4. A condição de normalização na teoria quântica
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Mostre que (i) hδk |δ` i = 0 sempre que k , `, logo, o conjunto das funções de Kronecker é um conjunto ortonormal de vetores; (ii) o argumento acima sobre o Lema de Zorn para mostrar que este conjunto é uma base para o espaço `2 (N).
4. A condição de normalização na teoria quântica Já vimos que o espaço vetorial L2 de todas as funções complexas f (x) tomando valores em R, tais que Z ∞
| f (x)|2 dx < ∞,
−∞
ditas funções ‘quadrado-integráveis’, munido das operações usuais de adição de funções e de multiplicação de função por escalar real, e com o produto interno Z ∞ h f |gi = f ? (x)g(x)dx −∞
é relevante em mecânica quântica. Na mecânica quântica de ondas, um sistema de partículas em uma dimensão tem seus estados descritos por uma função de onda ψ(x, t), que satisfaz Z ∞ |ψ(x, t)|2 dx = 1. (2.14) −∞
Podemos entender ψ(x, t) como pertencente a L2 , para t (a coordenada temporal) fixado, e (2.14) é então dita condição de normalização, ou seja, |ψ(x, t)|2 = ψ? (x, t).ψ(x, t) = 1. Esta condição está associada ao papel desempenhado pelo conceito de probabilidade na teoria quântica.6 Com efeito, segundo a interpretação probabilista da função de onda devida a Max Born, dado um intervalo [a, b] da reta real, a probabilidade de encontrarmos o valor da medida de um observável físico Aˆ medido sobre um sistema no estado descrito por ψ(x, t) neste intervalo é precisamente Z ψ(x,t) Prob[a,b] (A) = |ψ(x, t)|2 dx. [a,b]
6 Foge
aos nossos objetivos discutir aqui o caso da probabilidade em mecânica quântica, que é bastante controverso. Mesmo assim, algumas palavras sobre isso serão ditas mais à frente.