Lógica, tempo e linguagem natural
143
Definição 2.9. Uma fórmula α é uma consequência lógica de um conjunto de fórmulas Γ sobre um conjunto K de frames (em símbolos Γ |=K α) sse α é uma consequência lógica de Γ em F para toda frame F ∈ K. Definição 2.10. Uma fórmula α é válida em uma frame F = (TF , <) (em símbolos |=F α) sse vF (α, t ) = 1 para toda valoração vF em F e todo instante de tempo t ∈ TF . Definição 2.11. Uma fórmula α é válida sobre um conjunto K de frames (em símbolos |=K α) sse α é válida em F para toda frame F ∈ K. Definição 2.12. Um sistema formal S é correto com relação a um conjunto K de frames sse todo teorema de S é uma fórmula válida sobre K; S é completo com relação a um conjunto K de frames sse toda fórmula válida sobre K é um teorema de S.
3. O sistema formal T Por fim, vamos introduzir o sistema formal T, cuja metateoria será apresentada na sequência. Definição 3.1. O sistema formal T é o par ordenado (LT , PT), onde LT = L+ , e PT = AXT ∪ RDT, isto é, a linguagem formal LT de T é a linguagem L+ , e o conjunto PT dos postulados de T é o resultado da união do conjunto AXT dos axiomas de T com o conjunto RDT das regras de dedução de T, onde: i) AXT = AXpT ∪ AXcT, onde AXpT, o conjunto dos axiomas proposicionais de T, é dado por {α ∈ L+ | α tem uma das formas AXp1, AXp2, AXp3}, e AXcT, o conjunto dos axiomas característicos de T, é dado por {α ∈ L+ | α tem uma das formas AXc0a, AXc0b, AXc0c, AXc0d, AXc1a, AXc1b, AXc2a, AXc2b, AXc6a, AXc6b, AXi1, AXi2, AXpc1, AXpc2, AXpc3}, sendo: AXp1 = α → (β → α) AXp2 = (α → (β → γ )) → ((α → β) → (α → γ )) AXp3 = (∼ β → ∼ α) → ((∼ β → α) → β) AXc0a = G(α → β) → (Gα → Gβ) AXc0b = H(α → β) → (Hα → Hβ)