Ɋɚɡɝɥɟɞɚʁ ɢ ɨɛʁɚɫɧɢ ɤɚɤɨ ɟ ɩɪɟɫɦɟɬɚɧ ɩɪɨɢɡɜɨɞɨɬ Â Â Â Â Â Â Â

Ɇɧɨɠɟʃɟɬɨ ɝɨ ɡɚɩɨɱɧɭɜɚɦɟ ɨɞ ɟɞɢɧɢɰɢɬɟ ɩɨɬɨɚ ɝɢ ɦɧɨɠɢɦɟ ɞɟɫɟɬɤɢɬɟ ɫɬɨɬɤɢɬɟ ɢɥʁɚɞɢɬɟ ɢɬɧ

Ɂɚɩɢɲɭɜɚɦɟ Â ɢɥɢ Â 3 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɝɢ ɩɪɨɢɡɜɨɞɢɬɟ Â

4 Ʉɨʁ ɛɪɨʁ ɟ ɩɚɬɢ ɩɨɝɨɥɟɦ ɨɞ ɛɪɨʁɨɬ " 5 Ⱦɚɥɢ Ʌɟɧɚ ɩɪɚɜɢɥɧɨ ɩɪɟɫɦɟɬɭɜɚ" Â Â Â Â Â Â Ʌɟɧɚ

Ɂɚɩɢɲɭɜɚɦɟ Â ɢɥɢ Â

ɉɨɜɟʅɟɰɢɮɪɟɧ ɛɪɨʁ ɫɟ ɦɧɨɠɢ ɫɨ ɟɞɧɨɰɢɮɪɟɧ ɛɪɨʁ ɤɚɤɨ ɲɬɨ ɫɟ ɦɧɨɠɢ ɬɪɢɰɢɮɪɟɧ ɛɪɨʁ ɫɨ ɟɞɧɨɰɢɮɪɟɧ ɛɪɨʁ

6 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɝɢ ɩɪɨɢɡɜɨɞɢɬɟ Â

7 Ɂɚɩɢɲɢ ɡɚ ɞɚ ɨɞɝɨɜɚɪɚ 82

ɟ ɩɚɬɢ ɩɨɝɨɥɟɦ ɨɞ

8 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɢ ɨɬɤɪɢʁ ɤɨɟ ɞɟɬɟ ɲɬɨ ɧɚɫɥɢɤɚɥɨ Â

ɋɬɟɮɚɧ

ȿɥɟɧɚ

Ȼɚʁɪɚɦ

ɂɜɚɧɚ

Ɇɚɪɬɢɧ

9 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ Â

± Â

10 D ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɝɨ ɡɛɢɪɨɬ ɧɚ ɬɪɢ ɛɪɨʁɚ ɚɤɨ ɩɪɜɢɨɬ ɟ ɚ ɫɟɤɨʁ ɫɥɟɞɟɧ ɟ ɞɜɚɩɚɬɢ ɩɨɝɨɥɟɦ ɨɞ ɩɪɟɬɯɨɞɧɢɨɬ ɛ ȿɞɧɢɨɬ ɦɧɨɠɢɬɟɥ ɟ ɧɚʁɦɚɥɢɨɬ ɲɟɫɬɰɢɮɪɟɧ ɛɪɨʁ ɱɢʁɚ ɰɢɮɪɚ ɧɚ ɞɟɫɟɬɤɢɬɟ ɢ ɟɞɢɧɢɰɢɬɟ ɟ ɚ ɞɪɭɝɢɨɬ ɦɧɨɠɢɬɟɥ ɟ ɛɪɨʁɨɬ Ʉɨɥɤɭ ɟ ɩɪɨɢɡɜɨɞɨɬ" 11 ɍɱɢɥɢɲɧɚɬɚ ɩɚɬɟɤɚ ɢɦɚ ɪɟɞɚ ɩɥɨɱɤɢ ɚ ɜɨ ɫɟɤɨʁ ɪɟɞ ɢɦɚ ɩɨ ɩɥɨɱɤɚ ɋɨ ɤɨɥɤɭ ɩɥɨɱɤɢ ɟ ɩɨɩɥɨɱɟɧɚ ɭɱɢɥɢɲɧɚɬɚ ɩɚɬɟɤɚ" 12 Ɇɢɚ ɩɨɬɪɨɲɢɥɚ ɞɟɧɚɪɢ ɡɚ ɩɚɬɢɤɢ ɢ ɞɟɧɚɪɢ ɡɚ ɪɚɧɟɰ ɇɟʁɡɢɧɢɨɬ ɛɪɚɬ ɩɨɬɪɨɲɢɥ ɩɚɬɢ ɩɨɜɟʅɟ ɨɞ ɧɟɚ Ʉɨɥɤɭ ɩɚɪɢ ɩɨɬɪɨɲɢɥɟ ɡɚɟɞɧɨ" 13 Ɂɚ ɧɨɜɚɬɚ ɡɢɦɫɤɚ ɫɟɡɨɧɚ ɫɟɦɟʁɫɬɜɨɬɨ ɉɟɬɪɨɜɢ ɫɚɤɚ ɞɚ ɩɨɞɧɨɜɢ ɞɟɥ ɨɞ ɨɩɪɟɦɚɬɚ ɋɤɢɢɬɟ ɡɚ ɪɨɞɢɬɟɥɢɬɟ ɱɢɧɚɬ ɩɨ ɞɟɧɚɪɢ ɚ ɡɚ ɉɟɬɚɪ ɢ ɫɟɫɬɪɚ ɦɭ ɩɨ ɞɟɧɚɪɢ ɑɟɜɥɢɬɟ ɡɚ ɫɤɢʁɚʃɟ ɡɚ ɪɨɞɢɬɟɥɢɬɟ ɱɢɧɚɬ ɩɨ ɚ ɡɚ ɞɟɰɚɬɚ ɩɨ ɞɟɧɚɪɢ Ʉɨɥɤɭ ɞɟɧɚɪɢ ʅɟ ɩɥɚɬɢ ɫɟɦɟʁɫɬɜɨɬɨ ɡɚ ɫɤɢɢɬɟ" Ⱥ ɤɨɥɤɭ ɡɚ ɱɟɜɥɢɬɟ ɡɚ ɫɤɢʁɚʃɟ" 14 ɋɨɫɬɚɜɢ ɬɟɤɫɬɭɚɥɧɚ ɡɚɞɚɱɚ ɤɨʁɚ ɫɟ ɪɟɲɚɜɚ ɫɩɨɪɟɞ ɢɡɪɚɡɨɬ Â 83

МНОЖЕЊЕ НА ПОВЕЌЕЦИФРЕН БРОЈ СО ЕДНОЦИФРЕН БРОЈ СО ЕДЕН ПРЕМИН 1 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɝɢ ɩɪɨɢɡɜɨɞɢɬɟ ɫɩɨɪɟɞ ɩɪɢɦɟɪɨɬ Â Â Ⱦ Â Ⱦ Â ɋ Â ɋ

2 Ɋɚɡɝɥɟɞɚʁ ɢ ɨɛʁɚɫɧɢ ɤɚɤɨ ɫɟ ɩɪɟɫɦɟɬɚɧɢ ɩɪɨɢɡɜɨɞɢɬɟ Â

Ɂɚɩɢɲɭɜɚɦɟ Â ɢɥɢ Â

3 ɉɪɨɜɟɪɢ ɞɚɥɢ Ɇɢɬɤɨ Ɋɨɫɚ ɢ Ⱥɝɢɦ ɬɨɱɧɨ ɩɪɟɫɦɟɬɚɥɟ Â

Ɇɢɬɤɨ

Ɋɨɫɚ

Â Ⱥɝɢɦ

4 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɝɢ ɩɪɨɢɡɜɨɞɢɬɟ Â

5 Ȼɪɨʁɨɬ ɡɝɨɥɟɦɢ ɝɨ ɩɚɬɢ Ʉɨʁ ɛɪɨʁ ɝɨ ɞɨɛɢ" 6 Ʉɨʁ ɛɪɨʁ ɟ ɩɚɬɢ ɩɨɝɨɥɟɦ ɨɞ ɛɪɨʁɨɬ " 7 ɇɚ ɟɞɟɧ ɧɚɬɩɪɟɜɚɪ ɩɨ ɚɬɥɟɬɢɤɚ ɭɱɟɫɬɜɭɜɚɥɟ ɫɩɨɪɬɢɫɬɢ ɚ ɧɚ ɞɪɭɝ ɩɚɬɢ ɩɨɜɟʅɟ Ʉɨɥɤɭ ɫɩɨɪɬɢɫɬɢ ɭɱɟɫɬɜɭɜɚɥɟ ɧɚ ɞɪɭɝɢɨɬ ɧɚɬɩɪɟɜɚɪ" ɉɨɫɬɚɜɢ ɞɪɭɝɨ ɩɪɚɲɚʃɟ ɢ ɨɞɝɨɜɨɪɢ 84

МНОЖЕЊЕ НА ПОВЕЌЕЦИФРЕН БРОЈ СО ЕДНОЦИФРЕН БРОЈ СО ДВА ПРЕМИНИ 1 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɝɢ ɩɪɨɢɡɜɨɞɢɬɟ ā

2 Ɋɚɡɝɥɟɞɚʁ ɢ ɨɛʁɚɫɧɢ ɤɚɤɨ ɟ ɩɪɟɫɦɟɬɚɧ ɩɪɨɢɡɜɨɞɨɬ ā ā 1

Ɂɚɩɢɲɭɜɚɦɟ ā

3 ā 2 ɢɥɢ ā

3 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɝɢ ɩɪɨɢɡɜɨɞɢɬɟ D ā

ɛ ā ɤɚ ɬɢ ɚ ɟɦ ɚɬ Ɇ

ɜ ā 4 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ

ɝ ā

ā ± ā

5 ɉɪɨɢɡɜɨɞɨɬ ɧɚ ɛɪɨɟɜɢɬɟ ɢ ɧɚɦɚɥɢɥ ɝɨ ɡɚ 6 ɚ Ȼɟɡ ɞɚ ɩɪɟɫɦɟɬɭɜɚɲ ɩɪɨɰɟɧɢ ɤɨʁ ɨɞ ɩɪɨɢɡɜɨɞɢɬɟ ɟ ɩɨɝɨɥɟɦ ā

ɢɥɢ

ɛ ɉɪɨɜɟɪɢ ʁɚ ɫɜɨʁɚɬɚ ɩɪɨɰɟɧɤɚ ɫɨ ɩɪɟɫɦɟɬɭɜɚʃɟ ɚ ɩɨɬɨɚ ɩɪɟɫɦɟɬɚʁ ʁɚ ɪɚɡɥɢɤɚɬɚ ɦɟɼɭ ɩɚɪɨɜɢɬɟ ɩɪɨɢɡɜɨɞɢ 6 ɇɚ ɤɪɚʁɨɬ ɨɞ ɟɞɟɧ ɫɩɨɪɬɫɤɢ ɧɚɬɩɪɟɜɚɪ ɨɞ ɩɪɜɢɨɬ ɢɡɥɟɡ ɧɚ ɫɬɚɞɢɨɧɨɬ ɢɡɥɟɝɥɟ ɝɥɟɞɚɱɢ ɨɞ ɜɬɨɪɢɨɬ ɢɡɥɟɡ ɢɡɥɟɝɥɟ ɩɚɬɢ ɩɨɜɟʅɟ ɝɥɟɞɚɱɢ ɚ ɨɞ ɬɪɟɬɢɨɬ ɢɡɥɟɡ ɢɡɥɟɝɥɟ ɝɥɟɞɚɱɢ ɩɨɜɟʅɟ ɨɞ ɜɬɨɪɢɨɬ ɢɡɥɟɡ D Ʉɨɥɤɭ ɝɥɟɞɚɱɢ ɢɡɥɟɝɥɟ ɨɞ ɬɪɟɬɢɨɬ ɢɡɥɟɡ" ɛ ɉɨɫɬɚɜɢ ɞɪɭɝɨ ɩɪɚɲɚʃɟ ɢ ɪɟɲɢ ʁɚ ɧɨɜɚɬɚ ɡɚɞɚɱɚ 85

МНОЖЕЊЕ НА ПОВЕЌЕЦИФРЕН БРОЈ СО ЕДНОЦИФРЕН БРОЈ СО ДВА ПОСЛЕДОВАТЕЛНИ ПРЕМИНИ 1 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɝɢ ɩɪɨɢɡɜɨɞɢɬɟ a) Â

ɛ) Â

ɜ) Â

ɝ) Â

2 Ɋɚɡɝɥɟɞɚʁ ɢ ɨɛʁɚɫɧɢ ɤɚɤɨ ɫɟ ɩɪɟɫɦɟɬɚɧɢ ɩɪɨɢɡɜɨɞɢɬɟ Â

Ɂɚɩɢɲɭɜɚɦɟ Â

ɢɥɢ Â

3 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɝɢ ɩɪɨɢɡɜɨɞɢɬɟ a) Â

ɉɨɜɟʅɟɰɢɮɪɟɧ ɛɪɨʁ ɫɟ ɦɧɨɠɢ ɫɨ ɟɞɧɨɰɢɮɪɟɧ ɛɪɨʁ ɧɚ ɢɫɬ ɧɚɱɢɧ ɤɚɤɨ ɬɪɢɰɢɮɪɟɧ ɛɪɨʁ ɫɨ ɟɞɧɨɰɢɮɪɟɧ ɛɪɨʁ

Â ɛ) Â Â 4 Ɉɬɤɪɢʁ ɝɢ ɝɪɟɲɤɢɬɟ ɢ ɢɫɩɪɚɜɢ ɝɢ Â

5 Ɉɬɤɪɢʁ ɝɢ ɩɪɨɩɭɲɬɟɧɢɬɟ ɰɢɮɪɢ Â

6 ȿɞɧɚ ɩɟɤɚɪɚ ɢɫɩɨɪɚɱɚɥɚ ɝɚʁɛɚ ɫɨ ɩɨ ɥɟɛɚ Ʉɨɥɤɭ ɥɟɛɚ ɢɫɩɨɪɚɱɚɥɚ ɩɟɤɚɪɚɬɚ" 7 Ɂɚ ɟɞɟɧ ɬɪɟɧɢɧɝ ɦɨɬɨɰɢɤɥɢɫɬɨɬ ɝɨ ɩɨɦɢɧɭɜɚ ɪɚɫɬɨʁɚɧɢɟɬɨ ɨɞ P ɱɟɬɢɪɢ ɩɚɬɢ Ʉɨɥɤɭ ɦɟɬɪɢ ɩɨɦɢɧɭɜɚ ɦɨɬɨɰɢɤɥɢɫɬɨɬ ɡɚ ɟɞɟɧ ɬɪɟɧɢɧɝ" 86

8 ɉɨɩɨɥɧɢ ʁɚ ɬɚɛɟɥɚɬɚ ɜɨ ɫɜɨʁɚɬɚ ɬɟɬɪɚɬɤɚ Ʉɚɤɨ ɫɟ ɦɟɧɭɜɚ ɩɪɨɢɡɜɨɞɨɬ ɢ ɡɨɲɬɨ" ā ā Ɇɧɨɠɢɬɟɥ

Ɇɧɨɠɢɬɟɥ

ɉɪɨɢɡɜɨɞ 9 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɝɢ ɩɪɨɢɡɜɨɞɢɬɟ ɧɚ ɧɚʁɥɟɫɟɧ ɧɚɱɢɧ D ā ā

ɛ ā ā

ɜ ā ā

10 Ɂɚɩɢɲɢ ɝɢ ɡɛɢɪɨɜɢɬɟ ɜɨ ɜɢɞ ɧɚ ɩɪɨɢɡɜɨɞ ɢ ɩɪɟɫɦɟɬɚʁ a) ±

ɛ ā ±

ɝ ā

ɞ ±

ɼ ā ā

11 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɧɚ ɧɚʁɥɟɫɟɧ ɧɚɱɢɧ ā ā ā

ā ā ā ā

ā ±

12 D Ɂɛɢɪɨɬ ɧɚ ɛɪɨɟɜɢɬɟ ɢ ɩɨɦɧɨɠɢ ɝɨ ɫɨ ɢ ɤɨɧ ɞɨɛɢɟɧɢɨɬ ɩɪɨɢɡɜɨɞ ɞɨɞɚʁ ɝɨ ɛɪɨʁɨɬ ɛ Ɉɞ ɧɚʁɝɨɥɟɦɢɨɬ ɩɟɬɰɢɮɪɟɧ ɛɪɨʁ ɱɢʁɚ ɰɢɮɪɚ ɧɚ ɞɟɫɟɬɤɢɬɟ ɟ ɨɞɡɟɦɢ ɝɨ ɧɚʁɦɚɥɢɨɬ ɱɟɬɢɪɢɰɢɮɪɟɧ ɛɪɨʁ ɫɨ ɰɢɮɪɚ ɧɚ ɟɞɢɧɢɰɢɬɟ Ⱦɨɛɢɟɧɚɬɚ ɪɚɡɥɢɤɚ ɡɝɨɥɟɦɢ ʁɚ ɩɚɬɢ ɜ Ȼɪɨɟɜɢɬɟ ɤɨɢ ɫɟ ɦɟɼɭ ɢ ɢ ɢɦɚɚɬ ɟɞɧɚ ɢɫɬɚ ɰɢɮɪɚ ɧɚ ɞɟɫɟɬɤɢ ɢ ɟɞɢɧɢɰɢ ɩɨɦɧɨɠɢ ɝɢ ɫɨ ɇɚʁɞɢ ʁɚ ɪɚɡɥɢɤɚɬɚ ɧɚ ɟɞɧɢɨɬ ɩɪɨɢɡɜɨɞ ɫɨ ɞɪɭɝɢɨɬ ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɧɚ ɧɚʁɥɟɫɟɧ ɧɚɱɢɧ 13 Ɂɚɩɚɞɧɚɬɚ ɬɪɢɛɢɧɚ ɧɚ ɟɞɟɧ ɫɬɚɞɢɨɧ ɢɦɚ ɦɟɫɬɚ ɲɬɨ ɟ ɩɚɬɢ ɩɨɦɚɥɤɭ ɨɞ ɦɟɫɬDɬD ɧɚ ɫɟɜɟɪɧɚɬɚ ɬɪɢɛɢɧɚ Ʉɨɥɤɭ ɦɟɫɬɚ ɢɦɚ ʁɭɠɧɚɬɚ ɬɪɢɛɢɧɚ ɚɤɨ ɬɚɚ ɢɦɚ ɦɟɫɬɚ ɩɨɜɟʅɟ ɨɞ ɫɟɜɟɪɧɚɬɚ ɬɪɢɛɢɧɚ" 14 ɋɨɫɬɚɜɢ ɬɟɤɫɬɭɚɥɧɚ ɡɚɞɚɱɚ ɫɩɨɪɟɞ ɰɪɬɟɠɨɬ

ɩɚɬɢ ɩɨɜɟʅɟ

ДЕЛЕЊЕ НА БРОЕВИТЕ ДО 1 000 1 ɒɟɫɬ ɛɨɦɛɨɧɢ ɫɟ ɩɨɞɟɥɟɧɢ ɧɚ ɞɟɰɚ ɩɨɞɟɞɧɚɤɜɨ ɉɨ ɤɨɥɤɭ ɛɨɦɛɨɧɢ ɞɨɛɢɥɨ ɫɟɤɨɟ ɞɟɬɟ" Ʉɨɥɢɱɧɢɤ Ⱦɟɥɟɧɢɤ

Ⱦɟɥɢɬɟɥ

Ʉɨɥɢɱɧɢɤ

2 ɉɨɞɟɥɢ ɧɚ ɞɟɰɚ ɩɨɞɟɞɧɚɤɜɨ ɫɥɢɤɢɱɤɢ

ɫɥɢɤɢɱɤɢ

Ⱦ Ⱦ

ɫɥɢɤɢɱɤɢ

Ⱦ Ⱦ

ɫɥɢɤɢɱɤɢ

ɋ ɋ

3 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɝɢ ɤɨɥɢɱɧɢɰɢɬɟ ɒɬɨ ɡɚɤɥɭɱɢ"

4 ɉɨɩɨɥɧɢ ɝɢ ɬɚɛɟɥɢɬɟ ɜɨ ɫɜɨʁɚɬɚ ɬɟɬɪɚɬɤɚ

Ⱦɟɥɟʃɟɬɨ ɫɟ ɩɪɨɜɟɪɭɜɚ ɫɨ ɦɧɨɠɟʃɟ

Ɏɪɨɫɢɧɚ

5 Ʉɨʁ ɛɪɨʁ ɟ ɩɚɬɢ ɩɨɦɚɥ ɨɞ ɛɪɨʁɨɬ " 6 ȼɨ ɟɞɧɚ ɨɪɚɧɠɟɪɢʁɚ ɢɦɚ ɤɚɤɬɭɫɢ ɤɨɢ ɫɟ ɡɚɫɚɞɟɧɢ ɜɨ ɥɟɢ ɩɨɞɟɞɧɚɤɜɨ ɉɨ ɤɨɥɤɭ ɤɚɤɬɭɫɢ ɢɦɚ ɜɨ ɫɟɤɨʁɚ ɥɟɚ" 88

7 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɢ ɨɛʁɚɫɧɢ ɤɚɤɨ ɫɟ ɞɨɛɢɟɧɢ ɤɨɥɢɱɧɢɰɢɬɟ a) Ⱦ Ⱦ

ɛ Ⱦ Ⱦ

ɋ ɋ

Ʉɨɝɚ ɞɟɥɢɬɟɥɨɬ ɟ ɛɪɨʁɨɬ ɬɨɝɚɲ ɤɨɥɢɱɧɢɤɨɬ ɟ ɟɞɧɚɤɨɜ ɧɚ ɞɟɥɟɧɢɤɨɬ

Ʉɨɝɚ ɞɟɥɟɧɢɤɨɬ ɟ ɛɪɨʁɨɬ ɚ ɞɟɥɢɬɟɥɨɬ ɟ ɛɢɥɨ ɤɨʁ ɛɪɨʁ ɪɚɡɥɢɱɟɧ ɨɞ ɬɨɝɚɲ ɤɨɥɢɱɧɢɤɨɬ ɟ

8 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɝɢ ɤɨɥɢɱɧɢɰɢɬɟ ɚ

9 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɝɢ ɤɨɥɢɱɧɢɰɢɬɟ ɢ ɧɚɩɪɚɜɢ ɩɪɨɜɟɪɤɚ ɫɨ ɦɧɨɠɟʃɟ ɚ

10 Ɂɚɩɢɲɢ ɜɨ ɫɜɨʁɚɬɚ ɬɟɬɪɚɬɤɚ ɟɞɟɧ ɨɞ ɡɧɚɰɢɬɟ ! ɢɥɢ ɡɚ ɞɚ ɛɢɞɟ ɬɨɱɧɨ

11 Ʉɨɥɤɭ ɟ ɤɨɥɢɱɧɢɤɨɬ ɚɤɨ ɞɟɥɟɧɢɤɨɬ ɟ ɚ ɞɟɥɢɬɟɥɨɬ ɟ " 12 ɂɜɚɧɚ ɫɩɚɤɭɜɚɥɚ ɮɢɥʇɚɧɢ ɜɨ ɤɭɬɢɢ ȼɨ ɫɟɤɨʁɚ ɤɭɬɢʁɚ ɫɩɚɤɭɜɚɥɚ ɩɨ ɮɢɥʇɚɧɢ ɂɜɚɧ ɫɩɚɤɭɜɚɥ ɜɚɡɧɢ ɩɨ ɜɨ ɤɭɬɢʁɚ Ʉɨɥɤɭ ɤɭɬɢɢ ɫɩɚɤɭɜɚɥɟ ɡɚɟɞɧɨ" 13 ɋɨɫɬɚɜɢ ɡɚɞɚɱɚ ɫɩɨɪɟɞ ɫɥɢɤɚɬɚ

ʇɚɦɥɢɢ 89

ДЕЛЕЊЕ НА ЗБИР И РАЗЛИКА СО БРОЈ 1 Ʌɢɧɚ ɢ ɋɢɦɨɧ ɬɪɟɛɚ ɞɚ ɩɨɞɟɥɚɬ ɰɪɜɟɧɢ ɢ ɠɨɥɬɢ ɛɚɥɨɧɢ ɉɨ ɤɨɥɤɭ ɛɚɥɨɧɢ ʅɟ ɢɦɚ ɫɟɤɨʁ ɨɞ ɧɢɜ" Ʌɢɧɚ

ɋɢɦɨɧ

Ʌɢɧɚ ɩɪɟɫɦɟɬɚɥɚ ɜɚɤɚ

ɋɢɦɨɧ ɩɪɟɫɦɟɬɚɥ ɜɚɤɚ

Ɂɛɢɪ ɫɟ ɞɟɥɢ ɧɚ ɞɜɚ ɧɚɱɢɧɚ ɫɟ ɩɪɟɫɦɟɬɭɜɚ ɡɛɢɪɨɬ ɢ ɫɟ ɞɟɥɢ ɫɨ ɛɪɨʁɨɬ

ɫɟ ɞɟɥɢ ɫɟɤɨʁ ɫɨɛɢɪɨɤ ɫɨ ɛɪɨʁɨɬ ɢ ɫɟ ɫɨɛɢɪɚɚɬ ɤɨɥɢɱɧɢɰɢɬɟ

2 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɫɨ ɩɨɦɨɲ ɧɚ ɩɪɚɜɢɥɚɬɚ ɡɚ ɞɟɥɟʃɟ ɧɚ ɡɛɢɪ ɫɨ ɛɪɨʁ

3 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɧɚ ɞɜɚ ɧɚɱɢɧɚ

ɉɨ ɤɨɟ ɩɪɚɜɢɥɨ ʅɟ ɩɪɟɫɦɟɬɭɜɚɲ"

ȷɟ ɝɨ ɩɪɟɫɦɟɬɚɦ ɡɛɢɪɨɬ ɧɚ ɛɪɨɟɜɢɬɟ ɢ ɡɚɲɬɨ ɢ ɧɟ ɫɟ ɞɟɥɚɬ ɫɨ

Ⱦɚɜɢɞ

5 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɚ

6 ɐɜɟʅɚɪɤɚɬɚ Ɇɢɥɚ ɧɚɩɪɚɜɢɥɚ ɛɭɤɟɬɢ ɨɞ ɛɟɥɢ ɪɨɡɢ ɰɪɜɟɧɢ ɪɨɡɢ ɢ ɠɨɥɬɢ ɪɨɡɢ ɉɨ ɤɨɥɤɭ ɪɨɡɢ ɫɬɚɜɢɥɚ ɜɨ ɫɟɤɨʁ ɛɭɤɟɬ" 7 ɂɥɢʁɚ ɫɩɚɤɭɜɚɥ ɥɚɠɢɰɢ ɜɢɥɭɲɤɢ ɢ ɧɨɠɟɜɢ ɜɨ ɤɭɬɢɢ ɩɨɞɟɞɧɚɤɜɨ ɉɨ ɤɨɥɤɭ ɩɚɪɱɢʃɚ ɩɪɢɛɨɪ ɫɩɚɤɭɜɚɥ ɜɨ ɫɟɤɨʁɚ ɤɭɬɢʁɚ" 90

8 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɢ ɫɩɨɪɟɞɢ ɝɢ ɞɨɛɢɟɧɢɬɟ ɪɟɡɭɥɬɚɬɢ Ʉɚɤɨ ɫɟ ɞɟɥɢ ɪɚɡɥɢɤɚ ɫɨ ɛɪɨʁ" ± ±

Ɋɚɡɥɢɤɚ ɫɟ ɞɟɥɢ ɫɨ ɡɛɢɪ ɧɚ ɞɜɚ ɧɚɱɢɧɚ ɫɟ ɩɪɟɫɦɟɬɭɜɚ ɪɚɡɥɢɤɚɬɚ ɢ ɫɟ ɞɟɥɢ ɫɨ ɛɪɨʁɨɬ

± ±

ɫɟ ɞɟɥɚɬ ɧɚɦɚɥɟɧɢɤɨɬ ɢ ɧɚɦɚɥɢɬɟɥɨɬ ɫɨ ɛɪɨʁɨɬ ɢ ɫɟ ɨɞɡɟɦɚɚɬ ɞɨɛɢɟɧɢɬɟ ɤɨɥɢɱɧɢɰɢ

9 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɧɚ ɞɜɚ ɧɚɱɢɧɚ ±

10 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ±

11 Ɂɚɩɢɲɢ ɝɢ ɩɪɨɩɭɲɬɟɧɢɬɟ ɛɪɨɟɜɢ ɜɨ ɫɜɨʁɚɬɚ ɬɟɬɪɚɬɤɚ ± ±

± ±

12 ɚ Ɋɚɡɥɢɤɚɬɚ ɧɚ ɛɪɨʁɨɬ ɫɨ ɛɪɨʁɨɬ ɧɚɦɚɥɢ ʁɚ ɩɚɬɢ ɛ Ʉɨɥɢɱɧɢɤɨɬ ɧɚ ɛɪɨʁɨɬ ɫɨ ɛɪɨʁɨɬ ɧɚɦɚɥɢ ɝɨ ɡɚ ɤɨɥɢɱɧɢɤɨɬ ɧɚ ɛɪɨʁɨɬ ɫɨ ɛɪɨʁɨɬ ɜ ɋɩɨɪɟɞɢ ɝɢ ɞɨɛɢɟɧɢɬɟ ɪɟɡɭɥɬɚɬɢ ɒɬɨ ɡɚɤɥɭɱɢ" 13 Ɉɞ ɟɞɧɚ ɧɢɜɚ ɛɢɥɟ ɧɚɛɪɚɧɢ ɜɪɟʅɢ ɫɨ ɤɨɦɩɢɪɢ Ɂɚ ɩɨɬɪɟɛɢɬɟ ɧɚ ɩɪɟɯɪɚɦɛɟɧɚɬɚ ɢɧɞɭɫɬɪɢʁɚ ɛɢɥɟ ɨɬɤɭɩɟɧɢ ɜɪɟʅɢ Ɉɫɬɚɧɚɬɢɬɟ ɛɢɥɟ ɩɨɞɟɥɟɧɢ ɧɚ ɩɪɨɞɚɜɧɢɰɢ ɩɨɞɟɞɧɚɤɜɨ ɉɨ ɤɨɥɤɭ ɜɪɟʅɢ ɫɨ ɤɨɦɩɢɪɢ ɞɨɛɢɥɚ ɫɟɤɨʁɚ ɩɪɨɞɚɜɧɢɰɚ" 14 ɋɨɫɬɚɜɢ ɬɟɤɫɬɭɚɥɧɚ ɡɚɞɚɱɚ ɤɨʁɚ ɫɟ ɪɟɲɚɜɚ ɜɚɤɚ D ± ɛ ±

ДЕЛЕЊЕ НА ПОВЕЌЕЦИФРЕН БРОЈ СО ЕДНОЦИФРЕН БРОЈ 1 ɇɚʁɞɢ ɝɨ ɛɪɨʁɨɬ ɧɚ ɰɢɮɪɢ ɧɚ ɤɨɥɢɱɧɢɤɨɬ ɚ ɩɨɬɨɚ ɩɪɟɫɦɟɬɚʁ

2 ɇɚʁɞɢ ɝɨ ɤɨɥɢɱɧɢɤɨɬ ɢ ɨɫɬɚɬɨɤɨɬ ɩɪɢ ɞɟɥɟʃɟɬɨ

ɨɫɬɚɬɨɤ

3 Ⱦɚɥɢ Ɇɢɦɢ ɩɪɚɜɢɥɧɨ ɪɚɫɭɞɭɜɚ"

ɂ ɋ

ɂ ɋ Ⱦ ȿ

Ɇɢɦɢ

4 Ɋɚɡɝɥɟɞɚʁ ɢ ɨɛʁɚɫɧɢ ɤɚɤɨ ɟ ɩɪɟɫɦɟɬɚɧ ɤɨɥɢɱɧɢɤɨɬ Ƚɨ ɨɩɪɟɞɟɥɭɜɚɦɟ ɛɪɨʁɨɬ ɧɚ ɰɢɮɪɢɬɟ ɧɚ ɤɨɥɢɱɧɢɤɨɬ Ⱦɟɥɟʃɟɬɨ ɝɨ ɡɚɩɨɱɧɭɜɚɦɟ ɨɞ ɢɥʁɚɞɢɬɟ ɂ ɂ ɨɫɬɚɬɨɤ ɂ

