3. Operadores Lineares
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uma base X1 , . . . , Xn para K n , ou seja, tais que AXiT = λi XiT , sendo os λi os autovalores. Seja M matriz cujas colunas são os vetores XIT , que é inversível pela hipótese de que esses vetores formam uma base. Pondo λ1 0 . . . 0 0 λ . . . 0 2 , D = . . . . . . . . . . . . 0 0 . . . λn temos AM = A(X1T . . . XnT ) = (λ1 X1T . . . λn XnT ) = MD, ou seja, M −1 AM = D.
A demonstração deste teorema nos dá o modo de achar a matriz M que efetua a diagonalização de A, desde que A seja diagonalizável: as colunas de M são formadas por auto-vetores linearmente independentes de A. Exercício 7.1. Verifique que os auto-valores de A abaixo são 1 e 2 (duplo). Ache os auto-valores correspondentes. Verifique se a matriz é diagonalizável e, em caso afirmativo, ache a matriz diagonal D semelhante a A: 3 −1 1 A = 2 0 2 2 −1 2 Exercício 7.2. Idem para a matriz 5 A = −6 −6
−1 4 2
3 −6 4
O teorema (7.3) acima nos diz algo importante. Mesmo que o operador (ou a matriz) seja , degenerado, ou seja, que seus auto-valores não sejam todos distintos, caso ele seja diagonalizável, é possível encontrar uma base para o espaço em questão constituída de auto-vetores do operador (ou da matriz). Isso tem relevância para algumas expressões em física. Por exemplo, admita (usando a notação de Dirac) que q1 , . . . , qn sejam auto-valores de um operador T (falaremos somente de operadores) associados aos auto-vetores |q1 i, . . . , |qn i. Pode ser que nem todos os qi s sejam distintos. Se quisermos somar somente aqueles auto-valores que são iguais a qi , escrevemos X q j, (3.18) j|q j =qi