8. Matrizes e operadores ortogonais e unitários
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podendo ainda adicionar (se bem que a notação fique carregada) que j varia de 1 a n. Evidentemente, se todos os auto-valores forem distintos (T é não-degenerado, ou maximal), esta soma terá somente um termo. Esta notação será importante para a formulação algoritmo estatístico da mecânica quântica [Red.87, p.8].
8. Matrizes e operadores ortogonais e unitários Nesta seção, suporemos que V é um espaço com produto interno. Definição 8.1 (Isometria). Uma isometria sobre V é um operador linear T sobre V tal que ||T (α)|| = ||α|| para todo α ∈ V. Intuitivamente, uma isometria é uma aplicação que preserva comprimentos (iso-metria), como fica claro pelo teorema seguinte: Teorema 8.1. Se T é uma isometria sobre V, então, para todos ξ, η ∈ V: 1. T preserva distâncias, ou seja, ||ξ − η|| = ||T (ξ) − T (η)||. 2. T preserva produtos internos, ou seja, hξ|ηi = hT (ξ)|T (η)i. 3. T preserva conjuntos ortonormais. 4. T preserva medidas angulares. Demonstração. Imediata, tendo em vista a definição e as propriedades da norma. Exercício 8.1. Prove o teorema anterior. Definição 8.2 (Operadores ortogonal e unitário). Uma isometria sobre um espaço vetorial complexo é chamado de operador unitário. Uma isometria sobre um espaço vetorial real é chamado de operador ortogonal. Exercício 8.2. (a) Mostre que T (x, y, z) = (x cos θ − y sin θ, x sin θ + y cos θ) é uma isometria sobre o R2 (operador ortogonal); (b) Idem para T (x, y) = (x, −y) (reflexão em relação ao eixo Y). Repare que a matriz do primeiro operador na base canônica, que aparece em muitos textos, é ! cos θ sin θ [T ] = . − sin θ cos θ