Ⱦɨ ɨɫɬɚɬɨɤɨɬ ɨɞ ɢɥʁɚɞɚ ɡɚɩɢɲɭɜɚɦɟ ɫɩɭɲɬɚɦɟ ɫɬɨɬɤɢ Ⱦɨɛɢɜɚɦɟ ɫɬɨɬɤɢ ɋ ɋ ɉɪɨɜɟɪɤɚ ɋ ā ɋ ɇɟɦɚ ɨɫɬɚɬɨɤ Ⱦɟɥɟʃɟɬɨ ɝɨ ɩɪɨɞɨɥɠɭɜɚɦɟ ɤɚɤɨ ɜɨ ɫɥɭɱɚʁ ɧɚ ɞɟɥɟʃɟ ɧɚ ɬɪɢɰɢɮɪɟɧ ɛɪɨʁ ɫɨ ɟɞɧɨɰɢɮɪɟɧ ɛɪɨʁ

– – ɉɪɨɜɟɪɤɚ ā – – 0

5 ɉɪɨɜɟɪɢ ɞɚɥɢ ɩɪɚɜɢɥɧɨ ɩɪɟɫɦɟɬɭɜɚ Ⱥɧɟɬɚ" –

– ɉɪɨɜɟɪɤɚ ā – 0

Ʉɨɥɢɱɧɢɤɨɬ ɟ ɬɪɢɰɢɮɪɟɧ ɛɪɨʁ Ɂɚɩɨɱɧɭɜɚɦɟ ɫɨ ɞɟɥɟʃɟɬɨ ɧɚ ɫɬɨɬɤɢ ɉɪɨɞɨɥɠɭɜɚɦ ɫɨ ɞɟɥɟʃɟɬɨ ɧɚ ɞɟɫɟɬɤɢɬɟ ɢ ɟɞɢɧɢɰɢɬɟ Ⱥɧɟɬɚ

6 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɝɢ ɤɨɥɢɱɧɢɰɢɬɟ ɢ ɧɚɩɪɚɜɢ ɩɪɨɜɟɪɤɚ ɫɨ ɦɧɨɠɟʃɟ

7 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɡɚ ɞɚ ɝɢ ɨɬɤɪɢɟɲ ɤɨɥɢɱɧɢɰɢɬɟ

8 ɉɪɟɞ ɞɚ ɝɨ ɢɡɜɪɲɢɲ ɞɟɥɟʃɟɬɨ ɩɪɨɰɟɧɢ ɦɟɼɭ ɤɨɢ ɛɪɨɟɜɢ ɫɟ ɧɚɨɼɚ ɤɨɥɢɱɧɢɤɨɬ ɦɟɼɭ ɢ

ɦɟɼɭ ɢ

9 ɉɨɩɨɥɧɢ ʁɚ ɬɚɛɟɥɚɬɚ ɜɨ ɫɜɨʁɚɬɚ ɬɟɬɪɚɬɤɚ Ʉɚɤɨ ɫɟ ɦɟɧɭɜɚ ɤɨɥɢɱɧɢɤɨɬ ɢ ɡɨɲɬɨ" Ⱦɟɥɟɧɢɤ

Ⱦɟɥɢɬɟɥ

Ʉɨɥɢɱɧɢɤ 10 ȼɨ ɟɞɧɚ ɝɚɥɟɪɢʁɚ ɢɦɚ ɩɟʁɫɚɠɢ ɢ ɩɨɦɚɥɤɭ ɝɪɚɮɢɤɢ ɋɤɭɥɩɬɭɪɢ ɢɦɚ ɩɚɬɢ ɩɨɦɚɥɤɭ ɨɞ ɝɪɚɮɢɤɢ Ʉɨɥɤɭ ɜɤɭɩɧɨ ɟɤɫɩɨɧɚɬɢ ɢɦɚ ɜɨ ɝɚɥɟɪɢʁɚɬɚ" 11 ȿɞɟɧ ɭɦɟɬɧɢɤ ɩɪɨɞɚɥ ɫɥɢɤɢ ɡɚ ɞɟɧɚɪɢ Ɂɚ ɩɪɜɚɬɚ ɢ ɜɬɨɪɚɬɚ ɞɨɛɢɥ ɞɟɧɚɪɢ ɡɚ ɬɪɟɬɚɬɚ ɞɨɛɢɥ ɞɟɧɚɪɢ ɩɨɜɟʅɟ ɨɬɤɨɥɤɭ ɡɚ ɜɬɨɪɚɬɚ ɚ ɡɚ ɱɟɬɜɪɬɚɬɚ ɞɨɛɢɥ ɞɜɚ ɩɚɬɢ ɩɨɦɚɥɤɭ ɨɬɤɨɥɤɭ ɡɚ ɬɪɟɬɚɬɚ Ʉɨɥɤɭ ɞɟɧɚɪɢ ɱɢɧɢ ɫɟɤɨʁɚ ɨɞ ɫɥɢɤɢɬɟ" 12 ɋɨɫɬɚɜɢ ɡɚɞɚɱɚ ɤɨʁɚ ɫɟ ɪɟɲɚɜɚ ɫɩɨɪɟɞ ɢɡɪɚɡɨɬ 93

1 ɇɚʁɞɢ ɝɨ ɛɪɨʁɨɬ ɧɚ ɰɢɮɪɢ ɧɚ ɤɨɥɢɱɧɢɤɨɬ ɚ ɩɨɬɨɚ ɩɪɟɫɦɟɬɚʁ

2 Ⱦɚɥɢ ɟ ɬɨɱɧɨ ɩɪɟɬɫɬɚɜɟɧ ɛɪɨʁɨɬ ɜɨ ɜɢɞ ɧɚ ɡɛɢɪ" Ʉɚʁ ɤɨʁ ɡɛɢɪ ɫɟɤɨʁ ɫɨɛɢɪɨɤ ɫɟ ɞɟɥɢ ɫɨ "

ɂ ɋ Ⱦ ȿ ɂ Ⱦ ȿ

3 Ɋɚɡɝɥɟɞɚʁ ɢ ɨɛʁɚɫɧɢ ɤɚɤɨ ɟ ɩɪɟɫɦɟɬɚɧ ɤɨɥɢɱɧɢɤɨɬ

–

– ɉɪɨɜɟɪɤɚ Â – –

Ƚɨ ɨɩɪɟɞɟɥɭɜɚɦɟ ɛɪɨʁɨɬ ɧɚ ɰɢɮɪɢɬɟ ɧɚ ɤɨɥɢɱɧɢɤɨɬ Ⱦɟɥɟʃɟɬɨ ɝɨ ɡɚɩɨɱɧɭɜɚɦɟ ɨɞ ɢɥʁɚɞɢɬɟ ɂ ɂ ɉɪɨɜɟɪɤɚ ɂ Â ɂ ɇɟɦɚ ɨɫɬɚɬɨɤ Ɂɚ ɞɚ ɡɚɩɨɱɧɟɦɟ ɫɨ ɞɟɥɟʃɟɬɨ ɧɚ ɫɬɨɬɤɢɬɟ ʁɚ ɡɚɩɢɲɭɜɚɦɟ ɫɩɭɲɬɚɦɟ

ɰɢɮɪɚɬɚ ɫɬɨɬɤɢ ɧɚ ɞɟɥɟɧɢɤɨɬ Ⱦɨɛɢɜɚɦɟ ɫɬɨɬɤɢ ɋ ɋ ɨɫɬɚɬɨɤ ɋ

Ⱦɨ ɨɫɬɚɬɨɤɨɬ ɨɞ ɫɬɨɬɤɢ ʁɚ ɡɚɩɢɲɭɜɚɦɟ ɰɢɮɪɚɬɚ ɞɟɫɟɬɤɢ ɧɚ ɞɟɥɟɧɢɤɨɬ Ⱦɨɛɢɜɦɟ ɞɟɫɟɬɤɢ Ⱦɟɥɟʃɟɬɨ ɝɨ ɩɪɨɞɨɥɠɭɜɚɦɟ ɤɚɤɨ ɜɨ ɫɥɭɱɚʁɨɬ ɧɚ ɞɟɥɟʃɟ ɧɚ ɬɪɢɰɢɮɪɟɧ ɛɪɨʁ ɫɨ ɟɞɧɨɰɢɮɪɟɧ ɛɪɨʁ

4 Ɋɚɡɝɥɟɞɚʁ ɢ ɨɛʁɚɫɧɢ ɤɚɤɨ ɟ ɩɪɟɫɦɟɬɚɧ ɤɨɥɢɱɧɢɤɨɬ –

– ɉɪɨɜɟɪɤɚ Â –

– Ʉɚɤɨ ɢ ɤɚʁ – ɉɪɨɜɟɪɤɚ ɬɪɢɰɢɮɪɟɧɢɬɟ ɛɪɨɟɜɢ ɦɨɠɚɦ ɞɚ Â – ɩɪɟɫɦɟɬɭɜɚɦ ɧɚ ɞɜɚ ɧɚɱɢɧɚ – –

5 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɝɢ ɤɨɥɢɱɧɢɰɢɬɟ ɢ ɧɚɩɪɚɜɢ ɩɪɨɜɟɪɤɚ ɫɨ ɦɧɨɠɟʃɟ

6 ɚ ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ± ɛ ɋɩɨɪɟɞɢ ɝɢ ɞɨɛɢɟɧɢɬɟ ɪɟɡɭɥɬɚɬɢ ɒɬɨ ɡɚɤɥɭɱɢ" 7 ɚ ɉɪɟɞ ɞɚ ɝɨ ɢɡɜɪɲɢɦɟ ɞɟɥɟʃɟɬɨ ɨɩɪɟɞɟɥɢ ɝɨ ɛɪɨʁɨɬ ɧɚ ɰɢɮɪɢɬɟ ɜɨ ɤɨɥɢɱɧɢɤɨɬ

ɛ Ʉɚɤɨ ɫɟ ɦɟɧɭɜɚɚɬ ɤɨɥɢɱɧɢɰɢɬɟ ɤɚʁ ɫɟɤɨɟ ɨɞ ɤɨɤɢɱɢʃɚɬɚ" 8 ɚ ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɝɢ ɤɨɥɢɱɧɢɰɢɬɟ

ɛ Ⱦɚɥɢ ɩɪɨɢɡɜɨɞɨɬ ɧɚ ɞɟɥɢɬɟɥɢɬɟ ɢ ɟ ɟɞɧɚɤɨɜ ɧɚ ɛɪɨʁɨɬ ɡɚɩɢɲɚɧ ɩɨɞ ɫɧɨɭɛɨɪɞɨɬ"

9 ɚ Ȼɟɡ ɞɚ ɩɪɟɫɦɟɬɭɜɚɲ ɨɩɪɟɞɟɥɢ ɤɨʁ ɨɞ ɤɨɥɢɱɧɢɰɢɬɟ ɟ ɩɨɝɨɥɟɦ ɂ ɂ

ɢɥɢ

ɛ ɂɡɜɪɲɢ ɝɢ ɞɟɥɟʃɚɬɚ ɡɚ ɞɚ ɝɢ ɩɪɨɜɟɪɢɲ ɬɜɨɢɬɟ ɩɪɨɰɟɧɤɢ 10 Ʉɨɥɤɭ ɞɟɧɚɪɢ ɱɢɧɚɬ ɚ ɟɞɟɧ ɤɨɦɩʁɭɬɟɪ ɚɤɨ ɡɚ ɤɨɦɩʁɭɬɟɪɢ ɫɟ ɩɥɚɬɟɧɢ ɞɟɧɚɪɢ" ɛ ɟɞɟɧ ɮɨɬɨɚɩɚɪɚɬ ɚɤɨ ɡɚ ɮɨɬɨɚɩɚɪɚɬɢ ɫɟ ɩɥɚɬɟɧɢ ɞɟɧɚɪɢ" ɜ ɟɞɟɧ ɤɨɦɩʁɭɬɟɪ ɢ ɟɞɟɧ ɮɨɬɨɚɩɚɪɚɬ" 95

МНОЖЕЊЕ И ДЕЛЕЊЕ НА ПОВЕЌЕЦИФРЕН БРОЈ СО ЕДНОЦИФРЕН БРОЈ 1 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɝɢ ɢɡɪɚɡɢɬɟ

Â ±

2 Ɂɚɩɢɲɢ ɝɢ ɢ ɪɟɲɢ ɝɢ ɡɚɞɚɱɢɬɟ ɲɬɨ ɦɭ ɝɢ ɞɢɤɬɢɪɚ ɋɚʃɚ ɧɚ ɋɟɥɢɦ D Ɉɞ ɩɪɨɢɡɜɨɞɨɬ ɧɚ ɛ Ʉɨɧ ɤɨɥɢɱɧɢɤɨɬ ɧɚ ɋɚʃɚ ɛɪɨɟɜɢɬɟ ɢ ɛɪɨʁɨɬ ɫɨ ɛɪɨʁɨɬ ɢɡɜɚɞɢ ɝɨ ɤɨɥɢɱɧɢɤɨɬ ɞɨɞɚʁ ɝɨ ɩɪɨɢɡɜɨɞɨɬ ɧɚ ɛɪɨʁɨɬ ɫɨ ɧɚ ɛɪɨɟɜɢɬɟ ɢ ɛɪɨʁɨɬ

ɋɟɥɢɦ

3 Ɂɚ ɪɢɛɢɬɟ ɜɨ ɚɤɜɚɪɢɭɦɢ ɫɟ ɩɥɚɬɟɧɢ ɞɟɧɚɪɢ Ʉɨɥɤɭ ɞɟɧɚɪɢ ɱɢɧɚɬ ɬɚɤɜɢ ɚɤɜɚɪɢɭɦɢ" Ⱥ ɤɨɥɤɭ ɬɚɤɜɢ ɚɤɜɚɪɢɭɦɢ" 4 Ⱦɜɚ ɚɜɢɨɧɢ ɩɨɥɟɬɚɥɟ ɜɨ ɢɫɬɨ ɜɪɟɦɟ ɢ ɨɞ ɢɫɬɨ ɦɟɫɬɨ ɧɨ ɜɨ ɫɩɪɨɬɢɜɧɢ ɧɚɫɨɤɢ ɉɨ ɦɢɧɭɬɢ ɪɚɫɬɨʁɚɧɢɟɬɨ ɦɟɼɭ ɧɢɜ ɛɢɥɨ ɦɟɬɪɢ ɉɪɜɢɨɬ ɚɜɢɨɧ ɡɚ ɦɢɧɭɬɚ ɢɡɦɢɧɚɥ ɦɟɬɪɢ Ʉɨɥɤɭ ɤɢɥɨɦɟɬɪɢ ɢɡɦɢɧɚɥ ɜɬɨɪɢɨɬ ɚɜɢɨɧ ɡɚ ɦɢɧɭɬɚ"

ɦɟɬɪɢ 5 ȿɞɟɧ ɫɩɨɪɬɫɤɢ ɤɥɭɛ ɧɚɛɚɜɭɜɚ ɫɩɨɪɬɫɤɚ ɰɟɧɚ ɜɨ ɉɪɨɢɡɜɨɞ ɨɩɪɟɦɚ ɉɪɨɱɢɬɚʁ ɜɨ ɬɚɛɟɥɚɬɚ ɲɬɨ ɤɭɩɢɥɟ ɞɟɧɚɪɢ ɢ ɤɨɥɤɭ ɝɢ ɱɢɧɟɥɨ ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɤɨɥɤɭ ɱɢɧɚɬ ɩɚɪɚ ɩɚɬɢɤɢ ɚ ɩɚɪɚ ɩɚɬɢɤɢ ɬɟɧɢɫɤɢ ɪɟɤɟɬɢ ɛ ɬɟɧɢɫɤɢ ɪɟɤɟɬɢ ɫɬɟɝɚɱɢ ɡɚ ɝɥɚɜɚ ɜ ɫɬɟɝɚɱɢ ɡɚ ɝɥɚɜɚ ɩɚɪɚ ɫɬɟɝɚɱɢ ɡɚ ɪɚɰɟ ɝ ɩɚɪɚ ɫɬɟɝɚɱɢ ɡɚ ɪɚɰɟ ɞɪɟɫɨɜɢ ɞ ɞɪɟɫɨɜɢ" 6 ɋɨɫɬɚɜɢ ɬɟɤɫɬɭɚɥɧɚ ɡɚɞɚɱɚ ɤɨʁɚ ɫɟ ɪɟɲɚɜɚ ɫɨ ɢɡɪɚɡɨɬ Â 96

МНОЖЕЊЕ НА ПОВЕЌЕЦИФРЕН БРОЈ СО 10, 20,..., 90 1 ɉɨɬɫɟɬɢ ɫɟ ɧɚ ɬɚɛɥɢɰɚɬɚ ɡɚ ɦɧɨɠɟʃɟ ɫɨ ɛɪɨʁɨɬ ɢ ɩɪɟɫɦɟɬɚʁ Â

2 ɉɪɨɜɟɪɢ ɞɚɥɢ ɟ ɬɨɱɧɨ ɞɟɤɚ Ⱦ

3 Ɋɚɡɝɥɟɞɚʁ ɢ ɨɛʁɚɫɧɢ ɤɚɤɨ ɟ ɩɪɟɫɦɟɬɚɧ ɩɪɨɢɡɜɨɞɨɬ Â Â

Ⱦ ȿ Â Ⱦ Â ȿ Â Ⱦ Ⱦ Ⱦ

Ȼɪɨʁ ɫɟ ɦɧɨɠɢ ɫɨ ɬɚɤɚ ɲɬɨ ɧɚ ɛɪɨʁɨɬ ɦɭ ɫɟ ɞɨɩɢɲɭɜɚ ɟɞɧɚ

4 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɝɢ ɩɪɨɢɡɜɨɞɢɬɟ Â

5 Ɋɚɡɝɥɟɞɚʁ ɢ ɨɛʁɚɫɧɢ ɤɚɤɨ ɫɟ ɩɪɟɫɦɟɬɚɧɢ ɩɪɨɢɡɜɨɞɢɬɟ Â Â

Â Â

Ȼɪɨʁ ɫɟ ɦɧɨɠɢ ɫɨ ɬɚɤɚ ɲɬɨ ɛɪɨʁɨɬ ɫɟ ɦɧɨɠɢ ɫɨ ɚ ɩɨɬɨɚ ɧɚ ɩɪɨɢɡɜɨɞɨɬ ɦɭ ɫɟ ɞɨɩɢɲɭɜɚ ɟɞɧɚ

6 ɉɨɦɨɝɧɢ ɦɭ ɧɚ ȳɚɧɤɨ ɞɚ ɝɢ ɞɨɜɪɲɢ ɩɪɟɫɦɟɬɭɜɚʃɚɬɚ Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â

ȳɚɧɤɨ 97

7 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɝɢ ɩɪɨɢɡɜɨɞɢɬɟ D Â

ɛ Â

ɜ Â

8 ɋɩɨɪɟɞɢ ɝɢ ɩɪɨɢɡɜɨɞɢɬɟ ɢ ɩɪɟɫɦɟɬɚʁ ɝɢ ɚ Â

ɛ Â

ɜ Â

9 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɢ ɩɨɩɨɥɧɢ ɜɨ ɫɜɨʁɚɬɚ ɬɟɬɪɚɬɤɚ ɚ

10 Ʉɨɢ ɫɟ ɩɪɨɩɭɲɬɟɧɢɬɟ ɛɪɨɟɜɢ" Â

11 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ D Â Â

ɛ Â

ɜ Â Â

ɝ Â Â

ɞ ± Â

ɼ Â Â

12 Ȼɪɨʁɨɬ ɡɝɨɥɟɦɢ ɝɨ ɩɚɬɢ Ʉɨʁ ɛɪɨʁ ɝɨ ɞɨɛɢ" 13 Ɉɞ ɟɞɟɧ ɛɪɨɞ ɫɟ ɢɫɬɨɜɚɪɟɧɢ ɬɨɧɢ ɲɟʅɟɪ ɩɚɬɢ ɩɨɜɟʅɟ ɬɨɧɢ ɠɢɬɨ ɢ ɛɪɚɲɧɨ ɩɚɬɢ ɩɨɜɟʅɟ ɨɞ ɲɟʅɟɪ ɢ ɠɢɬɨ ɡɚɟɞɧɨ Ʉɨɥɤɭ ɜɤɭɩɧɨ ɬɨɧɢ ɫɬɨɤɚ ɫɟ ɢɫɬɨɜɚɪɟɧɢ ɨɞ ɛɪɨɞɨɬ" 14 ȿɞɧɚ ɮɢɪɦɚ ɜɨ ɩɪɜɚɬɚ ɝɨɞɢɧɚ ɨɞ ɫɜɨɟɬɨ ɮɨɪɦɢɪɚʃɟ ɧɚɩɪɚɜɢɥɚ ɢɡɜɨɡ ɨɞ ɬɨɧɢ ɡɟɥɟɧɱɭɤ ɚ ɜɨ ɜɬɨɪɚɬɚ ɝɨɞɢɧɚ ɩɚɬɢ ɩɨɜɟʅɟ Ʉɨɥɤɭ ɬɨɧɢ ɡɟɥɟɧɱɭɤ ɢɡɜɟɡɥɚ ɮɢɪɦɚɬɚ ɡɚ ɞɜɟɬɟ ɝɨɞɢɧɢ" 98

МНОЖЕЊЕ НА ПОВЕЌЕЦИФРЕН БРОЈ СО ДВОЦИФРЕН БРОЈ 1 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɝɢ ɩɪɨɢɡɜɨɞɢɬɟ ɚ ā

ɛ ā

ɜ ā

ɝ ā

ɞ ā

ɼ ā

ɟ ā

ɠ ā

2 ɉɨɦɨɝɧɢ ɦɭ ɧɚ ɏɚɥɢɥ ɞɚ ɝɢ ɞɨɜɪɲɢ ɩɪɟɫɦɟɬɭɜɚʃɚɬɚ ɚ ā ā ā ā ɛ ā ā ɜ ā ā ɏɚɥɢɥ

ā ā ā ā ɉɪɨɢɡɜɨɞɨɬ ɧɚɤɭɫɨ ɦɨɠɟ ɞɚ ɫɟ ɡɚɩɢɲɟ ɜɚɤɚ ɋɟ ɩɪɟɫɦɟɬɭɜɚ ɩɪɨɢɡɜɨɞɨɬ ā ā ā ɋɟ ɡɚɩɢɲɭɜɚ ɩɪɨɢɡɜɨɞɨɬ ɩɨɞ ɰɪɬɚɬɚ ɋɟ ɩɪɟɫɦɟɬɭɜɚ ɩɪɨɢɡɜɨɞɨɬ ā ɢɥɢ Ⱦɨɛɢɟɧɢɨɬ ɩɪɨɢɡɜɨɞ ɫɟ ɡɚɩɢɲɭɜɚ ɩɨɞ ɩɪɜɢɨɬ ɩɪɨɢɡɜɨɞ Ⱦɨɛɢɟɧɢɬɟ ɩɪɨɢɡɜɨɞɢ ɫɟ ɫɨɛɢɪɚɚɬ 4 Ⱦɚɥɢ ɋɟɧɢɯɚ ɬɨɱɧɨ ɩɪɟɫɦɟɬɭɜɚ" ā ɋɟɧɢɯɚ

Ʉɨɝɚ ɦɧɨɠɚɦ ɫɨ ɞɟɫɟɬɤɢɬɟ ɧɚ ɛɪɨʁɨɬ ɡɚɩɢɲɭɜɚʃɟɬɨ ɧɚ ɩɪɨɢɡɜɨɞɨɬ ɝɨ ɡɚɩɨɱɧɭɜɚɦ ɟɞɟɧ ɪɟɞ ɧɚɥɟɜɨ ɨɞ ɩɪɨɢɡɜɨɞɨɬ ɫɨ ɟɞɢɧɢɰɢɬɟ

5 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɝɢ ɩɪɨɢɡɜɨɞɢɬɟ ɚ ā ɛ ā ā ā

ɜ ā ā

ɝ ā ā

6 ɉɨɩɨɥɧɢ ɝɢ ɬɚɛɟɥɢɬɟ ɜɨ ɫɜɨʁɚɬɚ ɬɟɬɪɚɬɤɚ ā

7 Ɉɬɤɪɢʁ ɝɢ ɝɪɟɲɤɢɬɟ ɲɬɨ ɝɢ ɧɚɩɪɚɜɢɥɟ ɞɟɰɚɬɚ ɩɪɢ ɩɪɟɫɦɟɬɭɜɚʃɟɬɨ

Ⱥʃɚ

Ⱦɚɦʁɚɧ

Ʌɟʁɥɚ

8 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɚ ā ɝ ā ±

ɛ ā ā ɞ ā ā

ɜ ā ± ā ɼ ā ā

9 Ɂɚɩɢɲɢ ɜɨ ɫɜɨʁɚɬɚ ɬɟɬɪɚɬɤɚ ɟɞɟɧ ɨɞ ɡɧɚɰɢɬɟ ! ɢɥɢ ɡɚ ɞɚ ɛɢɞɟ ɬɨɱɧɨ ɚ ā ā

ɛ ā

ā ā

ɝ ā

ɼ ā

ā ±

10 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɧɚ ɧɚʁɥɟɫɟɧ ɧɚɱɢɧ ɚ ā ā ɝ ā ā

ɛ ā ɞ ā

ɜ ā ± ɼ ā ±

11 ɉɪɨɰɟɧɢ ɞɨ ɤɨʁ ɛɪɨʁ ɟ ɧɚʁɛɥɢɡɨɤ ɫɟɤɨʁ ɨɞ ɩɪɨɢɡɜɨɞɢɬɟ ɉɨɬɨɚ ɩɪɟɫɦɟɬɚʁ ɡɚ ɞɚ ʁɚ ɩɪɨɜɟɪɢɲ ɫɜɨʁɚɬɚ ɩɪɨɰɟɧɤɚ ā

12 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɝɨ ɩɪɨɢɡɜɨɞɨɬ ɚɤɨ ɚ ɦɧɨɠɢɬɟɥɢɬɟ ɫɟ ɢ ɛ ɟɞɧɢɨɬ ɦɧɨɠɢɬɟɥ ɟ ɚ ɞɪɭɝɢɨɬ ɦɧɨɠɢɬɟɥ ɟ ɩɚɬɢ ɩɨɝɨɥɟɦ ɨɞ 13 Ɍɟɚɬɚɪɫɤɚ ɩɪɟɬɫɬɚɜɚ ɢɡɜɟɞɟɧɚ ɜɨ ɫɚɥɨɧ ɫɨ ɦɟɫɬɚ ɛɢɥɚ ɩɨɫɟɬɟɧɚ ɨɞ ɝɥɟɞɚɱɢ Ɉɞ ɧɢɜ ɛɢɥɟ ɭɱɟɧɢɰɢ ɚ ɨɫɬɚɧɚɬɢɬɟ ɛɢɥɟ ɜɨɡɪɚɫɧɢ ɐɟɧɚɬɚ ɧɚ ɛɢɥɟɬɢɬɟ ɡɚ ɜɨɡɪɚɫɧɢ ɛɢɥɚ ɞɟɧɚɪɢ ɚ ɡɚ ɭɱɟɧɢɰɢ ɞɟɧɚɪɢ ɚ Ʉɨɥɤɭ ɞɟɧɚɪɢ ɫɟ ɫɨɛɪɚɧɢ ɜɨ ɤɚɫɚɬɚ ɧɚ ɬɟɚɬɚɪɨɬ" ɛ Ɂɚ ɤɨɥɤɭ ɞɟɧɚɪɢ ɛɢ ɫɟ ɡɝɨɥɟɦɢɥ ɩɪɢɯɨɞɨɬ ɜɨ ɤɚɫɚɬɚ ɧɚ ɬɟɚɬɚɪɨɬ ɤɨɝɚ ɫɥɨɛɨɞɧɢɬɟ ɦɟɫɬɚ ɛɢ ɫɟ ɩɨɩɨɥɧɢɥɟ ɫɨ ɜɨɡɪɚɫɧɢ ɝɥɟɞɚɱɢ" 100

МНОЖЕЊЕ НА ПОВЕЌЕЦИФРЕН БРОЈ СО 100, 200, ..., 900 1 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɝɢ ɩɪɨɢɡɜɨɞɢɬɟ Â

2 ɉɪɨɜɟɪɢ ɞɚɥɢ ɟ ɬɨɱɧɨ ɞɟɤɚ ɋ

ɋ Â

3 Ɋɚɡɝɥɟɞɚʁ ɢ ɨɛʁɚɫɧɢ ɤɚɤɨ ɟ ɩɪɟɫɦɟɬɚɧ ɩɪɨɢɡɜɨɞɨɬ Â Â ɋ Ⱦ ȿ Â ɋ Â Ⱦ Â ȿ Â ɋ Ⱦ ȿ ɋ ɋ ɋ ɋ

Ȼɪɨʁ ɫɟ ɦɧɨɠɢ ɫɨ ɬɚɤɚ ɲɬɨ ɧɚ ɛɪɨʁɨɬ ɦɭ ɫɟ ɞɨɩɢɲɭɜɚɚɬ ɞɜɟ ɧɭɥɢ

4 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɝɢ ɩɪɨɢɡɜɨɞɢɬɟ ɚ Â

ɛ Â

ɜ Â

ɝ Â

5 Ɋɚɡɝɥɟɞɚʁ ɢ ɨɛʁɚɫɧɢ ɤɚɤɨ ɫɟ ɩɪɟɫɦɟɬɚɧɢ ɩɪɨɢɡɜɨɞɢɬɟ Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Ȼɪɨʁ ɫɟ ɦɧɨɠɢ ɫɨ ɬɚɤɚ ɲɬɨ ɛɪɨʁɨɬ ɫɟ ɦɧɨɠɢ ɫɨ ɚ ɩɨɬɨɚ ɧɚ ɩɪɨɢɡɜɨɞɨɬ ɦɭ ɫɟ ɞɨɩɢɲɭɜɚɚɬ ɞɜɟ ɧɭɥɢ 6 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɝɢ ɩɪɨɢɡɜɨɞɢɬɟ ɚ Â

ɛ Â

ɜ Â

Â 101

7 ɉɨɩɨɥɧɢ ɝɢ ɬɚɛɟɥɢɬɟ ɜɨ ɫɜɨʁɚɬɚ ɬɟɬɪɚɬɤɚ ā

8 ɋɩɨɪɟɞɢ ɝɢ ɩɪɨɢɡɜɨɞɢɬɟ ɢ ɩɪɟɫɦɟɬɚʁ ɝɢ ɚ ā

ɛ ā

ɜ ā

ɝ ā

ɞ ā

ɼ ā

9 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɧɚ ɧɚʁɥɟɫɟɧ ɧɚɱɢɧ ā ā

ā ā

ā ±

10 Ɂɚɩɢɲɢ ɜɨ ɫɜɨʁɚɬɚ ɬɟɬɪɚɬɤɚ ɟɞɟɧ ɨɞ ɡɧɚɰɢɬɟ ! ɢɥɢ ɡɚ ɞɚ ɛɢɞɟ ɬɨɱɧɨ ɚ ā ā ɜ ā ā

ɛ ā

ā ā

ɝ ā

ā ±

11 Ɂɛɢɪɨɬ ɧɚ ɛɪɨɟɜɢɬɟ ɢ ɡɝɨɥɟɦɢ ɝɨ ɩɚɬɢ 12 ȿɞɧɚ ɩɟɱɚɬɧɢɰɚ ɢɫɩɟɱɚɬɢɥɚ ɤɧɢɝɢ ɫɨ ɩɨ ɫɬɪɚɧɢɰɢ Ʉɨɥɤɭ ɫɬɪɚɧɢɰɢ ɢɫɩɟɱɚɬɢɥɚ ɩɟɱɚɬɧɢɰɚɬɚ" 13 ȿɞɧɚ ɞɨɛɪɨɬɜɨɪɧɚ ɨɪɝɚɧɢɡɚɰɢʁɚ ɞɨɧɢɪɚɥɚ ɜɨ ɭɱɢɥɢɲɬɚ ɩɨ ɪɚɤɨɦɟɬɧɢ ɬɨɩɤɢ ɢ ɩɨ ɮɭɞɛɚɥɫɤɢ ɬɨɩɤɢ Ʉɨɥɤɭ ɜɤɭɩɧɨ ɬɨɩɤɢ ɞɨɧɢɪɚɥɚ ɨɪɝɚɧɢɡɚɰɢʁɚɬɚ" 14 ɍɱɟɧɢɰɢɬɟ ɨɞ ɟɞɧɨ ɭɱɢɥɢɲɬɟ ɢɡɪɚɛɨɬɢɥɟ ɪɚɤɨɬɜɨɪɛɢ ɫɨ ɩɨ ɚɩɥɢɤɚɰɢɢ ɢ ɪɚɤɨɬɜɨɪɛɢ ɫɨ ɩɨ ɚɩɥɢɤɚɰɢɢ Ʉɨɥɤɭ ɚɩɥɢɤɚɰɢɢ ɩɨɬɪɨɲɢɥɟ ɭɱɟɧɢɰɢɬɟ" 15 ɋɨɫɬɚɜɢ ɡɚɞɚɱɚ ɫɩɨɪɟɞ ɫɥɢɤɚɬɚ

ɞɟɧɚɪɢ 102

ɞɟɧɚɪɢ

МНОЖЕЊЕ НА ПОВЕЌЕЦИФРЕН БРОЈ СО ТРИЦИФРЕН БРОЈ 1 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɝɢ ɩɪɨɢɡɜɨɞɢɬɟ ā

2 Ɋɚɡɝɥɟɞɚʁ ɢ ɨɛʁɚɫɧɢ ɤɚɤɨ ɟ ɩɪɟɫɦɟɬɚɧ ɩɪɨɢɡɜɨɞɨɬ ā ā ā ā ā ɉɪɨɢɡɜɨɞɨɬ ɧɚɤɭɫɨ ɦɨɠɟ ɞɚ ɫɟ ɡɚɩɢɲɟ ɜɚɤɚ ɋɟ ɩɪɟɫɦɟɬɭɜɚ ɩɪɨɢɡɜɨɞɨɬ ā ā ā ɢ ɫɟ ɡɚɩɢɲɭɜɚ ɩɨɞ ɰɪɬɚɬɚ ɋɟ ɩɪɟɫɦɟɬɭɜɚ ɩɪɨɢɡɜɨɞɨɬ ā ɢɥɢ ɢ ɫɟ ɡɚɩɢɲɭɜɚ ɩɨɞ ɩɪɜɢɨɬ ɩɪɨɢɡɜɨɞ ɋɟ ɩɪɟɫɦɟɬɭɜɚ ɩɪɨɢɡɜɨɞɨɬ ā ɢ ɫɟ ɡɚɩɢɲɭɜɚ ɩɨɞ ɜɬɨɪɢɨɬ ɩɪɨɢɡɜɨɞ Ⱦɨɛɢɟɧɢɬɟ ɩɪɨɢɡɜɨɞɢ ɫɟ ɫɨɛɢɪɚɚɬ 3 Ⱦɚɥɢ ȼɢɥɞɚɧ ɩɪɚɜɢɥɧɨ ɪɚɫɭɞɭɜɚ" ā

Ʉɨɝɚ ɦɧɨɠɚɦ ɫɨ ɫɬɨɬɤɢ ɧɚ ɛɪɨʁɨɬ ɡɚɩɢɲɭɜɚʃɟɬɨ ɧɚ ɩɪɨɢɡɜɨɞɨɬ ɝɨ ɡɚɩɨɱɧɭɜɚɦ ɟɞɟɧ ɪɟɞ ɧɚɥɟɜɨ ɨɞ ɩɪɨɢɡɜɨɞɨɬ ɧɚ ɞɟɫɟɬɤɢɬɟ

Ʉɨɝɚ ɦɧɨɠɚɦ ɫɨ ɞɟɫɟɬɤɢɬɟ ɧɚ ɛɪɨʁɨɬ ɡɚɩɢɲɭɜɚʃɟɬɨ ɧɚ ɩɪɨɢɡɜɨɞɨɬ ɝɨ ɡɚɩɨɱɧɭɜɚɦ ɟɞɟɧ ɪɟɞ ɧɚɥɟɜɨ ɨɞ ɩɪɨɢɡɜɨɞɨɬ ɧɚ ɟɞɢɧɢɰɢɬɟ

4 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɝɢ ɩɪɨɢɡɜɨɞɢɬɟ

ȼɢɥɞɚɧ

5 ɉɨɩɨɥɧɢ ɝɢ ɬɚɛɟɥɢɬɟ ɜɨ ɫɜɨʁɚɬɚ ɬɟɬɪɚɬɤɚ ā

123 103

6 ɚ Ɍɨɦɢ ɢ ɝɨ ɢɡɞɢɤɬɢɪɚɥ ɧɚ ȿɦɢɧɚ ɢɡɪɚɡɨɬ ± ā Ɍɚɚ ɝɨ ɩɪɨɱɢɬɚɥɚ ɧɚ ɫɥɟɞɧɢɨɬ ɧɚɱɢɧ Ȼɪɨʁɨɬ ɧɚɦɚɥɢ ɝɨ ɡɚ ɩɪɨɢɡɜɨɞɨɬ ɧɚ ɛɪɨɟɜɢɬɟ ɢ

ɛ ɉɪɨɱɢɬɚʁ ɝɨ ɢ ɬɢ ɢɡɪɚɡɨɬ ɧɚ ɞɪɭɝ ɧɚɱɢɧ ɢ ɩɪɟɫɦɟɬɚʁ ɝɨ

ɜ ɉɪɨɱɢɬɚʁ ɝɢ ɢ ɩɪɟɫɦɟɬɚʁ ɝɢ ɢɡɪɚɡɢɬɟ ā

± ā

ā ± ā

7 ɚ ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɝɨ ɩɪɨɢɡɜɨɞɨɬ ɧɚ ɧɚʁɝɨɥɟɦɢɨɬ ɬɪɢɰɢɮɪɟɧ ɛɪɨʁ ɫɨ ɧɚʁɦɚɥɢɨɬ ɬɪɢɰɢɮɪɟɧ ɛɪɨʁ ɛ Ʉɨɧ ɡɛɢɪɨɬ ɧɚ ɛɪɨɟɜɢɬɟ ɢ ɞɨɞɚʁ ɝɨ ɧɢɜɧɢɨɬ ɩɪɨɢɡɜɨɞ ɜ Ɉɞ ɧɚʁɦɚɥɢɨɬ ɫɟɞɭɦɰɢɮɪɟɧ ɛɪɨʁ ɨɞɡɟɦɢ ɝɨ ɩɪɨɢɡɜɨɞɨɬ ɧɚ ɛɪɨɟɜɢɬɟ ɢ 8 ȿɞɟɧ ɥɨɡɨɜ ɧɚɫɚɞ ɢɦɚ ɪɟɞɚ ȼɨ ɫɟɤɨʁɚ ɪɟɞ ɢɦɚ ɩɨ ɧɚɫɚɞɢ ɫɨ ɛɟɥɨ ɝɪɨɡʁɟ ɢ ɧɚɫɚɞɢ ɫɨ ɰɪɧɨ ɝɪɨɡʁɟ Ʉɨɥɤɭ ɧɚɫɚɞɢ ɢɦɚ ɜɤɭɩɧɨ" 9 Ɉɞ ɟɞɧɚ ɧɢɜɚ ɫɟ ɞɨɛɢɟɧɢ ɬɨɧɢ ɛɟɥ ɤɨɦɩɢɪ ɢ ɬɨɧɢ ɰɪɜɟɧ ɤɨɦɩɢɪ Ɂɟɦʁɨɞɟɥɫɤɚɬɚ ɡɚɞɪɭɝɚ ɝɨ ɨɬɤɭɩɢɥɚ ɛɟɥɢɨɬ ɤɨɦɩɢɪ ɩɨ ɞɟɧɚɪɢ ɡɚ ɬɨɧ ɚ ɰɪɜɟɧɢɨɬ ɤɨɦɩɢɪ ɩɨ ɞɟɧɚɪɢ ɩɨ ɬɨɧ Ʉɨɥɤɭ ɩɚɪɢ ɩɨɬɪɨɲɢɥɚ ɡɟɦʁɨɞɟɥɫɤɚɬɚ ɡɚɞɪɭɝɚ ɡɚ ɨɬɤɭɩɨɬ ɧɚ ɤɨɦɩɢɪɨɬ"

10 Ɏɨɪɦɢɪɚʁ ɬɪɢɰɢɮɪɟɧɢ ɛɪɨɟɜɢ ɫɨ ɰɢɮɪɢɬɟ ɡɚɩɢɲɚɧɢ ɧɚ ɤɚɪɬɨɧɱɢʃɚɬɚ ɚ ɩɨɬɨɚ ɩɨɫɬɚɜɢ ɧɟɤɨɥɤɭ ɡɚɞɚɱɢ ɫɨ ɦɧɨɠɟʃɟ ɧɚ ɬɪɢɰɢɮɪɟɧɢ ɛɪɨɟɜɢ ɢ ɪɟɲɢ ɝɢ

104

ДЕЛЕЊЕ НА ПОВЕЌЕЦИФРЕН БРОЈ СО 10, 20, ..., 90 1 ɉɨɦɨɝɧɢ ɦɭ ɧɚ Ʉɚɥɢɧ ɞɚ ɝɢ ɩɪɟɫɦɟɬɚ ɤɨɥɢɱɧɢɰɢɬɟ 60

Ɂɧɚɦ ɫɟɤɨʁ ɛɪɨʁ ɲɬɨ ɡɚɜɪɲɭɜɚ ɧɚ ɫɟ ɞɟɥɢ ɫɨ ɬɚɤɚ ɲɬɨ ʅɟ ɫɟ ɢɡɨɫɬɚɜɢ ɧɭɥɚɬɚ ɜɨ ɪɟɞɨɬ ɧɚ ɟɞɢɧɢɰɢɬɟ

2 ɋɨ ɩɨɦɨɲ ɧɚ ɩɪɨɢɡɜɨɞɢɬɟ ɩɪɟɫɦɟɬɚʁ ɝɢ ɤɨɥɢɱɧɢɰɢɬɟ Â

3 Ɋɚɡɝɥɟɞɚʁ ɢ ɨɛʁɚɫɧɢ ɤɚɤɨ ɫɟ ɩɪɟɫɦɟɬɚɧɢ ɤɨɥɢɱɧɢɰɢɬɟ Ⱦ Ⱦ Ⱦ Ⱦ Ⱦ – 35 6 – 5 – 0

Ⱦɟɥɟɧɢɤɨɬ ɢ ɞɟɥɢɬɟɥɨɬ ɫɟ ɩɪɟɬɜɚɪɚɚɬ ɜɨ ɞɟɫɟɬɤɢ ɚ ɩɨɬɨɚ ɫɟ ɞɟɥɢ ɤɚɤɨ ɫɨ ɟɞɧɨɰɢɮɪɟɧ ɛɪɨʁ

4 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɝɢ ɤɨɥɢɱɧɢɰɢɬɟ ɢ ɫɩɨɪɟɞɢ ɝɢ 45 : 9 =

242 : 2 =

28 : 4 =

30 303 : 3 =

450 : 90 =

2 420 : 20 =

280 : 40 =

303 030 : 30 =

5 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɝɢ ɤɨɥɢɱɧɢɰɢɬɟ

3 450 : 30 =

8 840 : 40 =

5 950 : 50 =

4 880 : 40 =

3 360 : 60 =

5 880 : 20 =

6 Ⱦɚɥɢ ɇɢɧɚ ɩɪɚɜɢɥɧɨ ɪɚɫɭɞɭɜɚ" ɉɨɦɨɝɧɢ ɢ ɜɨ ɩɪɟɫɦɟɬɭɜɚʃɚɬɚ 52 000 : 50 =

36 000 : 30 =

84 000 : 20 =

6 400 : 40 =

Ɍɪɟɛɚ ɞɚ ɢɡɨɫɬɚɜɚɦ ɫɚɦɨ ɟɞɧɚ ɧɭɥɚ 105

7 Ʉɨɢ ɨɞ ɤɨɥɢɱɧɢɰɢɬɟ ɫɟ ɦɟɼɭɫɟɛɧɨ ɟɞɧɚɤɜɢ"

8 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɝɢ ɤɨɥɢɱɧɢɰɢɬɟ ɚ

9 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɝɢ ɤɨɥɢɱɧɢɰɢɬɟ ɢ ɩɨɞɪɟɞɢ ɝɢ ɩɨɱɧɭɜɚʁʅɢ ɨɞ ɧɚʁɦɚɥɢɨɬ ɛ

10 ɉɪɨɢɡɜɨɞɨɬ ɧɚ ɛɪɨɟɜɢɬɟ ɢ ɧɚɦɚɥɢ ɝɨ ɡɚ ɩɚɬɢ 11 Ʉɨɥɢɱɧɢɤɨɬ ɧɚ ɛɪɨɟɜɢɬɟ ɢ ɡɝɨɥɟɦɢ ɝɨ ɡɚ ɤɨɥɢɱɧɢɤɨɬ ɧɚ ɛɪɨɟɜɢɬɟ ɢ 12 ȼɨ ɠɢɜɢɧɚɪɫɤɚɬɚ ɮɚɪɦɚ ɡɚ ɞɟɧɚ ɫɨɛɪɚɧɢ ɫɟ ʁɚʁɰɚ Ʉɨɥɤɭ ʁɚʁɰɚ ɫɟ ɫɨɛɢɪɚɚɬ ɞɧɟɜɧɨ ɚɤɨ ɫɟɤɨʁ ɞɟɧ ɫɟ ɫɨɛɢɪɚɚɬ ɟɞɧɚɤɨɜ ɛɪɨʁ" Ʉɨɥɤɭ ɤɨɤɨɲɤɢ ɢɦɚ ɧɚ ɮɚɪɦɚɬɚ ɚɤɨ ɫɟɤɨʁɚ ɫɧɟɫɭɜɚ ɩɨ ɟɞɧɨ ʁɚʁɰɟ ɞɧɟɜɧɨ"

106

ДЕЛЕЊЕ НА ДВОЦИФРЕН БРОЈ СО ДВОЦИФРЕН БРОЈ 1 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɢ ɩɨɩɨɥɧɢ ɝɢ ɬɚɛɟɥɢɬɟ ɜɨ ɫɜɨʁɚɬɚ ɬɟɬɪɚɬɤɚ

2 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɝɢ ɩɪɨɢɡɜɨɞɢɬɟ Ɂɚ ɫɟɤɨʁ ɩɪɨɢɡɜɨɞ ɡɚɩɢɲɢ ɩɨ ɞɜɚ ɤɨɥɢɱɧɢɤɚ ɒɬɨ ɡɚɛɟɥɟɠɚɥ Ʉɪɢɫɬɢʁɚɧ" Â

Ɂɚɛɟɥɟɠɭɜɚɦ ɞɟɤɚ ɤɨɥɢɱɧɢɤɨɬ ɧɚ ɞɜɨɰɢɮɪɟɧ ɛɪɨʁ ɫɨ ɞɜɨɰɢɮɪɟɧ ɛɪɨʁ ɟ ɟɞɧɨɰɢɮɪɟɧ ɛɪɨʁ

Ʉɪɢɫɬɢʁɚɧ

3 Ɋɚɡɝɥɟɞɚʁ ɢ ɨɛʁɚɫɧɢ ɤɚɤɨ ɟ ɞɨɛɢɟɧ ɤɨɥɢɱɧɢɤɨɬ ɇɚʁɛɥɢɡɨɤ ɛɪɨʁ ɞɨ ɛɪɨʁɨɬ ɫɨ ɛɪɨʁ ɧɚ ɟɞɢɧɢɰɢ ɟ ɇɚʁɛɥɢɡɨɤ ɛɪɨʁ ɞɨ ɛɪɨʁɨɬ ɫɨ ɛɪɨʁ ɧɚ ɟɞɢɧɢɰɢ ɟ Ƚɨ ɢɡɜɪɲɭɜɚɦɟ ɞɟɥɟʃɟɬɨ ɉɪɟɬɩɨɫɬɚɜɭɜɚɦɟ ɞɟɤɚ ɛɚɪɚɧɢɨɬ ɤɨɥɢɱɧɢɤ ɟ Ƚɨ ɡɚɩɢɲɭɜɚɦɟ ɢ ɩɪɨɜɟɪɭɜɚɦɟ Â

í ɉɪɨɜɟɪɤɚ Â

4 ɉɪɨɜɟɪɢ ɞɚɥɢ ɐɜɟɬɚ ɩɪɚɜɢɥɧɨ ɩɪɟɫɦɟɬɭɜɚ í

ɉɪɨɜɟɪɤɚ Â

ɐɜɟɬɚ

Ɋɚɡɛɪɚɜ Ƚɢ ɡɚɨɤɪɭɠɭɜɚɦ ɞɟɥɟɧɢɤɨɬ ɢ ɞɟɥɢɬɟɥɨɬ ɡɚ ɞɚ ɝɨ ɨɬɤɪɢʁɚɦ ɤɨɥɢɱɧɢɤɨɬ

5 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɝɢ ɤɨɥɢɱɧɢɰɢɬɟ

6 Ɇɢɪɤɨ ɫɩɚɤɭɜɚɥ ɦɨɥɢɜɢ ɜɨ ɤɭɬɢɢ ɩɨɞɟɞɧɚɤɜɨ ɉɨ ɤɨɥɤɭ ɦɨɥɢɜɢ ɫɩɚɤɭɜɚɥ ɜɨ ɫɟɤɨʁɚ ɤɭɬɢʁɚ" 107

ДЕЛЕЊЕ СО ОСТАТОК 1 Ʌɢɧɚ ɦɭ ɩɨɞɚɪɢɥɚ ɧɚ Ȼɚʁɪɚɦ ɤɧɢɝɚ ɨɞ ɫɬɪɚɧɢɰɢ ɛ Ʌɢɧɚ ɝɨ ɡɚɩɪɚɲɚɥɚ Ȼɚʁɪɚɦ ɲɬɨ ʅɟ ɫɟ ɫɥɭɱɢ ɚɤɨ ɱɢɬɚɲ ɩɨ ɫɬɪɚɧɢɰɢ ɧɚ ɞɟɧ"

D Ⱥɤɨ Ȼɚʁɪɚɦ ɱɢɬɚ ɩɨ ɫɬɪɚɧɢɰɢ ɧɚ ɞɟɧ ɞɚɥɢ ʅɟ ɦɭ ɛɢɞɟ ɞɨɜɨɥɧɚ ɟɞɧɚ ɫɟɞɦɢɰɚ ɡɚ ɞɚ ʁɚ ɩɪɨɱɢɬɚ ɤɧɢɝɚɬɚ" í

ɞɟɧɚ ʅɟ ɱɢɬɚɦ ɩɨ ɫɬɪɚɧɢɰɢ ɢ ɫɬɪɚɧɢɰɢ ʅɟ ɦɢ ɩɪɟɨɫɬɚɧɚɬ ɡɚ ɲɟɫɬɢɨɬ ɞɟɧ

ɉɪɨɜɟɪɤɚ Â

ɨɫɬɚɬɨɤ

ɉɪɨɜɟɪɤɚ Â

2 Ⱦɚɥɢ ɩɪɚɜɢɥɧɨ ɪɚɫɭɞɭɜɚɬ ɂɜɚɧɚ ɢ Ⱦɚɜɨɪ" ɋɟ ɞɟɥɢ ɬɨɱɧɨ ɨɫɬɚɬɨɤɨɬ ɟ

Ɉɫɬɚɬɨɤɨɬ ɟ ɩɨɦɚɥ ɨɞ ɞɟɥɢɬɟɥɨɬ

ɂɜɚɧɚ

ɉɪɨɜɟɪɤɚ Â

Ⱦɚɜɨɪ

ɉɪɨɜɟɪɤɚ Â

3 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɝɢ ɤɨɥɢɱɧɢɰɢɬɟ ɢ ɨɫɬɚɬɨɤɨɬ ɨɞ ɞɟɥɟʃɟɬɨ ɨɫɬɚɬɨɤ

ɨɫɬɚɬɨɤ

4 ɉɨɞɟɥɢ ɚ ɨɪɟɜɢ ɧɚ ɞɟɰɚ ɩɨɞɟɞɧɚɤɜɨ Ʉɨɥɤɭ ɨɪɟɜɢ ʅɟ ɨɫɬɚɧɚɬ ɧɟɩɨɞɟɥɟɧɢ" ɛ ɬɟɬɪɚɬɤɢ ɧɚ ɞɟɰɚ ɩɨɞɟɞɧɚɤɜɨ Ʉɨɥɤɭ ɬɟɬɪɚɬɤɢ ʅɟ ɨɫɬɚɧɚɬ ɧɟɩɨɞɟɥɟɧɢ" 5 Ʉɨɥɤɭ ɞɟɧɨɜɢ ɜɤɭɩɧɨ ɢɦɚɚɬ ɦɟɫɟɰɢɬɟ ɚɩɪɢɥ ɦɚʁ ɢ ʁɭɧɢ" Ʉɨɥɤɭ ɫɟɞɦɢɰɢ ɢ ɤɨɥɤɭ ɞɟɧɨɜɢ ɫɟ ɬɨɚ" 6 ɋɨɫɬɚɜɢ ɬɟɤɫɬɭɚɥɧɨ ɡɚɞɚɱɚ ɤɨʁɚ ɫɟ ɪɟɲɚɜɚ ɜɚɤɚ ɨɫɬɚɬɨɤɨɬ 108

ДЕЛЕЊЕ НА ПОВЕЌЕЦИФРЕН БРОЈ СО ДВОЦИФРЕН БРОЈ 1 452 : 12 1 ɇɚʁɞɢ ɝɨ ɛɪɨʁɨɬ ɧɚ ɰɢɮɪɢ ɧɚ ɤɨɥɢɱɧɢɤɨɬ ɚ ɩɨɬɨɚ ɩɪɟɫɦɟɬɚʁ ɝɨ ɚ

2 Ⱦɚɥɢ ɫɟ ɬɨɱɧɨ ɩɪɟɫɦɟɬɚɧɢ ɤɨɥɢɱɧɢɰɢɬɟ" í

ɨɫɬɚɬɨɤ

í í

3 Ⱦɚɥɢ ɫɟ ɛɪɨɟɜɢɬɟ ɩɪɚɜɢɥɧɨ ɩɪɟɬɫɬɚɜɟɧɢ ɜɨ ɜɢɞ ɧɚ ɡɛɢɪ" ɋ Ⱦ ȿ Ⱦ ȿ Ⱦ ȿ Ʉɚʁ ɤɨʁ ɡɛɢɪ ɫɟɤɨʁ ɫɨɛɢɪɨɤ ɫɟ ɞɟɥɢ ɫɨ "

ɂ ɋ Ⱦ ȿ ɋ Ⱦ ȿ ɋ Ⱦ ȿ ɋ Ⱦ ȿ

Ʉɚʁ ɤɨʁ ɡɛɢɪ ɫɟɤɨʁ ɫɨɛɢɪɨɤ ɫɟ ɞɟɥɢ ɫɨ "

ɂ ɋ Ⱦ ȿ ɋ Ⱦ ȿ ɋ Ⱦ ȿ ɋ Ⱦ ȿ

Ʉɚʁ ɤɨʁ ɡɛɢɪ ɫɟɤɨʁ ɫɨɛɢɪɨɤ ɫɟ ɞɟɥɢ ɫɨ "

4 Ɋɚɡɝɥɟɞɚʁ ɢ ɨɛʁɚɫɧɢ ɤɚɤɨ ɟ ɩɪɟɫɦɟɬɚɧ ɤɨɥɢɱɧɢɤɨɬ í í í ɉɪɨɜɟɪɤɚ Â

t Ƚɨ ɨɩɪɟɞɟɥɭɜɚɦɟ ɛɪɨʁɨɬ ɧɚ ɰɢɮɪɢ ɧɚ ɤɨɥɢɱɧɢɤɨɬ

Ȼɪɨʁɨɬ ɧɚ ɢɥʁɚɞɢ ɟ ɟ ɩɨɦɚɥ ɨɞ ɞɟɥɢɬɟɥɨɬ ɂɥʁɚɞɚ ʁɚ ɩɪɟɬɜɪɚɦɟ ɜɨ ɫɬɨɬɤɢ Ȼɪɨʁɨɬ ɧɚ ɫɬɨɬɤɢ ɟ ɟ ɩɨɝɨɥɟɦ ɨɞ ɞɟɥɢɬɟɥɨɬ Ɂɧɚɱɢ ɤɨɥɢɱɧɢɤɨɬ ɟ ɬɪɢɰɢɮɪɟɧ ɛɪɨʁ t Ⱦɟɥɟʃɟɬɨ ɝɨ ɡɚɩɨɱɧɭɜɚɦɟ ɫɨ ɞɟɥɟʃɟ ɧɚ ɫɬɨɬɤɢɬɟ ɋ ɋ ɨɫɬɚɬɨɤ ɋ

ɉɪɨɜɟɪɤɚ ɋ Â ɋ ɋ ȼɨ ɤɨɥɢɱɧɢɤɨɬ ɡɚɩɢɲɭɜɚɦɟ ɋ t Ɂɚ ɞɚ ɡɚɩɨɱɧɟɦɟ ɫɨ ɞɟɥɟʃɟɬɨ ɧɚ ɞɟɫɟɬɤɢɬɟ ɡɚɩɢɲɭɜɚɦɟ ɫɩɭɲɬɚɦɟ ɞɟɫɟɬɤɢ ɞɨ ɨɫɬɚɬɨɤɨɬ ɨɞ ɫɬɨɬɤɢ Ⱦɨɛɢɜɚɦɟ ɞɟɫɟɬɤɢ Ⱦ Ⱦ ɨɫɬɚɬɨɤ Ⱦ

ɉɪɨɜɟɪɤɚ Ⱦ Â Ⱦ Ⱦ ȼɨ ɤɨɥɢɱɧɢɤɨɬ ɡɚɩɢɲɭɜɚɦɟ Ⱦ t Ⱦɨ ɨɫɬɚɬɨɤɨɬ ɨɞ ɞɟɫɟɬɤɚ ɡɚɩɢɲɭɜɚɦɟ ɫɩɭɲɬɚɦɟ ɟɞɢɧɢɰɢ Ⱦɨɛɢɜɚɦɟ ɟɞɢɧɢɰɢ ȿ ȿ ɉɪɨɜɟɪɤɚ ȿ Â ȿ ɇɟɦɚ ɨɫɬɚɬɨɤ ȼɨ ɤɨɥɢɱɧɢɤɨɬ ɡɚɩɢɲɭɜɚɦɟ ȿ 109

5 ɉɪɨɜɟɪɢ ɞɚɥɢ ɞɟɰɚɬɚ ɩɪɚɜɢɥɧɨ ɝɢ ɩɪɟɫɦɟɬɚɥɟ ɤɨɥɢɱɧɢɰɢɬɟ ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɝɢ ɢ ɬɢ í í

í í

í í í Ɍɢɦɨɬɟʁ

ȿɦɢɥ

ɋɚɪɚ

6 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɝɢ ɤɨɥɢɱɧɢɰɢɬɟ ɢ ɧɚɩɪɚɜɢ ɩɪɨɜɟɪɤɚ ɫɨ ɦɧɨɠɟʃɟ

7 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɧɚ ɞɜɚ ɧɚɱɢɧɚ ɚ

Ɍɪɟɛɚ ɞɚ ɝɨ ɩɪɢɦɟɧɚɦ ɩɪɚɜɢɥɨɬɨ ɡɚ ɞɟɥɟʃɟ ɧɚ ɡɛɢɪ ɢ ɪɚɡɥɢɤɚ ɫɨ ɛɪɨʁ

ɛ ɜ í ɝ í

Ȼɢɫɟɪɚ

8 Ɋɚɡɥɢɤɚɬɚ ɧɚ ɛɪɨʁɨɬ ɫɨ ɛɪɨʁɨɬ ɧɚɦɚɥɢ ʁɚ ɩɚɬɢ Ʉɨʁ ɛɪɨʁ ɝɨ ɞɨɛɢ" 9 ɇɚ ɥɟɜɚɬɚ ɬɪɢɛɢɧɚ ɢɦɚɥɨ ɠɨɥɬɢ ɫɬɨɥɱɢʃɚ ɲɬɨ ɛɢɥɟ ɪɚɫɩɨɪɟɞɟɧɢ ɩɨ ɜɨ ɪɟɞ ɇɚ ɞɟɫɧɚɬɚ ɬɪɢɛɢɧɚ ɢɦɚɥɨ ɰɪɜɟɧɢ ɫɬɨɥɱɢʃɚ ɲɬɨ ɛɢɥɟ ɪɚɫɩɨɪɟɞɟɧɢ ɩɨ ɜɨ ɪɟɞ ɉɨ ɤɨɥɤɭ ɫɬɨɥɱɢʃɚ ɢɦɚɥɨ ɧɚ ɫɟɤɨʁɚ ɬɪɢɛɢɧɚ" 10 Ʉɨɥɤɭ ɞɟɧɚɪɢ ɟ ɦɟɫɟɱɧɚɬɚ ɪɚɬɚ"

ɞɟɧɚɪɢ ɦɟɫɟɰɢ

ɞɟɧɚɪɢ ɦɟɫɟɰɢ ɞɟɧɚɪɢ ɦɟɫɟɰɢ

11 Ʉɨɥɤɭ ɤɢɥɨɝɪɚɦɢ ɫɟ ɞɨɛɢɜɚɚɬ ɨɞ ɟɞɧɚ ɧɢɜɚ" ɚ Ɂɚɫɚɞɟɧɢ ɧɢɜɢ Ⱦɨɛɢɟɧɢ ɤɢɥɨɝɪɚɦɢ

110

ɛ Ɂɚɫɚɞɟɧɢ ɧɢɜɢ Ⱦɨɛɢɟɧɢ ɤɢɥɨɝɪɚɦɢ

ɜ Ɂɚɫɚɞɟɧɢ ɧɢɜɢ Ⱦɨɛɢɟɧɢ ɤɢɥɨɝɪɚɦɢ

2747 : 41 1 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɝɢ ɤɨɥɢɱɧɢɰɢɬɟ

2 Ɋɚɡɝɥɟɞɚʁ ɢ ɨɛʁɚɫɧɢ ɤɚɤɨ ɟ ɩɪɟɫɦɟɬɚɧ ɤɨɥɢɱɧɢɤɨɬ í ɉɪɨɜɟɪɤɚ

Â +

Ƚɨ ɨɩɪɟɞɟɥɭɜɚɦɟ ɛɪɨʁɨɬ ɧɚ ɰɢɮɪɢ ɧɚ ɤɨɥɢɱɧɢɤɨɬ

Ȼɪɨʁɨɬ ɧɚ ɢɥʁɚɞɢ ɟ ɢ ɟ ɩɨɦɚɥ ɨɞ ɞɟɥɢɬɟɥɨɬ Ȼɪɨʁɨɬ ɧɚ ɫɬɨɬɤɢ ɟ ɢ ɟ ɩɨɦɚɥ ɨɞ ɞɟɥɢɬɟɥɨɬ Ȼɪɨʁɨɬ ɧɚ ɞɟɫɟɬɤɢ ɟ ɢ ɟ ɩɨɝɨɥɟɦ ɨɞ ɞɟɥɢɬɟɥɨɬ Ɂɧɚɱɢ ɤɨɥɢɱɧɢɤɨɬ ɟ ɞɜɨɰɢɮɪɟɧ ɛɪɨʁ Ⱦɟɥɟʃɟɬɨ ɝɨ ɡɚɩɨɱɧɭɜɚɦɟ ɫɨ ɞɟɥɟʃɟ ɧɚ ɞɟɫɟɬɤɢɬɟ Ⱦ Ⱦ ɨɫɬɚɬɨɤ Ⱦ

ȼɨ ɤɨɥɢɱɧɢɤɨɬ ɡɚɩɢɲɭɜɚɦɟ Ⱦ Ɂɚ ɞɚ ɡɚɩɨɱɧɟɦɟ ɫɨ ɞɟɥɟʃɟɬɨ ɟɞɢɧɢɰɢɬɟ ɡɚɩɢɲɭɜɚɦɟ ɫɩɭɲɬɚɦɟ ɟɞɢɧɢɰɢ ɞɨ ɨɫɬɚɬɨɤɨɬ ɨɞ ɞɟɫɟɬɤɢ Ⱦɨɛɢɜɚɦɟ ɟɞɢɧɢɰɢ ȿ ȿ ɉɪɨɜɟɪɤɚ ȿ Â ȿ ɇɟɦɚ ɨɫɬɚɬɨɤ ȼɨ ɤɨɥɢɱɧɢɤɨɬ ɡɚɩɢɲɭɜɚɦɟ ȿ

3 ɉɪɨɜɟɪɢ ɞɚɥɢ ɫɟ ɬɨɱɧɨ ɩɪɟɫɦɟɬɚɧɢ ɤɨɥɢɱɧɢɰɢɬɟ í í

í í í í 4 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɝɢ ɤɨɥɢɱɧɢɰɢɬɟ ɢ ɧɚɩɪɚɜɢ ɩɪɨɜɟɪɤɚ ɫɨ ɦɧɨɠɟʃɟ í

í í í

5 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɧɚ ɧɚʁɥɟɫɟɧ ɧɚɱɢɧ ɚ

ɛ í

ɝ í 111

6 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɡɚ ɞɚ ɨɬɤɪɢɟɲ ɡɚ ɤɨʁ ɝɪɚɞ ɫɟ ɩɢɫɦɚɬɚ

ɋɤɨɩʁɟ

Ȼɢɬɨɥɚ

ȼɟɥɟɫ

Ɉɯɪɢɞ

Ʉɢɱɟɜɨ

ɋɬɪɭɦɢɰɚ

7 Ɉɞ ɤɨɥɢɱɧɢɤɨɬ ɧɚ ɛɪɨʁɨɬ ɫɨ ɛɪɨʁɨɬ ɨɞɡɟɦɢ ɝɨ ɤɨɥɢɱɧɢɤɨɬ ɧɚ ɛɪɨʁɨɬ ɫɨ ɛɪɨʁɨɬ " 8 Ɇɚɪɢʁɚ ɝɨ ɩɨɞɟɥɢɥɚ ɛɪɨʁɨɬ ɫɨ ɛɪɨʁɨɬ ɚ ȼɟɫɧɚ ɢɫɬɢɨɬ ɛɪɨʁ ɝɨ ɩɨɞɟɥɢɥɚ ɫɨ Ʉɨʁɚ ɨɞ ɧɢɜ ɞɨɛɢɥɚ ɩɨɝɨɥɟɦ ɤɨɥɢɱɧɢɤ"

Ɇɚɪɢʁɚ

ȼɟɫɧɚ

9 ɉɱɟɥɚɪɨɬ ɬɟɝɥɢ ɫɨ ɛɨɪɨɜ ɦɟɞ ɝɢ ɫɩɚɤɭɜɚɥ ɜɨ ɤɭɬɢɢ ɩɨ ɬɟɝɥɢ ɜɨ ɤɭɬɢʁɚ ɢ ɬɟɝɥɢ ɫɨ ɥɢɜɚɞɫɤɢ ɦɟɞ ɜɨ ɤɭɬɢɢ ɩɨ ɬɟɝɥɢ ɜɨ ɤɭɬɢʁɚ Ɉɞ ɤɨʁ ɦɟɞ ɢɦɚ ɩɨɜɟʅɟ ɤɭɬɢɢ"

10 ȼɨ ɬɟɤɨɬ ɧɚ ɟɞɧɚ ɝɨɞɢɧɚ ɨɞ ɟɞɧɨ ɩɪɢɫɬɚɧɢɲɬɟ ɢɫɩɥɨɜɢɥɟ ɬɨɜɚɪɧɢ ɛɪɨɞɨɜɢ ɢ ɩɚɬɢ ɩɨɦɚɥɤɭ ɩɚɬɧɢɱɤɢ ɛɪɨɞɨɜɢ ɚ ɉɨɫɬɚɜɢ ɩɪɚɲɚʃɟ ɢ ɪɟɲɢ ʁɚ ɡɚɞɚɱɚɬɚ ɛ Ɂɚɩɢɲɢ ɝɨ ɪɟɲɟɧɢɟɬɨ ɧɚ ɡɚɞɚɱɚ ɫɨ ɟɞɟɧ ɛɪɨɟɧ ɢɡɪɚɡ 11 ɋɨɫɬɚɜɢ ɡɚɞɚɱɚ ɡɚ ɛɪɨʁɨɬ ɧɚ ɩɪɚɬɤɢ ɢɫɩɪɚɬɟɧɢ ɫɨ ɪɚɡɥɢɱɟɧ ɬɪɚɧɫɩɨɪɬ ɜɨɡ ɩɚɪɱɢʃɚ ɚɜɢɨɧ ɩɚɬɢ ɩɨɦɚɥɤɭ ɨɞ ɚɜɬɨɦɨɛɢɥ ɩɚɪɱɢʃɚ ɩɨɜɟʅɟ ɨɞ

112

3570 : 35 1 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɝɢ ɤɨɥɢɱɧɢɰɢɬɟ

2 Ɋɚɡɝɥɟɞɚʁ ɢ ɨɛʁɚɫɧɢ ɤɚɤɨ ɟ ɩɪɟɫɦɟɬɚɧ ɤɨɥɢɱɧɢɤɨɬ ɉɪɨɜɟɪɤɚ í Â í +

Ɋɟɲɟɧɢɟɬɨ ɦɨɠɟ ɞɚ ɫɟ ɡɚɩɢɲɟ ɢ ɜɚɤɚ ɧɨ ɧɟ ɬɪɟɛɚ ɞɚ ɫɟ ɡɚɛɨɪɚɜɚ ɜɨ ɤɨɥɢɱɧɢɤɨɬ

ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɝɢ ɤɨɥɢɱɧɢɰɢɬɟ ɢ ɧɚɩɪɚɜɢ ɩɪɨɜɟɪɤɚ ɫɨ ɦɧɨɠɟʃɟ

4 Ʉɨʁ ɩɪɟɫɦɟɬɚɥ ɬɨɱɧɨ" ɇɚɩɪɚɜɢ ɩɪɨɜɟɪɤɚ í

í ɋɬɟɮɚɧ

í Ⱥɪɬɚ

Ɍɪɟɛɚ ɞɚ ɜɧɢɦɚɜɚɦ ɧɚ ɧɭɥɢɬɟ

5 ɉɨ ɲɬɨ ɫɟ ɪɚɡɥɢɤɭɜɚɚɬ ɝɪɭɩɢɬɟ ɨɞ ɡɚɞɚɱɢ"

6 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɡɚ ɞɚ ɨɬɤɪɢɟɲ ɤɨɥɤɭ ɞɟɧɚɪɢ ɬɪɟɛɚ ɞɚ ɩɥɚɬɢ ɫɟɤɨɟ ɞɟɬɟ ɡɚ ɫɜɨʁɚɬɚ ɬɟɥɟɮɨɧɫɤɚ ɫɦɟɬɤɚ Ɇɢɤɢ

ɋɟɜɞɚ

Ȼɚɲɤɢɦ

Ȼɨʁɚɧɚ 113

7 ɚ) ɋɜɟɬɥɚɧɚ ɝɨ ɩɪɨɱɢɬɚɥɚ ɢɡɪɚɡɨɬ 1 312 9 222 : 87 ɧɚ ɫɥɟɞɧɢɨɜ ɧɚɱɢɧ: Äȿɞɧɢɨɬ ɫɨɛɢɪɨɤ ɟ 1 312 ɚ ɞɪɭɝɢɨɬ ɫɨɛɢɪɨɤ ɟ ɤɨɥɢɱɧɢɤɨɬ ɧɚ ɛɪɨʁɨɬ 9 222 ɫɨ ɛɪɨʁɨɬ 87 ɉɪɨɱɢɬɚʁ ɝɨ ɢ ɬɢ ɢɡɪɚɡɨɬ ɧɨ ɧɚ ɞɪɭɝ ɧɚɱɢɧ ɉɨɬɨɚ ɩɪɟɫɦɟɬɚʁ ɝɨ ɛ) ɉɪɨɱɢɬɚʁ ɢ ɩɪɟɫɦɟɬɚʁ ɝɢ ɢɡɪɚɡɢɬɟ: 7 965 : 53 ± 605

36 252 : 18 686

95 798 : 19 ± 1 6

8 Ɂɚɩɢɲɢ ɜɨ ɫɜɨʁɚɬɚ ɬɟɬɪɚɬɤɚ ɟɞɟɧ ɨɞ ɡɧɚɰɢɬɟ !

ɢɥɢ ɡɚ ɞɚ ɛɢɞɟ ɬɨɱɧɨ

ɚ) 7 865 : 13

7 865 : 5

ɛ) 9 120 : 15

9 120 : 2

ɜ) 7 865 : 13

786 500 : 13

ɝ) 9 120 : 15

912 000 : 15

ɞ) (7 865 : 13) · 0

ɼ) (9 120 : 15) · 1

7 865 : 13

9 120 : 15

9 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɝɢ ɢɡɪɚɡɢɬɟ ɚ) 68 932 : 76 820 935 : 27

ɛ) 68 932 : 76 820 935 : 27

ɜ) ( 3 8 ± 2 863) : 33

ɝ) ( 3 8 ± 2 863) : 33

10 Ɂɚɩɢɲɢ ɱɟɬɢɪɢ ɛɪɨɟɜɢ ɩɪɜɢɨɬ ɟ 661 056 ɜɬɨɪɢɨɬ ɟ 12 ɩɚɬɢ ɩɨɦɚɥ ɨɞ ɩɪɜɢɨɬ ɬɪɟɬɢɨɬ ɟ 11 ɩɚɬɢ ɩɨɦɚɥ ɨɞ ɜɬɨɪɢɨɬ ɚ ɱɟɬɜɪɬɢɨɬ ɟ 2 ɩɚɬɢ ɩɨɦɚɥ ɨɞ ɬɪɟɬɢɨɬ 11 Ɂɟɦʁɨɞɟɥɟɰɨɬ ɧɚɩɥɚɬɢɥ 3 876 ɞɟɧ ɡɚ ɰɪɜɟɧɢ ʁɚɛɨɥɤɚ ɢ 5 278 ɞɟɧ ɡɚ ɠɨɥɬɢ ʁɚɛɨɥɤɚ Ʉɢɥɨɝɪɚɦ ɰɪɜɟɧɢ ʁɚɛɨɥɤɚ ɱɢɧɢ 38 ɞɟɧ ɚ ɤɢɥɨɝɪɚɦ ɠɨɥɬɢ ʁɚɛɨɥɤɚ ɱɢɧɢ 26 ɞɟɧ Ʉɨɥɤɭ ɤɢɥɨɝɪɚɦɢ ʁɚɛɨɥɤɚ ɩɪɨɞɚɥ"

12 ȼɨ ɟɞɧɚ ɨɜɨɲɧɚ ɝɪɚɞɢɧɚ ɫɟ ɢɫɤɨɩɚɧɢ 396 ɞɭɩɤɢ ɢ ɡɚ ɞɪɜʁɚ ɜʁɚ Ɂɚɫ Ɂɚɫɚɞɟɧɢ ɫɫɚɞɟɧɢ ɫɫɟ 12 ɟɞɨɜɢ ɫɨ ɤɪɭɲ ɲ ɲɢ ɩɨɥɧɢ ɪɟɞɨɜɢ ɫɨ ʁɚɛɨɥɤɚ ɢ 10 ɩɨɥɧɢ ɪɪɟɞɨɜɢ ɤɪɭɲɢ ɞ ɞ ɚ) Ʉɨɥɤɭ ɞɪɜʁɚ ɫɟ ɡɚɫɚɞɟɧɢ ɜɨ ɟɞɟɧ ɪɟɞ ɚɤɨ ɨɫɬɚɧɚɥɟ ɫɥɨɛɨɞɧɢ 66 ɞɭɩɤɢ ɢ ɜɨ ɫɟɤɨʁ ɪɟɞ ɢɦɚ ɟɞɧɚɤɨɜ ɛɪɨʁ ɞɭɩɤɢ" ɢ ɢ" ɛ) Ʉɨɥɤɭ ɞɪɜʁɚ ɨɞ ɫɟɤɨʁ ɜɢɞ ɫɟ ɡɚɫɚɞɟɧɢ"

372 ɞɟɧɚɪɢ

{

13 ɋɨɫɬɚɜɢ ɬɟɤɫɬɭɚɥɧɚ ɡɚɞɚɱɚ ɫɩɨɪɟɞ ɰɪɬɟɠɨɬ ɢ ɪɟɲɢ ʁɚ

{

76 ɞɟɧɚɪɢ

114

МНОЖЕЊЕ И ДЕЛЕЊЕ НА ПОВЕЌЕЦИФРЕН БРОЈ СО ДВОЦИФРЕН БРОЈ 1 ɉɨɩɨɥɧɢ ɝɢ ɬɚɛɟɥɢɬɟ ɜɨ ɫɜɨʁɚɬɚ ɬɟɬɪɚɬɤɚ Ɇɧɨɠɢɬɟɥ

Ⱦɟɥɟɧɢɤ

Ɇɧɨɠɢɬɟɥ

Ⱦɟɥɢɬɟɥ

ɉɪɨɢɡɜɨɞ

Ʉɨɥɢɱɧɢɤ

2 Ɋɚɡɝɥɟɞɚʁ ɝɨ ɩɪɢɦɟɪɨɬ ɢ ɡɚɩɢɲɢ ɝɢ ɜɨ ɫɜɨʁɚɬɚ ɬɟɬɪɚɬɤɚ ɢɡɪɚɡɢɬɟ ɤɨɢ ɫɟ ɩɪɟɫɦɟɬɭɜɚɚɬ ɚ Â

ɛ Â

ɜ :

Â ± ɝ

3 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɧɚ ɧɚʁɥɟɫɟɧ ɧɚɱɢɧ ɚ Â Â ɛ Â Â Â Â ɜ ɝ ± 4 Ʉɨɥɤɭ ɝɪɚɦɚ ɟ ɦɚɫɚɬɚ ɧɚ ɫɟɤɨɟ ɨɞ ɩɚɤɟɬɱɢʃɚɬɚ"

Â 115

5 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɡɚ ɞɚ ɨɬɤɪɢɟɲ ɤɨɥɤɭ ɤɢɥɨɦɟɬɪɢ ɩɚɬɭɜɚɥ ɂɜɚɧ ɫɨ ɦɨɬɨɪɰɢɤɥ

6 ɚ Ɍɪɟɛɚ ɞɚ ɫɟ ɧɚʁɞɟ ɩɪɨɢɡɜɨɞɨɬ Â ɉɨɡɧɚɬ ɟ ɩɪɨɢɡɜɨɞɨɬ Â Ʉɚɤɨ ʅɟ ɝɨ ɩɪɟɫɦɟɬɚɲ" ɛ Ɍɪɟɛɚ ɞɚ ɫɟ ɧɚʁɞɟ ɤɨɥɢɱɧɢɤɨɬ ɉɨɡɧɚɬ ɟ ɤɨɥɢɱɧɢɤɨɬ Ʉɚɤɨ ʅɟ ɝɨ ɩɪɟɫɦɟɬɚɲ" 7 Ʉɨɧ ɤɨɥɢɱɧɢɤɨɬ ɧɚ ɛɪɨʁɨɬ ɫɨ ɛɪɨʁɨɬ ɞɨɞɚʁ ɝɨ ɩɪɨɢɡɜɨɞɨɬ ɧɚ ɛɪɨɟɜɢɬɟ ɢ 8 Ɂɚ ɩɪɨɥɟɬɧɚɬɚ ɫɟɢɞɛɚ ɡɟɦʁɨɞɟɥɫɤɚɬɚ ɡɚɞɪɭɝɚ ɩɨɬɪɨɲɢɥɚ ɜɪɟʅɢ ɫɨ ɩɨ ɤɢɥɨɝɪɚɦɢ ɫɟɦɟ Ʉɨɥɤɭ ɧɢɜɢ ɡɚɫɚɞɢɥɚ ɚɤɨ ɡɚ ɟɞɧɚ ɧɢɜɚ ɫɟ ɩɨɬɪɟɛɧɢ ɤɢɥɨɝɪɚɦɢ ɫɟɦɟ" 9 ȼɨ ɰɜɟɬɧɚ ɚɥɟɚ ɫɨ ɦɟɫɬɚ ɜɨ ɪɟɞɨɜɢ ɫɟ ɡɚɫɚɞɟɧɢ ɤɨɪɟɧɱɢʃɚ ɩɟɬɭɧɢɢ ɢ ɤɨɪɟɧɱɢʃɚ ɤɚɪɚɧɮɢɥɢ Ɉɫɬɚɧɚɬɢɬɟ ɦɟɫɬɚ ɛɢɥɟ ɡɚɫɚɞɟɧɢ ɫɨ ɪɨɡɢ" ɚ Ʉɨɥɤɭ ɤɨɪɟɧɱɢʃɚ ɪɨɡɢ ɫɟ ɡɚɫɚɞɟɧɢ" ɛ Ʉɨɥɤɭ ɪɟɞɨɜɢ ɫɨ ɰɜɟʅɢʃɚ ɨɞ ɫɟɤɨʁ ɜɢɞ ɫɟ ɡɚɫɚɞɟɧɢ" ɜ Ʉɨɥɤɭ ɱɢɧɚɬ ɰɜɟʅɢʃɚɬɚ ɡɚɟɞɧɨ ɚɤɨ ɤɨɪɟɧ ɩɟɬɭɧɢʁɚ ɱɢɧɢ ɞɟɧɚɪɢ ɤɨɪɟɧɱɟ ɤɚɪɚɧɮɢɥ ɱɢɧɢ ɞɟɧɚɪɢ ɚ ɤɨɪɟɧɱɟ ɪɨɡɚ ɱɢɧɢ ɞɟɧɚɪɢ"

10 ȼɨ ɨɜɨɲɧɚ ɝɪɚɞɢɧɚ ɞɪɜʁɚ ɫɟ ɡɚɫɚɞɟɧɢ ɜɨ ɪɟɞɚ ɩɨɞɟɞɧɚɤɜɨ ȿɞɧɨ ɞɪɜɨ ɱɢɧɢ ɞɟɧɚɪɢ ɒɬɨ ʅɟ ɧɚʁɞɟɲ ɚɤɨ ɝɨ ɩɪɟɫɦɟɬɚɲ ɢɡɪɚɡɨɬ Â "

11 ɋɨɫɬɚɜɢ ɬɟɤɫɬɭɚɥɧɚ ɡɚɞɚɱɚ ɫɩɨɪɟɞ ɩɨɞɚɬɨɰɢɬɟ ɋɜɢɥɚ ɒɬɨɮ Ʌɟɧɟɧɨ ɩɥɚɬɧɨ

116

РАВЕНКИ СО НЕПОЗНАТ МНОЖИТЕЛ 1 Ⱥɤɨ ɧɟɩɨɡɧɚɬ ɛɪɨʁ ɫɟ ɡɝɨɥɟɦɢ ɩɚɬɢ ɫɟ ɞɨɛɢɜɚ ɛɪɨʁɨɬ Ʉɨʁ ɟ ɧɟɩɨɡɧɚɬɢɨɬ ɛɪɨʁ" [ Â [ [ ɉɪɨɜɟɪɤɚ Â Â [

ɇɟɩɨɡɧɚɬɢɨɬ ɛɪɨʁ ɝɨ ɨɡɧɚɱɭɜɚɦɟ ɫɨ [ ɢɥɢ ɫɨ ɞɪɭɝɚ ɛɭɤɜɚ Ⱦɨɛɢɜɚɦɟ ɪɚɜɟɧɤɚ [ Â ɫɨ ɧɟɩɨɡɧɚɬɚɬɚ [

2 ɇɚʁɞɢ ɝɨ ɧɟɩɨɡɧɚɬɢɨɬ ɛɪɨʁ [ ɚ [ Â

ɛ Â [

ɜ [ Â

3 ɇɚʁɞɢ ɝɢ ɧɟɩɨɡɧɚɬɢɬɟ D E ɢ ɫ ɚ D Â ± ɜ Â Â ɫ

ɛ Â E

4 Ʉɨʁ ɛɪɨʁ ɬɪɟɛɚ ɞɚ ɫɟ ɡɝɨɥɟɦɢ ɩɚɬɢ ɡɚ ɞɚ ɫɟ ɞɨɛɢɟ ɛɪɨʁɨɬ " 5 ȿɞɧɢɨɬ ɦɧɨɠɢɬɟɥ ɟ ɧɚʁɝɨɥɟɦɢɨɬ ɞɜɨɰɢɮɪɟɧ ɛɪɨʁ ɚ ɩɪɨɢɡɜɨɞɨɬ ɟ ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɝɨ ɞɪɭɝɢɨɬ ɦɧɨɠɢɬɟɥ 6 Ɍɨɦɢ ɡɚɦɢɫɥɢɥ ɟɞɟɧ ɛɪɨʁ ɇɟɝɨ ɝɨ ɩɨɦɧɨɠɢɥ ɫɨ ɪɚɡɥɢɤɚɬɚ ɧɚ ɛɪɨɟɜɢɬɟ ɢ ɢ ɝɨ ɞɨɛɢɥ ɡɛɢɪɨɬ ɧɚ ɢɫɬɢɬɟ ɛɪɨɟɜɢ ɢ Ʉɨʁ ɛɪɨʁ ɝɨ ɡɚɦɢɫɥɢɥ Ɍɨɦɢ" 7 Ɂɛɢɪɨɬ ɧɚ ɛɪɨɟɜɢɬɟ ɢ ɡɝɨɥɟɦɟɧ ɧɟɤɨɥɤɭ ɩɚɬɢ ɟ ɟɞɧɚɤɨɜ ɧɚ ɪɚɡɥɢɤɚɬɚ ɧɚ ɛɪɨɟɜɢɬɟ ɢ Ʉɨɥɤɭ ɩɚɬɢ ɟ ɡɝɨɥɟɦɟɧ ɡɛɢɪɨɬ" 8 ɋɨɫɬɚɜɢ ɬɟɤɫɬɭɚɥɧɚ ɡɚɞɚɱɚ ɤɨʁɚ ɫɟ ɪɟɲɚɜɚ ɫɨ ɪɚɜɟɧɤɚɬɚ ɯ ā ± 117

РАВЕНКИ СО НЕПОЗНАТ ДЕЛЕНИК 1 Ⱥɤɨ ɧɟɩɨɡɧɚɬ ɛɪɨʁ ɫɟ ɧɚɦɚɥɢ ɩɚɬɢ ɫɟ ɞɨɛɢɜɚ ɛɪɨʁɨɬ Ʉɨʁ ɟ ɧɟɩɨɡɧɚɬɢɨɬ ɛɪɨʁ" [ [ Â [ ɉɪɨɜɟɪɤɚ [

ɇɟɩɨɡɧɚɬɢɨɬ ɛɪɨʁ ɝɨ ɨɡɧɚɱɭɜɚɦɟ ɫɨ [ ɢɥɢ ɫɨ ɞɪɭɝɚ ɛɭɤɜɚ Ⱦɨɛɢɜɚɦɟ ɪɚɜɟɧɤɚ [ ɫɨ ɧɟɩɨɡɧɚɬɚɬɚ [

Â 2 ɇɚʁɞɢ ɝɨ ɧɟɩɨɡɧɚɬɢɨɬ ɛɪɨʁ [ ɚ [

ɛ [

ɜ [

3 ɇɚʁɞɢ ɝɢ ɧɟɩɨɡɧɚɬɢɬɟ ɫ G ɢ H ɚ ɫ ± Â ɛ G ɜ H Â Â 4 ȿɞɟɧ ɛɪɨʁ ɟ ɧɚɦɚɥɟɧ ɩɚɬɢ ɢ ɟ ɞɨɛɢɟɧ ɛɪɨʁɨɬ Ʉɨʁ ɟ ɬɨʁ ɛɪɨʁ" 5 Ɉɬɤɪɢʁ ɝɨ ɞɟɥɟɧɢɤɨɬ ɚɤɨ ɞɟɥɢɬɟɥɨɬ ɟ ɚ ɤɨɥɢɱɧɢɤɨɬ " 6 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɝɨ ɞɟɥɟɧɢɤɨɬ ɚɤɨ ɞɟɥɢɬɟɥɨɬ ɟ ɚ ɤɨɥɢɱɧɢɤɨɬ ɟ ɢɫɬɢɨɬ ɛɪɨʁ ɡɚɩɢɲɚɧ ɫɨ ɰɢɮɪɢ ɜɨ ɨɛɪɚɬɟɧ ɪɟɞ 7 Ʉɨʁ ɛɪɨʁ ɩɨɞɟɥɟɧ ɫɨ ɝɨ ɞɚɜɚ ɡɛɢɪɨɬ ɧɚ ɛɪɨɟɜɢɬɟ ɢ 8 ȼɨ ɟɞɧɚ ɩɪɨɞɚɜɧɢɰɚ ɢɦɚɥɨ ɢɝɪɚɱɤɢ Ƚɢ ɩɨɞɟɥɢɥɟ ɧɚ ɪɚɮɬɨɜɢɬɟ ɧɚ ɩɨɥɢɰɢ ɩɨ ɢɝɪɚɱɤɢ ɧɚ ɩɨɥɢɰɚ Ʉɨɥɤɭ ɜɤɭɩɧɨ ɢɝɪɚɱɤɢ ɢɦɚɥɨ ɚɤɨ ɢɦɚ ɬɚɤɜɢ ɪɚɮɬɨɜɢ ɫɨ ɢɝɪɚɱɤɢ" 9 ɋɨɫɬɚɜɢ ɬɟɤɫɬɭɚɥɧɚ ɡɚɞɚɱɚ ɤɨʁɚ ɫɟ ɪɟɲɚɜɚ ɫɨ ɪɚɜɟɧɤɚɬɚ [ ± 118

РАВЕНКИ СО НЕПОЗНАТ ДЕЛИТЕЛ 1 Ⱥɤɨ ɛɪɨʁɨɬ ɝɨ ɧɚɦɚɥɢɦɟ ɧɟɩɨɡɧɚɬ ɛɪɨʁ ɩɚɬɢ ɫɟ ɞɨɛɢɜɚ ɛɪɨʁɨɬ Ʉɨʁ ɟ ɧɟɩɨɡɧɚɬɢɨɬ ɛɪɨʁ" [ [ [ ɉɪɨɜɟɪɤɚ

ɇɟɩɨɡɧɚɬɢɨɬ ɛɪɨʁ ɝɨ ɨɡɧɚɱɭɜɚɦɟ ɫɨ [ ɢɥɢ ɫɨ ɞɪɭɝɚ ɛɭɤɜɚ Ⱦɨɛɢɜɚɦɟ ɪɚɜɟɧɤɚ [ ɫɨ ɧɟɩɨɡɧɚɬɚɬɚ [

[ Â [

2 ɇɚʁɞɢ ɝɨ ɧɟɩɨɡɧɚɬɢɨɬ ɛɪɨʁ [ ɚ [

ɛ [

ɜ [

3 ɇɚʁɞɢ ɝɢ ɧɟɩɨɡɧɚɬɢɬɟ ɫ I ɢ D ɚ ɫ Â

ɛ I Â

ɜ Â ɚ ±

4 Ʉɨɥɤɭ ɩɚɬɢ ɬɪɟɛɚ ɞɚ ɫɟ ɧɚɦɚɥɢ ɛɪɨʁɨɬ ɡɚ ɞɚ ɫɟ ɞɨɛɢɟ ɛɪɨʁɨɬ " 5 Ⱦɟɥɟɧɢɤ ɟ ɛɪɨʁɨɬ ɚ ɤɨɥɢɱɧɢɤ ɟ ɛɪɨʁɨɬ Ʉɨɥɤɭ ɟ ɞɟɥɢɬɟɥɨɬ" 6 Ⱥɧɚ ɡɛɢɪɨɬ ɧɚ ɛɪɨɟɜɢɬɟ ɢ ɝɨ ɩɨɞɟɥɢɥɚ ɫɨ ɧɟʁɡɢɧɢɨɬ ɡɚɦɢɫɥɟɧ ɛɪɨʁ ɢ ɝɨ ɞɨɛɢɥɚ ɩɪɨɢɡɜɨɞɨɬ ɧɚ ɛɪɨɟɜɢɬɟ ɢ Ʉɨʁ ɛɪɨʁ ɝɨ ɡɚɦɢɫɥɢɥɚ Ⱥɧɚ" 7 ȿɤɨɥɨɡɢɬɟ ɡɚɫɚɞɢɥɟ ɟɥɢ ɢ ɛɨɪɨɜɢ ɜɨ ɧɟɤɨɥɤɭ ɪɟɞɚ Ʉɨɥɤɭ ɪɟɞɚ ɡɚɫɚɞɢɥɟ ɚɤɨ ɜɨ ɫɟɤɨʁ ɪɟɞ ɢɦɚ ɩɨ ɫɚɞɧɢɰɢ"

119

МНОЖЕЊЕ И ДЕЛЕЊЕ СО КАЛКУЛАТОР 1 Ʉɚɤɨ ɦɧɨɠɢɦɟ ɢ ɞɟɥɢɦɟ ɫɨ ɤɚɥɤɭɥɚɬɨɪ" Ⱥ ɤɚɤɨ ɞɚ ɦɧɨɠɚɦ ɢ ɞɟɥɚɦ"

Ɂɧɚɦ ɞɚ ɫɨɛɢɪɚɦ ɢ ɨɞɡɟɦɚɦ ɫɨ ɤɚɥɤɭɥɚɬɨɪ ȼɟɫɧɚ

Ⱥɭɪɟɥɢʁɚ

ɇɚ ɤɚɥɤɭɥɚɬɨɪɨɬ ɫɟ ɝɥɟɞɚɚɬ ɤɨɩɱɢʃɚɬɚ ɫɨ ɡɧɚɰɢɬɟ ɡɚ ɞɟɥɟʃɟ ɡɚ ɪɚɜɟɧɫɬɜɨ [ ɡɚ ɦɧɨɠɟʃɟ ɉɪɨɢɡɜɨɞɨɬ ɧɚ ɛɪɨɟɜɢɬɟ ɢ ɝɨ ɩɪɟɫɦɟɬɭɜɚɦɟ ɜɚɤɚ ȼɧɟɫɭɜɚɦɟ

ɉɪɢɬɢɫɤɚɦɟ [

ȼɧɟɫɭɜɚɦɟ

ɉɪɢɬɢɫɤɚɦɟ

ɢ ɝɨ ɞɨɛɢɜɚɦɟ ɛɪɨʁɨɬ Ʉɨɥɢɱɧɢɤɨɬ ɧɚ ɛɪɨʁɨɬ ɫɨ ɛɪɨʁɨɬ ɝɨ ɩɪɟɫɦɟɬɭɜɚɦɟ ɜɚɤɚ ȼɧɟɫɭɜɚɦɟ

ɉɪɢɬɢɫɤɚɦɟ [

ȼɧɟɫɭɜɚɦɟ

ɉɪɢɬɢɫɤɚɦɟ

ɢ ɝɨ ɞɨɛɢɜɚɦɟ ɛɪɨʁɨɬ 2 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɫɨ ɩɨɦɨɲ ɧɚ ɤɚɥɤɭɥɚɬɨɪ ɚ Â

ɛ Â

ɜ Â

3 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɫɨ ɩɨɦɨɲ ɧɚ ɤɚɥɤɭɥɚɬɨɪ ɚ

4 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɫɨ ɤɚɥɤɭɥɚɬɨɪ ɚ Â Â

ɛ ±

5 ɚ ɉɪɨɰɟɧɢ ɝɢ ɩɪɨɢɡɜɨɞɢɬɟ ɚ ɩɨɬɨɚ ɩɪɟɫɦɟɬɚʁ ɝɢ ɫɨ ɤɚɥɤɭɥɚɬɨɪ ɡɚ ɞɚ ʁɚ ɩɪɨɜɟɪɢɲ ɫɜɨʁɚɬɚ ɩɪɨɰɟɧɤɚ

120

ɛ ɉɪɨɰɟɧɢ ɝɢ ɤɨɥɢɱɧɢɰɢɬɟ ɚ ɩɨɬɨɚ ɩɪɟɫɦɟɬɚʁ ɝɢ ɫɨ ɤɚɥɤɭɥɚɬɨɪ ɡɚ ɞɚ ʁɚ ɩɪɨɜɟɪɢɲ ɫɜɨʁɚɬɚ ɩɪɨɰɟɧɤɚ

ЧИТАЊЕ И ЗАПИШУВАЊЕ НА ДРОПКИ ПОМАЛИ ОД 1 1 ɇɚ ɤɨɥɤɭ ɟɞɧɚɤɜɢ ɞɟɥɨɜɢ ɫɟɤɨɟ ɞɟɬɟ ʁɚ ɩɨɞɟɥɢɥɨ ɩɢɬɚɬɚ"

Ɍɨɦɢ

Ɇɚɪɢʁɚ ɋɟɤɨʁ ɞɟɥ ɟ ɩɨɥɨɜɢɧɚ ɨɞ ɰɟɥɚɬɚ ɩɢɬɚ

ȼɟɫɧɚ

ɋɟɤɨʁ ɞɟɥ ɟ ɱɟɬɜɪɬɢɧɚ ɨɞ ɰɟɥɚɬɚ ɩɢɬɚ

ɋɟɤɨʁ ɞɟɥ ɟ ɨɫɦɢɧɚ ɨɞ ɰɟɥɚɬɚ ɩɢɬɚ

2 ɋɟɤɨʁ ɤɪɭɝ ɟ ɩɨɞɟɥɟɧ ɧɚ ɟɞɧɚɤɜɢ ɞɟɥɨɜɢ Ʉɨɥɤɚɜ ɞɟɥ ɨɞ ɤɪɭɝɨɬ ɟ ɨɛɨɟɧ" ɋɟɤɨʁ ɞɟɥ ɟ ɬɪɟɬɢɧɚ ɤɪɭɝ

ɋɟɤɨʁ ɞɟɥ ɟ ɩɟɬɬɢɧɚ ɤɪɭɝ

ɋɟɤɨʁ ɞɟɥ ɟ ɲɟɫɬɢɧɚ ɤɪɭɝ

ɋɟɤɨʁ ɞɟɥ ɟ ɫɟɞɦɢɧɚ ɤɪɭɝ ɋɟɤɨʁ ɞɟɥ ɟ ɞɟɜɟɬɢɧɚ ɤɪɭɝ ɋɟɤɨʁ ɞɟɥ ɟ ɞɟɫɟɬɢɧɚ ɤɪɭɝ

3 Ɂɚɩɢɲɢ ɝɨ ɞɟɥɨɬ ɨɞ ɮɢɝɭɪɚ ɲɬɨ ɟ ɨɛɨɟɧ"

4 ɇɚɰɪɬɚʁ ɝɢ ɮɢɝɭɪɢɬɟ ɢ ɨɛɨʁ ɝɨ ɜɨ ɫɜɨʁɚɬɚ ɬɟɬɪɚɬɤɚ ɞɟɥɨɬ ɨɞ ɮɢɝɭɪɚɬɚ ɲɬɨ ɟ ɡɚɩɢɲɚɧ

ɫɟɞɦɢɧɚ

ɞɟɫɟɬɢɧɚ

ɨɫɦɢɧɚ

ɬɪɟɬɢɧɚ 121

5 Ⱦɚɥɢ ɫɟ ɩɪɚɜɢɥɧɨ ɢɦɟɧɭɜɚɧɢ ɢ ɡɚɩɢɲɚɧɢ ɞɟɥɨɜɢɬɟ ɨɞ ɤɪɭɝɨɬ ɲɬɨ ɝɢ ɨɛɨɢɥɨ ɫɟɤɨɟ ɞɟɬɟ" Ɇɚɪɢɧɚ

ɩɨɥɨɜɢɧɚ

4 ɂɥɢɪ

ɱɟɬɜɪɬɢɧɚ

ȿɥɟɧɚ

ɨɫɦɢɧɚ

6 ɇɚ ɤɨɥɤɭ ɟɞɧɚɤɜɢ ɞɟɥɨɜɢ ɟ ɨɛɨɟɧ ɤɜɚɞɪɚɬɨɬ" Ʉɨɥɤɭ ɞɟɥɨɜɢ ɫɟ ɨɛɨɟɧɢ" ɨɜɚ ɟ ɞɪɨɩɤɚ

Ȼɪɨɢɬɟɥ Ⱦɪɨɛɧɚ ɰɪɬɚ ɂɦɟɧɢɬɟɥ

ɂɦɟɧɢɬɟɥɨɬ ɝɢ ɢɦɟɧɭɜɚ ɞɟɥɨɜɢɬɟ ɨɞ ɰɟɥɨɬɨ Ȼɪɨɢɬɟɥɨɬ ɝɢ ɛɪɨɢ ɢɡɞɜɨɟɧɢɬɟ ɞɟɥɨɜɢ

ɋɟɤɨʁ ɞɟɥ ɟ ɩɟɬɬɢɧɚ ɤɜɚɞɪɚɬ Ɉɛɨɟɧɢ ɫɟ ɬɪɢ ɩɟɬɬɢɧɢ 7 Ɂɚɩɢɲɢ ɝɢ ɞɟɥɨɜɢɬɟ ɨɞ ɰɟɥɨɬɨ ɫɨ ɞɪɨɩɤɢ ɚ ɟɞɧɚ ɬɪɟɬɢɧɚ

ɛ ɩɟɬ ɫɟɞɦɢɧɢ

ɜ ɞɟɜɟɬ ɞɟɫɟɬɢɧɢ

8 8 8 ɉɪɨɱɢɬɚʁ ɝɢ ɫɥɟɞɧɢɜɟ ɞɪɨɩɤɢ 9 9 Ɂɚɩɢɲɢ ɝɨ ɫɨ ɞɪɨɩɤɚ ɞɟɥɨɬ ɨɞ ɮɢɝɭɪɚɬɚ ɲɬɨ ɟ ɨɛɨɟɧ

10 Ɉɛɨʁ ɜɨ ɫɜɨʁɚɬɚ ɬɟɬɪɚɬɤɚ ɫɩɨɪɟɞ ɛɚɪɚʃɚɬɚ ɫɢɧɢ 4 3 ɠɨɥɬɢ 4

3 ɰɪɜɟɧɢ 4 ɡɟɥɟɧɢ

ɫɢɧɢ 9 3 ɰɪɜɟɧɢ 9 4 ɠɨɥɬɢ 9

11 Ɂɚɩɢɲɢ ɢ ɩɪɨɱɢɬɚʁ ʁɚ ɞɪɨɩɤɚɬɚ ɫɨ ɚ ɛɪɨɢɬɟɥ ɢ ɢɦɟɧɢɬɟɥ 122

ɛ ɛɪɨɢɬɟɥ ɢ ɢɦɟɧɢɬɟɥ

СПОРЕДУВАЊЕ НА ДРОПКИ 1 ɇɚ ɤɨɥɤɭ ɟɞɧɚɤɜɢ ɞɟɥɨɜɢ Ⱥɧɚ ɢ Ȼɨʁɚɧ ʁɚ ɩɨɞɟɥɢɥɟ ɬɨɪɬɚɬɚ" Ʉɨɥɤɭ ɞɟɥɨɜɢ ɡɟɥɚ Ⱥɧɚ ɚ ɤɨɥɤɭ Ȼɨʁɚɧ" Ʉɨʁ ɨɞ ɧɢɜ ɡɟɥ ɩɨɜɟʅɟ ɨɞ ɬɨɪɬɚɬɚ"

Ȼɨʁɚɧ

$ɧɚ 2 Ɂɚɩɢɲɢ ɝɨ ɫɨ ɞɪɨɩɤɚ ɨɛɨɟɧɢɨɬ ɞɟɥ ɨɞ ɩɪɚɜɨɚɝɨɥɧɢɤɨɬ Ʉɨʁɚ ɞɪɨɩɤɚ ɟ ɩɨɝɨɥɟɦɚ" Ɂɨɲɬɨ" D

Ɉɞ ɞɜɟ ɞɪɨɩɤɢ ɫɨ ɟɞɧɚɤɜɢ ɢɦɟɧɢɬɟɥɢ ɩɨɝɨɥɟɦɚ ɟ ɞɪɨɩɤɚɬɚ ɲɬɨ ɢɦɚ ɩɨɝɨɥɟɦ ɛɪɨɢɬɟɥ

3 4 ! ɡɚɬɨɚ ɲɬɨ 4 ! 3 5 5 3 Ɂɚɩɢɲɢ ɜɨ ɫɜɨʁɚɬɚ ɬɟɬɪɚɬɤɚ ɟɞɟɧ ɨɞ ɡɧɚɰɢɬɟ ! ɢɥɢ ɡɚ ɞɚ ɛɢɞɟ ɬɨɱɧɨ

5 8

7 8

4 ɋɩɨɪɟɞɢ ɝɢ ɞɪɨɩɤɢɬɟ 3 4 3 ɚ ɢ ; ɛ ɢ ; 4 4 6 6

5 8

3 8

ɜ ɢ ;

5 ɝ ɢ

5 ɉɨɞɪɟɞɢ ɝɢ ɩɨ ɝɨɥɟɦɢɧɚ ɞɪɨɩɤɢɬɟ ɩɨɱɧɭɜɚʁʅɢ ɨɞ ɧɚʁɦɚɥɚɬɚ 4 3 6 7 ɚ ; 8 8 8 8 8 8 6 Ɂɚɩɢɲɢ ɞɪɨɩɤɚ ɫɨ ɢɦɟɧɢɬɟɥ ɲɬɨ ɟ 3 ɚ ɩɨɦɚɥɚ ɨɞ ;

3 4 8 6 ɛ 5 5 5 5 5 5

ɚ ɩɨɝɨɥɟɦɚ ɨɞ

7 Ɍɨɦɟ ɢ Ʌɢɧɚ ɝɨ ɩɨɞɟɥɢɥɟ ɤɨɥɚɱɨɬ ɧɚ ɟɞɧɚɤɜɢ ɞɟɥɨɜɢ Ɍɨɦɟ ɡɟɥ ɨɞ ɤɨɥɚɱɨɬ Ʌɢɧɚ ɡɟɥɚ ɨɞ ɤɨɥɚɱɨɬ ɢ ɭɲɬɟ Ʉɨʁ ɡɟɥ ɩɨɜɟʅɟ ɨɞ ɤɨɥɚɱɨɬ" Ɂɨɲɬɨ" 123

НАОЃАЊЕ ДЕЛ ОД БРОЈ 1 ȼɨ ɚɤɜɚɪɢɭɦɨɬ ɢɦɚ ɪɢɩɱɢʃɚ ɂɥɢʁɚ ɫɚɤɚ ɞɚ ɢɡɜɚɞɢ ɨɞ ɪɢɩɱɢʃɚɬɚ 4 Ʉɨɥɤɭ ɪɢɩɱɢʃɚ ɬɪɟɛɚ ɞɚ ɢɡɜɚɞɢ ɨɞ ɚɤɜɚɪɢɭɦɨɬ" ɨɞ ɛɪɨʁɨɬ ɟ ɛɪɨʁɨɬ 4 ɡɚɬɨɚ ɲɬɨ ɂɥɢʁɚ ɬɪɟɛɚ ɞɚ ɢɡɜɚɞɢ ɪɢɩɱɢʃɚ 2 ɇɚʁɞɢ ɤɨɥɤɭ ɟ ɚ

ɨɞ 3

ɨɞ 4

ɨɞ

3 ɇɚɰɪɬɚʁ ɝɢ ɤɪɭɝɨɜɢɬɟ ɜɨ ɬɟɬɪɚɬɤɚɬɚ ɢ ɨɛɨʁ ɫɩɨɪɟɞ ɛɚɪɚʃɟɬɨ ɨɞ ɨɞ

ɨɞ

ɨɞ 4

4 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɤɨɥɤɭ ɟ ɚ

124

ɨɞ

ɨɞ 3

ɨɞ

5 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɤɨɥɤɭ ɟ ɨɞ ɟ ɡɚɬɨɚ ɲɬɨ ɚ ɨɞ ɝ ɨɞ

ɛ ɨɞ ɞ ɨɞ

ɜ ɨɞ ɼ ɨɞ

6 Ƚɨɪɚɧ ɢɦɚɥ ɫɥɢɤɢɱɤɢ Ɂɚɥɟɩɢɥ ɨɞ ɧɢɜ ɜɨ ɚɥɛɭɦɨɬ Ʉɨɥɤɭ ɫɥɢɤɢɱɤɢ ɡɚɥɟɩɢɥ" 7 Ɇɚʁɤɚɬɚ ɧɚɩɪɚɜɢɥɚ ɤɨɥɚɱɢ ɂɡɟɥɟ ɨɞ ɤɨɥɚɱɢɬɟ Ʉɨɥɤɭ ɤɨɥɚɱɢ ɢɡɟɥɟ" Ʉɨɥɤɭ ɤɨɥɚɱɢ ɨɫɬɚɧɚɥɟ ɧɟɢɡɟɞɟɧɢ"

8 Ɉɞ ɢɡɥɨɠɟɧɢɬɟ ɫɥɢɤɢ ɧɚ ɢɡɥɨɠɛɚɬɚ ɫɟ ɩɪɨɞɚɥɟ ɨɞ ɧɢɜ Ʉɨɥɤɭ ɫɥɢɤɢ ɫɟ ɩɪɨɞɚɥɟ" Ʉɨɥɤɭ ɫɥɢɤɢ ɨɫɬɚɧɚɥɟ ɧɟɩɪɨɞɚɞɟɧɢ" 9 ȿɞɧɚ ɬɚɛɥɚ ɫɨ ʁɚʁɰɚ ɢɦɚ ɪɟɞɚ ɩɨ ʁɚʁɰɚ Ɇɚʁɤɚɬɚ ɡɚ ɫɥɚɞɨɥɟɞ ɭɩɨɬɪɟɛɢɥɚ ɨɞ ɧɢɜ Ʉɨɥɤɭ ʁɚʁɰɚ ɨɫɬɚɧɚɥɟ ɧɟɭɩɨɬɪɟɛɟɧɢ" 10 Ɉɞ ɭɱɟɧɢɰɢ ɜɨ 9 ɨɞɞɟɥɟɧɢɟ ɛɢɥɟ ɫɨ ɨɞɥɢɱɟɧ ɭɫɩɟɯ ɛɢɥɟ ɫɨ ɦɧɨɝɭ ɞɨɛɚɪ ɭɫɩɟɯ ɚ ɫɨ ɞɨɛɚɪ ɭɫɩɟɯ ɇɚʁɞɢ ɝɨ ɛɪɨʁɨɬ ɧɚ ɭɱɟɧɢɰɢɬɟ ɫɨ ɨɞɥɢɱɟɧ ɦɧɨɝɭ ɞɨɛɚɪ ɢ ɞɨɛɚɪ ɭɫɩɟɯ Ʉɨɥɤɭ ɭɱɟɧɢɰɢ ɫɟ ɫɨ ɞɨɜɨɥɟɧ ɭɫɩɟɯ" Ⱥ ɫɨ ɧɟɞɨɜɨɥɟɧ" 11 Ɇɚɪɢʁɚ ɞɜɚ ɞɟɧɚ ɱɢɬɚɥɚ ɤɧɢɝɚ ɤɨʁɚ ɢɦɚɥɚ ɫɬɪɚɧɢɰɢ ɉɪɜɢɨɬ ɞɟɧ ɩɪɨɱɢɬɚɥɚ ɨɞ ɤɧɢɝɚɬɚ ɚ ɜɬɨɪɢɨɬ ɞɟɧ ɨɞ ɤɧɢɝɚɬɚ ɚ Ʉɨɥɤɭ ɫɬɪɚɧɢɰɢ ɩɪɨɱɢɬɚɥɚ ɩɪɜɢɨɬ ɚ ɤɨɥɤɭ ɜɬɨɪɢɨɬ ɞɟɧ" ɛ Ʉɨɥɤɭ ɫɬɪɚɧɢɰɢ ɢ ɨɫɬɚɧɚɥɟ ɡɚ ɱɢɬɚʃɟ" 12 Ȼɪɨʁɨɬ ɟ ɬɪɟɬɢɧɚ ɨɞ ɧɟɤɨʁ ɛɪɨʁ Ʉɨʁ ɟ ɬɨʁ ɛɪɨʁ" Ʉɨɥɤɭ ɟ ɬɪɟɬɢɧɚ ɨɞ ɛɪɨʁɨɬ " 125

СОБИРАЊЕ ДРОПКИ СО ЕДНАКВИ ИМЕНИТЕЛИ 1 2 1 Ɇɚɪɢʁɚ ɩɪɜɢɨɬ ɞɟɧ ɩɪɨɱɢɬɚɥɚ ɨɞ ɤɧɢɝɚɬɚ ɚ ɜɬɨɪɢɨɬ ɞɟɧ ɨɞ ɤɧɢɝɚɬɚ 5 5 Ʉɨɥɤɚɜ ɞɟɥ ɨɞ ɤɧɢɝɚɬɚ ɩɪɨɱɢɬɚɥɚ Ɇɚɪɢʁɚ"

{

2 3 1 1 + 2 + = = 5 5 5 5 1 2 5 5

{

Ɂɛɢɪ ɧɚ ɞɪɨɩɤɢ ɫɨ ɟɞɧɚɤɜɢ ɢɦɟɧɢɬɟɥɢ ɟ ɞɪɨɩɤɚ ɫɨ ɢɫɬɢɨɬ ɢɦɟɧɢɬɟɥ ɚ ɛɪɨɢɬɟɥɨɬ ɟ ɟɞɧɚɤɨɜ ɧɚ ɡɛɢɪɨɬ ɨɞ ɛɪɨɢɬɟɥɢɬɟ ɧɚ ɞɪɨɩɤɢɬɟ ɫɨɛɢɪɨɰɢ

3 5 3 Ɇɚɪɢʁɚ ɩɪɨɱɢɬɚɥɚ ɨɞ ɤɧɢɝɚɬɚ 5 2 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɝɨ ɡɛɢɪɨɬ ɛ 2 + 4 ɚ 1 + 4 9 8 9 8 ɝ 15 + 4 30 30

ɞ 16 + 25 100 100

ɜ 5 + 1 10 10 ɼ 245 + 180 1000 1000

3 4 3 Ⱥɤɨ ɫɨɛɢɪɨɰɢ ɫɟ ɞɪɨɩɤɢɬɟ ɢ ɤɨɥɤɚɜ ɟ ɡɛɢɪɨɬ" 8 8 6 2 4 Ⱦɪɨɩɤɚɬɚ ɡɝɨɥɟɦɢ ʁɚ ɡɚ 10 10 5 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɝɨ ɡɛɢɪɨɬ 2 ɚ 6 + 1 + 10 10 10

1 ɛ 1 + 3 + 6 6 6

7 ɜ 2 + 8 + 20 20 20

4 2 1 6 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɝɨ ɡɛɢɪɨɬ ɚɤɨ ɫɨɛɢɪɨɰɢ ɫɟ ɞɪɨɩɤɢɬɟ ɢ 12 12 12 3 2 7 ɉɪɜɢɨɬ ɞɟɧ ɬɪɚɤɬɨɪɢɫɬɨɬ ɢɡɨɪɚɥ ɨɞ ɧɢɜɚɬɚ ɜɬɨɪɢɨɬ ɞɟɧ ɨɞ ɧɢɜɚɬɚ 8 8 1 ɚ ɬɪɟɬɢɨɬ ɞɟɧ ɨɞ ɢɫɬɚɬɚ ɧɢɜɚ Ʉɨɥɤɚɜ ɞɟɥ ɨɞ ɧɢɜɚɬɚ ɢɡɨɪɚɥ ɬɪɚɤɬɨɪɢɫɬɨɬ" 8 126

8 ɉɨɩɨɥɧɢ ɝɢ ɬɚɛɟɥɢɬɟ ɜɨ ɫɜɨʁɚɬɚ ɬɟɬɪɚɬɤɚ ɚ

ɋɨɛɢɪɨɤ ɋɨɛɢɪɨɤ Ɂɛɢɪ

5 10 3 10

5 10

9 10

5 10 1 10

5 10

ɋɨɛɢɪɨɤ ɋɨɛɢɪɨɤ

7 10

Ɂɛɢɪ

3 8 4 8

12 20

18 20

35 50 12 25 50 100 65 100

2 1 9 ȳɨɫɢɮ ɡɚɥɟɩɢɥ ɨɞ ɫɥɢɤɢɱɤɢɬɟ ɜɨ ɚɥɛɭɦɨɬ ɚ ɩɨɬɨɚ ɭɲɬɟ ɨɞ ɫɥɢɤɢɱɤɢɬɟ 6 6 Ʉɨɥɤɚɜ ɞɟɥ ɨɞ ɫɥɢɤɢɱɤɢɬɟ ɡɚɥɟɩɢɥ ȳɨɫɢɮ ɜɨ ɚɥɛɭɦɨɬ" 1 10 ɂɥɢɧɚ ɨɞ ɩɚɬɟɤɚɬɚ ʁɚ ɩɨɦɢɧɚɥɚ ɫɨ 5 2 1 ɨɞɟʃɟ ɫɨ ɛɪɡɨ ɨɞɟʃɟ ɢ ɫɨ 5 5 ɬɪɱɚʃɟ Ʉɨɥɤɚɜ ɞɟɥ ɨɞ ɩɚɬɟɤɚɬɚ ɩɨɦɢɧɚɥɚ"

4 11 ȼɨ ɦɥɟɱɧɚɬɚ ɢɧɞɭɫɬɪɢʁɚ ɨɞ ɦɥɟɤɨɬɨ ɛɢɥɨ ɩɪɟɪɚɛɨɬɟɧɨ ɜɨ ɤɢɫɟɥɨ ɦɥɟɤɨ 12 3 2 ɜɨ ɭɪɞɚ ɢ ɜɨ ɩɚɜɥɚɤɚ Ʉɨɥɤɚɜ ɞɟɥ ɨɞ ɦɥɟɤɨɬɨ ɛɢɥ ɩɪɟɪɚɛɨɬɟɧ" 12 12 12 Ƚɥɢɝɨɪ ɢ Ȼɨʁɚɧ ɬɪɝɧɚɥɟ ɫɨ ɜɟɥɨɫɢɩɟɞɢ ɨɞ ɫɩɪɨɬɢɜɧɢ ɧɚɫɨɤɢ ɟɞɟɧ ɤɨɧ ɞɪɭɝ 1 Ƚɥɢɝɨɪ ɩɨɦɢɧɚɥ ɨɞ ɩɚɬɨɬ ɚ ɩɨɬɨɚ ɭɲɬɟ 5 2 1 ɨɞ ɩɚɬɨɬ Ȼɨʁɚɧ ɩɨɦɢɧɚɥ ɨɞ 5 5 ɩɚɬɨɬ Ʉɨɥɤɚɜ ɞɟɥ ɨɞ ɩɚɬɨɬ ɢɡɜɨɡɢɥɟ ɞɪɭɝɚɪɢɬɟ" 3 2 13 ȼɨ ɟɞɧɚ ɮɚɛɪɢɤɚ ɤɨɧɡɟɪɜɢɪɚɥɟ ɬɟɝɥɢ Ɉɞ ɧɢɜ ɛɢɥɟ ɫɨ ɚʁɜɚɪ ɫɨ 10 10 1 2 ɥɭɬɟɧɢɰɚ ɫɨ ɰɜɟɤɥɨ ɢ ɫɨ ɤɢɫɟɥɢ ɤɪɚɫɬɚɜɢɱɤɢ Ʉɨɥɤɚɜ ɞɟɥ ɨɞ 10 10 ɩɪɨɢɡɜɨɞɫɬɜɨɬɨ ɛɢɥ ɫɩɚɤɭɜɚɧ ɜɨ ɬɟɝɥɢ"

127

ОДЗЕМАЊЕ ДРОПКИ СО ЕДНАКВИ ИМЕНИТЕЛИ 3 2 1 ȳɚɧɟ ɬɪɟɛɚɥɨ ɞɚ ɡɚɫɚɞɢ ɨɞ ɫɟɦɟɬɨ Ɍɨʁ ɡɚɫɚɞɢɥ ɨɞ ɫɟɦɟɬɨ 4 4 ɍɲɬɟ ɤɨɥɤɭ ɫɟɦɟ ɬɪɟɛɚ ɞɚ ɡɚɫɚɞɢ" 2 1 ± 3 – = = 4 4 4 4

3 4

2 4

Ɋɚɡɥɢɤɚɬɚ ɧɚ ɞɪɨɩɤɢ ɫɨ ɟɞɧɚɤɜɢ ɢɦɟɧɢɬɟɥɢ ɟ ɞɪɨɩɤɚ ɫɨ ɢɫɬɢɨɬ ɢɦɟɧɢɬɟɥ ɚ ɛɪɨɢɬɟɥɨɬ ɟ ɟɞɧɚɤɨɜ ɧɚ ɪɚɡɥɢɤɚɬɚ ɧɚ ɛɪɨɢɬɟɥɢɬɟ ɨɞ ɞɪɨɩɤɚɬɚ ɧɚɦɚɥɟɧɢɤ ɢ ɞɪɨɩɤɚɬɚ ɧɚɦɚɥɢɬɟɥ

1 ȳɚɧɟ ɬɪɟɛɚ ɞɚ ɡɚɫɚɞɢ ɭɲɬɟ ɨɞ ɫɟɦɟɬɨ 4 2 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ʁɚ ɪɚɡɥɢɤɚɬɚ ɚ 8 – 6 10 10

ɛ 5 – 3 7 7

ɜ 2 – 1 6 6

ɝ 14 – 10 25 25

ɞ 25 – 8 40 40

ɼ 32 – 27 100 100

2 1 3 ɇɚɦɚɥɟɧɢɤɨɬ ɟ ɚ ɧɚɦɚɥɢɬɟɥɨɬ Ʉɨɥɤɚɜɚ ɟ ɪɚɡɥɢɤɚ" 7 7 11 6 4 Ⱦɪɨɩɤɚɬɚ ɧɚɦɚɥɢ ʁɚ ɡɚ 15 15 5 4 5 ɂɜɚɧ ɩɨɦɢɧɚɥ ɨɞ ɩɚɬɨɬ ɨɞ ɢɡɦɢɧɚɬɢɨɬ ɩɚɬ ɝɨ ɩɨɦɢɧɚɥ ɫɨ ɚɜɬɨɦɨɛɢɥ 6 6 ɚ ɨɫɬɚɧɚɬɢɨɬ ɞɟɥ ɫɨ ɜɟɥɨɫɢɩɟɞ Ʉɨɥɤɚɜ ɞɟɥ ɨɞ ɩɚɬɨɬ ɩɨɦɢɧɚɥ ɫɨ ɜɟɥɨɫɢɩɟɞ" 4 6 6 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɝɢ ɪɚɡɥɢɤɢɬɟ 4 ɚ 7 – 2 ± 9 9 9

1 ɛ 12 – 6 ± 15 15 15

7 ɜ 14 – 2 ± 20 20 20

10 4 7 Ȼɪɨʁɨɬ ɧɚɦɚɥɢ ɝɨ ɡɚ ɚ ɩɨɬɨɚ ɡɚ ɭɲɬɟ ɬɨɥɤɭ 12 12 128

8 ɉɨɩɨɥɧɢ ɝɢ ɬɚɛɟɥɢɬɟ ɜɨ ɫɜɨʁɚɬɚ ɬɟɬɪɚɬɤɚ ɚ

ɇɚɦɚɥɟɧɢɤ ɇɚɦɚɥɟɧɢɤ Ɋɚɡɥɢɤɚ

7 9 2 9

7 9

1 9 6 9

7 9 5 9

ɇɚɦɚɥɟɧɢɤ ɇɚɦɚɥɟɧɢɤ

5 8 8

Ɋɚɡɥɢɤɚ

7 10

2 10

14 20 6 20

15 10

5 9 Ʌɨɡɚɪɨɬ ɨɞ ɧɟɝɨɜɨɬɨ ɝɪɨɡʁɟ ɨɞɥɭɱɢɥ ɞɚ ɝɨ ɧɚɩɪɚɜɢ ɜɢɧɨ Ɉɞ ɨɞ ɝɪɨɡʁɟɬɨ 6 6 ɧɚɩɪɚɜɢɥ ɛɟɥɨ ɜɢɧɨ ɚ ɨɞ ɨɫɬɚɧɚɬɢɨɬ ɞɟɥ ɰɪɜɟɧɨ ɜɢɧɨ Ɉɞ ɤɨɥɤɚɜ ɞɟɥ ɨɞ ɝɪɨɡʁɟɬɨ ɧɚɩɪɚɜɢɥ ɰɪɜɟɧɨ ɜɢɧɨ" 9 10 ȼɨ ɭɱɢɥɢɲɧɚɬɚ ɛɢɛɥɢɨɬɟɤɚ ɨɞ ɤɧɢɝɢɬɟ ɛɢɥɟ 10 4 ɥɟɤɬɢɪɢ Ɉɞ ɧɢɜ ɛɢɥɟ ɥɟɤɬɢɪɢ ɡɚ ɭɱɟɧɢɰɢɬɟ 10 ɨɞ ɨɞɞɟɥɟɧɫɤɚ ɧɚɫɬɚɜɚ ɚ ɨɫɬɚɧɚɬɢɬɟ ɥɟɤɬɢɪɢ ɡɚ ɩɪɟɞɦɟɬɧɚ ɧɚɫɬɚɜɚ Ʉɨɥɤɭ ɥɟɤɬɢɪɢ ɛɢɥɟ ɡɚ ɭɱɟɧɢɰɢɬɟ ɨɞ ɩɪɟɞɦɟɬɧɚ ɧɚɫɬɚɜɚ" Ʉɚɤɜɢ ɥɟɤɬɢɪɢ ɢɦɚɥɨ ɩɨɜɟʅɟ ɡɚ ɨɞɞɟɥɟɧɫɤɚ ɧɚɫɬɚɜɚ ɢɥɢ ɡɚ ɩɪɟɞɦɟɬɧɚ ɧɚɫɬɚɜɚ" 5 2 11 Ɋɚɞɦɢɥɚ ɪɟɲɢɥɚ ɨɞ ɡɚɞɚɱɢɬɟ ɡɚ ɞɟɧɚ ɉɪɜɢɨɬ ɞɟɧ ɪɟɲɢɥɚ ɚ ɜɬɨɪɢɨɬ 6 6 1 ɞɟɧ Ʉɨɥɤɚɜ ɞɟɥ ɪɟɲɢɥɚ ɬɪɟɬɢɨɬ ɞɟɧ" ɍɲɬɟ ɤɨɥɤɚɜ ɞɟɥ ɨɞ ɡɚɞɚɱɢɬɟ ɬɪɟɛɚ 6 ɞɚ ɪɟɲɢ ɡɚ ɞɚ ɝɢ ɪɟɲɢ ɫɢɬɟ ɡɚɞɚɱɢ" 7 4 12 ɂɥɢʁɚ ɬɪɟɛɚ ɞɚ ɧɚɬɨɜɚɪɢ ɨɞ ɤɚɦɢɨɧɨɬ ɫɨ ɩɢɩɟɪɤɢ ɇɚɬɨɜɚɪɢɥ ɫɨ 9 9 2 ɰɪɜɟɧɢ ɩɢɩɟɪɤɢ ɫɨ ɡɟɥɟɧɢ ɩɢɩɟɪɤɢ Ɉɫɬɚɧɚɬɨɬɨ ɬɪɟɛɚɥ ɞɚ ɝɨ ɧɚɬɨɜɚɪɢ 9 ɫɨ ɛɚɛɭɪɢ Ʉɨɥɤɚɜ ɞɟɥ ɬɪɟɛɚ ɞɚ ɧɚɬɨɜɚɪɢ ɫɨ ɛɚɛɭɪɢ" Ɉɞ ɤɨʁ ɜɢɞ ɩɢɩɟɪɤɢ ɧɚʁɦɧɨɝɭ ɧɚɬɨɜɚɪɢɥ" 6 4 13 Ɋɚɡɥɢɤɚɬɚ ɧɚ ɛɪɨɟɜɢɬɟ ɢ ɡɝɨɥɟɦɢ ʁɚ ɡɚ ɧɢɜɧɢɨɬ ɡɛɢɪ 15 15 7 8 5 4 14 Ɂɛɢɪɨɬ ɧɚ ɛɪɨɟɜɢɬɟ ɢ ɧɚɦɚɥɢ ɝɨ ɡɚ ɪɚɡɥɢɤɚɬɚ ɧɚ ɛɪɨɟɜɢɬɟ ɢ 12 12 12 12 129

ЗАДАЧИ ЗА ВЕЖБАЊЕ 1 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɝɢ ɩɪɨɢɡɜɨɞɢɬɟ

2 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɝɢ ɢɡɪɚɡɢɬɟ ɧɚ ɧɚʁɥɟɫɟɧ ɧɚɱɢɧ Â Â

± Â

Â Â

Â ± Â

3 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɡɚ ɞɚ ɨɬɤɪɢɟɲ ɤɨɟ ɞɟɬɟ ɲɬɨ ɤɭɩɢɥɨ" Ɍɢɧɚ

ɂɜɨ

Ʌɢɧɚ

4 Ɉɞ ɧɚʁɦɚɥɢɨɬ ɫɟɞɭɦɰɢɮɪɟɧ ɛɪɨʁ ɨɞɡɟɦɢ ɝɨ ɤɨɥɢɱɧɢɤɨɬ ɧɚ ɛɪɨɟɜɢɬɟ ɢ ɢ ɤɨɥɢɱɧɢɤɨɬ ɧɚ ɛɪɨɟɜɢɬɟ ɢ 5 ɉɪɨɰɟɧɢ ɞɨ ɤɨʁ ɛɪɨʁ ɟ ɩɨɛɥɢɫɤɭ ɪɟɡɭɥɬɚɬɨɬ ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɡɚ ɞɚ ɩɪɨɜɟɪɢɲ ɫɜɨʁɚɬɚ ɩɪɨɰɟɧɤɚ

6 ȼɨ ɤɢɧɨ ɫɚɥɚɬɚ ɢɦɚ ɫɟɞɢɲɬɚ Ʉɨɥɤɭ ɫɟɞɢɲɬɚ ɢɦɚ ɜɨ ɟɞɟɧ ɪɟɞ ɚɤɨ ɢɦɚ ɪɟɞɚ ɫɨ ɟɞɧɚɤɨɜ ɛɪɨʁ ɫɬɨɥɱɢʃɚ" Ʉɨɥɤɭ ɫɬɨɥɱɢʃɚ ɢɦɚ ɜɨ ɪɟɞɨɜɢ" 7 Ɉɞ ɭɱɟɧɢɰɢ ɜɨ 9 ɨɞɞɟɥɟɧɢɟ ɫɚɤɚɥɟ ɞɚ ɬɪɟɧɢɪɚɚɬ ɨɞɛɨʁɤɚ ɞɚ 4 ɬɪɟɧɢɪɚɚɬ ɤɨɲɚɪɤɚ ɚ ɨɫɬɚɧɚɬɢɨɬ ɞɟɥ ɞɚ ɬɪɟɧɢɪɚɚɬ ɮɭɞɛɚɥ Ʉɨɥɤɭ ɭɱɟɧɢɰɢ ɫɚɤɚɬ ɞɚ ɬɪɟɧɢɪɚɚɬ ɨɞɛɨʁɤɚ ɤɨɥɤɭ ɤɨɲɚɪɤɚ ɢ ɤɨɥɤɭ ɮɭɞɛɚɥ" 130

ПЛОШТИНА НА РАМНИНСКА ФИГУРА 1 Ⱦɨɫɟɝɚ ɫɢ ɧɚɭɱɢɥ ɞɚ ɦɟɪɢɲ ɪɚɡɧɢ ɜɟɥɢɱɢɧɢ ɞɨɥɠɢɧɚ ɦɚɫɚ ɜɪɟɦɟ ɢ ɬɟɱɧɨɫɬ ɋɢɬɟ ɧɢɜ ɝɢ ɦɟɪɢɲ ɫɨ ɧɟɤɨɢ ɟɞɢɧɢɰɢ ɦɟɪɤɢ

PLQ l

2 ɉɪɨɰɟɧɢ ɤɨʁɚ ɨɞ ɮɢɝɭɪɢɬɟ ɡɚɮɚʅɚ ɧɚʁɝɨɥɟɦ ɚ ɤɨʁɚ ɧɚʁɦɚɥ ɞɟɥ ɨɞ ɪɚɦɧɢɧɚɬɚ

3 Ⱦɚ ɝɢ ɪɚɡɝɥɟɞɚɦɟ ɤɜɚɞɪɚɬɨɬ ɢ ɩɪɚɜɨɚɝɨɥɧɢɤɨɬ ɧɚ ɰɪɬɟɠɨɬ ɋɟɤɨɟ ɦɚɥɨ ɤɜɚɞɪɚɬɱɟ ɟ ɫɨ ɫɬɪɚɧɚ FP

Ɇɨɠɟɦɟ ɞɚ ɝɨ ɢɡɦɟɪɢɦɟ ɧɢɜɧɢɨɬ ɩɟɪɢɦɟɬɚɪ Ɍɢɟ ɢɦɚɚɬ ɢɫɬɢ ɩɟɪɢɦɟɬɪɢ ɨɞ FP Ɇɨɠɟɦɟ ɞɚ ɫɟ ɡɚɩɪɚɲɚɦɟ ɤɨʁ ɨɞ ɧɢɜ ɡɚɮɚʅɚ ɩɨɝɨɥɟɦ ɞɟɥ ɨɞ ɪɚɦɧɢɧɚɬɚ Ʉɚɤɨ ɦɨɠɟɦɟ ɞɚ ɨɞɝɨɜɨɪɢɦɟ ɧɚ ɨɜɚ ɩɪɚɲɚʃɟ" Ⱦɚ ɝɢ ɢɡɛɪɨɢɦɟ ɦɚɥɢɬɟ ɤɜɚɞɪɚɬ ɱɢʃɚ ɜɨ ɫɟɤɨʁ ɨɞ ɧɢɜ ȼɨ ɩɪɚɜɨɚɝɨɥɧɢɤɨɬ ɢɦɚ ɚ ɜɨ ɤɜɚɞɪɚɬɨɬ ɦɚɥɢ ɤɜɚɞ ɞɪɚɬɱɢʃɚ ɋɩɨɪɟɞ ɬɨɚ ɤɜɚɞɪɚɬɨɬ ɡɚɮɚʅɚ ɩɨɝɨɥɟɦ ɞɟɥ ɨɞ ɪɚɦɧɢɧɚɬɚ ȼɟɥɢɦɟ ɞɟɤɚ ɤɜɚɞɪɚɬɨɬ ɢɦɚ ɩɨɝɨɥɟɦɚ ɩɥɨɲɬɢɧɚ ɨɞ ɩɪɚɜɨɚɝɨɥɧɢɤɨɬ 4

Ʉɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɚɬɚ ɤɨʁɚ ɩɨɤɚɠɭɜɚ ɤɨɥɤɚɜ ɞɟɥ ɨɞ ɪɚɦɧɢɧɚɬɚ ɡɚɮɚʅɚ ɟɞɧɚ ɮɢɝɭɪɚ ɜɨ ɪɚɦɧɢɧɚɬɚ ɫɟ ɜɢɤɚ ɩɥɨɲɬɢɧɚ ɉɥɨɲɬɢɧɚɬɚ ʁɚ ɨɡɧɚɱɭɜɚɦɟ ɫɨ 3

5 ɂɡɛɪɨʁ ɩɨ ɤɨɥɤɭ ɦɚɥɢ ɤɜɚɞɪɚɬɱɢʃɚ ɢɦɚ ɜɨ ɫɟɤɨʁɚ ɨɞ ɮɢɝɭɪɢɬɟ ɧɚ ɰɪɬɟɠɨɬ

Ʉɨʁɚ ɨɞ ɧɢɜ ɢɦɚ ɧɚʁɝɨɥɟɦɚ ɚ ɤɨʁɚ ɢɦɚ ɧɚʁɦɚɥɚ ɩɥɨɲɬɢɧɚ" 131

МЕРЕЊЕ НА ПЛОШТИНА 1

ɋɩɨɪɟɞɢ ɝɢ ɩɥɨɲɬɢɧɢɬɟ ɧɚ ɤɜɚɞɪɚɬɨɬ ɢ ɬɪɢɚɝɨɥɧɢɤɨɬ ɇɚ ɰɪɬɟɠɨɬ ɟ ɩɪɢɤɚɠɚɧɨ ɤɚɤɨ ɤɜɚɞɪɚɬɨɬ ɟ ɩɨɫɬɚɜɟɧ ɧɚ ɬɪɢɚɝɨɥɧɢɤɨɬ Ɉɞ ɬɚɦɭ ɫɟ ɝɥɟɞɚ ɞɟɤɚ ɬɪɢɚɝɨɥɧɢɤɨɬ ɢɦɚ ɩɨɝɨɥɟɦɚ ɩɥɨɲɬɢɧɚ ɇɨ ɤɨɥɤɭ ɩɚɬɢ ɟ ɩɨɝɨɥɟɦɚ ɩɥɨɲɬɢɧɚɬɚ ɧɚ ɬɪɢɚɝɨɥɧɢɤɨɬ ɨɞ ɩɥɨɲɬɢɧɚɬɚ ɧɚ ɤɜɚɞɪɚɬɨɬ" Ɂɚ ɨɞɝɨɜɨɪ ɧɚ ɨɜɚ ɩɪɚɲɚʃɟ ɬɪɟɛɚ ɞɚ ɝɢ ɫɩɨɪɟɞɢɦɟ ɩɥɨɲɬɢɧɢɬɟ ɧɚ ɤɜɚɞɪɚɬɨɬ ɢ ɬɪɢɚɝɨɥɧɢɤɨɬ ɫɨ ɩɥɨɲɬɢɧɚɬɚ ɧɚ ɞɪɭɝɚ ɮɢɝɭɪɚ Ɍɨɚ ɟ ɩɪɢɤɚɠɚɧɨ ɧɚ ɰɪɬɟɠɨɬ ɋɨ ɛɪɨɟʃɟ ɧɚ ɦɚɥɢɬɟ ɬɪɢɚɝɨɥɧɢɱɢʃɚ ɡɚɤɥɭɱɭɜɚɦɟ ɞɟɤɚ ɩɥɨɲɬɢɧɚɬɚ ɧɚ ɬɪɢɚɝɨɥɧɢɤɨɬ ɟ ɞɜɚ ɩɚɬɢ ɩɨɝɨɥɟɦɚ ɨɞ ɩɥɨɲɬɢɧɚɬɚ ɧɚ ɤɜɚɞɪɚɬɨɬ

2 Ɉɬɫɟɱɤɚɬɚ Ⱥȼ ɧɚ ɰɪɬɟɠɨɬ ɟ ɞɨɥɝɚ ɫP A B Ɉɜɚɚ ɞɨɥɠɢɧɚ ɟ ɢɡɪɚɡɟɧɚ ɜɨ ɟɞɢɧɢɰɚɬɚ FP PP ɦɟɪɤɚ ɡɚ ɞɨɥɠɢɧɚ FP ɂɫɬɚɬɚ ɨɬɫɟɱɤɚ Ⱥȼ ɟ ɞɨɥɝɚ PP ɋɩɨɪɟɞ ɬɨɚ ɦɟɪɧɢɨɬ ɛɪɨʁ ɡɚɜɢɫɢ ɨɞ ɢɡɛɪɚɧɚɬɚ ɟɞɢɧɢɰɚ ɦɟɪɤɚ 3 ȿɞɢɧɢɰɚ ɦɟɪɤɚ ɡɚ ɞɨɥɠɢɧɚ ɟ ɞɨɥɠɢɧɚɬɚ ɧɚ ɩɪɟɬɯɨɞɧɨ ɢɡɛɪɚɧɚ ɨɬɫɟɱɤɚ ɇɚ ɢɫɬ ɧɚɱɢɧ ɡɚ ɦɟɪɟɧɚ ɩɥɨɲɬɢɧɚ ɛɢɪɚɦɟ ɟɞɢɧɢɰɚ ɦɟɪɤɚ ɡɚ ɩɥɨɲɬɢɧɚ ɚ ɬɨɚ ɟ ɩɥɨɲɬɢɧɚɬɚ ɧɚ ɩɪɟɬɯɨɞɧɨ ɢɡɛɪɚɧɚ ɮɢɝɭɪɚ

4 Ⱥɤɨ ɜɨ ɩɪɢɦɟɪɨɬ ɢɡɛɟɪɟɦɟ ɟɞɢɧɢɰɚ ɦɟɪɤɚ ɞɚ ɟ ɩɥɨɲɬɢɧɚɬɚ ɧɚ ɦɚɥɢɨɬ ɩɪɚɜɨɚɝɨɥɟɧ ɬɪɢɚɝɨɥɧɢɤ ɨɡɧɚɱɟɧɚ ɫɨ ɟ ɬɨɝɚɲ ɩɥɨɲɬɢɧɚɬɚ ɧɚ ɝɨɥɟɦɢɨɬ ɬɪɢɚɝɨɥɧɢɤ ɟ ɟ ɚ ɧɚ ɤɜɚɞɪɚɬɨɬ ɟ ɟ

ɟ ɟɞɢɧɢɰɚ ɦɟɪɤɚ

5 Ʉɨɥɤɚɜɚ ɟ ɩɥɨɲɬɢɧɚɬɚ ɧɚ ɩɪɟɬɯɨɞɧɨ ɢɡɛɪɚɧɚɬɚ ɮɢɝɭɪɚ ɱɢʁɚ ɩɥɨɲɬɢɧɚ ɟ ɡɟɦɟɧɚ ɡɚ ɟɞɢɧɢɰɚ ɦɟɪɤɚ ɟ" 6 ɉɪɢ ɢɡɛɪɚɧɚ ɟɞɢɧɢɰɚ ɦɟɪɤɚ ɡɚ ɩɥɨɲɬɢɧɚ ɟ ɩɥɨɲɬɢɧɚɬɚ ɧɚ ɟɞɧɚ ɮɢɝɭɪɚ Ɏ ɟ ɦɟɪɟɧ ɛɪɨʁ ɤɨʁ ɩɨɤɚɠɭɜɚ ɧɚ ɤɨɥɤɭ ɢɫɬɢ ɮɢɝɭɪɢ ɤɚɤɨ ɩɪɟɬɯɨɞɧɨ ɢɡɛɪɚɧɚɬɚ ɮɢɝɭɪɚ ɫɟ ɪɚɡɞɟɥɭɜɚ ɮɢɝɭɪɚɬɚ Ɏ 132

ɉɥɨɲɬɢɧɚɬɚ ɧɚ ɟɞɧɚ ɮɢɝɭɪɚ Ɏ ʁɚ ɨɡɧɚɱɭɜɚɦɟ ɫɨ ɊɎ

МЕРЕЊЕ НА ПЛОШТИНА СО СЕЧЕЊЕ И СПОЈУВАЊЕ 1 ɇɚɰɪɬɚɧɚ ɟ ɮɢɝɭɪɚɬɚ $ ɉɨɬɨɚ ɬɚɚ ɟ ɩɪɟɫɟɱɟɧɚ ɧɚ ɞɜɚ ɞɟɥɚ Ⱦɜɚɬɚ ɞɟɥɚ ɫɟ ɫɩɨɟɧɢ ɧɚ ɞɪɭɝ ɧɚɱɢɧ ɢ ɞɨɛɢɟɧɚ ɟ ɧɨɜɚ ɮɢɝɭɪɚ % Ⱥ

Ʉɚɤɨɜ ɟ ɨɞɧɨɫɨɬ ɧɚ ɩɥɨɲɬɢɧɢɬɟ ɧɚ ɮɢɝɭɪɢɬɟ $ ɢ %" ɋɨ ɫɟɱɟʃɟɬɨ ɢ ɫɨɫɬɚɜɭɜɚʃɟɬɨ ɧɚ ɝɨɥɟɦɢɧɚɬɚ ɧɚ ɞɟɥɨɬ ɡɚɮɚɬɟɧ ɫɨ ɮɢɝɭɪɚɬɚ Ⱥ ɧɟ ɫɟ ɦɟɧɭɜɚ ɬɨɚ ɡɧɚɱɢ ɞɟɤɚ 3$ 3% ɟ 2 ɇɚ ɰɪɬɟɠɨɬ ɟ ɞɚɞɟɧɚ ɟɞɢɧɢɰɚ ɦɟɪɤɚ ɡɚ ɩɥɨɲɬɢɧɚ ɢ ɮɢɝɭɪɚ $ ȼɨ ɮɢɝɭɪɚɬɚ Ⱥ ɢɦɚ ɢ ɞɟɥɨɜɢ ɨɞ ɦɚɥɢɬɟ ɤɜɚɞɪɚɬɱɢʃɚ ɋɨ ɫɟɱɟʃɟ ɧɚ ɪɨɡɟɜɢɨɬ ɢ ɡɟɥɟɧɢɨɬ ɞɟɥ ȼ Ⱥ ɢ ɧɢɜɧɨ ɩɨɢɧɚɤɜɨ ɫɨɫɬɚɜɭɜɚʃɟ ɞɨɛɢɟɧɚ ɟ ɮɢɝɭɪɚɬɚ % ɤɨʁɚ ɟ ɫɨɫɬɚɜɟɧɚ ɫɚɦɨ ɨɞ ɤɜɚɞɪɚɬɱɢʃɚ ɋɨ ɛɪɨɟʃɟ 3% e ɋɩɨɪɟɞ ɬɨɚ 3$ e

3 ɉɥɨɲɬɢɧɚɬɚ ɨɞ ɮɢɝɭɪɚɬɚ $ ɨɞ ɩɪɟɬɯɨɞɧɢɨɬ ɩɪɢɦɟɪ ʅɟ ʁɚ ɢɡɦɟɪɢɦɟ ɢ ɧɚ ɞɪɭɝ ɧɚɱɢɧ ȼɨɜɟɞɭɜɚɦɟ ɧɨɜɚ ɟɞɢɧɢɰɚ ɦɟɪɤɚ f ɡɚ ɤɨʁɚ e f ɋɨ ɛɪɨɟʃɟ 3$ f ɋɩɨɪɟɞ ɬɨɚ 3 e

4 ɂɡɦɟɪɢ ɝɢ ɩɥɨɲɬɢɧɢɬɟ ɧɚ ɮɢɝɭɪɢɬɟ ɜɨ ɨɞɧɨɫ ɧɚ ɨɡɧɚɱɟɧɚɬɚ ɟɞɢɧɢɰɚ ɦɟɪɤɚ ɡɚ ɩɥɨɲɬɢɧɚ ɟ

5 ɂɡɦɟɪɢ ɝɢ ɩɥɨɲɬɢɧɢɬɟ ɧɚ ɮɢɝɭɪɢɬɟ ɜɨ ɨɞɧɨɫ ɧɚ ɨɡɧɚɱɟɧɚɬɚ ɟɞɢɧɢɰɚ ɦɟɪɤɚ ɡɚ ɩɥɨɲɬɢɧɚ ɟ

133

МЕРКИ ЗА ПЛОШТИНА 1 Ⱦɨɫɟɝɚ ɫɢ ɝɢ ɢɡɭɱɢɥ ɫɥɟɞɧɢɬɟ ɦɟɪɤɢ ɡɚ ɞɨɥɠɢɧɚ PP FP GP P NP 2 Ɂɚ ɦɟɪɟʃɟ ɩɥɨɲɬɢɧɚ ɟɞɢɧɢɰɢ ɦɟɪɤɢ ɫɟ ɤɜɚɞɪɚɬɟɧ ɰɟɧɬɢɦɟɬɚɪ ɤɜɚɞɪɚɬɟɧ ɞɟɰɢɦɬɚɪ ɢ ɤɜɚɞɪɚɬɟɧ ɦɟɬɚɪ 3

ȿɞɟɧ ɤɜɚɞɪɚɬɟɧ ɰɟɧɬɢɦɟɬɚɪ ɟ ɩɥɨɲɬɢɧɚ ɧɚ ɤɜɚɞɪɚɬ ɫɨ ɫɬɪɚɧɚ ɨɞ FP FP2 FP 2 Ɉɡɧɚɤɚ FP ± ɟɞɟɧ ɤɜɚɞɪɚɬɟɧ ɰɟɧɬɢɦɟɬɚɪ FP

4 Ɏɢɝɭɪɢɬɟ $ % ɢ & ɫɟ ɫɨɫɬɚɜɟɧɢ ɨɞ ɤɜɚɞɪɚɬɢ ɫɨ ɫɬɪɚɧɚ FP Ʉɨɥɤɚɜɢ ɫɟ ɧɢɜɧɢɬɟ ɩɥɨɲɬɢɧɢ"

5 ɇɚɰɪɬɚʁ ɮɢɝɭɪɚ ɱɢʁɚ ɩɥɨɲɬɢɧɚ ɟ ɚ FP2 ɛ FP2 ɜ FP2 6 ɇɚ ɰɪɬɟɠɨɬ ɟ ɧɚɰɪɬɚɧ ɤɜɚɞɪɚɬ ɫɨ ɫɬɪɚɧɚ GP ɜɨ ɧɚɦɚɥɟɧ ɨɛɥɢɤ Ɍɨʁ ɟ ɩɨɞɟɥɟɧ ɧɚ ɦɚɥɢ ɤɜɚɞɪɚɬɢ ɫɨ ɫɬɪɚɧɚ FP ɋɟɤɨʁ ɨɞ ɦɚɥɢɬɟ ɤɜɚɞɪɚɬɢ ɢɦɚ ɩɥɨɲɬɢɧɚ FP2 ± ɟɞɟɧ ɤɜɚɞɪɚɬɟɧ ɰɟɧɬɢɦɟɬɚɪ ɋɨ ɛɪɨɟʃɟ ɡɚɤɥɭɱɭɜɚɦɟ ɞɟɤɚ

GP FP

GP2 FP2 7 ȿɞɟɧ ɤɜɚɞɪɚɬɟɧ ɦɟɬɚɪ ± P2 ɟ ɩɥɨɲɬɢɧɚɬɚ ɧɚ ɤɜɚɞɪɚɬɨɬ ɫɨ ɫɬɪɚɧɚ P

Ʉɨɥɤɭ ɤɜɚɞɪɚɬɧɢ ɞɟɰɢɦɟɬɪɢ ɢɦɚ P2" P GP2

8 Ʉɨɥɤɭ ɤɜɚɞɪɚɬɧɢ ɰɟɧɬɢɦɟɬɪɢ ɢɦɚ P " P2 GP2 FP 11 ɉɪɨɱɢɬɚʁ ɢ ɡɚɩɢɲɢ ɫɨ ɡɛɨɪɨɜɢ ɚ FP2 ɛ GP2 ɜ FP2 ɝ P2 12 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɤɨɥɤɭ ɟ [ ɚɤɨ ɚ P2 [ FP2 ɜ GP2 FP2 [ FP2 134

ɛ GP2 [ FP2; ɝ P2 GP2 [ GP2

ПЛОШТИНА НА ПРАВОАГОЛНИК И КВАДРАТ 1 ɇɚ ɰɪɬɟɠɨɬ ɟ ɧɚɰɪɬɚɧ ɩɪɚɜɨɚɝɨɥɧɢɤ ɫɨ ɞɨɥɠɢɧɚ FP ɢ ɲɢɪɢɧɚ FP Ɍɨʁ ɟ ɪɚɡɞɟɥɟɧ ɧɚ ɤɜɚɞɪɚɬɢ ɫɨ ɫɬɪɚɧɚ FP Ɂɧɚɱɢ ɧɟɝɨɜɚɬɚ ɩɥɨɲɬɢɧɚ ɟ FP2 Ⱦɨ ɛɪɨʁɨɬ ɫɬɢɝɧɚɜɦɟ ɫɨ ɛɪɨɟʃɟ ɧɚ ɤɜɚɞɪɚɬɢɬɟ Ⱦɨ ɬɨʁ ɛɪɨʁ ɦɨɠɟɦɟ ɞɚ ɫɬɢɝɧɟɦɟ ɢ ɧɚ ɞɪɭɝ ɧɚɱɢɧ Ʉɜɚɞɪɚɬɢɬɟ ɫɟ ɧɚɪɟɞɟɧɢ ɜɨ ɪɟɞɚ ȼɨ ɫɟɤɨʁ ɨɞ ɧɢɜ ɢɦɚɦɟ ɩɨ ɤɜɚɞɪɚɬɢ Ɂɧɚɱɢ ɜɤɭɩɧɨ ɢɦɚ Â ɤɜɚɞɪɚɬɢ ɂɫɬɨ ɬɚɤɚ ɤɜɚɞɪɚɬɢɬɟ ɫɟ ɧɚɪɟɞɟɧɢ ɜɨ ɤɨɥɨɧɢ ȼɨ ɫɟɤɨʁɚ ɨɞ ɧɢɜ ɢɦɚ ɩɨ ɤɜɚɞɪɚɬɢ Ɂɧɚɱɢ ɜɤɭɩɧɨ ɢɦɚ Â ɤɜɚɞɪɚɬɢ 2 Ʉɨɥɤɚɜɚ ɟ ɩɥɨɲɬɢɧɚɬɚ ɧɚ ɩɪɚɜɨɚɝɨɥɧɢɤ ɫɨ ɫɬɪɚɧɢ FP ɢ FP" 3

ɚ ɉɥɨɲɬɢɧɚɬɚ ɧɚ ɩɪɚɜɨɚɝɨɥɧɢɤ ɟ ɟɞɧɚɤɜɚ ɧɚ ɩɪɨɢɡɜɨɞɨɬ ɨɞ ɞɨɥɠɢɧɢɬɟ ɧɚ ɧɟɝɨɜɢɬɟ ɞɜɟ ɫɨɫɟɞɧɢ ɫɬɪɚɧɢ

3 D Â E ɉɪɢɬɨɚ ɞɨɥɠɢɧɢɬɟ ɧɚ ɧɟɝɨɜɢɬɟ ɫɬɪɚɧɢ ɫɟ ɢɡɦɟɪɟɧɢ ɫɨ ɢɫɬɚ ɟɞɧɢɧɢɰɚ ɦɟɪɤɚ ɡɚ ɞɨɥɠɢɧɚ FP P D ɩɥɨɲɬɢɧɚɬɚ ɟ ɢɡɦɟɪɟɧɚ ɫɨ ɫɨɨɞɜɟɬɧɚɬɚ ɤɜɚɞɪɚɬɧɚ ɟɞɢɧɢɰɚ ɦɟɪɤɚ ɡɚ ɩɥɨɲɬɢɧɚ FP2 P2

4 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ʁɚ ɩɥɨɲɬɢɧɚɬɚ ɧɚ ɩɪɚɜɨɚɝɨɥɧɢɤ ɫɨ ɫɬɪɚɧɢ D D FP E FP

ɛ D GP E GP

ɜ D P E P

5 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ʁɚ ɩɥɨɲɬɢɧɚɬɚ ɧɚ ɩɪɚɜɨɚɝɨɥɧɢɤ ɫɨ ɫɬɪɚɧɢ D D FP E PP

ɛ D P E NP

ɜ D GP E FP

6 Ȼɢɞɟʁʅɢ ɫɟɤɨʁ ɤɜɚɞɪɚɬ ɟ ɢ ɩɪɚɜɨɚɝɨɥɧɢɤ ɩɥɨɲɬɢɧɚɬɚ ɧɚ ɤɜɚɞɪɚɬɨɬ ɫɨ ɞɨɥɠɢɧɚ ɧɚ ɧɟɝɨɜɚɬɚ ɫɬɪɚɧɚ ɚ ɟ ɚ Â ɚ

a a

3 D Â D

7 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ʁɚ ɩɥɨɲɬɢɧɚɬɚ ɧɚ ɤɜɚɞɪɚɬ ɱɢʁ ɩɟɪɢɦɟɬɚɪ ɟ FP 8 ɋɬɪɚɧɚɬɚ ɧɚ ɟɞɟɧ ɤɜɚɞɪɚɬ ɟ P ɚ ɧɚ ɞɪɭɝ ɟ ɞɜɚ ɩɚɬɢ ɩɨɝɨɥɟɦɚ ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɝɢ ɩɥɨɲɬɢɧɢɬɟ ɧɚ ɬɢɟ ɤɜɚɞɪɚɬɢ Ʉɨɥɤɭ ɩɚɬɢ ɟ ɩɨɝɨɥɟɦɚ ɩɥɨɲɬɢɧɚɬɚ ɧɚ ɩɨɝɨɥɟɦɢɨɬ ɤɜɚɞɪɚɬ ɨɞ ɩɥɨɲɬɢɧɚɬɚ ɧɚ ɩɨɦɚɥɢɨɬ" 135

ПРЕСМЕТУВАЊЕ НА ПЛОШТИНА 1 ɂɡɦɟɪɢ ɝɢ ɞɨɥɠɢɧɚɬɚ ɢ ɲɢɪɢɧɚɬɚ ɧɚ ɩɨɞɨɬ ɨɞ ɬɜɨʁɚɬɚ ɭɱɢɥɧɢɰɚ ɢ ɩɪɟɫɦɟɬɚʁ ʁɚ ɧɟɝɨɜɚɬɚ ɩɥɨɲɬɢɧɚ 2 Ʉɢɥɢɦ ɫɨ ɞɨɥɠɢɧɚ P ɢ ɲɢɪɢɧɚ P ɫɟ ɩɪɨɞɚɜɚ ɩɨ ɰɟɧɚ ɨɞ ɞɟɧɚɪɢ ɡɚ P Ʉɨɥɤɚɜɚ ɟ ɧɟɝɨɜɚɬɚ ɰɟɧɚ" 3 Ɇɢɥɟ ɝɨ ɥɚɤɢɪɚɥ ɩɚɪɤɟɬɨɬ ɜɨ ɧɟɝɨɜɢɨɬ ɫɬɚɧ ɋɬɚɧɨɬ ɟ ɩɪɢɤɚɠɚɧ ɧɚ ɰɪɬɟɠɨɬ ɚ ɞɨɥɠɢɧɢɬɟ ɫɟ ɢɡɪɚɡɟɧɢ ɜɨ ɦɟɬɪɢ ɐɟɧɚɬɚ ɡɚ ɥɚɤɢɪɚʃɟ ɟ ɞɟɧɚɪɢ ɡɚ P Ʉɨɥɤɭ ɬɪɟɛɚ ɞɚ ɩɥɚɬɢ Ɇɢɥɟ ɡɚ ɥɚɤɢɪɚʃɟɬɨ"

4 ȿɞɧɚ ɧɢɜɚ ɟ ɜɨ ɮɨɪɦɚ ɧɚ ɤɜɚɞɪɚɬ ɫɨ ɫɬɪɚɧɚ P ɟ ɩɨɫɟɚɧɚ ɫɨ ɩɱɟɧɢɰɚ ɉɪɢɧɨɫɨɬ ɨɞ P ɟ NJ Ʉɨɥɤɚɜ ɟ ɩɪɢɧɨɫɨɬ ɨɞ ɰɟɥɚɬɚ ɧɢɜɚ" 5 ȿɞɟɧ ɩɥɨɲɬɚɞ ɟ ɩɨɩɥɨɱɟɧ ɫɨ ɟɞɧɚɤɜɢ ɩɥɨɱɤɢ ȿɞɧɚ ɩɥɨɱɤɚ ɟ ɫɨ ɩɪɚɜɨɚɝɨɥɧɚ ɮɨɪɦɚ ɫɨ ɞɨɥɠɢɧɚ GP ɢ ɲɢɪɢɧɚ GP Ʉɨɥɤɭ ɤɜɚɞɪɚɬɧɢ ɦɟɬɪɢ ɢɦɚ ɩɥɨɲɬɚɞɨɬ" 6 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɝɢ ɩɥɨɲɬɢɧɢɬɟ ɧɚ ɧɚɰɪɬɚɧɢɬɟ ɮɢɝɭɪɢ ɂɡɪɚɡɟɧɢɬɟ ɞɨɥɠɢɧɢ ɫɟ ɜɨ ɦɟɬɪɢ ɢ ɫɢɬɟ ɚɝɥɢ ɫɟ ɩɪɚɜɢ

7 ȿɞɟɧ ɞɜɨɪ ɟ ɩɨɩɥɨɱɟɧ ɫɨ ɤɜɚɞɪɚɬɧɢ ɩɥɨɱɢ ɫɨ ɫɬɪɚɧɚ GP ɍɩɨɬɪɟɛɟɧɢ ɫɟ ɩɥɨɱɤɢ Ʉɨɥɤɭ ɤɜɚɞɪɚɬɧɢ ɦɟɬɪɢ ɢɦɚ ɞɜɨɪɨɬ" 8 ɇɚ ɟɞɟɧ ɩɥɚɰ ɫɨ ɤɜɚɞɪɚɬɧɚ ɮɨɪɦɚ ɫɨ ɫɬɪɚɧɚ ɨɞ P ɢɡɝɪɚɞɟɧɚ ɟ ɤɭʅɚ Ɉɫɧɨɜɚɬɚ ɧɚ ɤɭʅɚɬɚ ɟ ɩɪɚɜɨɚɝɨɥɧɢɤ ɫɨ ɫɬɪɚɧɢ P ɢ m. Ʉɨɥɤɚɜɚ ɟ ɩɥɨɲɬɢɧɚɬɚ ɧɚ ɞɜɨɪɨɬ" 9 ȿɞɟɧ ɩɪɚɜɨɚɝɨɥɧɢɤ ɫɨ ɞɨɥɠɢɧɚ FP ɢɦɚ ɩɟɪɢɦɟɬɚɪ cm. Ʉɨɥɤɚɜɚ ɟ ɧɟɝɨɜɚɬɚ ɩɥɨɲɬɢɧɚ" 136

ПЛОШТИНА НА КВАДАР ' & 1 ɇɚ ɰɪɬɟɠɨɬ ɟ ɧɚɰɪɬɚɧ ɤɜɚɞɚɪ Ɍɨʁ ɢɦɚ ɪɚɛɨɜɢ ɤɨɢ ɫɟ ɝɪɭɩɢɪɚɧɢ ɜɨ ɬɪɢ ɝɪɭɩɢ ɨɞ B A ɨɬɫɟɱɤɢ ɫɨ ɢɫɬɚ ɞɨɥɠɢɧɚ + $% '& () +* FP FP * FP $' %& )* (+ FP ɢ ( ) FP Ⱥȿ %) &* '+ FP Ɍɢɟ ɬɪɢ ɞɨɥɠɢɧɢ ɫɟ ɜɢɤɚɚɬ ɞɢɦɟɧɡɢɢ ɧɚ ɤɜɚɞɚɪɨɬ ɢ ɧɚʁɱɟɫɬɨ ɫɟ ɜɢɤɚɚɬ ɞɨɥɠɢɧɚ ɲɢɪɢɧɚ ɢ ɜɢɫɢɧɚ ɉɨɜɪɲɢɧɚɬɚ ɧɚ ɤɜɚɞɚɪɨɬ ɟ ɫɨɫɬɚɜɟɧɚ ɨɞ ɩɪɚɜɨɚɝɨɥɧɢɰɢ Ɍɢɟ ɩɪɚɜɨɚɝɨɥɧɢɰɢ ɡɚɟɞɧɨ ɫɨ ɧɢɜɧɢɬɟ ɩɥɨɲɬɢɧɢ ɫɟ ɩɪɟɞɟɧ ɡɚɞɟɧ ɞɨɥɟɧ ɝɨɪɟɧ ɥɟɜ ɞɟɫɟɧ FP FP FP FP FP FP Ɂɛɢɪɨɬ ɧɚ ɨɜɢɟ ɲɟɫɬ ɩɥɨɲɬɢɧɢ ɟ FP Ɂɛɢɪɨɬ ɧɚ ɩɥɨɲɬɢɧɢɬɟ ɧɚ ɾɢɞɨɜɢɬɟ ɧɚ ɟɞɟɧ ɤɜɚɞɚɪ ɫɟ ɜɢɤɚ ɧɟɝɨɜɚ ɩɥɨɲɬɢɧɚ 2 ɉɨɜɪɲɢɧɚɬɚ ɧɚ ɤɜɚɞɚɪ ɫɨ ɞɢɦɟɧɡɢɢ D E ɢ F ɫɟ ɩɪɟɬɫɬɚɜɭɜɚ ɫɨ ɦɪɟɠɚ ɧɚɰɪɬɚɧɚ ɜɨ ɪɚɦɧɢɧɚ ɇɚɰɪɬɚʁ ɟɞɧɚ ɬɚɤɜɚ ɦɪɟɠɚ ɧɚ ɤɚɪɬɨɧ ɢɫɟɱɢ ʁɚ ɢ ɩɪɟɜɢɬɤɚʁ ʁɚ ɩɨ ɢɫɩɪɟɤɢɧɚɬɢɬɟ ɥɢɧɢɢ Ʉɚɤɜɚ ɮɨɪɦɚ ɞɨɛɢ"

ɤɜɚɞɚɪ F

3 Ɇɪɟɠɚɬɚ ɧɚ ɤɜɚɞɚɪ ɫɨ ɞɢɦɟɧɡɢɢ D E ɢ F ɟ ɫɨɫɬɚɜɟɧɚ ɨɞ ɞɜɚ ɩɪɚɜɨɚɝɨɥɧɢɤɚ ɫɨ ɩɥɨɲɬɢɧɚ D Â E ɞɜɚ ɩɪɚɜɨɚɝɨɥɧɢɤɚ ɫɨ ɩɥɨɲɬɢɧɚ ɚ Â F ɢ ɞɜɚ ɩɪɚɜɨɚɝɨɥɧɢɤɚ ɫɨ ɩɥɨɲɬɢɧɚ E Â F ɋɩɨɪɟɞ ɬɨɚ ɩɥɨɲɬɢɧɚɬɚ ɧɚ ɤɜɚɞɚɪ ɫɨ ɞɢɦɟɧɡɢ D E ɢ F ɟ 3 Â D Â E Â D Â F Â E Â F 3 D Â E D Â F E Â F

ɦɪɟɠɚ

4 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ʁɚ ɩɥɨɲɬɢɧɚɬɚ ɧɚ ɤɜɚɞɚɪ ɫɨ ɞɢɦɟɧɡɢɢ ɚ FP FP ɢ FP ɛ GP GP ɢ GP 5 ɂɡɛɟɪɢ ɟɞɟɧ ɩɪɟɞɦɟɬ ɫɨ ɮɨɪɦɚ ɧɚ ɤɜɚɞɚɪ ɢ ɩɪɟɫɦɟɬɚʁ ʁɚ ɧɟɝɨɜɚɬɚ ɩɥɨɲɬɢɧɚ ɉɪɟɬɯɨɞɧɨ ɬɪɟɛɚ ɞɚ ɝɢ ɢɡɦɟɪɢɲ ɧɟɝɨɜɢɬɟ ɞɢɦɟɧɡɢɢ 6 Ɂɛɢɪɨɬ ɧɚ ɞɨɥɠɢɧɢɬɟ ɧɚ ɫɢɬɟ ɪɚɛɨɜɢ ɧɚ ɟɞɟɧ ɤɜɚɞɚɪ ɟ FP ɇɟɝɨɜɚɬɚ ɞɨɥɠɢɧɚ ɟ FP ɚ ɧɟɝɨɜɚɬɚ ɲɢɪɢɧɚ ɟ FP ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ʁɚ ɧɟɝɨɜɚɬɚ ɩɥɨɲɬɢɧɚ 7 Ɉɥɢɦɩɢɫɤɢ ɛɚɡɟɧ ɜɨ ɮɨɪɦɚ ɧɚ ɤɜɚɞɚɪ ɫɨ ɞɨɥɠɢɧɚ P ɲɢɪɢɧɚ P ɢ ɞɥɚɛɢɧɚ P ɩɨɩɥɨɱɟɧ ɟ ɫɨ ɩɪɚɜɨɚɝɨɥɧɢ ɩɥɨɱɤɢ ɫɨ ɞɨɥɠɢɧɚ FP ɢ ɲɢɪɢɧɚ FP Ʉɨɥɤɭ ɩɥɨɱɤɢ ɫɟ ɭɩɨɬɪɟɛɟɧɢ ɡɚ ɩɨɩɥɨɱɭɜɚʃɟ ɧɚ ɛɚɡɟɧɨɬ" ȼɧɢɦɚɜɚʁ

137

ПЛОШТИНА НА КОЦКА 1 Ʉɚɤɜɨ ɬɟɥɨ ɟ ɤɨɰɤɚɬɚ" Ɉɞ ɲɬɨ ɟ ɫɨɫɬɚɜɟɧɚ ɧɟɝɨɜɚɬɚ ɩɨɜɪɲɢɧɚ"

a a

2 ɋɟɤɨʁɚ ɤɨɰɤɚ ɟ ɢ ɤɜɚɞɚɪ Ɇɪɟɠɚɬɚ ɧɚ ɤɨɰɤɚ ɫɨ ɪɚɛ ɚ ɟ ɫɨɫɬɚɜɟɧɚ ɨɞ ɲɟɫɬ ɤɜɚɞɪɚɬɢ ɫɨ ɫɬɪɚɧɚ ɚ

3 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ʁɚ ɩɥɨɲɬɢɧɚɬɚ ɧɚ ɤɨɰɤɚ ɫɨ ɪɚɛ FP ɋɟɤɨʁ ɾɢɞ ɧɚ ɤɨɰɤɚɬɚ ɟ ɤɜɚɞɪɚɬ ɫɨ ɩɥɨɲɬɢɧɚ FP ɉɥɨɲɬɢɧɚɬɚ ɧɚ ɤɨɰɤɚɬɚ ɟ Â FP FP 4 ɉɥɨɲɬɢɧɚɬɚ ɧɚ ɤɨɰɤɚ ɫɨ ɪɚɛ ɚ ɟ 3 Â a Â a

5 Ʉɨʁɚ ɨɞ ɫɥɟɞɧɢɬɟ ɦɪɟɠɢ ɟ ɦɪɟɠɚ ɧɚ ɤɨɰɤɚ" ɇɚɰɪɬɚʁ ɢɫɟɱɢ ɢ ɩɪɟɜɢɬɤɚʁ

6 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ʁɚ ɩɥɨɲɬɢɧɚɬɚ ɧɚ ɤɨɰɤɚ ɫɨ ɪɚɛ a FP ɛ FP ɜ FP ɝ FP 7 Ʉɨɥɤɚɜ ɟ ɪɚɛɨɬ ɧɚ ɤɨɰɤɚ ɫɨ ɩɥɨɲɬɢɧɚ FP " 8 Ɂɛɢɪɨɬ ɧɚ ɪɚɛɨɜɢɬɟ ɧɚ ɟɞɧɚ ɤɨɰɤɚ ɟ FP Ʉɨɥɤɚɜɚ ɟ ɧɟɝɨɜɚɬɚ ɩɥɨɲɬɢɧɚ" 9 ɒɬɨ ɢɦɚ ɩɨɝɨɥɟɦɚ ɩɥɨɲɬɢɧɚ ɤɜɚɞɚɪ ɫɨ ɞɢɦɟɧɡɢɢ FP FP ɢ FP ɢɥɢ ɤɨɰɤɚ ɫɨ ɪɚɛ FP" 10 Ʉɨɥɤɭ ɥɢɦ ɟ ɩɨɬɪɟɛɧɨ ɡɚ ɞɚ ɫɟ ɧɚɩɪɚɜɢ ɤɭɬɢʁɚ ɜɨ ɮɨɪɦɚ ɧɚ ɤɨɰɤɚ ɫɨ ɪɚɛ FP ɛɟɡ ɤɚɩɚɤ" 138

ЗАДАЧИ ЗА ВЕЖБАЊЕ 1 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ʁɚ ɩɥɨɲɬɢɧɚɬɚ ɧɚ ɩɪɚɜɨɚɝɨɥɧɢɤ ɫɨ ɞɢɦɟɧɡɢɢ ɚ ɚ FP E FP

ɛ ɚ GP E FP

2 ɇɚʁɞɢ ɝɢ ɞɢɦɟɧɡɢɢɬɟ ɧɚ ɩɟɬ ɪɚɡɥɢɱɧɢ ɩɪɚɜɨɚɝɨɥɧɢɰɢ ɫɨ ɩɥɨɲɬɢɧɚ FP2. 3 ɇɚʁɞɢ ʁɚ ɞɨɥɠɢɧɚɬɚ ɧɚ ɧɟɩɨɡɧɚɬɚɬɚ ɫɬɪɚɧɚ ɧɚ ɩɪɚɜɨɚɝɨɥɧɢɤɨɬ D 3 FP2 E FP

ɛ 3 GP2 D GP

ɜ 3 GP2 D FP

4 ȼɨ ɟɞɧɚ ɨɥɢɦɩɢɫɤɚ ɫɚɥɚ ɫɨ ɞɨɥɠɢɧɚ P ɢ ɲɢɪɢɧɚ P ɫɟ ɧɚɨɼɚ ɛɚɡɟɧ ɋɟɤɨʁ ɪɚɛ ɨɞ ɛɚɡɟɧɨɬ ɟ ɨɞɞɚɥɟɱɟɧ P ɨɞ ɾɢɞɨɬ ɧɚ ɫɚɥɚɬɚ Ʉɨɥɤɚɜɚ ɟ ɩɥɨɲɬɢɧɚɬɚ ɧɚ ɛɚɡɟɧɨɬ" 5 ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ʁɚ ɩɥɨɲɬɢɧɚɬɚ ɧɚ ɤɜɚɞɪɚɬ ɫɨ ɫɬɪɚɧɢ D D FP

ɛ D FP

ɜ D GP

6 Ʉɨɥɤɭ ɟ ɩɥɨɲɬɢɧɚɬɚ ɧɚ ɤɜɚɞɪɚɬ ɫɨ ɩɟɪɢɦɟɬɚɪ FP" 7 Ʉɨɥɤɭ ɟ ɫɬɪɚɧɚɬɚ ɧɚ ɤɜɚɞɪɚɬ ɫɨ ɩɥɨɲɬɢɧɚ GP2"

8 ɇɚ ɤɨʁɚ ɨɞ ɞɚɞɟɧɢɬɟ ɤɨɰɤɢ ɩɨɜɪɲɢɧɚɬɚ ɟ ɩɪɟɬɫɬɚɜɟɧɚ ɫɨ ɦɪɟɠɚɬɚ"

9 Ʉɨɥɤɭ ɟ ɪɚɛɨɬ ɧɚ ɤɨɰɤɚ ɱɢʁ ɦɨɞɟɥ ɦɨɠɟ ɞɚ ɫɟ ɧɚɩɪɚɜɢ ɨɞ ɠɢɰɚ ɫɨ ɞɨɥɠɢɧɚ GP" ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ʁɚ ɩɥɨɲɬɢɧɚɬɚ ɧɚ ɤɨɰɤɚɬɚ 10 Ʉɨɥɤɭ ɟ ɩɥɨɲɬɢɧɚɬɚ ɧɚ ɤɜɚɞɚɪ ɫɨ ɞɨɥɠɢɧɚ FP ɲɢɪɢɧɚ FP ɜɢɫɢɧɚ FP" 11 Ʉɨɥɤɭ ɤɜɚɞɪɚɬɧɢ ɞɟɰɢɦɟɬɪɢ ɤɚɪɬɨɧ ɟ ɩɨɬɪɟɛɧɨ ɞɚ ɫɟ ɧɚɩɪɚɜɢ ɤɭɬɢʁɚ ɫɨ ɮɨɪɦɚ ɧɚ ɤɜɚɞɚɪ ɫɨ ɞɨɥɠɢɧɚ GP ɲɢɪɢɧɚ GP ɜɢɫɢɧɚ GP" 139

ПРИБИРАЊЕ И СРЕДУВАЊЕ ПОДАТОЦИ СО МЕРЕЊЕ 1 ɍɱɟɧɢɰɢɬɟ ɨɞ ɟɞɧɨ ɨɞɞɟɥɟɧɢɟ ɞɨɛɢɥɟ ɡɚɞɚɱɚ ɞɚ ɝɢ ɢɡɦɟɪɚɬ ɩɥɨɲɬɢɧɢɬɟ ɧɚ ɩɨɞɨɬ ɜɥɟɡɧɚɬɚ ɜɪɚɬɚ ɝɨɪɧɚɬɚ ɩɨɜɪɲɢɧɚ ɧɚ ɟɞɧɚ ɤɥɭɩɚ ɢ ɬɚɛɥɚɬɚ ɜɨ ɧɢɜɧɚɬɚ ɭɱɢɥɧɢɰɚ ɢ ɩɨɞɚɬɨɰɢɬɟ ɞɚ ɝɢ ɫɪɟɞɚɬ ɜɨ ɬɚɛɟɥɚ Ɉɜɚɚ ɡɚɞɚɱɚ ɭɱɟɧɢɰɢɬɟ ʁɚ ɪɟɲɢɥɟ ɧɚ ɫɥɟɞɧɢɨɬ ɧɚɱɢɧ ɚ Ʉɪɚɟɧ ɪɟɡɭɥɬɚɬ ɫɟ ɛɚɪɚɧɢɬɟ ɩɥɨɲɬɢɧɢ ɛ ɉɨɬɪɟɛɧɨ ɟ ɞɚ ɫɟ ɢɡɦɟɪɚɬ ɞɢɦɟɧɡɢɢɬɟ ɧɚ ɩɨɜɪɲɢɧɢɬɟ Ɂɚ ɬɨɚ ɟ ɩɨɬɪɟɛɟɧ ɩɪɢɛɨɪ ɡɚ ɦɟɪɟʃɟ ɧɚ ɞɨɥɠɢɧɢ ɧɚ ɨɬɫɟɱɤɢ ɚ ɬɨɚ ɟ ɦɟɬɚɪ ɜ ɉɨɜɪɲɢɧɢɬɟ ɢɦɚɚɬ ɩɪɚɜɨɚɝɨɥɧɢ ɮɨɪɦɢ Ɂɧɚɱɢ ɬɪɟɛɚ ɞɚ ɫɟ ɤɨɪɢɫɬɢ ɮɨɪɦɭɥɚɬɚ ɡɚ ɩɥɨɲɬɢɧɚ ɧɚ ɩɪɚɜɨɚɝɨɥɧɢɤ Ɋ ɚ Â E ɝ Ȼɢɞɟʁʅɢ ɫɟ ɩɪɟɫɦɟɬɭɜɚ ɩɥɨɲɬɢɧɚ ɧɚ ɱɟɬɢɪɢ ɩɨɜɪɲɢɧɢ ɰɪɬɚɦɟ ɬɚɛɟɥɚ ɫɨ ɪɟɞɨɜɢ ȼɨ ɩɪɜɢɨɬ ɪɟɞ ɫɟ ɡɚɩɢɲɚɧɢ ɩɨɞɚɬɨɰɢɬɟ ɡɚ ɤɨɥɨɧɢɬɟ Ʉɨɥɤɭ ɤɨɥɨɧɢ ɫɟ ɩɨɬɪɟɛɧɢ" ȼɨ ɩɪɜɚɬɚ ɤɨɥɨɧɚ ɫɟ ɡɚɩɢɲɚɧɢ ɨɛʁɟɤɬɢɬɟ ȼɨ ɜɬɨɪɚɬɚ ɢ ɬɪɟɬɚɬɚ ɤɨɥɨɧɚ ɫɟ ɜɧɟɫɟɧɢ ɞɢɦɟɧɡɢɢɬɟ ɚ ɜɨ ɱɟɬɜɪɬɚɬɚ ɤɨɥɨɧɚ ɫɟ ɜɧɟɫɭɜɚ ɩɪɟɫɦɟɬɚɧɚɬɚ ɩɥɨɲɬɢɧɚ ɇɚɰɪɬɚɧɚ ɟ ɫɥɟɞɧɚɬɚ ɬɚɛɟɥɚ ɨɛʁɟɤɬ

ɩɥɨɲɬɢɧɚ Ɋ ɚ Â E

ɩɨɞ ɜɥɟɡɧɚ ɜɪɚɬɚ ɤɥɭɩɚ ɬɚɛɥɚ ɞ ɋɨ ɩɨɦɨɲ ɧɚ ɩɪɢɛɨɪɨɬ ɫɟ ɦɟɪɚɬ ɞɢɦɟɧɡɢɢɬɟ ɢ ɬɢɟ ɫɟ ɜɧɟɫɟɧɢ ɜɨ ɬɚɛɟɥɚɬɚ ɨɛʁɟɤɬ

ɩɥɨɲɬɢɧɚ Ɋ ɚ Â E

ɩɨɞ

ɜɥɟɡɧɚ ɜɪɚɬɚ

GP2

ɤɥɭɩɚ

FP2

ɬɚɛɥɚ

GP2

ɝ ɇɚ ɤɪɚʁɨɬ ɫɨ ɮɨɪɦɭɥɚɬɚ ɡɚ ɩɥɨɲɬɢɧɚ ɩɪɟɫɦɟɬɚɧɢ ɫɟ ɩɥɨɲɬɢɧɢɬɟ ɢ ɜɧɟɫɟɧɢ ɜɨ ɬɚɛɟɥɚɬɚ 2 Ɋɟɲɟɬɟ ɢɫɬɚ ɜɚɤɜɚ ɡɚɞɚɱɚ ɡɚ ɢɫɬɢɬɟ ɩɨɜɪɲɢɧɢ ɜɨ ɜɚɲɚɬɚ ɭɱɢɥɧɢɰɚ 3 ɂɡɛɟɪɟɬɟ ɨɛʁɟɤɬɢ ɫɨ ɮɨɪɦɚ ɧɚ ɤɜɚɞɚɪ ɉɨɬɨɚ ɢɡɦɟɪɟɬɟ ɝɢ ɧɢɜɧɢɬɟ ɞɢɦɟɧɡɢɢ ɩɪɟɫɦɟɬɚʁɬɟ ɝɢ ɩɥɨɲɬɢɧɢɬɟ ɢ ɩɨɞɚɬɨɰɢɬɟ ɫɪɟɞɟɬɟ ɝɢ ɜɨ ɬɚɛɟɥɚ 140

ПРИБИРАЊЕ И СРЕДУВАЊЕ ПОДАТОЦИ СО ПРАШАЛНИК 1 ɍɱɟɧɢɰɢɬɟ ɨɞ 9ɬɨ ɨɞɞɟɥɟɧɢɟ ɪɟɲɢɥɟ ɞɚ ɢɫɩɢɬɚɚɬ ɤɚɤɜɢ ɞɨɦɚɲɧɢ ɦɢɥɟɧɢɱɢʃɚ ɢɦɚɚɬ ȼɚɤɜɢ ɩɨɞɚɬɨɰɢ ɧɚʁɞɨɛɪɨ ɫɟ ɩɪɢɛɢɪɚɚɬ ɫɨ ɩɪɚɲɚɥɧɢɤ ɉɊȺɒȺɅɇɂɄ ɂɦɟ ɢ ɩɪɟɡɢɦɟ Ⱦɨɦɚ ɢɦɚɦ ɚ ɦɚɱɟ ɛ ɤɭɱɟ ɜ ɧɟɦɚɦ ɦɢɥɟɧɢɱɟ ɝ ɪɢɛɢ ɞ ɩɚɩɚɝɚɥ ɼ ɞɪɭɝɨ ɦɢɥɟɧɢɱɟ Ɇɨɠɟ ɞɚ ɫɟ ɡɚɨɤɪɭɠɚɬ ɩɨɜɟʅɟ ɨɞɝɨɜɨɪɢ

ɋɟɤɨʁ ɭɱɟɧɢɤ ɞɨɛɢɥ ɟɞɟɧ ɬɚɤɨɜ ɩɪɚɲɚɥɧɢɤ ɢ ɝɨ ɩɨɩɨɥɧɢɥ Ɉɞ ɫɟɤɨʁ ɩɪɚɲɚɥɧɢɤ ɡɚ ɫɟɤɨʁ ɨɞɝɨɜɨɪ ɫɬɚɜɟɧɚ ɟ ɰɪɬɢɱɤɚ ɜɨ ɬɚɛɟɥɚɬɚ ɉɨɬɨɚ ɰɪɬɢɱɤɢɬɟ ɫɟ ɢɡɛɪɨʁɚɧɢ ɢ ɧɢɜɧɢɨɬ ɛɪɨʁ ɟ ɡɚɩɢɲɚɧ ɜɨ ɬɚɛɟɥɚɬɚ ɦɚɱɟ

ɤɭɱɟ

ɪɢɛɢ

ɩɚɩɚɝɚɥ

ɞɪɭɝɨ ɦɢɥɟɧɢɱɟ

ɧɟɦɚ ɦɢɥɟɧɢɱɟ

ɚ Ʉɨɥɤɭ ɭɱɟɧɢɰɢ ɢɦɚ ɜɨ 9ɬɨ ɨɞɞɟɥɟɧɢɟ ɜɨ ɬɨɚ ɭɱɢɥɢɲɬɟ" ɛ Ʉɨɟ ɦɢɥɟɧɢɱɟ ɟ ɧɚʁɡɚɫɬɚɩɟɧɨ" ɜ ɒɬɨ ɢɦɚ ɩɨɜɟʅɟ ɭɱɟɧɢɰɢ ɲɬɨ ɢɦɚɚɬ ɢɥɢ ɭɱɟɧɢɰɢ ɲɬɨ ɧɟɦɚɚɬ ɞɨɦɚɲɧɨ ɦɢɥɟɧɢɱɟ" 2 ɂɫɩɢɬɚʁ ɤɚɤɜɢ ɞɨɦɚɲɧɢ ɦɢɥɟɧɢɱɢʃɚ ɢɦɚɚɬ ɭɱɟɧɢɰɢɬɟ ɜɨ ɬɜɨɟɬɨ ɨɞɞɟɥɟɧɢɟ 3 ɂɫɩɢɬɚʁ ɤɨʁ ɨɞ ɫɥɟɞɧɢɬɟ ɫɩɨɪɬɨɜɢ ɮɭɞɛɚɥ ɤɨɲɚɪɤɚ ɪɚɤɨɦɟɬ ɩɥɢɜɚʃɟ ɢ ɫɤɢʁɚʃɟ ɟ ɧɚʁɨɦɢɥɟɧ ɦɟɼɭ ɭɱɟɧɢɰɢɬɟ ɜɨ ɬɜɨɟɬɨ ɨɞɞɟɥɟɧɢɟ ɇɚɩɪɚɜɢ ɩɪɚɲɚɥɧɢɤ ɩɪɢɛɟɪɢ ɝɢ ɩɨɞɚɬɨɰɢɬɟ ɢ ɫɪɟɞɢ ɝɢ ɜɨ ɬɚɛɟɥɚ ɉɨɬɨɚ ɨɞɝɨɜɨɪɢ ɤɨʁ ɫɩɨɪɬ ɟ ɧɚʁɨɦɢɥɟɧ

141

РЕШАВАЊЕ ЗАДАЧИ СО СРЕДУВАЊЕ ПОДАТОЦИ 1 Ɇɢɥɟ Ƚɨɰɟ ɢ ȳɚɧɟ ʁɚɞɚɬ ɨɜɨɲʁɟ ɋɟɤɨʁ ɨɞ ɧɢɜ ʁɚɞɟ ɟɞɧɨ ɨɞ ɨɜɨɲʁɚɬɚ ʁɚɛɨɥɤɨ ɤɪɭɲɚ ɢɥɢ ɛɚɧɚɧɚ ɉɨɡɧɚɬɨ ɟ ɞɟɤɚ Ɇɢɥɟ ɚ Ƚɨɰɟ ɧɟ ɫɚɤɚ ɛɚɧɚɧɚ Ƚɨɰɟ ɇɟ ɛ ȳɚɧɟ ʁɚɞɟ ɤɪɭɲɚ Ⱦɚ ȳɚɧɟ Ʉɨʁ ɤɚɤɜɨ ɨɜɨɲʁɟ ʁɚɞɟ" Ⱦɚɞɟɧɢɬɟ ɩɨɞɚɬɨɰɢ ʅɟ ɝɢ ɜɧɟɫɟɦɟ ɜɨ ɬɚɛɟɥɚɬɚ ɫɨ ɡɚɩɢɲɭɜɚʃɟ Ⱦɚ ɢɥɢ ɇɟ ȼɨ ɫɟɤɨʁ ɪɟɞ ɬɪɟɛɚ ɞɚ ɢɦɚ ɩɨ ɟɞɧɨ Ⱦɚ ɢ ɞɜɟ ɇɟ ɂɫɬɨ ɬɚɤɚ ɜɨ ɫɟɤɨʁɚ ɤɨɥɨɧɚ ɬɪɟɛɚ ɞɚ ɢɦɚ ɩɨ ɟɞɧɨ Ⱦɚ ɢ ɞɜɟ ɇɟ ȳɚ ɞɨɩɨɥɧɭɜɚɦɟ ɬɚɛɟɥɚɬɚ ɋɨɝɥɟɞɭɜɚɦɟ ɞɟɤɚ ɜɨ ɜɬɨɪɢɨɬ ɪɟɞ ɢɦɚ ɞɜɟ ɇɟ ɩɚ Ⱦɚ Ɇɢɥɟ ɇɟ ɇɟ ɦɨɪɚ ɞɚ ɛɢɞɟ Ⱦɚ ɤɚʁ Ƚɨɰɟ ɢ ʁɚɛɨɥɤɨɬɨ Ⱦɚ Ƚɨɰɟ ɇɟ ɇɟ Ɉɫɬɚɧɭɜɚ ɞɚ ɛɢɞɟ Ⱦɚ ɤɚʁ Ɇɢɥɟ ɢ Ⱦɚ ɇɟ ɇɟ ȳɚɧɟ ɛɚɧɚɧɚɬɚ Ɂɧɚɱɢ Ɇɢɥɟ ʁɚɞɟ ɛɚɧɚɧɚ Ƚɨɰɟ ʁɚɞɟ ʁɚɛɨɥɤɨ ɢ ȳɚɧɟ ʁɚɞɟ ɤɪɭɲɚ 2 Ʌɢɥɟ ɍɛɚɜɤɚ Ʉɢɪɟ ɢ Ȼɚɠɟ ɫɟ ɤɚɱɭɜɚɚɬ ɧɚ ɩɥɚɧɢɧɚ ɜɨ ɤɨɥɨɧɚ ɉɨɡɧɚɬɨ ɟ ɞɟɤɚ ɚ ɇɚɩɪɟɞ ɢ ɧɚɡɚɞ ɫɟ ɦɚɲɤɢ ɛ Ʌɢɥɟ ɟ ɜɟɞɧɚɲ ɡɚɞ Ʉɢɪɟ Ʉɨʁ ɟ ɪɟɞɨɫɥɟɞɨɬ" Ɂɚɩɢɲɢ ɝɢ ɩɪɜɢɬɟ ɛɭɤɜɢ ɨɞ ɢɦɢʃɚɬɚ ɜɨ ɬɨʁ ɪɟɞɨɫɥɟɞ ɉɨɞɚɬɨɰɢɬɟ ɝɢ ɜɧɟɫɭɜɚɦɟ ɜɨ ɬɚɛɟɥɚɬɚ Ɉɞ ɩɨɫɥɟɞɧɚɬɚ ɤɨɥɨɧɚ ɫɟ ɞɨɛɢɜɚ ɞɟɤɚ ɩɨɫɥɟɞɟɧ ɟ Ȼɚɠɟ ɚ ɩɪɜ ɟ Ʉɢɪɟ ɉɨɬɨɚ Ʌɢɥɟ ɟ ɜɬɨɪɚ ɢ ɍɛɚɜɤɚ ɟ ɬɪɟɬɚ

Ʌɢɥɟ ɍɛɚɜɤɚ Ʉɢɪɟ Ȼɚɠɟ

I ɇɟ ɇɟ Ⱦɚ ɇɟ

II Ⱦɚ ɇɟ ɇɟ ɇɟ

III ɇɟ Ⱦɚ ɇɟ ɇɟ

IV ɇɟ ɇɟ ɇɟ Ⱦɚ

3 Ⱥɧɚ Ɇɚʁɚ ɢ Ʌɢɥɟ ɱɥɟɧɭɜɚɚɬ ɜɨ ɩɨ ɟɞɧɚ ɨɞ ɫɥɟɞɧɢɬɟ ɫɟɤɰɢɢ ɦɭɡɢɱɤɚ ɥɢɤɨɜɧɚ ɢ ɥɢɬɟɪɚɬɭɪɧɚ ɉɨɡɧɚɬɨ ɟ ɞɟɤɚ ɚ Ʌɢɥɟ ɧɟ ɤɨɪɢɫɬɢ ɛɨɢ ɢ ɛ Ⱥɧɚ ɤɨɪɢɫɬɢ ɦɭɡɢɱɤɢ ɢɧɫɬɪɭɦɟɧɬɢ Ʉɨʁ ɜɨ ɤɨʁɚ ɫɟɤɰɢʁɚ ɱɥɟɧɭɜɚ" ɋɪɟɞɢ ɝɢ ɩɨɞɚɬɨɰɢɬɟ ɜɨ ɬɚɛɟɥɚ 4 ɍɛɚɜɤɚ Ⱦɪɚɝɚɧ Ⱥɧɚ Ƚɨɰɟ Ɋɚɬɤɚ ɂɥɟ ɢ Ɋɢɫɬɟ ɫɟ ɤɚɱɭɜɚɚɬ ɧɚ ɩɥɚɧɢɧɚ ɜɨ ɤɨɥɨɧɚ ɉɨɡɧɚɬɨ ɟ ɞɟɤɚ ɚ ɇɚ ɩɨɱɟɬɨɤɨɬ ɜɨ ɫɪɟɞɢɧɚɬɚ ɢ ɧɚ ɤɪɚʁɨɬ ɫɟ ɦɚɲɤɢ ɛ Ƚɨɰɟ ɧɟ ɟ ɧɢ ɩɪɜ ɧɢ ɩɨɫɥɟɞɟɧ ɜ ɍɛɚɜɤɚ ɟ ɩɪɟɞ Ƚɨɰɟ ɚ ɜɟɞɧɚɲ ɡɚɞ Ɋɚɬɤɚ ɝ Ɋɢɫɬɟ ɧɟ ɟ ɧɢ ɩɨɫɥɟɞɟɧ ɧɢ ɜɨ ɫɪɟɞɢɧɚ ɞ Ɋɚɬɤɚ ɢ Ⱥɧɚ ɫɟ ɩɪɟɞ Ɋɢɫɬɟ Ʉɨʁ ɟ ɪɟɞɨɫɥɟɞɨɬ" Ɂɚɩɢɲɢ ɝɢ ɩɪɜɢɬɟ ɛɭɤɜɢ ɨɞ ɢɦɢʃɚɬɚ ɜɨ ɬɨʁ ɪɟɞɨɫɥɟɞ 142

СТОЛБЕСТ ДИЈАГРАМ

ɉɪɨɫɟɱɧɚ ɧɚɞɦɨɪɫɤɚ ɜɢɫɨɱɢɧɚ

1 ɋɨ ɫɬɨɥɛɟɫɬɢɨɬ ɞɢʁɚɝɪɚɦ ɫɟ ɩɪɢɤɚɠɚɧɢ ɩɨɞɚɬɨɰɢɬɟ ɡɚ ɩɪɨɫɟɱɧɚɬɚ ɧɚɞɦɨɪɫɤɚ ɜɢɫɨɱɢɧɚ ɧɚ ɧɟɤɨɥɤɭ ɩɨɥɢʃɚ ɜɨ Ɋ Ɇɚɤɟɞɨɧɢʁɚ ɇɚʁɦɚɥɚ ɩɪɨɫɟɱɧɚ ɧɚɞɦɨɪɫɤɚ ɜɢɫɨɱɢɧɚ ɢɦɚ Ƚɟɜɝɟɥɢɫɤɨɬɨ ɉɨɥɟ ɚ Ʉɨɟ ɩɨɥɟ ɢɦɚ ɧɚʁɝɨɥɟɦɚ ɩɪɨɫɟɱɧɚ ɧɚɞɦɨɪɫɤɚ ɜɢɫɨɱɢɧɚ" ɛ Ⱦɚɥɢ ɉɟɥɚɝɨɧɢʁɚ ɢɦɚ ɩɨɝɨɥɟɦɚ ɩɪɨɫɟɱɧɚ ɧɚɞɦɨɪɫɤɚ ɜɢɫɨɱɢɧɚ ɨɞ ɉɪɟɫɩɚɧɫɤɨ ɉɨɥɟ"

Ƚɟɜɝɟɥɢɫɤɨ ɉɨɥɟ

ɋɤɨɩɫɤɨ ɉɨɥɟ

Ɉɜɱɟ ɉɨɥɟ

ɉɟɥɚɝɨɧɢʁɚ

ɉɪɟɫɩɚɧɫɤɨ ɉɨɥɟ

ɉɨɥɟ

Ʉɢɪɢʁɚ ɏɪɚɧɚ Ɍɪɨɲɨɰɢ

2 Ɍɪɨɲɨɰɢɬɟ ɧɚ Ɇɢɥɚ ɡɚ ɟɞɟɧ ɦɟɫɟɰ ɫɟ ɩɪɟɬɫɬɚɜɟɧɢ ɫɨ ɫɬɨɥɛɟɫɬ ɞɢʁɚɝɪɚɦ ɉɪɢɬɨɚ FP ɨɞ ɜɢɫɢɧɚɬɚ ɧɚ ɫɟɤɨʁ ɫɬɨɥɛ ɩɪɟɬɫɬɚɜɭɜɚ ɞɟɧɚɪɢ Ʉɨɥɤɭ ɩɪɟɬɫɬɚɜɭɜɚ PP ɨɞ ɜɢɫɢɧɚɬɚ ɧɚ ɫɬɨɥɛɨɜɢɬɟ" ɂɡɦɟɪɢ ɝɢ ɜɢɫɢɧɢɬɟ ɧɚ ɫɬɨɥɛɨɜɢɬɟ ɢ ɩɨɞɚɬɨɰɢɬɟ ɡɚɩɢɲɢ ɝɢ ɜɨ ɬɚɛɟɥɚ Ʉɨɥɤɭ ɟ ɜɤɭɩɧɢɨɬ ɬɪɨɲɨɤ ɧɚ Ɇɢɥɚ ɡɚ ɦɟɫɟɰɨɬ"

ɉɪɟɜɨɡ Ɉɫɬɚɧɚɬɨ

3 ȼɨ ɫɥɟɞɧɚɬɚ ɬɚɛɟɥɚ ɟ ɞɚɞɟɧɚ ɜɪɫɤɚɬɚ ɦɟɼɭ ɫɬɪɚɧɚɬɚ ɢ ɩɥɨɲɬɢɧɚɬɚ ɧɚ ɤɜɚɞɪɚɬ ɋɬɪɚɧɚ D ɉɥɨɲɬɢɧɚ 3

FP FP2

FP FP FP FP2 FP2 FP2

ɂɫɬɢɬɟ ɬɢɟ ɩɨɞɚɬɨɰɢ ɫɟ ɩɪɟɬɫɬɚɜɟɧɢ ɢ ɫɨ ɫɬɨɥɛɟɫɬɢɨɬ ɞɢʁɚɝɪɚɦ

4 ȼɨ ɬɚɛɟɥɚ ɡɚɩɢɲɢ ʁɚ ɜɪɫɤɚɬɚ ɦɟɼɭ ɩɥɨɲɬɢɧɚɬɚ ɢ ɪɚɛɨɬ ɧɚ ɤɨɰɤɚ ɡɚ ɪɚɛ ɫɨ ɞɨɥɠɢɧɚ FP FP FP FP ɢ FP ɉɨɬɨɚ ɢɫɬɢɬɟ ɩɨɞɚɬɨɰɢ ɩɪɟɬɫɬɚɜɢ ɝɢ ɫɨ ɫɬɨɥɛɟɫɬ ɞɢʁɚɝɪɚɦ

ɉɥɨɲɬɢɧɚ ɜɨ FP2

9 7

ɋɬɪɚɧɚ ɜɨ FP 143

5 ȼɪɟɦɟɧɚɬɚ ɡɚɫɬɚɩɟɧɨɫɬ ɧɚ ɟɦɢɫɢɢɬɟ ɧɚ ɟɞɧɚ Ɍȼ ɫɬɚɧɢɰɚ ɜɨ ɟɞɧɚ ɫɟɞɦɢɰɚ ɟ ɞɚɞɟɧ ɜɨ ɬɚɛɟɥɚɬɚ ȼɪɟɦɟɬɨ ɟ ɢɡɪɚɡɟɧɨ ɜɨ ɱɚɫɨɜɢ ɉɪɟɬɫɬɚɜɢ ɝɢ ɩɨɞɚɬɨɰɢɬɟ ɫɨ ɫɬɨɥɛɟɫɬ ɞɢʁɚɝɪɚɦ ɜɨ ɤɨʁ FP ɨɞ ɜɢɫɢɧɚɬɚ ɧɚ ɫɬɨɥɛɨɜɢɬɟ ʅɟ ɩɪɟɬɫɬɚɜɭɜɚ ɱɚɫɨɜɢ

Ɇɭɡɢɤɚ Ɋɟɤɥɚɦɢ ȼɟɫɬɢ Ɏɢɥɦɨɜɢ ɋɩɨɪɬ

25 45 5

6 ɉɪɢɛɟɪɢ ɩɨɞɚɬɨɰɢ ɡɚ ɜɢɫɢɧɢɬɟ ɧɚ ɩɥɚɧɢɧɫɤɢɬɟ ɜɪɜɨɜɢ ɉɟɥɢɫɬɟɪ Ʉɨɪɚɛ Ɍɢɬɨɜ ȼɪɜ ɢ ɋɨɥɭɧɫɤɚ Ƚɥɚɜɚ ɉɨɞɚɬɨɰɢɬɟ ɫɪɟɞɢ ɝɢ ɜɨ ɬɚɛɟɥɚ ɚ ɩɨɬɨɚ ɢɫɬɢɬɟ ɩɪɟɬɫɬɚɜɢ ɝɢ ɫɨ ɫɬɨɥɛɟɫɬ ɞɢʁɚɝɪɚɦ 7 ɉɥɨɲɬɢɧɢɬɟ ɧɚ ɫɥɟɞɧɢɬɟ ɮɢɝɭɪɢ ɩɪɟɬɫɬɚɜɢ ɝɢ ɫɨ ɫɬɨɥɛɟɫɬ ɞɢʁɚɝɪɚɦ ɚ

8 ȼɨ ɬɚɛɟɥɚɬɚ ɫɟ ɩɪɟɬɫɬɚɜɟɧɢ ɞɢɦɟɧɡɢɢɬɟ ɧɚ ɟɞɧɚ ɭɱɢɥɧɢɰɚ ɛɢɛɥɢɨɬɟɤɚɬɚ ɮɢɫɤɭɥɬɭɪɧɚɬɚ ɫɚɥɚ ɢ ɟɞɟɧ ɯɨɞɧɢɤ ɜɨ ɟɞɧɨ ɨɫɧɨɜɧɨ ɭɱɢɥɢɲɬɟ ɋɢɬɟ ɬɢɟ ɢɦɚɚɬ ɩɪɚɜɨɚɝɨɥɧɚ ɮɨɪɦɚ Ⱦɨɥɠɢɧɚ

ɒɢɪɢɧɚ

Ȼɢɛɥɢɨɬɟɤɚ

P P

Ɏɢɫɤɭɥɬɭɪɧɚ ɫɚɥɚ

5 P

2 P

ɏɨɞɧɢɤ

5 P

ɍɱɢɥɧɢɰɚ

ɚ ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɝɢ ɩɥɨɲɬɢɧɢɬɟ ɧɚ ɞɚɞɟɧɢɬɟ ɩɪɨɫɬɨɪɢɢ ɛ ɉɪɟɬɫɬɚɜɢ ɝɢ ɩɥɨɲɬɢɧɢɬɟ ɧɚ ɩɪɨɫɬɨɪɢɢɬɟ ɫɨ ɫɬɨɥɛɟɫɬ ɞɢʁɚɝɪɚɦ 9 ɂɡɛɟɪɢ ɱɟɬɢɪɢ ɩɪɨɫɬɨɪɢɢ ɨɞ ɬɜɨɟɬɨ ɭɱɢɥɢɲɬɟ ɫɨ ɩɪɚɜɨɚɝɨɥɧɚ ɮɨɪɦɚ ɂɡɦɟɪɢ ɝɢ ɧɢɜɧɢɬɟ ɞɢɦɟɧɡɢɢ ɢ ɜɧɟɫɢ ɝɢ ɜɨ ɬɚɛɟɥɚ ɉɨɬɨɚ ɩɪɟɫɦɟɬɚʁ ɝɢ ɧɢɜɧɢɬɟ ɩɥɨɲɬɢɧɢ ɢ ɩɪɟɬɫɬɚɜɢ ɝɢ ɢɫɬɢɬɟ ɫɨ ɫɬɨɥɛɟɫɬ ɞɢʁɚɝɪɚɦ

144

лЏлўлЮлўлАлџлў лћлўлѕлљлЊлалљлю

7 500

6 000

╚╗╔ф╔е╩Ђ ╔Д╔џ ╔ц╔б╔«╔Ц╔б

1 ╔Ѕ╔ф╔е╔б╔А╔ю╔е╔ъ╔Ф╔г╔ю╔е╔г╔е ╔Д╔џ ╔ц╔б╔«╔Ц╔б ╔ю╔е ╔Ъ╔ъ╔Д╔џ ╔Е╔Ъ╔ц╔џ╔ф╔џ ╔А╔џ ╔е╔ъ╔ф╔Ъ╔ъ╔Ъ╔Д ╔Е╔Ъ╔ф╔б╔е╔ъ ╔Ъ ╔Е╔ф╔Ъ╔г╔Ф╔г╔џ╔ю╔Ъ╔Д ╔Ф╔е ╔Ф╔г╔е╔Ц╔Џ╔Ъ╔Ф╔г╔б╔е╔г ╔ъ╔б╩Ђ╔џ╔Ю╔ф╔џ╔д ╔ѓ╔Ф╔г╔б╔г╔Ъ ╔г╔б╔Ъ ╔Е╔е╔ъ╔џ╔г╔е╔░╔б ╔Ф╔Ъ ╔Е╔ф╔Ъ╔г╔Ф╔г╔џ╔ю╔Ъ╔Д╔б ╔б ╔Ф╔е ╔Ц╔б╔Д╔б╔Ф╔ц╔б ╔ъ╔б╩Ђ╔џ╔Ю╔ф╔џ╔д

4 500 3 000 1 500

╚╝╔ф╔Ъ╔д╔Ъ ╔ю╔е ╔▒╔џ╔Ф╔е╔ю╔б

2 ╔І╔е ╔Ц╔б╔Д╔б╔Ф╔ц╔б╔е╔г ╔ъ╔б╩Ђ╔џ╔Ю╔ф╔џ╔д ╔Ъ ╔Е╔ф╔Ъ╔г╔Ф╔г╔џ╔ю╔Ъ╔Д╔е ╔Е╔ф╔е╔б╔А╔ю╔е╔ъ╔Ф╔г╔ю╔е╔г╔е ╔Д╔џ ╔▒╔Ъ╔ю╔Ц╔б ╔ю╔е ╔е╔ъ╔ф╔Ъ╔ъ╔Ъ╔Д ╔Е╔Ъ╔ф╔б╔е╔ъ ╔ю╔е ╔Ъ╔ъ╔Д╔џ ╔«╔џ╔Џ╔ф╔б╔ц╔џ ╔А╔џ ╔▒╔Ъ╔ю╔Ц╔б ╔ё╔е╔Ц╔ц╔Г ╔▒╔Ъ╔ю╔Ц╔б ╔Ф╔Ъ ╔Е╔ф╔е╔б╔А╔ю╔Ъ╔ъ╔Г╔ю╔џ╔џ╔г ╔А╔џ ╔џ ╔ъ╔ю╔џ ╔▒╔џ╔Ф╔џ ╔Џ ╔▓╔Ъ╔Ф╔г ╔▒╔џ╔Ф╔е╔ю╔б ╔ю ╔ъ╔Ъ╔Ф╔Ъ╔г ╔▒╔џ╔Ф╔е╔ю╔б ╔Ю ╔Ъ╔ъ╔Ъ╔Д ╔▒╔џ╔Ф

╚╗╔ф╔е╩Ђ ╔Д╔џ ╔▒╔Ъ╔ю╔Ц╔б

2 FP 8 FP

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ╚╝╔ф╔Ъ╔д╔Ъ ╔ю╔е ╔▒╔џ╔Ф╔е╔ю╔б

20 18

3 FP 4 FP 5 FP 12 FP 16 FP 20 FP

╔ѓ╔Ф╔г╔б╔г╔Ъ ╔г╔б╔Ъ ╔Е╔е╔ъ╔џ╔г╔е╔░╔б ╔Ф╔Ъ ╔Е╔ф╔Ъ╔г╔Ф╔г╔џ╔ю╔Ъ╔Д╔б ╔б ╔Ф╔е ╔Ц╔б╔Д╔б╔Ф╔ц╔б ╔ъ╔б╩Ђ╔џ╔Ю╔ф╔џ╔д 4 ╔Ѕ╔ф╔Ъ╔г╔Ф╔г╔џ╔ю╔б ╩Ђ╔џ ╔ю╔ф╔Ф╔ц╔џ╔г╔џ ╔д╔Ъ╔╝╔Г ╔ф╔џ╔Џ╔е╔г ╔б ╔Е╔Ц╔е╔▓╔г╔б╔Д╔џ╔г╔џ ╔Д╔џ ╔ц╔е╔░╔ц╔џ ╔Ф╔е ╔Ц╔б╔Д╔б╔Ф╔ц╔б ╔ъ╔б╩Ђ╔џ╔Ю╔ф╔џ╔д 5 ╚┐╔ъ╔Ъ╔Д ╔џ╔ю╔г╔е╔Џ╔Г╔Ф ╔Ф╔Ъ ╔ъ╔ю╔б╔а╔б ╔Ф╔е ╔Џ╔ф╔А╔б╔Д╔џ ╔е╔ъ 60 NP ╔Д╔џ ╔▒╔џ╔Ф ╔Ѕ╔ф╔Ъ╔г╔Ф╔г╔џ╔ю╔б ╔Ю╔е ╔Ф╔е ╔Ц╔б╔Д╔б╔Ф╔ц╔б ╔ъ╔б╩Ђ╔џ╔Ю╔ф╔џ╔д ╔б╔А╔д╔б╔Д╔џ╔г╔б╔е╔г ╔Е╔џ╔г ╔А╔џ ╔е╔ъ╔ф╔Ъ╔ъ╔Ъ╔Д ╔Е╔Ъ╔ф╔б╔е╔ъ 6 ╔Ѕ╔ф╔Ъ╔г╔Ф╔г╔џ╔ю╔б ╩Ђ╔џ ╔ю╔ф╔Ф╔ц╔џ╔г╔џ ╔д╔Ъ╔╝╔Г ╔▓╔б╔ф╔б╔Д╔џ╔г╔џ ╔б ╔Е╔Ц╔е╔▓╔г╔б╔Д╔џ╔г╔џ ╔Д╔џ ╔Е╔ф╔џ╔ю╔е╔џ╔Ю╔е╔Ц╔Д╔б╔ц ╔Ф╔е ╔ъ╔е╔Ц╔а╔б╔Д╔џ 5 FP ╔Ф╔е ╔Ц╔б╔Д╔б╔Ф╔ц╔б ╔ъ╔б╩Ђ╔џ╔Ю╔ф╔џ╔д

16 ╔Ѕ╔Ъ╔ф╔б╔д╔Ъ╔г╔џ╔ф ╔ю╔е FP

1 FP 4 FP

6000 5000 4000 3000 2000 1000

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14 12 10 8 6 4 2 1 2 3 4 5 6 ╔І╔г╔ф╔џ╔Д╔џ ╔ю╔е FP

145

ЗАДАЧИ ЗА ВЕЖБАЊЕ 1 ɋɨ ɩɨɦɨɲ ɧɚ ɩɪɚɲɚɥɧɢɤ ɩɪɢɛɟɪɢ ɩɨɞɚɬɨɰɢ ɨɞ ɭɱɟɧɢɰɢɬɟ ɜɨ ɬɜɨɟɬɨ ɨɞɞɟɥɟɧɢɟ ɤɨʁ ɤɚɤɨ ɩɪɢɫɬɢɝɧɭɜɚ ɜɨ ɭɱɢɥɢɲɬɟ ɉɨɞɚɬɨɰɢɬɟ ɜɧɟɫɢ ɝɢ ɜɨ ɬɚɛɟɥɚ 2 ɂɡɦɟɪɢ ɝɢ ɞɢɦɟɧɡɢɢɬɟ ɧɚ ɤɨɪɢɰɚɬɚ ɧɚ ɭɱɟɛɧɢɤɨɬ ɩɨ ɦɚɬɟɦɚɬɢɤɚ ɬɟɬɪɚɬɤɚɬɚ ɩɨ ɦɚɬɟɦɚɬɢɤɚ ɢ ɛɥɨɤ ɛɪɨʁ ɉɪɟɫɦɟɬɚʁ ɝɢ ɧɢɜɧɢɬɟ ɩɥɨɲɬɢɧɢ ɢ ɩɨɞɚɬɨɰɢɬɟ ɜɧɟɫɢ ɝɢ ɜɨ ɬɚɛɟɥɚ 3 Ɂɚ ɜɪɟɦɟ ɧɚ ɥɟɬɨɬɨ ɉɟɰɟ ȳɨɜɚɧ ɂɥɟ ɢ Ɇɢɥɟ ɛɢɥɟ ɧɚ ɨɞɦɨɪ ɢ ɬɨɚ ɟɞɟɧ ɧɚ ɩɥɚɧɢɧɚ ɞɪɭɝ ɧɚ ɦɨɪɟ ɬɪɟɬ ɧɚ ɟɡɟɪɨ ɢ ɱɟɬɜɪɬɢɨɬ ɤɚʁ ɛɚɛɚ ɦɭ ɧɚ ɫɟɥɨ ɉɨɡɧɚɬɨ ɟ ɞɟɤɚ ɚ ȳɨɜɚɧ ɭɠɢɜɚɥ ɜɨ ɫɨɥɟɧɚ ɜɨɞɚ ɛ ɂɥɟ ɫɨɛɢɪɚɥ ɲɭɦɫɤɢ ʁɚɝɨɬɤɢ ɜ Ȼɚɛɢɬɟ ɧɚ Ɇɢɥɟ ɢ ɂɥɟ ɠɢɜɟɚɬ ɜɨ ɝɪɚɞ Ʉɨʁ ɤɚɞɟ ɛɢɥ ɧɚ ɨɞɦɨɪ"

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ɚɧɝɥɢɫɤɢ ʁɚɡɢɤ ɮɪɚɧɰɭɫɤɢ ʁɚɡɢɤ ɝɟɪɦɚɧɫɤɢ ʁɚɡɢɤ ɪɭɫɤɢ ʁɚɡɢɤ

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6 ɋɨ ɥɢɧɢɫɤɢɨɬ ɞɢʁɚɝɪɚɦ ɟ ɩɪɟɬɫɬɚɜɟɧ ɢɡɦɢɧɚɬɢɨɬ ɩɚɬ ɡɚ ɨɞɪɟɞɟɧ ɩɟɪɢɨɞ ɧɚ ɟɞɟɧ ɩɚɬɧɢɱɤɢ ɚɜɬɨɦɨɛɢɥ ɋɨ ɤɨʁɚ ɛɪɡɢɧɚ ɫɟ ɞɜɢɠɢ ɚɜɬɨɦɨɛɢɥɨɬ"

ɂɡɦɢɧɚɬ ɩɚɬ ɜɨ NP

5 ȼɨ ɬɟɤɨɬ ɧɚ ɭɱɟɛɧɚɬɚ ɝɨɞɢɧɚ ɡɟɦɟɧɢ ɫɟ ɤɧɢɝɢ ɨɞ ɭɱɢɥɢɲɧɚɬɚ ɛɢɛɥɢɨɬɟɤɚ Ɂɟɦɟɧɢ ɫɟ ɪɨɦɚɧɢ ɩɪɨɡɧɢ ɬɟɤɫɬɨɜɢ ɤɧɢɝɢ ɫɨ ɩɨɟɡɢʁɚ ɢ ɤɧɢɝɢ ɫɨ ɛɚɫɧɢ Ⱦɚɞɟɧɢɬɟ ɩɨɞɚɬɨɰɢ ɜɧɟɫɢ ɝɢ ɜɨ ɫɬɨɥɛɟɫɬ ɞɢʁɚɝɪɚɦ 7 9 ȼɪɟɦɟ ɜɨ ɱɚɫɨɜɢ

7 Ȼɚɛɚ Ⱦɢɦɢɬɪɚ ɤɨɩɚ ɤɨɦɩɢɪɢ Ɂɚ ɟɞɟɧ ɞɟɧ ɬɚɚ ɩɪɨɫɟɱɧɨ ɜɚɞɢ NJ ɤɨɦɩɢɪɢ Ʉɨɥɤɭ ɤɢɥɨɝɪɚɦɢ ɤɨɦɩɢɪɢ ʅɟ ɢɡɜɚɞɢ ɡɚ ɞɜɚ ɞɟɧɚ ɩɟɬ ɞɟɧɚ ɨɫɭɦ ɞɟɧɚ ɢ ɞɟɫɟɬ ɞɟɧɚ" ɉɨɞɚɬɨɰɢɬɟ ɩɪɟɬɫɬɚɜɢ ɝɢ ɧɚ ɥɢɧɢɫɤɢ ɞɢʁɚɝɪɚɦ 146 146

ɉɪɢɥɨɝ

Автори Проф. д-р Билјана Крстеска Роберта Јордановска Славица Димитриевска Рецензенти д-р Валентина Миовска Шабан Алија Даниела Нацев Лектор Виолета Јовановска Уредник

Компјутерска обработка и корица Стоиле Давчевски Блаже Тофиловски Нина Груневска Издавачка организација Министерство за образование и наука Печати

Тираж

CIP Каталогизација

СОДРЖИНА ПРЕДГОВОР

МНОЖЕСТВА

ЗАПИШУВАЊЕ МНОЖЕСТВА СО ЗАГРАДИ

ПРЕСЕК НА МНОЖЕСТВА

УНИЈА НА МНОЖЕСТВА

РАЗЛИКА НА МНОЖЕСТВА

БРОЕВИТЕ ДО 1 000

БРОЕВИТЕ 1 000, 2 000,..., 10 000

БРОЕВИТЕ ДО 10 000

СПОРЕДУВАЊЕ НА БРОЕВИТЕ ДО 10 000

БРОЕВИТЕ 10 000, 20 000,..., 100 000

БРОЕВИТЕ ДО 100 000

СПОРЕДУВАЊЕ НА БРОЕВИТЕ ДО 100 000

БРОЕВИТЕ 100 000, 200 000,..., 1 000 000

БРОЕВИТЕ ДО 1 000 000

СПОРЕДУВАЊЕ НА БРОЕВИТЕ ДО 1 000 000

КЛАСА НА ИЛЈАДИ. КЛАСА НА ЕДИНИЦИ

ЗАОКРУЖУВАЊЕ НА БРОЕВИТЕ

РИМСКИ ЦИФРИ

СОБИРАЊЕ НА БРОЕВИТЕ ДО 1 000

ОДЗЕМАЊЕ НА БРОЕВИТЕ ДО 1 000

СОБИРАЊЕ И ОДЗЕМАЊЕ

СОБИРАЊЕ НА БРОЕВИТЕ ДО 1 000 000 БЕЗ ПРЕМИН

ОДЗЕМАЊЕ НА БРОЕВИТЕ ДО 1 000 000 БЕЗ ПРЕМИН

СОБИРАЊЕ И ОДЗЕМАЊЕ

СОБИРАЊЕ НА БРОЕВИТЕ ДО 1 000 000 СО ПРЕМИН ВО КЛАСАТА НА ЕДИНИЦИТЕ

ОДЗЕМАЊЕ НА БРОЕВИТЕ ДО 1 000 000 СО ПРЕМИН ВО КЛАСАТА НА ЕДИНИЦИТЕ

СОБИРАЊЕ И ОДЗЕМАЊЕ

СОБИРАЊЕ НА БРОЕВИТЕ ДО 1 000 000 СО ПРЕМИН ОД КЛАСАТА НА ЕДИНИЦИТЕ ВО КЛАСАТА НА ИЛЈАДИТЕ

42 155

ОДЗЕМАЊЕ НА БРОЕВИТЕ ДО 1 000 000 СО ПРЕМИН ОД КЛАСАТА НА ИЛЈАДИТЕ ВО КЛАСАТА НА ЕДИНИЦИТЕ

СОБИРАЊЕ И ОДЗЕМАЊЕ

СОБИРАЊЕ НА БРОЕВИТЕ ДО 1 000 000 СО ПРЕМИН ВО КЛАСАТА НА ИЛЈАДИТЕ

ОДЗЕМАЊЕ НА БРОЕВИТЕ ДО 1 000 000 СО ПРЕМИН ВО КЛАСАТА НА ИЛЈАДИТЕ

СОБИРАЊЕ И ОДЗЕМАЊЕ

СОБИРАЊЕ НА БРОЕВИТЕ ДО 1 000 000 СО ПРЕМИН ВО КЛАСАТА НА ЕДИНИЦИТЕ И ВО КЛАСАТА НА ИЛЈАДИТЕ

ОДЗЕМАЊЕ НА БРОЕВИТЕ ДО 1 000 000 СО ПРЕМИН ВО КЛАСАТА НА ЕДИНИЦИТЕ И ВО КЛАСАТА НА ИЛЈАДИТЕ

СОБИРАЊЕ И ОДЗЕМАЊЕ

ЗАВИСНОСТ НА ЗБИРОТ ОД СОБИРОЦИТЕ

ЗАВИСНОСТ НА РАЗЛИКАТА ОД НАМАЛЕНИКОТ И НАМАЛИТЕЛОТ

РАВЕНКИ

СОБИРАЊЕ И ОДЗЕМАЊЕ СО КАЛКУЛАТОР

ЗАДАЧИ ЗА ВЕЖБАЊЕ

ТОЧКА, ПРАВА И РАМНИНА

ЗАЕМЕН ОДНОС НА ПРАВА И РАМНИНА

ЗАЕМЕН ОДНОС НА ДВЕ РАМНИНИ

ХОРИЗОНТАЛНИ, ВЕРТИКАЛНИ И КОСИ РАМНИНИ

ИСКРШЕНА ЛИНИЈА

МНОГУАГОЛНИК

ТРИАГОЛНИК, ПРАВОАГОЛНИК И КВАДРАТ

ПЕРИМЕТАР

КРУЖНИЦА

КРУГ

ГЕОМЕТРИСКИ ТЕЛА

РАБЕСТИ ТЕЛА

ЗАДАЧИ ЗА ВЕЖБАЊЕ

МНОЖЕЊЕ НА БРОЕВИТЕ ДО 1 000

КОМУТАТИВНО И АСОЦИЈАТИВНО СВОЈСТВО НА МНОЖЕЊЕТО

МНОЖЕЊЕ НА ЗБИР И РАЗЛИКА СО БРОЈ

МНОЖЕЊЕ НА ПОВЕЌЕЦИФРЕН БРОЈ СО ЕДНОЦИФРЕН БРОЈ БЕЗ ПРЕМИН

МНОЖЕЊЕ НА ПОВЕЌЕЦИФРЕН БРОЈ СО ЕДНОЦИФРЕН БРОЈ СО ЕДЕН ПРЕМИН

МНОЖЕЊЕ НА ПОВЕЌЕЦИФРЕН БРОЈ СО ЕДНОЦИФРЕН БРОЈ СО ДВА ПРЕМИНИ

МНОЖЕЊЕ НА ПОВЕЌЕЦИФРЕН БРОЈ СО ЕДНОЦИФРЕН БРОЈ СО ДВА ПОСЛЕДОВАТЕЛНИ ПРЕМИНИ

ДЕЛЕЊЕ НА БРОЕВИТЕ ДО 1 000

ДЕЛЕЊЕ НА ЗБИР И РАЗЛИКА СО БРОЈ

ДЕЛЕЊЕ НА ПОВЕЌЕЦИФРЕН БРОЈ СО ЕДНОЦИФРЕН БРОЈ

МНОЖЕЊЕ И ДЕЛЕЊЕ НА ПОВЕЌЕЦИФРЕН БРОЈ СО ЕДНОЦИФРЕН БРОЈ

МНОЖЕЊЕ НА ПОВЕЌЕЦИФРЕН БРОЈ СО 10, 20,..., 90

МНОЖЕЊЕ НА ПОВЕЌЕЦИФРЕН БРОЈ СО ДВОЦИФРЕН БРОЈ

МНОЖЕЊЕ НА ПОВЕЌЕЦИФРЕН БРОЈ СО 100, 200, ..., 900

101

МНОЖЕЊЕ НА ПОВЕЌЕЦИФРЕН БРОЈ СО ТРИЦИФРЕН БРОЈ

103

ДЕЛЕЊЕ НА ПОВЕЌЕЦИФРЕН БРОЈ СО 10, 20, ..., 90

105

ДЕЛЕЊЕ НА ДВОЦИФРЕН БРОЈ СО ДВОЦИФРЕН БРОЈ

107

ДЕЛЕЊЕ СО ОСТАТОК

108

ДЕЛЕЊЕ НА ПОВЕЌЕЦИФРЕН БРОЈ СО ДВОЦИФРЕН БРОЈ

109

МНОЖЕЊЕ И ДЕЛЕЊЕ НА ПОВЕЌЕЦИФРЕН БРОЈ СО ДВОЦИФРЕН БРОЈ

115

РАВЕНКИ СО НЕПОЗНАТ МНОЖИТЕЛ

117

РАВЕНКИ СО НЕПОЗНАТ ДЕЛЕНИК

118

РАВЕНКИ СО НЕПОЗНАТ ДЕЛИТЕЛ

119

МНОЖЕЊЕ И ДЕЛЕЊЕ СО КАЛКУЛАТОР

120

ЧИТАЊЕ И ЗАПИШУВАЊЕ НА ДРОПКИ ПОМАЛИ ОД 1

121

СПОРЕДУВАЊЕ НА ДРОПКИ

123

НАОЃАЊЕ ДЕЛ ОД БРОЈ

124

СОБИРАЊЕ ДРОПКИ СО ЕДНАКВИ ИМЕНИТЕЛИ

126

ОДЗЕМАЊЕ ДРОПКИ СО ЕДНАКВИ ИМЕНИТЕЛИ

128

ЗАДАЧИ ЗА ВЕЖБАЊЕ

130

ПЛОШТИНА НА РАМНИНСКА ФИГУРА

131

МЕРЕЊЕ НА ПЛОШТИНА

132

МЕРЕЊЕ НА ПЛОШТИНА СО СЕЧЕЊЕ И СПОЈУВАЊЕ

133

МЕРКИ ЗА ПЛОШТИНА

134

ПЛОШТИНА НА ПРАВОАГОЛНИК И КВАДРАТ

135

ПРЕСМЕТУВАЊЕ НА ПЛОШТИНА

136

ПЛОШТИНА НА КВАДАР

137

ПЛОШТИНА НА КОЦКА

138

ЗАДАЧИ ЗА ВЕЖБАЊЕ

139

ПРИБИРАЊЕ И СРЕДУВАЊЕ ПОДАТОЦИ СО МЕРЕЊЕ

140

ПРИБИРАЊЕ И СРЕДУВАЊЕ ПОДАТОЦИ СО ПРАШАЛНИК

141

РЕШАВАЊЕ ЗАДАЧИ СО СРЕДУВАЊЕ ПОДАТОЦИ

142

СТОЛБЕСТ ДИЈАГРАМ

143

ЛИНИСКИ ДИЈАГРАМ

145

ЗАДАЧИ ЗА ВЕЖБАЊЕ

146